Геометрия. Моя интерпретация для понимания 1

Предисловие:

Эту изначальную главу я назвал так, потому что решил не просто объяснить, а даже разжевать, то и как и для чего нужна геометрия и как ее можно использовать, допустим, в строительстве. Прикладная — это значит практическая, а практическая — значит лишенная всякой воды, и поэтому я буду писать кратко и емко. Надеюсь, за этот короткий очерк ясность геометрии будет ясна как день.

Рене Декарт и его метод размышления:

По-настоящему пользу и смысл геометрии я увидел после прочтения его работы «Рассуждения о методе...», а именно с разъяснением его знаменитой фразы: «Я мыслю, следовательно, существую».

Помню, многие школьники на задачу доказать, что, допустим, треугольники друг другу равны, в шутку утверждали: «Оно и так видно же!» И, конечно же, многие в правду не понимали, зачем дальше строить доказательство. Благодаря примеру Декарта становится ясно, зачем.

Декарт в своей работе говорит, что наши чувства обманчивы. Мы видим сны, не понимая, что это сны, и, если в этот момент воздействовать на человека извне, то он будет ошибочно представлять, что это все происходит во сне (по крайней мере, до тех пор, пока не проснется). Глаза тоже обманывают: расстояние искажает наши представления о реальных размерах предмета — даже у тех, у кого хороший глазомер, ошибаются и не могут идеально представить настоящий его размер.

И Декарт задаётся вопросом: «Как можно достоверно доказать собственное существование? Из чего исходить?». Чувства обманчивы, строить на них свой фундамент — ошибочно. Гнилой фундамент приводит к разрушению здания. И Декарт находит ответ: «Если я сомневаюсь, значит, я ставлю под сомнение существующее, а если я совершаю этот процесс, значит, я мыслю». Невозможно сомневаться в том, что ты сомневаешься. Это приводит к парадоксу (да и, следовательно, опять к тому же кругу). Поэтому Декарт решил, что доказательство существования жизни человека должно быть основано не на ошибочных чувственных восприятиях, а на рациональном и строгом объяснении — на том, что никогда не подведет человека.

Надеюсь, теперь школьникам ясно, почему нельзя просто сказать: «Оно и видно!». И тогда многие спросят: «А зачем нужно тогда рисовать, изображать фигуры? Если можно только доказывать?» Хоть чувства и в кой-то мере обманчивы, но без них человек не может ни рассуждать о чем-то (т. к. не может получать информацию), ни строить вообще ничего. Вся суть не в ошибочности в целом чувств, а именно в том, на какое место мы хотим их поставить. Как мы хотим строить доказательство. Чувства предоставляют нам опыт о внешнем мире, а разум их ставит под сомнение и перерабатывает. Вот это верный синтез.

Система всегда должна строиться на строгости аксиом. Если человек меняет свои убеждения, то он не сможет построить никакой политической системы, никаких своих строгих собственных убеждений и т. д. А строго — это значит безошибочно (если же, конечно, аксиома, из которых он исходит, верна).

Перейдем к геометрии. Разберем кирпичики фундамента (базовые понятия), а потом перейдем к самому фундаменту (аксиомам), а оттуда уже к теоремам (это остальная часть здания).

Базовые понятия покоятся на «трех китах»: точка, прямая, плоскость. Это самые базовые изначальные элементы, на которых строится абсолютно все в геометрии. У каждого из них есть свои свойства (как и у каждого существующего предмета). То, что лишено свойств, не имеет и различий, как и не имеет смысла.

Точка — это то, что не имеет ни длины, ни ширины, ни площади. Ее суть в указывании местоположения объекта, или же в соединении двух прямых — в частности, в указывании расположения стыка между двумя прямыми.

Прямая — бесконечная линия, которая не имеет ни начала, ни конца и состоит из бесконечного множества точек, расположенных строго в одном направлении. Почему «строго в одном»? Потому что, еще раз, только на строгом базовом понятии можно строить дальнейшие рассуждения. Как мы можем указывать на логику, допустим, перпендикулярности прямой, если, допустим, сама прямая не имеет логики и мы рисуем ее как хотим? Хотим — волной, хотим — закорючками. Она не имеет в таком случае логики, она безобразна, она не поддается ничему, кроме нашего воображения. Когда же мы задаем ей четкое свойство «строгого направления», она больше не поддается нашему воображению, а поддается самой себе, поддается ее базовому, строгому свойству. Свойство бесконечности прямой я коснусь позднее.

Плоскость — это двумерная поверхность, которая тоже бесконечна (в абстракции), как и прямая. Что значит двумерная? Это значит, что у нее есть только две меры — длина и ширина. Наличие объёма подразумевает уже три меры измерения: длина, ширина, высота. Поэтому в классической 2D-геометрии, которая называется планиметрия, используется двумерная плоскость, а следовательно, и соответствующие ей фигуры (квадрат, треугольник, круг). Трехмерная 3D-геометрия называется стереометрией, и ее школьники изучают позже, т. к. добавляется еще одна мера измерения — высота. Трехмерное пространство (уже не плоскость, а пространство) подразумевает и соответствующие ей фигуры (куб, пирамида, шар). От простого к более сложному. Но мы продолжим изучать планиметрию, или же двумерную геометрию.

Подытоживая, от более простого к сложному: точка — это самое простейшее в геометрии, она не имеет измерений и нульмерна (буквально вообще неизмерима), и, если в Библии: «В начале было слово», то в геометрии: «В начале была точка». Далее идет прямая (1D) — она одномерна, и у нее только одно направление. И только затем появляется плоскость (2D), где две непараллельные прямые задают два направления, которые мы называем длиной и шириной. Плоскость уже всегда подразумевает наличие точек и прямых. Сложное всегда подразумевает наличие уже простого. Logic!