Гиперматематика. Базовый словарь Изольдионики

Базовый словарь Изольдионики

Динамическое число
Динамическое число — рабочее понятие Изольдионики для числового объекта, внутренняя структура, состояние, способ развертывания или операционные параметры которого могут изменяться по формально заданным правилам.

Динамичность может быть:

параметрической;

структурной;

операционной;

рекурсивной.

Изольдион
Изольдион — структурированный числовой объект, в котором числовое содержание связано со способом построения, внутренней организацией и системой операций.

В гиперматематической интерпретации изольдион может рассматриваться как числовой гиперобъект, если его внутренние уровни имеют самостоятельные функциональные роли.

Изольдионика
Изольдионика — развиваемая математическая дисциплина, исследующая числа и числовые системы как потенциально многоуровневые, операционные, рекурсивные и динамически преобразуемые структуры.

В системе настоящей книги Изольдионика рассматривается одновременно как:

предтеча гиперматематики;

специализированная числовая ветвь гиперматематики;

источник первых моделей надстроечного принципа.

Изольдионическая архитектура
Изольдионическая архитектура — организация числовой основы, операций, вложенных структур, операторов и правил их взаимодействия внутри изольдионического объекта.

Изольдионическая глубина
Изольдионическая глубина — число или структура существенных уровней вложенности и операционного управления внутри изольдиона или метаизольдиона.

Не должна определяться только количеством скобок или символов.

Изольдионическая иерархия
Изольдионическая иерархия — упорядоченная система числовых структур, в которой элементы верхнего уровня работают с числовыми конструкциями или операторами нижнего уровня как с объектами.

Изольдионическое пространство
Изольдионическое пространство — пространство числовых гиперобъектов, определяемое выбранным классом изольдионов, их структурными параметрами, операторами и допустимыми преобразованиями.

Изольдионический оператор
Изольдионический оператор — оператор, преобразующий изольдион, его числовое содержание, структуру или способ развертывания.

Изольдионический ряд
Изольдионический ряд — последовательность изольдионов или структурированных числовых состояний, организованных по заданному закону.

Если меняется сама архитектура элементов ряда, он может приобретать трансволюционный характер.

Метаизольдион
Метаизольдион — изольдионический объект более высокого порядка, содержащий в качестве компонентов, предметов управления или элементов структуры другие изольдионы либо механизмы их построения.

Метаизольдион не определяется только большей длиной записи.

Для метауровня необходима новая функциональная роль.

Метаоператор Изольдионики
Метаоператор Изольдионики — оператор, действующий на изольдионические операторы, системы операторов или правила их применения.

В общей гиперматематике он является частным случаем гипероператора.

Метаструктурное число
Метаструктурное число — рабочее обозначение числового объекта, в котором предметом формальной организации становится не только числовая структура, но и способ построения или преобразования этой структуры.

Операторная иерархия
Операторная иерархия Изольдионики — система:

операция -> оператор -> метаоператор -> оператор следующего порядка.

Такая иерархия является одним из источников общей теории гипероператоров.

Рекуррентный изольдион
Рекуррентный изольдион — изольдионический объект, последовательные состояния или уровни которого определяются рекуррентным правилом.

Например:

I_(n+1) = F(I_n).

В более сложном случае изменяется и сам оператор:

F_(n+1) = G(F_n, I_n).

Степенной изольдион
Степенной изольдион — числовая структура, в которой степенные операции используются как существенный элемент внутренней архитектуры.

Простейшие примеры могут иметь вид:

2^2;

3^3;

n^n.

Более сложные варианты используют отдельные последовательности показателей или многоуровневое управление степенными операциями.

Числовая гиперболизация
Числовая гиперболизация — образование нового функционального уровня внутри числового гиперобъекта или над системой числовых структур.

Она является частным случаем общей гиперболизации.

Числовая надстройка
Числовая надстройка — уровень, который управляет значением, операцией, структурой или способом построения нижележащего числового объекта.

Числовая трансволюция
Числовая трансволюция — структурное изменение числового объекта, при котором могут изменяться:

значение;

внутренняя организация;

операторы;

правила построения;

уровни.

Она является исходной специализированной моделью общей теории трансволюции.

Числовой гиперобъект
Числовой гиперобъект — гиперобъект, базовым материалом которого служат числа, числовые последовательности, числовые операции или системы их построения.

Изольдион является основным кандидатом на такой объект в рамках Изольдионики.

Числовой гиперпорядок
Числовой гиперпорядок — функциональная глубина надстроечной организации числового гиперобъекта.

Он не определяется величиной числа.

Очень большое число может иметь низкий архитектурный порядок.

Более компактная структура может иметь более высокий порядок.

Числовой гиперряд
Числовой гиперряд — последовательность числовых гиперобъектов или числовых архитектур, в которой существенны отношения между различными уровнями построения.

Числовой метауровень
Числовой метауровень — уровень, на котором объектами становятся не только числа, но и способы их построения, операции или системы операций.

Каталог элементарных изольдионических конструкций
Настоящий каталог содержит простейшие конструкции, которые могут использоваться как учебные, вычислительные и экспериментальные объекты Изольдионики.

Он не является исчерпывающим.

Главная его задача — показать постепенный переход:

от обычного числа

к:

структурированному числу;

изольдиону;

метаизольдиону;

динамической числовой гиперсистеме.

При этом не каждая необычная числовая запись автоматически является изольдионом высокого порядка.

Необходимо учитывать внутреннюю архитектуру и функциональную роль уровней.

E.1. Обычное число
Простейший исходный объект:

5

17

Здесь число рассматривается преимущественно как значение.

Это нулевой уровень для последующего структурирования.

E.2. Число с явным способом построения
Например:

2^5.

Результат равен 32.

Но конструкция:

2^5

содержит больше информации, чем запись:

32,

поскольку явно задает способ построения значения.

На этом различии начинается изольдионический интерес к архитектуре числового объекта.

E.3. Самостепенная конструкция
Общая форма:

n^n.

Примеры:

1^1;

2^2;

3^3;

4^4.

Здесь одна и та же позиционная величина выполняет две роли:

основания;

показателя.

Последовательность:

1, 2^2, 3^3, 4^4, …, n^n, …

является одним из простейших примеров структурно организованного числового ряда.

E.4. Степень с независимым показателем
Форма:

a^b.

Если a и b принадлежат различным управляющим последовательностям:

a_n^(b_n),

возникает более богатая конструкция.

Например:

a_n = n;

b_n = простое число с номером n.

Тогда:

1^2, 2^3, 3^5, 4^7, 5^11, …

E.5. Степень с показателями Фибоначчи
Пусть:

a_n = n.

А показатели:

1, 2, 3, 5, 8, 13, …

Тогда получаем:

1^1, 2^2, 3^3, 4^5, 5^8, 6^13, …

Здесь одна последовательность управляет другой.

В гиперматематическом смысле возникает элементарная двухслойная числовая архитектура.

E.6. Простые числа как управляющий ряд
Пусть основание:

1, 2, 3, 4, 5, …

Показатели:

2, 3, 5, 7, 11, …

Тогда:

1^2, 2^3, 3^5, 4^7, 5^11, …

Такой пример удобен для исследования взаимодействия двух независимых числовых рядов.

E.7. Двойное управление
Пусть:

a_n — основание;

b_n — показатель;

c_n — дополнительный параметр.

Тогда можно строить:

F(a_n, b_n, c_n).

Например:

(a_n^(b_n)) + c_n.

Здесь появляется три управляющих источника.

Однако само количество рядов еще не определяет гиперпорядок.

Если они действуют параллельно на один базовый объект, архитектура может оставаться первого порядка.

E.8. Зависимая управляющая последовательность
Более сильная конструкция:

a_n <- b_n <- c_n.

Здесь:

b_n управляет a_n;

c_n управляет способом, которым b_n управляет a_n.

Это уже числовая модель второго порядка.

E.9. Факториальная конструкция
Простейший вариант:

n!.

Ряд:

1!, 2!, 3!, 4!, …, n!, …

Сам по себе факториал не создает гиперпорядок.

Но он становится частью изольдионической конструкции, если оператор факториала включен в многоуровневую систему управления.

Например, управляющий ряд выбирает:

возведение в степень;

факториал;

суммирование.

E.10. Переменный оператор
Пусть:

F_n

выбирается для каждой позиции отдельно.

Тогда:

I_n = F_n(n).

Например:

для нечетного n используется квадрат;

для четного n — факториал.

Получаем:

1^2, 2!, 3^2, 4!, 5^2, 6!, …

Здесь предметом управления становится уже оператор.

E.11. Оператор, определяемый другим рядом
Пусть управляющий ряд:

c_n

кодирует выбор оператора.

Например:

c_n = 1 означает квадрат;

c_n = 2 означает куб;

c_n = 3 означает факториал.

Тогда:

F_n = Operator(c_n)

I_n = F_n(n).

Это более ясный пример операторной надстройки.

E.12. Вложенная степенная структура
Пример:

2^(3^4).

В отличие от:

(2^3)^4,

структура операций различается.

Это показывает, что архитектура вложенности имеет значение.

В дальнейшем подобные конструкции могут использоваться для анализа:

глубины;

канонической формы;

архитектурной эквивалентности.

E.13. Многоуровневая степенная структура
Например:

2^(3^(4^5)).

Количество вложенных операций увеличивается.

Однако важно снова подчеркнуть:

глубина синтаксической вложенности сама по себе еще не означает функциональный гиперпорядок.

Для гиперматематической интерпретации необходимо определить роли уровней.

E.14. Рекуррентный изольдион
Общий вид:

I_(n+1) = F(I_n).

Например:

I_(n+1) = I_n^2.

Если:

I_1 = 2,

получаем:

2;

4;

16;

256;

…

Здесь числовой объект развивается по внутреннему закону.

E.15. Рекуррентный изольдион с изменяемым оператором
Более сложный вариант:

I_(n+1) = F_n(I_n)

F_(n+1) = G(F_n, I_n).

Теперь меняется не только числовое состояние, но и правило следующего изменения.

Это уже пример числовой трансволюции более высокого порядка.

E.16. Самозависимый изольдион
В рабочем смысле можно рассматривать конструкцию, где параметры следующего шага определяются текущим состоянием самого изольдиона.

Например:

I_(n+1) = F(I_n, p_n)

p_(n+1) = G(I_n).

Здесь состояние объекта влияет на собственный последующий режим преобразования.

E.17. Изольдион с памятью
Следующий уровень:

I_(n+1) = F(I_n, I_(n-1), I_(n-2)).

Здесь новое состояние зависит от истории.

Можно обобщить:

I_(n+1) = F(I_1, I_2, …, I_n).

Так появляется числовой объект с динамикой, зависящей от собственного прошлого.

E.18. Изольдион с внешним управляющим рядом
Пусть:

I_(n+1) = F(I_n, c_n),

где:

c_n

задается внешней последовательностью.

Тогда объект имеет внешний управляющий слой.

E.19. Изольдион с внутренним управляющим рядом
Если управляющий ряд порождается самим объектом:

c_(n+1) = G(I_n, c_n),

возникает внутренняя динамическая надстройка.

Теперь изольдион не только изменяется, но и участвует в формировании правил собственного изменения.

E.20. Метаизольдион
Метаизольдион возникает тогда, когда один изольдион или система изольдионов становится предметом действия следующего уровня.

Например:

I_1, I_2, I_3

объединяются оператором M.

Получается:

MI = M(I_1, I_2, I_3).

Если M работает не только с их числовыми значениями, но и с внутренней архитектурой, появляется содержательный метауровень.

E.21. Метаизольдион второго порядка
Если оператор, работающий с изольдионами, сам становится объектом:

M -> H -> M’,

возникает следующий порядок.

Теперь верхний уровень изменяет уже способ работы с изольдионами.

E.22. Ветвящийся изольдионический объект
Можно задать несколько возможных продолжений:

I_n -> I_(n+1,A)

I_n -> I_(n+1,B)

I_n -> I_(n+1,C).

Правило выбора ветви может определяться состоянием или отдельным оператором.

Такая конструкция переводит числовую динамику из линейной формы в дерево возможностей.

E.23. Изольдионическая сеть
Несколько числовых объектов могут взаимно влиять друг на друга:

I_1 -> I_2

I_2 -> I_3

I_3 -> I_1.

Это уже не один изолированный изольдион, а числовая динамическая система.

При наличии надстроечных уровней она может рассматриваться как числовая гиперсеть.

E.24. Трансволюционный изольдион
Трансволюционный изольдион меняет не только значение, но и собственную архитектуру.

Например:

на первом этапе используется F;

затем создается G;

позже F и G объединяются;

после этого появляется оператор H, управляющий их выбором.

Получается последовательность:

A_1 -> A_2 -> A_3 -> A_4,

где A_i являются архитектурными состояниями одного развивающегося числового объекта.

E.25. Потенциально открытый числовой гиперобъект
Обобщенная форма:

I_0 <- H_1 <- H_2 <- … <- H_n <- …

Такая конструкция обозначает потенциальную возможность дальнейшего надстраивания.

Она не означает физически или вычислительно реализованную бесконечную структуру.

В вычислительной форме требуется конечное правило генерации каждого следующего уровня.