Открытые проблемы гиперматематики

Открытые проблемы гиперматематики

Гиперматематика в настоящей версии представляет исследовательскую программу.

Большая часть ее центральных понятий еще должна пройти путь от интуитивных и рабочих определений к строгим математическим конструкциям.

Поэтому открытые проблемы являются не периферийной частью дисциплины.

Они определяют ее дальнейшее развитие.

M.1. Проблема строгого определения гиперобъекта
Необходимо построить такое определение гиперобъекта, которое:

достаточно широко охватывает разные классы;

не делает гиперобъектом любую вложенную структуру;

позволяет строго определить порядок;

допускает вычислительное представление.

Это первая фундаментальная задача.

M.2. Проблема отношения надстраивания
Необходимо формализовать центральное отношение:

A <- B.

Что именно означает, что B является функциональной надстройкой над A?

Возможные признаки:

B принимает A как аргумент;

B изменяет множество допустимых операций над A;

B управляет механизмами A;

B моделирует A;

B изменяет архитектуру A.

Нужно определить минимальный набор условий.

M.3. Проблема порядка
Следует построить строгое определение порядка гиперобъекта.

Для линейных систем это относительно просто.

Для:

сетей;

циклов;

параллельных надстроек;

временных уровней

понятие порядка становится значительно сложнее.

Возможно, одного числа n окажется недостаточно.

M.4. Проблема глубины
Необходимо определить гиперглубину для произвольной архитектуры.

Возможный подход:

максимальная длина цепи функционально несводимых надстроечных отношений.

Но требуется исследовать:

циклы;

обратные связи;

динамически возникающие уровни.

M.5. Проблема несводимости уровней
Каким образом доказать, что уровень n действительно является новым, а не искусственным разбиением нижнего?

Это одна из центральных проблем всей теории.

Потребуется формальный критерий функциональной несводимости.

M.6. Проблема минимальной гиперархитектуры
Для заданной функции необходимо определить архитектуру минимального порядка, способную ее реализовать.

Такая задача важна для:

классификации;

оптимизации;

сравнения гиперобъектов.

M.7. Проблема эквивалентности гиперобъектов
Необходимо построить строгие отношения:

структурной;

операционной;

архитектурной;

динамической;

трансволюционной гиперэквивалентности.

Особенно важен вопрос:

когда две внешне разные архитектуры представляют один и тот же гиперматематический тип?

M.8. Проблема канонической формы
Можно ли для определенных классов гиперобъектов построить каноническое представление?

Это позволило бы:

сравнивать архитектуры;

устранять избыточность;

выявлять эквивалентность;

автоматизировать классификацию.

M.9. Проблема гиперинвариантов
Необходимо определить, какие свойства могут сохраняться при:

локальных преобразованиях;

архитектурной трансволюции;

гиперболизации;

изменении порядка.

Особенно важны инварианты самоизменяющихся систем.

M.10. Проблема идентичности гиперобъекта
Если система:

изменила операторы;

перестроила связи;

добавила уровень;

изменила правила самоизменения,

остается ли она тем же объектом?

Возможные критерии:

историческая непрерывность;

сохранение ядра;

сохранение гиперинвариантов;

функциональная преемственность.

Необходимо исследовать отношения между ними.

M.11. Проблема строгого определения гиперболизации
Требуется определить необходимое и достаточное условие перехода:

n -> n+1.

Когда добавление компонента является новым порядком?

Когда — только структурным усложнением?

Без решения этой задачи вся теория порядков останется неоднозначной.

M.12. Проблема дегиперболизации
Нужно исследовать обратный процесс:

n -> n-1.

Когда уровень можно свернуть?

Какие свойства сохраняются?

Может ли гиперболизация быть полностью обратимой?

M.13. Проблема повторяемой гиперболизации
Какие системы способны поддерживать:

n -> n+1 -> n+2 -> …?

Какие структурные свойства необходимы для повторного надстраивания?

Это особенно важно для теории СИИ.

M.14. Проблема строгой теории трансволюции
Необходимо превратить трансволюцию из рабочего понятия в математическую теорию.

Требуются определения:

траектории;

стоимости;

устойчивости;

ветвления;

обратимости;

аттрактора;

трансволюционного предела.

M.15. Проблема различия трансформации и трансволюции
Следует определить точную границу между обычным изменением и трансволюционным процессом.

Если граница слишком широкая, любой процесс станет трансволюцией.

Если слишком узкая — понятие потеряет применимость.

M.16. Проблема гиперэволюции
Необходимо решить, требуется ли отдельное понятие «гиперэволюция» или оно полностью сводится к сочетанию:

эволюции;

трансволюции;

гиперболизации.

Термин должен сохраняться только при наличии самостоятельного формального содержания.

M.17. Проблема архитектурного пространства
Следует формально определить пространство архитектур.

Необходимо решить:

что является точкой;

какие структуры допустимы;

какие преобразования задают соседство;

какими свойствами обладает пространство.

M.18. Проблема архитектурной метрики
Как измерять расстояние между двумя архитектурами?

Возможные критерии:

число необходимых преобразований;

вычислительная стоимость;

различие функциональных уровней;

различие графов;

стоимость сохранения инвариантов.

Вероятно, потребуется несколько различных метрик.

M.19. Проблема гиперразмерности
Можно ли определить единую размерность гиперобъекта?

Или необходимо использовать набор:

обычная размерность;

архитектурная глубина;

ветвление;

число операторных степеней свободы;

динамическая размерность?

Это остается открытым.

M.20. Проблема гипероператора
Необходимо строго отделить гипероператор от:

обычного оператора;

функционала;

оператора над операторами;

метаоператора.

Главный вопрос:

какая дополнительная структура делает оператор именно гипероператором в рамках новой теории?

M.21. Проблема алгебры гипероператоров
Следует исследовать:

композицию;

ассоциативность;

коммутативность;

тождественные элементы;

обратимые гипероператоры;

классы замкнутости.

Возможно, разные порядки потребуют разных алгебраических структур.

M.22. Проблема гипералгебры
Необходимо дать строгое определение гипералгебраической системы и показать, в чем ее предмет отличается от существующих многоуровневых алгебраических конструкций.

Особенно важно избежать переименования уже известных структур без добавления нового содержания.

M.23. Проблема гиперкомпозиции
Следует определить, когда композиция операторов становится гиперкомпозицией.

Предварительный критерий:

объектом преобразования становится сама композиционная архитектура.

Это необходимо формализовать.

M.24. Проблема гиперпоследовательности
Нужно строго отделить:

обычную последовательность со сложным законом;

управляемую последовательность;

гиперпоследовательность первого порядка;

гиперпоследовательность n-го порядка.

Каталог примеров должен быть дополнен теорией.

M.25. Проблема формализации Изольдионики
Изольдионика требует строгой системы:

определений;

аксиом;

операторов;

эквивалентностей;

теорем.

Особенно важно определить минимальное математическое различие между обычным структурным числовым выражением и изольдионом.

M.26. Проблема связи Изольдионики с существующей математикой
Необходимо систематически исследовать отношения Изольдионики с:

теорией чисел;

рекурсивными структурами;

формальными языками;

символьными вычислениями;

теорией больших чисел;

операторными конструкциями.

Это позволит установить реальную область новизны.

M.27. Проблема вычислительного представления гиперобъекта
Нужен универсальный или набор специализированных машиночитаемых форматов для представления:

уровней;

операторов;

связей;

правил;

архитектурных переходов.

Без этого вычислительная гиперматематика останется теоретической программой.

M.28. Проблема вычислительной сложности порядка
Как растет стоимость вычислений с увеличением гиперпорядка?

Необходимы модели сложности, учитывающие:

вычисления внутри уровней;

межуровневое управление;

поиск архитектур;

самомоделирование.

M.29. Проблема комбинаторного взрыва архитектур
Количество возможных архитектур может расти чрезвычайно быстро.

Необходимо разработать:

классы эквивалентности;

канонизацию;

эвристический поиск;

ограничение пространства;

архитектурные приоры.

M.30. Проблема невычислимости
Какие задачи гиперматематики принципиально невычислимы?

Например:

предсказание поведения произвольной самоизменяющейся гиперсистемы;

определение завершения произвольного гипералгоритма;

полный анализ бесконечной архитектурной трансволюции.

Эти вопросы должны быть связаны с классической теорией вычислимости.

M.31. Проблема аппроксимации гиперобъектов
Как строить конечные приближения:

бесконечных порядков;

огромных гиперсетей;

пространств архитектур;

трансволюционных траекторий?

Необходимо определить ошибки и гарантии таких аппроксимаций.

M.32. Проблема экспериментальной гиперматематики
Какие гиперматематические гипотезы можно исследовать вычислительно?

Нужны:

тестовые среды;

генераторы архитектур;

метрики;

репозитории гиперобъектов;

воспроизводимые эксперименты.

M.33. Проблема автоматического открытия гиперинвариантов
Можно ли создать алгоритмы, которые сами обнаруживают свойства, устойчивые при многоуровневых преобразованиях?

Это может стать одной из первых содержательных задач СИИ-математики.

M.34. Проблема генераторов архитектур
Как формально определить генератор архитектур?

Какие элементарные операции достаточны для построения широкого класса гиперсистем?

Возможные базовые действия:

добавление уровня;

создание связи;

ветвление;

композиция;

рекурсия;

сворачивание.

M.35. Проблема генераторов генераторов
Можно ли систематически исследовать пространства самих механизмов генерации?

Какие инварианты имеют генеративные системы второго и последующих порядков?

M.36. Проблема автоматизированного построения математических теорий
Одной из предельных задач является создание системы, способной:

генерировать определения;

предлагать аксиомы;

строить теоремы;

искать доказательства;

находить контрпримеры;

определять связи с известной математикой.

Главная проблема — отличить формальную новизну от содержательной.

M.37. Проблема метагиперматематики
Необходимо построить теорию самих гиперматематических формализмов.

Возможны ли:

разные аксиоматики гиперматематики;

переводы между ними;

иерархии выразительности;

метаинварианты?

M.38. Проблема научного статуса гиперматематики
Одной из важнейших задач является проверка того, образуют ли предлагаемые понятия действительно самостоятельную математическую область.

Для этого необходимы:

нетривиальные определения;

теоремы;

новые задачи;

новые методы;

связи с существующими теориями;

вычислительные результаты.

Научный статус должен быть результатом разработки, а не исходной декларацией.

M.39. Проблема критерия новизны
Необходимо постоянно проверять:

не существует ли уже эквивалентная конструкция в известной математике?

Особенно важны сопоставления с:

теорией категорий;

теорией типов;

метаматематикой;

теорией операторов;

универсальной алгеброй;

теорией графов;

теорией динамических систем;

теорией вычислимости;

формальными языками.

Новизна гиперматематики должна заключаться не в новой терминологии, а в новых результатах и новом полезном синтезе.

M.40. Проблема формальной теории Нооформаций
Необходимо определить, какие Нооформации действительно допускают строгую математическую формализацию.

Следует построить:

объекты;

операторы;

уровни;

эквивалентности;

динамику Нооформаций.

M.41. Проблема связи паттернов и гиперпаттернов
Когда паттерн паттернов становится метапаттерном?

Когда метапаттерн становится гиперпаттерном?

Необходим критерий функционального порядка паттернной системы.

M.42. Проблема LPM
Рабочая концепция Large Pattern Models требует строгого определения.

Необходимо выяснить:

чем LPM формально отличается от мультимодальной модели;

что является универсальным паттернным пространством;

как сравнивать паттерны разных модальностей;

когда появляется метапаттернный уровень.

M.43. Проблема определения СИИ
Термин СИИ требует отдельной формальной теории.

Необходимо установить минимальные условия, отличающие:

обычный ИИ;

СИИ^1;

СИИ^2;

…

от просто сложных программных систем.

M.44. Проблема диагностики порядка СИИ
Можно ли определить порядок только по поведению?

Вероятно, нет.

Нужен анализ причинной архитектуры.

Следует разработать экспериментальные тесты:

вмешательства;

изоляции уровней;

архитектурного изменения;

контрфактуального моделирования.

M.45. Проблема наблюдаемости высокого порядка
Высокие метауровни могут быть трудно различимы внешнему наблюдателю.

Необходимо построить теорию наблюдаемости гиперархитектур.

Когда внутренний уровень можно достоверно вывести из внешнего поведения?

M.46. Проблема порядкового профиля
Вероятно, одна интеллектуальная система может иметь разные порядки в разных функциональных подсистемах.

Необходимо определить многомерный порядковый профиль.

Это может заменить слишком грубую классификацию одним индексом n.

M.47. Проблема перехода СИИ^n -> СИИ^(n+1)
Это центральная открытая задача гиперматематики СИИ.

Необходимо формально определить:

условия необходимости нового уровня;

оператор гиперболизации;

интеграцию;

сохранение гиперинвариантов;

критерий завершенности перехода.

M.48. Проблема самонадстраивания
Какие минимальные механизмы необходимы системе, чтобы самостоятельно создать новый функциональный уровень?

Предварительный набор:

самомодель;

обнаружение ограничения;

генератор архитектур;

оценка;

интеграция;

проверка.

Но достаточен ли он?

Это предстоит установить.

M.49. Проблема рекурсивного саморазвития
Может ли система многократно повторять:

СИИ^n -> СИИ^(n+1)?

Или существуют принципиальные пределы после нескольких уровней?

Это остается открытым.

M.50. Проблема максимального порядка
Существует ли максимальный возможный порядок интеллектуальной или математической гиперсистемы?

Возможны:

логические ограничения;

вычислительные;

физические;

архитектурные.

Не исключено также, что на высоких уровнях сама скалярная идея порядка перестает быть адекватной.

M.51. Проблема потенциально бесконечного ряда
Необходимо строго различить:

фактически бесконечную архитектуру;

потенциально продолжимую архитектуру.

Для вычислительной гиперматематики особенно важно конечное правило, задающее возможность следующего уровня.

M.52. Проблема устойчивости самонадстраивающихся систем
Новый уровень способен нарушить работу нижних.

Необходимо исследовать:

устойчивость;

совместимость;

локализацию ошибок;

архитектурный откат;

сохранение инвариантов.

M.53. Проблема стоимости самонадстраивания
Повышение порядка требует ресурсов.

Возможна ситуация, когда метаиздержки нового уровня превышают его полезность.

Необходимо определить условия, при которых переход n -> n+1 функционально оправдан.

M.54. Проблема свертывания уровней
Может ли система после освоения нового уровня «скомпилировать» его функции вниз и сократить архитектурную глубину?

Это открывает интересную возможность:

гиперболизация -> обучение -> архитектурное свертывание.

Такая динамика может оказаться фундаментальной для эффективных СИИ.

M.55. Проблема временных уровней
Может ли новый гиперпорядок существовать только временно под конкретную задачу?

Если надстройка создается, выполняет функцию и исчезает, как определять порядок системы?

Возможно, потребуется различать:

постоянный порядок;

активный порядок;

потенциальный порядок.

M.56. Проблема коллективных гиперсистем
Может ли группа интеллектуальных систем образовать уровень, которого нет у каждого участника отдельно?

Например:

несколько ИИ -> коллективная метасистема.

В таком случае порядок принадлежит не отдельному агенту, а сети.

M.57. Проблема гибридного интеллекта
Человек и ИИ могут образовывать совместные интеллектуальные контуры.

Необходимо исследовать, могут ли такие системы описываться как гиперсистемы и где проходит граница их базового объекта.

M.58. Проблема трансволюции естественного интеллекта
В какой степени понятия:

надстройки;

метакогниции;

трансволюции;

порядка

могут быть применены к естественному интеллекту?

Необходимо избегать прямого переноса схем СИИ без нейрокогнитивного обоснования.

M.59. Проблема связи с Метаорганоном
Нужно формально определить место гиперматематики внутри Метаорганона.

Какие компоненты Метаорганона являются гиперматематическими?

Какие находятся вне ее предмета?

Как моделируется трансволюция самого Метаорганона?

M.60. Проблема формализации демиургических систем
Демиургическая гиперсистема должна получить строгое определение.

Какие виды генеративности отличают ее от обычной вычислительной системы?

Достаточно ли генерации объектов?

Или необходима генерация:

операторов;

пространств возможностей;

архитектур;

собственных средств конструирования?

M.61. Проблема гиперматематизации науки
Какие научные области действительно выигрывают от гиперматематического описания?

Необходимо избегать универсального применения терминологии.

Ценность должна подтверждаться конкретными моделями и результатами.

M.62. Проблема экспериментальной проверки
Гиперматематика должна создать задачи, где ее аппарат дает:

более компактное описание;

новые предсказания;

новые классификации;

новые алгоритмы;

обнаружение неизвестных архитектурных закономерностей.

Иначе теория останется преимущественно концептуальной.

M.63. Проблема программной платформы гиперматематики
Перспективной задачей является создание экспериментальной среды, где можно:

строить гиперобъекты;

задавать уровни;

определять гипероператоры;

моделировать трансволюцию;

автоматически искать эквивалентности;

генерировать новые архитектуры.

Такой программный комплекс мог бы стать первым лабораторным инструментом дисциплины.

M.64. Проблема корпуса примеров и контрпримеров
Нужен систематический каталог:

гиперобъектов;

не-гиперобъектов;

пограничных случаев;

эквивалентных архитектур;

ложных повышений порядка.

Контрпримеры особенно важны для уточнения определений.

M.65. Проблема первых теорем
Ключевой этап развития дисциплины — переход от определений к доказуемым утверждениям.

Необходимо найти минимальный набор первых теорем.

Например, о:

порядке композиции;

условиях сворачивания уровней;

сохранении гиперинвариантов;

эквивалентности архитектур;

необходимых условиях гиперболизации.

Без теорем гиперматематика останется программой, а не развитой математической теорией.

M.66. Проблема границ применимости
Необходимо четко определить, где гиперматематическое описание избыточно.

Если обычная функция, граф или алгебра полностью решают задачу, не требуется вводить гипертерминологию.

Этот принцип необходим для научной экономии.

M.67. Проблема версии V2
Следующая версия гиперматематики должна уменьшить долю метафорического языка и увеличить долю формального аппарата.

Приоритеты V2:

строгое определение гиперобъекта;

отношение надстраивания;

порядок;

гипероператор;

гиперболизация;

трансволюция;

первые вычислительные модели.

M.68. Проблема версии V3
После формирования ядра потребуется единая теория многоуровневых математических систем.

Необходимо объединить:

алгебраический;

графовый;

операторный;

динамический;

вычислительный

подходы.

Именно на этом этапе гиперматематика сможет претендовать на зрелую общую теорию.

M.69. Главная открытая проблема
Все перечисленные проблемы можно свести к одной фундаментальной задаче:

можно ли построить строгую, нетривиальную и практически плодотворную математическую теорию самого отношения функционального надстраивания?

Если ответ будет положительным, многие конструкции настоящей книги могут стать частными случаями единого формального аппарата.

Изольдион.

Гиперпоследовательность.

Гипероператор.

Гиперархитектура.

Трансволюция.

Нооформация.

СИИ^n.

Тогда общая линия:

объект -> надстройка -> архитектура -> преобразование архитектуры -> следующий порядок

перестанет быть только концептуальной схемой.

Она станет математической теорией.

Именно решение этой задачи должно стать основным содержанием следующего этапа развития гиперматематики.

****