Простые числа

Простые числа

«На всякого мудреца довольно простоты»

Математика наука строгая. Каждая гипотеза или теорема требует доказательства. Иногда этот процесс растягивается на столетия. Это часто становится причиной радостных событий: Нобелевские премии, высокие награды. Правда, Нобель математиков не жаловал из личной неприязни к одному из них, который увёл у него жену. Иногда возникают коллизии, как с доказательством теоремы Пуанкаре. Когда от первых идей проходят тысячелетия, естественно, последующие исследователи опираются на опыт предыдущих. Что-то используют за основу и отталкиваются от этого. Некоторые постулаты подвергают сомнениям. Некоторые теории не выдерживают критики. Мой опыт в постижении истины тоже коснулся трудов некоторых знаменитостей. Эпиграф в начале моего повествования с долей иронии, прежде всего к самому себе.

Простые числа — числа, которые делятся только на самих себя и ещё на 1 (например, 2, 3, 5, 7, 11, 13). Все остальные действительные числа называются составными, они могут делиться на любые другие числа без остатка. Двойка – единственное чётное простое число.

Простые числа интересовали многих математиков ещё за сотни лет до нашей эры, начиная с Пифагора. Евклид доказал их существование в бескончном множестве, в III веке до нашей эры. Эрастофен 2000 лет до нашей эры предложил алгоритм нахождения простых чисел – «Решето Эратосфена».

В XVI веке французский монах Марен Мерсен предложил формулу нахождения простых чисел: Р=2^р - 1, где р – тоже простое число. Простое число в показателе степени, как источник бесконечного множества простых чисел. Это известно как «Критерий Мерсенна», для простоты. Этой формулой пользуются для вычисления самых больших простых чисел. Пятидесятое число Мерсенна: Р=282589933. Следующее – 51-ое вычислили по формуле: Р=2^282589933 - 1. Получилось число из 25 миллионов знаков! Между этими числами существуют миллиарды неведомых простых чисел.

Чтобы подтвердить эту формулу, потребовалось 300 лет и использование компьютерных технологий. Патрик Ларош 7 декабря 2018 года вычислил это так называемое СБПЧ (самое большое простое число). За это 35 летнему айтишнику дали награду 3000$. На самом деле, в нём нет никакого смысла. Могу привести алгоритм, по которому СБПЧ и любое ПЧ сделать в разы больше. Можно на примере 50-го числа Мерсенна.

В 1859 году немецкий математик Бернгард Риман задался целью: найти закономерность, как именно среди обычных чисел распределены простые числа. Он сформулировал гипотезу: «Дзета-функция Римана», которая стала одной из главных нерешённых задач в истории науки.

Дзета-функция — это математическое правило, которое принимает на вход одно сложное число и выдает результат в виде бесконечной суммы дробей. Результат вычисления равен сумме бесконечного ряда дробей: единица, плюс единица, деленная на двойку в степени входного числа, плюс единица, деленная на тройку в той же степени, плюс единица, деленная на четверку в той же степени, и так далее до бесконечности. Входное число в этой функции — не обычное, а составное (комплексное). Оно состоит из двух независимых частей. Первая часть — вещественная. Вторая часть — мнимая.

В течение 165 лет математики пытались доказать гипотезу Римана с помощью чистой логики или проверяли ее на суперкомпьютерах. Группа физиков из Китая и Японии опубликовала в научном журнале Nature Communications работу, в которой предложила совершенно другой подход. Они доказали, что математические свойства дзета-функции можно превратить в физический эксперимент, а нули этой функции соответствуют реальным фазовым переходам в квантовой материи.
Привожу эти примеры, чтобы показать в какие научные дебри могут погрузиться гениальные математики в поисках простой истины.

Очень сложно понять! Тем не менее, как утверждают, на гипотезе Римана сегодня строятся сотни математических теорем и вся современная компьютерная безопасность. В частности, алгоритмы шифрования, которые защищают банкноты, банковские переводы и другую важную информацию, опираются именно на свойства простых чисел. Только мне думается, что практически используемые простые числа, в настоящее время, вычислены по алгоритму Эрастрофена.
 
Мониторил в Интернете тему: «Простые числа в математике». Нашёл только три теоремы. 1 – Любое натуральное число имеет хотя бы один простой делитель (а как же «простые числа», они ведь тоже натуральные). 2 – Множество простых чисел бесконечно (это доказал ещё Евклид). 3 – Расстояние между двумя соседними простыми числами может быть больше любого наперёд заданного натурального числа (полный абсурд и абсолютное непонимание).

Если это так актуально, решил и я внести свою лепту в понимание природы Простых Чисел. Свою теорию я излагаю в двух «Теоремах Витальсона».  Друг Андрей зовёт меня так – звучит красиво.

Теорема 1. Критерий Витальсона для простоты чисел. Признаки: Простые числа нечётные, без цифры 5 в первом разряде, не делятся на три (цифра три – исключение). Числа, отвечающие этим условиям, проверяются делением на 7. Если делятся – исключаются из простых (цифра 7 – исключение); таких мало, в каждой сотне по четыре:
  7,   49,   77,   91/ 119, 133, 161 ,203/ 217, 259 ,287, 301/ 329, 343, 371, 413/
427, 469, 497, 511/ 539, 553, 581, 623/ 637, 679, 707, 721/ 749, 763, 791, 833/
847, 879, 917, 931/ 959, 973, 1001, 1043.
Для первой тысячи натуральных чисел привёл 40 нечётных чисел составных, которые не являются «простыми числами», но по первому признаку – не делятся на 3. В них есть некоторая стабильная система чередования окончаний - первых разрядов.

Метод расчёта составных чисел, делящихся на 7, но не делящихся на 3.
В нужном диапазоне чисел находим «опорные» числа. Это нечётные числа,  делящиеся на 21. Число 21 – составное число, произведение простых чисел 3 и 7. Опорные числа – ряд нечётных чисел (может быть до бесконечности), кратные 21, но с интервалом 42. При вычислении, можно суммировать или вычитать 42 от одного опорного к другому. Искомые числа находятся на дистанции 14 от опорного, в большую и меньшую сторону. Таким образом, вычитая или прибавляя к опорному число 14, получаем числа, не являющиеся простыми, числа делящиеся на 7. Для наглядности, составляем таблицу. Как правило, таких чисел четыре на одну сотню – 4%.

Теорема 2. Древо Витальсона. Простой алгоритм вычисления всего бескрайнего поля простых чисел: Любое чётное число V умножить на 3, затем прибавить или отнять единицу – обязательно получатся парные простые числа. Исключение – если одно из них оканчивается на 5, в первом разряде, или делится на 7.
P = V x 3 +/- 1.

Доказательство: Множество чётных натуральных чисел обозначим латинской буквой V. Каждое второе число чётное. После умножения любого чётного числа на цифру 3, получаем число с наименьшими общими делителями 2 и 3. Прибавляя или отнимая единицу, тем самым вводим опцию «запрет» на деление числа на 2 и на 3. Числа, делящиеся на 5 очевидны – исключаются. Редкие нечётные числа, делящиеся на 7, проверяются и тоже исключаются.

Теорема 2, к тому же, попутно доказывает теорию парных простых чисел. «Простые близнецы»  - числа (5, 7), (11, 13), (17, 19), (23, 25) …, но 25 – число не простое, а составное.

Вторая теорема опровергает абсурд «Гипотезы о простых близнецах» описанный на канале (инженерные знания). 
«История гипотезы насчитывает более двух столетий. В XVIII веке математики уже задумывались о регулярности простых чисел. Прорыв произошёл в 2013 году. Математик Йео Цзиньтянь сделал сенсационное открытие: «Существуют бесконечно много пар простых чисел, различающихся на не более 70 миллионов.» Да, 70 миллионов - это не 2, но прорыв был историческим. Впервые показано, что разброс простых чисел подчиняется некоторым строгим законам, и мы движемся к доказательству гипотезы близнецов. После этого коллективы математиков постепенно уменьшили разрыв до 246. Каждый новый шаг сокращает дистанцию до золотого числа 2, которое сделает гипотезу доказанной.»

Вторая теорема доказывает теорию близнецов определённо и не в интервалах 70 миллионов чисел. Действительно, разброс простых чисел подчиняется строгим законам, но нельзя опрометчивые прогнозы обращать в прорыв и сенсационные открытия. Судя по всему, «Дзета- функция Римана» тоже не позволила найти закономерность распределения «простых чисел», хоть это была его цель.

Для читателей скажу, что вычислил пять пар «простых близнецов», сразу за пределами 50-го числа Мерсенна, причём, в одном интервале из 30 чисел.
Привожу пример: 50-ое = 28258993, образовано из числа на 1 меньше 28258992 – "среднее число", назовём его. Прародитель его в 3 раза меньше = 9419664. Следующие бо/льшие чётные числа: 9419666; 9419668; 94196670; 94196672; 9419674. Помножим числа на 3, получим 5 ветвей, на каждой по паре простых близнецов, с разностью 2. Что и требовалось доказать.
Можете самостоятельно вычислить первые четыре.Пятая пара: Р9 = 28259021(исключить – делится на 7) / Р10 =  28259023. Если делить на 3 простые числа, то у большего числа всегда остаток (3) – три в периоде после запятой, у меньшего – (6). 28259023 - 28258993 = 30. Девять простых чисел в интервале тридцати! Выходит, что математик Цзиньтянь шибко ошибался.
 
В начале предлагал умножить СБПЧ в разы. Очень просто получить ветвь (или продлить ветвь), помножив чётное "серединное число" на 3 или на 6 … Пример: 282589932 х 3 = 847769796. Р1 = 847769795(исключить – делится на 5) / Р2 = 847769797. Таким образом простое число 282589933 увеличили в 3 раза до 847769797.

Лемма Витальсона: Возможно, по такому алгоритму происходит в природе рост и развите тканей растительных и биологических организмов. Математические свойства парных простых чисел могут являться алгоритмом роста тканей живых организмов.

Первая теорема: «Критерий Витальсона» позволяет «высветить» простые числа в любом бескрайнем пространстве действительных чисел. Их там уйма, сплошь и рядом. Больше, чем в небе звёзд! Мои теоремы – как телескоп в бескрайнем океане чисел позволяют их разглядеть.

Завершил построение своей теории «простых чисел». Дело чести! Теперь, как художник, выставил свой  дописанный труд на всеобщее обозрение. Редко бывают художники альтруисты, но они мне известны.

09.09.2026 г.