Глава 8. Переформулировка условия

Поиск решения задачи всегда начинается с условия, которое как уже было пояснено в предыдущих главах, имеет весьма непростое устройство. Скажем даже больше – условие достаточно сложной задачи определяется неоднозначно. Самая первая, так сказать  формулировка на глазок может быть записана очень простой, может быть даже бытовой терминологией, что для задачи из области точных наук и техники конечно неприемлемо. Стартовая, упрощенная в части терминологии формулировка нужна с точки зрения психологии восприятия, но она не пригодна для работы. Поэтому, первое с чего мы начинаем работу над условием, после того, как оно вроде бы понято, это подбор точных терминов. Этот процесс не имеет прямого отношения к теме главы, заявленной в названии, но проблема терминологии хорошо показывает, что условие это тоже значимый объект для исследования.
Интересный момент, выявляемый при исследовании значений терминов, заключается в том, что есть задачи, принадлежащие точно заданной области знания, а есть задачи и их довольно много, принадлежащие разным областям, чего сразу может быть и не видно. Это означает, что на одну и ту же проблему можно взглянуть с разных точек зрения, из разных областей знания. Таковая возможность и есть предмет нашего исследования.

Пример первый

Дана плоская фигура и не геометрическая абстракция, а реальная плоская фигура определенной формы, сделанная из определенного материала. Известно, что плотность вещества по всему плоскому телу, и его толщина одинаковы. Необходимо найти такую точку на плоскости фигуры, что в случае приложения к этой точке физического усилия, вся фигура будет двигаться как единое целое. То есть все ее точки будут иметь одинаковый вектор скорости. Если для кого-то понятие вектора не вполне ясно, то уточним – все точки фигуры будут двигаться в одном направлении, с одинаковой скоростью, а если движение окажется ускоренным (в случае применения силы это так и бывает), то с одинаковым ускорением.

Очевидно, - задача из области механики и в этой области знания задача решена. Но для нас интересен не сам факт решения, а то, как это было сделано. С точки зрения статики, поставленная задача требует нахождения центра массы тела. Центр массы, по определению, - точка способная в случае физического усилия вести себя так, как будто в ней сосредоточена вся масса тела.
Центр масс можно определить экспериментально. А именно можно найти такую точку, что тело, будучи подвешено за эту точку на нити, расположится своей плоскостью параллельно земле. Это будет означать, что сила тяжести, действующая на все части тела, полностью уравновешивается силой натяжения нити приложенной к одной точке, каковая и есть центр массы, он же центр тяжести в данном случае.
Но если тело действительно плоское, то есть имеет нулевую кривизну во всех своих точках, если оно одинаковой толщины и плотности вещества, то оказывается, механическая задача сводится  к чистой геометрии. На самом деле если убрать фактор плотности вещества, то есть, если предположить, что распределение вещества определяется формой фигуры, то центр масс обладает следующим свойством – любая прямая линия, проведенная через него, поделит фигуру на две части равной площади и как следствие – равной массы. Справедливость данного утверждения геометрически очевидна.

Из этого факта следует способ нахождения центра масс правильных фигур:  квадрата, шестиугольника, восьмиугольника (с четным количеством вершин) и т.д. А именно проведем прямые, между противоположными вершинами. Они, очевидно, пересекутся в одной точке и очевидно, каждая прямая будет делить многоугольник на две равные части и, следовательно, точка пересечения и будет центром масс. Ясно также, что правило работающее для квадрата будет работать и для любого параллелограмма.   Легко доказать, что в треугольнике подобным свойством обладают медианы, следовательно, центр масс треугольника располагается в точке пересечения медиан.
Принцип несложно обобщить на любые правильные многоугольники (выше речь шла о многоугольниках с четным количеством вершин). Очевидно, что центр масс для любых правильных многоугольников совпадает с центром симметрии фигуры. Построим многоугольник и опишем вокруг него окружность. Несложно доказать, но и интуитивно понятно, что центр симметрии любого правильного многоугольника совпадает с центром описанной окружности (или что тоже самое - вписанной окружности). Далее все очевидно. Необходим способ нахождения центра окружности описанной вокруг правильного многоугольника, а такой способ дает элементарная геометрия.

После анализа правильных фигур задачу можно обобщить на произвольные фигуры, но конечно с соблюдением базовых условий – одинаковая плотность и нулевая кривизна поверхности. Процедура обобщения следующая. Разобьем произвольную фигуру на одинаковые квадраты. Определим центр масс каждого квадрата. Получим множество точек, в которых как бы сосредоточена масса каждого малого квадрата. Задача явно упрощается,  мы вместо непрерывной, плоской фигуры получили набор точек содержащих одинаковую массу. 
Далее можно взять любую тройку точек, такую что она образует треугольник, не содержащий внутри себя других точек этой системы. После чего треугольник можно заменить на его собственный центр масс. Каждое такое выделение треугольника будет уменьшать общее количество точек требующих учета. На последней итерации мы получим один треугольник, и его центр масс будет исходным центром для большой фигуры. Отметим только, что наше описание счетной процедуры слишком общо и требует некоторых уточнений, но уже уточнений технического характера.

Разумеется, эта процедура с конечным разбиением на квадраты даст неточный ответ, так как само разбиение будет неточным. Но также ясно, что количество квадратов разбиения можно увеличивать, тем самым произойдет переход из чистой геометрии в область математического анализа, так как тогда вычисление центра масс окажется задачей на счет специфического интеграла.    

Главная мораль рассмотренного примера такова – переход к другой формулировке происходит как переход в другую область знания, в которой поставленная задача решается проще или даже ее решение очевидно. Конечно, задача с измененным условием вполне может оказаться столь же сложной и метод даст сбой. Но сразу отметим, что не всегда изменение формулировки требует именно перехода к другой области знания.

Пример второй. Задача о монахе      

Рассмотрим задачу, на мой взгляд, идеальную для демонстрации метода переформулировки. В ее условии много лишних слов, но я приведу ее в таком же виде, как когда-то прочитал ее сам. Итак, условие задачи.
Буддийских монах, живущий у основания горы, как-то раз решил провести время в размышлениях и медитации на вершине горы. Рано утром, когда солнце только что взошло, но это неточно, может быть немного раньше этого события, а может быть немного позже, двинулся в путь. Как быстро он шел неизвестно, неизвестно также отдыхал или нет в пути и если отдыхал, то какое время. Известно только то, что когда солнце зашло, или чуть раньше или чуть позже он достиг своей цели.
Ночь монах провел, как и планировал в медитации, а утром примерно в точке восхода солнца двинулся в обратный путь. Опять же ничего не известно о скорости его движения, ничего не известно о возможных отдыхах, известно только, что примерно в точке захода солнца он вернулся в свою хижину.

Требуется выяснить, есть ли на его пути точка такая, что на пути вверх и на пути вниз, монах прошел эту точку абсолютно в одно и тоже время. Причем заметим, ответ должен быть абсолютно точным. Не плюс минус одна триллионная секунды, а абсолютно точным.
Требование абсолютной точности, при полном ее отсутствии в условии, производит впечатление серьезного усложнения задачи. Но это чисто психологический эффект. На самом деле, требование абсолютной точности говорит о том, что все неопределенности скорости и времени не играют значимой роли. И в первичной обработке условия необходимо выяснить, что на самом деле важно, а что можно проигнорировать. Это еще не переформулировка условия, а скорее этап необходимого уточнения. В этой книге уже ставился акцент на проблеме точного понимания условия задачи.

Первый момент. Неточности в стартовых условиях, когда вышел и когда пришел. На самом деле эти неточности могут быть очень существенны. Если ошибка во времени начала и конца пути будет сопоставима со временем движения монаха, то очевидно, задача станет слишком неопределенной. Тогда можно будет придумать стартовые временные моменты, при которых искомой точки не существует, но возможны и версии условия, при которых однозначного ответа нет. То есть, для того, чтобы задача имела смысл необходимо положить малую погрешность по времени выхода из хижины, с вершины горы и малую погрешность по времени прихода на вершину и возвращения в хижину. Для упрощения ситуации можно даже выбросить эти погрешности и заявить, что монах совершенно в одно и тоже время начинал и заканчивал свой путь.
Это на самом деле никак не упростит задачу, но позволит убрать из условия лишние слова. Следующий момент – точки отдыха и время отдыха. А что если точки отдыха убрать и просто положить, что монах все время двигался с неопределенной скоростью и скомпенсировать возможный отдых более медленным движением. Не являются ли точки отдыха такими же лишними для корректности условия.

   Дело в том, что если допустить, что монах все время шел, только лишь с переменной скоростью, то тогда его траектория вверх есть график непрерывной функции от точки t1 до точки t2. А его траектория вниз – это график непрерывной функции от t2 до t1. Но тогда задача приобретает совсем другую формулировку. Есть две функции как описано только что. И вопрос состоит в том - есть ли у них точка пересечения. То есть задача из логической переходит в сферу математического анализа и любой начинающий математик вам скажет, что да, такая точка есть. Нельзя конечно указать, где именно она расположена, для этого недостаточно данных, но она есть.

Но остается еще один вопрос. Мы сейчас исходили из того, что возможность остановки движения монаха  можно игнорировать, а так ли это? Ведь мы предположили, что обе временные функции непрерывны, что является очень сильным допущением. Можно ли продолжать считать функцию движения непрерывной, если монах останавливался на отдых? Это вопрос на самостоятельное рассмотрение. А мы еще раз взглянем на эту задачу, но под совсем другим углом.

Было обещано, что переформулировка  задачи это не обязательно уход в другую область знания, но именно это сейчас и было сделано. Попробуем найти другое решение.  Вспомним, что мы фиксировали точки восхода и точки захода солнца. Но одна точка восхода ничем не отличается в рассмотрении от другой точки восхода, в том смысле, что каждую из них можно считать точкой начала отсчета времени. Тоже самое можно сказать о точках захода солнца. И у нас один и тот же монах совершает оба пути и вверх и вниз. А что если вместо одного монаха пустить двух. Если точки восхода не отличимы друг от друга и неотличимы точки захода, то пусть два монаха стартуют одновременно утром, но один из хижины, а другой с вершины горы.
Тогда условие задачи сводится к вопросу – есть ли такая точка, в которой эти два монаха встретятся. Ответ очевиден, но остается вопрос корректности перехода. Все же логический переход от одного монаха к двум выглядит не слишком просто и очевидно.
Но, тем не менее, эти две задачи совершенно эквивалентны. Если же в этом есть сомнения, то попробуйте самостоятельно найти подтверждение или опровержение заявленного утверждения.      

Более глубокое понимание проблемы      

Изменение формулировки условия, обусловленное взглядом на задачу с другой точки зрения, часто используется большой наукой и именно там можно найти множество масштабных примеров эффективности такого подхода. Очень яркий тому пример – проблема силы тяготения. Сэр Исаак Ньютон дал исключительно изящный закон, описывающий поведение этой силы. Очень простая формула действительно описывает все множество проявлений силы тяготения во Вселенной независимо от масштабов объектов и их удаленности от нас. Самый настоящий всемирный закон и его мощь  в сочетании с простотой просто завораживает.

Но силу недостаточно просто описать, желательно указать механизм ее действия. И с законом Всемирного тяготения здесь не все в порядке. Физике известно два общих механизма действия силы. Это механизм близкодействия и механизм дальнодействия. Первое вполне понятно. Мы в каждый момент своей даже бытовой деятельности можем убедиться, что приложение силы, хотя бы наших рук, изменяет состояние тела.
Достаточно понятно полевое воздействие. Если где-то в электромагнитном поле колеблется заряженное тело, то оно создает волну в поле, волна воздействует на другие заряженные тела, волна действует непосредственно и создается она непосредственно, тем самым механизм близкодействия распространяется и на полевые взаимодействия. Но для силы тяготения нет такого поля (по крайней мере, пока его существование не доказано) и, следовательно, для двух тех находящихся на удалении друг от друга нет посредника передающего взаимодействие.
 Поэтому приходится воспользоваться, как постулатом, что сила тяготения действует на расстоянии. Но это ответ, который ровно ничего не объясняет. Вопрос, а как взаимодействуют тела, не имеющие прямого контакта, и не имеющие между собой материального посредника остается без ответа.

На этот вопрос дал ответ Эйнштейн, переведя проблему из области силового взаимодействия в сферу геометрии, показав, что механизм тяготения можно объяснить искривлением пространства. И теперь с точки зрения Общей теории относительности, тело не стремится к другому телу в силу непонятного механизма притяжения, оно просто продолжает двигаться прямым курсом по естественным пространственным траекториям, названными геодезическими линиями, но само пространство меняет свои свойства, приобретая кривизну. Конечно возникает вопрос, а как масса искривляет пространство, где здесь механизм, но согласитесь что это уже следующий вопрос. Ответ на один фундаментальный вопрос всегда порождает следующий, и с этим уже ничего не поделаешь.

В этом же плане интересен пример определения вероятности. Исторически первым был статистический подход. Его суть в следующем. Определим понятие достоверного события, то есть такого, которое случится обязательно, и положим значение его вероятности равным единице. Например, если подбросить монетку, то она упадет либо гербом, либо решкой. Имеем два события, каждое из которых случается с определенной частотой. Проведем некоторое количество экспериментов, по возможности побольше и объявим частоту вероятностью. Можно провести масштабирование частот, за масштаб исторически принята единица. Если проведено 10 испытаний, при этом выпало 4 герба и 6 решек, то в единичном масштабе вероятности равны 0.4 и 0.6 соответственно.

Такой подход нагляден, но наглядность в науке и тем более в математике плохой советчик. Действительно, а что если мы проведем еще 10 испытаний, и частоты окажутся другими? Тогда придется вероятностями считать другие числа. Но это плохо, так как тогда вероятность есть величина, не подчиняющаяся никаким строгим законам, и становится неясно, что вообще здесь исследовать.      
Эту неприятность можно попытаться преодолеть статистическим путем, увеличивая количество испытаний в надежде, что чем больше испытаний, тем более закономерно будет себя вести случайная величина, в нашем примере, - монетка. Но более закономерно и точно – это принципиально разные вещи. Довести статический метод до полной убедительности, можно только проведя бесконечно много испытаний, что невозможно.
Выходит так что, как кажется понятие простое, а базовые понятия сложностью никогда и не отличаются, но не получается дать точного определения и следовательно все дальнейшие математические операции  с понятием вероятности становятся логически сомнительными.

Это достаточно обычная история взаимоотношений между содержательной и формальной точкой зрения. Мы попытались определить вероятность содержательно. Кое-что получилось. В принципе, что такое вероятность понятно. А теперь попробуем посмотреть на вероятность со стороны формально-логического подхода. Формальный подход к определению величины требует отказа от содержательного объяснения ее значений и заявления некоторых утверждений в истинности которых мы просто отказываемся сомневаться.

В отношении случайных событий это выглядит так. Есть некоторое количество случайных событий составляющих достоверное и неизвестны никакие причины, дающие одним событиям приоритет над другими. В этом случае, все они считаются равновероятными  и им приписываются одинаковые числа (называемые вероятностями), такие в сумме дающие единицу. Это базовый постулат. Мы отказываемся от его доказательства, что вкупе с некоторыми другими утверждениями, создает возможность развить целую теорию, которую конечно придется проверять на практике, но она будет вполне работающей. Здесь выполнен переход от содержательной точки зрения к формально логической и может показаться, что математики просто ушли от ответа на вопрос, но тем не менее такой мыслительный поворот дал приемлемый ответ позволяющий решать многочисленные прикладные задачи.

Общая теория относительности и определение понятия вероятности очень масштабные примеры, хорошо иллюстрирующие суть метода, но переход в другую терминологию работает на любых масштабах, что кстати мы уже видели на предыдущих примерах. Единственно отметим еще раз, что задача с монахом высветила и существенную проблему, иногда переход логически неочевиден, и необходимо еще показать его корректность.

Пример третий
 
В этом примере, кратко рассмотрим одну общеизвестную проблему теории искусственного интеллекта и классическое ее решение, предложенное Аланом Тьюрингом. Еще раз замечу, что пример общеизвестный, Тьюринг предложил решение очень сложной проблемы изменив ее формулировку, но не обосновав корректность такой замены.
В теории искусственного интеллекта с момента ее возникновения встал вопрос. Допустим, некто заявил, что смог создать устройство, обладающее интеллектом, и даже предъявил это устройство. Вопрос состоит в том, как проверить истинность этого утверждения.
Дело в том, что мы не имеем точного формального определения интеллекта. Речь идет даже не об искусственном, а вообще, что это такое. Наличие определения проблему бы решило, так как тогда была бы достаточна процедура проверки соответствия устройства этому определению. Конечно, такая процедура могла бы быть очень сложной, но сложность не является принципиальным препятствием. Но повторю еще раз, определения нет. Нет ни сейчас, тем более его не было во времена Тьюринга.

Как можно действовать в такой ситуации? Можно изменить формулировку задачи. Например, вместо определения предмета, поставить задачу сравнения его с чем-то существующим. Пусть у нас перед глазами стоит устройство и его изобретатель утверждает, что это автомобиль. Но выглядит он как-то странно. Но мы ведь знаем, что такое настоящий автомобиль и каков его функционал. Если устройство, находящееся на проверке имеет те же возможности, что и известные нам автомобили, в названии которых нет сомнения, то и это устройство тоже автомобиль. Примерно так и рассуждал Тьюринг, предложив заменить задачу определения интеллекта задачей сравнения некоего устройства претендующего на интеллектуальность с человеком, в интеллектуальности которого нет сомнения.

В чем сила идеи. Люди дают большой разброс в интеллекте. Интеллект Эйнштейна и, например, чистильщика обуви несопоставимы по своей силе. Но принципиально они оба интеллектуальны. Это означает, что для сравнения можно взять любого человека, не страдающего тяжелым психическим заболеванием. Хотя даже и такие люди интеллекта не лишены в полной мере.    
Доступность идеала для сравнения это плюс перехода к задаче сравнения от задачи определения. Но есть и существенные минусы, можно даже сказать, более чем существенные. Если вернутся  к примеру с автомобилем, то для человека сравнение не корректное. Нам известно большое количество разных в общем-то устройств, и все их мы называем автомобилем, нам есть с чем сравнивать. Но нам известен только один тип разумного существа. Если бы на сегодня был контакт с инопланетными цивилизациями, и для прямого наблюдения было бы доступно множество типов разума, то операцию сравнения можно было бы назвать корректной, но такой возможности нет.
И это только половина проблемы. Вторая половина заключается также в фундаментальном недостатке идеи сравнения. А собственно что сравнивать? Какая именно функция человеческого разума является определяющей. И в этом утверждении уже есть логическая неувязка. Откуда собственно известно, что такая определяющая особенность вообще существует?    

В любом случае придется взять что-то свойственное человеку и объявить это как  его главную интеллектуальную способность. Тьюринг предложил в качестве такой способности осмысленную речь и его тест выглядит следующим образом. Даем человеку возможность сколь угодно долго общаться с неким собеседником. И если человек после достаточно длинного сеанса общения скажет, что он разговаривал с человеком, то так оно и есть.
Еще раз повторим, Тьюринг, по сути, предложил заменить задачу определения  интеллектуальности системы на задачу определения осмысленности речи системы, с точки зрения человека. С первого взгляда может показаться, что это вполне рабочая замена, но выше думаю, достаточно прозрачно показано, что такая замена на самом деле некорректна и тест Тьюринга не решает проблему проверки интеллектуальности. Некорректность решения Тьюринга видна на современных технологиях нейросетей. Пока что их разумность - слишком сильное допущение, но их способность общаться с человеком уже не подлежит сомнению.

Еще несколько слов о корректности процедуры   

Есть ситуации, в которых мы ожидаемо сталкиваемся с некоторой неточностью измененной задачи. Выше уже было сказано, что взгляд на задачу из другой области знания это широко распространенный метод мышления. Практически любая серьезная физическая задача может быть сформулирована как решение некоего математического уравнения, алгебраического или дифференциального. Переход от физически содержательной задачи к математическому уравнению, конечно, порождает проблему огрубления физического содержания и уравнение лишь в некоторой степени соответствует задаче, кроме того решение уравнения, как правило возможно лишь в рамках определенной погрешности. Но это чисто техническая проблема процедуры перехода от содержательной задачи к формальной математической формулировке.

Ведь собственно, при таком взгляде с другой стороны, из другой области знания, происходит достаточно простая операция. Мы не изменяем условия радикально, а лишь переписываем его в другой терминологии. Таким образом, здесь не идет речь о действительно ином понимании задачи, а только лишь об отображении множества терминов одной области знания во множество терминов другой области. Так содержательный физический процесс превращается в дифференциальное уравнение, а любое количественное отношение между известными и неизвестными величинами в уравнение алгебраическое. Разумеется, здесь необходима определенная аккуратность в суждениях, но все же это вопрос интеллектуальной добросовестности и не более того.

А в задаче о монахе и задаче о критерии разумности Тьюринга такого перехода нет, а есть изменение смысла, при утверждении, что новое условие идентично исходному. Выше уже было отмечено, что таковую идентичность необходимо каким-то образом обосновывать, а в идеале доказывать. Но еще было бы неплохо разобраться в вопросе, а что вообще эта идентичность означает. Ведь если мы не просто переписали задачу в новых терминах, а получили что-то иное, то законен вопрос, что это означает, на каком основании мы используем новые результаты, как будто речь идет об исходной задаче.
Вернемся ненадолго к задаче о монахе, как примеру успешного изменения формулировки.  Что там собственно произошло? Мы не просто изменили терминологию задачи. Было сделано существенно больше. Изменена логика условия, но таким образом, что если измененная задача дает положительный или отрицательный ответ, то это однозначно и уже без дополнительных усилий определяет и ответ исходной задачи. То что это вообще возможно является довольно сильным и совершенно не очевидным допущением, поэтому такой метод более подходит задачам, в которых необходимо установить истинность некоторого утверждения. Да или нет и не более того, как и было в задаче о монахе. Рассмотрим еще один пример такого рода.

Пример четвертый   

Зададимся вопросом, – в каком числовом множестве больше чисел. Во множестве натуральных чисел или во множестве рациональных? Вопрос на первый взгляд кажется простым и даже нелепым. Разумеется, рациональных чисел больше, нежели натуральных, так как множество рациональных содержит все натуральные, но кроме них еще и дробные. Но на самом деле все не так уж просто.
Проблема в том, что оба сравниваемых множества и натуральных и рациональных чисел содержат бесконечно много чисел и вопрос, таким образом, будет следующим – какое множество более бесконечно. Согласимся, что проблема сравнения бесконечностей не выглядит очевидной и простой.

Как мы сравниваем конечные множества. Например, два набора яблок. Чтобы выяснить,  в какой куче яблок больше, мы просто их считаем. Процедура очень проста. Из считаемой кучи выбирается очередное яблоко, до тех пор пока это возможно, и взятому яблоку присваивается очередной номер. Выполняем эту процедуру для каждой кучи и та куча, для которой последнее яблоко получила больший номер, объявляется большей. Если последние номера одинаковы, то и кучи одинаковы.
Что здесь существенно. Есть конкретная процедура, состоящая из конечной последовательности простых действий. И надо заметить, что при всей сложности современной математики наибольшего доверия в плане истинности заслуживают именно такие процедуры, они еще называются финитными. Но иногда математики для решения вопроса истинности строят цепочку логических умозаключений. Тоже неплохой вариант, но в этом случае для добросовестного математика, всегда остается вопрос правильности этой цепочки. Любая логика может заключать в себе скрытую ошибку, а вот финитная процедура позволяющая решить вопрос простыми действиями всегда дает ясный ответ. Можно пытаться доказать наличие яблока в корзине логической аргументацией, а можно просто его оттуда достать. Думаю, всем уже ясно, что мы находимся на этапе уточнения задачи.            

Итак, еще раз. Как мы сравниваем два конечных множества финитной процедурой. Мы каждому элементу присваиваем номер, то есть натуральное число и делаем это по порядку. По исчерпанию множеств смотрим, у какого множества последний элемент имеет больший номер и все на этом.
Как мы предлагали сравнивать множества натуральных и рациональных чисел не финитно.  Предлагалось следующее. Мы полагаем, что из множества рациональных чисел можно извлечь одно число. Это не подлежит сомнению. Будем извлекать из него натуральные числа, которые очевидно в нем есть. Если извлечено некоторое количество натуральных, то очевидно можно извлечь еще одно. Если во множестве натуральных осталось еще одно, такое что оно пока не было не извлечено из множества рациональных, то очевидно до него можно дойти за конечное число шагов описанной процедурой извлечения. И это опять очевидно. И последнее также вроде истинное утверждение – такой процедурой мы никогда не извлечем ни одного дробного числа. Из этого делаем вывод – в множестве рациональных чисел всегда будут оставаться числа, а значит оно больше множества натуральных.

Что здесь не так? Заметим, что во всех приведенных суждениях нет понятия бесконечности, и предполагается, что переход к бесконечной куче яблок дело естественное, но это не так. Выше уже было сказано, что единственная предельно ясная процедура это процедура простого пересчета. Здесь же мы используем логические умозаключения, и какими бы они не казались очевидными, уже сам факт того, чтобы мы рассуждаем там, где надо посчитать, выглядит сомнительным. Можно даже привести контррассуждение.
В случае с конечным числом яблок абсолютно все равно в каком  порядке мы будем считать яблоки. От изменения порядка (например, сначала красные, потом желтые, затем зеленые или наоборот) общее количество яблок не изменится. Но в описанной процедуре  извлечения чисел из множества рациональных жестко определен именно порядок. Поставим акцент на этом обстоятельстве – количество чисел от порядка не должно зависеть, но построенная процедура требует вполне определенного порядка, и это очень сильно смущает.

Все же идеально было бы просто определить способ подсчета количества бесконечных множеств, но здесь уже неясно, само понятие «количество элементов бесконечного множества». Понятно лишь, что оно невозможно в том смысле как мы определяем количество элементов в конечном множестве.
Но выход есть. Теория множеств для этой цели вводит понятие равномощности множеств. Множества называются равномощными (в каком-то смысле равными), если мы можем поставить в соответствие элементу одного множества ровно один элемент другого множества (составить пару). Заметим, что мы ушли от понятия количества, оставив в неприкосновенности идею сравнения. В отношении конечных множеств равномощность сводится к подсчету количества. В случае рациональных чисел вопрос стоит так – можно ли пересчитать все рациональные числа, то есть поставить в соответствие каждому рациональному одно уникальное натуральное, существует ли хотя бы один такой способ. Это и есть наша измененная формулировка исходной задачи.

А теперь займемся поиском решения, которое будет очень простым и для людей не знакомых с теорией множеств неожиданным и даже противоречащим здравому смыслу. Оказывается, посчитать рациональные числа возможно и, следовательно, множества натуральных и рациональных чисел равномощны или говоря обыденным языком рациональных чисел ровно столько же, сколько и натуральных. А процедура подсчета такая. Посчитаем все дроби со знаменателем 1. Такая дробь ровно одна – 1/1. Затем все дроби со знаменателем 2: 1/2, 2/2. и т.д. Получим бесконечный ряд: 1/1, 1/2, 2/2, 1/3, 2/3, 3/3…. ясно, что этот ряд содержит все рациональные числа, и каждый элемент ряда имеет номер, то есть каждому рациональному числу соответствует ровно одно уникальное натуральное, то есть мы сумели посчитать рациональные числа. Согласно определению нам необходим хотя бы один финитный способ счета и мы его нашли.

Конечно, можно возразить, и выше было заявлено, что определение количества элементов не должно зависеть от способа выборки. Но то возражение было заявлено относительно логического вывода, а здесь построена простая счетная процедура или как говорят математики – финитная, доказывать истинность которой нет необходимости. А мы уже договорились, что такого рода процедуры, – единственно достойные полного доверия. А если же у вас после прочтения текста примера остались сомнения, то придется все же ознакомиться, хотя бы с основами теории множеств.

Переход от задачи к классу задач

Изменение формулировки задачи всегда означает возможность привлечения новых средств и инструментов для решения и иногда довольно неожиданных. Вернемся опять ненадолго к задаче о монахе, как наверное наиболее яркому примеру этой главы. В ее решении предпочтение было отдано логическому варианту. Но также была рассмотрена возможность выхода в область математического анализа, где задача сводилась к поиску точки пересечения графиков функций. Ясно, что  в таком виде задача становится более общей и превращается в представителя некоего класса задач на поиск общих точек различных функций. Мы этот подход развивать не стали, но надо заметить, что выход в серьезную область знания, особенно математического, может дать результат намного более широкий, нежели требовалось для решения поставленной частной задачи.

Классический пример такого рода – теория групп. Ее история начиналась с разных проблем. Жозеф Луи Лагранж впервые ввел понятие группы перестановок, исследуя проблему вычисления корней алгебраических уравнений. Эта ветка развития общей алгебры была завершена Эваристом Галуа систематическим изложением теории групп. Леонард Эйлер пришел к похожему понятию группы, изучая уже совершенно другой математический объект – вычеты степеней. Один и тот же метод, используемый для анализа столь разных проблем, претендует на высокую степень универсальности. И сегодня теория групп стала математической дисциплиной, давшей значительное количество точек приложения к конкретным проблемам. Мы, разумеется, не будем рассматривать столь масштабные проблемы, благо, что есть и более простые, но очень интересные задачи.   

Пример пятый

Рассмотрим задачу, допускающую множество вариаций, то есть являющуюся классом задач и попробуем подобрать стандартный метод решения. Известный американский логик Раймонд Мерилл Смаллиан написал интересную книгу «Принцесса или тигр». По сути, это задачник, демонстрирующий богатство средств логического вывода. В книге довольно много интересных задач, но наверное наиболее яркая серия так и называется «Принцесса или тигр». Суть  в следующем. В нескольких комнатах за закрытыми дверями размещаются принцессы и тигры и принцу желающему заполучить выгодную невесту необходимо угадать комнату с принцессой. В помощь принцу дается некоторое количество утверждений могущих быть истинными или ложными.

Утверждения несут в себе достаточную информацию, но техника логических умозаключений непроста и требует изысканного ума, особенно в последних задачах этой серии. Так как это задачи на логику, то конечно же возникает искушение описать условия задачи в терминах математической логики и свести задачу к вычислению истинного утверждения. Это действительно хорошая идея, если придумать, как сводить сложное логическое утверждение к элементарным высказываниям. Если это сделать, то исчисление высказываний дает нам очень мощный инструмент который логики называют  конъюнктивной нормальной формой. 

Это довольно просто. Пусть есть некое сложное утверждение. Исчисление высказываний утверждает, что оно всегда сводится к утверждению вида: A и B и C и,… Где A, B, C,… - простые высказывания. Если это удалось сделать, то сложное выражение может быть истинным только в случае истинности всех элементарных, так как этого требует логическая связка «И». Ну а анализ элементарного выражения всегда более простая задача. Так вырисовывается некая технология, но для начала рассмотрим первый пример из книги и решим его естественными рассуждениями.
В первом испытании, принцу было предъявлено две комнаты на дверях которых висели следующие таблички:

1. В этой комнате находится принцесса, а в другой комнате сидит тигр.

2. В одной из этих комнат находится принцесса; кроме того, в одной из этих комнат сидит тигр

Кроме того, принцу было сообщено, что если на одной табличке истина, то на второй ложь и наоборот. 

Цепочка рассуждений следующая. Если мы примем второе утверждение за ложь, то придется согласиться, что ни в одной из комнат нет ни принцессы, ни тигра, но по условию задачи они есть, следовательно, утверждение на двери второй комнаты может быть только истинным, но тогда утверждение на дверях первой комнаты ложно, из чего следует, что принцессы нет в первой комнате, следовательно она во второй. Этот пример будет ориентиром. Создаваемый метод должен быть сопоставим по уровню сложности с приведенным рассуждением.
Как уже выяснено, требуется представить всю ситуацию в виде конъюнктивной нормальной формы. Сделаем предположение согласно условию. Пусть пока первая табличка – истинна, вторая ложна. Тогда имеем четыре высказывания, которые должны быть одновременно истинны.

1. В первой комнате принцесса
2. Во второй комнате тигр
3. В первой нет принцессы
4. Во второй комнате нет тигра.

Вот собственно и все. Сходу видно, что третье высказывание противоречит первому, а четвертое второму и они не могут быть истинными одновременно, чего требует нормальная конъюнктивная форма. Второе предположение. Первая табличка ложна, вторая истинна. Тогда имеем

1. В первой комнате нет принцессы
2. Во второй комнате нет тигра
3. В первой комнате кто-то есть
4. Во второй комнате кто-то есть

Ни одно из высказываний не противоречит никакому другому, эти высказывания могут быть истинными одновременно. Следовательно, вариант допустим, а других нет. О местоположении утверждает только первое высказывание, и оно говорит, что в первой комнате принцессы нет. Остается единственная возможность для принцессы – вторая комната.
Отметим, что наш способ построения решения на самом деле не сложнее и не проще  приведенного естественного рассуждения, но он более громоздок. Это минус. Но есть и существенный плюс. Появилась общая схема построения, в то время как естественное рассуждение всегда придется искать с чистого листа. То есть полученный способ поиска принцессы вполне можно назвать технологичным. 
Попробуем применить его к более сложной ситуации с принцессами и тиграми. На этот раз принцам опять предлагалось две комнаты с закрытыми дверями, на которых красовались таблички 

Первая комната – в обеих комнатах находятся принцессы.

Вторая комната – в обеих комнатах находятся принцессы.

Между табличками есть различие, содержащееся в дополнительных утверждениях. Относительно первой комнаты известно, что если в комнате находится принцесса, то утверждение на табличке истинно, если же тигр, то утверждение ложно. Относительно второй комнаты известно, что если в комнате находится принцесса, то утверждение ложно, а если тигр, то истинно.
Попробуем, построить нормальную конъюнктивную форму из простых утверждений. Задача очевидно сложнее, но тем технологичный подход и интересен, что он должен давать простое решение, не особенно завися от исходных данных. Итак, первый вариант:

1. В первой комнате находится принцесса
2. Утверждение, что в первой комнате находится принцесса истинно
3. Утверждение что во второй комнате находится принцесса истинно
4. Во второй комнате находится тигр

Поясним ход построения формы (именно построения, а не логического рассуждения). Первое высказывание произвольно, мы можем с равным правом предположить, что принцесса находится во второй комнате, но для первого шага мы выбрали этот вариант. Нахождение принцессы в первой комнате означает истинность второго и третьего утверждения. Для тигра остается только вторая комната, но четвертое утверждение противоречит второму, следовательно, конъюнктивная форма ложна. Следовательно, в первой комнате принцессы нет, она очевидно во второй.
Почему мы не рассматриваем второй вариант? Для корректности рассуждений необходимо было бы попробовать построение формы с высказывания – в первой комнате тигр. Но если этот вариант приведет к таком же выводу, то мы зря потратили время. А если к противоположному, то придется согласиться, что задача не имеет решения. Но по смыслу условия, мы знаем, что решение есть.   

Обратите внимание на важное обстоятельство. При более сложном условии построение нормальной формы прошло с тем же количеством усилий, то есть метод не просто сработал, а и показал приятную эффективность. А задача на поиск принцессы свелась к задаче построения специальной логической формы.

В изложении пятого примера допущены две неточности. Во-первых, по версии Смаллиана король испытывал узников, а не принцев. Но согласитесь, это нетипично для королей, выдавать своих дочерей за осужденных преступников, поэтому в тексте примера говорится о принцах. Второе допущение больше о логике. В примере обязательно наличие принцессы. В оригинальных условиях испытаний это не является очевидным. Учесть такую возможность в предложенном методе вполне возможно, добавив составляющих в нормальную форму, но для демонстрации метода, пример желателен попроще, поэтому и была допущена подобная неточность. Кстати у Смаллиана принцессы всегда присутствовали, то есть предположение о возможном наличии одних тигров и пустых комнат не обязательно.

В заключение 

Подведем итог. Суть метода в том, чтобы взглянуть на задачу под другим углом, используя иную терминологию и соответственно иное понимание задачи. Как именно выбрать новую точку зрения, в какую область знания уйти или какой терминологией заменить имеющуюся, чтобы задача приобрела новое, более ясное звучание, это вопрос совершенно другого плана и вряд ли на него можно найти точный, алгоритмически ясный ответ.
Но очевидно, что успех в поиске нового взгляда на задачу возможен только для исследователя с широким кругозором и большим багажом различного знания. Конечно же, потребуется определенная смелость мышления, позволяющая допустить решение там, где оно с первого взгляда не видно.  Но все так сложно, только для радикальных изменений условия задачи. В какой-то степени в любой сколько-нибудь интересной задаче приходится как-то изменять условие, хотя бы подгоняя ее к собственной психологии восприятия, что в принципе нормально для любого метода общего плана. Особенность именно переформулировки задачи состоит в требовании убедиться, что новая задача идентична исходной, в том смысле, что решение новой задачи приводит к решению исходной, причем простым и коротким умозаключением, как в задаче о монахе, но уверенно утверждать идентичность это особенная проблема, о которой необходимо позаботится специально.