Заметка о цикличном ряде

Любое целое число, не кратное семи, но поделённое на семь (то есть дробь 1/7 и её кратные), даёт хвост из шести циклично повторяющихся цифр. Древние заметили, что круг в 360 градусов ровно делится на любую цифру, кроме семёрки, а при делении на 7 выдаёт 142857 в периоде. Как и число Пи в ближайшем целом представлении (22/7) имело ту же печать. В зависимости от делимого ряд может начинаться с любой позиции, но цифры следуют друг за другом в одном порядке. И уже окрестили этот ряд дьявольским, известным в каббале как ряд Дважды Семь. Выдающим множество решений, таких как 142 + 857 = 999 или 142857 * 7 = 999999.

Само число 142857 будто состоит из трёх: 14, 28 и 57. Где 28 это будто удвоение предыдущего (14*2), и 57 это тоже будто удвоение предыдущего (28*2) + накопленный сдвиг на единицу. Далее, если проследовать логике и продолжить ряд, следующим числом было бы 114 (то есть 57 * 2), потом 228, потом 457 (последнее также со сдвигом на 1). И так далее. Каждое третье число получает смещение на единицу и продолжает удваиваться. При этом десятки и единицы будут повторять тот же ряд ..14, ..28, ..57. Но правильнее представить эти пары цифр как семёрку, помноженную на степень двойки, с прибавлением хвоста, который удлиняется на каждом третьем шаге. Тогда общая формула для вычисления числа на шаге n будет такой: a_n = 7 * 2^n + [сумма от k=1 до n/3]2^(n - 3k).

14 = 7 * 2^1 (шаг 1)
28 = 7 * 2^2 (шаг 2)
57 = 7 * 2^3 + 2^0 (шаг 3)
114 = 7 * 2^4 + 2^1 (шаг 4)
228 = 7 * 2^5 + 2^2 (шаг 5)
457 = 7 * 2^6 + 2^3 + 2^0 (шаг 6)
914 = 7 * 2^7 + 2^4 + 2^1 (шаг 7)
1828 = 7 * 2^8 + 2^5 + 2^2 (шаг 8)

Здесь, кстати, можно сделать шаг в обратную сторону и вычислить нулевую позицию: 7 = 7 * 2^0. То, что мы наблюдаем сдвиг в каждый шаг, кратный трём, напоминает нам о выпавших из этого ряда числах - 0, 3, 6, 9, - как бы обрамляющих его и символизирующих обратную, божественную сторону, великий план и соответствующих четырём временам года. И во всех этих числах узнаём целостную картину мира.

1, 4, и 2, 8, и 5, 7 -
Шесть ступеней
На бесконечной
Лестнице к Богу,
Словно сансара.
И четыре ангела
Дают тебе опору
рядом - 0, 3, 6, 9,
Не давая упасть.