Тест на образованность

Задача 1.
Дан произвольный треугольник на плоскости. Вывести формулы для расстояний между точками пересечения медиан, биссектрис, высот и срединных перпендикуляров через длины сторон этого треугольника. Привести формулы в вид, инвариантный относительно перестановок сторон треугольника.

Задача 2.
Дан произвольный треугольник на поверхности трёхмерной сферы конечного радиуса. Вывести формулы для расстояний между точками пересечения медиан, биссектрис, высот и срединных перпендикуляров через длины сторон этого треугольника и радиус сферы. Привести формулы в вид, инвариантный относительно перестановок сторон треугольника.

Задача 3.
Дан произвольный треугольник на поверхности эллипсоида вращения конечного радиуса и конечной длины. Вывести формулы для расстояний между точками пересечения медиан, биссектрис, высот и срединных перпендикуляров через длины сторон этого треугольника, радиус и длину эллипсоида. Привести формулы в вид, инвариантный относительно перестановок сторон треугольника.

P.S.: Оказалось, что не каждый преподаватель математики или выпускник средней школы и даже вуза по математической специальности может решить самую простую задачу 1 за четыре часа. Некоторые не смогли решить и за день, и за неделю. Попробуйте решить эту школьную задачу, не ограничивая себя во времени. Если не сможете, резонно считать себя не имеющим полного школьного образования и уж тем более высшего.
Если удастся вам решить задачи 2 и 3, вы заслуживаете считать себя образованным в области элементарной математики.


Problem 1.
An arbitrary triangle in a plane is given. Derive formulas for the distances between the points of intersection of the medians, angle bisectors, altitudes, and perpendicular bisectors, expressing them in terms of the triangle's side lengths. Present the formulas in a form that is invariant under permutations of the triangle's sides.

Problem 2.
An arbitrary triangle on the surface of a three-dimensional sphere of finite radius is given. Derive formulas for the distances between the points of intersection of the medians, angle bisectors, altitudes, and perpendicular bisectors, expressing them in terms of the triangle's side lengths and the sphere's radius. Present the formulas in a form that is invariant under permutations of the triangle's sides.

Problem 3.
An arbitrary triangle on the surface of an ellipsoid of revolution of finite radius and finite length is given. Derive formulas for the distances between the points of intersection of the medians, angle bisectors, altitudes, and perpendicular bisectors, expressing them in terms of the triangle's side lengths and the ellipsoid's radius and length. Present the formulas in a form that is invariant under permutations of the triangle's sides.

P.S.: It turns out that not every mathematics teacher, nor every graduate of a secondary school or even a university mathematics program, can solve the simplest problem (Problem 1) within four hours. Some failed to solve it even after a day or a week. Try solving this school-level problem without a time limit. If you cannot, it is reasonable to consider yourself lacking a complete secondary education, let alone a higher education.
If you succeed in solving Problems 2 and 3, you deserve to consider yourself educated in the field of elementary mathematics.