Геометрия ферматовых треугольников

Геометрия ферматовых треугольников

*********
© В.К.
Петросян (Вадимир) © Lag.ru [Large Apeironic Gateway, Большой Апейронический
Портал (Шлюз), Суперпортал в Бесконечность].
При копировании данного материала и размещении его на другом сайте, ссылки
на соответствующие локации порталов Lag.ru и Proza.ru обязательны
Работа написана на основе концепции и разработок В.К. Петросяна при полноценном соавторстве (активном творческом и вычислительном участии) ChatGPT (OpenAI), GPT-5.6 Sol
*********


Глава 5. Остроугольность ферматова треугольника
В первой части книги была построена общая классификация степенных объектов и показано, что область n>2 занимает особое место. При положительных вещественных x, y, z, связанных соотношением

z^n = x^n + y^n,

возникает полноценный евклидов треугольник, причём его наибольший угол оказывается острым.

Теперь необходимо перейти от общей классификации к систематическому исследованию именно этой области.

Будем называть ферматовым треугольником показателя n евклидов треугольник со сторонами x, y, z, удовлетворяющими условию

z^n = x^n + y^n,

где:

n>2,

x>0,

y>0,

z>0,

а z является наибольшей стороной.

При этом требование целочисленности сторон в определение не входит.

Это существенно.

Ферматов треугольник прежде всего является вещественным геометрическим объектом. Великая теорема Ферма относится уже к специальному вопросу о возможности его положительной целочисленной реализации при целом n>2.

Первым фундаментальным свойством этого объекта является его остроугольность.

Именно она отличает ферматову область от пифагорова слоя n=2 и тупоугольного режима 1<n<2.

§ 1. Основная геометрическая лемма
1. Лемма о степенях чисел внутри единичного интервала
В основе всей геометрии ферматова треугольника лежит простейшее свойство степенной функции.

Пусть:

0<u<1.

Тогда при увеличении положительного показателя степени значение u^n уменьшается.

Следовательно, если:

n>2,

то:

u^n<u^2.

Или, что то же самое:

u^2>u^n.

Именно это элементарное неравенство, применённое одновременно к двум нормированным сторонам ферматова треугольника, превращает степенное уравнение в геометрическое утверждение.

2. Нормированная запись
Рассмотрим:

z^n = x^n+y^n.

Поскольку x и y положительны:

z>x,

z>y.

Разделим равенство на z^n:

(x/z)^n + (y/z)^n = 1.

Введём:

a=x/z,

b=y/z.

Тогда:

a^n+b^n=1,

причём:

0<a<1,

0<b<1.

Так как n>2:

a^2>a^n,

b^2>b^n.

Складывая:

a^2+b^2>a^n+b^n.

Но:

a^n+b^n=1.

Следовательно:

a^2+b^2>1.

Возвращаясь к исходным сторонам:

x^2+y^2>z^2.

Это и есть основное квадратичное соотношение ферматовой геометрии.

3. Основная геометрическая лемма
Сформулируем результат отдельно.

Лемма 1. Основная геометрическая лемма ферматова треугольника.

Если положительные величины x, y, z удовлетворяют условию

z^n=x^n+y^n

при n>2, то:

x^2+y^2>z^2.

Доказательство непосредственно следует из нормировки и неравенства:

u^2>u^n

для:

0<u<1,

n>2.

Таким образом, степенное равенство порядка выше второго автоматически порождает строгое квадратичное неравенство.

4. Существование самого треугольника
Однако одного квадратичного неравенства недостаточно. Необходимо сначала убедиться, что x, y, z вообще могут быть сторонами треугольника.

Для n>1:

a^n<a,

b^n<b.

Поэтому:

1=a^n+b^n<a+b.

Следовательно:

a+b>1.

То есть:

x+y>z.

Два остальных неравенства треугольника выполняются автоматически, поскольку z является наибольшей стороной и все величины положительны:

x+z>y,

y+z>x.

Следовательно, при n>2 ферматов объект действительно является невырожденным евклидовым треугольником.

5. Теорема об остроугольности
Теперь используем обратную теорему Пифагора.

Для треугольника, в котором z — наибольшая сторона:

если x^2+y^2<z^2, угол напротив z тупой;
если x^2+y^2=z^2, этот угол прямой;
если x^2+y^2>z^2, этот угол острый.
Мы уже доказали:

x^2+y^2>z^2.

Следовательно, угол напротив z острый.

Но угол напротив наибольшей стороны сам является наибольшим углом треугольника.

Если наибольший угол меньше 90°, то тем более меньше 90° два остальных угла.

Получаем основную теорему главы.

Теорема 1. Теорема об остроугольности ферматова треугольника.

Любой положительный вещественный треугольник, стороны которого удовлетворяют равенству

z^n=x^n+y^n

при n>2, является строго остроугольным.

Это утверждение справедливо для любого вещественного n>2 и не зависит от целочисленности сторон.

6. Принципиальное значение теоремы
Теорема об остроугольности выполняет сразу несколько функций.

Во-первых, она даёт непосредственное геометрическое содержание степенному условию n>2.

Во-вторых, она отделяет ферматову область от пифагоровой:

n=2 -> прямоугольный треугольник;

n>2 -> остроугольный треугольник.

В-третьих, она позволяет применять к ферматову треугольнику свойства, специфические именно для остроугольной геометрии.

В частности:

все три высоты падают внутрь противоположных сторон;
все три проекции вершин лежат внутри сторон;
ортоцентр находится внутри треугольника;
каждый из трёх квадратов стороны меньше суммы квадратов двух остальных.
Последнее особенно важно.

Если треугольник остроугольный, то выполняются одновременно:

x^2+y^2>z^2,

y^2+z^2>x^2,

z^2+x^2>y^2.

Таким образом, ферматова геометрия естественно порождает три положительных квадратичных избытка.

В дальнейшем именно это приведёт к новой системе симметричных координат.

§ 2. Наибольшая сторона и наибольший угол
1. Почему z является наибольшей стороной
Из:

z^n=x^n+y^n

следует:

z^n>x^n,

z^n>y^n.

Так как n>0:

z>x,

z>y.

Следовательно, сторона z является строго наибольшей.

Это свойство заложено непосредственно в степенном равенстве.

Таким образом, ферматов треугольник имеет естественную выделенную сторону.

Это существенно отличает его от произвольного треугольника, где выбор основной стороны может быть условным.

2. Выделенный угол C
Обозначим через C угол, лежащий напротив стороны z.

Поскольку z — наибольшая сторона, C — наибольший угол:

C>A,

C>B.

Из основной геометрической леммы:

x^2+y^2>z^2.

По теореме косинусов:

z^2=x^2+y^2-2xy*cos(C).

Следовательно:

2xy*cos(C)=x^2+y^2-z^2.

Правая часть положительна.

Поэтому:

cos(C)>0.

А значит:

0<C<90°.

Таким образом, весь ферматов треугольник можно в определённом смысле контролировать через один выделенный угол C.

Если доказано, что C острый, остроугольность двух остальных углов следует автоматически.

3. Точная формула угла
Получаем:

cos(C) = (x^2+y^2-z^2)/(2xy).

После нормировки:

a=x/z,

b=y/z,

имеем:

cos(C) = (a^2+b^2-1)/(2ab).

В координатах n и t:

a=1-t,

b=(1-(1-t)^n)^(1/n).

Поэтому угол C является функцией только двух параметров:

C=C(n,t).

Именно эта функция будет подробно исследована в следующих главах.

4. Пограничное поведение
При фиксированном n>2 возможны два крайних режима.

Если:

t->0,

то:

x/z->1,

y/z->0.

Если:

t->1,

то:

x/z->0,

y/z->1.

В обоих случаях треугольник приближается к вырожденной границе.

При этом:

C->90°

снизу.

Следовательно, внутри ферматова слоя наибольший угол удовлетворяет:

C<90°,

но может быть сколь угодно близок к 90°.

Это важное уточнение.

Не существует универсального положительного углового зазора между всеми ферматовыми треугольниками и прямоугольным состоянием.

Такой зазор появляется только после фиксации дополнительных параметров.

5. Центральное состояние
Особая конфигурация возникает при:

x=y.

Тогда:

2x^n=z^n.

Следовательно:

x/z=2^(-1/n).

В центральной точке:

a=b=2^(-1/n).

Для угла C получаем:

cos(C*) = (2a^2-1)/(2a^2).

После упрощения:

cos(C*) = 1-2^(2/n-1).

При n=2:

C*=90°.

При n>2:

C*<90°.

При:

n->infinity

получаем:

C*->60°.

Таким образом, наибольший угол центрального ферматова треугольника проходит путь:

90° -> 60°

по мере роста степени от 2 до бесконечности.

В дальнейшем будет показано, что именно в центральной точке x=y угол C достигает своего минимума при фиксированном n>2.

§ 3. Квадратичный избыток
Основное неравенство:

x^2+y^2>z^2

естественно приводит к введению новой величины.

1. Определение
Назовём:

Q_z = x^2+y^2-z^2

квадратичным избытком относительно стороны z.

Для ферматова треугольника:

Q_z>0.

В пифагоровом случае:

Q_z=0.

В тупоугольном степенном режиме 1<n<2:

Q_z<0.

Таким образом, Q_z является точным индикатором положения относительно пифагоровой границы.

2. Нормированный квадратичный избыток
Разделим Q_z на z^2:

q_z = Q_z/z^2.

Тогда:

q_z = (x/z)^2+(y/z)^2-1.

Или:

q_z = a^2+b^2-1.

В координатах (n,t):

q_z(n,t) =
(1-t)^2 +
(1-(1-t)^n)^(2/n)
-1.

Эта функция представляет собой одну из естественных поверхностей ферматова атласа.

Она показывает, насколько конкретный ферматов треугольник удалён от пифагоровой границы в квадратичном смысле.

3. Связь с углом
По теореме косинусов:

Q_z = 2xy*cos(C).

Следовательно:

q_z = 2*(x/z)*(y/z)*cos(C).

Поэтому квадратичный избыток имеет непосредственное геометрическое содержание.

Он одновременно зависит:

от относительных длин двух меньших сторон;
от величины наибольшего угла.
При:

Q_z=0

получаем:

C=90°.

При:

Q_z>0

получаем:

C<90°.

Таким образом, Q_z можно рассматривать как алгебраическую меру остроугольности относительно стороны z.

4. Три квадратичных избытка
Поскольку ферматов треугольник остроугольный, можно определить:

Q_x = y^2+z^2-x^2,

Q_y = z^2+x^2-y^2,

Q_z = x^2+y^2-z^2.

Для остроугольного треугольника:

Q_x>0,

Q_y>0,

Q_z>0.

Эти три величины симметрично кодируют его угловую структуру.

По теореме косинусов:

Q_x = 2yz*cos(A),

Q_y = 2zx*cos(B),

Q_z = 2xy*cos(C).

Следовательно, квадратичные избытки представляют собой своеобразные алгебраические координаты углов.

Позднее будет удобно использовать половинные величины:

R_X = Q_x/2,

R_Y = Q_y/2,

R_Z = Q_z/2.

Именно они приведут к системе:

R_X+R_Y=z^2,

R_Y+R_Z=x^2,

R_Z+R_X=y^2.

Но пока существенно лишь то, что фундаментальная остроугольность естественным образом порождает целую систему положительных квадратичных характеристик.

5. Квадратичный избыток как переходный инвариант
Особенно интересно, что Q_z связывает три языка одновременно.

Геометрически его знак определяет тип угла C.

Алгебраически он является простой квадратичной комбинацией сторон.

Арифметически, если x, y и z целые, Q_z также является целым числом.

Таким образом, уже здесь возникает первый естественный кандидат на трёхипостасный инвариант:

геометрический смысл -> квадратичная формула -> арифметическая структура.

Это направление будет существенно развито в главах, посвящённых высотам и R-координатам.

§ 4. Связь со степенным показателем
Остроугольность ферматова треугольника является не отдельным свойством конкретной фигуры. Она непосредственно управляется показателем n.

Именно поэтому необходимо исследовать, как квадратичная геометрия изменяется при изменении степени.

1. Сравнение показателей
Рассмотрим фиксированную нормированную сторону:

a=x/z,

где:

0<a<1.

Для каждого n вторая сторона определяется условием:

a^n+b^n=1.

То есть:

b=(1-a^n)^(1/n).

Пусть показатель увеличивается.

Если:

n2>n1>0,

то для фиксированного:

0<a<1

значение допустимой второй нормированной стороны b возрастает.

Это можно показать без дифференцирования.

Пусть b1 соответствует n1:

a^n1+b1^n1=1.

Поскольку:

n2>n1

и:

0<a,b1<1,

имеем:

a^n2<a^n1,

b1^n2<b1^n1.

Следовательно:

a^n2+b1^n2<1.

Чтобы при показателе n2 вновь получить сумму, равную 1, необходимо увеличить вторую сторону:

b2>b1.

Таким образом, при фиксированном отношении x/z повышение степени увеличивает y/z.

2. Геометрический смысл
Это означает, что при фиксированном t:

x/z=1-t

остаётся неизменным,

а:

y/z

монотонно увеличивается с ростом n.

В результате треугольник становится геометрически более «заполненным».

При n=1 имеем:

x/z+y/z=1.

При n=2 достигается прямоугольная граница.

При n>2 вторая сторона уже достаточно велика для выполнения:

x^2+y^2>z^2.

Таким образом, рост показателя непосредственно перемещает объект через последовательность геометрических фаз.

3. Возникновение квадратичного избытка
При:

n=2

имеем:

Q_z=0.

При любом:

n>2

имеем:

Q_z>0.

Следовательно, квадратичный избыток рождается непосредственно после прохождения пифагоровой границы.

Для фиксированного t он возрастает от нуля при n=2.

В нормированной форме:

q_z(n,t) =
(1-t)^2 +
(1-(1-t)^n)^(2/n)
-1.

При:

n=2

эта величина равна нулю.

При:

n>2

положительна.

Таким образом, q_z может рассматриваться как непрерывная мера удаления от пифагорова слоя по направлению степени.

4. Предельное значение при n->infinity
Зафиксируем:

0<t<1.

Тогда:

a=1-t.

При:

n->infinity

имеем:

a^n->0.

Поэтому:

b=(1-a^n)^(1/n)->1.

Следовательно:

q_z -> a^2.

То есть:

q_z -> (1-t)^2.

Это интересный предельный результат.

При фиксированной форме разрыва t квадратичный избыток не растёт неограниченно, а стремится к определённому конечному значению.

5. Предельный угол при фиксированном t
Так как:

b->1,

имеем:

cos(C) = (a^2+b^2-1)/(2ab).

В пределе:

cos(C) -> a/2.

То есть:

cos(C_infinity) = (1-t)/2.

Следовательно, при фиксированном t:

C_infinity = arccos((1-t)/2).

Это показывает, что даже при бесконечно большом показателе предельная геометрия зависит от выбранного относительного разрыва.

Например:

при t->0 получаем предел 60°;

при t->1 предел приближается к 90°.

Поэтому ферматова область не имеет единственного предельного треугольника при n->infinity.

Она имеет целое предельное семейство.

6. Особенность центральной траектории
Совсем иначе ведёт себя центральная линия:

x=y.

Здесь t не фиксировано, а само зависит от n:

t* = 1-2^(-1/n).

При:

n->infinity

имеем:

t*->0.

Но одновременно:

x/z->1,

y/z->1.

Поэтому центральный треугольник стремится к:

1,1,1.

То есть к равностороннему.

Получаем важное различие двух предельных процедур:

фиксированный t, n->infinity

и

центральная траектория t=t(n), n->infinity*

не являются одним и тем же процессом.

Это станет особенно существенным при исследовании пограничной геометрии.

7. Степень как параметр остроугольности
Теперь можно уточнить общий смысл показателя n.

Он не просто определяет показатель в исходном уравнении.

Внутри геометрической ипостаси n управляет:

величиной второй нормированной стороны;
знаком квадратичного избытка;
величиной наибольшего угла;
положением центральной линии;
предельной формой треугольника.
Поэтому показатель степени является одновременно алгебраическим и геометрическим параметром.

Именно это одно из фундаментальных обстоятельств, делающих степенную геометрию естественным объектом трёхипостасного исследования.

Общая сенсограмма главы
Характеристика n=2 n>2
x+y-z >0 >0
x^2+y^2-z^2 0 >0
Наибольший угол C 90° <90°
Тип треугольника прямоугольный остроугольный
Q_z 0 положителен
Три Q один равен 0 все положительны
Центральный угол 90° от 90° к 60°
Геометрическая реализация существует существует
Целочисленная реализация бесконечные семейства классически запрещена для целых n>2
Итоги главы 5
Ферматов треугольник определяется положительным вещественным степенным соотношением

z^n=x^n+y^n

при:

n>2.

Его первая фундаментальная особенность — строгая остроугольность.

После нормировки:

a=x/z,

b=y/z

имеем:

a^n+b^n=1.

Поскольку:

0<a,b<1

и:

n>2,

получаем:

a^2+b^2>1.

Следовательно:

x^2+y^2>z^2.

Так как z является наибольшей стороной, угол напротив неё является наибольшим. Он острый, а значит, остры и все остальные углы.

Это приводит к введению квадратичного избытка:

Q_z=x^2+y^2-z^2>0.

А вследствие полной остроугольности возникают три положительные величины:

Q_x,

Q_y,

Q_z.

Они связывают стороны, углы и, при целочисленной реализации, арифметические свойства треугольника.

Наконец, показатель n непосредственно управляет величиной квадратичного избытка и геометрией всего семейства.

При n=2 избыток равен нулю.

При n>2 он положителен.

При росте n ферматова геометрия непрерывно удаляется от пифагорова слоя, но делает это различным образом для различных траекторий в пространстве (n,t).

Тем самым остроугольность оказывается не второстепенным визуальным свойством, а первым фундаментальным геометрическим законом ферматовой области.

В следующих главах этот закон будет развёрнут в полную теорию сторон, углов, экстремальных состояний, высот и новых координат ферматова треугольника.

**********

Глава 6. Стороны ферматова треугольника
Остроугольность определяет общий геометрический тип ферматова треугольника, но ещё не описывает его внутреннюю структуру. Следующий шаг состоит в исследовании поведения самих сторон.

После нормировки z=1 вся сторона z фиксируется, а две остальные стороны определяются показателем n и относительным разрывом

t = (z-x)/z.

Для ферматовой области:

n>2,

0<t<1.

Введём, как и ранее, нормированные стороны:

a = x/z,

b = y/z.

Тогда:

a = 1-t,

b = (1-(1-t)^n)^(1/n),

и выполняется:

a^n+b^n=1.

Таким образом, вся теория сторон ферматова треугольника сводится к исследованию двух функций:

a(t)=1-t

и

b(n,t)=(1-(1-t)^n)^(1/n).

Первая оказывается чрезвычайно простой и линейной. Вторая несёт почти всю нетривиальную степенную динамику.

Особенно важно, что при движении по t эти две стороны изменяются в противоположных направлениях:

x/z уменьшается,

y/z увеличивается.

В некоторой единственной точке они становятся равными. Эта точка впоследствии окажется центральной линией всей ферматовой геометрии.

§ 1. Зависимость x/z от t
1. Линейная сторона
По определению:

k=z-x,

t=k/z.

Следовательно:

k=tz,

и:

x=z-k=z-tz=z(1-t).

Поэтому:

x/z=1-t.

Итак:

a(t)=1-t.

Это точная линейная зависимость.

В отличие от стороны y, никакого явного участия показателя n здесь нет.

При фиксированном t отношение x/z одинаково для всех степенных режимов.

2. Геометрический смысл
Параметр t непосредственно измеряет относительную потерю длины стороны x по сравнению с z.

Если:

t=0,01,

то:

x/z=0,99.

Если:

t=0,2,

то:

x/z=0,8.

Если:

t=0,7,

то:

x/z=0,3.

Таким образом, t имеет совершенно прозрачный геометрический смысл.

Это не абстрактная параметризация, а относительный разрыв между двумя сторонами.

3. Монотонность
Имеем:

d(x/z)/dt = -1.

Следовательно, при увеличении t сторона x/z строго и равномерно уменьшается.

В пределах:

0<t<1

она проходит весь интервал:

1>x/z>0.

Предельные значения:

t->0:

x/z->1;

t->1:

x/z->0.

Таким образом, одна координата t полностью проводит сторону x от почти полного совпадения с z до почти полного исчезновения.

4. Независимость от n и её смысл
При фиксированном t величина:

x/z=1-t

не зависит от n.

Это позволяет особенно чисто исследовать влияние самого показателя степени.

Если t фиксировано и изменяется n, сторона x/z остаётся неизменной.

Все изменения формы происходят за счёт второй стороны:

y/z.

Поэтому вертикальное движение в пространстве (n,t) можно интерпретировать так:

одна нормированная сторона закреплена, а другая перестраивается под новый степенной закон.

Это делает параметризацию (n,t) особенно удобной для исследования степенных переходов.

5. Возвращение к ненормированной форме
Если восстановить масштаб z:

x=z(1-t).

Таким образом, абсолютная сторона x определяется двумя независимыми факторами:

формой — через 1-t;

масштабом — через z.

Это ещё один пример фундаментального разделения формы и масштаба.

При одинаковых n и t все соответствующие треугольники подобны, независимо от значения z.

§ 2. Зависимость y/z от n и t
Вторая сторона имеет существенно более сложную структуру.

1. Основная формула
Из:

z^n=x^n+y^n

получаем после деления на z^n:

1=(x/z)^n+(y/z)^n.

Так как:

x/z=1-t,

то:

(y/z)^n=1-(1-t)^n.

Следовательно:

y/z = (1-(1-t)^n)^(1/n).

Обозначим:

b(n,t)=(1-(1-t)^n)^(1/n).

Это вторая основная функция нормированной степенной геометрии.

2. Зависимость от t
При фиксированном n>2 сторона b строго возрастает по t.

Действительно:

db/dt =
(1-t)^(n-1) *
(1-(1-t)^n)^(1/n-1).

Все множители положительны при:

0<t<1.

Следовательно:

db/dt>0.

Итак, если t увеличивается:

x/z уменьшается;

y/z увеличивается.

Две меньшие стороны движутся навстречу друг другу, проходят через состояние равенства, после чего меняются ролями.

3. Единственная точка равенства сторон
Решим:

x=y.

После нормировки:

1-t = (1-(1-t)^n)^(1/n).

Возводя в n-ю степень:

(1-t)^n = 1-(1-t)^n.

Следовательно:

2(1-t)^n=1.

Отсюда:

1-t=2^(-1/n).

Поэтому:

t* = 1-2^(-1/n).

Это единственная точка, в которой:

x=y.

При:

0<t<t*

имеем:

x>y.

При:

t=t*

имеем:

x=y.

При:

t*>?

Точнее, при:

t*>?

Нужно записать в правильном порядке:

при:

t*>0,

а для:

t>t*

имеем:

y>x.

Итак:

0<t<t* -> x>y;

t=t* -> x=y;

t*<t<1 -> y>x.

Таким образом, t* делит весь ферматов слой на две ветви.

4. Зависимость от показателя n
Теперь зафиксируем t.

Тогда:

a=1-t

является постоянным числом между 0 и 1.

Пусть:

n2>n1>0.

Обозначим соответствующие значения второй стороны через:

b1,

b2.

Для n1:

a^n1+b1^n1=1.

Поскольку:

0<a<1,

0<b1<1,

при повышении показателя:

a^n2<a^n1,

b1^n2<b1^n1.

Следовательно:

a^n2+b1^n2<1.

Но при показателе n2 должно выполняться:

a^n2+b2^n2=1.

Поэтому необходимо:

b2>b1.

Получаем важный результат.

Теорема о монотонности второй стороны по степени.

При фиксированном:

0<t<1

нормированная сторона:

y/z

строго возрастает с увеличением n.

5. Геометрический смысл роста n
При фиксированном t сторона x/z остаётся неизменной.

Сторона y/z растёт.

Поэтому повышение степени геометрически означает раскрытие треугольника в направлении второй стороны.

Именно этим объясняется последовательность:

вырожденный слой при n=1;

тупоугольный при 1<n<2;

прямоугольный при n=2;

остроугольный при n>2.

Одна и та же фиксированная сторона x/z сопровождается всё более длинной второй стороной y/z.

6. Две различные роли n и t
Теперь становится особенно ясно различие двух параметров.

Изменение t при фиксированном n вызывает встречное движение двух меньших сторон:

x/z уменьшается,

y/z увеличивается.

Изменение n при фиксированном t оставляет x/z неизменной и увеличивает только y/z.

Следовательно, параметры n и t деформируют треугольник принципиально различными способами.

Это одна из причин, по которой двухпараметрическое пространство (n,t) обладает богатой геометрической структурой.

§ 3. Монотонность сторон
Теперь можно рассмотреть всю систему изменений совместно.

1. Теорема о встречной монотонности
Для фиксированного n>2:

x/z=1-t

строго убывает по t,

а:

y/z=(1-(1-t)^n)^(1/n)

строго возрастает.

Следовательно, при движении t от 0 к 1 две нормированные стороны совершают противоположное монотонное движение.

Это можно представить как:

t: 0 -> 1

x/z: 1 -> 0

y/z: 0 -> 1.

Таким образом, крайние состояния зеркально меняются местами.

2. Единственность центра
Так как одна сторона непрерывно уменьшается, а другая непрерывно увеличивается, они могут пересечься только один раз.

Следовательно, точка:

t*=1-2^(-1/n)

является единственным симметрическим состоянием всего слоя фиксированного n.

Никакого второго решения x=y не существует.

Это придаёт центральной точке фундаментальный статус.

3. Отношение сторон
Рассмотрим:

r = y/x.

После нормировки:

r(n,t) =
(1-(1-t)^n)^(1/n)/(1-t).

Поскольку числитель возрастает по t, а знаменатель уменьшается, отношение r строго возрастает.

При:

t->0

имеем:

r->0.

При:

t=t*

получаем:

r=1.

При:

t->1

получаем:

r->infinity.

Таким образом, t не только параметризует абсолютные относительные длины сторон, но и непрерывно проводит отношение y/x через весь положительный диапазон.

4. Максимальная сумма меньших сторон
Для ферматова треугольника:

a^n+b^n=1.

При фиксированном n>1 сумма:

a+b

достигает максимума при:

a=b.

Следовательно, максимум достигается в центральной точке.

Там:

a=b=2^(-1/n),

и:

a+b = 2^(1-1/n).

Поэтому:

max((x+y)/z) = 2^(1-1/n).

Следовательно, максимальный нормированный избыток замыкания:

(x+y-z)/z

равен:

2^(1-1/n)-1.

Это важное свойство.

Ферматов треугольник наиболее удалён от линейного вырождения именно в симметрическом состоянии x=y.

5. Центральная конфигурация как геометрический баланс
Таким образом, условие:

x=y

оказывается одновременно состоянием:

равенства меньших сторон;
максимума их суммы при фиксированном n;
максимального линейного запаса треугольного замыкания.
Позднее будет показано, что с этой же точкой связаны экстремумы углов, площади и высоты.

Поэтому центральную линию следует рассматривать не просто как удобный случай равнобедренного треугольника, а как один из основных структурных объектов всей степенной геометрии.

6. Симметрия сторон
Исходное уравнение:

z^n=x^n+y^n

полностью симметрично относительно перестановки:

x<->y.

Однако параметр t определяется через:

t=(z-x)/z

и поэтому выделяет сторону x.

В результате геометрическая симметрия присутствует, но в координате t записывается нелинейно.

Эта скрытая симметрия будет специально исследована далее.

Пока достаточно отметить:

две ветви относительно t* описывают геометрически симметричные ситуации, в которых x и y меняются ролями.

Следовательно, при задачах, симметричных по x и y, в принципе достаточно независимо исследовать только одну половину семейства.

§ 4. Предельные режимы
Формулы сторон позволяют точно исследовать поведение ферматова треугольника на границах параметрического пространства.

1. Предел t->0
Пусть n>2 фиксировано.

При:

t->0

имеем:

x/z=1-t->1.

Для второй стороны:

y/z=(1-(1-t)^n)^(1/n).

Используем разложение:

(1-t)^n = 1-nt+O(t^2).

Следовательно:

1-(1-t)^n = nt+O(t^2).

Поэтому:

y/z ~ (nt)^(1/n).

Итак:

t->0:

x/z->1,

y/z->0.

Нормированный объект стремится к:

(1,0,1).

Это вырожденная граница ферматова семейства.

2. Особенность малого t
Однако важно обратить внимание на скорость изменения y/z.

При малом t:

y/z ~ (nt)^(1/n).

Так как:

1/n<1,

величина t^(1/n) значительно больше t при малом t.

Следовательно, очень маленький линейный разрыв:

t=(z-x)/z

может соответствовать существенно большей по порядку третьей стороне y/z.

Это один из характерных эффектов степенной геометрии.

Малое различие между z и x не означает столь же малой стороны y.

3. Предел t->1
Теперь положим:

s=1-t.

При:

t->1

имеем:

s->0,

и:

x/z=s->0.

Для второй стороны:

y/z=(1-s^n)^(1/n).

При малом s:

(1-s^n)^(1/n)
= 1-s^n/n+o(s^n).

Следовательно:

1-y/z ~ (1-t)^n/n.

Поэтому:

t->1:

x/z->0,

y/z->1.

Нормированный объект стремится к:

(0,1,1).

Это вторая вырожденная граница семейства.

4. Асимметрия координаты t
Геометрически два края:

(1,0,1)

и:

(0,1,1)

симметричны относительно перестановки x и y.

Но в координате t они достигаются различным образом.

Около t=0 сторона y растёт как:

t^(1/n).

Около t=1 сторона y приближается к 1 с поправкой порядка:

(1-t)^n.

Эта сильная асимметрия не является асимметрией самого степенного уравнения.

Она возникает из-за выбранной координаты:

t=(z-x)/z,

которая привязана именно к стороне x.

5. Предел n->2 сверху
Зафиксируем:

0<t<1.

При:

n->2+

имеем:

x/z=1-t,

а:

y/z -> (1-(1-t)^2)^(1/2).

Следовательно, ферматов треугольник непрерывно приближается к прямоугольному треугольнику.

Никакого геометрического скачка самих сторон при переходе через n=2 нет.

Скачка нет и у углов: они также изменяются непрерывно.

Качественное изменение состоит в переходе через точное значение 90°.

6. Предел n->infinity при фиксированном t
Пусть:

0<t<1

фиксировано.

Обозначим:

a=1-t,

где:

0<a<1.

Тогда:

a^n->0.

Следовательно:

y/z=(1-a^n)^(1/n)->1.

При этом:

x/z=a=1-t

остаётся постоянным.

Таким образом:

n->infinity:

(x/z,y/z,z/z)
->
(1-t,1,1).

Получается равнобедренный предельный треугольник с двумя сторонами, равными 1.

Но третья сторона зависит от t.

Следовательно, при фиксированном t ферматова область не стремится к единственному универсальному треугольнику.

Она стремится к целому однопараметрическому семейству:

(1-t,1,1).

7. Скорость приближения y/z к единице
При больших n:

ln(y/z) =
(1/n)*ln(1-a^n).

Так как:

a^n->0,

имеем:

ln(1-a^n) ~ -a^n.

Следовательно:

ln(y/z) ~ -a^n/n.

И поэтому:

1-y/z ~ a^n/n.

То есть при фиксированном t вторая сторона приближается к z чрезвычайно быстро — экспоненциально по n с дополнительным множителем 1/n.

8. Центральный предел
На центральной линии t не фиксировано.

Там:

t*=1-2^(-1/n).

Поэтому:

x/z=y/z=2^(-1/n).

При:

n->infinity

получаем:

2^(-1/n)->1.

Следовательно:

(x/z,y/z,z/z)->(1,1,1).

То есть центральная траектория стремится к равностороннему треугольнику.

Это специальный случай общего предельного семейства, но он достигается по движущейся траектории:

t=t*(n)->0.

9. Фиксированный k и рост z
Особенно важен для дальнейшей арифметики режим:

k=z-x=const,

z->infinity.

Тогда:

t=k/z->0.

И:

x=z-k.

Для y:

y^n=z^n-(z-k)^n.

Разложение по степеням z даёт:

y^n =
nkz^(n-1)
n(n-1)/2k^2z^(n-2)

…
В первом приближении:

y^n ~ nkz^(n-1).

Следовательно:

y ~ (n*k)^(1/n)*z^((n-1)/n).

После деления на z:

y/z ~ (n*k/z)^(1/n).

Отсюда следует интересное сочетание двух фактов.

При:

z->infinity

нормированная сторона:

y/z->0.

Но абсолютная сторона:

y->infinity.

То есть в абсолютном масштабе все стороны могут становиться огромными, тогда как нормированная форма одновременно приближается к вырожденному краю.

Это ещё один пример необходимости строго различать масштаб и форму.

10. Неперестановочность двух пределов
Здесь обнаруживается особенно интересный эффект.

Рассмотрим:

n->infinity

и:

t->0.

Если сначала зафиксировать конечное n и устремить:

t->0,

получаем:

(1,0,1).

Последующий переход:

n->infinity

ничего уже не изменяет.

Итог:

(1,0,1).

Но если сначала при фиксированном:

t>0

устремить:

n->infinity,

получаем:

(1-t,1,1).

А затем:

t->0

даёт:

(1,1,1).

Итак:

lim(n->infinity) lim(t->0)

и

lim(t->0) lim(n->infinity)

дают разные геометрические состояния.

Символически:

(1,0,1) != (1,1,1).

Следовательно, два предельных перехода не перестановочны.

Это не техническая мелочь.

Она показывает, что угол параметрического пространства:

n=infinity,

t=0

обладает сложной внутренней структурой.

Различные траектории приближения могут давать различные предельные формы.

Подробно эта проблема будет рассмотрена в главе о пограничной геометрии.

Общая сенсограмма поведения сторон
Режим x/z y/z
t->0, n фиксировано ->1 ->0
t=t* 2^(-1/n) 2^(-1/n)
t->1, n фиксировано ->0 ->1
n->2+, t фиксировано 1-t ->sqrt(1-(1-t)^2)
n->infinity, t фиксировано 1-t ->1
n->infinity по центральной линии ->1 ->1
k фиксировано, z->infinity ->1 ->0
При фиксированном n:

x/z строго убывает по t;

y/z строго возрастает по t.

При фиксированном t:

x/z не зависит от n;

y/z строго возрастает по n.

Итоги главы 6
Стороны нормированного ферматова треугольника определяются системой:

x/z = 1-t,

y/z = (1-(1-t)^n)^(1/n),

z/z = 1.

Первая сторона линейно убывает по параметру t и при фиксированном t не зависит от показателя n.

Вторая сторона строго возрастает как по t, так и по n.

При фиксированном n возникает встречное движение:

x/z: 1 -> 0,

y/z: 0 -> 1.

Единственное состояние равенства достигается при:

t* = 1-2^(-1/n),

где:

x/z=y/z=2^(-1/n).

Эта точка делит семейство на две симметричные ветви:

x>y

и:

y>x.

Именно она станет центральной линией всей геометрии ферматовых треугольников.

Предельные режимы обнаруживают несколько существенно различных типов поведения.

При t->0 и t->1 треугольник приближается к вырожденным границам.

При n->2 сверху он непрерывно переходит к пифагоровой геометрии.

При n->infinity и фиксированном t возникает предельное семейство:

(1-t,1,1).

На центральной траектории это семейство приводит к равностороннему пределу:

(1,1,1).

Наконец, пределы n->infinity и t->0 не перестановочны.

Тем самым даже простое исследование сторон показывает, что пространство ферматовых треугольников обладает значительно более богатой структурой, чем может показаться из одного исходного равенства.

Следующий естественный шаг — исследовать, как эта динамика сторон преобразуется в динамику углов. Именно угловая структура выявит центральный экстремум, его переворот при n=2 и особую роль линии x=y.

*********

Глава 7. Угловая структура ферматова треугольника
В предыдущих главах были исследованы стороны нормированного ферматова треугольника:

z=1,

x=1-t,

y=(1-(1-t)^n)^(1/n),

где:

n>2,

0<t<1.

Теперь естественно перейти от метрической структуры к угловой.

Именно углы особенно ясно показывают, что ферматова область представляет собой не просто совокупность остроугольных треугольников, а организованное геометрическое семейство со своей симметрией, центральным экстремумом и характерными предельными состояниями.

Обозначим через:

A — угол напротив стороны x;

B — угол напротив стороны y;

C — угол напротив стороны z.

Поскольку:

z>x,

z>y,

угол C всегда является наибольшим.

В ферматовой области:

C<90°.

Однако его значение существенно изменяется внутри каждого слоя n=const.

Оказывается, функция C(t) имеет единственный внутренний экстремум, расположенный точно в симметрическом состоянии:

x=y.

При n>2 этот экстремум является минимумом.

Если же перейти через критическую степень n=2 в область 1<n<2, тот же самый центральный экстремум превращается в максимум.

При n=2 весь профиль полностью выравнивается.

Таким образом, угловая структура даёт особенно наглядное проявление фазового характера степенной геометрии.

§ 1. Углы A, B и C
1. Формулы углов
Для треугольника со сторонами x, y, z по теореме косинусов:

cos(A) = (y^2+z^2-x^2)/(2yz),

cos(B) = (x^2+z^2-y^2)/(2xz),

cos(C) = (x^2+y^2-z^2)/(2xy).

После нормировки:

a=x/z,

b=y/z

получаем:

cos(A) = (b^2+1-a^2)/(2b),

cos(B) = (a^2+1-b^2)/(2a),

cos(C) = (a^2+b^2-1)/(2ab).

Здесь:

a=1-t,

b=(1-(1-t)^n)^(1/n).

Следовательно, все три угла являются функциями только двух параметров:

n и t.

Масштаб z полностью исчезает.

2. Угол C как основной угловой параметр
Особую роль играет угол C.

Поскольку z является наибольшей стороной:

C>A,

C>B.

Поэтому именно C определяет общий угловой тип треугольника.

Для n>2 уже доказано:

x^2+y^2-z^2>0.

Следовательно:

cos(C)>0,

и:

C<90°.

Таким образом, для доказательства полной остроугольности достаточно исследовать один угол — C.

3. Порядок углов и порядок сторон
В любом невырожденном треугольнике большему углу соответствует большая противоположная сторона.

Следовательно:

если x>y, то A>B;

если x=y, то A=B;

если x<y, то A<B.

Из главы 6 известно:

0<t<t* -> x>y;

t=t* -> x=y;

t*<t<1 -> x<y,

где:

t* = 1-2^(-1/n).

Поэтому:

при 0<t<t*:

C>A>B;

при t=t*:

C>A=B;

при t*<t<1:

C>B>A.

Центральная точка является, таким образом, не только точкой равенства сторон, но и точкой равенства двух меньших углов.

4. Полная остроугольность
Для n>2:

0<A<90°,

0<B<90°,

0<C<90°.

Причём C является наибольшим.

Следовательно:

60°<C<90°

для любого неравностороннего ферматова треугольника.

Почему нижней естественной границей является 60°?

Поскольку наибольший угол любого треугольника не может быть меньше 60°.

Равенство:

C=60°

возможно только у равностороннего треугольника.

Но при конечном n:

z>x,

z>y,

поэтому ферматов треугольник не является равносторонним.

Следовательно, для конечного:

n>2

имеем строго:

60°<C<90°.

Граница 60° достигается лишь в пределе n->infinity по специальной центральной траектории.

5. Угловая сумма
Разумеется:

A+B+C=180°.

Поэтому после определения C и отношения между x и y геометрия остальных двух углов уже существенно ограничена.

В центральном состоянии:

A=B.

Следовательно:

A*=B*=(180°-C*)/2.

Так угловая структура симметрического ферматова треугольника полностью определяется одной величиной C*.

§ 2. Профиль наибольшего угла C(t)
Зафиксируем показатель:

n>2

и будем изменять:

0<t<1.

Получаем функцию:

C=C_n(t).

Это один из важнейших одномерных профилей всей степенной геометрии.

1. Точная формула профиля
Подставляя:

a=1-t,

b=(1-(1-t)^n)^(1/n),

получаем:

cos(C(t)) =
[a^2+b^2-1]/(2ab).

То есть:

cos(C(t)) =
[(1-t)^2 +
(1-(1-t)^n)^(2/n)
-1]
/
[2(1-t)(1-(1-t)^n)^(1/n)].

Эта формула полностью задаёт угловой профиль.

2. Поведение у левой границы
При:

t->0

имеем:

x/z->1,

y/z->0,

z/z=1.

Треугольник приближается к вырожденной конфигурации:

(1,0,1).

При этом:

C->90°

снизу.

То есть:

C(t)<90°

для любого внутреннего значения t,

но:

lim(t->0) C(t)=90°.

3. Поведение у правой границы
При:

t->1

имеем:

x/z->0,

y/z->1,

z/z=1.

Получается зеркальная вырожденная конфигурация:

(0,1,1).

И снова:

C->90°

снизу.

Следовательно, профиль C(t) начинается в пределе у 90°, опускается внутрь ферматовой области и затем вновь поднимается к 90°.

4. Симметрия исходного уравнения
Степенное условие:

x^n+y^n=z^n

симметрично относительно перестановки:

x<->y.

Поэтому угол C не изменяется при такой перестановке.

Однако координата:

t=(z-x)/z

сама по себе несимметрична: она специально связана со стороной x.

После перестановки сторон новое значение параметра будет:

t’ = 1-y/z.

Следовательно:

t’ =
1-(1-(1-t)^n)^(1/n).

Обозначим это преобразование через:

T_n(t).

Тогда:

T_n(t) =
1-(1-(1-t)^n)^(1/n).

5. Инволюция сторон
Если поменять x и y местами дважды, исходный треугольник восстановится.

Поэтому:

T_n(T_n(t))=t.

Такое преобразование называется инволюцией.

Для угла C:

C(T_n(t))=C(t).

Следовательно, две ветви углового профиля геометрически эквивалентны.

Важно, однако, отметить:

профиль C(t) вообще не обязан быть зеркально симметричным относительно t в обычной линейной координате t.*

Его симметрия осуществляется через нелинейную инволюцию T_n.

Это более точная формулировка симметрии ферматова семейства.

6. Неподвижная точка инволюции
Центр определяется условием:

T_n(t)=t.

Это эквивалентно:

x=y.

Как уже установлено:

t* = 1-2^(-1/n).

Это единственная неподвижная точка перестановки сторон.

Следовательно, если профиль C(t) имеет единственный внутренний экстремум, симметрия заставляет его находиться именно здесь.

Остаётся определить его тип.

§ 3. Центральный экстремум
Теперь докажем, что для n>2 центральная точка является не просто стационарным состоянием, а глобальным минимумом наибольшего угла.

1. Переход к отношению сторон
Для этого удобнее временно отказаться от параметра t и ввести:

r=x/y.

Поскольку общий масштаб не влияет на углы, положим:

x=r*y.

Из:

x^n+y^n=z^n

после нормировки z=1 получаем:

y=(1+r^n)^(-1/n),

x=r*(1+r^n)^(-1/n).

Поэтому:

cos(C) =
[r^2+1-(1+r^n)^(2/n)]/(2r).

Обозначим:

F_n(r) =
[r^2+1-(1+r^n)^(2/n)]/(2r).

Тогда:

F_n(r)=cos(C).

2. Симметрия по r
Перестановка x и y означает:

r -> 1/r.

Непосредственно проверяется:

F_n(r)=F_n(1/r).

Центральному состоянию:

x=y

соответствует:

r=1.

Следовательно, достаточно исследовать ветвь:

r>=1.

3. Производная
Дифференцирование даёт:

2r^2*F_n'(r) =
r^2-1
(r^n-1)*(1+r^n)^(2/n-1).

Для:

r>1

знак производной определяется сравнением двух положительных выражений.

Введём:

s=r^n>1

и:

alpha=2/n.

Для ферматовой области:

n>2,

следовательно:

0<alpha<1.

Условие:

F_n'(r)<0

эквивалентно:

s^alpha-1 <
(s-1)*(s+1)^(alpha-1).

4. Вспомогательная выпуклость
Положим:

u=1/(s+1),

так что:

0<u<1/2.

Предыдущее неравенство эквивалентно:

(1-u)^alpha-u^alpha < 1-2u.

Рассмотрим функцию:

G(u) =
(1-u)^alpha-u^alpha-(1-2u).

При:

u=0

и:

u=1/2

она обращается в ноль.

Для:

0<alpha<1

на интервале:

0<u<1/2

вторая производная G положительна.

Следовательно, G строго выпукла.

Строго выпуклая функция, равная нулю на обоих концах интервала, внутри лежит ниже соединяющей их хорды.

То есть:

G(u)<0.

Следовательно:

F_n'(r)<0

для всех:

r>1.

5. Теорема о центральном минимуме
Итак, при n>2 функция:

cos(C)

строго убывает при удалении от r=1 по ветви r>1.

Поскольку функция arccos убывает, сам угол C при этом строго возрастает.

С учётом симметрии:

r<->1/r

получаем:

Теорема о центральном экстремуме.

Для каждого фиксированного n>2 наибольший угол ферматова треугольника имеет единственный глобальный минимум при:

x=y.

То есть при:

t=t*=1-2^(-1/n).

Таким образом:

C(t)>C*

для любого:

t != t*,

а:

C(t*)=C*.

6. Точное значение минимума
В центральной точке:

x/z=y/z=2^(-1/n).

Поэтому:

cos(C*) = 1-2^(2/n-1).

Следовательно:

C* =
arccos(1-2^(2/n-1)).

Это точная формула минимального наибольшего угла для каждого фиксированного n>2.

Получаем строгий диапазон:

C*(n) <= C(n,t) < 90°,

где равенство слева достигается только при:

x=y.

7. Другие центральные углы
Так как:

A*=B*,

имеем:

A*=B*=(180°-C*)/2.

Следовательно, весь центральный треугольник описывается одной формулой.

Например, для n=3:

x/z=y/z=2^(-1/3),

а:

C* приблизительно равен 78,09°.

Поэтому:

A*=B* приблизительно равны 50,95°.

Это уже довольно далеко от прямоугольного состояния, но ещё далеко и от равностороннего предела.

§ 4. Переворот экстремума при n=2
Центральный минимум ферматовой области приобретает особый смысл, если рассмотреть более широкое семейство:

n>1.

Тогда обнаруживается настоящий переворот экстремума.

1. Область 1<n<2
Пусть:

1<n<2.

Теперь:

alpha=2/n

удовлетворяет:

1<alpha<2.

В рассмотренном выше доказательстве функция G меняет характер кривизны.

На интервале:

0<u<1/2

теперь:

G»(u)<0.

Следовательно, G становится строго вогнутой.

Поскольку на концах:

G=0,

внутри:

G(u)>0.

Поэтому для:

r>1

получаем:

F_n'(r)>0.

То есть cos(C) возрастает при удалении от центра.

А поскольку arccos убывает:

сам угол C уменьшается.

Следовательно, при:

1<n<2

центральная точка:

x=y

является уже не минимумом, а глобальным максимумом C.

2. Профиль до критической степени
Для:

1<n<2

на границах:

t->0,

t->1

по-прежнему:

C->90°,

но теперь:

C>90°

внутри слоя.

Следовательно, профиль имеет структуру:

90°

-> рост

-> единственный центральный максимум

-> спад

-> 90°.

Центральный угол является тупым.

3. Критическая степень n=2
При:

n=2

имеем:

z^2=x^2+y^2.

Поэтому:

C(t)=90°

для каждого:

0<t<1.

Весь угловой профиль становится плоским.

Не существует ни максимума, ни минимума в обычном строгом смысле: все точки имеют одно и то же значение.

Таким образом, n=2 является состоянием полного углового выравнивания.

4. После критической степени
При:

n>2

ситуация меняется на противоположную:

90°

-> спад

-> единственный центральный минимум

-> рост

-> 90°.

Получаем трёхфазную схему:

1<n<2: центральный максимум;

n=2: полный плоский профиль;

n>2: центральный минимум.

Это существенно более сильное утверждение, чем простой факт перехода через прямой угол.

При n=2 меняется топология экстремального профиля.

5. Точный характер переворота
Центральный угол задаётся:

cos(C*)=1-2^(2/n-1).

При:

n<2

правая часть отрицательна.

При:

n=2

равна нулю.

При:

n>2

положительна.

Но одновременно меняется знак производной профиля по обе стороны центра.

Поэтому степень n=2 является сразу:

границей знака квадратичного избытка;
границей тупоугольности и остроугольности;
точкой полного выравнивания C(t);
точкой переворота центрального экстремума.
Именно совокупность этих свойств делает пифагоров слой одной из главных фазовых границ всей теории.

6. Локальный выход из n=2
Пусть:

n=2+e,

где e>0 мало.

Для центрального угла:

cos(C*) =
1-2^(2/n-1).

Разложение при малом e даёт:

cos(C*) ~ (ln(2)/2)*e.

Поскольку около 90°:

90°-C*

в радианной мере также имеет в первом приближении величину cos(C*), получаем:

pi/2-C* ~ (ln(2)/2)*(n-2).

Следовательно, центральный угол покидает пифагорово значение 90° линейно по n-2.

Пифагоров слой, таким образом, не является разрывом геометрии.

Это гладкая, но критическая граница, на которой меняется знак и тип экстремума.

§ 5. Предельное поведение углов
Угловая структура особенно хорошо показывает, что разные способы приближения к границам пространства (n,t) могут приводить к различным геометрическим состояниям.

1. Предел t->0
При фиксированном:

n>2

получаем:

(x/z,y/z,z/z) -> (1,0,1).

Следовательно:

B->0°,

а два других угла стремятся к:

A->90°,

C->90°.

Таким образом:

t->0:

(A,B,C) -> (90°,0°,90°).

Разумеется, предельная конфигурация уже вырождена и не является обычным треугольником.

2. Предел t->1
Аналогично:

(x/z,y/z,z/z) -> (0,1,1).

Поэтому:

A->0°,

B->90°,

C->90°.

То есть:

t->1:

(A,B,C) -> (0°,90°,90°).

Два края ферматова слоя представляют собой взаимно переставленные вырожденные состояния.

3. Предел n->2 сверху
Зафиксируем:

0<t<1.

При:

n->2+

ферматов треугольник стремится к прямоугольному.

Поэтому:

C->90°.

Нормированная сторона:

x/z=1-t

остаётся неизменной.

В пифагоровом пределе:

sin(A)=x/z=1-t.

Следовательно:

A -> arcsin(1-t),

а:

B -> 90°-A.

Таким образом, весь ферматов угловой профиль непрерывно переходит в соответствующий пифагоров профиль.

4. Предел n->infinity при фиксированном t
Теперь зафиксируем:

0<t<1.

Как установлено ранее:

x/z -> 1-t,

y/z -> 1,

z/z = 1.

Положим:

a=1-t.

Предельные стороны:

(a,1,1).

Следовательно, в пределе:

B=C.

Для угла C:

cos(C_infinity)=a/2.

Поэтому:

C_infinity =
arccos((1-t)/2).

Так как:

B_infinity=C_infinity,

получаем:

B_infinity =
arccos((1-t)/2).

А:

A_infinity =
180°-2C_infinity.

Эквивалентно:

cos(A_infinity)=1-(1-t)^2/2.

Итак, при фиксированном t возникает целое семейство предельных равнобедренных треугольников.

5. Диапазон предельного C
При:

t->0

имеем:

(1-t)/2 -> 1/2,

следовательно:

C_infinity->60°.

При:

t->1

имеем:

(1-t)/2 -> 0,

поэтому:

C_infinity->90°.

Таким образом, предельная ферматова геометрия при:

n->infinity

заполняет весь диапазон наибольшего угла:

60° <= C_infinity < 90°,

с учётом граничных вырожденных состояний.

6. Центральная траектория
На центральной линии:

t=t*(n)=1-2^(-1/n).

Тогда:

x/z=y/z=2^(-1/n).

При:

n->infinity

обе стороны стремятся к 1.

Следовательно:

(A*,B*,C*) -> (60°,60°,60°).

Таким образом, центральная траектория заканчивается равносторонним треугольником.

Это естественная конечная точка процесса симметризации.

7. Монотонность центрального угла по n
Для:

n>2

имеем:

cos(C*) =
1-2^(2/n-1).

При увеличении n величина:

2^(2/n-1)

строго уменьшается от 1 к 1/2.

Следовательно:

cos(C*)

увеличивается от 0 к 1/2.

Поэтому:

C*

строго уменьшается:

от 90°

к 60°.

Итак, центральный минимум ферматова слоя становится всё глубже при увеличении степени, но имеет естественный предел 60°.

8. Неперестановочность пределов
Углы особенно ясно демонстрируют уже обнаруженную ранее неперестановочность пределов.

Если сначала:

t->0

при конечном n,

получаем:

(A,B,C)->(90°,0°,90°).

После этого переход:

n->infinity

уже не изменяет предельную вырожденную конфигурацию.

Если же сначала:

n->infinity

при фиксированном t>0,

получаем равнобедренный треугольник:

(1-t,1,1).

А затем:

t->0

он стремится к равностороннему:

(A,B,C)->(60°,60°,60°).

Следовательно, два пути к углу параметрического пространства:

n=infinity,

t=0

дают принципиально разные угловые пределы.

В одном случае:

(90°,0°,90°).

В другом:

(60°,60°,60°).

Это одно из наиболее выразительных проявлений сложной пограничной структуры ферматова пространства.

Общая сенсограмма угловой структуры
Режим Поведение C(t) Центральная точка
1<n<2 90° -> максимум -> 90° глобальный максимум
n=2 C=90° для всех t профиль полностью плоский
n>2 90° -> минимум -> 90° глобальный минимум
Для ферматовой области n>2:

Состояние A B C
t->0 ->90° ->0° ->90°
t=t* A*=B* A*=B* минимум
t->1 ->0° ->90° ->90°
n->infinity по центру ->60° ->60° ->60°
Итоги главы 7
Угловая структура ферматова треугольника определяется двумя параметрами:

n и t.

Наибольшим всегда является угол C, противоположный стороне z.

Для n>2:

60°<C<90°.

При фиксированном n и изменении t угол C стремится к 90° у обеих границ семейства и имеет единственный внутренний экстремум.

Этот экстремум расположен точно в симметрическом состоянии:

x=y,

то есть:

t*=1-2^(-1/n).

Для n>2 он является строгим глобальным минимумом:

C* =
arccos(1-2^(2/n-1)).

При переходе в область:

1<n<2

тот же центральный экстремум превращается в глобальный максимум.

При:

n=2

весь профиль выравнивается:

C(t)=90°.

Таким образом, пифагорова степень является не только границей тупоугольности и остроугольности, но и точкой переворота центрального углового экстремума.

Симметрия профиля осуществляется не обычным отражением относительно t*, а нелинейной инволюцией:

t ->
1-(1-(1-t)^n)^(1/n),

соответствующей перестановке x и y.

Наконец, предельные режимы показывают ещё более богатую картину.

При t->0 и t->1 возникают вырожденные состояния с C->90°.

При n->2+ ферматова геометрия непрерывно переходит в пифагорову.

При n->infinity и фиксированном t возникает семейство равнобедренных предельных треугольников.

А центральная траектория приводит к равностороннему пределу:

60°,60°,60°.

Тем самым угловой анализ выявляет три фундаментальных элемента ферматовой геометрии:

пограничный прямой угол,
центральный экстремум,
равносторонний асимптотический предел.

********

Глава 8. Центральная линия x=y
В предыдущих главах неоднократно возникала особая конфигурация

x=y.

Она появлялась как точка равенства двух меньших сторон, как точка равенства углов A и B, как единственная неподвижная точка перестановки x;y и как положение центрального экстремума наибольшего угла C.

Теперь эта конфигурация должна быть рассмотрена как самостоятельный объект.

В пространстве параметров (n,t) условие x=y задаёт специальную кривую

t=t*(n).

Именно её далее будем называть центральной линией степенной геометрии.

Термин «линия» здесь используется в параметрическом смысле: в плоскости (n,t) это непрерывная кривая, проходящая через все степенные режимы.

Центральная линия играет роль геометрического хребта всей системы.

На ней:

x=y;

A=B;

перестановка x;y оставляет объект неизменным;

достигаются характерные экстремумы ряда геометрических величин;

а в ферматовой области n>2 она ведёт от равнобедренного прямоугольного треугольника при n=2 к равностороннему пределу при n;infinity.

§ 1. Точное положение центра
1. Условие x=y
Начнём с исходного степенного равенства:

z^n=x^n+y^n.

На центральной линии:

x=y.

Следовательно:

z^n=2x^n.

Отсюда:

x^n=z^n/2,

и:

x/z=2^(-1/n).

Поскольку x=y:

x/z=y/z=2^(-1/n).

Таким образом, центральная конфигурация имеет точную нормированную форму:

x/z = 2^(-1/n),

y/z = 2^(-1/n),

z/z = 1.

Это одна из простейших и наиболее важных точных формул всей степенной геометрии.

2. Центральное значение t
Напомним:

t=(z-x)/z.

Следовательно:

t=1-x/z.

На центральной линии:

t* = 1-2^(-1/n).

Получаем точное уравнение центральной линии:

t(n)=1-2^(-1/n).*

Для каждого n>0 существует единственное центральное значение t*.

3. Характерные значения
При:

n=1

получаем:

t*=1/2.

Соответствующая нормированная конфигурация:

x/z=y/z=1/2.

Это симметрический вырожденный объект:

x+y=z.

При:

n=2

получаем:

t*=1-1/sqrt(2).

Численно:

t* приблизительно равно 0,292893.

При этом:

x/z=y/z=1/sqrt(2).

Это равнобедренный прямоугольный треугольник.

При:

n=3

имеем:

t*=1-2^(-1/3).

Численно:

t* приблизительно равно 0,206299.

При:

n;infinity

получаем:

t*;0.

Таким образом, с ростом степени центральная точка постепенно сдвигается к границе t=0.

4. Монотонность центральной линии
Рассмотрим:

t*(n)=1-exp(-ln(2)/n).

При увеличении n величина:

2^(-1/n)

строго возрастает.

Следовательно:

t*(n)

строго убывает.

Для производной:

dt*/dn =
-2^(-1/n)*ln(2)/n^2.

Поэтому:

dt*/dn<0.

Итак, центральная линия движется по пространству (n,t) монотонно:

от больших значений t при малых n

к нулю при больших n.

5. Асимптотика при больших n
Используя:

exp(-ln(2)/n),

получаем:

2^(-1/n)
1-ln(2)/n
+
(ln(2))^2/(2n^2)

…
Следовательно:

t*
ln(2)/n
(ln(2))^2/(2n^2)

…
В первом приближении:

t ~ ln(2)/n.*

Это важный асимптотический закон.

При больших степенях центральный относительный разрыв уменьшается обратно пропорционально n.

6. Абсолютный центральный разрыв
Если вернуть масштаб z:

k*=zt.

Следовательно:

k* =
z*(1-2^(-1/n)).

При больших n:

k* ~ z*ln(2)/n.

Таким образом, положение симметрического ферматова треугольника в абсолютных координатах зависит одновременно от масштаба z и показателя n.

Геометрическая форма определяется t*.

Абсолютный разрыв определяется уже k*.

Это вновь демонстрирует различие геометрической и арифметической координат.

§ 2. Симметрия x;y
Исходное степенное уравнение

z^n=x^n+y^n

полностью симметрично относительно перестановки:

x;y.

Однако выбранная координата:

t=(z-x)/z

эту симметрию скрывает, поскольку специально выделяет x.

Чтобы восстановить её явно, необходимо определить преобразование параметра t при обмене сторон.

1. Преобразование t
Пусть исходная нормированная сторона:

x/z=1-t.

Тогда:

y/z=(1-(1-t)^n)^(1/n).

После перестановки x и y новым параметром будет:

t’=(z-y)/z.

Следовательно:

t’ =
1-(1-(1-t)^n)^(1/n).

Обозначим:

T_n(t) =
1-(1-(1-t)^n)^(1/n).

Это точное преобразование параметра t, соответствующее перестановке сторон.

2. Симметрия не является линейным отражением
На первый взгляд можно было бы ожидать, что обмен x и y соответствует простому отражению:

t’ = 2t*-t.

Но это вообще неверно.

Причина состоит в том, что t линейно связано только с x:

x/z=1-t,

тогда как зависимость y от t степенная.

Поэтому симметрия ферматова семейства в координате t оказывается нелинейной.

Это важное методологическое замечание.

Сам объект симметричен.

Координата — нет.

3. Инвариантность геометрических величин
Любая геометрическая величина, симметричная по x и y, должна принимать одинаковые значения в точках t и T_n(t).

Например:

C(T_n(t))=C(t).

То же относится к:

площади;
высоте к стороне z;
квадратичному избытку относительно z;
сумме x+y;
произведению xy.
Таким образом, каждой точке одной ветви семейства соответствует геометрически эквивалентная точка другой ветви.

4. Две ветви
Центральное значение t* делит слой n=const на две области:

0<t<t*

и

t*<t<1.

В первой:

x>y.

Во второй:

x<y.

Преобразование T_n переводит одну ветвь в другую.

Поэтому при исследовании функций, симметричных относительно x и y, достаточно в принципе анализировать только одну ветвь, а вторую восстанавливать через симметрию.

5. Центральная линия как ось симметрии
Таким образом, условие x=y определяет не просто равнобедренный случай.

Это геометрический центр перестановочной симметрии всего семейства.

При этом симметрия в физическом объекте обычная:

x;y.

А в координатном пространстве t она реализуется сложным нелинейным преобразованием.

Это ещё один пример того, как выбор координат может скрывать простую внутреннюю структуру объекта.

§ 3. Неподвижная точка инволюции
Преобразование T_n обладает особенно важным свойством.

1. Двойная перестановка
Если поменять x и y местами один раз, получим параметр:

t’=T_n(t).

Если поменять их местами ещё раз, мы должны вернуться к исходному треугольнику.

Следовательно:

T_n(T_n(t))=t.

Преобразование, квадрат которого является тождественным, называется инволюцией.

Таким образом, перестановочная симметрия степенного треугольника задаёт инволюцию параметра t.

2. Прямая проверка
Пусть:

a=1-t.

Тогда:

b=(1-a^n)^(1/n).

После первой перестановки:

1-t’=b.

Применяя ту же конструкцию ещё раз:

1-t» =
(1-b^n)^(1/n).

Но:

b^n=1-a^n.

Следовательно:

1-b^n=a^n.

Поэтому:

1-t»=a.

То есть:

t»=1-a=t.

Таким образом:

T_n(T_n(t))=t

доказано непосредственно.

3. Неподвижная точка
Неподвижная точка удовлетворяет:

T_n(t)=t.

Это означает:

(z-y)/z=(z-x)/z.

Следовательно:

x=y.

Поэтому неподвижная точка инволюции совпадает с центральной точкой.

Она задаётся:

t*=1-2^(-1/n).

4. Единственность неподвижной точки
Поскольку при фиксированном n:

x/z

строго убывает по t,

а:

y/z

строго возрастает,

равенство:

x=y

может произойти только один раз.

Следовательно, инволюция T_n имеет внутри интервала:

0<t<1

ровно одну неподвижную точку.

Это и есть t*.

5. Производная в центре
Интересно исследовать локальное поведение T_n около t*.

Имеем:

T_n(t)=1-b(t),

где:

b(t)=(1-(1-t)^n)^(1/n).

Ранее было найдено:

db/dt =
(1-t)^(n-1)*
(1-(1-t)^n)^(1/n-1).

В центральной точке:

1-t*=2^(-1/n),

и:

1-(1-t*)^n=1/2.

Подстановка даёт:

db/dt = 1.

Следовательно:

T_n'(t*)=-1.

Это красивый результат.

Хотя глобальная симметрия в координате t нелинейна, локально в центральной точке она ведёт себя как обычное зеркальное отражение.

То есть малое смещение:

t=t*+delta

в первом приближении переходит в:

t’=t*-delta.

6. Геометрический смысл
Таким образом, центральная линия обладает одновременно тремя свойствами:

x=y;
T_n(t*)=t*;
T_n'(t*)=-1.
Она является:

точкой равенства сторон;
неподвижной точкой перестановки;
локальным центром зеркальной симметрии.

Это существенно усиливает её структурный статус.

§ 4. Центральный угол
Центральная конфигурация особенно удобна тем, что её геометрия допускает точные формулы.

1. Формула через теорему косинусов
На центральной линии:

x=y.

Обозначим:

x/z=y/z=s,

где:

s=2^(-1/n).

По теореме косинусов:

cos(C*) =
(x^2+y^2-z^2)/(2xy).

После нормировки:

cos(C*) =
(2s^2-1)/(2s^2).

Следовательно:

cos(C*) =
1-1/(2s^2).

Поскольку:

s^2=2^(-2/n),

получаем:

cos(C) = 1-2^(2/n-1).*

Это основная точная формула центрального угла.

2. Альтернативная формула
Центральный треугольник равнобедренный.

Если провести высоту из вершины C к стороне z, она одновременно будет медианой.

Поэтому половина основания равна:

z/2.

В одном из полученных прямоугольных треугольников:

sin(C*/2)=z/(2x).

После нормировки:

sin(C*/2)=1/(2s).

Следовательно:

sin(C*/2)=2^(1/n-1).

Поэтому можно записать:

C* = 2*arcsin(2^(1/n-1)).

Эта формула эквивалентна предыдущей.

3. Центральные углы A и B
Поскольку:

A*=B*,

а:

A*+B*+C*=180°,

получаем:

A*=B*=(180°-C*)/2.

Следовательно, центральная конфигурация полностью определяется одной функцией C*(n).

4. Характерные значения
При:

n=1

имеем:

cos(C*)=-1,

следовательно:

C*=180°.

Это симметрический вырожденный объект.

При:

n=2

имеем:

cos(C*)=0,

следовательно:

C*=90°.

Получаем равнобедренный прямоугольный треугольник.

При:

n=3

получаем:

C* приблизительно равно 78,09°.

При:

n;infinity

будет получено:

C*;60°.

Таким образом, центральная линия соединяет три фундаментальных угловых состояния:

180°,

90°,

60°.

5. Монотонность центрального угла
Рассмотрим:

cos(C*)=1-2^(2/n-1).

При увеличении n показатель:

2/n-1

уменьшается.

Следовательно:

2^(2/n-1)

уменьшается.

Поэтому:

cos(C*)

возрастает.

А поскольку arccos — убывающая функция:

C*

строго уменьшается с ростом n.

Для ферматовой области:

n>2

получаем:

60°<C*<90°.

6. Центральный угол как экстремальная функция степени
Из предыдущей главы известно, что при фиксированном n>2:

C*

является минимальным возможным значением наибольшего угла C.

Следовательно:

C*(n)

можно рассматривать как нижнюю границу углового профиля всего слоя n.

Для каждого n>2:

C*(n) <= C(n,t) < 90°.

Причём равенство:

C=C*

возможно только при:

x=y.

Так центральная линия создаёт естественную угловую оболочку ферматовой области.

§ 5. Предел при n;infinity
Центральная линия особенно интересна своим предельным поведением.

1. Предел сторон
На центральной линии:

x/z=y/z=2^(-1/n).

При:

n;infinity

имеем:

2^(-1/n)->1.

Следовательно:

x/z->1,

y/z->1,

z/z=1.

Таким образом:

(x/z,y/z,z/z)->(1,1,1).

Центральный ферматов треугольник стремится к равностороннему.

2. Предел относительного разрыва
Одновременно:

t*=1-2^(-1/n)->0.

И более точно:

t*~ln(2)/n.

Следовательно, равносторонний предел достигается в пространстве (n,t) по траектории:

n->infinity,

t->0,

но не по произвольной траектории.

Это принципиально важно.

3. Предел углов
Из:

cos(C*)=1-2^(2/n-1)

получаем:

при n->infinity:

2/n-1 -> -1.

Поэтому:

2^(2/n-1)->1/2.

Следовательно:

cos(C*)->1/2.

И:

C*->60°.

Поскольку:

A*=B*,

также:

A*->60°,

B*->60°.

Таким образом:

(A*,B*,C*) -> (60°,60°,60°).

4. Предельная площадь и высота
Хотя подробное исследование площади будет проведено в следующей главе, уже здесь полезно отметить геометрическую завершённость центрального предела.

При z=1 и x=y=s высота к основанию z равна:

h = sqrt(s^2-1/4).

При:

s->1

получаем:

h->sqrt(3)/2.

Площадь:

S = h/2.

Следовательно:

S->sqrt(3)/4.

Это ровно высота и площадь равностороннего треугольника со стороной 1.

Таким образом, предел проявляется одновременно:

в сторонах;

в углах;

в высоте;

в площади.

5. Центральная линия как путь симметризации
Вдоль центральной линии при росте n происходит последовательность:

n=1:

(1/2,1/2,1),

вырожденная симметрическая конфигурация;

n=2:

(1/sqrt(2),1/sqrt(2),1),

равнобедренный прямоугольный треугольник;

n>2:

равнобедренные остроугольные ферматовы треугольники;

n->infinity:

(1,1,1),

равносторонний треугольник.

Таким образом, центральная линия описывает непрерывный процесс увеличения геометрической симметрии.

Начальная симметрия x=y сохраняется всегда.

Но отношение этих сторон к z постепенно выравнивается.

В пределе исчезает и последнее различие:

x=y=z.

6. Парадокс положения центральной линии
Есть на первый взгляд необычный эффект.

При:

n->infinity

центральная точка удовлетворяет:

t*->0.

Но ранее было показано, что при фиксированном конечном n:

t->0

ведёт к вырожденной конфигурации:

(1,0,1).

В то же время движение по центральной линии:

t=t*(n)

при:

n->infinity

ведёт к:

(1,1,1).

Следовательно, одного утверждения:

t->0

недостаточно для определения предельной геометрии.

Необходимо знать, с какой скоростью t стремится к нулю относительно роста n.

На центральной линии эта скорость равна:

t~ln(2)/n.

И она ведёт к равностороннему пределу.

Это один из первых явных примеров того, что двумерное пространство (n,t) обладает траекторно-зависимой пограничной геометрией.

7. Более общий смысл
Центральная линия тем самым выполняет роль своеобразного эталона.

Она задаёт:

точку равенства x и y;
центр перестановочной симметрии;
неподвижную точку инволюции;
центральный экстремум угла C;
максимум ряда симметричных геометрических величин;
путь к равностороннему пределу.
Поэтому при исследовании любого нового геометрического инварианта естественно сначала спрашивать:

что происходит с ним на линии x=y?

Очень часто именно там обнаруживается простейшая формула и экстремальное значение.

Общая сенсограмма центральной линии
Характеристика Центральное значение
Условие x=y
x/z 2^(-1/n)
y/z 2^(-1/n)
t* 1-2^(-1/n)
Перестановка x;y объект неизменен
T_n(t*) t*
T_n'(t*) -1
A*, B* равны
cos(C*) 1-2^(2/n-1)
n=1 C*=180°
n=2 C*=90°
n;infinity C*;60°
t* при n;infinity ~ln(2)/n
Предельные стороны 1,1,1
Итоги главы 8
Центральная линия степенной геометрии определяется условием:

x=y.

В пространстве (n,t) она имеет точное уравнение:

t*=1-2^(-1/n).

На ней:

x/z=y/z=2^(-1/n).

Центральная линия является геометрическим центром симметрии перестановки x;y.

В координате t эта симметрия задаётся нелинейной инволюцией:

T_n(t)=
1-(1-(1-t)^n)^(1/n),

причём:

T_n(T_n(t))=t.

Единственной неподвижной точкой этой инволюции является:

t=t*.

Более того:

T_n'(t*)=-1,

то есть локально центральная точка действительно ведёт себя как обычный центр зеркального отражения.

Центральный угол определяется точной формулой:

cos(C*)=1-2^(2/n-1),

или эквивалентно:

C*=2*arcsin(2^(1/n-1)).

В ферматовой области n>2 он является минимальным возможным значением наибольшего угла.

При увеличении n:

C*

монотонно уменьшается от 90° к 60°.

Одновременно:

t*->0,

x/z->1,

y/z->1.

В пределе центральный ферматов треугольник становится равносторонним:

(1,1,1).

Таким образом, центральная линия соединяет три фундаментальных состояния степенной геометрии:

симметрическое вырождение при n=1;
равнобедренную прямоугольность при n=2;
равносторонний предел при n;infinity.

Именно поэтому её следует рассматривать как один из главных структурных хребтов всей Метатеоремы Ферма.

*******

Глава 9. Площадь, высота и экстремальные свойства
Исследование сторон и углов показало, что центральная линия

x=y

играет исключительную роль в геометрии степенных треугольников.

Однако до сих пор эта роль проявлялась прежде всего через симметрию и поведение угла C.

Теперь рассмотрим две другие фундаментальные характеристики треугольника:

площадь и высоту к наибольшей стороне z.

Оказывается, здесь центральная линия вновь является экстремальной. Но характер экстремума отличается от углового.

Для фиксированного n>2:

наибольший угол C в центре имеет минимум;
площадь имеет в центре максимум;
высота к стороне z также имеет в центре максимум.
Это сочетание особенно важно.

Центральная конфигурация не является просто «самой симметричной». Она одновременно оптимизирует целый комплекс геометрических величин.

После нормировки:

z=1,

введём:

a=x/z=1-t,

b=y/z=(1-(1-t)^n)^(1/n).

Тогда:

a^n+b^n=1.

Пусть:

S — площадь исходного треугольника,

H — высота к стороне z.

Определим нормированные величины:

s = S/z^2,

h = H/z.

Поскольку:

S=zH/2,

получаем фундаментальную связь:

s=h/2,

или:

h=2s.

Поэтому экстремумы нормированной площади и высоты к z обязательно совпадают.

§ 1. Нормированная площадь
1. Почему необходима нормировка
При умножении всех сторон треугольника на коэффициент L:

длины увеличиваются в L раз,

высоты увеличиваются в L раз,

площадь увеличивается в L^2 раз.

Следовательно, абсолютную площадь нельзя сравнивать между треугольниками различных масштабов.

Естественной безразмерной величиной является:

s=S/z^2.

Она зависит только от формы, то есть только от:

n и t.

После нормировки z=1 величина s просто совпадает с площадью нормированного треугольника.

2. Формула через две стороны и угол
Площадь равна:

S = xy*sin(C)/2.

Разделив на z^2:

s = (absin(C))/2.

Это уже показывает, что площадь определяется взаимодействием сразу двух факторов:

произведением нормированных сторон a*b;
углом C.
В ферматовой области угол C минимален в центре, однако произведение a*b там максимально.

Поэтому вопрос о максимуме площади нельзя решить только по углу.

Необходимо исследовать всю структуру целиком.

3. Формула Герона
Особенно удобна нормированная форма формулы Герона.

Для сторон:

a, b, 1

имеем:

16s^2 =
(a+b+1)
(-a+b+1)
(a-b+1)
(a+b-1).

Сгруппируем множители:

16s^2 =
((a+b)^2-1)*
(1-(a-b)^2).

Получаем важную формулу:

16s^2 = ((a+b)^2-1)*(1-(a-b)^2).

Она чрезвычайно наглядна.

Площадь определяется двумя факторами.

Первый:

(a+b)^2-1

измеряет запас треугольного замыкания.

Второй:

1-(a-b)^2

характеризует близость двух меньших сторон друг к другу.

В центральной конфигурации:

a=b,

поэтому второй множитель достигает своего абсолютного максимума:

1-(a-b)^2=1.

Одновременно, как будет показано ниже, сумма a+b также максимальна именно при a=b.

Поэтому центральная точка оказывается естественным кандидатом на максимум площади.

4. Площадь через квадратичные величины
Можно записать площадь и в форме, предваряющей будущую теорию R-координат.

Напомним:

Q_z=a^2+b^2-1.

Поскольку:

cos(C)=Q_z/(2ab),

имеем:

sin^2(C)=1-Q_z^2/(4a^2b^2).

Следовательно:

4s^2
a^2b^2*sin^2(C)

и потому:

4s^2 =
a^2b^2-Q_z^2/4.

Эта запись показывает, что площадь уже естественным образом связана с квадратичным избытком.

В дальнейшем эта связь получит симметричное выражение через три R-координаты.

§ 2. Высота к стороне z
Поскольку сторона z является наибольшей и ферматов треугольник остроугольный, высота к z падает внутрь самой стороны.

Это позволяет разложить исходный треугольник на два прямоугольных.

1. Проекции на основание
Пусть высота H из вершины, противоположной стороне z, делит z на две части.

В нормированных координатах обозначим их через:

p

и:

q,

причём:

p+q=1.

Если p примыкает к стороне y, а q — к стороне x, то:

b^2=h^2+p^2,

a^2=h^2+q^2.

Вычитая эти равенства и используя:

p+q=1,

получаем:

p = (1+b^2-a^2)/2,

q = (1+a^2-b^2)/2.

Таким образом, положения основания высоты также полностью определяются параметрами n и t.

2. Формула высоты
Из первого прямоугольного треугольника:

h^2=b^2-p^2.

Следовательно:

h^2 =
b^2 —
[(1+b^2-a^2)/2]^2.

Аналогично:

h^2 =
a^2 —
[(1+a^2-b^2)/2]^2.

Но поскольку:

h=2s,

из формулы Герона получаем особенно симметричную запись:

4h^2 =
((a+b)^2-1)
(1-(a-b)^2).*

Следовательно:

h =
1/2 *
sqrt(
((a+b)^2-1)*
(1-(a-b)^2)
).

3. Формула через угол
Из площади:

S=xy*sin(C)/2

и:

S=zH/2

следует:

H=xy*sin(C)/z.

После нормировки:

h=absin(C).

Эта формула вновь показывает, что высота зависит одновременно от длин сторон и угловой структуры.

4. Центральная высота
На центральной линии:

a=b=2^(-1/n).

Высота является одновременно медианой.

Основание делится пополам:

p=q=1/2.

Поэтому:

h*^2 =
2^(-2/n)-1/4.

Следовательно:

h* =
sqrt(2^(-2/n)-1/4).

Эквивалентно:

h* =
1/2*sqrt(2^(2-2/n)-1).

Это точная формула центральной нормированной высоты.

5. Численный пример при n=3
При:

n=3

имеем:

a=b=2^(-1/3)
приблизительно 0,793701.

Тогда:

h*
приблизительно 0,616409.

Соответственно:

s*=h*/2

приблизительно 0,308205.

Эти значения будут полезны далее как один из контрольных примеров ферматовой геометрии.

§ 3. Максимум площади
Теперь докажем, что центральная линия действительно задаёт максимальную площадь.

1. Максимум суммы a+b
При фиксированном:

n>1

выполняется:

a^n+b^n=1.

Используем стандартное неравенство:

(a+b)^n
<=
2^(n-1)*(a^n+b^n).

Следовательно:

(a+b)^n <= 2^(n-1).

Отсюда:

a+b <= 2^(1-1/n).

Равенство достигается тогда и только тогда, когда:

a=b.

Следовательно, сумма двух меньших нормированных сторон максимальна именно на центральной линии.

2. Второй множитель Герона
Одновременно:

1-(a-b)^2 <= 1.

Равенство опять достигается только при:

a=b.

Итак, в формуле:

16s^2 =
((a+b)^2-1)*
(1-(a-b)^2)

оба множителя одновременно максимизируются при a=b.

Следовательно, никакого конфликта между ними нет.

3. Теорема о максимуме площади
Получаем:

Теорема о центральном максимуме площади.

Для каждого фиксированного n>1 площадь нормированного степенного треугольника имеет единственный глобальный максимум при:

x=y.

В частности, для каждого ферматова слоя n>2 максимум достигается при:

t=t*=1-2^(-1/n).

Доказательство действительно не требует n>2, кроме существования треугольника. Поэтому результат распространяется на весь диапазон:

n>1.

4. Точное значение максимума
На центральной линии:

a=b=2^(-1/n).

Поэтому:

16s_max^2 =
4a^2-1.

Следовательно:

16s_max^2 =
2^(2-2/n)-1.

И:

s_max(n) =
1/4*sqrt(2^(2-2/n)-1).

Это точная экстремальная формула.

Для n=2:

s_max=1/4.

Это площадь равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой 1.

Для:

n->infinity

получаем:

s_max ->
sqrt(3)/4.

Это площадь равностороннего треугольника со стороной 1.

5. Монотонность максимальной площади по n
Рассмотрим:

2^(2-2/n).

При росте n показатель:

2-2/n

увеличивается.

Следовательно:

s_max(n)

строго возрастает.

В ферматовой области:

1/4 < s_max(n) < sqrt(3)/4.

Таким образом, центральная максимальная площадь постепенно увеличивается от пифагорова значения:

1/4

к равностороннему пределу:

sqrt(3)/4.

6. Профиль площади по t
Максимум не только глобальный, но и единственный.

На ветви:

x>y,

то есть:

0<t<t*,

имеем:

a>b.

Из:

a^n+b^n=1

следует:

db/dt=(a/b)^(n-1).

Поэтому:

db/dt>1.

Тогда:

d(a+b)/dt=-1+db/dt>0.

То есть сумма a+b возрастает при движении к центру.

Одновременно:

a-b

строго уменьшается.

Следовательно, в формуле Герона оба положительных множителя возрастают.

Поэтому:

s(t)

строго возрастает на:

0<t<t*.

После центральной точки вследствие перестановочной симметрии площадь строго убывает.

Таким образом, профиль площади имеет структуру:

0 -> рост -> единственный максимум -> спад -> 0.

На обоих вырожденных краях:

s->0.

§ 4. Максимум высоты
После доказательства экстремума площади экстремум высоты следует почти немедленно.

1. Пропорциональность площади и высоты
Имеем:

S=zH/2.

Следовательно:

S/z^2 = H/(2z).

То есть:

s=h/2.

Поэтому при фиксированной нормировке:

h=2s.

Следовательно, максимум s и максимум h достигаются в одной и той же точке.

2. Теорема о максимуме высоты
Теорема о центральном максимуме высоты.

Для каждого фиксированного n>1 нормированная высота:

h=H/z

к стороне z имеет единственный глобальный максимум при:

x=y.

Для ферматовой области n>2:

t=t*=1-2^(-1/n).

3. Точное максимальное значение
Поскольку:

h_max=2s_max,

получаем:

h_max(n) =
1/2*sqrt(2^(2-2/n)-1).

Эквивалентно:

h_max(n)=
sqrt(2^(-2/n)-1/4).

Для:

n=2

имеем:

h_max=1/2.

Для:

n->infinity

получаем:

h_max->sqrt(3)/2.

Это точно высота равностороннего треугольника со стороной 1.

4. Монотонность по степени
Так же как площадь:

h_max(n)

строго возрастает с n.

Для ферматовой области:

1/2 < h_max(n) < sqrt(3)/2.

Следовательно, центральный ферматов треугольник становится всё «выше» относительно основания z по мере роста показателя степени.

5. Предельные значения у краёв
При:

t->0

или:

t->1

треугольник вырождается.

Поэтому:

h->0.

Следовательно, профиль высоты имеет ту же общую структуру:

0 -> рост -> максимум -> спад -> 0.

Это резко отличается от профиля угла C, который у обеих границ стремится не к нулю, а к 90°.

Тем самым различные геометрические характеристики одной и той же семьи обладают совершенно разными пограничными профилями.

§ 5. Связь экстремумов с центральной линией
Теперь можно объединить результаты последних глав.

Центральная линия:

x=y

оказалась носителем целого комплекса экстремальных свойств.

1. Что происходит на центральной линии
Для фиксированного n>2 при:

t=t*

одновременно выполняются:

x=y;

A=B;

проекции на сторону z равны;

сумма x+y максимальна при фиксированном z;

произведение xy максимально;

площадь максимальна;

высота к z максимальна;

наибольший угол C минимален.

Таким образом, одна и та же точка одновременно оптимизирует несколько геометрических характеристик, причём не все в одном направлении.

2. Минимум угла и максимум площади
На первый взгляд может показаться парадоксальным:

как может площадь быть максимальной там, где угол C минимален?

Из:

s=(absin(C))/2

видно, что площадь определяется не только углом.

При движении от края к центру:

произведение a*b резко увеличивается;

угол C удаляется от 90° и уменьшается;

следовательно, sin(C) также несколько уменьшается.

Но рост произведения сторон преобладает.

В результате площадь достигает максимума именно в центре.

Это показывает, что геометрические экстремумы нельзя объяснять одной характеристикой изолированно.

Необходимо учитывать структуру треугольника как целое.

3. Максимум произведения сторон
Из:

a^n+b^n=1

по неравенству между средним арифметическим и геометрическим:

a^n*b^n <= 1/4.

Следовательно:

ab <= 2^(-2/n).

Равенство достигается только при:

a=b.

Таким образом, центральная линия максимизирует и произведение двух меньших сторон.

Это ещё одна причина максимума площади.

4. Максимальный запас замыкания
Ранее было установлено:

a+b <= 2^(1-1/n).

Следовательно:

a+b-1

также максимально в центре.

То есть центральный треугольник имеет максимальный линейный запас относительно вырождения:

x+y=z.

Итак, центральная конфигурация одновременно наиболее удалена:

от линейной границы вырождения

и, в определённом угловом смысле, от пифагоровой границы C=90°.

5. Центральная линия как экстремальный хребет
Это позволяет уточнить введённое ранее понятие.

Центральная линия — не просто линия симметрии.

Она является экстремальным хребтом степенной геометрии.

Для различных функций экстремум может иметь различный знак:

Величина Экстремум при x=y
x+y максимум
x*y максимум
Площадь s максимум
Высота h максимум
a-b
Угол C при n>2 минимум
Угол C при 1<n<2 максимум
Это особенно важно.

Сама центральная линия сохраняется при переходе через n=2.

Но тип отдельных экстремумов может изменяться.

Для площади и высоты центр остаётся максимумом во всём диапазоне n>1.

Для угла C при n=2 происходит переворот:

максимум -> плоский профиль -> минимум.

Таким образом, центральная линия является более фундаментальной структурой, чем конкретный тип экстремума отдельной функции.

6. Симметрия и стационарность
Причина появления экстремумов в центре во многом связана с перестановочной симметрией:

x;y.

Любая гладкая величина F(x,y), симметричная относительно этой перестановки, при ограничении:

x^n+y^n=z^n

естественно имеет в точке:

x=y

стационарное состояние.

Но одной симметрии недостаточно, чтобы определить, является оно максимумом или минимумом.

Для этого требуется дополнительный анализ.

В настоящей главе было строго показано:

для площади и высоты это максимумы.

В предыдущей главе:

для C при n>2 — минимум.

Эта разница будет неоднократно встречаться далее.

7. Предельная оптимальная геометрия
При:

n->infinity

центральная линия ведёт к:

x/z->1,

y/z->1.

Поэтому:

s_max -> sqrt(3)/4,

h_max -> sqrt(3)/2,

C_min -> 60°.

То есть одновременно достигаются предельные характеристики равностороннего треугольника.

В результате равносторонний треугольник оказывается естественной асимптотической вершиной всей центральной ферматовой геометрии.

Важно, однако, что при конечном n он никогда не достигается.

Для любого конечного:

n>2

имеем:

x<z,

y<z,

C>60°,

s<sqrt(3)/4,

h<sqrt(3)/2.

Равностороннее состояние является только предельным.

Общая сенсограмма экстремумов
Для фиксированного n>2:

Характеристика t->0 t=t* t->1
x/z ->1 2^(-1/n) ->0
y/z ->0 2^(-1/n) ->1
Площадь s ->0 максимум ->0
Высота h ->0 максимум ->0
Угол C ->90° минимум ->90°
x-y /z ->1
Точные центральные значения:

t* = 1-2^(-1/n),

s_max =
1/4*sqrt(2^(2-2/n)-1),

h_max =
1/2*sqrt(2^(2-2/n)-1),

cos(C_min) =
1-2^(2/n-1).

Асимптотически при:

n->infinity

получаем:

t* -> 0,

s_max -> sqrt(3)/4,

h_max -> sqrt(3)/2,

C_min -> 60°.

Итоги главы 9
Площадь и высота ферматова треугольника являются естественными функциями двух параметров:

n и t.

После нормировки:

s=S/z^2,

h=H/z,

и между ними существует простая связь:

h=2s.

Для сторон:

a=x/z,

b=y/z

нормированная площадь удовлетворяет точной формуле:

16s^2 =
((a+b)^2-1)*
(1-(a-b)^2).

Эта формула непосредственно показывает две составляющие площади:

запас треугольного замыкания

и

симметрию двух меньших сторон.

При фиксированном n>1 обе составляющие одновременно оптимизируются в единственной точке:

a=b,

то есть:

x=y.

Поэтому центральная линия является линией максимальной площади и максимальной высоты.

Точные значения составляют:

s_max =
1/4*sqrt(2^(2-2/n)-1),

h_max =
1/2*sqrt(2^(2-2/n)-1).

В ферматовой области обе величины строго возрастают с ростом показателя n и стремятся соответственно к:

sqrt(3)/4

и:

sqrt(3)/2.

Это значения равностороннего треугольника со стороной 1.

Тем самым к уже обнаруженным свойствам центральной линии добавляются новые.

Она одновременно является:

линией симметрии;
линией равенства сторон;
линией максимальной суммы меньших сторон;
линией максимального произведения сторон;
линией максимальной площади;
линией максимальной высоты;
линией минимального наибольшего угла в ферматовой области.

Таким образом, центральная линия всё отчётливее проявляется как главный экстремальный хребет степенной геометрии.

Именно от этого хребта естественно переходить к исследованию границ всей ферматовой поверхности — режимов t->0, t->1, фиксированного абсолютного разрыва k и предела n->infinity.

*******

Глава 10. Пограничная геометрия
Внутренняя область пространства параметров

n>2,

0<t<1

описывает невырожденные остроугольные ферматовы треугольники. Однако значительная часть структуры семейства обнаруживается именно при приближении к его границам.

Особенно важны четыре направления:

t;0;

t;1;

z;infinity при фиксированном абсолютном разрыве k;

n;infinity.

На первый взгляд эти режимы могут казаться простыми вырождениями. Однако анализ показывает, что они устроены существенно богаче.

При t;0 и t;1 треугольник действительно приближается к вырожденным состояниям. Но скорости этого вырождения различны.

При фиксированном k и z;infinity нормированная фигура вырождается, тогда как все её абсолютные размеры могут одновременно стремиться к бесконечности.

При n;infinity, напротив, для фиксированного внутреннего t возникает невырожденное предельное семейство равнобедренных треугольников.

Наконец, пределы t;0 и n;infinity оказываются неперестановочными. Более того, вблизи угла

(n,t)=(infinity,0)

возникает целый пограничный слой, в котором различные траектории приближения приводят к различным предельным геометриям.

Таким образом, границы степенной поверхности сами становятся самостоятельным объектом исследования.

§ 1. Режим t;0
Напомним основные нормированные формулы:

x/z = 1-t,

y/z = (1-(1-t)^n)^(1/n),

где:

n>2.

Будем считать n фиксированным и устремлять:

t;0.

1. Поведение сторон
Для первой стороны:

x/z=1-t;1.

Для второй используем разложение:

(1-t)^n =
1-nt+n(n-1)/2*t^2+O(t^3).

Следовательно:

1-(1-t)^n =
nt-n(n-1)/2*t^2+O(t^3).

Поэтому:

y/z =
(nt)^(1/n)*
(1-(n-1)/(2n)*t+O(t^2)).

В первом приближении:

y/z ~ (nt)^(1/n).

Таким образом:

t;0:

(x/z,y/z,z/z) -> (1,0,1).

Получаем вырожденную предельную конфигурацию.

2. Степенное усиление малого разрыва
Здесь обнаруживается характерный эффект.

Сам относительный разрыв между z и x равен:

t.

Но третья сторона имеет порядок:

t^(1/n).

Поскольку:

n>2,

имеем:

1/n<1.

Поэтому при малом t:

t^(1/n) >> t.

Иными словами, чрезвычайно малый линейный разрыв между x и z создаёт существенно большую по относительному масштабу сторону y.

Например, если:

t=10^(-12),

то при n=3 величина t^(1/3) имеет уже порядок:

10^(-4).

Таким образом, степенной закон преобразует микроскопический относительный разрыв в существенно более крупную геометрическую величину.

3. Избыток замыкания
Рассмотрим нормированную величину:

m=(x+y-z)/z.

Имеем:

m=(1-t)+(y/z)-1.

То есть:

m=y/z-t.

Поскольку:

y/z ~ (nt)^(1/n)

и:

t^(1/n)>>t,

получаем:

m ~ (nt)^(1/n).

Следовательно, хотя треугольник приближается к вырождению, его запас замыкания исчезает не линейно по t, а существенно медленнее.

4. Квадратичный избыток
Нормированный квадратичный избыток:

q =
(x^2+y^2-z^2)/z^2.

То есть:

q=(1-t)^2+(y/z)^2-1.

При малом t:

(1-t)^2-1=-2t+O(t^2).

А:

(y/z)^2 ~ (nt)^(2/n).

Поскольку:

2/n<1,

имеем:

t^(2/n)>>t.

Следовательно:

q ~ (nt)^(2/n).

Таким образом, квадратичный избыток также исчезает степенным, а не линейным образом.

5. Высота и площадь
Для нормированной высоты к стороне z:

h=H/z

имеем:

h=(x/z)*(y/z)*sin(C).

При:

t;0

получаем:

x/z;1,

C;90°,

sin(C);1.

Следовательно:

h ~ (nt)^(1/n).

Нормированная площадь:

s=S/z^2=h/2.

Поэтому:

s ~ 1/2(nt)^(1/n).*

Высота и площадь исчезают при t;0, но опять же медленнее самого параметра t.

6. Поведение угла C
Напомним:

cos(C)=
[(x/z)^2+(y/z)^2-1]/
[2(x/z)(y/z)].

Числитель асимптотически равен:

(nt)^(2/n),

а знаменатель:

2(nt)^(1/n).

Следовательно:

cos(C) ~ 1/2*(nt)^(1/n).

Так как C стремится к 90°, в радианной мере:

pi/2-C ~ cos(C).

Поэтому:

pi/2-C ~ 1/2(nt)^(1/n).*

Таким образом, угол приближается к 90° с той же основной степенной скоростью, что и высота.

7. Пограничный портрет t;0
Получаем целый пакет согласованных асимптотик:

x/z -> 1,

y/z ~ (nt)^(1/n),

m ~ (nt)^(1/n),

q ~ (nt)^(2/n),

h ~ (nt)^(1/n),

s ~ 1/2*(nt)^(1/n),

pi/2-C ~ 1/2*(nt)^(1/n).

Следовательно, граница t=0 имеет хорошо выраженную собственную шкалу:

t^(1/n).

Это значительно более естественная локальная геометрическая координата этой границы, чем сам t.

§ 2. Режим t;1
Теперь исследуем противоположный край.

Положим:

u=1-t.

Тогда:

u;0,

и:

x/z=u.

Вторая сторона:

y/z=(1-u^n)^(1/n).

1. Разложение второй стороны
Для малого u:

(1-u^n)^(1/n)
1-u^n/n+O(u^(2n)).

Следовательно:

1-y/z ~ u^n/n.

То есть сторона y приближается к z чрезвычайно быстро — уже по степени n от малого параметра u.

2. Предельная конфигурация
Получаем:

x/z->0,

y/z->1,

z/z=1.

Следовательно:

(x/z,y/z,z/z) -> (0,1,1).

Это вторая вырожденная граница ферматова семейства.

Геометрически она является перестановочным образом границы t;0.

Однако в координате t асимптотики выглядят совершенно иначе.

3. Избыток замыкания
Имеем:

m=x/z+y/z-1.

Поэтому:

m =
u-u^n/n+…

Так как:

n>2,

член u доминирует.

Следовательно:

m ~ u = 1-t.

4. Квадратичный избыток
Имеем:

q =
u^2+(1-u^n/n+…)^2-1.

Следовательно:

q =
u^2-2u^n/n+…

Так как:

n>2,

u^2 доминирует над u^n.

Поэтому:

q ~ (1-t)^2.

Это существенно отличается от левой границы, где:

q ~ t^(2/n).

5. Высота и площадь
При:

t;1

имеем:

x/z=u,

y/z;1,

C;90°.

Следовательно:

h ~ u.

То есть:

h ~ 1-t.

И:

s ~ (1-t)/2.

6. Угол C
В формуле для cos(C):

числитель асимптотически равен:

u^2,

знаменатель:

2u.

Следовательно:

cos(C) ~ u/2.

И потому:

pi/2-C ~ (1-t)/2.

Таким образом, справа угол приближается к 90° линейно по 1-t.

7. Кажущаяся асимметрия двух краёв
Получаем:

при t;0:

pi/2-C имеет порядок t^(1/n);

при t;1:

pi/2-C имеет порядок 1-t.

То же различие наблюдается у высоты и площади.

Но это не фундаментальная асимметрия самого степенного треугольника.

Исходное равенство симметрично:

x;y.

Асимметрия возникает потому, что параметр:

t=(z-x)/z

специально привязан к x.

Перестановка сторон переводит один край в другой через нелинейную инволюцию:

T_n(t)=
1-(1-(1-t)^n)^(1/n).

Таким образом, геометрически края эквивалентны, но координатно имеют различный локальный вид.

§ 3. Фиксированный k и z;infinity
Особое значение для арифметики имеет режим:

k=z-x=const,

z;infinity.

Тогда:

x=z-k

и:

t=k/z;0.

Геометрически этот режим движется к левой границе t=0, но делает это по специальной арифметически естественной траектории.

1. Разность степеней
Имеем:

y^n=z^n-(z-k)^n.

Используем биномиальное разложение:

(z-k)^n =
z^n
nkz^(n-1)
+
n(n-1)/2k^2z^(n-2)
…

Следовательно:

y^n =
nkz^(n-1)
n(n-1)/2k^2z^(n-2)
+
O(z^(n-3)).

Вынося ведущий множитель:

y^n =
nkz^(n-1)*
[1-(n-1)k/(2z)+O(z^(-2))].

2. Асимптотика стороны y
После извлечения n-й степени:

y =
(nk)^(1/n)*
z^((n-1)/n)*
[1-(n-1)k/(2nz)+O(z^(-2))].

Следовательно, в первом приближении:

*y ~ (nk)^(1/n)z^((n-1)/n).

Это важная формула.

Сторона y стремится к бесконечности, но растёт медленнее z.

3. Нормированная форма
Разделяя на z:

y/z ~ (nk/z)^(1/n).

Поскольку:

k/z;0,

имеем:

y/z;0.

Одновременно:

x/z=1-k/z;1.

Следовательно:

(x/z,y/z,z/z)->(1,0,1).

В нормированной геометрии треугольник вырождается.

Но в абсолютном масштабе:

x;infinity,

y;infinity,

z;infinity.

Это один из наиболее показательных примеров различия формы и масштаба.

4. Три различных масштаба
При фиксированном k:

k имеет порядок 1;

y имеет порядок z^((n-1)/n);

x и z имеют порядок z.

Таким образом:

k << y << z.

Получаем трёхмасштабную структуру:

малый абсолютный разрыв k;
промежуточная сторона y;
большие почти равные стороны x и z.

Это особенно интересно в контексте арифметического исследования разности степеней.

5. Высота
Из предыдущего параграфа:

h ~ (nk/z)^(1/n).

Следовательно, абсолютная высота:

H=z*h

имеет асимптотику:

*H ~ (nk)^(1/n)z^((n-1)/n).

То есть:

H ~ y.

Более точно:

H/y -> 1.

Геометрически это означает, что при очень малой стороне y относительно z соответствующий малый прямоугольный компонент становится почти ортогональным к основанию.

6. Площадь
Поскольку:

S=zH/2,

получаем:

S ~
1/2*(nk)^(1/n)*
z^((2n-1)/n).

Следовательно, абсолютная площадь:

S;infinity,

несмотря на то что нормированная площадь:

S/z^2;0.

Таким образом:

нормированное вырождение не означает уменьшения абсолютной площади.

Это принципиально важное различие.

7. Угол C
Поскольку:

t=k/z,

имеем:

pi/2-C
~
1/2*(nk/z)^(1/n).

Следовательно:

C;90°

снизу.

Но скорость приближения к прямому углу имеет порядок:

z^(-1/n),

а не:

z^(-1).

Это существенно более медленный процесс.

8. Арифметический смысл режима
При целых z и k:

x=z-k

автоматически целое.

Тогда вся проблема арифметической реализуемости сосредоточивается в условии:

z^n-(z-k)^n = y^n.

То есть разность двух близких n-х степеней должна сама оказаться чистой n-й степенью.

Поэтому режим фиксированного k является естественным мостом между:

пограничной геометрией;

факторизацией разности степеней;

арифметикой Великой теоремы Ферма.

В дальнейшем именно здесь параметр k вновь приобретёт центральное значение.

§ 4. Режим n;infinity
Теперь зафиксируем:

0<t<1

и устремим:

n;infinity.

Положим:

a=1-t.

Тогда:

0<a<1

и:

x/z=a.

Вторая сторона:

b=y/z=(1-a^n)^(1/n).

1. Предел второй стороны
Поскольку:

0<a<1,

имеем:

a^n;0.

Следовательно:

1-a^n;1.

Поэтому:

b;1.

Таким образом:

при фиксированном t:

(x/z,y/z,z/z)
->
(1-t,1,1).

Это уже не вырожденная фигура.

При каждом фиксированном:

0<t<1

возникает невырожденный равнобедренный предельный треугольник.

2. Скорость приближения
Запишем:

ln(b)=
1/n*ln(1-a^n).

При малом a^n:

ln(1-a^n)=-a^n+O(a^(2n)).

Следовательно:

ln(b) ~ -a^n/n.

Отсюда:

1-b ~ a^n/n.

То есть y/z приближается к 1 чрезвычайно быстро.

3. Предельное семейство
Пусть:

a=1-t.

Тогда предельные стороны:

a,1,1.

Таким образом, предел n;infinity не создаёт одного треугольника.

Он создаёт однопараметрическое семейство:

(1-t,1,1), 0<t<1.

Все эти треугольники равнобедренные.

4. Предельные углы
В предельном треугольнике:

y=z=1,

x=a.

Следовательно:

B_infinity=C_infinity.

Для угла C:

cos(C_infinity)=a/2.

Поэтому:

C_infinity =
arccos((1-t)/2).

Аналогично:

B_infinity=C_infinity.

Для угла A:

cos(A_infinity)=1-a^2/2.

Можно также записать:

A_infinity =
2*arcsin(a/2).

5. Диапазон угла C
Если:

t;0,

то:

a;1,

и:

C_infinity;60°.

Если:

t;1,

то:

a;0,

и:

C_infinity;90°.

Следовательно, предельное семейство заполняет весь диапазон:

60°<C_infinity<90°

для внутренних t.

6. Предельный квадратичный избыток
Имеем:

q=a^2+b^2-1.

При:

b;1

получаем:

q;a^2=(1-t)^2.

Таким образом, квадратичный избыток имеет конечный ненулевой предел.

7. Предельная высота
Для высоты к стороне z:

h=absin(C).

В пределе:

b;1,

cos(C)=a/2.

Следовательно:

sin(C)=sqrt(1-a^2/4).

Поэтому:

h_infinity =
a*sqrt(1-a^2/4).

То есть:

h_infinity =
(1-t)*
sqrt(1-(1-t)^2/4).

8. Предельная площадь
Так как:

s=h/2,

получаем:

s_infinity =
(1-t)/2
sqrt(1-(1-t)^2/4).*

При:

t;0

эта величина стремится к:

sqrt(3)/4.

При:

t;1

она стремится к нулю.

9. Центральная линия как специальная траектория
На центральной линии t не фиксировано:

t*=1-2^(-1/n).

И:

t*;0.

Но одновременно:

x/z=y/z=2^(-1/n);1.

Поэтому:

(x/z,y/z,z/z)->(1,1,1).

Центральная линия выбирает из всего предельного семейства его наиболее симметрическую точку — равносторонний треугольник.

Однако, как будет показано далее, это не единственная траектория, ведущая к равностороннему пределу.

§ 5. Неперестановочность предельных переходов
Теперь можно рассмотреть одно из наиболее интересных явлений пограничной геометрии.

Будем исследовать совместное приближение к:

n=infinity,

t=0.

1. Сначала t;0
Зафиксируем конечное n.

Тогда:

t;0

даёт:

(x/z,y/z,z/z)->(1,0,1).

После этого переход:

n;infinity

уже ничего не изменяет.

Следовательно:

**lim(n;infinity) lim(t;0)
(x/z,y/z,1)
(1,0,1).**

2. Сначала n;infinity
Теперь порядок изменим.

При фиксированном:

t>0

имеем:

n;infinity:

(x/z,y/z,1)
->
(1-t,1,1).

После этого:

t;0

даёт:

(1,1,1).

Следовательно:

**lim(t;0) lim(n;infinity)
(x/z,y/z,1)
(1,1,1).**

Итак:

(1,0,1) != (1,1,1).

Пределы не перестановочны.

3. Геометрическая разница
В первом случае получаем вырожденную конфигурацию:

(1,0,1).

Во втором:

равносторонний треугольник:

(1,1,1).

Различаются не только стороны.

Для угла C:

первый порядок даёт:

C;90°;

второй:

C;60°.

Для высоты:

первый порядок:

h;0;

второй:

h;sqrt(3)/2.

Для площади:

первый порядок:

s;0;

второй:

s;sqrt(3)/4.

Таким образом, различие носит фундаментальный геометрический характер.

4. Причина неперестановочности
Ключ находится в выражении:

b(n,t)=
(1-(1-t)^n)^(1/n).

При фиксированном n и t;0 внутреннее выражение:

1-(1-t)^n

стремится к нулю.

Но при фиксированном t>0 и n;infinity:

(1-t)^n;0,

поэтому внутреннее выражение стремится к 1.

Один предел заставляет основание n-го корня стремиться к 0.

Другой — к 1.

Следовательно, конкурируют два процесса:

уменьшение t;

рост n.

И результат зависит от их относительной скорости.

5. Пограничный слой
Неперестановочность последовательных пределов оказывается лишь самым простым проявлением более общего явления.

Рассмотрим совместную последовательность:

n;infinity,

t=t_n;0.

Тогда:

a_n=1-t_n;1,

а:

b_n =
(1-(1-t_n)^n)^(1/n).

Теперь предел b_n может зависеть от скорости стремления t_n к нулю.

6. Полиномиально малые t
Например, пусть:

t_n=1/n.

Тогда:

(1-1/n)^n;e^(-1).

Следовательно:

1-(1-1/n)^n
->1-e^(-1),

то есть стремится к положительной константе.

Но n-й корень из любой фиксированной положительной константы стремится к 1.

Поэтому:

b_n;1.

Одновременно:

a_n;1.

Следовательно:

(1,1,1).

Тот же результат получится для очень широкого класса траекторий, у которых t_n стремится к нулю не экспоненциально быстро.

7. Экспоненциальный пограничный масштаб
Теперь выберем:

t_n = e^(-cn)/n,

где:

c>0.

Тогда:

n*t_n = e^(-cn).

Поскольку t_n чрезвычайно мало:

1-(1-t_n)^n
~
n*t_n
e^(-cn).

Поэтому:

b_n
~
(e^(-cn))^(1/n).

Следовательно:

b_n;e^(-c).

Одновременно:

a_n;1.

Получаем предельную конфигурацию:

(1,e^(-c),1).

Это уже не обязательно ни вырожденный, ни равносторонний треугольник.

8. Континуум предельных геометрий
Поскольку:

e^(-c)

при изменении:

c от 0 до infinity

пробегает интервал:

от 1 до 0,

мы получаем целый континуум предельных конфигураций:

(1,lambda,1), 0<=lambda<=1.

Например:

lambda=1

даёт:

(1,1,1);

lambda=1/2

даёт:

(1,1/2,1);

lambda;0

ведёт к:

(1,0,1).

Таким образом, угол параметрического пространства:

(n,t)=(infinity,0)

не имеет единственной предельной геометрии.

Он содержит целый пограничный слой форм.

9. Теорема о траекторной зависимости
Можно сформулировать следующий результат.

Теорема о пограничной траекторной зависимости.

При совместном пределе:

n;infinity,

t;0

предельная форма нормированного степенного объекта вообще не определяется только конечной точкой параметрического пространства.

Она зависит от скорости приближения t к нулю относительно роста n.

В частности, существуют траектории, ведущие к любому пределу вида:

(1,lambda,1),

где:

0<=lambda<=1.

Это существенно усиливает простой факт неперестановочности двух последовательных пределов.

10. Геометрия промежуточных пределов
Если:

0<lambda<=1,

предельные стороны:

1,lambda,1

образуют равнобедренный треугольник.

Угол C напротив стороны z=1 удовлетворяет:

cos(C)=lambda/2.

Следовательно:

C=arccos(lambda/2).

При:

lambda=1

имеем:

C=60°.

При:

lambda;0

получаем:

C;90°.

Таким образом, пограничный слой воспроизводит полный диапазон:

60°<=C<=90°.

11. Особенность центральной линии
Центральная траектория:

t*=1-2^(-1/n)

имеет асимптотику:

t*~ln(2)/n.

Она относится к субэкспоненциальному классу.

Поэтому:

b;1.

И действительно, центральная линия приводит к:

(1,1,1).

Но теперь видно, что равносторонний предел является не уникальным следствием закона:

t~const/n.

К нему приводит значительно более широкий класс траекторий.

Центральная линия выделяется не только самим предельным результатом, а тем, что на ней сохраняется точное равенство:

x=y

при каждом конечном n.

12. Правая граница ведёт себя иначе
Интересно сравнить это с углом:

n=infinity,

t=1.

Если сначала:

t;1,

получаем:

(0,1,1).

Если сначала:

n;infinity,

получаем:

(1-t,1,1),

а затем:

t;1

снова:

(0,1,1).

То есть здесь последовательные пределы совпадают.

Таким образом, два края t=0 и t=1, геометрически связанные перестановкой x;y при конечном n, ведут себя по-разному относительно выбранной координатной процедуры n;infinity.

Это ещё раз показывает, насколько существенно учитывать не только сам объект, но и используемую параметризацию.

Общая сенсограмма пограничных режимов
Режим Предельные нормированные стороны Основной масштаб
t;0, n фиксировано (1,0,1) y/z ~ (nt)^(1/n)
t;1, n фиксировано (0,1,1) x/z ~ 1-t
k фиксировано, z;infinity (1,0,1) y ~ (nk)^(1/n) z^((n-1)/n)
n;infinity, t фиксировано (1-t,1,1) 1-y/z ~ (1-t)^n/n
n;infinity по центру (1,1,1) t* ~ ln(2)/n
t_n=e^(-cn)/n (1,e^(-c),1) экспоненциальный пограничный слой
Для основных геометрических величин:

Режим C h s
t;0 ->90° ->0 ->0
t;1 ->90° ->0 ->0
n;infinity, t фиксировано arccos((1-t)/2) конечна конечна
центральный n;infinity ->60° ->sqrt(3)/2 ->sqrt(3)/4
Итоги главы 10
Пограничная геометрия показывает, что края ферматовой поверхности обладают собственной нетривиальной структурой.

При:

t;0

нормированная сторона y имеет главный масштаб:

y/z ~ (nt)^(1/n).

Этот же масштаб определяет высоту, площадь, запас замыкания и угловое отклонение от 90°.

При:

t;1

главным масштабом становится:

1-t,

а приближение y/z к единице происходит существенно быстрее:

1-y/z ~ (1-t)^n/n.

При фиксированном абсолютном разрыве:

k=z-x

и:

z;infinity

возникает особенно важная трёхмасштабная структура:

k << y << z,

причём:

y ~ (nk)^(1/n)*z^((n-1)/n).

Нормированная фигура вырождается, хотя абсолютные стороны, высота и площадь могут одновременно расти без ограничения.

При:

n;infinity

и фиксированном внутреннем t возникает совершенно другая картина:

ферматов треугольник стремится к невырожденному равнобедренному треугольнику:

(1-t,1,1).

Центральная линия приводит к его наиболее симметрическому случаю:

(1,1,1).

Наконец, пределы:

t;0

и:

n;infinity

не перестановочны.

Более того, совместный предел зависит от траектории приближения. При экспоненциальном масштабе:

t_n=e^(-cn)/n

возникают предельные формы:

(1,e^(-c),1).

Следовательно, угол:

(n,t)=(infinity,0)

содержит не одну предельную фигуру, а целый непрерывный слой геометрий.

Таким образом, пограничный анализ приводит к важному общему принципу:

в двумерном пространстве степенной геометрии предельная форма может определяться не только конечной точкой, но и траекторией приближения к ней.

Это обстоятельство завершает исследование общей геометрии ферматовых треугольников и подготавливает переход к следующей части книги — анализу степенных режимов 1<n<2 и 0<n<1, где те же структуры проявляются уже по другую сторону двух фундаментальных критических границ.

****