Когда Русь превращается в Россию

Именно Москва, к концу XV века, объединяет русские земли в единое государство Чтобы отделить новое время от времен распада и бесконечных междоусобиц постепенно закрепляется новое самоназвание Росия (первоначально одно с). Процесс во времени естественно растянут.

Само слово  — Росия — действительно возникает в X веке в Византии, но в церковных источниках. Имелась в виду территория на которой формировалась православная митрополия родом из Византии.
«Дуэт» "Византия-Россия" становится привычным.

А вот в политическом смысле название Росия используется в литературе и документах  нашего государства с конца XV века. Как самоназвание независимого государства.  Это времена Ивана III, Великого князя Московского и Владимирского,государя всего Руси.  В  качестве идеологического обоснования суверенного государства Росия, естественно, называется Византия.

Утверждение самоназвания Росия - свидетельствовало о рождении политически и экономически независимого государства, которое наследует идеологию когда-то великой Византии. Повторюсь — это время Ивана III.
Официальное название Росия — это уже при внуке Ивана III — Иване IV, царя и великого князя Всея Руси. Оба Рюриковичи.
А удвоенное с - Россия - это уже времена   Петра I Романова.