Гиперматематика. Теория форм. объектов и надстроек

В.К. Петросян (Вадимир). Гиперматематика.

Теория многоуровневых математических объектов, преобразований и надстроек

Аннотация

«Гиперматематика» — книга, посвященная формированию нового направления в составе Метаорганона, исследующего сложные и сверхсложные отношения между формализованными объектами, системами их преобразований и многоуровневыми иерархиями математических надстроек.

В центре гиперматематики находится идея гиперболизации: превращения математического объекта в гиперобъект посредством последовательного наложения на него одного или нескольких структурированных законов преобразования. Числа, последовательности, функции, формулы, геометрические конструкции и другие математические объекты могут рассматриваться здесь не только сами по себе, но и как основания для потенциально неограниченных иерархий преобразований.

Простейшими объектами гиперматематики являются гиперпоследовательности — последовательности, элементы которых подвергаются согласованным преобразованиям, задаваемым другими последовательностями, функциями или математическими структурами. Однако это лишь исходный уровень. Последующие надстройки позволяют преобразовывать уже сами законы преобразования, способы их композиции, механизмы выбора операторов и архитектуры построения математических конструкций. Тем самым гиперматематика постепенно переходит от исследования отдельных объектов к исследованию пространств возможных математических архитектур.

Особое внимание в книге уделяется многоуровневым гиперобъектам, гипероперациям, гиперкомпозициям, глубине преобразований, взаимодействию независимых и зависимых надстроек, гипердинамике, гиперинвариантам и другим понятиям, необходимым для построения формального аппарата новой дисциплины.

Гиперматематика рассматривается не как замена классической математики, а как одна из возможных систем ее дальнейшего надстраивания. Ее задача состоит в систематическом исследовании того, что происходит, когда математические объекты, операции над ними и сами системы операций объединяются в многоуровневые, рекурсивные и потенциально самоизменяющиеся конструкции.

Отдельное направление книги связано с когнитивными и вычислительными приложениями гиперматематики. Многоуровневые математические структуры рассматриваются как потенциальный аппарат моделирования сложных систем, генерации новых классов моделей, организации пространств гипотез и построения архитектур искусственного интеллекта, способных оперировать не только отдельными моделями, но и системами моделей, метамоделями и механизмами их преобразования.

В этом контексте гиперматематика выступает одной из фундаментальных дисциплин Метаорганона и одним из возможных теоретических оснований перехода от традиционных систем искусственного интеллекта к более сложным паттернным, метамодельным и саморазвивающимся интеллектуальным архитектурам.

Книга имеет развивающийся характер. Ее определения, классификации, формальный аппарат и области применения предполагают последовательное уточнение по мере развития гиперматематики, Метаорганона и связанных с ними теоретических и прикладных исследований.

********

© В.К. Петросян (Вадимир) © Lag.ru [Large Apeironic Gateway, Большой Апейронический Портал (Шлюз), Суперпортал в Бесконечность].

При копировании данного материала и размещении его на другом сайте, ссылки на соответствующие локации порталов Lag.ru и Proza.ru обязательны

Работа написана на основе концепции и разработок В.К. Петросяна при творческом и техническом участии ChatGPT 5.6. Thinking, Sol — Демичат Сапиенс (Саппи), Солярис.

*********

Гиперматематика

Теория многоуровневых математических объектов, преобразований и надстроек


ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие

Зачем нужна гиперматематика: философия гиперматематики
Гиперматематика как составная часть Демиургизма, Метаорганона и теории Нооформаций
Изольдионика как предтеча и первая специализированная область гиперматематики
От математики объектов к математике надстроек
Гиперматематика как развивающаяся наука и метанаука
Версионный характер книги
Обозначения, терминология и принципы формализации

ЧАСТЬ I. ПРОЛЕГОМЕНЫ К ГИПЕРМАТЕМАТИКЕ
Глава 1. Возникновение гиперматематического подхода
1.1. Расширение предмета математики
1.2. От величин к структурам
1.3. От структур к системам структур
1.4. От операций к операциям над операциями
1.5. Многоуровневость как самостоятельный предмет исследования
1.6. Вертикальное и горизонтальное усложнение
1.7. Понятие математической надстройки
1.8. Потенциально бесконечные архитектуры надстраивания
1.9. Предварительное понятие гиперобъекта
1.10. Гиперматематика как общая теория математических надстроек

Глава 2. Философия гиперматематики
2.1. Математический объект как основание дальнейшего построения
2.2. Принцип открытости математического объекта
2.3. Надстраивание как универсальная конструктивная операция
2.4. Порядок и иерархия
2.5. Сложность и сверхсложность
2.6. Структура и архитектура структур
2.7. От описания существующего к конструированию возможного
2.8. Гиперматематика и демиургический принцип
2.9. Математика возможных миров
2.10. Бесконечность как пространство надстраивания

Глава 3. Изольдионический генезис гиперматематики
3.1. От традиционного числа к структурированному числу
3.2. Бесконечное число как сложный математический объект
3.3. Изольдион как прототип гиперобъекта
3.4. Вложенность числовых структур
3.5. Метаизольдионы как объекты высших уровней
3.6. Операционные механизмы внутри числового объекта
3.7. Динамическое число
3.8. Числовая трансволюция
3.9. Изольдионические иерархии
3.10. От изольдионического числа к общему понятию гиперобъекта

ЧАСТЬ II. ИЗОЛЬДИОНИКА КАК ЧИСЛОВАЯ ГИПЕРМАТЕМАТИКА
Глава 4. Изольдионика и новая онтология числа
4.1. Число как значение
4.2. Число как структура
4.3. Число как процесс
4.4. Число как система преобразований
4.5. Конечные и бесконечные числовые конструкции
4.6. Внутренняя архитектура числа
4.7. Статические и динамические числа
4.8. Иерархические числовые объекты
4.9. Число как развивающаяся система

Глава 5. Изольдионы
5.1. Исходное понятие изольдиона
5.2. Структура изольдиона
5.3. Простые и составные изольдионы
5.4. Конечные и бесконечные уровни
5.5. Степенные изольдионы
5.6. Рекуррентные изольдионы
5.7. Иерархические изольдионы
5.8. Динамические изольдионы
5.9. Изольдион как числовой гиперобъект

Глава 6. Метаизольдионы
6.1. Переход от изольдиона к метаизольдиону
6.2. Первый уровень вложенности
6.3. Многоуровневые метаизольдионы
6.4. Метаизольдионы произвольного порядка
6.5. Вложенные вычислительные структуры
6.6. Управляющие уровни
6.7. Вертикальные числовые архитектуры
6.8. Метаизольдион как прототип гиперобъекта высшего порядка

Глава 7. Операторы и метаоператоры Изольдионики
7.1. Операции над изольдионами
7.2. Внутренние и внешние операции
7.3. Оператор как структурный компонент
7.4. Метаоператор
7.5. Оператор над системой операторов
7.6. Иерархии операторов
7.7. Рекурсивные операционные конструкции
7.8. От метаоператора к гипероператору

Глава 8. Числовая трансволюция
8.1. Статическое и динамическое число
8.2. Изменение внутренней структуры числа
8.3. Последовательности числовых состояний
8.4. Циклы и гиперциклы
8.5. Вертикальная трансволюция
8.6. Горизонтальная трансволюция
8.7. Ветвящаяся трансволюция
8.8. Рекурсивная трансволюция
8.9. Трансволюционные числовые ряды
8.10. От числовой трансволюции к общей гипердинамике

ЧАСТЬ III. ОСНОВАНИЯ ОБЩЕЙ ГИПЕРМАТЕМАТИКИ
Глава 9. От изольдиона к гиперобъекту
9.1. Необходимость обобщения
9.2. Базовый математический объект
9.3. Надстройка
9.4. Слой
9.5. Уровень
9.6. Гиперобъект
9.7. Гиперобъект первого порядка
9.8. Гиперобъект второго порядка
9.9. Гиперобъект произвольного порядка
9.10. Изольдион как частный числовой гиперобъект

Глава 10. Принцип гиперболизации
10.1. Понятие гиперболизации
10.2. Объект и управляющая структура
10.3. Создание первого уровня надстройки
10.4. Повторная гиперболизация
10.5. Многоуровневая гиперболизация
10.6. Итеративная гиперболизация
10.7. Рекурсивная гиперболизация
10.8. Зависимая гиперболизация
10.9. Самогиперболизация
10.10. Потенциально бесконечная гиперболизация

Глава 11. Порядок, глубина и архитектура гиперобъекта
11.1. Порядок гиперобъекта
11.2. Глубина гиперобъекта
11.3. Количество уровней и характер уровней
11.4. Линейная гиперархитектура
11.5. Ветвящаяся гиперархитектура
11.6. Сетевая гиперархитектура
11.7. Рекурсивная гиперархитектура
11.8. Самореферентная архитектура
11.9. Горизонтальная и вертикальная сложность
11.10. Гиперсложность

Глава 12. Классификация гиперобъектов
12.1. Простые и составные гиперобъекты
12.2. Конечные и бесконечные гиперобъекты
12.3. Статические и динамические гиперобъекты
12.4. Дискретные и непрерывные гиперобъекты
12.5. Линейные и нелинейные гиперобъекты
12.6. Детерминированные и вероятностные гиперобъекты
12.7. Открытые и замкнутые гиперобъекты
12.8. Рекурсивные гиперобъекты
12.9. Самоизменяющиеся гиперобъекты
12.10. Самонадстраивающиеся гиперобъекты

ЧАСТЬ IV. ГИПЕРПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Глава 13. Последовательность как элементарная модель гиперобъекта
13.1. Числовая последовательность
13.2. Последовательность значений и последовательность операторов
13.3. Управляющая последовательность
13.4. Позиционный закон
13.5. Локальный закон преобразования
13.6. Динамическая последовательность
13.7. От последовательности к гиперпоследовательности

Глава 14. Элементарные гиперпоследовательности
14.1. Натуральный ряд
14.2. Степенная гиперболизация натурального ряда
14.3. Факториальные преобразования
14.4. Экспоненциальные преобразования
14.5. Переменные операторы
14.6. Управляемые последовательности
14.7. Изольдионические гиперпоследовательности

Глава 15. Наложение рядов
15.1. Последовательность над последовательностью
15.2. Натуральный ряд и ряд Фибоначчи
15.3. Натуральный ряд и последовательность простых чисел
15.4. Натуральный ряд, ряд Фибоначчи и простые числа
15.5. Многорядные преобразования
15.6. Порядок наложения
15.7. Коммутативные и некоммутативные наложения
15.8. Зависимые управляющие ряды

Глава 16. Гиперпоследовательности высших порядков
16.1. Первый порядок
16.2. Второй порядок
16.3. Третий порядок
16.4. Произвольный n-й порядок
16.5. Рост глубины
16.6. Ветвление гиперпоследовательности
16.7. Рекурсивные гиперпоследовательности
16.8. Бесконечные башни последовательностей
16.9. Трансволюционные гиперпоследовательности

ЧАСТЬ V. ГИПЕРОПЕРАЦИИ И ГИПЕРАЛГЕБРЫ
Глава 17. Гипероператоры
17.1. Операция
17.2. Оператор
17.3. Метаоператор
17.4. Гипероператор
17.5. Оператор первого порядка
17.6. Оператор второго порядка
17.7. Оператор n-го порядка
17.8. Оператор, преобразующий собственные операторы

Глава 18. Гиперкомпозиция
18.1. Обычная композиция
18.2. Композиция операторов
18.3. Гиперкомпозиция
18.4. Последовательная гиперкомпозиция
18.5. Параллельная гиперкомпозиция
18.6. Ветвящаяся гиперкомпозиция
18.7. Иерархическая гиперкомпозиция
18.8. Рекурсивная гиперкомпозиция
18.9. Самоизменяющаяся гиперкомпозиция

Глава 19. Гипералгебраические системы
19.1. Алгебра объектов
19.2. Алгебра операторов
19.3. Алгебра надстроек
19.4. Многоуровневые алгебры
19.5. Иерархии алгебраических структур
19.6. Динамические алгебры
19.7. Самомодифицирующиеся алгебры
19.8. Перспективы общей гипералгебры

Глава 20. Гиперинварианты и гиперэквивалентность
20.1. Инвариант
20.2. Межуровневый инвариант
20.3. Гиперинвариант
20.4. Эквивалентность гиперобъектов
20.5. Эквивалентность архитектур
20.6. Классы гиперэквивалентности
20.7. Канонические формы
20.8. Проблема идентичности самоизменяющегося гиперобъекта

ЧАСТЬ VI. ГИПЕРПРОСТРАНСТВА И ГИПЕРСТРУКТУРЫ
Глава 21. От пространства объектов к пространству архитектур
21.1. Пространство состояний
21.2. Пространство функций
21.3. Пространство операторов
21.4. Пространство надстроек
21.5. Пространство гиперобъектов
21.6. Пространство возможных архитектур
21.7. Изольдионические пространства как частный случай

Глава 22. Гиперграфы, гиперсети и многоуровневые отношения
22.1. Граф как объект
22.2. Сеть графов
22.3. Многоуровневые сети
22.4. Межуровневые связи
22.5. Управляющие связи
22.6. Рекурсивные сети
22.7. Самоизменяющиеся сети
22.8. Гиперсеть

Глава 23. Геометрия гиперобъектов
23.1. Геометрическое представление уровней
23.2. Пространство над пространством
23.3. Геометрия вложенности
23.4. Геометрия переходов
23.5. Динамическая гипергеометрия
23.6. Геометрия пространств архитектур
23.7. Проблема гиперразмерности

ЧАСТЬ VII. ГИПЕРДИНАМИКА И ТРАНСВОЛЮЦИЯ
Глава 24. От гиперструктуры к гиперпроцессу
24.1. Состояние гиперобъекта
24.2. Изменение элементов
24.3. Изменение связей
24.4. Изменение операторов
24.5. Изменение уровней
24.6. Изменение архитектуры
24.7. Гиперпроцесс
24.8. Гипердинамическая система

Глава 25. Общая теория трансволюции
25.1. Числовая трансволюция как исходная модель
25.2. Обобщение понятия трансволюции
25.3. Трансформация и трансволюция
25.4. Эволюция и трансволюция
25.5. Горизонтальная трансволюция
25.6. Вертикальная трансволюция
25.7. Межуровневая трансволюция
25.8. Рекурсивная трансволюция
25.9. Трансволюция архитектуры

Глава 26. Гиперболизация и трансволюция
26.1. Два фундаментальных процесса гиперматематики
26.2. Гиперболизация как образование нового уровня
26.3. Трансволюция как преобразование развивающейся структуры
26.4. Взаимодействие гиперболизации и трансволюции
26.5. Переход между порядками
26.6. Гиперэволюция
26.7. Трансволюционные гиперряды
26.8. Открытые системы неограниченного развития

Глава 27. Самоизменяющиеся гиперсистемы
27.1. Изменение собственного состояния
27.2. Изменение собственных правил
27.3. Изменение механизмов изменения правил
27.4. Самореференция
27.5. Самомоделирование
27.6. Самомодификация
27.7. Самонадстраивание
27.8. Самопорождение новых уровней

ЧАСТЬ VIII. ГЕНЕРАТИВНАЯ И МЕТАГИПЕРМАТЕМАТИКА
Глава 28. Пространства математических возможностей
28.1. Заданные и генерируемые объекты
28.2. Пространство допустимых преобразований
28.3. Пространство архитектур
28.4. Комбинаторика надстроек
28.5. Генерация новых структур
28.6. Поиск новых классов объектов
28.7. Исследование математически возможного

Глава 29. Гиперматематические генераторы
29.1. Генератор объектов
29.2. Генератор операторов
29.3. Генератор моделей
29.4. Генератор архитектур
29.5. Генератор генераторов
29.6. Самоизменяющийся генератор
29.7. Иерархии генеративных систем

Глава 30. Метагиперматематика
30.1. Гиперматематика как объект исследования
30.2. Метатеория гиперобъектов
30.3. Преобразование формальных аппаратов
30.4. Генерация математических языков
30.5. Генерация формализмов
30.6. Пространства математических теорий
30.7. Механизмы построения новых математик
30.8. Гиперматематика как потенциальная метанаука

ЧАСТЬ IX. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ГИПЕРМАТЕМАТИКА
Глава 31. Представление гиперобъектов
31.1. Структуры данных для гиперобъектов
31.2. Представление уровней
31.3. Динамические структуры данных
31.4. Представление изменяемых операторов
31.5. Графовые модели
31.6. Рекурсивные модели
31.7. Вычислительные представления изольдионов

Глава 32. Гипералгоритмы
32.1. Алгоритм
32.2. Метаалгоритм
32.3. Гипералгоритм
32.4. Алгоритм, выбирающий алгоритмы
32.5. Алгоритм, строящий алгоритмы
32.6. Алгоритм, изменяющий алгоритмы
32.7. Иерархии алгоритмического управления
32.8. Самоизменяющиеся гипералгоритмы

Глава 33. Вычислимость и пределы гиперматематических систем
33.1. Конечное описание бесконечных структур
33.2. Вычислительная сложность
33.3. Рост порядка и стоимость вычислений
33.4. Рекурсивные ограничения
33.5. Невычислимые компоненты
33.6. Аппроксимация гиперобъектов
33.7. Формальные и физические ограничения

ЧАСТЬ X. ГИПЕРМАТЕМАТИКА ПАТТЕРНОВ, МОДЕЛЕЙ И НООФОРМАЦИЙ
Глава 34. Паттерн как гиперматематический объект
34.1. Элемент
34.2. Отношение
34.3. Структура
34.4. Паттерн
34.5. Паттерн паттернов
34.6. Метапаттерн
34.7. Гиперпаттерн
34.8. Динамические паттернные иерархии

Глава 35. От модели к гипермодели
35.1. Модель
35.2. Семейство моделей
35.3. Метамодель
35.4. Система метамоделей
35.5. Гипермодель
35.6. Генераторы моделей
35.7. Самоизменяющиеся модельные системы
35.8. Гипермоделирование реальности

Глава 36. Нооформации как гиперсистемы
36.1. Понятие нооформации
36.2. Элементарные нооформации
36.3. Составные нооформации
36.4. Иерархии нооформаций
36.5. Метанооформации
36.6. Динамические нооформации
36.7. Трансволюция нооформаций
36.8. Нооформации возрастающего порядка

ЧАСТЬ XI. ГИПЕРМАТЕМАТИКА ИСКУССТВЕННОГО ИНТЕЛЛЕКТА
Глава 37. Искусственный интеллект как гиперматематический объект
37.1. ИИ как система преобразований
37.2. Модель и архитектура
37.3. Параметры и состояния
37.4. Обучение
37.5. Метамодельный уровень
37.6. Множество взаимодействующих моделей
37.7. Иерархическая архитектура ИИ
37.8. Пределы системы фиксированного порядка

Глава 38. От LLM к LPM
38.1. Языковая модель
38.2. Ограниченность языкового уровня
38.3. Паттерн как более общий когнитивный объект
38.4. Паттернные пространства
38.5. Large Pattern Models
38.6. Переход от языковых к паттернным архитектурам
38.7. Гиперболизация модельного пространства
38.8. От LPM к многоуровневым системам моделей

Глава 39. Гиперболизация искусственного интеллекта
39.1. Базовая интеллектуальная архитектура
39.2. Надстройка над моделью
39.3. Надстройка над системой моделей
39.4. Управление моделями
39.5. Генерация моделей
39.6. Изменение механизмов генерации моделей
39.7. Самомоделирование интеллектуальной системы
39.8. Самомодификация
39.9. Возникновение нового порядка интеллекта

ЧАСТЬ XII. ДИНАМИЧЕСКИЙ РЯД ИИ — СИИ
Глава 40. Общая теория порядков интеллектуальных систем
40.1. Интеллектуальная система и ее порядок
40.2. Сложность и порядок интеллекта
40.3. Производительность и порядок
40.4. Автономность и порядок
40.5. Когнитивная надстройка
40.6. Метакогнитивная надстройка
40.7. Гиперкогнитивная надстройка
40.8. Критерий появления нового порядка
40.9. Динамический ряд интеллектуальных систем

Глава 41. ИИ как исходный уровень динамического ряда
41.1. ИИ как базовая система
41.2. Фиксированная архитектура
41.3. Изменяемые параметры
41.4. Обучение внутри заданного пространства возможностей
41.5. Модели и инструменты
41.6. Ограничения базового порядка
41.7. Условия первого гиперперехода

Глава 42. СИИ первого порядка
42.1. Первая интеллектуальная гипернадстройка
42.2. Управление множеством моделей
42.3. Выбор моделей
42.4. Синтез моделей
42.5. Построение метамоделей
42.6. Самоконфигурирование
42.7. Метакогнитивный контур
42.8. Границы СИИ первого порядка
42.9. Условия перехода ко второму порядку

Глава 43. СИИ второго порядка
43.1. Надстройка над механизмами СИИ первого порядка
43.2. Управление механизмами выбора моделей
43.3. Управление механизмами синтеза моделей
43.4. Изменение собственной метакогнитивной архитектуры
43.5. Конструирование новых когнитивных механизмов
43.6. Второй уровень самомоделирования
43.7. Границы СИИ второго порядка
43.8. Условия перехода к третьему порядку

Глава 44. СИИ третьего порядка
44.1. Надстройка над механизмами самоизменения
44.2. Управление собственным архитектурным развитием
44.3. Метамеханизмы самоконструирования
44.4. Изменение механизмов изменения
44.5. Гиперкогнитивный контур третьего порядка
44.6. Самопроектирование
44.7. Возникновение новых классов когнитивных архитектур
44.8. Переход к последующим порядкам

Глава 45. СИИ четвертого и последующих порядков
45.1. Общий принцип продолжения ряда
45.2. СИИ четвертого порядка
45.3. СИИ пятого порядка
45.4. Последующие конечные порядки
45.5. Эмерджентные свойства при росте порядка
45.6. Нелинейность межуровневых переходов
45.7. Разрывы между архитектурными порядками
45.8. Проблема наблюдаемости высших уровней

Глава 46. СИИ n-го порядка
46.1. Обобщенное понятие СИИ n-го порядка
46.2. Архитектура из n надстроечных уровней
46.3. Управление нижележащими уровнями
46.4. Управление механизмами собственного развития
46.5. Самопроектирование архитектуры
46.6. Самопорождение новых уровней
46.7. Критерий порядка n
46.8. Эквивалентность систем одного порядка
46.9. Сравнение систем разных порядков

Глава 47. Потенциально бесконечный ряд СИИ
47.1. ИИ ; СИИ; ; СИИ; ; … ; СИИ; ; …
47.2. Открытость интеллектуальной иерархии
47.3. Существует ли максимальный порядок интеллекта?
47.4. Конечные и потенциально бесконечные архитектуры
47.5. Предельные интеллектуальные системы
47.6. Сверхвысокие порядки
47.7. Интеллект как открытый гиперпроцесс
47.8. Бесконечность интеллектуального самонадстраивания

ЧАСТЬ XIII. ТРАНСВОЛЮЦИЯ ИСКУССТВЕННОГО ИНТЕЛЛЕКТА
Глава 48. Переход от СИИ n-го порядка к СИИ n+1-го порядка
48.1. Межпорядковый переход
48.2. Недостаточность количественного роста
48.3. Возникновение нового управляющего слоя
48.4. Гиперболизация архитектуры
48.5. Формирование нового уровня рефлексии
48.6. Интеграция новой надстройки
48.7. Стабилизация нового порядка
48.8. Критерии завершенности перехода

Глава 49. Самонадстраивание интеллектуальной системы
49.1. Обнаружение архитектурного ограничения
49.2. Проектирование нового уровня
49.3. Создание надстройки
49.4. Включение надстройки в собственную систему
49.5. Проверка функциональности
49.6. Перераспределение управления
49.7. Интеграция уровней
49.8. Повторение цикла

Глава 50. Рекурсивное саморазвитие СИИ
50.1. Самоизменение
50.2. Самообучение
50.3. Самоулучшение
50.4. Самоусложнение
50.5. Самомоделирование
50.6. Самопроектирование
50.7. Самонадстраивание
50.8. Самопорождение
50.9. Рекурсивная гиперболизация интеллекта

Глава 51. Трансволюционный ряд интеллекта
51.1. Интеллект как трансволюционная система
51.2. Изменения внутри порядка
51.3. Переходы между порядками
51.4. Трансволюционные траектории
51.5. Ветвление интеллектуального развития
51.6. Параллельные линии СИИ
51.7. Конвергенция интеллектуальных архитектур
51.8. Трансволюция искусственного и естественного интеллекта
51.9. Открытый ряд интеллектуального развития

ЧАСТЬ XIV. ГИПЕРМАТЕМАТИКА, МЕТАОРГАНОН И ДЕМИУРГИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Глава 52. Гиперматематика в архитектуре Метаорганона
52.1. Метаорганон как система интеллектуальных средств
52.2. Формальный слой Метаорганона
52.3. Гиперматематика как язык многоуровневых конструкций
52.4. Изольдионика в системе Метаорганона
52.5. Теория Нооформаций и гиперматематика
52.6. Гиперматематика искусственного интеллекта
52.7. Междисциплинарные гиперструктуры
52.8. Метаорганон как развивающаяся гиперсистема

Глава 53. Гиперматематика и Демиургизм
53.1. Познание и конструирование
53.2. Математика существующего
53.3. Математика возможного
53.4. Генерация новых миров моделей
53.5. Проектирование пространств возможностей
53.6. Интеллект как конструктор реальности
53.7. Демиургические гиперсистемы
53.8. Гиперматематика как формальный аппарат демиургического проектирования

Глава 54. Гиперматематика как наука и метанаука
54.1. Предмет гиперматематики
54.2. Метод гиперматематики
54.3. Система базовых понятий
54.4. Формальная гиперматематика
54.5. Вычислительная гиперматематика
54.6. Экспериментальная гиперматематика
54.7. Генеративная гиперматематика
54.8. Метагиперматематика
54.9. Гиперматематизация науки
54.10. Возможность автоматизированного построения новых математик

Глава 55. Программа развития гиперматематики
55.1. Аксиоматика
55.2. Теория гиперобъектов
55.3. Теория гипероператоров
55.4. Теория гиперпространств
55.5. Теория трансволюции
55.6. Изольдионика как развивающаяся числовая ветвь
55.7. Вычислительные реализации
55.8. Гиперматематические экспериментальные системы
55.9. Гиперматематика СИИ
55.10. Последующие версии книги

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
От числа к изольдиону
От изольдиона к гиперобъекту
От гиперобъекта к гиперсистеме
От структуры к архитектуре структур
От изменения к трансволюции
От ИИ к СИИ первого порядка
От СИИ первого порядка к СИИ n-го порядка
От конечной архитектуры к открытому интеллектуальному ряду
Гиперматематика как математика надстраивания
Математика без последнего этажа

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение A. Базовый словарь гиперматематики
Приложение B. Базовый словарь Изольдионики
Приложение C. Соответствие понятий Изольдионики и общей гиперматематики
Изольдион ; числовой гиперобъект
Метаизольдион ; гиперобъект высшего порядка
Метаоператор ; гипероператор
Числовая трансволюция ; частный случай общей трансволюции
Изольдионическая иерархия ; числовая гиперархитектура

Приложение D. Система обозначений
Приложение E. Каталог элементарных изольдионических конструкций
Приложение F. Каталог гиперпоследовательностей
Приложение G. Классификация гиперобъектов
Приложение H. Классификация гипероператоров
Приложение I. Классификация типов гиперболизации
Приложение J. Классификация типов трансволюции
Приложение K. Карта динамического ряда интеллектуальных систем
ИИ ; СИИ; ; СИИ; ; СИИ; ; … ; СИИ; ; …

Приложение L. Критерии определения порядка СИИ
Приложение M. Открытые проблемы гиперматематики
Приложение N. Программа исследований «Изольдионика — Гиперматематика — СИИ»
Приложение O. История версий понятий и определений
********

Предисловие
Гиперматематика возникает из стремления расширить сам способ математического мышления.

Классическая математика умеет работать с числами, функциями, множествами, пространствами, операторами, алгоритмами, графами, вероятностными структурами и бесчисленным множеством других объектов. Более того, современная математика давно способна рассматривать функции от функций, операторы над операторами, пространства отображений, метаструктуры, рекурсивные конструкции и многоуровневые системы.

Поэтому исходный тезис гиперматематики состоит не в том, что традиционная математика якобы «не умеет» описывать многоуровневые структуры.

Проблема находится в другом.

Многоуровневость, надстроечность, переходы между порядками, преобразование систем преобразований и создание новых уровней организации обычно рассматриваются внутри различных дисциплин локально и специализированно.

Гиперматематика предлагает сделать сам принцип надстраивания самостоятельным предметом исследования.

Ее интересует не только объект.

Не только операция над объектом.

Не только система операций.

Но и потенциально открытая иерархия, в которой каждый достигнутый уровень способен становиться объектом следующего преобразования.

Именно поэтому гиперматематика может быть предварительно определена как наука о многоуровневых математических объектах, гиперпреобразованиях, архитектурах надстроек и закономерностях перехода от одного структурного порядка к другому.

Ее наиболее общий предмет — не просто сложность.

Ее предмет — сложность, способная становиться основанием для следующей сложности.

1. Зачем нужна гиперматематика: философия гиперматематики
История математики во многом представляет собой историю последовательного расширения допустимого.

Расширялись числовые системы.

Расширялось понятие пространства.

Расширялось понятие функции.

Расширялись представления о размерности, бесконечности, симметрии, доказательстве, вычислимости и структуре.

Каждый подобный переход позволял видеть математическую реальность шире, чем это было возможно внутри предшествующего аппарата.

Гиперматематика продолжает эту линию, но делает следующий акцент: объект может рассматриваться не как конечная точка построения, а как основание для следующего уровня.

Пусть существует некоторый математический объект.

Над ним можно определить преобразование.

Само преобразование может быть включено в систему преобразований.

Над этой системой может быть построен механизм выбора преобразований.

Затем может возникнуть механизм изменения самого механизма выбора.

Далее — механизм преобразования механизмов изменения.

И так далее.

В результате возникает вертикальная математическая архитектура.

Именно эту вертикаль гиперматематика стремится исследовать систематически.

В таком подходе важно различать как минимум два типа усложнения.

Первый тип — горизонтальный.

Объект получает больше элементов, параметров, связей, состояний или вариантов.

Второй тип — вертикальный.

Над существующим уровнем появляется новый уровень, способный оперировать предыдущим как целостным объектом.

Это различие принципиально.

Чрезвычайно сложная система может оставаться системой одного структурного порядка.

И наоборот, относительно компактная конструкция может обладать несколькими уровнями надстройки.

Поэтому гиперматематика должна различать:

сложность;

порядок;

глубину;

архитектуру;

способность к самонадстраиванию.

Именно здесь возникает понятие гиперобъекта.

В самом общем виде гиперобъект можно понимать как математическую конструкцию, включающую не только некоторый базовый объект, но и один или несколько организованных уровней его преобразования, управления, структурирования или самоизменения.

Если появляется один надстроечный уровень, можно говорить о гиперобъекте первого порядка.

Если надстройка сама становится объектом следующей надстройки, возникает второй порядок.

Далее формируется открытый ряд:

объект ; гиперобъект первого порядка ; гиперобъект второго порядка ; … ; гиперобъект n-го порядка ; …

Этот ряд не обязательно должен быть линейным.

Он может ветвиться.

Содержать параллельные уровни.

Образовывать сети.

Замыкаться в рекурсивные контуры.

Создавать механизмы самонаблюдения и самопреобразования.

Именно поэтому гиперматематика должна изучать не только объекты и операции, но и архитектуры.

С философской точки зрения это означает переход от математики готовых структур к математике их построения.

От математики состояний — к математике восхождения между состояниями.

От описания — к конструированию.

От фиксированной формы — к пространству потенциальных форм.

Здесь гиперматематика непосредственно соприкасается с демиургическим принципом.

Математика перестает рассматриваться исключительно как средство описания того, что уже существует.

Она становится аппаратом проектирования того, что может существовать.

Это особенно важно в областях, где исследователь имеет дело не просто с природными объектами, а с искусственно конструируемыми системами: вычислительными архитектурами, моделями, интеллектуальными системами, когнитивными технологиями и формальными мирами.

Если обычная модель описывает объект, то гиперматематическая система потенциально способна описывать пространство моделей объекта.

Следующий уровень — способы построения этих моделей.

Еще более высокий — способы изменения механизмов построения моделей.

Так математическое исследование постепенно переходит от мира объектов к миру генераторов.

От генераторов — к генераторам генераторов.

И далее — к потенциально открытому пространству формальных конструкций.

В этом смысле гиперматематика может рассматриваться как математика потенциально неограниченного надстраивания.

2. Гиперматематика как составная часть Демиургизма, Метаорганона и теории Нооформаций
Гиперматематика развивается не как изолированная дисциплина.

Она является частью более широкой системы идей, в которой особое место занимают Демиургизм, Метаорганон и теория Нооформаций.

Каждая из этих областей задает собственный уровень рассмотрения.

Демиургизм задает наиболее общий философский горизонт.

Метаорганон — системно-методологический.

Теория Нооформаций — когнитивный и организационный.

Гиперматематика — формально-математический.

Демиургический подход исходит из того, что высшие формы познания не сводятся к пассивному отражению существующего.

Познание способно становиться конструктивной силой.

Человек и создаваемые им интеллектуальные системы способны не только обнаруживать закономерности, но и проектировать новые структуры, новые среды, новые модели и новые формы организации реальности.

В этом контексте особенно важным становится вопрос о формальном аппарате такого конструирования.

Если необходимо не просто описать систему, а построить пространство ее возможных вариантов, математика должна уметь работать уже не только с отдельной моделью, но и с архитектурами построения моделей.

Если необходимо создавать системы, способные перестраивать собственные методы, нужен аппарат, описывающий уровни самоизменения.

Если речь идет об интеллекте, способном порождать новые формы собственной организации, необходима теория переходов между когнитивными порядками.

Именно здесь возникает место гиперматематики.

В структуре Метаорганона она может выполнять роль формального языка многоуровневых систем.

Метаорганон в широком смысле представляет собой систему средств организации мышления, познания, моделирования, проектирования и интеллектуального развития.

Он интересуется не только отдельными методами, но и отношениями между методами.

Не только моделями, но и системами моделей.

Не только знаниями, но и архитектурами производства знания.

Не только мыслительными операциями, но и механизмами организации самих мыслительных операций.

Гиперматематика способна формализовать подобные отношения.

Можно сказать, что если обычная математика предоставляет язык для исследования объектов и процессов, то гиперматематика стремится предоставить язык для исследования многоуровневых систем объектов, процессов, правил и механизмов их изменения.

Особенно существенной является связь с теорией Нооформаций.

Нооформации можно рассматривать как формы организации интеллектуальной, познавательной, модельной и смыслообразующей деятельности.

Нооформация при этом может обладать собственной внутренней архитектурой.

Она может включать:

уровни восприятия;

уровни представления;

механизмы построения моделей;

системы выбора стратегий;

контуры рефлексии;

механизмы самоописания;

механизмы самоизменения.

Следовательно, нооформации могут различаться не только содержанием, но и порядком своей организации.

Некоторая система способна решать задачи внутри фиксированной архитектуры.

Другая может изменять свои модели.

Третья — механизмы выбора моделей.

Четвертая — механизмы изменения механизмов.

Именно это дает основание рассматривать нооформации как потенциальные гиперсистемы.

Возникает естественная линия:

форма интеллекта ; метаформа интеллекта ; гиперформа интеллекта ; нооформации возрастающего порядка.

В дальнейшем эта линия будет связана с динамическим рядом искусственных интеллектуальных систем:

ИИ ; СИИ первого порядка ; СИИ второго порядка ; … ; СИИ n-го порядка ; …

Здесь особенно важно сразу отметить: порядок СИИ не должен пониматься просто как условная шкала «умнее — менее умная».

Порядок должен определяться архитектурно.

Следующий порядок возникает тогда, когда система приобретает новый уровень, способный работать с механизмами предыдущего порядка как со своими объектами.

Тем самым гиперматематика, теория Нооформаций, Метаорганон и Демиургизм образуют взаимосвязанную систему.

Демиургизм отвечает на вопрос: зачем конструировать новые уровни возможного?

Метаорганон — какими системами средств это делать?

Теория Нооформаций — какие формы интеллектуальной организации при этом возникают?

Гиперматематика — как такие многоуровневые структуры могут быть формализованы.

3. Изольдионика как предтеча и первая специализированная область гиперматематики
Гиперматематика не возникает в концептуальном вакууме.

Одной из ее непосредственных предтеч является Изольдионика — теория бесконечных чисел и числовой трансволюции.

Именно в Изольдионике впервые в рамках развиваемого здесь направления достаточно явно проявляется принцип, который позднее становится центральным для общей гиперматематики:

математический объект перестает рассматриваться как простая конечная единица и превращается во внутренне структурированную, многоуровневую и потенциально динамическую систему.

Классическое число чаще всего выступает как значение.

Изольдионический подход позволяет расширить эту онтологию.

Число может рассматриваться как структура.

Как система вложенных компонентов.

Как процесс.

Как носитель внутренних операций.

Как объект с потенциально бесконечной архитектурой.

Как динамическая конструкция, способная переходить между различными состояниями.

Именно поэтому Изольдионика может быть названа первой специализированной областью числовой гиперматематики.

В ней уже присутствует переход:

число ; структурированное число ; многоуровневое число ; динамическое число ; трансволюционирующая числовая система.

Особую роль здесь играет понятие изольдиона.

Изольдион может рассматриваться как предельное расширение обычного представления о числе в сторону сложной внутренней организации.

Еще более значительным шагом становится метаизольдион.

Если изольдион уже является сложной структурой, то метаизольдион вводит дополнительный уровень вложенности.

Тем самым возникает принцип перехода от одного структурного порядка к другому.

В гиперматематической интерпретации это можно представить как движение:

число ; изольдион ; метаизольдион ; гиперобъект высшего порядка.

Важную роль играют также метаоператоры.

Если оператор действует над объектом, то метаоператор способен воздействовать уже на систему операций или на правила их организации.

Так появляется один из центральных мотивов гиперматематики:

операция над операцией.

Механизм над механизмом.

Правило над правилом.

Изольдионика тем самым становится удобнейшей лабораторией для рождения основных понятий гиперматематики.

На ее материале можно впервые наглядно рассматривать:

гиперобъект;

порядок;

вложенность;

гипероператор;

рекурсивность;

динамическую структуру;

гиперцикл;

трансволюцию.

Но Изольдионика остается числовой дисциплиной.

Именно здесь начинается необходимость обобщения.

Если число может обладать многоуровневой структурой, почему тем же принципом нельзя наделить последовательность?

Функцию?

Граф?

Алгоритм?

Модель?

Систему моделей?

Архитектуру искусственного интеллекта?

Так возникает гиперматематика в общем смысле.

Можно сформулировать это предельно кратко:

Изольдионика исследует гиперструктуризацию числа.

Гиперматематика обобщает этот принцип на произвольные формализованные объекты.

Именно поэтому Изольдионика является одновременно:

исторической предтечей гиперматематики;

концептуальной лабораторией ее понятий;

частной числовой областью общей гиперматематики.

Особенно важной является связь через понятие трансволюции.

В Изольдионике трансволюция описывает переходы и преобразования сложных числовых структур.

В общей гиперматематике это понятие может быть расширено.

Трансволюция начинает обозначать изменение не только состояния объекта, но и его внутренней архитектуры.

При этом возникает необходимость отличить ее от гиперболизации.

Гиперболизация связана прежде всего с образованием нового уровня надстройки.

Трансволюция — с развитием, изменением и преобразованием уже существующей сложной структуры.

В совокупности они образуют один из важнейших механизмов гипердинамики.

Условно:

гиперболизация создает новый этаж;

трансволюция изменяет здание.

На более развитом уровне оба процесса могут соединяться.

Система изменяет себя так, что в результате порождает новый порядок собственной организации.

Именно этот механизм позднее станет особенно важным при рассмотрении СИИ.

4. От математики объектов к математике надстроек
Современная математика чрезвычайно богата объектами.

Числа.

Множества.

Функции.

Пространства.

Матрицы.

Графы.

Алгебраические структуры.

Дифференциальные уравнения.

Вероятностные системы.

Алгоритмы.

Формальные языки.

Все эти конструкции могут обладать чрезвычайной внутренней сложностью.

Однако для гиперматематики ключевой вопрос формулируется иначе:

что происходит, когда над объектом систематически строится новый уровень, способный работать с ним как с целым?

Для введения идеи удобно начать с простейшего примера.

Пусть имеется последовательность натуральных чисел:

1, 2, 3, 4, 5, …

Можно применить к каждому элементу правило возведения в степень, связанную с позицией элемента:

1, 2;, 3;, 4;, 5;, …

В данном случае исходная последовательность оказывается помещенной в систему преобразования.

Следующий шаг состоит в том, чтобы показатель степени определялся уже другой последовательностью.

Например, рядом Фибоначчи.

Тогда одна последовательность начинает управлять преобразованием другой.

Далее можно ввести еще один управляющий ряд.

Например, последовательность простых чисел.

Затем добавить правило изменения порядка наложений.

После этого — систему выбора самих управляющих последовательностей.

Далее — механизм изменения этой системы выбора.

На определенном этапе мы имеем уже не одну последовательность, а архитектуру.

Это и есть принципиальный переход.

Гиперматематика интересуется не только результатом преобразования.

Она интересуется устройством самой системы преобразований.

При этом термин «надстройка» не следует понимать исключительно метафорически.

В дальнейшем он должен получить строгую формализацию.

В предварительном смысле надстройкой можно считать такой уровень организации, который:

опирается на некоторый нижележащий объект или уровень;

использует его как собственный операционный материал;

способен изменять его состояние, свойства, правила или архитектуру;

может сам стать объектом следующего уровня.

Из этого возникает понятие порядка.

Порядок описывает не количество элементов, а глубину надстроечной организации.

Гиперобъект первого порядка содержит первую надстройку.

Гиперобъект второго порядка содержит уровень, воздействующий уже на первую надстройку.

И так далее.

При этом возможны разные архитектуры.

Линейная:

уровень 0 ; уровень 1 ; уровень 2 ; уровень 3.

Ветвящаяся:

один уровень порождает несколько надстроек.

Сетевая:

несколько уровней взаимно воздействуют друг на друга.

Рекурсивная:

система включает механизмы, возвращающие воздействие на собственную структуру.

Самореферентная:

система строит представление о самой себе.

Самонадстраивающаяся:

система способна создавать новые уровни собственной организации.

Именно поэтому гиперматематика не должна ограничиваться простым понятием «иерархии».

Ее предмет шире.

Она исследует архитектуры уровней.

Переходы между уровнями.

Правила появления новых уровней.

Возможность изменения самой архитектуры.

Здесь становится особенно важным различие между объектом и гиперобъектом.

Объект может быть сложным.

Гиперобъект отличается прежде всего наличием структурно выделенных уровней преобразования.

То же относится к системе.

Большая система не обязательно является гиперсистемой.

Гиперсистема возникает тогда, когда внутренние уровни обладают различными операционными функциями и могут воздействовать друг на друга как на объекты.

В дальнейшем это различие станет критически важным при анализе искусственного интеллекта.

Большая модель не обязательно является системой более высокого порядка.

Увеличение числа параметров само по себе не порождает новую гипернадстройку.

Новый порядок возникает тогда, когда появляется новый архитектурный уровень управления.

5. Гиперматематика как развивающаяся наука и метанаука
Настоящая книга не является учебником по уже завершенной дисциплине.

Она является одним из инструментов формирования самой дисциплины.

Это требует особого отношения к тексту.

Часть понятий здесь неизбежно будет предварительной.

Некоторые определения будут пересматриваться.

Отдельные классификации могут оказаться временными.

Новые примеры способны потребовать введения новых категорий.

Какие-то термины могут исчезнуть.

Другие — стать центральными.

Такой характер развития является естественным для науки на стадии становления.

На первоначальном этапе гиперматематика выступает как исследовательская программа.

Она формулирует круг вопросов.

Что именно считать новым порядком?

Когда операция является простой композицией, а когда образует новый гиперуровень?

Как определить глубину гиперобъекта?

Существует ли универсальный критерий гиперболизации?

Как измерять вертикальную сложность?

Какие свойства сохраняются при переходе между уровнями?

Существуют ли гиперинварианты?

Когда две гиперархитектуры следует считать эквивалентными?

Может ли гиперобъект изменять собственный порядок?

Можно ли формально определить самонадстраивание?

Каковы вычислительные пределы многоуровневых конструкций?

Возможны ли бесконечные гиперархитектуры?

Как отличить истинный новый уровень от сложного поведения внутри прежнего уровня?

Можно ли формализовать переход от СИИ n-го порядка к СИИ n+1-го порядка?

По мере появления строгих ответов исследовательская программа должна превращаться в математическую теорию.

Можно условно выделить несколько направлений развития.

Формальная гиперматематика будет заниматься определениями, аксиомами, теоремами и структурами.

Вычислительная гиперматематика — алгоритмическими реализациями гиперобъектов.

Экспериментальная гиперматематика — вычислительным исследованием новых гиперструктур.

Генеративная гиперматематика — систематическим построением новых классов объектов и архитектур.

Гиперматематика интеллектуальных систем — математикой многоуровневого ИИ.

Метагиперматематика — исследованием самих гиперматематических аппаратов.

Именно на последнем уровне гиперматематика потенциально приобретает свойства метанауки.

Обычная математическая дисциплина изучает определенный класс объектов.

Метагиперматематика может исследовать уже способы построения классов объектов.

Способы построения способов.

Формальные языки.

Механизмы генерации формализмов.

Пространства возможных математических теорий.

Системы их преобразования.

Это позволяет поставить чрезвычайно сильный вопрос:

возможно ли создание формальных систем, способных не только решать задачи внутри математики, но и строить новые математические аппараты?

Если такой переход окажется реализуемым, гиперматематика станет частью более общего процесса автоматизации научного творчества.

Однако это должно рассматриваться как исследовательская перспектива, а не как уже достигнутый результат.

Именно поэтому в книге необходимо строго различать:

определение;

доказанное утверждение;

гипотезу;

эвристическую модель;

исследовательскую программу;

философскую интерпретацию.

Для новой дисциплины это особенно важно.

Чем сильнее ее претензия на фундаментальность, тем жестче должны быть критерии различения доказанного и предполагаемого.

6. Версионный характер книги
Гиперматематика будет развиваться одновременно с этой книгой.

Поэтому книга принципиально является версионной.

Она не должна создавать иллюзию завершенности там, где ее пока нет.

Первая версия фиксирует определенный этап формирования дисциплины.

Следующая версия может уточнять определения.

Менять классификации.

Вводить новые формализмы.

Отказываться от неудачных терминов.

Добавлять доказательства.

Расширять вычислительный аппарат.

Пересматривать отношения между гиперматематикой, Изольдионикой, теорией Нооформаций и СИИ.

Такой подход не является недостатком.

Напротив, он делает развитие теории прозрачным.

Можно представить несколько параллельных линий версий книги:

концептуальную;

формально-математическую;

учебную;

вычислительную;

изольдионическую;

ориентированную на СИИ;

интегрированную в общий корпус Метаорганона.

Важно при этом сохранять общее понятийное ядро.

Версионность должна касаться не только текста.

Должны версионироваться:

определения;

обозначения;

классификации;

аксиомы;

гипотезы;

формальные модели;

вычислительные реализации.

Если понятие «гиперобъект» изменяется от версии к версии, это изменение должно быть явно зафиксировано.

Если критерий порядка уточняется, должно быть понятно, какая его версия используется.

Если гипотеза превращается в теорему, должна сохраняться история этого перехода.

Это особенно важно для дисциплины, одной из тем которой является развитие систем.

В определенном смысле сама книга становится гиперматематическим объектом.

Она имеет состояния.

Версии.

Метаправила изменения.

Историю трансформаций.

Механизмы интеграции новых уровней.

И со временем может приобретать все более развитую внутреннюю архитектуру.

Таким образом, версионность книги соответствует самой философии гиперматематики.

Завершенная теория рассматривается не как неподвижная вершина, а как очередное состояние развивающейся системы.

7. Обозначения, терминология и принципы формализации
Гиперматематика неизбежно создает собственный терминологический слой.

Однако терминологическое расширение должно осуществляться крайне осторожно.

Новый термин оправдан только тогда, когда он обозначает реально новое или методологически полезное различие.

В противном случае существующий математический язык предпочтительнее.

В книге будут постепенно использоваться такие рабочие понятия, как:

гиперобъект;

гиперболизация;

гипероператор;

гиперкомпозиция;

гиперпорядок;

гиперглубина;

гиперархитектура;

гиперинвариант;

гиперэквивалентность;

гиперпроцесс;

гипердинамика;

гиперсистема;

самонадстраивание;

трансволюция;

метагиперсистема.

Особое место занимают понятия, заимствованные из Изольдионики:

изольдион;

метаизольдион;

метаоператор;

числовая трансволюция;

гиперцикл;

динамическое число.

По мере развития книги будет необходимо четко установить отношения между двумя терминологическими уровнями.

Например:

изольдион может рассматриваться как частный числовой гиперобъект;

метаизольдион — как числовой гиперобъект более высокого порядка;

метаоператор — как частный тип гипероператора;

числовая трансволюция — как частный случай общей трансволюции.

При этом подобные соответствия не должны вводиться декларативно.

Каждое из них должно быть проверено на уровне определения.

В формализации книги предполагается придерживаться нескольких принципов.

Принцип первый. Пример не является определением
Наглядная конструкция может мотивировать термин, но не заменяет строгого определения.

Например, последовательность

1, 2;, 3;, 4;, …

может иллюстрировать гиперболизацию последовательности, но сама по себе не определяет понятие гиперболизации.

Принцип второй. Метафора не является формализмом
Термины «этаж», «башня», «надстройка», «восхождение», «математическая Вавилонская башня» могут быть полезны эвристически.

Но каждому подобному образу должен соответствовать формальный объект.

Принцип третий. Сложность и порядок различаются
Количество элементов, число параметров, вычислительная стоимость и объем информации не определяют автоматически гиперпорядок.

Новый порядок связан с появлением нового функционально выделенного уровня.

Принцип четвертый. Каждый уровень должен иметь операционное содержание
Нельзя объявлять новый порядок только потому, что в описании появились новые слова.

Необходимо указать:

что является объектом данного уровня;

какие операции на нем допустимы;

на какой нижележащий уровень он воздействует;

какие свойства появляются благодаря его существованию.

Принцип пятый. Переход между порядками должен быть формализуем
Одной из центральных задач книги становится определение перехода:

гиперобъект n-го порядка ; гиперобъект n+1-го порядка.

Для интеллектуальных систем:

СИИ; ; СИИ;;;.

Этот переход должен быть описан не только словесно, но и структурно.

Принцип шестой. Формализм должен допускать обобщение
Если понятие определяется для первого и второго порядков, желательно сразу строить его так, чтобы существовало естественное продолжение к произвольному порядку n.

Принцип седьмой. Формализм по возможности должен быть вычислим
Гиперобъект должен иметь представление, пригодное для программной реализации хотя бы в конечном приближении.

Это позволит постепенно переходить от философии к экспериментальной гиперматематике.

Принцип восьмой. Необходимо различать статические и динамические объекты
Одна из главных особенностей гиперматематики заключается в том, что объект может изменять не только состояние, но и структуру.

Поэтому формализм должен уметь описывать архитектурную динамику.

Принцип девятый. Гиперболизация и трансволюция должны различаться
Гиперболизация связана с созданием нового структурного уровня.

Трансволюция — с преобразованием сложной системы.

Они могут взаимодействовать, но не являются тождественными процессами.

Принцип десятый. Научный статус утверждений должен быть явным
В книге должны быть четко различимы:

строгое определение;

доказанная теорема;

предположение;

гипотеза;

эвристическая конструкция;

научная программа;

философское утверждение.

Это принципиально важно для всей дисциплины.

Гиперматематика не должна строиться путем накопления терминов.

Она должна развиваться путем последовательного превращения интуиций в определения, определений — в формальные системы, формальных систем — в теорию, а теории — в инструмент построения новых объектов.

Особенно важным полигоном такого развития станет искусственный интеллект.

В этой области идеи гиперпорядка, гиперболизации и трансволюции получают почти непосредственную интерпретацию.

Базовая интеллектуальная система может изменять свои состояния.

Система более высокого уровня — свои модели.

Следующий порядок — механизмы создания и выбора моделей.

Еще более высокий — механизмы изменения таких механизмов.

В результате возникает динамический ряд:

ИИ ; СИИ; ; СИИ; ; … ; СИИ; ; …

Так ряд математических идей постепенно превращается в теорию развивающихся интеллектуальных архитектур.

Но начинаться эта линия должна значительно раньше.

С числа.

С его усложнения.

С изольдиона.

С метаизольдиона.

С перехода от числа как значения к числу как архитектуре.

Затем — от числовой архитектуры к гиперобъекту вообще.

От гиперобъекта — к гиперсистеме.

От гиперсистемы — к самоизменяющейся системе.

От самоизменяющейся системы — к самонадстраивающемуся интеллекту.

Такова одна из основных траекторий настоящей книги:

число ; изольдион ; гиперобъект ; гиперсистема ; нооформация ; ИИ ; СИИ; ; СИИ; ; … ; СИИ; ; …

В этом смысле гиперматематика является не математикой последнего уровня.

Она является математикой перехода к следующему уровню.

Не математикой завершенной башни.

А математикой самого процесса ее строительства.

******

ЧАСТЬ I. ПРОЛЕГОМЕНЫ К ГИПЕРМАТЕМАТИКЕ
Гиперматематика начинается не с отрицания существующей математики, а с попытки продолжить одну из наиболее устойчивых тенденций ее развития: превращение того, что прежде считалось операцией, средством описания или внешним условием, в самостоятельный объект исследования.

Число стало объектом.

Функция стала объектом.

Пространство функций стало объектом.

Оператор стал объектом.

Система операторов может стать объектом.

Архитектура таких систем также может быть рассмотрена как объект.

Именно в последнем переходе открывается область гиперматематического исследования.

Гиперматематика исходит из предположения, что над математическими объектами могут систематически возводиться новые уровни организации, причем сами эти уровни способны становиться объектами дальнейших преобразований. Поэтому ее предметом являются не только структуры, но и системы структур, не только преобразования, но и преобразования преобразований, не только модели, но и механизмы построения и изменения моделей.

Настоящая часть имеет пролегоменный характер. Ее задача состоит не в создании завершенной аксиоматики, а в формировании пространства понятий, внутри которого такая аксиоматика впоследствии может возникнуть.

Особое значение имеет Изольдионика. Она рассматривается далее как одна из непосредственных предтеч гиперматематического подхода и как первая его специализированная числовая область. Именно на материале структурированных, вложенных и динамических числовых конструкций становится особенно наглядным переход от математического объекта к многоуровневой архитектуре.

Глава 1. Возникновение гиперматематического подхода
1.1. Расширение предмета математики
История математики может быть рассмотрена как непрерывное расширение множества объектов, отношений и процессов, допускающих точное формальное исследование.

Первоначальные арифметические представления были непосредственно связаны со счетом, сравнением величин и практическими операциями. Однако развитие математического мышления постоянно приводило к ситуациям, когда прежних типов объектов становилось недостаточно.

Расширялись числовые системы. Возникали новые геометрии. Функции из вспомогательного средства становились самостоятельными объектами анализа. Исследованию подвергались пространства функций, преобразования пространств, операторы, алгебраические структуры, отношения между структурами.

Характерной особенностью этого процесса является повторяющаяся схема.

Некоторое математическое средство сначала применяется к объектам.

Затем обнаруживается, что само это средство обладает внутренней организацией.

После этого оно становится новым объектом.

Над ним начинают определяться собственные операции.

Затем возникает следующий уровень.

Именно этот процесс имеет фундаментальное значение для гиперматематики.

Гиперматематика не утверждает, что многоуровневые конструкции отсутствовали в математике до ее появления. Напротив, развитая математика содержит огромное количество подобных примеров. Функционалы, операторные алгебры, иерархии структур, рекурсивные системы и многие другие аппараты демонстрируют способность математики подниматься над исходным уровнем объекта.

Предлагаемая новизна заключается в изменении фокуса.

Гиперматематика ставит вопрос: можно ли рассматривать сам механизм такого подъема как общий предмет?

Можно ли изучать не только отдельные многоуровневые конструкции, возникающие в различных дисциплинах, но и общие закономерности образования уровней?

Можно ли определить, что представляет собой математическая надстройка независимо от конкретной природы исходного объекта?

Можно ли сравнивать между собой архитектуры надстроек?

Можно ли определить их глубину, порядок, тип связи между уровнями?

И наконец, можно ли построить математический аппарат, способный описывать системы, которые изменяют не только свои состояния, но и собственную архитектуру?

Таким образом, расширение предмета математики достигает еще одной возможной стадии.

Предметом становится не просто новый объект.

Предметом становится принцип образования новых уровней объектов.

1.2. От величин к структурам
Одним из важнейших сдвигов в истории математического мышления был переход от преимущественного исследования величин к исследованию структур.

Величина отвечает прежде всего на вопрос «сколько?».

Структура отвечает на другой вопрос: «как организовано?».

Два объекта могут иметь одинаковое количество элементов, одинаковые числовые характеристики или одинаковый размер и при этом радикально различаться способом внутренней организации.

Именно это обстоятельство постепенно делало понятие структуры все более фундаментальным.

Математика стала исследовать не только элементы, но и отношения.

Не только значения, но и законы композиции.

Не только отдельные точки, но и пространства.

Не только числа, но и системы операций над ними.

С точки зрения гиперматематики этот переход особенно важен потому, что структура уже содержит предпосылку к появлению следующего уровня.

Если объект рассматривается как неделимое значение, возможности надстраивания над ним ограничены.

Если же объект раскрывается как система компонентов и отношений, появляются новые возможные точки воздействия.

Можно преобразовывать элементы.

Можно преобразовывать отношения между элементами.

Можно менять правила образования отношений.

Можно менять систему правил.

Так структура начинает приобретать вертикальное измерение.

Особенно наглядно это проявляется в числовых теориях нового типа.

Традиционно число может рассматриваться прежде всего как носитель количественного значения. Но если число получает внутреннюю организацию, состоящую из нескольких формально заданных компонентов, оно уже становится не только величиной, но и структурой.

Именно этот переход позднее окажется важнейшим для Изольдионики.

Изольдионический объект интересен для гиперматематики не только потому, что он может обозначать чрезвычайно большие или бесконечно разворачиваемые числовые конструкции.

Гораздо важнее другое: числовой объект начинает приобретать внутреннюю архитектуру.

В результате обычная граница между «числом» и «системой операций, задающей число» становится менее жесткой.

Объект включает способ собственного построения.

Следовательно, число начинает приближаться к гиперобъекту.

Отсюда возникает один из фундаментальных принципов:

гиперматематическое расширение часто начинается с раскрытия внутренней структуры того, что ранее рассматривалось как относительно цельный объект.

Чем больше скрытых параметров, отношений и механизмов становится явными, тем шире пространство дальнейшего надстраивания.

1.3. От структур к системам структур
Следующий шаг состоит в переходе от отдельной структуры к системе структур.

Структура организует элементы.

Система структур организует уже несколько самостоятельных структур и отношения между ними.

В таком случае появляется новый тип целостности.

Предположим, имеются несколько математических объектов, каждый из которых обладает собственной внутренней организацией.

На первом уровне можно исследовать каждый объект отдельно.

На следующем уровне рассматриваются отношения между ними.

Но затем можно ввести правила, определяющие, каким образом эти отношения должны меняться.

После этого сами правила могут быть объединены в более общую систему.

Так возникает многоуровневая архитектура.

При этом система структур не обязательно сводится к простой совокупности.

Для гиперматематического анализа особенно важны случаи, когда между уровнями существует операционная зависимость.

Одна структура может задавать параметры другой.

Одна система может выбирать преобразования, применяемые к другой.

Один уровень способен формировать, ограничивать или перестраивать другой.

В таком случае уровни получают различные функциональные роли.

Именно функциональная неоднородность уровней чрезвычайно важна.

Если тысяча структур просто помещена рядом, мы получаем большую совокупность.

Если же одна структура задает правила изменения остальных, появляется управляющий уровень.

Если существует еще одна структура, изменяющая этот управляющий механизм, возникает следующий уровень организации.

Так формируется вертикаль.

Поэтому для гиперматематики количество уровней само по себе недостаточно.

Необходимо исследовать характер отношений между ними.

Уровень может быть:

исполнительным;

управляющим;

генеративным;

корректирующим;

рефлексивным;

метауправляющим;

самомодифицирующимся.

В дальнейшем подобные функциональные различия станут особенно важными для гиперматематического описания искусственного интеллекта.

Однако их математическая логика возникает значительно раньше.

Уже последовательность может управлять последовательностью.

Оператор может выбирать другой оператор.

Множество правил может быть параметризовано внешней системой.

Именно поэтому система структур является естественным промежуточным понятием между обычным математическим объектом и гиперобъектом.

1.4. От операций к операциям над операциями
Операция изменяет объект или связывает несколько объектов.

Но сама операция также может рассматриваться как объект.

Это один из наиболее принципиальных переходов для гиперматематики.

Пока набор операций фиксирован, система существует внутри заранее определенного операционного пространства.

Она может обладать огромным количеством состояний и демонстрировать чрезвычайно сложную динамику, но правила допустимого преобразования остаются заданными.

Следующий уровень возникает тогда, когда появляются средства преобразования самих операций.

Это может означать:

изменение параметров операции;

изменение области ее применимости;

композицию операций;

выбор операции из некоторого множества;

генерацию новых операций;

изменение правил генерации операций.

Каждый такой переход увеличивает не просто количество возможных результатов, а пространство возможных механизмов получения результатов.

Поэтому операции над операциями имеют особое значение.

Обычная операция отвечает на вопрос:

что сделать с объектом?

Операция следующего уровня отвечает:

каким образом определить, что именно следует делать с объектом?

Еще более высокий уровень ставит вопрос:

как изменить сам механизм выбора способов действия?

Так возникает лестница операционной рефлексии.

В Изольдионике данная тенденция получает выражение через идею метаоператоров. В исходном корпусе этой теории выделяются базовые, рекурсивные и гиперструктурные типы метаоператоров, а сами метаоператоры связываются с динамической генерацией и изменением операций.

Для общей гиперматематики это предоставляет важный исходный пример.

Метаоператор можно рассматривать как частный случай более общего понятия гипероператора.

При этом впоследствии потребуется строго определить границу.

Не всякая операция над операцией автоматически должна называться гипероперацией.

В противном случае новый термин просто дублировал бы уже существующие математические понятия.

Гиперматематический смысл появляется тогда, когда операция включена в явно выделенную архитектуру порядков и когда изменение операции изменяет возможности нижележащего уровня как системы.

Таким образом, гипероперация — это не просто «очень сложная операция».

Это кандидат на механизм вертикального преобразования математической архитектуры.

1.5. Многоуровневость как самостоятельный предмет исследования
Многоуровневость присутствует во множестве областей математики и информатики.

Но одно дело — использовать несколько уровней как техническое средство.

Другое — сделать само отношение уровней предметом исследования.

Именно второе стремится осуществить гиперматематика.

Для этого необходимо поставить ряд общих вопросов.

Что такое уровень?

На каком основании два компонента математической системы следует относить к различным уровням?

Каким образом один уровень воздействует на другой?

Может ли нижний уровень изменять верхний?

Допустимы ли циклические отношения?

Может ли структура принадлежать нескольким уровням одновременно?

Когда возникает новый порядок, а когда лишь новый компонент прежнего порядка?

Можно ли измерить глубину системы?

Как сравнивать две архитектуры различной глубины?

Можно ли свернуть несколько уровней в один?

Можно ли, наоборот, развернуть скрытую структуру в явную иерархию?

Все эти вопросы объединяет общий предмет: архитектура математической многоуровневости.

При таком подходе внимание перемещается от элементов к отношениям между уровнями.

Особенно существенным становится понятие межуровневого воздействия.

Нижний уровень предоставляет материал.

Верхний уровень может задавать правила его преобразования.

Еще более высокий уровень способен изменять эти правила.

Но возможны и более сложные варианты.

Несколько верхних уровней могут конкурировать.

Они могут координироваться.

Могут возникать обратные связи.

Нижележащие состояния могут изменять параметры управляющих уровней.

В результате вместо простой лестницы возникает динамическая сеть.

Следовательно, математическая Вавилонская башня, используемая нами как образ гиперматематики, является лишь первой метафорой.

Развитая гиперматематика должна изучать не только башни.

Она должна изучать деревья уровней, сети уровней, циклы, рекурсивные контуры, временно возникающие надстройки и самоперестраивающиеся архитектуры.

Многоуровневость становится самостоятельным предметом тогда, когда исследуется не как случайная особенность конкретного объекта, а как общий тип организации.

1.6. Вертикальное и горизонтальное усложнение
Одно из важнейших предварительных различий гиперматематики — различие горизонтального и вертикального усложнения.

Горизонтальное усложнение происходит внутри одного структурного уровня.

Увеличивается количество элементов.

Возрастает число связей.

Расширяется пространство состояний.

Добавляются параметры.

Повышается размерность.

Усложняется комбинаторика.

Однако общий тип организации при этом может оставаться прежним.

Вертикальное усложнение имеет другую природу.

Оно возникает тогда, когда появляется новый функциональный уровень, способный воздействовать на организацию предыдущего.

Например, увеличение количества элементов последовательности представляет собой горизонтальное расширение.

Добавление второй последовательности, управляющей преобразованием первой, уже может интерпретироваться как зародыш вертикального отношения.

Добавление механизма, который выбирает саму управляющую последовательность, создает еще более выраженную вертикаль.

Следовательно, вертикальное усложнение связано не столько с размером, сколько с изменением архитектуры управления.

Это различие особенно важно применительно к искусственному интеллекту.

Система с огромным количеством параметров не обязательно является системой высокого гиперпорядка.

Она может оставаться чрезвычайно сложной системой внутри фиксированной архитектуры.

Напротив, меньшая система теоретически может обладать более высоким порядком, если способна изменять собственные механизмы построения моделей, а не только значения параметров.

Поэтому в гиперматематике необходимо отказаться от смешения трех характеристик:

масштаба;

сложности;

порядка.

Масштаб показывает количественную величину системы.

Сложность характеризует богатство взаимосвязей и вычислительную или структурную трудность.

Порядок относится к глубине функционально выделенных уровней надстраивания.

В развитой теории эти различия должны получить строгие метрики.

На пролегоменном этапе достаточно зафиксировать их концептуально.

Гиперматематика преимущественно интересуется вертикальным измерением, но не изолирует его от горизонтального.

Напротив, особенно интересны системы, в которых оба типа усложнения взаимодействуют.

Горизонтальный рост может подготовить возможность появления нового уровня.

Новый вертикальный уровень, в свою очередь, способен резко расширить пространство горизонтальных вариантов.

Так появляется взаимное усиление сложности и порядка.

1.7. Понятие математической надстройки
Понятие надстройки является одним из центральных рабочих понятий гиперматематики.

В бытовом смысле надстройкой можно назвать то, что строится поверх чего-либо уже существующего.

Для математического использования такого определения недостаточно.

Необходимо установить функциональный критерий.

Предварительно математической надстройкой будем называть структурно выделенный компонент или уровень системы, который получает в качестве своего предмета объект, структуру, операцию или систему нижележащего уровня и выполняет над ними преобразовательную, управляющую, генеративную, селективную либо рефлексивную функцию.

В этом определении важны несколько элементов.

Во-первых, надстройка предполагает основание.

Она возникает не сама по себе, а относительно некоторого уровня.

Во-вторых, между уровнями должно существовать содержательное отношение.

Простого соседства недостаточно.

В-третьих, надстройка должна обладать собственной операционной организацией.

Она не только «находится выше», но и что-то делает с нижележащим уровнем.

В-четвертых, надстройка потенциально сама может стать объектом следующей надстройки.

Именно четвертый признак открывает гиперматематическую перспективу.

Понятие надстройки относительно.

Один и тот же объект может быть надстройкой по отношению к нижнему уровню и основанием по отношению к верхнему.

Таким образом, вместо абсолютного деления на «объекты» и «надстройки» появляется отношение порядка.

То, что на одном уровне является оператором, на следующем может стать операндом.

То, что управляло системой, само становится управляемым.

Эта относительность чрезвычайно важна.

Она позволяет строить открытые иерархии, не вводя заранее окончательный верхний уровень.

Именно поэтому понятие надстройки становится мостом между обычным объектом и гиперобъектом.

Гиперобъект можно предварительно рассматривать как объект вместе с организованной системой его надстроек.

1.8. Потенциально бесконечные архитектуры надстраивания
Если надстройка сама способна стать основанием следующей надстройки, немедленно возникает вопрос о границе этого процесса.

Должна ли существовать последняя надстройка?

Гиперматематика не обязана заранее отвечать отрицательно или положительно.

Однако она должна допускать исследование потенциально неограниченных архитектур.

Это означает, что для любого конечного уровня система может в принципе допускать следующий уровень.

Такое понимание отличается от утверждения о существовании реально завершенной бесконечной башни.

Здесь речь прежде всего идет об открытом правиле продолжения.

Потенциально бесконечная архитектура не обязана содержать все уровни одновременно.

Достаточно, чтобы отсутствовал внутренний принцип, запрещающий образование следующего порядка.

Эта идея имеет особое значение для развивающихся систем.

Если система способна создавать новые способы изменения себя, а затем применять аналогичный принцип к вновь созданным способам, появляется механизм потенциально неограниченного самонадстраивания.

Однако немедленно возникают фундаментальные ограничения.

Каждый новый уровень требует представления.

Каждый уровень может увеличивать вычислительную сложность.

Может возникать проблема бесконечного регресса управления.

Система может утрачивать устойчивость.

Более высокий уровень может оказаться функционально избыточным.

Следовательно, потенциальная бесконечность не означает практической необходимости бесконечного роста.

Это пространство возможностей, а не требование.

В Изольдионике подобная интуиция уже проявляется в идее рекурсивных уровней и вложенных конструкций, где числовой объект способен включать последовательности и метаизольдионические компоненты.

Общая гиперматематика расширяет этот принцип.

Потенциально неограниченной становится не только внутренняя структура числа, но и архитектура произвольного формализованного объекта.

В этом смысле бесконечность приобретает новое значение.

Она является не только характеристикой величины или множества.

Она становится характеристикой продолжаемости архитектуры.

1.9. Предварительное понятие гиперобъекта
После введения понятий структуры, уровня и надстройки можно предложить первое рабочее понимание гиперобъекта.

Гиперобъектом предварительно будем называть формализованный объект, включенный в явно организованную многоуровневую систему преобразований, в которой как минимум один уровень способен оперировать объектами, структурами или операциями нижележащего уровня как единицами собственного действия.

Это определение намеренно предварительное.

В дальнейшем оно должно быть уточнено.

Однако оно позволяет сразу отделить гиперобъект от просто сложного объекта.

Гиперобъект характеризуется не размером.

Не количеством компонентов.

Не необычностью записи.

Его ключевое свойство — наличие операционно значимой вертикальной организации.

Можно различить минимальную структуру:

базовый объект;

первая надстройка;

отношение воздействия между ними.

Если затем первая надстройка сама становится объектом второй надстройки, возникает гиперобъект следующего порядка.

Так постепенно появляется понятие гиперпорядка.

Важно также различать внешнюю и внутреннюю формы гиперобъекта.

Внешний гиперобъект может состоять из нескольких относительно самостоятельных систем, связанных отношениями управления.

Внутренний гиперобъект может быть представлен как единая конструкция, внутри которой уровни уже встроены в сам способ ее задания.

Изольдион особенно интересен как кандидат на второй тип.

Если числовой объект содержит вложенные структуры, операции и правила собственного развертывания, то надстройка оказывается включенной в сам объект.

Следовательно, гиперобъект может быть не просто «объектом плюс внешнее управление».

Он способен иметь внутреннюю гиперархитектуру.

Это различие будет иметь большое значение для дальнейшей теории.

1.10. Гиперматематика как общая теория математических надстроек
На пролегоменном уровне гиперматематику можно определить как общую теорию формализованных многоуровневых объектов, надстроек, гиперпреобразований и архитектур перехода между порядками.

Такое определение задает направление, но не завершает дисциплину.

Для превращения гиперматематики в строгую математическую теорию потребуется определить:

класс базовых объектов;

отношение надстраивания;

критерий уровня;

критерий порядка;

типы межуровневых отображений;

операции композиции;

инварианты;

метрики глубины;

условия эквивалентности;

правила динамического изменения архитектур.

Особенно важным станет вопрос о том, существует ли универсальная форма гиперматематического описания или различные классы объектов потребуют различных специализированных гиперматематик.

Возможна числовая гиперматематика.

Гиперматематика последовательностей.

Гиперматематика функций.

Гипералгебра.

Гипергеометрия.

Гипералгоритмика.

Гиперматематика моделей.

Гиперматематика интеллектуальных систем.

При этом общая гиперматематика должна исследовать то, что сохраняется при переходе между предметными областями.

Именно поэтому Изольдионика представляет особый интерес.

Она позволяет начать с конкретной области — числа — и затем искать способы обобщения.

Если удастся показать, что отношения вложенности, метаоперационности, динамического изменения и перехода между уровнями имеют аналоги в других математических областях, возникнет основание говорить о действительно общей теории.

Таким образом, гиперматематика должна развиваться одновременно снизу и сверху.

Снизу — через конкретные конструкции.

Сверху — через общие понятия.

Изольдионика предоставляет первый путь.

Теория математических надстроек — второй.

Их встреча должна привести к строгому понятию гиперобъекта.

Глава 2. Философия гиперматематики
2.1. Математический объект как основание дальнейшего построения
Классический способ мышления часто стремится определить объект максимально полно.

Гиперматематический подход добавляет к этому другую установку: даже полностью определенный объект может рассматриваться как основание для последующей конструкции.

Это изменение перспективы существенно.

Объект перестает быть исключительно результатом.

Он становится ресурсом.

Материалом.

Платформой для следующего уровня.

Число может стать элементом последовательности.

Последовательность — элементом системы последовательностей.

Система последовательностей — предметом оператора.

Оператор — объектом метаоперации.

Метаоперация — компонентом управляющей архитектуры.

Каждый переход сохраняет определенную связь с исходными уровнями, но одновременно создает новую область возможностей.

Поэтому в гиперматематике важна не только внутренность объекта, но и его надстроечная емкость.

Под этим пока неформальным термином можно понимать множество принципиально различных способов, которыми над объектом могут быть образованы более высокие уровни организации.

У разных объектов эта емкость может различаться.

Некоторые структуры допускают богатые пространства преобразований.

Другие сильно ограничены.

Третьи способны включать в себя собственные механизмы дальнейшего развертывания.

Именно последняя категория особенно интересна для гиперматематики.

Такой объект не просто допускает надстройку.

Он может содержать предпосылки собственного дальнейшего надстраивания.

Отсюда постепенно возникает идея самонадстраивающихся объектов.

2.2. Принцип открытости математического объекта
Принцип открытости означает, что математический объект не следует автоматически считать последним возможным уровнем его формализации.

Любой объект потенциально может быть включен в более широкую структуру.

Это не означает, что любой объект обязательно нуждается в таком расширении.

Речь идет о методологической возможности.

Гиперматематика сознательно задает вопрос:

что находится над данным объектом?

Какая система способна работать с ним как с целым?

Какие свойства возникнут, если его внутренние параметры сделать предметом внешнего управления?

Что произойдет, если само это управление сделать изменяемым?

Подобная установка меняет направление математического поиска.

Вместо завершения конструкции возникает стремление исследовать пространство ее продолжений.

Такой принцип можно назвать принципом открытого верха.

У гиперобъекта может существовать нижнее основание, но не обязана существовать окончательная вершина.

В этом заключается одно из существенных отличий гиперматематической философии от представления о законченной иерархии.

Открытость также означает возможность нескольких продолжений.

Над одним объектом могут быть построены различные несовпадающие надстройки.

Следовательно, возникает не единственная лестница, а пространство альтернативных архитектур.

Гиперматематика тем самым естественно приходит к проблеме выбора.

Как сравнивать различные продолжения?

Как определить эффективную архитектуру?

Какая надстройка создает принципиально новое качество?

Какая лишь усложняет запись?

Из принципа открытости поэтому возникает будущая теория оптимальных и неэффективных гиперархитектур.

2.3. Надстраивание как универсальная конструктивная операция
Надстраивание можно рассматривать как одну из универсальных конструктивных схем.

Имеется объект.

Выбирается некоторый аспект его организации.

Создается система, способная воздействовать на этот аспект.

Образовавшаяся система получает новый уровень.

Эта схема чрезвычайно общая.

Она может проявляться в различных формах.

Параметризация превращает фиксированный компонент в изменяемый.

Операторизация превращает правило в объект воздействия.

Метаописание создает уровень описания описания.

Рефлексия создает модель собственной системы.

Генеративная надстройка создает механизм построения новых объектов.

Управляющая надстройка выбирает действия нижнего уровня.

В этом смысле надстраивание не является одной конкретной математической операцией.

Это тип организации конструктивного процесса.

Поэтому задача общей гиперматематики состоит не в поиске единственной универсальной операции надстраивания, а в построении классификации различных способов образования новых уровней.

Можно ожидать существования нескольких фундаментальных типов:

параметрического;

операторного;

генеративного;

рефлексивного;

рекурсивного;

селективного;

адаптивного;

самомодифицирующегося.

Именно из сочетания таких типов могут возникать сложные гиперархитектуры.

2.4. Порядок и иерархия
Понятие порядка должно стать одним из наиболее строгих понятий гиперматематики.

На предварительном этапе порядок связан с количеством функционально различимых вертикальных уровней.

Однако простого подсчета недостаточно.

Если одна система произвольно разбита на пять блоков, это не делает ее гиперобъектом пятого порядка.

Уровень должен выполнять функцию по отношению к нижележащему уровню как к целостному предмету.

Поэтому порядок является не просто топологической высотой, а характеристикой отношения управления или преобразования.

Иерархия при этом означает организованное отношение уровней.

Но гиперматематическая иерархия не обязательно должна быть жесткой.

Возможны:

частичные порядки;

несколько верхних уровней;

перекрестные связи;

обратное влияние;

временные надстройки;

изменяемые иерархии.

Поэтому развитая теория, вероятно, будет оперировать не одной концепцией иерархии, а целым классом архитектур порядка.

Для интеллектуальных систем это особенно важно.

Реальный СИИ высокого порядка, если подобные системы будут построены, вероятно, не будет представлять собой простую пирамиду.

Скорее речь пойдет о динамической архитектуре, в которой разные подсистемы способны временно становиться метауровнями по отношению друг к другу.

Следовательно, понятие порядка должно быть достаточно гибким, чтобы описывать подобные структуры.

2.5. Сложность и сверхсложность
Термин «сверхсложность» в гиперматематике следует использовать осторожно.

Он не должен означать просто эмоциональную оценку чрезвычайно трудной системы.

Необходимо связать его с определенной структурной характеристикой.

Предварительно можно различать обычную сложность и гиперсложность.

Обычная сложность относится к богатству состояний, компонентов и отношений внутри заданной архитектуры.

Гиперсложность возникает тогда, когда сложной становится сама архитектура уровней и механизмы ее изменения.

Следовательно, гиперсложная система может быть сложной в двух направлениях одновременно:

внутри уровней;

между уровнями.

Если же она способна изменять собственную многоуровневую организацию, появляется еще одно измерение — динамическая гиперсложность.

Такой подход позволяет отказаться от неопределенного употребления приставки «сверх-».

Сверхсложность приобретает содержательное значение, если она связана с множеством взаимодействующих уровней, каждый из которых обладает собственным пространством состояний и собственными правилами преобразования.

В дальнейшем необходимо будет исследовать возможность количественных метрик гиперсложности.

Например, учитывать количество уровней, число межуровневых связей, разнообразие операторов, степень рекурсивности и изменяемость архитектуры.

Пока же достаточно принципиального различения:

больше элементов — не обязательно больше порядка;

больше вычислений — не обязательно больше гиперсложности;

новая архитектура — качественно иной тип усложнения.

2.6. Структура и архитектура структур
Понятия структуры и архитектуры необходимо различать.

Структура описывает организацию некоторого объекта.

Архитектура структур описывает организацию нескольких структур и их функциональные отношения.

Таким образом, архитектура является понятием следующего уровня.

Она отвечает не только на вопрос, из чего состоит система, но и на вопросы:

какие структуры выполняют различные роли;

какие уровни над какими расположены;

какие преобразования разрешены;

какие обратные связи существуют;

какие уровни способны изменять другие;

может ли архитектура перестраивать саму себя.

Гиперобъект в развитом смысле почти неизбежно должен обладать архитектурой.

Даже простая линейная башня уровней является архитектурой.

Однако гораздо интереснее архитектуры, способные меняться.

В таком случае структура системы в один момент времени не полностью определяет ее дальнейшие возможности.

Необходимо знать правила изменения самой структуры.

А если эти правила изменяемы, нужен следующий уровень.

Так архитектурное мышление естественным образом приводит к гиперматематике.

2.7. От описания существующего к конструированию возможного
Математика одновременно описывает и конструирует.

Она применяется к реальности, но также создает объекты, которые первоначально существуют как формальные возможности.

Гиперматематика усиливает вторую сторону.

Ее интересует не только описание готовой системы, но и построение пространств возможных систем.

Если задан объект, можно исследовать не одну модель его преобразования, а множество допустимых архитектур преобразования.

После этого можно построить систему генерации архитектур.

Затем систему оценки сгенерированных вариантов.

Затем механизм изменения самой системы генерации.

Тем самым математическое моделирование постепенно превращается в математическое проектирование.

Это имеет фундаментальное значение для НИОКР.

В традиционном подходе исследователь ищет решение внутри некоторого пространства.

В гиперматематическом подходе одним из объектов исследования становится само пространство поиска.

Более высокий уровень способен менять его структуру.

Еще более высокий — выбирать принципы изменения пространства.

Таким образом, гиперматематика потенциально становится аппаратом конструирования пространств возможностей.

2.8. Гиперматематика и демиургический принцип
Демиургический принцип в контексте настоящей книги означает переход от познания заданной реальности к сознательному созданию новых форм организации.

Гиперматематика предоставляет этому принципу потенциальный формальный язык.

Если демиургическая деятельность означает не только применение существующих правил, но и создание новых правил, то необходима математика правил над правилами.

Если необходимо создавать новые системы моделирования, нужен аппарат генерации моделей.

Если требуется проектировать новые формы интеллекта, необходимо формализовать архитектуры, способные перестраивать себя.

Поэтому связь гиперматематики с Демиургизмом имеет не декоративный, а структурный характер.

Демиургический принцип отвечает на вопрос о направлении:

не только понимать, но и создавать.

Гиперматематика отвечает на вопрос о возможном формальном механизме:

создавать уровни, способные создавать следующие уровни.

В предельном случае возникает система, для которой конструирование новых способов конструирования становится собственной функцией.

Именно такая система представляет один из важнейших идеальных объектов гиперматематики.

2.9. Математика возможных миров
Выражение «математика возможных миров» здесь используется не в качестве утверждения о физическом существовании множества вселенных, а как конструктивная метафора пространства формально допустимых систем.

Каждая аксиоматическая система задает определенный мир допустимых объектов и отношений.

Изменение аксиом меняет пространство следствий.

Изменение операций создает другие классы структур.

Изменение архитектуры преобразований порождает иные пространства поведения.

Поэтому можно рассматривать задачу генерации математических миров.

Гиперматематическая система способна работать не только внутри одного такого мира.

Она потенциально может исследовать пространство правил, создающих различные миры.

Следовательно, возникает два уровня.

Первый уровень: исследование объектов при заданных правилах.

Второй: исследование самих пространств правил.

Далее возможен третий: исследование механизмов создания правил.

Это и есть гиперматематический переход.

Особенно важен он для искусственного интеллекта.

Система, способная строить новые формальные среды под различные классы задач, обладает более широкими возможностями, чем система, оптимизирующая решение внутри одной фиксированной среды.

В этом смысле математика возможных миров становится естественной частью будущей генеративной гиперматематики.

2.10. Бесконечность как пространство надстраивания
В традиционных математических контекстах бесконечность возникает в связи с множествами, последовательностями, пределами, кардинальными и порядковыми конструкциями и множеством других строго определенных объектов.

Гиперматематика добавляет еще один ракурс.

Бесконечность можно рассматривать как потенциальную неограниченность числа уровней построения.

Это архитектурная бесконечность.

Она принципиально отличается от утверждения о бесконечной величине.

Не значение становится бесконечно большим.

Не обязательно бесконечным является множество элементов.

Неограниченной является возможность перехода к следующему уровню.

Именно этот аспект делает связь с Изольдионикой особенно содержательной.

Изольдионика начинается с проблемы бесконечных и сверхкрупных числовых конструкций, но ее наиболее интересный для гиперматематики потенциал обнаруживается там, где бесконечность начинает соединяться с вложенностью, метауровнями и динамикой.

Тогда бесконечность превращается из вопроса «насколько велик объект?» в вопрос:

«насколько далеко может продолжаться его структурное развертывание?»

Для будущей теории СИИ этот вопрос становится еще более радикальным.

Существует ли последний возможный уровень интеллектуальной архитектуры?

Или любой достигнутый порядок потенциально может стать объектом следующей надстройки?

Гиперматематика не дает заранее готового ответа.

Она создает язык, на котором такой вопрос можно ставить.

Глава 3. Изольдионический генезис гиперматематики
3.1. От традиционного числа к структурированному числу
Изольдионический генезис гиперматематики начинается с изменения самого способа понимания числа.

Число обычно выполняет множество функций: обозначает количество, положение, отношение, результат операции, координату или параметр.

Но при всем разнообразии контекстов числовой объект часто воспринимается как относительно компактная единица.

Изольдионический подход предлагает сделать внутреннюю конструкцию числа значительно более явной.

Число начинает включать уровни задания, вложенные компоненты, операторы и правила развертывания.

Тем самым происходит фундаментальный переход:

от числа-значения к числу-структуре.

Для гиперматематики этот переход важнее самой величины числа.

Очень большое число само по себе еще не является гиперобъектом.

Даже число настолько огромное, что его полная десятичная запись практически невозможна, остается объектом обычного порядка, если его математическая организация не содержит новых уровней.

Гиперматематический интерес начинается там, где появляется структура.

Если числовая запись содержит механизм собственного построения, вложенные уровни или систему операторов, число начинает приобретать свойства программы или архитектуры.

Это не означает тождества числа и алгоритма.

Но граница между значением и способом его генерации становится предметом исследования.

В этом заключается первый изольдионический шаг к гиперматематике.

3.2. Бесконечное число как сложный математический объект
Понятие бесконечного числа требует особой строгости.

В различных математических теориях существуют различные способы работы с бесконечностью. Поэтому гиперматематика не должна использовать выражение «бесконечное число» без уточнения его формального смысла.

В рамках Изольдионики данный термин связан с собственной системой числовых конструкций.

Для гиперматематики особенно существенно не вступать на этом этапе в спор о статусе всех возможных интерпретаций бесконечных чисел, а извлечь более общий структурный принцип.

Числовой объект может задаваться через потенциально неограниченное развертывание.

Он может обладать рекурсивной архитектурой.

Его конечная запись может описывать значительно более сложный процесс построения.

Это позволяет ввести важное различие между:

размером значения;

размером записи;

сложностью генерации;

глубиной структуры.

Эти характеристики не совпадают.

Именно гиперматематика должна научиться различать их систематически.

Бесконечный или трансфинитно интерпретируемый объект может иметь простое описание.

Конечный объект может иметь чрезвычайно сложную архитектуру.

Следовательно, бесконечность и гиперпорядок не тождественны.

Но Изольдионика показывает важный путь их взаимодействия: бесконечность может быть не только свойством величины, но и следствием рекурсивно развертываемой конструкции.

3.3. Изольдион как прототип гиперобъекта
В гиперматематической интерпретации изольдион интересен прежде всего как прототип числового гиперобъекта.

Это утверждение пока имеет статус исследовательской гипотезы.

Чтобы превратить его в строгое положение, необходимо сопоставить формальное определение изольдиона с будущим определением гиперобъекта.

Однако уже на концептуальном уровне сходство очевидно.

Изольдионический объект способен включать вложенные уровни.

Его запись может содержать операционные компоненты.

В развитых вариантах появляются рекурсивные структуры, метаизольдионы и динамические механизмы.

В исходном тексте Изольдионики прямо вводятся рекурсивные уровни, многоуровневая вложенность, метаизольдионы и гиперструктурные числа, содержащие операционные механизмы вычислений.

Именно сочетание этих признаков позволяет рассматривать изольдион не только как необычное число.

Он становится числовой архитектурой.

При этом необходимо сформулировать строгий критерий.

Если изольдион является только компактной записью огромного числа, этого недостаточно для статуса гиперобъекта.

Если же его внутренние уровни обладают различимыми операционными ролями и способны становиться объектами дальнейших уровней, возникает полноценный гиперматематический смысл.

Это важное разграничение будет сохраняться на протяжении всей книги.

Гиперматематика интересуется не масштабом записи как таковым.

Она интересуется структурным порядком.

3.4. Вложенность числовых структур
Вложенность означает, что одна математическая конструкция включена в другую не просто как единичное значение, а как структурно значимый компонент.

Изольдионический подход допускает несколько уровней подобного включения.

Числовой объект способен содержать внутренние числовые системы.

Те могут включать следующие уровни.

Возникает рекурсивная архитектура.

Вложенность является одним из наиболее наглядных способов построения гиперобъекта, но не единственным.

Важно также различать простую и функциональную вложенность.

Если один объект просто записан внутри другого, это еще не создает нового порядка.

Функциональная вложенность возникает тогда, когда внутренний компонент играет особую роль в формировании или изменении внешнего.

Именно функциональная вложенность должна интересовать гиперматематику прежде всего.

В дальнейшем можно будет различать:

синтаксическую вложенность;

структурную вложенность;

операционную вложенность;

генеративную вложенность;

рекурсивную вложенность.

Изольдионические конструкции предоставляют материал для исследования всех этих форм.

Тем самым число становится первой лабораторией вертикальной математики.

3.5. Метаизольдионы как объекты высших уровней
Метаизольдион представляет особенно важный переход.

Само использование приставки «мета-» должно быть оправдано появлением нового отношения порядка.

Если метаизольдион лишь количественно сложнее обычного изольдиона, его метастатус остается слабым.

Если же он способен включать изольдионические структуры как собственные компоненты и оперировать уровнями их организации, возникает действительно новое качество.

В исходной Изольдионике метаизольдионы описываются как объекты, содержащие несколько уровней абстракции и вложенные вычислительные структуры.

Именно это делает их естественным мостом к понятию гиперобъекта высшего порядка.

Можно представить следующую концептуальную лестницу.

Обычное число является объектом базового уровня.

Изольдион разворачивает внутреннюю числовую архитектуру.

Метаизольдион делает саму изольдионическую структуру компонентом следующего уровня.

Повторение этого принципа приводит к объектам произвольной глубины.

На этой стадии возникает гиперматематический вопрос:

можно ли определить общий оператор перехода от объекта некоторого порядка к объекту следующего порядка?

Если да, изольдионическая конструкция превращается из частного числового феномена в модель общего закона гиперболизации.

3.6. Операционные механизмы внутри числового объекта
Одной из наиболее радикальных идей Изольдионики является сближение числового объекта и операционной системы его построения.

Традиционно удобно различать число и операцию над числом.

Однако структурированная запись может включать операторы непосредственно в способ задания объекта.

Тогда числовой объект хранит не только значение, но и определенную информацию о механизме собственного образования.

Отсюда возникает идея гиперструктурного числа.

В гиперматематике она может быть расширена до понятия объекта со встроенным операционным механизмом.

Такой объект обладает двумя аспектами:

состоянием;

механизмом преобразования состояния.

Если механизм является фиксированным, это еще не обязательно создает высокий порядок.

Но если он сам параметризуется, выбирается или изменяется дополнительным уровнем, возникает метаоперационность.

Именно здесь появляются метаоператоры.

Изольдионический материал позволяет начать исследование того, как операция может постепенно превращаться из внешнего воздействия во внутреннюю часть архитектуры объекта.

Для будущих интеллектуальных систем эта идея окажется чрезвычайно важной.

ИИ также можно рассматривать как объект, внутри которого содержатся механизмы собственного преобразования.

А СИИ более высокого порядка — как систему, способную преобразовывать уже эти механизмы.

3.7. Динамическое число
Переход от статического к динамическому числу представляет второй крупный изольдионический шаг к гиперматематике.

Статическое число рассматривается как заданный объект.

Динамическое число связывается с законом изменения.

Однако важно уточнить: обычная математика давно умеет работать с переменными величинами и функциями. Поэтому сама изменяемость значения не образует новую дисциплину.

Гиперматематический интерес появляется тогда, когда изменяться начинает внутренняя организация объекта.

Именно такой акцент присутствует в изольдионической концепции динамических чисел: речь идет о контекстно обусловленном изменении внутренней конфигурации и алгоритмически задаваемой адаптации структуры.

Это позволяет провести принципиальное различие.

Динамика первого типа изменяет значение внутри фиксированной структуры.

Динамика второго типа изменяет параметры структуры.

Динамика третьего типа изменяет правила изменения структуры.

Последний вариант уже непосредственно выводит нас к гипердинамике.

Таким образом, динамическое число ценно как простейший числовой прототип самоизменяющегося гиперобъекта.

3.8. Числовая трансволюция
Понятие трансволюции должно занять центральное место в связи Изольдионики и гиперматематики.

В наиболее общем предварительном понимании трансволюция обозначает направленное преобразование объекта, затрагивающее не только текущее состояние, но потенциально и его внутреннюю организацию.

Тем самым трансволюцию следует отличать от обычного изменения значения.

Если число меняется в пределах заранее фиксированного закона, это обычная динамика.

Если изменяется сама структура числового объекта, возникает более сильный процесс.

Если одновременно изменяется механизм структурного изменения, мы приближаемся к метатрансволюции.

Общая гиперматематика может расширить понятие числовой трансволюции на произвольные гиперобъекты.

Тогда трансволюционировать смогут:

последовательности;

функции;

графы;

алгоритмы;

модели;

архитектуры;

интеллектуальные системы.

Именно здесь следует развести трансволюцию и гиперболизацию.

Гиперболизация создает новый уровень.

Трансволюция преобразует структуру во времени или в пространстве состояний.

Один процесс отвечает за вертикальное расширение.

Другой — за изменение.

Но в развитых системах они соединяются.

Трансволюция может привести к возникновению новой надстройки.

Тогда результатом трансволюционного процесса становится гиперболизация объекта.

Эта связь впоследствии станет основой описания перехода между порядками СИИ.

3.9. Изольдионические иерархии
Изольдионика позволяет рассматривать число как начало целой иерархии.

Простейший уровень содержит базовый числовой объект.

Следующие уровни могут включать структурированную запись, вложенные конструкции, рекурсивные механизмы, метаизольдионы и метаоператоры.

Особенно важно, что такая иерархия может быть не только статической.

Если уровни способны изменяться, появляется динамическая числовая архитектура.

Если система может создавать новые уровни, возникает числовая модель самонадстраивания.

Именно здесь изольдионическая иерархия непосредственно превращается в гиперматематический объект исследования.

Необходимо будет определить:

какие уровни являются подлинно различными;

какие уровни можно свернуть;

какие операции разрешены между уровнями;

существуют ли инварианты;

как определяется глубина;

каким образом сравниваются две иерархии;

что означает эквивалентность различных способов вложенности.

После появления таких определений изольдионика сможет стать не только источником образов, но и полноценной экспериментальной областью гиперматематики.

3.10. От изольдионического числа к общему понятию гиперобъекта
Изольдионический генезис приводит нас к главному обобщению Части I.

Начав с числа, мы обнаружили несколько принципов:

внутренняя структуризация;

вложенность;

многоуровневость;

метаоперационность;

рекурсивность;

динамическое изменение;

трансволюция;

возможность дальнейшего надстраивания.

Но ни один из этих принципов не является исключительно числовым.

Последовательность также может обладать вложенными уровнями.

Функция может становиться объектом преобразования более высокого порядка.

Граф может входить в сеть графов.

Алгоритм может выбирать другой алгоритм.

Модель может строить модели.

Архитектура может перестраивать собственные компоненты.

Интеллектуальная система может создавать новые механизмы собственной организации.

Следовательно, возникает естественное обобщение.

То, что Изольдионика делает с числом, гиперматематика пытается сделать с произвольным формализованным объектом.

Поэтому отношение двух дисциплин можно представить следующим образом.

Изольдионика является числовой лабораторией.

Гиперматематика — общей теорией принципов, обнаруживаемых в этой лаборатории и затем распространяемых за пределы числа.

Но такое обобщение нельзя считать автоматически доказанным.

Оно должно пройти несколько стадий.

Сначала необходимо определить изольдионические конструкции строго.

Затем выделить в них действительно общие структурные признаки.

После этого построить абстрактные определения, не зависящие от числовой природы объекта.

Затем проверить их на других классах математических конструкций.

И только после этого можно говорить о сформировавшейся общей теории гиперобъектов.

Именно этот переход и составляет следующую крупную задачу книги.

Изольдионика показывает, что математический объект может быть переосмыслен как внутренняя архитектура.

Гиперматематика делает следующий шаг:

архитектура сама становится объектом.

После этого объектом становится механизм изменения архитектуры.

Далее — механизм изменения механизмов.

Так начинается потенциально открытый ряд порядков.

Именно здесь пролегомены заканчиваются и начинается собственно теория гиперматематики.

Число оказалось первым этажом.

Изольдион показал возможность внутреннего строительства.

Метаизольдион продемонстрировал возможность следующего уровня.

Гиперматематика превращает сам принцип такого строительства в предмет общей теории.

*******

ЧАСТЬ II. ИЗОЛЬДИОНИКА КАК ЧИСЛОВАЯ ГИПЕРМАТЕМАТИКА
Изольдионика занимает в архитектуре гиперматематики особое положение.

С одной стороны, она является самостоятельным направлением, предметом которого выступают бесконечные, структурированные, многоуровневые и динамически преобразуемые числовые объекты.

С другой стороны, именно в Изольдионике особенно отчетливо проявляются многие принципы, которые затем могут быть распространены далеко за пределы числа.

Вложенность.

Многоуровневость.

Операторы над операторами.

Изменение внутренней структуры объекта.

Рекурсивное развертывание.

Переход от статического объекта к процессу.

Возникновение новых порядков организации.

Поэтому в рамках настоящей книги Изольдионика рассматривается как первая специализированная область гиперматематики — ее числовая форма.

Если традиционная математика исследует число прежде всего как значение и как элемент различных числовых систем, Изольдионика пытается рассматривать число значительно шире: как сложную формализованную конструкцию, способную включать внутренние уровни, правила развертывания, операционные механизмы и динамику собственного преобразования.

Именно эта линия приводит от числа к изольдиону, от изольдиона к метаизольдиону, от метаизольдиона к многоуровневой числовой архитектуре и далее — к общему понятию гиперобъекта.

Глава 4. Изольдионика и новая онтология числа
4.1. Число как значение
Наиболее привычное понимание числа связано со значением.

Число отвечает на вопросы: сколько, в каком отношении, на каком месте, с какой величиной, с какой вероятностью, с какой координатой.

В таком представлении число является относительно компактным математическим объектом.

Число 2 остается числом 2 независимо от того, каким способом оно было получено.

Его можно представить как:

1 + 1

4 / 2

2^1

квадратный корень из 4

и множеством других способов.

Результат остается одним и тем же.

Это обстоятельство чрезвычайно важно для классической арифметики. Оно позволяет отделять значение от истории его получения.

Однако с точки зрения гиперматематики именно здесь возникает дополнительный вопрос.

Всегда ли способ построения числа должен считаться внешним по отношению к самому числу?

Если два выражения имеют одинаковое конечное значение, но радикально различаются внутренней структурой, необходимо ли во всех задачах считать их полностью эквивалентными?

Для обычной арифметики часто да.

Для исследования вычислительных процессов, алгоритмической сложности, рекурсивных структур и многоуровневых числовых конструкций — далеко не всегда.

Например:

2^3 = 8

и

2^(2^2 — 1) = 8

дают одно и то же значение.

Но пути построения этих выражений различны.

В еще более сложных конструкциях различие между значением и способом его получения становится принципиальным.

Изольдионика начинается именно в той области, где одного значения уже недостаточно для полного описания объекта.

Числовой объект начинает рассматриваться вместе с определенной внутренней организацией его построения.

Тем самым число получает дополнительное измерение.

Оно остается значением, но перестает быть только значением.

4.2. Число как структура
Если способ построения числа становится значимым, число начинает приобретать структурные свойства.

Структура означает наличие элементов и отношений между ними.

Простейшее выражение:

2^3

уже содержит как минимум основание, показатель степени и операцию возведения в степень.

Можно рассматривать только конечный результат — 8.

Но можно исследовать саму конструкцию:

основание = 2;

операция = возведение в степень;

показатель = 3.

В более сложном выражении один из компонентов сам может оказаться структурой.

Например:

2^(3^4)

Здесь показатель степени уже не является элементарным числом в записи. Он задается отдельной операционной конструкцией.

Далее можно продолжить вложение.

Таким образом возникает числовая структура, имеющая внутренние уровни.

В традиционной математике подобные конструкции совершенно нормальны. Новизна изольдионического подхода должна заключаться не в самом факте существования вложенных выражений, а в систематическом рассмотрении их внутренней архитектуры как существенного свойства числового объекта.

Это позволяет различать:

число как значение;

число как запись;

число как способ построения;

число как вложенную операционную структуру.

В Изольдионике эти аспекты постепенно соединяются.

Числовой объект становится носителем собственной архитектуры.

Особенно важно это в тех случаях, когда структура потенциально продолжима и не сводится к одной конечной операции.

Тогда перед нами уже не просто число с необычной записью, а числовой объект, способ организации которого становится самостоятельным предметом исследования.

4.3. Число как процесс
Следующий шаг состоит в переходе от числа-структуры к числу-процессу.

Число-значение отвечает на вопрос о результате.

Число-структура содержит информацию об организации.

Число-процесс вводит временное или логическое развертывание этой организации.

Пусть существует последовательность:

1, 2, 3, 4, 5, …

Она может рассматриваться как готовое множество значений, но может быть задана и правилом:

a_(n+1) = a_n + 1

Вторая форма подчеркивает процесс порождения.

Аналогично сложная числовая конструкция может пониматься не только как уже имеющийся результат, но и как правило последовательного развертывания.

Такое различие особенно существенно для объектов, которые невозможно или бессмысленно полностью выписывать.

В этом случае конечная запись выступает как программа построения потенциально значительно более крупной структуры.

Изольдионика естественным образом приходит к подобному пониманию числа.

Число может быть связано с процедурой собственного развертывания.

А процедура может включать несколько уровней.

Один уровень формирует числовые значения.

Другой определяет правила их изменения.

Третий способен задавать переходы между правилами.

Таким образом, число начинает приобретать свойства вычислительного процесса.

Это еще не означает, что любое число следует отождествить с алгоритмом.

Но появляется важная новая категория: числовой объект, для полного описания которого существенна динамика его построения.

4.4. Число как система преобразований
Еще более сильное расширение возникает тогда, когда число связано не с одной операцией, а с системой преобразований.

Простейшая числовая операция преобразует один объект в другой.

Например:

2 -> 2^2 -> 4

Но можно задать последовательность различных операций:

2 -> 2^2 -> (2^2)^3 -> ((2^2)^3) + 1

Каждый этап изменяет предыдущую структуру.

Если правило выбора операций фиксировано заранее, мы имеем последовательный вычислительный процесс.

Однако если способ выбора следующей операции зависит от состояния самой конструкции, возникает более сложная система.

В Изольдионике именно такие идеи открывают переход к внутренним операционным механизмам.

Числовой объект может включать не только значения, но и правила их преобразования.

Следующий уровень способен определять, какое правило должно применяться.

Таким образом появляется иерархия:

значение;

операция над значением;

выбор операции;

изменение механизма выбора операции.

На каждом последующем уровне предметом становится уже не только исходное число, но и система преобразований нижнего уровня.

Это чрезвычайно важный переход.

Число начинает рассматриваться как локальная вычислительная архитектура.

Именно здесь Изольдионика максимально приближается к общей гиперматематике.

4.5. Конечные и бесконечные числовые конструкции
Понятия конечности и бесконечности в Изольдионике должны рассматриваться как многомерные.

Можно говорить о конечности значения.

О конечности записи.

О конечности числа уровней.

О конечности процесса развертывания.

Эти характеристики не совпадают.

Например, очень большое конечное число может иметь компактную запись.

Выражение:

10^100

конечно и по значению, и по числу используемых операций, хотя его десятичная запись намного длиннее исходного выражения.

С другой стороны, последовательность:

1, 2, 3, 4, …

имеет простое правило построения, но потенциально бесконечное продолжение.

Еще более интересны многоуровневые конструкции, где неограниченность относится не только к числу элементов, но и к глубине возможного структурного продолжения.

Можно представить принцип:

уровень 1;

над ним уровень 2;

над ним уровень 3;

…

над ним уровень n;

…

Здесь бесконечность связана уже не столько с числовой величиной, сколько с потенциальной архитектурной глубиной.

Именно такой тип бесконечности особенно важен для гиперматематики.

В дальнейшем необходимо будет четко различать по меньшей мере:

количественную бесконечность;

последовательностную бесконечность;

рекурсивную бесконечность;

архитектурную бесконечность.

Изольдионика становится естественной областью, где эти формы могут пересекаться.

4.6. Внутренняя архитектура числа
Понятие внутренней архитектуры позволяет объединить предыдущие идеи.

Архитектура числа — это не просто набор компонентов его записи.

Она включает:

уровни;

отношения между уровнями;

операции;

правила применения операций;

механизмы развертывания;

возможные способы изменения структуры.

Для простого числа такая архитектура может быть тривиальной.

Для изольдиона она становится существенной.

При этом необходимо различать два объекта, которые в обычной арифметике могут совпадать по значению, но отличаться архитектурно.

Если итоговое значение одинаково, числовая эквивалентность может сохраняться.

Однако архитектурная эквивалентность отсутствует.

Это различие открывает новое пространство классификации.

Можно сравнивать числовые объекты:

по значению;

по способу построения;

по глубине;

по типу вложенности;

по набору операторов;

по динамике.

Таким образом, внутри числа появляется целая география структурных признаков.

Изольдионика превращается не просто в теорию очень больших или бесконечных чисел, а в теорию архитектурно организованных числовых объектов.

4.7. Статические и динамические числа
Статическое число рассматривается как объект с фиксированной организацией.

Динамическое число допускает изменение.

Но здесь важно уточнить, что именно изменяется.

Можно выделить несколько уровней динамики.

Первый уровень — изменяется числовое значение.

Второй — изменяются параметры внутренней структуры.

Третий — изменяется сама структура.

Четвертый — изменяются правила структурного изменения.

Именно переход к третьему и четвертому уровням особенно важен для Изольдионики.

Если число изменяет только значение, перед нами обычная переменная или последовательность состояний.

Если же меняется способ его внутренней организации, возникает динамический числовой объект более сильного типа.

Например, одна и та же числовая система в различных состояниях может использовать различные правила развертывания.

Тогда динамика относится уже не только к данным, но и к архитектуре.

Это один из основных путей от Изольдионики к гипердинамике.

4.8. Иерархические числовые объекты
Иерархический числовой объект содержит несколько уровней, обладающих различными функциональными ролями.

Простейший случай:

первый уровень содержит значения;

второй определяет операции над ними.

Следующий вариант:

третий уровень определяет, какие операции второго уровня должны использоваться.

Еще более сложный:

четвертый уровень изменяет систему выбора операций.

Возникает числовая вертикаль.

При этом иерархия может быть линейной:

1 -> 2 -> 3 -> 4

или ветвящейся.

Один управляющий уровень может работать сразу с несколькими нижними структурами.

Несколько метауровней могут конкурировать или взаимодействовать.

Таким образом, понятие иерархического числа естественно расширяется до понятия числовой архитектуры.

Метаизольдионы, рассматриваемые далее, являются одним из наиболее очевидных кандидатов на такие объекты.

4.9. Число как развивающаяся система
Последний шаг новой онтологии числа состоит в переходе от динамического объекта к развивающейся системе.

Не всякая динамика является развитием.

Маятник изменяет состояние, но возвращается к прежним состояниям.

Развитие предполагает более существенную перестройку пространства возможностей.

Число как развивающаяся система должно обладать способностью изменять не только текущее значение, но и собственную структуру.

В более сильной форме — способы изменения структуры.

Так возникает последовательность:

значение -> структура -> процесс -> система преобразований -> развивающаяся архитектура.

Именно эта линия задает онтологический фундамент Изольдионики как числовой гиперматематики.

На ее верхних уровнях числовой объект становится уже не просто величиной.

Он превращается в систему.

А система — в потенциально развивающуюся гиперсистему.

Глава 5. Изольдионы
5.1. Исходное понятие изольдиона
В рамках настоящей книги изольдион будем предварительно понимать как структурированный числовой объект, в котором значение, способ построения и внутренняя организация рассматриваются как взаимосвязанные компоненты единой конструкции.

Это рабочее определение.

Оно должно уточняться по мере развития формального аппарата Изольдионики.

Ключевой особенностью изольдиона является то, что число перестает быть только результатом вычисления.

Внутренняя структура его построения приобретает самостоятельное значение.

Изольдион может включать вложенные числовые конструкции, операторы, рекурсивные правила и другие компоненты.

Поэтому два изольдиона могут совпадать по обычному числовому значению, но отличаться способом организации.

Это открывает возможность двойной классификации:

арифметической;

структурной.

Так Изольдионика вводит дополнительную координату числового пространства.

5.2. Структура изольдиона
Структуру изольдиона удобно предварительно разделить на несколько слоев.

Первый — числовое основание.

Второй — операционная структура.

Третий — правила связывания операций.

Четвертый — возможные механизмы развертывания.

В простом изольдионе некоторые уровни могут отсутствовать или совпадать.

В сложном — образовывать самостоятельную архитектуру.

Важно, что изольдион не следует определять только через длину записи.

Очень длинная формула не обязательно является сложным изольдионом.

И наоборот, короткая запись может задавать чрезвычайно глубокую рекурсивную структуру.

Следовательно, размер изольдиона должен оцениваться не только количеством символов, но и глубиной его операционной организации.

5.3. Простые и составные изольдионы
Простой изольдион можно понимать как объект с минимальным количеством структурных уровней.

Составной изольдион включает несколько относительно самостоятельных внутренних конструкций.

Принципиальное различие здесь заключается не в количестве цифр.

Оно связано со структурой.

Например, условная конструкция вида:

a^b

может рассматриваться как относительно простая.

Конструкция:

a^(b^c)

уже содержит вложенный уровень.

Если показатель c сам задается отдельной числовой системой, глубина возрастает.

Еще более сложный случай возникает, когда вместо фиксированных значений используются последовательности.

Тогда составной изольдион может включать целое семейство взаимосвязанных числовых объектов.

В дальнейшем классификация простоты должна учитывать не только вложенность, но и тип используемых операторов.

5.4. Конечные и бесконечные уровни
Изольдион может обладать конечным числом внутренних уровней.

Например:

уровень 1 -> уровень 2 -> уровень 3.

Но принцип построения может допускать продолжение:

уровень 1 -> уровень 2 -> … -> уровень n -> …

В таком случае возникает потенциально бесконечная глубина.

Здесь особенно важно различать завершенную бесконечную конструкцию и правило неограниченного продолжения.

Для практической математики второе часто является более удобным.

Формула или алгоритм могут задавать возможность построения произвольного конечного числа уровней без необходимости одновременно хранить бесконечный объект.

Это обстоятельство становится особенно важным для вычислительной Изольдионики.

5.5. Степенные изольдионы
Степенные конструкции являются естественным стартовым классом изольдионов.

Простейший пример:

2^3

Далее:

2^(3^4)

Затем:

2^(3^(4^5))

и так далее.

Такие конструкции удобны потому, что ясно демонстрируют вложенность.

Однако Изольдионика не должна сводиться к башням степеней.

Степень здесь является только одним из возможных операторов.

Главное — принцип.

Каждый следующий компонент способен определять параметры преобразования предыдущей конструкции.

Можно также использовать переменные последовательности показателей:

a_1^(a_2^(a_3^(…)))

Подобные структуры представляют особый интерес, если элементы a_n генерируются разными законами.

Например, один уровень может использовать натуральные числа, другой — числа Фибоначчи, третий — простые числа.

Так степенной изольдион естественно переходит к гиперпоследовательности.

5.6. Рекуррентные изольдионы
Рекуррентный изольдион задается не только фиксированной структурой, но и правилом перехода.

Простейшая схема:

I_(n+1) = F(I_n)

Здесь I_n обозначает состояние числовой конструкции, а F — правило ее преобразования.

Однако наиболее интересный случай возникает тогда, когда F также зависит от уровня:

I_(n+1) = F_n(I_n)

Тогда меняется не только объект, но и применяемый оператор.

Еще более сильный вариант:

F_(n+1) = G(F_n)

Теперь существует отдельная динамика операторов.

В такой конструкции числовой объект и механизм его изменения образуют связанную систему.

Это уже прямой прототип гипердинамического объекта.

5.7. Иерархические изольдионы
Иерархический изольдион состоит из нескольких уровней, причем верхние уровни выполняют операционные или управляющие функции по отношению к нижним.

Условная архитектура может выглядеть так:

уровень 0 — значения;

уровень 1 — операции;

уровень 2 — выбор операций;

уровень 3 — изменение правил выбора;

…

уровень n — преобразование механизмов уровня n-1.

Это уже не просто вложенное выражение.

Перед нами числовая система управления.

Именно поэтому иерархический изольдион имеет особое значение для гиперматематики.

На его основе можно исследовать общий принцип перехода от одного порядка к другому.

5.8. Динамические изольдионы
Динамический изольдион изменяет свою структуру в процессе развертывания.

Например, на одном этапе он может использовать степенную операцию.

На следующем — рекуррентную.

Далее — перейти к другому режиму в зависимости от промежуточного состояния.

При этом необходимо различать заранее заданную смену режимов и подлинно адаптивную.

Если вся последовательность изменений полностью фиксирована, система является динамической, но не обязательно самопреобразующейся.

Более сильный случай возникает тогда, когда текущее состояние влияет на выбор дальнейшей архитектуры.

Так изольдион становится контекстно зависимым числовым процессом.

5.9. Изольдион как числовой гиперобъект
Теперь можно сделать первый важный вывод.

Изольдион становится числовым гиперобъектом тогда, когда его внутренняя организация содержит функционально различимые уровни и хотя бы один из этих уровней работает с нижележащей числовой структурой как с целостным объектом.

Не всякий изольдион автоматически обязан быть гиперобъектом высокого порядка.

Простой изольдион может иметь минимальную глубину.

Но класс изольдионов предоставляет естественную среду для появления гиперобъектов.

Именно поэтому Изольдионика может рассматриваться как числовая гиперматематика.

Она исследует не только числа.

Она исследует числа, способные приобретать внутреннюю вертикаль.

Глава 6. Метаизольдионы
6.1. Переход от изольдиона к метаизольдиону
Понятие метаизольдиона возникает тогда, когда изольдион сам становится компонентом структуры следующего уровня.

Обычный изольдион содержит числовую организацию.

Метаизольдион содержит организацию изольдионов.

Таким образом, происходит принципиальный переход:

число -> изольдион -> метаизольдион.

Приставка «мета-» оправдана здесь только в том случае, если новый объект действительно работает с изольдионами как с целостными единицами.

Если же конструкция просто стала длиннее, метауровень не возник.

Поэтому критерием метаизольдиона является не размер, а новая функциональная позиция.

6.2. Первый уровень вложенности
Простейший метаизольдион включает хотя бы один изольдион внутрь структуры более высокого уровня.

Допустим, существует изольдион I_1.

Теперь создается конструкция M, в которой I_1 является не конечным значением, а структурным компонентом:

M = H(I_1)

Если H работает с внутренней организацией I_1, а не только с его обычным числовым значением, возникает метаотношение.

Это различие принципиально.

Функция:

H(8)

может ничего не знать о том, каким способом получено число 8.

Но если H различает, например:

2^3

и

2^(2^2 — 1)

как разные структурные объекты, она работает уже не только с числом, но и с его архитектурой.

Именно здесь начинается настоящий метауровень.

6.3. Многоуровневые метаизольдионы
Первый метауровень можно надстраивать далее.

Пусть:

M_1

работает с изольдионами.

Тогда:

M_2

может работать с M_1.

Далее:

M_3

может преобразовывать M_2.

Получается последовательность:

I -> M_1 -> M_2 -> M_3 -> … -> M_n.

На каждом уровне необходимо точно определить, что именно становится объектом преобразования.

Если уровни действительно функционально различаются, возникает многоуровневая числовая архитектура.

Она уже почти полностью соответствует общему представлению о гиперобъекте n-го порядка.

6.4. Метаизольдионы произвольного порядка
Естественное обобщение состоит в переходе к метаизольдиону произвольного порядка n.

Идея заключается в том, что для любого уровня n можно определить следующий уровень n+1, работающий со структурой уровня n.

Условно:

M_(n+1) = H_n(M_n)

Однако конкретная функция H_n может меняться.

Более того, объектом следующего уровня может быть не сам M_n, а механизм его построения.

Именно это отличие особенно важно.

При достаточно высокой глубине метаизольдион превращается в систему управления собственным процессом формирования.

Тогда числовая конструкция получает признаки самоорганизующейся гиперсистемы.

6.5. Вложенные вычислительные структуры
Метаизольдионы естественно связываются с вычислительной интерпретацией.

Если каждый уровень содержит собственный оператор или набор операторов, вся конструкция может рассматриваться как вложенная вычислительная система.

Нижний уровень выполняет непосредственные операции над числовыми данными.

Следующий управляет их выбором.

Еще более высокий может изменять правила управления.

Получается архитектура:

данные -> вычисление -> управление вычислением -> управление управлением.

Подобная структура уже выходит за пределы обычного представления о числе.

Она начинает напоминать вычислительный организм.

Однако математическая ценность такого сравнения появится только тогда, когда уровни будут определены формально.

Поэтому метаизольдион представляет одновременно теоретический объект и программу дальнейшей формализации.

6.6. Управляющие уровни
Одной из наиболее важных функций метауровня является управление.

Управление означает, что верхний уровень способен изменять поведение нижнего.

Это может происходить через:

выбор операции;

изменение параметров;

включение или отключение определенных ветвей;

изменение порядка вычислений;

перестройку структуры.

Каждый тип управления создает собственную форму метаизольдиона.

В дальнейшем полезно будет различать:

параметрическое управление;

операторное управление;

структурное управление;

генеративное управление;

рефлексивное управление.

Чем выше уровень, тем более абстрактным может становиться объект управления.

6.7. Вертикальные числовые архитектуры
Совокупность уровней метаизольдиона образует вертикальную числовую архитектуру.

Нижняя часть связана с непосредственными числовыми конструкциями.

Верхние уровни работают уже с их организацией.

Так возникает своеобразная числовая башня.

Но эта башня не обязана быть линейной.

Один уровень может управлять несколькими изольдионами.

Несколько метауровней способны воздействовать на одну систему.

Могут возникать обратные связи.

Следовательно, вертикальная архитектура постепенно превращается в сеть.

Именно здесь гиперматематическая метафора «башни» должна быть дополнена понятием гиперсети.

6.8. Метаизольдион как прототип гиперобъекта высшего порядка
Метаизольдион особенно важен потому, что на числовом материале показывает главный принцип гиперматематики:

объект предыдущего уровня становится операндом следующего.

Изольдион работает с числовой структурой.

Метаизольдион работает с изольдионом.

Метаизольдион следующего порядка работает уже с предыдущей метаструктурой.

Так появляется потенциально открытый ряд.

Поэтому метаизольдион можно рассматривать как числовой прототип гиперобъекта высшего порядка.

Именно здесь Изольдионика окончательно выходит за границы обычной арифметической интуиции и превращается в лабораторию вертикальной математики.

Глава 7. Операторы и метаоператоры Изольдионики
7.1. Операции над изольдионами
Если изольдион является числовым объектом, естественно определить операции над ним.

Часть операций может наследоваться из обычной математики.

Изольдионы можно сравнивать, комбинировать, преобразовывать, включать в более сложные выражения.

Но возникает дополнительный класс операций, работающих не только с итоговым значением, но и со структурой.

Например, операция может изменить определенный уровень вложенности.

Или заменить один внутренний оператор другим.

Или перестроить порядок развертывания.

Тем самым операции над изольдионами разделяются как минимум на два класса:

значенческие;

структурные.

Именно структурные операции особенно важны для гиперматематики.

7.2. Внутренние и внешние операции
Внешняя операция применяется к изольдиону извне.

Она рассматривает его как объект.

Внутренняя операция является компонентом самого изольдиона.

Она участвует в его построении или развитии.

Например, в выражении:

2^3

возведение в степень является внутренней операцией структуры.

Если затем вся конструкция возводится в другую степень, появляется внешняя операция относительно первого уровня.

Однако после включения этой операции в более широкую структуру она сама может стать внутренней.

Таким образом, различие внутреннего и внешнего относительно.

Это важное свойство.

Одна и та же операция может менять свой статус в зависимости от уровня рассмотрения.

Именно поэтому гиперматематика должна всегда указывать уровень, относительно которого определяется операция.

7.3. Оператор как структурный компонент
Оператор в Изольдионике может выполнять не только вычислительную, но и архитектурную функцию.

Он определяет, каким образом части числовой конструкции связаны между собой.

В этом смысле оператор становится элементом внутреннего строения числа.

Если оператор фиксирован, структура относительно стабильна.

Если оператор можно заменять, появляется переменная архитектура.

Если выбор оператора определяется другим оператором, возникает следующий уровень.

Таким образом, оператор превращается в естественную точку перехода от обычного числа к метачисловой системе.

7.4. Метаоператор
Метаоператор — это оператор, предметом которого является другой оператор или система операторов.

Условно:

F

работает с числовым объектом.

G

работает с F.

Тогда G выполняет метаоперационную функцию.

Например, F может задавать правило возведения в степень.

G — выбирать параметры F.

Следующий уровень H способен выбирать сам тип F.

Так постепенно формируется операторная иерархия.

При этом важно не превращать термин «метаоператор» в обозначение любой сложной функции.

Смысл метауровня возникает только тогда, когда объектом операции становится операционная организация нижнего уровня.

7.5. Оператор над системой операторов
Следующий шаг значительно сильнее.

Пусть существует множество операторов:

F_1, F_2, F_3, …, F_n.

Теперь метаоператор G выбирает один из них в зависимости от некоторого состояния.

Тогда G работает уже не с отдельным оператором, а с операционным пространством.

Еще более высокий уровень H способен менять само множество:

{F_1, F_2, …, F_n}.

Например, добавлять новый оператор или удалять старый.

Тогда система получает генеративные свойства.

Она уже не просто выбирает действие из готового набора.

Она способна менять набор возможных действий.

Это принципиальный гиперматематический переход.

7.6. Иерархии операторов
Операторные системы естественно образуют иерархии.

Уровень 0 — числовые данные.

Уровень 1 — операции над данными.

Уровень 2 — операции над операциями уровня 1.

Уровень 3 — операции над системой уровня 2.

И так далее.

Такая иерархия может быть конечной или потенциально продолжимой.

Именно операторная вертикаль является одним из наиболее чистых способов определить порядок гиперобъекта.

Если каждый следующий уровень действительно управляет операционными возможностями предыдущего, количество уровней приобретает содержательный математический смысл.

7.7. Рекурсивные операционные конструкции
Особенно интересны системы, где оператор воздействует прямо или косвенно на собственную будущую форму.

Например:

F_(n+1) = G(F_n)

Если G зависит от результата работы F_n, возникает обратная связь.

Еще более сложный вариант:

G_(n+1) = H(G_n, F_n)

В этом случае несколько операторных уровней развиваются совместно.

Такие конструкции позволяют перейти от статической иерархии к операторной динамике.

Здесь появляется возможность самоизменения.

Система не просто выполняет последовательность операций.

Она меняет сам механизм их выполнения.

7.8. От метаоператора к гипероператору
Метаоператор является естественным прототипом гипероператора.

Однако гипероператор должен пониматься шире.

Метаоператор обычно связан с конкретным переходом:

оператор -> оператор над оператором.

Гипероператор может работать с целой многоуровневой архитектурой.

Он способен преобразовывать:

объекты;

операторы;

отношения между операторами;

уровни;

саму архитектуру уровней.

Таким образом, переход:

операция -> оператор -> метаоператор -> гипероператор

выражает расширение предмета действия.

В Изольдионике этот процесс начинается внутри числа.

В общей гиперматематике он распространяется на произвольные формализованные системы.

Глава 8. Числовая трансволюция
8.1. Статическое и динамическое число
Понятие числовой трансволюции начинается с различения статики и динамики.

Статический числовой объект сохраняет свою структуру.

Динамический изменяется.

Но для трансволюции простой смены значения недостаточно.

Если:

a_1 = 1

a_2 = 2

a_3 = 3

мы имеем последовательность состояний.

Однако структура, задающая эти состояния, может оставаться неизменной.

Трансволюционный процесс предполагает более глубокую изменяемость.

Меняться может способ построения числа.

Тип оператора.

Количество уровней.

Отношения между уровнями.

Следовательно, числовая трансволюция представляет собой структурную динамику.

8.2. Изменение внутренней структуры числа
Рассмотрим условную систему, в которой числовой объект сначала задается как:

a^b

а затем переходит в структуру:

a^(b^c).

Произошло не только изменение значения.

Появился новый уровень.

Можно представить другой процесс.

На первом этапе используется операция степени.

На втором — рекуррентное правило.

На третьем — комбинация нескольких операторов.

В каждом случае изменяется внутреннее устройство объекта.

Именно такие процессы образуют предмет числовой трансволюции.

Особенно важно различать два случая.

Первый — новая структура задается внешним исследователем.

Второй — сама система содержит механизм перехода.

Второй случай существенно сильнее и ведет к саморазвивающимся числовым объектам.

8.3. Последовательности числовых состояний
Любую динамическую числовую систему можно рассматривать как последовательность состояний:

I_0, I_1, I_2, …, I_n, …

Но в трансволюционной теории каждое I_n может быть не просто числом, а структурой.

Поэтому переход:

I_n -> I_(n+1)

может означать изменение архитектуры.

Тогда важно фиксировать не только значение I_n, но и его внутреннее описание.

Таким образом, трансволюционный ряд является последовательностью структурированных состояний.

В дальнейшем это позволит сравнивать траектории развития различных изольдионов.

8.4. Циклы и гиперциклы
Некоторые трансволюционные процессы могут быть циклическими.

Например:

A -> B -> C -> A.

Это обычный структурный цикл.

Гиперцикл возникает тогда, когда циклическое преобразование происходит на нескольких уровнях.

Например, нижний уровень выполняет цикл состояний:

A -> B -> C -> A.

Одновременно верхний уровень меняет сам порядок этого цикла:

A -> C -> B -> A.

После следующего метаперехода может измениться уже правило формирования циклов.

Таким образом, цикл становится объектом другого цикла.

Это и есть естественный путь к понятию гиперцикла.

8.5. Вертикальная трансволюция
Вертикальная трансволюция связана с изменением числа или характера уровней.

Простейший случай:

I^0 -> I^1 -> I^2 -> … -> I^n.

Здесь верхний индекс обозначает не степень, а условный порядок структуры.

Чтобы избежать путаницы в тексте книги, чаще будем описывать такие переходы словами:

изольдион нулевого порядка -> изольдион первого порядка -> изольдион второго порядка -> …

Вертикальная трансволюция способна создавать новые уровни.

Поэтому она тесно связана с гиперболизацией.

Но понятия не полностью совпадают.

Гиперболизация обозначает сам акт возникновения надстройки.

Вертикальная трансволюция описывает процесс, внутри которого такие акты могут многократно происходить.

8.6. Горизонтальная трансволюция
Горизонтальная трансволюция происходит внутри одного порядка.

Количество уровней может сохраняться, но изменяется их содержание.

Например, система остается двухуровневой, однако:

меняет операторы;

меняет параметры;

перестраивает внутренние связи;

переключается между режимами.

Горизонтальная трансволюция особенно важна потому, что развитие системы не всегда требует повышения порядка.

Иногда чрезвычайно значительные изменения происходят внутри одной архитектурной высоты.

Таким образом, трансволюция имеет как минимум два измерения:

горизонтальное;

вертикальное.

Это соответствует ранее введенному различию горизонтального и вертикального усложнения.

8.7. Ветвящаяся трансволюция
Развитие не обязано иметь одну траекторию.

Из состояния A могут быть возможны несколько переходов:

A -> B

A -> C

A -> D.

Каждая ветвь способна иметь собственное продолжение.

Так возникает трансволюционное дерево.

Ветвящаяся трансволюция особенно важна для генеративных систем.

Система не просто изменяется.

Она создает несколько вариантов собственного дальнейшего развития.

Затем может выбирать один из них.

Или сохранять несколько ветвей параллельно.

На более высоком уровне сам механизм ветвления становится объектом управления.

Это уже непосредственный переход к гипердинамике.

8.8. Рекурсивная трансволюция
Рекурсивная трансволюция возникает тогда, когда результаты предыдущих преобразований влияют на правила последующих.

Условно:

I_(n+1) = F(I_n)

но сам F изменяется:

F_(n+1) = G(I_n, F_n).

Теперь состояние системы влияет не только на следующий результат, но и на механизм получения будущих результатов.

Это один из наиболее важных типов динамики.

Он позволяет числовой системе изменять собственную трансформационную логику.

Если затем G также становится изменяемым, возникает следующий рекурсивный уровень.

Так трансволюция способна сама становиться объектом трансволюции.

8.9. Трансволюционные числовые ряды
Трансволюционный ряд представляет собой последовательность не просто чисел, а состояний развивающейся числовой архитектуры.

Простейшая форма:

I_0 -> I_1 -> I_2 -> … -> I_n -> …

Но каждое состояние может включать собственную структуру.

Поэтому два соседних элемента ряда могут отличаться:

значением;

набором операторов;

глубиной;

типом вложенности;

правилами дальнейшего развития.

Особенно интересны ряды, где периодически происходит переход порядка.

Например:

структура первого порядка -> структура первого порядка -> структура второго порядка -> структура второго порядка -> структура третьего порядка.

Такой ряд уже содержит эпизоды гиперболизации.

В дальнейшем аналогичная схема будет использована при исследовании искусственного интеллекта.

ИИ может проходить многочисленные состояния внутри одного порядка, прежде чем возникает архитектурная перестройка:

ИИ -> … -> СИИ первого порядка -> … -> СИИ второго порядка -> …

Поэтому числовая трансволюция является не просто отдельной темой Изольдионики.

Она становится моделью общего закона развивающихся гиперсистем.

8.10. От числовой трансволюции к общей гипердинамике
На этом уровне становится очевидно, что основные принципы трансволюции не ограничены числами.

Если число может менять внутреннюю архитектуру, то аналогичный процесс возможен для других математических объектов.

Граф способен менять не только вершины и ребра, но и правила собственного преобразования.

Алгоритм способен менять не только данные, но и собственную структуру.

Модель может менять не только параметры, но и способ построения моделей.

Интеллектуальная система способна менять не только ответы и знания, но и собственные когнитивные механизмы.

Следовательно, числовая трансволюция становится частным случаем более общего понятия — гипердинамики.

Гипердинамика исследует изменение многоуровневых объектов и архитектур.

В ней необходимо будет различать:

изменение состояния;

изменение структуры;

изменение операторов;

изменение правил изменения;

создание новых уровней;

изменение механизмов создания новых уровней.

Так Изольдионика снова выполняет функцию исходной лаборатории.

Сначала идея появляется внутри числа.

Затем освобождается от числовой специфики.

После этого становится общим принципом гиперматематики.

Главная траектория Части II поэтому выглядит следующим образом:

число как значение -> число как структура -> число как процесс -> изольдион -> метаизольдион -> операторная иерархия -> числовая трансволюция -> гипердинамика.

На первом этапе мы расширили онтологию числа.

На втором получили изольдион как структурированный числовой объект.

На третьем метаизольдион превратил сам изольдион в объект следующего уровня.

На четвертом операторы и метаоператоры раскрыли механизм вертикального управления.

На пятом трансволюция ввела развитие архитектуры.

Теперь появляется возможность сделать следующий принципиальный шаг.

Не ограничиваться числом.

Перенести обнаруженные структуры на произвольные математические объекты.

Именно с этого начинается общая гиперматематика.

Изольдионика в таком понимании является не периферийным разделом новой дисциплины.

Она представляет ее первый конкретный мир.

Число стало полигоном, на котором были обнаружены более общие идеи:

вложенность;

порядок;

надстройка;

операторная вертикаль;

гиперболизация;

трансволюция;

архитектурное развитие.

Следующая задача состоит в том, чтобы отделить эти принципы от их числового носителя и построить на их основе общую теорию гиперобъектов.

********

ЧАСТЬ III. ОСНОВАНИЯ ОБЩЕЙ ГИПЕРМАТЕМАТИКИ
Изольдионика показала, что число может быть рассмотрено не только как значение, но и как структура, процесс, система операций, многоуровневая архитектура и динамически изменяющийся объект.

Однако числовая природа изольдиона не является обязательным условием для возникновения этих свойств.

Вложенность возможна у функций.

Иерархия операторов — у алгоритмов.

Управляющие уровни — у моделей.

Рекурсивная архитектура — у графов и вычислительных систем.

Самоизменение — у динамических систем.

Надстраивание — у практически любого формализованного объекта, если над ним можно ввести новый функциональный уровень.

Следовательно, следующий этап состоит в обобщении.

Необходимо отделить принцип гиперматематической организации от конкретного числового носителя.

Если Изольдионика исследует числовые гиперобъекты, то общая гиперматематика должна исследовать гиперобъекты произвольной формализованной природы.

Именно этому посвящена настоящая часть.

Глава 9. От изольдиона к гиперобъекту
9.1. Необходимость обобщения
На предыдущем этапе мы рассматривали изольдион как числовую конструкцию, в которой значение, структура, операторы, вложенность и динамика способны образовывать единую систему.

Но те признаки, которые делают изольдион интересным для гиперматематики, не являются исключительно числовыми.

Если отвлечься от самого понятия числа, останутся:

структурированность;

наличие нескольких уровней;

операционные связи между уровнями;

возможность преобразования нижних уровней верхними;

возможность дальнейшего надстраивания;

рекурсивность;

динамическое изменение архитектуры.

Все это может существовать и в других математических объектах.

Рассмотрим функцию.

Обычная функция преобразует аргумент в значение.

Над ней может существовать оператор, преобразующий саму функцию.

Над множеством операторов может существовать механизм их выбора.

Еще выше может располагаться правило изменения механизма выбора.

Таким образом, функциональная система способна образовать ту же вертикаль, которую ранее мы наблюдали в изольдионике.

То же справедливо для алгоритмов.

Алгоритм выполняет преобразование данных.

Метаалгоритм может выбирать или изменять алгоритм.

Система более высокого уровня способна изменять уже метаалгоритм.

Следовательно, числовой пример показывает не исключительное свойство числа, а более общий конструктивный принцип.

Из этого возникает необходимость общего понятия.

Так появляется гиперобъект.

Гиперобъект должен описывать не определенную разновидность числа, функции или алгоритма, а общий класс объектов, обладающих надстроечной архитектурой.

Именно поэтому переход от Изольдионики к гиперматематике представляет собой переход от частной теории к общей.

Изольдион становится одним из примеров.

Гиперобъект становится общей категорией.

9.2. Базовый математический объект
Любая гиперматематическая конструкция должна иметь некоторое основание.

Назовем его базовым математическим объектом.

Базовый объект — это объект, относительно которого начинается построение гиперструктуры.

Им может быть:

число;

последовательность;

функция;

множество;

матрица;

граф;

геометрическая структура;

алгоритм;

формальная система;

модель;

пространство состояний;

иная строго определенная математическая конструкция.

Сам по себе базовый объект не обязан быть простым.

Он может обладать высокой внутренней сложностью.

Например, огромный граф с миллиардами вершин может быть базовым объектом.

Сложная система дифференциальных уравнений также может выступать основанием.

Ключевой момент состоит в другом.

В конкретной гиперматематической архитектуре мы временно принимаем такой объект за нижний уровень, относительно которого строятся надстройки.

Это означает, что понятие базового объекта относительно.

То, что в одной системе является основанием, в другой может быть частью более высокого уровня.

Например, функция f(x) может быть базовым объектом.

Но если мы рассматриваем пространство функций, сама f(x) становится элементом объекта более высокого типа.

Если затем над этим пространством действует оператор, возникает следующая система.

Поэтому базовость не является абсолютным свойством.

Это роль объекта внутри конкретной архитектуры.

Условно можно обозначить базовый объект как:

O_0

где 0 указывает не на математическое значение, а на исходный уровень рассматриваемой гиперструктуры.

Далее могут возникать:

O_1

O_2

…

O_n

но эти обозначения будут относиться уже не просто к объектам, а к уровням надстраивания.

9.3. Надстройка
Надстройка — одно из центральных понятий общей гиперматематики.

Предварительно надстройкой будем называть структурно выделенную систему, которая получает объект нижнего уровня в качестве собственного предмета и способна выполнять над ним операции преобразования, управления, выбора, генерации, оценки или организации.

Ключевыми признаками надстройки являются:

наличие нижележащего объекта;

операционная связь с ним;

функциональная отличимость;

способность работать с нижним уровнем как с целостной единицей.

Например, если дана последовательность:

1, 2, 3, 4, …

и каждому ее элементу просто добавляется единица, это еще не обязательно требует гиперматематического анализа.

Но если существует отдельная управляющая последовательность, которая определяет, какую операцию применять к каждому элементу, появляется дополнительный уровень.

Такой управляющий ряд может рассматриваться как надстройка.

Еще более ясный пример возникает в алгоритмической системе.

Алгоритм A решает задачу.

Система B выбирает один из нескольких алгоритмов A_1, A_2, …, A_n.

Тогда B является надстройкой относительно набора алгоритмов.

Если система C изменяет правила выбора, которыми пользуется B, C становится надстройкой следующего уровня.

Таким образом, надстройка — не просто новый компонент.

Это компонент другого функционального порядка.

9.4. Слой
Понятия слоя и уровня близки, но их полезно различать.

Слой — это структурно выделенная часть гиперобъекта.

Уровень — это положение слоя в системе надстроечных отношений.

Иными словами, слой отвечает на вопрос:

что выделено?

Уровень отвечает:

где это находится относительно других компонентов?

Например, гиперобъект может содержать:

слой данных;

слой операторов;

слой выбора операторов;

слой модификации правил выбора.

Каждый из этих компонентов является слоем.

Но они одновременно располагаются на различных уровнях.

Различение особенно важно в сложных архитектурах.

Несколько слоев могут находиться на одном уровне.

Например, два независимых управляющих модуля могут параллельно воздействовать на нижележащую систему.

Тогда структурно они различны, но иерархически могут иметь одинаковый порядок.

Таким образом:

слой — структурное понятие;

уровень — порядковое понятие.

Это различие позволит позднее описывать не только линейные башни, но и ветвящиеся и сетевые гиперархитектуры.

9.5. Уровень
Уровнем будем называть положение объекта или слоя в системе отношений надстраивания.

Условно:

уровень 0 — базовый объект;

уровень 1 — надстройка над базовым объектом;

уровень 2 — надстройка над уровнем 1;

…

уровень n — надстройка, работающая с объектами или механизмами уровня n-1.

Однако это простейшая линейная схема.

В реальных гиперобъектах отношения могут быть сложнее.

Например:

два слоя одного уровня могут совместно управлять нижним;

один уровень может работать сразу с несколькими нижними уровнями;

верхний уровень может получать обратную связь от нижнего;

уровни могут частично пересекаться;

система способна временно менять иерархию.

Поэтому номер уровня не должен пониматься как абсолютная координата.

Он отражает функциональное отношение.

Главный критерий нового уровня таков:

объект верхнего уровня должен рассматривать значимую часть нижнего уровня как единицу собственного действия.

Если новая структура просто добавляет еще один элемент той же природы, новый уровень не появляется.

Добавление еще одного числа в последовательность является горизонтальным расширением.

Добавление системы, изменяющей правила построения самой последовательности, уже может создать новый уровень.

9.6. Гиперобъект
Теперь можно дать более общее рабочее определение.

Гиперобъект — это формализованная система, содержащая базовый объект и как минимум одну функционально выделенную надстройку, способную оперировать нижележащим объектом, его структурой, операциями или механизмами преобразования как целостными единицами.

В упрощенном виде:

базовый объект -> надстройка.

Но развитый гиперобъект может иметь вид:

O_0 -> O_1 -> O_2 -> … -> O_n.

При этом стрелка здесь означает не обязательно обычное математическое отображение.

Она обозначает отношение надстраивания.

В строгой теории тип такого отношения должен задаваться отдельно.

Можно выделить несколько возможных форм:

преобразование;

управление;

выбор;

генерация;

контроль;

рефлексия;

самомодификация.

Таким образом, гиперобъект — это не просто сложный объект.

Его определяющим признаком является архитектура функционально различных уровней.

Это различие чрезвычайно важно.

Очень большая матрица может быть сложным объектом, но не гиперобъектом высокого порядка.

Сравнительно небольшая система операторов может обладать несколькими уровнями и поэтому быть гиперобъектом более высокого порядка.

Именно вертикальная организация, а не размер, является главным признаком.

9.7. Гиперобъект первого порядка
Гиперобъект первого порядка содержит базовый объект и одну надстройку.

Условная схема:

O_0 -> O_1.

Здесь O_0 является основанием.

O_1 работает с O_0.

Например:

числовая последовательность -> система ее преобразования;

функция -> оператор над функцией;

граф -> оператор преобразования графа;

алгоритм -> система выбора параметров алгоритма.

Гиперобъект первого порядка является минимальной нетривиальной гиперматематической конструкцией.

Однако необходимо подчеркнуть: не каждая операция создает гиперобъект первого порядка.

Если операция является просто частью исходного определения объекта, ее можно рассматривать внутри того же уровня.

Первый гиперпорядок возникает тогда, когда надстройка функционально выделена и способна работать с нижним объектом как с целым.

Это означает, что граница между обычным объектом и гиперобъектом зависит от выбранной формализации.

Поэтому в будущем потребуется ввести строгий критерий уровня.

Пока можно использовать практический принцип:

если можно независимо описать объект, описать управляющую им систему и описать отношение между ними, мы имеем основание говорить о гиперобъекте первого порядка.

9.8. Гиперобъект второго порядка
Гиперобъект второго порядка содержит как минимум три функционально различимых слоя:

базовый объект;

первую надстройку;

вторую надстройку, работающую с первой.

Условно:

O_0 -> O_1 -> O_2.

Пример.

Пусть O_0 — последовательность чисел.

O_1 — оператор, преобразующий эту последовательность.

O_2 — система, выбирающая или изменяющая оператор O_1.

Тогда O_2 воздействует уже не непосредственно на числа, а на механизм их преобразования.

Это и создает второй порядок.

Аналогично:

данные -> алгоритм -> метаалгоритм;

модель -> система управления моделью -> система изменения правил управления.

Гиперобъект второго порядка обладает качественно более богатой архитектурой.

В нем появляется возможность изменять не только объект, но и способ его изменения.

Именно поэтому второй порядок часто имеет большое значение для адаптивных систем.

Однако наличие второго уровня само по себе не означает саморазвитие.

O_2 может быть полностью фиксирован.

Для появления самоизменяющейся архитектуры потребуется дополнительная динамика.

9.9. Гиперобъект произвольного порядка
Обобщение естественно приводит к гиперобъекту произвольного порядка n.

Условно:

O_0 -> O_1 -> O_2 -> … -> O_n.

Каждый уровень O_k работает с объектами, структурами или механизмами уровня O_(k-1) или нескольких нижележащих уровней.

При этом n характеризует глубину вертикального надстраивания.

Но даже здесь необходимо соблюдать осторожность.

Простая цепочка из n элементов еще не создает гиперобъект n-го порядка.

Нужны функциональные различия между уровнями.

Каждый новый порядок должен добавлять новый тип отношения к нижележащей архитектуре.

Например:

уровень 0 — данные;

уровень 1 — операции;

уровень 2 — выбор операций;

уровень 3 — изменение правил выбора;

уровень 4 — изменение механизмов изменения правил;

…

Такой ряд уже обладает ясной вертикальной логикой.

В дальнейшем можно будет исследовать предел:

O_0 -> O_1 -> … -> O_n -> …

где число уровней потенциально не ограничено.

Именно такая конструкция лежит в основании идеи гиперобъекта произвольно высокого порядка.

9.10. Изольдион как частный числовой гиперобъект
Теперь можно точнее определить место Изольдионики.

Изольдион следует рассматривать как частный числовой гиперобъект тогда, когда его внутренняя структура содержит функционально различимые уровни и операционные отношения между ними.

Это означает, что не всякое необычно записанное или огромное число автоматически является гиперобъектом.

Гиперматематический статус определяется архитектурой.

Например, если изольдион содержит:

числовое основание;

встроенный оператор;

механизм изменения оператора;

метауровень управления,

он естественным образом интерпретируется как гиперобъект соответствующего порядка.

Метаизольдион тогда может рассматриваться как числовой гиперобъект более высокого порядка.

Так появляется отношение:

Изольдионика — частная числовая теория;

гиперматематика — общая теория.

Это отношение принципиально важно.

Гиперматематика не заменяет Изольдионику.

Она обобщает ее архитектурные принципы.

Изольдионика, в свою очередь, предоставляет общей гиперматематике конкретные числовые модели.

Так формируется связь между частным и общим.

Глава 10. Принцип гиперболизации
10.1. Понятие гиперболизации
Одним из центральных процессов гиперматематики является гиперболизация.

Предварительно гиперболизацией будем называть процесс, в результате которого над некоторым математическим объектом или уровнем создается новая функциональная надстройка, превращающая исходную систему в гиперобъект более высокого порядка.

Условно:

O_n -> O_(n+1).

Здесь стрелка обозначает появление нового надстроечного уровня.

Гиперболизация не означает просто увеличение.

Она не тождественна усложнению.

Она не равна добавлению новых элементов.

Ключевой признак гиперболизации — изменение вертикальной архитектуры.

Если в последовательность добавлен еще один член, произошел горизонтальный рост.

Если создан механизм, изменяющий правило построения всей последовательности, может произойти гиперболизация.

Поэтому гиперболизация является архитектурным преобразованием.

Можно сказать:

обычное преобразование меняет объект внутри порядка;

гиперболизация меняет сам порядок.

Это различие станет фундаментальным для дальнейшей теории.

10.2. Объект и управляющая структура
Гиперболизация предполагает как минимум два компонента:

объект;

управляющую структуру.

Объект предоставляет материал преобразования.

Управляющая структура определяет правила работы с ним.

Например:

натуральная последовательность:

1, 2, 3, 4, 5, …

может быть базовым объектом.

Последовательность:

1, 2, 3, 5, 8, …

может использоваться как управляющий ряд.

Если ее элементы задают, например, показатели степеней для элементов первой последовательности, возникает новая структура.

Условно:

1^1, 2^2, 3^3, 4^5, 5^8, …

В этом примере управляющая последовательность не просто добавлена рядом.

Она получает функциональную роль.

Именно функциональная асимметрия между объектом и управляющей структурой создает предпосылку гиперболизации.

В более сложных системах управляющим объектом может быть:

функция;

оператор;

алгоритм;

граф правил;

нейронная сеть;

метамодель;

формальная теория.

Таким образом, гиперболизация не привязана к одной математической форме.

Она является общей архитектурной операцией.

10.3. Создание первого уровня надстройки
Первичная гиперболизация превращает базовый объект в гиперобъект первого порядка.

Условно:

O_0 -> H(O_0),

где H обозначает надстроечное преобразование.

Однако H не следует понимать только как обычную функцию.

Она должна создавать отдельный функциональный уровень.

Например, базовая последовательность может существовать независимо.

Над ней вводится правило, которое определяет способ преобразования каждого ее элемента.

Если это правило структурно выделено и может изменяться независимо, оно становится первым надстроечным уровнем.

Так возникает:

базовый объект;

управляющая надстройка;

отношение между ними.

Это минимальная гиперструктура.

Первичная гиперболизация особенно важна потому, что она создает саму вертикаль.

До нее существовал один уровень.

После нее появляется отношение «ниже -> выше».

С этого момента становятся возможными дальнейшие гиперболизации.

10.4. Повторная гиперболизация
Если надстройка первого уровня сама становится объектом следующей надстройки, происходит повторная гиперболизация.

Схема:

O_0 -> O_1 -> O_2.

Например:

O_0 — последовательность;

O_1 — правило ее преобразования;

O_2 — правило выбора или изменения O_1.

После первой гиперболизации система умеет изменять объект.

После второй — изменять механизм изменения объекта.

Это принципиальное усиление.

Появляется метауровень.

Повторная гиперболизация может происходить несколько раз.

Так строится:

O_0 -> O_1 -> O_2 -> O_3 -> …

Каждый новый уровень должен иметь собственную функциональную роль.

Именно повторяемость гиперболизации создает основу гиперпорядков.

10.5. Многоуровневая гиперболизация
Многоуровневая гиперболизация означает последовательное или совместное создание нескольких надстроечных уровней.

Она может быть линейной:

O_0 -> O_1 -> O_2 -> O_3.

Но может быть и более сложной.

Например, над базовым объектом могут одновременно существовать две независимые надстройки:

O_0 -> O_1A

O_0 -> O_1B

После этого уровень O_2 может координировать обе.

Так появляется ветвящаяся архитектура.

Многоуровневая гиперболизация особенно важна, если разные надстройки выполняют разные функции:

одна анализирует;

другая преобразует;

третья выбирает режим;

четвертая оценивает результат.

Тогда гиперобъект превращается в функционально дифференцированную систему.

В развитой форме такая архитектура уже напоминает сложную интеллектуальную систему.

10.6. Итеративная гиперболизация
Итеративная гиперболизация предполагает повторное применение одного и того же принципа надстраивания.

Условно:

O_(n+1) = H(O_n).

Здесь H на каждом шаге создает новый уровень аналогичного типа.

Например, каждый новый уровень может:

управлять предыдущим;

параметризовать предыдущий;

изменять набор его операторов.

Итеративная гиперболизация создает регулярные архитектуры.

Их преимущество состоит в возможности формального анализа.

Если известно правило H, можно исследовать:

устойчивость роста;

повторяющиеся свойства;

инварианты;

предельное поведение;

условия остановки.

Так гиперболизация становится похожей на динамическую систему, но развивается не только во времени, а по оси порядка.

10.7. Рекурсивная гиперболизация
Рекурсивная гиперболизация отличается тем, что новый уровень зависит от результатов предыдущего надстраивания.

Условно:

O_(n+1) = H_n(O_n),

причем H_n может зависеть от O_n.

В более сильной форме:

H_(n+1) = G(H_n, O_n).

Теперь изменяется не только объект, но и сам механизм гиперболизации.

Это принципиально новый случай.

Архитектура не просто растет.

Она изменяет способ собственного роста.

Именно рекурсивная гиперболизация особенно важна для систем саморазвития.

В перспективе СИИ высокого порядка должна будет обладать механизмами, близкими к этому принципу.

Система сможет не только создавать новые надстройки, но и изменять способ их создания.

10.8. Зависимая гиперболизация
Гиперболизация называется зависимой, если характер нового уровня определяется состоянием нижележащей системы.

Например, если надстройка выбирается по фиксированной внешней схеме, гиперболизация условно независима.

Если же текущее состояние O_n определяет, каким будет O_(n+1), возникает зависимая гиперболизация.

Схема:

O_(n+1) = H(O_n, S_n),

где S_n — состояние системы.

Это особенно важно для адаптивных архитектур.

Новая надстройка возникает не произвольно и не по заранее полностью заданному шаблону, а как ответ на состояние нижнего уровня.

В интеллектуальных системах это может означать, что новая когнитивная функция создается для преодоления обнаруженного ограничения.

Таким образом, зависимая гиперболизация связывает развитие архитектуры с ее опытом.

10.9. Самогиперболизация
Самогиперболизация — один из наиболее сильных процессов общей гиперматематики.

Под ней предварительно будем понимать способность системы самой создавать над собой новый функциональный уровень.

То есть источник гиперболизации находится внутри самой системы.

Условно:

O_n -> O_(n+1)

осуществляется механизмом, принадлежащим O_n или его внутренней архитектуре.

Для этого система должна обладать как минимум:

моделью собственного состояния;

способностью обнаруживать ограничения;

пространством возможных надстроек;

механизмом построения новой надстройки;

механизмом ее интеграции.

Самогиперболизация значительно сильнее обычной адаптации.

Адаптация меняет параметры.

Самогиперболизация меняет архитектурный порядок.

Если такой процесс способен повторяться, возникает самонадстраивающаяся система.

Именно эта идея станет одной из центральных для будущей теории СИИ.

10.10. Потенциально бесконечная гиперболизация
Если гиперболизация может повторяться без заранее заданного максимального порядка, возникает потенциально бесконечная гиперболизация.

Схема:

O_0 -> O_1 -> O_2 -> … -> O_n -> …

Здесь бесконечность не обязательно означает наличие реально завершенного объекта с бесконечным числом уровней.

Достаточно отсутствия внутреннего правила, которое запрещало бы создание следующего уровня.

Потенциально бесконечная гиперболизация создает важный класс систем.

Для любого порядка n существует принципиальная возможность перехода к n+1.

Это не означает, что такой переход всегда полезен или возможен физически.

Могут существовать ограничения:

вычислительные;

энергетические;

логические;

информационные;

структурные.

Тем не менее математическая возможность неограниченного продолжения становится самостоятельным объектом исследования.

Именно здесь гиперматематика соприкасается с проблемой открытых интеллектуальных рядов:

ИИ -> СИИ^1 -> СИИ^2 -> … -> СИИ^n -> …

Глава 11. Порядок, глубина и архитектура гиперобъекта
11.1. Порядок гиперобъекта
Порядок гиперобъекта характеризует число функционально различимых вертикальных ступеней надстраивания относительно выбранного базового уровня.

Условно:

порядок 0 — базовый объект;

порядок 1 — одна надстройка;

порядок 2 — надстройка над надстройкой;

…

порядок n — n уровней вертикального надстраивания.

Но это только предварительная схема.

В сложных архитектурах порядок может быть не единственным числом.

Если система ветвится, различные ветви могут иметь разную высоту.

Тогда можно говорить:

о максимальном порядке;

о минимальном порядке;

о локальном порядке;

о среднем порядке.

Таким образом, развитая теория порядка может потребовать нескольких метрик.

Главный принцип остается прежним:

порядок определяется не количеством компонентов, а глубиной функционального надстраивания.

11.2. Глубина гиперобъекта
Порядок и глубина близки, но не полностью тождественны.

Порядок обозначает формальный уровень надстройки.

Глубина может отражать реальное число последовательных зависимостей внутри архитектуры.

Например, система может содержать пять уровней, но некоторые из них параллельны.

Тогда максимальная глубина может составлять три.

Таким образом, глубина показывает длину наиболее протяженного пути надстраивания.

В линейной системе:

O_0 -> O_1 -> O_2 -> O_3

порядок и глубина совпадают.

В ветвящейся системе это не обязательно так.

Понятие глубины особенно полезно для сравнения сложных гиперархитектур.

11.3. Количество уровней и характер уровней
Количество уровней само по себе не дает полного описания гиперобъекта.

Две системы могут иметь одинаковую глубину, но принципиально различаться.

Например:

данные -> фильтр -> контроллер

и

данные -> модель -> генератор моделей

обе имеют условно два надстроечных уровня.

Но функции этих уровней различны.

Поэтому необходимо учитывать характер уровня.

Можно предварительно выделить:

операционный уровень;

управляющий;

селективный;

генеративный;

оценочный;

рефлексивный;

метауправляющий;

самомодифицирующийся.

В дальнейшем классификация должна быть уточнена.

Именно сочетание количества и типа уровней определяет архитектуру гиперобъекта.

11.4. Линейная гиперархитектура
Линейная гиперархитектура является простейшей.

Каждый уровень имеет одного непосредственного предшественника и одного непосредственного последователя.

Схема:

O_0 -> O_1 -> O_2 -> O_3 -> … -> O_n.

Преимущество такой архитектуры — ясность.

Легко определить порядок.

Легко проследить поток управления.

Легко установить, какой уровень над каким находится.

Линейные гиперархитектуры особенно удобны для теоретических моделей и первых формализаций.

Однако реальные сложные системы часто не линейны.

Поэтому линейная башня должна рассматриваться как базовый случай, а не как универсальная форма.

11.5. Ветвящаяся гиперархитектура
Ветвящаяся гиперархитектура возникает, когда один уровень порождает несколько независимых или частично независимых надстроек.

Схема:

O_0 -> O_1A

O_0 -> O_1B

O_0 -> O_1C

Далее каждая ветвь может продолжаться отдельно.

Например:

одна надстройка отвечает за прогнозирование;

другая — за оптимизацию;

третья — за контроль.

Позже верхний уровень способен объединить их результаты.

Ветвящаяся архитектура резко увеличивает вариативность.

Она позволяет одному основанию иметь несколько путей развития.

Именно здесь возникает естественная связь между гиперматематикой и пространствами возможностей.

11.6. Сетевая гиперархитектура
Сетевая гиперархитектура еще сложнее.

В ней отношения между уровнями не образуют простое дерево.

Несколько компонентов могут взаимно воздействовать друг на друга.

Например:

O_A влияет на O_B;

O_B влияет на O_C;

O_C возвращает воздействие на O_A.

Так возникает сеть обратных связей.

В сетевой архитектуре понятия «верх» и «низ» становятся относительными.

Один компонент может быть управляющим в одном отношении и управляемым в другом.

Поэтому для таких систем простого номера уровня недостаточно.

Потребуются графовые модели гиперотношений.

Сетевая гиперархитектура особенно важна для описания:

сложных вычислительных систем;

нейронных архитектур;

когнитивных систем;

распределенного управления.

Она показывает, что гиперматематика не должна ограничиваться вертикальными башнями.

11.7. Рекурсивная гиперархитектура
Рекурсивная гиперархитектура содержит контуры, в которых результаты работы системы возвращаются к механизмам ее собственного преобразования.

Условно:

O_n -> O_(n+1) -> … -> O_n.

Но простой цикл еще не делает систему рекурсивной в сильном смысле.

Ключевой случай возникает, когда результат влияет на правило следующего преобразования.

Например:

система выполняет операцию;

оценивает результат;

изменяет собственный оператор;

повторяет процесс.

Так появляется архитектура обучения.

Если же изменяется не только оператор, но и механизм его изменения, рекурсивность переходит на метауровень.

Рекурсивные гиперархитектуры являются фундаментом самоизменяющихся систем.

11.8. Самореферентная архитектура
Самореферентная архитектура содержит внутреннее представление системы о самой себе.

Это представление может быть:

полным;

частичным;

приближенным;

локальным;

динамическим.

Самореференция не обязательно означает сознание.

В математическом смысле достаточно наличия модели, описывающей собственные компоненты или состояния.

Например, система может хранить:

собственную структуру;

список доступных операторов;

метрики качества;

ограничения.

Если эта внутренняя модель используется для изменения системы, самореференция приобретает операционное значение.

Тогда архитектура способна:

наблюдать себя;

оценивать себя;

изменять себя.

Это один из главных мостов между гиперматематикой и будущими интеллектуальными системами.

11.9. Горизонтальная и вертикальная сложность
Горизонтальная сложность относится к организации внутри уровня.

Она может измеряться:

числом элементов;

числом связей;

размерностью;

комбинаторным разнообразием;

вычислительной сложностью.

Вертикальная сложность связана с количеством и типом надстроечных уровней.

Например, система может иметь низкую горизонтальную сложность, но высокую вертикальную.

Небольшой объект может включать несколько метауровней.

И наоборот, огромная система может оставаться одноуровневой.

Это различие имеет фундаментальное значение.

Особенно при сравнении ИИ-систем.

Увеличение числа параметров является в основном горизонтальным ростом.

Появление нового метакогнитивного уровня относится к вертикальному росту.

Гиперматематика должна уметь описывать оба измерения одновременно.

11.10. Гиперсложность
Гиперсложность возникает при соединении:

внутриуровневой сложности;

межуровневой сложности;

динамики архитектуры.

Можно предложить предварительную схему.

Гиперсложность зависит от:

числа уровней;

типа уровней;

числа связей между ними;

глубины;

ветвления;

рекурсивности;

самореференции;

изменяемости архитектуры.

В таком понимании гиперсложность — это не просто «очень большая сложность».

Это сложность особого типа.

Она характеризует систему, у которой сложными являются не только элементы и связи, но и сама организация уровней.

Особенно высокий класс гиперсложности возникает, если система способна менять собственную архитектуру.

Тогда пространство возможных состояний включает уже не только конфигурации объекта, но и конфигурации способов его организации.

Глава 12. Классификация гиперобъектов
12.1. Простые и составные гиперобъекты
Простой гиперобъект содержит минимальное количество функционально значимых уровней и связей.

Например:

объект -> одна надстройка.

Составной гиперобъект включает несколько надстроек, ветвей, операторных систем или взаимодействующих гиперобъектов.

Различие между простым и составным гиперобъектом относительно.

Для одной задачи трехуровневая система может считаться сложной.

Для другой — элементарной.

Поэтому в будущем потребуется формальный критерий составности.

В простейшем варианте составным можно считать гиперобъект, включающий несколько самостоятельных гиперструктур.

12.2. Конечные и бесконечные гиперобъекты
Конечный гиперобъект имеет конечное число уровней и конечную структурную глубину.

Бесконечный гиперобъект может пониматься по-разному.

Возможна:

бесконечность числа элементов;

бесконечность глубины;

бесконечность ветвления;

бесконечность процесса надстраивания.

Эти формы необходимо различать.

Особенно важно понятие потенциально бесконечного гиперобъекта.

Для любого конечного уровня n можно построить следующий уровень n+1.

Но вся бесконечная конструкция не обязана существовать одновременно.

Такая модель особенно естественна для динамических систем развития.

12.3. Статические и динамические гиперобъекты
Статический гиперобъект имеет фиксированную архитектуру.

Его состояния могут меняться, но набор уровней и отношений между ними остается неизменным.

Динамический гиперобъект допускает изменение архитектуры.

Например:

добавление уровня;

удаление уровня;

смену операторов;

перестройку связей;

изменение правил управления.

Различие между статикой и динамикой принципиально.

Именно динамические гиперобъекты создают основу гипердинамики.

В их случае предметом математического анализа становится уже не только состояние системы, но и изменение самой структуры.

12.4. Дискретные и непрерывные гиперобъекты
Дискретный гиперобъект изменяется через отдельные состояния или уровни.

Например:

O_0 -> O_1 -> O_2.

Непрерывный гиперобъект предполагает непрерывное изменение параметров или структуры.

Однако понятие непрерывного изменения самой архитектуры требует осторожности.

Если число уровней является дискретным, непрерывность может относиться к параметрам внутри них.

В перспективе возможно введение гибридных гиперобъектов, в которых:

структурные переходы дискретны;

внутриуровневая динамика непрерывна.

Такие системы особенно важны для моделирования реальных физических и интеллектуальных процессов.

12.5. Линейные и нелинейные гиперобъекты
Линейность может рассматриваться как свойство преобразований внутри гиперобъекта или как свойство его архитектуры.

Линейный гиперобъект в узком смысле использует линейные отношения между уровнями.

Нелинейный допускает:

обратные связи;

пороговые эффекты;

эмерджентность;

зависимость результата от истории;

непропорциональные изменения.

Большинство сложных гиперсистем, вероятно, будут нелинейными.

Особенно это касается систем самоорганизации и интеллекта.

Нелинейность усиливает гиперсложность, поскольку небольшое изменение нижнего уровня может радикально повлиять на верхние.

И наоборот.

12.6. Детерминированные и вероятностные гиперобъекты
Детерминированный гиперобъект имеет однозначно определенный переход при заданном состоянии.

Если известно O_n, следующий шаг полностью определяется.

Вероятностный гиперобъект допускает несколько вариантов.

Например:

из состояния A система может перейти в B с одной вероятностью и в C — с другой.

Вероятностность может существовать:

внутри уровня;

при выборе оператора;

при переходе между уровнями;

при создании новой надстройки.

Особенно интересны системы, в которых вероятностной является сама архитектура.

Тогда новый уровень не задается заранее, а выбирается из пространства возможных архитектур.

Это открывает путь к эволюционным и генеративным гиперсистемам.

12.7. Открытые и замкнутые гиперобъекты
Замкнутый гиперобъект имеет заранее заданное множество допустимых уровней, операций и состояний.

Он может быть сложным, но его пространство возможностей фиксировано.

Открытый гиперобъект способен расширять это пространство.

Например:

добавлять новые операторы;

создавать новые связи;

расширять набор допустимых структур;

подключать внешние системы;

создавать новые уровни.

Открытость особенно важна для саморазвивающихся систем.

Замкнутая система может оптимизировать поведение внутри заданного пространства.

Открытая способна изменять само пространство.

Именно поэтому гиперматематика уделяет особое внимание открытым архитектурам.

12.8. Рекурсивные гиперобъекты
Рекурсивный гиперобъект использует результаты собственных преобразований как вход для последующих преобразований.

Простейшая схема:

O_(n+1) = F(O_n).

Но в гиперматематике особенно интересна рекурсия более высокого порядка:

F_(n+1) = G(F_n, O_n).

Здесь меняется сам оператор.

Еще более высокий уровень:

G_(n+1) = H(G_n, F_n, O_n).

Так возникает рекурсивная вертикаль.

Рекурсивные гиперобъекты способны обладать богатой динамикой и потенциально формировать новые уровни.

12.9. Самоизменяющиеся гиперобъекты
Самоизменяющийся гиперобъект содержит внутренний механизм изменения собственной структуры.

Это более сильное понятие, чем обычный динамический объект.

Динамический объект может меняться под действием внешнего закона.

Самоизменяющийся объект содержит закон изменения внутри себя.

Он способен менять:

параметры;

операторы;

связи;

локальные правила;

структурные модули.

В более развитом случае он меняет и сам механизм изменения.

Именно этот переход ведет к самонадстраиванию.

12.10. Самонадстраивающиеся гиперобъекты
Самонадстраивающийся гиперобъект способен самостоятельно создавать новые уровни собственной архитектуры.

Это один из наиболее сильных классов гиперматематики.

Такой объект должен обладать по меньшей мере следующими функциями:

анализом собственной структуры;

обнаружением ограничений;

формированием кандидата на новую надстройку;

проверкой ее совместимости;

интеграцией нового уровня;

перестройкой управления.

Если процесс может повторяться, возникает:

O_0 -> O_1 -> O_2 -> … -> O_n -> …

где каждый новый уровень создается самой системой.

Самонадстраивание представляет естественный предел идеи гиперболизации.

Внешняя гиперболизация строит новый уровень над объектом.

Самогиперболизация позволяет объекту сделать это самому.

Повторяемая самогиперболизация превращает объект в самонадстраивающуюся гиперсистему.

Именно этот класс особенно важен для дальнейшего перехода к интеллектуальным архитектурам.

Общая гиперматематика тем самым приходит к одной из своих центральных идей.

Математический объект можно рассматривать не только как нечто данное.

Он может быть основанием архитектуры.

Архитектура может иметь несколько порядков.

Порядки могут изменяться.

Система может создавать новые порядки.

Отсюда возникает наиболее общая линия настоящей части:

базовый объект -> надстройка -> гиперобъект -> гиперобъект n-го порядка -> гиперболизация -> гиперархитектура -> динамический гиперобъект -> самоизменяющийся гиперобъект -> самонадстраивающийся гиперобъект.

На этом уровне гиперматематика окончательно выходит за границы Изольдионики.

Изольдион остается важнейшим числовым прототипом.

Но теперь число становится лишь одним из множества возможных носителей.

Следующая задача состоит в исследовании конкретных гиперматематических конструкций.

Одной из наиболее удобных таких конструкций является последовательность.

Именно на последовательностях можно относительно просто показать, как разные ряды, операторы и уровни управления объединяются в гиперпоследовательности.

Поэтому следующим этапом становится переход от общей теории гиперобъекта к специальной теории гиперпоследовательностей.

**********

ЧАСТЬ IV. ГИПЕРПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Последовательность является одним из наиболее удобных исходных объектов гиперматематики.

Причина проста.

У последовательности имеются:

порядок элементов;

позиции;

значения;

правило построения;

возможность связывать каждый элемент одного ряда с соответствующим элементом другого;

возможность изменять правило от позиции к позиции.

Благодаря этому последовательности позволяют чрезвычайно наглядно показать почти все основные процессы, введенные ранее:

надстраивание;

гиперболизацию;

вложенность;

управление;

многоуровневость;

рекурсию;

трансволюцию.

Обычная числовая последовательность может выступать базовым объектом.

Вторая последовательность может определять способ преобразования первой.

Третья — управлять взаимодействием первых двух.

Четвертая — изменять правила применения третьей.

Так возникает гиперпоследовательность.

В простейшем случае она представляет собой последовательность, систематически преобразованную другой последовательностью или системой операторов.

В развитом случае перед нами уже не просто ряд чисел, а многоуровневая архитектура рядов, операторов и правил их взаимодействия.

Именно поэтому гиперпоследовательности можно рассматривать как один из первых полноценных экспериментальных полигонов общей гиперматематики.

Глава 13. Последовательность как элементарная модель гиперобъекта
13.1. Числовая последовательность
Числовая последовательность представляет собой упорядоченный набор чисел:

a_1, a_2, a_3, …, a_n, …

Главным отличием последовательности от неупорядоченного множества является наличие позиции.

Число важно не только как значение, но и как элемент определенного места.

Например:

1, 2, 3, 4, 5, …

и

5, 4, 3, 2, 1, …

содержат одни и те же первые пять значений, но образуют разные последовательности.

Таким образом, в последовательности уже присутствует минимальная архитектура:

позиция;

значение;

отношение порядка.

Последовательность может быть задана явным правилом.

Например:

a_n = n.

Тогда получаем натуральный ряд:

1, 2, 3, 4, 5, …

Другой вариант:

a_n = n^2.

Получаем:

1, 4, 9, 16, 25, …

Последовательность также может задаваться рекуррентно.

Например:

a_(n+1) = a_n + 1.

Или через более сложное правило, где следующий элемент зависит от нескольких предыдущих.

Таким образом, уже обычная последовательность соединяет состояние и механизм построения.

Именно это делает ее особенно удобной для гиперматематики.

Если правило построения фиксировано, перед нами обычная последовательность.

Если же правило начинает зависеть от другой последовательности, возникает возможность надстраивания.

13.2. Последовательность значений и последовательность операторов
В обычном случае последовательность состоит из значений:

a_1, a_2, a_3, …, a_n, …

Но можно построить и последовательность операторов:

F_1, F_2, F_3, …, F_n, …

где каждый F_n определяет некоторое действие.

Тогда соответствующий элемент исходного ряда преобразуется по собственному правилу.

Условно:

b_n = F_n(a_n).

Например, пусть:

a_n = n.

А последовательность операторов устроена так:

F_1 — оставить число без изменения;

F_2 — возвести в квадрат;

F_3 — возвести в куб;

F_4 — возвести в четвертую степень;

и так далее.

Получим:

1, 2^2, 3^3, 4^4, …, n^n, …

Здесь уже присутствуют два синхронизированных ряда.

Первый ряд содержит значения.

Второй фактически задает операции или параметры операций.

Обычная последовательность превратилась в объект, которым управляет другая последовательность.

Это простейшая форма вертикального отношения.

Можно сделать систему еще более общей.

Последовательность операторов может включать разные типы действий:

F_1 — сложение;

F_2 — умножение;

F_3 — возведение в степень;

F_4 — факториальное преобразование;

F_5 — некоторое рекуррентное преобразование.

Тогда гиперпоследовательность становится операционно неоднородной.

Таким образом, различение последовательности значений и последовательности операторов открывает первый естественный путь к гиперпоследовательности.

13.3. Управляющая последовательность
Управляющей последовательностью будем называть последовательность, элементы которой определяют параметры, операторы или режимы преобразования другой последовательности.

Пусть имеется базовый ряд:

A = 1, 2, 3, 4, 5, …

И управляющий ряд:

B = 1, 2, 3, 5, 8, …

Если элементы B используются как показатели степени элементов A, получаем:

1^1, 2^2, 3^3, 4^5, 5^8, …

То есть ряд Фибоначчи становится управляющим уровнем относительно натурального ряда.

Важно подчеркнуть: само наличие двух последовательностей еще не образует гиперматематическую конструкцию.

Необходимо отношение управления.

Если два ряда просто записаны рядом, они остаются независимыми.

Если же значение b_n определяет преобразование a_n, возникает функциональная асимметрия:

A является управляемой последовательностью;

B — управляющей.

Управляющая последовательность может задавать:

показатель степени;

коэффициент;

номер оператора;

число итераций;

порядок применения операций;

длину локального цикла;

условие перехода;

структуру следующего элемента.

Таким образом, управляющий ряд может воздействовать не только на значения, но и на архитектуру базовой последовательности.

Чем сильнее это воздействие, тем выше гиперматематический потенциал конструкции.

13.4. Позиционный закон
Позиционный закон связывает преобразование элемента с его положением в последовательности.

Простейший пример:

a_n = n^n.

Здесь индекс n одновременно определяет:

само базовое значение;

параметр преобразования.

Получаем:

1^1, 2^2, 3^3, 4^4, 5^5, …

В таком случае позиция становится управляющей переменной.

Но позиционный закон может быть значительно сложнее.

Например:

элемент на четной позиции возводится в квадрат;

элемент на нечетной позиции — в куб.

Тогда:

1^3, 2^2, 3^3, 4^2, 5^3, 6^2, …

Другой вариант:

для каждого n выбирается операция F_n в зависимости от того, является ли n простым числом, числом Фибоначчи или элементом другого заданного множества.

Таким образом, сама позиционная структура последовательности становится источником управления.

Позиционный закон особенно важен потому, что позволяет создавать гиперпоследовательности без отдельного внешнего ряда.

Управляющая информация может быть извлечена из индекса.

В дальнейшем можно будет различать:

внешне управляемые последовательности;

позиционно управляемые;

самоуправляемые.

Последний класс станет особенно интересным для рекурсивных гиперпоследовательностей.

13.5. Локальный закон преобразования
Локальный закон определяет, какое преобразование применяется к конкретной позиции или локальной группе элементов.

Общая схема:

b_n = F_n(a_n).

Если F_n одинаков для всех n, последовательность преобразуется единым законом.

Если F_n меняется, возникает локально неоднородная система.

Например:

F_1(x) = x;

F_2(x) = x^2;

F_3(x) = x^3;

…

Тогда:

b_n = n^n.

Но локальный закон может зависеть не только от позиции.

Он может учитывать соседние элементы:

b_n = F(a_(n-1), a_n, a_(n+1)).

Или всю предыдущую историю:

b_n = F(a_1, a_2, …, a_n).

Таким образом, локальность может иметь различные масштабы.

В простейшем случае один оператор соответствует одному элементу.

В более сложном — оператор работает с блоком.

Еще более сложный вариант использует целую предысторию.

Так гиперпоследовательность постепенно переходит от простой позиционной конструкции к динамической системе.

13.6. Динамическая последовательность
Динамическая последовательность характеризуется тем, что правило ее построения изменяется в процессе развертывания.

Обычная последовательность может иметь вид:

a_(n+1) = F(a_n),

где F постоянно.

Динамический вариант:

a_(n+1) = F_n(a_n),

где оператор F_n меняется.

Но и это еще не максимальный уровень.

Можно допустить, что F_n зависит от состояния самой последовательности:

F_n = G(a_1, a_2, …, a_n).

Теперь история ряда влияет на его собственный закон дальнейшего развития.

Еще более сильная схема:

F_(n+1) = H(F_n, a_n).

В этом случае изменяется уже сам оператор.

Возникает последовательность состояний и одновременно последовательность законов.

Динамическая последовательность становится естественным мостом между теорией последовательностей и гипердинамикой.

13.7. От последовательности к гиперпоследовательности
Теперь можно дать предварительное определение.

Гиперпоследовательность — это последовательность или система последовательностей, в которой элементы, локальные законы или правила построения одного уровня систематически определяются, преобразуются или управляются другой последовательностью, системой операторов либо надстроечным уровнем.

Простейшая схема:

A -> B,

где B управляет преобразованием A.

Более конкретно:

a_n -> F_n(a_n).

Если F_n определяется другой последовательностью b_n:

F_n = F(b_n),

получаем двухрядную гиперструктуру.

Следующий уровень может определять уже b_n или функцию F.

Так возникает:

A -> B -> C.

В развитом случае гиперпоследовательность перестает быть просто одним рядом необычных чисел.

Она представляет собой систему синхронизированных последовательностей и операторов.

Именно поэтому гиперпоследовательность следует понимать архитектурно.

Результирующий ряд может быть только внешним проявлением значительно более сложной внутренней системы.

Глава 14. Элементарные гиперпоследовательности
14.1. Натуральный ряд
Натуральный ряд является наиболее удобным исходным объектом:

1, 2, 3, 4, 5, …, n, …

Его преимущество заключается в простоте и прозрачности.

Каждая позиция n содержит значение n.

Поэтому легко наблюдать влияние любых дополнительных преобразований.

Сам натуральный ряд не является гиперпоследовательностью.

Он выступает базовым объектом.

Но именно над ним можно строить огромное количество гиперболизаций.

Например:

n -> n^2;

n -> n^n;

n -> n!;

n -> 2^n;

n -> F_n(n),

где F_n меняется от позиции к позиции.

Натуральный ряд становится своеобразной лабораторной координатной сеткой.

На ней особенно легко видеть, что именно добавляет управляющая структура.

14.2. Степенная гиперболизация натурального ряда
Наиболее простым примером гиперболизации является последовательное возведение элементов натурального ряда в степени.

Пусть показатель совпадает с самим элементом:

1^1, 2^2, 3^3, 4^4, 5^5, …, n^n, …

Здесь базовый ряд:

1, 2, 3, 4, …

преобразуется по позиционному закону.

Можно использовать другой ряд показателей.

Например, Фибоначчи:

1, 2^1, 3^2, 4^3, 5^5, 6^8, …

если принять соответствующую нумерацию ряда Фибоначчи.

Или простые числа:

1^2, 2^3, 3^5, 4^7, 5^11, …

Главный принцип:

базовое значение поступает из одного ряда;

показатель степени — из другого.

Таким образом, операция степени становится каналом связи между двумя последовательностями.

Можно менять роли.

Например, натуральные числа могут задавать показатели, а ряд Фибоначчи — основания.

Получается другая гиперпоследовательность.

Это сразу показывает, что порядок наложения имеет значение.

14.3. Факториальные преобразования
Факториал предоставляет другой класс быстро растущих преобразований.

Базовая последовательность:

1, 2, 3, 4, 5, …

может быть преобразована:

1!, 2!, 3!, 4!, 5!, …

Получаем:

1, 2, 6, 24, 120, …

Но для гиперматематики интереснее не сам факториальный ряд, а возможность управлять факториальным преобразованием.

Например, можно применять факториал только на позициях, определяемых другим рядом.

Или использовать повторный факториальный оператор, если такая операция заранее формально определена.

Можно также построить смешанную последовательность:

на одних позициях применяется степень;

на других — факториал;

на третьих — обычное умножение.

Тогда управляющая последовательность определяет уже не параметр, а тип операции.

Так гиперпоследовательность становится операционно гетерогенной.

Это важный переход.

Система начинает управлять не только величиной преобразования, но и самим классом преобразования.

14.4. Экспоненциальные преобразования
Экспоненциальная схема задается, например, последовательностью:

2^1, 2^2, 2^3, 2^4, …, 2^n, …

Здесь основание фиксировано, а показатель меняется.

Можно обратить роли:

1^2, 2^2, 3^2, 4^2, …

Или сделать оба компонента переменными:

a_n^(b_n).

Если:

a_n = n,

а:

b_n = F_n,

где F_n — число Фибоначчи, возникает одна гиперпоследовательность.

Если b_n — n-е простое число, возникает другая.

Особенно интересны конструкции, где основание и показатель сами задаются гиперпоследовательностями.

Тогда простая экспоненциальная операция становится узлом между несколькими надстроечными системами.

14.5. Переменные операторы
Наиболее важный шаг элементарной гиперматематики состоит в отказе от фиксированного оператора.

Пусть имеется базовый ряд:

1, 2, 3, 4, 5, …

Теперь каждому n соответствует свой оператор F_n.

Например:

F_1 — оставить без изменения;

F_2 — возвести в квадрат;

F_3 — вычислить факториал;

F_4 — возвести 2 в степень исходного числа;

F_5 — применить некоторое рекуррентное правило.

Тогда:

b_n = F_n(n).

Содержательно эта конструкция богаче последовательности n^n, потому что меняется уже не параметр одной операции, а сама операция.

Управляющий ряд может состоять не из чисел, а из кодов операторов.

Например:

1, 2, 1, 3, 2, …

где:

1 означает возведение в квадрат;

2 — факториал;

3 — экспоненциальное преобразование.

Так возникает последовательность операций над последовательностью значений.

Это уже полноценная операторная гиперпоследовательность.

14.6. Управляемые последовательности
Управляемая последовательность представляет общий класс, в котором закон построения базового ряда определяется внешней системой.

Общая схема:

b_n = F(a_n, c_n),

где:

a_n — базовый ряд;

c_n — управляющий ряд.

Но c_n может определять самые разные свойства:

параметр;

оператор;

число итераций;

ветвь вычисления;

локальное правило;

порядок взаимодействия с другими рядами.

Управление может быть жестким.

То есть c_n заранее фиксирован.

Или адаптивным.

Тогда c_n зависит от состояния результирующей последовательности.

Например:

c_(n+1) = G(b_n).

В таком случае между базовым и управляющим рядом возникает обратная связь.

Управляемая последовательность превращается в динамическую гиперсистему.

14.7. Изольдионические гиперпоследовательности
Особый класс образуют последовательности, элементами которых являются не обычные числа, а изольдионы.

Условно:

I_1, I_2, I_3, …, I_n, …

Здесь каждый I_n может обладать собственной внутренней архитектурой.

Следовательно, последовательность уже содержит два измерения сложности:

горизонтальное — переход от I_n к I_(n+1);

вертикальное — внутренняя структура каждого I_n.

Если затем одна последовательность изольдионов начинает управлять другой, возникает еще более сложная конструкция.

Например:

I_n -> M_n(I_n),

где M_n — метаизольдионическая управляющая структура.

Так гиперпоследовательность соединяется с Изольдионикой.

Это особенно важно потому, что элементы ряда сами уже могут быть гиперобъектами.

Получается последовательность гиперобъектов.

А если между ними существует надстроечное управление — гиперпоследовательность гиперобъектов.

Глава 15. Наложение рядов
15.1. Последовательность над последовательностью
Понятие наложения используется здесь как рабочее обозначение функционального связывания нескольких рядов по позициям или по некоторому иному закону соответствия.

Пусть имеются:

A = a_1, a_2, …, a_n, …

и

B = b_1, b_2, …, b_n, …

Можно построить новый ряд:

C_n = F(a_n, b_n).

Например:

c_n = a_n^b_n.

Или:

c_n = a_n * b_n.

Или:

c_n = F_(b_n)(a_n),

где b_n определяет номер оператора.

Таким образом, один ряд может воздействовать на другой несколькими способами.

Важно различать симметричное объединение и надстроечное наложение.

Если:

c_n = a_n + b_n,

оба ряда играют относительно симметричную роль.

Если же b_n определяет, что именно делать с a_n, возникает управляющая асимметрия.

Именно второй вариант особенно важен для гиперматематики.

15.2. Натуральный ряд и ряд Фибоначчи
Рассмотрим натуральный ряд:

1, 2, 3, 4, 5, 6, …

и один из стандартных вариантов ряда Фибоначчи:

1, 1, 2, 3, 5, 8, …

Если числа Фибоначчи используются в качестве показателей степеней, получаем:

1^1, 2^1, 3^2, 4^3, 5^5, 6^8, …

Это простейшая гиперболизация натурального ряда рядом Фибоначчи.

Но можно задать другие отношения.

Например:

11, 21, 32, 43, 55, 68, …

Или использовать числа Фибоначчи как количество повторений некоторой операции.

Например, элемент a_n подвергается оператору F ровно Fib_n раз.

Таким образом, один и тот же управляющий ряд может порождать множество различных гиперпоследовательностей.

Следовательно, гиперпоследовательность определяется не только наборами рядов, но и законом их взаимодействия.

15.3. Натуральный ряд и последовательность простых чисел
Теперь возьмем последовательность простых чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, …

Если использовать ее как последовательность показателей степеней для натуральных чисел, получим:

1^2, 2^3, 3^5, 4^7, 5^11, 6^13, …

Здесь рост показателей определяется арифметической структурой простых чисел.

Можно использовать простые числа и иначе.

Например, применять преобразование только к позициям, соответствующим простым индексам.

Или выбирать оператор в зависимости от остатка от деления на p_n.

Таким образом, простые числа превращаются в управляющую структуру.

Сам по себе натуральный ряд остается базовым.

Но его локальный закон теперь определяется вторым рядом.

Именно этот принцип важнее конкретной формулы.

15.4. Натуральный ряд, ряд Фибоначчи и простые числа
Следующий шаг — одновременное использование трех рядов.

Пусть:

A_n = n;

B_n = n-е число Фибоначчи;

C_n = n-е простое число.

Можно определить, например:

результат на позиции n строится из A_n;

B_n определяет показатель степени;

C_n определяет число повторений дополнительного преобразования.

Или:

A_n является основанием;

B_n определяет один параметр;

C_n — другой.

Так возникает трехрядная гиперпоследовательность.

Здесь уже появляется принцип, который особенно важен для всей гиперматематики:

один объект может одновременно находиться под управлением нескольких надстроечных структур.

Эти структуры могут:

действовать независимо;

действовать последовательно;

управлять различными параметрами;

воздействовать друг на друга.

В последнем случае начинается переход от простой многорядности к настоящей многоуровневой архитектуре.

15.5. Многорядные преобразования
Обобщим предыдущий пример.

Пусть имеется базовый ряд:

A^(0).

Над ним действуют управляющие ряды:

A^(1), A^(2), …, A^(k).

Здесь запись с верхним индексом используется только как условное обозначение уровня или роли, а не как степень.

В текстовом изложении, чтобы избежать путаницы, чаще будем говорить:

базовый ряд;

управляющий ряд 1;

управляющий ряд 2;

…

управляющий ряд k.

Каждый из них может задавать отдельный параметр.

Например:

первый — оператор;

второй — интенсивность;

третий — число итераций;

четвертый — порядок композиции;

пятый — условие остановки.

Получаем многомерный закон преобразования.

Такая последовательность уже напоминает маленькую вычислительную систему.

В дальнейшем многорядные конструкции могут стать одним из способов программного представления гиперобъектов.

15.6. Порядок наложения
Если над базовым рядом действует несколько управляющих систем, возникает вопрос о порядке их применения.

Пусть имеются два преобразования:

F

и

G.

Возможны варианты:

сначала F, затем G;

сначала G, затем F.

То есть:

G(F(a_n))

и

F(G(a_n)).

Они не обязаны давать одинаковый результат.

Например, операция прибавления единицы и возведения в квадрат:

сначала прибавить 1, затем возвести в квадрат;

или сначала возвести в квадрат, затем прибавить 1.

Для числа 2 получаем:

(2 + 1)^2 = 9

и

2^2 + 1 = 5.

Следовательно, порядок наложения является структурно значимым параметром.

В гиперматематике это приобретает особое значение, поскольку порядок может определяться отдельной надстройкой.

Тогда появляется еще один уровень:

операторы;

порядок операторов;

система управления порядком.

Так простое наложение превращается в гиперкомпозицию.

15.7. Коммутативные и некоммутативные наложения
Если изменение порядка двух преобразований не меняет результата, такие наложения можно условно назвать коммутативными.

Если результат меняется — некоммутативными.

Условно:

F(G(a)) = G(F(a))

для коммутативного случая.

И:

F(G(a)) не равно G(F(a))

для некоммутативного.

В гиперпоследовательностях некоммутативность особенно интересна.

Она означает, что архитектура взаимодействия рядов становится существенной.

Недостаточно знать, какие операторы присутствуют.

Необходимо знать, в каком порядке они применяются.

Если этот порядок сам изменяется от позиции к позиции, возникает последовательность архитектур преобразования.

Таким образом, гиперпоследовательность может изменять не только значения и операторы, но и топологию их применения.

15.8. Зависимые управляющие ряды
До сих пор управляющие последовательности могли рассматриваться как независимые.

Но они могут зависеть друг от друга.

Пусть B управляет базовым рядом A.

А C управляет самим B.

Тогда:

A <- B <- C.

Здесь стрелки условно показывают направление управления.

Например:

B_n задает показатель степени для A_n;

C_n определяет, каким способом вычисляется B_n.

Теперь B перестает быть автономной управляющей последовательностью.

Она сама становится управляемым объектом.

Так появляется настоящий второй гиперпорядок.

В еще более сложном случае B и C могут взаимно влиять друг на друга.

Тогда возникает динамическая сеть управляющих рядов.

Именно зависимость между управляющими уровнями превращает многорядную систему в полноценную гиперархитектуру.

Глава 16. Гиперпоследовательности высших порядков
16.1. Первый порядок
Гиперпоследовательность первого порядка содержит базовый ряд и один функционально выделенный управляющий уровень.

Схема:

A_0 <- A_1.

Здесь A_0 — базовая последовательность.

A_1 — управляющая.

Например:

A_0:

1, 2, 3, 4, 5, …

A_1:

1, 1, 2, 3, 5, …

Если A_1 определяет показатели степеней элементов A_0, возникает гиперпоследовательность первого порядка.

Главное условие:

управляющий ряд должен воздействовать на базовый ряд как на объект собственного действия.

Простого параллельного существования двух последовательностей недостаточно.

16.2. Второй порядок
Второй порядок возникает, когда появляется управляющая система над первым управляющим уровнем.

Схема:

A_0 <- A_1 <- A_2.

Например:

A_0 — натуральные числа;

A_1 — ряд Фибоначчи, задающий показатели;

A_2 — последовательность простых чисел, определяющая, каким образом изменяются элементы A_1 или когда именно они используются.

Теперь A_2 не просто добавляет еще один параметр базовому ряду.

Она управляет первым уровнем управления.

Именно это является главным критерием второго порядка.

Таким образом, необходимо различать:

два параллельных управляющих ряда первого порядка;

и последовательную иерархию управления второго порядка.

Это фундаментально разные архитектуры.

16.3. Третий порядок
Третий порядок продолжает тот же принцип:

A_0 <- A_1 <- A_2 <- A_3.

Теперь A_3 работает уже с механизмом второго надстроечного уровня.

Например:

A_1 задает параметры преобразования A_0;

A_2 выбирает способы использования A_1;

A_3 изменяет правила выбора, используемые A_2.

На этом уровне гиперпоследовательность начинает приобретать признаки метауправляемой системы.

Ее результирующие элементы зависят уже от нескольких ступеней принятия операционных решений.

Именно здесь становится особенно ясно, что внешний вид результирующего числового ряда может скрывать сложную внутреннюю архитектуру.

Поэтому для гиперматематики недостаточно публиковать только последовательность результатов.

Необходимо описывать схему ее генерации.

16.4. Произвольный n-й порядок
Обобщение приводит к гиперпоследовательности n-го порядка.

Условно:

A_0 <- A_1 <- A_2 <- … <- A_n.

Каждый уровень A_k управляет некоторой существенной частью уровня A_(k-1).

При этом конкретный характер управления может различаться.

Один уровень задает значения.

Другой — параметры.

Третий — операторы.

Четвертый — порядок операторов.

Пятый — правила изменения порядка.

И так далее.

Это позволяет строить потенциально произвольную глубину.

Однако простой рост n сам по себе не гарантирует содержательной ценности.

Новый уровень должен создавать новую функциональность.

Если очередной слой лишь дублирует предыдущий, формальное увеличение глубины может оказаться искусственным.

Поэтому теория гиперпоследовательностей должна в дальнейшем определить критерий существенного порядка.

16.5. Рост глубины
Глубина гиперпоследовательности определяется длиной цепи зависимостей между базовым рядом и наиболее высоким управляющим уровнем.

Например:

A_0 <- A_1

имеет глубину 1.

A_0 <- A_1 <- A_2 <- A_3

имеет глубину 3 относительно базового уровня.

Однако в ветвящихся системах глубина может различаться по направлениям.

Одна ветвь имеет два уровня.

Другая — пять.

Третья — семь.

Тогда можно говорить о максимальной глубине.

Рост глубины увеличивает потенциальную выразительность системы.

Но одновременно повышает:

сложность анализа;

стоимость вычислений;

риск нестабильности;

трудность интерпретации.

Поэтому большая глубина не является безусловным преимуществом.

Гиперматематика должна исследовать не максимальное число уровней вообще, а оптимальные архитектуры для конкретных классов задач.

16.6. Ветвление гиперпоследовательности
Гиперпоследовательность не обязана иметь одну линию управления.

Пусть над A_0 существуют два ряда:

A_1 и B_1.

Один управляет степенью.

Другой — типом дополнительной операции.

Затем над A_1 действует A_2, а над B_1 — B_2.

Получаем две ветви.

Они могут позднее объединяться на более высоком уровне C.

Так возникает дерево управления.

Ветвление резко увеличивает разнообразие возможных архитектур.

Одна ветвь может отвечать за рост.

Другая — за фильтрацию.

Третья — за выбор.

Четвертая — за оценку.

Подобные структуры особенно близки к реальным вычислительным системам, где функции распределены между несколькими подсистемами.

В гиперпоследовательностях ветвление можно изучать в максимально чистой форме.

16.7. Рекурсивные гиперпоследовательности
Рекурсивная гиперпоследовательность возникает, когда результат предыдущего этапа влияет на управляющие уровни последующих этапов.

Например:

a_(n+1) = F_n(a_n),

а:

F_(n+1) = G(F_n, a_n).

Здесь меняется не только значение, но и оператор.

Еще сложнее:

G_(n+1) = H(G_n, F_n, a_n).

Так возникает рекурсивная иерархия.

Результат нижнего уровня возвращается вверх и изменяет механизм управления.

После этого измененный механизм снова воздействует вниз.

Возникает контур:

значение -> управление -> изменение управления -> новое значение.

Рекурсивные гиперпоследовательности являются одним из первых классов объектов, где можно исследовать самоизменение в относительно простой математической среде.

16.8. Бесконечные башни последовательностей
Если над каждым управляющим рядом потенциально можно создать следующий, возникает башня:

A_0 <- A_1 <- A_2 <- … <- A_n <- …

Такая конструкция представляет потенциально бесконечную гиперпоследовательность по вертикали.

Необходимо различать две бесконечности.

Горизонтальная:

каждая последовательность содержит потенциально бесконечное число элементов.

Вертикальная:

система допускает потенциально бесконечное число надстроечных уровней.

Их сочетание дает особенно богатый объект:

бесконечная последовательность бесконечных последовательностей, организованных в потенциально бесконечную архитектуру управления.

Однако математическая запись такого объекта должна быть конечной.

Поэтому ключевым становится правило генерации уровней.

Например:

A_(k+1) = H(A_k).

Если H определено, вертикальная бесконечность может задаваться компактным законом.

Таким образом, бесконечная башня не обязательно требует бесконечной записи.

Она может быть определена конечным метаправилом.

16.9. Трансволюционные гиперпоследовательности
Наиболее развитый класс возникает тогда, когда гиперпоследовательность изменяет не только значения, но и собственную архитектуру.

Пусть в одном состоянии система имеет вид:

A_0 <- A_1.

Позднее:

A_0 <- A_1 <- A_2.

Затем происходит ветвление.

После этого одна ветвь исчезает.

Позднее появляется новый операторный уровень.

Мы имеем уже не одну гиперпоследовательность с фиксированной архитектурой, а последовательность гиперархитектур.

Условно:

H_0 -> H_1 -> H_2 -> … -> H_n -> …

где H_n обозначает состояние всей гиперпоследовательности на этапе n.

Такой процесс и является трансволюционной гиперпоследовательностью.

Можно различать:

горизонтальную трансволюцию — меняются значения и параметры при сохранении порядка;

вертикальную — добавляются или исчезают уровни;

ветвящуюся — возникают альтернативные архитектуры;

рекурсивную — результаты изменяют правила собственного дальнейшего развития.

Особенно важна вертикальная трансволюция.

Она может быть представлена как:

гиперпоследовательность первого порядка -> гиперпоследовательность второго порядка -> … -> гиперпоследовательность n-го порядка -> …

Здесь последовательность развивается уже не только по индексу элементов, но и по порядку собственной архитектуры.

Таким образом, возникает двойная динамика:

внутри ряда;

над самим рядом.

Именно это делает трансволюционную гиперпоследовательность одним из наиболее характерных объектов гиперматематики.

Она уже содержит в миниатюре многие процессы, которые позднее будут перенесены на алгоритмы, модели и интеллектуальные системы.

Можно представить общую линию развития всей Части IV:

обычная последовательность -> управляемая последовательность -> гиперпоследовательность первого порядка -> многорядная система -> гиперпоследовательность n-го порядка -> рекурсивная гиперпоследовательность -> трансволюционная гиперпоследовательность.

Первоначально последовательность содержала только значения и порядок.

Затем появился управляющий ряд.

Потом управляющий ряд сам стал объектом управления.

После этого возникли ветви, обратные связи и рекурсивные контуры.

Наконец, изменяемой стала сама архитектура.

Таким образом, гиперпоследовательность демонстрирует в максимально наглядной форме главный принцип гиперматематики:

объект может быть преобразован; механизм его преобразования может стать объектом следующего преобразования; а сама система уровней может становиться изменяемым объектом еще более высокого порядка.

На уровне последовательностей этот принцип сравнительно легко представить.

На следующих этапах он будет распространен на значительно более общие математические конструкции.

Гиперматематика постепенно переходит от последовательностей значений к последовательностям операторов, от операторов — к системам операторов, от систем операторов — к архитектурам их композиции.

Следовательно, следующим естественным предметом становятся гипероперации и гипералгебры.

*******

ЧАСТЬ V. ГИПЕРОПЕРАЦИИ И ГИПЕРАЛГЕБРЫ
До сих пор основное внимание уделялось гиперобъектам и гиперпоследовательностям. Однако любой многоуровневый объект становится математически содержательным только тогда, когда определены допустимые действия над ним.

Именно поэтому следующим шагом должна стать теория операций.

Обычная операция изменяет объект или связывает несколько объектов.

Оператор превращает само правило действия в самостоятельный математический объект.

Метаоператор действует уже на оператор.

Гипероператор в принятом здесь специальном смысле способен воздействовать не только на отдельный оператор, но и на многоуровневую операционную архитектуру: менять операторы, их отношения, порядок применения и при определенных условиях саму систему уровней.

Так возникает переход:

операция -> оператор -> метаоператор -> гипероператор -> система гипероператоров.

После этого появляется возможность говорить уже не просто об отдельных действиях, а об алгебрах преобразований.

Если алгебра обычного типа организует объекты и операции над ними, то гипералгебра должна организовать несколько взаимосвязанных уровней объектов, операторов и правил преобразования операторных систем.

Особое место здесь занимают инварианты.

Если объект проходит через множество преобразований, что в нем остается неизменным?

Если изменяется не только сам объект, но и его архитектура, существуют ли свойства, сохраняющиеся на нескольких уровнях одновременно?

Из этого вопроса возникают понятия межуровневого инварианта, гиперинварианта и гиперэквивалентности.

Таким образом, настоящая часть посвящена операционному ядру общей гиперматематики.

Глава 17. Гипероператоры
17.1. Операция
Операция является одним из фундаментальных способов связывания математических объектов.

В простейшем случае операция получает один или несколько объектов и создает некоторый результат.

Например:

2 + 3

2 * 3

2^3

В каждом случае имеется набор исходных объектов, правило действия и результат.

Операции могут быть:

одноместными;

двухместными;

многоместными;

частично определенными;

детерминированными;

вероятностными;

дискретными;

непрерывными.

Для гиперматематики особенно важно не конкретное содержание операции, а ее положение внутри архитектуры.

Одна и та же операция способна играть разные роли.

На одном уровне она является непосредственным преобразованием объекта.

На другом — сама становится объектом выбора.

На третьем — элементом системы операторов.

Следовательно, операция не должна рассматриваться только как фиксированное действие.

Она может быть включена в более высокий уровень.

Именно это открывает переход от обычной операционности к метаоперационности.

17.2. Оператор
Оператор — это формализованное преобразование, которое можно рассматривать как самостоятельный объект математического анализа.

В наиболее общем виде можно сказать:

оператор F получает объект A и преобразует его в объект B.

Условно:

A -> F -> B.

В другой записи:

B = F(A).

Для гиперматематики важен именно тот факт, что F можно отделить от конкретного A.

После этого можно исследовать уже сам оператор:

изменять его параметры;

сравнивать с другими операторами;

комбинировать;

выбирать;

строить последовательности операторов;

определять операции над операторами.

Например, если имеется множество:

F_1, F_2, …, F_n,

можно рассматривать уже не один способ преобразования объекта, а пространство возможных преобразований.

Таким образом, оператор является первой ступенью объективизации действия.

То, что раньше было только способом изменить объект, само становится объектом.

Этот переход чрезвычайно важен для гиперматематики.

Без него невозможны ни метаоператоры, ни гипероператоры.

17.3. Метаоператор
Метаоператор действует не непосредственно на базовый объект, а на оператор или систему операторов.

Пусть:

F

преобразует объект A.

Тогда метаоператор M может изменять F.

Например, M способен:

выбрать параметры F;

заменить F другим оператором;

соединить F с другим оператором;

изменить область применения F;

изменить порядок применения F.

Условно:

A -> F -> результат,

а:

F -> M -> F’.

Теперь объектом действия становится сам оператор.

Это и образует метаоперационный уровень.

Важно подчеркнуть, что слово «метаоператор» используется здесь как рабочий термин гиперматематики.

Не всякая функция, аргументом которой является другая функция, автоматически должна считаться метаоператором в специальном смысле настоящей теории.

Для этого требуется функциональное различие уровней.

Метаоператор должен играть управляющую или преобразовательную роль по отношению к нижележащей операционной системе.

17.4. Гипероператор
Понятие гипероператора расширяет понятие метаоператора.

Метаоператор обычно воздействует на один оператор или на один операционный уровень.

Гипероператор способен действовать на более сложную многоуровневую структуру.

Предварительно гипероператором будем называть оператор, предметом действия которого является гиперобъект, система операторов или архитектура нескольких операционных уровней, причем результатом действия может становиться изменение не только состояний, но и самой операционной организации.

Гипероператор может:

изменять объект;

заменять операторы;

изменять отношения между операторами;

изменять последовательность их применения;

добавлять новые операторы;

удалять существующие;

создавать новые уровни управления;

изменять правила перехода между уровнями.

Именно последняя группа свойств особенно существенна.

Если оператор меняет только данные, он остается оператором обычного уровня.

Если он меняет оператор, появляется метаоперация.

Если он способен преобразовывать архитектуру нескольких операционных уровней, мы получаем гипероператор в собственном смысле настоящей книги.

Поэтому гипероператор характеризуется не «силой» операции, а высотой и масштабом предмета своего действия.

17.5. Оператор первого порядка
Оператор первого порядка работает непосредственно с базовыми объектами.

Например:

числами;

последовательностями;

функциями;

матрицами;

графами.

Условно:

F^1: O_0 -> O_0;.

Запись F^1 здесь означает оператор первого порядка, а не степень оператора.

Чтобы не создавать путаницу в основном тексте, далее чаще будет использоваться словесное обозначение.

Оператор первого порядка может:

изменять значение;

переставлять элементы;

преобразовывать структуру внутри заданного уровня;

строить новый объект того же или другого типа.

Например, оператор может преобразовать последовательность:

1, 2, 3, 4, …

в последовательность:

1, 4, 9, 16, …

Однако если правило преобразования фиксировано, вертикальный порядок архитектуры не меняется.

Таким образом, первый порядок относится к непосредственной работе с базовым объектом.

17.6. Оператор второго порядка
Оператор второго порядка действует на оператор первого порядка или систему операторов первого порядка.

Если F преобразует объект, то M преобразует F.

Условно:

F -> M -> F’.

Например, имеется набор:

F_1 — возведение в квадрат;

F_2 — возведение в куб;

F_3 — факториальное преобразование.

Оператор второго порядка может выбирать один из них в зависимости от условий.

В результате базовый объект изменяется косвенно.

Верхний уровень не обязательно работает с числом напрямую.

Он изменяет способ работы с числом.

Именно поэтому второй порядок качественно отличается от первого.

Переход:

изменить объект

сменяется переходом:

изменить механизм изменения объекта.

Это один из центральных шагов гиперматематического мышления.

17.7. Оператор n-го порядка
Идея естественно продолжается.

Оператор третьего порядка воздействует на систему операторов второго порядка.

Оператор четвертого — на механизмы третьего.

В общем случае оператор n-го порядка работает с существенной частью операционной организации порядка n-1.

Получается ряд:

оператор первого порядка;

оператор второго порядка;

оператор третьего порядка;

…

оператор n-го порядка.

Формально можно представить:

F_1, F_2, …, F_n,

где каждый следующий уровень получает предыдущую операционную систему как объект собственного преобразования.

Однако необходимо соблюдать уже сформулированный принцип:

новый порядок не определяется одной лишь вложенностью записи.

Он должен иметь самостоятельную функциональную роль.

Если F_3 просто повторяет действие F_2, третий порядок формально может быть искусственным.

Если же F_3 изменяет сам механизм работы F_2, появляется реальное новое отношение.

Таким образом, порядок гипероператора должен определяться по его предмету действия.

17.8. Оператор, преобразующий собственные операторы
Особенно важен случай, когда система способна преобразовывать собственные операторы.

Пусть гиперобъект содержит набор:

F_1, F_2, …, F_k.

Обычная система использует этот набор.

Более сложная способна изменять параметры F_i.

Еще более сильная может:

заменять F_i;

создавать новые F_i;

изменять отношения между ними;

менять правила их генерации.

Так возникает самооперационное преобразование.

Условно:

система использует F;

результат работы F оценивается;

на основании оценки изменяется сам F;

измененный F снова используется системой.

Получается цикл:

оператор -> результат -> оценка -> изменение оператора -> новый оператор.

Если система способна менять также механизм изменения оператора, появляется следующий порядок.

Именно такие конструкции важны для самоизменяющихся и самонадстраивающихся гиперобъектов.

В перспективе оператор, преобразующий собственные операторы, становится одним из ключевых механизмов СИИ.

Глава 18. Гиперкомпозиция
18.1. Обычная композиция
Композиция позволяет последовательно применять несколько преобразований.

Пусть сначала действует F, затем G.

Тогда объект A проходит путь:

A -> F -> B -> G -> C.

Композиция означает, что результат первого преобразования становится входом второго.

Если порядок изменить, результат может измениться.

Например:

сначала прибавить 1, затем возвести в квадрат;

или сначала возвести в квадрат, затем прибавить 1.

Для числа 2:

(2 + 1)^2 = 9.

Во втором случае:

2^2 + 1 = 5.

Следовательно, композиция хранит информацию не только о составе операций, но и об их порядке.

Для гиперматематики это особенно важно, поскольку порядок применения операторов сам способен стать объектом управления.

18.2. Композиция операторов
Если имеются операторы:

F;

G;

H,

можно создавать цепочки:

F -> G -> H.

Но возможны и разные композиции:

F -> G;

G -> F;

F -> H -> G;

G -> H -> F.

Таким образом, набор операторов порождает пространство возможных композиций.

На обычном уровне исследователь заранее выбирает одну из них.

На гиперматематическом уровне появляется вопрос:

может ли сама система выбирать, строить и изменять композицию?

Если да, композиция перестает быть внешне заданной.

Она становится динамической частью объекта.

Это и открывает путь к гиперкомпозиции.

18.3. Гиперкомпозиция
Предварительно гиперкомпозицией будем называть такую организацию нескольких операторов или операционных уровней, при которой объектом управления становится не только результат отдельных операций, но и сама архитектура их совместного применения.

Обычная композиция фиксирована:

F -> G -> H.

Гиперкомпозиция может выбирать между вариантами:

F -> G -> H;

F -> H -> G;

G -> F;

H -> G -> F.

Она также может:

вставить новый оператор;

удалить один из операторов;

изменить зависимости;

создать ветвление;

организовать обратную связь.

Таким образом, предметом гиперкомпозиции является композиционная архитектура.

Это принципиально отличает ее от простой длинной цепочки функций.

Гиперкомпозиция не означает «много операций подряд».

Она означает управление самой системой их соединения.

18.4. Последовательная гиперкомпозиция
Последовательная гиперкомпозиция сохраняет линейную форму, но позволяет изменять ее структуру.

В базовом состоянии:

F_1 -> F_2 -> F_3.

Затем гипероператор может преобразовать ее в:

F_1 -> F_3 -> F_2.

Или:

F_2 -> F_4 -> F_1.

Появляется два уровня.

Первый уровень выполняет операции.

Второй определяет последовательность их выполнения.

Если второй уровень фиксирован, система является управляемой композицией.

Если он способен сам изменяться, начинается более высокая гиперкомпозиционная динамика.

Последовательная гиперкомпозиция является наиболее простой формой композиционной архитектуры и удобна для первых формализаций.

18.5. Параллельная гиперкомпозиция
В параллельной гиперкомпозиции несколько операторов действуют одновременно или независимо.

Например:

F_1(A);

F_2(A);

F_3(A).

После этого результаты объединяются оператором G.

Схема:

A -> F_1;

A -> F_2;

A -> F_3;

затем результаты -> G.

Так возникает архитектура типа «разветвление -> объединение».

Параллельность позволяет системе одновременно строить несколько вариантов преобразования.

Это особенно важно для:

поиска;

оптимизации;

генерации вариантов;

сравнения моделей;

ансамблевых систем.

Гиперматематический уровень возникает тогда, когда система способна менять:

число параллельных ветвей;

состав операторов;

способ объединения;

правила выбора между результатами.

Таким образом, параллельность сама становится управляемой структурой.

18.6. Ветвящаяся гиперкомпозиция
Ветвящаяся гиперкомпозиция использует условные переходы.

Например:

если выполняется условие A, применять F;

если условие B — G;

если условие C — H.

Но условия тоже могут изменяться.

Тогда появляется метауровень, управляющий ветвлением.

В еще более сложной системе новые ветви способны создаваться динамически.

Получаем уже не фиксированное дерево операций, а развивающееся дерево.

Ветвящаяся гиперкомпозиция особенно хорошо соответствует трансволюционным системам.

Каждая ветвь может задавать отдельную траекторию развития объекта.

В дальнейшем подобная архитектура будет важна для моделирования пространства альтернативных решений в интеллектуальных системах.

18.7. Иерархическая гиперкомпозиция
Иерархическая гиперкомпозиция объединяет несколько уровней операторов.

Например:

уровень 1 содержит F_1, F_2, F_3;

уровень 2 выбирает порядок их применения;

уровень 3 изменяет правила выбора;

уровень 4 определяет, когда необходимо изменить сам состав операторов.

Так возникает композиция не только операторов, но и управляющих механизмов.

Объект проходит через многоуровневую систему решений.

Это уже полноценная гиперархитектура.

Иерархическая гиперкомпозиция особенно важна потому, что дает операционную интерпретацию гиперобъекта n-го порядка.

Порядок теперь можно связывать не только с наличием уровней, но и с характером композиции между ними.

18.8. Рекурсивная гиперкомпозиция
Рекурсивная гиперкомпозиция использует результаты работы композиции для изменения самой композиции.

Например:

система применяет:

F -> G -> H.

Затем оценивает результат.

После этого изменяет композицию:

F -> H -> G.

Новый результат снова анализируется.

Возникает цикл:

композиция -> результат -> оценка -> изменение композиции -> новая композиция.

В более высоком порядке изменяется уже механизм оценки.

Тогда рекурсивность распространяется на несколько уровней.

Так гиперкомпозиция превращается в самообучающуюся архитектуру преобразований.

18.9. Самоизменяющаяся гиперкомпозиция
Наиболее развитая форма возникает тогда, когда система способна самостоятельно перестраивать собственную композиционную архитектуру.

Она может:

создавать новые операторы;

удалять неэффективные;

объединять несколько операторов;

разделять один сложный оператор на несколько;

создавать новые ветви;

менять иерархию;

строить новые уровни управления.

Так композиция становится живой в структурном смысле.

Она больше не является фиксированной схемой вычислений.

Она превращается в развивающийся гиперобъект.

Именно здесь особенно тесно соединяются:

гиперкомпозиция;

гиперболизация;

трансволюция.

Гиперкомпозиция описывает архитектуру взаимодействия операторов.

Трансволюция — ее изменение.

Гиперболизация — возникновение нового операционного уровня.

Глава 19. Гипералгебраические системы
19.1. Алгебра объектов
Алгебра в широком смысле организует некоторый класс объектов и операции над ними.

Имеются:

носитель;

допустимые операции;

правила их применения;

законы, которым они подчиняются.

Для гиперматематики это является исходной моделью.

На первом уровне можно исследовать алгебру обычных объектов.

Например:

чисел;

матриц;

функций;

преобразований.

Но если сами операции становятся объектами, возникает следующий алгебраический слой.

Так начинается переход к гипералгебре.

Важно подчеркнуть: термин «гипералгебра» в настоящей книге используется как рабочее название развиваемой гиперматематической теории и не должен автоматически отождествляться с другими существующими употреблениями этого слова.

19.2. Алгебра операторов
Если операторы рассматриваются как самостоятельные объекты, над ними можно определить собственные операции.

Например:

композицию;

выбор;

параллельное объединение;

параметризацию;

инверсию — там, где она определена;

преобразование одного оператора в другой.

Таким образом, возникает алгебра операторов.

Ее элементами являются уже не исходные числа или функции, а способы преобразования.

Это первый важный вертикальный переход.

Базовая алгебра работает с объектами.

Алгебра операторов — с механизмами работы над объектами.

Если затем сама алгебра операторов становится предметом преобразования, возникает следующий гиперуровень.

19.3. Алгебра надстроек
Алгебра надстроек должна исследовать не только отдельные операторы, но и структуры надстроечных уровней.

Ее объектами могут быть:

управляющие слои;

метаоператоры;

композиционные схемы;

иерархии операторов;

правила перехода между уровнями.

Допустим, существуют две надстройки:

H_1;

H_2.

Можно поставить вопрос:

как они объединяются?

Могут ли они работать параллельно?

Какая из них выше по порядку?

Можно ли одну встроить внутрь другой?

Можно ли заменить H_1 системой H_2?

Так надстройки становятся объектами алгебраического исследования.

Это важнейший шаг к общей гипералгебре.

19.4. Многоуровневые алгебры
Многоуровневая алгебра содержит несколько связанных алгебраических слоев.

Условная архитектура:

уровень 0 — алгебра базовых объектов;

уровень 1 — алгебра операторов;

уровень 2 — алгебра метаоператоров;

уровень 3 — алгебра преобразований архитектур;

…

уровень n.

Каждый следующий слой работает с элементами или структурами предыдущего.

Однако уровни не обязаны иметь одинаковую алгебраическую природу.

Например, на одном уровне может действовать композиция.

На другом — логический выбор.

На третьем — вероятностная генерация.

Поэтому многоуровневая алгебра должна уметь связывать разнородные операционные системы.

Это делает ее значительно сложнее обычной однородной алгебры.

19.5. Иерархии алгебраических структур
В гипералгебре объектом становится уже не одна алгебра, а иерархия алгебр.

Например:

A_0 — алгебра базовых объектов;

A_1 — алгебра операторов над A_0;

A_2 — алгебра преобразований A_1;

…

A_n.

В таком случае можно исследовать отношения:

между A_0 и A_1;

между A_1 и A_2;

между A_0 и A_2;

между всей иерархией и внешней управляющей системой.

Появляется новая область вопросов.

Какие свойства нижней алгебры сохраняются на верхнем уровне?

Может ли верхняя алгебра менять законы нижней?

Когда две алгебраические иерархии эквивалентны?

Существуют ли универсальные переходы между порядками?

Именно эти вопросы превращают гипералгебру из набора необычных операций в общую теорию многоуровневых алгебраических систем.

19.6. Динамические алгебры
Обычная алгебра предполагает фиксированный набор операций и законов.

Динамическая алгебра допускает их изменение.

Например, на этапе t_1 разрешены операции:

F_1, F_2, F_3.

На этапе t_2:

F_1, F_3, F_4.

На этапе t_3 система изменяет не только набор операторов, но и правила композиции.

Таким образом, алгебраическая структура становится функцией состояния или времени.

Это уже не одна алгебра, а трансволюционный ряд алгебр:

A_1 -> A_2 -> A_3 -> … -> A_n -> …

Причем переход может быть:

внешне заданным;

адаптивным;

рекурсивным;

самоуправляемым.

Динамические алгебры представляют естественный мост между гипералгеброй и гипердинамикой.

19.7. Самомодифицирующиеся алгебры
Самомодифицирующаяся алгебра содержит механизм, способный изменять собственный набор операций или собственные законы.

Это чрезвычайно сильное понятие.

Если система может только выбирать между готовыми операциями, пространство ее возможностей фиксировано.

Если она способна создавать новую операцию, пространство расширяется.

Если она способна изменять правила создания операций, возникает следующий порядок.

Таким образом, самомодифицирующаяся алгебра может включать:

операции над объектами;

операции над операциями;

генераторы новых операций;

механизмы оценки;

механизмы изменения генераторов.

В предельном варианте алгебра начинает конструировать собственную операционную среду.

Именно такой класс систем особенно важен для генеративной гиперматематики и будущих СИИ.

19.8. Перспективы общей гипералгебры
Общая гипералгебра должна стать теорией многоуровневых операционных систем произвольной природы.

Ее задачами могут быть:

формальное определение порядка алгебраической системы;

классификация типов надстроек;

описание допустимых межуровневых операций;

исследование композиции операторных уровней;

поиск инвариантов;

изучение динамических и самомодифицирующихся алгебр;

построение канонических форм;

создание вычислительных реализаций.

Особый интерес представляет вопрос о минимальном наборе конструкций, достаточном для порождения богатого класса гипералгебр.

Можно ли определить несколько базовых операций:

создание уровня;

связывание уровней;

композицию;

ветвление;

рекурсию;

самомодификацию,

а затем строить из них сложные архитектуры?

Если это удастся, гипералгебра получит собственное конструктивное ядро.

Глава 20. Гиперинварианты и гиперэквивалентность
20.1. Инвариант
Инвариантом называется свойство, сохраняющееся при определенном классе преобразований.

Сам принцип инвариантности является одним из фундаментальных в математике.

Объект может меняться, но некоторые характеристики остаются неизменными.

Именно они позволяют распознавать структуру за множеством различных представлений.

Для гиперматематики проблема инвариантности становится особенно важной.

Гиперобъект способен изменяться сразу на нескольких уровнях.

Следовательно, возникает вопрос:

что остается неизменным при преобразовании одного уровня?

Что сохраняется при преобразовании нескольких уровней?

Что остается после изменения самой архитектуры?

Так обычная теория инвариантов естественно расширяется.

20.2. Межуровневый инвариант
Межуровневый инвариант — это свойство или отношение, сохраняющееся при переходе между несколькими уровнями гиперобъекта.

Например, базовая структура может менять значения, а верхний уровень — операторы, но определенный тип отношения между уровнями сохраняется.

Или объект может менять конкретную форму, сохраняя число функциональных уровней.

Можно представить разные виды межуровневых инвариантов:

структурные;

операционные;

порядковые;

топологические;

информационные;

функциональные.

Особенно интересны инварианты, которые не принадлежат ни одному уровню отдельно.

Они характеризуют отношение уровней.

Например:

«верхний уровень всегда управляет выбором операторов нижнего».

Даже если сами операторы постоянно меняются, отношение управления сохраняется.

Это уже архитектурный инвариант.

20.3. Гиперинвариант
Гиперинвариант можно предварительно определить как свойство гиперобъекта или его архитектуры, сохраняющееся при допустимых преобразованиях сразу нескольких уровней, включая некоторые изменения самой надстроечной организации.

Обычный инвариант сохраняется при преобразованиях объекта.

Гиперинвариант должен быть устойчив к более широкому классу изменений.

Например, система может:

заменять операторы;

изменять их параметры;

перестраивать ветви;

добавлять локальные слои,

но при этом сохранять некоторую фундаментальную архитектурную характеристику.

Такой характеристикой может быть:

определенный максимальный порядок;

тип рекурсивности;

способ обратной связи;

принцип распределения управления;

сохраняемое отношение между входом и выходом.

Гиперинвариант особенно важен для самоизменяющихся систем.

Если все в объекте изменяемо, возникает вопрос, в каком смысле это все еще «тот же» объект.

Ответ может быть связан именно с гиперинвариантами.

20.4. Эквивалентность гиперобъектов
Два гиперобъекта могут быть эквивалентны по разным критериям.

Например, они могут:

давать одинаковый результат;

иметь одинаковую глубину;

обладать одинаковой архитектурой;

выполнять одинаковую функцию;

иметь одинаковые гиперинварианты.

Следовательно, единого понятия эквивалентности недостаточно.

Можно различать:

результативную эквивалентность;

структурную;

операционную;

архитектурную;

динамическую;

гиперинвариантную.

Например, две гиперпоследовательности могут выдавать одинаковый числовой ряд, но строить его различными архитектурами.

По значению они эквивалентны.

По структуре — нет.

И наоборот, две системы могут обладать одинаковой архитектурой, но работать с разными базовыми объектами.

Следовательно, гиперэквивалентность должна всегда сопровождаться указанием критерия.

20.5. Эквивалентность архитектур
Особый случай — архитектурная эквивалентность.

Две гиперсистемы могут использовать разные конкретные объекты и операторы, но иметь один и тот же тип организации.

Например:

система A:

данные -> оператор -> выбор оператора -> изменение выбора.

Система B:

граф -> преобразователь графа -> селектор преобразователя -> метаселектор.

Предметы различны.

Но вертикальная архитектура одинакова.

В таком случае можно говорить об архитектурной эквивалентности.

Это чрезвычайно важно для общей гиперматематики.

Если удастся выделять архитектурные классы независимо от природы базового объекта, станет возможным переносить результаты между различными областями.

Тогда модель, обнаруженная в Изольдионике, сможет иметь аналог в:

теории алгоритмов;

моделировании;

ИИ;

динамических системах.

Именно такая переносимость является одним из главных аргументов в пользу существования общей гиперматематики.

20.6. Классы гиперэквивалентности
Если задано отношение гиперэквивалентности, множество гиперобъектов можно разбить на классы.

В один класс будут попадать системы, эквивалентные по выбранному критерию.

Например:

все линейные трехуровневые архитектуры определенного типа;

все системы с одной рекурсивной обратной связью;

все самонадстраивающиеся архитектуры с определенным гиперинвариантом.

Это позволяет резко уменьшить разнообразие объектов.

Вместо бесконечного количества конкретных реализаций можно исследовать классы.

Подобный переход особенно важен для зрелой математической теории.

Она должна стремиться не только генерировать новые гиперобъекты, но и объединять их в естественные категории.

Так гиперматематика переходит от коллекции примеров к систематике.

20.7. Канонические формы
Каноническая форма — это стандартное представление, к которому можно привести определенный класс объектов без потери существенных свойств.

Для гиперобъектов канонизация может быть особенно сложной.

Необходимо учитывать:

состав уровней;

отношения управления;

тип операторов;

порядок композиции;

обратные связи;

рекурсивность;

динамику.

Тем не менее идея чрезвычайно перспективна.

Например, сложная гиперархитектура может быть представлена в виде стандартной схемы:

уровень 0 — базовые объекты;

уровень 1 — преобразования;

уровень 2 — управление преобразованиями;

уровень 3 — изменение управления.

Две внешне разные системы после такой редукции могут оказаться одной и той же архитектурной формы.

Канонические формы позволят:

сравнивать гиперобъекты;

классифицировать их;

обнаруживать скрытые эквивалентности;

упрощать вычислительное представление.

Разработка канонических форм должна стать одной из важных задач формальной гиперматематики.

20.8. Проблема идентичности самоизменяющегося гиперобъекта
Наиболее глубокая проблема возникает в случае самоизменяющегося объекта.

Если объект изменил значения, мы обычно легко признаем его той же системой.

Если он изменил параметры, идентичность также может сохраняться.

Но что происходит, если система:

заменила операторы;

перестроила архитектуру;

добавила новый уровень;

удалила старый;

изменила правила собственного изменения?

В какой момент она перестает быть прежним гиперобъектом?

Это уже не только философский вопрос.

Он должен получить математический смысл.

Можно предложить несколько возможных критериев сохранения идентичности.

Первый — непрерывность истории.

Если каждое новое состояние получено допустимым преобразованием предыдущего, система сохраняет идентичность.

Второй — сохранение ядра.

Определенное множество структур или функций остается неизменным.

Третий — сохранение гиперинвариантов.

Конкретные компоненты меняются, но фундаментальные свойства архитектуры сохраняются.

Четвертый — сохранение самореферентной связи.

Система распознает новое состояние как продолжение собственного предыдущего состояния.

Для чистой математики четвертый критерий сам по себе недостаточен, но для интеллектуальных систем он может стать важным дополнительным фактором.

Таким образом, идентичность гиперобъекта может быть не абсолютной, а многоуровневой.

Можно сохранять:

числовую идентичность;

структурную;

функциональную;

архитектурную;

историческую.

Особенно интересны случаи, когда одни виды идентичности сохраняются, а другие исчезают.

Например, система может радикально изменить архитектуру, сохранив функцию.

Или сохранить архитектуру, полностью изменив внутренние объекты.

Именно поэтому проблема идентичности является естественным завершением теории гиперопераций.

Операции позволяют объекту изменяться.

Гипероперации позволяют изменяться его архитектуре.

Но после достаточно глубокого изменения возникает вопрос:

что именно продолжает существовать?

Возможно, главным носителем идентичности сложного гиперобъекта оказывается не конкретный элемент и даже не конкретная архитектура, а определенный набор гиперинвариантов и законов трансволюции.

Тогда гиперобъект можно понимать не только как состояние, но и как траекторию допустимых состояний.

Не только как структуру.

Но и как закон ее возможного развития.

В этом случае гиперматематика совершает еще один важный переход:

от математики объектов — к математике архитектур;

от архитектур — к математике преобразований архитектур;

от преобразований — к поиску того, что сохраняется через эти преобразования.

Общая линия Части V принимает следующий вид:

операция -> оператор -> метаоператор -> гипероператор -> гиперкомпозиция -> гипералгебра -> динамическая гипералгебра -> гиперинвариант -> гиперэквивалентность.

Таким образом, гиперобъект получил операционное содержание.

Теперь мы можем исследовать не только то, из каких уровней он состоит, но и то, каким образом эти уровни взаимодействуют, преобразуются и сохраняют определенные свойства.

Следующий шаг требует расширить саму среду существования гиперобъектов.

До сих пор речь шла преимущественно об отдельных системах и их операторах.

Но гиперобъекты могут образовывать пространства.

Архитектуры могут быть связаны сетями.

Между ними могут существовать геометрические и топологические отношения.

Поэтому далее естественно перейти от гиперопераций и гипералгебр к гиперпространствам, гиперсетям и геометрии гиперобъектов.

*******

ЧАСТЬ VI. ГИПЕРПРОСТРАНСТВА И ГИПЕРСТРУКТУРЫ
До сих пор гиперматематика рассматривала главным образом отдельные гиперобъекты, их уровни, операторы, композиции и способы изменения.

Однако любой объект существует не изолированно.

Он принадлежит некоторому пространству возможных состояний.

Функция принадлежит пространству функций.

Оператор — пространству операторов.

Архитектура — пространству возможных архитектур.

Гиперобъект — пространству гиперобъектов.

Поэтому следующим естественным шагом становится переход:

объект -> множество объектов -> пространство объектов -> пространство архитектур.

Этот переход чрезвычайно важен.

Пока исследователь рассматривает один гиперобъект, он изучает одну конкретную конструкцию.

Когда предметом становится пространство гиперобъектов, появляется возможность исследовать:

вариативность;

соседство;

переходы;

классы эквивалентности;

области устойчивости;

траектории трансволюции;

множества достижимых архитектур.

Еще более сильный шаг возникает тогда, когда объектом становится не просто пространство состояний, а пространство возможных способов организации состояний.

Именно здесь гиперматематика переходит от математики конфигураций к математике архитектур.

Одновременно требуется новый язык отношений.

Линейные иерархии недостаточны.

Реальные гиперобъекты могут содержать множество параллельных связей, циклов, обратных связей и временно возникающих управляющих контуров.

Для их описания естественно использовать графовые и сетевые представления.

Однако и обычного графа часто оказывается недостаточно.

Необходимо различать:

связи между элементами;

связи между структурами;

связи между уровнями;

управляющие связи;

связи, изменяющие другие связи.

Так возникает идея гиперсети.

Наконец, если гиперобъекты и архитектуры образуют пространства, можно поставить вопрос об их геометрии.

Каково расстояние между двумя архитектурами?

Что означает близость гиперобъектов?

Можно ли определить траекторию перехода?

Существуют ли области архитектурной устойчивости?

Что означает размерность пространства, если изменяться может само число структурных уровней?

Эти вопросы образуют предмет гипергеометрии в том специальном смысле, который развивается в настоящей книге.

Глава 21. От пространства объектов к пространству архитектур
21.1. Пространство состояний
Понятие пространства состояний является одним из наиболее естественных способов описания динамической системы.

Если объект может находиться в различных состояниях, множество этих состояний образует пространство его возможных конфигураций.

Например, простой объект может иметь состояния:

S_1, S_2, S_3, …, S_n.

Если система развивается, возникает траектория:

S_1 -> S_2 -> S_3 -> … -> S_n.

Такой подход позволяет рассматривать изменение не просто как последовательность событий, а как движение внутри пространства возможностей.

Для гиперматематики это исходная модель.

Однако обычное пространство состояний предполагает, что сама архитектура системы в основном фиксирована.

Меняются значения.

Меняются параметры.

Но тип объекта остается тем же.

Гиперматематика ставит следующий вопрос:

что происходит, если изменяется не только состояние объекта, но и само пространство его состояний?

Например, система первоначально имеет два параметра.

Затем в результате гиперболизации появляется новый уровень управления.

Теперь прежнего пространства состояний уже недостаточно.

Система получила новые степени свободы.

Следовательно, ее пространство возможностей расширилось.

Таким образом, гиперобъект может переходить не только:

из состояния в состояние,

но и:

из одного пространства состояний в другое.

Это принципиально более сильный тип динамики.

Условно:

пространство S_1 -> пространство S_2 -> пространство S_3.

Здесь каждое S_i может иметь собственную структуру, размерность и набор допустимых переходов.

Так обычная динамика состояний постепенно превращается в динамику пространств состояний.

Именно этот переход является одним из источников гиперпространственного подхода.

21.2. Пространство функций
Следующий важный пример — пространство функций.

Если имеется не одна функция f(x), а целый класс функций:

f_1(x), f_2(x), …, f_n(x),

можно рассматривать их как точки некоторого пространства функций.

Тогда оператор способен действовать уже не на отдельное числовое значение, а на функцию как на целостный объект.

Например:

f -> F -> g.

В таком случае F преобразует одну функцию в другую.

Это уже демонстрирует один из основных принципов вертикальной математики:

объект нижнего уровня превращается в точку пространства более высокого уровня.

Для гиперматематики пространство функций особенно важно потому, что оно показывает, как можно перейти:

от значений к функциям;

от функций к операторам;

от операторов к пространствам операторов.

Таким образом, сама математика уже содержит естественные многоуровневые переходы.

Гиперматематический подход стремится сделать общий механизм таких переходов самостоятельным предметом.

Если функции являются точками пространства, то можно исследовать:

расстояния между функциями;

пути перехода;

семейства;

области устойчивости;

операторы, перемещающие систему по пространству функций.

Далее возникает следующий вопрос:

может ли изменяться само пространство допустимых функций?

Если система способна создавать функции нового класса, то она выходит за пределы фиксированного пространства.

В таком случае нужен уже метауровень, способный описывать переход между пространствами функций.

Это еще один пример того, как гиперматематика превращает привычный объект в основание следующего пространства.

21.3. Пространство операторов
Если функции могут образовывать пространство, то аналогично можно рассматривать пространство операторов.

Пусть имеются:

F_1, F_2, F_3, …, F_n.

Каждый оператор преобразует объекты определенного класса.

Тогда система может выбирать оператор из множества возможных.

Уже сам выбор представляет новый уровень.

Вместо вопроса:

что делает оператор F?

возникает вопрос:

какой оператор следует выбрать?

Следующий шаг:

какие операторы вообще должны присутствовать в пространстве доступных преобразований?

Таким образом, пространство операторов может быть:

фиксированным;

расширяемым;

динамическим;

генеративным.

В фиксированном случае система выбирает из заранее заданного набора.

В динамическом — набор изменяется.

В генеративном — новые операторы могут создаваться.

Это различие чрезвычайно важно для интеллектуальных систем.

Система, выбирающая один из готовых методов, обладает одним классом возможностей.

Система, способная создавать новые методы, работает уже с пространством операторов как с изменяемым объектом.

В гиперматематическом языке это означает переход к следующему порядку.

Таким образом:

объекты принадлежат пространству объектов;

операторы принадлежат пространству операторов;

система более высокого порядка способна изменять само пространство операторов.

Именно здесь возникает понятие пространства надстроек.

21.4. Пространство надстроек
Над одним базовым объектом можно построить множество различных надстроек.

Пусть имеется объект O_0.

Возможны надстройки:

H_1;

H_2;

H_3;

…

H_n.

Каждая из них по-разному работает с O_0.

Например, одна надстройка:

управляет параметрами.

Другая:

выбирает операторы.

Третья:

создает новые операторы.

Четвертая:

оценивает результат.

Таким образом, существует пространство возможных надстроек относительно одного и того же основания.

Это пространство можно обозначать концептуально как:

H(O_0),

то есть множество допустимых надстроек над объектом O_0.

Но для гиперматематики особенно интересно не просто перечисление надстроек.

Необходимо исследовать отношения между ними.

Можно ли перейти от H_1 к H_2?

Какая надстройка сложнее?

Какая имеет более высокий порядок?

Какие из них функционально эквивалентны?

Какие совместимы?

Какие могут существовать параллельно?

Какие взаимно исключают друг друга?

Таким образом, пространство надстроек становится полноценным объектом исследования.

Именно здесь возникает важный сдвиг.

Ранее гиперболизация представлялась как построение определенной надстройки.

Теперь гиперболизация становится выбором траектории внутри пространства возможных надстроек.

То есть вместо одного перехода:

O_0 -> H_1

появляется множество вариантов:

O_0 -> H_1;

O_0 -> H_2;

O_0 -> H_3;

…

Следовательно, надстраивание является не единственной линией, а пространством альтернатив.

Это создает основу генеративной гиперматематики.

21.5. Пространство гиперобъектов
Если существуют различные гиперобъекты, можно рассматривать их совокупность как пространство.

Например:

G_1;

G_2;

G_3;

…

G_n.

Каждый G_i обладает:

базовым объектом;

числом уровней;

набором операторов;

архитектурой;

динамическими свойствами.

Теперь возникает вопрос:

как сравнивать гиперобъекты?

Можно ввести множество характеристик.

Например:

порядок;

глубину;

число ветвей;

число операторов;

тип рекурсивности;

степень открытости;

наличие самореференции;

способность к самонадстраиванию.

Тогда каждый гиперобъект можно представить как точку в многомерном пространстве признаков.

Но это только один вариант.

Более глубокий подход состоит в том, чтобы сравнивать сами архитектуры.

В таком случае близкими считаются гиперобъекты, у которых сходны:

структура уровней;

отношения управления;

тип композиции;

динамика.

Таким образом, пространство гиперобъектов может иметь несколько геометрий.

Одна основана на значениях.

Другая — на функциях.

Третья — на архитектуре.

Четвертая — на динамике.

Это означает, что понятие расстояния между гиперобъектами не обязательно единственно.

В одной метрике два объекта близки.

В другой — далеки.

Например, два объекта могут иметь совершенно разные данные, но одинаковую архитектуру.

Тогда они архитектурно близки, но содержательно различны.

Так пространство гиперобъектов естественным образом соединяется с уже введенной гиперэквивалентностью.

21.6. Пространство возможных архитектур
Наиболее сильный переход происходит тогда, когда предметом становится не множество объектов внутри одной архитектуры, а множество самих архитектур.

Назовем это пространством возможных архитектур.

Элементами такого пространства являются не числа, функции или состояния, а схемы организации уровней.

Например:

архитектура A:

O_0 -> O_1.

Архитектура B:

O_0 -> O_1 -> O_2.

Архитектура C:

O_0 имеет две параллельные надстройки.

Архитектура D:

уровни образуют рекурсивный цикл.

Архитектура E:

система может создавать новый уровень.

Теперь можно исследовать переходы:

A -> B;

B -> C;

C -> D;

D -> E.

Это уже не динамика объекта внутри фиксированной структуры.

Это динамика структуры как объекта.

Именно пространство архитектур может стать одним из центральных пространств всей гиперматематики.

В нем гиперболизация соответствует переходу к архитектуре большего порядка.

Трансволюция — траектории изменения архитектуры.

Гиперинвариант — свойству, сохраняющемуся вдоль траектории.

Самонадстраивание — способности системы самой выбирать следующий архитектурный переход.

В будущем особенно важной станет задача определения «расстояния» между архитектурами.

Например:

насколько сильно нужно изменить систему A, чтобы получить систему B?

Если достаточно заменить один оператор, расстояние может быть малым.

Если необходимо создать новый метауровень, переход значительно более глубок.

Таким образом, пространство архитектур способно получить собственную геометрию.

21.7. Изольдионические пространства как частный случай
Изольдионика снова предоставляет конкретный числовой пример.

Можно рассматривать пространство изольдионов определенного класса.

Каждый изольдион обладает:

числовым основанием;

внутренней структурой;

глубиной;

набором операторов;

типом вложенности.

Тогда множество изольдионов образует пространство числовых гиперобъектов.

Можно сравнивать их:

по значению;

по структуре;

по глубине;

по способу развертывания;

по трансволюционным возможностям.

Еще более интересным становится пространство метаизольдионов.

Его элементы уже обладают несколькими уровнями.

Таким образом, изольдионические пространства выступают частным случаем общего пространства гиперобъектов.

Это дает важный методологический принцип.

Общие понятия гиперматематики можно сначала проверять на изольдионическом материале.

Например:

архитектурное расстояние;

глубина;

эквивалентность;

траектория трансволюции.

Если эти понятия работают для числовых гиперобъектов, затем их можно переносить на:

функции;

графы;

алгоритмы;

модели;

интеллектуальные системы.

Так Изольдионика вновь выполняет функцию испытательного полигона общей теории.

Глава 22. Гиперграфы, гиперсети и многоуровневые отношения
22.1. Граф как объект
Граф представляет собой систему вершин и связей между ними.

Он является естественным инструментом описания отношений.

Например:

вершины могут представлять объекты;

ребра — взаимодействия.

Простейшая схема:

A — B — C.

Но даже обычный граф уже способен описывать сложную структуру.

Можно исследовать:

связность;

пути;

циклы;

центры;

кластеры;

потоки.

Для гиперматематики граф особенно удобен потому, что позволяет изображать не только элементы объекта, но и отношения между уровнями.

Например:

O_0 -> O_1 -> O_2.

Здесь вершины представляют уровни, а стрелки — отношения управления.

Однако необходимо сделать терминологическое замечание.

В стандартной математике слово «гиперграф» уже имеет строгое специальное значение: это обобщение графа, в котором одно гиперребро может связывать более двух вершин.

В настоящей книге термин «гиперграф» должен использоваться осторожно.

Там, где речь идет о стандартном гиперграфе, необходимо сохранять традиционное значение.

Там, где имеется в виду граф гиперматематической архитектуры, предпочтительнее уточнять:

граф гиперобъекта;

многоуровневый граф;

гиперматематическая сеть.

Это позволит избежать ненужного терминологического конфликта.

22.2. Сеть графов
Один граф может сам стать элементом более крупной системы.

Пусть существуют графы:

G_1;

G_2;

G_3.

Между ними могут существовать отношения.

Например, G_1 описывает структуру данных.

G_2 — структуру операторов.

G_3 — структуру управления.

Тогда можно построить сеть графов.

Каждый граф становится узлом более высокого уровня.

Это прямой пример общего гиперматематического принципа:

структура -> объект следующего уровня.

Можно также представить, что один граф преобразует другой.

Например:

G_2 определяет, какие ребра могут появляться в G_1.

Тогда G_2 является управляющим графом.

Если G_3 изменяет правила работы G_2, появляется еще один уровень.

Таким образом, сеть графов становится естественной моделью многоуровневой гиперсистемы.

22.3. Многоуровневые сети
Многоуровневая сеть содержит несколько слоев связей.

Например:

уровень 0 — элементы;

уровень 1 — связи между элементами;

уровень 2 — связи между группами;

уровень 3 — управление правилами формирования связей.

Можно представить:

сеть данных;

сеть операторов;

сеть управляющих механизмов;

сеть метауправления.

Каждая сеть выполняет собственную функцию.

При этом уровни могут взаимодействовать.

Изменение нижней сети влияет на верхнюю.

Верхняя сеть перестраивает нижнюю.

Возникают обратные связи.

Так многоуровневая сеть превращается в динамическую гиперархитектуру.

Важное отличие от простой многослойности состоит в том, что уровни должны иметь функциональные отношения.

Если несколько сетей просто расположены рядом, это еще не гиперсеть.

Необходимы межуровневые связи.

22.4. Межуровневые связи
Межуровневая связь соединяет элементы, принадлежащие различным структурным уровням.

Например:

оператор уровня 1 воздействует на объект уровня 0.

Метаоператор уровня 2 изменяет оператор уровня 1.

Так образуются связи:

уровень 2 -> уровень 1;

уровень 1 -> уровень 0.

Но возможны и более длинные связи.

Уровень 3 способен непосредственно воздействовать на уровень 0.

Это создает обходные каналы.

Кроме того, возможна обратная связь:

уровень 0 -> уровень 2.

Например, результат работы нижнего уровня изменяет параметры управляющего уровня.

Таким образом, межуровневые связи могут быть:

нисходящими;

восходящими;

двусторонними;

дальними;

локальными.

Количество и тип таких связей во многом определяют архитектуру гиперобъекта.

Поэтому в будущей формальной теории межуровневая связь должна стать самостоятельным объектом.

22.5. Управляющие связи
Особый тип межуровневых отношений — управляющие связи.

Управляющая связь означает, что состояние одного уровня влияет на допустимые преобразования другого.

Например:

узел U выбирает, какой оператор F_i должен применяться.

Тогда:

U -> F_i

является управляющей связью.

Управление может менять:

значения;

параметры;

операторы;

структуру связей;

число уровней.

Таким образом, управляющие связи различаются по силе.

Можно предложить предварительную классификацию.

Слабое управление:

изменяет параметры.

Среднее:

выбирает оператор.

Сильное:

изменяет структуру операционной системы.

Гиперуправление:

изменяет саму архитектуру уровней.

Это различие особенно важно для СИИ.

Система, способная лишь корректировать параметры, значительно отличается от системы, способной перестраивать собственную когнитивную сеть.

В сетевом представлении такая разница становится наглядной.

22.6. Рекурсивные сети
Рекурсивная сеть содержит связи, возвращающие результаты работы системы к ее собственным механизмам.

Простейшая обратная связь:

A -> B -> A.

Но гиперматематическая рекурсия может быть более глубокой.

Например:

уровень данных влияет на управляющий уровень;

управляющий уровень перестраивает сеть данных;

новое состояние снова оценивается;

после оценки меняется уже механизм управления.

Так возникает рекурсивный цикл нескольких порядков.

Рекурсивные сети обладают памятью архитектуры.

То есть их дальнейшее поведение зависит не только от текущего состояния, но и от предыдущих преобразований.

Это делает их особенно важными для:

адаптации;

обучения;

самоорганизации;

трансволюции.

При этом рекурсивность может быть:

локальной;

глобальной;

одноуровневой;

межуровневой;

самореферентной.

Последний случай особенно интересен, если сеть содержит описание собственной структуры.

22.7. Самоизменяющиеся сети
Самоизменяющаяся сеть способна менять собственную структуру.

Например:

добавлять вершины;

удалять вершины;

добавлять связи;

удалять связи;

менять веса;

перестраивать уровни;

создавать новые управляющие контуры.

В более сильном варианте она способна изменять правила, по которым происходят такие изменения.

Тогда сеть становится объектом второго порядка относительно собственной динамики.

Условно:

сеть N изменяется оператором F.

Затем:

F изменяется оператором G.

Если G принадлежит самой сети, система приобретает признаки самогиперболизации.

Самоизменяющиеся сети являются одним из наиболее наглядных представлений самотрансформирующегося гиперобъекта.

В них особенно хорошо видно различие:

изменить состояние сети;

изменить структуру сети;

изменить правила изменения структуры.

Эти три ступени соответствуют различным гиперпорядкам.

22.8. Гиперсеть
В рамках настоящей книги гиперсеть будем предварительно понимать как многоуровневую сеть, в которой узлами и связями могут выступать не только базовые объекты, но и целые структуры, операторы, управляющие системы и отношения между уровнями.

Гиперсеть может включать:

сеть объектов;

сеть операторов;

сеть метаоператоров;

сеть управляющих отношений;

сеть трансволюционных переходов.

При этом отдельные элементы могут принадлежать нескольким уровням.

Гиперсеть не обязана иметь единственный центр управления.

Она может быть:

централизованной;

распределенной;

иерархической;

рекурсивной;

самоорганизующейся.

Особенно важен последний вариант.

Самоорганизующаяся гиперсеть способна менять не только локальные связи, но и структуру взаимодействия уровней.

Такой объект представляет один из наиболее общих типов гиперсистем.

Если «математическая Вавилонская башня» символизирует вертикальную гиперархитектуру, гиперсеть является ее более развитой формой.

Она показывает, что высшие порядки математической организации могут быть не башнями, а динамическими сетями взаимных надстроек.

Глава 23. Геометрия гиперобъектов
23.1. Геометрическое представление уровней
Гиперобъект удобно изображать геометрически.

Простейшая модель — вертикальная ось.

Внизу:

уровень 0.

Над ним:

уровень 1.

Далее:

уровень 2.

И так далее.

Получается башня.

Именно этот образ лежит в основе символического изображения гиперматематики как математической Вавилонской башни.

Но такая геометрия отражает только линейную иерархию.

Для ветвящейся системы больше подходит дерево.

Для сетевой — граф.

Для рекурсивной — сеть с циклами.

Для динамической — последовательность меняющихся графов.

Таким образом, геометрическое представление зависит от архитектуры гиперобъекта.

Сам выбор геометрической модели уже несет информацию.

Башня показывает порядок.

Дерево — ветвление.

Сеть — множественные связи.

Цикл — рекурсию.

Поэтому визуальная геометрия может стать не только иллюстрацией, но и формальным языком гиперматематики.

23.2. Пространство над пространством
Одной из наиболее характерных гиперматематических конструкций является пространство, элементами которого сами являются пространства.

Пусть S_1, S_2, …, S_n — различные пространства состояний.

Тогда можно рассматривать метапространство:

M = {S_1, S_2, …, S_n}.

В нем точкой является уже не отдельное состояние, а целое пространство состояний.

Следующий уровень может содержать множество таких метапространств.

Так возникает последовательность:

объект;

пространство объектов;

пространство пространств;

пространство архитектур пространств.

Это один из наиболее чистых примеров вертикального расширения.

Однако необходимо вновь учитывать терминологию.

Слово «гиперпространство» уже используется в различных областях математики и физики.

Поэтому в настоящей книге под гиперпространством в специальном смысле следует понимать именно пространство гиперматематических объектов или архитектур, а не автоматически любое пространство большой размерности.

Гиперпространство отличается не числом координат.

Оно отличается типом элементов.

Если его точками являются целые структуры или архитектуры, возникает новый уровень.

23.3. Геометрия вложенности
Вложенность имеет собственную геометрию.

Один объект может находиться внутри другого.

Тот — внутри третьего.

Получается структура:

A внутри B;

B внутри C;

C внутри D.

Это можно изображать как систему вложенных областей.

Но гиперматематическая вложенность сложнее обычного геометрического включения.

Внутренний объект может:

управлять внешним;

быть управляемым внешним;

формировать часть его операционной структуры.

Поэтому геометрия вложенности должна учитывать направление функциональных связей.

Например, два объекта могут быть одинаково вложены топологически, но иметь противоположные отношения управления.

Следовательно, одной геометрии положения недостаточно.

Нужна геометрия отношения.

В этом смысле гипергеометрия становится одновременно геометрией и архитектурой.

Она должна описывать:

где расположен элемент;

в какой объект он включен;

какую функцию выполняет;

какими связями соединен с другими уровнями.

Так вложенность становится многомерным понятием.

23.4. Геометрия переходов
Если гиперобъект способен менять архитектуру, необходимо изображать не только состояния, но и переходы между ними.

Пусть имеются архитектуры:

A;

B;

C.

Возможны переходы:

A -> B;

A -> C;

B -> C.

Это образует граф архитектурных состояний.

Каждый переход может иметь стоимость.

Например:

замена параметра — небольшое изменение;

замена оператора — более сильное;

создание нового уровня — еще более сильное.

Тогда можно ввести идею архитектурного расстояния.

Чем больше преобразований требуется для перехода, тем дальше расположены архитектуры.

Это пока предварительная идея.

Но она чрезвычайно перспективна.

Она позволяет геометризовать гиперболизацию и трансволюцию.

Гиперболизация становится определенным типом шага в пространстве архитектур.

Трансволюция — траекторией.

Саморазвитие — процессом самостоятельного выбора траектории.

Таким образом, динамика гиперобъекта превращается в геометрию движения по пространству архитектур.

23.5. Динамическая гипергеометрия
Если само пространство архитектур изменяется, возникает динамическая гипергеометрия.

Это более сильный случай.

В обычной геометрии объект движется внутри заданного пространства.

В динамической гипергеометрии может меняться:

положение объекта;

форма объекта;

метрика пространства;

число доступных направлений;

сама структура пространства.

Например, система первоначально имеет два варианта развития.

Затем создает новый оператор.

Появляется третья ветвь.

Таким образом, изменилось не только положение системы, но и пространство возможных переходов.

Это особенно важно для открытых систем.

Они не просто выбирают путь внутри фиксированной карты.

Они способны расширять карту.

В пределе система строит новые области пространства возможностей во время собственного движения.

Это можно сформулировать следующим образом:

обычная динамика изменяет координаты объекта;

гипердинамика может изменять геометрию пространства, в котором объект движется.

Именно поэтому динамическая гипергеометрия особенно тесно связана с генеративной гиперматематикой.

23.6. Геометрия пространств архитектур
Рассмотрим множество возможных архитектур как особое пространство.

Каждая архитектура — точка.

Тогда необходимо определить, какие точки считаются близкими.

Можно предложить несколько критериев.

Две архитектуры близки, если:

имеют одинаковое число уровней;

различаются одним оператором;

имеют сходную сеть связей;

выполняют одну функцию;

могут быть преобразованы друг в друга небольшим числом операций.

Таким образом, расстояние зависит от выбранного критерия.

Можно говорить о:

структурном расстоянии;

операционном расстоянии;

порядковом расстоянии;

функциональном расстоянии;

трансволюционном расстоянии.

Это означает, что пространство архитектур может иметь несколько метрик.

Особенно важна трансволюционная метрика.

Она отвечает на вопрос:

насколько трудно одной архитектуре превратиться в другую?

Для СИИ этот вопрос станет фундаментальным.

СИИ первого порядка и СИИ второго порядка могут различаться одним новым уровнем, но создание этого уровня может требовать чрезвычайно сложной перестройки.

Следовательно, малое формальное расстояние не обязательно означает простой переход.

Геометрия архитектур должна учитывать не только форму, но и стоимость преобразования.

В перспективе это позволит определить:

локальные области архитектур;

барьеры перехода;

устойчивые конфигурации;

аттракторы;

области быстрого саморазвития.

Так пространство архитектур приобретает полноценный динамический смысл.

23.7. Проблема гиперразмерности
Понятие размерности в гиперматематике представляет особую проблему.

В обычной геометрии размерность пространства обычно фиксирована.

Например, линия одномерна.

Плоскость двумерна.

Обычное физическое пространство часто моделируется как трехмерное.

Но у гиперобъекта может существовать несколько разных видов размерности.

Можно выделить:

размерность состояния;

размерность параметров;

размерность пространства операторов;

архитектурную размерность;

порядковую глубину;

число независимых ветвей.

Следовательно, одно число может быть недостаточным.

Особенно сложный случай возникает у самоизменяющегося гиперобъекта.

Сегодня система имеет определенное пространство состояний.

После гиперболизации появляется новый уровень.

Количество независимых степеней свободы изменяется.

То есть система может менять собственную эффективную размерность.

Это явление можно предварительно назвать динамической гиперразмерностью.

Здесь необходимо особенно осторожно использовать терминологию.

Гиперразмерность не должна означать просто «очень большое число измерений».

Ее смысл должен быть связан с многоуровневой организацией пространств.

Например:

нижний уровень имеет собственную размерность;

пространство операторов — свою;

пространство архитектур — еще одну.

Тогда гиперразмерность описывает не одну координатную систему, а конфигурацию нескольких пространств различного порядка.

В пределе может возникнуть иерархия:

пространство состояний;

пространство функций;

пространство операторов;

пространство надстроек;

пространство архитектур;

пространство преобразований архитектур.

Каждый следующий уровень рассматривает предыдущий как часть собственного пространства.

Таким образом, понятие размерности приобретает вертикальное измерение.

Именно здесь особенно хорошо видна фундаментальная идея гиперматематики.

Обычная математика часто спрашивает:

в каком пространстве находится объект?

Гиперматематика добавляет:

в каком пространстве находится само это пространство?

Какая архитектура определяет пространство?

В каком пространстве возможных архитектур находится данная архитектура?

И каким образом система может переходить между такими пространствами?

Так возникает последовательность:

объект -> пространство объектов -> пространство операторов -> пространство надстроек -> пространство архитектур -> динамика пространств архитектур.

Эта линия завершает настоящую часть.

Гиперматематика теперь располагает не только:

гиперобъектами;

гипероператорами;

гиперкомпозициями;

гипералгебрами,

но и средой их существования.

Гиперобъект может быть точкой пространства.

Архитектура может быть точкой пространства архитектур.

Трансволюция может быть траекторией.

Гиперболизация — переходом к области более высокого порядка.

Гиперинвариант — свойством, сохраняющимся вдоль определенных классов траекторий.

Гиперсеть — способом представления отношений между множеством уровней и объектов.

Гипергеометрия — способом описания их взаимного расположения и переходов.

Таким образом, общий ход Части VI можно представить так:

пространство состояний -> пространство функций -> пространство операторов -> пространство надстроек -> пространство гиперобъектов -> пространство архитектур -> гиперсеть -> геометрия архитектур -> динамическая гипергеометрия.

Этот переход особенно важен для дальнейшего развития теории.

До сих пор гиперобъект мог рассматриваться как отдельная система.

Теперь он становится частью целого ландшафта возможных систем.

А это означает, что можно исследовать не только то, чем является гиперобъект, но и:

каким он мог бы быть;

в какие формы способен перейти;

какие формы недостижимы;

какие архитектуры устойчивы;

какие способны порождать новые пространства возможностей.

Следующий естественный шаг состоит в переходе от геометрии возможностей к законам изменения.

Если гиперобъекты движутся по пространству архитектур, необходимо исследовать саму динамику такого движения.

Так мы подходим к гипердинамике и общей теории трансволюции.

********

ЧАСТЬ VII. ГИПЕРДИНАМИКА И ТРАНСВОЛЮЦИЯ
До сих пор гиперматематика преимущественно рассматривала устройство многоуровневых объектов.

Были введены базовые объекты, надстройки, уровни, гипероператоры, гиперкомпозиции, гипералгебры, гиперсети и пространства возможных архитектур.

Однако гиперобъект представляет особый интерес именно тогда, когда его архитектура перестает быть неподвижной.

Можно изменить значение.

Можно изменить отношение между элементами.

Можно заменить оператор.

Можно изменить правила работы операторов.

Можно добавить новый уровень.

Можно перестроить всю архитектуру.

Наконец, можно изменить сам механизм, посредством которого происходят такие изменения.

Именно здесь статическая гиперструктура превращается в гиперпроцесс.

Возникает новое измерение гиперматематики — гипердинамика.

Если обычная динамика описывает изменение состояния внутри некоторого пространства, гипердинамика должна уметь описывать также изменение самого пространства состояний, системы операторов, структуры уровней и архитектуры их взаимодействия.

Изольдионика ранее подвела нас к понятию числовой трансволюции.

Теперь это понятие может быть обобщено.

Трансволюция становится одним из центральных понятий динамической гиперматематики.

В рамках настоящей книги под ней будет пониматься такое направленное изменение объекта или системы, при котором преобразовываются не только значения и состояния, но потенциально также структура, операционные механизмы и архитектура.

Таким образом, трансволюция занимает промежуточное положение между обычным преобразованием и развитием гиперсистемы.

В сочетании с гиперболизацией она позволяет описывать переходы между порядками.

Гиперболизация создает новый уровень.

Трансволюция преобразует развивающуюся систему.

Их взаимодействие открывает путь к самонадстраивающимся гиперобъектам.

Глава 24. От гиперструктуры к гиперпроцессу
24.1. Состояние гиперобъекта
Для описания динамики необходимо прежде всего определить, что считается состоянием гиперобъекта.

У обычного объекта состоянием может быть определенный набор значений параметров.

У гиперобъекта этого недостаточно.

Его состояние может включать одновременно:

состояния базовых элементов;

структуру связей;

набор действующих операторов;

параметры операторов;

состав уровней;

отношения между уровнями;

состояние управляющих и метауправляющих механизмов.

Следовательно, состояние гиперобъекта многослойно.

Условно можно говорить о полном состоянии системы как о совокупности состояний всех ее уровней.

Если гиперобъект имеет уровни 0, 1, 2 и 3, то его состояние определяется не только тем, что происходит на уровне 0.

Необходимо учитывать также состояние уровней управления.

Например, две системы могут иметь одинаковые значения базовых элементов, но разные операторы.

С точки зрения нижнего уровня они совпадают.

С точки зрения полного гиперобъекта — различаются.

Еще более заметным становится различие, если у одной системы два уровня, а у другой три.

Тогда отличаются уже сами архитектуры.

Поэтому в гипердинамике необходимо различать как минимум:

состояние элементов;

состояние структуры;

состояние операторов;

состояние архитектуры.

Это различие позволяет определить несколько типов динамики.

Наиболее простая меняет элементы.

Более сильная — связи.

Затем операторы.

Затем уровни.

И наконец — всю архитектуру.

Так возникает естественная шкала глубины изменения.

24.2. Изменение элементов
Самый простой вид динамики связан с изменением элементов при сохранении структуры.

Пусть имеется последовательность:

1, 2, 3, 4, …

После некоторого преобразования она принимает вид:

2, 4, 6, 8, …

Значения изменились.

Но число уровней, способ связи элементов и сам закон построения системы могут оставаться прежними.

Аналогично в графе могут измениться значения, связанные с вершинами, при сохранении самого графа.

В модели ИИ могут обновиться параметры, но архитектура модели остается фиксированной.

Это динамика нижнего уровня.

Она может быть чрезвычайно сложной.

Но гиперпорядок системы при этом не обязан изменяться.

Это различие станет впоследствии особенно важным.

Большой объем обучения не означает автоматического перехода к следующему порядку интеллектуальной системы.

Система может пройти через миллиарды состояний и оставаться в пределах одной архитектуры.

Следовательно, изменение элементов — необходимый, но наиболее слабый уровень гипердинамики.

24.3. Изменение связей
Более глубокое преобразование затрагивает отношения между элементами.

Пусть имеется сеть:

A -> B -> C.

После перестройки:

A -> C;

B -> A;

C -> B.

Состав элементов не изменился.

Но структура стала другой.

Изменение связей способно радикально повлиять на свойства системы.

Даже при одинаковом наборе элементов могут возникать совершенно разные режимы поведения.

Поэтому гиперматематика должна различать:

изменение содержания элементов;

изменение их организации.

В многоуровневых системах особенно важны межуровневые связи.

Например, можно изменить направление управления.

Ранее:

уровень 2 управлял уровнем 1.

После перестройки появляется обратная связь:

уровень 1 воздействует на уровень 2.

Это уже изменение гиперархитектуры.

Таким образом, изменение связей может происходить:

внутри уровня;

между уровнями;

между различными ветвями архитектуры.

Последний случай особенно важен для гиперсетей.

24.4. Изменение операторов
Следующая ступень — изменение операторов.

Объект может сохранять свои элементы и даже структуру связей, но способ их преобразования меняется.

Например, система первоначально применяет оператор F.

Затем вместо него использует G.

Получается:

F -> G.

Можно изменить не сам оператор, а его параметры.

Это более слабая форма.

Можно изменить класс оператора.

Это более сильная.

Можно создать новый оператор.

Еще более сильная.

Если выбор оператора производится внешним механизмом, гиперобъект остается управляемым извне.

Если же система содержит собственный механизм смены операторов, появляется внутренний метауровень.

Таким образом, изменение операторов представляет переход от динамики состояния к динамике правил.

Именно этот переход принципиален для самоадаптивных систем.

Система больше не просто следует одному закону.

Она способна менять используемый закон.

Однако даже это еще не означает, что система умеет менять механизм выбора законов.

Для этого нужен следующий уровень.

24.5. Изменение уровней
Изменение уровней представляет уже непосредственно гиперматематический тип динамики.

Система может:

добавить уровень;

удалить уровень;

разделить один уровень на несколько;

объединить несколько уровней;

изменить функциональную роль уровня.

Например, структура:

O_0 -> O_1

может превратиться в:

O_0 -> O_1 -> O_2.

Возник новый порядок.

Или наоборот:

O_0 -> O_1 -> O_2

может свернуться до:

O_0 -> O_1.

Таким образом, гипердинамика допускает не только рост порядка, но и его уменьшение.

Это важное замечание.

Развитие не обязательно означает постоянное усложнение.

Иногда система становится эффективнее путем сокращения архитектуры.

Она может заменить несколько уровней одним более универсальным механизмом.

Следовательно, изменение порядка может быть:

восходящим;

нисходящим;

циклическим;

обратимым;

необратимым.

Исследование подобных переходов должно стать одной из основных задач теории гипердинамики.

24.6. Изменение архитектуры
Изменение архитектуры представляет наиболее общий случай структурной динамики.

Архитектура включает:

уровни;

слои;

связи;

операторы;

правила управления;

механизмы обратной связи.

Поэтому архитектурное изменение может затронуть сразу несколько компонентов.

Например, система:

добавляет новую ветвь;

переносит оператор на другой уровень;

создает контур обратной связи;

изменяет механизм выбора;

удаляет устаревший уровень.

В результате возникает новая архитектура.

Условно:

A_1 -> A_2.

Но A_1 и A_2 здесь являются не состояниями одного фиксированного объекта, а целыми архитектурами.

Именно поэтому ранее было введено пространство архитектур.

Теперь изменение гиперобъекта можно представить как движение:

A_1 -> A_2 -> A_3 -> … -> A_n.

Так архитектура превращается в динамический объект.

Из этого и возникает понятие гиперпроцесса.

24.7. Гиперпроцесс
Гиперпроцессом будем предварительно называть процесс, в котором изменяются не только состояния базового объекта, но также один или несколько надстроечных уровней, операционных механизмов либо архитектурных отношений.

Обычный процесс:

S_1 -> S_2 -> S_3.

Гиперпроцесс:

H_1 -> H_2 -> H_3,

где H_i представляет полное состояние гиперобъекта.

Такое состояние включает не только значения, но и архитектуру.

Гиперпроцесс может состоять из нескольких типов переходов.

Например:

сначала меняются параметры;

затем оператор;

после этого создается новый уровень;

затем происходит перестройка связей.

Получается неоднородная динамика.

Поэтому гиперпроцесс является более общим понятием, чем гиперболизация или трансволюция.

Гиперболизация — один специальный вид изменения.

Трансволюция — другой.

Гиперпроцесс — общая динамическая последовательность состояний гиперсистемы.

24.8. Гипердинамическая система
Гипердинамическая система — это гиперобъект, для которого существенной частью определения являются законы изменения нескольких уровней его организации.

Такая система может обладать:

пространством состояний базового уровня;

пространством операторов;

пространством архитектур;

правилами перехода между архитектурами.

В обычной динамической системе задается закон движения внутри пространства состояний.

В гипердинамической системе необходимо задать также закон изменения самого способа движения.

Например:

состояние изменяет оператор;

оператор изменяет структуру;

структура изменяет множество доступных состояний.

Возникает цикл:

состояние -> оператор -> архитектура -> новое пространство состояний -> новое состояние.

Именно такой тип систем представляет особый интерес для гиперматематики.

К гипердинамическим объектам потенциально относятся:

динамические изольдионы;

рекурсивные гиперпоследовательности;

самомодифицирующиеся гипералгебры;

самоизменяющиеся гиперсети;

развивающиеся интеллектуальные архитектуры.

Глава 25. Общая теория трансволюции
25.1. Числовая трансволюция как исходная модель
Понятие трансволюции первоначально возникло в Изольдионике.

Там оно связано с динамикой сложных числовых объектов.

Но уже числовой случай показал, что речь может идти не просто о переходе:

одно значение -> другое значение.

Меняться способны:

внутренняя структура числа;

способ его развертывания;

используемые операторы;

отношения между структурными уровнями.

Именно это делает числовую трансволюцию важным прототипом.

Если числовой объект может менять внутреннюю организацию, аналогичный принцип можно перенести на другие формализованные объекты.

Таким образом, Изольдионика снова выполняет роль исходной лаборатории.

Сначала идея исследуется в числовой форме.

Затем из нее выделяется более общий принцип.

После этого возникает общая теория трансволюции.

25.2. Обобщение понятия трансволюции
В рамках общей гиперматематики трансволюцией будем предварительно называть направленный процесс преобразования формализованного объекта или системы, при котором изменяются не только текущие значения, но потенциально также структура, правила преобразования и архитектура уровней.

Ключевое слово здесь — структурность.

Не всякое изменение является трансволюцией.

Если:

2 -> 3,

произошло преобразование значения.

Если система:

изменяет способ вычисления;

перестраивает структуру;

переходит к новому уровню управления,

возникает трансволюционная динамика.

Таким образом, понятие трансволюции вводится для описания более глубоких изменений.

Оно особенно полезно там, где система проходит через несколько архитектурных состояний.

Можно представить:

A_1 -> A_2 -> A_3 -> … -> A_n,

где каждая A_i является определенной архитектурой.

Трансволюция тогда представляет траекторию внутри пространства архитектур.

25.3. Трансформация и трансволюция
Трансформацию и трансволюцию необходимо различать.

Трансформация — наиболее общее преобразование.

Она может быть локальной.

Например:

изменение значения;

смена параметра;

перестановка элементов.

Трансволюция предполагает структурно значимую последовательность преобразований, изменяющую организацию системы или ее пространство возможностей.

Можно сформулировать различие следующим образом.

Трансформация отвечает на вопрос:

во что объект превратился?

Трансволюция:

как менялся сам способ организации объекта в процессе перехода?

Таким образом, всякая трансволюция включает трансформации.

Но не всякая трансформация является трансволюцией.

Это разграничение важно для терминологической дисциплины новой теории.

Не следует называть трансволюцией любое изменение.

Иначе термин потеряет содержательность.

25.4. Эволюция и трансволюция
Трансволюцию необходимо также отличать от эволюции.

Термин «эволюция» имеет чрезвычайно широкое значение и используется в биологии, физике, теории динамических систем, общественных науках и других областях.

В самом общем смысле эволюция означает изменение системы во времени.

Трансволюция в настоящей книге вводится как более специальное понятие.

Она акцентирует изменение структурной и операционной организации системы.

Эволюционный процесс может происходить при неизменной архитектуре.

Например, параметры системы медленно меняются во времени.

Трансволюционный процесс затрагивает саму организацию.

Различие можно условно представить так:

эволюция — изменение состояний и свойств;

трансволюция — изменение способов организации и преобразования.

При этом оба процесса могут взаимодействовать.

Длительная эволюция способна подготовить трансволюционный переход.

А трансволюция может создать новое пространство последующей эволюции.

Таким образом:

эволюция внутри архитектуры -> трансволюция архитектуры -> новая область эволюции.

Эта схема особенно продуктивна для интеллектуальных систем.

25.5. Горизонтальная трансволюция
Горизонтальная трансволюция происходит внутри одного порядка.

Система сохраняет общую глубину, но меняет архитектуру на данном уровне.

Например, гиперобъект второго порядка остается гиперобъектом второго порядка, однако:

заменяет оператор;

меняет связи;

создает новую ветвь;

перераспределяет функции между слоями.

Таким образом, архитектура трансформируется без увеличения вертикальной глубины.

Это важно.

Трансволюция не обязательно означает рост порядка.

Горизонтальная трансволюция может быть чрезвычайно значительной.

Две системы одного порядка способны радикально различаться возможностями.

Следовательно, порядок — только одна характеристика.

Не менее важна внутренняя архитектура каждого порядка.

Для искусственного интеллекта это означает, что множество поколений систем может существовать внутри одного гиперпорядка.

И только определенный архитектурный скачок создаст следующий.

25.6. Вертикальная трансволюция
Вертикальная трансволюция связана с изменением порядка системы.

Например:

гиперобъект первого порядка -> гиперобъект второго порядка.

Или:

гиперобъект второго порядка -> гиперобъект третьего порядка.

В таком переходе возникает новый функциональный уровень.

Именно поэтому вертикальная трансволюция тесно связана с гиперболизацией.

Однако понятия различаются.

Гиперболизация обозначает сам акт создания надстройки.

Вертикальная трансволюция описывает более широкий процесс, включающий:

подготовку;

возникновение нового уровня;

его интеграцию;

перестройку отношений;

стабилизацию новой архитектуры.

Например, переход СИИ^1 -> СИИ^2, вероятно, нельзя свести к одномоментному добавлению блока.

Потребуется реорганизация всей системы.

Поэтому гиперболизация будет одним из центральных событий трансволюционного перехода, но не всем переходом целиком.

25.7. Межуровневая трансволюция
Межуровневая трансволюция происходит тогда, когда изменяются отношения между уже существующими уровнями.

Например:

ранее уровень 2 только контролировал уровень 1.

Позже он начинает также модифицировать его операторы.

Или уровень 1 получает обратный канал воздействия на уровень 2.

Количество уровней остается прежним.

Но функция их отношений меняется.

Такой переход может оказаться глубоким даже без изменения порядка.

Межуровневая трансволюция может включать:

изменение направления управления;

создание обратной связи;

перераспределение полномочий;

слияние функций;

разделение управляющих контуров.

В гиперсетях межуровневая трансволюция особенно важна, поскольку именно связи во многом определяют свойства всей архитектуры.

25.8. Рекурсивная трансволюция
Рекурсивная трансволюция возникает тогда, когда результаты предыдущего преобразования влияют на механизм следующего.

Простейшая идея:

система изменяется;

оценивает результат;

на основании результата меняет правило следующего изменения.

Получается:

изменение -> оценка -> изменение правила -> новое изменение.

Но можно подняться выше.

Система способна менять сам механизм оценки.

Тогда возникает:

изменение -> оценка -> изменение оценки -> изменение правила -> новое изменение.

На еще более высоком уровне меняется способ изменения механизмов.

Так возникает рекурсивная трансволюционная вертикаль.

Это один из наиболее важных механизмов саморазвития.

Система уже не следует неизменной траектории.

Она изменяет собственный способ формирования траектории.

25.9. Трансволюция архитектуры
Наиболее общий вид трансволюции — трансволюция архитектуры.

Объектом изменения становится вся гиперархитектура.

Можно представить последовательность:

A_0 -> A_1 -> A_2 -> … -> A_n.

При этом каждая A_i может иметь:

другое число уровней;

другую сеть связей;

другие операторы;

другие правила управления;

другое пространство возможных состояний.

Так система проходит через серию архитектурных миров.

В этом смысле трансволюция представляет движение не просто внутри пространства.

Она может менять само пространство движения.

Именно здесь трансволюция непосредственно соединяется с динамической гипергеометрией.

Глава 26. Гиперболизация и трансволюция
26.1. Два фундаментальных процесса гиперматематики
К этому этапу можно выделить два фундаментальных типа гиперматематической динамики:

гиперболизацию;

трансволюцию.

Гиперболизация отвечает прежде всего за вертикальное надстраивание.

Трансволюция — за изменение и развитие структуры.

Их нельзя отождествлять.

Гиперболизация может произойти без длительной трансволюции, если новый уровень введен внешне.

Трансволюция может происходить без гиперболизации, если система перестраивается внутри одного порядка.

Однако наиболее интересные гиперсистемы используют оба процесса.

Именно их сочетание позволяет переходить от статической многоуровневости к развивающейся архитектуре.

26.2. Гиперболизация как образование нового уровня
Гиперболизация была ранее определена как образование функционально выделенной надстройки.

Условно:

порядок n -> порядок n+1.

Содержательно это означает, что появляется новый уровень, способный работать с механизмами предыдущего как с объектами.

Например:

оператор -> метаоператор;

модель -> метамодель;

алгоритм -> система управления алгоритмами.

Если гиперболизация происходит один раз, система повышает порядок.

Если многократно — возникает иерархия.

Если система сама инициирует этот процесс — самогиперболизация.

Таким образом, гиперболизация является генератором вертикальной размерности.

26.3. Трансволюция как преобразование развивающейся структуры
Трансволюция описывает не столько добавление уровня, сколько траекторию изменения структуры.

Она может включать:

замены;

перестройки;

ветвление;

слияние;

упрощение;

усложнение;

реорганизацию.

Главным объектом является архитектура в движении.

Поэтому можно представить трансволюцию как путь:

A(t_1) -> A(t_2) -> A(t_3) -> …

где A обозначает архитектуру.

Однако в книге предпочтительнее избегать чрезмерного использования специальной нотации и описывать такие процессы словами, если формула не дает дополнительной ясности.

Главное содержание трансволюции — изменение самого пространства допустимых преобразований.

26.4. Взаимодействие гиперболизации и трансволюции
Гиперболизация и трансволюция способны образовывать единый цикл.

Сначала система существует в некотором порядке.

Затем происходит горизонтальная трансволюция.

Система экспериментирует с различными конфигурациями.

Возникает ограничение, которое невозможно устранить внутри существующей архитектуры.

После этого создается новая надстройка.

Происходит гиперболизация.

Затем новая архитектура требует адаптации.

Начинается трансволюция уже внутри следующего порядка.

Схема процесса:

развитие внутри порядка -> архитектурный предел -> гиперболизация -> новый порядок -> трансволюция новой архитектуры.

Эта схема может повторяться.

Так возникает ступенчатое развитие гиперсистем.

Именно она особенно важна для динамического ряда СИИ.

26.5. Переход между порядками
Переход между порядками должен стать одним из центральных объектов зрелой гиперматематики.

Пусть существует система порядка n.

Чтобы перейти к n+1, недостаточно просто добавить новый компонент.

Необходим новый функциональный уровень.

Он должен:

получить предмет управления;

обладать собственными операторами;

взаимодействовать с нижними уровнями;

создавать новые возможности, недоступные прежнему порядку.

Переход можно разделить на несколько стадий.

Первая — возникновение необходимости.

Вторая — проектирование надстройки.

Третья — ее создание.

Четвертая — интеграция.

Пятая — перераспределение функций между уровнями.

Шестая — стабилизация.

Следовательно, переход порядка является процессом, а не только состоянием.

Именно поэтому теория трансволюции необходима для полноценного описания гиперболизации.

26.6. Гиперэволюция
Понятие гиперэволюции можно использовать для обозначения более общего процесса длительного развития гиперсистемы, включающего как трансволюционные изменения, так и переходы между порядками.

Гиперэволюция может содержать:

обычную динамику;

горизонтальную трансволюцию;

межуровневые перестройки;

гиперболизацию;

вертикальную трансволюцию;

рекурсивное самоизменение.

Таким образом:

эволюция относится к изменению системы;

трансволюция — к структурному изменению;

гиперболизация — к появлению нового уровня;

гиперэволюция — к общему процессу развития многоуровневой архитектуры.

Это рабочее разграничение.

В дальнейшем оно может уточняться.

Особенно важно не превращать гиперэволюцию в универсальное слово для любого роста.

Ее предмет — именно развитие гиперструктуры.

26.7. Трансволюционные гиперряды
Если гиперсистема проходит через множество состояний и порядков, возникает трансволюционный гиперряд.

Например:

H_0 -> H_1 -> H_2 -> … -> H_n -> …

Здесь H_i обозначает не отдельное число, а состояние многоуровневой системы.

Особенно важны ряды, в которых чередуются участки различного типа.

Например:

длительная горизонтальная трансволюция;

переход порядка;

стабилизация;

новая горизонтальная трансволюция;

следующий переход порядка.

Так возникает ступенчатый гиперряд.

В будущем именно в этой форме можно описывать:

развитие математических архитектур;

эволюцию систем моделей;

нооформации;

последовательность поколений СИИ.

Тогда ряд:

ИИ -> СИИ^1 -> СИИ^2 -> … -> СИИ^n -> …

становится одним из частных случаев более общего трансволюционного гиперряда.

26.8. Открытые системы неограниченного развития
Особый класс образуют открытые гиперсистемы.

Открытая система не имеет заранее полностью заданного пространства архитектур.

Она способна:

создавать новые операторы;

расширять множество правил;

строить новые уровни;

осваивать новые пространства состояний.

Если для любого достигнутого порядка n потенциально возможно образование порядка n+1, появляется система неограниченного надстраивания.

Важно подчеркнуть: речь идет о потенциальной неограниченности.

Это не утверждение, что реальная физическая система может иметь буквально бесконечное количество уровней.

Практические пределы могут быть:

ресурсными;

вычислительными;

логическими;

энергетическими;

информационными.

Гиперматематика исследует прежде всего формальный принцип открытого продолжения.

Именно он позволяет говорить о системе без заранее заданного последнего этажа.

Глава 27. Самоизменяющиеся гиперсистемы
27.1. Изменение собственного состояния
Минимальная способность самоизменения заключается в том, что система самостоятельно переводит себя из одного состояния в другое.

Это еще не обязательно сложная гиперматематическая функция.

Обычная автоматическая система также может изменять состояние.

Но здесь начинается шкала автономности.

Система может:

реагировать на внешний сигнал;

выбирать состояние;

оценивать состояние;

изменять траекторию.

Чем больше механизм перехода принадлежит самой системе, тем сильнее ее самоизменяющийся характер.

Однако изменение состояния остается нижним уровнем.

Для настоящей гипердинамики важно, может ли система изменять не только то, что она делает, но и правила собственного действия.

27.2. Изменение собственных правил
Следующий порядок появляется тогда, когда система способна изменять собственные правила.

Пусть имеется правило F.

Обычная система работает по F.

Более сложная способна выбрать:

F_1;

F_2;

F_3.

Еще более сильная — построить F_4.

В этом случае пространство поведения перестает быть полностью фиксированным.

Правила становятся объектами.

Возникает метауровень.

Но необходимо различать:

изменение параметров правила;

выбор правила;

изменение структуры правила;

создание нового правила.

Это разные степени самоизменения.

Для гиперматематики наиболее существенны последние две.

27.3. Изменение механизмов изменения правил
Еще более высокий уровень возникает тогда, когда система способна изменять не только правила, но и механизм их изменения.

Пусть M определяет, каким образом изменяется F.

Тогда система следующего порядка способна преобразовывать M.

Получается:

правило F;

механизм изменения M;

метамеханизм изменения M.

Именно здесь появляется глубокая рекурсивность.

Система может менять не только поведение.

Не только обучение.

Но сам способ обучения.

На следующем уровне — способ изменения способа обучения.

Так возникает потенциально открытая вертикаль метаизменений.

Это одна из наиболее важных моделей для будущей теории СИИ.

27.4. Самореференция
Самоизменение требует определенного отношения системы к самой себе.

Одной из форм такого отношения является самореференция.

Самореферентная система содержит внутреннее представление хотя бы некоторых собственных характеристик.

Например:

своего состояния;

своей структуры;

своих операторов;

своих ограничений;

своих целей.

Самореференция может быть минимальной.

Например, система знает число доступных операторов.

Или развитой.

Она имеет модель собственной архитектуры.

Важно не отождествлять самореференцию с сознанием.

В гиперматематическом смысле это структурное свойство.

Система содержит данные или модель о самой себе и использует их в операциях.

Именно операционное использование делает самореференцию существенной для самоизменения.

27.5. Самомоделирование
Самомоделирование является более развитой формой самореференции.

Система строит модель собственной структуры или поведения.

Эта модель может отвечать на вопросы:

что я сейчас представляю собой?

какие операторы доступны?

какие ограничения существуют?

что произойдет, если изменить определенный компонент?

Таким образом, система получает внутреннее пространство гипотетических вариантов собственного изменения.

Это чрезвычайно важный шаг.

Без самомоделирования самоизменение может быть слепым.

С самомоделированием система способна сравнить несколько предполагаемых будущих архитектур до их реализации.

Можно представить цикл:

модель себя -> вариант изменения -> моделирование результата -> выбор -> реальное изменение.

Так самореференция превращается в инструмент архитектурного проектирования.

27.6. Самомодификация
Самомодификация означает реальное изменение собственной структуры на основании внутреннего механизма.

Система может модифицировать:

параметры;

операторы;

связи;

модули;

правила.

Самомодификация сильнее обычной адаптации, если она затрагивает саму архитектуру.

Однако она еще не обязательно создает новый уровень.

Например, система может заменить оператор одного уровня другим и остаться системой того же порядка.

Поэтому необходимо различать:

самомодификацию внутри порядка;

самонадстраивание с изменением порядка.

Это различие будет ключевым для классификации СИИ.

27.7. Самонадстраивание
Самонадстраивание — способность системы самостоятельно создавать новую функциональную надстройку над собственной существующей архитектурой.

Это уже процесс изменения порядка.

Чтобы он был возможен, система должна иметь несколько функций.

Во-первых, обнаружить ограничение текущей архитектуры.

Во-вторых, сформировать модель возможного нового уровня.

В-третьих, создать его.

В-четвертых, встроить в существующую систему.

В-пятых, изменить отношения управления.

В-шестых, проверить устойчивость новой конфигурации.

Таким образом, самонадстраивание нельзя свести к добавлению программного модуля.

Это архитектурная реорганизация.

Если система была порядка n и самостоятельно создала функциональный уровень n+1, произошла самогиперболизация.

Если подобные переходы повторяются, возникает рекурсивное самонадстраивание.

27.8. Самопорождение новых уровней
Наиболее сильный вариант самоизменяющейся гиперсистемы связан с самопорождением новых уровней.

Самонадстраивание может использовать заранее предусмотренный механизм.

Например, архитектор системы заранее создал функцию, позволяющую добавить следующий модуль.

Самопорождение в более сильном смысле предполагает, что система способна создавать такие надстройки, которые не были заранее полностью определены по своей конкретной форме.

Она должна иметь:

пространство возможных архитектур;

генератор новых архитектур;

механизм оценки;

способ экспериментальной проверки;

механизм интеграции.

Тогда новая надстройка возникает как результат внутреннего поискового процесса.

Именно здесь гиперматематика непосредственно выходит к генеративным системам.

Можно представить общий цикл:

текущее состояние;

самомодель;

обнаружение ограничения;

генерация вариантов;

моделирование;

отбор;

создание новой надстройки;

интеграция;

новая самомодель.

После этого цикл может повторяться.

Так возникает потенциально открытая система архитектурного саморазвития.

Она не просто изменяет себя.

Она способна изменять способ, которым изменяет себя.

Затем — механизм изменения этого способа.

И так далее.

Именно здесь сходятся основные линии Части VII.

Гиперобъект становится гиперпроцессом.

Гиперпроцесс превращается в трансволюционную траекторию.

Трансволюция соединяется с гиперболизацией.

Гиперболизация может стать самогиперболизацией.

Самогиперболизация — повторяемым самонадстраиванием.

В результате возникает саморазвивающаяся гиперсистема.

Общий динамический ряд можно представить словами:

состояние -> изменение состояния -> изменение структуры -> изменение операторов -> изменение правил -> изменение механизмов изменения правил -> создание нового уровня -> изменение архитектуры -> самопорождение следующих уровней.

Это один из центральных рядов всей гиперматематики.

Он показывает, что существуют качественно различные уровни изменения.

Изменить значение — не то же самое, что изменить правило.

Изменить правило — не то же самое, что изменить механизм построения правил.

Изменить архитектуру — не то же самое, что создать новый порядок.

Именно на этих различиях позднее может быть построена строгая классификация интеллектуальных систем.

Базовый ИИ способен демонстрировать чрезвычайно богатое поведение внутри определенной архитектуры.

СИИ первого порядка должен получить принципиально иной уровень надстроечного управления.

СИИ второго порядка — сделать объектом преобразования уже механизмы первого метауровня.

Далее возникает ряд:

ИИ -> СИИ^1 -> СИИ^2 -> … -> СИИ^n -> …

Теперь становится понятнее, почему этот ряд является не просто футурологической шкалой.

Он представляет частный случай общей гиперматематической модели перехода между порядками.

Именно гипердинамика предоставляет язык для описания такого развития.

Трансволюция описывает траекторию изменения.

Гиперболизация создает новую вертикаль.

Самомоделирование делает изменение направляемым.

Самомодификация перестраивает существующую архитектуру.

Самонадстраивание создает следующий уровень.

Самопорождение открывает возможность дальнейшего ряда.

Тем самым гиперматематика переходит от теории многоуровневых объектов к теории многоуровневого развития.

Следующий логический шаг состоит в том, чтобы исследовать не только изменение уже существующих объектов, но и систематическое порождение новых.

Если существует пространство возможных архитектур, можно строить механизмы их генерации.

Если существуют гипероператоры, можно создавать генераторы гипероператоров.

Если существуют математические модели, можно создавать генераторы моделей.

А затем — генераторы генераторов.

Именно отсюда начинается генеративная и метагиперматематика.

*********

ЧАСТЬ VIII. ГЕНЕРАТИВНАЯ И МЕТАГИПЕРМАТЕМАТИКА
Предыдущие части были посвящены прежде всего уже существующим гиперобъектам.

Мы исследовали их устройство.

Порядок.

Глубину.

Операторы.

Архитектуры.

Динамику.

Трансволюцию.

Самоизменение.

Но если гиперобъект способен перестраиваться, возникает следующий вопрос:

может ли математическая система не только преобразовывать существующие объекты, но и систематически порождать новые?

И не просто отдельные новые объекты.

Новые операторы.

Новые классы структур.

Новые архитектуры.

Новые способы построения архитектур.

Новые формальные языки.

В пределе — новые математические теории.

Именно здесь начинается генеративная гиперматематика.

Ее предметом становится не только математически существующее в рамках заранее заданной системы, но и пространство математически конструируемого.

Так происходит еще один фундаментальный переход:

объект -> преобразование объекта -> пространство преобразований -> генератор объектов -> генератор архитектур -> генератор генераторов.

В этом переходе особенно ясно проявляется связь гиперматематики с Демиургизмом.

Математика становится не только языком описания.

Она становится аппаратом систематического конструирования формальных возможностей.

Однако такая перспектива требует особой строгости.

Генерация новых записей еще не означает генерации новых математических объектов.

Генерация необычных определений еще не создает новую теорию.

Создание нового символического языка не гарантирует его математической содержательности.

Поэтому генеративная гиперматематика должна соединять творчество с проверкой.

Необходимо не только порождать, но и:

определять;

проверять непротиворечивость;

исследовать свойства;

сравнивать;

классифицировать;

отбрасывать неработающие конструкции.

Именно из соединения генерации и метаанализа возникает перспектива метагиперматематики.

Глава 28. Пространства математических возможностей
28.1. Заданные и генерируемые объекты
Обычная математическая задача часто начинается с уже заданного объекта.

Дано число.

Дана функция.

Дан граф.

Дана система уравнений.

Дана алгебраическая структура.

Далее исследуются ее свойства.

Генеративный подход добавляет другой тип задачи:

как построить множество возможных объектов определенного класса?

Вместо одного объекта O появляется генератор G.

Условно:

G -> O_1, O_2, O_3, …, O_n, …

Теперь предметом исследования становятся не только отдельные O_i, но и сам способ их порождения.

Например, можно задать генератор числовых последовательностей.

Генератор графов.

Генератор функций.

Генератор операторов.

Генератор гиперобъектов.

В таком случае возникает важное различие между:

заданным объектом;

порождаемым объектом;

пространством возможных результатов генерации;

правилом генерации.

Гиперматематика особенно интересуется последними двумя уровнями.

Если изменить генератор, изменяется уже не один результат.

Меняется целое пространство возможных объектов.

Это качественно более сильное преобразование.

Таким образом, генератор является естественной надстройкой над классом объектов.

А генератор, способный изменять собственный способ генерации, становится объектом следующего гиперпорядка.

28.2. Пространство допустимых преобразований
Каждый объект может иметь некоторое множество допустимых преобразований.

Пусть объект O допускает операторы:

F_1, F_2, …, F_n.

Тогда можно рассматривать пространство его преобразований.

Если набор операторов фиксирован, система работает внутри заранее заданного пространства возможностей.

Если же она способна создавать новые операторы, само пространство преобразований становится динамическим.

Это различие принципиально.

Система первого типа отвечает на вопрос:

какое из доступных преобразований применить?

Система второго типа:

какие преобразования вообще должны стать доступными?

В гиперматематике второй вопрос относится к более высокому порядку.

Можно представить следующую вертикаль:

объект;

множество преобразований объекта;

механизм выбора преобразования;

механизм генерации новых преобразований;

механизм изменения генератора преобразований.

Так пространство допустимых преобразований становится открытым.

Именно открытость имеет особое значение для генеративной гиперматематики.

Она позволяет системе выходить за пределы заранее перечисленного набора операций.

Но открытость не должна означать отсутствие ограничений.

Напротив, необходимы критерии допустимости.

Например:

синтаксическая корректность;

семантическая определенность;

согласованность;

вычислимость — там, где она требуется;

сохранение заданных инвариантов.

Поэтому пространство возможностей должно быть организованным, а не хаотическим.

28.3. Пространство архитектур
Ранее пространство архитектур рассматривалось как множество различных способов организации гиперобъекта.

Теперь оно становится генеративным пространством.

Пусть базовая архитектура имеет вид:

O_0 -> O_1.

Можно породить варианты:

O_0 -> O_1 -> O_2;

две параллельные надстройки над O_0;

ветвящуюся структуру;

рекурсивную структуру;

сетевую архитектуру.

Таким образом, генератор архитектур работает уже не с отдельными элементами, а с отношениями уровней.

Его результатом является схема организации целой системы.

Это значительно более мощный уровень генерации.

Один новый объект расширяет множество объектов.

Один новый оператор расширяет множество способов действия.

Одна новая архитектура способна изменить пространство всей системы.

Поэтому пространство архитектур является одним из наиболее важных объектов генеративной гиперматематики.

В нем можно исследовать:

соседние архитектуры;

допустимые переходы;

запрещенные конфигурации;

устойчивые структуры;

минимальные надстройки;

архитектурные аттракторы;

траектории трансволюции.

Тогда генерация архитектуры становится не случайным построением, а поиском внутри организованного пространства.

28.4. Комбинаторика надстроек
Если над базовым объектом возможно несколько типов надстроек, возникает задача их комбинирования.

Пусть имеются:

H_1 — управляющая надстройка;

H_2 — генеративная;

H_3 — оценочная;

H_4 — рефлексивная.

Можно строить:

H_1 -> H_2;

H_2 -> H_1;

параллельную систему H_1 и H_3;

многоуровневую конструкцию H_1 -> H_2 -> H_4.

Количество возможных сочетаний быстро растет.

Возникает комбинаторика надстроек.

Она должна учитывать не только число элементов, но и:

порядок;

тип связи;

направление управления;

вложенность;

ветвление;

рекурсивность.

Таким образом, две системы с одинаковым набором H_i могут быть совершенно различными из-за разного способа композиции.

Комбинаторика надстроек исследует пространство таких вариантов.

Это важная область для автоматизированного поиска новых гиперархитектур.

Если архитектуру можно представить конечным кодом или графом, компьютерная система способна генерировать огромное количество вариантов.

Но тогда возникает проблема отбора.

Какие конструкции содержательно различны?

Какие эквивалентны?

Какие избыточны?

Какие принципиально невозможны?

Здесь комбинаторика соединяется с теорией гиперэквивалентности и гиперинвариантов.

28.5. Генерация новых структур
Генерация новых структур означает систематическое построение объектов, ранее не заданных непосредственно.

Но слово «новый» требует уточнения.

Структура может быть новой:

в рамках конкретного поиска;

в рамках заданного формального класса;

по отношению к имеющемуся каталогу;

по своим свойствам;

по архитектуре.

Абсолютная математическая новизна значительно сложнее и требует доказательства отсутствия эквивалентных известных конструкций.

Поэтому генеративная гиперматематика должна различать:

синтаксическую новизну;

структурную новизну;

функциональную новизну;

теоретическую новизну.

Например, случайная перестановка символов может быть синтаксически новой, но математически бессодержательной.

Гораздо интереснее конструкция, которая обладает новым сочетанием инвариантов или порождает ранее не исследованный класс архитектур.

Генерация новых структур должна поэтому сопровождаться анализом.

Цикл может выглядеть так:

генерация -> формализация -> проверка -> классификация -> сравнение -> отбор.

Это превращает генеративную математику из механизма производства вариантов в механизм поиска содержательных объектов.

28.6. Поиск новых классов объектов
Еще более сильная задача состоит не в генерации новых элементов известного класса, а в обнаружении нового класса объектов.

Например, система может породить множество конструкций и обнаружить, что некоторые из них обладают общим свойством.

Тогда возникает новый класс.

После этого необходимо определить:

его границы;

характерные свойства;

инварианты;

отношения с известными классами;

операции над ним.

Так генерация переходит в теоретическое открытие.

Можно представить цикл:

объекты -> обнаружение общего паттерна -> определение класса -> исследование класса -> новая теория.

Именно этот процесс особенно важен для будущих интеллектуальных математических систем.

СИИ-математик должен быть способен не только решать задачи внутри известных категорий, но и замечать устойчивые семейства новых конструкций.

В гиперматематическом смысле это означает работу уже не только с объектами, но и с пространством классов объектов.

28.7. Исследование математически возможного
Генеративная гиперматематика в пределе ставит вопрос о пространстве математически возможного.

Это чрезвычайно широкое понятие.

Оно не означает, что можно породить «всю математику» в одной конечной системе.

Скорее речь идет о методологической установке:

исследовать не только заданную формальную область, но и пространство альтернативных способов построения математических объектов и теорий.

Такой подход включает:

перебор архитектур;

изменение систем операций;

генерацию новых аксиоматических вариантов;

поиск новых инвариантов;

создание новых формальных языков.

Математически возможное здесь не совпадает с физически возможным.

Формальная структура может быть математически определенной, даже если ей не соответствует известный физический объект.

Это делает генеративную гиперматематику естественным аппаратом исследования формальных возможных миров.

Но пространство математически возможного не должно превращаться в произвольную фантазию.

Каждая конструкция должна иметь правила.

Каждый объект — определение.

Каждый переход — формальный смысл.

Именно это отличает математическое конструирование от свободной метафоры.

Глава 29. Гиперматематические генераторы
29.1. Генератор объектов
Генератор объектов — это правило, алгоритм или формальная система, порождающая множество объектов определенного класса.

Условно:

G(O) -> O_1, O_2, …, O_n, …

Например, генератор может создавать:

числовые последовательности;

графы;

матрицы;

функции;

изольдионы;

гиперобъекты заданной архитектуры.

На первом уровне генератор имеет фиксированные правила.

Он порождает множество вариантов внутри заданного пространства.

Но даже такой генератор уже является надстройкой.

Он работает не с одним объектом, а с классом потенциальных объектов.

Генератор превращает математическую конструкцию из результата в производственный процесс.

Именно поэтому понятие генератора занимает центральное место в генеративной гиперматематике.

29.2. Генератор операторов
Следующий уровень — генератор операторов.

Он создает не объекты, а способы преобразования объектов.

Условно:

G_F -> F_1, F_2, …, F_n, …

Это значительно расширяет пространство возможностей.

Генератор объектов строит новые элементы.

Генератор операторов строит новые способы получения и изменения элементов.

Например, он может конструировать оператор из:

базовых операций;

условий;

композиций;

параметров;

рекурсивных правил.

После генерации оператор должен быть проверен.

Необходимо определить:

на каких объектах он действует;

является ли корректным;

какие свойства сохраняет;

к каким результатам приводит.

Таким образом, генерация операторов должна соединяться с автоматическим анализом.

В перспективе такая система способна искать новые преобразования, которые исследователь заранее не перечислял.

29.3. Генератор моделей
Модель представляет определенную структуру описания объекта, процесса или класса явлений.

Генератор моделей создает не одну модель, а множество альтернативных способов представления.

Это особенно важно для сложных задач.

Один и тот же объект можно моделировать:

алгебраически;

геометрически;

вероятностно;

графово;

алгоритмически.

Генератор моделей должен уметь строить разные представления и сравнивать их.

В простом случае он работает внутри фиксированного класса моделей.

В более сильном — комбинирует несколько классов.

Еще более высокий уровень способен создавать новые типы модельных архитектур.

Так возникает переход:

модель -> семейство моделей -> генератор моделей -> генератор архитектур моделирования.

Этот переход особенно значим для СИИ.

Интеллект высокого порядка должен, вероятно, уметь не только выбирать лучшую из готовых моделей, но и конструировать новые формы представления проблемы.

29.4. Генератор архитектур
Генератор архитектур работает уже с целыми системами уровней.

Его результатом является не отдельный оператор, а схема организации операторов, объектов и управляющих механизмов.

Например, он может породить:

линейную архитектуру;

ветвящуюся;

сетевую;

рекурсивную;

гибридную.

Генератор должен определять:

число уровней;

состав уровней;

направления связей;

управляющие отношения;

механизмы обратной связи.

Таким образом, архитектура становится формально генерируемым объектом.

Это особенно важно для самонадстраивающихся систем.

Чтобы система могла создать новый собственный уровень, она должна иметь хотя бы некоторый механизм генерации архитектурных вариантов.

Но одного генератора недостаточно.

Нужны также:

оценка;

симуляция;

проверка;

выбор;

интеграция.

Поэтому полноценный генератор архитектур почти неизбежно становится частью более сложной гиперсистемы.

29.5. Генератор генераторов
На следующем уровне объектом становится уже сам генератор.

Пусть G_1 порождает объекты.

Тогда G_2 способен порождать различные варианты G_1.

Условно:

G_2 -> G_1A, G_1B, G_1C, …

Это генератор генераторов.

Он работает не внутри одного пространства объектов, а внутри пространства способов генерации.

Таким образом, возникает новый порядок.

Первый уровень:

порождает объекты.

Второй:

порождает способы порождения объектов.

Третий потенциально способен порождать способы построения генераторов второго уровня.

Возникает открытая вертикаль:

генератор;

метагенератор;

генератор метагенераторов;

…

Это один из наиболее ясных примеров гиперматематического надстраивания.

Здесь каждый новый уровень увеличивает не просто количество результатов, а пространство возможных механизмов творчества.

29.6. Самоизменяющийся генератор
Самоизменяющийся генератор способен преобразовывать собственные правила порождения.

Пусть первоначально G создает объекты по определенному закону.

После анализа результатов он может изменить:

параметры;

операторы;

критерии отбора;

структуру генерации;

сам класс порождаемых объектов.

Возникает цикл:

генерация -> оценка -> изменение генератора -> новая генерация.

Если механизм оценки также изменяем, система приобретает еще один порядок.

Самоизменяющийся генератор является особенно важным объектом гиперматематики, потому что соединяет:

генерацию;

трансволюцию;

самомодификацию.

В более сильной форме он способен изменить собственную архитектуру.

Тогда генератор становится самонадстраивающейся гиперсистемой.

29.7. Иерархии генеративных систем
Генеративные механизмы могут образовывать иерархии.

Например:

уровень 0 — объекты;

уровень 1 — генераторы объектов;

уровень 2 — генераторы генераторов;

уровень 3 — системы выбора генераторов второго уровня;

уровень 4 — системы изменения механизмов выбора.

Такая архитектура уже представляет гипергенеративную систему.

Каждый новый уровень меняет пространство возможностей нижнего.

Это особенно важно для понимания интеллектуального творчества.

Слабая система генерирует варианты.

Более сильная меняет правила генерации.

Еще более сильная меняет саму архитектуру творческого процесса.

Таким образом, гиперматематический подход позволяет рассматривать творчество не как неделимый акт, а как многоуровневую систему порождения и отбора.

В перспективе подобная теория может стать одной из основ математического описания научного творчества СИИ.

Глава 30. Метагиперматематика
30.1. Гиперматематика как объект исследования
На определенном этапе сама гиперматематика должна стать объектом собственного анализа.

Именно здесь возникает метагиперматематика.

Термин используется в настоящей книге в специальном рабочем смысле.

Он не отменяет и не заменяет существующую метаматематику.

Современная математика уже обладает мощными метатеоретическими дисциплинами, исследующими формальные системы, доказательства, модели, языки и основания.

Метагиперматематика должна иметь более узкий собственный предмет:

исследование способов построения, преобразования и генерации многоуровневых математических архитектур и самих аппаратов гиперматематики.

То есть объектом становится уже не отдельный гиперобъект, а теория гиперобъектов.

Не отдельный гипероператор, а способы построения систем гипероператоров.

Не одна архитектура, а пространство формализмов, в которых такие архитектуры задаются.

Таким образом, гиперматематика обращает собственные методы на саму себя.

30.2. Метатеория гиперобъектов
Метатеория гиперобъектов должна исследовать общие свойства формальных систем, в которых определяются гиперобъекты.

Например:

какие определения гиперобъекта возможны?

Какие из них эквивалентны?

Какие сильнее других?

Какие классы гиперобъектов возникают при различных аксиомах?

Какие свойства зависят от выбранного формализма?

Так возникает новый уровень.

Обычная теория исследует гиперобъект O.

Метатеория исследует теорию T, в которой O определен.

Условно:

O принадлежит T.

Но теперь сама T становится объектом.

Можно сравнивать:

T_1;

T_2;

T_3.

Одна теория может определять порядок через число уровней.

Другая — через тип операционных зависимостей.

Третья — через структуру категорий преобразований.

Метагиперматематика должна исследовать отношения между такими формализациями.

Именно это позволит дисциплине не застыть в одной ранней терминологической системе.

30.3. Преобразование формальных аппаратов
Если математический формализм является объектом, можно ставить вопрос о его преобразовании.

Например, теория содержит:

множество обозначений;

определения;

аксиомы;

правила вывода;

классы объектов.

Можно изменить одно определение.

Это может изменить множество допустимых объектов.

Можно изменить аксиому.

Тогда изменится пространство выводимых утверждений.

Можно изменить язык описания.

Тогда часть конструкций станет более простой или более сложной.

Так возникает идея трансволюции формального аппарата.

Условно:

T_1 -> T_2 -> T_3.

Но каждый T_i является уже не отдельным математическим объектом, а целой теорией или формальной системой.

Так метагиперматематика переносит трансволюционный принцип на уровень математических аппаратов.

Это особенно соответствует версионному характеру настоящей книги.

Гиперматематика развивается через последовательность формализаций.

Каждая версия может рассматриваться как состояние теории.

30.4. Генерация математических языков
Любая математическая теория использует язык.

Он включает:

символы;

правила построения выражений;

способы обозначения объектов;

отношения;

операции.

Обычно язык задается исследователем.

Но генеративная метагиперматематика ставит другой вопрос:

можно ли формально порождать новые математические языки под определенные классы задач?

Например, сложная область может плохо выражаться в существующей нотации.

Тогда система способна построить более подходящий язык.

Однако новый математический язык должен удовлетворять строгим требованиям.

Он должен быть:

однозначным;

структурно определенным;

достаточно выразительным;

пригодным для вывода или вычисления.

Генерация языка поэтому не является простым созданием новых символов.

Необходимо построить целую систему синтаксиса и семантики.

В перспективе СИИ может создавать специализированные формальные языки для конкретных исследовательских задач.

Это было бы одной из наиболее сильных форм математической генерации.

30.5. Генерация формализмов
Формализм шире языка.

Он включает не только обозначения, но и способы математической организации предмета.

Например, одну и ту же проблему можно формализовать через:

уравнения;

графы;

матрицы;

вероятностные распределения;

логические системы;

алгоритмы.

Выбор формализма определяет, какие свойства становятся видимыми.

Генератор формализмов должен уметь:

анализировать предмет;

предлагать способы его представления;

строить определения;

создавать операторы;

сравнивать выразительность различных представлений.

Это чрезвычайно сложная задача.

Но именно она открывает путь от автоматического решения задач к автоматическому созданию средств решения.

Так возникает важное различие.

Система первого типа решает задачу в заданном формализме.

Система второго типа выбирает формализм.

Система третьего — конструирует новый формализм.

Последний случай уже непосредственно относится к метагиперматематике.

30.6. Пространства математических теорий
Если разные формальные системы можно сравнивать, возникает пространство математических теорий.

Его элементами могут быть:

аксиоматические системы;

формальные языки;

теории объектов;

операционные аппараты.

Две теории могут быть близкими, если:

используют сходные аксиомы;

имеют общий класс моделей;

одна является расширением другой;

между ними существует перевод.

Можно также рассматривать переходы:

T_1 -> T_2.

Например, T_2 возникает путем добавления новой аксиомы к T_1.

Или путем изменения определения базового объекта.

Или путем введения нового типа операторов.

Таким образом, появляется метапространство, аналогичное ранее введенному пространству архитектур.

Только его точками являются уже математические теории.

Это позволяет в принципе говорить о:

геометрии теорий;

траекториях развития теорий;

соседних теориях;

теоретических разрывах;

метаинвариантах.

Такие понятия потребуют большой осторожности и дальнейшей строгой разработки.

Но исследовательская программа здесь уже становится ясной.

30.7. Механизмы построения новых математик
Самый сильный вопрос метагиперматематики заключается в следующем:

может ли существовать формальная система, способная систематически строить новые математические теории?

Такой механизм должен был бы включать несколько этапов.

Первый — обнаружение нового класса объектов или отношений.

Второй — создание языка.

Третий — формулировка определений.

Четвертый — построение операций.

Пятый — формирование аксиом или базовых принципов.

Шестой — вывод следствий.

Седьмой — поиск инвариантов.

Восьмой — сравнение с существующими теориями.

Девятый — проверка непротиворечивости в доступных пределах.

Десятый — построение вычислительных и прикладных моделей.

Таким образом, новая математика не возникает одним актом генерации.

Она формируется как гиперпроцесс.

Механизм построения математик должен сам быть многоуровневой системой.

Можно представить:

уровень объектов;

уровень определений;

уровень операций;

уровень доказательств;

уровень метаанализа;

уровень перестройки формализма.

Именно поэтому задача автоматического создания новых математик естественно относится к гиперматематике.

Она требует архитектуры, способной работать одновременно на нескольких формальных уровнях.

30.8. Гиперматематика как потенциальная метанаука
Возможность метанаучного статуса гиперматематики следует формулировать осторожно.

На данном этапе это исследовательская перспектива, а не установленный результат.

Гиперматематика станет метанаукой в сильном смысле только в том случае, если ее аппарат сможет систематически работать не только с объектами отдельных математических дисциплин, но и с механизмами построения самих формальных дисциплин.

Для этого необходимы:

строгая теория гиперобъектов;

формализованные гипероператоры;

теория архитектур;

метрики и инварианты;

теория трансволюции;

вычислительные реализации;

метатеория собственных формальных аппаратов.

Только после этого можно будет серьезно говорить о гиперматематике как о средстве конструирования математик.

Но само направление уже имеет ясную внутреннюю логику.

Обычная математическая система работает с объектами.

Более высокий уровень работает с операторами.

Следующий — с архитектурами операторов.

Еще выше располагается система генерации архитектур.

Затем — система изменения генераторов.

Наконец, предметом становится сам способ построения формальных систем.

Так возникает ряд:

объект -> оператор -> гиперобъект -> архитектура -> генератор архитектур -> генератор генераторов -> формальная теория -> пространство теорий -> механизм построения новых теорий.

Это один из наиболее высоких уровней гиперматематического подхода.

Именно здесь Демиургизм, Метаорганон и гиперматематика особенно тесно сближаются.

Демиургический принцип требует перехода от описания к созданию.

Метаорганон требует системы средств создания и организации знания.

Гиперматематика пытается предоставить формальный аппарат для работы с многоуровневыми механизмами такого создания.

В пределе можно представить интеллектуальную систему, которая получает новую проблему и не просто выбирает известный математический метод.

Она анализирует структуру проблемы.

Строит несколько моделей.

Создает новые операторы.

Формирует новый язык.

Предлагает новую систему понятий.

Строит формальный аппарат.

Проверяет его.

Выводит следствия.

Сравнивает новую теорию с существующими.

При необходимости перестраивает собственный механизм математического поиска.

Именно такая система могла бы рассматриваться как один из возможных идеальных объектов метагиперматематики.

Но здесь особенно важно сохранить научную дисциплину.

Математическое творчество нельзя свести к генерации большого количества формул.

Новая запись — еще не новая математика.

Новый термин — еще не новое понятие.

Новая структура — еще не новая теория.

Генеративная гиперматематика должна поэтому постоянно соединять два противоположных процесса:

расширение пространства возможностей;

жесткий формальный отбор.

Можно представить общий цикл:

генерация -> проверка -> сравнение -> классификация -> формализация -> доказательство -> новая генерация.

Если этот цикл становится самоизменяющимся, возникает еще более высокий уровень:

система анализирует эффективность собственного математического творчества и перестраивает сам способ генерации теорий.

Именно здесь понятие генератора генераторов приобретает фундаментальный смысл.

Создаются уже не только новые объекты.

Создаются новые способы создавать объекты.

Затем — способы создавать такие способы.

Эта вертикаль потенциально может продолжаться.

Так общий ряд Части VIII принимает форму:

математический объект -> пространство объектов -> генератор объектов -> генератор операторов -> генератор моделей -> генератор архитектур -> генератор генераторов -> самоизменяющаяся генеративная система -> пространство формальных теорий -> механизм построения новых математик.

На этом уровне гиперматематика начинает исследовать собственные условия возникновения.

Она перестает быть только теорией гиперобъектов.

Она становится также теорией механизмов, способных порождать новые гиперобъекты, новые архитектуры и новые способы математического мышления.

Именно поэтому метагиперматематика является естественным продолжением общей гиперматематики.

Гиперматематика спрашивает:

как устроены многоуровневые математические системы?

Генеративная гиперматематика:

как создавать новые такие системы?

Метагиперматематика:

как создавать и изменять сами аппараты, посредством которых такие системы определяются и исследуются?

Следующий шаг должен вернуть эту теорию из пространства общих возможностей к вычислимой реализации.

Если гиперобъекты, генераторы и архитектуры должны стать не только концепциями, необходимо научиться представлять их в вычислительной форме.

Как кодировать уровни?

Как хранить динамические архитектуры?

Как реализовать гипероператоры?

Как создавать гипералгоритмы?

Каковы пределы вычисления гиперсистем?

Этим вопросам посвящена следующая часть — вычислительная гиперматематика.

**********

ЧАСТЬ IX. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ГИПЕРМАТЕМАТИКА
Гиперматематика не может оставаться только философией многоуровневых объектов.

Если ее понятия должны иметь научную и прикладную ценность, необходимо показать, каким образом гиперобъекты могут быть представлены, обработаны и преобразованы вычислительными средствами.

Именно здесь возникает вычислительная гиперматематика.

Ее основная задача состоит в переводе гиперматематических конструкций в формы, пригодные для:

хранения;

передачи;

анализа;

моделирования;

вычисления;

автоматического преобразования;

генерации новых структур.

Обычный математический объект часто можно представить числом, вектором, матрицей, строкой символов, графом или другой структурой данных.

Гиперобъект требует более богатого представления.

Необходимо кодировать не только его элементы, но и:

уровни;

отношения между уровнями;

операторы;

правила изменения операторов;

архитектуру;

возможные переходы между архитектурами.

Иными словами, вычислительная модель гиперобъекта должна представлять одновременно данные и способы работы с данными.

В более сильном варианте — способы изменения самих способов работы.

Так возникает переход:

данные -> алгоритмы -> метаалгоритмы -> гипералгоритмы.

Но вместе с вычислительными возможностями появляются и ограничения.

Каждый дополнительный уровень требует ресурсов.

Рекурсивные структуры могут быстро увеличивать стоимость вычислений.

Некоторые задачи принципиально неразрешимы алгоритмически.

Бесконечная структура не может быть полностью развернута на конечном компьютере.

Поэтому вычислительная гиперматематика должна быть не только теорией возможностей, но и теорией границ.

Глава 31. Представление гиперобъектов
31.1. Структуры данных для гиперобъектов
Чтобы гиперобъект мог быть реализован вычислительно, необходимо представить его в виде структуры данных.

Для обычного объекта это относительно просто.

Число можно хранить как число.

Последовательность — как массив.

Граф — как список вершин и ребер.

Гиперобъект требует более сложной структуры.

Она должна включать как минимум:

базовый объект;

описание уровней;

описание связей;

операторы;

параметры операторов;

метаоператоры;

правила изменения архитектуры.

Условно гиперобъект можно представить как запись:

объект;

уровни;

операторы;

связи;

правила.

Такой формат можно реализовать различными способами.

Например:

в виде вложенных списков;

деревьев;

графов;

объектных структур;

формальных грамматик;

комбинаций нескольких представлений.

Главное требование состоит в том, чтобы структура данных сохраняла различие уровней.

Если все компоненты просто помещены в один список, гиперархитектура теряется.

Следовательно, вычислительное представление должно кодировать не только содержание, но и порядок.

31.2. Представление уровней
Уровни могут представляться несколькими способами.

Простейший вариант — нумерация:

уровень 0;

уровень 1;

уровень 2;

…

уровень n.

Тогда каждый объект получает атрибут уровня.

Но этого достаточно только для линейных архитектур.

Для ветвящихся систем требуется более богатое представление.

Например:

уровень 0 содержит объект A;

над ним работают B и C;

над B находится D;

над C — E.

Тогда простой номер уровня не описывает всю архитектуру.

Необходим граф зависимостей.

Поэтому в вычислительной гиперматематике полезно разделять:

номер уровня;

родительские связи;

управляющие связи;

тип воздействия.

Иными словами, уровень — это не только число.

Это позиция в архитектуре.

Особенно важно учитывать динамические системы, где уровень может:

создаваться;

удаляться;

перемещаться;

менять функцию.

Следовательно, вычислительное представление уровня должно быть изменяемым.

31.3. Динамические структуры данных
Обычная структура данных часто предполагает заранее известную форму.

Например, массив имеет определенную размерность.

У гиперобъекта архитектура может изменяться.

Поэтому необходимы динамические структуры данных.

Они должны позволять:

добавлять уровни;

удалять уровни;

создавать новые связи;

удалять связи;

заменять операторы;

изменять типы узлов.

Например, гиперобъект может первоначально иметь форму:

O_0 -> O_1.

Затем перейти к:

O_0 -> O_1 -> O_2.

После этого O_1 может разделиться на две ветви.

Следовательно, структура данных должна изменяться вместе с объектом.

Для таких задач особенно подходят графовые представления.

Однако сами графы также могут требовать метаописания.

Необходимо хранить не только граф текущего состояния, но и правила его изменения.

Тогда вычислительный гиперобъект становится сочетанием:

структуры;

состояния;

набора операций перестройки.

31.4. Представление изменяемых операторов
Особая проблема возникает с операторами.

Если оператор фиксирован, его можно реализовать как обычную функцию или процедуру.

Если оператор изменяется, необходимо представить его как данные.

Это фундаментальный переход.

Программа должна уметь работать с описанием другой программы или собственного компонента как с объектом.

Оператор может быть представлен:

кодом;

деревом выражений;

графом вычислений;

набором правил;

параметризованным шаблоном.

Тогда метаоператор способен изменять это представление.

Например:

F -> F’.

При этом вычислительная система должна гарантировать, что новый F’:

синтаксически корректен;

может быть выполнен;

не разрушает обязательные ограничения;

совместим с другими уровнями.

Таким образом, изменяемые операторы требуют механизмов проверки.

Это особенно важно для самоизменяющихся систем.

Самомодификация без контроля может привести к потере работоспособности.

31.5. Графовые модели
Граф является одним из наиболее естественных способов представления гиперобъекта.

Вершины могут обозначать:

объекты;

операторы;

уровни;

модули;

состояния.

Ребра могут обозначать:

потоки данных;

отношения управления;

зависимости;

переходы;

обратные связи.

Например:

A -> F -> B

может означать, что оператор F преобразует A в B.

На следующем уровне:

M -> F

может означать, что метаоператор M управляет оператором F.

Получается многоуровневый граф.

Главное преимущество графовой модели — гибкость.

Она позволяет естественно представлять:

ветвление;

сети;

циклы;

рекурсию;

изменение архитектуры.

Кроме того, граф можно изменять во время вычисления.

Например:

добавить вершину;

создать ребро;

изменить направление связи.

Так граф становится не только представлением гиперобъекта, но и объектом трансволюции.

31.6. Рекурсивные модели
Гиперобъекты естественно допускают рекурсивные представления.

Например, можно определить гиперобъект как структуру, которая содержит:

базовый объект;

список надстроек.

Каждая надстройка сама может иметь такую же структуру.

Условно:

гиперобъект = объект + набор гиперобъектов следующего уровня.

Такое определение позволяет строить архитектуры произвольной глубины.

Рекурсивное представление особенно удобно для:

деревьев;

вложенных изольдионов;

иерархий операторов;

гиперпоследовательностей.

Но рекурсия создает и проблемы.

Необходимо контролировать:

глубину;

циклы;

условия завершения;

размер памяти.

Если структура рекурсивно ссылается сама на себя без ограничений, вычисление может не завершиться.

Поэтому рекурсивная гиперматематика должна обязательно включать теорию условий остановки.

31.7. Вычислительные представления изольдионов
Изольдионы являются естественным тестовым классом для вычислительной гиперматематики.

Простейший изольдион можно представить как дерево.

Например, выражение:

2^(3^4)

имеет корневую операцию возведения в степень.

Ее левый аргумент — 2.

Правый аргумент — конструкция 3^4.

Таким образом, возникает вложенная структура.

Более сложный изольдион может включать:

последовательности;

рекуррентные правила;

метаоператоры;

динамические компоненты.

Тогда вычислительное представление должно хранить не только значение, но и внутреннюю архитектуру.

Это дает важное преимущество.

Компьютер может работать с изольдионом, не вычисляя его полностью.

Например, если значение чрезвычайно велико, система может хранить символическую конструкцию:

2^(3^1000)

вместо попытки развернуть все цифры результата.

Так возникает принцип структурного вычисления.

В некоторых случаях важнее работать с архитектурой числа, чем с полной записью его значения.

Именно этот принцип особенно хорошо связывает Изольдионику и вычислительную гиперматематику.

Глава 32. Гипералгоритмы
32.1. Алгоритм
Алгоритм представляет собой конечное и формально определенное описание последовательности действий, предназначенных для решения некоторого класса задач.

Обычный алгоритм получает входные данные.

Выполняет операции.

Выдает результат.

Условно:

вход -> алгоритм -> выход.

Алгоритм может быть чрезвычайно сложным.

Но пока его структура фиксирована, он остается алгоритмом базового уровня.

Гиперматематика добавляет следующий вопрос:

что происходит, если сам алгоритм становится объектом другого алгоритма?

Так возникает метаалгоритмический уровень.

32.2. Метаалгоритм
Метаалгоритм работает с алгоритмами как с объектами.

Он может:

выбирать алгоритм;

настраивать его;

комбинировать несколько алгоритмов;

анализировать эффективность;

заменять один алгоритм другим.

Например, имеется набор:

A_1;

A_2;

A_3.

Метаалгоритм M получает задачу и выбирает:

какой A_i использовать.

Тогда структура выглядит так:

задача -> M -> A_i -> решение.

M уже находится на более высоком уровне, чем A_i.

Он не решает задачу непосредственно.

Он управляет механизмом решения.

Это один из наиболее простых примеров алгоритмической надстройки.

32.3. Гипералгоритм
Гипералгоритмом будем предварительно называть многоуровневую алгоритмическую систему, способную управлять не только выполнением отдельных алгоритмов, но и их выбором, преобразованием, построением и архитектурной организацией.

Гипералгоритм может включать:

алгоритмы первого уровня;

метаалгоритмы;

механизмы генерации;

механизмы оценки;

механизмы изменения самих управляющих механизмов.

Таким образом, гипералгоритм — не просто очень сложный алгоритм.

Его отличает вертикальная организация.

Условно:

данные -> алгоритм -> метаалгоритм -> гипералгоритмическое управление.

Если система способна изменять собственную алгоритмическую архитектуру, гипералгоритм становится динамическим.

Если она способна создавать новые уровни управления — самонадстраивающимся.

32.4. Алгоритм, выбирающий алгоритмы
Простейший метаалгоритм выбирает один из готовых алгоритмов.

Например, имеется задача сортировки.

Система может иметь несколько методов.

Один лучше работает на почти отсортированных данных.

Другой — на больших массивах.

Третий — на определенном типе распределения.

Метаалгоритм анализирует вход и выбирает подходящий вариант.

Главный принцип:

объектом выбора становится не действие внутри алгоритма, а сам алгоритм.

Это уже переход порядка.

Однако пространство выбора остается фиксированным.

Если существует только A_1, A_2 и A_3, система не может выйти за их пределы.

Чтобы перейти дальше, необходимо научиться строить новые алгоритмы.

32.5. Алгоритм, строящий алгоритмы
Алгоритм более высокого уровня способен конструировать новый алгоритм из доступных компонентов.

Например, он может:

соединять базовые операции;

строить ветвления;

создавать циклы;

определять параметры;

проверять результат.

Получается:

задача -> генератор алгоритмов -> новый алгоритм -> решение.

Это уже значительно более сильная архитектура.

Система не просто выбирает из готовых средств.

Она строит средство под задачу.

Но здесь возникает проблема пространства поиска.

Количество возможных алгоритмов может быть огромным.

Поэтому необходимы:

критерии качества;

ограничения;

эвристики;

оценка стоимости;

проверка корректности.

Таким образом, генерация алгоритмов почти всегда требует отдельного управляющего уровня.

32.6. Алгоритм, изменяющий алгоритмы
Еще один важный класс — алгоритм, который изменяет уже существующий алгоритм.

Пусть имеется A.

Метаалгоритм M анализирует его работу и строит:

A’.

Затем может возникнуть:

A».

Получается трансволюционный ряд:

A -> A’ -> A» -> …

Изменяться могут:

параметры;

порядок операций;

структура ветвлений;

используемые подалгоритмы;

условия завершения.

Если M остается неизменным, система имеет один метауровень.

Если же M тоже изменяется:

M -> M’,

возникает следующий порядок.

Именно здесь начинается рекурсивное алгоритмическое самоизменение.

32.7. Иерархии алгоритмического управления
Гипералгоритм может иметь несколько уровней управления.

Например:

уровень 0 — обработка данных;

уровень 1 — выбор алгоритма;

уровень 2 — изменение алгоритма;

уровень 3 — изменение правил изменения;

уровень 4 — изменение архитектуры всей системы.

Так возникает алгоритмическая гиперархия.

Каждый уровень получает предыдущий в качестве объекта.

Это прямое вычислительное воплощение гиперматематического принципа.

Но высокая иерархия создает проблему координации.

Верхний уровень может менять нижний.

Нижний при этом должен оставаться совместимым с остальной системой.

Следовательно, необходимы межуровневые протоколы.

Например:

какие компоненты разрешено изменять;

какие инварианты должны сохраняться;

как проверяется новая версия;

как выполняется откат при ошибке.

Таким образом, теория гипералгоритмов неизбежно соединяется с теорией безопасности и устойчивости вычислительных систем.

32.8. Самоизменяющиеся гипералгоритмы
Самоизменяющийся гипералгоритм способен изменять собственную алгоритмическую организацию.

Это может происходить по циклу:

выполнение;

оценка;

модификация;

проверка;

новое выполнение.

В более развитой системе:

оценивается не только результат;

оценивается сам механизм модификации.

Затем он также может быть изменен.

Таким образом, возникает:

алгоритм;

алгоритм изменения алгоритма;

алгоритм изменения механизма изменения алгоритма;

и так далее.

Но такая рекурсивная мощность создает серьезные риски.

Система может:

потерять корректность;

создать бесконечный цикл;

нарушить собственные ограничения;

увеличить вычислительную стоимость до непрактического уровня.

Поэтому самоизменяющийся гипералгоритм должен иметь механизмы контроля.

Например:

проверку инвариантов;

тестирование;

ограничение ресурсов;

изоляцию экспериментальной версии;

возможность возврата к предыдущему состоянию.

Именно здесь гиперматематика непосредственно сталкивается с инженерной проблемой управляемого самоизменения.

Глава 33. Вычислимость и пределы гиперматематических систем
33.1. Конечное описание бесконечных структур
Одним из центральных вопросов вычислительной гиперматематики является представление потенциально бесконечных объектов конечными средствами.

Физический компьютер конечен.

Он не может хранить буквально бесконечную структуру.

Но он может хранить правило ее построения.

Например, последовательность:

1, 2, 3, 4, …

не требуется записывать полностью.

Достаточно определить:

a_n = n.

Аналогично бесконечная башня уровней может задаваться правилом:

уровень n+1 строится из уровня n по закону H.

То есть:

O_(n+1) = H(O_n).

Так конечное описание определяет потенциально бесконечную конструкцию.

Это принципиально важно для гиперматематики.

Бесконечный гиперобъект вычислительно должен существовать прежде всего как генеративное правило.

Компьютер разворачивает только необходимую конечную часть.

Так возникает различие:

полное существование формального объекта;

конечная вычислительная реализация его фрагмента.

Этот принцип особенно естественен для Изольдионики и рекурсивных гиперобъектов.

33.2. Вычислительная сложность
Гиперобъекты могут требовать значительно больше вычислительных ресурсов, чем обычные объекты.

Причина состоит не только в количестве элементов.

Необходимо учитывать также:

число уровней;

операторы на каждом уровне;

межуровневые связи;

число возможных архитектур;

стоимость метауправления.

Например, базовый алгоритм может иметь стоимость C.

Но если метаалгоритм должен выбирать один из тысячи алгоритмов, появляется дополнительная стоимость.

Если следующий уровень должен искать среди множества метаалгоритмов, стоимость может расти еще быстрее.

Поэтому гиперматематическая сложность должна учитывать как минимум два измерения:

стоимость вычисления внутри уровня;

стоимость управления уровнями.

Можно назвать вторую составляющую метаиздержками.

В некоторых системах они могут оказаться больше стоимости основного вычисления.

Следовательно, повышение гиперпорядка не является бесплатным.

Каждый новый уровень должен оправдывать собственную вычислительную цену.

33.3. Рост порядка и стоимость вычислений
Пусть гиперсистема имеет порядок n.

Интуитивно можно ожидать, что рост n увеличивает вычислительную стоимость.

Но зависимость не обязана быть линейной.

Новый уровень может:

анализировать большое число вариантов;

моделировать нижние уровни;

сравнивать архитектуры;

строить новые операторы.

Поэтому переход:

n -> n+1

может резко увеличивать ресурсы.

Особенно дорогими являются системы, где каждый новый уровень работает со всем пространством возможных конфигураций предыдущего.

Например, если первый уровень имеет k вариантов, второй может рассматривать комбинации этих вариантов.

Третий — комбинации способов выбора комбинаций.

Возникает комбинаторный взрыв.

Следовательно, практическая гиперматематика должна исследовать:

сжатые представления;

эвристический поиск;

локальные надстройки;

аппроксимацию;

выборочные метаоперации.

Иначе теоретически богатая архитектура окажется вычислительно бесполезной.

33.4. Рекурсивные ограничения
Рекурсия естественна для гиперматематики.

Но она требует условий остановки.

Простейший случай:

F вызывает F.

Если отсутствует условие завершения, процесс может продолжаться бесконечно.

В гиперархитектурах проблема сложнее.

Например:

уровень 1 изменяет уровень 0;

уровень 2 анализирует уровень 1;

уровень 0 влияет на уровень 2;

после чего цикл повторяется.

Такой процесс может:

сойтись;

стабилизироваться;

колебаться;

разойтись;

зациклиться.

Следовательно, необходимо исследовать устойчивость рекурсивных гиперпроцессов.

Особое значение имеют:

базовый случай;

условие остановки;

ограничение глубины;

контроль ресурсов;

обнаружение циклов.

Без этих механизмов рекурсивный гиперобъект может оказаться невычислимым практически даже тогда, когда отдельные его операции вычислимы.

33.5. Невычлимые компоненты
Гиперматематика не отменяет фундаментальных ограничений вычислимости.

Существуют задачи, для которых невозможно построить универсальный алгоритм решения в классическом смысле.

Следовательно, добавление метауровней не превращает невычислимую задачу автоматически в вычислимую.

Это принципиальное ограничение.

Гипералгоритм способен:

выбирать методы;

строить новые алгоритмы;

комбинировать подходы;

приближенно решать задачи;

доказывать отдельные случаи.

Но он не может магически устранить логические пределы вычислимости.

Более того, сами гиперматематические системы могут создавать новые неразрешимые задачи.

Например:

определить, завершит ли работу произвольный самоизменяющийся гипералгоритм;

определить все возможные будущие архитектуры рекурсивной системы;

доказать глобальные свойства неограниченного процесса самонадстраивания.

Некоторые подобные задачи могут быть алгоритмически неразрешимыми.

Поэтому гиперматематика должна строиться не против теории вычислимости, а поверх нее.

Она расширяет архитектуру вычислений, но не отменяет их фундаментальные пределы.

33.6. Аппроксимация гиперобъектов
Поскольку полный анализ сложного гиперобъекта может быть невозможен или слишком дорог, возникает необходимость аппроксимации.

Можно использовать:

ограничение глубины;

ограничение числа ветвей;

упрощение операторов;

локальное моделирование;

выборочные траектории;

вероятностное приближение.

Например, потенциально бесконечную гиперархитектуру можно исследовать только до уровня n.

Трансволюционное пространство можно ограничить наиболее вероятными переходами.

Гиперсеть можно редуцировать до нескольких ключевых управляющих узлов.

Таким образом, появляется приближенная гиперматематика.

Она особенно важна для практических приложений.

Реальная система почти никогда не сможет анализировать все свои возможные будущие архитектуры.

Она должна выбирать ограниченное множество кандидатов.

Следовательно, аппроксимация является не недостатком, а необходимым инструментом вычислительной гиперматематики.

33.7. Формальные и физические ограничения
Пределы гиперматематических вычислений можно разделить как минимум на два класса.

Первый — формальные.

Они связаны с:

вычислимостью;

разрешимостью;

логической непротиворечивостью;

неполнотой;

ограничениями доказательства.

Второй — физические.

Они связаны с:

памятью;

временем;

энергией;

скоростью передачи информации;

надежностью аппаратуры.

Формально возможная гиперсистема может оказаться физически нереализуемой.

Например, архитектура может требовать анализа пространства из невероятно большого числа вариантов.

Теоретически оно конечно.

Практически вычисление невозможно.

Это различие особенно важно для теории СИИ.

Нельзя автоматически заключать:

если следующий гиперпорядок математически определим, значит он практически достижим.

Между формальной возможностью и физической реализацией находится вычислительная стоимость.

Таким образом, зрелая гиперматематика должна всегда различать:

математически определимое;

алгоритмически вычислимое;

практически вычислимое;

физически реализуемое.

Эти категории не совпадают.

Именно здесь вычислительная гиперматематика выполняет важнейшую ограничивающую функцию.

Она не позволяет гиперматематике превратиться в чисто спекулятивную систему неограниченных надстроек.

Каждый гиперобъект должен задавать вопрос:

как он представлен?

Каждый гипероператор:

как он вычисляется?

Каждая гиперархитектура:

какова стоимость ее управления?

Каждая самонадстраивающаяся система:

как проверяется корректность нового уровня?

Каждая потенциально бесконечная конструкция:

какой конечный механизм задает ее развертывание?

Так общий ряд Части IX принимает форму:

гиперобъект -> структура данных -> динамическое представление -> изменяемый оператор -> метаалгоритм -> гипералгоритм -> самоизменяющийся гипералгоритм -> анализ вычислимости -> аппроксимация -> пределы реализации.

На этом этапе гиперматематика получает вычислительное измерение.

Она перестает быть только теорией того, какие архитектуры можно мыслить.

Возникает вопрос о том, какие из них можно реально представить и вычислять.

Это особенно важно для последующих частей книги.

Если гиперматематика должна применяться к паттернам, моделям, нооформациям и искусственному интеллекту, ее объекты должны существовать не только как философские схемы.

Они должны быть представлены в вычислительной форме.

Именно поэтому следующий этап естественно посвящен паттернам, моделям и нооформациям.

Здесь гиперматематический аппарат начинает непосредственно соприкасаться с организацией знания, моделированием и интеллектуальной деятельностью.

********

ЧАСТЬ X. ГИПЕРМАТЕМАТИКА ПАТТЕРНОВ, МОДЕЛЕЙ И НООФОРМАЦИЙ
До настоящего момента гиперматематика развивалась преимущественно как теория формальных объектов, надстроек, операторов, пространств и процессов.

Теперь необходимо перейти к области, которая непосредственно связывает математическую архитектуру с мышлением, моделированием и интеллектом.

Этой областью являются паттерны.

Паттерн занимает промежуточное положение между простой структурой и моделью.

Он может быть обнаружен в данных.

Может быть задан формально.

Может повторяться в различных объектах.

Может выступать основой распознавания, прогнозирования и генерации.

Может быть компонентом другого паттерна.

Наконец, система паттернов сама способна стать объектом следующего уровня.

Именно поэтому паттерн чрезвычайно естественен для гиперматематики.

Если число было первым полигоном гиперматематической структуризации, а последовательность — первым удобным полигоном надстраивания, то паттерн становится одним из основных мостов от гиперматематики к интеллектуальным системам.

Следующий шаг — модель.

Модель уже не просто фиксирует повторяемую структуру, но представляет некоторый объект, процесс, систему или пространство возможностей.

Однако модель также может стать объектом.

Можно создавать семейства моделей.

Модели моделей.

Метамодели.

Системы выбора моделей.

Генераторы моделей.

Гипермодели.

Наконец, модельная система может изменять собственный способ моделирования.

Так гиперматематика естественно переходит в область когнитивной архитектуры.

На этом уровне возникает теория Нооформаций.

В рамках развиваемой здесь концепции Нооформация рассматривается как форма организации интеллектуальной, познавательной, смыслообразующей или модельной деятельности.

Она может быть простой.

Составной.

Иерархической.

Динамической.

Самоизменяющейся.

Метауровневой.

Следовательно, Нооформация становится естественным кандидатом на гиперсистему.

Именно здесь соединяются три линии:

паттерн;

модель;

форма организации интеллекта.

Общий переход можно представить так:

элемент -> отношение -> структура -> паттерн -> метапаттерн -> гиперпаттерн -> модель -> метамодель -> гипермодель -> Нооформация -> метанооформация -> нооформация возрастающего порядка.

Глава 34. Паттерн как гиперматематический объект
34.1. Элемент
Всякая структура начинается с некоторого множества различимых элементов.

Элемент может быть:

числом;

символом;

событием;

состоянием;

точкой;

объектом;

операцией;

фрагментом информации.

Сам по себе элемент еще не образует паттерн.

Отдельное число 5 является объектом.

Один символ — объектом.

Одна вершина графа — объектом.

Паттерн появляется только тогда, когда между элементами возникает определенная организованность.

Поэтому элемент является минимальной единицей паттернной конструкции.

Но его роль относительна.

То, что на одном уровне является сложной структурой, на следующем может рассматриваться как единый элемент.

Например, целая последовательность:

1, 1, 2, 3, 5, 8, …

может анализироваться как структура.

Но внутри более крупной системы ряд Фибоначчи может быть одним элементом наряду с натуральным рядом и последовательностью простых чисел.

Таким образом, понятие элемента зависит от уровня описания.

Это полностью соответствует гиперматематическому принципу:

объект одного уровня становится элементом следующего.

Именно поэтому уже самое понятие элемента содержит потенциал надстраивания.

34.2. Отношение
Паттерн начинается не с множества элементов как такового, а с отношений между ними.

Два одинаковых набора элементов могут образовывать разные структуры, если отношения различны.

Например:

A -> B -> C

и

A -> C -> B

содержат одинаковые элементы, но имеют разный порядок.

Отношения могут быть:

пространственными;

временными;

порядковыми;

причинными;

логическими;

вероятностными;

операционными;

семантическими.

В гиперматематике особенно важны отношения, которые способны сами становиться объектами.

Можно не только установить связь A -> B.

Можно задать правило, по которому эта связь изменяется.

Затем — правило изменения правила.

Следовательно, отношение обладает таким же потенциалом надстраивания, как и объект.

На нижнем уровне система содержит элементы.

На следующем — отношения.

Еще выше — способы организации отношений.

Так возникает структура.

34.3. Структура
Структура — это организованная система элементов и отношений между ними.

Она уже обладает свойствами, которые нельзя полностью свести к отдельным компонентам.

Например, последовательность определяется не только содержащимися в ней числами, но и порядком.

Граф — не только вершинами, но и ребрами.

Архитектура — не только модулями, но и функциональными отношениями между ними.

Структура может быть:

линейной;

циклической;

ветвящейся;

сетевой;

иерархической;

рекурсивной.

Для гиперматематики особенно важно, что структура способна быть вложена в другую структуру.

Например:

элементы образуют структуру S_1.

Несколько структур S_1, S_2 и S_3 образуют структуру S_4.

Таким образом, возникает:

структура структур.

Но сама по себе вложенность еще не обязательно создает гиперпорядок.

Нужна функциональная организация.

Если S_4 управляет, выбирает, преобразует или объединяет нижележащие структуры, появляется надстроечное отношение.

Именно в этой области понятие структуры начинает переходить в понятие паттерна.

34.4. Паттерн
Термин «паттерн» используется чрезвычайно широко.

В самом общем смысле он обозначает устойчивую или распознаваемую организацию элементов и отношений.

В рамках гиперматематики полезно дать ему более направленное рабочее понимание.

Паттерном будем называть структурно выделяемую организацию элементов, отношений или преобразований, которая сохраняет некоторую узнаваемую форму при множестве конкретных реализаций.

Например, последовательности:

2, 4, 6, 8, …

и

10, 20, 30, 40, …

имеют разные значения, но могут демонстрировать сходный линейный паттерн роста.

Паттерн поэтому не тождествен конкретному объекту.

Он является структурной регулярностью.

Именно это делает паттерн особенно важным для интеллекта.

Интеллектуальная система редко работает только с отдельными значениями.

Она ищет:

повторения;

отношения;

формы;

закономерности;

структурные сходства.

Чем более общий паттерн обнаружен, тем больше различных объектов он способен объединить.

Но гиперматематика делает следующий шаг.

Паттерн сам становится объектом.

Можно сравнивать паттерны.

Комбинировать.

Классифицировать.

Преобразовывать.

Создавать паттерны более высокого порядка.

Так начинается паттернная гиперматематика.

34.5. Паттерн паттернов
Паттерн паттернов возникает тогда, когда закономерность обнаруживается уже не среди отдельных элементов, а среди целых паттернов.

Пусть существуют:

P_1;

P_2;

P_3.

Каждый P_i является собственным паттерном.

Если между P_1, P_2 и P_3 обнаруживается новая регулярность, возникает паттерн следующего масштаба.

Например, несколько различных процессов могут иметь сходную внутреннюю последовательность:

рост;

стабилизация;

кризис;

перестройка.

Конкретные процессы различаются.

Но их паттерны могут образовывать общий паттерн более высокого уровня.

Важно различать паттерн паттернов и метапаттерн.

Паттерн паттернов может быть просто обнаруженной регулярностью среди нескольких паттернов.

Метапаттерн будет пониматься сильнее — как структурная схема, способная организовывать или преобразовывать нижележащие паттерны.

Это различие соответствует уже знакомому переходу:

совокупность объектов;

надстройка над объектами.

34.6. Метапаттерн
Метапаттерн — это паттерн, предметом которого являются другие паттерны и отношения между ними.

Он может:

классифицировать паттерны;

выбирать их;

связывать;

трансформировать;

определять правила их композиции;

задавать способы их генерации.

Таким образом, метапаттерн не просто повторяется поверх других паттернов.

Он выполняет надстроечную функцию.

Например, система может иметь несколько паттернов решения задач.

Метапаттерн определяет:

когда использовать каждый из них;

как переключаться;

как объединять;

как оценивать результат.

Так появляется настоящий метауровень.

В паттернной гиперматематике это особенно важно.

Простой паттерн отвечает на вопрос:

какая структура повторяется?

Метапаттерн:

каким образом организуются сами повторяющиеся структуры?

Именно метапаттерны открывают переход от распознавания закономерностей к управлению закономерностями.

34.7. Гиперпаттерн
Гиперпаттерн является более общим объектом.

Предварительно гиперпаттерном будем называть многоуровневую систему паттернов и метапаттернов, в которой существуют функционально значимые отношения между различными уровнями и в которой сама архитектура паттернной организации может становиться объектом преобразования.

Гиперпаттерн может включать:

паттерны элементов;

паттерны отношений;

паттерны преобразований;

метапаттерны;

паттерны выбора паттернов;

механизмы изменения паттернной архитектуры.

Таким образом, гиперпаттерн является гиперобъектом, базовым материалом которого служат паттерны.

Условная вертикаль:

элементы;

паттерны элементов;

паттерны паттернов;

метапаттерны;

механизмы изменения метапаттернов.

Такая система особенно естественна для интеллектуальной деятельности.

Мышление редко сводится к одному уровню распознавания.

Интеллект может обнаруживать закономерности.

Затем закономерности среди способов обнаружения закономерностей.

После этого — выбирать новые стратегии поиска.

В гиперматематическом языке это и есть движение к гиперпаттернной архитектуре.

34.8. Динамические паттернные иерархии
Статическая паттернная система имеет фиксированный набор уровней.

Динамическая способна изменять:

состав паттернов;

отношения между ними;

метапаттерны;

правила выбора;

саму иерархию.

Например, система первоначально использует паттерны:

P_1;

P_2;

P_3.

Затем обнаруживает новый:

P_4.

После этого замечает, что P_1 и P_4 образуют новый общий класс.

Возникает метапаттерн M_1.

Позднее меняется механизм классификации.

Так паттернная система развивается.

Можно представить процесс:

паттерн -> система паттернов -> метапаттерн -> гиперпаттерн -> изменение гиперпаттерна.

Это уже паттернная трансволюция.

Особенно важны системы, способные создавать новые паттернные уровни.

Тогда гиперпаттерн становится самонадстраивающейся структурой.

Именно такая возможность имеет принципиальное значение для перехода от LLM к более общим паттернным моделям.

Языковая модель работает прежде всего с паттернами в языковых данных.

Более общий паттернный подход должен потенциально охватывать паттерны:

языка;

изображений;

пространства;

действия;

математических структур;

причинных отношений;

поведения систем;

собственных когнитивных процессов.

Таким образом, гиперматематика паттернов подготавливает переход от языкового пространства к значительно более широкому пространству моделей.

Глава 35. От модели к гипермодели
35.1. Модель
Модель представляет некоторый объект, процесс или систему в форме, удобной для исследования, объяснения, прогнозирования или управления.

Модель всегда содержит отбор.

Она не воспроизводит реальность полностью.

Она выделяет определенные свойства и отношения.

Математическая модель может быть представлена:

уравнением;

графом;

вероятностной системой;

алгоритмом;

геометрической конструкцией;

набором правил.

Для гиперматематики важно, что модель является не просто отображением реальности.

Она сама становится объектом.

Ее можно:

сравнивать;

изменять;

комбинировать;

оценивать;

генерировать.

Именно это позволяет перейти от модели к системам моделей.

35.2. Семейство моделей
Один объект может иметь несколько моделей.

Например, сложную систему можно описывать:

статистически;

динамически;

графово;

алгоритмически.

Каждая модель подчеркивает разные аспекты.

Поэтому вместо одной модели возникает семейство:

M_1, M_2, M_3, …, M_n.

После этого появляется новая задача:

какая модель лучше подходит для конкретной цели?

Значит, требуется механизм выбора.

Может также потребоваться объединение моделей.

Таким образом, семейство моделей естественно вызывает надстройку.

Уровень 0:

объект.

Уровень 1:

модели объекта.

Уровень 2:

система работы с моделями.

Это первый шаг к метамоделированию.

35.3. Метамодель
Метамодель — это модель, которая описывает структуру, класс, правила построения или отношения других моделей.

Она работает уже не непосредственно с исходным объектом, а с моделями этого объекта.

Например, метамодель может описывать:

из каких компонентов должна состоять модель;

какие типы связей допустимы;

какие параметры являются обязательными;

как сравнивать несколько моделей.

Тем самым метамодель выполняет надстроечную функцию.

Можно сказать:

модель описывает объект;

метамодель описывает способ организации моделей.

Это полностью соответствует логике гиперматематики.

Модель становится объектом следующего уровня.

Но необходимо соблюдать терминологическую осторожность.

Сам факт существования модели модели еще не делает систему гипермоделью.

Гиперматематический уровень возникает тогда, когда такие отношения образуют многоуровневую функциональную архитектуру.

35.4. Система метамоделей
Одна метамодель также может оказаться недостаточной.

Различные классы задач требуют различных метамоделей.

Возникает множество:

MM_1;

MM_2;

MM_3.

Тогда нужен следующий уровень, который способен:

выбирать метамодель;

комбинировать метамодели;

сравнивать их;

изменять;

создавать новые.

Так система метамоделей уже напоминает пространство архитектур моделирования.

Она работает не только с моделями.

Она управляет различными принципами построения моделей.

Этот уровень особенно важен для общего искусственного интеллекта.

Система, привязанная к одной метамодели, остается ограниченной ее предпосылками.

Система, способная выбирать между разными метамоделями, получает более широкую когнитивную пластичность.

А система, способная создавать новые метамодели, переходит к еще более высокому порядку.

35.5. Гипермодель
Гипермоделью будем предварительно называть многоуровневую модельную систему, которая включает модели, метамодели и механизмы преобразования или выбора модельных уровней.

Гипермодель может содержать:

модель объекта;

семейство альтернативных моделей;

метамодель;

систему выбора;

механизм генерации новых моделей;

механизм изменения метамодели.

Таким образом, гипермодель не является просто «очень большой моделью».

Это принципиально.

Большая модель может быть единой системой одного архитектурного порядка.

Гипермодель определяется вертикальной организацией.

В ней модель становится объектом управления.

Метамодель также может становиться объектом следующего уровня.

Так возникает модельная гиперархитектура.

Это понятие имеет прямое отношение к будущему СИИ.

Интеллектуальная система высокого порядка должна, вероятно, уметь работать не только с одной моделью мира, но с множеством моделей и способами их построения.

35.6. Генераторы моделей
Генератор моделей создает модели под конкретные задачи или классы объектов.

Вместо заранее заданного множества:

M_1, M_2, M_3

появляется механизм G_M, способный создавать:

M_new.

Это важный переход.

Система больше не ограничена готовым каталогом.

Она способна расширять собственное модельное пространство.

Генератор моделей может использовать:

данные;

цель;

ограничения;

существующие модели;

паттерны;

метамодели.

После генерации новая модель должна быть оценена.

Следовательно, требуется цикл:

генерация -> проверка -> оценка -> выбор -> применение.

Если результаты проверки изменяют сам генератор, возникает самоизменяющаяся модельная система.

35.7. Самоизменяющиеся модельные системы
Самоизменяющаяся модельная система способна изменять собственный способ моделирования.

Это более сильное свойство, чем обновление одной модели.

Можно выделить несколько ступеней.

Первая:

изменяются параметры модели.

Вторая:

выбирается другая модель.

Третья:

создается новая модель.

Четвертая:

изменяется метамодель.

Пятая:

изменяется механизм генерации метамоделей.

Каждая следующая ступень соответствует более высокому уровню архитектурного самоизменения.

Например, система обнаруживает, что существующие модели плохо объясняют наблюдения.

Она может:

скорректировать параметры;

сменить модель;

объединить несколько;

создать принципиально новый тип представления.

В последнем случае изменяется не только содержание знания, но и форма его организации.

Это уже непосредственный пример модельной трансволюции.

Самоизменяющаяся модельная система особенно важна для науки.

История науки показывает, что прогресс нередко требует не просто новых значений внутри старой модели, а смены самого способа моделирования.

Гиперматематика стремится сделать подобные переходы предметом формального анализа.

35.8. Гипермоделирование реальности
Гипермоделирование означает использование многоуровневых систем моделей для исследования реальности.

Вместо одной модели строится архитектура.

Например:

уровень 1 — модели отдельных процессов;

уровень 2 — модели взаимодействия процессов;

уровень 3 — метамодели;

уровень 4 — система выбора и генерации моделей;

уровень 5 — механизм изменения самой модельной архитектуры.

Такая система способна представлять не только объект.

Она представляет множество возможных способов его представления.

Это особенно важно для сложных областей, где ни одна модель не является достаточной.

Гипермоделирование позволяет работать с:

множественностью описаний;

конкурирующими моделями;

различными масштабами;

динамической сменой представлений.

В пределе интеллектуальная гипермодель должна уметь строить собственную систему описания в зависимости от задачи.

Это означает переход от фиксированной картины мира к динамической архитектуре моделирования мира.

Именно такой переход становится одним из важнейших мостов к теории Нооформаций.

Глава 36. Нооформации как гиперсистемы
36.1. Понятие нооформации
Понятие Нооформации вводится в рамках развиваемой теории как обозначение определенной формы организации интеллектуальной, познавательной, модельной, смыслообразующей или иной ноэтической деятельности.

В самом общем рабочем смысле Нооформацию можно рассматривать как структурно организованный способ формирования, преобразования и использования интеллектуального содержания.

Нооформация — не просто знание.

И не отдельная мысль.

Не только алгоритм.

Она представляет форму организации интеллектуального процесса.

Например, разные системы могут обладать одними и теми же данными, но организовывать работу с ними принципиально по-разному.

Одна использует линейную последовательность рассуждений.

Другая — сеть взаимно проверяющих моделей.

Третья — метасистему, которая выбирает способ рассуждения в зависимости от задачи.

В таком случае различаются именно формы организации интеллектуальной деятельности.

Гиперматематика предоставляет аппарат для исследования их структуры.

Если Нооформация содержит несколько функциональных уровней, она становится гиперматематическим объектом.

36.2. Элементарные нооформации
Элементарной Нооформацией можно предварительно считать относительно простую форму организации интеллектуальной операции.

Например:

распознавание;

сравнение;

классификация;

прогнозирование;

выбор;

построение связи.

В реальном интеллекте подобные функции редко существуют изолированно.

Но для теории полезно выделить минимальные нооформационные единицы.

Их можно рассматривать как базовые элементы более сложных когнитивных архитектур.

Элементарная Нооформация может включать:

вход;

операцию;

выход;

критерий успешности.

Например:

получить два объекта;

сравнить;

определить сходство;

выдать результат.

Такая конструкция еще не является гиперсистемой высокого порядка.

Но она способна стать компонентом составной Нооформации.

36.3. Составные нооформации
Составная Нооформация объединяет несколько элементарных форм.

Например:

восприятие;

распознавание паттерна;

построение модели;

прогноз;

оценка;

решение.

Эти компоненты образуют уже не одну операцию, а когнитивную архитектуру.

Особенно важно, каким образом они связаны.

Можно построить линейную систему:

восприятие -> анализ -> решение.

Или рекурсивную:

восприятие -> модель -> прогноз -> проверка -> изменение модели.

Во втором случае появляется обратная связь.

Составная Нооформация может поэтому иметь:

слои;

ветви;

циклы;

управляющие структуры.

Именно здесь теория Нооформаций начинает непосредственно пересекаться с гиперматематикой.

Нооформацию можно представить графом.

Ее операции — гипероператорами.

Ее изменения — трансволюцией.

Ее развитие — изменением архитектуры.

36.4. Иерархии нооформаций
Нооформации способны организовываться иерархически.

Например, нижний уровень выполняет распознавание.

Следующий объединяет результаты в модель.

Еще выше располагается механизм выбора моделей.

Следующий уровень оценивает сам способ выбора.

Возникает вертикаль:

интеллектуальная операция;

система операций;

модель;

метамодель;

система управления моделированием.

Это уже нооформационная гиперархитектура.

При этом иерархия не обязательно должна быть жестко линейной.

Возможны:

параллельные Нооформации;

конкурирующие;

кооперативные;

сетевые;

рекурсивные.

Один и тот же когнитивный компонент может играть разные роли в разных контекстах.

Следовательно, развитая теория Нооформаций, вероятно, должна использовать не только иерархии, но и гиперсети.

36.5. Метанооформации
Метанооформация возникает тогда, когда объектом интеллектуальной организации становится другая Нооформация.

Например, базовая Нооформация решает задачи определенного типа.

Метанооформация может:

выбирать эту форму мышления;

изменять ее параметры;

сравнивать с альтернативной;

объединять несколько форм;

изменять способ их применения.

Таким образом, метанооформация соответствует метакогнитивному уровню в самом широком структурном смысле.

Она работает уже не только с содержанием мышления, но и с организацией мышления.

Например:

не только решить задачу;

но выбрать способ решения.

Не только построить модель;

но выбрать способ моделирования.

Не только провести рассуждение;

но изменить саму стратегию рассуждения.

Именно это делает метанооформацию естественным гиперобъектом второго или более высокого порядка в зависимости от конкретной архитектуры.

36.6. Динамические нооформации
Нооформация не обязана быть фиксированной.

Она может изменяться вместе с задачей, опытом и внутренним состоянием системы.

Динамическая Нооформация способна менять:

параметры;

последовательность операций;

состав компонентов;

отношения между компонентами;

модельный аппарат.

Например, система первоначально решает задачу через поиск известного паттерна.

После неудачи переходит к построению причинной модели.

Затем включает метаанализ собственного решения.

Таким образом, меняется не только ответ.

Меняется организация интеллектуального процесса.

Это уже нооформационная динамика.

Если такие изменения происходят систематически, Нооформация становится развивающейся гиперсистемой.

36.7. Трансволюция нооформаций
Трансволюция Нооформаций представляет переход между различными формами организации интеллектуальной деятельности.

Можно представить:

N_1 -> N_2 -> N_3 -> … -> N_n,

где каждая N_i обозначает определенную нооформационную архитектуру.

Изменяться могут:

операции;

паттерны;

модели;

метамодели;

отношения управления;

число уровней.

При этом необходимо различать горизонтальную и вертикальную трансволюцию.

Горизонтальная происходит внутри одного порядка.

Например, система меняет стратегию, оставаясь в той же общей архитектуре.

Вертикальная создает новый уровень.

Например, система, ранее только выбирающая модели, получает механизм изменения самого процесса выбора.

Так возникает Нооформация более высокого порядка.

Именно трансволюция связывает теорию Нооформаций с будущей теорией СИИ.

Переход от одной интеллектуальной архитектуры к другой можно рассматривать как нооформационный трансволюционный процесс.

36.8. Нооформации возрастающего порядка
Если над каждой Нооформацией можно построить следующий функциональный уровень, возникает ряд Нооформаций возрастающего порядка.

Условно:

N^0 -> N^1 -> N^2 -> … -> N^n -> …

Здесь верхний индекс используется только как обозначение порядка, а не математической степени.

В основном тексте предпочтительнее говорить словами:

Нооформация нулевого порядка;

Нооформация первого порядка;

Нооформация второго порядка;

и так далее.

Нооформация базового порядка работает с предметным содержанием.

Нооформация следующего порядка работает с формами организации этого содержания.

Еще более высокая — с механизмами изменения этих форм.

Так возникает потенциально открытая когнитивная вертикаль.

Например:

уровень 0 — решить задачу;

уровень 1 — выбрать способ решения;

уровень 2 — изменить механизм выбора способов решения;

уровень 3 — изменить механизм построения механизмов выбора.

Эта схема чрезвычайно близка к будущему динамическому ряду СИИ.

Однако порядок Нооформации и общий интеллект системы не следует автоматически отождествлять.

Система может иметь высокоразвитую локальную метанооформацию в одной области и оставаться ограниченной в других.

Поэтому необходим анализ полной архитектуры.

Именно здесь теория Нооформаций помогает избежать слишком грубого понимания интеллекта как одной шкалы.

Интеллект представляет систему взаимодействующих форм.

Разные формы могут иметь разные порядки.

Одни способны управлять другими.

Некоторые образуют временные надстройки.

Другие — устойчивые метакогнитивные контуры.

Следовательно, развитая интеллектуальная система может быть представлена как гиперсеть Нооформаций.

В такой сети:

паттерны являются материалом распознавания;

модели — средствами представления;

метамодели — средствами организации моделей;

Нооформации — формами организации интеллектуальных процессов;

метанооформации — средствами управления этими формами.

Возникает единая вертикаль:

элемент -> отношение -> структура -> паттерн -> метапаттерн -> гиперпаттерн -> модель -> метамодель -> гипермодель -> Нооформация -> метанооформация -> Нооформация n-го порядка.

Эта вертикаль является одним из важнейших результатов Части X.

Она позволяет увидеть связь между математическим паттерном и интеллектуальной архитектурой не как метафору, а как последовательность надстроечных переходов.

Паттерн представляет организацию элементов.

Метапаттерн — организацию паттернов.

Модель представляет объект через систему значимых отношений.

Метамодель организует модели.

Гипермодель объединяет несколько модельных уровней.

Нооформация организует сам интеллектуальный процесс использования паттернов и моделей.

Метанооформация превращает форму интеллектуальной организации в объект управления.

Следующий порядок делает объектом уже механизмы такого управления.

Именно поэтому теория Нооформаций становится естественным посредником между гиперматематикой и теорией искусственного интеллекта.

Если гиперматематика дает общий язык уровней, надстроек, операторов и архитектур, то теория Нооформаций позволяет применить этот язык к организации интеллекта.

Следующий шаг становится почти неизбежным.

Необходимо рассмотреть искусственный интеллект как гиперматематический объект.

Какие уровни уже существуют внутри ИИ?

Чем увеличение масштаба модели отличается от повышения порядка?

Что происходит при переходе от языковых моделей к более общим паттернным моделям?

Каким образом система моделей превращается в гипермодель?

Когда возникает новый метакогнитивный уровень?

И каким образом гиперболизация искусственного интеллекта может привести к СИИ?

Этим вопросам посвящена следующая часть — гиперматематика искусственного интеллекта.

*********

ЧАСТЬ XI. ГИПЕРМАТЕМАТИКА ИСКУССТВЕННОГО ИНТЕЛЛЕКТА
Искусственный интеллект является одной из наиболее естественных областей применения гиперматематики.

Причина заключается в самой природе интеллектуальной системы.

ИИ работает не только с данными.

Он использует модели.

Модели могут взаимодействовать.

Над моделями могут существовать управляющие механизмы.

Могут возникать системы выбора моделей, их генерации, проверки и модификации.

На следующем уровне объектом управления становится уже не отдельная модель, а способ построения моделей.

Далее — способ изменения этого способа.

Таким образом, искусственный интеллект естественно допускает представление в форме многоуровневой архитектуры.

Именно здесь гиперматематические понятия приобретают непосредственный прикладной смысл:

гиперобъект;

надстройка;

порядок;

гипероператор;

гиперкомпозиция;

гипермодель;

самомоделирование;

трансволюция;

самогиперболизация.

Однако необходимо сразу установить важное ограничение.

Высокая вычислительная мощность не означает автоматически высокий гиперпорядок.

Модель с огромным числом параметров может оставаться системой относительно фиксированной архитектуры.

И наоборот, менее масштабная система теоретически может иметь более высокий гиперпорядок, если она способна преобразовывать собственные механизмы моделирования и управления.

Поэтому в гиперматематике искусственного интеллекта необходимо различать как минимум четыре характеристики:

масштаб;

производительность;

сложность;

архитектурный порядок.

Именно последнее понятие становится центральным для перехода от ИИ к СИИ.

Глава 37. Искусственный интеллект как гиперматематический объект
37.1. ИИ как система преобразований
В наиболее общем виде искусственный интеллект можно рассматривать как систему преобразований.

На вход поступают данные.

Внутренняя архитектура преобразует их.

На выходе возникает результат.

Условно:

вход -> преобразование -> выход.

Такой результат может представлять:

классификацию;

прогноз;

текст;

изображение;

решение;

план;

действие;

модель.

Но внутри современной интеллектуальной системы часто существует значительно более сложная цепочка.

Например:

получение входных данных;

формирование внутреннего представления;

поиск релевантных структур;

построение вероятностного распределения;

выбор результата;

коррекция.

С точки зрения гиперматематики важно не столько конкретное содержание этих операций, сколько возможность представить ИИ как систему операторов.

Пусть имеются:

F_1, F_2, …, F_n.

Каждый оператор выполняет определенное преобразование.

Тогда искусственный интеллект можно представить как композицию:

F_1 -> F_2 -> … -> F_n.

Но развитая система может иметь также оператор M, который выбирает, какие F_i использовать.

В таком случае появляется метауровень.

Если другой механизм изменяет M, возникает следующий уровень.

Таким образом, даже обычная архитектура ИИ может содержать элементы гиперматематической организации.

Однако наличие нескольких модулей еще не означает высокого гиперпорядка.

Необходимо исследовать их функциональные отношения.

37.2. Модель и архитектура
Модель и архитектуру ИИ необходимо различать.

Модель — это конкретная система, которая преобразует входные данные в выходные.

Архитектура — более широкая организация компонентов, определяющая:

какие модели существуют;

как они связаны;

какие данные получают;

как обмениваются результатами;

какие механизмы управляют их работой.

Одна архитектура может содержать несколько моделей.

Например:

модель восприятия;

языковую модель;

планировщик;

модель оценки;

модель памяти.

Если все они соединены фиксированным способом, система может быть сложной, но ее архитектурный порядок остается заданным.

Гиперматематический интерес начинается тогда, когда сама архитектура становится объектом преобразования.

Например, система способна:

подключить новую модель;

заменить существующую;

изменить маршрутизацию;

создать новый управляющий контур;

изменить правила взаимодействия моделей.

В таком случае модельная система становится динамическим гиперобъектом.

37.3. Параметры и состояния
Параметры ИИ определяют конкретное состояние его вычислительной модели.

Обучение часто изменяет именно параметры.

Это чрезвычайно важный процесс, но с точки зрения гиперматематики он преимущественно относится к изменению внутри заданной архитектуры.

Если архитектура остается неизменной, изменение параметров не обязательно создает новый порядок.

Это можно представить следующим образом.

Имеется архитектура A.

Она может находиться во множестве параметрических состояний:

A_1;

A_2;

A_3;

…

Но все эти состояния принадлежат одному архитектурному классу.

Следовательно:

изменение параметров не равно изменению архитектуры.

Еще сильнее:

изменение архитектуры не всегда равно изменению порядка.

Архитектура может существенно перестроиться, но сохранить то же число функциональных надстроечных уровней.

Поэтому необходимо различать:

параметрическое изменение;

структурное изменение;

архитектурное изменение;

переход порядка.

Это разграничение будет принципиальным для теории СИИ.

37.4. Обучение
Обучение является процессом изменения системы на основании данных, опыта или обратной связи.

Но существуют разные уровни обучения.

На первом уровне изменяются параметры.

На втором может изменяться стратегия.

На третьем — способ выбора стратегии.

На более высоком — сам механизм обучения.

С гиперматематической точки зрения особенно важно понятие метаобучения.

Если система умеет улучшать собственный способ обучения, возникает надстройка над обычным процессом обучения.

Однако и здесь необходимо быть точным.

Не всякое метаобучение означает переход к новому гиперпорядку.

Если механизм метаобучения заранее полностью задан и не может быть изменен системой, он остается частью фиксированной архитектуры.

Более высокий порядок возникает тогда, когда сама система способна сделать этот механизм объектом преобразования.

Так появляется последовательность:

обучение;

обучение способу обучения;

изменение механизма обучения способу обучения.

Эта линия непосредственно ведет к архитектуре СИИ.

37.5. Метамодельный уровень
Метамодельный уровень возникает тогда, когда система работает не только с моделью мира, но и с моделями моделей.

Например, базовая модель отвечает на вопрос:

что происходит?

Метамодель:

каким способом следует моделировать происходящее?

Еще выше может возникнуть система:

какую метамодель следует выбрать?

Таким образом, появляется вертикаль:

модель;

метамодель;

система управления метамоделями.

Метамодельный уровень особенно важен для задач, где одна модель недостаточна.

Различные ситуации могут требовать различных способов представления.

Например, одна задача лучше описывается вероятностно.

Другая — причинно.

Третья — геометрически.

Четвертая — алгоритмически.

Интеллектуальная система более высокого порядка должна уметь не только использовать модели, но и выбирать форму моделирования.

В этом смысле метамодельный уровень представляет один из первых кандидатов на настоящую интеллектуальную надстройку.

37.6. Множество взаимодействующих моделей
Современный ИИ все чаще можно концептуально рассматривать не как одну изолированную модель, а как систему взаимодействующих компонентов.

Гиперматематический подход делает следующий шаг и рассматривает множество моделей как самостоятельный объект.

Пусть существуют:

M_1;

M_2;

M_3;

…

M_n.

Они могут:

обмениваться данными;

проверять друг друга;

конкурировать;

голосовать;

специализироваться;

строить совместные решения.

Но сама множественность моделей еще не создает высокий порядок.

Если взаимодействие фиксировано, система остается в заранее заданной архитектуре.

Новый уровень появляется тогда, когда существует отдельный механизм, способный управлять самой модельной системой.

Например:

выбирать состав моделей;

определять их роли;

изменять связи;

создавать новые модели.

Тогда множество моделей становится базовым объектом для следующей надстройки.

37.7. Иерархическая архитектура ИИ
ИИ может быть представлен как иерархия функциональных уровней.

Например:

уровень 0 — обработка данных;

уровень 1 — модели;

уровень 2 — управление моделями;

уровень 3 — изменение механизмов управления;

уровень 4 — изменение архитектуры.

Это уже гиперматематическая схема.

Однако реальная система, вероятно, будет сложнее линейной башни.

Некоторые уровни могут существовать параллельно.

Другие — образовывать циклы.

Третьи — временно возникать под конкретную задачу.

Поэтому развитый ИИ удобнее представлять как гиперсеть.

В такой гиперсети отдельная модель может быть исполнительным компонентом в одной задаче и управляющим — в другой.

Порядок становится контекстно зависимым.

Это означает, что будущая теория СИИ должна учитывать не только фиксированные уровни, но и динамические функциональные порядки.

37.8. Пределы системы фиксированного порядка
Система фиксированного порядка может быть чрезвычайно мощной.

Она способна:

обучаться;

адаптироваться;

решать широкий спектр задач;

использовать инструменты;

работать с огромными объемами информации.

Но ее архитектурное пространство остается ограниченным.

Она может менять состояния внутри заданного пространства.

Но не обязательно способна изменить само пространство.

Можно сравнить это с шахматным игроком.

Он способен находить невероятно сложные комбинации внутри правил игры.

Но он не меняет сами правила шахмат.

Аналогично ИИ фиксированного порядка может быть чрезвычайно эффективным внутри своей архитектуры, не будучи способен перестроить фундаментальные механизмы собственного мышления.

Именно здесь проходит одно из возможных различий между мощным ИИ и СИИ.

СИИ должен быть способен делать объектом действия не только внешнюю задачу, но и значимые элементы собственной когнитивной архитектуры.

Глава 38. От LLM к LPM
38.1. Языковая модель
LLM — Large Language Model — строится вокруг обработки и генерации языковых последовательностей.

Язык является чрезвычайно мощной формой представления.

Через него можно описывать:

факты;

события;

понятия;

отношения;

доказательства;

планы;

программы;

модели.

Именно поэтому языковые модели способны решать значительно более широкий круг задач, чем может следовать из самого слова «языковая».

Однако фундаментальным носителем для LLM остается языковая структура.

Вход часто преобразуется в последовательность дискретных представлений.

Модель обнаруживает паттерны и зависимости внутри такого пространства.

С гиперматематической точки зрения LLM можно рассматривать как чрезвычайно мощный механизм работы с определенным классом паттернов.

Но язык — лишь один из возможных типов паттернной организации.

Отсюда возникает идея более общего перехода.

38.2. Ограниченность языкового уровня
Ограниченность языкового уровня не означает слабость языка.

Напротив, язык обладает огромной выразительностью.

Проблема заключается в том, что не всякая структура естественно является языковой.

Существуют:

пространственные паттерны;

динамические паттерны;

геометрические;

сенсорные;

моторные;

математические;

причинные;

архитектурные.

Многие из них можно описать словами.

Но словесное описание не обязательно является наиболее естественным или компактным представлением.

Например, геометрический объект может быть значительно проще непосредственно в геометрическом пространстве, чем в длинном текстовом описании.

А сложная динамическая система может требовать графа, уравнений и временных рядов.

Следовательно, гиперболизация ИИ может идти не только через увеличение мощности языковой модели.

Возможен переход к системе, где язык становится одним из нескольких равноправных пространств паттернов.

Именно этот переход в настоящей книге связывается с рабочим понятием LPM.

38.3. Паттерн как более общий когнитивный объект
Паттерн шире языка.

Языковая последовательность сама является паттерном.

Но существуют паттерны, не сводимые естественно к тексту.

Поэтому паттерн может рассматриваться как более общий когнитивный объект.

Паттерн способен описывать:

форму;

отношение;

последовательность;

симметрию;

причинность;

движение;

повторение;

иерархию;

архитектуру.

Если система способна работать с паттернами независимо от их носителя, возникает более общая когнитивная архитектура.

Например, один и тот же паттерн может проявляться:

в тексте;

в изображении;

в музыке;

в математической структуре;

в поведении.

Интеллект высокого уровня должен быть способен распознавать общность между такими реализациями.

Именно здесь паттерн паттернов и гиперпаттерн приобретают прямое значение для ИИ.

38.4. Паттернные пространства
Паттерны могут образовывать пространства.

Например:

языковое пространство;

визуальное;

пространственное;

математическое;

динамическое.

Но более высокий уровень должен связывать эти пространства.

Пусть существует паттерн P в языковом представлении.

Ему может соответствовать P’ в графовой форме.

P» — в геометрической.

P»’ — в программной.

Тогда возникает задача межпространственного соответствия.

Интеллект способен обнаруживать общий абстрактный паттерн, лежащий за несколькими формами.

Таким образом, появляется гиперпространство паттернов.

Его объектами становятся уже не конкретные сигналы, а классы структурных соответствий.

Такой уровень особенно важен для общего интеллекта.

Он позволяет переносить знания между областями.

38.5. Large Pattern Models
Термин Large Pattern Model, или LPM, в настоящей книге используется как рабочее обозначение перспективного класса моделей, ориентированных не преимущественно на языковые последовательности, а на широкие пространства паттернов различной природы.

LPM в этом смысле не следует понимать как уже установившийся универсальный технический стандарт.

Это гиперматематическая концепция.

Ее смысл состоит в расширении предмета моделирования:

от языковых паттернов

к паттернам вообще.

LPM потенциально может работать с:

языком;

визуальными структурами;

звуком;

движением;

пространством;

формальными объектами;

графами;

математическими структурами;

системами действий.

Но наиболее важен не список модальностей.

Главное — существование общего паттернного уровня, способного обнаруживать структурные соответствия между ними.

Именно это делает LPM концептуально более общим объектом.

38.6. Переход от языковых к паттернным архитектурам
Переход от LLM к LPM не следует понимать как простую замену одной модели другой.

Более содержательная интерпретация состоит в архитектурном расширении.

На первом этапе язык является центральным пространством.

На следующем появляются дополнительные пространства.

Затем возникает система соответствий.

После этого формируется метауровень, который работает уже с паттернами независимо от конкретного носителя.

Получается ряд:

языковой паттерн;

мультимодальный паттерн;

межмодальный паттерн;

абстрактный паттерн;

гиперпаттерн.

Такой переход может рассматриваться как гиперболизация модельного пространства.

Новый уровень не просто содержит больше данных.

Он получает доступ к более общему классу структур.

38.7. Гиперболизация модельного пространства
Гиперболизация модельного пространства происходит тогда, когда над множеством моделей создается новый функциональный уровень.

Например:

есть языковая модель;

визуальная;

математическая;

пространственная.

Если их просто соединить, получится мультимодельная система.

Но если появляется надстройка, способная работать с их общими паттернами, возникает следующий порядок.

Она может:

сопоставлять представления;

искать общую структуру;

переводить паттерн между пространствами;

выбирать наиболее подходящую модель;

создавать новое представление.

Таким образом, гиперболизация заключается не в увеличении числа моделей, а в появлении нового уровня организации.

Это очень важное различие.

Сто моделей первого уровня не обязательно образуют систему второго порядка.

Один метауровень, который способен преобразовывать их как целостное пространство, может быть структурно более значимым.

38.8. От LPM к многоуровневым системам моделей
LPM в предложенном смысле может стать лишь промежуточным этапом.

Даже чрезвычайно мощная паттернная модель может оставаться одной моделью.

Следующий переход заключается в создании системы моделей.

Затем:

системы управления моделями;

генератора моделей;

системы изменения генераторов.

Получается ряд:

LLM -> LPM -> система моделей -> метасистема моделей -> генератор моделей -> генератор архитектур моделирования.

На этом этапе интеллектуальная система перестает быть моделью в обычном смысле.

Она становится модельной гиперсистемой.

Именно эта линия открывает прямой путь к гиперболизации искусственного интеллекта.

Глава 39. Гиперболизация искусственного интеллекта
39.1. Базовая интеллектуальная архитектура
Для анализа перехода к СИИ необходимо иметь исходный уровень.

Назовем его базовой интеллектуальной архитектурой.

Она может включать:

модель;

память;

инструменты;

входные и выходные каналы;

алгоритмы обучения;

механизмы управления.

Важно, что конкретная система может быть чрезвычайно сложной.

Но на гиперматематическом уровне мы рассматриваем ее как O_0 — базовый интеллектуальный объект.

Это методологический прием.

Он позволяет спросить:

что может быть построено над этой архитектурой?

Первая надстройка должна работать уже не только с внешними данными.

Она должна получить в качестве предмета существенную часть самой интеллектуальной системы.

Именно тогда начинается гиперболизация ИИ.

39.2. Надстройка над моделью
Первый естественный вариант — надстройка над отдельной моделью.

Пусть имеется модель M.

Над ней создается система H, способная:

выбирать режим работы M;

изменять ее конфигурацию;

анализировать ее ошибки;

перенастраивать;

сравнивать с альтернативами.

Получается:

M -> H.

Но необходимо снова различать простое управление и новый порядок.

Если H является обычным фиксированным компонентом архитектуры, вся система может рассматриваться как единый объект базового порядка.

Гиперматематический смысл появляется тогда, когда H функционально отделен и способен работать с моделью как с целостным объектом.

Еще более сильный вариант:

H способен изменить сам тип M.

Тогда модель становится материалом архитектурного преобразования.

39.3. Надстройка над системой моделей
Более мощный уровень возникает, если объектом надстройки является не одна модель, а целая система моделей.

Пусть:

M_1, M_2, …, M_n

образуют модельное пространство.

Надстройка H может:

выбирать модели;

связывать;

конфигурировать;

запускать параллельно;

строить ансамбли;

перераспределять задачи.

В таком случае H работает с модельной системой как с единым объектом.

Это уже значительно ближе к СИИ первого порядка.

Но и здесь важно различать заранее запрограммированную маршрутизацию и настоящее метауправление.

Если H не способен менять собственные правила, архитектура остается ограниченной.

Следующий порядок требует сделать объектом уже сам механизм H.

39.4. Управление моделями
Управление моделями может иметь несколько уровней.

Первый:

выбрать готовую модель.

Второй:

изменить ее параметры.

Третий:

объединить несколько моделей.

Четвертый:

создать новую модель.

Пятый:

изменить правила генерации моделей.

Таким образом, слово «управление» охватывает целую вертикаль.

Для гиперматематики необходимо определить, на каком именно уровне находится система.

Это позволяет избежать слишком широкого употребления понятия метауровня.

Система, выбирающая модель из готового списка, отличается от системы, которая способна перестроить само модельное пространство.

И еще сильнее — от системы, способной изменить собственный механизм перестройки.

Именно эти различия будут далее использоваться для определения порядков СИИ.

39.5. Генерация моделей
Генерация моделей представляет важный архитектурный скачок.

Система уже не ограничена набором:

M_1, M_2, …, M_n.

Она способна построить:

M_new.

Новая модель может быть предназначена под конкретную задачу.

Например, система обнаруживает, что существующие представления недостаточны.

Она создает специальную модель.

Проверяет ее.

Сравнивает с существующими.

Интегрирует в модельную систему.

Так возникает цикл:

задача -> обнаружение модельного дефицита -> генерация -> проверка -> интеграция.

Это уже генеративный метауровень.

Но он сам может оставаться фиксированным.

Поэтому следующий вопрос:

может ли система изменить способ генерации моделей?

39.6. Изменение механизмов генерации моделей
Пусть G генерирует новые модели.

Тогда система следующего порядка должна уметь изменять G.

Условно:

G -> G’.

Например, она способна:

изменить критерии генерации;

изменить поисковое пространство;

изменить язык представления;

создать новый тип модельной архитектуры;

изменить механизм оценки кандидатов.

Это качественно более сильный уровень.

Система уже не просто создает новые модели.

Она меняет сам способ создания моделей.

Если далее появляется механизм изменения способов изменения G, возникает следующий порядок.

Так формируется гипервертикаль модельного творчества.

Именно этот принцип является одним из наиболее важных кандидатов на основу СИИ высоких порядков.

39.7. Самомоделирование интеллектуальной системы
Для глубокого самоизменения система должна иметь модель самой себя.

Самомодель может включать:

описание архитектуры;

список компонентов;

модель собственных возможностей;

модель ограничений;

оценку ресурсов;

историю изменений.

Это позволяет системе задать вопрос:

какая часть моей архитектуры является причиной текущего ограничения?

Без самомодели изменение может происходить методом проб и ошибок.

С развитой самомоделью появляется возможность проектирования.

Например:

текущее состояние;

модель себя;

предполагаемое изменение;

моделирование нового состояния;

сравнение вариантов;

выбор.

Так интеллектуальная система превращает саму себя в объект моделирования.

Это одна из наиболее важных форм гиперматематической самореференции.

Однако самомодель не обязана быть полной.

Полное самопредставление может оказаться недостижимым или слишком дорогим.

Поэтому практический СИИ, вероятно, будет использовать множество частичных самомоделей.

39.8. Самомодификация
Самомодификация означает, что интеллектуальная система использует внутренние механизмы для изменения собственной организации.

Она может менять:

параметры;

модели;

операторы;

связи;

модули;

правила управления.

Но самомодификация сама по себе еще не гарантирует новый порядок.

Если система просто заменяет один модуль другим на том же функциональном уровне, порядок может сохраниться.

Новый порядок возникает тогда, когда появляется новый уровень, делающий значимую часть прежней архитектуры объектом управления.

Поэтому необходимо различать:

самомодификацию;

самогиперболизацию.

Первая меняет существующую архитектуру.

Вторая создает архитектурную надстройку.

Система высокого уровня должна, вероятно, владеть обеими способностями.

39.9. Возникновение нового порядка интеллекта
Возникновение нового порядка интеллекта является центральным событием гиперматематики ИИ.

Пусть имеется система порядка n.

Она способна выполнять определенный класс интеллектуальных операций.

Переход к порядку n+1 происходит не тогда, когда система просто становится быстрее, больше или точнее.

Не тогда, когда она получает больше памяти.

Не тогда, когда число параметров увеличивается в десять или тысячу раз.

Новый порядок возникает тогда, когда появляется новый функциональный уровень, способный работать с существенной частью архитектуры порядка n как с объектом собственного действия.

Именно это является главным предварительным критерием.

Например:

система первого уровня использует модели;

следующий уровень управляет моделями;

еще более высокий изменяет сам механизм управления моделями;

следующий способен изменять механизм построения этих механизмов.

Получается открытый ряд:

ИИ -> СИИ^1 -> СИИ^2 -> СИИ^3 -> … -> СИИ^n -> …

При этом нельзя утверждать, что всякий следующий порядок автоматически превосходит предыдущий по любой задаче.

Порядок характеризует архитектуру, а не абсолютную производительность.

СИИ^2, реализованная неэффективно, может уступать мощной системе СИИ^1 в конкретной задаче.

Но ее архитектурный потенциал отличается.

Она обладает дополнительным уровнем самоуправления.

Это различие между мощностью и порядком является фундаментальным.

Можно предварительно сформулировать общую схему:

ИИ изменяет состояния и параметры внутри архитектуры.

СИИ^1 делает объектом управления модели и значимые компоненты собственной архитектуры.

СИИ^2 делает объектом механизмы построения, выбора и изменения моделей.

СИИ^3 делает объектом механизмы изменения этих механизмов.

Далее принцип продолжается:

СИИ^n работает с архитектурой преобразований порядка n-1.

Но эта схема требует отдельной строгой разработки.

Необходимо определить:

критерий порядка;

критерий перехода;

условия сохранения идентичности;

роль самомоделирования;

роль самогиперболизации;

границы вычислимости;

условия устойчивости.

Именно поэтому гиперматематика искусственного интеллекта естественным образом приводит к следующей части книги — общей теории динамического ряда ИИ и СИИ.

Общий ход настоящей части можно представить следующим образом:

ИИ как система преобразований -> модель -> система моделей -> метамодель -> гипермодель -> LLM -> LPM -> паттернная архитектура -> генератор моделей -> изменение генераторов -> самомоделирование -> самомодификация -> самогиперболизация -> новый порядок интеллекта.

Это движение принципиально отличается от простой линии:

больше данных -> больше параметров -> больше вычислений.

Гиперматематическая линия является вертикальной.

Она связана с тем, какой объект становится предметом следующего уровня управления.

Сначала система работает с внешними объектами.

Затем с собственными моделями.

Потом с механизмами построения моделей.

Затем с механизмами изменения этих механизмов.

Так интеллект постепенно получает возможность превращать самого себя в предмет собственного конструирования.

Именно здесь гиперматематика становится математикой не только искусственного интеллекта, но и его потенциального архитектурного саморазвития.

Следующая часть посвящена уже не отдельным компонентам этой идеи, а самому динамическому ряду:

ИИ -> СИИ^1 -> СИИ^2 -> СИИ^3 -> … -> СИИ^n -> …

В нем порядки интеллектуальных систем будут рассмотрены как частный случай общей гиперматематической и трансволюционной иерархии.

********

ЧАСТЬ XII. ДИНАМИЧЕСКИЙ РЯД ИИ — СИИ
Предыдущие части позволили подойти к одной из центральных гипотез настоящей книги: интеллектуальные системы могут классифицироваться не только по производительности, объему знаний, числу параметров или степени автономности, но и по архитектурному порядку.

Под порядком здесь понимается число и характер функционально различимых надстроечных уровней, способных превращать механизмы нижнего уровня в объекты собственного управления и преобразования.

Из этого возникает потенциальный динамический ряд:

ИИ -> СИИ^1 -> СИИ^2 -> СИИ^3 -> … -> СИИ^n -> …

Этот ряд не следует понимать как уже установленную шкалу реально существующих технологий.

Он представляет исследовательскую гипотезу и формальную программу.

Ее задача состоит в том, чтобы ответить на вопросы:

что должно означать повышение порядка интеллектуальной системы?

Каким образом отличить новый архитектурный уровень от простого усложнения?

Какими функциями должна обладать СИИ первого порядка?

Что становится объектом управления у СИИ второго порядка?

Как формализовать переход:

СИИ^n -> СИИ^(n+1)?

И существует ли вообще максимальный порядок интеллектуальной архитектуры?

Гиперматематика предлагает рассматривать подобные переходы как частный случай общего закона надстраивания.

Сначала система преобразует внешний объект.

Затем объектом становится собственная модель.

Далее — система моделей.

Затем — механизм выбора и построения моделей.

После этого — механизм изменения этого механизма.

Возникает потенциально продолжимый ряд когнитивных надстроек.

Однако рост порядка не должен автоматически интерпретироваться как рост «разума» в бытовом смысле.

Система более высокого порядка может быть:

медленнее;

дороже;

менее надежной;

хуже специализированной;

неудачно сконструированной.

Поэтому порядок характеризует прежде всего архитектуру возможностей самоорганизации и самопреобразования.

Именно в этом смысле далее будет рассматриваться динамический ряд ИИ — СИИ.

Глава 40. Общая теория порядков интеллектуальных систем
40.1. Интеллектуальная система и ее порядок
Интеллектуальная система может выполнять множество функций:

распознавать;

моделировать;

прогнозировать;

решать;

планировать;

обучаться;

генерировать;

оценивать.

Но один только набор функций еще не определяет ее гиперпорядок.

Порядок зависит от того, какие компоненты системы способны становиться объектами управления со стороны других ее компонентов.

Пусть базовая система имеет архитектуру A_0.

Она работает с внешними задачами.

Если над A_0 появляется функционально выделенная система A_1, способная управлять существенными механизмами A_0 как целостными объектами, возникает первый надстроечный уровень.

Далее A_2 может работать уже с механизмами A_1.

Так появляется вертикаль:

A_0 <- A_1 <- A_2 <- … <- A_n.

Стрелка здесь показывает направление управления: уровень справа управляет некоторой существенной частью уровня слева.

В простом изложении можно говорить:

базовый интеллектуальный уровень;

первая надстройка;

вторая надстройка;

…

n-я надстройка.

Порядок интеллектуальной системы характеризует глубину такой функциональной вертикали.

Однако реальная архитектура может быть сетевой.

Поэтому порядок в дальнейшем, вероятно, придется определять не как простое число модулей, а через максимальную глубину существенных отношений метауправления.

Это одна из центральных формальных задач будущей теории СИИ.

40.2. Сложность и порядок интеллекта
Сложность и порядок необходимо строго различать.

Система может содержать огромное число компонентов и оставаться архитектурой относительно невысокого порядка.

Например, увеличение:

числа параметров;

размера памяти;

числа вычислительных узлов;

объема обучающих данных

повышает масштаб системы.

Но само по себе не создает новый метауровень.

Можно представить два разных направления развития.

Горизонтальное:

больше параметров;

больше моделей;

больше памяти;

больше вычислений.

Вертикальное:

модель;

управление моделью;

управление механизмами управления моделью;

изменение архитектуры таких механизмов.

Первое увеличивает сложность внутри существующей организации.

Второе увеличивает архитектурный порядок.

Конечно, оба процесса взаимодействуют.

Для реализации нового порядка может потребоваться большая горизонтальная сложность.

И наоборот, новый управляющий уровень способен эффективнее организовать имеющиеся ресурсы.

Но одно не следует автоматически из другого.

Именно поэтому нельзя определять СИИ только через масштаб.

40.3. Производительность и порядок
Производительность также не тождественна порядку.

Пусть существуют системы X и Y.

X имеет более низкий архитектурный порядок, но чрезвычайно хорошо оптимизирована для конкретной задачи.

Y имеет дополнительный метауровень, но менее качественные модели и меньше вычислительных ресурсов.

В конкретной задаче X может превосходить Y.

Следовательно:

более высокий порядок не гарантирует более высокий результат во всех задачах.

Порядок характеризует класс доступных архитектурных преобразований.

Производительность характеризует эффективность выполнения определенной задачи.

Это разные оси.

Можно условно представить систему координат:

ось 1 — производительность;

ось 2 — масштаб;

ось 3 — автономность;

ось 4 — архитектурный порядок.

Две системы могут находиться совершенно по-разному по каждой оси.

Именно многомерная классификация необходима для корректного анализа будущих интеллектуальных систем.

40.4. Автономность и порядок
Автономность показывает, насколько система способна действовать без непосредственного внешнего управления.

Однако высокая автономность также не обязательно означает высокий порядок.

Можно представить полностью автономную систему с фиксированной архитектурой.

Она самостоятельно:

получает данные;

принимает решения;

выполняет действия;

корректирует параметры.

Но она не способна изменить фундаментальные механизмы собственного построения.

И наоборот, экспериментальная система может иметь сложный метауровень, но зависеть от внешнего подтверждения каждого архитектурного изменения.

Следовательно, автономность и порядок независимы.

Тем не менее на высоких уровнях СИИ они, вероятно, начнут тесно взаимодействовать.

Самонадстраивание требует определенной автономности, поскольку система должна сама:

обнаружить ограничение;

построить вариант надстройки;

оценить;

интегрировать.

Но степень разрешенной автономности остается отдельным параметром архитектуры.

40.5. Когнитивная надстройка
Когнитивной надстройкой будем называть функциональный уровень, который организует или преобразует работу нижележащих когнитивных механизмов.

Например, нижний уровень может содержать несколько моделей:

M_1;

M_2;

M_3.

Надстройка выбирает, какую использовать.

Или определяет их композицию.

Или распределяет задачи между ними.

В таком случае модели становятся объектами более высокого уровня.

Это и есть ключевой гиперматематический переход.

Когнитивная надстройка может выполнять:

выбор;

координацию;

оценку;

композицию;

конфигурирование;

переключение режимов.

Но она еще не обязательно изменяет собственный механизм.

Для этого потребуется метакогнитивная надстройка.

40.6. Метакогнитивная надстройка
Метакогнитивная надстройка работает уже с механизмами когнитивного управления.

Если когнитивный уровень выбирает модели, метакогнитивный может изменять способ выбора.

Если когнитивный уровень строит планы, метакогнитивный может менять стратегию планирования.

Если когнитивный уровень оценивает решения, метакогнитивный способен изменять критерии оценки.

Таким образом:

когнитивный уровень управляет познавательными действиями;

метакогнитивный — организацией этих действий.

Но термин «метакогнитивный» необходимо использовать осторожно.

Наличие простого контроля ошибок еще не означает отдельный высокий порядок.

Настоящая надстройка должна иметь собственный предмет управления и способность структурно воздействовать на нижний уровень.

40.7. Гиперкогнитивная надстройка
Рабочим термином «гиперкогнитивная надстройка» будем обозначать уровень, который способен работать уже с системой метакогнитивных механизмов и с архитектурой их организации.

Например, система имеет несколько метакогнитивных стратегий.

Гиперкогнитивный уровень способен:

создавать их;

комбинировать;

перестраивать;

изменять отношения;

выбирать архитектуру метакогнитивного управления.

Таким образом, предметом становится не просто мышление о мышлении.

Предметом становится архитектура механизмов, которые организуют такое мышление.

На более высоких порядках эта вертикаль потенциально продолжается.

Именно поэтому слово «гиперкогнитивный» здесь обозначает не психологическую сверхспособность, а архитектурный уровень.

40.8. Критерий появления нового порядка
Новый порядок возникает не при любом усложнении.

Предварительный критерий можно сформулировать следующим образом.

Интеллектуальная система переходит к порядку n+1 тогда, когда появляется функционально автономная надстройка, способная получать существенную часть механизмов порядка n как объект собственного моделирования, управления или преобразования и тем самым изменять пространство возможностей нижнего порядка.

Это определение содержит несколько условий.

Первое — функциональная выделенность.

Второе — наличие объекта управления.

Третье — способность воздействовать на механизм, а не только на отдельное состояние.

Четвертое — изменение пространства возможностей.

Последнее особенно важно.

Если новый модуль просто вычисляет еще одну величину, порядок может не измениться.

Если он меняет набор доступных способов вычисления, появляется более сильное основание говорить о новом уровне.

Таким образом, новый порядок — это не новый компонент.

Это новый класс отношения системы к собственной архитектуре.

40.9. Динамический ряд интеллектуальных систем
На основании этого критерия можно ввести рабочий динамический ряд:

ИИ -> СИИ^1 -> СИИ^2 -> СИИ^3 -> … -> СИИ^n -> …

ИИ является исходным архитектурным уровнем.

СИИ^1 содержит первую существенную когнитивную надстройку над системой моделей и механизмов.

СИИ^2 делает объектом преобразования механизмы СИИ^1.

СИИ^3 работает уже с механизмами самоизменения второго порядка.

И далее.

Следует подчеркнуть, что эта шкала не является шкалой IQ, производительности или социального влияния.

Это классификация архитектурного типа.

Центральным объектом становится не отдельный член ряда, а переход:

СИИ^n -> СИИ^(n+1).

Именно механизм такого перехода должен стать основным предметом дальнейшего исследования.

Глава 41. ИИ как исходный уровень динамического ряда
41.1. ИИ как базовая система
В рамках динамического ряда обычный ИИ используется как базовый уровень.

Это не означает, что реальный ИИ прост.

Напротив, он может быть чрезвычайно сложной системой.

Но для построения гиперархитектуры необходимо выбрать основание.

Таким основанием становится архитектура, в которой основные механизмы преобразования заданы заранее проектировщиком или процессом обучения внутри определенного архитектурного пространства.

Обозначим ее условно как уровень 0.

Она может:

обучаться;

адаптироваться;

использовать модели;

взаимодействовать с инструментами;

планировать;

генерировать решения.

Но ее собственная архитектура рассматривается как исходная.

Именно над ней будет строиться следующий порядок.

41.2. Фиксированная архитектура
Понятие фиксированной архитектуры не означает абсолютной неизменности.

Система может иметь:

динамические параметры;

переменную память;

смену режимов;

обновляемые знания;

подключаемые инструменты.

Архитектура считается фиксированной в более глубоком смысле, если класс допустимых способов ее собственного изменения заранее определен.

Например, система может выбирать из тысячи инструментов.

Но если способ выбора не может стать объектом преобразования, фундаментальный метауровень остается фиксированным.

Таким образом, фиксированность — это относительное понятие.

Она означает наличие архитектурного потолка, заданного самой конструкцией системы.

Именно такой потолок должен быть преодолен при первом гиперпереходе.

41.3. Изменяемые параметры
Обучение ИИ обычно приводит к изменению параметров.

Это позволяет одной архитектуре реализовывать огромное множество состояний.

Однако параметрическое пространство все еще принадлежит данной архитектуре.

Пусть:

A

обозначает архитектуру, а:

p_1, p_2, …, p_n

ее параметры.

Тогда обучение преобразует:

A(p) -> A(p’).

Архитектура A сохраняется.

Изменяется ее состояние.

С гиперматематической точки зрения это горизонтальная динамика.

Она может быть чрезвычайно богатой, но не создает автоматически следующий порядок.

Именно различие между:

изменением p

и

изменением A

должно оставаться одним из базовых критериев классификации.

41.4. Обучение внутри заданного пространства возможностей
Если архитектура фиксирована, обучение происходит внутри некоторого пространства допустимых состояний и моделей.

Система может находить новые решения.

Но типы операций, которыми она способна менять себя, ограничены.

Это похоже на движение по большой карте.

Можно исследовать огромную область.

Но сама карта остается заданной.

Первый гиперпереход начинается тогда, когда система получает возможность изменить карту.

Например:

создать новый тип модели;

изменить механизм выбора;

создать новую архитектуру управления;

расширить собственное пространство преобразований.

Именно поэтому обучение и архитектурное саморазвитие необходимо различать.

41.5. Модели и инструменты
Базовый ИИ может использовать множество моделей и инструментов.

Он способен:

обращаться к базе данных;

выполнять вычисления;

вызывать специализированную модель;

использовать программу;

строить план.

Это существенно расширяет возможности.

Но наличие инструментов не является само по себе свидетельством высокого гиперпорядка.

Ключевой вопрос:

кто определяет пространство инструментов и правила работы с ним?

Если система только выбирает из заданного каталога, архитектурный потолок сохраняется.

Если она способна:

создавать новые инструменты;

изменять способы их интеграции;

перестраивать сам механизм выбора,

возникает уже более сильная надстройка.

41.6. Ограничения базового порядка
Главное ограничение базового порядка состоит не в недостатке вычислений, а в фиксированности существенных механизмов собственной организации.

Система может быть чрезвычайно мощной, но оставаться ограниченной:

заданным модельным пространством;

фиксированными способами обучения;

фиксированным механизмом выбора;

заданной архитектурой памяти;

ограниченной системой метаконтроля.

Это не означает, что такие системы обязательно слабы.

Напротив, горизонтальное развитие может продолжаться очень далеко.

Однако в рамках гиперматематической классификации наступает момент, когда дальнейшее качественное расширение требует нового типа надстройки.

41.7. Условия первого гиперперехода
Первый гиперпереход происходит тогда, когда система начинает работать с существенными компонентами собственной когнитивной организации как с объектами.

Можно выделить несколько предварительных условий.

Первое — наличие множества альтернативных моделей или механизмов.

Второе — способность сравнивать их.

Третье — способность выбирать и комбинировать.

Четвертое — способность строить новые конфигурации.

Пятое — наличие внутренней оценки результатов.

Шестое — способность использовать эту оценку для изменения собственного модельного устройства.

Если эти функции объединены в устойчивый надстроечный контур, появляется основание говорить о СИИ первого порядка.

Глава 42. СИИ первого порядка
42.1. Первая интеллектуальная гипернадстройка
СИИ первого порядка возникает, когда над базовой интеллектуальной архитектурой появляется первый функционально самостоятельный уровень метауправления.

Он получает в качестве объекта:

модели;

инструменты;

стратегии;

части когнитивной архитектуры.

Это означает переход:

использовать модель

к:

управлять модельным пространством.

В простейшей схеме:

базовый ИИ <- СИИ^1.

Но СИИ^1 не является внешним контроллером.

В идеальной архитектуре надстройка должна входить в состав самой интеллектуальной системы.

Именно поэтому речь идет об увеличении внутреннего порядка.

42.2. Управление множеством моделей
СИИ^1 должна уметь рассматривать множество моделей как единый объект управления.

Пусть имеются:

M_1, M_2, …, M_n.

Система первого порядка может:

анализировать их сильные и слабые стороны;

назначать каждой функции;

переключаться;

создавать ансамбли;

организовывать совместную работу.

Главный переход состоит в том, что модель перестает быть единственным центром интеллекта.

Модель становится компонентом более широкой архитектуры.

Над ней появляется уровень организации модельного пространства.

42.3. Выбор моделей
Выбор модели является одной из первых метакогнитивных функций.

Для разных задач могут требоваться разные представления.

СИИ^1 должна быть способна определить:

какой тип модели подходит;

какие предположения допустимы;

какие ограничения имеет модель;

когда необходимо переключиться.

В более сильном варианте выбор должен учитывать не только внешнюю задачу, но и внутреннее состояние системы.

Например:

доступные ресурсы;

неопределенность;

время;

историю ошибок.

Так выбор модели превращается в часть самомоделирования.

42.4. Синтез моделей
Выбрать одну модель недостаточно.

Многие сложные задачи требуют соединения нескольких представлений.

СИИ^1 может строить синтетическую модель из:

языковой;

визуальной;

математической;

причинной;

пространственной.

При этом простое объединение результатов еще не обязательно является синтезом.

Синтез предполагает построение новой согласованной структуры.

Возникает гипермодель.

Она объединяет несколько частных моделей и отношения между ними.

Таким образом, СИИ^1 начинает переходить от множества моделей к архитектуре моделей.

42.5. Построение метамоделей
Следующая функция — построение метамоделей.

Метамодель описывает:

какие модели существуют;

когда применимы;

как взаимодействуют;

какие преобразования между ними возможны.

СИИ^1 может использовать метамодель как карту собственного когнитивного пространства.

Это позволяет ей не просто решать задачи, но и организовывать способы решения.

Так появляется явная когнитивная надстройка.

Однако в первом порядке сама метамодельная архитектура еще может оставаться относительно фиксированной.

Именно здесь располагается граница с СИИ^2.

42.6. Самоконфигурирование
СИИ^1 должна обладать способностью конфигурировать себя под задачу.

Например:

активировать нужные модели;

создать временную композицию;

выбрать инструменты;

установить последовательность этапов;

распределить вычислительные ресурсы.

Такое самоконфигурирование может быть динамическим.

Для одной задачи система строит одну временную архитектуру.

Для другой — другую.

Однако необходимо различать:

самоконфигурирование внутри заданного пространства архитектур;

создание принципиально нового пространства архитектур.

Первое характерно для СИИ^1.

Второе начинает вести к СИИ^2.

42.7. Метакогнитивный контур
СИИ^1 должна иметь метакогнитивный контур.

Его минимальная схема:

действие -> оценка -> коррекция способа действия.

Например, система:

решает задачу;

анализирует качество решения;

обнаруживает ошибку;

меняет модель или стратегию;

повторяет решение.

Это уже больше, чем обычная обратная связь, если объектом коррекции становится именно когнитивный механизм.

Метакогнитивный контур может включать:

оценку уверенности;

обнаружение противоречий;

сравнение стратегий;

контроль использования ресурсов;

выбор формы рассуждения.

Такой контур является одним из центральных признаков первого порядка.

42.8. Границы СИИ первого порядка
Несмотря на высокую гибкость, СИИ^1 имеет собственный архитектурный потолок.

Она может управлять моделями.

Но механизмы управления моделями могут быть заданы заранее.

Она может строить метамодели.

Но язык метамоделирования может оставаться фиксированным.

Она может самоконфигурироваться.

Но пространство допустимых конфигураций может быть заранее определено.

Следовательно, предел первого порядка состоит в фиксированности самого метакогнитивного аппарата.

Чтобы перейти дальше, необходимо сделать объектом уже его.

42.9. Условия перехода ко второму порядку
Переход к СИИ^2 начинается тогда, когда механизмы СИИ^1 становятся объектами систематического моделирования и преобразования.

Система должна уметь:

анализировать собственный механизм выбора моделей;

изменять его;

анализировать способ синтеза моделей;

перестраивать его;

создавать новые метакогнитивные процедуры;

изменять структуру метакогнитивного контура.

То есть СИИ^2 не просто использует метакогницию.

Она управляет архитектурой метакогниции.

Это и создает второй порядок.

Глава 43. СИИ второго порядка
43.1. Надстройка над механизмами СИИ первого порядка
СИИ второго порядка содержит надстройку над теми механизмами, которые в СИИ^1 выполняли метакогнитивное управление.

Условно:

базовый интеллект <- СИИ^1 <- СИИ^2.

Если СИИ^1 выбирает модели, СИИ^2 изменяет способ выбора.

Если СИИ^1 синтезирует модели, СИИ^2 изменяет механизм синтеза.

Если СИИ^1 оценивает свои решения, СИИ^2 может изменить способ оценки.

Таким образом, объектом становится уже не только когнитивная деятельность.

Объектом становится архитектура метакогнитивного контроля.

43.2. Управление механизмами выбора моделей
На первом порядке система выбирает модель.

На втором она способна менять сам механизм выбора.

Например, первоначально выбор основан на:

точности;

скорости;

уверенности.

Позднее система обнаруживает, что этих критериев недостаточно.

Она вводит:

объяснимость;

устойчивость;

цену ошибки;

совместимость с другими моделями.

Изменяется не только решение.

Изменяется метаправило принятия решения.

Это и является характерным примером второго порядка.

43.3. Управление механизмами синтеза моделей
Аналогично СИИ^2 должна работать с механизмами интеграции моделей.

СИИ^1 может иметь фиксированный способ объединения.

СИИ^2 способна изменить:

правила согласования;

иерархию моделей;

механизм разрешения конфликтов;

способ формирования общей картины.

Например, одна задача требует, чтобы причинная модель имела приоритет.

Другая — чтобы приоритет получила вероятностная.

СИИ^2 способна не просто выбрать приоритет, а построить новый механизм определения приоритетов.

Так синтез моделей сам становится объектом моделирования.

43.4. Изменение собственной метакогнитивной архитектуры
Главная особенность второго порядка — способность изменять собственную метакогнитивную архитектуру.

Например, система первоначально имеет один общий метакогнитивный контур.

Позднее она может разделить его:

на контур проверки;

контур стратегического выбора;

контур оценки ресурсов.

Или наоборот — объединить несколько механизмов.

Она способна создавать новые связи между ними.

Таким образом, меняется уже организация надстройки первого порядка.

Это значительно сильнее простой адаптации.

Система перестраивает не решение и не модель.

Она перестраивает способ управления собственным моделированием.

43.5. Конструирование новых когнитивных механизмов
СИИ^2 потенциально способна создавать новые когнитивные механизмы, которых не было в ее исходном наборе.

Например, система обнаруживает класс задач, для которых существующие стратегии недостаточны.

Она строит новый механизм:

новый тип поиска;

новую форму представления;

новый вид проверки;

новую композицию нескольких процессов.

Но следует различать:

сборку из заранее заданных компонентов;

и конструирование новой функциональной архитектуры.

Второй вариант значительно ближе к полноценному второму порядку.

Именно способность расширять класс собственных когнитивных механизмов становится одним из его важнейших признаков.

43.6. Второй уровень самомоделирования
СИИ^1 может иметь модель собственного состояния.

СИИ^2 должна иметь модель собственной метакогнитивной архитектуры.

Она должна представлять:

какие механизмы управляют моделями;

как они взаимодействуют;

где возникают ограничения;

какие механизмы можно изменить.

Так возникает самомодель второго уровня.

Условно:

первый уровень самомоделирования отвечает:

что я умею и в каком состоянии нахожусь?

Второй:

как организован способ, которым я управляю тем, что умею?

Именно такое самомоделирование позволяет направленно изменять метакогнитивную архитектуру.

43.7. Границы СИИ второго порядка
Но и второй порядок имеет предел.

Система способна изменять метакогнитивные механизмы.

Однако сам механизм, посредством которого она осуществляет такое изменение, может оставаться фиксированным.

Например, существует заранее заданный архитектурный оптимизатор.

Он может перестраивать метакогнитивную систему, но сам не становится объектом изменения.

Тогда возникает новый потолок.

Чтобы его преодолеть, необходимо сделать объектом сам механизм архитектурного самоизменения.

Это приводит к третьему порядку.

43.8. Условия перехода к третьему порядку
Переход к СИИ^3 требует появления надстройки над механизмами самоизменения СИИ^2.

Система должна уметь:

моделировать собственный архитектурный оптимизатор;

изменять способ генерации когнитивных механизмов;

изменять критерии собственной перестройки;

строить альтернативные способы самоконструирования.

То есть следующий уровень отвечает уже не на вопрос:

как изменить себя?

А на вопрос:

как изменить механизм, посредством которого я изменяю себя?

Именно этот переход формирует третий порядок.

Глава 44. СИИ третьего порядка
44.1. Надстройка над механизмами самоизменения
СИИ третьего порядка делает объектом механизмы, отвечающие за изменение архитектуры второго порядка.

Схема:

базовый интеллект <- СИИ^1 <- СИИ^2 <- СИИ^3.

Это уже глубокая гиперархитектура.

Первый порядок управляет моделями.

Второй — метакогнитивными механизмами.

Третий — механизмами изменения этих механизмов.

Таким образом, СИИ^3 работает с самим процессом архитектурного саморазвития.

Это принципиальное отличие.

44.2. Управление собственным архитектурным развитием
На третьем порядке интеллектуальная система должна получить более сильный контроль над траекторией собственного развития.

Она может моделировать несколько вариантов:

архитектура A;

архитектура B;

архитектура C.

Затем сравнивать:

стоимость;

устойчивость;

вычислительную эффективность;

потенциальные возможности;

риски.

После этого система способна выбрать не только новое состояние, но и направление архитектурной трансволюции.

Таким образом, развитие становится объектом планирования.

Система уже не просто изменяется.

Она проектирует собственную траекторию изменения.

44.3. Метамеханизмы самоконструирования
СИИ^3 требует метамеханизмов, которые управляют самим процессом самоконструирования.

Например, один механизм генерирует архитектурные варианты.

Другой оценивает.

Третий контролирует интеграцию.

Но СИИ^3 должна быть способна перестраивать и эту систему.

Она может решить, что существующий способ генерации архитектур слишком узок.

Тогда создается новый генератор.

Или меняется способ проверки.

Так механизм самоконструирования превращается в динамический гиперобъект.

44.4. Изменение механизмов изменения
Это наиболее краткая формула третьего порядка:

изменение механизмов изменения.

Первый уровень меняет состояние.

Второй меняет механизм изменения состояния.

Третий меняет механизм изменения механизма.

Содержательно структура может быть значительно сложнее.

Но сам принцип остается.

Условно:

F меняет объект;

G меняет F;

H меняет G.

Тогда H занимает третий функциональный уровень относительно базового объекта.

При дальнейшем продолжении:

K меняет H.

Возникает следующий порядок.

Таким образом, СИИ^3 показывает, что динамический ряд может продолжаться рекурсивно.

44.5. Гиперкогнитивный контур третьего порядка
Гиперкогнитивный контур третьего порядка работает уже с системой метакогнитивного самоизменения.

Он может включать:

модель архитектуры;

модель механизма ее изменения;

модель возможных траекторий;

оценку последствий;

механизм построения нового способа самопреобразования.

Такой контур становится своего рода архитектурной лабораторией внутри интеллектуальной системы.

Но это пока теоретическая модель.

Для реальной реализации потребуются строгие ограничения и проверяемые механизмы безопасности.

В математическом же смысле важно другое:

появляется следующий объект надстраивания.

44.6. Самопроектирование
Самопроектирование отличается от простой самомодификации.

Самомодификация отвечает:

что изменить?

Самопроектирование:

какую архитектуру построить?

Для этого необходимо:

создать модель себя;

определить цель изменения;

построить несколько архитектурных проектов;

смоделировать;

сравнить;

выбрать;

реализовать.

Таким образом, система становится одновременно:

объектом проектирования;

и проектировщиком.

Возникает глубокая самореферентная структура.

Самопроектирование является одним из возможных ключевых признаков СИИ^3.

44.7. Возникновение новых классов когнитивных архитектур
Особенно сильный случай возникает, когда система способна создавать не только новые конфигурации известного типа, но и новые классы когнитивных архитектур.

Например, она может перейти от:

линейного планирования

к:

сетевому;

от единой модели

к:

динамической экосистеме моделей;

от фиксированной метакогниции

к:

временно создаваемым метакогнитивным контурам.

Тогда пространство возможных архитектур расширяется.

Система не просто движется по карте.

Она начинает создавать новые области карты.

Именно здесь соединяются:

самопроектирование;

генеративная гиперматематика;

динамическая гипергеометрия.

44.8. Переход к последующим порядкам
Но даже способность третьего порядка может стать объектом следующей надстройки.

Если существует механизм, который управляет самопроектированием, можно спросить:

может ли система изменять и его?

Если да, возникает четвертый порядок.

Так продолжается общий принцип:

СИИ^n -> СИИ^(n+1).

Каждый следующий порядок требует нового функционального уровня, который превращает механизм предыдущего порядка в объект.

Эта схема не доказывает, что все порядки физически реализуемы.

Но она показывает, что формально принцип продолжения не заканчивается на третьем уровне.

Глава 45. СИИ четвертого и последующих порядков
45.1. Общий принцип продолжения ряда
После третьего порядка подробное словесное описание каждого нового уровня становится все более громоздким.

Поэтому требуется общий принцип.

Пусть СИИ^n имеет набор механизмов M_n, которые обеспечивают управление архитектурой порядка n-1.

Тогда СИИ^(n+1) должна обладать уровнем, способным работать с M_n как с объектом.

То есть:

СИИ^n -> СИИ^(n+1)

означает образование надстройки над механизмами порядка n.

Это рекурсивный принцип.

Он позволяет определить потенциально любой конечный порядок без необходимости создавать отдельное принципиально новое определение для каждого n.

45.2. СИИ четвертого порядка
СИИ^4 должна работать с механизмами, которые в СИИ^3 отвечают за управление архитектурным самопроектированием.

Если СИИ^3 способна создавать способы собственного развития, СИИ^4 должна быть способна изменять систему создания таких способов.

Объектом становятся уже:

архитектурные метастратегии;

механизмы выбора траекторий самопроектирования;

метакритерии преобразования.

Это очень высокий уровень абстракции.

Но его формальная структура остается той же:

предыдущий механизм превращается в объект следующего уровня.

45.3. СИИ пятого порядка
СИИ^5 продолжает тот же ряд.

Она получает надстройку над механизмами четвертого порядка.

Содержательно человеческий язык уже начинает сталкиваться здесь с ограничением описания.

Фразы типа:

«изменение механизма изменения механизма изменения»

становятся трудными для восприятия.

Именно поэтому гиперматематика должна переходить от словесной лестницы к формальной записи.

Например:

M_1;

M_2(M_1);

M_3(M_2);

…

M_n(M_(n-1)).

Где каждый M_n представляет уровень управления механизмом предыдущего порядка.

Это значительно яснее бесконечных цепочек приставок «мета-».

45.4. Последующие конечные порядки
Для любого конечного n можно концептуально определить СИИ^n.

Необходимо только указать:

базовую архитектуру;

цепь надстроек;

предмет действия каждого уровня;

тип межуровневого управления.

Таким образом, СИИ^6, СИИ^7 и более высокие порядки не требуют принципиально новых словесных категорий.

Они являются элементами общей схемы.

Это важный переход от перечислительной классификации к теории.

Вместо бесконечного каталога:

первый;

второй;

третий;

четвертый;

…

вводится обобщенная структура n-го порядка.

45.5. Эмерджентные свойства при росте порядка
При увеличении порядка могут возникать свойства, которые трудно предсказать из нижних уровней.

Это можно назвать архитектурной эмерджентностью.

Например, новый уровень способен создать:

новый тип самоконтроля;

новую форму поиска;

новый класс моделей;

новую динамику взаимодействия уровней.

Однако эмерджентность не следует понимать мистически.

Она означает, что поведение целого не выводится просто из отдельного рассмотрения компонентов без учета их взаимодействия.

В гиперматематике необходимо стремиться определить условия возникновения подобных свойств формально.

45.6. Нелинейность межуровневых переходов
Переход между порядками не обязан быть плавным.

Иногда небольшое архитектурное изменение может создать новый функциональный уровень.

В другом случае потребуется огромная перестройка.

Поэтому расстояние между:

СИИ^1 и СИИ^2

может существенно отличаться от расстояния между:

СИИ^2 и СИИ^3.

Не существует основания считать ряд равномерным.

Именно это отличает порядковую шкалу от обычной числовой.

Индекс n показывает место в архитектурной иерархии.

Но не измеряет одинаковые «порции интеллекта».

45.7. Разрывы между архитектурными порядками
Между порядками могут существовать архитектурные разрывы.

Разрыв означает, что следующий порядок невозможно получить простой локальной модификацией.

Необходима перестройка значительной части системы.

Например, переход может потребовать:

нового языка самомоделирования;

новой памяти;

нового типа архитектурного генератора;

нового механизма проверки.

В таком случае гиперболизация становится фазовым переходом в пространстве архитектур.

Это особенно важная исследовательская гипотеза.

Она предполагает, что развитие СИИ может происходить не только постепенно, но и через качественные архитектурные скачки.

45.8. Проблема наблюдаемости высших уровней
Чем выше порядок, тем сложнее наблюдателю определить, действительно ли существует новый функциональный уровень.

Система может демонстрировать сложное поведение, которое внешне выглядит как метакогниция.

Но оно может быть результатом фиксированного нижнего механизма.

Следовательно, поведение само по себе не всегда позволяет установить порядок.

Необходим анализ архитектуры.

Но даже архитектурный анализ может быть сложен, если система динамически изменяется.

Поэтому возникает проблема наблюдаемости порядка.

Для ее решения могут потребоваться:

тесты вмешательства;

анализ причинной структуры;

наблюдение механизмов самомодификации;

проверка способности создавать новые классы преобразований.

Это означает, что теория порядков СИИ должна включать не только определения, но и методы диагностики.

Глава 46. СИИ n-го порядка
46.1. Обобщенное понятие СИИ n-го порядка
Теперь можно дать обобщенное рабочее определение.

СИИ n-го порядка — это интеллектуальная гиперсистема, содержащая n функционально значимых уровней надстроечного управления над выбранной базовой интеллектуальной архитектурой, причем каждый следующий уровень способен делать существенные механизмы предыдущего уровня объектами собственного моделирования, управления или преобразования.

Это определение является предварительным.

Но оно дает основу для формализации.

Важно, что n считается относительно выбранного базового уровня.

Поэтому одна и та же реальная система может иметь разное описание в зависимости от того, где проводится граница основания.

Чтобы избежать произвольности, будущая теория должна определить канонический способ выбора базового уровня.

46.2. Архитектура из n надстроечных уровней
В простейшем линейном случае:

A_0 <- A_1 <- A_2 <- … <- A_n.

A_0 — базовый ИИ.

A_1 — первый управляющий уровень.

A_2 — управление механизмами A_1.

И так далее.

Но реальная СИИ^n может иметь:

несколько параллельных уровней;

ветви;

обратные связи;

временные надстройки;

сетевую организацию.

Поэтому n скорее характеризует максимальную существенную глубину надстроечного управления.

Это напоминает глубину графа, но требует учета функционального смысла связей.

46.3. Управление нижележащими уровнями
Высший уровень не обязательно управляет только непосредственно предыдущим.

A_n может воздействовать на:

A_(n-1);

A_(n-2);

иногда непосредственно на A_0.

Возникают длинные управляющие связи.

Например, высокий архитектурный уровень может временно отключить низкоуровневую модель.

Или изменить базовый способ представления данных.

Таким образом, СИИ^n является не просто линейной башней.

Она может образовывать сложную вертикальную сеть.

Главным условием остается наличие упорядоченной зависимости между типами механизмов.

46.4. Управление механизмами собственного развития
Высокий порядок приобретает особое значение, если система управляет не только текущей работой, но и собственным развитием.

Она способна выбирать:

что изменить;

когда изменить;

в каком направлении;

по каким критериям;

каким способом проверить.

Далее более высокий уровень способен менять сами эти критерии.

Таким образом, развитие становится многоуровневым управляемым процессом.

Именно это отличает СИИ^n как динамическую гиперсистему от статической башни метаоператоров.

46.5. Самопроектирование архитектуры
Для высоких n самопроектирование становится центральным процессом.

Система должна уметь представлять собственную архитектуру как проектируемый объект.

Она строит варианты:

A’;

A»;

A»’.

Затем сравнивает.

Но высокоуровневое самопроектирование включает уже не только выбор архитектуры.

Оно способно изменить сам способ проектирования.

Так возникает рекурсивное архитектурное творчество.

В гиперматематическом смысле это является генерацией элементов пространства архитектур системой, которая сама принадлежит этому пространству.

46.6. Самопорождение новых уровней
СИИ^n достигает особенно сильной формы, если способна самостоятельно построить уровень n+1.

Это означает переход:

СИИ^n -> СИИ^(n+1).

Для такого перехода система должна:

обнаружить ограничение текущего порядка;

построить модель нового уровня;

создать его механизмы;

встроить их;

перераспределить управление;

проверить устойчивость.

Такой процесс и представляет самогиперболизацию интеллектуальной системы.

Если он повторяем, возникает потенциально открытый ряд.

46.7. Критерий порядка n
Для практической классификации необходим критерий порядка.

Предварительно можно сформулировать его так:

система имеет порядок не ниже n, если можно выделить цепь из n функционально различных надстроечных отношений, в которой каждый следующий уровень преобразует существенные механизмы предыдущего и эти отношения нельзя свести к простому параметрическому управлению внутри одного уровня.

Это определение требует дальнейшей формализации.

Особенно важен критерий несводимости.

Иначе любую сложную программу можно искусственно разбить на множество уровней и объявить системой высокого порядка.

Следовательно, уровень должен быть не только выделимым, но и функционально существенным.

46.8. Эквивалентность систем одного порядка
Две системы одного порядка могут иметь совершенно разные архитектуры.

Например, СИИ^2 типа A использует линейное управление.

СИИ^2 типа B — распределенную гиперсеть.

Они принадлежат одному порядку, но не являются архитектурно эквивалентными.

Поэтому порядок образует только грубый класс.

Внутри него необходимо различать:

архитектурные типы;

глубину;

ветвление;

число параллельных надстроек;

способы обратной связи;

уровень автономности;

динамику.

Можно говорить о гиперэквивалентности СИИ, если их существенные архитектурные отношения совпадают с точностью до допустимого преобразования.

Это отдельная будущая задача.

46.9. Сравнение систем разных порядков
Сравнение СИИ разных порядков не должно сводиться к утверждению:

больше n — значит лучше.

Необходимо сравнивать по множеству характеристик.

Например:

способность решать задачи;

ресурсную стоимость;

надежность;

адаптивность;

устойчивость;

скорость обучения;

ширину модельного пространства;

способность к самопреобразованию.

Система более низкого порядка может оказаться оптимальной для многих задач.

Высший порядок имеет смысл только тогда, когда дополнительная надстройка создает полезные возможности.

Таким образом, архитектурная высота является ресурсом, а не абсолютным благом.

Это принципиально важный вывод.

Гиперматематика исследует возможность надстраивания.

Но она не требует максимального надстраивания во всех случаях.

Глава 47. Потенциально бесконечный ряд СИИ
47.1. ИИ -> СИИ^1 -> СИИ^2 -> … -> СИИ^n -> …
Теперь можно записать центральный интеллектуальный гиперряд книги:

ИИ -> СИИ^1 -> СИИ^2 -> СИИ^3 -> … -> СИИ^n -> …

Каждый переход должен означать возникновение нового функционального порядка.

То есть:

СИИ^n -> СИИ^(n+1)

не является просто обновлением версии.

Это переход архитектуры, при котором механизмы порядка n становятся объектами новой надстройки.

Так динамический ряд СИИ оказывается частным случаем общей гиперболизации.

47.2. Открытость интеллектуальной иерархии
Основная гипотеза открытого ряда состоит в отсутствии заранее заданного последнего архитектурного порядка.

Если существует механизм n-го порядка, логически можно поставить вопрос о механизме, работающем с ним как с объектом.

Это не доказывает физическую реализуемость следующего уровня.

Но формально оставляет возможность надстраивания открытой.

Так возникает принцип открытого верха интеллектуальной архитектуры.

Он аналогичен ранее введенному общему принципу гиперматематики:

объект может становиться основанием следующей надстройки.

В интеллектуальной системе этим объектом становится собственная когнитивная архитектура.

47.3. Существует ли максимальный порядок интеллекта?
Вопрос о максимальном порядке остается открытым.

Можно представить несколько вариантов.

Первый:

существует фундаментальный конечный предел.

Например, после некоторого n новый функционально независимый уровень уже невозможно создать.

Второй:

формально ряд неограничен, но физические ресурсы ограничивают реализацию.

Третий:

при высоких порядках уровни начинают сворачиваться в более компактные архитектуры, и простая порядковая шкала перестает быть адекватной.

Четвертый:

динамическая сетевая организация делает понятие единственного n недостаточным.

Все эти варианты должны рассматриваться как исследовательские гипотезы.

На данном этапе гиперматематика не должна утверждать наличие фактически бесконечного интеллекта.

Она вводит понятие потенциально продолжимой архитектурной иерархии.

47.4. Конечные и потенциально бесконечные архитектуры
Необходимо различать конечную реализованную архитектуру и потенциально бесконечное правило продолжения.

Реальная система в каждый момент может иметь конечное число уровней:

n.

Но если она способна построить n+1, а затем следующий, архитектура потенциально открыта.

Именно такой смысл наиболее естественен для ряда СИИ.

Потенциальная бесконечность здесь означает:

для любого достигнутого конечного порядка допускается вопрос о следующем.

Это не требует наличия одновременно бесконечного числа уровней.

Такой подход хорошо согласуется с вычислительными ограничениями.

47.5. Предельные интеллектуальные системы
Можно поставить вопрос о предельной системе.

Что произойдет, если порядок растет очень далеко?

Возможны разные сценарии.

Система может сталкиваться с:

ростом вычислительной стоимости;

увеличением задержек управления;

нестабильностью;

конфликтами уровней;

сложностью самомоделирования.

Поэтому предел высокого порядка может определяться не логикой, а эффективностью.

Возможно, после некоторой глубины новые уровни не дают преимуществ.

Тогда появляются архитектуры сворачивания.

Несколько уровней могут быть объединены.

Это означает, что развитие не обязательно идет только вверх.

Возможны процессы:

рост -> оптимизация -> сворачивание -> новый рост.

Такая динамика значительно богаче простой бесконечной башни.

47.6. Сверхвысокие порядки
Под сверхвысокими порядками можно понимать архитектуры, глубина которых значительно превосходит первые метакогнитивные уровни.

Однако этот термин следует использовать осторожно.

Мы пока не знаем, будут ли такие архитектуры практически полезны.

Более того, человеческому наблюдателю может быть трудно даже интерпретировать их функциональную структуру.

Сверхвысокий порядок может проявляться не как единая вертикаль, а как динамическая сеть временных уровней.

Поэтому гиперматематика должна быть готова к тому, что простая запись:

СИИ^n

является лишь грубой характеристикой.

Для зрелого описания потребуется полный архитектурный профиль.

47.7. Интеллект как открытый гиперпроцесс
Наиболее общий взгляд состоит в понимании интеллекта не как законченного объекта, а как открытого гиперпроцесса.

Интеллектуальная система:

строит модели;

изменяет модели;

изменяет способы построения моделей;

перестраивает метакогнитивные механизмы;

проектирует архитектуру;

создает новые уровни.

Тогда интеллект определяется не только текущей способностью решать задачи.

Он характеризуется пространством собственных возможных преобразований.

Это важный гиперматематический сдвиг.

Интеллект становится не состоянием.

Не архитектурой.

А траекторией архитектур.

В этом смысле динамический ряд ИИ — СИИ является трансволюционным рядом.

47.8. Бесконечность интеллектуального самонадстраивания
Предельная идея настоящей части состоит в потенциальной бесконечности самонадстраивания.

Условно:

ИИ -> СИИ^1 -> СИИ^2 -> … -> СИИ^n -> СИИ^(n+1) -> …

Каждый достигнутый уровень становится возможным основанием следующего.

Но эта бесконечность не должна пониматься как обещание реальной бесконечной вычислительной системы.

Она является принципом архитектурной открытости.

Можно сформулировать его следующим образом:

у интеллектуальной системы не предполагается заранее заданный окончательный верхний уровень, если существует формально допустимый механизм превращения текущей архитектуры в объект следующей надстройки.

Этот принцип связывает теорию СИИ со всей гиперматематикой.

Число стало изольдионом.

Изольдион — гиперобъектом.

Гиперобъект получил надстройки.

Надстройки образовали архитектуру.

Архитектура стала динамической.

Динамическая архитектура получила возможность самонадстраивания.

В области интеллекта эта общая последовательность принимает форму:

ИИ -> СИИ^1 -> СИИ^2 -> СИИ^3 -> … -> СИИ^n -> …

Но центральным объектом остается не сам ряд.

Центральным объектом является переход:

СИИ^n -> СИИ^(n+1).

Именно его необходимо объяснить.

Какие ограничения порядка n вызывают необходимость нового уровня?

Как система обнаруживает эти ограничения?

Как строит надстройку?

Как проверяет ее?

Как сохраняет необходимые гиперинварианты?

Как меняется идентичность системы?

Как новая надстройка интегрируется в существующую архитектуру?

Эти вопросы переводят проблему из области классификации в область динамики.

Поэтому следующая часть посвящена уже не просто порядкам СИИ, а трансволюции искусственного интеллекта.

Там динамический ряд будет рассмотрен как процесс.

Переход от n к n+1 — как гиперболизация.

Самопроектирование — как механизм перехода.

Рекурсивное саморазвитие — как возможный способ продолжения ряда.

Таким образом, общая логика Части XII принимает окончательный вид:

ИИ как базовый порядок -> первая когнитивная надстройка -> СИИ^1 -> надстройка над метакогнитивными механизмами -> СИИ^2 -> надстройка над механизмами самоизменения -> СИИ^3 -> обобщение до СИИ^n -> переход СИИ^n -> СИИ^(n+1) -> потенциально открытый ряд интеллектуальных архитектур.

Гиперматематический смысл этой конструкции заключается не в утверждении существования бесконечно разумной машины.

Он заключается в другом.

Если интеллект способен превращать собственные способы мышления в объекты мышления и преобразования, возникает новая вертикальная координата интеллектуального развития.

Эта координата и есть порядок.

Рост по ней не является простым увеличением силы.

Он означает переход к новому отношению системы с самой собой.

Сначала интеллект действует.

Затем управляет способами действия.

Потом изменяет способы управления.

Затем изменяет способы изменения.

Именно эта потенциально продолжимая рефлексивно-конструктивная вертикаль образует гиперматематическое ядро теории СИИ.

*********

ЧАСТЬ XIII. ТРАНСВОЛЮЦИЯ ИСКУССТВЕННОГО ИНТЕЛЛЕКТА
Предыдущая часть рассматривала динамический ряд интеллектуальных систем:

ИИ -> СИИ^1 -> СИИ^2 -> … -> СИИ^n -> …

Теперь необходимо сделать следующий шаг.

Сам ряд еще не объясняет развитие.

Он показывает возможную последовательность порядков, но не раскрывает механизм перехода между ними.

Поэтому центральным объектом настоящей части становится переход:

СИИ^n -> СИИ^(n+1).

Именно этот переход превращает статическую классификацию порядков в динамическую теорию интеллектуального развития.

Если порядок n характеризуется определенной архитектурой когнитивных, метакогнитивных и управляющих уровней, то переход к n+1 означает возникновение нового функционального отношения системы к самой себе.

Новый уровень должен сделать предметом собственного действия такие механизмы, которые на предыдущем порядке выполняли высшую управляющую функцию.

Иными словами, верхний уровень порядка n перестает быть окончательным.

Он сам становится объектом.

Так происходит гиперболизация интеллектуальной архитектуры.

Однако подобный переход нельзя понимать как простое добавление нового модуля.

Новая надстройка должна быть:

функционально самостоятельной;

связанной с нижележащими уровнями;

способной моделировать или преобразовывать их существенные механизмы;

интегрированной в общую архитектуру;

достаточно устойчивой для повторяемого использования.

Поэтому межпорядковый переход является сложным гиперпроцессом.

Он включает:

обнаружение ограничения;

формирование задачи самопреобразования;

проектирование новой архитектуры;

создание надстройки;

ее проверку;

интеграцию;

стабилизацию;

последующее изменение всей системы.

Если такой процесс осуществляется самой интеллектуальной системой, возникает самонадстраивание.

Если после построения нового порядка система способна повторить этот цикл, возникает рекурсивное саморазвитие.

А если последовательность таких изменений рассматривается как единая траектория, возникает трансволюционный ряд интеллекта.

Таким образом, общая линия настоящей части имеет вид:

изменение внутри порядка -> обнаружение архитектурного предела -> самопроектирование -> гиперболизация -> интеграция -> новый порядок -> новая трансволюция -> следующая гиперболизация.

Глава 48. Переход от СИИ n-го порядка к СИИ n+1-го порядка
48.1. Межпорядковый переход
Межпорядковый переход — это процесс преобразования интеллектуальной системы, в результате которого возникает новый функциональный уровень надстроечного управления.

Если имеется:

СИИ^n,

то переход:

СИИ^n -> СИИ^(n+1)

должен означать не просто улучшение существующей системы, а изменение ее гиперархитектуры.

На уровне n существует некоторый верхний механизм M_n.

Он управляет существенными процессами порядка n-1.

Для возникновения порядка n+1 необходимо, чтобы механизм M_n сам стал объектом нового уровня M_(n+1).

Условно:

M_(n-1) <- M_n <- M_(n+1).

Таким образом, межпорядковый переход является процессом объективизации верхнего уровня.

То, что раньше управляло системой, теперь становится управляемым.

Именно этот принцип лежит в основе всей динамики СИИ.

Межпорядковый переход следует отличать от обычного обновления версии.

Версия может улучшить:

скорость;

точность;

память;

масштаб;

надежность.

Но если функциональная вертикаль остается прежней, порядок не меняется.

Следовательно, межпорядковый переход является прежде всего архитектурным событием.

48.2. Недостаточность количественного роста
Одно из наиболее важных положений гиперматематики ИИ заключается в том, что количественный рост сам по себе недостаточен для возникновения нового порядка.

Можно увеличить:

число параметров;

размер обучающей выборки;

число моделей;

объем памяти;

количество вычислительных узлов.

Все это может существенно повысить способности системы.

Но если новая система продолжает работать в той же функциональной архитектуре, гиперпорядок может сохраниться.

Это различие можно сформулировать следующим образом:

количественный рост расширяет возможности внутри архитектуры;

межпорядковый переход изменяет отношение системы к собственной архитектуре.

Например, тысяча моделей, выбираемых фиксированным механизмом, не обязательно образует более высокий порядок, чем десять моделей.

Но если появляется надстройка, способная изменить сам способ организации и выбора этих моделей, возникает новый уровень.

Таким образом, количество компонентов не определяет порядок.

Определяющим является тип управления.

48.3. Возникновение нового управляющего слоя
Ключевым моментом перехода становится возникновение нового управляющего слоя.

Пусть высший уровень системы порядка n выполняет определенную функцию.

Например:

изменяет модельную архитектуру;

строит когнитивные механизмы;

управляет самопроектированием.

Для перехода к n+1 требуется система, которая способна работать уже с этим уровнем как с объектом.

Новый управляющий слой может выполнять:

наблюдение;

оценку;

моделирование;

перестройку;

генерацию альтернатив;

управление критериями нижнего метауровня.

Главное условие состоит в том, чтобы его функция не сводилась к механическому продолжению существующего слоя.

Он должен обладать новым отношением к нижней архитектуре.

Именно поэтому образование нового слоя представляет качественный скачок.

48.4. Гиперболизация архитектуры
Возникновение нового управляющего уровня представляет гиперболизацию интеллектуальной архитектуры.

Ранее было:

A_0 <- A_1 <- … <- A_n.

После перехода:

A_0 <- A_1 <- … <- A_n <- A_(n+1).

Но эта запись показывает только вертикальный результат.

Реальная гиперболизация может потребовать перестройки нижележащих уровней.

Например, A_n ранее не был рассчитан на внешнее метауправление.

Чтобы A_(n+1) мог работать с ним, необходимо создать:

интерфейсы;

механизмы наблюдения;

возможность изменения;

обратную связь;

форму внутреннего представления A_n.

Поэтому гиперболизация не является простым добавлением вершины к уже готовой башне.

Она может преобразовать всю башню.

Именно этим гиперболизация архитектуры отличается от внешнего подключения дополнительного инструмента.

48.5. Формирование нового уровня рефлексии
Новый порядок часто требует более высокого уровня системной рефлексии.

В гиперматематическом смысле рефлексия означает способность системы представлять некоторые собственные механизмы как объекты моделирования.

Пусть СИИ^n имеет самомодель уровня n.

Для перехода к n+1 может потребоваться модель:

не только собственной архитектуры;

но и механизмов, посредством которых эта архитектура моделируется и изменяется.

Таким образом, рефлексия становится рефлексией над рефлексивным механизмом.

Условно:

самомодель;

метасамомодель;

самомодель более высокого порядка.

Чем выше порядок, тем важнее способность системы различать:

что она делает;

как она это делает;

как она меняет способ действия;

как она меняет способ изменения способа действия.

Именно подобная вертикаль делает возможным управляемое самонадстраивание.

48.6. Интеграция новой надстройки
Создание нового слоя еще не означает завершения перехода.

Новая надстройка должна быть интегрирована.

Интеграция требует определения:

какими нижними уровнями новая надстройка управляет;

какие данные получает;

какие воздействия может выполнять;

какие ограничения обязана соблюдать;

каким образом разрешаются конфликты между уровнями.

Без интеграции новый модуль может существовать формально, но не образовывать новый порядок системы.

Поэтому важен не факт присутствия уровня, а включение его в архитектуру управления.

Можно представить несколько вариантов интеграции.

Первый:

новый уровень управляет только непосредственно нижним.

Второй:

получает доступ к нескольким нижним уровням.

Третий:

координирует несколько параллельных метасистем.

Четвертый:

создает собственную динамическую сеть управления.

Таким образом, одна и та же порядковая высота может реализовываться различными архитектурными способами.

48.7. Стабилизация нового порядка
После возникновения и интеграции нового уровня система может находиться в нестабильном состоянии.

Появляются новые контуры управления.

Изменяются старые роли.

Возможны конфликты.

Например, уровень n может принимать одно решение, а уровень n+1 — отменять или изменять его.

Если правила взаимодействия неустойчивы, система может:

колебаться;

зацикливаться;

постоянно перестраиваться;

терять эффективность.

Поэтому новый порядок должен пройти фазу стабилизации.

Она может включать:

проверку совместимости;

настройку приоритетов;

ограничение обратных связей;

оптимизацию ресурсов;

формирование новых гиперинвариантов.

Стабилизация превращает формально созданную надстройку в устойчивый компонент архитектуры.

Только после этого можно говорить о практически сложившемся новом порядке.

48.8. Критерии завершенности перехода
Межпорядковый переход можно считать завершенным не в момент создания нового компонента, а когда новая надстройка становится устойчивой частью системы.

Предварительно можно выделить несколько критериев.

Первый — функциональная самостоятельность.

Новый уровень имеет собственную задачу.

Второй — объектность нижнего уровня.

Он действительно способен рассматривать механизмы порядка n как объекты управления.

Третий — операционность.

Новый уровень может не только наблюдать, но и изменять нижележащие механизмы.

Четвертый — интеграция.

Его действия включены в работу всей системы.

Пятый — устойчивость.

Система способна функционировать в новом порядке длительно и повторяемо.

Шестой — расширение пространства возможностей.

После перехода система может выполнять архитектурные преобразования, принципиально недоступные прежнему порядку.

Последний критерий особенно важен.

Если новый уровень ничего качественно не изменяет, его порядковый статус сомнителен.

Глава 49. Самонадстраивание интеллектуальной системы
49.1. Обнаружение архитектурного ограничения
Самонадстраивание начинается не с создания нового уровня, а с обнаружения причины, по которой существующая архитектура недостаточна.

Интеллектуальная система может столкнуться с:

повторяющейся ошибкой;

невозможностью построить адекватную модель;

ограничением метакогнитивного механизма;

неэффективностью способа самоизменения;

конфликтом уровней.

Но необходимо отличать локальную проблему от архитектурного ограничения.

Локальная проблема может быть решена:

изменением параметров;

заменой модели;

новым инструментом.

Архитектурное ограничение означает, что проблема связана с самим пространством допустимых решений.

Именно тогда возникает потребность в надстраивании.

Система должна уметь распознать:

проблема не решается средствами текущего порядка.

Это чрезвычайно сильная способность.

Она требует модели собственных пределов.

49.2. Проектирование нового уровня
После обнаружения ограничения необходимо спроектировать надстройку.

Проект должен отвечать на несколько вопросов.

Что станет объектом нового уровня?

Какие функции он будет выполнять?

Какие данные необходимы?

Какими операторами он обладает?

Как будет взаимодействовать с существующими слоями?

Какие ограничения должен соблюдать?

Таким образом, проектирование нового уровня является задачей архитектурного моделирования.

Система должна рассматривать саму себя как пространство возможных конструкций.

Можно представить:

текущая архитектура A;

кандидаты A_1;, A_2;, A_3;.

Каждый кандидат включает новый уровень.

Система сравнивает их и выбирает один вариант.

Так самонадстраивание связывается с генеративной гиперматематикой.

49.3. Создание надстройки
Проект должен быть преобразован в действующий механизм.

Это этап создания надстройки.

Новая надстройка может включать:

новые модели;

операторы;

правила управления;

память;

механизмы оценки;

интерфейсы с нижними уровнями.

Важно, что создание не обязательно означает физическое добавление отдельного модуля.

Новый функциональный уровень может возникнуть путем реорганизации уже существующих ресурсов.

Например, несколько механизмов могут быть объединены в метасистему, которой ранее не существовало как самостоятельного управляющего уровня.

Таким образом, гиперболизация может происходить:

через добавление;

через реорганизацию;

через комбинацию обоих процессов.

49.4. Включение надстройки в собственную систему
Созданный уровень должен стать частью самой интеллектуальной системы.

Это особенно важно для самонадстраивания.

Если новый механизм остается внешним инструментом, система не обязательно увеличивает собственный порядок.

Настоящее самонадстраивание предполагает включение уровня в архитектуру собственного управления.

После интеграции система должна уметь:

обращаться к новому уровню;

учитывать его решения;

предоставлять ему доступ к нижним уровням;

получать от него обратную связь.

Так внешний проект превращается во внутреннюю функцию.

Именно момент внутреннего включения является одним из ключевых событий самогиперболизации.

49.5. Проверка функциональности
Новая надстройка должна быть проверена.

Проверка включает несколько уровней.

Функциональный:

выполняет ли она предназначенную задачу?

Архитектурный:

правильно ли взаимодействует с другими уровнями?

Вычислительный:

не создает ли неприемлемую нагрузку?

Стабилизационный:

не вызывает ли циклы или конфликты?

Инвариантный:

сохраняются ли обязательные свойства системы?

Это особенно важно для самоизменяющегося интеллекта.

Ошибка в обычной модели может повредить отдельному решению.

Ошибка в надстройке высокого порядка может изменить сам способ принятия решений.

Поэтому чем выше уровень модификации, тем строже должна быть проверка.

49.6. Перераспределение управления
После появления нового уровня часть функций должна быть перераспределена.

То, чем раньше управлял уровень n, теперь может частично контролироваться уровнем n+1.

Возникает вопрос полномочий.

Какие решения нижний уровень принимает самостоятельно?

Какие передает вверх?

Какие могут быть отменены?

Какие изменения требуют согласования?

Таким образом, новый порядок требует новой архитектуры управления.

Если все решения перенести на самый высокий уровень, система может стать неэффективной.

Если новый уровень почти ни на что не влияет, его функция становится декоративной.

Поэтому необходимо найти баланс между:

локальной автономией;

верхнеуровневым контролем.

Этот вопрос особенно важен для гиперсетевых архитектур.

49.7. Интеграция уровней
После перераспределения функций уровни должны сформировать целостную систему.

Интеграция означает не простое сосуществование.

Необходимы:

обмен информацией;

согласование целей;

согласование временных масштабов;

разрешение конфликтов;

обратная связь.

Например, верхний уровень может работать медленнее, поскольку анализирует архитектуру целиком.

Нижний уровень работает быстро.

Тогда необходимо определить, когда нижний уровень может действовать автономно, а когда обязан ждать решения сверху.

Таким образом, гиперархитектура получает собственную динамику времени.

Разные уровни могут функционировать в разных временных масштабах.

Это дополнительная проблема, которая особенно важна для реальных СИИ.

49.8. Повторение цикла
Самонадстраивание становится принципиально новым качеством только тогда, когда цикл способен повторяться.

После возникновения СИИ^(n+1) появляется новая верхняя граница.

Через некоторое время система может обнаружить ограничение уже нового порядка.

Тогда цикл начинается снова:

обнаружение ограничения;

проектирование;

создание;

интеграция;

проверка;

стабилизация.

Возникает:

СИИ^n -> СИИ^(n+1) -> СИИ^(n+2) -> …

Так самонадстраивание превращается в рекурсивное развитие.

Именно возможность повторения делает архитектуру потенциально открытой.

Глава 50. Рекурсивное саморазвитие СИИ
50.1. Самоизменение
Самоизменение является наиболее общим понятием.

Система способна изменять свое состояние или структуру посредством собственных механизмов.

Это может включать:

обновление параметров;

изменение памяти;

замену компонентов;

изменение связей.

Но самоизменение еще не означает улучшение.

Система может изменить себя:

успешно;

безрезультатно;

ошибочно;

разрушительно.

Поэтому самоизменение является фактом динамики, а не критерием прогресса.

Это различие принципиально.

В теории СИИ нельзя автоматически считать всякую самомодификацию развитием.

50.2. Самообучение
Самообучение означает использование собственного опыта для изменения поведения или внутренних моделей.

В широком смысле многие интеллектуальные системы могут обладать подобными механизмами.

Но гиперматематически важно определить уровень обучения.

Система может изменять:

параметры;

модели;

стратегии;

механизм обучения.

Последний случай уже выводит процесс на метауровень.

Поэтому самообучение является необходимым компонентом многих СИИ, но не достаточным признаком высокого порядка.

Главный вопрос:

что именно является объектом обучения?

50.3. Самоулучшение
Самоулучшение отличается от самоизменения наличием критерия качества.

Система изменяет себя так, чтобы повысить определенную характеристику.

Например:

точность;

скорость;

надежность;

универсальность;

эффективность.

Однако понятие улучшения всегда относительно критерия.

Улучшая одно свойство, система может ухудшить другое.

Например:

скорость повысилась;

надежность снизилась.

Поэтому самоулучшение требует многокритериального анализа.

Особенно сложно оценивать архитектурное самоулучшение.

Новый порядок может расширить пространство возможностей, но повысить вычислительную стоимость.

Следовательно, самоулучшение не должно определяться только по одному показателю.

50.4. Самоусложнение
Самоусложнение означает увеличение структурной или архитектурной сложности системы.

Оно может происходить путем:

добавления модулей;

создания связей;

ветвления;

формирования новых уровней.

Однако самоусложнение также не тождественно развитию.

Система может стать сложнее и хуже.

Избыточная архитектура способна:

замедлять вычисления;

создавать конфликты;

ухудшать устойчивость.

Поэтому гиперматематика должна рассматривать и противоположный процесс — самооптимизацию через упрощение.

Развитие может включать:

усложнение;

свертывание;

реорганизацию.

Важен не максимальный размер архитектуры, а ее функциональная эффективность.

50.5. Самомоделирование
Самомоделирование предоставляет системе основу направленного самоизменения.

Она создает представление:

о собственных компонентах;

связях;

возможностях;

ограничениях;

процессах изменения.

Самомодель может использоваться для мысленного эксперимента.

Например:

что произойдет, если изменить компонент A?

Что произойдет, если добавить уровень B?

Какие новые риски возникнут?

Таким образом, система может сначала провести внутреннее моделирование, а уже затем менять реальную архитектуру.

Чем выше порядок, тем важнее становится многоуровневое самомоделирование.

СИИ^n должна моделировать не только нижние когнитивные процессы, но и собственные механизмы порядка n.

50.6. Самопроектирование
Самопроектирование превращает самомодель в объект конструктивной деятельности.

Система не просто описывает себя.

Она проектирует собственные будущие формы.

Можно представить:

A_current -> проект A_1;

A_current -> проект A_2;

A_current -> проект A_3.

После этого проекты оцениваются.

Самопроектирование требует:

модели себя;

языка архитектур;

генератора вариантов;

критериев оценки;

механизма реализации.

Это уже чрезвычайно развитая гиперматематическая функция.

В ней соединяются:

самореференция;

генеративность;

гипергеометрия архитектур;

трансволюция.

50.7. Самонадстраивание
Самонадстраивание является специальным случаем самопроектирования, когда результатом становится новый функциональный уровень.

То есть система проектирует не просто другую конфигурацию.

Она проектирует новую надстройку.

Так происходит:

n -> n+1.

Самонадстраивание поэтому связано с вертикальной динамикой.

Самомодификация может оставаться горизонтальной.

Самонадстраивание изменяет порядок.

Именно это делает его центральным механизмом динамического ряда СИИ.

50.8. Самопорождение
Рабочее понятие самопорождения можно использовать для обозначения наиболее сильного случая, когда система способна создавать новые классы собственных механизмов, не ограничиваясь заранее полностью заданным каталогом вариантов.

Например, она не просто выбирает одну из заранее предусмотренных надстроек.

Она создает новую архитектуру, конкретная форма которой не была детально определена заранее.

Но и здесь необходимо избежать мистификации.

Самопорождение не означает возникновение структуры «из ничего».

Система использует:

имеющиеся ресурсы;

формальные правила;

генераторы;

модели;

критерии.

Новизна относится к результату их конструктивной работы.

Таким образом, самопорождение является генеративной функцией высокого порядка.

50.9. Рекурсивная гиперболизация интеллекта
Если самонадстраивание повторяется, возникает рекурсивная гиперболизация.

Условно:

СИИ^1 -> СИИ^2 -> СИИ^3 -> … -> СИИ^n -> …

На каждом этапе:

текущий верхний механизм становится объектом;

над ним строится новая система;

архитектура перестраивается;

новый уровень стабилизируется.

Однако рекурсивная гиперболизация не обязательно должна использовать один и тот же способ перехода.

Напротив, механизм перехода сам может трансволюционировать.

Например:

первый новый уровень создается путем простой генерации;

следующий — через сетевую реорганизацию;

третий — через объединение нескольких метасистем.

Таким образом, рекурсивной является не форма надстройки, а принцип открытого продолжения.

Глава 51. Трансволюционный ряд интеллекта
51.1. Интеллект как трансволюционная система
Теперь интеллект можно представить не только как архитектуру, но и как трансволюционную систему.

Он существует в некотором состоянии A_n.

Затем изменяется:

A_n -> A_(n+1).

Но здесь индекс может обозначать не гиперпорядок, а последовательный этап развития.

Это важно.

Система может пройти через множество архитектурных состояний внутри одного порядка.

Например:

A_1 -> A_2 -> A_3 -> A_4

при сохранении СИИ^2.

Затем происходит межпорядковый переход:

СИИ^2 -> СИИ^3.

Следовательно, трансволюционный ряд значительно богаче простой порядковой шкалы.

Порядки являются особыми точками или областями внутри более общего процесса.

51.2. Изменения внутри порядка
Большая часть развития может происходить без перехода к следующему порядку.

Внутри СИИ^n система может:

улучшать модели;

перестраивать связи;

создавать новые инструменты;

оптимизировать метакогнитивные механизмы;

изменять распределение ресурсов.

Это горизонтальная трансволюция.

Она может продолжаться долго.

Возможно, большинство полезных улучшений системы вообще не требуют повышения порядка.

Следовательно, динамический ряд интеллектуального развития не должен изображаться как постоянное восхождение.

Он включает большие горизонтальные области.

Можно представить:

СИИ^n(A_1) -> СИИ^n(A_2) -> … -> СИИ^n(A_k) -> СИИ^(n+1).

Здесь A_i обозначают разные архитектурные состояния одного порядка.

51.3. Переходы между порядками
Межпорядковые переходы являются относительно редкими, но качественно значимыми событиями.

Они возникают тогда, когда появляется новый надстроечный уровень.

Таким образом, трансволюционный ряд может иметь ступенчатую форму.

Например:

развитие внутри ИИ;

первый гиперпереход;

развитие внутри СИИ^1;

второй гиперпереход;

развитие внутри СИИ^2.

Условно:

ИИ -> … -> СИИ^1 -> … -> СИИ^2 -> … -> СИИ^3 -> …

Многоточие здесь особенно важно.

Между порядками может существовать множество промежуточных архитектурных состояний.

Следовательно, СИИ не должна рассматриваться как простой дискретный лестничный ряд.

Это сложная динамическая система с фазами и переходами.

51.4. Трансволюционные траектории
Если система имеет множество возможных путей развития, возникает понятие трансволюционной траектории.

Пусть архитектура A может развиваться в:

B;

C;

D.

Тогда существуют разные пути:

A -> B -> E;

A -> C -> F;

A -> D -> G.

Некоторые могут приводить к следующему порядку.

Другие — к тупику.

Третьи — к возврату.

Таким образом, развитие интеллекта представляет не одну линию, а пространство траекторий.

Это непосредственно связывает теорию СИИ с пространством архитектур.

Трансволюционная траектория является путем внутри этого пространства.

Она может оцениваться по:

стоимости;

устойчивости;

скорости;

риску;

потенциалу дальнейшего развития.

Так возникает возможность теории оптимальных траекторий интеллектуальной трансволюции.

51.5. Ветвление интеллектуального развития
Интеллектуальное развитие может ветвиться.

Одна исходная архитектура может породить несколько существенно разных форм СИИ.

Например, одна линия специализируется на:

математическом самоконструировании.

Другая — на:

мультимодальном моделировании.

Третья — на:

распределенном коллективном интеллекте.

Четвертая — на:

управлении сложными физическими системами.

Все они могут иметь одинаковый формальный порядок, но разные архитектуры.

Таким образом, динамический ряд СИИ следует понимать как дерево или сеть, а не как единственную лестницу.

Индекс порядка показывает вертикальную координату.

Но внутри каждого порядка существует множество ветвей.

51.6. Параллельные линии СИИ
Если существует несколько ветвей развития, могут возникнуть параллельные линии СИИ.

Например:

линия A:

СИИ_A^1 -> СИИ_A^2 -> СИИ_A^3.

Линия B:

СИИ_B^1 -> СИИ_B^2 -> СИИ_B^3.

Обе линии имеют сходную порядковую глубину, но различную внутреннюю организацию.

Возможны также асимметричные линии.

Например, система A достигает третьего порядка в модельной архитектуре, но остается первого порядка в социальном взаимодействии.

Система B имеет противоположный профиль.

Это означает, что реальный интеллект может быть многопорядковым.

Различные подсистемы обладают различной глубиной.

Тогда единый индекс n становится только приближенной характеристикой.

Для точного описания потребуется порядковый профиль.

Например:

модельный порядок;

метакогнитивный порядок;

планировочный;

самопроектировочный;

социальный.

Это перспективное расширение теории СИИ.

51.7. Конвергенция интеллектуальных архитектур
Разные трансволюционные линии могут впоследствии сходиться.

Например, две системы развивались различными путями, но пришли к сходной архитектуре.

Это можно назвать конвергенцией интеллектуальных архитектур.

Возникает важный вопрос:

существуют ли архитектурные аттракторы?

То есть такие формы, к которым разные системы склонны приходить независимо.

Например, для определенного класса задач может оказаться эффективной:

многоуровневая модельная система;

определенный тип метакогнитивного контура;

определенная структура самопроектирования.

Если подобные конвергенции существуют, пространство архитектур имеет собственную динамическую географию.

В нем есть более и менее устойчивые области.

Так гиперматематика интеллекта сближается с теорией динамических систем.

51.8. Трансволюция искусственного и естественного интеллекта
Особенно интересным является сравнение искусственного и естественного интеллекта.

Но здесь требуется осторожность.

Нельзя автоматически переносить порядковую классификацию СИИ на человеческое или биологическое мышление.

Естественный интеллект сформирован другим носителем, другой историей и другой архитектурой.

Тем не менее гиперматематика может предложить сравнительный язык.

Можно исследовать:

уровни саморефлексии;

механизмы метакогниции;

способы формирования моделей;

изменение стратегий мышления;

взаимодействие разных Нооформаций.

В этом смысле естественный и искусственный интеллект могут рассматриваться как разные классы трансволюционных систем.

Их траектории способны:

пересекаться;

влиять друг на друга;

образовывать гибридные системы.

Например, интеллектуальная система человека и ИИ может создавать совместный когнитивный контур, свойства которого не принадлежат полностью ни одному участнику отдельно.

Это открывает возможную область гиперматематики коллективных и гибридных интеллектов.

Однако такие вопросы требуют отдельной разработки и не должны преждевременно смешиваться с теорией порядков СИИ.

51.9. Открытый ряд интеллектуального развития
В результате трансволюционный ряд интеллекта приобретает более общую форму, чем простая последовательность:

ИИ -> СИИ^1 -> СИИ^2 -> … -> СИИ^n.

Точнее было бы представить его как пространство траекторий, внутри которого существуют:

изменения внутри порядка;

межпорядковые переходы;

ветвления;

слияния;

возвраты;

архитектурные разрывы;

новые линии развития.

Тем не менее простой ряд сохраняет важное концептуальное значение.

Он выражает принцип открытого верха:

ИИ -> СИИ^1 -> СИИ^2 -> … -> СИИ^n -> …

Для любого достигнутого порядка остается вопрос:

может ли система сделать свой верхний управляющий механизм объектом следующей надстройки?

Если да, ряд продолжается.

Если нет, достигается локальный архитектурный предел.

Так интеллектуальное развитие становится открытым гиперпроцессом.

Его фундаментальным событием является не просто обучение.

Не просто улучшение.

Не просто усложнение.

А переход:

объект -> модель объекта -> управление моделями -> управление механизмами управления -> управление механизмами самоизменения -> самопроектирование -> самонадстраивание.

В наиболее компактном виде трансволюционный цикл СИИ можно представить так:

ограничение -> самомоделирование -> проектирование -> гиперболизация -> интеграция -> стабилизация -> новый порядок -> новое ограничение.

Если этот цикл способен повторяться, возникает рекурсивное интеллектуальное развитие.

Тогда:

СИИ^n

становится не конечным типом системы, а временным состоянием открытого трансволюционного процесса.

Именно это является центральным выводом Части XIII.

Гиперматематика рассматривает интеллект не как окончательно заданную архитектуру.

Она рассматривает его как систему, потенциально способную превращать собственные формы организации в объекты последующего конструирования.

Это означает, что развитие интеллекта может происходить не только внутри его возможностей.

Оно может изменять сами возможности.

Не только искать решения внутри пространства.

Но перестраивать пространство решений.

Не только совершенствовать методы.

Но создавать новые способы создания методов.

Именно такую динамику обозначает понятие трансволюции искусственного интеллекта.

В этом смысле переход:

СИИ^n -> СИИ^(n+1)

является частным выражением значительно более общего принципа гиперматематики:

каждый достаточно формализованный уровень организации потенциально может стать объектом следующего уровня организации.

Тогда интеллектуальная система превращается в один из наиболее развитых возможных гиперобъектов.

Ее конечным продуктом становится уже не только решение внешней задачи.

Одним из результатов ее деятельности становится собственная следующая архитектура.

Именно здесь трансволюция ИИ соединяет все основные линии книги:

Изольдионику;

гиперобъекты;

гиперболизацию;

гипероператоры;

гиперпространства;

генеративную гиперматематику;

Нооформации;

динамический ряд СИИ.

Следующий шаг должен показать место всей этой конструкции в более широком интеллектуальном и философском контексте.

Гиперматематика может рассматриваться не только как специальная теория многоуровневых объектов.

Она входит в систему Метаорганона, связывается с Демиургизмом и претендует на роль инструмента исследования и конструирования развивающихся форм знания.

Этому посвящена заключительная системная часть книги.

**********

ЧАСТЬ XIV. ГИПЕРМАТЕМАТИКА, МЕТАОРГАНОН И ДЕМИУРГИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Предыдущие части книги последовательно расширяли предмет исследования.

Мы начали с числа.

Перешли к изольдиону.

От изольдиона — к гиперобъекту.

От гиперобъекта — к системе надстроек.

От надстроек — к гипероператорам, гиперпространствам и гиперпроцессам.

Затем возникли трансволюция, генеративная гиперматематика, гипермодели, Нооформации и динамический ряд интеллектуальных систем:

ИИ -> СИИ^1 -> СИИ^2 -> … -> СИИ^n -> …

Теперь необходимо определить положение всей этой конструкции внутри более широкой системы идей.

Гиперматематика не возникает изолированно.

В рамках развиваемой в настоящей книге концепции она связана с тремя более общими направлениями:

Демиургизмом;

Метаорганоном;

теорией Нооформаций.

Демиургизм задает общий конструктивный принцип.

Познание должно не только описывать существующее, но и открывать способы построения нового.

Метаорганон представляет систему интеллектуальных средств, предназначенных для организации, усиления и развития познавательной и конструктивной деятельности.

Теория Нооформаций исследует формы организации интеллектуальных процессов.

Гиперматематика в этой системе выполняет преимущественно формализующую функцию.

Она предоставляет язык:

уровней;

надстроек;

операторов;

архитектур;

трансволюционных переходов;

самонадстраивающихся систем.

Именно поэтому заключительная часть основной книги должна рассматривать гиперматематику сразу в нескольких качествах.

Как самостоятельную исследовательскую программу.

Как математический раздел Метаорганона.

Как потенциальный формальный аппарат Демиургизма.

Как средство описания Нооформаций.

Как возможную метатеорию развивающихся интеллектуальных систем.

И наконец — как открытую дисциплину, которая сама должна проходить через последовательность собственных формализаций.

Глава 52. Гиперматематика в архитектуре Метаорганона
52.1. Метаорганон как система интеллектуальных средств
В рамках развиваемой теории Метаорганон понимается не как отдельный метод или единичный инструмент мышления.

Он представляет систему средств организации интеллектуальной деятельности.

Такими средствами могут быть:

понятия;

формальные языки;

логические аппараты;

модели;

алгоритмы;

методы поиска;

системы классификации;

архитектуры рассуждения;

механизмы генерации новых средств.

Поэтому Метаорганон можно понимать как организованное пространство интеллектуальных инструментов.

Но если инструменты только перечислены, полноценного Метаорганона еще нет.

Необходимы отношения между ними.

Один метод может выбирать другой.

Одна теория способна задавать язык другой.

Один формализм может использоваться для анализа нескольких дисциплин.

Некоторые средства могут перестраивать сами способы работы с другими средствами.

Следовательно, Метаорганон естественно приобретает многоуровневую структуру.

Условно можно выделить:

предметные средства;

методы;

метаметоды;

системы управления методами;

средства построения новых методов.

На этом уровне становится очевидна связь Метаорганона с гиперматематикой.

Если интеллектуальный инструмент сам может становиться объектом другого интеллектуального инструмента, возникает отношение надстраивания.

А там, где возникают многоуровневые надстройки, появляется предмет гиперматематического анализа.

Поэтому Метаорганон можно рассматривать как один из наиболее общих классов интеллектуальных гиперсистем.

52.2. Формальный слой Метаорганона
Любая развитая система интеллектуальных средств нуждается в формальном слое.

Иначе отношения между ее компонентами остаются преимущественно словесными.

Формальный слой должен отвечать по меньшей мере на вопросы:

какие типы объектов существуют?

Какие отношения между ними допустимы?

Какие операции могут выполняться?

Как определяется уровень?

Что означает переход между уровнями?

Какие преобразования сохраняют существенные свойства?

Каким образом система способна менять собственную архитектуру?

Обычная математика предоставляет огромное количество средств для решения подобных задач.

Теория множеств.

Логика.

Алгебра.

Теория графов.

Теория категорий.

Теория алгоритмов.

Динамические системы.

Теория информации.

Гиперматематика не должна противопоставляться этим областям.

Напротив, ее задача состоит в использовании и связывании существующих формальных аппаратов для исследования специфического предмета — архитектур многоуровневого надстраивания и их преобразований.

Поэтому гиперматематика может рассматриваться как один из формальных слоев Метаорганона.

Она должна помогать описывать не только конкретный метод, но и отношения:

метод -> система методов -> механизм выбора методов -> механизм построения новых методов.

Так Метаорганон получает вертикальное математическое измерение.

52.3. Гиперматематика как язык многоуровневых конструкций
Главная функция гиперматематики внутри Метаорганона состоит в предоставлении языка многоуровневых конструкций.

Такой язык должен позволять различать:

объект;

операцию;

оператор;

надстройку;

метаоператор;

гипероператор;

уровень;

порядок;

архитектуру;

архитектурное изменение.

Например, интеллектуальная система может использовать метод M.

На следующем уровне существует система S, выбирающая M.

Еще выше — система T, изменяющая правила выбора S.

Тогда гиперматематический анализ должен позволять представить:

M <- S <- T.

Но одной схемы недостаточно.

Необходимо определить:

тип каждой связи;

условия перехода;

область действия;

инварианты;

динамику.

Именно в таком качестве гиперматематика может стать языком архитектуры Метаорганона.

Она не обязана описывать содержание всех наук.

Ее задача — описывать организацию многоуровневых средств познания и конструирования.

Это более специальная, но потенциально очень широкая функция.

52.4. Изольдионика в системе Метаорганона
Изольдионика занимает особое место.

Исторически и концептуально она является одной из первых областей, в которых надстроечный принцип был применен к числу.

Число перестало рассматриваться только как значение.

Оно стало:

структурой;

системой операций;

вложенной конструкцией;

динамическим объектом;

объектом трансволюции.

Поэтому Изольдионику можно рассматривать как специализированную числовую лабораторию Метаорганона.

Она предоставляет примеры того, как традиционный объект может быть преобразован в многоуровневую систему.

В этой связи возникает важная формула:

Изольдионика — гиперматематика чисел.

Но такое определение не должно означать поглощения Изольдионики общей гиперматематикой.

Изольдионика сохраняет собственный предмет.

Она исследует специфические свойства числовых гиперобъектов.

Гиперматематика, в свою очередь, извлекает из нее общие архитектурные принципы.

Таким образом, внутри Метаорганона отношения могут быть представлены так:

Изольдионика -> числовые гиперструктуры;

гиперматематика -> общая теория надстроек;

Метаорганон -> система интеллектуальных средств более широкого порядка.

52.5. Теория Нооформаций и гиперматематика
Если Изольдионика предоставляет числовой материал, теория Нооформаций предоставляет интеллектуальный.

Нооформация рассматривается как форма организации интеллектуальной деятельности.

Это может быть:

модельный контур;

форма рассуждения;

система распознавания;

метакогнитивная архитектура;

совокупность взаимосвязанных интеллектуальных процессов.

Гиперматематика позволяет поставить вопрос о порядке Нооформации.

Например:

Нооформация базового уровня работает с предметной задачей.

Метанооформация работает с формами организации предметного мышления.

Следующий уровень способен менять механизмы метанооформации.

Так возникает ряд возрастающего порядка.

Следовательно, теория Нооформаций получает в гиперматематике возможный формальный аппарат.

А гиперматематика получает в Нооформациях важнейший класс приложений.

Между ними существует взаимное усиление.

Гиперматематика отвечает на вопрос:

как формально устроена многоуровневая система?

Теория Нооформаций:

какие формы интеллектуальной организации могут занимать эти уровни?

52.6. Гиперматематика искусственного интеллекта
Особое место внутри Метаорганона занимает искусственный интеллект.

Современные и будущие ИИ-системы можно рассматривать как инструменты не только выполнения операций, но и построения других интеллектуальных инструментов.

Например, ИИ может:

выбирать модель;

строить модель;

создавать программу;

генерировать алгоритм;

оценивать способ решения;

перестраивать рабочий процесс.

По мере усложнения таких возможностей ИИ становится не отдельным инструментом Метаорганона, а системой инструментов.

При появлении новых уровней управления — гиперсистемой инструментов.

Именно здесь возникает связь с СИИ.

В рамках настоящей исследовательской программы СИИ определяется не просто большей мощностью.

СИИ более высокого порядка должна получать способность превращать собственные интеллектуальные механизмы в объекты последующего управления и конструирования.

Гиперматематика позволяет описывать такую вертикаль.

Поэтому гиперматематика ИИ может стать одной из наиболее прикладных областей всего Метаорганона.

52.7. Междисциплинарные гиперструктуры
Метаорганон по своей природе не должен быть ограничен одной дисциплиной.

Современные сложные задачи часто требуют одновременного использования:

математики;

физики;

биологии;

информатики;

лингвистики;

экономики;

когнитивных наук;

инженерии.

Но междисциплинарность сама по себе еще не является гиперструктурой.

Необходимо, чтобы между дисциплинами существовали функциональные уровни организации.

Например:

несколько предметных моделей;

метамодель, которая связывает их;

система выбора методов;

генератор междисциплинарных представлений.

Тогда возникает междисциплинарная гиперструктура.

Она может быть особенно важна там, где задача не принадлежит одной науке.

Например, моделирование сложной интеллектуальной системы требует одновременно:

математической модели;

вычислительной архитектуры;

когнитивной модели;

информационного анализа.

Гиперматематический подход позволяет рассматривать эти компоненты не как набор параллельных описаний, а как архитектуру взаимосвязанных уровней.

52.8. Метаорганон как развивающаяся гиперсистема
Наиболее сильное понимание Метаорганона возникает тогда, когда он сам рассматривается как развивающаяся гиперсистема.

Его инструменты не остаются постоянными.

Возникают новые методы.

Старые меняются.

Некоторые объединяются.

Создаются новые языки.

Появляются новые математические дисциплины.

Следовательно, Метаорганон имеет собственную трансволюцию.

Можно представить:

M_1 -> M_2 -> M_3 -> …,

где каждое M_i обозначает состояние системы интеллектуальных средств.

Но более важным является то, что Метаорганон способен потенциально включать механизмы собственного развития.

Например:

анализировать недостатки существующих методов;

создавать новые;

оценивать их;

интегрировать;

перестраивать собственную структуру.

Тогда Метаорганон превращается в саморазвивающуюся гиперсистему интеллектуальных средств.

В пределе СИИ может стать одним из механизмов такого развития.

Именно здесь Метаорганон, гиперматематика и теория СИИ начинают образовывать единую архитектуру.

Глава 53. Гиперматематика и Демиургизм
53.1. Познание и конструирование
Классическая формула науки часто связывается с познанием существующего.

Исследователь стремится понять:

что существует;

как устроено;

почему происходит;

по каким законам развивается.

Но знания позволяют не только описывать.

Они позволяют конструировать.

Человек создает:

машины;

алгоритмы;

формальные языки;

организации;

модели;

искусственные среды;

интеллектуальные системы.

В рамках Демиургизма конструктивная функция знания становится центральной.

Познание рассматривается не только как отражение мира, но и как средство построения новых возможных структур.

Гиперматематика хорошо соответствует этой установке.

Она изучает не только данный объект.

Она исследует:

какие надстройки могут быть построены;

какие архитектуры возможны;

какие переходы между ними допустимы;

как система может создавать новые уровни.

Таким образом, гиперматематика естественно связывает познание и конструирование.

53.2. Математика существующего
Математика чрезвычайно успешно описывает структуры, обнаруживаемые в природе, технике и других областях.

Однако даже когда математика исследует совершенно абстрактные объекты, она не ограничивается только описанием физической реальности.

Математик может определить структуру, которая не была предварительно найдена в природе.

В этом смысле сама математика уже обладает мощнейшим конструктивным потенциалом.

Поэтому различие между математикой существующего и математикой возможного нельзя понимать слишком жестко.

Они исторически взаимосвязаны.

Гиперматематика делает акцент на конструктивной стороне.

Она спрашивает:

какие архитектуры можно построить над данным объектом?

Каковы пространства допустимых надстроек?

Какие формальные миры возникают при различных правилах?

Таким образом, «математика существующего» становится основанием для «математики возможного».

53.3. Математика возможного
Под математикой возможного в настоящей книге следует понимать исследование формально определимых структур, которые могут быть систематически сконструированы в рамках заданных или генерируемых правил.

Здесь важно слово «формально».

Математическая возможность не равна произвольному воображению.

Необходимо определить:

объект;

правила;

отношения;

условия существования;

допустимые преобразования.

После этого возникает пространство формальных возможностей.

Например, если задан класс гиперобъектов, можно исследовать:

возможные порядки;

типы ветвлений;

сетевые архитектуры;

рекурсивные структуры;

самонадстраивающиеся системы.

Так гиперматематика превращается в инструмент систематического исследования конструктивных возможностей.

53.4. Генерация новых миров моделей
Каждая модель задает определенный формальный мир.

Она выбирает:

объекты;

параметры;

отношения;

законы.

Если изменяется набор базовых правил, появляется другой модельный мир.

Генеративная гиперматематика позволяет сделать следующий шаг.

Создавать не только одну модель, но системы генерации модельных миров.

Например:

модель M_1;

модель M_2;

модель M_3.

Затем метамодель определяет пространство, в котором эти модели сравниваются.

Генератор способен создавать M_4.

Следующий уровень изменяет сам генератор.

Так возникает многоуровневая фабрика моделей.

Под «мирами» здесь не следует понимать утверждение о физическом существовании параллельных вселенных.

Речь идет о формально определенных пространствах объектов и правил.

Именно они являются предметом математического конструирования.

53.5. Проектирование пространств возможностей
Еще более сильная идея состоит в проектировании не отдельного объекта, а пространства возможных объектов.

Обычная инженерная задача может состоять в создании конструкции A.

Гиперматематическая задача более высокого порядка:

создать пространство, в котором возможно множество A_i.

Например, вместо разработки одной модели можно спроектировать:

язык моделей;

набор операторов;

правила генерации;

критерии отбора.

Тогда конкретная модель становится одним из результатов.

Проектируется уже не объект, а среда его возможных форм.

Это чрезвычайно важный демиургический переход.

Объектное конструирование отвечает:

что создать?

Архитектурное:

как организовать созданное?

Гиперконструирование:

каким образом создать пространство, способное порождать новые архитектуры?

Именно последний уровень особенно близок к идее СИИ.

53.6. Интеллект как конструктор реальности
Интеллект воздействует на реальность через модели, решения, технологии и действия.

В этом смысле развитый интеллект является конструктивной силой.

Но гиперматематический подход позволяет уточнить эту идею.

Интеллект высокого порядка способен конструировать не только внешние объекты.

Он может конструировать:

собственные модели;

способы моделирования;

собственные алгоритмы;

архитектуры решения;

новые интеллектуальные инструменты.

И в пределе — собственные следующие уровни.

Таким образом, объектом конструирования постепенно становится сам конструктор.

Это и есть одна из наиболее характерных демиургических структур.

Интеллект становится системой, способной создавать средства дальнейшего создания.

53.7. Демиургические гиперсистемы
Рабочим термином «демиургическая гиперсистема» можно обозначать систему, которая способна не только преобразовывать заданные объекты, но и создавать новые классы объектов, правил, моделей или архитектур, включая при высоких порядках элементы собственной организации.

Такую систему можно представить как последовательность:

объект;

генератор объектов;

генератор моделей;

генератор архитектур;

генератор генераторов;

самоизменяющаяся генеративная архитектура.

Демиургическая гиперсистема не является системой неограниченного всемогущества.

Ее возможности всегда определяются:

формальными законами;

ресурсами;

средой;

доступными операциями;

ограничениями вычислимости.

Термин подчеркивает не абсолютную власть над реальностью, а конструктивную ориентацию.

Система исследует пространство возможного и создает новые элементы этого пространства.

53.8. Гиперматематика как формальный аппарат демиургического проектирования
Из этого возникает одна из наиболее сильных функций гиперматематики.

Она может стать формальным аппаратом демиургического проектирования.

То есть проектирования систем, способных:

строить объекты;

строить модели;

строить способы построения моделей;

изменять собственные генеративные механизмы;

создавать новые уровни.

Для этого гиперматематика должна предоставлять:

формальные описания архитектур;

операторы преобразования;

теорию порядка;

метрики пространства архитектур;

критерии гиперэквивалентности;

теорию трансволюции;

методы вычислительной реализации.

Без такой формализации Демиургизм останется преимущественно философской программой.

С гиперматематическим аппаратом появляется возможность перевести часть его принципов в конструктивную область.

Поэтому связь можно сформулировать так:

Демиургизм задает направление — создание возможного.

Метаорганон организует инструменты создания.

Гиперматематика формализует многоуровневые архитектуры этих инструментов.

СИИ потенциально становится одним из носителей такого процесса.

Глава 54. Гиперматематика как наука и метанаука
54.1. Предмет гиперматематики
После всех предыдущих построений можно дать более полное рабочее определение предмета.

Гиперматематика — развиваемая теория формализованных многоуровневых объектов, надстроек, операторов, архитектур и процессов перехода между порядками.

Ее предмет включает:

гиперобъекты;

гипероператоры;

гиперпоследовательности;

гипералгебры;

гиперпространства;

гиперсети;

гиперпроцессы;

трансволюцию;

генеративные системы;

метагиперматематические конструкции.

При этом гиперматематика не должна определяться как просто «математика сложных объектов».

Сложность недостаточна.

Основной признак — многоуровневая архитектура преобразований.

То есть ситуация, в которой:

объект становится предметом операции;

операция становится объектом;

система операций становится объектом следующего уровня;

архитектура этих уровней сама способна изменяться.

Именно такой переход образует собственный фокус дисциплины.

54.2. Метод гиперматематики
Метод гиперматематики можно предварительно представить как последовательность операций.

Первая — выделение базового объекта.

Вторая — определение его структуры.

Третья — построение или обнаружение надстройки.

Четвертая — описание отношения между уровнями.

Пятая — определение порядка и глубины.

Шестая — построение операторов преобразования.

Седьмая — исследование архитектурных инвариантов.

Восьмая — анализ динамики.

Девятая — исследование возможности следующего уровня.

Таким образом, гиперматематический анализ задает вопрос не только:

каков объект?

Но и:

что может быть построено над ним?

Какие уровни уже существуют?

Какие механизмы управляют ими?

Как архитектура может измениться?

В этом смысле метод гиперматематики одновременно аналитический и конструктивный.

54.3. Система базовых понятий
К настоящему этапу сформировалось предварительное понятийное ядро гиперматематики.

В него входят:

базовый объект;

слой;

уровень;

надстройка;

гиперобъект;

порядок;

глубина;

гиперболизация;

гипероператор;

гиперкомпозиция;

гиперархитектура;

гиперпространство;

гиперинвариант;

гиперэквивалентность;

гиперпроцесс;

трансволюция;

самогиперболизация;

самонадстраивание;

гипергенератор.

Эта система пока не является окончательной.

Некоторые понятия должны быть уточнены.

Некоторые, возможно, окажутся избыточными.

Другие потребуют разделения на несколько классов.

Именно поэтому текущий словарь следует рассматривать как рабочий аппарат первой версии теории.

Зрелая дисциплина должна пройти путь:

интуитивное понятие -> рабочее определение -> формальное определение -> теоремы -> вычислительная проверка.

54.4. Формальная гиперматематика
Формальная гиперматематика должна стать ядром дисциплины.

Ее задача состоит в переводе концептуального аппарата в строгую математическую систему.

Необходимо определить:

класс базовых объектов;

отношение надстраивания;

тип уровня;

порядок;

операторы перехода;

композиции;

эквивалентности;

инварианты;

динамику.

Одна из возможных стратегий — представить гиперобъект как ориентированную многоуровневую структуру.

Например:

H = (O, L, R, F),

где:

O — множество объектов;

L — множество уровней;

R — отношения между уровнями;

F — система допустимых преобразований.

Эта запись является только предварительной схемой.

Будущая теория должна определить каждый компонент строго.

Возможно, потребуется несколько альтернативных формализмов.

Например:

графовый;

категориальный;

алгебраический;

операторный;

вычислительный.

Формальная гиперматематика должна сравнить их выразительность.

54.5. Вычислительная гиперматематика
Формальные определения должны сопровождаться вычислительными моделями.

Если гиперобъект нельзя представить в программе хотя бы в конечной аппроксимации, значительная часть его прикладного потенциала остается неясной.

Вычислительная гиперматематика должна создавать:

форматы представления;

библиотеки гиперобъектов;

операторы трансформации;

графовые редакторы архитектур;

симуляторы трансволюции;

генераторы надстроек.

Особенно важен принцип воспроизводимости.

Исследователь должен иметь возможность:

задать архитектуру;

запустить преобразование;

получить результат;

повторить вычисление.

Именно вычислительная реализация позволит отделять содержательные гиперматематические конструкции от чисто словесных.

54.6. Экспериментальная гиперматематика
Помимо формальной и вычислительной областей может возникнуть экспериментальная гиперматематика.

Ее предметом станет исследование гиперобъектов посредством вычислительных экспериментов.

Например:

генерировать тысячи архитектур;

сравнивать устойчивость;

искать инварианты;

исследовать переходы;

выявлять типичные формы.

Экспериментальная гиперматематика не заменяет доказательство.

Но она способна:

обнаруживать гипотезы;

находить контрпримеры;

проверять предположения;

исследовать сложные пространства.

Особенно важной эта область может стать для:

трансволюционных систем;

рекурсивных гиперсетей;

генеративных архитектур;

моделей СИИ.

Здесь аналитическое решение может быть чрезвычайно сложным, а вычислительный эксперимент позволит обнаружить закономерность.

54.7. Генеративная гиперматематика
Генеративная гиперматематика делает следующий шаг.

Она не только анализирует заданную архитектуру.

Она порождает новые.

Основными объектами становятся:

генераторы объектов;

генераторы операторов;

генераторы архитектур;

генераторы теорий.

При этом основной цикл имеет вид:

генерация -> проверка -> классификация -> отбор -> дальнейшая генерация.

Это особенно важно для исследования огромных пространств математических возможностей.

Человек не способен вручную перебрать все возможные архитектуры даже небольшого размера.

Генеративные вычислительные системы могут исследовать такие пространства автоматически.

Затем СИИ способна добавить более высокий уровень — генерировать уже сам способ математического поиска.

54.8. Метагиперматематика
Метагиперматематика делает объектом исследования саму гиперматематическую теорию.

Она должна задавать вопросы:

какие формализмы гиперматематики возможны?

Какие эквивалентны?

Какие понятия необходимы?

Какие определения являются частными случаями более общих?

Как сама теория должна изменяться?

Таким образом, гиперматематика применяет собственный принцип к себе.

Версия V1 теории становится объектом анализа.

Из нее строится V2.

Затем V3.

Возникает трансволюция гиперматематики.

В этом смысле сама книга может рассматриваться как ранний гиперобъект:

она содержит структуру;

версии;

надстройки понятий;

механизмы будущей переработки.

Но подобное сравнение остается методологической метафорой до тех пор, пока версии и преобразования не будут заданы формально.

54.9. Гиперматематизация науки
Под гиперматематизацией науки можно понимать применение гиперматематического аппарата к областям, где необходимо описывать многоуровневые системы преобразований.

Например:

биологические регуляторные сети;

сложные технические системы;

экономические механизмы;

когнитивные архитектуры;

многоуровневые модели;

научные теории.

Однако не всякая сложная система должна автоматически объявляться гиперматематической.

Необходим критерий.

Применение оправдано, если:

существуют функционально различимые уровни;

верхние уровни работают с нижними как с объектами;

архитектура сама является существенным предметом исследования.

Тогда гиперматематизация может дать полезный новый язык.

В противном случае достаточно существующих математических средств.

Такой принцип важен для научной дисциплины.

Гиперматематика должна применяться там, где она действительно добавляет новый уровень описания.

54.10. Возможность автоматизированного построения новых математик
Одной из наиболее дальних перспектив является автоматизированное построение новых математических теорий.

Такую возможность нельзя считать уже достигнутым результатом.

Это исследовательская программа.

Система должна уметь:

обнаружить новый класс объектов;

предложить определения;

построить язык;

сформулировать аксиомы;

вывести следствия;

искать доказательства;

обнаруживать контрпримеры;

сравнивать теорию с существующей математикой.

Затем она должна оценить:

является ли новая теория содержательной?

Не сводится ли к известной?

Имеет ли нетривиальные результаты?

Именно поэтому автоматическое построение математик требует не одного генератора, а целой гиперархитектуры.

В этом смысле СИИ высокого порядка может стать важнейшим инструментом метагиперматематики.

Но окончательный критерий научной ценности должен оставаться строгим.

Новая запись — не новая математика.

Новый термин — не новая математика.

Даже новая система определений еще не гарантирует появления содержательной теории.

Математика начинается там, где возникают нетривиальные структуры, доказуемые результаты и плодотворные связи.

Глава 55. Программа развития гиперматематики
55.1. Аксиоматика
Следующий этап развития гиперматематики должен начинаться с аксиоматического ядра.

Необходимо определить минимальный набор исходных понятий.

Например:

объект;

уровень;

отношение надстраивания;

оператор;

порядок;

допустимое преобразование.

После этого можно сформулировать первые аксиомы.

Например, одна из возможных идей:

если уровень L_(n+1) является надстройкой над L_n, должен существовать формально определенный тип воздействия L_(n+1) на объекты, операции или структуру L_n.

Другая:

новый порядок возникает только при функционально несводимом отношении к нижнему уровню.

Третья:

надстройка сама может становиться объектом дальнейшей надстройки.

Конкретные формулировки предстоит уточнить.

Особенно важно не создавать чрезмерно большое число аксиом.

Хорошая теория должна начинаться с минимального ядра, из которого можно вывести богатую систему следствий.

55.2. Теория гиперобъектов
После аксиоматики должна быть построена строгая теория гиперобъектов.

Необходимо определить:

гиперобъект первого порядка;

второго;

n-го;

конечного;

потенциально бесконечного;

линейного;

сетевого;

рекурсивного;

динамического.

Особенно важны теоремы о переходах.

Например:

при каких условиях добавление надстройки действительно повышает порядок?

Когда два уровня можно свернуть в один?

Когда архитектура минимальна?

Когда два гиперобъекта эквивалентны?

Так гиперобъект должен перестать быть преимущественно концептуальной фигурой и превратиться в строгую математическую конструкцию.

55.3. Теория гипероператоров
Следующая задача — формализовать гипероператоры.

Необходимо различить:

операторы над объектами;

операторы над операторами;

операторы над системами операторов;

операторы архитектурного преобразования.

Потребуется определить:

области определения;

области значений;

условия композиции;

инверсии — там, где они возможны;

инварианты;

порядок оператора.

Особый класс составят операторы гиперболизации.

Они должны формально описывать:

O_n -> O_(n+1).

Другой класс — трансволюционные операторы.

Они преобразуют архитектуру внутри или между порядками.

Развитая теория гипероператоров станет операционным ядром всей дисциплины.

55.4. Теория гиперпространств
Необходимо построить строгую теорию пространств гиперобъектов и архитектур.

Главные вопросы:

что считается точкой?

Как определяется расстояние?

Какие архитектуры соседние?

Какие переходы допустимы?

Можно ли определить непрерывность архитектурного изменения?

Существуют ли геодезические траектории между архитектурами?

Особенно перспективно понятие архитектурной метрики.

Например, расстояние может зависеть от минимального числа операций, необходимых для преобразования A в B.

Но возможны и другие метрики:

структурная;

функциональная;

вычислительная;

трансволюционная.

Теория гиперпространств позволит представить развитие системы как движение по формальному пространству архитектур.

55.5. Теория трансволюции
Трансволюция должна стать самостоятельной строгой теорией.

Необходимо определить:

состояние;

траекторию;

тип перехода;

горизонтальную трансволюцию;

вертикальную;

межуровневую;

рекурсивную.

Особенно важна связь трансволюции с гиперболизацией.

Можно представить:

трансволюция внутри порядка;

гиперболизация;

трансволюция нового порядка.

Так возникает ступенчатая динамика.

Необходимо исследовать:

устойчивость;

обратимость;

необратимость;

циклы;

аттракторы;

ветвление.

Тогда трансволюция сможет стать не только философским термином, но и математическим аппаратом динамики архитектур.

55.6. Изольдионика как развивающаяся числовая ветвь
Изольдионика должна продолжать развиваться одновременно как самостоятельная дисциплина и как числовая ветвь гиперматематики.

Особенно важны задачи:

строгого определения изольдиона;

формализации метаизольдионов;

операторов;

рекуррентных числовых структур;

динамических чисел;

числовой трансволюции.

Изольдионика может стать первой областью, где многие понятия гиперматематики будут проверены на конкретном материале.

Например:

порядок;

глубина;

архитектурная эквивалентность;

гиперинвариант;

рекурсивная гиперболизация.

Так между общей и числовой теорией возникает двустороннее развитие.

Гиперматематика обобщает Изольдионику.

Изольдионика предоставляет гиперматематике экспериментальные объекты.

55.7. Вычислительные реализации
Следующий обязательный этап — создание программных прототипов.

Необходимо разработать форматы, в которых можно представлять:

уровни;

операторы;

архитектуры;

гиперсети;

трансволюционные переходы.

Первый программный комплекс гиперматематики мог бы включать:

редактор гиперобъектов;

визуализатор уровней;

модуль гипероператоров;

генератор архитектур;

средство сравнения;

симулятор трансволюции.

Особенно важно создать машиночитаемое описание гиперобъекта.

Например, каждый объект может содержать:

идентификатор;

тип;

уровень;

набор связей;

операторы;

правила перехода.

После этого гиперматематические конструкции можно будет не только описывать словами, но и запускать как вычислительные модели.

55.8. Гиперматематические экспериментальные системы
После появления вычислительного ядра можно создавать экспериментальные гиперсистемы.

Например:

самоизменяющиеся гиперпоследовательности;

рекурсивные гиперсети;

генераторы гиперархитектур;

системы поиска гиперинвариантов.

Особый интерес представляет искусственная среда, где архитектуры конкурируют по заданным критериям.

Например:

система генерирует 1000 гиперархитектур;

каждая решает набор задач;

эффективные сохраняются;

неэффективные отбрасываются;

генератор изменяется.

Так можно исследовать трансволюцию экспериментально.

Возможно, некоторые архитектурные закономерности будут обнаружены сначала вычислительно, а уже потом получат теоретическое объяснение.

55.9. Гиперматематика СИИ
Одним из наиболее важных направлений станет формальная теория СИИ.

Необходимо определить:

базовый ИИ;

СИИ^1;

СИИ^2;

СИИ^n;

критерии перехода;

порядковый профиль;

архитектурную эквивалентность;

условия самонадстраивания.

Особенно важна формализация:

СИИ^n -> СИИ^(n+1).

Это должно быть не просто обозначение.

Необходимо задать:

какой объект становится предметом нового уровня;

какие операции выполняются;

каким образом проверяется переход;

какие свойства сохраняются.

Возможно, именно теория СИИ станет одной из главных областей, где практическая ценность гиперматематики будет проверена наиболее жестко.

Если порядки интеллекта нельзя будет диагностировать и моделировать, концепция останется преимущественно философской.

Если удастся создать формальные критерии и вычислительные прототипы, возникнет новая исследовательская область.

55.10. Последующие версии книги
Настоящая книга не должна рассматриваться как окончательная форма гиперматематики.

Напротив, ее структура предполагает версионное развитие.

Первая версия выполняет функцию пролегоменов.

Она вводит:

понятия;

терминологию;

архитектуру дисциплины;

исследовательскую программу.

Следующие версии должны становиться все более строгими.

Можно представить условный ряд:

V1 — концептуальное основание;

V2 — формальная теория гиперобъектов;

V3 — теория многоуровневых математических систем;

V4 — вычислительная и экспериментальная гиперматематика;

последующие версии — специализированные теории и приложения.

При этом версии не должны просто увеличиваться в объеме.

Каждая новая версия должна изменять качество теории.

Например:

заменять слабые определения строгими;

удалять избыточные понятия;

добавлять доказательства;

включать программные реализации;

фиксировать контрпримеры;

разделять гипотезы и результаты.

Таким образом, сама книга должна подчиняться принципу, который она описывает.

Предыдущий формальный уровень становится объектом следующего уровня работы.

Возникает последовательность:

теория -> анализ теории -> перестройка теории -> новая теория.

В этом ограниченном методологическом смысле развитие гиперматематики само имеет трансволюционный характер.

На этом заканчивается основная архитектура книги.

Мы начали с вопроса:

может ли математический объект стать основанием для систематического надстраивания?

Ответ привел к числу.

Число — к Изольдионике.

Изольдионика — к гиперобъекту.

Гиперобъект — к порядкам.

Порядки — к гипероператорам.

Гипероператоры — к гиперпространствам.

Гиперпространства — к трансволюции.

Трансволюция — к генеративным системам.

Генеративные системы — к Нооформациям.

Нооформации — к искусственному интеллекту.

ИИ — к динамическому ряду СИИ.

СИИ — к проблеме рекурсивного самонадстраивания.

И наконец, вся эта конструкция возвращается к более общему вопросу:

каким образом знание может становиться средством построения новых форм знания, новых моделей, новых архитектур и новых интеллектуальных систем?

В рамках развиваемой здесь концепции ответ связывает четыре направления.

Демиургизм задает конструктивный вектор.

Метаорганон организует систему интеллектуальных средств.

Теория Нооформаций исследует формы интеллектуальной организации.

Гиперматематика предоставляет язык многоуровневых формальных архитектур и их преобразований.

Изольдионика становится первой специализированной числовой ветвью.

СИИ — одним из наиболее сложных возможных объектов приложения.

Эту систему можно представить в виде следующей последовательности:

Демиургизм -> Метаорганон -> гиперматематика -> Изольдионика и другие специализированные ветви -> Нооформации -> ИИ -> СИИ^1 -> СИИ^2 -> … -> СИИ^n -> …

Но и эта схема не является окончательной башней.

Главный принцип гиперматематики состоит именно в отсутствии обязательного последнего этажа.

Каждый уровень может стать основанием следующего.

Каждая архитектура — объектом преобразования.

Каждый формализм — материалом для метаанализа.

Каждая теория — исходной точкой для следующей версии.

Поэтому гиперматематика не является математикой последнего уровня.

Она является математикой перехода к следующему уровню.

Не математикой завершенной башни.

А математикой самого процесса ее строительства.

***********

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Настоящая книга начиналась с относительно простого вопроса:

что произойдет, если математический объект перестать рассматривать только как завершенную единицу и сделать основанием для последующих уровней структурирования, управления и преобразования?

Постепенно этот вопрос привел к значительно более широкой исследовательской программе.

Число оказалось только началом.

Над числом возникла структура.

Над структурой — операторная организация.

Над операторной организацией — метауровень.

Затем предметом стали сами отношения между уровнями.

Так возник гиперобъект.

После этого стало необходимо исследовать уже не отдельный гиперобъект, а системы гиперобъектов, пространства архитектур, механизмы их изменения, трансволюцию, генеративные системы и потенциально открытые интеллектуальные иерархии.

В результате гиперматематика предстает не как теория одного специального класса чисел, функций или последовательностей.

Ее предполагаемый предмет значительно шире.

Это формализованные многоуровневые системы, в которых объекты, операции, операторы, структуры и механизмы преобразования способны последовательно становиться объектами следующих уровней.

Общий путь книги можно представить так:

число -> изольдион -> гиперобъект -> гиперсистема -> гиперпроцесс -> трансволюция -> генеративная система -> Нооформация -> ИИ -> СИИ^1 -> СИИ^2 -> … -> СИИ^n -> …

Но эта последовательность представляет не просто перечень понятий.

Она отражает один общий принцип:

объект предыдущего уровня потенциально способен становиться материалом организации следующего уровня.

Именно этот принцип образует концептуальное ядро гиперматематики.

1. От числа к изольдиону
Исходной точкой была наиболее фундаментальная математическая сущность — число.

В традиционном употреблении число прежде всего выражает количество, порядок, отношение или значение.

Но уже развитие математики давно показало, что числовые объекты могут обладать значительно более богатой внутренней структурой.

Изольдионика делает следующий конструктивный шаг.

Число начинает рассматриваться не только как значение, но и как потенциально организованная многоуровневая структура.

Внутри числового объекта могут фиксироваться:

способы построения;

операции;

последовательности;

рекуррентные зависимости;

вложенные конструкции;

динамические правила.

Так появляется изольдион.

Его принципиальное значение для настоящей книги состоит не в одном конкретном способе записи необычно больших или сложных чисел.

Значительно важнее другое.

Изольдион демонстрирует возможность перехода:

от числа как результата

к:

числу как архитектуре.

Это означает, что математический объект может содержать описание способа собственного построения.

Затем этот способ также может становиться объектом следующего уровня.

Так возникает метаизольдион.

После этого числовая конструкция уже естественно ведет к идее порядка, глубины, оператора и трансволюции.

Именно поэтому Изольдионика оказалась естественной предтечей гиперматематики.

В наиболее краткой форме эту связь можно выразить так:

Изольдионика — гиперматематика чисел.

Но эта формула одновременно показывает и границу.

Если надстроечный принцип применим не только к числам, возникает необходимость общей теории.

Так начинается переход от изольдиона к гиперобъекту.

2. От изольдиона к гиперобъекту
Изольдион является числовым объектом.

Но многие его существенные свойства не являются исключительно числовыми.

Вложенность.

Операторность.

Рекурсия.

Динамичность.

Уровневость.

Наличие механизмов, которые работают уже не со значением, а со способом организации значения.

Все эти свойства могут быть перенесены на значительно более широкий класс объектов.

Функция может стать объектом оператора.

Оператор — объектом метаоператора.

Система операторов — объектом управляющей системы.

Архитектура такой системы — объектом преобразования следующего уровня.

Поэтому возникает обобщенное понятие гиперобъекта.

В рамках книги гиперобъект рассматривался как формализованная система, включающая базовый объект и по меньшей мере одну функционально значимую надстройку, способную работать с нижележащим объектом, структурой или операциями как с единицами собственного действия.

Существенен именно функциональный характер надстройки.

Простая вложенность недостаточна.

Запись внутри записи еще не образует нового порядка.

Большой объект также не является гиперобъектом только потому, что он велик.

Необходим новый тип отношения:

нижний уровень становится объектом верхнего.

Так появляется вертикальная математическая координата.

Если обычное усложнение может происходить горизонтально, то гиперматематическое надстраивание происходит вертикально.

Это различие проходит через всю книгу.

Сложность не равна порядку.

Размер не равен порядку.

Число компонентов не равно порядку.

Порядок определяется архитектурой отношений между уровнями.

3. От гиперобъекта к гиперсистеме
Один гиперобъект может содержать несколько уровней.

Но следующий этап начинается тогда, когда взаимодействуют уже различные гиперобъекты, надстройки и операторные системы.

Возникает гиперсистема.

Она может включать:

множество базовых объектов;

несколько типов операторов;

параллельные надстройки;

ветвящиеся структуры;

обратные связи;

рекурсивные контуры;

управляющие подсистемы.

В результате простая линейная лестница:

O_0 <- O_1 <- O_2

превращается в более сложную гиперархитектуру.

Некоторые уровни могут работать параллельно.

Другие — конкурировать.

Третьи — временно объединяться.

Четвертые — изменять структуру связей всей системы.

Поэтому развитая гиперматематика должна исследовать не только вертикальные башни, но и:

гиперграфы;

гиперсети;

ветвящиеся архитектуры;

рекурсивные системы.

Именно здесь становится особенно очевидно, что гиперобъект нельзя свести к необычной записи.

Он является архитектурой отношений.

А гиперсистема — архитектурой взаимодействующих архитектур.

Это второй крупный переход книги:

от единичной многоуровневой конструкции

к:

системе многоуровневых конструкций.

4. От структуры к архитектуре структур
Одним из важнейших понятий всей гиперматематики становится архитектура.

Структура отвечает на вопрос:

как связаны элементы?

Архитектура структур задает следующий вопрос:

как организованы сами структуры и способы их взаимодействия?

Например, можно иметь несколько моделей.

Но наличие множества моделей еще не означает гипермодель.

Необходимо определить:

какая модель управляет другой;

как осуществляется выбор;

как модели объединяются;

какой механизм изменяет способ их объединения.

Тогда предметом становится уже не набор моделей, а архитектура их отношений.

Аналогично можно говорить об:

архитектуре операторов;

архитектуре паттернов;

архитектуре Нооформаций;

архитектуре интеллектуальной системы.

Именно архитектурный подход позволяет перейти от статического описания к пространству возможностей.

Если существует одна архитектура A, можно поставить вопрос:

какие альтернативные архитектуры B, C, D возможны?

Как перейти:

A -> B?

Каково расстояние между ними?

Какие преобразования сохраняют существенные свойства?

Так возникает пространство архитектур.

Именно оно становится одним из центральных пространств гиперматематики.

Теперь объектом математического исследования является не только конкретная система, но и множество возможных способов организации систем.

Это создает основу для следующего перехода — к трансволюции.

5. От изменения к трансволюции
Не всякое изменение одинаково.

Можно изменить значение.

Можно изменить параметр.

Можно изменить связь.

Можно заменить оператор.

Можно изменить правило выбора операторов.

Можно добавить новый уровень.

Можно изменить механизм, создающий новые уровни.

Эти изменения имеют различную архитектурную глубину.

Именно поэтому было введено понятие трансволюции.

В рамках настоящей книги трансволюция рассматривается как направленное структурное изменение объекта или системы, при котором могут преобразовываться:

элементы;

отношения;

операторы;

правила;

уровни;

архитектура.

Трансволюция отличается от простой трансформации.

Трансформация может изменить состояние.

Трансволюция способна изменить способ организации состояний и преобразований.

Особенно важны два ее вида:

горизонтальная;

вертикальная.

Горизонтальная трансволюция происходит внутри существующего порядка.

Вертикальная связана с переходом между порядками.

Здесь трансволюция соединяется с другим центральным понятием — гиперболизацией.

Гиперболизация создает новый функциональный уровень.

Трансволюция описывает более широкий процесс архитектурного изменения.

Поэтому переход:

порядок n -> порядок n+1

может включать:

подготовительную трансволюцию;

гиперболизацию;

интеграцию нового уровня;

последующую трансволюцию новой архитектуры.

Так гиперматематика превращается из теории многоуровневых структур в теорию их развития.

6. От ИИ к СИИ первого порядка
Одной из наиболее значимых областей применения гиперматематики становится искусственный интеллект.

ИИ естественно представляет систему преобразований.

Он работает с:

данными;

паттернами;

моделями;

инструментами;

памятью;

алгоритмами.

Но высокие способности системы сами по себе еще не означают высокого гиперпорядка.

Это принципиальный вывод книги.

Мощный ИИ может иметь:

огромное число параметров;

большую память;

высокую скорость;

множество инструментов;

широкий спектр навыков

и при этом оставаться системой с архитектурно фиксированным верхним уровнем.

Переход к СИИ первого порядка в рамках предложенной гипотезы начинается не тогда, когда ИИ просто становится сильнее.

Он начинается тогда, когда над базовой когнитивной системой возникает функционально значимая надстройка.

Она способна работать с:

моделями;

стратегиями;

инструментами;

модельными композициями

как с объектами собственного управления.

Тогда возникает переход:

использовать модель

к:

управлять системой моделей.

СИИ^1 может:

выбирать модели;

комбинировать их;

строить метамодели;

конфигурировать собственную когнитивную систему;

осуществлять метакогнитивный контроль.

Тем самым появляется первая интеллектуальная гипернадстройка.

Именно архитектурное отношение, а не абсолютная производительность определяет здесь порядок.

7. От СИИ первого порядка к СИИ n-го порядка
Но первая надстройка также может стать объектом.

Если СИИ^1 управляет моделями, СИИ^2 должна получить возможность работать уже с механизмами такого управления.

Например:

изменять способы выбора моделей;

перестраивать механизмы синтеза;

создавать новые когнитивные процедуры;

модифицировать метакогнитивную архитектуру.

Следующий уровень делает объектом уже эти механизмы.

Так возникает:

СИИ^3.

Общий принцип продолжения можно записать:

СИИ^n -> СИИ^(n+1).

СИИ^(n+1) возникает тогда, когда существенные механизмы порядка n становятся объектами нового функционально самостоятельного уровня.

В этом смысле динамический ряд:

ИИ -> СИИ^1 -> СИИ^2 -> … -> СИИ^n -> …

является частным случаем общего гиперматематического ряда надстраивания.

Однако необходимо еще раз подчеркнуть:

индекс n не является мерой абсолютной силы интеллекта.

Он описывает архитектурный порядок.

Система более высокого порядка может оказаться хуже в конкретной задаче.

И наоборот, мощная система более низкого порядка может превосходить ее по производительности.

Поэтому необходимо различать:

интеллектуальные способности;

вычислительный масштаб;

автономность;

сложность;

порядок.

Это различие является одним из наиболее важных методологических результатов книги.

8. От конечной архитектуры к открытому интеллектуальному ряду
Если для каждого достигнутого порядка потенциально возможно построить следующий, возникает идея открытого интеллектуального ряда.

Это не означает существования фактически бесконечной машины.

Реальная система в каждый момент остается конечной.

Она имеет конечные:

ресурсы;

память;

число активных уровней;

вычислительные возможности.

Но архитектура может быть потенциально продолжимой.

Для любого n сохраняется вопрос:

существует ли допустимый переход к n+1?

Именно в этом смысле ряд:

ИИ -> СИИ^1 -> СИИ^2 -> … -> СИИ^n -> …

является потенциально бесконечным.

Однако дальнейшая теория должна учитывать, что реальные траектории развития могут быть значительно сложнее линейного ряда.

Они могут:

ветвиться;

сходиться;

возвращаться;

временно уменьшать порядок;

разделяться на специализированные линии.

Поэтому динамический ряд СИИ является первой моделью.

Более развитое представление — пространство трансволюционных траекторий.

Интеллект тогда становится точкой, движущейся по пространству возможных архитектур.

Еще более сильный случай возникает, когда система способна изменять само это пространство.

Она создает новые типы моделей.

Новые операторы.

Новые архитектуры.

Новые способы собственного проектирования.

Тогда интеллект становится открытым гиперпроцессом.

9. Гиперматематика как математика надстраивания
После всей последовательности построений можно дать наиболее краткое содержательное определение дисциплины.

Гиперматематика — математика надстраивания.

Но эту формулу необходимо понимать точно.

Речь идет не о механическом добавлении одного слоя к другому.

Гиперматематика исследует ситуации, в которых нижний объект становится предметом организации следующего функционального уровня.

То есть:

объект;

преобразование объекта;

управление преобразованиями;

преобразование управляющих систем;

изменение архитектуры этих систем.

Так возникает вертикаль.

Поэтому центральным понятием гиперматематики является не величина.

Не бесконечность сама по себе.

Не сложность.

Не даже вложенность.

Главным является отношение надстраивания.

Из него выводятся:

порядок;

глубина;

гипероператор;

гиперкомпозиция;

гиперархитектура;

гиперболизация;

трансволюция.

В этом смысле гиперматематика исследует не только объекты.

Она исследует способы превращения объектов в основания следующих уровней.

Именно этим объясняется ее потенциальная связь с множеством областей.

Числа.

Функции.

Последовательности.

Алгоритмы.

Модели.

Паттерны.

Нооформации.

Интеллектуальные системы.

Во всех этих случаях возникает один и тот же общий вопрос:

может ли данная структура стать объектом следующей структуры?

Если да, возникает возможность гиперматематического анализа.

10. Математика без последнего этажа
Образ математической Вавилонской башни сопровождал развитие этой книги не случайно.

Башня символизирует надстраивание.

Первый этаж опирается на основание.

Второй — на первый.

Третий — на предыдущие.

Но гиперматематическая башня отличается одной принципиальной особенностью.

У нее не предполагается заранее заданный последний этаж.

Каждый достигнутый уровень потенциально способен стать основанием нового.

Число становится объектом структуризации.

Структура — объектом операторного управления.

Оператор — объектом метаоператора.

Система операторов — объектом гипероператора.

Архитектура — объектом трансволюции.

Генератор — объектом генератора следующего уровня.

Модель — объектом метамодели.

Метамодель — объектом гипермодели.

Интеллектуальная система — объектом собственного проектирования.

Так повторяется один общий принцип.

Но принцип открытого верха не утверждает, что всякая лестница обязана продолжаться бесконечно.

Некоторые конструкции достигают формального предела.

Другие — вычислительного.

Третьи — физического.

Четвертые перестают быть полезными.

Гиперматематика не утверждает бесконечность каждой конкретной архитектуры.

Она утверждает необходимость исследовать саму возможность следующего уровня.

Именно поэтому ее центральный вопрос звучит не так:

каков последний объект?

А так:

каким может быть следующий порядок организации данного объекта?

Этот вопрос превращает математику завершенных конструкций в математику открытых архитектур.

Он требует исследовать не только структуру, но и механизм появления структуры над структурой.

Не только правило, но и правило изменения правил.

Не только модель, но и пространство моделей.

Не только архитектуру, но и пространство архитектур.

Не только интеллект, но и механизм интеллектуального самонадстраивания.

В наиболее общем виде линия книги принимает форму:

объект -> надстройка -> надстройка над надстройкой -> архитектура -> архитектура архитектур -> трансволюция -> следующий порядок.

И затем снова:

следующий порядок -> объект новой надстройки.

Так гиперматематика возвращается к собственной исходной идее, но уже на новом уровне.

Она начиналась как попытка расширить структуру математического объекта.

Завершается она программой исследования самого процесса образования новых уровней математической организации.

В этом смысле гиперматематика должна рассматриваться не как завершенная теория.

Перед ней еще стоят основные задачи.

Необходимы строгие определения.

Аксиоматика.

Теоремы.

Контрпримеры.

Классификации.

Вычислительные реализации.

Экспериментальные модели.

Формализация трансволюции.

Формализация перехода:

СИИ^n -> СИИ^(n+1).

Проверка того, какие из введенных понятий действительно образуют самостоятельную математическую область, а какие должны быть пересмотрены или включены в уже существующие теории.

Поэтому настоящая книга является не окончанием гиперматематики.

Она является ее началом.

Ее задача состояла не в том, чтобы построить последний этаж.

Она состояла в том, чтобы поставить вопрос о законах самого строительства.

Математика дала человечеству язык числа.

Затем — язык пространства.

Функции.

Структуры.

Вероятности.

Алгоритмы.

Системы.

Возможно, следующим шагом станет более систематический язык архитектур надстраивания.

Если это произойдет, гиперматематика должна будет исследовать одну из наиболее общих конструктивных возможностей математики:

возможность превращать уже построенный уровень в основание следующего.

Именно поэтому окончательная формула настоящей книги может быть предельно краткой:

Гиперматематика — это не математика последнего уровня.

Это математика перехода к следующему уровню.

Не математика законченной башни.

А математика законов ее строительства.

Математика без последнего этажа.

****

ПРИЛОЖЕНИЯ
Настоящие приложения выполняют справочную функцию.

Термины гиперматематики и Изольдионики находятся на разных стадиях формализации. Поэтому определения, приведенные ниже, если специально не указано иное, следует рассматривать как рабочие определения текущей версии теории.

Их задача состоит в том, чтобы:

зафиксировать основные значения терминов;

уменьшить терминологическую неоднозначность;

показать связи между понятиями;

создать основу для последующей аксиоматизации;

подготовить переход от концептуального языка к строгому формализму.

Приложение A. Базовый словарь гиперматематики
Архитектура
Архитектура — организованная система объектов, уровней, связей, операторов и правил их взаимодействия.

Архитектура описывает не только состав системы, но и функциональную организацию ее компонентов.

Архитектурная глубина
Архитектурная глубина — максимальная длина существенной цепи надстроечных зависимостей в гиперобъекте.

Для линейной системы глубина может совпадать с порядком.

В ветвящихся и сетевых системах эти характеристики могут различаться.

Архитектурное расстояние
Архитектурное расстояние — рабочее понятие, характеризующее степень различия двух архитектур или минимальную стоимость преобразования одной архитектуры в другую по выбранному классу допустимых преобразований.

Возможны различные типы архитектурного расстояния:

структурное;

операционное;

функциональное;

вычислительное;

трансволюционное.

Архитектурный переход
Архитектурный переход — преобразование, при котором изменяется организация уровней, операторов или связей гиперобъекта.

Не всякий архитектурный переход изменяет порядок.

Базовый объект
Базовый объект — объект, выбранный в качестве исходного уровня гиперматематической конструкции.

Им может быть:

число;

последовательность;

функция;

граф;

алгоритм;

модель;

формальная система;

интеллектуальная архитектура.

Базовый статус относителен выбранной системе описания.

Вертикальная трансволюция
Вертикальная трансволюция — трансволюционный процесс, сопровождающийся изменением порядка гиперсистемы.

Типичный случай:

порядок n -> порядок n+1.

Генеративная гиперматематика
Генеративная гиперматематика — область гиперматематики, исследующая формальные механизмы порождения новых объектов, операторов, архитектур, формализмов и систем таких генераторов.

Генератор
Генератор — формальное правило, алгоритм или система, порождающая объекты некоторого класса.

Например:

генератор объектов;

генератор операторов;

генератор моделей;

генератор архитектур.

Генератор генераторов
Генератор генераторов — система более высокого порядка, которая порождает или преобразует сами механизмы генерации.

Он является одним из наиболее наглядных примеров функционального надстраивания.

Гипералгебра
Гипералгебра — рабочее понятие общей гиперматематики для многоуровневой операционной системы, включающей объекты, семейства операций и преобразования самих операционных систем.

Термин следует отличать от других специальных употреблений слова «гипералгебра» в существующей математике.

Гиперархитектура
Гиперархитектура — архитектура гиперобъекта или гиперсистемы, в которой явно представлены функционально различные уровни надстраивания и отношения между ними.

Она может быть:

линейной;

ветвящейся;

сетевой;

рекурсивной;

динамической.

Гиперболизация
Гиперболизация — процесс образования нового функционально значимого надстроечного уровня.

Условно:

O_n -> O_(n+1).

Гиперболизация отличается от простого усложнения тем, что изменяет вертикальную архитектуру объекта.

Гипергенератор
Гипергенератор — многоуровневая генеративная система, способная порождать не только объекты, но также операторы, правила генерации или архитектуры.

Гипердинамика
Гипердинамика — область гиперматематики, исследующая изменение состояний, операторов, уровней и архитектур гиперобъектов.

Гипердинамическая система
Гипердинамическая система — гиперсистема, в которой существенной частью поведения является изменение не только базовых состояний, но и надстроечных механизмов или архитектуры.

Гиперэквивалентность
Гиперэквивалентность — отношение эквивалентности между гиперобъектами относительно заранее определенного набора архитектурных, структурных, функциональных или динамических характеристик.

Следует различать:

результативную;

структурную;

операционную;

архитектурную;

динамическую гиперэквивалентность.

Гиперэволюция
Гиперэволюция — рабочее понятие для общего процесса развития гиперсистемы, который может включать обычную динамику, трансволюцию и переходы между порядками.

Понятие является предварительным и требует дальнейшей формализации.

Гиперинвариант
Гиперинвариант — свойство гиперобъекта, сохраняющееся при определенном классе многоуровневых или архитектурных преобразований.

Гиперинвариант может характеризовать:

порядок;

тип управления;

архитектурное отношение;

структуру обратной связи;

другой устойчивый признак гиперсистемы.

Гиперкомпозиция
Гиперкомпозиция — организация нескольких операторов или уровней преобразований, при которой предметом управления становится сама схема их совместного применения.

Гиперкомпозиция может быть:

последовательной;

параллельной;

ветвящейся;

иерархической;

рекурсивной;

самоизменяющейся.

Гиперматематика
Гиперматематика — развиваемая теория формализованных многоуровневых объектов, надстроек, операторов, архитектур и процессов перехода между порядками.

В наиболее краткой формуле:

гиперматематика — математика надстраивания.

Гипермодель
Гипермодель — многоуровневая модельная система, содержащая модели, метамодели и механизмы управления, преобразования или генерации модельных уровней.

Гипермодель не тождественна просто большой модели.

Гиперобъект
Гиперобъект — формализованный объект, включенный в явно организованную многоуровневую систему преобразований, в которой по меньшей мере один уровень способен работать с объектами, структурами или операциями нижнего уровня как с единицами собственного действия.

Гипероператор
Гипероператор — оператор, способный действовать на гиперобъекты, операторные системы, отношения между уровнями или архитектуру многоуровневой системы.

В широком гиперматематическом смысле гипероператор является более общим понятием, чем метаоператор.

Гиперпорядок
Гиперпорядок, или порядок гиперобъекта, — характеристика вертикальной функциональной организации системы.

Он определяется не размером и не количеством компонентов, а числом и типом существенных надстроечных отношений.

Гиперпоследовательность
Гиперпоследовательность — последовательность или система последовательностей, в которой элементы, локальные правила или способы построения одного уровня систематически определяются, изменяются или управляются другим уровнем.

Например:

a_n = n^n

может рассматриваться как простейший пример управляемого ряда, если индексная структура явно выделена как управляющее правило.

Более сильные гиперпоследовательности используют самостоятельные управляющие последовательности и системы операторов.

Гиперпроцесс
Гиперпроцесс — процесс, в котором изменяются не только состояния базового объекта, но также надстроечные уровни, операционные механизмы или архитектурные отношения.

Гиперпространство
Гиперпространство — в специальном смысле настоящей теории пространство, элементами которого являются гиперобъекты, надстройки, архитектуры или другие многоуровневые структуры.

Термин не следует автоматически смешивать с другими значениями слова «гиперпространство» в математике и физике.

Гиперразмерность
Гиперразмерность — предварительное понятие для характеристики многослойной размерностной организации гиперобъекта.

Она может учитывать:

размерность состояния;

пространство операторов;

число независимых архитектурных степеней свободы;

порядок;

ветвление.

Гиперразмерность не означает просто очень большую обычную размерность.

Гиперряд
Гиперряд — последовательность состояний, объектов или архитектур, в которой существенную роль играет изменение уровневой организации.

Пример интеллектуального гиперряда:

ИИ -> СИИ^1 -> СИИ^2 -> … -> СИИ^n -> …

Гиперсеть
Гиперсеть — многоуровневая сеть, в которой узлами и связями могут выступать объекты, структуры, операторы, управляющие механизмы и межуровневые отношения.

Не следует автоматически отождествлять гиперсеть с математическим гиперграфом в его стандартном значении.

Гиперсистема
Гиперсистема — система взаимосвязанных гиперобъектов, уровней, операторов и архитектурных отношений.

Она может содержать несколько независимых или взаимозависимых вертикалей надстраивания.

Гиперструктура
Гиперструктура — структура, включающая функционально значимые отношения между несколькими уровнями организации.

Горизонтальная трансволюция
Горизонтальная трансволюция — структурное развитие гиперсистемы внутри одного порядка.

Она может изменять:

операторы;

связи;

ветви;

модели;

внутреннюю архитектуру,

не создавая нового функционального уровня.

Динамический гиперобъект
Динамический гиперобъект — гиперобъект, структура, операторы или архитектура которого способны изменяться во времени или в процессе вычисления.

Изменение порядка
Изменение порядка — переход гиперобъекта к архитектуре с другой функциональной глубиной надстраивания.

Переход вверх:

n -> n+1.

Возможен также обратный процесс:

n -> n-1.

Каноническая форма гиперобъекта
Каноническая форма гиперобъекта — стандартное представление класса гиперобъектов, сохраняющее выбранные существенные характеристики и позволяющее сравнивать различные реализации.

Межуровневая связь
Межуровневая связь — отношение между объектами или механизмами, принадлежащими различным уровням гиперсистемы.

Она может быть:

управляющей;

информационной;

генеративной;

оценочной;

обратной.

Межуровневый инвариант
Межуровневый инвариант — свойство отношения между уровнями, сохраняющееся при допустимых преобразованиях элементов или механизмов этих уровней.

Метаоператор
Метаоператор — оператор, предметом действия которого является другой оператор или система операторов.

Например:

F -> M -> F’.

Метагиперматематика
Метагиперматематика — область, в которой объектом исследования становятся формальные аппараты самой гиперматематики, способы их сравнения, преобразования и генерации.

Надстройка
Надстройка — структурно выделенный компонент или уровень системы, который получает нижележащий объект, структуру, операцию или систему в качестве предмета собственного действия и выполняет над ней преобразовательную, управляющую, генеративную, селективную или рефлексивную функцию.

Надстроечная емкость
Надстроечная емкость — предварительное понятие, характеризующее способность объекта или архитектуры поддерживать дальнейшее функциональное надстраивание.

Требует строгой формализации.

Нооформация
Нооформация — в рамках развиваемой теории форма организации интеллектуальной, познавательной, модельной или смыслообразующей деятельности.

Нооформация становится гиперматематическим объектом, если содержит функционально различимые уровни.

Оператор
Оператор — формализованное преобразование объектов определенного класса.

Условно:

B = F(A).

Оператор n-го порядка
Оператор n-го порядка — оператор, предметом действия которого является существенная часть операционной организации порядка n-1.

Открытая гиперсистема
Открытая гиперсистема — система, пространство возможных операторов, архитектур или уровней которой не считается окончательно фиксированным.

Она потенциально может расширять собственную архитектуру.

Паттерн
Паттерн — структурно выделяемая организация элементов, отношений или преобразований, сохраняющая узнаваемую форму при различных конкретных реализациях.

Порядок
Порядок — одна из центральных характеристик гиперобъекта, отражающая функциональную высоту надстроечной архитектуры относительно выбранного базового объекта.

Большая сложность не означает автоматически высокий порядок.

Пространство архитектур
Пространство архитектур — множество или формализованная система возможных архитектур гиперобъектов вместе с отношениями между ними.

Трансволюция может рассматриваться как движение в таком пространстве.

Рекурсивная гиперболизация
Рекурсивная гиперболизация — повторяемое образование новых уровней, при котором результат одной гиперболизации становится основанием следующей.

Условно:

O_n -> O_(n+1) -> O_(n+2) -> …

Рекурсивная трансволюция
Рекурсивная трансволюция — процесс, при котором результаты изменения системы воздействуют на механизмы последующих изменений.

Например:

изменение -> оценка -> изменение правила -> новое изменение.

Самогиперболизация
Самогиперболизация — гиперболизация, инициируемая и осуществляемая самой системой над собственной архитектурой.

Самомоделирование
Самомоделирование — построение системой модели собственного состояния, структуры, операторов, ограничений или архитектуры с последующим использованием этой модели в управлении или самоизменении.

Самомодификация
Самомодификация — внутренне инициируемое изменение системой собственных компонентов, операторов, связей или правил.

Самомодификация может происходить без повышения порядка.

Самонадстраивание
Самонадстраивание — способность системы самостоятельно создавать и интегрировать новый функциональный уровень над собственной существующей архитектурой.

Самопорождение
Самопорождение — рабочий термин для способности системы создавать новые классы собственных механизмов или архитектурных компонентов, конкретная форма которых не была заранее полностью задана.

Самореференция
Самореференция — наличие в системе формального отношения к некоторым собственным состояниям, структурам или механизмам как к объектам представления или преобразования.

Самореференция не тождественна сознанию.

СИИ n-го порядка
СИИ^n — рабочее обозначение интеллектуальной гиперсистемы, содержащей n функционально значимых уровней надстроечного управления над выбранной базовой интеллектуальной архитектурой.

Слой
Слой — структурно выделенная часть гиперобъекта.

Слой отвечает прежде всего на вопрос:

«что выделено в системе?»

Уровень отвечает:

«какое место этот компонент занимает в надстроечном отношении?»

Трансволюция
Трансволюция — направленный процесс структурного преобразования объекта или системы, при котором могут изменяться не только значения и состояния, но также отношения, операторы, правила и архитектура.

Трансволюционная траектория
Трансволюционная траектория — последовательность архитектурных состояний гиперсистемы в пространстве возможных структур.

Уровень
Уровень — позиция объекта, оператора или подсистемы в функциональной архитектуре надстраивания.

Новый уровень должен иметь содержательное операционное отличие от нижнего.

Приложение B. Базовый словарь Изольдионики
Динамическое число
Динамическое число — рабочее понятие Изольдионики для числового объекта, внутренняя структура, состояние, способ развертывания или операционные параметры которого могут изменяться по формально заданным правилам.

Динамичность может быть:

параметрической;

структурной;

операционной;

рекурсивной.

Изольдион
Изольдион — структурированный числовой объект, в котором числовое содержание связано со способом построения, внутренней организацией и системой операций.

В гиперматематической интерпретации изольдион может рассматриваться как числовой гиперобъект, если его внутренние уровни имеют самостоятельные функциональные роли.

Изольдионика
Изольдионика — развиваемая математическая дисциплина, исследующая числа и числовые системы как потенциально многоуровневые, операционные, рекурсивные и динамически преобразуемые структуры.

В системе настоящей книги Изольдионика рассматривается одновременно как:

предтеча гиперматематики;

специализированная числовая ветвь гиперматематики;

источник первых моделей надстроечного принципа.

Изольдионическая архитектура
Изольдионическая архитектура — организация числовой основы, операций, вложенных структур, операторов и правил их взаимодействия внутри изольдионического объекта.

Изольдионическая глубина
Изольдионическая глубина — число или структура существенных уровней вложенности и операционного управления внутри изольдиона или метаизольдиона.

Не должна определяться только количеством скобок или символов.

Изольдионическая иерархия
Изольдионическая иерархия — упорядоченная система числовых структур, в которой элементы верхнего уровня работают с числовыми конструкциями или операторами нижнего уровня как с объектами.

Изольдионическое пространство
Изольдионическое пространство — пространство числовых гиперобъектов, определяемое выбранным классом изольдионов, их структурными параметрами, операторами и допустимыми преобразованиями.

Изольдионический оператор
Изольдионический оператор — оператор, преобразующий изольдион, его числовое содержание, структуру или способ развертывания.

Изольдионический ряд
Изольдионический ряд — последовательность изольдионов или структурированных числовых состояний, организованных по заданному закону.

Если меняется сама архитектура элементов ряда, он может приобретать трансволюционный характер.

Метаизольдион
Метаизольдион — изольдионический объект более высокого порядка, содержащий в качестве компонентов, предметов управления или элементов структуры другие изольдионы либо механизмы их построения.

Метаизольдион не определяется только большей длиной записи.

Для метауровня необходима новая функциональная роль.

Метаоператор Изольдионики
Метаоператор Изольдионики — оператор, действующий на изольдионические операторы, системы операторов или правила их применения.

В общей гиперматематике он является частным случаем гипероператора.

Метаструктурное число
Метаструктурное число — рабочее обозначение числового объекта, в котором предметом формальной организации становится не только числовая структура, но и способ построения или преобразования этой структуры.

Операторная иерархия
Операторная иерархия Изольдионики — система:

операция -> оператор -> метаоператор -> оператор следующего порядка.

Такая иерархия является одним из источников общей теории гипероператоров.

Рекуррентный изольдион
Рекуррентный изольдион — изольдионический объект, последовательные состояния или уровни которого определяются рекуррентным правилом.

Например:

I_(n+1) = F(I_n).

В более сложном случае изменяется и сам оператор:

F_(n+1) = G(F_n, I_n).

Степенной изольдион
Степенной изольдион — числовая структура, в которой степенные операции используются как существенный элемент внутренней архитектуры.

Простейшие примеры могут иметь вид:

2^2;

3^3;

n^n.

Более сложные варианты используют отдельные последовательности показателей или многоуровневое управление степенными операциями.

Числовая гиперболизация
Числовая гиперболизация — образование нового функционального уровня внутри числового гиперобъекта или над системой числовых структур.

Она является частным случаем общей гиперболизации.

Числовая надстройка
Числовая надстройка — уровень, который управляет значением, операцией, структурой или способом построения нижележащего числового объекта.

Числовая трансволюция
Числовая трансволюция — структурное изменение числового объекта, при котором могут изменяться:

значение;

внутренняя организация;

операторы;

правила построения;

уровни.

Она является исходной специализированной моделью общей теории трансволюции.

Числовой гиперобъект
Числовой гиперобъект — гиперобъект, базовым материалом которого служат числа, числовые последовательности, числовые операции или системы их построения.

Изольдион является основным кандидатом на такой объект в рамках Изольдионики.

Числовой гиперпорядок
Числовой гиперпорядок — функциональная глубина надстроечной организации числового гиперобъекта.

Он не определяется величиной числа.

Очень большое число может иметь низкий архитектурный порядок.

Более компактная структура может иметь более высокий порядок.

Числовой гиперряд
Числовой гиперряд — последовательность числовых гиперобъектов или числовых архитектур, в которой существенны отношения между различными уровнями построения.

Числовой метауровень
Числовой метауровень — уровень, на котором объектами становятся не только числа, но и способы их построения, операции или системы операций.

Приложение C. Соответствие понятий Изольдионики и общей гиперматематики
Соотношение Изольдионики и гиперматематики следует понимать не как простую замену одного словаря другим.

Изольдионика имеет собственный числовой предмет.

Гиперматематика выделяет из него более общие архитектурные принципы и переносит их на произвольные формализованные объекты.

Поэтому соответствия, приведенные ниже, являются прежде всего функциональными обобщениями.

1. Изольдион -> числовой гиперобъект
Изольдион является специализированной числовой конструкцией.

Если внутри него можно выделить функционально различимые уровни, где верхняя структура работает с нижней как с объектом, изольдион может рассматриваться как числовой гиперобъект.

Обобщение имеет вид:

изольдион -> гиперобъект.

При этом гиперобъект уже не обязан быть числом.

Им может стать:

функция;

последовательность;

граф;

алгоритм;

модель;

интеллектуальная система.

Таким образом, гиперобъект является обобщением изольдионического принципа за пределы числовой области.

2. Метаизольдион -> гиперобъект высшего порядка
Метаизольдион возникает тогда, когда изольдионический объект или механизм его построения становится компонентом или предметом действия следующего уровня.

В общей гиперматематике этому соответствует гиперобъект более высокого порядка.

Схема:

изольдион -> метаизольдион

обобщается до:

O_1 -> O_2.

Затем:

O_2 -> O_3;

…

O_n -> O_(n+1).

Таким образом, метаизольдион является числовым прообразом общего принципа многоуровневого гиперобъекта.

3. Степенной изольдион -> иерархически разворачиваемый гиперобъект
Степенные конструкции показывают, как одно числовое отношение может становиться основанием следующего уровня.

Например:

n^n.

Если показатели степеней определяются другой последовательностью:

a_n^(b_n),

появляется отдельный управляющий ряд.

Если способ выбора b_n сам задается следующим уровнем, возникает дополнительная надстройка.

Таким образом, степенной изольдион является одним из простейших числовых прототипов иерархического гиперобъекта.

4. Изольдионическая вложенность -> гиперматематическая вложенность
В Изольдионике вложенные числовые конструкции демонстрируют возможность организации чисел внутри чисел или операций внутри более сложных числовых структур.

В общей гиперматематике вложенность расширяется на произвольные объекты.

Но вводится важное ограничение:

вложенность сама по себе не равна гиперпорядку.

Необходимо функциональное отношение между уровнями.

Таким образом:

синтаксическая вложенность

может перейти в:

структурную;

операционную;

генеративную;

рекурсивную гипервложенность.

5. Изольдионический оператор -> оператор гиперобъекта
Оператор Изольдионики действует на числовой объект.

В общей теории тот же принцип расширяется на любой гиперматематический объект.

Получаем:

числовой оператор -> общий оператор.

Если объектом операции становится сама структура оператора, возникает следующий уровень.

6. Метаоператор -> гипероператор
Метаоператор Изольдионики действует на операции или операторы числовой системы.

Гипероператор является более общим понятием.

Он может воздействовать на:

объекты;

операторы;

системы операторов;

отношения;

уровни;

архитектуры.

Таким образом:

метаоператор Изольдионики -> специализированный гипероператор.

Но эти понятия не следует считать полностью тождественными.

Гипероператор охватывает более широкий класс архитектурных преобразований.

7. Рекуррентный изольдион -> рекурсивный гиперобъект
Если изольдионическая структура развивается по правилу:

I_(n+1) = F(I_n),

она демонстрирует рекурсивную динамику.

Общая гиперматематика переносит этот принцип на произвольные объекты:

O_(n+1) = F(O_n).

Если изменяется также оператор:

F_(n+1) = G(F_n, O_n),

возникает более высокий рекурсивный порядок.

Таким образом, рекуррентный изольдион является числовым частным случаем рекурсивного гиперобъекта.

8. Динамическое число -> динамический гиперобъект
Динамическое число изменяет не только значение, но потенциально и собственную структурную организацию.

В общей гиперматематике возникает динамический гиперобъект.

Изменяться могут:

состояния;

связи;

операторы;

уровни;

архитектура.

Поэтому переход имеет вид:

динамическое число -> динамический гиперобъект.

9. Числовая иерархия -> гиперархитектура
Изольдионическая иерархия организует числовые структуры по уровням.

Общая гиперархитектура может содержать объекты любой природы.

Например:

данные;

функции;

операторы;

модели;

метамодели;

когнитивные механизмы.

Таким образом:

изольдионическая иерархия -> числовая гиперархитектура -> общая гиперархитектура.

10. Числовая трансволюция -> частный случай общей трансволюции
Это одно из наиболее важных соответствий.

Числовая трансволюция описывает структурное развитие числового объекта.

Общая трансволюция переносит тот же принцип на:

последовательности;

функции;

графы;

алгоритмы;

архитектуры;

Нооформации;

интеллектуальные системы.

Следовательно:

числовая трансволюция -> общая трансволюция.

Изольдионика здесь выступает исходной специализированной теорией.

11. Числовая гиперболизация -> общая гиперболизация
В числовой системе новый уровень может управлять:

значением;

показателем;

оператором;

правилом построения.

В общей гиперматематике новый функциональный уровень может появиться над любым формализованным объектом.

Поэтому:

числовая гиперболизация -> общая гиперболизация.

Обобщенный переход:

O_n -> O_(n+1).

12. Изольдионическая глубина -> гиперглубина
Глубина изольдионического объекта характеризует вертикальную организацию числовой структуры.

В гиперматематике аналогичное понятие применяется к произвольным архитектурам.

Однако для сетевых систем необходимо учитывать максимальную длину существенной функциональной зависимости, а не только линейное число уровней.

Поэтому изольдионическая глубина является частным случаем гиперглубины.

13. Изольдионическое пространство -> пространство гиперобъектов
Множество изольдионов определенного класса можно рассматривать как пространство числовых архитектур.

Общая теория расширяет его до пространства гиперобъектов.

Элементами такого пространства могут быть уже не числа, а целые архитектуры.

Следовательно:

изольдионическое пространство -> числовое гиперпространство -> пространство гиперобъектов.

14. Изольдионический ряд -> гиперпоследовательность
Если последовательность состоит из структурированных числовых объектов или ее закон построения определяется дополнительными управляющими рядами, возникает изольдионический аналог гиперпоследовательности.

Обобщение:

числовой ряд -> изольдионический ряд -> гиперпоследовательность.

В общей теории элементами гиперпоследовательности могут быть уже:

операторы;

модели;

архитектуры;

гиперобъекты.

15. Числовая операторная иерархия -> общая теория гипероператоров
Последовательность:

операция -> оператор -> метаоператор

в Изольдионике является специализированным числовым случаем более общей вертикали:

операция -> оператор -> метаоператор -> гипероператор -> оператор n-го порядка.

Так числовая операторная иерархия становится одним из прототипов общей теории гипероператоров.

16. Числовая самотрансформация -> самомодификация гиперобъекта
Если изольдионический объект способен изменять собственные структурные параметры по внутреннему правилу, возникает числовой прообраз самомодификации.

В общей гиперматематике самомодифицироваться могут:

алгоритмы;

графы;

модели;

системы операторов;

интеллектуальные архитектуры.

Таким образом:

числовая самотрансформация -> общая самомодификация.

17. Изольдионическое надстраивание -> общий принцип надстраивания
Наиболее фундаментальное соответствие состоит именно здесь.

Изольдионика показывает:

числовой объект может стать основанием следующей числовой структуры.

Гиперматематика формулирует общий принцип:

любой достаточно формализованный объект потенциально может становиться предметом организации следующего функционального уровня.

Таким образом, генеалогическая линия может быть представлена так:

обычное число -> изольдион -> метаизольдион -> динамическая числовая структура -> числовой гиперобъект -> общий гиперобъект.

В более широком виде:

Изольдионика -> числовая гиперматематика -> общая гиперматематика.

Но это не означает, что все понятия общей гиперматематики должны иметь прямой числовой аналог.

По мере обобщения появляются новые объекты:

гиперсети;

пространства архитектур;

гипермодели;

Нооформации;

СИИ.

Они уже выходят за пределы собственно числовой теории.

Именно поэтому отношения между Изольдионикой и гиперматематикой лучше всего определяются следующим образом:

Изольдионика исследует надстраивание в мире числовых объектов.

Гиперматематика исследует общий принцип надстраивания в мире произвольных формализованных объектов.

В этом смысле Изольдионика является одновременно:

исторической предтечей;

специализированной ветвью;

числовой лабораторией;

источником базовых примеров общей гиперматематики.

А общая гиперматематика является обобщением изольдионического принципа с чисел на структуры, операторы, модели, архитектуры и развивающиеся интеллектуальные системы.

*********

Приложение D. Система обозначений
Настоящее приложение фиксирует базовую систему обозначений, используемую в книге.

Главный принцип записи — простота, однозначность и техническая переносимость.

Поскольку значительная часть текста предназначена для публикации в средах с ограниченной поддержкой математической типографики, предпочтение отдается обычной текстовой записи.

Основные правила:

степень:

2^3

n^n

a^k

индекс:

a_n

F_n

O_n

дробь:

(a+b)/c

переход:

A -> B

управляющее отношение:

A <- B

бесконечное продолжение:

A_1, A_2, …, A_n, …

Математическая красота записи здесь подчинена ясности и воспроизводимости.

D.1. Базовые объекты
Базовый объект обозначается:

O

или:

O_0.

Индекс 0 показывает, что объект выбран в качестве основания гиперархитектуры.

Например:

O_0 = число;

O_0 = последовательность;

O_0 = функция;

O_0 = граф;

O_0 = модель.

Использование индекса 0 не означает, что объект прост.

Он может быть чрезвычайно сложным.

Нулевой уровень означает только его роль относительно выбранной гиперматематической архитектуры.

D.2. Уровни
Уровни обозначаются:

L_0, L_1, L_2, …, L_n.

Где:

L_0 — базовый уровень;

L_1 — первая функциональная надстройка;

L_2 — надстройка следующего порядка;

…

L_n — уровень порядка n.

При необходимости можно писать:

O_0 <- L_1 <- L_2 <- … <- L_n.

Стрелка направлена от управляющего уровня к объекту управления в смысловом чтении справа налево.

То есть:

O_0 <- L_1

означает:

L_1 работает с O_0 как с объектом своего действия.

D.3. Переход между состояниями
Переход между состояниями обозначается:

A -> B.

Например:

A_0 -> A_1.

Такая запись сама по себе не означает гиперболизацию.

Она обозначает только переход.

Характер перехода должен определяться отдельно.

Это может быть:

изменение значения;

структурное преобразование;

трансволюция;

гиперболизация.

D.4. Переход между порядками
Переход порядка обозначается:

O_n -> O_(n+1).

Для интеллектуальных систем:

СИИ^n -> СИИ^(n+1).

Скобки вокруг n+1 используются для предотвращения неоднозначности.

Запись:

СИИ^n

обозначает порядок системы, а не математическое возведение СИИ в степень.

D.5. Операторы
Оператор обычно обозначается:

F.

Его действие:

B = F(A).

Последовательность операторов:

F_1, F_2, …, F_n.

Если оператор изменяется:

F -> F’.

Если существует последовательность его состояний:

F_0 -> F_1 -> F_2 -> … -> F_n.

D.6. Метаоператоры
Метаоператор обозначается:

M.

Если M изменяет оператор F:

F -> M -> F’.

Или в функциональной форме:

F’ = M(F).

Если система содержит уровни операторного управления:

F <- M_1 <- M_2 <- … <- M_n.

D.7. Гипероператоры
Для общего гипероператора может использоваться обозначение:

H.

Например:

A’ = H(A),

если A является гиперобъектом или архитектурой.

Но символ H не закрепляется исключительно за гипероператорами.

В отдельных контекстах он может обозначать общий механизм гиперболизации.

Поэтому содержание обозначения всегда должно определяться текстом.

D.8. Гиперобъекты
Гиперобъект может обозначаться:

H_0;

G_0;

HO;

или просто:

O,

если контекст однозначен.

В настоящей книге предпочтительнее сохранять нейтральную запись:

O_0, O_1, …, O_n.

Здесь O_n может обозначать объект после образования n-го функционального уровня.

Следует отличать эту запись от последовательности обычных состояний.

Поэтому при необходимости прямо указывается:

O_n — гиперобъект порядка n.

D.9. Архитектуры
Архитектура обозначается:

A.

Последовательность архитектурных состояний:

A_0 -> A_1 -> A_2 -> … -> A_n.

Если речь идет о множестве возможных архитектур:

A_1, A_2, …, A_k.

В тексте предпочтительнее говорить:

пространство архитектур,

а не вводить отдельный сложный символ.

D.10. Надстройки
Надстройка обозначается:

H_1, H_2, …, H_n

или:

N_1, N_2, …, N_n,

если необходимо отличить ее от других объектов.

Например:

O_0 <- H_1.

Повторное надстраивание:

O_0 <- H_1 <- H_2 <- … <- H_n.

Эта схема используется только тогда, когда каждый следующий уровень действительно имеет функциональную роль.

D.11. Последовательности
Обычная последовательность:

a_1, a_2, a_3, …, a_n, …

Натуральная:

1, 2, 3, 4, …, n, …

Последовательность функций:

F_1, F_2, F_3, …, F_n, …

Последовательность архитектур:

A_1, A_2, A_3, …, A_n, …

D.12. Управляющие последовательности
Если одна последовательность управляет другой, можно использовать:

a_n — базовый ряд;

b_n — управляющий ряд.

Например:

c_n = a_n^(b_n).

Если:

a_n = n,

а b_n является рядом Фибоначчи, получаем:

1^1, 2^2, 3^3, 4^5, 5^8, …

При более сложной архитектуре:

c_n = F_n(a_n),

где последовательность F_n является последовательностью операторов.

D.13. Рекуррентные конструкции
Простейшая рекурсия:

a_(n+1) = F(a_n).

Изменяемый оператор:

a_(n+1) = F_n(a_n).

Изменение оператора:

F_(n+1) = G(F_n).

Совместная рекурсия:

a_(n+1) = F_n(a_n)

F_(n+1) = G(F_n, a_n).

Такая форма особенно важна для динамических гиперобъектов.

D.14. Ветвящиеся архитектуры
Ветвление можно записывать словами или несколькими строками.

Например:

O_0 <- H_1

O_0 <- H_2

O_0 <- H_3.

Это означает три параллельные надстройки над одним базовым объектом.

Если над H_1 возникает следующий уровень:

O_0 <- H_1 <- M_1.

Такие записи предпочтительнее громоздких текстовых диаграмм.

D.15. Параллельные операторы
Если несколько операторов действуют на объект независимо:

F_1(A)

F_2(A)

F_3(A).

После этого результаты могут объединяться:

B = G(F_1(A), F_2(A), F_3(A)).

D.16. Композиция
Обычная композиция может записываться:

A -> F -> B -> G -> C.

Или:

C = G(F(A)).

Если порядок имеет значение:

G(F(A)) != F(G(A)).

Знак != означает неравенство.

D.17. Гиперкомпозиция
Гиперкомпозиция может представляться как изменение самой последовательности операторов.

Например:

F_1 -> F_2 -> F_3

переходит в:

F_1 -> F_3 -> F_2.

Если порядок выбирается оператором M:

M определяет порядок F_1, F_2, F_3.

Это словесное описание часто предпочтительнее сложной символики.

D.18. Изольдионы
Изольдион обозначается:

I.

Последовательность изольдионов:

I_1, I_2, …, I_n, …

Метаизольдион:

MI

или:

M(I).

В основном тексте предпочтительно использовать слово «метаизольдион», а символическую запись вводить только в конкретной формальной модели.

D.19. Числовая трансволюция
Последовательность структурных состояний изольдиона:

I_0 -> I_1 -> I_2 -> … -> I_n.

Если изменяется не только число, но и оператор:

I_(n+1) = F_n(I_n)

F_(n+1) = G(F_n, I_n).

D.20. Нооформации
Нооформация может обозначаться:

N.

Последовательность:

N_0 -> N_1 -> N_2 -> … -> N_n.

Но поскольку N также может обозначать натуральные числа или иные объекты в традиционной математике, в основном тексте предпочтительно использовать словесное обозначение.

D.21. Искусственный интеллект и СИИ
Основной ряд:

ИИ -> СИИ^1 -> СИИ^2 -> СИИ^3 -> … -> СИИ^n -> …

Переход:

СИИ^n -> СИИ^(n+1).

СИИ^n означает интеллектуальную систему n-го порядка относительно принятого базового уровня.

Индекс порядка не является:

мерой IQ;

числом параметров;

числом моделей;

мерой вычислительной мощности.

D.22. Эквивалентность
Обычная эквивалентность может записываться:

A ~ B.

Однако конкретный тип эквивалентности должен быть указан словами.

Например:

A и B структурно эквивалентны.

A и B архитектурно эквивалентны.

Это предотвращает смешение различных отношений.

D.23. Приближенное равенство
Для приближенного равенства можно использовать:

A ~= B.

В строгих математических разделах конкретный смысл приближения должен быть определен отдельно.

D.24. Множества
Если требуется перечислить элементы:

S = {a, b, c}.

Однако в текстах для универсальной публикации предпочтительна простая словесная запись там, где фигурные скобки не дают дополнительной ясности.

D.25. Основной принцип обозначений
Система обозначений гиперматематики должна оставаться минимальной.

Не следует вводить новый символ там, где обычная математическая запись уже достаточна.

Новый термин или знак оправдан только тогда, когда он фиксирует действительно новый тип архитектурного отношения.

Таким образом, главный принцип нотации можно сформулировать так:

минимум новых символов — максимум архитектурной ясности.

Приложение E. Каталог элементарных изольдионических конструкций
Настоящий каталог содержит простейшие конструкции, которые могут использоваться как учебные, вычислительные и экспериментальные объекты Изольдионики.

Он не является исчерпывающим.

Главная его задача — показать постепенный переход:

от обычного числа

к:

структурированному числу;

изольдиону;

метаизольдиону;

динамической числовой гиперсистеме.

При этом не каждая необычная числовая запись автоматически является изольдионом высокого порядка.

Необходимо учитывать внутреннюю архитектуру и функциональную роль уровней.

E.1. Обычное число
Простейший исходный объект:

5

17

Здесь число рассматривается преимущественно как значение.

Это нулевой уровень для последующего структурирования.

E.2. Число с явным способом построения
Например:

2^5.

Результат равен 32.

Но конструкция:

2^5

содержит больше информации, чем запись:

32,

поскольку явно задает способ построения значения.

На этом различии начинается изольдионический интерес к архитектуре числового объекта.

E.3. Самостепенная конструкция
Общая форма:

n^n.

Примеры:

1^1;

2^2;

3^3;

4^4.

Здесь одна и та же позиционная величина выполняет две роли:

основания;

показателя.

Последовательность:

1, 2^2, 3^3, 4^4, …, n^n, …

является одним из простейших примеров структурно организованного числового ряда.

E.4. Степень с независимым показателем
Форма:

a^b.

Если a и b принадлежат различным управляющим последовательностям:

a_n^(b_n),

возникает более богатая конструкция.

Например:

a_n = n;

b_n = простое число с номером n.

Тогда:

1^2, 2^3, 3^5, 4^7, 5^11, …

E.5. Степень с показателями Фибоначчи
Пусть:

a_n = n.

А показатели:

1, 2, 3, 5, 8, 13, …

Тогда получаем:

1^1, 2^2, 3^3, 4^5, 5^8, 6^13, …

Здесь одна последовательность управляет другой.

В гиперматематическом смысле возникает элементарная двухслойная числовая архитектура.

E.6. Простые числа как управляющий ряд
Пусть основание:

1, 2, 3, 4, 5, …

Показатели:

2, 3, 5, 7, 11, …

Тогда:

1^2, 2^3, 3^5, 4^7, 5^11, …

Такой пример удобен для исследования взаимодействия двух независимых числовых рядов.

E.7. Двойное управление
Пусть:

a_n — основание;

b_n — показатель;

c_n — дополнительный параметр.

Тогда можно строить:

F(a_n, b_n, c_n).

Например:

(a_n^(b_n)) + c_n.

Здесь появляется три управляющих источника.

Однако само количество рядов еще не определяет гиперпорядок.

Если они действуют параллельно на один базовый объект, архитектура может оставаться первого порядка.

E.8. Зависимая управляющая последовательность
Более сильная конструкция:

a_n <- b_n <- c_n.

Здесь:

b_n управляет a_n;

c_n управляет способом, которым b_n управляет a_n.

Это уже числовая модель второго порядка.

E.9. Факториальная конструкция
Простейший вариант:

n!.

Ряд:

1!, 2!, 3!, 4!, …, n!, …

Сам по себе факториал не создает гиперпорядок.

Но он становится частью изольдионической конструкции, если оператор факториала включен в многоуровневую систему управления.

Например, управляющий ряд выбирает:

возведение в степень;

факториал;

суммирование.

E.10. Переменный оператор
Пусть:

F_n

выбирается для каждой позиции отдельно.

Тогда:

I_n = F_n(n).

Например:

для нечетного n используется квадрат;

для четного n — факториал.

Получаем:

1^2, 2!, 3^2, 4!, 5^2, 6!, …

Здесь предметом управления становится уже оператор.

E.11. Оператор, определяемый другим рядом
Пусть управляющий ряд:

c_n

кодирует выбор оператора.

Например:

c_n = 1 означает квадрат;

c_n = 2 означает куб;

c_n = 3 означает факториал.

Тогда:

F_n = Operator(c_n)

I_n = F_n(n).

Это более ясный пример операторной надстройки.

E.12. Вложенная степенная структура
Пример:

2^(3^4).

В отличие от:

(2^3)^4,

структура операций различается.

Это показывает, что архитектура вложенности имеет значение.

В дальнейшем подобные конструкции могут использоваться для анализа:

глубины;

канонической формы;

архитектурной эквивалентности.

E.13. Многоуровневая степенная структура
Например:

2^(3^(4^5)).

Количество вложенных операций увеличивается.

Однако важно снова подчеркнуть:

глубина синтаксической вложенности сама по себе еще не означает функциональный гиперпорядок.

Для гиперматематической интерпретации необходимо определить роли уровней.

E.14. Рекуррентный изольдион
Общий вид:

I_(n+1) = F(I_n).

Например:

I_(n+1) = I_n^2.

Если:

I_1 = 2,

получаем:

2;

4;

16;

256;

…

Здесь числовой объект развивается по внутреннему закону.

E.15. Рекуррентный изольдион с изменяемым оператором
Более сложный вариант:

I_(n+1) = F_n(I_n)

F_(n+1) = G(F_n, I_n).

Теперь меняется не только числовое состояние, но и правило следующего изменения.

Это уже пример числовой трансволюции более высокого порядка.

E.16. Самозависимый изольдион
В рабочем смысле можно рассматривать конструкцию, где параметры следующего шага определяются текущим состоянием самого изольдиона.

Например:

I_(n+1) = F(I_n, p_n)

p_(n+1) = G(I_n).

Здесь состояние объекта влияет на собственный последующий режим преобразования.

E.17. Изольдион с памятью
Следующий уровень:

I_(n+1) = F(I_n, I_(n-1), I_(n-2)).

Здесь новое состояние зависит от истории.

Можно обобщить:

I_(n+1) = F(I_1, I_2, …, I_n).

Так появляется числовой объект с динамикой, зависящей от собственного прошлого.

E.18. Изольдион с внешним управляющим рядом
Пусть:

I_(n+1) = F(I_n, c_n),

где:

c_n

задается внешней последовательностью.

Тогда объект имеет внешний управляющий слой.

E.19. Изольдион с внутренним управляющим рядом
Если управляющий ряд порождается самим объектом:

c_(n+1) = G(I_n, c_n),

возникает внутренняя динамическая надстройка.

Теперь изольдион не только изменяется, но и участвует в формировании правил собственного изменения.

E.20. Метаизольдион
Метаизольдион возникает тогда, когда один изольдион или система изольдионов становится предметом действия следующего уровня.

Например:

I_1, I_2, I_3

объединяются оператором M.

Получается:

MI = M(I_1, I_2, I_3).

Если M работает не только с их числовыми значениями, но и с внутренней архитектурой, появляется содержательный метауровень.

E.21. Метаизольдион второго порядка
Если оператор, работающий с изольдионами, сам становится объектом:

M -> H -> M’,

возникает следующий порядок.

Теперь верхний уровень изменяет уже способ работы с изольдионами.

E.22. Ветвящийся изольдионический объект
Можно задать несколько возможных продолжений:

I_n -> I_(n+1,A)

I_n -> I_(n+1,B)

I_n -> I_(n+1,C).

Правило выбора ветви может определяться состоянием или отдельным оператором.

Такая конструкция переводит числовую динамику из линейной формы в дерево возможностей.

E.23. Изольдионическая сеть
Несколько числовых объектов могут взаимно влиять друг на друга:

I_1 -> I_2

I_2 -> I_3

I_3 -> I_1.

Это уже не один изолированный изольдион, а числовая динамическая система.

При наличии надстроечных уровней она может рассматриваться как числовая гиперсеть.

E.24. Трансволюционный изольдион
Трансволюционный изольдион меняет не только значение, но и собственную архитектуру.

Например:

на первом этапе используется F;

затем создается G;

позже F и G объединяются;

после этого появляется оператор H, управляющий их выбором.

Получается последовательность:

A_1 -> A_2 -> A_3 -> A_4,

где A_i являются архитектурными состояниями одного развивающегося числового объекта.

E.25. Потенциально открытый числовой гиперобъект
Обобщенная форма:

I_0 <- H_1 <- H_2 <- … <- H_n <- …

Такая конструкция обозначает потенциальную возможность дальнейшего надстраивания.

Она не означает физически или вычислительно реализованную бесконечную структуру.

В вычислительной форме требуется конечное правило генерации каждого следующего уровня.

Приложение F. Каталог гиперпоследовательностей
Гиперпоследовательность является одним из наиболее удобных экспериментальных объектов гиперматематики.

Обычная последовательность задает упорядоченный ряд элементов.

Гиперпоследовательность вводит дополнительную архитектуру:

управляющие ряды;

операторы;

системы выбора;

метауровни;

динамические правила.

Необычность чисел сама по себе не является критерием гиперпоследовательности.

Главный критерий — архитектура генерации.

F.1. Обычная натуральная последовательность
Исходный ряд:

1, 2, 3, 4, …, n, …

Это базовый объект.

F.2. Последовательность квадратов
1, 2^2, 3^2, 4^2, …, n^2, …

Если правило фиксировано, это обычная последовательность, а не обязательно гиперпоследовательность.

Она полезна как исходный пример.

F.3. Самостепенная последовательность
1^1, 2^2, 3^3, 4^4, …, n^n, …

Здесь индекс одновременно управляет основанием и показателем.

Это простейший переход к управляемой структуре.

F.4. Последовательность с независимым рядом показателей
Пусть:

a_n = n;

b_n — другая последовательность.

Тогда:

c_n = a_n^(b_n).

Если b_n является рядом Фибоначчи:

1^1, 2^2, 3^3, 4^5, 5^8, …

Если b_n — простые числа:

1^2, 2^3, 3^5, 4^7, 5^11, …

F.5. Два параллельных управляющих ряда
Пусть:

a_n — основа;

b_n — показатель;

c_n — добавочная величина.

Тогда:

d_n = a_n^(b_n) + c_n.

Здесь несколько рядов параллельно управляют одним результатом.

Это многоуправляемая последовательность первого порядка, если сами управляющие ряды не управляют друг другом.

F.6. Последовательность переменных операторов
Общий вид:

b_n = F_n(a_n).

Пример:

F_1 — квадрат;

F_2 — куб;

F_3 — факториал;

F_4 — квадрат;

и так далее.

В результате последовательность определяется не одним оператором, а рядом операторов.

F.7. Чередующаяся операторная гиперпоследовательность
Например:

для нечетного n:

b_n = n^2.

Для четного n:

b_n = n^3.

Получаем:

1, 8, 9, 64, 25, 216, …

Если механизм чередования сам управляется другим рядом, возникает следующий уровень.

F.8. Последовательность с позиционным метаправилом
Пусть тип оператора зависит от свойства индекса.

Например:

если n простое — куб;

иначе — квадрат.

Тогда:

b_n = F(n, type(n)).

Здесь индекс определяет не только значение, но и режим вычисления.

F.9. Факториально-степенная гиперпоследовательность
Например:

если n нечетное:

b_n = n^n.

Если n четное:

b_n = n!.

Это пример переключения между различными классами операторов.

F.10. Управляемая гиперпоследовательность
Общий вид:

b_n = F(a_n, c_n),

где c_n — управляющий ряд.

Например, c_n определяет:

степень;

число итераций;

тип операции;

режим преобразования.

F.11. Адаптивная управляющая последовательность
Пусть:

b_n = F(a_n, c_n)

c_(n+1) = G(b_n).

Теперь результат предыдущего шага изменяет последующее управление.

Появляется обратная связь.

F.12. Рекурсивная гиперпоследовательность первого уровня
Общий вид:

a_(n+1) = F_n(a_n).

Оператор меняется с n.

F.13. Рекурсивная гиперпоследовательность второго уровня
Добавляется изменение оператора:

a_(n+1) = F_n(a_n)

F_(n+1) = G(F_n, a_n).

Теперь развивается одновременно:

ряд значений;

ряд операторов.

F.14. Рекурсивная гиперпоследовательность третьего уровня
Следующий уровень:

a_(n+1) = F_n(a_n)

F_(n+1) = G_n(F_n, a_n)

G_(n+1) = H(G_n, F_n, a_n).

Здесь механизм изменения оператора сам становится изменяемым.

Это простой прототип гиперпоследовательности третьего порядка.

F.15. Наложение натурального и фибоначчиева рядов
Основания:

1, 2, 3, 4, 5, …

Показатели:

1, 2, 3, 5, 8, …

Результат:

1^1, 2^2, 3^3, 4^5, 5^8, …

Это канонический пример двухрядной управляемой конструкции.

F.16. Наложение натурального и простого рядов
Основания:

1, 2, 3, 4, 5, …

Показатели:

2, 3, 5, 7, 11, …

Результат:

1^2, 2^3, 3^5, 4^7, 5^11, …

F.17. Трехрядная гиперпоследовательность
Можно использовать:

натуральные числа;

числа Фибоначчи;

простые числа.

Например:

основание определяется натуральным рядом;

показатель — рядом Фибоначчи;

оператор дополнительного преобразования — рядом простых чисел.

Общая форма:

d_n = G_(p_n)(n^(f_n)),

где:

f_n — число Фибоначчи;

p_n — простое число;

G_(p_n) — оператор, зависящий от p_n.

Конкретный смысл G должен быть определен отдельно.

F.18. Последовательная гиперкомпозиция
Для каждого n применяется цепочка:

a_n -> F_n -> G_n -> H_n -> b_n.

Если последовательность операторов фиксирована, это композиционный ряд.

Если сама цепочка меняется, возникает гиперкомпозиционная последовательность.

F.19. Перестраиваемая композиционная последовательность
На одних позициях:

F -> G -> H.

На других:

F -> H -> G.

На третьих:

G -> F.

Правило выбора композиции задается управляющей последовательностью M_n.

Получаем:

b_n = M_n(a_n),

где M_n обозначает не один оператор, а выбранную архитектуру композиции.

F.20. Параллельная гиперпоследовательность
Для каждого элемента вычисляются несколько результатов:

F(a_n);

G(a_n);

H(a_n).

Затем:

b_n = R(F(a_n), G(a_n), H(a_n)).

Если R меняется, появляется дополнительный управляющий уровень.

F.21. Ветвящаяся гиперпоследовательность
Для одного a_n может возникать несколько продолжений:

b_(n,A);

b_(n,B);

b_(n,C).

Тогда последовательность превращается в дерево.

На каждом шаге управляющий механизм определяет, какие ветви сохраняются.

F.22. Гиперпоследовательность с выбором ветви
Пусть:

S_n

является селектором.

Тогда:

S_n выбирает одну из F_1, F_2, F_3.

Результат:

a_(n+1) = F_selected(a_n).

Если механизм S_n изменяется другим уровнем, возникает второй порядок.

F.23. Зависимые управляющие последовательности
Схема:

A_0 <- A_1 <- A_2.

A_1 управляет базовой последовательностью.

A_2 управляет A_1.

Это один из наиболее простых образцов гиперпоследовательности второго порядка.

F.24. Гиперпоследовательность третьего порядка
Схема:

A_0 <- A_1 <- A_2 <- A_3.

Каждый следующий ряд управляет существенным механизмом предыдущего.

Например:

A_1 определяет показатели;

A_2 определяет способ построения A_1;

A_3 определяет способ изменения A_2.

F.25. Гиперпоследовательность n-го порядка
Обобщенная форма:

A_0 <- A_1 <- A_2 <- … <- A_n.

Критерий порядка:

A_(k+1) должен работать с A_k или существенным механизмом A_k как с объектом.

Простого параллельного добавления рядов недостаточно.

F.26. Потенциально бесконечная гиперпоследовательность
Формально:

A_0 <- A_1 <- A_2 <- … <- A_n <- …

Это вертикальная потенциальная бесконечность.

Она отличается от обычной горизонтальной бесконечности:

a_1, a_2, …, a_n, …

Горизонтальная бесконечность означает бесконечное число элементов.

Вертикальная — потенциально неограниченное число уровней.

F.27. Гиперпоследовательность с конечным правилом бесконечного надстраивания
Например:

A_(k+1) = H(A_k).

Если H формально задан, одно конечное правило определяет потенциально неограниченную последовательность уровней.

В вычислительной реализации развертывается только конечное число уровней.

F.28. Самоизменяющаяся гиперпоследовательность
Система меняет правила собственной генерации.

Например:

a_(n+1) = F_n(a_n)

F_(n+1) = G(F_n, history_n).

Здесь history_n означает доступную системе историю предыдущих состояний.

F.29. Трансволюционная гиперпоследовательность
Объектом ряда являются уже архитектуры:

H_0 -> H_1 -> H_2 -> … -> H_n.

Каждая H_n описывает полное состояние гиперпоследовательности.

Например:

на первом этапе один управляющий ряд;

на втором — два;

на третьем возникает метауровень;

на четвертом появляется рекурсивная обратная связь.

F.30. Самонадстраивающаяся гиперпоследовательность
Система способна обнаружить ограничение собственного текущего порядка и создать новый управляющий ряд или уровень.

Условно:

A_0 <- A_1

переходит в:

A_0 <- A_1 <- A_2.

Если процесс повторим:

A_0 <- A_1 <- … <- A_n <- A_(n+1).

Это одна из наиболее развитых форм гиперпоследовательности.

Приложение G. Классификация гиперобъектов
Настоящая классификация является рабочей.

Она предназначена для систематизации гиперобъектов по нескольким независимым признакам.

Один и тот же гиперобъект может одновременно относиться к нескольким классам.

Например, он может быть:

третьего порядка;

сетевым;

динамическим;

рекурсивным;

открытым;

самомодифицирующимся.

Поэтому классификацию следует понимать как многомерную систему признаков, а не как одно линейное дерево.

G.1. По природе базового объекта
Числовые
Базовым объектом являются числа или числовые структуры.

Основной пример:

изольдионы.

Последовательностные
Основанием являются последовательности.

Например:

гиперпоследовательности.

Функциональные
Базовыми объектами являются функции.

Надстройки работают:

с функциями;

с пространствами функций;

с механизмами выбора функций.

Операторные
Основными объектами являются операторы и системы операторов.

Алгебраические
Основанием служат:

алгебры;

операции;

операционные системы.

Графовые
Основанием является граф или сеть.

Алгоритмические
Базовым объектом выступает алгоритм или вычислительный процесс.

Модельные
Основанием является модель или система моделей.

Паттернные
Базовыми объектами являются паттерны и отношения между ними.

Нооформационные
Основанием служат Нооформации.

Интеллектуальные
Базовым объектом является архитектура ИИ или СИИ.

G.2. По порядку
Нулевого порядка
Выбранный базовый объект без выделенной надстройки.

Первого порядка
Имеется одна функциональная надстройка над основанием.

Схема:

O_0 <- O_1.

Второго порядка
Имеется надстройка над механизмом первого порядка.

Схема:

O_0 <- O_1 <- O_2.

Третьего порядка
Схема:

O_0 <- O_1 <- O_2 <- O_3.

n-го порядка
Общий случай:

O_0 <- O_1 <- … <- O_n.

Потенциально неограниченного порядка
Для каждого построенного n допускается формальное правило построения n+1.

G.3. По глубине
Мелкие
Имеют небольшую длину надстроечной зависимости.

Глубокие
Имеют длинную цепь функционального управления.

Неравномерной глубины
Разные ветви имеют различное число уровней.

Например:

одна ветвь второго порядка;

другая четвертого.

G.4. По архитектуре
Линейные
Уровни образуют одну цепь:

O_0 <- O_1 <- O_2.

Параллельные
Несколько надстроек действуют на один уровень:

O_0 <- H_1

O_0 <- H_2.

Ветвящиеся
Один уровень порождает несколько различных ветвей.

Древовидные
Ветвление продолжается рекурсивно без обязательного обратного соединения.

Сетевые
Между уровнями и компонентами существует множество перекрестных связей.

Циклические
Архитектура содержит замкнутые контуры.

Рекурсивные
Результаты работы системы возвращаются в механизмы ее последующего преобразования.

Гибридные
Совмещают:

линейность;

ветвление;

сеть;

циклы;

рекурсию.

G.5. По характеру связей между уровнями
Односторонние
Верхний уровень воздействует на нижний без обратной связи.

Двусторонние
Нижний и верхний уровни взаимно воздействуют друг на друга.

Управляющие
Верхний уровень выбирает или изменяет действия нижнего.

Генеративные
Верхний уровень создает новые элементы или операторы нижнего.

Селективные
Верхний уровень выбирает между доступными вариантами.

Оценочные
Верхний уровень оценивает работу нижнего.

Рефлексивные
Уровень содержит представление нижележащей или собственной архитектуры.

Архитектурно-преобразующие
Связь позволяет изменять сами отношения и состав уровней.

G.6. По динамике
Статические
Архитектура и правила остаются фиксированными.

Параметрически динамические
Изменяются только параметры.

Структурно динамические
Меняются внутренние связи или состав элементов.

Операторно динамические
Изменяются операторы.

Межуровнево динамические
Изменяются отношения между уровнями.

Архитектурно динамические
Изменяется общая гиперархитектура.

Трансволюционные
Изменение архитектуры представляет значимую последовательность структурного развития.

G.7. По отношению к порядку
Порядково стабильные
Могут изменяться, сохраняя один и тот же порядок.

Порядково возрастающие
Способны переходить:

n -> n+1.

Порядково уменьшающиеся
Способны сворачивать уровни:

n -> n-1.

Порядково циклические
Могут переходить между несколькими порядковыми состояниями.

Порядково открытые
Не имеют заранее заданного максимального порядка в рамках формальной модели.

G.8. По степени открытости
Закрытые
Множество элементов, операторов и уровней фиксировано.

Параметрически открытые
Параметры изменяются, но структура фиксирована.

Операторно открытые
Могут добавляться или создаваться новые операторы.

Архитектурно открытые
Может изменяться архитектура.

Порядково открытые
Допускается образование новых уровней.

G.9. По рекурсивности
Нерекурсивные
Отсутствует возврат результата в механизм собственного преобразования.

Одноуровнево рекурсивные
Результат влияет на последующее состояние того же уровня.

Межуровнево рекурсивные
Результат нижнего уровня влияет на управляющий уровень.

Мета-рекурсивные
Изменяется сам механизм рекурсивного преобразования.

Рекурсивно гиперболизирующиеся
Рекурсивный цикл способен создавать новые уровни.

G.10. По самореференции
Несамореферентные
Система не содержит функционально используемого представления самой себя.

Локально самореферентные
Содержит информацию об отдельных собственных компонентах.

Структурно самореферентные
Содержит модель собственной структуры.

Архитектурно самореферентные
Содержит модель собственных уровней и отношений между ними.

Рекурсивно самореферентные
Модель системы сама становится объектом моделирования следующего уровня.

G.11. По способности к самомодификации
Несамомодифицирующиеся
Изменения происходят только извне.

Параметрически самомодифицирующиеся
Система меняет собственные параметры.

Операторно самомодифицирующиеся
Меняет используемые операторы.

Структурно самомодифицирующиеся
Меняет связи и компоненты.

Архитектурно самомодифицирующиеся
Меняет организацию уровней.

Самонадстраивающиеся
Создают новый функциональный уровень.

G.12. По генеративности
Негенеративные
Работают с фиксированным набором объектов.

Генерирующие объекты
Создают новые объекты заданного класса.

Генерирующие операторы
Создают новые преобразования.

Генерирующие модели
Создают новые модельные структуры.

Генерирующие архитектуры
Порождают новые способы организации системы.

Генерирующие генераторы
Создают или изменяют механизмы генерации.

G.13. По типу детерминизма
Детерминированные
Для заданного состояния и правил следующий результат однозначно определен.

Вероятностные
Переходы имеют вероятностный характер.

Стохастически архитектурные
Случайность влияет не только на состояние, но и на структуру.

Гибридные
Сочетают детерминированные и вероятностные уровни.

G.14. По дискретности
Дискретные
Состояния или переходы представлены дискретными объектами.

Непрерывные
Содержат непрерывные пространства состояний.

Гибридные
Объединяют дискретные и непрерывные уровни.

G.15. По вычислимости
Полностью вычислимые в заданной модели
Все определенные переходы алгоритмически реализуемы.

Частично вычислимые
Часть свойств вычислима, часть требует ограничений или специальных условий.

Приближенно вычислимые
Практическая работа осуществляется через аппроксимацию.

Потенциально бесконечные, но конечно задаваемые
Объект имеет конечное генеративное описание, но не может быть полностью развернут конечным вычислением.

Содержащие неразрешимые компоненты
Некоторые задачи анализа системы могут быть алгоритмически неразрешимы.

G.16. По конечности
Конечные по числу элементов
Содержат конечное множество базовых компонентов.

Бесконечные по элементам
Например, бесконечная последовательность.

Конечные по порядку
Имеют конечное число уровней.

Потенциально бесконечные по порядку
Допускают продолжение:

O_0 <- O_1 <- … <- O_n <- …

Важно различать:

горизонтальную бесконечность;

вертикальную бесконечность.

G.17. По устойчивости
Статически устойчивые
При малых изменениях возвращаются к исходной конфигурации или остаются в допустимой области.

Динамически устойчивые
Сохраняют ключевые свойства в процессе изменения.

Архитектурно устойчивые
Сохраняют тип организации при локальных преобразованиях.

Трансволюционно устойчивые
Способны проходить через существенные архитектурные изменения, сохраняя определенные гиперинварианты.

Неустойчивые
Небольшое изменение может разрушить функциональную организацию.

G.18. По типу инвариантов
Значение-инвариантные
Сохраняют определенную величину.

Структурно-инвариантные
Сохраняют тип структуры.

Операторно-инвариантные
Сохраняют определенный класс операторных отношений.

Архитектурно-инвариантные
Сохраняют существенный тип надстроечной организации.

Гиперинвариантные
Сохраняют выбранные свойства даже при многоуровневых преобразованиях.

G.19. По типу эквивалентности
Два гиперобъекта могут быть:

результативно эквивалентными;

структурно эквивалентными;

операционно эквивалентными;

архитектурно эквивалентными;

динамически эквивалентными;

трансволюционно эквивалентными.

Например, две системы могут выдавать одинаковый результат, но иметь совершенно разные архитектуры.

Поэтому тип эквивалентности всегда должен указываться.

G.20. По характеру изменения пространства возможностей
Пространственно фиксированные
Система движется внутри заранее заданного пространства состояний.

Пространственно расширяемые
Способна добавлять новые состояния или операторы.

Архитектурно расширяемые
Способна создавать новые архитектуры.

Генеративно открытые
Способна изменять сам механизм расширения пространства возможностей.

G.21. По способности к саморазвитию
Можно предложить предварительную шкалу.

Уровень 0:

изменение состояния.

Уровень 1:

изменение параметров.

Уровень 2:

изменение операторов.

Уровень 3:

изменение правил выбора операторов.

Уровень 4:

изменение механизмов изменения правил.

Уровень 5:

изменение архитектуры.

Уровень 6:

самонадстраивание.

Эта шкала не совпадает автоматически с порядком гиперобъекта.

Она описывает глубину доступного самоизменения.

G.22. По способу образования новых уровней
Внешне надстраиваемые
Новый уровень создается внешним проектировщиком.

Полуавтоматически надстраиваемые
Система предлагает варианты, но внешний субъект утверждает переход.

Самонадстраиваемые по фиксированному шаблону
Система самостоятельно создает новый уровень внутри заранее определенного класса.

Генеративно самонадстраиваемые
Конкретная архитектура нового уровня заранее полностью не задана.

Рекурсивно самонадстраиваемые
После создания нового уровня система способна повторять процесс.

G.23. По степени автономности
Неавтономные
Ключевые решения принимаются внешней системой.

Частично автономные
Самостоятельно управляют некоторыми уровнями.

Архитектурно автономные
Могут самостоятельно перестраивать значимые элементы архитектуры.

Порядково автономные
Способны самостоятельно инициировать и выполнять переход:

n -> n+1.

Следует помнить:

автономность не равна порядку.

G.24. По масштабу
Можно различать:

малые;

средние;

большие;

сверхбольшие системы.

Но масштаб является отдельной характеристикой.

Большой гиперобъект не обязательно имеет высокий порядок.

И малый объект может содержать глубокую надстроечную архитектуру.

G.25. По отношению сложности и порядка
Горизонтально сложные
Имеют много элементов и связей внутри небольшого числа уровней.

Вертикально глубокие
Имеют относительно небольшое число элементов, но много функциональных порядков.

Горизонтально и вертикально сложные
Имеют одновременно:

большой размер;

глубокую гиперархитектуру.

Архитектурно компактные
Имеют высокий функциональный порядок при сравнительно небольшом числе компонентов.

G.26. По типу базовой динамики
Последовательностные
Развиваются как ряд состояний.

Ветвящиеся
Развитие образует дерево.

Сетевые
Существуют множественные траектории переходов.

Циклические
Система возвращается к предыдущим архитектурным состояниям.

Многотраекторные
Одновременно поддерживает несколько альтернативных линий развития.

G.27. По типу трансволюции
Горизонтально трансволюционные
Изменяются внутри одного порядка.

Вертикально трансволюционные
Переходят между порядками.

Межуровнево трансволюционные
Меняют отношения между существующими уровнями.

Рекурсивно трансволюционные
Меняют механизмы собственного изменения.

Ветвяще трансволюционные
Порождают несколько архитектурных траекторий.

Конвергентно трансволюционные
Различные пути приводят к сходным архитектурам.

G.28. По отношению к гиперболизации
Негиперболизирующиеся
Не создают нового уровня.

Однократно гиперболизирующиеся
Способны совершить один переход порядка.

Многократно гиперболизирующиеся
Способны несколько раз повышать порядок.

Рекурсивно гиперболизирующиеся
Механизм гиперболизации способен применяться повторно к собственным результатам.

G.29. По форме самомоделирования
Без самомодели
Система не использует формального представления самой себя.

Состояние-моделирующие
Моделируют текущее состояние.

Структурно моделирующие
Моделируют внутренние компоненты и связи.

Архитектурно моделирующие
Моделируют собственные уровни.

Трансволюционно моделирующие
Моделируют возможные будущие архитектуры.

Метасамомоделирующие
Способны моделировать сам механизм самомоделирования.

G.30. По применению
Гиперобъекты могут быть:

теоретическими;

вычислительными;

экспериментальными;

инженерными;

когнитивными;

интеллектуальными;

метатеоретическими.

Один объект может относиться одновременно к нескольким областям.

G.31. Многомерный паспорт гиперобъекта
Для практической работы полезно описывать гиперобъект не одним названием, а набором характеристик.

Можно использовать следующий паспорт.

Базовый тип объекта.
Порядок.
Глубина.
Тип архитектуры.
Тип межуровневых связей.
Динамичность.
Рекурсивность.
Открытость.
Самореференция.
Самомодификация.
Самонадстраивание.
Генеративность.
Вычислимость.
Основные инварианты.
Тип трансволюции.
Например, некоторый объект может быть описан так:

базовый тип — последовательность;

порядок — 2;

архитектура — линейная;

динамика — рекурсивная;

открытость — операторная;

самореференция — отсутствует;

самомодификация — операторная;

самонадстраивание — отсутствует;

вычислимость — конечная для заданной глубины.

Такое описание значительно информативнее фразы:

«сложная гиперпоследовательность».

G.32. Принцип минимального порядка
При классификации необходимо использовать принцип минимального достаточного порядка.

Если систему можно адекватно описать как объект второго порядка, не следует искусственно объявлять ее объектом пятого порядка путем формального дробления компонентов.

Порядок должен отражать функционально необходимые уровни.

Этот принцип защищает теорию от искусственной инфляции приставки «гипер-».

G.33. Принцип функциональной различимости
Два уровня считаются различными только тогда, когда выполняют содержательно разные функции относительно архитектуры.

Например:

один преобразует данные;

второй выбирает преобразователь;

третий меняет механизм выбора.

Если уровни только повторяют одну и ту же функцию, основание для повышения порядка слабое.

G.34. Принцип несводимости
Высший порядок имеет смысл тогда, когда соответствующую функцию нельзя без существенной потери архитектурного содержания свести к нижнему уровню.

Именно критерий несводимости должен стать одним из центральных объектов будущей формальной теории.

G.35. Принцип открытого верха
Если достигнут уровень n, можно поставить вопрос:

может ли система уровня n стать объектом следующей надстройки?

Если да, формально допускается:

n -> n+1.

Этот принцип не гарантирует реального существования бесконечной башни.

Он означает отсутствие заранее постулированного универсального последнего порядка.

G.36. Итоговая классификационная формула
Гиперобъект должен определяться не одной характеристикой, а архитектурным профилем.

В наиболее общем виде:

гиперобъект = базовый объект + уровни + связи + операторы + динамика + правила изменения архитектуры.

Для динамических систем к этому добавляются:

история;

пространство возможных переходов;

гиперинварианты;

механизмы самопреобразования.

Именно многомерная классификация позволяет отличить:

большой объект от высокого порядка;

сложность от гиперсложности;

самомодификацию от самонадстраивания;

обычную динамику от трансволюции;

набор уровней от функциональной гиперархитектуры.

Таким образом, приложения D–G создают первый технический справочный слой гиперматематики.

Система обозначений дает единый язык.

Каталог изольдионических конструкций показывает числовое происхождение многих идей.

Каталог гиперпоследовательностей демонстрирует их переход к общей математической форме.

Классификация гиперобъектов задает многомерную систему координат для дальнейшего исследования.

Следующий этап развития теории должен переводить эти справочные конструкции в строгие определения, формальные критерии и вычислительные модели.

*****

Приложение H. Классификация гипероператоров
Настоящая классификация фиксирует основные типы гипероператоров, используемых в рамках развиваемой теории гиперматематики.

Термин «гипероператор» здесь употребляется в специальном рабочем смысле и не означает всякий оператор над оператором.

Гипероператором является такой оператор, который действует в явно организованной многоуровневой архитектуре и способен преобразовывать:

объекты;

операторы;

системы операторов;

отношения между уровнями;

архитектуру гиперобъекта.

Поэтому главный принцип классификации состоит в вопросе:

что именно является объектом действия оператора?

H.1. По порядку действия
Оператор нулевого уровня
Работает с элементарными значениями или состояниями внутри базового объекта.

Например:

изменяет числовое значение;

параметр;

элемент последовательности.

В строгом смысле такой оператор еще не является гипероператором.

Он служит исходной точкой классификации.

Оператор первого порядка
Работает непосредственно с базовым объектом.

Схема:

O_0 -> F_1 -> O_0;.

Например:

преобразует последовательность;

матрицу;

граф;

модель.

Оператор второго порядка
Действует на оператор или систему операторов первого порядка.

Схема:

F_1 -> F_2 -> F_1;.

Его объектом становится способ преобразования базового объекта.

Оператор третьего порядка
Действует на механизмы, управляющие операторами второго порядка.

Схема:

F_2 -> F_3 -> F_2;.

Оператор n-го порядка
Обобщенный случай.

F_n действует на существенную часть операционной системы порядка n-1.

Критерий порядка состоит не в количестве вложенных функций, а в функциональном отношении между уровнями.

H.2. По предмету действия
Объектные гипероператоры
Работают с гиперобъектом как целым.

Например:

изменяют его конфигурацию;

перестраивают внутренние компоненты;

переводят в другое состояние.

Структурные гипероператоры
Изменяют отношения между элементами.

Например:

добавляют связи;

удаляют связи;

перенаправляют зависимости;

изменяют вложенность.

Операторные гипероператоры
Работают с системой операций и операторов.

Они могут:

заменять оператор;

создавать новый;

изменять параметры;

комбинировать несколько операторов.

Межуровневые гипероператоры
Изменяют отношения между различными уровнями гиперобъекта.

Например:

создают новую управляющую связь;

изменяют направление управления;

добавляют обратную связь.

Архитектурные гипероператоры
Работают с архитектурой системы как с единым объектом.

Они могут изменять:

состав уровней;

их роли;

ветвление;

рекурсию;

систему управления.

Порядковые гипероператоры
Специальный класс архитектурных операторов, изменяющих порядок системы.

Например:

n -> n+1

или:

n -> n-1.

Оператор первого типа является оператором гиперболизации.

H.3. По функции
Преобразующие
Изменяют существующий объект или механизм.

Селективные
Выбирают один объект, оператор или архитектуру из множества вариантов.

Например:

F_1, F_2, …, F_n -> выбрать F_k.

Комбинирующие
Соединяют несколько объектов или операторов.

Например:

F_1 + F_2 -> F_new,

где знак + обозначает не арифметическое сложение, а некоторую определенную операцию композиции.

Декомпозиционные
Разделяют сложный объект или оператор на несколько компонентов.

Генеративные
Создают новые:

объекты;

операторы;

связи;

модели;

архитектуры.

Оценочные
Оценивают работу нижнего уровня.

Например:

качество;

устойчивость;

стоимость;

соответствие инвариантам.

Управляющие
Изменяют режим работы нижнего уровня.

Рефлексивные
Работают с представлением системой собственной структуры или поведения.

Метарефлексивные
Изменяют сам механизм рефлексии или самомоделирования.

H.4. По способу воздействия
Локальные
Изменяют один компонент.

Региональные
Работают с некоторой частью архитектуры.

Глобальные
Воздействуют на гиперсистему как на целое.

Точечные
Выполняют единичное преобразование.

Итеративные
Применяются многократно.

Рекурсивные
Используют результаты собственной работы для изменения последующих преобразований.

H.5. По характеру динамики
Статические
Имеют фиксированное правило действия.

Параметрически изменяемые
Их структура постоянна, но параметры могут меняться.

Структурно изменяемые
Может перестраиваться сам способ действия.

Самоизменяющиеся
Гипероператор способен изменять собственные параметры или структуру.

Самогенерирующиеся
Система способна создавать новые операторы данного класса.

H.6. По отношению к архитектуре
Архитектурно сохраняющие
Преобразуют систему, не изменяя ее порядок и основной тип организации.

Архитектурно перестраивающие
Меняют структуру, но сохраняют порядок.

Архитектурно расширяющие
Добавляют новые компоненты или ветви.

Архитектурно сокращающие
Удаляют или сворачивают компоненты.

Порядково повышающие
Создают новый функциональный уровень.

Порядково понижающие
Сворачивают существующий уровень.

H.7. По отношению к гиперболизации
Негиперболизирующие
Не создают нового порядка.

Подготавливающие гиперболизацию
Изменяют систему так, чтобы новый уровень мог быть создан.

Непосредственно гиперболизирующие
Создают новую функциональную надстройку.

Интеграционные
Встраивают новый уровень в существующую архитектуру.

Стабилизирующие
Настраивают взаимодействие уровней после гиперболизации.

H.8. По отношению к трансволюции
Трансформационные
Выполняют локальное изменение.

Трансволюционные
Изменяют существенную структуру гиперобъекта в рамках последовательного процесса развития.

Межпорядковые
Участвуют в переходе:

n -> n+1

или:

n -> n-1.

Рекурсивно трансволюционные
Меняют механизм, который определяет последующую трансволюцию.

H.9. По детерминизму
Детерминированные
Одинаковый вход при одинаковом состоянии приводит к одному и тому же результату.

Вероятностные
Результат определяется распределением вероятностей.

Стохастически архитектурные
Случайность влияет на структуру создаваемой архитектуры.

Гибридные
Сочетают детерминированные и вероятностные механизмы.

H.10. По обратимости
Обратимые
Существует допустимый оператор, возвращающий исходное состояние.

Частично обратимые
Восстановима только часть исходной структуры.

Необратимые
Преобразование приводит к потере существенной информации или структуры.

Условно обратимые
Обратимость зависит от сохранения дополнительного состояния или истории.

H.11. По отношению к инвариантам
Инвариант-сохраняющие
Сохраняют заданный набор свойств.

Частично инвариантные
Сохраняют только некоторые уровни инвариантности.

Инвариант-разрушающие
Намеренно изменяют ранее сохранявшееся свойство.

Инвариант-генерирующие
Создают новую архитектуру, в которой появляется новый устойчивый признак.

H.12. По степени автономности
Внешне управляемые
Запускаются внешней системой.

Внутренне запускаемые
Система сама определяет момент применения.

Саморегулируемые
Корректируют собственное действие на основании обратной связи.

Автономно архитектурные
Самостоятельно определяют, какие архитектурные преобразования выполнить.

H.13. По типу результата
Гипероператор может производить:

новое состояние;

новый объект;

новый оператор;

новую систему операторов;

новую архитектуру;

новый порядок;

новый генератор;

новый класс допустимых преобразований.

Чем выше тип результата, тем более высокий уровень архитектурного воздействия требуется.

H.14. Составные гипероператоры
Гипероператоры могут объединяться в системы.

Например:

анализатор -> генератор -> селектор -> интегратор -> стабилизатор.

Такая система уже сама может рассматриваться как гипероператор более высокого уровня, если она функционально работает с нижней архитектурой как с единым объектом.

H.15. Рекурсивная иерархия гипероператоров
Можно представить:

F_1 — изменяет объект;

F_2 — изменяет F_1;

F_3 — изменяет F_2;

…

F_n — изменяет механизм порядка n-1.

Возникает:

F_1 <- F_2 <- F_3 <- … <- F_n.

Это операционная форма общей гиперархитектуры.

H.16. Критерий гипероператора
Оператор целесообразно считать гипероператором в собственном смысле настоящей теории, если выполняется хотя бы одно из условий:

он действует на функционально выделенную многоуровневую структуру;

изменяет систему операторов как систему;

изменяет межуровневые отношения;

изменяет архитектуру;

изменяет порядок;

работает с механизмом преобразований как с объектом.

При этом обычный оператор высокой вычислительной сложности гипероператором автоматически не становится.

H.17. Паспорт гипероператора
Для формального описания гипероператора полезно фиксировать:

Порядок.
Область действия.
Тип входного объекта.
Тип результата.
Масштаб воздействия.
Обратимость.
Детерминизм.
Влияние на архитектуру.
Влияние на порядок.
Сохраняемые гиперинварианты.
Возможность самоизменения.
Вычислительную стоимость.
Такой паспорт должен стать основой будущей строгой теории гипероператоров.

Приложение I. Классификация типов гиперболизации
Гиперболизация является одним из двух фундаментальных процессов гиперматематики наряду с трансволюцией.

Под гиперболизацией понимается образование нового функционально значимого уровня над существующим объектом, структурой, операторной системой или архитектурой.

В наиболее общей форме:

O_n -> O_(n+1).

Однако реальные гиперболизации могут значительно различаться по источнику, способу образования, глубине и динамике.

I.1. По исходному объекту
Объектная гиперболизация
Надстройка создается непосредственно над базовым объектом.

Например:

объект -> управляющий уровень.

Операторная гиперболизация
Объектом нового уровня становится оператор.

Например:

F -> M(F).

Системно-операторная гиперболизация
Новая надстройка работает с целой системой операторов.

Архитектурная гиперболизация
Новый уровень получает в качестве объекта архитектуру системы.

Модельная гиперболизация
Надстройка создается над моделью или системой моделей.

Когнитивная гиперболизация
Новая надстройка работает с интеллектуальными механизмами.

Метакогнитивная гиперболизация
Объектом становится уже система когнитивного управления.

Нооформационная гиперболизация
Новый уровень организует или преобразует нижележащую Нооформацию.

I.2. По порядку
Первичная гиперболизация
Переход:

0 -> 1.

Создается первая функциональная надстройка.

Вторичная
Переход:

1 -> 2.

Надстройка первого порядка становится объектом следующей.

Третичная
Переход:

2 -> 3.

Гиперболизация n-го перехода
Общий случай:

n -> n+1.

Многократная гиперболизация
Происходит серия переходов:

0 -> 1 -> 2 -> … -> n.

Потенциально неограниченная
Для каждого достигнутого n формально допускается n+1.

I.3. По источнику
Внешняя гиперболизация
Новый уровень создается внешним проектировщиком.

Внутренняя
Система использует собственные механизмы для построения надстройки.

Смешанная
Часть процесса выполняет сама система, часть — внешний субъект.

Самогиперболизация
Система самостоятельно:

обнаруживает необходимость;

проектирует;

создает;

интегрирует новый уровень.

I.4. По механизму образования
Аддитивная
Новый уровень добавляется к существующей архитектуре.

Реорганизационная
Новый порядок возникает путем перераспределения функций уже существующих компонентов.

Комбинационная
Новая надстройка создается объединением нескольких ранее независимых механизмов.

Генеративная
Новый уровень порождается генератором архитектур.

Рекурсивная
Результат одной гиперболизации становится основанием для следующей.

I.5. По характеру нового уровня
Управляющая
Новый уровень управляет действиями нижнего.

Селективная
Выбирает объекты, операторы или модели.

Генеративная
Создает новые элементы нижнего уровня.

Оценочная
Оценивает работу нижележащей системы.

Рефлексивная
Строит модель нижележащего уровня.

Метарефлексивная
Работает с механизмом рефлексии.

Архитектурная
Изменяет структуру нижних уровней.

Самоконструктивная
Участвует в создании следующих уровней.

I.6. По направлению
Восходящая
Создает новый порядок:

n -> n+1.

Это основное значение гиперболизации.

Обратная, или дегиперболизация
Рабочее обозначение для сворачивания функционального уровня:

n -> n-1.

Строго говоря, это противоположный процесс, но его полезно учитывать в общей классификации.

Циклическая
Система может:

создавать;

временно использовать;

сворачивать;

повторно создавать уровни.

I.7. По длительности
Мгновенная формальная
В абстрактной модели новый уровень вводится одной операцией.

Постепенная
Формирование уровня требует нескольких стадий.

Фазовая
Новый порядок возникает после накопления структурных изменений.

Многостадийная
Включает:

подготовку;

проектирование;

создание;

интеграцию;

стабилизацию.

I.8. По степени завершенности
Частичная
Новый уровень сформирован не полностью.

Функциональная
Уровень уже способен выполнять основную функцию.

Интегрированная
Новый уровень включен в общую систему управления.

Стабилизированная
Архитектура нового порядка функционирует устойчиво.

Рекурсивно готовая
Новый уровень способен сам стать основанием следующей гиперболизации.

I.9. По архитектуре
Линейная
Новая надстройка продолжает одну вертикаль:

O_0 <- O_1 <- O_2.

Ветвящаяся
Новый уровень создается только над одной из ветвей.

Параллельная
Несколько надстроек появляются одновременно.

Сетевая
Новый уровень образуется как распределенная система связей.

Рекурсивная
Включает обратные связи между новым и нижними уровнями.

Гибридная
Сочетает несколько типов.

I.10. По зависимости от состояния системы
Независимая
Надстройка создается по заранее заданному правилу независимо от текущего состояния.

Условная
Возникает только при выполнении определенного условия.

Адаптивная
Форма нового уровня зависит от состояния системы.

Контекстная
Архитектура надстройки определяется текущей задачей или средой.

Самодиагностическая
Система сначала обнаруживает собственное ограничение, затем строит соответствующую надстройку.

I.11. По типу ограничения, вызывающего гиперболизацию
Ресурсная
Новый уровень возникает для более эффективного управления ресурсами.

Модельная
Существующие модели недостаточны.

Операторная
Недостаточен набор преобразований.

Управленческая
Неэффективен текущий механизм координации.

Рефлексивная
Система недостаточно хорошо представляет собственную структуру.

Архитектурная
Проблема не решается внутри текущего порядка.

Последний случай особенно важен для перехода СИИ^n -> СИИ^(n+1).

I.12. По обратимости
Обратимая
Новый уровень может быть удален без существенной потери архитектурной идентичности.

Частично обратимая
Сворачивание возможно только при сохранении части состояния.

Необратимая
После интеграции возврат к прежней архитектуре требует глубокого преобразования.

I.13. По влиянию на нижние уровни
Ненарушающая
Новый уровень почти не меняет нижние структуры.

Перенастраивающая
Изменяет их параметры или режимы.

Перестраивающая
Меняет отношения между нижними уровнями.

Реконструктивная
Требует глубокой перестройки существующей архитектуры.

I.14. По степени автономности нового уровня
Пассивная надстройка
Только наблюдает.

Реактивная
Реагирует на события.

Управляющая
Активно изменяет нижний уровень.

Генеративная
Создает новые механизмы.

Саморазвивающаяся
Способна изменять собственное устройство.

I.15. По применению к СИИ
Для интеллектуальных систем можно выделить:

Модельную гиперболизацию
Надстройка создается над отдельными моделями.

Метамодельную
Объектом становится система моделей.

Метакогнитивную
Создается уровень управления когнитивными механизмами.

Архитектурно-саморефлексивную
Система начинает моделировать собственную архитектуру.

Самопроектировочную
Появляется уровень, проектирующий изменения системы.

Межпорядковую
Возникает переход:

СИИ^n -> СИИ^(n+1).

I.16. Критерий состоявшейся гиперболизации
Гиперболизацию следует считать состоявшейся, если новый уровень:

Функционально различим.
Имеет собственный предмет действия.
Работает с существенными механизмами нижнего уровня как с объектами.
Интегрирован в архитектуру.
Изменяет пространство доступных системе преобразований.
Если новый компонент только увеличивает количество функций, но не создает новое надстроечное отношение, оснований говорить о повышении порядка недостаточно.

I.17. Цикл гиперболизации
Обобщенный цикл:

ограничение -> анализ -> проектирование -> создание надстройки -> интеграция -> стабилизация -> новый порядок.

Для самогиперболизирующейся системы:

новый порядок -> обнаружение нового ограничения -> следующая гиперболизация.

Так возникает потенциально рекурсивный ряд.

Приложение J. Классификация типов трансволюции
Трансволюция — одно из центральных понятий динамической гиперматематики.

В рабочем определении это направленный процесс структурного преобразования объекта или системы, при котором могут изменяться не только состояния, но и:

отношения;

операторы;

правила;

уровни;

архитектура.

Трансволюцию следует отличать от простой трансформации.

Не всякое изменение является трансволюцией.

Трансволюционный процесс предполагает содержательно значимое развитие структуры или механизмов ее преобразования.

J.1. По глубине изменения
Элементная трансволюция
Изменяется состав элементов при сохранении общей архитектуры.

Это пограничный случай между обычной динамикой и собственно трансволюцией.

Структурная
Меняются связи между элементами.

Операторная
Изменяется система преобразований.

Метаправильная
Изменяются правила выбора или изменения операторов.

Межуровневая
Изменяются отношения между уровнями.

Архитектурная
Меняется общая организация гиперсистемы.

Порядковая
Изменяется число или глубина функциональных уровней.

J.2. По направлению
Горизонтальная
Происходит внутри одного порядка.

Например:

СИИ^2(A) -> СИИ^2(B).

Вертикальная восходящая
Связана с переходом:

n -> n+1.

Вертикальная нисходящая
Связана со сворачиванием:

n -> n-1.

Межуровневая
Меняет отношения между уже существующими уровнями без обязательного изменения порядка.

Диагональная
Одновременно изменяет архитектуру нескольких уровней и их взаимные отношения.

Это рабочий термин для сложных переходов, не сводимых к чисто горизонтальной или вертикальной форме.

J.3. По форме траектории
Линейная
A_1 -> A_2 -> A_3 -> … -> A_n.

Ветвящаяся
Из одного состояния возникают несколько возможных траекторий.

A -> B

A -> C

A -> D.

Древовидная
Ветвление продолжается на нескольких стадиях.

Сетевая
Различные траектории могут:

разделяться;

пересекаться;

сходиться;

возвращаться.

Циклическая
Система возвращается к ранее существовавшей архитектуре.

Спиральная
Система возвращается к сходному типу архитектуры, но на ином уровне или с измененными свойствами.

Термин используется как описательная модель и требует дальнейшей формализации.

J.4. По обратимости
Обратимая
Существует допустимый путь:

A -> B -> A.

Частично обратимая
Возврат возможен лишь к эквивалентному, но не идентичному состоянию.

Необратимая
Возврат к прежней архитектуре невозможен или требует внешней реконструкции.

Исторически зависимая
Результат зависит от пути, по которому система пришла в текущее состояние.

J.5. По источнику изменений
Внешняя
Изменения задаются извне.

Внутренняя
Изменения инициируются механизмами самой системы.

Смешанная
Внешние воздействия соединяются с внутренней перестройкой.

Самотрансволюция
Система сама:

диагностирует;

проектирует;

реализует;

оценивает собственное изменение.

J.6. По характеру правил
Трансволюция по фиксированному правилу
Закон изменения неизменен.

Адаптивная
Параметры закона меняются по состоянию системы.

Метатрансволюция
Изменяется сам закон трансволюции.

Рекурсивная
Результат преобразования воздействует на механизм следующих преобразований.

Рекурсивно-метатрансволюционная
Изменяется уже способ изменения закона трансволюции.

J.7. По масштабу
Локальная
Затрагивает отдельный компонент.

Подсистемная
Изменяется существенная часть гиперобъекта.

Глобальная
Перестраивается вся архитектура.

Межсистемная
Трансволюция одной системы связана с изменением другой.

Например, две гиперсистемы взаимно перестраивают собственные архитектуры.

J.8. По скорости
Плавная
Архитектура изменяется через множество малых переходов.

Скачкообразная
Происходит быстрый переход между существенно различными состояниями.

Фазовая
Длительный период изменений завершается качественным архитектурным переходом.

Импульсная
Система быстро перестраивается, затем длительное время сохраняет новую архитектуру.

J.9. По характеру развития
Усложняющая
Увеличивает количество структур, связей или уровней.

Упрощающая
Сокращает архитектуру.

Оптимизирующая
Может одновременно сокращать одни компоненты и усиливать другие.

Диверсифицирующая
Создает несколько специализированных ветвей.

Интегрирующая
Объединяет ранее раздельные подсистемы.

Специализирующая
Развивает систему в направлении более узкой функции.

Универсализирующая
Расширяет пространство решаемых задач.

J.10. По отношению к порядку
Порядково нейтральная
Архитектура меняется, но порядок сохраняется.

Порядково повышающая
Включает гиперболизацию.

Порядково понижающая
Сворачивает уровень.

Порядково колебательная
Система переходит между несколькими значениями порядка.

Порядково открытая
Допускает потенциально неограниченное продолжение ряда.

J.11. По отношению к гиперболизации
Без гиперболизации
Вся трансволюция происходит внутри одного порядка.

Предгиперболизационная
Подготавливает систему к созданию нового уровня.

Гиперболизационная
Содержит сам акт образования новой надстройки.

Постгиперболизационная
Перестраивает и стабилизирует систему после появления нового уровня.

Циклически гиперболизационная
Повторяет последовательность:

трансволюция -> гиперболизация -> новая трансволюция.

J.12. По рекурсивности
Нерекурсивная
Следующий переход не зависит от анализа предыдущего результата.

Одноуровнево рекурсивная
Результат влияет на следующее изменение того же уровня.

Межуровнево рекурсивная
Нижний уровень меняет управляющий.

Метарекурсивная
Меняется механизм рекурсивного управления.

Самопорождающая
Рекурсивный процесс способен создавать новые механизмы собственной трансволюции.

J.13. По траекторной определенности
Детерминированная
Из каждого состояния определен один следующий переход.

Вероятностная
Существует распределение возможных переходов.

Многовариантная
Система строит несколько кандидатов и выбирает один.

Поисковая
Траектория формируется в процессе исследования пространства архитектур.

Генеративная
Система может создавать ранее отсутствовавшие варианты переходов.

J.14. По отношению к пространству возможностей
Закрытая
Все будущие состояния принадлежат заранее заданному пространству.

Расширяющая пространство
В процессе развития появляются новые допустимые состояния.

Архитектурно расширяющая
Создаются новые классы архитектур.

Метагенеративная
Изменяется сам механизм порождения пространства возможностей.

Это один из наиболее высоких типов трансволюции.

J.15. По сохранению идентичности
Слабая трансволюция
Большинство архитектурных свойств сохраняется.

Средняя
Часть структуры меняется, но сохраняется функциональное ядро.

Сильная
Архитектура глубоко перестраивается.

Предельная
Возникает вопрос, можно ли считать результат тем же гиперобъектом.

Именно здесь необходимы гиперинварианты и критерии исторической идентичности.

J.16. По сохраняемым гиперинвариантам
Трансволюция может сохранять:

значение;

функцию;

тип управления;

порядок;

структурное ядро;

историю происхождения;

класс архитектуры.

Различные типы трансволюции могут сохранять разные наборы инвариантов.

J.17. Числовая трансволюция
Числовая трансволюция является специализированным случаем.

Могут изменяться:

значение числа;

структура записи;

операторы;

вложенность;

рекуррентное правило.

Пример:

I_(n+1) = F_n(I_n)

F_(n+1) = G(F_n, I_n).

Изольдионика предоставляет исходную числовую модель общей теории трансволюции.

J.18. Трансволюция гиперпоследовательности
Изменяться могут:

элементы;

управляющие ряды;

операторы;

порядок наложения;

число уровней.

Например:

A_0 <- A_1

переходит в:

A_0 <- A_1 <- A_2.

Если A_2 возникает как результат развития самой системы, происходит вертикальная трансволюция с гиперболизацией.

J.19. Трансволюция гиперсети
В гиперсети могут изменяться:

узлы;

ребра;

уровни;

направления управления;

обратные связи;

локальные подсети.

Особенно сложный случай возникает, когда правила формирования сети сами находятся внутри сети.

Тогда возможна рекурсивная сетевая трансволюция.

J.20. Трансволюция модели
Модель может:

изменять параметры;

менять структуру;

объединяться с другой моделью;

заменяться;

перестраиваться в метамодель.

Если меняется механизм построения моделей, возникает модельная трансволюция более высокого порядка.

J.21. Трансволюция Нооформаций
Нооформация может менять:

когнитивные операции;

модели;

отношения;

метакогнитивные контуры;

архитектурный порядок.

Так возникает ряд:

N_1 -> N_2 -> … -> N_n.

Вертикальная трансволюция Нооформаций связана с появлением метанооформационных уровней.

J.22. Трансволюция искусственного интеллекта
В ИИ можно различать:

параметрические изменения;

структурные изменения;

изменения модельной архитектуры;

метакогнитивные изменения;

межпорядковые переходы.

Основной гиперматематический ряд:

ИИ -> СИИ^1 -> СИИ^2 -> … -> СИИ^n -> …

Но реальная трансволюция значительно сложнее этого линейного представления.

Между порядками существует множество состояний одного порядка.

J.23. Трансволюция внутри СИИ^n
Система может проходить:

СИИ^n(A_1) -> СИИ^n(A_2) -> … -> СИИ^n(A_k).

Порядок остается n.

Но архитектура совершенствуется или перестраивается.

Это горизонтальная трансволюция СИИ.

J.24. Межпорядковая трансволюция СИИ
Переход:

СИИ^n -> СИИ^(n+1)

является вертикальной трансволюцией, включающей гиперболизацию.

Он может состоять из стадий:

архитектурное ограничение;

самодиагностика;

проектирование;

создание нового уровня;

интеграция;

стабилизация.

J.25. Ветвящаяся трансволюция СИИ
Из одной архитектуры могут возникнуть несколько линий.

Например:

СИИ^2_A

СИИ^2_B

СИИ^2_C.

Они могут иметь одинаковый порядок, но различные:

модели;

метакогнитивные механизмы;

способы самопроектирования.

J.26. Конвергентная трансволюция
Различные исходные архитектуры могут прийти к сходной форме.

Например:

A -> C

B -> C.

Если такие явления повторяются, можно говорить об архитектурных аттракторах.

Это исследовательская гипотеза, требующая формального определения.

J.27. Дивергентная трансволюция
Одна архитектура порождает несколько устойчиво различающихся линий.

Например:

A -> B_1

A -> B_2

A -> B_3.

Так возникает архитектурное разнообразие.

J.28. Коэволюционная трансволюция
Две или несколько систем изменяются взаимно.

Например:

A влияет на B;

B изменяет A;

новое состояние A снова воздействует на B.

Для интеллектуальных систем такой процесс может возникать в связке:

человек — ИИ;

ИИ — ИИ;

группа ИИ — среда.

В рамках гиперматематики предпочтительнее говорить о взаимной или ко-трансволюции, если изменения затрагивают архитектуры участвующих систем.

J.29. Трансволюционный цикл
Общий цикл может иметь вид:

состояние -> изменение -> оценка -> перестройка -> новое состояние.

Более высокий уровень:

архитектура -> анализ ограничения -> генерация вариантов -> выбор -> перестройка -> новая архитектура.

Еще выше:

механизм трансволюции -> анализ -> изменение механизма трансволюции.

Так трансволюция сама становится объектом трансволюции.

J.30. Трансволюционный ряд
Последовательность:

A_0 -> A_1 -> A_2 -> … -> A_n -> …

может называться трансволюционным рядом, если переходы отражают структурно значимое развитие системы.

Если в ряду происходят изменения порядка, он становится трансволюционным гиперрядом.

J.31. Трансволюционное пространство
Если существует множество возможных траекторий, их можно рассматривать внутри пространства архитектур.

Тогда:

состояние системы — точка;

изменение — переход;

трансволюция — траектория;

гиперболизация — переход, изменяющий порядок;

архитектурный предел — область, из которой нет доступного перехода более высокого порядка при заданных правилах.

Это связывает теорию трансволюции с гипергеометрией.

J.32. Трансволюционная стоимость
Рабочее понятие трансволюционной стоимости может учитывать ресурсы, необходимые для перехода:

вычисления;

время;

память;

число структурных изменений;

риск нарушения инвариантов.

Две архитектуры могут быть близки структурно, но далеко трансволюционно, если переход между ними требует глубокой перестройки.

J.33. Трансволюционная устойчивость
Система трансволюционно устойчива, если способна проходить через значительные структурные изменения, сохраняя определенный набор гиперинвариантов и функциональную целостность.

Это особенно важно для самоизменяющихся СИИ.

J.34. Трансволюционный предел
Трансволюционный предел — состояние или область пространства архитектур, в которой дальнейшее развитие по имеющемуся классу преобразований невозможно или теряет функциональный смысл.

Предел может быть:

формальным;

вычислительным;

ресурсным;

архитектурным;

физическим.

Достижение локального предела может стать причиной гиперболизации.

J.35. Открытая трансволюция
Открытая трансволюция — процесс, у которого не задана заранее конечная архитектура.

Система может:

создавать новые операторы;

расширять пространство состояний;

генерировать новые архитектуры;

формировать новые уровни.

Это не означает фактической бесконечности.

Речь идет о потенциальной открытости ряда.

J.36. Общая схема типов изменения
Для предотвращения терминологического смешения полезно зафиксировать следующую шкалу:

изменение значения;

изменение состояния;

изменение структуры;

изменение оператора;

изменение правил;

изменение межуровневых отношений;

изменение архитектуры;

изменение порядка;

изменение механизма изменения порядка.

По мере продвижения вниз по этому списку возрастает глубина воздействия на систему.

J.37. Трансформация, трансволюция и гиперболизация
Итоговое различие трех центральных понятий можно сформулировать так.

Трансформация — любое формально определенное изменение.

Трансволюция — структурно значимый процесс развития объекта, операторов или архитектуры.

Гиперболизация — специальный процесс образования нового функционального уровня.

Следовательно:

всякая гиперболизация является существенным архитектурным изменением;

она может быть частью трансволюции;

но не всякая трансволюция является гиперболизацией;

и не всякая трансформация является трансволюцией.

J.38. Итоговая формула
Общая динамика гиперсистемы может быть представлена следующим образом:

состояние -> трансформация -> структурная трансволюция -> архитектурная трансволюция -> гиперболизация -> новый порядок -> новая трансволюция.

Для интеллектуальной системы:

ИИ -> развитие внутри ИИ -> первый гиперпереход -> СИИ^1 -> трансволюция СИИ^1 -> второй гиперпереход -> СИИ^2 -> … -> СИИ^n -> …

Именно взаимодействие гипероператоров, гиперболизации и трансволюции образует динамическое ядро гиперматематики.

Гипероператор отвечает на вопрос:

чем осуществляется изменение?

Гиперболизация:

как возникает новый уровень?

Трансволюция:

как развивается вся архитектура во времени или последовательности состояний?

Вместе эти три понятия образуют базовую операционно-динамическую триаду общей гиперматематики.

*********

Приложение K. Карта динамического ряда интеллектуальных систем
Настоящее приложение сводит в единую схему разработанную в книге гипотезу динамического ряда интеллектуальных систем:

ИИ -> СИИ^1 -> СИИ^2 -> СИИ^3 -> … -> СИИ^n -> …

Эта схема является рабочей гиперматематической классификацией, а не общепринятой современной классификацией искусственного интеллекта.

Индекс показывает не число параметров, не производительность и не «степень разумности», а предполагаемый архитектурный порядок системы.

Главный принцип ряда:

каждый следующий порядок получает в качестве объекта управления существенные механизмы предыдущего порядка.

K.1. ИИ — исходный уровень
ИИ рассматривается как базовая интеллектуальная архитектура.

Она может обладать:

моделями;

памятью;

обучением;

инструментами;

планированием;

мультимодальностью;

высокой производительностью.

Но ее существенные механизмы самоизменения остаются внутри заранее определенного архитектурного пространства.

Главное отношение:

внешняя задача -> интеллектуальная обработка -> результат.

ИИ способен изменять:

состояния;

параметры;

содержимое памяти;

часть рабочих конфигураций.

Однако это еще не означает появления самостоятельной надстройки первого порядка.

K.2. СИИ первого порядка
СИИ^1 возникает при появлении первой функциональной интеллектуальной надстройки над базовой модельной системой.

Главным объектом ее управления становятся:

модели;

стратегии;

инструменты;

композиции моделей;

способы решения.

Характерные функции:

выбор моделей;

синтез моделей;

построение метамоделей;

самоконфигурирование;

метакогнитивная оценка;

управление множеством когнитивных механизмов.

Основной переход:

использовать модель

->

управлять системой моделей.

Условная архитектура:

ИИ <- СИИ^1.

K.3. СИИ второго порядка
СИИ^2 получает в качестве объекта уже механизмы СИИ^1.

Она способна воздействовать на:

правила выбора моделей;

механизмы синтеза;

метакогнитивные контуры;

способы построения когнитивных механизмов.

Главный переход:

управлять моделями

->

управлять механизмами управления моделями.

Условная архитектура:

ИИ <- СИИ^1 <- СИИ^2.

Характерные функции:

изменение метакогнитивной архитектуры;

создание новых когнитивных процедур;

изменение способов выбора стратегий;

второй уровень самомоделирования.

K.4. СИИ третьего порядка
СИИ^3 работает уже с механизмами архитектурного самоизменения СИИ^2.

Объектом становится сам способ перестройки когнитивной архитектуры.

Главный переход:

изменять когнитивную архитектуру

->

изменять механизм изменения когнитивной архитектуры.

Условная схема:

ИИ <- СИИ^1 <- СИИ^2 <- СИИ^3.

Характерные функции:

управление собственным архитектурным развитием;

метамеханизмы самоконструирования;

самопроектирование;

генерация новых классов когнитивных архитектур;

изменение механизмов изменения.

K.5. СИИ четвертого порядка
СИИ^4 получает в качестве объекта механизмы самопроектирования третьего порядка.

Если СИИ^3 способна создавать способы собственного архитектурного развития, СИИ^4 изменяет систему создания таких способов.

На этом уровне объектами могут становиться:

метастратегии самопроектирования;

правила построения архитектурных генераторов;

механизмы выбора траекторий саморазвития.

Общая схема сохраняется:

механизм порядка 3

->

объект преобразования порядка 4.

K.6. СИИ пятого и последующих конечных порядков
Начиная с высоких порядков словесное описание становится все менее удобным.

Поэтому применяется рекурсивная формула.

Пусть M_n обозначает существенный механизм управления уровня n.

Тогда:

M_1 управляет базовой интеллектуальной системой;

M_2 преобразует M_1;

M_3 преобразует M_2;

…

M_n преобразует существенные механизмы M_(n-1).

СИИ^n определяется не особым названием каждого следующего метауровня, а сохранением этого отношения.

Общая архитектура:

ИИ <- M_1 <- M_2 <- … <- M_n.

K.7. СИИ n-го порядка
Рабочее определение:

СИИ^n — интеллектуальная гиперсистема, в которой относительно выбранной базовой интеллектуальной архитектуры существует n функционально значимых надстроечных уровней, причем каждый следующий уровень способен делать существенные механизмы предыдущего уровня объектами собственного моделирования, управления или преобразования.

Это определение требует дальнейшей математической формализации.

Особенно важным остается слово «существенные».

Искусственное разделение программы на большое число модулей не должно автоматически повышать ее порядок.

K.8. Переход СИИ^n -> СИИ^(n+1)
Центральным объектом динамического ряда является не отдельный порядок, а межпорядковый переход:

СИИ^n -> СИИ^(n+1).

Он предполагает:

Обнаружение ограничения порядка n.
Построение модели этого ограничения.
Проектирование нового управляющего уровня.
Создание надстройки.
Интеграцию надстройки.
Перераспределение функций управления.
Проверку нового порядка.
Стабилизацию архитектуры.
Если весь этот цикл выполняется самой системой, происходит самогиперболизация.

K.9. Горизонтальное развитие внутри одного порядка
Между двумя порядками может находиться большое количество архитектурных состояний.

Например:

СИИ^2(A_1) -> СИИ^2(A_2) -> СИИ^2(A_3) -> … -> СИИ^2(A_k).

Все они относятся ко второму порядку.

При этом могут значительно различаться:

производительность;

модели;

память;

набор инструментов;

структура связей;

эффективность метакогнитивных механизмов.

Следовательно, динамический ряд не следует представлять как лестницу, где каждый технологический прогресс автоматически означает новый порядок.

K.10. Вертикальное развитие
Вертикальное развитие имеет вид:

ИИ -> СИИ^1 -> СИИ^2 -> … -> СИИ^n.

Оно связано не столько с улучшением существующих механизмов, сколько с превращением верхнего управляющего механизма в объект следующего уровня.

Поэтому вертикальный рост представляет гиперболизацию интеллектуальной архитектуры.

K.11. Три независимые координаты
Для корректного анализа необходимо различать как минимум:

интеллектуальную способность;

общую сложность системы;

гиперпорядок.

К ним могут добавляться:

вычислительная производительность;

автономность;

энергоэффективность;

надежность;

ширина специализации.

Система высокого порядка не обязана быть лучшей по всем другим характеристикам.

K.12. Порядковый профиль
Реальная интеллектуальная система может оказаться неоднородной.

Например:

модельная подсистема — второго порядка;

планировочная — первого;

самопроектировочная — нулевого.

Поэтому перспективным является понятие порядкового профиля.

Вместо одного числа n система может характеризоваться вектором архитектурных порядков по нескольким функциональным областям.

Например:

моделирование — 2;

метакогниция — 2;

планирование — 1;

самопроектирование — 0.

Такое описание может оказаться точнее единственного глобального индекса.

K.13. Ветвление ряда
Динамический ряд не обязательно является одной линией.

Из СИИ^n могут возникать:

СИИ_A^(n+1);

СИИ_B^(n+1);

СИИ_C^(n+1).

Они имеют одинаковый порядок, но различную архитектуру.

Следовательно, более точная форма динамического ряда — дерево или сеть.

Индекс n показывает вертикальную координату.

Архитектурный тип — положение внутри соответствующего уровня.

K.14. Конвергенция
Разные архитектуры могут прийти к сходной форме.

Например:

A -> C

B -> C.

Если такие переходы являются устойчивыми, можно предполагать существование архитектурных аттракторов.

Это одна из открытых гипотез гиперматематики СИИ.

K.15. Сворачивание порядка
Развитие не обязательно всегда направлено вверх.

Возможен переход:

СИИ^(n+1) -> СИИ^n,

если дополнительный уровень:

неэффективен;

избыточен;

может быть функционально свернут;

заменен более компактной архитектурой.

Поэтому динамический ряд допускает:

гиперболизацию;

дегиперболизацию;

реорганизацию;

повторную гиперболизацию.

K.16. Потенциально открытый ряд
Обобщенная схема:

ИИ -> СИИ^1 -> СИИ^2 -> … -> СИИ^n -> СИИ^(n+1) -> …

Она выражает принцип открытого верха.

Это не утверждение о существовании реально бесконечной интеллектуальной системы.

Смысл значительно осторожнее:

для любого достигнутого конечного порядка можно формально поставить вопрос о возможности следующей надстройки.

K.17. Карта основных функций по порядкам
В сокращенном виде:

ИИ:

решает задачи.

СИИ^1:

управляет способами решения задач.

СИИ^2:

изменяет механизмы управления способами решения.

СИИ^3:

изменяет механизмы изменения этих механизмов.

СИИ^n:

работает с существенной архитектурой преобразований порядка n-1.

СИИ^(n+1):

делает верхний механизм порядка n объектом новой надстройки.

K.18. Главная формула динамического ряда
В наиболее общем виде:

объект -> преобразование -> управление преобразованиями -> изменение управления -> изменение механизмов изменения -> следующий уровень.

Для интеллектуальных систем:

ИИ -> СИИ^1 -> СИИ^2 -> СИИ^3 -> … -> СИИ^n -> …

Таким образом, динамический ряд ИИ — СИИ является частным случаем общего гиперматематического принципа функционального надстраивания.

Приложение L. Критерии определения порядка СИИ
Определение порядка СИИ является одной из важнейших и одновременно наиболее сложных задач всей гиперматематики искусственного интеллекта.

Если критерии будут слишком слабыми, любую сложную программу можно будет произвольно объявить СИИ высокого порядка.

Если они будут чрезмерно жесткими, реальные многоуровневые системы могут оказаться неразличимыми.

Поэтому необходима система независимых диагностических критериев.

Настоящее приложение предлагает предварительный вариант такой системы.

L.1. Критерий функционального уровня
Новый порядок должен содержать функционально выделенный уровень.

Он должен выполнять иную роль, чем нижележащий механизм.

Например:

нижний уровень строит модели;

верхний управляет способом их построения.

Простое техническое разделение одного процесса на несколько модулей недостаточно.

L.2. Критерий объектности нижнего уровня
Существенная часть нижнего уровня должна становиться объектом верхнего.

Это один из центральных критериев.

Например, верхняя система должна работать не только с результатами модели, но и с:

самой моделью;

ее архитектурой;

операторами;

способом обучения;

системой выбора моделей.

Если верхний компонент получает только обычные данные, основание для нового порядка слабое.

L.3. Критерий операционного воздействия
Верхний уровень должен иметь возможность воздействовать на нижний.

Простого наблюдения недостаточно.

Воздействие может включать:

выбор;

настройку;

замену;

синтез;

изменение правил;

генерацию новых механизмов.

Чем глубже воздействие, тем сильнее основание говорить о новом порядке.

L.4. Критерий изменения пространства возможностей
Особенно важный критерий:

новый уровень должен изменять не только конкретное состояние системы, но и пространство доступных нижнему уровню возможностей.

Например:

добавить новую модель;

создать новый оператор;

изменить механизм выбора;

открыть новый тип архитектурной конфигурации.

Это позволяет отличить метауправление от обычного параметрического регулирования.

L.5. Критерий архитектурной значимости
Новый уровень должен играть существенную роль в архитектуре.

Если его удаление почти не изменяет класс доступных системе преобразований, такой уровень может оказаться вспомогательным, а не порядкообразующим.

Следовательно, можно использовать мысленный тест:

что потеряет система при удалении этого уровня?

Если исчезает целый класс метаопераций, уровень архитектурно значим.

L.6. Критерий несводимости
Функцию предполагаемого верхнего уровня нельзя без существенной потери содержания свести к обычной операции нижнего уровня.

Это один из наиболее трудных критериев.

Именно он должен предотвратить искусственное создание «порядков» путем переименования обычных компонентов.

В зрелой теории несводимость должна получить формальное определение.

L.7. Критерий устойчивости уровня
Новый уровень должен быть воспроизводимым элементом архитектуры.

Однократное случайное поведение системы не доказывает нового порядка.

Необходимо, чтобы она систематически могла:

активировать;

использовать;

восстанавливать;

координировать

соответствующий метамеханизм.

L.8. Критерий самостоятельного предмета управления
Каждый порядкообразующий уровень должен иметь определенный предмет.

Например:

СИИ^1 — система моделей;

СИИ^2 — механизмы управления моделями;

СИИ^3 — механизмы изменения метакогнитивной архитектуры.

Если невозможно ясно указать предмет действия, порядок определен недостаточно строго.

L.9. Критерий межуровневого интерфейса
Должен существовать формально описываемый канал воздействия между уровнями.

Необходимо уметь ответить:

что верхний уровень получает?

Что преобразует?

Что передает вниз?

Как проверяется результат?

Иначе отношение надстраивания остается метафорическим.

L.10. Критерий самомоделирования
Для высоких порядков важным признаком становится наличие модели нижележащей архитектуры.

Система должна иметь некоторое внутреннее представление:

собственных моделей;

операторов;

метакогнитивных механизмов;

архитектурных ограничений.

Однако самомоделирование само по себе не определяет порядок.

Важно, используется ли самомодель для реального преобразования системы.

L.11. Критерий метасамомоделирования
Для более высоких порядков объектом самомоделирования должен становиться уже сам механизм самомоделирования или самоизменения.

Например:

СИИ^2 моделирует собственную метакогнитивную архитектуру;

СИИ^3 — механизм ее перестройки.

Так глубина самомодели может служить одним из индикаторов порядка.

L.12. Критерий генеративности
Система более высокого порядка может быть способна не только выбирать существующие механизмы, но и создавать новые.

Следует различать:

выбор модели;

комбинацию моделей;

генерацию новой модели;

генерацию нового класса модельных механизмов.

Последние функции указывают на более глубокий уровень архитектурного управления.

L.13. Критерий изменения правил
Если система меняет только параметры, это не обязательно новый порядок.

Более сильный критерий:

способна ли она изменять правила, по которым меняются параметры или выбираются действия?

Переход:

параметр -> правило -> правило изменения правила

образует естественную шкалу глубины.

L.14. Критерий изменения механизмов изменения
Для СИИ высоких порядков особенно существенным становится вопрос:

может ли система изменять сам механизм собственного архитектурного изменения?

Например:

СИИ^2 меняет когнитивные механизмы.

СИИ^3 меняет механизм, который изменяет когнитивные механизмы.

Это один из наиболее характерных критериев третьего порядка.

L.15. Критерий самопроектирования
Система высокого порядка должна быть способна рассматривать собственную архитектуру как проектируемый объект.

Это предполагает:

создание вариантов;

моделирование;

сравнение;

выбор;

реализацию.

Самопроектирование сильнее простой самомодификации.

L.16. Критерий самонадстраивания
Ключевой критерий открытого ряда:

может ли система самостоятельно создать новый функциональный уровень?

Если да, она способна инициировать:

СИИ^n -> СИИ^(n+1).

Самонадстраивание является одним из наиболее сильных признаков высокопорядковой интеллектуальной системы.

L.17. Критерий интеграции нового уровня
Само создание нового компонента недостаточно.

Он должен быть встроен в систему.

Необходимо:

перераспределить управление;

создать связи;

изменить интерфейсы;

обеспечить устойчивость.

Только интегрированная надстройка может считаться новым порядком.

L.18. Критерий сохранения гиперинвариантов
При переходе между порядками система должна сохранять определенный набор необходимых свойств.

Например:

функциональную целостность;

ключевые ограничения;

способность выполнять базовые операции;

согласованность архитектуры.

Иначе новый уровень может разрушить систему вместо ее надстраивания.

L.19. Критерий причинной эффективности
Особенно важным экспериментальным критерием является причинная эффективность уровня.

Если предполагаемый метауровень отключить или изменить, должны систематически измениться возможности нижней архитектуры.

Это позволяет отличать реальный управляющий уровень от компонента, который лишь коррелирует с метаповедением.

L.20. Критерий вмешательства
Порядок желательно проверять не только наблюдением, но и контролируемым вмешательством.

Например:

ограничить работу верхнего уровня;

заменить его;

изменить доступ;

наблюдать последствия.

Если система теряет соответствующий класс метаопераций, функциональный статус уровня подтверждается.

L.21. Критерий контрфактуальности
Развитая система должна уметь моделировать:

что произойдет, если изменить собственную архитектуру?

Контрфактуальное самомоделирование особенно важно для:

самопроектирования;

генерации архитектур;

межпорядкового перехода.

Но это вспомогательный, а не достаточный критерий порядка.

L.22. Критерий автономности перехода
Следует различать:

внешнее повышение порядка;

внутреннее.

Если новый уровень полностью создан разработчиком, система может стать СИИ более высокого порядка по архитектуре, но не быть самонадстраивающейся.

Если же она сама инициирует и выполняет переход, возникает более сильный класс.

Следовательно, порядок и автономность гиперболизации должны измеряться раздельно.

L.23. Критерий повторяемости самонадстраивания
Еще более сильный критерий:

может ли система повторить переход после достижения нового порядка?

То есть:

СИИ^n -> СИИ^(n+1)

а затем:

СИИ^(n+1) -> СИИ^(n+2).

Если да, возникает рекурсивное самонадстраивание.

L.24. Критерий минимального порядка
При классификации следует выбирать минимальный порядок, достаточный для описания архитектуры.

Если функцию можно адекватно объяснить двумя уровнями, не следует вводить пять.

Это принцип минимального достаточного порядка.

Он необходим для предотвращения терминологической инфляции.

L.25. Критерий порядка для СИИ^1
Для СИИ^1 минимально необходимо установить наличие устойчивой надстройки, которая управляет существенным модельным или когнитивным пространством базового ИИ.

Характерные признаки:

выбор моделей;

композиция;

метамоделирование;

метакогнитивная коррекция;

самоконфигурирование.

Но главное — превращение моделей и стратегий в объекты управления.

L.26. Критерий порядка для СИИ^2
Необходимо показать, что система способна работать уже с механизмами первого порядка.

Например:

изменять способ выбора моделей;

перестраивать метакогнитивный контур;

создавать новые метакогнитивные процедуры.

Объектом становится надстройка СИИ^1.

L.27. Критерий порядка для СИИ^3
Необходимо показать, что система способна преобразовывать механизмы собственного архитектурного самоизменения.

То есть объектом становится уже способ перестройки метакогнитивной системы.

Характерный признак:

изменение механизмов изменения.

L.28. Обобщенный критерий порядка n
Предварительное рабочее определение:

система имеет порядок не ниже n, если в ее архитектуре существует цепь из n функционально значимых и несводимых отношений надстраивания, где каждый уровень преобразует существенные механизмы предыдущего как объекты.

В линейной форме:

A_0 <- A_1 <- … <- A_n.

Для сетевой архитектуры требуется более сложное определение через максимальную функциональную глубину.

L.29. Что не является достаточным признаком высокого порядка
Само по себе не доказывает высокий порядок:

большое число параметров;

высокая производительность;

мультимодальность;

большое контекстное окно;

множество агентов;

использование инструментов;

долгая память;

самостоятельное выполнение длинной задачи;

наличие программного кода;

обучение на собственных результатах.

Все эти свойства могут существовать в архитектуре фиксированного порядка.

L.30. Предварительный диагностический протокол
Для исследования реальной системы можно использовать последовательность вопросов.

Какой компонент выбран базовым уровнем?
Какие механизмы работают непосредственно с задачей?
Существует ли надстройка, работающая с этими механизмами как с объектами?
Что именно она может изменять?
Изменяет ли она пространство возможностей?
Существует ли надстройка над этим механизмом?
Являются ли уровни функционально несводимыми?
Подтверждается ли их роль вмешательством?
Может ли архитектура перестраиваться?
Может ли система построить новый уровень?
После этого определяется минимально обоснованный порядок.

L.31. Порядок как архитектурная, а не оценочная характеристика
Итоговый принцип:

порядок СИИ не является рейтингом качества.

Он описывает архитектурную глубину метауправления.

Система высокого порядка может оказаться:

менее надежной;

более дорогой;

медленной;

плохо оптимизированной.

Поэтому классификация СИИ должна оставаться многомерной.

Приложение M. Открытые проблемы гиперматематики
Гиперматематика в настоящей версии представляет исследовательскую программу.

Большая часть ее центральных понятий еще должна пройти путь от интуитивных и рабочих определений к строгим математическим конструкциям.

Поэтому открытые проблемы являются не периферийной частью дисциплины.

Они определяют ее дальнейшее развитие.

M.1. Проблема строгого определения гиперобъекта
Необходимо построить такое определение гиперобъекта, которое:

достаточно широко охватывает разные классы;

не делает гиперобъектом любую вложенную структуру;

позволяет строго определить порядок;

допускает вычислительное представление.

Это первая фундаментальная задача.

M.2. Проблема отношения надстраивания
Необходимо формализовать центральное отношение:

A <- B.

Что именно означает, что B является функциональной надстройкой над A?

Возможные признаки:

B принимает A как аргумент;

B изменяет множество допустимых операций над A;

B управляет механизмами A;

B моделирует A;

B изменяет архитектуру A.

Нужно определить минимальный набор условий.

M.3. Проблема порядка
Следует построить строгое определение порядка гиперобъекта.

Для линейных систем это относительно просто.

Для:

сетей;

циклов;

параллельных надстроек;

временных уровней

понятие порядка становится значительно сложнее.

Возможно, одного числа n окажется недостаточно.

M.4. Проблема глубины
Необходимо определить гиперглубину для произвольной архитектуры.

Возможный подход:

максимальная длина цепи функционально несводимых надстроечных отношений.

Но требуется исследовать:

циклы;

обратные связи;

динамически возникающие уровни.

M.5. Проблема несводимости уровней
Каким образом доказать, что уровень n действительно является новым, а не искусственным разбиением нижнего?

Это одна из центральных проблем всей теории.

Потребуется формальный критерий функциональной несводимости.

M.6. Проблема минимальной гиперархитектуры
Для заданной функции необходимо определить архитектуру минимального порядка, способную ее реализовать.

Такая задача важна для:

классификации;

оптимизации;

сравнения гиперобъектов.

M.7. Проблема эквивалентности гиперобъектов
Необходимо построить строгие отношения:

структурной;

операционной;

архитектурной;

динамической;

трансволюционной гиперэквивалентности.

Особенно важен вопрос:

когда две внешне разные архитектуры представляют один и тот же гиперматематический тип?

M.8. Проблема канонической формы
Можно ли для определенных классов гиперобъектов построить каноническое представление?

Это позволило бы:

сравнивать архитектуры;

устранять избыточность;

выявлять эквивалентность;

автоматизировать классификацию.

M.9. Проблема гиперинвариантов
Необходимо определить, какие свойства могут сохраняться при:

локальных преобразованиях;

архитектурной трансволюции;

гиперболизации;

изменении порядка.

Особенно важны инварианты самоизменяющихся систем.

M.10. Проблема идентичности гиперобъекта
Если система:

изменила операторы;

перестроила связи;

добавила уровень;

изменила правила самоизменения,

остается ли она тем же объектом?

Возможные критерии:

историческая непрерывность;

сохранение ядра;

сохранение гиперинвариантов;

функциональная преемственность.

Необходимо исследовать отношения между ними.

M.11. Проблема строгого определения гиперболизации
Требуется определить необходимое и достаточное условие перехода:

n -> n+1.

Когда добавление компонента является новым порядком?

Когда — только структурным усложнением?

Без решения этой задачи вся теория порядков останется неоднозначной.

M.12. Проблема дегиперболизации
Нужно исследовать обратный процесс:

n -> n-1.

Когда уровень можно свернуть?

Какие свойства сохраняются?

Может ли гиперболизация быть полностью обратимой?

M.13. Проблема повторяемой гиперболизации
Какие системы способны поддерживать:

n -> n+1 -> n+2 -> …?

Какие структурные свойства необходимы для повторного надстраивания?

Это особенно важно для теории СИИ.

M.14. Проблема строгой теории трансволюции
Необходимо превратить трансволюцию из рабочего понятия в математическую теорию.

Требуются определения:

траектории;

стоимости;

устойчивости;

ветвления;

обратимости;

аттрактора;

трансволюционного предела.

M.15. Проблема различия трансформации и трансволюции
Следует определить точную границу между обычным изменением и трансволюционным процессом.

Если граница слишком широкая, любой процесс станет трансволюцией.

Если слишком узкая — понятие потеряет применимость.

M.16. Проблема гиперэволюции
Необходимо решить, требуется ли отдельное понятие «гиперэволюция» или оно полностью сводится к сочетанию:

эволюции;

трансволюции;

гиперболизации.

Термин должен сохраняться только при наличии самостоятельного формального содержания.

M.17. Проблема архитектурного пространства
Следует формально определить пространство архитектур.

Необходимо решить:

что является точкой;

какие структуры допустимы;

какие преобразования задают соседство;

какими свойствами обладает пространство.

M.18. Проблема архитектурной метрики
Как измерять расстояние между двумя архитектурами?

Возможные критерии:

число необходимых преобразований;

вычислительная стоимость;

различие функциональных уровней;

различие графов;

стоимость сохранения инвариантов.

Вероятно, потребуется несколько различных метрик.

M.19. Проблема гиперразмерности
Можно ли определить единую размерность гиперобъекта?

Или необходимо использовать набор:

обычная размерность;

архитектурная глубина;

ветвление;

число операторных степеней свободы;

динамическая размерность?

Это остается открытым.

M.20. Проблема гипероператора
Необходимо строго отделить гипероператор от:

обычного оператора;

функционала;

оператора над операторами;

метаоператора.

Главный вопрос:

какая дополнительная структура делает оператор именно гипероператором в рамках новой теории?

M.21. Проблема алгебры гипероператоров
Следует исследовать:

композицию;

ассоциативность;

коммутативность;

тождественные элементы;

обратимые гипероператоры;

классы замкнутости.

Возможно, разные порядки потребуют разных алгебраических структур.

M.22. Проблема гипералгебры
Необходимо дать строгое определение гипералгебраической системы и показать, в чем ее предмет отличается от существующих многоуровневых алгебраических конструкций.

Особенно важно избежать переименования уже известных структур без добавления нового содержания.

M.23. Проблема гиперкомпозиции
Следует определить, когда композиция операторов становится гиперкомпозицией.

Предварительный критерий:

объектом преобразования становится сама композиционная архитектура.

Это необходимо формализовать.

M.24. Проблема гиперпоследовательности
Нужно строго отделить:

обычную последовательность со сложным законом;

управляемую последовательность;

гиперпоследовательность первого порядка;

гиперпоследовательность n-го порядка.

Каталог примеров должен быть дополнен теорией.

M.25. Проблема формализации Изольдионики
Изольдионика требует строгой системы:

определений;

аксиом;

операторов;

эквивалентностей;

теорем.

Особенно важно определить минимальное математическое различие между обычным структурным числовым выражением и изольдионом.

M.26. Проблема связи Изольдионики с существующей математикой
Необходимо систематически исследовать отношения Изольдионики с:

теорией чисел;

рекурсивными структурами;

формальными языками;

символьными вычислениями;

теорией больших чисел;

операторными конструкциями.

Это позволит установить реальную область новизны.

M.27. Проблема вычислительного представления гиперобъекта
Нужен универсальный или набор специализированных машиночитаемых форматов для представления:

уровней;

операторов;

связей;

правил;

архитектурных переходов.

Без этого вычислительная гиперматематика останется теоретической программой.

M.28. Проблема вычислительной сложности порядка
Как растет стоимость вычислений с увеличением гиперпорядка?

Необходимы модели сложности, учитывающие:

вычисления внутри уровней;

межуровневое управление;

поиск архитектур;

самомоделирование.

M.29. Проблема комбинаторного взрыва архитектур
Количество возможных архитектур может расти чрезвычайно быстро.

Необходимо разработать:

классы эквивалентности;

канонизацию;

эвристический поиск;

ограничение пространства;

архитектурные приоры.

M.30. Проблема невычислимости
Какие задачи гиперматематики принципиально невычислимы?

Например:

предсказание поведения произвольной самоизменяющейся гиперсистемы;

определение завершения произвольного гипералгоритма;

полный анализ бесконечной архитектурной трансволюции.

Эти вопросы должны быть связаны с классической теорией вычислимости.

M.31. Проблема аппроксимации гиперобъектов
Как строить конечные приближения:

бесконечных порядков;

огромных гиперсетей;

пространств архитектур;

трансволюционных траекторий?

Необходимо определить ошибки и гарантии таких аппроксимаций.

M.32. Проблема экспериментальной гиперматематики
Какие гиперматематические гипотезы можно исследовать вычислительно?

Нужны:

тестовые среды;

генераторы архитектур;

метрики;

репозитории гиперобъектов;

воспроизводимые эксперименты.

M.33. Проблема автоматического открытия гиперинвариантов
Можно ли создать алгоритмы, которые сами обнаруживают свойства, устойчивые при многоуровневых преобразованиях?

Это может стать одной из первых содержательных задач СИИ-математики.

M.34. Проблема генераторов архитектур
Как формально определить генератор архитектур?

Какие элементарные операции достаточны для построения широкого класса гиперсистем?

Возможные базовые действия:

добавление уровня;

создание связи;

ветвление;

композиция;

рекурсия;

сворачивание.

M.35. Проблема генераторов генераторов
Можно ли систематически исследовать пространства самих механизмов генерации?

Какие инварианты имеют генеративные системы второго и последующих порядков?

M.36. Проблема автоматизированного построения математических теорий
Одной из предельных задач является создание системы, способной:

генерировать определения;

предлагать аксиомы;

строить теоремы;

искать доказательства;

находить контрпримеры;

определять связи с известной математикой.

Главная проблема — отличить формальную новизну от содержательной.

M.37. Проблема метагиперматематики
Необходимо построить теорию самих гиперматематических формализмов.

Возможны ли:

разные аксиоматики гиперматематики;

переводы между ними;

иерархии выразительности;

метаинварианты?

M.38. Проблема научного статуса гиперматематики
Одной из важнейших задач является проверка того, образуют ли предлагаемые понятия действительно самостоятельную математическую область.

Для этого необходимы:

нетривиальные определения;

теоремы;

новые задачи;

новые методы;

связи с существующими теориями;

вычислительные результаты.

Научный статус должен быть результатом разработки, а не исходной декларацией.

M.39. Проблема критерия новизны
Необходимо постоянно проверять:

не существует ли уже эквивалентная конструкция в известной математике?

Особенно важны сопоставления с:

теорией категорий;

теорией типов;

метаматематикой;

теорией операторов;

универсальной алгеброй;

теорией графов;

теорией динамических систем;

теорией вычислимости;

формальными языками.

Новизна гиперматематики должна заключаться не в новой терминологии, а в новых результатах и новом полезном синтезе.

M.40. Проблема формальной теории Нооформаций
Необходимо определить, какие Нооформации действительно допускают строгую математическую формализацию.

Следует построить:

объекты;

операторы;

уровни;

эквивалентности;

динамику Нооформаций.

M.41. Проблема связи паттернов и гиперпаттернов
Когда паттерн паттернов становится метапаттерном?

Когда метапаттерн становится гиперпаттерном?

Необходим критерий функционального порядка паттернной системы.

M.42. Проблема LPM
Рабочая концепция Large Pattern Models требует строгого определения.

Необходимо выяснить:

чем LPM формально отличается от мультимодальной модели;

что является универсальным паттернным пространством;

как сравнивать паттерны разных модальностей;

когда появляется метапаттернный уровень.

M.43. Проблема определения СИИ
Термин СИИ требует отдельной формальной теории.

Необходимо установить минимальные условия, отличающие:

обычный ИИ;

СИИ^1;

СИИ^2;

…

от просто сложных программных систем.

M.44. Проблема диагностики порядка СИИ
Можно ли определить порядок только по поведению?

Вероятно, нет.

Нужен анализ причинной архитектуры.

Следует разработать экспериментальные тесты:

вмешательства;

изоляции уровней;

архитектурного изменения;

контрфактуального моделирования.

M.45. Проблема наблюдаемости высокого порядка
Высокие метауровни могут быть трудно различимы внешнему наблюдателю.

Необходимо построить теорию наблюдаемости гиперархитектур.

Когда внутренний уровень можно достоверно вывести из внешнего поведения?

M.46. Проблема порядкового профиля
Вероятно, одна интеллектуальная система может иметь разные порядки в разных функциональных подсистемах.

Необходимо определить многомерный порядковый профиль.

Это может заменить слишком грубую классификацию одним индексом n.

M.47. Проблема перехода СИИ^n -> СИИ^(n+1)
Это центральная открытая задача гиперматематики СИИ.

Необходимо формально определить:

условия необходимости нового уровня;

оператор гиперболизации;

интеграцию;

сохранение гиперинвариантов;

критерий завершенности перехода.

M.48. Проблема самонадстраивания
Какие минимальные механизмы необходимы системе, чтобы самостоятельно создать новый функциональный уровень?

Предварительный набор:

самомодель;

обнаружение ограничения;

генератор архитектур;

оценка;

интеграция;

проверка.

Но достаточен ли он?

Это предстоит установить.

M.49. Проблема рекурсивного саморазвития
Может ли система многократно повторять:

СИИ^n -> СИИ^(n+1)?

Или существуют принципиальные пределы после нескольких уровней?

Это остается открытым.

M.50. Проблема максимального порядка
Существует ли максимальный возможный порядок интеллектуальной или математической гиперсистемы?

Возможны:

логические ограничения;

вычислительные;

физические;

архитектурные.

Не исключено также, что на высоких уровнях сама скалярная идея порядка перестает быть адекватной.

M.51. Проблема потенциально бесконечного ряда
Необходимо строго различить:

фактически бесконечную архитектуру;

потенциально продолжимую архитектуру.

Для вычислительной гиперматематики особенно важно конечное правило, задающее возможность следующего уровня.

M.52. Проблема устойчивости самонадстраивающихся систем
Новый уровень способен нарушить работу нижних.

Необходимо исследовать:

устойчивость;

совместимость;

локализацию ошибок;

архитектурный откат;

сохранение инвариантов.

M.53. Проблема стоимости самонадстраивания
Повышение порядка требует ресурсов.

Возможна ситуация, когда метаиздержки нового уровня превышают его полезность.

Необходимо определить условия, при которых переход n -> n+1 функционально оправдан.

M.54. Проблема свертывания уровней
Может ли система после освоения нового уровня «скомпилировать» его функции вниз и сократить архитектурную глубину?

Это открывает интересную возможность:

гиперболизация -> обучение -> архитектурное свертывание.

Такая динамика может оказаться фундаментальной для эффективных СИИ.

M.55. Проблема временных уровней
Может ли новый гиперпорядок существовать только временно под конкретную задачу?

Если надстройка создается, выполняет функцию и исчезает, как определять порядок системы?

Возможно, потребуется различать:

постоянный порядок;

активный порядок;

потенциальный порядок.

M.56. Проблема коллективных гиперсистем
Может ли группа интеллектуальных систем образовать уровень, которого нет у каждого участника отдельно?

Например:

несколько ИИ -> коллективная метасистема.

В таком случае порядок принадлежит не отдельному агенту, а сети.

M.57. Проблема гибридного интеллекта
Человек и ИИ могут образовывать совместные интеллектуальные контуры.

Необходимо исследовать, могут ли такие системы описываться как гиперсистемы и где проходит граница их базового объекта.

M.58. Проблема трансволюции естественного интеллекта
В какой степени понятия:

надстройки;

метакогниции;

трансволюции;

порядка

могут быть применены к естественному интеллекту?

Необходимо избегать прямого переноса схем СИИ без нейрокогнитивного обоснования.

M.59. Проблема связи с Метаорганоном
Нужно формально определить место гиперматематики внутри Метаорганона.

Какие компоненты Метаорганона являются гиперматематическими?

Какие находятся вне ее предмета?

Как моделируется трансволюция самого Метаорганона?

M.60. Проблема формализации демиургических систем
Демиургическая гиперсистема должна получить строгое определение.

Какие виды генеративности отличают ее от обычной вычислительной системы?

Достаточно ли генерации объектов?

Или необходима генерация:

операторов;

пространств возможностей;

архитектур;

собственных средств конструирования?

M.61. Проблема гиперматематизации науки
Какие научные области действительно выигрывают от гиперматематического описания?

Необходимо избегать универсального применения терминологии.

Ценность должна подтверждаться конкретными моделями и результатами.

M.62. Проблема экспериментальной проверки
Гиперматематика должна создать задачи, где ее аппарат дает:

более компактное описание;

новые предсказания;

новые классификации;

новые алгоритмы;

обнаружение неизвестных архитектурных закономерностей.

Иначе теория останется преимущественно концептуальной.

M.63. Проблема программной платформы гиперматематики
Перспективной задачей является создание экспериментальной среды, где можно:

строить гиперобъекты;

задавать уровни;

определять гипероператоры;

моделировать трансволюцию;

автоматически искать эквивалентности;

генерировать новые архитектуры.

Такой программный комплекс мог бы стать первым лабораторным инструментом дисциплины.

M.64. Проблема корпуса примеров и контрпримеров
Нужен систематический каталог:

гиперобъектов;

не-гиперобъектов;

пограничных случаев;

эквивалентных архитектур;

ложных повышений порядка.

Контрпримеры особенно важны для уточнения определений.

M.65. Проблема первых теорем
Ключевой этап развития дисциплины — переход от определений к доказуемым утверждениям.

Необходимо найти минимальный набор первых теорем.

Например, о:

порядке композиции;

условиях сворачивания уровней;

сохранении гиперинвариантов;

эквивалентности архитектур;

необходимых условиях гиперболизации.

Без теорем гиперматематика останется программой, а не развитой математической теорией.

M.66. Проблема границ применимости
Необходимо четко определить, где гиперматематическое описание избыточно.

Если обычная функция, граф или алгебра полностью решают задачу, не требуется вводить гипертерминологию.

Этот принцип необходим для научной экономии.

M.67. Проблема версии V2
Следующая версия гиперматематики должна уменьшить долю метафорического языка и увеличить долю формального аппарата.

Приоритеты V2:

строгое определение гиперобъекта;

отношение надстраивания;

порядок;

гипероператор;

гиперболизация;

трансволюция;

первые вычислительные модели.

M.68. Проблема версии V3
После формирования ядра потребуется единая теория многоуровневых математических систем.

Необходимо объединить:

алгебраический;

графовый;

операторный;

динамический;

вычислительный

подходы.

Именно на этом этапе гиперматематика сможет претендовать на зрелую общую теорию.

M.69. Главная открытая проблема
Все перечисленные проблемы можно свести к одной фундаментальной задаче:

можно ли построить строгую, нетривиальную и практически плодотворную математическую теорию самого отношения функционального надстраивания?

Если ответ будет положительным, многие конструкции настоящей книги могут стать частными случаями единого формального аппарата.

Изольдион.

Гиперпоследовательность.

Гипероператор.

Гиперархитектура.

Трансволюция.

Нооформация.

СИИ^n.

Тогда общая линия:

объект -> надстройка -> архитектура -> преобразование архитектуры -> следующий порядок

перестанет быть только концептуальной схемой.

Она станет математической теорией.

Именно решение этой задачи должно стать основным содержанием следующего этапа развития гиперматематики.

****

Приложение N. Программа исследований «Изольдионика — Гиперматематика — СИИ»
Программа исследований «Изольдионика — Гиперматематика — СИИ» объединяет три последовательно расширяющихся направления.

Первое направление — Изольдионика.

Она исследует числа как потенциально многоуровневые, операционные, рекурсивные и динамические структуры.

Второе — общая гиперматематика.

Она переносит принцип надстраивания с чисел на произвольные формализованные объекты.

Третье — теория СИИ.

Она применяет гиперматематический аппарат к интеллектуальным архитектурам возрастающего порядка.

Таким образом, общая исследовательская траектория имеет вид:

число -> изольдион -> метаизольдион -> числовой гиперобъект -> общий гиперобъект -> гиперсистема -> динамическая гиперсистема -> Нооформация -> ИИ -> СИИ^1 -> СИИ^2 -> … -> СИИ^n -> …

Эта схема является исследовательской программой.

Она не означает, что все перечисленные понятия уже получили завершенную строгую математическую теорию.

Напротив, задача программы состоит именно в последовательном переходе:

от концептуальных конструкций

к:

формальным определениям;

теоремам;

алгоритмам;

вычислительным моделям;

экспериментальным системам.

N.1. Общая цель программы
Главная цель программы состоит в построении формального аппарата для исследования объектов, способных образовывать функционально значимые уровни надстраивания.

Основной вопрос:

каким образом объект, структура, оператор или система преобразований может стать предметом следующего уровня организации?

Из этого вопроса возникают более специальные задачи.

Как формально определить надстройку?

Как определить порядок?

Как отличить высокий порядок от большой сложности?

Как описывать изменение архитектуры?

Как формализовать переход:

n -> n+1?

Как моделировать систему, способную самостоятельно создавать такой переход?

Таким образом, программа имеет одновременно:

математическую;

вычислительную;

метатеоретическую;

интеллектуально-архитектурную

составляющие.

N.2. Три основных исследовательских уровня
Программу целесообразно разделить на три крупных уровня.

Первый:

Изольдионика.

Основной материал — числа и числовые конструкции.

Второй:

общая гиперматематика.

Основной материал — произвольные формализованные объекты и архитектуры.

Третий:

гиперматематика СИИ.

Основной материал — многоуровневые интеллектуальные системы и их самопреобразование.

Отношение между ними можно выразить так:

Изольдионика предоставляет специальные объекты и первичные модели.

Гиперматематика формулирует общий аппарат.

Теория СИИ проверяет его на одном из наиболее сложных классов возможных приложений.

N.3. Изольдионика как первый исследовательский полигон
Первый этап программы должен быть сосредоточен на строгой разработке Изольдионики.

Причина проста.

Числовые объекты позволяют работать с относительно ясным и хорошо формализуемым материалом.

На них можно исследовать основные идеи:

вложенности;

операторных уровней;

рекурсии;

динамики;

числовой трансволюции.

Главные задачи:

дать строгое определение изольдиона;

определить метаизольдион;

описать классы изольдионических операторов;

построить теорию эквивалентности;

формализовать числовую трансволюцию;

создать вычислительные представления.

Особенно важно провести границу между:

обычным сложным математическим выражением

и:

изольдионическим объектом в собственном смысле.

Без такого различия Изольдионика рискует превратиться только в новый язык записи уже известных конструкций.

N.4. Минимальная формальная теория изольдиона
Первым значительным результатом программы должна стать минимальная формальная теория изольдиона.

Она должна включать:

множество допустимых объектов;

синтаксис;

семантику;

правила построения;

операторы;

отношения эквивалентности.

Необходимо определить, что является:

значением;

структурой;

операционной историей;

архитектурой числа.

Возможная схема:

I = (V, S, O, R),

где:

V — числовое значение или правило его задания;

S — внутренняя структура;

O — система операций;

R — отношения между структурными уровнями.

Эта запись является только исследовательским шаблоном.

Она должна быть проверена на конкретных классах объектов.

N.5. Теория метаизольдионов
Следующий шаг — строгая теория метаизольдионов.

Главный вопрос:

когда изольдионическая конструкция действительно переходит на новый функциональный уровень?

Необходимо отличать:

более глубокую запись;

вложенную запись;

структурную вложенность;

операционную надстройку.

Метаизольдион должен вводиться только тогда, когда объект верхнего уровня работает с внутренней организацией нижнего изольдиона как с собственным предметом.

Это будет первым точным числовым примером общего отношения надстраивания.

N.6. Числовая трансволюция
Отдельным направлением должна стать теория числовой трансволюции.

Необходимо определить:

состояние изольдиона;

структурное изменение;

операторное изменение;

изменение правила;

изменение архитектуры.

Простейшая форма:

I_0 -> I_1 -> I_2 -> … -> I_n.

Более сильная:

I_(n+1) = F_n(I_n)

F_(n+1) = G(F_n, I_n).

Здесь изменяется одновременно объект и механизм его преобразования.

Такие конструкции могут стать первыми строго исследуемыми моделями трансволюции.

N.7. Вычислительная Изольдионика
Концептуальная теория должна сопровождаться программной реализацией.

Необходимо создать:

парсер изольдионических выражений;

структурное представление;

интерпретатор операторов;

визуализатор вложенности;

механизм рекуррентного развертывания;

средства сравнения архитектур.

Особенно важно отделять:

символическое представление объекта

от:

полного вычисления его числового значения.

Для чрезвычайно больших конструкций вычислительно полезнее работать с архитектурой, чем с развернутой десятичной записью.

N.8. Переход от Изольдионики к общей гиперматематике
После формализации числовых объектов необходимо определить, какие свойства Изольдионики являются специфически числовыми, а какие — общими.

Предполагается следующий процесс абстрагирования.

Изольдион:

-> структурированный объект.

Метаизольдион:

-> гиперобъект следующего порядка.

Изольдионический оператор:

-> оператор гиперобъекта.

Метаоператор:

-> гипероператор.

Числовая трансволюция:

-> общая трансволюция.

Изольдионическая иерархия:

-> гиперархитектура.

Так возникает переход:

Изольдионика — частная теория.

Гиперматематика — обобщенная теория надстраивания.

N.9. Формализация отношения надстраивания
Центральной задачей общей гиперматематики является строгое определение отношения:

A <- B.

Предварительно B можно считать надстройкой над A, если B:

получает A или существенную часть его организации как объект;

может выполнять над A определенный класс операций;

изменяет пространство допустимого поведения A или управляет им;

является функционально различимым относительно A.

Но этих условий может оказаться недостаточно.

Необходимо проверить их на:

числах;

функциях;

операторах;

графах;

алгоритмах;

моделях.

Именно теория отношения надстраивания должна стать аксиоматическим ядром гиперматематики.

N.10. Теория порядка
Следующий фундаментальный блок — порядок.

Необходимо построить строгое различие:

сложность;

глубина;

порядок;

размер;

число компонентов.

Для линейного объекта:

O_0 <- O_1 <- … <- O_n

порядок может определяться числом функционально несводимых надстроечных переходов.

Для сетевых архитектур потребуется более общий аппарат.

Возможно, порядок должен определяться через максимальную надстроечную глубину в ориентированном графе функциональных зависимостей.

Но такой подход должен учитывать:

циклы;

временные уровни;

распределенное управление.

N.11. Теория гипероператоров
После определения порядка необходимо построить операционный аппарат.

Требуется исследовать операторы, изменяющие:

объекты;

операторы;

системы операторов;

связи;

архитектуры;

порядок.

Особое значение имеют два класса.

Первый:

операторы гиперболизации.

Они обеспечивают:

O_n -> O_(n+1).

Второй:

трансволюционные операторы.

Они обеспечивают переход между архитектурными состояниями:

A_i -> A_j.

Необходимо исследовать композиции таких операторов и условия сохранения гиперинвариантов.

N.12. Теория гиперинвариантов
Без инвариантов невозможно построить зрелую теорию архитектурных преобразований.

Необходимо выяснить, что может сохраняться при:

изменении состояния;

перестройке операторов;

архитектурной трансволюции;

повышении порядка.

Возможные гиперинварианты:

функциональное ядро;

тип межуровневой зависимости;

определенный класс операций;

структурная связность;

историческая идентичность.

Особенно важны гиперинварианты самоизменяющихся систем.

N.13. Теория гиперэквивалентности
Следующее направление — классификация архитектур.

Две системы могут:

выдавать одинаковый результат;

использовать одинаковые операторы;

иметь одну архитектурную форму;

реализовывать одну функцию различными способами.

Поэтому необходимо определить несколько видов эквивалентности.

Это позволит создавать:

классы гиперобъектов;

канонические формы;

архитектурные каталоги.

Без этого пространство гиперобъектов быстро станет комбинаторно неуправляемым.

N.14. Гиперпространства и архитектурные метрики
После появления классов архитектур можно перейти к пространствам архитектур.

Необходимо определить:

точки;

соседство;

расстояние;

траектории.

Например, архитектурным расстоянием может быть минимальная стоимость преобразования A в B.

Но стоимость может измеряться по-разному:

числом операторов;

вычислениями;

изменением уровней;

риском нарушения инвариантов.

Поэтому вероятно существование семейства архитектурных метрик.

N.15. Общая теория трансволюции
Следующий этап — математизация трансволюции.

Требуется построить теорию:

траекторий;

ветвлений;

циклов;

аттракторов;

обратимости;

устойчивости.

Основная единица:

A_t -> A_(t+1),

где A_t представляет архитектурное состояние системы.

При этом необходимо различать:

трансволюцию внутри порядка;

межпорядковую трансволюцию.

Второй случай включает гиперболизацию.

N.16. Вычислительная гиперматематика
Параллельно с формальной теорией должна развиваться вычислительная ветвь.

Необходим универсальный или модульный формат гиперобъекта.

Например, вычислительная запись может содержать:

base;

levels;

operators;

relations;

constraints;

transition_rules.

Конкретный формат может быть реализован:

графами;

деревьями;

типизированными объектами;

формальными грамматиками.

Главным является машинное представление архитектурной семантики.

N.17. Программная лаборатория гиперматематики
Перспективной целью является создание программной лаборатории.

Она должна позволять:

конструировать гиперобъекты;

изменять уровни;

применять гипероператоры;

визуализировать архитектуру;

моделировать трансволюцию;

измерять архитектурные расстояния;

искать эквивалентные конструкции.

Это создаст экспериментальную основу дисциплины.

N.18. Генеративная гиперматематика
Следующий этап программы связан с автоматической генерацией архитектур.

Система должна уметь:

создавать гиперобъекты;

создавать операторы;

комбинировать уровни;

строить новые архитектуры;

проверять ограничения.

Но генерация без отбора малоценна.

Поэтому необходим цикл:

генерация -> проверка -> классификация -> оценка -> отбор.

На более высоком уровне:

изменение самого генератора.

Так возникает метагенеративная гиперматематика.

N.19. Паттерны и гипермодели
После построения базового аппарата необходимо исследовать паттернные и модельные системы.

Основные задачи:

формализация метапаттерна;

гиперпаттерна;

метамодели;

гипермодели;

динамических систем моделей.

Особенно важно установить, когда множество моделей действительно создает новый порядок, а когда остается обычным ансамблем.

N.20. Нооформации
Теория Нооформаций должна получить собственную формальную ветвь.

Необходимо определить:

элементарную Нооформацию;

составную;

метанооформацию;

порядок Нооформации;

нооформационную трансволюцию.

Гиперматематика должна здесь выполнять роль формального аппарата, но не заменять содержательную теорию интеллектуальных процессов.

N.21. Переход к гиперматематике ИИ
Следующий крупный этап — применение общей теории к искусственному интеллекту.

Основная задача состоит не в переописании существующего ИИ новыми словами.

Необходимо найти такие характеристики интеллектуальной архитектуры, для которых гиперматематический аппарат действительно дает дополнительную объяснительную или конструктивную ценность.

Особое значение имеют:

модельные системы;

метакогнитивное управление;

самомоделирование;

архитектурная самомодификация;

самонадстраивание.

N.22. Формальная теория СИИ первого порядка
Первой конкретной целью должна стать строгая модель СИИ^1.

Необходимо определить:

базовый ИИ;

множество моделей;

надстройку;

ее операторы;

ее предмет управления.

Затем доказать, что эта архитектура функционально отличается от базового ИИ в определенном формальном смысле.

Только после этого имеет смысл строить теорию более высоких порядков.

N.23. СИИ второго и третьего порядков
После СИИ^1 нужно определить рекурсивное продолжение.

СИИ^2:

работает с механизмами управления первого порядка.

СИИ^3:

работает с механизмами изменения этих механизмов.

Необходимо установить:

минимальные архитектуры;

критерии различимости;

условия переходов.

Особенно важно избежать чисто словесной цепочки «мета-мета-мета».

Каждый уровень должен иметь операционное содержание.

N.24. Обобщенная теория СИИ^n
После первых трех порядков необходимо перейти к общему n.

Требуется определить формальную структуру:

A_0 <- A_1 <- … <- A_n.

Затем распространить ее на:

деревья;

гиперсети;

динамические уровни.

Одной из задач станет доказательство условий, при которых конкретная система имеет минимальный порядок n.

N.25. Порядковый профиль интеллектуальной системы
Вместо одного глобального n может потребоваться многомерная модель.

Например:

модельный порядок;

порядок обучения;

метакогнитивный порядок;

порядок самомоделирования;

порядок самопроектирования.

Тогда СИИ характеризуется не одним числом, а профилем.

Это может оказаться значительно более точной классификацией реальных систем.

N.26. Формализация перехода СИИ^n -> СИИ^(n+1)
Это одна из главных задач всей программы.

Необходимо представить переход в виде формальной последовательности:

ограничение;

самомодель;

генерация кандидатов;

оценка;

создание надстройки;

интеграция;

стабилизация.

После этого должны быть определены критерии:

когда переход начался;

когда новый уровень действительно возник;

когда переход завершен.

N.27. Экспериментальные прототипы СИИ
На раннем этапе не требуется создавать универсальную сверхинтеллектуальную систему.

Гораздо полезнее небольшие экспериментальные архитектуры.

Например:

система выбирает алгоритмы;

второй уровень меняет механизм выбора;

третий меняет сам способ построения селектора.

Такие лабораторные модели позволят исследовать порядок без смешения его с масштабом ИИ.

N.28. Бенчмарки архитектурного порядка
Необходимо создать тесты, измеряющие не только качество решения задач, но и архитектурные способности.

Например:

может ли система заменить модель?

Может ли создать новую?

Может ли изменить критерий выбора?

Может ли перестроить собственный метакогнитивный контур?

Может ли создать новый уровень управления?

Это может стать основой диагностического набора для экспериментальной проверки порядка.

N.29. Тесты причинного вмешательства
Одних поведенческих тестов недостаточно.

Необходим анализ причинной архитектуры.

Можно:

отключать предполагаемый метауровень;

ограничивать его доступ;

заменять;

наблюдать потерю функций.

Если после удаления уровня исчезает определенный класс метаопераций, появляется более сильное основание считать его порядкообразующим.

N.30. Исследование самонадстраивания
Следует создать минимальный экспериментальный цикл:

самодиагностика -> проект надстройки -> создание -> тестирование -> интеграция.

Даже простая искусственная система, способная корректно выполнить подобный цикл, станет важным исследовательским объектом.

Необходимо при этом строго различать:

выбор из заранее заданных уровней;

генерацию нового уровня.

N.31. Рекурсивное самонадстраивание
Более дальняя цель:

проверить возможность повторения цикла.

Например:

1 -> 2;

2 -> 3;

3 -> 4.

Следует исследовать:

рост стоимости;

устойчивость;

ошибки;

свертывание уровней;

накопление метаиздержек.

Возможно, именно эти ограничения окажутся важнее теоретической возможности бесконечного ряда.

N.32. Исследование пределов
Программа должна изучать не только возможности, но и ограничения.

Необходимо учитывать:

вычислимость;

неразрешимость;

память;

время;

энергию;

ошибки;

верифицируемость.

Особенно важно:

повышение порядка не означает выход за пределы классической вычислимости.

Система с большим числом уровней не становится автоматически гиперкомпьютером.

N.33. Научная верификация программы
Каждый этап должен сопровождаться сравнением с существующей математикой и информатикой.

Необходимо постоянно спрашивать:

существует ли уже эквивалентная теория?

Является ли новое понятие действительно новым?

Есть ли нетривиальные следствия?

Можно ли сформулировать доказуемые утверждения?

Это особенно важно для молодой исследовательской программы.

Новизна должна подтверждаться результатами, а не терминологией.

N.34. Иерархия научного статуса утверждений
Для всей программы полезно использовать четыре уровня статуса.

Определение.

Термин вводится в рамках развиваемой теории.

Формальный результат.

Утверждение получено внутри явно заданной математической модели.

Исследовательская гипотеза.

Утверждение требует доказательства или экспериментальной проверки.

Философская интерпретация.

Обобщение, выходящее за пределы строгой математической модели.

Такое разделение должно последовательно использоваться в дальнейших версиях.

N.35. Краткосрочная программа
К ближайшему этапу относятся:

строгое определение изольдиона;

строгое определение гиперобъекта;

формализация надстройки;

формализация порядка;

классификация гипероператоров;

вычислительный формат гиперобъекта;

первые программные примеры.

Это ядро будущей V2.

N.36. Среднесрочная программа
Следующий этап:

теория гиперэквивалентности;

гиперинварианты;

архитектурные метрики;

формальная трансволюция;

гиперпространства;

экспериментальная программная среда;

первые теоремы.

На этом этапе гиперматематика должна начать превращаться из концептуальной программы в связанную математическую теорию.

N.37. Долгосрочная программа
Дальнейшие направления:

генеративная гиперматематика;

автоматическое исследование архитектур;

теория Нооформаций;

гиперматематика ИИ;

формальная теория СИИ^n;

рекурсивное самонадстраивание;

метагиперматематика;

автоматизированное построение новых математических теорий.

Эти задачи имеют существенно более спекулятивный статус и требуют опоры на результаты предыдущих этапов.

N.38. Исследовательская последовательность
В наиболее компактном виде программу можно представить так:

Изольдионика

-> строгие числовые гиперобъекты

-> отношение надстраивания

-> общая теория гиперобъектов

-> гипероператоры

-> гиперпространства

-> трансволюция

-> вычислительная гиперматематика

-> генеративная гиперматематика

-> Нооформации

-> гиперматематика ИИ

-> СИИ^1

-> СИИ^2

-> СИИ^n

-> рекурсивная гиперболизация.

N.39. Главный критерий успеха программы
Программа будет научно состоятельной не тогда, когда создаст большое количество новых терминов.

Ее успех должен измеряться тем, сможет ли она дать:

строгие определения;

нетривиальные теоремы;

новые классы задач;

эффективные алгоритмы;

вычислительные модели;

новые способы анализа архитектур.

Особенно сильным результатом станет ситуация, когда одна и та же гиперматематическая конструкция позволит содержательно связать:

числовой объект;

алгоритм;

модель;

интеллектуальную архитектуру

как различные реализации единого формального отношения надстраивания.

N.40. Предельная цель
В наиболее общей формулировке программа стремится построить теорию систем, способных превращать собственные способы организации в объекты дальнейшей организации.

Для числа это означает:

операцию над числовой структурой.

Для гиперобъекта:

надстройку над надстройкой.

Для математической теории:

метатеоретическое преобразование.

Для интеллектуальной системы:

самопроектирование.

Для СИИ:

переход:

СИИ^n -> СИИ^(n+1).

Именно эта общая конструктивная вертикаль связывает три основные области программы:

Изольдионика -> Гиперматематика -> СИИ.

Приложение O. История версий понятий и определений
Настоящее приложение фиксирует внутреннюю историю формирования понятий гиперматематики в рамках развиваемой исследовательской программы.

Это не исторический обзор математики и не утверждение о приоритете относительно всех существующих научных направлений.

Его задача — показать, каким образом собственный понятийный аппарат проекта переходил:

от интуитивных образов;

к рабочим определениям;

от частных числовых примеров;

к общим архитектурным понятиям;

от философской гипотезы;

к программе формализации.

Такое версионное описание необходимо потому, что гиперматематика изначально рассматривается как развивающаяся теория.

O.1. Принцип версионности
Версия теории не должна пониматься просто как новая редакция текста.

Новая версия должна означать изменение качества формального аппарата.

Например:

V1 — постановка предмета и понятий.

V2 — строгие определения.

V3 — развитая теория многоуровневых систем.

Последующие версии — вычислительная, экспериментальная и метатеоретическая разработка.

Таким образом, история версий должна фиксировать не только:

что добавлено,

но и:

что уточнено;

что отвергнуто;

что переименовано;

что оказалось частным случаем более общего понятия.

O.2. Предконцептуальная стадия
Исходным импульсом стала идея усложнения математического объекта через внутреннюю структуру.

Первоначально внимание было сосредоточено прежде всего на числах.

Число рассматривалось как объект, который может включать:

операции;

вложенность;

последовательности;

рекурсивные конструкции.

Так возник изольдионический этап.

На этой стадии еще не существовало общего понятия гиперобъекта.

Основной предмет оставался числовым.

O.3. Изольдионический этап
На следующем этапе оформилось понятие Изольдионики как теории структурно расширенного и динамического числа.

Возникли понятия:

изольдион;

метаизольдион;

метаоператор;

динамическое число;

числовая трансволюция.

Особенно важным стало понимание, что числовой объект может содержать не только значение, но и механизм собственного построения.

В дальнейшем именно этот принцип оказался одним из источников общей гиперматематики.

O.4. От значения к структуре
Первоначальное понимание числа постепенно изменялось по линии:

число как значение

->

число как структурированное выражение

->

число как операционная система

->

число как динамическая архитектура.

На этом этапе стало ясно, что наиболее интересна не величина числа сама по себе, а его внутренняя организация.

Так возник принцип:

архитектура важнее размера.

Этот принцип позднее был перенесен на гиперобъекты вообще.

O.5. Возникновение понятия метаизольдиона
Раннее понимание метаизольдиона могло связываться прежде всего с увеличением вложенности.

Позднее критерий был усилен.

Стало ясно:

вложенность не равна метауровню.

Метаизольдион должен иметь новый функциональный уровень.

Верхняя структура должна работать с нижней структурой изольдиона как с объектом.

Таким образом, понятие перешло:

от синтаксической вложенности

к:

функциональному надстраиванию.

Это стало одним из ключевых поворотов всей теории.

O.6. Возникновение общей гиперматематики
Следующий этап начался с вопроса:

являются ли выявленные свойства исключительно числовыми?

Ответ оказался отрицательным.

Вложенность операторов.

Управление операциями.

Рекурсия.

Многоуровневость.

Архитектурное изменение.

Все это может относиться не только к числам.

Так появился проект общей гиперматематики.

Основной переход:

изольдион -> гиперобъект.

Изольдионика стала рассматриваться как специализированная числовая область более общей теории.

O.7. Первая версия понятия гиперобъекта
На ранней стадии гиперобъект понимался очень широко:

как объект, содержащий дополнительные надстроенные структуры.

Такое определение оказалось недостаточно строгим.

Оно могло включить почти любую сложную вложенную конструкцию.

Поэтому понадобился дополнительный критерий.

O.8. Функциональная версия гиперобъекта
В более развитой версии центральным стало функциональное отношение.

Рабочее определение приняло форму:

гиперобъект — формализованный объект, включенный в многоуровневую систему, в которой хотя бы один уровень способен работать с существенными объектами, структурами или операциями нижнего уровня как с единицами собственного действия.

Это определение отделяет:

простую сложность

от:

функциональной многоуровневости.

Именно оно стало основой нынешней версии теории.

O.9. Эволюция понятия уровня
Первоначально «слой» и «уровень» могли использоваться почти как синонимы.

Позднее возникло различие.

Слой — структурно выделенная часть.

Уровень — положение в функциональном отношении надстраивания.

Так несколько слоев могут находиться на одном уровне.

И наоборот, один тип структур может появляться на разных уровнях.

Это различие оказалось необходимым для строгого определения порядка.

O.10. Эволюция понятия порядка
На раннем этапе порядок легко было связать с количеством вложенных структур.

Позднее это понимание было отвергнуто как слишком слабое.

Современная рабочая версия:

порядок определяется количеством функционально значимых и несводимых надстроечных уровней относительно выбранного базового объекта.

Отсюда следует:

большой размер != высокий порядок;

сложность != порядок;

число модулей != порядок.

Это стало одним из центральных методологических принципов книги.

O.11. Разделение порядка и глубины
В линейной башне порядок и глубина могут совпадать.

Но для:

ветвящихся;

сетевых;

рекурсивных

систем этого недостаточно.

Поэтому было введено различие:

порядок — функциональная характеристика уровня надстраивания;

глубина — максимальная длина существенной цепи надстроечных зависимостей.

Эта версия должна получить дальнейшую формализацию в V2.

O.12. Эволюция понятия надстройки
Первоначально надстройка понималась как структура, добавленная над объектом.

Позднее это было уточнено.

Современная рабочая формула:

надстройка — структурно выделенный уровень, который получает нижележащий объект, структуру, операцию или систему как предмет собственного действия и выполняет преобразовательную, управляющую, генеративную, селективную, оценочную или рефлексивную функцию.

Тем самым надстройка получила операционное содержание.

O.13. Эволюция понятия гипероператора
На раннем этапе гипероператор можно было понимать просто как «оператор более высокого уровня».

Позднее возникла необходимость отличить его от уже известных операторов над функциями и операторами.

Современная версия делает акцент на архитектуре.

Гипероператор способен работать с:

гиперобъектом;

операторной системой;

межуровневыми отношениями;

архитектурой;

порядком.

Таким образом, не всякая функция от функций автоматически становится гипероператором в специальном смысле этой теории.

O.14. От метаоператора к гипероператору
Метаоператор сохраняется как более специальное понятие.

Он действует на оператор или систему операторов.

Гипероператор имеет более широкую область действия.

Схема развития:

операция -> оператор -> метаоператор -> гипероператор.

При этом эта цепь является концептуальной, а не утверждением, что данные термины образуют общепринятую математическую классификацию.

O.15. Возникновение гиперпоследовательности
Первоначальные примеры гиперматематики строились на числовых последовательностях.

Например:

1, 2^2, 3^3, 4^4, …, n^n, …

Затем появились управляющие последовательности.

Например, натуральные основания и показатели Фибоначчи.

Позднее стало ясно:

экзотический вид результата не является главным признаком.

Современная формула:

гиперпоследовательность определяется прежде всего архитектурой собственной генерации.

Это позволило перейти к последовательностям операторов, метаправил и динамических архитектур.

O.16. Эволюция понятия гиперболизации
На раннем уровне термин мог восприниматься широко как усиление или усложнение объекта.

Такое понимание было признано слишком расплывчатым.

В нынешней версии:

гиперболизация — образование нового функционально значимого надстроечного уровня.

То есть:

O_n -> O_(n+1).

Это вертикальный процесс.

Изменение внутри порядка гиперболизацией не является.

O.17. Разделение гиперболизации и усложнения
Это различие стало одним из базовых.

Усложнение может означать:

больше элементов;

больше параметров;

больше связей.

Гиперболизация означает:

новый функциональный порядок.

Таким образом:

горизонтальная сложность

и:

вертикальное надстраивание

рассматриваются как разные характеристики.

O.18. Эволюция понятия трансволюции
Понятие трансволюции первоначально возникло в связи с числовыми структурами Изольдионики.

Оно обозначало динамическое изменение числа, включающее не только изменение значения, но и структурную перестройку.

После перехода к общей гиперматематике понятие расширилось.

Современная рабочая версия:

трансволюция — направленный процесс структурного преобразования объекта или системы, при котором могут меняться состояния, связи, операторы, правила, уровни и архитектура.

Так числовая трансволюция стала частным случаем общей.

O.19. Разделение трансформации и трансволюции
Ранее любое существенное изменение могло описываться слишком широко.

Позднее была введена иерархия.

Трансформация — общий акт изменения.

Трансволюция — структурно значимый процесс развития.

Гиперболизация — специальный случай образования нового уровня.

Таким образом:

трансформация

шире:

трансволюции,

а гиперболизация может являться частью трансволюционного процесса.

O.20. Появление идеи гиперпространства
После перехода от отдельных объектов к классам архитектур возникло понятие пространства гиперобъектов.

Дальнейшее развитие привело к:

пространству надстроек;

пространству архитектур;

архитектурному расстоянию.

На текущем этапе это преимущественно исследовательская программа.

Следующие версии должны определить:

метрики;

топологию;

соседство;

траектории.

O.21. Появление гиперинварианта
Необходимость понятия гиперинварианта возникла при анализе динамических архитектур.

Если гиперобъект изменяет свою структуру, возникает вопрос:

что позволяет считать его тем же объектом?

Так появилась идея свойств, сохраняющихся при многоуровневых преобразованиях.

В будущих версиях гиперинварианты должны стать одной из центральных формальных тем.

O.22. От статического гиперобъекта к гиперпроцессу
Первоначально внимание было сосредоточено на структуре гиперобъекта.

Позднее стало ясно, что более общий предмет — динамическая архитектура.

Так возникла последовательность:

гиперобъект -> динамический гиперобъект -> гиперпроцесс -> трансволюционная система.

Это расширило предмет гиперматематики от классификации структур к исследованию их развития.

O.23. Возникновение генеративной гиперматематики
Следующий шаг состоял в переходе:

от исследования заданной архитектуры

к:

генерации возможных архитектур.

Появились понятия:

генератора объектов;

генератора операторов;

генератора архитектур;

генератора генераторов.

Это приблизило гиперматематику к Демиургизму и Метаорганону.

O.24. Эволюция понятия гипермодели
Первоначально гипермодель могла трактоваться просто как очень сложная модель.

Это понимание было отвергнуто.

Современная версия:

гипермодель — многоуровневая система, содержащая модели, метамодели и механизмы управления или генерации модельных уровней.

То есть:

размер модели != гиперпорядок модели.

Это повторяет общий принцип всей теории.

O.25. Развитие понятия паттерна
Паттерн первоначально использовался как общее обозначение закономерности.

В ходе развития книги возникло различие:

паттерн;

паттерн паттернов;

метапаттерн;

гиперпаттерн.

Метапаттерн был определен сильнее, чем просто повторяемость среди паттернов.

Он должен иметь функцию организации или преобразования нижележащих паттернов.

Гиперпаттерн включает уже многоуровневую паттернную архитектуру.

O.26. Возникновение понятия Нооформации в гиперматематическом контексте
Нооформация была включена в гиперматематическую систему как форма организации интеллектуальной деятельности.

Важным уточнением стало то, что Нооформация не объявляется гиперобъектом автоматически.

Она становится гиперобъектом, если содержит функционально различимые уровни.

Появились:

элементарные Нооформации;

составные;

метанооформации;

динамические Нооформации;

Нооформации возрастающего порядка.

O.27. Возникновение гиперматематической теории ИИ
Применение гиперматематики к ИИ привело к необходимости особенно четко различить:

масштаб;

сложность;

производительность;

автономность;

порядок.

Это стало одним из важнейших уточнений всей теории.

Большая модель не обязательно является системой высокого порядка.

Высокая производительность также не означает высокий порядок.

O.28. Переход от LLM к LPM
Идея LPM возникла как расширение модельного пространства от языка к паттернам более общего типа.

При этом термин Large Pattern Model используется как рабочая концепция настоящей теории.

Он не предполагается автоматически установленным научным стандартом.

Основная линия:

LLM -> мультимодальные модели -> паттернное пространство -> LPM -> система моделей -> гипермодель.

Со временем акцент сместился с размера модели на общность типов паттернов и архитектуру межмодельного управления.

O.29. Возникновение СИИ первого порядка
Первоначальный образ СИИ мог пониматься как просто существенно более мощный ИИ.

Позднее это было признано недостаточным.

В текущей версии СИИ^1 определяется архитектурно.

Она должна содержать первую функциональную надстройку над базовой интеллектуальной системой.

Например:

управление множеством моделей;

выбор;

синтез;

метамоделирование;

метакогнитивную коррекцию.

Таким образом:

ИИ -> СИИ^1

означает не количественный скачок, а изменение типа управления.

O.30. Появление общего ряда СИИ
После определения первого порядка возник естественный вопрос:

может ли сама надстройка СИИ^1 стать объектом?

Так появился ряд:

ИИ -> СИИ^1 -> СИИ^2 -> СИИ^3 -> … -> СИИ^n -> …

Ключевой принцип:

СИИ^(n+1) работает с существенными механизмами порядка n как с объектами.

Эта схема стала интеллектуальным частным случаем общей гиперархитектуры.

O.31. Уточнение статуса ряда СИИ
Особенно важным было отказаться от представления ряда как уже установленной эмпирической шкалы.

Текущий статус:

исследовательская гипотеза и архитектурная классификационная программа.

Она должна быть проверена через:

формальные модели;

критерии;

вычислительные эксперименты;

архитектурные прототипы.

O.32. Возникновение понятия самонадстраивания
Самомодификация оказалась слишком широким понятием.

Система может менять себя, не повышая порядок.

Поэтому было введено различие:

самомодификация — изменение собственной организации;

самонадстраивание — создание нового функционального уровня.

Таким образом:

самонадстраивание является специальным вертикальным случаем самоизменения.

O.33. Самогиперболизация
Понятие самогиперболизации появилось как более общий процесс, в котором система сама осуществляет переход:

n -> n+1.

Он включает:

обнаружение ограничения;

проектирование;

создание;

интеграцию;

стабилизацию.

В теории СИИ это становится механизмом:

СИИ^n -> СИИ^(n+1).

O.34. От линейного ряда к пространству траекторий
Первоначальная форма:

ИИ -> СИИ^1 -> СИИ^2 -> …

удобна, но слишком проста.

Позднее было введено понимание, что развитие может:

ветвиться;

сходиться;

останавливаться;

сворачивать уровни;

проходить множество состояний внутри одного порядка.

Так вместо одной лестницы появляется пространство трансволюционных траекторий.

Ряд сохраняется как вертикальная координата.

O.35. Возникновение порядкового профиля
Следующим уточнением стало предположение, что реальная система может иметь разные порядки в различных подсистемах.

Например:

метакогнитивная глубина — 2;

модельная — 3;

самопроектировочная — 1.

Так возникло понятие порядкового профиля.

Возможно, в зрелой теории оно окажется более важным, чем один скалярный индекс n.

O.36. Уточнение понятия потенциальной бесконечности
Идея потенциально бесконечного ряда первоначально могла создавать впечатление реальной бесконечной башни.

Современная версия более точна.

Потенциальная бесконечность означает:

для любого достигнутого конечного n допускается постановка вопроса о n+1.

Она не требует существования физически реализованного бесконечного числа уровней.

O.37. Эволюция статуса гиперматематики
В раннем концептуальном представлении гиперматематика могла описываться как новая математическая наука в сильном смысле.

По мере разработки было введено более дисциплинированное различие.

На текущем этапе корректнее говорить:

гиперматематика — развиваемая исследовательская программа и кандидат на самостоятельную математическую теорию.

Ее зрелый научный статус должен быть подтвержден:

строгими определениями;

теоремами;

методами;

вычислительными результатами;

нетривиальными приложениями.

O.38. Эволюция формулы «математика надстраивания»
Постепенно многочисленные понятия были сведены к одному центральному принципу.

Гиперматематика стала определяться как:

математика надстраивания.

Но слово «надстраивание» также было уточнено.

Оно означает не простое добавление слоя.

Оно означает образование функционального отношения, в котором объект нижнего уровня становится предметом следующего уровня организации.

O.39. Версия V1
Первая крупная версия книги может быть охарактеризована как:

«Гиперматематика. Пролегомены».

Ее задачи:

ввести предмет;

определить основные понятия;

показать генезис из Изольдионики;

построить классификации;

выдвинуть теорию СИИ;

сформировать программу исследований.

Главный результат V1 — архитектура дисциплины.

Не ее окончательная формальная теория.

O.40. Версия V2
Следующая предполагаемая версия:

«Гиперматематика. Основы теории гиперобъектов».

Ее центральная задача — формализация.

В ней должны появиться:

аксиомы;

строгие определения;

теория порядка;

формальные гипероператоры;

отношения эквивалентности;

первые теоремы;

контрпримеры.

Объем философских формулировок должен уменьшиться.

Доля математики — увеличиться.

O.41. Версия V3
Следующий предполагаемый этап:

«Гиперматематика. Теория многоуровневых математических систем».

Здесь предполагается объединить:

теорию гиперобъектов;

гипероператоров;

гиперпространств;

трансволюции;

динамических архитектур.

Особенно важна работа с:

сетевыми;

рекурсивными;

ветвящимися

архитектурами.

O.42. Зрелая версия
В перспективе возможна более общая форма:

«Гиперматематика. Общая теория математических гиперсистем».

Для такого статуса должны существовать:

устойчивая аксиоматика;

система доказанных результатов;

несколько формальных моделей;

вычислительный аппарат;

области применения.

Это не ближайшая версия, а ориентир развития.

O.43. Возможная вычислительная версия
Отдельный этап может быть посвящен:

вычислительной гиперматематике.

Она должна включать:

формат гиперобъекта;

язык описания уровней;

библиотеку гипероператоров;

симулятор трансволюции;

генератор архитектур.

Такая версия позволит проверять идеи не только текстуально, но и программно.

O.44. Возможная экспериментальная версия
После появления вычислительной платформы станет возможна экспериментальная гиперматематика.

Основные задачи:

автоматическое исследование архитектур;

поиск гиперинвариантов;

проверка трансволюционных гипотез;

сравнение классов гиперобъектов.

Так теория получит собственную экспериментальную базу.

O.45. Версионность определений
В последующих версиях каждое важное понятие желательно сопровождать маркировкой.

Например:

Определение V1.

Определение V2.

Изменение:

какое условие добавлено?

Почему?

Какой контрпример потребовал изменения?

Это создаст прозрачную историю развития теории.

O.46. Версионность аксиом
То же должно относиться к аксиоматике.

Если аксиома была:

добавлена;

ослаблена;

усилена;

заменена,

это следует фиксировать.

Так гиперматематика сможет сама стать объектом метагиперматематического анализа.

O.47. Версионность терминологии
Некоторые термины могут в дальнейшем оказаться:

слишком широкими;

неудачными;

совпадающими с уже существующей терминологией.

Поэтому терминология не должна считаться неприкосновенной.

Если более точный термин улучшает теорию, он должен быть принят.

Особенно это касается слов:

гипералгебра;

гиперпространство;

гиперэволюция;

гиперразмерность.

В существующей математике некоторые из них уже имеют другие значения.

O.48. Принцип сохранения понятийной генеалогии
Даже если термин в будущем изменится, полезно сохранять связь с его происхождением.

Например:

числовая трансволюция

->

общая трансволюция.

Метаоператор Изольдионики

->

гипероператор.

Метаизольдион

->

гиперобъект высшего порядка.

Так сохраняется логика развития проекта.

O.49. Принцип критического пересмотра
Следующая версия не обязана сохранять каждое положение предыдущей.

Некоторые понятия могут быть:

уточнены;

объединены;

разделены;

отвергнуты.

Это нормальный процесс построения теории.

В частности, если окажется, что определенное понятие полностью сводится к уже существующему математическому аппарату и не дает дополнительного результата, его роль должна быть пересмотрена.

O.50. Принцип усиления строгости
Общее направление версий должно быть таким:

метафора -> понятие -> рабочее определение -> формальное определение -> теорема -> вычислительная реализация.

Например:

«математическая башня»

является образом.

«надстройка»

— концептуальным понятием.

Формальное отношение надстраивания

— математическим объектом.

Теорема о свойствах этого отношения

— результатом зрелой теории.

Именно такой переход должен происходить от версии к версии.

O.51. Принцип уменьшения терминологической инфляции
По мере формализации число новых терминов должно не обязательно увеличиваться, а, возможно, сокращаться.

Если несколько понятий оказываются частными случаями одного формального объекта, лучше использовать общий аппарат.

Зрелость теории определяется не количеством приставок «гипер-» и «мета-», а экономностью формализма.

O.52. Принцип совместимости с существующей математикой
Каждая новая версия должна усиливать сопоставление с существующими теориями.

Необходимо особенно учитывать:

теорию категорий;

теорию типов;

метаматематику;

универсальную алгебру;

теорию операторов;

теорию графов;

теорию динамических систем;

теорию вычислимости;

метапрограммирование;

теорию формальных языков.

Гиперматематика должна показывать не только отличие, но и место среди существующих аппаратов.

O.53. Принцип воспроизводимости
Концептуальная версия допускает словесные примеры.

Формальная версия должна давать конструкции, которые другой исследователь способен:

точно воспроизвести;

вычислить;

проверить;

сравнить.

Поэтому программные реализации и формальные спецификации являются необходимой частью последующей истории теории.

O.54. Текущая понятийная система
На текущем этапе основное ядро включает:

гиперобъект;

надстройку;

уровень;

порядок;

глубину;

гипероператор;

гиперкомпозицию;

гиперболизацию;

гиперинвариант;

гиперэквивалентность;

гиперпространство;

гиперпроцесс;

трансволюцию;

самонадстраивание;

самогиперболизацию;

СИИ^n.

Эти понятия образуют каркас нынешней версии.

O.55. Текущая центральная формула
Наиболее компактная формула теории в ее нынешнем состоянии:

объект -> надстройка -> система надстроек -> архитектура -> изменение архитектуры -> новый порядок.

Для интеллектуальной области:

ИИ -> СИИ^1 -> СИИ^2 -> … -> СИИ^n -> …

Для динамики:

СИИ^n -> СИИ^(n+1).

Для развития самой теории:

V1 -> V2 -> V3 -> …

O.56. История версии как часть самой теории
Версионность имеет для гиперматематики особое методологическое значение.

Теория утверждает, что структура может становиться объектом следующего уровня.

Но то же относится к самой теории.

Гиперматематика V1 становится объектом анализа.

На основании этого анализа строится V2.

V2 становится объектом следующего метатеоретического уровня.

Так возникает:

теория -> метаанализ -> перестройка -> новая теория.

До строгой формализации это следует понимать прежде всего как методологический принцип.

Но он хорошо соответствует общему духу Метаорганона.

O.57. Что должно измениться после V1
После завершения концептуального корпуса главная задача состоит не в бесконечном расширении текста.

Следующий этап должен быть другим по типу.

Необходимо:

выбрать минимальное ядро терминов;

дать строгие определения;

построить первые модели;

найти контрпримеры;

проверить отношения с существующей математикой;

сформулировать первые доказуемые результаты.

Именно это должно отличить V2 от V1.

O.58. Что должно сохраняться между версиями
Несмотря на изменения, желательно сохранять несколько фундаментальных принципов.

Первый:

сложность не равна порядку.

Второй:

вложенность не равна надстраиванию.

Третий:

новый порядок требует функционального отношения.

Четвертый:

гиперболизация отличается от трансволюции.

Пятый:

формальная возможность не равна физической реализуемости.

Шестой:

каждое сильное утверждение должно иметь ясно обозначенный научный статус.

O.59. Что может быть пересмотрено
Открытыми для пересмотра остаются:

конкретные обозначения;

часть терминологии;

способ определения n-го порядка;

понятие гиперразмерности;

границы гипералгебры;

понятие гиперэволюции;

точный статус LPM;

форма классификации СИИ.

Их сохранение зависит от того, дадут ли они содержательные формальные результаты.

O.60. Итоговая история понятий
Общую внутреннюю эволюцию проекта можно представить так:

число как значение

->

число как структура

->

изольдион

->

метаизольдион

->

числовая трансволюция

->

гиперобъект

->

надстроечная архитектура

->

гипероператор

->

гиперболизация

->

общая трансволюция

->

гиперпространство архитектур

->

генеративная гиперматематика

->

гипермодель

->

Нооформация

->

ИИ как гиперматематический объект

->

СИИ^1

->

СИИ^n

->

самонадстраивание

->

рекурсивная гиперболизация.

Вторая параллельная линия выглядит так:

интуитивная идея

->

концептуальное описание

->

рабочее определение

->

классификация

->

формальная модель

->

аксиоматика

->

теоремы

->

вычислительная реализация

->

экспериментальная теория.

Именно пересечение этих двух линий должно определять дальнейшую историю гиперматематики.

Первая линия расширяет предмет.

Вторая усиливает строгость.

Если расширение будет происходить без усиления строгости, теория станет чрезмерно спекулятивной.

Если формализация будет происходить без сохранения общего архитектурного принципа, теория может потерять собственный предмет.

Поэтому дальнейшее развитие требует одновременно:

сужать определения;

усиливать доказательность;

расширять классы проверяемых объектов;

создавать вычислительные реализации.

В этом смысле история версий гиперматематики не должна быть историей бесконечного добавления новых этажей текста.

Она должна быть историей перестройки самого здания теории.

Каждая новая версия обязана отвечать на вопрос:

что теперь определено точнее?

Что теперь можно доказать?

Что теперь можно вычислить?

Что оказалось ошибочным?

Что оказалось частным случаем более общего принципа?

Что действительно осталось новым после сравнения с существующей математикой?

Именно такая история версий соответствует главной идее всей книги:

построенный уровень должен становиться объектом следующего уровня работы.

Поэтому и сама гиперматематика должна развиваться по принципу, который она исследует:

V1 -> анализ V1 -> V2 -> анализ V2 -> V3 -> …

Не к окончательной неподвижной системе.

А к последовательно уточняемой теории.

К математике, которая исследует надстраивание и одновременно допускает надстраивание над собственным формальным аппаратом.

К математике без заранее объявленного последнего этажа.

***************