В. К. ПЕТРОСЯН (Вадимир). ОСНОВАНИЯ МЕНТАЛЬНОЙ ИНЖЕНЕРИИ (НООИНЖЕНЕРИИ). В 3-х тт.
*********
© В.К.
Петросян (Вадимир) © Lag.ru [Large Apeironic Gateway, Большой Апейронический
Портал (Шлюз), Суперпортал в Бесконечность].
При копировании данного материала и размещении его на другом сайте, ссылки
на соответствующие локации порталов Lag.ru и Proza.ru обязательны
Работа написана на основе концепции и разработок В.К. Петросяна при полноценном соавторстве (активном творческом и техническом участии) ChatGPT (OpenAI), GPT-5.6 Sol
*********
СИСТЕМЫ ШКАЛ И КЛАССОВ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
Глава 1. Теоретические основания классификации математических объектов
1.1. Проблема классификации в математике и нооинженерии
В предшествующих частях настоящей монографии были разработаны первоначальные основания общей теории нооинженерных объектов и экосистем, рассмотрены их конструктивная организация, функциональные механизмы, технологии проектирования, ноометрология и ноостандартизация.
Особое внимание уделялось необходимости нормативной определённости ментальных конструкций, возможности их воспроизводства, контролируемого изменения и сосуществования в различных математических системах.
Однако для перехода к конкретным математическим технологиям необходимо разработать специальную систему классификации математических объектов.
Классификация занимает фундаментальное место в математическом познании.
Она позволяет выделять определённые виды объектов, устанавливать их общие и отличительные свойства, исследовать отношения включения и формировать специализированные теории.
В традиционной математике используются многочисленные классификации чисел, множеств, функций, пространств, структур и других объектов.
Например, различаются натуральные, целые, рациональные, действительные и комплексные числа.
Функции классифицируются по непрерывности, дифференцируемости, вычислимости и другим характеристикам.
Алгебраические структуры выделяются посредством определённых операций и аксиом.
Однако в нооинженерии возникает дополнительная проблема.
Математический объект рассматривается не только как предмет теоретического исследования, но и как возможный результат целенаправленного ментального конструирования.
Следовательно, возникает необходимость классифицировать не только математические объекты в их традиционном понимании, но и способы их задания, экспликации, воспроизводства и технического использования.
Особое значение приобретают характеристики определённости, конструктивной организации, класса представления и нормативной принадлежности.
Таким образом, требуется разработать общую теорию классификации математических объектов как особый раздел формирующейся нооинженерной математики.
1.2. Историко-теоретические основания авторского подхода
В ранее опубликованных работах автора проблема классификации математических объектов рассматривалась в связи с разработкой гармонической логики и гармонической арифметики.
В «Пролегоменах к инновационной войне по основаниям гармонической математики» 2002 года были изложены авторские подходы к определению числа как особого вида понятия.
В рамках соответствующей исследовательской программы понятие рассматривается как искусственный ментальный объект, характеризуемый единством гносеологических содержания, объёма и состава.
Особое значение приобретает разграничение качественных и количественных составляющих ментальных конструкций.
В авторской терминологии используются понятия ритмоса и аритмоса, связанные соответственно с качественными и количественными аспектами понятийной организации.
На этой основе в первоначальной гармонической арифметической системе была предложена особая классификация числовых объектов.
В частности, исследовались различия между конечными и бесконечными числами, периодическими и непериодическими конструкциями, а также различные способы задания числовых последовательностей.
Однако необходимо учитывать, что соответствующие положения принадлежат определённой авторской математико-философской системе.
Они не должны автоматически отождествляться с принятыми определениями классической теории чисел.
В частности, интерпретации актуальной бесконечности и классификации бесконечных числовых объектов требуют самостоятельного математического обоснования относительно конкретной аксиоматики.
Настоящая часть монографии продолжает исходную программу исследования математических объектов как конструкций, но ставит дополнительную инженерную задачу.
Речь идёт о разработке специализированных шкал классификации, позволяющих различать математические объекты по определённым нормативно установленным характеристикам.
Особое место среди таких шкал занимает авторская система классов точности эксплицируемых математических объектов.
При этом её необходимо отличать от более ранней родо-видовой классификации чисел в гармонической арифметике.
1.3. Математический объект как предмет классификации
Для построения классификации необходимо предварительно определить, что именно рассматривается как математический объект.
В традиционной математике соответствующее понятие зависит от используемой теории.
Например, число может определяться в рамках арифметики, теории множеств, алгебраической структуры или другой формальной системы.
В нооинженерном подходе особое значение приобретает нормативный контекст.
Предлагается следующее рабочее определение.
Определение 1.1. Математический объект в нооинженерном рассмотрении — нормативно определённая ментальная конструкция, принадлежащая установленной математической системе и обладающая характеристиками, отношениями или операциями, допускающими исследование в пределах её правил.
В данном определении необходимо выделить несколько существенных обстоятельств.
Во-первых, объект должен рассматриваться относительно определённой системы.
Во-вторых, необходимо установить его математическую предметность.
В-третьих, следует различать исходные и производные характеристики.
В-четвёртых, классификация должна опираться на определённые признаки.
Однако указанное определение не требует, чтобы каждый математический объект обладал завершённой десятичной записью.
Например, рациональное число 1/3 может быть точно задано отношением целых чисел.
При этом его десятичная запись является бесконечной периодической последовательностью.
Следовательно, точная математическая определённость и конечность конкретного представления не являются тождественными характеристиками.
Это положение имеет фундаментальное значение для дальнейшего построения классов математической экспликации.
1.4. Объект, имя, определение, модель и представление
Одной из главных методологических предпосылок классификации является разграничение математического объекта и способов его описания.
Имя объекта представляет собой принятое обозначение.
Определение объекта устанавливает его существенные характеристики.
Модель используется для представления определённых свойств или отношений в выбранной системе.
Представление характеризует конкретную форму задания или экспликации.
Алгоритм определяет способ выполнения установленной операции.
Техническая реализация обеспечивает осуществление алгоритмической процедуры посредством конкретных средств.
Эти категории взаимосвязаны, но не являются тождественными.
Например, рациональное число:
1/2
может иметь десятичную запись:
0,5.
В системе первого класса точности оно может быть представлено как:
0,5000000000.
Три приведённые записи могут обозначать одно и то же точное рациональное значение при обычной арифметической интерпретации.
Однако они различаются как текстовые представления.
Следовательно, классификация должна учитывать предмет исследования.
Если классифицируются рациональные числа по математическому значению, указанные обозначения относятся к одному объекту.
Если классифицируются нормативные десятичные записи, они могут принадлежать различным классам представления.
Таким образом, математическое тождество объектов не означает буквального тождества их обозначений.
1.5. Основные уровни классификации
Для первоначальной организации предлагается различать несколько уровней.
Первый уровень — онтологико-математическая классификация.
Он относится к видам математических объектов в определённой теории.
Второй уровень — логико-семантическая классификация.
Он характеризует способы определения, интерпретации и смысловой организации объектов.
Третий уровень — конструктивная классификация.
Он устанавливает способы построения объектов.
Четвёртый уровень — репрезентационная классификация.
Он относится к различным формам записи и экспликации.
Пятый уровень — алгоритмическая классификация.
Он характеризует способы вычисления и преобразования.
Шестой уровень — ноометрологическая классификация.
Он основан на специально определённых характеристиках и шкалах.
Седьмой уровень — нормативная классификация.
Он устанавливает принадлежность к определённым стандартам и редакциям.
Восьмой уровень — техническая классификация.
Он характеризует условия фактической реализации и воспроизводства.
Однако перечисленные уровни не обязательно образуют единственную иерархию.
Например, одно рациональное число может иметь несколько представлений и множество алгоритмов вычисления.
Следовательно, соответствующие классификации должны применяться одновременно, но с разграничением их предметов.
Это положение непосредственно связано с принципом полисистемности.
1.6. Род, вид, класс и тип математического объекта
Для научной определённости необходимо разграничить основные классификационные категории.
Род характеризует более общую совокупность объектов относительно определённого отношения включения.
Вид выделяется посредством дополнительных характеристик внутри соответствующего рода.
Класс представляет собой совокупность объектов, объединённых установленным классификационным признаком.
Тип может использоваться для задания категории объектов и допустимых операций над ними в определённой формальной или конструктивной системе.
Однако эти понятия имеют различные значения в разных математических и логических дисциплинах.
Следовательно, нооинженерная классификация должна устанавливать их конкретное нормативное содержание.
Например, рациональные числа образуют определённый класс внутри действительных чисел в обычной математической системе.
Но класс точности конечного представления не является новым родом математических чисел в том же смысле.
Он характеризует способ экспликации исходного объекта.
Следовательно, необходимо различать:
класс математических объектов по их внутренним свойствам;
класс представлений математических объектов;
класс конструктивных технологий;
класс нормативной допустимости.
Без такого разграничения может возникнуть ошибочное представление, будто одно и то же число превращается в несколько математически различных чисел исключительно вследствие использования разных количеств десятичных позиций.
1.7. Классификационный признак
Всякая научная классификация предполагает наличие определённого основания.
Для его обозначения предлагается использовать понятие классификационного признака.
Определение 1.2. Классификационный признак — нормативно определённая характеристика математического объекта, конструкции или представления, используемая для установления его принадлежности определённому классу.
При этом необходимо различать признак и процедуру его установления.
Например, принадлежность числа рациональным характеризуется математическим свойством.
А конкретная процедура определения рациональности может зависеть от способа задания числа.
Если число представлено конечной десятичной дробью, рациональность его значения устанавливается непосредственно.
Однако произвольно заданный вычислимый действительный объект может не сопровождаться алгоритмом, решающим все предполагаемые вопросы о его математических свойствах.
Следовательно, наличие определённого классификационного признака не гарантирует универсальной вычислительной разрешимости соответствующей задачи.
Особое значение приобретает различие между семантически определённым классом и эффективно распознаваемым классом.
В первом случае устанавливаются условия принадлежности.
Во втором дополнительно требуется алгоритмическая процедура распознавания.
Следовательно, классификационная система должна документировать как смысловое основание признака, так и характер доступных способов его проверки.
1.8. Формальная схема классификации
Для первоначального описания предлагается использовать модель:
K = ;S, U, F, V, A, R;,
где:
K — конкретная классификационная система;
S — нормативная математическая система;
U — предметная область классификации;
F — совокупность классификационных признаков;
V — множества допустимых значений признаков;
A — правила установления соответствующих значений;
R — отношения между выделенными классами.
Данная модель не является завершённой аксиоматической теорией классификации.
Она представляет собой исходную структуру для разработки конкретных классификационных систем.
В простейшем случае определённый признак может задавать отображение:
f: U ; V.
Тогда для значения v ; V выделяется класс:
K_v = {x ; U : f(x) = v}.
Однако необходимо учитывать, что не всякая характеристика определена для всех объектов рассматриваемой области.
В таком случае используется частичная функция либо специальный статус неприменимости.
Особое значение имеет возможность классификации по нескольким независимым признакам.
Например, математическое представление может характеризоваться одновременно количеством десятичных позиций, способом округления и нормативной редакцией.
Следовательно, для его полной классификации одного признака может оказаться недостаточно.
1.9. Разбиение, перекрытие и иерархия классов
Различные классификационные системы могут обладать неодинаковой математической структурой.
В некоторых случаях классы образуют разбиение предметной области.
Это означает, что каждый объект принадлежит ровно одному классу определённого уровня классификации.
В других случаях классы могут перекрываться.
Например, число может одновременно обладать несколькими математическими характеристиками.
Следовательно, необходимо различать классификацию по взаимоисключающим признакам и многопризнаковую типологию.
Особое значение имеет возможность вложения классов.
Например, в обычной системе чисел рациональные значения принадлежат действительной числовой области.
Однако нельзя считать, что все нооинженерные классификации должны обладать подобным отношением включения.
В частности, классы десятичной экспликации могут различаться по количеству позиций, но это не означает, что сама завершённая десятизначная запись одновременно является завершённой записью со ста позициями.
Для получения второго представления требуется соответствующее нормативное преобразование.
Следовательно, необходимо разграничивать включение классов объектов и наличие операции перехода между классами представлений.
Это различие особенно важно для дальнейшей разработки классовой арифметики.
1.10. Содержание, объём и состав понятия как основания классификации
В гармонической логике автора фундаментальное значение имеет разграничение содержания, объёма и состава понятия.
Эти характеристики позволяют поставить вопрос о классификации математических объектов на нескольких различных основаниях.
Содержание связано с системой признаков и отношений, определяющих соответствующее понятие.
Объём относится к охватываемым понятием объектам в принятой теоретической интерпретации.
Состав характеризует особый аспект организации соответствующих элементов, который в авторской программе связывается с условиями их актуализации и порождения.
Однако необходимо учитывать, что эти положения принадлежат специфической философско-логической системе.
Они не должны автоматически подменяться обычным математическим различием между множеством и его элементами.
Особенно важно различать математическое определение объёма понятия и техническую процедуру перечисления соответствующих объектов.
Например, рациональные числа могут задаваться посредством формального определения.
Но это не означает, что все рациональные числа фактически представлены в завершённом физическом списке.
Следовательно, нооинженерная классификация должна учитывать различные уровни определённости.
Один уровень относится к правилу принадлежности.
Другой — к процедуре порождения элементов.
Третий — к фактически завершённой экспликации определённой совокупности.
Таким образом, авторское разграничение содержания, объёма и состава может служить методологическим основанием для разработки специализированных ноотехнических характеристик.
Однако конкретные математические выводы требуют самостоятельной формализации.
1.11. Качественные и количественные основания классификации
В исходной гармонической логике особое внимание уделяется соотношению качественных и количественных составляющих понятий.
Для дальнейшей разработки необходимо разграничить несколько типов классификации.
Качественная классификация основана на наличии определённых свойств или отношений.
Например, можно различать коммутативные и некоммутативные алгебраические структуры.
Количественная классификация использует математически определённые величины.
Например, конечные графы могут классифицироваться по количеству вершин.
Смешанная классификация использует сочетание качественных и количественных признаков.
Например, вычислительный алгоритм может определяться типом выполняемой операции и объёмом требуемых ресурсов.
Особое значение имеет необходимость различать количество и качество.
Увеличение количественного показателя не обязательно означает переход к более высокому качеству.
Например, представление числа с большим количеством десятичных позиций может содержать больше информации об исходном объекте.
Но оно не обязательно является предпочтительным для любой инженерной задачи.
Кроме того, количество позиций не гарантирует правильности записанных цифр.
Следовательно, в нооинженерной классификации необходимо раздельно определять количественную характеристику и критерий качества.
1.12. Классификация по способу задания математического объекта
Одним из важных направлений является классификация математических объектов по способу их задания.
В первоначальном варианте можно выделить несколько категорий.
Непосредственно заданные объекты представлены определённой конечной записью или конструкцией.
Символически определённые объекты задаются посредством формального выражения.
Аксиоматически характеризуемые объекты определяются системой свойств и отношений.
Алгоритмически задаваемые объекты характеризуются процедурами построения или вычисления.
Имплицитно определяемые объекты задаются посредством условий, из которых предполагается установить их свойства или существование.
Однако данная классификация не является строгим разбиением.
Один объект может обладать несколькими способами задания.
Например, рациональное число 1/2 имеет конечную дробную запись.
Оно также допускает точное десятичное представление и алгоритмическое определение.
Следовательно, способы задания могут рассматриваться как самостоятельные характеристики одного математического объекта.
Особое значение имеет различие между наличием алгоритма вычисления и наличием фактически полученного результата.
Алгоритм может предписывать получение чрезвычайно длинной конечной записи.
Однако её полная экспликация может ещё не быть осуществлена.
Таким образом, классификация должна учитывать форму определения и фактическую степень завершённости представления.
1.13. Классификация по эксплицируемости
Для дальнейшего развития нооинженерной математики особое значение имеет понятие экспликации.
В первоначальном приближении предлагается понимать под ней получение определённого явного представления математического объекта согласно установленным правилам.
При этом необходимо различать несколько случаев.
Полностью эксплицированный объект относительно заданного формата — объект, для которого фактически получено всё предусмотренное представление.
Алгоритмически эксплицируемый объект — объект, для которого определена процедура получения требуемого представления при выполнении её условий.
Частично эксплицированный объект — объект, для которого получена только часть предусмотренного результата.
Символически определённый объект без соответствующей полной экспликации — математическая конструкция, заданная определённым выражением или правилом, но не представленная полностью в выбранном формате.
Однако данные характеристики относятся к конкретной задаче экспликации.
Например, точное рациональное число 1/3 может быть полностью задано конечным символическим выражением.
Вместе с тем его бесконечная десятичная запись не является завершённым конечным текстом.
Следовательно, нельзя автоматически делать вывод о математической неопределённости числа на основании отсутствия завершённой десятичной экспликации.
Особенно важно различать логико-математическую определённость, алгоритмическую вычислимость и физическую реализованность вычисления.
Эти характеристики образуют самостоятельные направления классификации.
1.14. Формально конечные и технически труднодоступные объекты
Одной из специальных проблем является различие между математически конечной конструкцией и возможностью её полной физической реализации.
Например, можно установить требование получить десятичную запись, содержащую 10^12 позиций.
Такое количество является конечным натуральным числом.
Однако фактическое формирование, хранение и проверка соответствующего массива символов требуют значительных технических ресурсов.
Следовательно, необходимо различать формальную конечность и практическую осуществимость.
При этом следует избегать необоснованного отождествления технической труднодоступности с математической бесконечностью.
Чрезвычайно большое конечное число десятичных позиций не становится актуально бесконечным только вследствие недостаточности доступных вычислительных ресурсов.
В авторской исследовательской программе соответствующая проблематика связана с перспективой разработки Изольдионики.
Однако для её самостоятельного научного становления необходимо определить особую предметную область и критерии классификации формально конечных, но практически неэксплицированных объектов.
В настоящей части рассматривается прежде всего нормативная классификация конечных экспликаций.
Следовательно, понятия физической осуществимости и математической конечности должны сохранять самостоятельность.
1.15. Классификация по точности представления
Особое значение для последующих исследований имеет классификация математических представлений по количеству предусмотренных десятичных позиций.
В авторской системе для класса с номером n устанавливается:
d = 10^n,
где d — количество десятичных цифр после запятой.
Следовательно, первый класс предусматривает десять позиций.
Второй — сто.
Третий — тысячу.
Однако данная система классифицирует определённую характеристику конечного представления.
Она не определяет автоматически математическое значение исходного объекта.
Например, точное число 1/3 может иметь представления различных классов.
Но переход между ними не означает изменения исходного рационального числа.
Следовательно, необходимо различать:
объект исходной математической системы;
нормативный класс экспликации;
правило формирования конечного представления;
результат конкретной операции.
Особое значение имеет также возможность использования различных правил.
Усечение и округление могут давать разные результаты при одинаковом классе.
Следовательно, номер класса сам по себе не обеспечивает полного определения математического представления.
1.16. Классовая эквивалентность и математическое тождество
Одним из фундаментальных вопросов является различие между математическим равенством и совпадением конечных представлений.
Рассмотрим точные рациональные числа:
x = 1/3
и
y = 1/3 + 10^(;12).
Очевидно:
x ; y.
Однако при усечении до десяти десятичных позиций получаем:
T_10(x) = 0,3333333333;
T_10(y) = 0,3333333333.
Следовательно, два различных точных рациональных числа имеют одинаковое представление первого класса при указанном правиле усечения.
Для описания соответствующего отношения можно ввести специальную эквивалентность:
x ~(n,T) y ; T(10^n)(x) = T_(10^n)(y).
В данном определении T обозначает установленную операцию усечения.
Однако необходимо подчеркнуть, что отношение ~_(n,T) не является обычным математическим равенством исходных рациональных чисел.
Оно характеризует совпадение результатов конкретной нормативной операции.
При этом можно установить рефлексивность, симметричность и транзитивность соответствующего отношения.
Следовательно, оно образует отношение эквивалентности на установленной предметной области.
Однако его использование должно сопровождаться указанием класса и правила формирования.
Таким образом, классовая эквивалентность представляет собой самостоятельное отношение, не заменяющее строгого математического тождества.
1.17. Классификация и принцип полисистемности
Различные математические системы могут использовать неодинаковые классификационные основания.
Следовательно, одна и та же математическая конструкция может получать разные типологические характеристики в различных нормативных контекстах.
Например, в системе точной рациональной арифметики главным может быть математическое значение числа.
В системе конечной десятичной экспликации — класс его представления.
В системе алгоритмического анализа — вычислительная сложность соответствующей процедуры.
В системе технической реализации — объём необходимых ресурсов.
Следовательно, необходимо учитывать множественность классификаций.
Однако такая множественность не означает произвольности.
Каждая система должна иметь установленное основание.
Особое значение приобретает возможность сопоставления классификаций.
Например, отображение из точной рациональной арифметики в систему конечных десятичных представлений может терять информацию.
Следовательно, оно не обязано сохранять все свойства исходных объектов.
Поэтому межсистемные классификационные соответствия требуют самостоятельного математического анализа.
Таким образом, принцип полисистемности предполагает возможность сосуществования различных классификационных систем при сохранении определённости каждой из них.
1.18. Ноовиды, классы и популяции математических объектов
В предшествующих частях монографии были разработаны понятия ноовида и ноопопуляции.
Применительно к математическим объектам возникает необходимость согласовать их с классификационными основаниями.
Однако необходимо различать несколько отношений.
Принадлежность математическому классу определяется конкретным классификационным признаком.
Принадлежность ноовиду предполагает соответствие установленным типообразующим конструктивным и нормативным характеристикам.
Принадлежность ноопопуляции характеризует участие определённых объектов в организованной совокупности.
Следовательно, одна ноопопуляция может включать объекты нескольких математических классов.
И наоборот, объекты одного математического класса могут участвовать в различных популяциях.
Например, конечные десятичные представления первого класса могут использоваться в разных вычислительных проектах.
При этом они обладают общей характеристикой количества десятичных позиций.
Однако их функциональные назначения и нормативные системы могут различаться.
Следовательно, нельзя автоматически отождествлять класс точности с ноовидом.
Для такого вывода необходимо определить соответствующие видообразующие признаки.
Таким образом, классификация математических объектов и теория нооинженерных популяций представляют собой взаимосвязанные, но самостоятельные направления исследования.
1.19. Ноотехнический паспорт классификации
Для практической организации предлагается разработать паспорт математической классификации.
Он должен содержать:
идентификатор классификационной системы;
нормативную редакцию;
предметную область;
исходные определения;
классификационные признаки;
множества допустимых значений;
правила установления принадлежности;
отношения между классами;
ограничения классификации;
методы проверки;
условия межсистемного сопоставления;
историю изменений.
Особое значение имеет возможность машинно-обрабатываемого представления.
Для этого необходимо определить типы классификационных признаков и правил.
Однако формальная регистрация признака не является доказательством его математической корректности.
Соответствующая проверка должна осуществляться отдельно.
Например, если предполагается, что классы образуют разбиение предметной области, необходимо установить полноту покрытия и отсутствие перекрытия.
Если же система допускает множественную принадлежность, это должно быть отражено в нормативной спецификации.
Следовательно, паспорт классификации должен обеспечивать документирование не только перечня классов, но и математических оснований их образования.
1.20. Основные результаты главы
В настоящей главе предложены теоретические основания классификации математических объектов как специального направления нооинженерии.
Рассмотрена историческая преемственность с авторской гармонической логикой и гармонической арифметикой.
Разграничены математический объект, имя, определение, модель, представление, алгоритм и техническая реализация.
Предложена первоначальная система уровней классификации.
Рассмотрены понятия рода, вида, класса, типа и классификационного признака.
Разработана исходная формальная схема классификационной системы.
Показано различие между разбиением, перекрытием и иерархией классов.
Особое внимание уделено содержанию, объёму и составу понятия как авторским основаниям анализа ментальных объектов.
Разграничены качественные, количественные и смешанные классификационные признаки.
Рассмотрены способы задания и экспликации математических объектов.
Показано различие между формальной конечностью, алгоритмической вычислимостью и технической осуществимостью.
Введено отношение классовой эквивалентности конечных представлений.
Установлено, что оно не должно отождествляться с математическим равенством исходных объектов.
Рассмотрены отношения классификации с принципом полисистемности, ноовидами и ноопопуляциями.
Предложены первоначальные требования к паспорту математической классификации.
Таким образом, классификация математических объектов рассматривается как нормативно организованная система выделения и сопоставления математических конструкций по установленным смысловым, структурным, количественным и функциональным характеристикам.
Для дальнейшего развития необходимо разработать специальную теорию математических шкал.
Именно эта задача составляет предмет следующей главы.
Глава 2. Шкалы математических характеристик: принципы построения и типология
2.1. Проблема шкал в нооинженерной математике
Классификация математических объектов предполагает наличие определённых признаков.
Однако для практического использования недостаточно просто указать перечень таких признаков.
Необходимо установить способы представления их значений, правила сравнения и условия перехода между различными категориями.
В традиционной математике соответствующие задачи решаются посредством различных шкал, отношений порядка, числовых характеристик и формальных отображений.
В метрологии также существуют специальные системы шкал измерений.
Однако применительно к математическим объектам необходимо учитывать предметную специфику.
Например, количество десятичных позиций представляет собой точную целочисленную характеристику представления.
Вычислительная сложность алгоритма требует отдельной математической модели.
А нормативный статус доказательства не обязательно допускает количественную оценку.
Следовательно, возникает необходимость построения общей системы шкал математических характеристик.
Такая система должна позволять классифицировать объекты по различным основаниям без необоснованного смешения числовых, логических и категориальных отношений.
Особое значение приобретает возможность использования нескольких шкал одновременно.
Математическая конструкция может характеризоваться определённостью исходных понятий, количеством элементов, глубиной структурной организации, классом представления и вычислительной сложностью.
При этом ни одна из перечисленных характеристик не обязательно является универсальной мерой качества объекта.
Следовательно, нооинженерная теория шкал должна обеспечивать многомерное, контекстуально определённое описание математических конструкций.
2.2. Предмет и определение математической шкалы
Предлагается следующее рабочее определение.
Определение 2.1. Шкала математической характеристики — нормативно определённая система значений и отношений, предназначенная для задания, классификации, сравнения или оценки определённого свойства математических объектов либо их представлений.
В данном определении необходимо выделить несколько компонентов.
Первый — характеристика, которая подлежит исследованию.
Второй — предметная область соответствующих объектов.
Третий — множество допустимых значений.
Четвёртый — правила присвоения или определения значений.
Пятый — отношения, допустимые между значениями.
Шестой — условия применения шкалы.
Особенно важно определить, какие операции допускаются над полученными значениями.
Например, номера категорий могут использоваться исключительно для идентификации.
В таком случае их арифметическое сложение не имеет содержательного смысла.
Для порядковой шкалы могут быть допустимы отношения больше и меньше.
Однако это не обязательно означает осмысленность вычисления разностей значений.
Следовательно, шкала должна определять не только допустимые значения, но и допустимую математическую структуру отношений между ними.
2.3. Формальная схема шкалы
Для первоначальной организации предлагается использовать модель:
M = ;S, U, h, V, R, P, N;,
где:
M — определённая шкала;
S — нормативная математическая система;
U — область оцениваемых объектов;
h — правило определения характеристики;
V — множество допустимых значений;
R — отношения и операции над значениями;
P — процедуры проверки;
N — нормативная редакция шкалы.
В простейшем случае характеристика может задаваться отображением:
h: U ; V.
Однако не все характеристики определены для каждого объекта.
Например, количество десятичных позиций неприменимо к объекту, не имеющему соответствующего десятичного представления в рассматриваемом контексте.
В таком случае можно использовать частичное отображение:
h: D ; V, где D ; U.
При этом область D должна быть указана явно.
Особое значение имеет возможность использования неопределённых или недостаточно исследованных характеристик.
Однако статус «значение не установлено» не должен автоматически становиться дополнительным числовым значением самой шкалы.
Он относится к результату процедуры оценки.
Следовательно, необходимо различать математическую структуру шкалы и доказательственное состояние определения конкретного значения.
2.4. Классификационные и измерительные шкалы
Для дальнейшей разработки необходимо различать два основных назначения.
Классификационная шкала используется для распределения объектов по категориям.
Измерительная или количественная шкала применяется для представления математически определённой величины.
Однако между ними могут существовать переходные формы.
Например, количественная характеристика может использоваться как основание классификации.
Так, количество десятичных позиций представляет собой целочисленную величину.
Но определённые диапазоны значений могут быть объединены в нормативные классы.
Следовательно, классификационная категория не обязательно совпадает с исходной количественной величиной.
Особенно важно разграничивать номер класса и значение характеристики.
Например, в авторской системе первый класс предусматривает десять десятичных позиций.
Следовательно, номер класса равен единице, а количество позиций — десяти.
Эти числа имеют различный смысл.
Поэтому нельзя использовать номер класса как непосредственную меру количества позиций без соответствующего преобразования.
Таким образом, теория математических шкал должна обеспечивать разграничение классификационного индекса и количественного значения характеризуемого свойства.
2.5. Номинальные шкалы
Номинальная шкала предназначена для классификации объектов по определённым категориям.
Например, математические структуры могут различаться по типам используемых операций.
Числовые представления могут классифицироваться по системам счисления.
Алгоритмы — по типам входных данных.
При этом между категориями не обязательно существует отношение порядка.
Например, нельзя автоматически считать двоичную систему счисления математически выше десятичной.
Они обладают различными свойствами и областями применения.
Следовательно, номинальная шкала должна использоваться прежде всего для установления принадлежности.
Её значения могут иметь условные обозначения.
Однако числовой код категории не превращает саму категорию в количественную величину.
Например, если типам математических операций присвоены коды 1, 2 и 3, вычисление среднего арифметического этих кодов не обязательно обладает смыслом.
Таким образом, номинальные шкалы должны использоваться в пределах соответствующих классификационных правил.
2.6. Порядковые шкалы
Порядковая шкала устанавливает определённое отношение упорядоченности между значениями.
Например, можно разработать шкалу уровней завершённости ноотехнической документации.
В ней более высокий уровень может предусматривать выполнение требований предыдущего и добавление новых условий.
Однако для такой интерпретации необходимо доказать или нормативно установить соответствующее отношение.
Особенно важно различать строгий порядок и нестрогое упорядочение.
В некоторых случаях возможны равные или несравнимые значения.
Например, две математические системы могут отличаться по нескольким характеристикам.
Одна обладает большей формальной полнотой документации.
Другая — более развитой технической реализацией.
В таком случае не обязательно существует единый общий порядок.
Следовательно, для сложных объектов могут потребоваться частично упорядоченные системы.
При этом нельзя считать, что различие между уровнями 2 и 3 обязательно равно различию между уровнями 4 и 5.
Такое заключение требовало бы количественной интерпретации шкалы.
Следовательно, порядковая классификация не должна автоматически превращаться в интервальную числовую шкалу.
2.7. Количественные шкалы
Количественная шкала предназначена для представления математически определённой величины.
Например, для конечной записи можно определить количество десятичных символов.
Для конечного графа — число вершин.
Для алгоритма — количество выполненных элементарных операций в определённой вычислительной модели.
Однако необходимо учитывать, что такие величины могут иметь различные математические свойства.
Например, количество элементов конечного множества является неотрицательным целым числом.
А абсолютная погрешность математического приближения представляет собой неотрицательную действительную величину.
Следовательно, для каждой шкалы необходимо определить её допустимую область значений.
Особое значение имеет выбор единицы или нормировки.
Например, длина десятичного представления может выражаться количеством цифр.
Но объём технического хранения зависит от кодировки и формата данных.
Следовательно, количество символов и количество единиц памяти не являются автоматически одной и той же величиной.
Таким образом, количественная шкала должна иметь точное определение характеризуемого свойства и способа получения значения.
2.8. Дискретные и непрерывные шкалы
По характеру множества значений можно различать дискретные и непрерывные шкалы.
Дискретные шкалы используют отдельные значения, между которыми могут существовать определённые интервалы.
Например, количество десятичных позиций принимает целочисленные значения.
Непрерывные шкалы могут использовать действительные значения из определённого интервала.
Например, абсолютная погрешность приближения может задаваться неотрицательным действительным числом.
Однако математическая непрерывность шкалы не означает, что её значения могут быть получены с произвольной технической точностью.
Необходимо различать математическую область значений и способ их вычисления или измерения.
Особое значение имеет возможность использования дискретных классов для классификации непрерывных характеристик.
Например, можно разделить допустимые величины погрешности на нормативные диапазоны.
Однако границы таких диапазонов должны быть определены.
Следовательно, классификация по интервалам представляет собой дополнительную нормативную операцию.
2.9. Простые и составные шкалы
В некоторых случаях математический объект характеризуется одной величиной.
Например, длина определённой десятичной записи является простой количественной характеристикой.
Однако сложные нооинженерные объекты требуют многомерной оценки.
Для этого могут использоваться составные шкалы.
Например, вычислительная технология может характеризоваться:
количеством десятичных позиций;
абсолютной погрешностью;
временем выполнения;
потребностью в памяти;
воспроизводимостью;
нормативной совместимостью.
Однако перечисленные характеристики обладают различными математическими структурами.
Следовательно, нельзя автоматически объединять их посредством одного арифметического выражения.
Для построения интегрального показателя требуется специальное определение нормировки, весов и допустимых операций.
Особенно важно установить назначение такой оценки.
Различные инженерные задачи могут предполагать разные предпочтения.
Таким образом, составная шкала должна рассматриваться как самостоятельная нормативная конструкция, требующая обоснования.
2.10. Многокритериальное сравнение
Для сложных нооинженерных объектов может использоваться многокритериальное сравнение.
Пусть объект A обладает характеристиками:
H(A) = (h;(A), h;(A), …, h;(A)).
Аналогичным образом определяется вектор характеристик объекта B.
Однако наличие таких векторов не означает автоматической возможности определить, какой объект лучше.
Для этого необходимо установить направление предпочтения каждой характеристики.
Например, большее количество десятичных позиций может быть предпочтительным при требовании повышенной детализации представления.
Но меньший объём вычислений может быть предпочтительным при ограниченных ресурсах.
Следовательно, различные критерии могут конфликтовать.
В таком случае целесообразно использовать отношения частичного превосходства.
Например, один объект может быть не хуже другого по всем выбранным критериям и лучше хотя бы по одному.
Однако при наличии разнонаправленных преимуществ объекты могут оказаться несравнимыми относительно данного отношения.
Следовательно, ноометрология должна предусматривать возможность сохранения нескольких недоминируемых альтернатив.
Это соответствует принципу полисистемности и специальной задаче нооселекции.
2.11. Шкалы структурной сложности
Одним из возможных направлений является разработка шкал структурной сложности математических объектов.
Однако понятие сложности имеет несколько различных значений.
Например, можно исследовать:
количество компонентов;
глубину иерархии;
количество отношений;
размер формального описания;
длину доказательства;
алгоритмическую сложность вычисления;
объём технической реализации.
Перечисленные характеристики не являются тождественными.
Например, короткое математическое определение может задавать объект, для вычисления определённого представления которого требуется значительный объём ресурсов.
В другом случае длинная символическая запись может обозначать математически простой объект.
Следовательно, необходимо различать сложность определения и сложность вычисления.
Особое значение имеет выбор вычислительной модели.
Например, количество операций может зависеть от того, какие действия рассматриваются как элементарные.
Поэтому шкала вычислительной сложности должна иметь соответствующую математическую спецификацию.
Таким образом, нооинженерная теория шкал должна предотвращать необоснованное объединение различных видов сложности.
2.12. Шкалы семантической определённости
Для нооинженерии особое значение имеют шкалы, предназначенные для оценки смысловой организации математических объектов.
Однако количественная оценка соответствующих характеристик представляет значительные методологические трудности.
Например, можно определить количество терминов, имеющих формальные определения.
Можно подсчитать случаи использования различных обозначений для одного понятия.
Можно установить наличие типизированных отношений между понятиями.
Но подобные показатели не обязательно исчерпывают семантическую определённость теории.
Следовательно, необходимо различать формально наблюдаемые признаки и исследуемое смысловое свойство.
В первоначальном варианте могут использоваться категориальные характеристики.
Например:
«определение представлено»;
«область применения установлена»;
«отношения с исходными понятиями зафиксированы»;
«обнаружена неоднозначность»;
«проверка не завершена».
Однако такие категории не образуют автоматически количественную шкалу.
Особенно важно не приписывать математической теории произвольный процент осмысленности.
Для использования подобной оценки необходимо самостоятельное обоснование.
Таким образом, шкалы семантических характеристик должны развиваться на основе строгих определений и методологической осторожности.
2.13. Шкалы нормативной определённости
Другим направлением является разработка шкал нормативной определённости объектов.
Например, нооинженерная конструкция может находиться в различных состояниях разработки.
Она может существовать как предварительная гипотеза.
Затем получает формальную спецификацию.
После этого разрабатывается техническая реализация.
Далее проводятся испытания.
Однако указанные состояния не обязательно образуют одну универсальную шкалу качества.
Например, математическая теорема может быть строго доказана и не нуждаться в отдельной программной реализации.
Следовательно, необходимо различать:
степень нормативной специфицированности;
степень доказательственной подтверждённости;
степень технической реализованности;
степень репродуктивной обеспеченности;
степень конфигурационной определённости.
Каждая характеристика должна иметь самостоятельную систему значений.
В отдельных случаях возможно использование порядковых уровней.
Однако переход к единому количественному индексу требует специального обоснования.
Таким образом, нормативная определённость должна оцениваться относительно конкретного вида ментального объекта и инженерной задачи.
2.14. Шкалы точности и погрешности
Особое место среди математических шкал занимают системы характеристик точности.
Однако необходимо учитывать, что термин «точность» обладает несколькими специализированными значениями.
В системе конечной десятичной экспликации количество позиций характеризует нормативную детальность записи.
Абсолютная погрешность определяет различие между точным объектом и полученным приближением.
Относительная погрешность характеризует соответствующее отношение к модулю исходного значения при допустимости такой операции.
При этом необходимо различать перечисленные характеристики.
Например, две десятичные записи могут содержать одинаковое количество позиций и обладать различной абсолютной погрешностью.
В другом случае конечная запись может точно совпадать с исходным рациональным числом.
Следовательно, число десятичных позиций не является универсальной мерой фактической погрешности.
Особое значение имеет необходимость указания правила округления.
При одном и том же количестве позиций усечение и округление могут давать различные результаты.
Таким образом, шкалы точности должны сопровождаться нормативным определением операции формирования приближения и способа оценки его погрешности.
2.15. Абсолютная и относительная погрешность как характеристики
Пусть x — точное числовое значение, а y — его приближение.
Тогда абсолютная погрешность определяется как:
; = |x ; y|.
При x ; 0 относительная погрешность может быть определена как:
; = |x ; y| / |x|.
Однако необходимо учитывать, что обе характеристики требуют определённого математического отношения между исходным объектом и его приближением.
Если точное значение неизвестно, непосредственное вычисление фактической погрешности может оказаться невозможным.
В таком случае можно использовать доказанную верхнюю границу или другую специально определённую оценку.
При этом необходимо различать фактическую величину погрешности и нормативный допуск.
Например, требование:
; ; ;
устанавливает допустимый предел.
Но оно не определяет автоматически фактическое значение ;.
Следовательно, шкала погрешности и шкала нормативной допустимости выполняют разные функции.
Первая характеризует математическое различие.
Вторая устанавливает условия принятия результата.
Таким образом, ноометрологическая система должна разграничивать значение характеристики и критерий её оценки.
2.16. Шкала количества десятичных позиций
Рассмотрим простую количественную характеристику:
d — количество десятичных цифр после запятой в завершённом представлении.
Если рассматриваются конечные десятичные записи, d принимает неотрицательные целые значения.
Например:
0,5 — одна позиция;
0,50 — две позиции;
0,5000000000 — десять позиций.
При этом математическое значение указанных записей одинаково.
Следовательно, шкала количества десятичных позиций характеризует представление, а не математическое значение числа.
Для нооинженерной классификации может быть введена специальная последовательность нормативных классов.
В авторском варианте используется правило:
d(n) = 10^n.
Это означает, что не всякое допустимое значение количества позиций автоматически образует самостоятельный класс рассматриваемой шкалы.
Например, d = 37 является допустимой длиной конечной десятичной записи.
Однако при установленной последовательности 10^n оно не соответствует отдельному положительному целочисленному номеру класса.
Следовательно, необходимо различать общую шкалу количества позиций и специальную шкалу выделенных классов.
Именно последняя составляет предмет следующей главы.
2.17. Индексная и количественная структуры авторской шкалы
В системе классов точности присутствуют две взаимосвязанные характеристики.
Первая — номер класса:
n.
Вторая — количество десятичных позиций:
d = 10^n.
Следовательно, переход от одного класса к следующему сопровождается десятикратным увеличением количества позиций:
d(n + 1) = 10 · d(n).
При этом необходимо различать арифметическое увеличение номера класса и изменение количественной характеристики.
Если номер класса увеличивается на единицу, количество позиций возрастает в десять раз.
Однако такое отношение не означает автоматического десятикратного повышения всех показателей качества.
Например, вычислительная сложность алгоритма может изменяться по другому закону.
А фактическая погрешность представления зависит также от исходного объекта и правила округления.
Следовательно, последовательность d(n) = 10^n должна рассматриваться как специальная нелинейная шкала нормативной длины экспликации.
Её количественное содержание определяется соответствующей функцией.
Однако все дополнительные характеристики требуют самостоятельной спецификации.
2.18. Межшкальные преобразования
Сложные нооинженерные системы могут использовать различные шкалы.
Следовательно, возникает задача установления отношений между ними.
Например, номер класса точности может быть преобразован в количество позиций по формуле:
d = 10^n.
При этом обратное преобразование возможно только для значений d, принадлежащих установленной последовательности классов.
Если d = 100, соответствующий номер равен:
n = 2.
Но если d = 37, целочисленный номер класса рассматриваемой шкалы отсутствует.
Следовательно, обратное отображение является частичным относительно общей области возможных значений d.
Особое значение имеет различие между точным преобразованием характеристик и приближённым сопоставлением.
Например, количество десятичных позиций нельзя универсальным образом преобразовать в фактическую абсолютную погрешность без сведений об исходном объекте и правиле формирования представления.
Можно установить лишь определённые оценки при дополнительных предпосылках.
Следовательно, межшкальное преобразование должно содержать:
исходную характеристику;
целевую характеристику;
область определения;
правило преобразования;
сохраняемые свойства;
ограничения.
Таким образом, не всякие две математические шкалы являются взаимно преобразуемыми без потери информации.
2.19. Потенциально неограниченное расширение шкал
Одной из особенностей авторской системы классов является возможность продолжения последовательности номеров.
Если n принимает произвольно большие положительные целые значения, правило:
d(n) = 10^n
определяет всё большие конечные количества позиций.
При этом каждое фиксированное значение n задаёт конечное натуральное число d(n).
Однако потенциальная возможность продолжения последовательности классов не означает фактического завершения экспликаций всех соответствующих размеров.
Следовательно, необходимо различать три утверждения.
Первое: правило образования классов математически определено.
Второе: для конкретного класса может существовать алгоритм получения требуемого представления определённого объекта.
Третье: соответствующее представление фактически вычислено, записано и проверено.
Эти утверждения обладают различным доказательственным статусом.
Особенно важно учитывать ресурсные ограничения.
Например, для класса n = 12 требуется 10^12 десятичных позиций.
Такое количество является конечным, но его фактическая экспликация представляет самостоятельную техническую задачу.
Следовательно, потенциально неограниченное расширение шкалы не должно отождествляться с актуально завершённым выполнением всех предусмотренных вычислений.
2.20. Шкалы, стандарты и нормативные профили
Для практического использования математическая шкала должна сопровождаться нормативной документацией.
В первоначальном варианте необходимо определить:
наименование шкалы;
предметную область;
характеристику;
множество значений;
правила образования классов;
допустимые операции;
критерии сравнения;
методы проверки;
отношения с другими шкалами;
нормативную редакцию.
При этом одна общая шкала может иметь несколько специализированных профилей.
Например, система классов десятичной экспликации может использоваться совместно с различными правилами представления чисел.
В частности, возможны профили усечения и округления.
Однако их математические свойства могут различаться.
Поэтому общий стандарт классов должен отделяться от стандартов конкретных операций.
Особое значение имеет возможность применения одной шкалы в разных математических системах.
При этом необходимо проверять совместимость используемых определений.
Следовательно, ноостандартизация шкал должна обеспечивать как общую нормативную организацию, так и специализированную предметную конкретизацию.
2.21. Ноометрологический паспорт шкалы
Для практической регистрации предлагается разработать ноометрологический паспорт математической шкалы.
Он должен включать:
Раздел Содержание
Идентификатор Уникальное обозначение шкалы
Предмет Оцениваемые математические объекты или представления
Характеристика Нормативное определение свойства
Тип шкалы Номинальная, порядковая, количественная или иная
Значения Допустимая область
Правило Способ определения значения
Отношения Допустимые сравнения и операции
Проверка Методы установления соответствия
Ограничения Условия неприменимости
Интерфейсы Межшкальные преобразования
Редакция Нормативное состояние
История Изменения и отношения наследования
Однако указанный паспорт не должен рассматриваться как доказательство корректности самой шкалы.
Для этого требуется отдельное исследование её математических свойств.
Например, если предполагается, что значения образуют линейно упорядоченную систему, необходимо установить соответствующее отношение порядка.
Если предполагается существование метрики, необходимо проверить выполнение её аксиом.
Следовательно, паспорт должен содержать ссылки на соответствующие математические обоснования.
Таким образом, шкала рассматривается как самостоятельный нооинженерный объект, обладающий нормативной спецификацией и историей развития.
2.22. Основные результаты главы
В настоящей главе предложено определение шкалы математической характеристики.
Разработана первоначальная формальная модель шкалы.
Разграничены классификационные и количественные шкалы.
Рассмотрены номинальные, порядковые, дискретные, непрерывные и составные шкалы.
Предложены принципы многокритериального сопоставления математических конструкций.
Особое внимание уделено шкалам структурной сложности, семантической и нормативной определённости.
Разграничены количество десятичных позиций, абсолютная погрешность, относительная погрешность и нормативный допуск.
Исследована авторская последовательность классов:
d(n) = 10^n.
Показано различие между номером класса и соответствующей количественной характеристикой.
Рассмотрены межшкальные преобразования и ограничения их обратимости.
Особое внимание уделено потенциально неограниченному расширению классов при конечности количества позиций каждого фиксированного класса.
Предложены первоначальные требования к нормативным профилям и ноометрологическим паспортам математических шкал.
Таким образом, теория шкал математических характеристик рассматривается как специальное направление ноометрологии, обеспечивающее формально определённую классификацию и сравнение математических объектов по различным количественным, качественным и нормативным основаниям.
На этой основе становится возможным перейти к подробному исследованию авторской шкалы классов точности конечной математической экспликации.
Глава 3. Шкала классов точности эксплицируемых математических объектов
3.1. Центральное значение классов точности для нооинженерной математики
Одной из основных задач настоящей монографии является разработка нормативно определённых технологий формирования, классификации и воспроизводства математических объектов.
В этом контексте особое значение приобретает авторская система классов точности эксплицируемых математических объектов.
Её исходная идея состоит в установлении специальной последовательности классов, определяющих количество десятичных позиций завершённого представления.
При этом требуется разграничить несколько математических и инженерных задач.
Первая — определение исходного математического объекта.
Вторая — установление нормативного класса экспликации.
Третья — выбор правила формирования представления.
Четвёртая — фактическое получение соответствующего результата.
Пятая — проверка его математической и нормативной корректности.
Шестая — регистрация результата и его отношения к исходному объекту.
Следовательно, класс точности не должен рассматриваться как изолированное числовое обозначение.
Он представляет собой элемент более широкой технологии математической экспликации.
Особенно важно различать класс представления и математический статус самого числа.
Например, точное рациональное число не перестаёт быть точным вследствие использования его приближённой записи.
Таким образом, шкала классов точности должна разрабатываться как самостоятельная нормативная система, регулирующая определённые способы конечного представления математических объектов.
3.2. Исходное определение шкалы
Предлагается следующее рабочее определение.
Определение 3.1. Шкала классов точности эксплицируемых математических объектов — нормативно определённая система классов конечных десятичных представлений, в которой каждому допустимому номеру класса n соответствует количество десятичных позиций 10^n.
Основное правило имеет вид:
d(n) = 10^n,
где:
n — номер класса точности;
d(n) — количество цифр после десятичного разделителя;
10 — основание десятичной системы счисления.
В первоначальной нормативной редакции предлагается использовать положительные целые номера классов:
n = 1, 2, 3, …
Следовательно, каждому такому номеру соответствует определённое конечное натуральное число позиций.
Однако необходимо учитывать, что формула определяет прежде всего длину нормативного десятичного представления.
Она не задаёт сама по себе математическое значение результата.
Для этого требуется дополнительно определить исходный объект и операцию формирования записи.
Следовательно, шкала классов точности должна функционировать совместно с соответствующими нормативными профилями вычисления и представления.
3.3. Основная таблица классов
В первоначальном варианте шкала имеет следующий вид.
Номер класса n Количество десятичных позиций d = 10^n
1 10
2 100
3 1 000
4 10 000
5 100 000
6 1 000 000
7 10 000 000
8 100 000 000
9 1 000 000 000
10 10 000 000 000
11 100 000 000 000
12 1 000 000 000 000
Из таблицы следует, что переход к следующему классу сопровождается десятикратным увеличением количества десятичных позиций.
В частности:
d(n + 1) = 10 · d(n).
При этом необходимо подчеркнуть, что номер класса не совпадает с количеством позиций.
Например, первый класс — не одна цифра после запятой, а десять.
Второй класс — не две цифры, а сто.
Шестой класс — один миллион позиций.
Двенадцатый класс — один триллион позиций.
Следовательно, класс n представляет собой нормативный индекс, значение которого преобразуется в количество десятичных позиций по установленному правилу.
Однако соответствующая последовательность не является сама по себе доказательством технической осуществимости экспликации любого класса.
Для каждого конкретного вычислительного проекта необходим самостоятельный анализ ресурсов.
3.4. Область применения шкалы
Для научной определённости необходимо установить предметную область шкалы.
В первоначальном варианте она предназначается для классификации конечных десятичных представлений математических числовых объектов.
При этом различные математические объекты могут иметь разные способы задания.
Например, рациональное число может быть точно представлено отношением целых чисел.
Некоторые действительные числа могут быть заданы математическими константами или алгоритмами вычисления.
Однако возможность формирования произвольного количества десятичных позиций не должна предполагаться без соответствующего основания.
Следовательно, необходимо различать:
математические объекты с точно заданным конечным десятичным представлением;
объекты, допускающие вычисление конечных десятичных приближений;
объекты, для которых установлен алгоритм порождения требуемых позиций;
объекты, для которых соответствующая вычислительная процедура отсутствует либо не обоснована.
При этом принадлежность к последней категории зависит от имеющихся математических сведений.
Отсутствие известного алгоритма не обязательно доказывает принципиальную невозможность его существования.
Следовательно, область применения шкалы должна определяться относительно конкретной математической системы и нормативной технологии.
3.5. Исходный математический объект
В качестве первого базового примера целесообразно рассмотреть рациональные числа.
Пусть:
x = p/q,
где p и q — целые числа, а q ; 0.
Для однозначной регистрации может использоваться сокращённая дробь с положительным знаменателем.
Однако такое требование относится к канонической форме представления рационального числа.
Само математическое значение не зависит от выбора конкретной эквивалентной дробной записи.
Например:
1/3 = 2/6.
При этом математический объект может использоваться в различных технологиях экспликации.
Для первого класса может быть сформирована запись с десятью десятичными позициями.
Для второго — со ста.
Однако исходный рациональный объект остаётся тем же.
Следовательно, система должна различать его идентификатор и идентификаторы конечных представлений.
Особенно важно сохранять возможность обращения к исходному точному значению.
Без этого переход между классами может сопровождаться невосстановимой потерей сведений.
Таким образом, нормативная технология должна включать отдельное задание исходного математического объекта.
3.6. Завершённое десятичное представление
Для определения класса необходимо установить, что считается завершённым представлением.
Предлагается следующее определение.
Определение 3.2. Завершённое десятичное представление класса n — фактически сформированная конечная десятичная запись, содержащая ровно 10^n цифр после десятичного разделителя и соответствующая установленному правилу представления исходного математического объекта.
В данном определении существенны два условия.
Первое — количественное.
Запись должна содержать предусмотренное количество позиций.
Второе — математико-нормативное.
Её числовое значение должно соответствовать объявленной операции.
Например, запись может содержать ровно десять цифр после запятой, но иметь неправильное числовое значение.
В таком случае количественное требование выполнено, однако математическая спецификация нарушена.
Следовательно, необходимо различать завершённость формы и корректность содержания.
Особое значение имеет использование завершающих нулей.
Например, конечное значение 0,5 в первом классе должно записываться с десятью позициями:
0,5000000000.
Такое представление отличается по форме от обычной краткой записи, хотя обозначает то же рациональное значение.
Следовательно, нормативная завершённость должна определяться относительно конкретного формата.
3.7. Математическое значение и нормативная запись
Для правильной интерпретации результата необходимо разграничить математическое значение конечного представления и его текстовую запись.
Например:
0,5;
0,50;
0,5000000000
обозначают одно и то же рациональное число.
Однако они различаются как последовательности символов.
Следовательно, можно рассматривать два объекта:
числовое значение результата;
нормативную запись результата.
В системе классов точности существенным является второе.
Поэтому необходимо определить правило формирования записи с установленным количеством позиций.
При этом целесообразно предусмотреть каноническое использование десятичного разделителя.
Особое значение имеет обработка нуля.
Например, для первого класса можно установить запись:
0,0000000000.
При этом отдельная отрицательная форма нуля должна использоваться только при наличии специального нормативного основания.
В первоначальном варианте целесообразно предусмотреть единую каноническую запись нулевого значения.
Следовательно, система классов должна включать самостоятельные правила форматирования.
3.8. Операция усечения как первый нормативный профиль
Для конкретизации шкалы предлагается первоначально использовать операцию усечения по направлению к нулю.
Пусть x — точное рациональное число, а d — установленное количество десятичных позиций.
Тогда определим:
T_d(x) = sgn(x) · floor(|x| · 10^d) / 10^d.
Здесь:
sgn(x) — знак числа;
floor — операция взятия целой части вниз;
d — количество десятичных позиций.
В случае x = 0 значение результата принимается равным нулю.
Данная формула определяет математическое значение результата усечения.
Однако она не задаёт полностью его нормативную текстовую запись.
Для этого необходимо добавить правило формирования ровно d десятичных цифр.
Например, при:
x = 1/8
и
d = 10
получаем математическое значение:
T_10(x) = 1/8.
Однако нормативная запись имеет вид:
0,1250000000.
Следовательно, математическая операция и форматирование должны рассматриваться как различные компоненты единой технологии.
3.9. Усечение отрицательных чисел
Особого внимания требует обработка отрицательных исходных значений.
Необходимо различать усечение по направлению к нулю и округление вниз.
Например, при:
x = ;1/6
и
d = 10
усечение по направлению к нулю даёт:
;0,1666666666.
Однако применение операции математического округления вниз к соответствующему масштабированному значению может дать другой результат.
Следовательно, нельзя заменять определение усечения простым указанием на функцию целой части без учёта знака.
Предложенная формула:
T_d(x) = sgn(x) · floor(|x| · 10^d) / 10^d
устраняет соответствующую неоднозначность.
Особое значение имеет необходимость использовать одно и то же правило при всех вычислениях определённой нормативной редакции.
Если часть системы выполняет усечение по направлению к нулю, а другая — округление вниз, возникает нарушение нормативного единства.
Следовательно, правило обработки отрицательных чисел является существенным компонентом спецификации.
3.10. Операция округления как альтернативный профиль
Наряду с усечением возможна разработка самостоятельного профиля округления.
Например, можно использовать округление к ближайшему представимому десятичному значению.
Однако необходимо определить порядок обработки точных промежуточных случаев.
В первоначальном варианте может использоваться правило выбора результата с чётным последним сохраняемым разрядом при точном равенстве расстояний до двух соседних значений.
Для математического описания введём операцию:
R_d(x) = round_even(x · 10^d) / 10^d,
где round_even обозначает округление до ближайшего целого числа с выбором чётного целого при точном равенстве расстояний.
В данном случае d по-прежнему определяет количество десятичных позиций.
Например, при первом классе:
d = 10.
Для числа:
x = 1/6
получаем:
R_10(x) = 0,1666666667.
При этом результат отличается от усечения:
T_10(x) = 0,1666666666.
Следовательно, при одинаковом классе точности возможны различные нормативные результаты.
Поэтому спецификация должна содержать не только номер класса, но и идентификатор операции.
3.11. Пример экспликации числа ;
Рассмотрим математическую константу ;.
Она является точно определённым математическим объектом в обычной действительной математической системе.
При этом её десятичная запись бесконечна и непериодична.
Для первого класса точности необходимо сформировать десять десятичных позиций.
Исходное десятичное развитие начинается следующим образом:
; = 3,141592653589793...
При усечении получаем:
T_10(;) = 3,1415926535.
При округлении до ближайшего значения получаем:
R_10(;) = 3,1415926536.
Однако необходимо учитывать математический статус соответствующих записей.
Они не являются точным значением ;.
Они представляют собой конечные десятичные приближения.
Следовательно:
; ; 3,1415926535;
; ; 3,1415926536.
При этом оба результата могут быть корректными относительно разных нормативных профилей.
Особое значение имеет возможность получения соответствующих цифр посредством математически обоснованного вычисления.
Для полной инженерной проверки требуется установить правильность результата относительно выбранной операции.
Таким образом, данный пример показывает необходимость разграничения точного объекта, его конечной экспликации и нормативной технологии формирования представления.
3.12. Абсолютная погрешность усечения
Для исследования математических характеристик необходимо установить границу погрешности операции усечения.
Пусть x — произвольное действительное число, а d — положительное целое число.
Тогда согласно определению целой части:
floor(|x| · 10^d) ; |x| · 10^d < floor(|x| · 10^d) + 1.
После деления на 10^d получаем:
floor(|x| · 10^d) / 10^d ; |x| < floor(|x| · 10^d) / 10^d + 10^(;d).
Следовательно:
0 ; |x| ; |T_d(x)| < 10^(;d).
Поскольку усечение осуществляется по направлению к нулю, имеем:
|x ; T_d(x)| < 10^(;d).
Таким образом, для первого класса:
|x ; T_10(x)| < 10^(;10).
Для второго класса:
|x ; T_100(x)| < 10^(;100).
Однако необходимо подчеркнуть, что соответствующие формулы характеризуют математическую границу погрешности операции.
Они не означают, что фактическая погрешность всегда равна указанному пределу.
В отдельных случаях результат может быть точным.
Например, для рационального числа 1/8 усечение до десяти позиций не изменяет числового значения.
Следовательно, его фактическая погрешность равна нулю.
Таким образом, необходимо различать нормативный класс, общую границу погрешности и фактическую погрешность конкретного представления.
3.13. Погрешность округления
Для округления к ближайшему десятичному значению с d позициями можно установить другую общую границу погрешности.
Расстояние между соседними допустимыми значениями составляет:
10^(;d).
Следовательно, при математически точном округлении к ближайшему значению абсолютная погрешность не превышает половины этого расстояния:
|x ; R_d(x)| ; 1 / (2 · 10^d).
Однако данная оценка предполагает точное выполнение соответствующей операции.
Если программа использует приближённые исходные данные, необходимо дополнительно учитывать их погрешности.
Особенно важно разграничивать математическое правило округления и техническую реализацию.
Например, программа может получить неправильный результат вследствие преждевременного округления промежуточного значения.
Следовательно, соответствующая граница не должна автоматически приписываться произвольной реализации.
Для такого заключения необходимо установить соблюдение математической спецификации.
Таким образом, использование округления способно обеспечивать более строгую общую границу абсолютной погрешности, чем усечение при том же количестве позиций.
Однако это не делает округление универсально предпочтительным во всех нормативных контекстах.
Выбор операции должен определяться назначением математической технологии.
3.14. Классовая завершённость и точность числового значения
Одной из принципиальных задач является разграничение завершённости представления и точности соответствующего значения.
Рассмотрим рациональное число:
1/8.
Его нормативная запись первого класса имеет вид:
0,1250000000.
Она содержит десять цифр после запятой.
При этом числовое значение записи точно совпадает с исходным числом.
Теперь рассмотрим:
1/3.
Его представление первого класса при усечении:
0,3333333333.
Оно также содержит десять цифр после запятой.
Однако математическое значение не совпадает с исходным рациональным числом.
Следовательно, обе записи являются завершёнными представлениями одного класса, но обладают разной фактической погрешностью.
Из этого следует принципиальный вывод.
Завершённость представления класса не означает обязательного существования ненулевой погрешности, а равенство классов не означает равенства фактических погрешностей.
Поэтому система ноометрологии должна использовать самостоятельные показатели.
Первый характеризует нормативную длину записи.
Второй — правильность применения операции.
Третий — отношение результата к исходному математическому объекту.
Таким образом, понятие класса точности требует специализированной интерпретации.
3.15. Межклассовая согласованность усечения
Для дальнейшего исследования необходимо определить отношения между представлениями разных классов.
Пусть:
D ; d.
Тогда для операции усечения по направлению к нулю выполняется:
T_d(T_D(x)) = T_d(x).
Данное соотношение можно рассматривать как свойство согласованности последовательных усечений.
Его смысл состоит в следующем.
Если сначала сформировать более длинное усечённое представление, а затем усечь его до меньшего количества позиций, полученное числовое значение совпадает с результатом непосредственного усечения исходного числа до меньшего количества позиций.
Однако это свойство относится именно к выбранной математической операции.
Оно не должно автоматически распространяться на все способы округления.
Например, при последовательном округлении возможны ситуации двойного округления.
В таком случае результат может отличаться от непосредственного округления исходного числа до меньшего количества позиций.
Следовательно, межклассовые преобразования требуют самостоятельной математической спецификации.
Особое значение имеет вопрос об обратимости.
Из короткого конечного представления в общем случае невозможно однозначно восстановить исходное число.
Следовательно, переход к более высокому классу не может осуществляться только посредством произвольного добавления цифр.
Для правильного довычисления требуется дополнительная информация об исходном объекте.
3.16. Двойное округление
Для демонстрации возможных различий рассмотрим простой числовой пример.
В данном случае используются одна и две десятичные позиции исключительно как вспомогательный пример правил округления, а не как номера классов авторской шкалы.
Пусть:
x = 1,251.
Непосредственное округление до одной десятичной позиции даёт:
1,3.
Теперь выполним две последовательные операции.
Сначала округлим число до двух десятичных позиций:
1,251 ; 1,25.
Затем округлим полученный результат до одной позиции по правилу выбора чётной последней сохраняемой цифры при точном равенстве расстояний:
1,25 ; 1,2.
Следовательно:
R_1(R_2(1,251)) = 1,2,
тогда как:
R_1(1,251) = 1,3.
Таким образом, последовательное округление не обязательно совпадает с непосредственным округлением исходного значения.
Однако необходимо подчеркнуть, что рассматриваемый пример относится к обычной шкале количества десятичных позиций.
Для авторской шкалы классов соответствующие количества определяются правилом 10^n.
При этом сама проблема двойного округления сохраняет принципиальное значение.
Следовательно, межклассовые интерфейсы должны учитывать конкретную операцию и условия её выполнения.
3.17. Классовая эквивалентность представлений
Для формального описания совпадения конечных представлений предлагается использовать специальное отношение.
Пусть n — номер класса, а T_d — операция усечения.
Тогда:
x ~n y ; T(10^n)(x) = T_(10^n)(y).
Это отношение устанавливает, что исходные математические объекты имеют одинаковые значения усечённых представлений соответствующего класса.
В данном случае необходимо учитывать несколько свойств.
Отношение рефлексивно.
Оно симметрично.
Оно транзитивно.
Следовательно, на соответствующей предметной области оно определяет отношение эквивалентности.
Однако оно не совпадает с математическим равенством исходных объектов.
Например, два различных точных рациональных числа могут иметь одинаковое представление первого класса.
Следовательно, такая эквивалентность характеризует определённую нормативную неразличимость относительно выбранной операции.
Однако нельзя автоматически считать, что эквивалентные объекты допускают одинаковые результаты всех арифметических операций.
Для этого необходима дополнительная проверка.
Таким образом, отношение классовой эквивалентности должно рассматриваться как специальная математическая конструкция со своей областью применимости.
3.18. Классовая эквивалентность не всегда сохраняется при сложении
Рассмотрим первый класс точности.
В этом случае:
d = 10.
Пусть:
x = 0;
y = 3 · 10^(;11);
z = 8 · 10^(;11).
При усечении до десяти десятичных позиций получаем:
T_10(x) = 0;
T_10(y) = 0.
Следовательно:
x ~_1 y.
Однако после прибавления одного и того же числа z имеем:
T_10(x + z) = 0;
T_10(y + z) = 10^(;10).
Следовательно:
x + z не эквивалентно y + z относительно ~_1.
Таким образом, отношение совпадения усечённых представлений не сохраняется автоматически при сложении.
Это означает, что соответствующая эквивалентность не является конгруэнцией относительно обычного сложения рациональных чисел.
Данный результат имеет фундаментальное значение.
Он показывает, что совпадение конечных представлений не позволяет без дополнительных условий заменять один точный исходный объект другим внутри произвольных арифметических выражений.
Следовательно, классовая неразличимость не должна подменять математическое тождество в вычислительных процедурах.
Это положение необходимо учитывать при дальнейшем проектировании классовой арифметики.
3.19. Арифметические операции над конечными представлениями
Для дальнейшего развития математической системы необходимо определить правила выполнения арифметических операций над конечными представлениями.
Однако такая задача не решается автоматически введением классов точности.
Например, рассмотрим:
x = 1/6;
y = 1/6.
При усечении до десяти позиций:
T_10(x) = 0,1666666666;
T_10(y) = 0,1666666666.
Сложение конечных результатов даёт:
0,3333333332.
Но точная сумма исходных чисел равна:
x + y = 1/3.
Её усечённое представление первого класса:
T_10(x + y) = 0,3333333333.
Следовательно:
T_10(x) + T_10(y) ; T_10(x + y).
Таким образом, использование конечных представлений непосредственно влияет на результаты последующих вычислений.
Поэтому необходимо различать:
операцию над точными исходными числами с последующей экспликацией результата;
операцию над уже полученными конечными представлениями.
В общем случае эти процедуры могут давать разные значения.
Следовательно, разработка классовой арифметики требует самостоятельного определения правил операций, накопления погрешностей и допустимых преобразований.
Эта задача рассматривается в последующих главах настоящей части.
3.20. Полная конечная экспликация
Одним из центральных понятий является полная конечная экспликация относительно установленного класса.
Предлагается следующее рабочее определение.
Определение 3.3. Полная конечная экспликация класса n — фактически завершённое формирование предусмотренного нормативного представления математического объекта, содержащего ровно 10^n десятичных позиций и соответствующего объявленным правилам.
В данном определении необходимо подчеркнуть относительность понятия полноты.
Речь идёт о полноте представления определённого класса, а не об обязательном исчерпании всех математических характеристик исходного объекта.
Например, для рационального числа 1/3 можно сформировать полную конечную экспликацию первого класса.
Однако это не означает получения всей бесконечной десятичной последовательности числа.
Аналогичным образом можно сформировать представление второго класса.
Оно будет содержать сто позиций.
Но исходное число по-прежнему не исчерпывается соответствующей конечной десятичной записью.
Следовательно, необходимо различать:
полноту нормативного конечного результата;
точность исходного математического задания;
полноту всех возможных представлений объекта.
Последняя характеристика не должна автоматически предполагаться достижимой.
Таким образом, понятие полной конечной экспликации должно использоваться только с указанием класса и применённого нормативного профиля.
3.21. Обозначение, алгоритм и фактически полученный результат
Для научной определённости необходимо разграничить несколько способов представления математического объекта.
Символическое обозначение может точно задавать объект без выписывания его десятичной последовательности.
Например:
;.
Алгоритмическое представление может задавать процедуру вычисления необходимых значений.
Нормативная спецификация определяет требования к результату.
Фактически завершённая экспликация представляет собой уже полученную запись предусмотренной длины.
Эти формы не являются тождественными.
Например, наличие алгоритма вычисления десятичных цифр ; не означает, что фактически получена запись, содержащая 10^12 позиций.
Следовательно, математическая система должна различать статус определения и статус выполненного вычисления.
Особое значение имеет воспроизводимость.
Если результат объявлен полностью эксплицированным, необходимо установить возможность проверки соответствия заявленному классу.
При этом степень проверки может различаться.
Формальная проверка длины записи устанавливает количество позиций.
Но она не доказывает автоматически правильность всех цифр.
Следовательно, необходимы дополнительные математические и технические процедуры.
Таким образом, наличие математического алгоритма не должно отождествляться с фактом завершённой экспликации соответствующего результата.
3.22. Потенциально неограниченное довычисление
Авторская шкала допускает продолжение последовательности классов посредством увеличения номера n.
Это создаёт возможность постановки задач последовательного довычисления представлений.
Однако необходимо различать несколько операций.
Первая — увеличение нормативного класса.
Вторая — получение дополнительных десятичных позиций.
Третья — проверка соответствия нового результата исходному математическому объекту.
Четвёртая — сохранение отношений с ранее полученными представлениями.
В случае усечения возможна согласованность последовательных классов.
Однако для формирования более длинного представления необходимо иметь доступ к исходному объекту или достаточной информации о нём.
Например, на основании десятизначного усечённого представления числа 1/3 нельзя универсальным образом восстановить все последующие цифры произвольного исходного числа.
Но если исходный объект точно задан как 1/3, дополнительные позиции могут быть вычислены посредством деления.
Следовательно, довычисление предполагает не просто увеличение количества символов, а выполнение математически определённой процедуры.
Особенно важно различать потенциальную неограниченность последовательности вычислений и актуально завершённый результат каждого отдельного класса.
Таким образом, довычисление может рассматриваться как последовательность конечных нормативно определённых операций без необходимости постулировать фактическое завершение всей бесконечной последовательности результатов.
3.23. Алгоритмическая и ресурсная осуществимость
При увеличении номера класса быстро возрастает объём требуемого представления.
Следовательно, необходимо исследовать возможности технической реализации.
Однако нельзя считать, что количество десятичных позиций полностью определяет вычислительную сложность.
Последняя зависит также от исходного математического объекта и используемого алгоритма.
Например, для рационального числа 1/8 запись произвольно большого конечного класса может формироваться посредством добавления завершающих нулей.
Однако для получения новых цифр ; необходимо выполнять соответствующие математические вычисления.
Следовательно, различные объекты одного класса могут требовать существенно различающихся технических ресурсов.
Особое значение имеет раздельная оценка:
времени вычисления;
объёма памяти;
размера выходного представления;
возможности проверки результата;
условий повторного получения;
ограничений конкретной технической среды.
При этом ресурсная невозможность выполнить определённое вычисление в заданных условиях не является доказательством математической неопределённости исходного объекта.
Следовательно, класс точности должен сопровождаться самостоятельными ресурсными характеристиками.
В перспективе такая система может использоваться для разработки специализированных шкал технической эксплицируемости.
3.24. Ноотехнический паспорт результата экспликации
Для практической реализации предлагается разработать паспорт конечной математической экспликации.
В первоначальном варианте он должен включать:
идентификатор исходного математического объекта;
систему его определения;
класс экспликации;
количество десятичных позиций;
нормативное правило формирования;
нормативную редакцию;
математическое значение полученного результата;
фактическую десятичную запись;
сведения о математической погрешности;
используемый алгоритм;
сведения о технической реализации;
результаты проверок;
условия воспроизводства;
историю преобразований;
статус завершённости.
Особое значение имеет раздельное документирование точного объекта и результата его представления.
Например, паспорт записи:
0,3333333333
должен указывать, что она получена как представление исходного рационального числа 1/3 при определённом правиле.
Без таких сведений конечная запись может быть ошибочно интерпретирована как самостоятельное точное значение исходного объекта.
Следовательно, паспорт должен обеспечивать нормативную прослеживаемость математического происхождения результата.
При этом наличие паспорта не заменяет проверку правильности соответствующих вычислений.
3.25. Пример паспорта первого класса
Рассмотрим условную запись для числа:
x = 1/6.
Её основные характеристики могут быть представлены следующим образом.
Характеристика Значение
Исходный математический объект 1/6
Предметная область Рациональные числа
Система экспликации Конечная десятичная
Номер класса n = 1
Количество позиций d = 10
Операция Усечение по направлению к нулю
Математическое значение результата 0,1666666666
Нормативная запись 0,1666666666
Точное равенство исходному числу Не выполняется
Абсолютная погрешность 1/15000000000
Общая граница погрешности Меньше 10^(;10)
Нормативная редакция Проект 1.0
Статус технической реализации Подлежит отдельной регистрации
Данная запись иллюстрирует способ документирования результата.
При этом необходимо различать математические характеристики и результаты конкретных программных испытаний.
Например, абсолютная погрешность может быть вычислена точно посредством рациональной арифметики.
Но сведения о производительности конкретной программы требуют фактических измерений или испытаний.
Следовательно, паспорт не должен содержать неподтверждённых утверждений о технической осуществимости.
3.26. Контрольные примеры первого класса
Для первоначальной проверки предлагается использовать следующий набор математических объектов.
Исходное число Усечение до 10 позиций Округление до 10 позиций
1/3 0,3333333333 0,3333333333
1/6 0,1666666666 0,1666666667
;1/6 ;0,1666666666 ;0,1666666667
1/8 0,1250000000 0,1250000000
1/2 0,5000000000 0,5000000000
; 3,1415926535 3,1415926536
Данные примеры позволяют проверить несколько свойств.
Во-первых, правильность установленного количества позиций.
Во-вторых, различие усечения и округления.
В-третьих, обработку отрицательных чисел.
В-четвёртых, сохранение точных конечных десятичных значений.
В-пятых, формирование приближений математической константы.
Однако необходимо учитывать, что конечный набор примеров не доказывает универсальную корректность алгоритма.
Для такой задачи необходимы соответствующие математические обоснования.
Кроме того, профиль округления должен включать специальные граничные случаи.
Например, при точном равенстве расстояний до соседних десятичных значений необходимо использовать заранее установленное правило.
Следовательно, испытательная система должна включать не только обычные, но и специально подобранные контрольные объекты.
3.27. Нооиммунологический контроль экспликации
Для обеспечения нормативной определённости предлагается разработать специализированную процедуру нооиммунологической проверки.
Она должна включать несколько последовательных операций.
Первый этап — проверка исходного объекта.
Устанавливается допустимость его математического задания.
Второй этап — проверка класса.
Определяется соответствие номера n установленной области допустимых значений.
Третий этап — проверка количества позиций.
Устанавливается правильность применения формулы d = 10^n.
Четвёртый этап — проверка математической операции.
Исследуется соответствие результата установленному правилу усечения или округления.
Пятый этап — проверка нормативной записи.
Контролируется точное количество десятичных позиций.
Шестой этап — проверка происхождения.
Устанавливается связь результата с исходным объектом.
Седьмой этап — проверка нормативной редакции.
Исключается использование правил другой системы без специального указания.
Восьмой этап — регистрация заключения.
Фиксируются результат проверки и её ограничения.
Однако необходимо учитывать, что не все проверки обладают одинаковой математической природой.
Например, контроль длины записи представляет собой конечную формальную процедуру.
Но доказательство общего свойства математического алгоритма может требовать самостоятельного исследования.
Следовательно, результаты различных проверок должны документироваться раздельно.
3.28. Проект стандарта шкалы классов точности
Для дальнейшего развития предлагается разработать специализированный проект нооинженерного стандарта:
НСТ-НОО-01. «Шкала классов точности конечной десятичной экспликации математических объектов. Основные определения и нормативные требования».
В первоначальном варианте он должен устанавливать:
предметную область;
определение исходного математического объекта;
понятие конечной экспликации;
определение номера класса;
правило d = 10^n;
требования к нормативной записи;
допустимые профили операций;
математические критерии соответствия;
правила обработки отрицательных чисел и нуля;
условия межклассового преобразования;
требования к доказательственным материалам;
условия воспроизводства;
ограничения технической реализации;
структуру паспорта результата;
правила версионирования стандарта.
Однако данный документ представляет собой исследовательское предложение.
Он не является официально утверждённым стандартом.
Кроме того, его дальнейшее развитие должно учитывать возможность использования различных математических систем.
Например, аналогичные задачи могут рассматриваться для других оснований систем счисления.
Однако соответствующие шкалы должны иметь самостоятельные нормативные определения.
Следовательно, стандарт десятичной экспликации не должен автоматически распространяться на все возможные способы представления математических объектов.
3.29. Перспективы развития системы классов
Предложенная шкала открывает несколько направлений дальнейшего исследования.
Прежде всего необходимо разработать формальную теорию классовой определённости.
Она должна устанавливать условия принадлежности объектов и представлений соответствующим классам.
Затем требуется исследовать классовое тождество и классовую эквивалентность.
Особое значение имеет разграничение математического равенства исходных объектов и совпадения их конечных представлений.
Следующей задачей является разработка классовой арифметики.
Для этого необходимо определить операции над объектами различных классов, условия сохранения свойств и правила оценки погрешностей.
Далее потребуется исследовать межклассовые преобразования.
Они должны учитывать информационные ограничения и возможность восстановления исходных объектов.
Особое значение имеет построение нормативных математических координат, обеспечивающих одновременное использование различных классов.
Наконец, необходимо разработать специальную теорию потенциально неограниченного довычисления.
Она должна разграничивать математическую определённость алгоритма, фактически завершённую экспликацию и техническую осуществимость.
Таким образом, авторская шкала классов точности может рассматриваться как один из исходных компонентов более широкой системы математических ноотехнологий.
Однако научная ценность соответствующей программы должна подтверждаться конкретными определениями, теоремами, алгоритмами, испытаниями и воспроизводимыми результатами.
3.30. Основные результаты главы
В настоящей главе предложена первоначальная нормативная теория шкалы классов точности эксплицируемых математических объектов.
Установлено основное правило:
d = 10^n,
где n — номер класса, а d — количество десятичных цифр после запятой.
Показано, что первый класс предусматривает десять позиций, второй — сто, третий — тысячу, шестой — один миллион, двенадцатый — один триллион позиций.
Разграничены исходный математический объект, нормативный класс, операция экспликации и завершённая десятичная запись.
Предложено определение завершённого представления класса.
Рассмотрены операции усечения по направлению к нулю и округления до ближайшего значения.
Установлены соответствующие математические границы абсолютной погрешности.
На примерах рациональных чисел и ; показано различие между точным объектом и его конечным приближением.
Исследована межклассовая согласованность усечения.
Показано, что последовательное округление не всегда совпадает с непосредственным округлением.
Введено отношение классовой эквивалентности.
Установлено, что совпадение конечных представлений не означает математического равенства исходных объектов.
На специальном примере показано, что соответствующая эквивалентность не обязательно сохраняется при сложении.
Рассмотрены ограничения арифметических операций над конечными представлениями.
Предложено определение полной конечной экспликации относительно установленного класса.
Разграничены обозначение объекта, алгоритмическое представление и фактически завершённый результат.
Рассмотрены потенциально неограниченное довычисление и ресурсные ограничения.
Предложены первоначальные требования к паспорту экспликации, системе контрольных примеров и нооиммунологическим процедурам.
Разработаны основные положения проекта ноостандарта НСТ-НОО-01.
Таким образом, шкала классов точности эксплицируемых математических объектов рассматривается как нормативно определённая система формирования и классификации конечных десятичных представлений, способная служить основанием для разработки специализированных методов классового сравнения, вычисления и межсистемного сопряжения математических объектов.
При этом необходимо сохранить фундаментальное разграничение:
точный математический объект не тождествен его конечному приближению; нормативная завершённость представления не означает завершённости всех возможных экспликаций; существование алгоритма не означает фактического выполнения предусмотренного вычисления.
Именно эти положения создают основу для дальнейшего исследования полной конечной экспликации, способов обозначения математических объектов, алгоритмического представления, классовой определённости и классового тождества.
Данные вопросы составляют предмет последующих глав настоящей части монографии.
*****
Глава 4. Полная конечная экспликация, обозначение объекта и алгоритмическое представление
4.1. Проблема экспликации математических объектов
В предыдущих главах настоящей части монографии были рассмотрены теоретические основания классификации математических объектов, общая типология математических шкал и авторская шкала классов точности конечной экспликации.
Особое внимание было уделено различию между математическим объектом, его определением, способом задания и конкретным представлением.
Однако для построения полноценной математической технологии необходимо исследовать, при каких условиях представление считается завершённым.
Например, точное рациональное число 1/3 может быть задано конечным символическим выражением.
В то же время его обычная десятичная запись является бесконечной периодической последовательностью.
Следовательно, точная математическая определённость числа не означает наличия завершённой конечной записи всех его десятичных цифр.
Обратная ситуация возникает при наличии определённого вычислительного алгоритма.
Можно задать процедуру формирования большого конечного количества десятичных позиций.
Однако само существование такой процедуры ещё не означает фактического получения предусмотренного результата.
Следовательно, необходимо различать математическое определение объекта, алгоритмическую возможность вычисления и завершённую экспликацию определённого класса.
Для решения этой задачи предлагается разработать специальную теорию полной конечной экспликации математических объектов.
Её предметом должны стать условия нормативного задания, получения, проверки и регистрации конечных представлений.
При этом понятие полноты необходимо использовать относительно конкретной системы требований.
Полная конечная экспликация первого класса не означает полного раскрытия всех математических свойств исходного объекта.
Она означает завершение определённой нормативной процедуры.
4.2. Историко-методологические основания
В авторской теории ментальных объектов, разработанной в 1990-х годах и представленной в «Пролегоменах к инновационной войне по основаниям гармонической математики» 2002 года, особое значение имеет различие между содержанием, объёмом и составом понятия.
В рамках этой теории проблема состава связывается с условиями актуализации или конструктивного порождения элементов соответствующей ментальной системы.
Такой подход создаёт методологическую предпосылку для исследования различных способов определения и представления математических объектов.
Однако необходимо разграничивать исходное гносеологическое понятие состава и специальную инженерную категорию полной конечной экспликации.
В настоящей главе последняя рассматривается применительно к нормативно заданному конечному результату.
Например, если требуется получить десятичную запись, содержащую сто позиций после запятой, необходимо определить, выполнено ли именно это требование.
При этом вопрос о математической природе исходного числа представляет самостоятельную задачу.
Аналогичным образом не следует автоматически отождествлять формальную возможность порождения последовательности с фактическим завершением конкретного вычисления.
Следовательно, теория полной конечной экспликации должна развиваться как специальный ноотехнический раздел, дополняющий исходную концепцию ментальных объектов операционными определениями.
Её научное содержание определяется не только философской интерпретацией математических конструкций, но и наличием проверяемых правил формирования результатов.
4.3. Основные понятия теории экспликации
Для дальнейшего исследования предлагается разграничить несколько фундаментальных понятий.
Математический объект — конструкция, определённая в установленной математической системе.
Обозначение объекта — символическая запись, используемая для его идентификации.
Определение объекта — система условий, устанавливающих его математическую предметность.
Алгоритмическое задание — определённая вычислительная процедура, предназначенная для получения необходимых характеристик или представлений.
Нормативная экспликация — формирование представления по установленным правилам.
Частичная экспликация — полученный фрагмент предусмотренного представления.
Полная конечная экспликация — фактически завершённое формирование конечного результата, отвечающего определённой нормативной спецификации.
Проверенная экспликация — результат, соответствие которого установленным требованиям подтверждено указанными методами.
При этом необходимо учитывать, что завершённость получения результата и его проверенность представляют собой разные характеристики.
Например, программа может сформировать файл из требуемого количества цифр.
Однако ещё необходимо установить, правильно ли вычислены эти цифры.
Следовательно, полнота записи не заменяет математической корректности.
И наоборот, наличие доказанного алгоритма не означает, что вычисление уже выполнено в необходимом объёме.
Таким образом, теория экспликации должна предусматривать несколько независимых статусов объекта и результата.
4.4. Шкала классов как нормативная основа экспликации
В авторской шкале классов точности количество десятичных позиций устанавливается посредством правила:
d; = 10^n,
где n — положительный целый номер класса.
Следовательно:
класс 1 — 10 десятичных позиций;
класс 2 — 100 позиций;
класс 3 — 1 000 позиций;
класс 6 — 1 000 000 позиций;
класс 12 — 10^12 позиций.
Для дальнейшей математической работы удобно ввести дополнительные обозначения.
Пусть:
B; = 10^(d;) = 10^(10^n)
и
h; = 1/B; = 10^(;10^n).
Здесь B; представляет собой масштабный множитель, а h; — шаг конечной десятичной сетки соответствующего класса.
Например, для первого класса:
d; = 10;
B; = 10^10;
h; = 10^(;10).
Следует подчеркнуть принципиальное различие между величинами 10^n и 10^(10^n).
Первая определяет количество десятичных позиций.
Вторая используется для масштабирования числового значения при математическом описании соответствующих представлений.
Смешение данных величин способно привести к серьёзной ошибке в формальной спецификации.
Следовательно, для дальнейших вычислений необходимо сохранять их разные обозначения.
4.5. Полная конечная экспликация: рабочее определение
Предлагается следующее определение.
Определение 4.1. Полная конечная экспликация математического объекта относительно класса n и нормативного профиля P — фактически завершённый результат формирования конечного представления данного объекта, соответствующий установленным требованиям к количеству позиций, математической операции и форме записи.
В данном определении существенны четыре элемента.
Первый — исходный математический объект.
Второй — установленный класс экспликации.
Третий — нормативный профиль, определяющий способ формирования результата.
Четвёртый — фактическое завершение предусмотренной процедуры.
Например, если требуется сформировать десятичное представление первого класса посредством усечения, необходимо получить ровно десять позиций после запятой.
При этом запись должна соответствовать математическому правилу усечения.
Однако необходимо различать полную экспликацию и универсальную математическую определённость.
Точное число может существовать в соответствующей математической системе независимо от наличия завершённого десятичного представления определённого класса.
Следовательно, полнота экспликации является относительной нормативной характеристикой результата, а не универсальным свойством математического бытия объекта.
4.6. Пять состояний экспликационного процесса
Для практической организации предлагается различать следующие состояния.
1. Математическая определённость.
Исходный объект задан в установленной математической системе.
2. Алгоритмическая обеспеченность.
Определена процедура получения требуемого представления.
3. Техническая реализованность.
Создано средство, предназначенное для выполнения данной процедуры.
4. Фактическая завершённость.
Получено представление предусмотренного класса.
5. Подтверждённая корректность.
Выполнены необходимые проверки результата в установленной области.
Однако перечисленные состояния не всегда образуют простую линейную последовательность.
Например, математическая корректность алгоритма может быть доказана до создания программной реализации.
А часть контрольных процедур может выполняться непосредственно в ходе вычисления.
Особое значение имеет разграничение положительного доказательственного заключения и факта завершения конкретного результата.
Например, доказательство корректности алгоритма вычисления рациональных дробей не означает, что автоматически сформированы все возможные десятичные представления.
Следовательно, состояние математической теории и состояние конкретной технической реализации должны регистрироваться раздельно.
4.7. Обозначение математического объекта
Обозначение предназначено для идентификации определённой математической конструкции.
Например:
1/3;
;;
;2;
10^(10^12).
Каждое из этих выражений может быть конечной символической записью.
Однако конечность обозначения не означает конечности любой формы экспликации обозначаемого объекта.
Например, запись ; содержит один основной символ.
Но обычное десятичное развитие соответствующего числа бесконечно.
А выражение 10^(10^12) представляет собой конечное целое число, полная десятичная запись которого содержит чрезвычайно большое количество цифр.
Следовательно, необходимо различать длину обозначения и объём развёрнутого представления.
Особое значение имеет возможность точного символического задания без последующего вычисления всех цифр.
Такое задание может быть математически полным в отношении определения объекта, но не являться полной экспликацией его десятичной записи заданного класса.
Таким образом, обозначение и экспликация выполняют разные конструктивные функции.
4.8. Точная символическая запись и приближённое представление
Рассмотрим точное рациональное число:
x = 1/3.
Его запись в виде отношения целых чисел является конечной и математически точной.
При использовании первого класса и правила усечения получаем:
T;(x) = 0,3333333333.
Однако:
1/3 ; 0,3333333333.
Следовательно, конечное представление является приближением исходного рационального числа.
В другом случае рассмотрим:
x = 1/8.
При использовании первого класса:
T;(x) = 0,1250000000.
Здесь числовое значение представления точно совпадает с исходным рациональным числом.
Следовательно, один класс экспликации может содержать как точные, так и приближённые представления.
Из этого следует важное положение.
Количество предусмотренных десятичных позиций не является самостоятельным критерием точного равенства результата исходному математическому объекту.
Для такого заключения необходимо исследовать математическое отношение между объектом и его представлением.
4.9. Каноническая форма десятичной записи
Для обеспечения воспроизводимости необходимо установить правила формирования канонической записи.
В первоначальном варианте предлагается использовать следующие условия.
Числовое значение записывается в десятичной системе счисления.
Целая часть представляется обычной десятичной записью.
После неё устанавливается определённый десятичный разделитель.
Далее размещается ровно d; цифр.
Если математическое значение имеет меньшее количество ненулевых десятичных позиций, необходимые места заполняются нулями.
Знак отрицательного числа фиксируется отдельно.
Для нулевого значения устанавливается единая каноническая запись без отрицательного знака.
Например, для первого класса:
0,0000000000;
0,1250000000;
;0,1666666666.
При этом выбор запятой или точки в качестве десятичного разделителя представляет собой дополнительное форматное решение.
Оно должно быть зафиксировано в соответствующей спецификации.
Особое значение имеет различие между числовым значением и текстовым объектом.
Записи 0,5 и 0,5000000000 обозначают одно рациональное число, но не являются буквенно-символьно тождественными.
Следовательно, правила канонизации необходимы для проверки именно нормативной формы представления.
4.10. Алгоритмическая экспликация рациональных чисел
Для рациональных чисел возможно построение точного алгоритма конечной десятичной экспликации.
Пусть:
x = p/q,
где p и q — целые числа, q > 0.
Пусть:
d = d; = 10^n
и
B = 10^d.
Для операции усечения по направлению к нулю определим:
k = floor(|p| · B / q).
Тогда математическое значение результата равно:
T;(x) = sgn(p) · k/B.
Для практической реализации можно использовать точное целочисленное деление.
Оно позволяет получить целое число k без предварительного преобразования исходного рационального объекта в приближённый машинный формат.
Однако полученное значение ещё необходимо представить в виде десятичной записи с ровно d позициями.
Следовательно, алгоритм должен включать две функционально различные процедуры.
Первая — точное вычисление целочисленного коэффициента.
Вторая — формирование нормативной записи результата.
Такое разграничение позволяет независимо проверять математическую и форматную корректность.
4.11. Деление с остатком как средство проверки
Для точного рационального числа можно использовать алгоритм деления с остатком.
Пусть:
|p| · B = qk + r,
где:
0 ; r < q.
Тогда:
k = floor(|p| · B/q).
Следовательно, результат усечения определяется однозначно.
При этом абсолютная погрешность имеет точное рациональное значение:
|x ; T;(x)| = r/(qB).
Из условия r < q следует:
|x ; T;(x)| < 1/B = 10^(;d).
Таким образом, корректность математического результата может проверяться посредством целочисленных соотношений.
Особое значение имеет возможность использования этих отношений в качестве проверочного свидетельства.
Например, система может сохранять значения p, q, k и r, необходимые для независимой проверки.
Однако такое свидетельство не заменяет контроль правильности нормативной записи.
Следовательно, проверка полной конечной экспликации должна включать как математические, так и форматные условия.
4.12. Условия точного конечного десятичного представления рационального числа
Не всякое рациональное число имеет точное конечное десятичное представление.
Пусть рациональное число записано в несократимом виде:
x = p/q,
где q > 0 и gcd(|p|, q) = 1.
Тогда оно имеет точную конечную десятичную запись тогда и только тогда, когда простой разложение знаменателя содержит только множители 2 и 5.
Иными словами:
q = 2^a · 5^b
для некоторых неотрицательных целых a и b.
Это следует из того, что десятичное число с d позициями может быть представлено рациональным числом со знаменателем 10^d.
Например:
1/8 = 0,125.
Поскольку:
8 = 2^3,
точное конечное десятичное представление существует.
Напротив:
1/3
не имеет точной конечной десятичной записи, поскольку знаменатель содержит простой множитель 3.
Следовательно, завершённая экспликация определённого класса может быть математически точной или приближённой.
При этом необходимость приближения зависит от исходного рационального объекта.
Таким образом, математическое свойство конечной десятичной представимости следует отличать от нормативной длины записи.
4.13. Алгоритмический генератор и готовый результат
Одной из принципиальных проблем является разграничение программы, способной породить представление, и самого представления.
Например, может существовать алгоритм вычисления миллиона десятичных цифр определённого числа.
Однако программа как конечный текст ещё не представляет собой фактически сформированный миллионозначный результат.
Следовательно, необходимо различать:
алгоритмический генератор;
задание параметров генерации;
процесс выполнения;
полученный результат;
проверенный результат.
Особое значение имеют технологии потокового вычисления.
В некоторых случаях цифры могут порождаться последовательно без сохранения всей записи в оперативной памяти.
Однако для признания экспликации завершённой необходимо установить, что предусмотренный объём действительно сформирован согласно требованиям.
Если нормативный результат должен существовать как целостный архивный файл, одного последовательного показа отдельных цифр может быть недостаточно.
Если стандарт допускает потоковую форму завершения, необходимо определить соответствующие условия.
Следовательно, способ технического существования завершённого представления является самостоятельным предметом нормативной спецификации.
4.14. Сжатое представление и полная экспликация
Некоторые математические конструкции допускают очень короткие алгоритмические или символические представления при огромном объёме развёрнутого результата.
Например, последовательность из триллиона нулей может быть задана коротким выражением, определяющим повторение символа.
Однако такое выражение не содержит триллион явным образом записанных цифр.
Следовательно, необходимо различать сжатое описание и развёрнутую экспликацию.
При этом нельзя считать сжатую форму математически некорректной.
Она может быть точным способом задания соответствующей последовательности.
Однако её нормативный статус зависит от поставленной задачи.
Если требуется получить именно полную развёрнутую запись, необходимо выполнить соответствующую процедуру.
Если же допускается математически эквивалентное сжатое представление, данное условие должно быть установлено заранее.
Особое значение имеет возможность проверки эквивалентности.
Например, программа распаковки должна обеспечивать получение предусмотренной последовательности.
Однако наличие такого алгоритма не означает фактического выполнения распаковки.
Таким образом, сжатое и развёрнутое представления могут быть связаны строго определённым преобразованием, но не должны автоматически отождествляться как технические результаты.
4.15. Экспликация иррациональных чисел
Особую задачу представляет формирование конечных представлений иррациональных чисел.
Например, число ; является математически определённым объектом.
Однако его десятичная запись бесконечна и непериодична.
Для получения представления первого класса необходимо вычислить соответствующие цифры и выполнить выбранную операцию.
При усечении:
T;(;) = 3,1415926535.
При округлении:
R;(;) = 3,1415926536.
Однако корректность такого результата должна опираться на соответствующее математическое основание.
Например, можно использовать проверенные оценки, позволяющие однозначно определить необходимые десятичные позиции.
Следовательно, алгоритм приближённого вычисления должен сопровождаться контролем достаточности полученной информации.
Особенно важно учитывать граничные случаи округления.
Если вычисленное приближение не позволяет установить, по какую сторону от границы округления находится исходное число, процедура не должна произвольно выбирать результат.
В таком случае требуется дополнительное вычисление или специальное математическое обоснование.
Следовательно, для иррациональных объектов особое значение приобретает доказуемость правильности конечной экспликации.
4.16. Потенциально неограниченное довычисление
Авторская система классов допускает последовательное увеличение количества десятичных позиций.
Если номер класса увеличивается, возрастает длина предусмотренного представления.
В результате возникает возможность перехода:
класс 1 ; класс 2 ; класс 3 ; …
Однако следует различать математическую определённость последовательности классов и фактическое выполнение соответствующих вычислений.
Для каждого фиксированного положительного целого n количество позиций:
d; = 10^n
является конечным.
Но из этого не следует, что все представления всех классов фактически сформированы.
Следовательно, потенциально неограниченное довычисление можно рассматривать как возможность последовательного выполнения новых конечных задач.
Особое значение имеет сохранение исходного математического объекта.
Например, десятизначного усечённого представления недостаточно для универсального восстановления всех последующих цифр.
Однако если исходное рациональное число задано точно, можно выполнить новые вычисления.
Следовательно, технология довычисления должна учитывать наличие исходного математического задания, а не только прежней конечной записи.
Таким образом, неограниченная продолжимость последовательности нормативных задач не означает актуально завершённого существования всех соответствующих технических результатов.
4.17. Формальная конечность и ресурсная осуществимость
В системе классов точности особенно важно различать математическую конечность и физическую осуществимость.
Например, для класса:
n = 12
количество десятичных позиций составляет:
d;; = 10^12.
Такое количество является конечным натуральным числом.
Однако формирование соответствующей записи предполагает получение одного триллиона десятичных цифр.
При обычном несжатом символьном представлении это требует значительного объёма хранения или передачи информации.
Следовательно, необходимо учитывать технические ограничения.
Однако нельзя делать вывод о математической бесконечности объекта только вследствие высокой ресурсной стоимости его экспликации.
Необходимо различать:
математически конечный объём результата;
алгоритмическую осуществимость вычисления;
ресурсную доступность конкретной реализации;
фактически завершённый результат;
степень его проверенности.
Эти характеристики должны регистрироваться отдельно.
Особое значение имеет возможность использования различных технических архитектур.
Например, потоковые вычисления способны уменьшать требования к оперативной памяти, но не отменяют необходимости сформировать предусмотренное количество выходных символов, если именно они требуются стандартом.
Таким образом, ресурсная осуществимость является самостоятельным ноотехническим показателем.
4.18. Статусы результата экспликации
Для практической организации предлагается использовать несколько нормативных статусов.
Объект определён — исходная математическая конструкция задана.
Алгоритм определён — установлена процедура формирования представления.
Реализация разработана — создано техническое средство выполнения процедуры.
Экспликация начата — осуществляется формирование результата.
Экспликация завершена — предусмотренный результат фактически получен.
Формат проверен — подтверждено соответствие форме записи.
Математическая корректность подтверждена — выполнена предусмотренная проверка значения или доказательство соответствующего свойства.
Репродуктивность подтверждена — установлена возможность повторного получения результата в объявленных условиях.
При этом необходимо различать проверку конкретного результата и доказательство универсальных свойств алгоритма.
Например, успешное формирование одной записи не доказывает корректность программы для всех допустимых входных данных.
Следовательно, документирование должно включать указание области подтверждения.
Таким образом, система статусов обеспечивает разделение математической, вычислительной и нормативной завершённости.
4.19. Паспорт полной конечной экспликации
Для практического применения предлагается разработать специальный паспорт.
Он должен включать:
идентификатор исходного математического объекта;
систему его определения;
нормативный класс;
количество десятичных позиций;
правило формирования результата;
идентификатор алгоритма;
идентификатор технической реализации;
нормативную редакцию;
математическое значение конечного результата;
фактическую запись;
сведения о погрешности;
статус завершённости;
результаты форматной проверки;
результаты математической проверки;
условия воспроизводства;
известные ограничения;
историю изменений.
Однако наличие паспорта не заменяет фактического получения соответствующего результата.
Его назначение состоит в документировании определённого состояния.
Особенно важно разграничивать ожидаемые и полученные характеристики.
Например, в проектном задании может быть предусмотрено формирование миллиона десятичных позиций.
Однако до фактического завершения вычисления соответствующий результат должен иметь статус планируемого.
Следовательно, паспорт должен обеспечивать объективную регистрацию доказательственного и технического состояния.
4.20. Основные результаты главы
В настоящей главе предложено определение полной конечной экспликации математического объекта относительно заданного класса и нормативного профиля.
Разграничены математический объект, обозначение, определение, алгоритмическое задание, техническая реализация и фактически полученный результат.
Введены обозначения:
d; = 10^n;
B; = 10^(10^n);
h; = 10^(;10^n).
Рассмотрены принципы канонического формирования десятичных записей.
Разработана точная схема усечения рациональных чисел на основе целочисленного деления.
Показана возможность математической проверки результата посредством деления с остатком.
Установлены условия точной конечной десятичной представимости рациональных чисел.
Разграничены алгоритмический генератор и завершённая экспликация.
Исследованы отношения между сжатыми и развёрнутыми представлениями.
Рассмотрены особенности экспликации иррациональных чисел.
Показано различие между потенциально неограниченным довычислением и фактически завершённым результатом.
Предложена система статусов и первоначальная структура паспорта экспликации.
Таким образом, полная конечная экспликация рассматривается как нормативно определённое и фактически завершённое формирование конечного представления математического объекта, отличное как от самого объекта, так и от алгоритма его вычисления.
Это создаёт основу для исследования классовой определённости, тождества и правил сравнения.
Глава 5. Классовая определённость, классовое тождество и правила сравнения
5.1. Проблема тождества математических объектов различных классов
В предыдущей главе были рассмотрены условия полной конечной экспликации математических объектов.
Показано, что одно точное число может иметь несколько нормативно различных представлений.
Следовательно, возникает необходимость определить правила их сравнения.
Особенно важно разграничить математическое равенство исходных объектов и совпадение результатов их конечной экспликации.
Например, два различных рациональных числа способны иметь одинаковые десятичные представления определённого класса.
В таком случае соответствующие результаты не позволяют различить исходные объекты.
Однако это не означает, что объекты становятся математически тождественными.
Следовательно, необходима специальная система отношений, учитывающая класс и нормативное правило представления.
Для её разработки предлагается использовать понятия классовой определённости, классового тождества и классовой эквивалентности.
При этом термин «тождество» должен применяться с обязательным уточнением его нормативного смысла.
Математическое равенство не должно подменяться отношением совпадения приближений.
Следовательно, требуется разработать формальную систему классово-относительного сравнения.
5.2. Классовая определённость
Предлагается следующее рабочее определение.
Определение 5.1. Классовая определённость математического представления — установленность его принадлежности конкретному нормативному классу на основании соответствия требованиям к количеству позиций, способу формирования и редакции правил.
В данном определении необходимо различать два вопроса.
Первый — относится ли представление к определённому классу по своей форме.
Второй — получено ли оно математически правильно по установленной операции.
Например, запись:
0,3333333333
содержит десять десятичных позиций.
Следовательно, по формату она соответствует первому классу.
Однако для признания её корректным представлением числа 1/3 необходимо дополнительно указать правило экспликации.
При усечении результат соответствует спецификации.
Но если заявлена другая операция, требуется самостоятельная проверка.
Следовательно, классовая определённость должна включать не только количественную характеристику, но и нормативный контекст.
Особое значение имеет идентификация исходного математического объекта.
Без неё конечная запись не обязательно позволяет установить, для какого числа она была сформирована.
Таким образом, классовая определённость является характеристикой нормативного представления и его происхождения.
5.3. Уровни математического тождества
Для дальнейшего исследования необходимо различать несколько отношений.
Точное математическое равенство устанавливает совпадение исходных числовых значений в определённой математической системе.
Равенство числовых значений представлений означает, что две конечные записи обозначают одно число.
Буквенное тождество записей означает совпадение последовательностей символов.
Классовая эквивалентность исходных объектов означает совпадение их представлений установленного класса при определённом нормативном правиле.
Нормативное тождество редакций связано с использованием одних и тех же обязательных определений и правил.
Эти отношения нельзя автоматически отождествлять.
Например:
1/2 = 0,5.
Оба обозначения могут представлять одно рациональное число.
Однако они не являются одинаковыми символьными записями.
А записи:
0,5
и
0,5000000000
имеют одинаковое числовое значение, но различаются по формату.
Следовательно, при сравнении необходимо указывать, какое именно отношение рассматривается.
Таким образом, тождество является нормативно и предметно определённым отношением, а не универсальной характеристикой совпадения любых способов записи.
5.4. Математическое равенство исходных объектов
Рассмотрим рациональные числа:
x = 1/3
и
y = 2/6.
В обычной рациональной арифметике:
x = y.
Следовательно, перед нами два обозначения одного математического значения.
Их конечные десятичные представления при одинаковом нормативном правиле также совпадают.
Однако обратное утверждение не обязательно выполняется.
Совпадение конечных представлений не гарантирует точного равенства исходных рациональных чисел.
Следовательно, необходимо различать прямое следствие:
x = y ; T;(x) = T;(y)
и обратное утверждение:
T;(x) = T;(y) ; x = y.
Первое верно для однозначно определённой операции T;.
Второе в общем случае ложно.
Таким образом, классовая экспликация способна сохранять равенство, но не обязана сохранять различимость всех исходных объектов.
Это обстоятельство имеет фундаментальное значение для математической теории классовых представлений.
5.5. Определение классовой эквивалентности
Пусть:
d; = 10^n
и
T;(x) = sgn(x) · floor(|x| · 10^(d;)) / 10^(d;).
Для соответствующей предметной области предлагается ввести отношение:
x ~; y ; T;(x) = T;(y).
Предлагается следующее определение.
Определение 5.2. Классовая эквивалентность объектов относительно класса n и операции усечения — отношение совпадения математических значений их усечённых представлений соответствующего класса.
В данном определении особенно важно указание операции.
Если вместо усечения используется округление, возникает другое отношение.
Следовательно, в общем случае необходимо обозначать нормативный профиль.
Например:
x ~;,T y
или
x ~;,R y.
Первое отношение устанавливает совпадение результатов усечения.
Второе — совпадение результатов округления.
При этом математические свойства соответствующих отношений требуют самостоятельного исследования.
Следовательно, термин «классовое тождество» целесообразно использовать только как сокращённое обозначение строго определённой классовой эквивалентности.
Он не должен заменять обычное математическое равенство.
5.6. Классовая эквивалентность как отношение эквивалентности
Для операции усечения рассмотрим отношение:
x ~; y ; T;(x) = T;(y).
Оно обладает тремя основными свойствами.
Рефлексивность.
Для любого допустимого x:
T;(x) = T;(x).
Следовательно:
x ~; x.
Симметричность.
Если:
T;(x) = T;(y),
то:
T;(y) = T;(x).
Следовательно:
x ~; y ; y ~; x.
Транзитивность.
Если:
T;(x) = T;(y)
и
T;(y) = T;(z),
то:
T;(x) = T;(z).
Следовательно:
x ~; y и y ~; z ; x ~; z.
Таким образом, отношение классовой эквивалентности является математическим отношением эквивалентности.
Однако из этого не следует, что оно сохраняется при всех арифметических операциях.
Соответствующий вопрос требует самостоятельного исследования.
5.7. Пример классовой эквивалентности различных рациональных чисел
Рассмотрим точные рациональные числа:
x = 1/3
и
y = 1/3 + 10^(;12).
Очевидно:
x ; y.
Однако при использовании первого класса точности:
d; = 10.
Применение операции усечения даёт:
T;(x) = 0,3333333333;
T;(y) = 0,3333333333.
Следовательно:
x ~; y.
Таким образом, два различных точных рациональных числа являются эквивалентными относительно выбранного класса.
Однако из этого не следует их математическое тождество.
Различие между ними сохраняется в исходной рациональной арифметике.
Следовательно, классовая эквивалентность характеризует ограниченную различающую способность конкретной технологии представления.
Такое отношение может использоваться в определённых инженерных задачах.
Однако его нельзя применять вместо точного равенства без специального нормативного основания.
5.8. Классы эквивалентности усечения
Для более глубокого исследования рассмотрим шаг:
h; = 10^(;10^n).
Математические значения завершённых представлений образуют сетку:
D; = {k · h; : k ; Z}.
Для каждого значения этой сетки можно определить совокупность исходных чисел, которые при усечении дают соответствующий результат.
Однако необходимо учитывать знак.
Если k > 0, то:
T;(x) = k · h;
тогда и только тогда, когда:
k · h; ; x < (k + 1) · h;.
Если k < 0, то:
T;(x) = k · h;
тогда и только тогда, когда:
(k ; 1) · h; < x ; k · h;.
Для нулевого результата:
T;(x) = 0
тогда и только тогда, когда:
;h; < x < h;.
Следовательно, классы эквивалентности имеют интервальную структуру.
При этом нулевой класс охватывает значения обоих знаков.
Это обстоятельство необходимо учитывать при сравнении.
Например, два числа могут иметь одинаковое нулевое представление, но обладать противоположными знаками в исходной математической системе.
Таким образом, классовая эквивалентность не должна автоматически использоваться для установления знака исходного числа.
5.9. Различающая способность класса
Из интервального характера классовой эквивалентности следует, что конечное представление не всегда позволяет установить точное исходное значение.
Например, усечённый результат:
0,3333333333
соответствует целой области положительных действительных чисел.
Следовательно, он не определяет исходный объект единственным образом.
Однако при увеличении класса соответствующие интервалы становятся меньше.
Для класса n шаг составляет:
h; = 10^(;10^n).
Для следующего класса:
h;;; = 10^(;10^(n+1)).
Следовательно, с увеличением n шаг уменьшается.
При этом необходимо различать более высокую различающую способность и фактическую завершённость вычисления.
Математически можно определить произвольно высокий класс.
Однако его техническое представление может ещё не быть получено.
Таким образом, различающая способность является нормативно-математической характеристикой класса, а не автоматическим свидетельством завершённого вычисления.
5.10. Межклассовое уточнение эквивалентности
Рассмотрим два класса:
n < m.
Тогда:
d; < d;.
Для операции усечения выполняется:
T;(T;(x)) = T;(x).
Следовательно, если два исходных числа имеют одинаковые представления более высокого класса:
T;(x) = T;(y),
то их представления более низкого класса также совпадают:
T;(x) = T;(y).
Таким образом:
x ~; y ; x ~; y.
Следовательно, классовая эквивалентность более высокого класса представляет собой уточнение эквивалентности более низкого класса.
Однако обратное утверждение в общем случае неверно.
Два числа могут быть неразличимыми в первом классе, но различимыми во втором.
Следовательно, последовательность классов допускает нормативно определённое повышение различающей способности.
При этом данное свойство относится к согласованной системе усечения.
Для других операций необходимо отдельно исследовать соответствующие отношения.
5.11. Различимость точных объектов при неограниченном повышении класса
Для математического исследования можно поставить следующий вопрос.
Если два действительных числа имеют одинаковые усечённые представления всех классов, обязательно ли они равны?
Пусть:
T;(x) = T;(y)
для каждого положительного целого n.
Для операции усечения выполняются оценки:
|x ; T;(x)| < h;
и
|y ; T;(y)| < h;.
Следовательно:
|x ; y| ; |x ; T;(x)| + |T;(y) ; y| < 2h;.
Поскольку:
h; = 10^(;10^n) ; 0
при неограниченном увеличении n, получаем:
|x ; y| = 0.
Следовательно:
x = y.
Таким образом, математически выполняется соотношение:
x = y ; x ~; y для всех n ; 1.
Однако необходимо подчеркнуть, что данное положение относится к математической системе бесконечно продолжаемой последовательности классов.
Оно не предполагает фактического выполнения бесконечного числа вычислений.
Следовательно, математическая различимость в системе всех классов не должна отождествляться с технической возможностью завершить все соответствующие экспликации.
5.12. Классовое равенство и закон строгого тождества
В гармонической логике автора закон строгого тождества требует сохранения содержания, объёма и состава понятия в пределах соответствующего рассуждения.
Для теории классовой эквивалентности этот принцип приобретает существенное методологическое значение.
Если используется точное математическое равенство, оно не должно неявно заменяться совпадением приближённых представлений.
Например:
x ~; y
не означает:
x = y.
Следовательно, необходимо использовать разные обозначения.
Особое значение имеет фиксация нормативного контекста.
В одном вычислении может использоваться первый класс.
В другом — второй.
Если соответствующие результаты сравниваются без указания класса, возникает опасность смысловой подмены.
Однако классовая эквивалентность не противоречит самому принципу строгого тождества при условии, что она рассматривается как самостоятельное отношение.
Следовательно, необходимо разграничивать строгое математическое тождество и нормативно определённую классовую неразличимость.
Именно такое разграничение обеспечивает возможность разработки инженерных технологий конечного представления без подмены исходных математических объектов.
5.13. Классовый порядок
Для дальнейшего исследования необходимо определить возможность сравнения исходных чисел по их конечным представлениям.
Пусть используется операция усечения.
Она является монотонной:
x ; y ; T;(x) ; T;(y).
Следовательно, если:
T;(x) < T;(y),
то обязательно:
x < y.
Однако обратное утверждение не выполняется в общем случае.
Возможно:
x < y,
но:
T;(x) = T;(y).
Следовательно, конечное представление может не различать близкие исходные значения.
Таким образом, предлагается различать:
подтверждённое классовое различие — когда представления различаются;
классовую неразличимость — когда представления совпадают.
При этом второе не означает математического равенства.
Особое значение имеет возможность использования интервалов неопределённости исходного значения.
Для каждой усечённой записи можно установить соответствующую область исходных чисел.
Следовательно, сравнение может опираться не только на сами записи, но и на математические ограничения исходных объектов.
5.14. Сравнение на основании интервалов допустимых значений
Если точные исходные числа неизвестны, но имеются их конечные представления, необходимо учитывать ограничения соответствующей информации.
Пусть для первого числа установлено:
x ; I;.
Для второго:
y ; I;.
Тогда можно исследовать отношения между соответствующими интервалами.
Если верхняя граница области I; меньше нижней границы области I;, то устанавливается:
x < y.
Если интервалы пересекаются, имеющейся информации может оказаться недостаточно для точного сравнения.
Однако пересечение интервалов не означает математического равенства чисел.
Следовательно, результат должен получать специальный статус.
Например:
«Строгий порядок подтверждён».
Или:
«Представленных данных недостаточно для установления порядка».
Особое значение имеет корректность интервалов.
Они должны содержать все возможные исходные значения, совместимые с полученным представлением и нормативной операцией.
Следовательно, интервальные методы могут выступать важным дополнением к системе классовой экспликации.
5.15. Классовая эквивалентность и сложение
Одной из фундаментальных задач является проверка сохранения классовой эквивалентности при арифметических операциях.
Рассмотрим первый класс.
Тогда:
h; = 10^(;10).
Пусть:
x = 0;
y = 3 · 10^(;11);
z = 8 · 10^(;11).
При усечении до десяти позиций:
T;(x) = 0;
T;(y) = 0.
Следовательно:
x ~; y.
Однако после прибавления одного и того же числа z получаем:
T;(x + z) = 0;
T;(y + z) = 10^(;10).
Следовательно:
x + z не эквивалентно y + z относительно первого класса.
Таким образом, отношение классовой эквивалентности не сохраняется автоматически при сложении.
Следовательно, оно не является конгруэнцией относительно обычной операции сложения рациональных чисел.
Это обстоятельство имеет фундаментальное значение.
Оно означает, что нельзя без дополнительных правил строить арифметику классов эквивалентности как обычную фактор-арифметику.
Для такой задачи необходимо разработать самостоятельную систему операций.
5.16. Классовая эквивалентность и умножение
Аналогичная проблема возникает при умножении.
Пусть:
x = 0
и
y = 3 · 10^(;11).
Для первого класса:
x ~; y.
Однако при умножении обоих чисел на 10 получаем:
10x = 0;
10y = 3 · 10^(;10).
Следовательно:
T;(10x) = 0;
T;(10y) = 3 · 10^(;10).
Таким образом, результаты различаются.
Следовательно, классовая эквивалентность не сохраняется автоматически при умножении на произвольное число.
Этот результат подтверждает необходимость разграничения обычного математического равенства и классовой неразличимости.
Особое значение имеет возможность использования дополнительных ограничений.
Например, в некоторых специальных случаях операции могут сохранять классовую эквивалентность.
Однако такие условия должны быть установлены самостоятельно.
Следовательно, нельзя утверждать универсальную совместимость классового тождества с арифметическими операциями без соответствующего доказательства.
5.17. Правила межклассового сравнения
При сравнении представлений различных классов необходимо учитывать несколько условий.
Прежде всего следует установить, принадлежат ли результаты одной нормативной системе.
Затем необходимо определить применённые операции.
Если обе записи получены посредством усечения, более длинное представление может быть преобразовано в более короткое.
Однако такое преобразование сопровождается потерей информации.
Следовательно, совпадение после преобразования не означает исходного математического равенства.
Если же используются различные способы округления, требуется специальная процедура согласования.
Особое значение имеет возможность двойного округления.
Поэтому нельзя автоматически предполагать, что последовательное округление через промежуточный класс даёт тот же результат, что и непосредственное округление исходного числа.
Таким образом, межклассовое сравнение должно включать явную спецификацию преобразования.
При этом необходимо фиксировать:
исходные классы;
нормативные операции;
целевой класс;
используемый алгоритм;
сохраняемые свойства;
возможную потерю информации.
Следовательно, система сравнения должна обладать самостоятельной нормативной определённостью.
5.18. Статусы результатов классового сравнения
Для практического применения предлагается использовать несколько статусов.
Точное равенство подтверждено — установлено математическое равенство исходных объектов.
Точное неравенство подтверждено — установлено их математическое различие.
Классовая эквивалентность установлена — совпадают представления определённого класса.
Классовое различие установлено — соответствующие представления не совпадают.
Строгий порядок подтверждён — имеются достаточные математические основания.
Сравнение не завершено — предусмотренная процедура не выполнена полностью.
Недостаточно данных — имеющиеся представления не позволяют установить требуемое отношение.
Сравнение недопустимо — отсутствует необходимая нормативная совместимость.
Однако перечисленные статусы не являются дополнительными истинностными значениями математических утверждений.
Они относятся к результатам инженерных процедур сравнения.
Особенно важно различать статус «Недостаточно данных» и математическое равенство.
В первом случае не получено необходимого заключения.
Во втором установлено определённое математическое свойство.
Следовательно, система статусов должна обеспечивать доказательственную определённость результатов.
5.19. Паспорт классового сравнения
Для организации практических вычислений предлагается разработать паспорт классового сравнения.
Он должен включать:
идентификаторы сравниваемых объектов;
исходные математические системы;
способы задания объектов;
нормативные классы;
правила формирования представлений;
результаты экспликации;
используемое отношение сравнения;
условия межклассового преобразования;
математическое заключение;
доказательственные основания;
нормативный статус результата;
сведения о выполненных проверках;
ограничения применения.
При этом необходимо учитывать возможность использования нескольких отношений сравнения.
Например, два объекта могут быть неравны в исходной математической системе, но эквивалентны относительно определённого класса.
Соответствующие заключения должны регистрироваться раздельно.
Особое значение имеет возможность автоматизированного анализа.
Однако программная проверка конечных представлений не должна автоматически считаться доказательством точного математического равенства исходных объектов.
Таким образом, паспорт должен обеспечивать разграничение математического и классового статуса результатов.
5.20. Основные результаты главы
В настоящей главе предложены определения классовой определённости и классовой эквивалентности математических объектов.
Разграничены точное математическое равенство, равенство числовых значений представлений и буквенное тождество записей.
Для операции усечения введено отношение:
x ~; y ; T;(x) = T;(y).
Установлено, что оно является отношением эквивалентности.
Рассмотрена интервальная структура соответствующих классов.
Показана возможность существования различных точных объектов с одинаковыми представлениями одного класса.
Исследована различающая способность классов.
Доказано, что эквивалентность более высокого класса усечения влечёт эквивалентность более низкого.
Показано, что совпадение представлений всех классов математически влечёт равенство исходных чисел.
При этом данный результат не предполагает фактического выполнения бесконечного количества вычислений.
Рассмотрены классовое сравнение и интервальные методы установления порядка.
На конкретных примерах показано, что классовая эквивалентность не сохраняется автоматически при сложении и умножении.
Следовательно, она не может без дополнительных определений использоваться для построения обычной фактор-арифметики.
Предложены нормативные правила межклассового сравнения, система статусов и структура паспорта.
Таким образом, классовое тождество рассматривается как специально определённая нормативная эквивалентность математических представлений, отличная от точного равенства исходных объектов и требующая самостоятельного исследования совместимости с арифметическими операциями.
На этой основе возникает возможность перейти к разработке классовой арифметики.
Глава 6. Классовая арифметика, округление и регламенты допустимых вычислений
6.1. Проблема арифметических операций в системе классов точности
В предыдущей главе было показано, что классовая эквивалентность не сохраняется автоматически при обычных арифметических операциях.
Следовательно, введение классов конечной экспликации само по себе ещё не определяет полноценную арифметическую систему.
Необходимо установить специальные правила вычислений.
Например, можно выполнить точную операцию над исходными рациональными числами, а затем сформировать конечное представление результата.
Однако возможен и другой подход.
Сначала исходные числа заменяются их конечными представлениями, после чего арифметические операции выполняются непосредственно над полученными значениями.
Эти процедуры могут давать различные результаты.
Следовательно, необходимо различать несколько вычислительных режимов.
Особое значение приобретает проблема накопления погрешностей.
Одна операция усечения может иметь строго определённую границу погрешности.
Однако многократное использование приближённых значений способно приводить к более сложным ошибкам.
Следовательно, для классовой арифметики необходимо разработать систему определений, доказательств и нормативных ограничений.
При этом не следует заранее предполагать, что обычные алгебраические законы сохраняются после введения всех операций округления.
Соответствующие свойства необходимо проверять самостоятельно.
6.2. Предмет и определение классовой арифметики
Предлагается следующее рабочее определение.
Определение 6.1. Классовая арифметика — нормативно определённая система операций над математическими объектами и их конечными представлениями, устанавливающая правила вычислений, округления, межклассового преобразования и контроля результатов относительно заданных классов точности.
В данном определении особое значение имеют несколько задач.
Первая — установление предметной области.
Вторая — определение доступных операций.
Третья — разграничение точных объектов и их конечных представлений.
Четвёртая — разработка правил получения результатов.
Пятая — исследование алгебраических свойств соответствующих операций.
Шестая — оценка погрешностей.
Седьмая — определение допустимых межклассовых преобразований.
Восьмая — создание процедур проверки и воспроизводства.
Однако необходимо подчеркнуть, что классовая арифметика не обязана автоматически образовывать поле, кольцо или другую привычную алгебраическую структуру.
Её свойства зависят от конкретных операций.
Следовательно, для каждой предлагаемой системы необходимо отдельно устанавливать соответствующие математические законы.
Таким образом, развитие классовой арифметики предполагает переход от общего нормативного замысла к строгой формальной теории.
6.3. Множество значений конечных представлений
Пусть:
d; = 10^n
и
B; = 10^(d;).
Тогда математические значения конечных десятичных представлений класса n могут рассматриваться как элементы множества:
D; = {k/B; : k ; Z}.
Здесь Z обозначает множество целых чисел.
При этом необходимо разграничивать числовые значения и нормативные записи.
Например, значение:
1/2
принадлежит D;, поскольку:
1/2 = 5000000000/10^10.
Однако его каноническая запись первого класса должна иметь вид:
0,5000000000.
Следовательно, каждый элемент D; может быть представлен специальной записью с ровно d; десятичными позициями.
При этом математическое множество D; не ограничено заранее по величине целой части.
Оно содержит значения с произвольно большими целыми компонентами.
Однако конкретные технические реализации могут вводить ресурсные ограничения.
Следовательно, математическая область значений и техническая область фактически поддерживаемых вычислений должны регистрироваться раздельно.
6.4. Операция усечения на выбранном классе
Для дальнейшей работы определим:
T;(x) = sgn(x) · floor(|x| · B;) / B;.
Это операция усечения по направлению к нулю.
Её результат принадлежит D;.
При этом для любого:
a ; D;
выполняется:
T;(a) = a.
Следовательно, операция усечения является идемпотентной:
T;(T;(x)) = T;(x).
Однако необходимо учитывать, что она не является тождественным отображением всей исходной числовой области.
Для произвольного точного числа:
T;(x)
может отличаться от x.
При этом математическая погрешность ограничена:
|x ; T;(x)| < h;.
Особое значение имеет выбор правила.
Если используется округление до ближайшего значения, возникает другая операция.
Следовательно, классовая арифметика должна иметь явный нормативный профиль.
6.5. Два основных режима классовых вычислений
Для построения арифметики предлагается разграничить два основных режима.
Первый режим — точная операция с последующей экспликацией результата.
Исходные математические объекты сохраняются в точной форме.
Выполняется предусмотренная арифметическая операция.
Затем результат переводится в выбранный класс.
Второй режим — операция над конечными представлениями.
Исходные объекты предварительно заменяются конечными значениями соответствующего класса.
Далее вычисления выполняются над этими значениями.
При необходимости результат снова приводится к выбранному классу.
Однако соответствующие режимы не всегда эквивалентны.
Особое значение имеет момент применения округления.
Если промежуточные результаты неоднократно подвергаются округлению, итоговое значение может отличаться от результата непосредственной экспликации точного вычисления.
Следовательно, нормативный регламент должен устанавливать последовательность операций.
Таким образом, порядок округления является существенной частью определения классовой вычислительной технологии.
6.6. Арифметика точного результата
Пусть:
x и y — точные рациональные числа.
Для сложения можно определить:
x ;; y = T;(x + y).
Для умножения:
x ;; y = T;(xy).
Однако необходимо учитывать, что правые части определяются посредством обычных точных операций.
Следовательно, здесь используется режим точного вычисления с последующей экспликацией.
При этом исходные значения должны быть доступны в точной форме.
Например, если заданы рациональные дроби:
1/6
и
1/6,
можно сначала вычислить:
1/6 + 1/6 = 1/3.
Затем получить представление первого класса:
T;(1/3) = 0,3333333333.
Такой результат не обязательно совпадает со сложением уже усечённых представлений.
Следовательно, спецификация должна фиксировать, на какой стадии применяется операция T;.
Особенно важно, что полученные значения не следует автоматически считать объектами той же исходной точной арифметики без учёта изменённого режима вычисления.
6.7. Арифметика конечных представлений
Во втором режиме исходными данными выступают элементы:
a, b ; D;.
Для сложения определим:
a ;; b = T;(a + b).
Поскольку сумма двух элементов D; также принадлежит D;, имеем:
a ;; b = a + b.
Следовательно, сложение математических значений конечных представлений данного класса не требует дополнительного усечения.
Оно остаётся точным относительно самих значений a и b, если отсутствуют технические ограничения реализации.
Однако это не означает точного восстановления суммы исходных объектов.
Если a и b являются приближениями других чисел, соответствующие ошибки сохраняются.
Таким образом, необходимо различать:
точность сложения представленных значений
и
точность результата относительно исходных чисел.
Первое свойство может выполняться.
Второе требует анализа накопленной погрешности.
6.8. Пример различия двух режимов сложения
Рассмотрим:
x = 1/6
и
y = 1/6.
Для первого класса:
d; = 10.
Сначала выполним точное сложение:
x + y = 1/3.
После усечения:
T;(x + y) = 0,3333333333.
Теперь выполним другую процедуру.
Сначала получим конечные представления:
T;(x) = 0,1666666666;
T;(y) = 0,1666666666.
Затем сложим их:
0,1666666666 + 0,1666666666 = 0,3333333332.
Следовательно:
T;(x) + T;(y) ; T;(x + y).
Данное различие имеет математическое основание.
Оно возникает вследствие замены исходных точных чисел их приближениями до выполнения операции сложения.
Однако обе процедуры могут быть нормативно допустимыми в разных вычислительных режимах.
Следовательно, необходимо указывать, какой именно результат требуется получить.
Таким образом, классовая арифметика не должна скрывать различие между точным вычислением с последующим усечением и вычислением по уже усечённым данным.
6.9. Вычитание и потеря различимости
Для конечных представлений вычитание также сохраняет принадлежность множеству D;.
Однако при использовании приближённых исходных данных возможно возникновение существенных проблем.
Рассмотрим точные числа:
x = 1/3
и
y = 1/3 + 10^(;12).
Очевидно:
y ; x = 10^(;12).
Однако в первом классе:
T;(x) = T;(y) = 0,3333333333.
Следовательно, вычитание конечных представлений даёт:
T;(y) ; T;(x) = 0.
При этом точная разность исходных чисел не равна нулю.
Следовательно, нулевой результат вычитания классовых представлений не является достаточным основанием для заключения о математическом равенстве исходных объектов.
Особое значение имеет возможность катастрофической потери относительной точности при вычитании близких приближённых значений.
Поэтому в соответствующих задачах необходимо сохранять дополнительную информацию о погрешностях.
В частности, может применяться интервальная арифметика либо выполнение вычислений с более высоким классом и последующей проверкой результата.
Однако выбор метода должен определяться конкретной нормативной задачей.
6.10. Умножение конечных представлений
Для умножения элементов D; предлагается определить:
a ;; b = T;(ab).
В отличие от сложения, произведение двух элементов D; не обязательно принадлежит тому же множеству.
Например, если:
a = k/B;
и
b = l/B;,
то:
ab = kl/B;;.
Следовательно, для получения результата класса n требуется дополнительное правило.
В рассматриваемом профиле используется усечение.
Однако такая операция может не сохранять все обычные алгебраические законы.
В частности, необходимо отдельно исследовать ассоциативность и дистрибутивность.
Особое значение имеет возможность появления нулевого результата при умножении ненулевых значений.
Например, если произведение по абсолютному значению меньше шага h;, усечение даёт нуль.
Следовательно, операция может существенно отличаться от обычного умножения рациональных чисел.
Таким образом, её математические свойства требуют самостоятельного доказательства.
6.11. Нарушение ассоциативности классового умножения
Рассмотрим первый класс:
h = h; = 10^(;10).
Пусть:
a = h;
b = 0,9;
c = 2.
Все три числа принадлежат D;.
Сначала вычислим:
a ;; b = T;(0,9h) = 0.
Следовательно:
(a ;; b) ;; c = 0.
Теперь рассмотрим другую группировку.
Сначала:
b ;; c = T;(1,8) = 1,8.
Затем:
a ;; (b ;; c) = T;(1,8h) = h.
Таким образом:
(a ;; b) ;; c ; a ;; (b ;; c).
Следовательно, операция классового умножения с промежуточным усечением не является ассоциативной в общем случае.
Это обстоятельство имеет фундаментальное значение.
Оно означает, что изменение порядка группировки операций может приводить к изменению результата.
Следовательно, вычислительная спецификация должна устанавливать допустимую последовательность действий.
Таким образом, ассоциативность обычного умножения не должна автоматически переноситься на арифметику с промежуточным усечением.
6.12. Нарушение дистрибутивности
Рассмотрим тот же первый класс.
Пусть:
a = h;;
b = 0,5;
c = 0,5.
Тогда:
b + c = 1.
Следовательно:
a ;; (b + c) = T;(h;) = h;.
Теперь выполним операции отдельно:
a ;; b = T;(0,5h;) = 0;
a ;; c = T;(0,5h;) = 0.
Следовательно:
(a ;; b) + (a ;; c) = 0.
Таким образом:
a ;; (b + c) ; (a ;; b) + (a ;; c).
Следовательно, предложенная операция классового умножения не является дистрибутивной относительно обычного сложения элементов конечной десятичной сетки.
Это означает, что соответствующая структура не может без дополнительных изменений рассматриваться как обычное кольцо.
Следовательно, в нормативной документации необходимо фиксировать ограничения применимости алгебраических преобразований.
Особое значение имеет запрет на неявное использование привычных тождеств без проверки их сохранения.
Таким образом, классовая арифметика требует специальной теории допустимых преобразований выражений.
6.13. Деление конечных представлений
Для деления можно предложить операцию:
a ;; b = T;(a/b),
где:
a, b ; D;
и
b ; 0.
Однако необходимо учитывать, что предварительное усечение исходных значений способно существенно изменить условия допустимости операции.
Например, пусть точный знаменатель равен:
y = h;/2 = 5 · 10^(;11).
Это ненулевое рациональное число.
Однако:
T;(y) = 0.
Следовательно, после перехода к первому классу знаменатель становится нулевым представлением.
В такой ситуации деление конечных представлений оказывается недопустимым.
Но это не означает, что точное отношение исходных рациональных чисел математически не определено.
Например:
1/y = 2 · 10^10.
Следовательно, необходимо разграничивать допустимость точного деления и допустимость деления предварительно усечённых представлений.
Особое значение имеет необходимость контроля малых знаменателей.
Приближение знаменателя к нулю может существенно увеличивать погрешность результата.
Поэтому классовое деление требует специального регламента.
6.14. Нормативное округление
Для развития классовой арифметики необходимо определить не только усечение, но и округление.
В первоначальном варианте предлагается использовать округление к ближайшему значению сетки D;.
При точном равенстве расстояний может применяться правило выбора значения с чётным последним сохраняемым разрядом.
Математически:
R;(x) = round_even(B;x)/B;.
Однако данная операция должна сопровождаться точным определением round_even.
Особенно важно установить поведение на граничных случаях.
В частности, для отрицательных чисел правило должно применяться симметрично относительно нуля.
В отличие от усечения, округление к ближайшему значению обычно обеспечивает более строгую общую границу абсолютной погрешности:
|x ; R;(x)| ; h;/2.
Однако данная оценка относится к математически точному выполнению операции.
Она не гарантирует корректность произвольной программной реализации.
Следовательно, необходимо предусмотреть отдельную проверку алгоритма округления.
При этом нельзя считать, что округление всегда предпочтительнее усечения.
Выбор операции определяется конкретным назначением нормативной системы.
6.15. Двойное округление между классами
Особую проблему представляет последовательное округление через промежуточный класс.
Необходимо установить, совпадает ли оно с непосредственным округлением исходного объекта до целевого класса.
В общем случае такое совпадение не гарантируется.
Рассмотрим первый и второй классы авторской шкалы.
Для первого класса:
d; = 10.
Для второго:
d; = 100.
Пусть точное рациональное число задано выражением:
x = 1 + 5 · 10^(;11) + 10^(;101).
Сначала округлим его до ста десятичных позиций.
Добавка 10^(;101) меньше половины шага второго класса.
Следовательно:
R;(x) = 1 + 5 · 10^(;11).
Теперь полученное значение находится точно посередине между двумя соседними представлениями первого класса:
1,0000000000
и
1,0000000001.
При использовании правила выбора чётного последнего разряда получаем:
R;(R;(x)) = 1,0000000000.
Однако исходное число x немного больше указанной середины.
Следовательно, при непосредственном округлении до десяти позиций:
R;(x) = 1,0000000001.
Таким образом:
R;(R;(x)) ; R;(x).
Данный пример показывает, что проблема двойного округления возникает и между настоящими классами авторской шкалы.
Следовательно, при проектировании межклассовых интерфейсов необходимо определять допустимые последовательности округления.
6.16. Погрешность сложения
Для инженерного применения необходимо исследовать накопление погрешностей.
Пусть точные числа x и y заменены приближениями:
x; = x + e;;
; = y + e;,
где e; и e; — ошибки представления.
Тогда:
x; + ; ; (x + y) = e; + e;.
Следовательно:
|x; + ; ; (x + y)| ; |e;| + |e;|.
Если оба исходных числа усечены до одного класса n, то:
|e;| < h;;
|e;| < h;.
Следовательно:
|x; + ; ; (x + y)| < 2h;.
Однако необходимо учитывать, что данная оценка относится к сложению уже полученных представлений без дополнительной технической ошибки.
При использовании машинной арифметики могут возникать дополнительные ограничения.
Следовательно, итоговая оценка должна учитывать конкретный вычислительный режим.
Особенно важно различать абсолютную и относительную погрешность.
При вычитании близких значений относительная погрешность результата может оказаться большой даже при небольших абсолютных ошибках исходных данных.
6.17. Погрешность умножения
Пусть:
x; = x + e;;
; = y + e;.
Тогда:
x;; = xy + xe; + ye; + e;e;.
Следовательно:
|xy ; x;;| ; |x|·|e;| + |y|·|e;| + |e;|·|e;|.
Если установлены оценки:
|e;| ; ;;;
|e;| ; ;;,
то:
|xy ; x;;| ; |x|;; + |y|;; + ;;;;.
Если после умножения дополнительно выполняется усечение, появляется ещё одна составляющая погрешности, по модулю меньшая h;.
Следовательно, общая оценка должна учитывать как ошибки исходных представлений, так и результат последующей классовой операции.
При этом величины |x| и |y| также должны быть известны или надёжно ограничены.
Следовательно, невозможно получить универсальную оценку накопленной погрешности умножения исключительно по номеру класса без дополнительных сведений об операндах.
Таким образом, система классовой арифметики должна предусматривать самостоятельные регламенты распространения погрешностей.
6.18. Погрешность деления
Особенно сложной задачей является оценка деления.
Пусть:
x; = x + e;;
; = y + e;.
Предположим, что:
y ; 0
и
; ; 0.
Тогда:
|x/y ; x;/;| = |x; ; x;y| / (|y|·|;|).
После преобразования получаем:
|x/y ; x;/;| ; (|x|·|e;| + |y|·|e;|) / (|y|·|;|).
Если известно:
|e;| ; ;; < |y|,
то:
|;| ; |y| ; ;; > 0.
Следовательно, можно использовать оценку:
|x/y ; x;/;| ; (|x|;; + |y|;;) / (|y|(|y| ; ;;)).
Однако при малом знаменателе соответствующая оценка способна существенно возрастать.
Следовательно, деление требует отдельного контроля знаменателя.
Если после получения отношения выполняется дополнительное усечение, необходимо учитывать ещё одну составляющую ошибки.
Таким образом, регламент классового деления должен включать условия ненулевого знаменателя, допустимости приближения и контроля итоговой погрешности.
6.19. Интервальная арифметика как дополнительная технология
Для многих задач точное исходное число может быть неизвестно, однако возможно установить интервал его допустимых значений.
В таком случае может использоваться интервальная арифметика.
Например:
x ; [a, b].
Данная запись означает, что исходное значение находится в установленном интервале.
При сложении двух интервалов можно использовать известные правила получения интервала результата.
Однако при умножении и делении необходимо учитывать знаки и возможное включение нуля.
Особое значение имеет обеспечение гарантированного охвата результата.
Если границы интервала вычисляются с округлением, необходимо использовать соответствующие направленные правила, исключающие необоснованное сужение оценки.
Следовательно, интервальные методы требуют самостоятельной математической спецификации.
Они могут использоваться совместно со шкалой классов точности.
Однако не должны автоматически отождествляться с обычной арифметикой конечных десятичных представлений.
Например, одна десятичная запись может характеризовать приближённое значение.
А интервал дополнительно фиксирует область возможных исходных значений.
Таким образом, интервальная арифметика способна выступать средством сохранения информации о неопределённости результатов классовых вычислений.
6.20. Межклассовые арифметические операции
В сложных нооинженерных системах возможно одновременное использование представлений различных классов.
Например, один операнд может иметь первый класс, а другой — второй.
В таком случае необходимо установить нормативный порядок вычисления.
Возможны различные подходы.
Первый подход — обращение к исходным точным объектам, выполнение точной операции и последующая экспликация результата заданного класса.
Второй подход — преобразование представлений к общему классу с последующим выполнением операции.
Третий подход — использование специальных алгоритмов, сохраняющих информацию о погрешностях.
Однако необходимо учитывать ограничения второго подхода.
Если короткое представление просто дополняется нулями до более высокого класса, это не восстанавливает отсутствующие сведения об исходном числе.
Например, запись:
0,3333333333
может быть дополнена нулями до ста позиций.
Однако результат не станет правильным усечённым представлением числа 1/3 второго класса.
Следовательно, необходимо различать повышение формальной длины записи и реальное повышение точности приближения к исходному объекту.
Таким образом, межклассовые операции должны сопровождаться правилами информационной и математической прослеживаемости.
6.21. Регламенты допустимых вычислений
Для практической реализации предлагается разработать регламент допустимых классовых вычислений.
Он должен устанавливать:
исходную математическую систему;
допустимые типы операндов;
нормативные классы;
правила экспликации;
порядок выполнения операций;
правила промежуточного округления;
допустимые межклассовые преобразования;
ограничения на использование приближённых значений;
условия деления и других потенциально проблемных операций;
способы контроля погрешностей;
технические ресурсные ограничения;
процедуры проверки результатов;
правила регистрации нормативных редакций;
условия воспроизводства.
Особенно важно разграничить обязательные и рекомендуемые требования.
Например, запрет деления на нулевой знаменатель может являться обязательным математическим условием.
А выбор конкретного программного алгоритма может оставаться предметом инженерной альтернативы.
Следовательно, регламент должен обеспечивать нормативную определённость без необоснованного ограничения всех возможных реализаций.
6.22. Нооиммунологическая проверка классовой арифметики
Для контроля допустимости классовых вычислений предлагается использовать специальную процедуру.
Первый этап — смысловая проверка.
Устанавливаются значения используемых терминов и обозначений.
Второй этап — нормативная проверка.
Определяются математическая система, класс и профиль операций.
Третий этап — проверка исходных данных.
Исследуется допустимость математических объектов и их представлений.
Четвёртый этап — контроль операции.
Проверяется соответствие выполняемого действия спецификации.
Пятый этап — контроль промежуточных результатов.
Устанавливаются последствия округления и возможной потери информации.
Шестой этап — проверка погрешности.
Исследуются математические оценки результата.
Седьмой этап — проверка алгебраических преобразований.
Устанавливается допустимость использованных тождеств и правил изменения порядка действий.
Восьмой этап — итоговое заключение.
Фиксируется соответствие требованиям и область подтверждения.
При этом необходимо учитывать, что отдельные проверки могут требовать математических доказательств.
Следовательно, конечный набор испытаний не должен автоматически заменять формальное исследование универсальных свойств операций.
Таким образом, нооиммунологический контроль классовой арифметики должен соединять нормативные процедуры с конкретными математическими основаниями.
6.23. Контрольные примеры классовой арифметики
Для первоначальной программы испытаний предлагается использовать несколько групп объектов.
Проверяемое свойство Исходный пример Ожидаемый результат
Усечение первого класса 1/3 0,3333333333
Округление первого класса 1/6 0,1666666667
Обработка отрицательного числа ;1/6 при усечении ;0,1666666666
Точное конечное представление 1/8 0,1250000000
Сложение исходных точных чисел 1/6 + 1/6 с последующим усечением 0,3333333333
Сложение уже усечённых значений 0,1666666666 + 0,1666666666 0,3333333332
Потеря различимости 1/3 и 1/3 + 10^(;12) Одинаковое усечение первого класса
Усечение малого знаменателя 5 · 10^(;11) Нулевое представление первого класса
Проверка ассоциативности умножения h;, 0,9, 2 Результат зависит от группировки
Проверка дистрибутивности h;, 0,5, 0,5 Дистрибутивность не выполняется
Двойное округление 1 + 5·10^(;11) + 10^(;101) Через класс 2 получается иной результат, чем при непосредственном округлении к классу 1
Однако данные примеры представляют собой лишь часть проверочной системы.
Необходимо также исследовать различные знаки операндов, нулевые значения, большие числа и граничные случаи округления.
Особое значение имеют ресурсные испытания.
При увеличении класса необходимо устанавливать фактическую способность технической реализации выполнить предусмотренные вычисления.
Таким образом, программа испытаний должна учитывать математические и технические характеристики системы.
6.24. Ноотехнический паспорт классового вычисления
Для обеспечения воспроизводимости предлагается разработать паспорт классового вычисления.
В первоначальном варианте он должен включать:
идентификатор вычислительной задачи;
исходную математическую систему;
точные исходные объекты, если они доступны;
использованные конечные представления;
нормативные классы операндов;
целевой класс результата;
последовательность операций;
правила промежуточного округления;
нормативную редакцию;
математическое значение полученного результата;
его каноническую запись;
сведения о погрешности;
ограничения применённого алгоритма;
результаты проверок;
условия воспроизводства;
конфигурационную историю.
При этом особое значение имеет фиксация режима вычисления.
Например, необходимо указать, выполнялась ли точная арифметика с последующей экспликацией либо использовались предварительно усечённые операнды.
Без таких сведений невозможно правильно интерпретировать различие итоговых результатов.
Следовательно, паспорт должен обеспечивать математическую и нормативную прослеживаемость.
Особое значение приобретает возможность автоматизированной проверки.
Однако она требует создания формальных спецификаций операций и соответствующих программных средств.
Таким образом, паспортизация может выступать одним из основных элементов практической классовой арифметики.
6.25. Проект стандарта классовых вычислений
Для дальнейшего развития предлагается подготовить специализированный проект нооинженерного стандарта:
НСТ-НОО-02. «Классовая арифметика. Операции, округление, межклассовые преобразования и контроль допустимости».
В первоначальном варианте он должен устанавливать следующие разделы.
Раздел 1. Область применения.
Определяются математические системы и классы объектов.
Раздел 2. Термины и определения.
Устанавливаются понятия классовой операции, экспликации, округления и погрешности.
Раздел 3. Математические основания.
Фиксируются множества допустимых значений.
Раздел 4. Точные вычисления с последующей экспликацией.
Устанавливаются соответствующие процедуры.
Раздел 5. Операции над конечными представлениями.
Определяются специальные классовые действия.
Раздел 6. Округление и усечение.
Фиксируются математические правила.
Раздел 7. Алгебраические свойства.
Устанавливаются доказанные законы и известные ограничения.
Раздел 8. Межклассовые операции.
Определяются правила преобразования и совместимости.
Раздел 9. Контроль погрешностей.
Устанавливаются применимые методы оценки.
Раздел 10. Нооиммунологическая проверка.
Определяются процедуры контроля допустимости.
Раздел 11. Паспортизация.
Фиксируются требования к документированию результатов.
Раздел 12. Управление редакциями.
Регламентируются нормативные изменения.
Однако данный документ имеет статус исследовательского проекта.
Для его практического принятия необходимо дополнительно разработать формальные определения, доказательства, программные реализации и процедуры испытаний.
6.26. Место классовой арифметики в гармонической математике
Предлагаемая система классовой арифметики имеет определённую методологическую преемственность с авторской концепцией математики как технической науки.
Она предполагает возможность проектирования математических операций в соответствии с определёнными целями и требованиями.
Однако необходимо разграничивать гармоническую арифметику как исходную авторскую исследовательскую программу и конкретные нормативные системы конечных вычислений.
Последние могут разрабатываться на основе обычной рациональной или действительной арифметики.
Их математические свойства должны исследоваться строго относительно выбранных определений.
Например, введение классовой эквивалентности не приводит автоматически к созданию нового поля чисел.
Более того, приведённые примеры показывают, что обычные алгебраические законы могут не сохраняться после промежуточного усечения.
Следовательно, научное обоснование классовой арифметики предполагает не отрицание известных математических результатов, а точное определение новой системы операций и исследование её отличительных свойств.
Особое значение приобретает возможность одновременного существования разных вычислительных режимов.
Один может быть ориентирован на точные исходные объекты.
Другой — на конечные представления.
Третий — на интервальные оценки.
Следовательно, принцип полисистемности получает конкретное математико-инженерное содержание.
6.27. Основные результаты главы
В настоящей главе предложено определение классовой арифметики как нормативно определённой системы операций над математическими объектами и их конечными представлениями.
Введено множество значений класса:
D; = {k/10^(10^n) : k ; Z}.
Разграничены два основных режима вычислений:
точная операция с последующей экспликацией;
операция над уже полученными конечными представлениями.
На конкретных примерах показано, что данные режимы могут приводить к различным результатам.
Рассмотрены особенности сложения, вычитания, умножения и деления.
Установлено, что сложение математических значений одной конечной десятичной сетки сохраняет её замкнутость.
Однако при использовании приближённых исходных данных сохраняется необходимость контроля погрешностей.
Для классового умножения с промежуточным усечением приведены примеры нарушения ассоциативности и дистрибутивности.
Следовательно, соответствующая система не должна автоматически рассматриваться как обычное кольцо.
Рассмотрены особенности деления при возможном усечении ненулевого знаменателя до нуля.
Предложены нормативные правила усечения и округления.
На примере перехода между первым и вторым классами показана возможность двойного округления.
Разработаны математические оценки погрешностей сложения, умножения и деления.
Рассмотрена возможность использования интервальной арифметики.
Особое внимание уделено межклассовым операциям и недопустимости искусственного повышения точности посредством простого добавления нулей.
Предложены первоначальные регламенты допустимых вычислений, процедуры нооиммунологического контроля и контрольные примеры.
Разработана структура паспорта классового вычисления.
Предложены основные положения проекта стандарта НСТ-НОО-02.
Таким образом, классовая арифметика рассматривается как особое направление нооинженерной математики, предназначенное для нормативно определённого выполнения операций с конечными представлениями и строгого контроля возникающих математических и технических ограничений.
Её дальнейшее развитие предполагает самостоятельное исследование различных вычислительных режимов, межклассовых соответствий и систем математических координат.
Промежуточные результаты глав 4–6 части VII
В трёх главах последовательно рассмотрены фундаментальные проблемы экспликации, сравнения и арифметического использования математических объектов различных классов.
Установлено, что исходный математический объект, его обозначение, алгоритм получения представления и фактически завершённый результат должны иметь самостоятельные нормативные статусы.
Предложено строгое понятие полной конечной экспликации относительно заданного класса.
Разработаны методы представления рациональных чисел, позволяющие использовать точные целочисленные операции и математически проверять полученные результаты.
Особое внимание уделено различию между формальной конечностью, алгоритмической осуществимостью и фактической технической завершённостью вычисления.
Следующим результатом стала формализация классовой эквивалентности.
Установлено, что совпадение конечных представлений не означает математического равенства исходных объектов.
Показано, что классовая эквивалентность уточняется при повышении класса усечения, но не сохраняется автоматически при арифметических операциях.
На этой основе предложена первоначальная теория классовой арифметики.
Разграничены вычисления с точными исходными объектами и операции над уже полученными конечными представлениями.
Приведены конкретные примеры изменения результатов вследствие промежуточного усечения.
Показано, что соответствующие операции могут нарушать обычные алгебраические законы.
Следовательно, классовая арифметика требует самостоятельной спецификации, а не механического переноса свойств точной рациональной арифметики.
Особое значение имеют процедуры контроля математических погрешностей, проверка допустимости межклассовых преобразований и нормативное документирование результатов.
Центральным выводом глав 4–6 является необходимость строгого разграничения трёх отношений:
1. Математическое тождество исходных объектов.
2. Совпадение их конечных представлений в установленном классе.
3. Допустимость арифметических операций над соответствующими представлениями.
Первое отношение определяется исходной математической системой.
Второе — нормативным классом и правилом экспликации.
Третье — специальной системой классовых операций и ограничений.
Эти отношения не должны автоматически отождествляться.
Именно их разграничение создаёт теоретическую основу для дальнейшего построения полисистемной нооинженерной математики, обеспечивающей одновременное функционирование нескольких классов точности, контролируемые межклассовые преобразования и нормативно определённое довычисление математических объектов.
Последующие главы настоящей части должны быть посвящены системам различной точности, межклассовым соответствиям, потенциально неограниченному довычислению и расширению номенклатуры математических шкал.
****
Глава 7. Одновременное существование математических систем различной точности
7.1. Проблема одновременного существования математических систем
В предшествующих главах настоящей части монографии были разработаны первоначальные основания классификации математических объектов, система шкал математических характеристик и авторская шкала классов точности конечной десятичной экспликации.
Особое внимание было уделено разграничению точного математического объекта, его конечного представления, правил вычисления и нормативного статуса результата.
Было также показано, что операции над конечными представлениями могут обладать свойствами, отличающимися от свойств исходной точной арифметики.
Следовательно, возникает необходимость определить условия совместного существования и использования нескольких математических систем различной точности.
В традиционной вычислительной практике широко используются форматы и режимы вычислений, отличающиеся количеством разрядов и правилами округления.
Однако рассматриваемая авторская программа предполагает более широкую задачу.
Необходимо исследовать возможность нормативно организованного одновременного существования математических систем с различными классами конечной экспликации, правилами операций, механизмами контроля и условиями воспроизводства.
При этом различие классов не должно автоматически означать, что одна система является временно устаревшей формой другой.
Системы могут иметь самостоятельные назначения и функционировать параллельно.
Например, для одной инженерной задачи достаточно представления первого класса.
Другая задача может требовать второго или третьего класса.
Третья может предполагать использование точной рациональной арифметики без предварительной десятичной экспликации операндов.
Следовательно, необходимо разработать теорию полисистемного сосуществования математических систем различной точности.
7.2. Принцип полисистемности применительно к математике
Принцип полисистемности занимает существенное место в предлагаемой нооинженерной программе.
Его содержание не сводится к последовательной замене одной математической теории другой.
Полисистемность предполагает возможность одновременного существования нескольких нормативно самостоятельных систем, каждая из которых обладает собственными правилами построения и использования объектов.
Применительно к классам точности это означает, что системы первого, второго и последующих классов могут сосуществовать.
Однако следует различать два обстоятельства.
Во-первых, системы могут иметь общее исходное математическое основание.
Во-вторых, они могут использовать разные нормативные операции над конечными представлениями.
Например, рациональное число 1/3 является одним и тем же точным объектом обычной рациональной арифметики.
Однако его десятичные представления первого и второго классов различаются по количеству позиций.
При этом использование разных классов не требует изменения математического определения исходного числа.
Следовательно, полисистемность не должна отождествляться с произвольным умножением математических объектов.
Она предполагает разграничение объектов, систем их представления и нормативных правил операций.
Таким образом, центральным условием полисистемности выступает сохранение самостоятельной определённости каждой системы при установлении допустимых отношений между ними.
7.3. Класс точности как основание самостоятельной системы
Для формального исследования введём обозначения:
d; = 10^n;
B; = 10^(d;);
h; = 1/B; = 10^(;d;),
где n — положительный целый номер класса.
Тогда математические значения конечных десятичных представлений класса n образуют множество:
D; = {k/B; : k ; Z}.
Однако само множество D; ещё не определяет полноценную математическую систему.
Необходимо дополнительно установить правила формирования представлений и выполнения операций.
Поэтому предлагается следующее рабочее определение.
Определение 7.1. Математическая система класса точности n — нормативно организованная совокупность исходных математических объектов, допустимых конечных представлений, операций, правил преобразования, процедур проверки и условий использования, связанных с установленным классом экспликации.
Таким образом, класс точности представляет собой один из системообразующих параметров.
Однако система может включать и другие параметры.
Например, две системы одного класса могут различаться по правилу округления.
Следовательно, необходимо разграничивать класс точности и полную нормативную конфигурацию математической системы.
7.4. Первоначальная формальная модель системы класса
Для дальнейшего исследования предлагается использовать вспомогательную модель:
M;,P = ;X, D;, E;,P, A;,P, F;, V;,P;,
где:
M;,P — математическая система класса n и профиля P;
X — исходная математическая предметная область;
D; — множество значений конечных представлений;
E;,P — правило экспликации;
A;,P — система допустимых арифметических операций;
F; — правила канонического формирования записей;
V;,P — нормативные требования и процедуры проверки.
В первоначальном варианте в качестве X может использоваться множество рациональных чисел.
Для профиля усечения:
E;,T(x) = T;(x).
Для профиля округления:
E;,R(x) = R;(x).
Однако сами арифметические операции должны задаваться отдельно.
Например, сложение математических значений из D; сохраняет принадлежность этому множеству.
Вместе с тем умножение двух произвольных элементов D; не обязательно даёт элемент того же множества.
Следовательно, для замкнутого классового умножения требуется специальное правило.
Таким образом, математическая система класса определяется не только множеством допустимых значений, но и нормативной организацией операций.
7.5. Система класса и нормативная редакция
Особенно важно различать номер класса и номер редакции стандарта.
Например, первый класс точности определяется количеством десятичных позиций:
d; = 10.
Однако правила обработки соответствующих представлений могут изменяться.
В одной редакции может использоваться усечение по направлению к нулю.
В другой — округление до ближайшего значения.
В третьей могут быть предусмотрены оба профиля.
Следовательно, обозначение «система первого класса» является недостаточным для полного определения всех операций.
Необходимо указать нормативный профиль и редакцию.
В первоначальном варианте целесообразно использовать составное обозначение:
M[n, P, v],
где:
n — класс точности;
P — нормативный профиль;
v — редакция правил.
Например:
M[1, T, 1.0]
обозначает систему первого класса, использующую профиль усечения в редакции 1.0.
Однако данное обозначение является проектным.
Для практической стандартизации необходимо установить правила его регистрации.
Таким образом, класс точности и нормативная версия представляют собой независимые координаты математической системы.
7.6. Одновременное существование как отношение, а не последовательность замены
Предлагается следующее определение.
Определение 7.2. Одновременное существование математических систем различной точности — нормативно обеспеченная возможность параллельного функционирования двух или более математических систем, отличающихся классами конечной экспликации, при сохранении определённости их объектов, операций и интерфейсов.
В данном определении необходимо выделить несколько условий.
Первое — каждая система должна иметь самостоятельную спецификацию.
Второе — необходимо исключить неявное смешение правил.
Третье — должны быть установлены способы идентификации результатов.
Четвёртое — межсистемные преобразования должны осуществляться посредством определённых интерфейсов.
Пятое — математические свойства преобразований должны исследоваться отдельно.
Особенно важно, что более высокий класс не обязательно заменяет более низкий.
Например, система первого класса может использоваться для задач, не требующих дополнительных десятичных позиций.
Одновременно система второго класса может предназначаться для более детальных вычислений.
При этом обе системы могут сохранять самостоятельную нормативную актуальность.
Следовательно, полисистемность предполагает сосуществование специализированных математических режимов, а не обязательное движение к одной окончательной системе.
7.7. Общая точная предметная область и различные системы представления
Для первоначального исследования целесообразно рассмотреть несколько систем, использующих общее множество точных рациональных чисел.
Пусть:
X = Q,
где Q — множество рациональных чисел.
Тогда для каждого класса определяется отображение:
T;: Q ; D;.
Следовательно, одно рациональное число может иметь несколько конечных представлений.
Например:
x = 1/3.
Для первого класса:
T;(x) = 0,3333333333.
Для второго класса предусмотрено сто десятичных позиций.
При усечении все они равны цифре 3.
Однако данные представления относятся к одному исходному рациональному объекту.
Следовательно, целесообразно сохранять общий идентификатор точного числа.
При этом каждое нормативное представление должно иметь собственные координатные характеристики.
Таким образом, общность исходной предметной области не устраняет различий между системами экспликации.
7.8. Самостоятельность арифметических режимов
В предыдущей главе были разграничены вычисления над точными объектами с последующей экспликацией и операции над уже полученными конечными представлениями.
В полисистемной архитектуре соответствующие режимы могут существовать одновременно.
Например, один вычислительный модуль может сохранять точные рациональные значения.
Другой — выполнять операции с представлениями первого класса.
Третий — использовать представления второго класса.
Однако результаты соответствующих модулей не должны автоматически считаться взаимозаменяемыми.
Например:
T;(1/6 + 1/6) = 0,3333333333.
Но:
T;(1/6) + T;(1/6) = 0,3333333332.
Следовательно, различие вычислительных режимов способно приводить к различным результатам даже при одинаковом классе.
Тем более необходимо учитывать такие различия при межклассовом взаимодействии.
Таким образом, полисистемность охватывает не только множество классов, но и множество нормативно определённых вычислительных технологий.
7.9. Алгебраическая структура конечных десятичных сеток
Для каждого класса:
D; = {k/B; : k ; Z}.
При обычном сложении это множество замкнуто.
Действительно, если:
a = k/B;
и
b = l/B;,
то:
a + b = (k + l)/B; ; D;.
Аналогичным образом сохраняется замкнутость относительно вычитания.
Следовательно, D; образует аддитивную абелеву группу.
Однако при обычном умножении замкнутость не гарантируется.
Например:
(1/B;) · (1/B;) = 1/B;;.
В общем случае данное значение не принадлежит D;.
Следовательно, D; не является кольцом относительно обычных сложения и умножения.
Для создания замкнутого классового умножения можно использовать дополнительную операцию усечения.
Однако такая операция, как было показано ранее, способна нарушать ассоциативность и дистрибутивность.
Следовательно, каждая классовая математическая система должна иметь самостоятельно исследованную алгебраическую структуру.
Таким образом, общее название «арифметика» не освобождает от необходимости доказывать свойства конкретных операций.
7.10. Вложенность множеств значений различных классов
Одним из существенных математических свойств рассматриваемой шкалы является вложенность множеств допустимых числовых значений.
Пусть:
m > n.
Тогда:
d; > d;.
При этом:
B;/B; = 10^(d; ; d;)
является положительным целым числом.
Следовательно, любое значение:
a = k/B;
может быть записано в виде:
a = (k · 10^(d; ; d;))/B;.
Таким образом:
D; ; D;.
Однако данное включение относится к математическим значениям конечных десятичных представлений.
Оно не означает, что любая запись класса n автоматически является завершённой нормативной записью класса m.
Для изменения её формата необходимо добавить соответствующее количество завершающих нулей.
Кроме того, такая операция не повышает точность приближения к первоначальному математическому объекту.
Следовательно, необходимо различать вложение числовых сеток и повышение информативности представления исходного объекта.
7.11. Повышение класса и повышение точности результата
Особую проблему представляет термин «повышение точности».
Если увеличивается количество десятичных позиций, возрастает потенциальная различающая способность представления.
Однако для фактического получения дополнительных правильных цифр необходима соответствующая математическая операция.
Например, представление первого класса числа 1/3 имеет вид:
0,3333333333.
Можно добавить девяносто нулей и получить запись длиной сто десятичных позиций.
Однако полученное значение останется:
0,3333333333.
Оно не станет правильной экспликацией второго класса исходного числа 1/3 по правилу усечения.
Для получения такой экспликации необходимо заново вычислить сто десятичных цифр исходного числа либо воспользоваться дополнительной точной информацией.
Следовательно, необходимо различать:
формальное увеличение длины записи;
перевод числового значения в представление другого класса;
получение более точного приближения исходного объекта.
Эти процедуры имеют различные нормативные значения.
Таким образом, повышение класса представления не должно отождествляться с автоматическим улучшением математического результата.
7.12. Нооинженерные интерфейсы между классами
Для обеспечения взаимодействия систем необходимы специальные интерфейсы.
Предлагается следующее определение.
Определение 7.3. Межклассовый нооинженерный интерфейс — нормативно определённый комплекс правил и процедур, обеспечивающий допустимую передачу, преобразование и интерпретацию математических объектов или их представлений между системами различных классов.
В первоначальном варианте интерфейс должен определять:
исходную систему;
целевую систему;
тип передаваемого объекта;
исходный и целевой классы;
нормативные профили операций;
используемое преобразование;
сохраняемые характеристики;
возможную потерю информации;
методы проверки;
статус полученного результата.
Особое значение имеет возможность частичного интерфейса.
Например, преобразование между двумя классами может сохранять значение уже полученного конечного представления.
Но оно не обязательно обеспечивает восстановление исходного точного объекта.
Следовательно, каждый интерфейс должен иметь определённую область применения.
Таким образом, межклассовая совместимость должна рассматриваться как специальное математико-инженерное отношение, а не как универсальное следствие вложенности числовых сеток.
7.13. Три основных режима межклассового взаимодействия
Для первоначальной классификации предлагается выделить три режима.
Первый режим — понижение класса.
Более длинное представление преобразуется в представление меньшего класса по установленному правилу.
Второй режим — сохранение числового значения при увеличении длины записи.
Исходное конечное значение включается в более детальную десятичную сетку с добавлением завершающих нулей.
Третий режим — повторная экспликация исходного математического объекта.
Используя точный исходный объект, система формирует новое представление требуемого класса.
При этом необходимо подчеркнуть, что второй и третий режимы не являются тождественными.
Например, добавление нулей к усечённому представлению 1/3 не восстанавливает отсутствующие цифры исходного рационального числа.
Следовательно, интерфейсы должны содержать самостоятельные идентификаторы операций.
Особое значение имеет возможность сохранения происхождения результата.
Если исходный математический объект известен, его идентификатор должен передаваться независимо от текущей конечной записи.
Таким образом, межклассовое взаимодействие должно быть ориентировано на сохранение математического и нормативного контекста.
7.14. Нооиммунная совместимость полисистемного вычисления
Одновременное функционирование нескольких систем создаёт необходимость специального контроля.
В частности, требуется исключить неявную передачу результатов между несовместимыми нормативными режимами.
Например, одна система может использовать усечение.
Другая — округление к ближайшему значению.
Если результат первой системы поступает во вторую без указания происхождения, может возникнуть неправильная интерпретация.
Следовательно, нооиммунная проверка должна определять:
идентификатор исходной системы;
математический статус объекта;
класс экспликации;
правило формирования;
нормативную редакцию;
допустимые операции;
ограничения межсистемного использования.
Однако положительное заключение об интерфейсной совместимости не означает автоматического сохранения всех математических свойств.
Необходимо установить конкретные инварианты.
Таким образом, нооиммунология может обеспечивать нормативную допустимость полисистемных взаимодействий, но не заменяет математических доказательств их свойств.
7.15. Ноотопоценоз систем различной точности
Совокупность взаимосвязанных математических систем может рассматриваться как специализированный ноотопоценоз.
В его состав входят:
исходные математические объекты;
системы классов конечной экспликации;
нормативные профили операций;
алгоритмы вычисления;
технические реализации;
межклассовые интерфейсы;
процедуры проверки;
регистрационные системы;
стандарты и паспорта результатов.
Однако наличие перечисленных компонентов ещё не означает полноценного формирования нооинженерной экосистемы.
Для этого необходимо определить отношения взаимодействия, требования к устойчивости и механизмы управления нормативными состояниями.
Особое значение имеет возможность изменения отдельных подсистем без разрушения всей архитектуры.
Например, улучшение алгоритма вычисления второго класса не должно автоматически изменять математические правила первого класса.
Следовательно, экосистема должна поддерживать автономность нормативных модулей.
Таким образом, полисистемный математический ноотопоценоз представляет собой организованную среду сосуществования различных классов и технологий.
7.16. Функциональная специализация классов
Одним из преимуществ полисистемного подхода является возможность функциональной специализации.
Например, системы младших классов могут использоваться для вычислений, не требующих большого количества десятичных позиций.
Системы старших классов могут предназначаться для задач повышенной детальности представления.
Однако необходимо учитывать, что практическое назначение определяется не только классом.
В отдельных случаях требуется точная рациональная арифметика.
В других — доказанные интервальные оценки.
В третьих — выполнение операций в конкретном формате машинных чисел.
Следовательно, выбор системы должен осуществляться относительно математической задачи.
Особое значение имеют ресурсные характеристики.
Например, высокий класс требует большего объёма выходного представления.
Но это не означает, что все вычисления в старшем классе обязательно обладают пропорционально большей вычислительной сложностью.
Она зависит от исходного объекта и алгоритма.
Таким образом, функциональная специализация должна определяться совокупностью математических требований, нормативных ограничений и технических ресурсов.
7.17. Развитие классов и нормативное ветвление
Возможность одновременного существования систем различных классов связана также с процессами нооэволюции.
Например, исходная система может использовать только первый класс.
Затем создаётся система второго класса.
Позднее разрабатывается новый профиль округления.
При этом могут возникать параллельные направления развития.
Одно сохраняет исходное правило усечения.
Другое использует округление.
Третье вводит интервальные оценки.
Следовательно, развитие математического ноотопоценоза не обязательно имеет линейный характер.
Особое значение приобретает различие между повышением класса и изменением нормативной редакции.
Первое относится к количеству десятичных позиций.
Второе может затрагивать правила математических операций.
Следовательно, необходимо сохранять самостоятельную историю каждой нормативной линии.
Таким образом, полисистемность предполагает возможность управляемого ветвления математических технологий.
7.18. Паспорт математической системы класса точности
Для практического применения предлагается разработать паспорт математической системы класса точности.
В первоначальном варианте он должен включать:
идентификатор системы;
нормативную редакцию;
исходную математическую предметную область;
номер класса;
количество десятичных позиций;
правила экспликации;
допустимые арифметические операции;
доказанные алгебраические свойства;
правила сравнения;
межклассовые интерфейсы;
ограничения использования;
методы проверки;
показатели технической реализации;
условия воспроизводства;
историю изменений.
При этом необходимо разграничивать математическую спецификацию и программную реализацию.
Один математический профиль может иметь несколько независимых технических воплощений.
Следовательно, паспорт должен допускать связь одной системы с несколькими реализациями.
Особое значение имеет возможность регистрации одновременно действующих классов.
Таким образом, паспортизация должна обеспечивать нормативную определённость полисистемной архитектуры.
7.19. Основные результаты главы
В настоящей главе предложено определение математической системы класса точности и рассмотрены основания одновременного существования систем различных классов.
Показано, что принцип полисистемности не сводится к последовательной замене менее точных систем более точными.
Введена первоначальная формальная модель системы, включающая исходную предметную область, множество конечных значений, правила экспликации, операции и нормативные требования.
Разграничены класс точности, профиль вычислений и нормативная редакция.
Исследована вложенность множеств значений:
D; ; D; при n < m.
Показано, что данная вложенность не означает автоматического повышения точности приближения исходного объекта.
Предложены основные режимы межклассового взаимодействия.
Рассмотрены требования к интерфейсам, проверкам и паспортам.
Показаны возможности функциональной специализации и нормативного ветвления систем.
Таким образом, одновременное существование математических систем различной точности рассматривается как нормативно организованная форма полисистемной математической инженерии, обеспечивающая самостоятельность классов и контролируемость отношений между ними.
Однако для практической реализации необходимо разработать строгие математические правила межклассовых преобразований и координатных соответствий.
Эта задача составляет предмет следующей главы.
Глава 8. Межклассовые соответствия, преобразования и системы математических координат
8.1. Проблема межклассового взаимодействия
В предыдущей главе была обоснована возможность одновременного существования математических систем различных классов точности.
Однако для их совместного использования необходимо определить правила сопоставления объектов и результатов.
Особую проблему составляет то обстоятельство, что классы различаются не только количеством десятичных позиций, но и потенциальной различающей способностью.
При переходе к младшему классу может теряться информация.
При переходе к старшему классу необходимо различать сохранение прежнего конечного значения и получение нового, более точного приближения исходного объекта.
Следовательно, возникает необходимость разработки специальной теории межклассовых отображений.
В её рамках должны исследоваться области определения, математические свойства, обратимость и условия допустимости преобразований.
Особое значение имеет возможность построения систем математических координат.
Такие системы должны позволять устанавливать положение математического объекта и его представлений относительно определённых классов и нормативных профилей.
При этом необходимо учитывать, что координаты в данном случае не обязательно имеют геометрическую природу.
Они могут представлять собой совокупность математических, конструктивных и нормативных характеристик.
Таким образом, требуется разработать теорию межклассовых соответствий и координатных преобразований как специальное направление полисистемной нооинженерной математики.
8.2. Математические координаты и нормативный контекст
Предлагается следующее рабочее определение.
Определение 8.1. Математические координаты нооинженерного объекта — нормативно определённая система характеристик и отношений, позволяющая идентифицировать его положение в конкретной математической системе, системе представлений или совокупности связанных классов.
В первоначальном варианте координатное описание может включать:
исходный математический объект;
математическую систему;
тип объекта;
класс точности;
правило экспликации;
нормативную редакцию;
конечное представление;
сведения о погрешности;
доказательственный статус результата.
Однако необходимо различать идентификатор объекта и его координаты.
Один математический объект может иметь несколько координатных описаний.
Например, рациональное число 1/3 может быть представлено в различных классах конечной экспликации.
При этом исходный объект сохраняет математическое тождество.
Следовательно, координатная система должна поддерживать множественность представлений.
Особое значение имеет возможность различать математическое значение результата и его каноническую запись.
Таким образом, координатизация должна обеспечивать нормативную определённость без неявного отождествления разных уровней представления.
8.3. Первоначальная формальная модель координатного паспорта
Для практической организации предлагается использовать вспомогательную модель:
C(x; n, P, v) = ;I;, S, n, d;, P, v, a, e, q;,
где:
I; — идентификатор исходного математического объекта;
S — математическая система;
n — класс экспликации;
d; — количество десятичных позиций;
P — нормативный профиль;
v — редакция;
a — математическое значение конечного представления;
e — характеристика погрешности;
q — доказательственный и технический статус.
При этом каноническая текстовая запись может фиксироваться дополнительным полем.
Данная модель является проектной.
Она не предполагает, что все математические объекты допускают один универсальный набор координат.
Для рациональных чисел возможен профиль точного дробного задания.
Для иррациональных чисел — иной профиль математического определения и вычисления.
Следовательно, общая координатная модель должна иметь специализированные расширения.
Особенно важно, что одинаковое конечное значение a может происходить от различных исходных объектов.
Поэтому идентификатор исходного объекта является существенной частью полного координатного описания.
8.4. Математическое основание межклассовых преобразований
Введём обозначения:
d; = 10^n;
B; = 10^(d;);
h; = 1/B;.
Тогда:
D; = {k/B; : k ; Z}.
Для любых положительных целых:
m > n
выполняется:
D; ; D;.
Следовательно, между соответствующими множествами можно определить несколько математически различных отображений.
Первое сохраняет числовое значение и переводит его в более детальную сетку.
Второе преобразует значение старшего класса в младший посредством усечения.
Третье заново вычисляет представление исходного точного объекта.
Однако только первые два отображения могут определяться исключительно по уже имеющемуся конечному значению при соответствующих условиях.
Третье требует доступа к исходному математическому объекту либо достаточной дополнительной информации.
Следовательно, теория межклассовых соответствий должна разграничивать эти операции.
8.5. Каноническое вложение в старший класс
Пусть:
m > n.
Определим отображение:
j;;;: D; ; D;
по правилу:
j;;;(a) = a.
На уровне математических значений это обычное включение.
Однако на уровне канонических десятичных записей оно соответствует добавлению завершающих нулей.
Например, значение первого класса:
0,5000000000
может быть представлено во втором классе записью со ста позициями, из которых после цифры 5 следуют девяносто девять нулей.
При этом математическое значение остаётся равным 1/2.
Следовательно, такое преобразование сохраняет числовое значение.
Однако оно не гарантирует улучшения приближения другого исходного объекта.
Например, если значение первого класса получено посредством усечения числа 1/3, добавление нулей не восстанавливает недостающие цифры.
Таким образом, каноническое вложение является преобразованием формы представления, а не универсальной операцией довычисления исходного числа.
8.6. Проекция из старшего класса в младший
Для перехода в противоположном направлении определим отображение:
p;;;: D; ; D;,
где m > n.
При использовании профиля усечения положим:
p;;;(a) = T;(a).
Данная операция преобразует значение старшего класса в соответствующее усечённое значение младшего класса.
Например, если представление второго класса числа 1/3 содержит сто цифр 3 после запятой, его проекция в первый класс даёт:
0,3333333333.
Однако необходимо учитывать, что проекция является преобразованием уже полученного конечного значения.
Она не обязательно обладает обратным отображением.
Различные значения старшего класса могут иметь одинаковую проекцию в младший.
Следовательно, при понижении класса может происходить потеря информации.
Таким образом, межклассовая проекция представляет собой нормативно определённую операцию уменьшения детализации конечного представления.
8.7. Отношение вложения и проекции
Рассмотрим композицию:
p;;;(j;;;(a))
для:
a ; D;.
Поскольку a уже принадлежит младшей десятичной сетке, его усечение до того же класса не изменяет математического значения.
Следовательно:
p;;; ; j;;; = id_D;.
Здесь id_D; обозначает тождественное отображение множества D;.
Однако обратная композиция в общем случае не является тождественной:
j;;; ; p;;; ; id_D;.
Например, значение старшего класса может содержать ненулевые цифры после первых десяти десятичных позиций.
Проекция удаляет соответствующую информацию.
Последующее вложение добавляет нули, но не восстанавливает исходные цифры.
Следовательно, j;;; является правым обратным для проекции на младшей сетке, но не обеспечивает полного восстановления любого исходного значения старшей сетки.
Таким образом, математические отношения между вложением и проекцией должны описываться точными формулами, а не общим выражением «повышение и понижение точности».
8.8. Согласованность последовательных проекций
Рассмотрим три класса:
l < m < n.
Для операции усечения можно определить преобразования:
p;;;;
p;;;;
p;;;.
Тогда выполняется:
p;;; ; p;;; = p;;;.
Это следует из согласованности последовательных усечений.
Следовательно, понижение класса через промежуточный уровень даёт то же числовое значение, что и непосредственное усечение в целевой класс.
Однако данное свойство относится к выбранному профилю усечения.
Для округления к ближайшему значению соответствующая композиция в общем случае может давать другой результат вследствие двойного округления.
Следовательно, нельзя автоматически распространять свойство согласованности на все нормативные профили.
Таким образом, межклассовые координатные преобразования должны исследоваться относительно конкретной математической операции.
8.9. Проекция не является универсальным арифметическим гомоморфизмом
Особое значение имеет вопрос о сохранении арифметических операций.
Пусть:
m > n.
Рассмотрим два числа старшей сетки:
a = 6h;/10;
b = 6h;/10.
Поскольку шаг старшего класса значительно меньше h;/10, оба значения принадлежат D;.
При проекции в младший класс:
p;;;(a) = 0;
p;;;(b) = 0.
Следовательно:
p;;;(a) + p;;;(b) = 0.
Однако:
a + b = 1,2h;.
Поэтому:
p;;;(a + b) = h;.
Следовательно:
p;;;(a + b) ; p;;;(a) + p;;;(b).
Таким образом, проекция усечения в общем случае не сохраняет сложение.
Следовательно, она не является гомоморфизмом аддитивных групп для всех значений соответствующих сеток.
Это обстоятельство имеет принципиальное значение для построения межклассовой арифметики.
Нельзя считать, что любое арифметическое выражение допускает произвольное перемещение операции проекции без изменения результата.
8.10. Потеря информации при понижении класса
Для более точного исследования необходимо определить характер информационной потери.
Пусть:
a ; D;
и:
b = p;;;(a).
Тогда известно:
b = T;(a).
Однако по одному значению b невозможно в общем случае однозначно восстановить a.
Например, несколько различных значений старшего класса могут иметь одинаковые первые десять десятичных позиций при усечении.
Следовательно, проекция является отображением типа «многие к одному».
Однако необходимо различать потерю информации о конечном значении старшего класса и потерю сведений об исходном точном математическом объекте.
Если исходный объект зарегистрирован отдельно, его математическое определение может сохраняться.
Например, точное число 1/3 может быть повторно эксплицировано в любом классе, для которого предусмотрена соответствующая процедура.
Следовательно, информационная потеря при преобразовании конечных записей не обязательно означает утрату математического определения исходного объекта.
Таким образом, межклассовая система должна обеспечивать раздельное хранение точных исходных данных и производных конечных представлений.
8.11. Повторная экспликация как самостоятельное преобразование
Для перехода от младшего представления к более детальному результату необходимо использовать понятие повторной экспликации.
Предлагается следующее определение.
Определение 8.2. Повторная межклассовая экспликация — процедура формирования представления нового класса непосредственно из исходного математического объекта либо из другого источника, содержащего достаточную информацию для правильного выполнения соответствующей операции.
В случае рационального числа:
x = p/q
такая процедура может использовать точное деление.
Для перехода от первого класса ко второму вычисляется:
T;(x).
При этом не обязательно использовать ранее полученное значение:
T;(x)
как исходное числовое значение.
Например, для числа 1/3 представление второго класса содержит сто цифр 3.
Однако простое добавление нулей к десятизначной записи не даёт такого результата.
Следовательно, повторная экспликация принципиально отличается от канонического вложения.
Таким образом, корректное повышение точности приближения предполагает восстановление или сохранение связи с исходным математическим объектом.
8.12. Межклассовые преобразования при округлении
Если используется округление к ближайшему значению, необходимо учитывать возможность двойного округления.
Пусть:
R;(x)
обозначает округление исходного числа до класса n с выбором чётного последнего сохраняемого разряда при точном равенстве расстояний.
В общем случае:
R;(R;(x)) ; R;(x)
при m > n.
Рассмотрим пример:
x = 1 + 5·10^(;11) + 10^(;101).
Для второго класса:
d; = 100.
Сначала округление до ста позиций даёт:
R;(x) = 1 + 5·10^(;11).
Полученное значение находится точно посередине между:
1,0000000000
и
1,0000000001.
При повторном округлении до первого класса с выбором чётного последнего разряда получаем:
R;(R;(x)) = 1,0000000000.
Но исходное число несколько больше середины.
Следовательно:
R;(x) = 1,0000000001.
Таким образом, результаты не совпадают.
Этот пример показывает необходимость самостоятельного исследования межклассовых преобразований для каждого нормативного профиля.
8.13. Межклассовые соответствия и математическое равенство
При использовании различных классов необходимо различать несколько отношений.
Первое — точное математическое равенство исходных объектов.
Второе — совпадение конечных представлений одного класса.
Третье — соответствие представлений разных классов по установленному преобразованию.
Четвёртое — отношение происхождения от одного исходного объекта.
Например, десятизначное и стозначное представления числа 1/3 происходят от одного рационального числа.
Однако их математические значения при усечении различаются.
Следовательно, они не являются равными как конечные рациональные приближения.
При этом их можно признать нормативно согласованными относительно операции понижения класса.
Таким образом, возникает необходимость специального понятия межклассовой согласованности.
Предлагается следующее определение.
Определение 8.3. Межклассовая согласованность представлений — выполнение установленного отношения между результатами разных классов относительно конкретного исходного объекта, нормативного профиля и правила преобразования.
При этом согласованность не должна отождествляться с числовым равенством представлений.
8.14. Интервальная интерпретация координат
Для проверки межклассовых соответствий могут использоваться интервальные представления.
Пусть:
a = T;(x).
Тогда можно установить область возможных значений исходного x.
Если a > 0, то:
a ; x < a + h;.
Если a < 0, то:
a ; h; < x ; a.
Если a = 0, то:
;h; < x < h;.
Следовательно, одно конечное значение определяет определённую область возможных исходных чисел.
Для более высокого класса соответствующая область может быть существенно уже.
Однако необходимо учитывать, что интервал характеризует информацию, содержащуюся в результате усечения, а не полное математическое определение исходного объекта.
Если исходное число известно точно, его положение в соответствующем интервале устанавливается дополнительно.
Таким образом, интервальная интерпретация может использоваться как средство анализа информации, сохраняемой при межклассовых преобразованиях.
8.15. Согласованные последовательности и их пределы
Особую математическую задачу представляет исследование последовательностей представлений различных классов.
Пусть:
a; ; D;
для каждого положительного целого n.
Назовём такую последовательность согласованной относительно усечения, если для любых m > n выполняется:
T;(a;) = a;.
В этом случае:
|a; ; a;| < h;.
Поскольку:
h; ; 0,
соответствующая последовательность является фундаментальной.
Следовательно, в обычной системе действительных чисел она имеет предел.
Однако необходимо учитывать важную особенность.
Одна лишь межклассовая согласованность не гарантирует, что каждый член последовательности является усечением её предела.
Это связано с граничными особенностями десятичного представления.
Следовательно, наличие согласованной последовательности ещё не заменяет полного нормативного определения её происхождения.
Таким образом, связь согласованных классовых последовательностей с точными математическими объектами требует дополнительного исследования.
8.16. Пример неоднозначности согласованного представления
Рассмотрим точное число:
x = 1.
Одна согласованная последовательность имеет вид:
a; = 1
для каждого класса.
Очевидно:
T;(1) = 1.
Теперь рассмотрим другую последовательность:
b; = 1 ; h;.
Например, её первый член имеет вид:
0,9999999999.
Каждый следующий член содержит большее количество девяток после запятой.
При этом для любых m > n выполняется:
T;(b;) = b;.
Следовательно, последовательность b; также согласована относительно межклассовых проекций.
Однако:
b; ; 1.
При этом:
T;(1) = 1 ; b;.
Таким образом, две различные согласованные последовательности имеют один и тот же предел.
Следовательно, согласованность межклассовых представлений и совпадение их пределов не обеспечивают автоматического тождества всех нормативных координатных записей.
Для устранения соответствующей неоднозначности необходимо дополнительно фиксировать исходный объект и правило выбора представления.
Этот результат особенно важен для проектирования машинно-обрабатываемых межклассовых реестров.
8.17. Координатный паспорт межклассового преобразования
Для практической организации предлагается разработать специальный паспорт.
Он должен включать:
идентификатор исходного математического объекта;
исходную математическую систему;
исходный класс;
целевой класс;
нормативные профили;
исходную редакцию;
целевую редакцию;
вид преобразования;
исходное представление;
результат;
сохраняемые характеристики;
возможную потерю информации;
условия обратимости;
математические доказательства;
результаты технических испытаний;
ограничения использования.
Особое значение имеет различие между вложением, проекцией и повторной экспликацией.
Они не должны регистрироваться под одним общим кодом без уточнения.
Например, добавление нулей к конечному значению и вычисление дополнительных правильных десятичных цифр исходного числа являются разными операциями.
Следовательно, паспорт должен обеспечивать их самостоятельную идентификацию.
Таким образом, документирование межклассовых преобразований становится одним из основных средств нормативной прослеживаемости.
8.18. Граф межклассовых связей
Совокупность математических систем различных классов может быть представлена посредством типизированного графа.
Его вершинами выступают нормативно идентифицированные математические системы.
Рёбрами — допустимые преобразования и отношения.
При этом необходимо различать несколько типов рёбер:
вложение;
проекция;
повторная экспликация;
нормативная совместимость;
историческое наследование;
преобразование вычислительного профиля.
Однако эти отношения не должны автоматически объединяться.
Например, наличие проекции из второго класса в первый не означает существования обратного преобразования, восстанавливающего исходное стозначное значение.
А историческое происхождение одной системы от другой не гарантирует математической совместимости всех операций.
Следовательно, межклассовый граф должен быть типизированным.
Особое значение имеет возможность построения формальных композиционных правил.
Однако такая композиция должна сохранять нормативную определённость каждого преобразования.
Таким образом, граф межклассовых связей может рассматриваться как элемент ноокартографии математического ноотопоценоза.
8.19. Ноогеодезия математических классов
Межклассовые преобразования создают основу для специального направления математической ноогеодезии.
Его предметом выступают способы определения положения объектов относительно различных классов и нормативных систем.
При этом координаты должны включать не только числовую характеристику точности.
Необходимо учитывать исходную математическую предметность.
Например, одно рациональное число может иметь множество конечных представлений.
Но оно не становится множеством различных точных чисел только вследствие их существования.
Следовательно, математическая ноогеодезия должна поддерживать связь различных координатных описаний с одним исходным объектом.
Особое значение имеет возможность построения частичных координатных преобразований.
Например, некоторые системы могут поддерживать только определённые классы или операции.
Следовательно, универсальное преобразование не должно предполагаться без специального доказательства.
Таким образом, ноогеодезия математических классов может обеспечивать нормативную локализацию объектов внутри полисистемного ноотопоценоза.
8.20. Стандартизация межклассовых интерфейсов
Для практического использования предлагается разработать специализированный проект стандарта:
НСТ-НОО-03. «Межклассовые преобразования математических представлений. Интерфейсы, координаты и контроль согласованности».
В первоначальном варианте он должен устанавливать:
определения исходных и целевых классов;
правила идентификации объектов;
форматы координатных паспортов;
виды межклассовых преобразований;
правила вложения;
правила проекции;
условия повторной экспликации;
требования к сохранению исходных данных;
способы регистрации информационных потерь;
математические критерии согласованности;
ограничения преобразований округления;
процедуры проверки;
правила управления нормативными редакциями.
Однако данный документ имеет статус исследовательского проекта.
Для его практического принятия необходимы самостоятельные доказательства и технические испытания соответствующих преобразований.
Особенно важно учитывать, что математическая корректность интерфейса определяется не только форматом данных.
Она зависит от сохранения установленного смыслового и операционного содержания.
8.21. Основные результаты главы
В настоящей главе предложены первоначальные основания теории межклассовых соответствий и математических координат.
Разработана модель координатного паспорта математического объекта.
Исследована вложенность множеств значений различных классов.
Определены операции канонического вложения и межклассовой проекции.
Установлено соотношение:
p;;; ; j;;; = id_D;.
Показано, что обратная композиция в общем случае не восстанавливает исходное значение старшего класса.
Доказана согласованность последовательных проекций усечения.
На конкретном примере установлено, что проекция не является универсальным гомоморфизмом относительно сложения.
Разграничены вложение конечного значения и повторная экспликация исходного математического объекта.
Рассмотрены особенности межклассового округления и проблема двойного округления.
Предложено определение межклассовой согласованности.
Исследована интервальная интерпретация конечных представлений.
Показано, что согласованные последовательности различных классов могут иметь один предел, не являясь тождественными системами усечений этого предела.
Предложены структура координатного паспорта, типизированный граф межклассовых связей и первоначальный проект соответствующего ноостандарта.
Таким образом, межклассовые соответствия и преобразования рассматриваются как система математически и нормативно определённых отображений, обеспечивающих взаимодействие различных классов при явном контроле сохраняемых свойств и возможной потери информации.
Однако последовательное повышение классов вызывает самостоятельную проблему.
Необходимо исследовать, при каких условиях довычисление может продолжаться и чем потенциальная неограниченность такого процесса отличается от фактического завершения экспликации.
Эта задача составляет предмет следующей главы.
Глава 9. Потенциально неограниченное довычисление и его отличие от завершённой экспликации
9.1. Проблема неограниченного продолжения вычислений
В предшествующих главах была разработана система классов конечной десятичной экспликации математических объектов.
Её основное правило имеет вид:
d; = 10^n.
При увеличении номера класса возрастает количество предусмотренных десятичных позиций.
Следовательно, возникает возможность последовательного формирования всё более длинных представлений.
Однако необходимо различать математическую определённость соответствующей последовательности и фактическое выполнение всех предусмотренных вычислений.
Например, можно определить правило получения представлений первого, второго, третьего и последующих классов.
Однако из этого не следует, что все такие представления уже вычислены.
Следовательно, возникает необходимость специального исследования потенциально неограниченного довычисления.
В данном контексте речь идёт о нормативно организованной последовательности конечных вычислительных задач.
При этом термин «потенциально неограниченное» должен использоваться в операционном, а не произвольно расширенном философском значении.
Необходимо особенно тщательно разграничивать конечность каждой задачи, отсутствие заранее установленного верхнего номера класса и фактически завершённый объём вычисления.
Таким образом, настоящая глава посвящена формальной и инженерной определённости процессов последовательного довычисления.
9.2. Историко-методологическое разграничение
В авторской гармонической математике вопрос о природе конечного и бесконечного имеет самостоятельное философско-математическое значение.
В «Пролегоменах» 2002 года изложена особая концепция гармонической арифметики, связанная с использованием абстракции актуальной бесконечности и критическим отношением к стандартной трактовке потенциальной бесконечности.
Следовательно, необходимо избежать ошибочного отождествления исходной авторской философской концепции с современным техническим термином «потенциально неограниченное довычисление».
В настоящей главе данное выражение имеет специальное операционное содержание.
Оно означает, что для любого заранее выбранного допустимого номера класса можно поставить определённую конечную задачу экспликации.
Однако из этого не следует утверждение о философской природе бесконечности.
Также не предполагается, что фактически завершено бесконечное число вычислений.
Таким образом, понятие довычисления вводится как ноотехническая характеристика вычислительного процесса.
Его математические свойства исследуются относительно конкретных алгоритмов и систем представления.
При этом вопросы о статусе актуальной бесконечности и основаниях гармонической арифметики сохраняют самостоятельное теоретическое значение.
Их нельзя считать автоматически решёнными посредством разработки конечных вычислительных технологий.
9.3. Определение потенциально неограниченного довычисления
Предлагается следующее рабочее определение.
Определение 9.1. Потенциально неограниченное довычисление — нормативно организованный процесс последовательного получения конечных представлений математического объекта, для которого правило формирования допускает продолжение к новым классам без заранее установленного максимального номера, при сохранении определённости каждой отдельной вычислительной задачи.
В данном определении существенны несколько обстоятельств.
Во-первых, исходный математический объект должен быть установлен.
Во-вторых, необходимо определить систему классов.
В-третьих, должны существовать правила вычисления соответствующих представлений.
В-четвёртых, каждый конкретный этап предполагает конечный результат.
В-пятых, требуется различать постановку задачи и её фактическое выполнение.
В-шестых, необходимо сохранять нормативную преемственность между результатами.
При этом не следует автоматически предполагать, что довычисление каждого объекта является технически осуществимым в любой среде.
Например, один математический объект может иметь эффективный алгоритм вычисления цифр.
Другой может требовать значительно больших ресурсов.
Третий может быть задан способом, не обеспечивающим универсальной процедуры правильного округления для всех рассматриваемых классов.
Следовательно, определение довычисления должно сопровождаться условиями алгоритмической применимости.
9.4. Конечность каждого класса
Пусть:
n ; N, n ; 1.
Тогда:
d; = 10^n.
Для каждого фиксированного n величина d; представляет собой конечное натуральное число.
Следовательно, запись соответствующего класса должна содержать конечное количество десятичных позиций.
Однако при увеличении n количество позиций не ограничено одной постоянной величиной.
Для любого заранее выбранного положительного целого M существует номер класса n, для которого:
10^n > M.
Таким образом, последовательность длин классов не имеет конечной верхней границы.
Однако данное математическое свойство не означает фактического существования единого завершённого текста, содержащего все цифры всех возможных классов.
Следовательно, необходимо различать:
неограниченность последовательности заданий;
конечность каждого отдельного задания;
фактическую завершённость отдельного результата.
Это различие является фундаментальным для дальнейшей ноотехнической интерпретации.
9.5. Математическая определённость алгоритма и завершённость вычисления
Одной из распространённых ошибок является неявное отождествление наличия алгоритма с фактическим выполнением всех предусмотренных операций.
Например, существует простой алгоритм десятичного деления рациональных чисел.
Он может использоваться для получения произвольно заданного конечного количества цифр рационального числа 1/3.
Однако математическое существование такого алгоритма не означает, что фактически уже выписаны все возможные конечные представления.
Следовательно, необходимо различать:
алгоритмическую определённость — наличие установленной вычислительной процедуры;
параметрическую определённость — возможность задания конкретного класса;
техническую осуществимость — способность выбранной реализации выполнить соответствующую задачу;
фактическую завершённость — получение предусмотренного результата;
подтверждённую корректность — наличие необходимых доказательств или проверок.
Указанные характеристики могут существовать независимо.
Например, алгоритм может быть математически обоснован, но его реализация не поддерживать определённый высокий класс.
Следовательно, ноотехническая оценка должна фиксировать отдельные статусы.
Таким образом, неограниченная математическая применимость правила не должна отождествляться с неограниченными ресурсными возможностями конкретной технической системы.
9.6. Формальная модель процесса довычисления
Для первоначальной организации предлагается использовать модель:
G;,P(n) = E;,P(x),
где:
x — исходный математический объект;
P — нормативный профиль;
n — номер класса;
E;,P — операция экспликации;
G;,P(n) — результат соответствующего класса.
Однако данная запись описывает математическое правило.
Она не означает, что все значения G;,P(n) фактически вычислены.
Для технического процесса необходимо дополнительно определить множество завершённых заданий.
Например:
C ; N;,
где C содержит номера классов, экспликации которых фактически получены.
При этом в определённый момент C может быть конечным.
Например:
C = {1, 2, 3}.
Это означает, что завершены вычисления первых трёх классов.
Однако математическое правило может сохранять применимость к следующим классам.
Следовательно, необходимо различать область определения математического генератора и множество фактически завершённых вычислительных заданий.
9.7. Пример довычисления рационального числа
Рассмотрим точное рациональное число:
x = 1/7.
Его десятичное развитие имеет период:
142857.
Следовательно, для любого конечного количества десятичных позиций можно сформировать соответствующий префикс.
Для первого класса:
d; = 10.
При усечении получаем:
T;(1/7) = 0,1428571428.
При округлении к ближайшему значению:
R;(1/7) = 0,1428571429.
Для второго класса необходимо сформировать сто цифр после запятой.
Они определяются периодическим правилом.
Однако само указание периода не должно автоматически считаться фактически завершённой стозначной записью, если нормативное задание требует именно явного развёрнутого представления.
Для его получения необходимо выполнить соответствующую процедуру.
Таким образом, рациональные числа демонстрируют различие между компактным точным правилом генерации и фактически сформированным результатом определённого класса.
9.8. Пример довычисления числа ;
Число ; является точно определённым математическим объектом.
Однако его десятичная запись бесконечна и непериодична.
Для получения конечных приближений могут использоваться математические алгоритмы, сопровождаемые соответствующими оценками.
Для первого класса при усечении получаем:
T;(;) = 3,1415926535.
Для второго класса требуется сто десятичных позиций.
При этом необходимо не просто получить некоторую последовательность цифр, но и установить соответствие результата точному математическому объекту.
Особое значение приобретает контроль погрешности вычислений.
Если алгоритм выдаёт приближённое значение ;, необходимо удостовериться, что точное число находится в достаточно узком интервале, позволяющем определить требуемые цифры.
В противном случае полученный результат может быть недостаточно обоснован.
Следовательно, довычисление иррациональных чисел требует соединения алгоритмических процедур с математическими сертификатами корректности.
Однако даже наличие такого метода не означает фактического завершения вычислений произвольно высокого класса.
9.9. Последовательность классов и нормативная согласованность
Для операции усечения можно рассматривать последовательность:
T;(x), T;(x), T;(x), …
При этом выполняется:
T;(T;(x)) = T;(x)
для:
m > n.
Следовательно, последовательность обладает межклассовой согласованностью.
Каждое более длинное усечённое представление содержит информацию, позволяющую получить результат меньшего класса.
Однако необходимо учитывать, что указанное свойство относится именно к операции усечения.
Для округления к ближайшему значению последовательное преобразование может приводить к другому результату вследствие двойного округления.
Следовательно, нормативный профиль должен определять правила довычисления.
Особое значение имеет возможность независимого вычисления каждого класса из исходного математического объекта.
Такой подход позволяет избегать ошибок, возникающих вследствие неоднократного округления промежуточных результатов.
Таким образом, согласованность довычисления должна определяться относительно математических свойств конкретного профиля.
9.10. Приближение к исходному объекту
Для операции усечения справедлива оценка:
|x ; T;(x)| < h;,
где:
h; = 10^(;10^n).
При увеличении n величина h; стремится к нулю.
Следовательно:
T;(x) ; x
в обычном математическом смысле.
Однако необходимо различать математическое утверждение о пределе и фактически завершённые результаты вычислений.
Доказательство сходимости не предполагает, что бесконечное количество конечных представлений уже получено.
Оно устанавливает определённое свойство математически заданной последовательности.
Следовательно, необходимо разграничивать:
теорему о сходимости;
алгоритм получения отдельного члена;
фактическое вычисление конечного набора членов.
Данные положения могут быть связаны, но не являются тождественными.
Таким образом, предельные свойства последовательности классов могут исследоваться строго математически без утверждения о фактическом завершении бесконечного вычислительного процесса.
9.11. Согласованная последовательность не заменяет исходный объект
В предыдущей главе было показано, что последовательность конечных представлений может быть согласованной относительно проекций и иметь определённый предел.
Однако не всякая такая последовательность обязательно совпадает с каноническими усечениями своего предела.
Например, рассмотрим:
a; = 1 ; h;.
Каждое значение принадлежит соответствующему множеству D;.
При этом:
T;(a;) = a;
для:
m > n.
Следовательно, последовательность согласована.
Однако:
a; ; 1.
При этом:
T;(1) = 1 ; a;.
Следовательно, межклассовая согласованность сама по себе не гарантирует, что соответствующие значения были сформированы непосредственным усечением исходного точного объекта.
Особое значение приобретает проблема происхождения.
Необходимо знать, какая математическая конструкция была исходной и какое правило использовалось для формирования каждого результата.
Таким образом, сохранение нормативной преемственности последовательности не должно заменять документирование её точного математического основания.
9.12. Вычислимость и корректное округление
Одной из наиболее важных математических проблем является различие между возможностью вычислять всё более точные приближения числа и возможностью завершить правильно округлённое представление установленного класса.
Пусть число задано алгоритмом, который для любого положительного рационального ; позволяет получить рациональное приближение с погрешностью меньше ;.
Такая возможность обеспечивает математическую вычислимость числа в обычном конструктивном смысле.
Однако для правильного округления до конкретной десятичной сетки необходимо установить положение числа относительно границ округления.
Если исходное число находится строго внутри одной области округления, достаточно узкая доказанная оценка позволяет определить результат.
Но если число расположено точно на границе между соседними представлениями, необходимо применить специальное правило.
При этом одни лишь последовательно уточняемые приближения не всегда позволяют за конечное время доказать точное равенство граничному значению.
Следовательно, возможность получать приближения произвольной точности не означает автоматически существования универсальной завершающей процедуры правильного округления по одной лишь приближённой информации во всех граничных случаях.
Для рациональных чисел с точным дробным заданием такая проблема решается посредством целочисленных операций.
Для других математических объектов могут потребоваться специальные доказательства или дополнительные сведения.
Таким образом, корректное довычисление должно сопровождаться анализом алгоритмической разрешимости конкретной задачи экспликации.
9.13. Граничные случаи усечения
Аналогичная проблема возникает при усечении.
Операция:
T;(x) = sgn(x) · floor(|x|B;)/B;
имеет разрывы на ненулевых границах десятичной сетки.
Следовательно, если число известно только посредством последовательности приближений, необходимо установить, находится ли оно по одну или другую сторону соответствующей границы.
Например, пусть неизвестное точно значение близко к:
1,0000000000.
При усечении до десяти позиций результаты для значений непосредственно ниже и непосредственно выше указанной границы могут различаться.
Поэтому необходимо иметь достаточно сильное математическое основание для выбора результата.
В отдельных случаях такое основание может быть получено посредством интервальных оценок.
В других может потребоваться точное символическое исследование.
Следовательно, сам факт существования вычислительного алгоритма приближений ещё не гарантирует автоматически завершения любой процедуры усечения в любом нормативном контексте.
Таким образом, для полноценной системы довычисления необходимо исследовать не только требуемое количество позиций, но и математические условия однозначного определения конечного результата.
9.14. Сертифицированная интервальная экспликация
Одним из возможных решений является использование доказанных интервалов.
Пусть:
x ; [L, U].
Если оба конца интервала находятся в одной области, которой нормативная операция сопоставляет одно и то же конечное представление, результат можно считать определённым.
Например, при усечении достаточно установить, что весь интервал принадлежит одному классу прообразов соответствующего конечного значения.
Для округления необходимо учитывать границы между соседними представлениями.
Если интервал пересекает такую границу, может потребоваться дополнительное уточнение.
Однако необходимо учитывать возможность точного совпадения исходного числа с границей.
В таком случае простое уменьшение интервала не всегда обеспечивает завершённое решение без дополнительного математического знания.
Следовательно, сертифицированная экспликация должна включать правила обработки неразрешённых граничных ситуаций.
Например, система может иметь статус:
«Требуется дополнительное доказательство».
Или:
«Правильное округление не установлено имеющимися данными».
Такой статус не означает математической неопределённости исходного объекта.
Он отражает ограничение применённой процедуры.
Таким образом, интервальные методы могут служить важным инструментом довычисления, но также требуют нормативного контроля.
9.15. Довычисление и сохранение исходного объекта
Одним из основных условий корректного довычисления является сохранение математической связи между последовательными представлениями и исходным объектом.
Например, если известно только усечённое представление первого класса:
0,3333333333,
невозможно однозначно определить, какие цифры должны следовать далее для произвольного исходного числа.
Однако если исходный объект зарегистрирован как:
x = 1/3,
можно продолжить вычисление.
Следовательно, повторная экспликация предполагает наличие достаточных данных об исходном объекте.
Особое значение приобретает ноокадастровая регистрация.
Она должна связывать отдельные представления с определённой математической сущностью.
При этом необходимо сохранять различие между идентификатором исходного числа и идентификаторами конечных результатов.
Следовательно, система довычисления должна поддерживать нормативную прослеживаемость происхождения каждой последовательности цифр.
Таким образом, непрерывность технического вычислительного процесса не заменяет математической определённости исходного задания.
9.16. Потенциальная и фактическая области завершённости
Для практической организации предлагается разграничивать две области.
Область математической предусмотренности содержит номера классов, для которых определено нормативное вычислительное задание.
Область фактической завершённости содержит номера классов, представления которых реально получены.
Например, математическая спецификация может предусматривать все положительные целые номера классов.
Однако техническая реализация может иметь подтверждённые результаты только для первых трёх классов.
В таком случае необходимо указать:
математическая область: n ; 1;
подтверждённые завершённые классы: n = 1, 2, 3.
Однако данная запись не должна считаться универсальной характеристикой программы без соответствующих испытаний.
Например, программа может поддерживать одни исходные числа и иметь ограничения для других.
Следовательно, необходимо фиксировать предметную область и ресурсные условия.
Особое значение имеет возможность частичного завершения.
Например, вычисление четвёртого класса может быть начато, но не закончено.
Следовательно, необходимо отдельно регистрировать количество фактически полученных позиций.
Таким образом, математическая предусмотренность, техническая поддержка и фактическая завершённость являются независимыми характеристиками системы довычисления.
9.17. Ресурсные ограничения
При увеличении класса быстро возрастает объём предусмотренного представления.
Например:
d; = 10^6;
d; = 10^9;
d;; = 10^12.
Следовательно, даже при математически простом исходном объекте формирование полной несжатой записи высокого класса может требовать значительных ресурсов.
При этом необходимо учитывать несколько характеристик.
Время вычисления зависит от алгоритма и технической реализации.
Объём хранения зависит от количества выходных символов и используемого формата.
Возможность передачи зависит от характеристик соответствующей инфраструктуры.
Стоимость проверки зависит от метода подтверждения правильности результата.
Возможность повторного получения зависит от сохранения исходных данных и вычислительных средств.
Особое значение имеет различие между вычислением и записью результата.
Например, математическое значение может быть получено в компактной форме, но его полная развёрнутая экспликация требует отдельной процедуры.
Если стандарт требует явной записи N символов, то в обычной модели последовательного вывода необходимо выполнить по меньшей мере количество операций записи, пропорциональное N.
Однако конкретные технические методы могут использовать параллельную обработку, сжатие и другие способы организации данных.
Следовательно, ресурсные оценки должны формулироваться относительно определённой технической модели.
Таким образом, высокая стоимость экспликации не означает математической бесконечности результата.
9.18. Сжатое представление и нормативная завершённость
Особую задачу представляет использование сжатых и алгоритмических представлений.
Например, число 1/3 может быть задано конечной дробной записью.
Его десятичные цифры можно получать посредством простой процедуры.
Однако запись алгоритма не содержит явно всех цифр любого заданного высокого класса.
Следовательно, необходимо разграничить:
точное математическое обозначение;
алгоритмическое представление;
сжатую запись конечной последовательности;
полную развёрнутую экспликацию.
При этом сжатая форма не должна считаться неполноценной в любой математической задаче.
Она может обладать высокой конструктивной эффективностью.
Однако её нормативный статус зависит от предъявленного требования.
Если требуется именно развёрнутая запись с установленным количеством позиций, необходимо фактически получить соответствующий результат либо изменить сам нормативный формат.
Следовательно, нельзя автоматически объявлять алгоритмический генератор эквивалентом завершённой экспликации в инженерном смысле.
Таким образом, полнота математического определения и полнота развёрнутого технического представления должны регламентироваться раздельно.
9.19. Проверка длинных результатов
Одной из центральных задач становится проверка правильности результатов высокого класса.
Например, можно сформировать запись, содержащую миллион десятичных позиций.
Однако необходимо установить, соответствуют ли они исходному математическому объекту.
Простая проверка длины файла недостаточна.
Она подтверждает количественную характеристику записи, но не правильность всех цифр.
Для полноценной проверки могут использоваться разные методы.
Независимое вычисление предполагает получение результата другим алгоритмом.
Математическое свидетельство может обеспечивать проверку определённых свойств результата.
Контрольные суммы предназначены для обнаружения изменений данных при хранении или передаче.
Блочные проверки позволяют исследовать отдельные части представления.
Формальные доказательства устанавливают свойства алгоритма или вычислительной процедуры.
Однако необходимо учитывать доказательственные ограничения каждого метода.
Например, контрольная сумма подтверждает определённые свойства целостности данных, но не доказывает, что файл первоначально содержал правильные цифры ;.
А совпадение результатов двух программ не исключает возможность общей ошибки в их математической спецификации.
Следовательно, необходимо использовать различные уровни контроля.
Таким образом, верификация длинной экспликации должна сочетать математические и технические способы проверки, не подменяя один вид доказательств другим.
9.20. Блочное довычисление
Для практической организации больших вычислений предлагается использовать понятие блочного довычисления.
Оно предполагает разделение предусмотренного конечного представления на последовательность частей.
Например, стозначная экспликация может быть сформирована посредством десяти блоков по десять цифр.
Однако такой способ организации не должен изменять нормативный математический результат.
Следовательно, необходимо определить:
порядок формирования блоков;
их нумерацию;
правила объединения;
условия сохранения промежуточных состояний;
способы проверки границ;
механизмы обнаружения пропусков и повторов.
Особое значение имеет возможность возобновления прерванного процесса.
Например, если вычисление остановлено после формирования нескольких блоков, необходимо определить, какие данные должны сохраняться для корректного продолжения.
При этом нельзя просто предполагать, что любой прерванный алгоритм допускает возобновление без дополнительной информации.
Для этого требуется специальная конструктивная организация.
Таким образом, блочное довычисление может рассматриваться как самостоятельная ноотехническая технология.
9.21. Репродуктивность процесса довычисления
Одним из основных требований является воспроизводимость полученных результатов.
Для этого необходимо фиксировать исходные математические данные.
Затем — нормативный класс и правило экспликации.
Далее — используемый алгоритм.
Также требуется сохранять сведения о технической реализации.
Особое значение имеют версии программных компонентов.
Изменение алгоритма может затронуть производительность или порядок вычислений.
В отдельных случаях оно может привести к ошибкам.
Следовательно, необходимо управлять конфигурацией.
При этом следует различать математическую воспроизводимость и техническую повторяемость.
Математическая воспроизводимость означает возможность повторного получения определённого математического результата по установленным правилам.
Техническая повторяемость относится к фактическому выполнению процедуры в определённых условиях.
Следовательно, система паспортизации должна регистрировать оба аспекта.
Таким образом, довычисление должно сопровождаться репродуктивным пакетом, позволяющим восстановить не только исходные данные, но и нормативный смысл результата.
9.22. Паспорт процесса довычисления
Для практического применения предлагается разработать паспорт потенциально неограниченного довычисления.
Он должен включать:
идентификатор исходного математического объекта;
систему его определения;
нормативный профиль;
правило образования классов;
алгоритм вычисления;
математическую область применимости;
технически поддерживаемые классы;
фактически завершённые классы;
текущее состояние незавершённых вычислений;
сведения о промежуточных результатах;
процедуры математической проверки;
методы контроля целостности;
ресурсные характеристики;
условия возобновления;
нормативную редакцию;
историю изменений;
ограничения и риски;
итоговый доказательственный статус.
При этом необходимо разграничивать проектируемые и фактически подтверждённые возможности.
Например, наличие задания на вычисление класса 12 не означает завершения триллионозначной записи.
Следовательно, паспорт должен сохранять объективную информацию о выполненной работе.
Особое значение имеет возможность регистрации отдельных блоков.
Таким образом, паспортизация должна обеспечивать прослеживаемость продолжительных вычислительных процессов.
9.23. Довычисление и нормативная эволюция математического объекта
При последовательном увеличении класса возникает возможность рассматривать совокупность представлений как развивающуюся нормативную систему.
Однако необходимо различать изменение самого математического объекта и изменение его экспликации.
Например, число 1/3 сохраняет точное рациональное значение.
При переходе от первого класса ко второму изменяется количество цифр его конечного представления.
Следовательно, происходит развитие системы репрезентации, а не обязательное преобразование исходного числа.
Особое значение имеет возможность параллельного существования нескольких результатов.
Первый класс может сохраняться как завершённый нормативный объект.
Второй класс образует самостоятельный результат.
Третий может находиться в процессе вычисления.
Следовательно, различные состояния не обязательно заменяют друг друга.
Они могут образовывать систему взаимосвязанных конечных представлений.
Таким образом, довычисление представляет собой одну из форм развития нооинженерного математического топоценоза.
Однако такое развитие должно сопровождаться нормативным контролем происхождения и совместимости результатов.
9.24. Потенциально неограниченное довычисление и Изольдионика
В авторской исследовательской программе особое место занимает перспективная проблематика Изольдионики.
Её предмет предполагается связывать с особыми вопросами математической и физической эксплицируемости конструкций, которые могут быть формально конечными, но практически чрезвычайно труднодоступными для полного представления.
Однако необходимо разграничить данную перспективную дисциплину и разработанную здесь технологию довычисления.
В настоящей главе исследуются прежде всего нормативные последовательности конечных задач и условия их фактического выполнения.
При этом не предполагается, что чрезвычайно большое конечное число позиций автоматически является математически бесконечным.
Также не утверждается, что отсутствие доступной технической реализации доказывает принципиальную математическую невозможность соответствующей операции.
Следовательно, переход к Изольдионике требует дополнительной теоретической разработки.
Необходимо определить её самостоятельный предмет, основные понятия, математические основания и критерии проверки.
Особое значение имеет разграничение формальной конечности, алгоритмической вычислимости и ресурсной неосуществимости в определённых условиях.
Таким образом, технология довычисления может служить одним из исследовательских оснований будущей Изольдионики, но не исчерпывает её предполагаемого содержания.
9.25. Проект стандарта довычисления
Для дальнейшего развития предлагается подготовить специализированный проект нооинженерного стандарта:
НСТ-НОО-04. «Довычисление математических объектов. Классы завершённости, алгоритмическая определённость и контроль результатов».
В первоначальном варианте он должен устанавливать:
Раздел 1. Область применения.
Определяются классы математических объектов и представлений.
Раздел 2. Термины и определения.
Разграничиваются математическое задание, экспликация, довычисление и завершённость.
Раздел 3. Нормативная последовательность классов.
Устанавливается правило d; = 10^n.
Раздел 4. Алгоритмические основания.
Определяются требования к генераторам представлений.
Раздел 5. Параметрическая постановка задач.
Фиксируются правила выбора класса.
Раздел 6. Техническая реализация.
Устанавливаются требования к выполнению вычислений.
Раздел 7. Блочное формирование результатов.
Определяются правила разделения, объединения и возобновления.
Раздел 8. Математическая верификация.
Устанавливаются способы доказательственного контроля.
Раздел 9. Статусы завершённости.
Разграничиваются проектные, выполняемые и завершённые задания.
Раздел 10. Репродуктивность.
Определяются требования к повторному получению результатов.
Раздел 11. Ресурсные ограничения.
Фиксируются условия технической осуществимости.
Раздел 12. Паспортизация.
Устанавливаются требования к регистрации вычислительных процессов.
Раздел 13. Управление редакциями.
Регламентируются изменения математических и технических правил.
Однако данный проект не является утверждённым официальным стандартом.
Его содержание должно уточняться посредством математических исследований, опытных разработок и испытаний.
9.26. Основные результаты главы
В настоящей главе предложено определение потенциально неограниченного довычисления как нормативно организованной последовательности конечных вычислительных задач.
Разграничено операционное содержание этого понятия и философские трактовки бесконечности, рассматриваемые в исходной авторской гармонической математике.
Установлено, что для каждого фиксированного номера класса:
d; = 10^n
является конечным натуральным числом.
При этом последовательность допустимых номеров классов может не иметь заранее установленной конечной верхней границы.
Разграничены математическая определённость алгоритма, параметрическая постановка задачи, техническая осуществимость и фактическая завершённость.
Предложена формальная модель процесса довычисления.
На примерах рациональных чисел и ; рассмотрены особенности алгоритмического формирования представлений.
Показана необходимость математического контроля правильности округления и усечения.
Особое внимание уделено граничным случаям, когда приближённой информации недостаточно для завершённого нормативного решения.
Рассмотрены методы сертифицированной интервальной экспликации.
Исследованы межклассовая согласованность и математическая сходимость последовательностей.
Показано, что согласованная последовательность конечных представлений не обязательно совпадает с каноническими усечениями своего предела.
Разработаны первоначальные положения о ресурсных ограничениях, сжатых представлениях и проверке длинных результатов.
Предложено понятие блочного довычисления.
Разработаны требования к репродуктивности и паспортизации процессов.
Установлено разграничение между довычислением и перспективной проблематикой Изольдионики.
Предложены основные положения проекта стандарта НСТ-НОО-04.
Таким образом, потенциально неограниченное довычисление рассматривается как математически и нормативно определённая возможность последовательного решения новых конечных вычислительных задач без отождествления такой возможности с фактическим завершением всех предусмотренных результатов.
*****
Другие системы шкал: структурная сложность, семантическая определённость, совместимость и воспроизводимость
10.1. От шкалы десятичной экспликации к многомерной классификации математических объектов
В предыдущих главах настоящей части монографии была разработана первоначальная теория классов точности конечной десятичной экспликации математических объектов.
Её основное положение состоит в нормативном определении количества десятичных позиций:
d; = 10^n,
где n — положительный целый номер класса.
На этой основе были рассмотрены способы задания математических объектов, условия полной конечной экспликации, классовая эквивалентность, правила арифметических операций, межклассовые преобразования и потенциально неограниченное довычисление.
Однако количество десятичных позиций представляет собой лишь одну из возможных характеристик математического объекта или его представления.
Например, две математические системы могут использовать один класс точности, но существенно различаться по конструктивной сложности.
Два алгоритма могут формировать одинаковые результаты, но иметь различные требования к вычислительным ресурсам.
Несколько понятийных систем могут обладать сходной структурой, но различаться по определённости исходных терминов.
Наконец, математические объекты могут быть корректно построены внутри собственных систем, но не допускать непосредственного использования в другой нормативной среде.
Следовательно, полноценная нооинженерная оценка предполагает разработку нескольких самостоятельных шкал.
При этом необходимо избежать необоснованного сведения всех математических характеристик к одному числовому показателю.
Основная задача настоящей главы состоит в разработке многомерной системы ноометрологического описания математических объектов, включающей структурную сложность, семантическую определённость, совместимость и воспроизводимость.
Каждая из этих характеристик обладает собственной предметной областью, методами исследования и нормативными ограничениями.
10.2. Методологическое значение качественных и количественных характеристик
В авторской гармонической логике существенное место занимает разграничение квалитативных и квантитативных характеристик ментальных объектов.
В первоначальной авторской терминологии качественная подсистема понятия обозначается как ритмос, а количественная — как аритмос.
При этом содержание, объём и состав понятия рассматриваются в соответствии с исходными гносеологическими определениями.
Для ноометрологии это разграничение имеет важное методологическое значение.
Математический объект может характеризоваться как количественными, так и качественными свойствами.
Например, количество элементов конечной структуры выражается целым числом.
Однако принадлежность соответствующей структуры определённому математическому типу характеризуется системой качественно определённых признаков.
При этом наличие числовой характеристики не означает, что она исчерпывает математическое содержание объекта.
Например, две формальные теории могут содержать одинаковое количество аксиом, но иметь существенно различные свойства.
А две программы одинаковой длины могут выполнять разные математические функции.
Следовательно, количественное совпадение отдельных характеристик не должно автоматически рассматриваться как свидетельство семантического или конструктивного тождества.
Таким образом, для развития ноометрологии необходимо поддерживать раздельное исследование качественных и количественных оснований классификации.
Особое значение имеет предупреждение ложной количественной определённости.
Если смысловая характеристика не обладает обоснованной числовой шкалой, недопустимо произвольно присваивать ей числовые значения под видом точного измерения.
10.3. Разграничение математического объекта и предмета оценки
Перед построением шкалы необходимо определить, к какому именно объекту она применяется.
Например, понятие структурной сложности может относиться к математическому выражению, формальной теории, алгоритму или программной реализации.
Однако соответствующие объекты имеют различные способы организации.
Математическая формула обладает синтаксической структурой.
Формальная теория включает язык, аксиомы и правила вывода.
Алгоритм содержит определённые вычислительные процедуры.
Программная реализация характеризуется конкретной архитектурой.
Следовательно, структурная сложность каждого из названных объектов требует самостоятельного определения.
Аналогичным образом необходимо различать семантическую определённость понятия и полноту его технической документации.
Паспорт понятия может содержать все обязательные поля.
Однако это не гарантирует правильности самого определения.
Следовательно, объект оценки должен устанавливаться раньше, чем способ оценки.
Для первоначальной систематизации предлагается различать следующие уровни:
математический объект;
его формальное определение;
символическое представление;
алгоритм формирования;
техническая реализация;
нормативная документация;
экосистемные отношения.
При этом один объект может оцениваться на нескольких уровнях.
Однако результаты таких оценок необходимо регистрировать раздельно.
10.4. Понятие ноометрологического профиля математического объекта
Для многокритериальной оценки предлагается использовать понятие ноометрологического профиля.
Определение 10.1. Ноометрологический профиль математического объекта — нормативно определённая совокупность характеристик, шкал, методов оценки и доказательственных сведений, предназначенная для описания существенных свойств объекта относительно конкретной инженерной задачи.
В первоначальном варианте такой профиль может включать:
структурные характеристики;
семантические характеристики;
математические свойства;
характеристики экспликации;
интерфейсную совместимость;
репродуктивные характеристики;
ресурсные показатели;
нормативные статусы.
Для формального описания можно использовать схему:
H(O; C, v) = ;h;(O), h;(O), …, h;(O);,
где:
O — объект оценки;
C — нормативный контекст;
v — редакция;
h; — определённая характеристика.
Однако данная схема не означает, что все значения h;(O) являются числами.
Некоторые характеристики могут иметь категориальную природу.
Другие — представляться отношениями или формальными структурами.
Третьи — требовать отдельного математического доказательства.
Следовательно, каждое значение должно сопровождаться типом шкалы.
Кроме того, необходимо регистрировать его доказательственный статус.
Таким образом, ноометрологический профиль должен представлять собой типизированную систему характеристик, а не произвольный числовой рейтинг.
10.5. Принципы построения дополнительных шкал
Для разработки каждой математической шкалы предлагается использовать несколько основных требований.
Принцип предметной определённости. Необходимо установить, какое свойство оценивается и к каким объектам применяется соответствующая шкала.
Принцип типизации значений. Должны быть определены допустимые значения и отношения между ними.
Принцип проверяемости. Необходимо указать способ установления значения характеристики.
Принцип независимости от обозначения. Если характеристика должна сохраняться при замене символической записи, требуется установить соответствующий инвариант.
Принцип контекстуальности. Значение характеристики должно интерпретироваться относительно определённой математической системы.
Принцип нормативной прослеживаемости. Необходимо сохранять сведения о редакции используемых правил.
Принцип ограниченности заключений. Результаты оценки не должны распространяться за пределы установленной области применения.
При этом особенно важно различать формально заданный показатель и его практическую информативность.
Например, можно подсчитать количество букв в записи теоремы.
Однако такая характеристика не обязательно отражает её доказательственную сложность.
Следовательно, математическая определённость показателя является необходимым, но не достаточным условием его содержательной полезности.
10.6. Структурная сложность как ноометрологическая характеристика
Одним из направлений предлагается выделить нооструктурную метрологию математических объектов.
Её предметом становится исследование количества и организации компонентов соответствующих конструкций.
Предлагается следующее рабочее определение.
Определение 10.2. Нооструктурная сложность — совокупность формально определённых характеристик состава и организации нооинженерного объекта в выбранной конструктивной модели.
Однако такая сложность не должна автоматически отождествляться с одной числовой величиной.
Например, математическая теория может характеризоваться количеством исходных понятий, аксиом и производных утверждений.
Алгоритм — количеством операций и структурой управления.
Нормативная система — количеством требований и отношений зависимости.
Особое значение имеет необходимость выбора модели.
Например, конструкцию можно представить типизированным графом.
Но отдельные отношения могут иметь многоместную природу и требовать иной формальной структуры.
Следовательно, графовое представление следует рассматривать как одну из возможных моделей.
Его использование не означает, что всякая ментальная конструкция по своей математической природе является графом.
Таким образом, структурная сложность должна определяться относительно явно выбранной модели и уровня детализации.
10.7. Графовая модель структурной сложности
Для определённых нооинженерных конструкций можно использовать модель:
G(O) = ;V, E, ;, ;;,
где:
V — множество компонентов;
E — множество связей;
; — правила типизации компонентов;
; — правила интерпретации отношений.
На этой основе можно определить несколько характеристик.
Количество компонентов:
N; = |V|.
Количество связей:
N; = |E|.
Максимальная степень зависимости характеризует наибольшее количество установленных связей определённого типа.
Глубина зависимости может определяться длиной максимального направленного пути, если соответствующая структура ациклична и конечна.
Однако необходимо учитывать, что в графе с циклами понятие максимальной длины пути требует специального определения.
Например, можно рассматривать только простые пути либо использовать иную характеристику.
Следовательно, формула структурного показателя должна сопровождаться условиями применимости.
Особое значение имеет зависимость результатов от детализации модели.
Если один компонент разделить на несколько подкомпонентов, количество вершин возрастёт.
Однако это не означает автоматического изменения математического содержания объекта.
Таким образом, структурные показатели должны использоваться с фиксацией правил декомпозиции.
10.8. Расчётный пример структурной модели
Рассмотрим условную архитектуру системы конечной десятичной экспликации рациональных чисел.
Выделим семь компонентов:
исходный рациональный объект;
нормативный класс;
правило экспликации;
вычислительный модуль;
модуль формирования записи;
проверочный модуль;
паспорт результата.
Предположим, что установлены восемь направленных связей:
исходный объект ; вычислительный модуль;
класс ; вычислительный модуль;
правило ; вычислительный модуль;
вычислительный модуль ; модуль формирования записи;
класс ; модуль формирования записи;
правило ; проверочный модуль;
модуль формирования записи ; проверочный модуль;
проверочный модуль ; паспорт результата.
Тогда:
N; = 7;
N; = 8.
Наибольшее число входящих связей имеет вычислительный модуль — три.
Следовательно, в данной модели:
deg;max = 3.
Один из наиболее длинных направленных путей имеет вид:
исходный объект ; вычислительный модуль ; формирование записи ; проверка ; паспорт.
Его длина составляет четыре ребра.
Таким образом, можно зарегистрировать профиль:
H_struct = ;7, 8, 3, 4;.
Однако этот результат характеризует только установленную архитектурную модель.
Он не является универсальной оценкой сложности математической экспликации и не доказывает качества соответствующего алгоритма.
10.9. Структурная сложность и математическая содержательность
Необходимо особенно подчеркнуть, что структурная сложность не обязательно является показателем математической ценности.
Например, короткая формула может выражать сложную математическую закономерность.
Длинный текст может содержать простое утверждение, записанное неэкономным способом.
А большое количество зависимостей может отражать как содержательную развитость теории, так и недостаточную архитектурную организацию.
Следовательно, увеличение числа компонентов не должно автоматически интерпретироваться как повышение уровня научной сложности.
Особое значение имеет различие между структурой представления и структурой самого математического объекта.
Например, рациональное число 1/2 может быть записано в различных системах счисления.
Количество символов в таких записях будет различным.
Однако математическое значение останется прежним.
Следовательно, для сравнения структурных характеристик необходимо устанавливать общую форму представления либо исследовать показатели, сохраняющиеся при допустимых преобразованиях.
Таким образом, ноометрология должна включать анализ инвариантности выбранных структурных характеристик.
Без этого их межсистемное сопоставление может оказаться методологически некорректным.
10.10. Алгоритмическая и вычислительная сложность
Самостоятельную группу образуют характеристики вычислительной сложности.
Они относятся к ресурсам, необходимым для выполнения определённого алгоритма в заданной вычислительной модели.
При этом необходимо различать:
время выполнения;
количество элементарных операций;
объём оперативной памяти;
размер выходных данных;
затраты на проверку результата;
затраты на повторное вычисление.
Например, для класса n количество десятичных позиций составляет:
d; = 10^n.
Если нормативное задание требует фактического формирования всех цифр результата в обычном несжатом виде, необходимо вывести не менее d; десятичных символов после разделителя.
Следовательно, в модели последовательной выдачи отдельных символов существует нижняя оценка количества операций вывода, пропорциональная d;.
Однако это обстоятельство не определяет полной вычислительной сложности.
Она зависит от исходного математического объекта и используемого алгоритма.
Например, вычисление завершающих нулей для рационального числа 1/8 принципиально отличается от получения новых десятичных цифр ;.
Следовательно, нельзя оценивать все алгоритмы одного класса только по количеству позиций.
Таким образом, вычислительная сложность должна иметь самостоятельную спецификацию относительно алгоритма и технической модели.
10.11. Сложность математического доказательства
Возможна также разработка шкал сложности доказательств.
Однако подобные шкалы должны учитывать особенности конкретного формального языка и исчисления.
Например, длина доказательства может определяться количеством символов или шагов вывода.
Но соответствующая величина зависит от выбранной системы записи и допустимых правил.
Одна и та же математическая теорема может иметь различные доказательства.
Их длины могут существенно различаться.
Следовательно, необходимо разграничить:
длину конкретного доказательства;
минимальную длину доказательства относительно определённого исчисления;
вычислительную стоимость проверки представленного доказательства;
сложность поиска доказательства.
Перечисленные характеристики не являются тождественными.
Например, наличие короткого проверяемого доказательства не означает, что его поиск был простым.
Кроме того, нельзя считать длину доказательства универсальной мерой математической истинности.
Истинность или доказуемость соответствующего положения определяется в установленной системе.
Следовательно, шкалы доказательственной сложности должны разрабатываться как специальные математические характеристики, а не как произвольные рейтинги теорем.
10.12. Семантическая определённость как предмет специальной оценки
Одной из фундаментальных задач нооинженерии является обеспечение смысловой определённости математических объектов.
В гармонической логике автора особое значение придаётся сохранению содержания, объёма и состава понятия.
Однако для практической инженерии необходимо разработать процедуры обнаружения конкретных нарушений смысловой организации.
Предлагается следующее рабочее определение.
Определение 10.3. Ноосемантическая определённость математического объекта — установленность его смысловой интерпретации, предметной области, существенных отношений и условий использования в определённой нормативной системе.
При этом необходимо различать семантическую определённость понятия и наличие текстового определения.
Например, определение может быть приведено формально, но содержать неоднозначные обозначения.
Другой документ может использовать термин без указания предметной области.
Третий может содержать несколько несовместимых определений одного обозначения.
Следовательно, наличие отдельного раздела «Термины и определения» не гарантирует содержательной строгости.
Особое значение приобретает возможность проверки отношений между понятиями.
В математической системе одно понятие может зависеть от нескольких исходных конструкций.
При изменении соответствующих оснований требуется установить, какие определения затронуты.
Таким образом, семантическая определённость должна исследоваться посредством специализированных логико-нормативных процедур.
10.13. Показатели документационной полноты и смысловая определённость
Для практического контроля можно использовать формальные показатели полноты нормативного описания.
Например, пусть паспорт математического понятия предусматривает восемь обязательных полей.
Предположим, что шесть из них заполнены.
Тогда можно вычислить:
C_doc = 6/8 = 0,75.
Это означает, что заполнено 75 процентов предусмотренных полей.
Однако данный показатель характеризует документационную полноту, а не степень математической истинности или смысловой определённости самого понятия.
Например, все восемь полей могут быть заполнены неправильными или противоречивыми сведениями.
Тогда:
C_doc = 1,
но содержательная корректность документа не подтверждена.
Следовательно, необходимы самостоятельные проверки.
В частности, могут исследоваться:
наличие определения;
установленность предметной области;
определённость используемых обозначений;
отсутствие неразрешённых терминологических конфликтов;
корректность ссылок на исходные понятия;
согласованность нормативных редакций;
доказательственный статус математических утверждений.
При этом отдельные проверки могут требовать экспертного анализа или формального доказательства.
Таким образом, количественный показатель заполненности не должен подменять семантическую экспертизу.
10.14. Семантические статусы и закон исключённого пятого
Для организации семантического контроля могут использоваться специальные процедурные статусы.
Однако необходимо разграничивать эти статусы и истинностные значения.
В исходной авторской гармонической логике закон исключённого пятого связан с предварительными условиями осмысленности и достаточной определённости противоречащих суждений.
Следовательно, проверка математического положения должна учитывать несколько последовательных вопросов.
Первый — обладает ли высказывание установленным смыслом.
Второй — достаточно ли определены его предмет и условия.
Третий — какие математические основания позволяют исследовать его истинность или доказуемость.
Однако такая последовательность не означает введения пяти логических значений.
Она представляет собой методологическую схему предварительного контроля.
В инженерной документации могут использоваться статусы:
«Смысловой контекст не установлен»;
«Определение требует уточнения»;
«Нормативная определённость подтверждена»;
«Математическая проверка не выполнена»;
«Свойство доказано»;
«Обнаружен контрпример».
При этом данные статусы относятся к различным этапам процедуры.
Они не должны автоматически рассматриваться как элементы одной порядковой шкалы истинности.
Таким образом, семантический контроль должен отделять условия осмысленности от собственно математической оценки.
10.15. Совместимость как относительная характеристика
Другим важнейшим направлением является разработка шкал совместимости математических объектов и систем.
Однако совместимость не обязательно представляет собой собственное свойство одного из объектов.
Она определяется отношением между двумя или более системами.
Предлагается следующее определение.
Определение 10.4. Ноотехническая совместимость — установленная относительно конкретного взаимодействия возможность использования, передачи или преобразования объектов и результатов нескольких нормативных систем с сохранением предусмотренных требований.
В данном определении необходимо указать предмет совместимости.
Например, две математические системы могут использовать одинаковые обозначения.
Однако это не гарантирует совпадения их операций.
В другом случае два формата могут быть различными, но между ними существует точное преобразование.
Следовательно, необходимо различать:
синтаксическую совместимость;
семантическую совместимость;
структурную совместимость;
математическую совместимость;
операционную совместимость;
репродуктивную совместимость;
конфигурационную совместимость.
При этом соответствующие отношения не обязательно являются симметричными.
Например, преобразование из старшего класса в младший может быть определено, тогда как восстановление исходного старшего представления по одному младшему результату невозможно.
Следовательно, совместимость должна исследоваться относительно направленного интерфейса.
10.16. Математическая модель совместимости
Для первоначального описания предлагается использовать отношение:
Comp(A, B; F, R),
где:
A — исходная математическая система;
B — целевая система;
F — предполагаемое преобразование;
R — требования к сохраняемым характеристикам.
Например, между множествами конечных десятичных значений различных классов существуют операции вложения и проекции.
Пусть:
m > n.
Тогда:
j;;;: D; ; D;
сохраняет числовое значение.
А проекция:
p;;;: D; ; D;
осуществляет усечение.
При этом:
p;;; ; j;;; = id_D;.
Однако обратная композиция в общем случае не является тождественной.
Следовательно, существуют конкретные математические основания для утверждения о различии прямой и обратной совместимости.
Особенно важно, что проекция не сохраняет все арифметические операции.
Поэтому нельзя объявлять системы полностью арифметически совместимыми только вследствие наличия преобразования значений.
Таким образом, совместимость должна иметь специальную карту сохраняемых и несохраняемых свойств.
10.17. Шкалы совместимости и их ограничения
Для практического применения можно ввести несколько категориальных статусов.
Совместимость подтверждена — установлены требуемые свойства конкретного взаимодействия.
Совместимость ограничена — взаимодействие допустимо только при выполнении дополнительных условий.
Несовместимость установлена — обнаружено конкретное нарушение обязательного требования.
Совместимость не исследована — необходимые процедуры не выполнены.
Преобразование неприменимо — соответствующий интерфейс не определён для рассматриваемого объекта.
Однако эти статусы не образуют автоматически числовую шкалу.
Например, нельзя без дополнительного обоснования считать, что ограниченная совместимость соответствует ровно 50 процентам полной совместимости.
Такой показатель потребовал бы самостоятельного определения количественной меры.
Особое значение имеет возможность использования нескольких независимых критериев.
Например, система может быть совместима по формату данных, но несовместима по правилам арифметических операций.
Следовательно, общий статус должен сопровождаться перечнем проверенных свойств.
Таким образом, ноометрология совместимости должна поддерживать многопризнаковую оценку, исключающую необоснованное объединение разных отношений.
10.18. Воспроизводимость математических объектов и результатов
Одной из центральных задач нооинженерии является воспроизводимость математических конструкций.
Предлагается следующее определение.
Определение 10.5. Ноорепродуктивная воспроизводимость — возможность повторного получения определённого нооинженерного объекта или результата по установленным исходным данным, правилам и процедурам в пределах объявленных условий.
При этом необходимо различать несколько уровней.
Математическая воспроизводимость связана с возможностью повторного получения предусмотренного математического значения.
Алгоритмическая воспроизводимость характеризует возможность повторного исполнения определённой процедуры.
Техническая воспроизводимость относится к фактическому выполнению вычислений в установленной среде.
Нормативная воспроизводимость предполагает сохранение исходного смысла и правил.
Документационная воспроизводимость связана с возможностью восстановить необходимые исходные сведения.
Например, рациональное число 1/6 может быть точно задано посредством дроби.
Для получения его десятизначного представления необходимо дополнительно определить класс и операцию.
Следовательно, одного указания исходного числа недостаточно для воспроизводства конкретного нормативного результата.
Таким образом, воспроизводимость должна обеспечиваться совокупностью математических, алгоритмических и нормативных условий.
10.19. Модель репродуктивного пакета
Для практической реализации предлагается использовать репродуктивный пакет математического объекта.
В первоначальном варианте он должен включать:
исходный математический объект;
нормативную систему;
класс экспликации;
профиль операции;
редакцию спецификации;
алгоритм;
описание технической реализации;
условия выполнения;
ожидаемый математический результат;
каноническую запись;
способы проверки;
доказательственные материалы;
сведения о фактически проведённых повторениях.
Например, для числа 1/6 первого класса необходимо указать, используется ли усечение или округление.
При усечении результат равен:
0,1666666666.
При округлении:
0,1666666667.
Следовательно, оба результата могут быть воспроизводимыми относительно собственных нормативных профилей.
Однако они не являются взаимозаменяемыми внутри одной фиксированной спецификации.
Особое значение приобретает возможность независимого повторения.
Для этого желательно, чтобы проверочная процедура не использовала исключительно ту же техническую реализацию, что и основной алгоритм.
Таким образом, репродуктивный пакет должен обеспечивать не только повторение процесса, но и возможность самостоятельного подтверждения его математического содержания.
10.20. Повторяемость, воспроизводимость и доказательство
При оценке результатов необходимо различать успешность повторных запусков и доказательство универсальной корректности.
Например, предположим, что программа десять раз сформировала один и тот же результат для определённого исходного числа.
Можно зарегистрировать:
10 успешных повторений из 10 проведённых.
Однако это не означает, что универсальная математическая корректность программы доказана.
Тем более нельзя автоматически считать вероятность ошибки равной нулю.
Для статистической оценки надёжности необходимо определить модель испытаний, выборку, критерии независимости и другие условия.
В математике же универсальное утверждение требует соответствующего доказательства.
Следовательно, необходимо разграничивать:
наблюдаемую повторяемость;
подтверждённую воспроизводимость в установленных условиях;
формальную корректность алгоритма;
математическую истинность результата.
Особое значение имеет проверка целостности файлов.
Например, контрольные суммы могут использоваться для обнаружения изменений данных.
Однако совпадение контрольных сумм не является доказательством правильности исходных цифр математической константы.
Следовательно, технологии контроля целостности должны дополняться математическими процедурами проверки.
10.21. Комплексная оценка и недопустимость произвольного интегрального балла
Математический объект может иметь несколько существенных характеристик.
Например:
H(O) = ;S, M, C, R, F;,
где:
S — структурный профиль;
M — характеристики семантической определённости;
C — совместимость;
R — воспроизводимость;
F — функциональная пригодность.
Однако такие характеристики могут обладать различными типами значений.
Структурный профиль может содержать количественные показатели.
Семантическая определённость может иметь категориальный доказательственный статус.
Совместимость может определяться отношениями между системами.
Воспроизводимость может характеризоваться нормативными и техническими данными.
Следовательно, нельзя без специального обоснования складывать эти характеристики.
Например, формула вида:
Q = 0,25S + 0,25M + 0,25C + 0,25R
не имеет определённого научного смысла до установления шкал, нормировок и интерпретации весов.
Кроме того, обязательные математические требования не должны компенсироваться высокими значениями второстепенных технических показателей.
Следовательно, необходимо прежде всего различать:
критерии обязательного допуска;
критерии сравнительного предпочтения;
информационные характеристики.
Таким образом, многокритериальная ноометрология должна использовать процедуры, соответствующие природе каждого показателя.
10.22. Парето-сравнение математических технологий
Для сопоставления нескольких допустимых решений может использоваться отношение Парето-доминирования.
Пусть две технологии обладают количественными характеристиками, для каждой из которых определено направление предпочтения.
Технология A доминирует технологию B, если она не хуже B по всем выбранным критериям и строго лучше хотя бы по одному.
Однако необходимо учитывать несколько условий.
Во-первых, сравниваемые технологии должны удовлетворять обязательным требованиям.
Во-вторых, критерии должны иметь определённую математическую интерпретацию.
В-третьих, необходимо установить направление предпочтения.
Например, для одной задачи меньший объём памяти является преимуществом.
Но для другой задачи использование дополнительной памяти может обеспечивать необходимые контрольные функции.
Следовательно, не следует считать все возможные критерии универсально монотонными.
Особое значение имеет возможность несравнимости альтернатив.
Например, одна система может обеспечивать более высокую точность представления, но требовать больше ресурсов.
Другая может быть технически эффективнее при меньшем количестве позиций.
В таком случае выбор зависит от конкретного назначения.
Следовательно, полисистемность допускает сохранение нескольких недоминируемых технологий.
10.23. Пример многокритериального сравнения систем первого и второго классов
Рассмотрим две нормативные технологии усечения рациональных чисел.
Первая использует первый класс.
Вторая — второй.
Обе основаны на одной точной рациональной арифметике.
Для первой системы:
d; = 10;
h; = 10^(;10).
Для второй:
d; = 100;
h; = 10^(;100).
Следовательно, вторая система предусматривает более детальную десятичную сетку.
При математически правильном усечении общая граница абсолютной погрешности во второй системе меньше.
Однако из этого не следует, что она универсально превосходит первую по всем показателям.
Объём записи второго класса больше.
Ресурсные затраты могут различаться.
А для числа 1/8 оба класса позволяют получить точное числовое значение.
Следовательно, практическая полезность дополнительной детализации зависит от задачи.
Кроме того, классы не определяют автоматически качество программных реализаций.
Одна программа может иметь проверенную корректность первого класса.
Другая может предусматривать второй класс, но ещё не пройти необходимых испытаний.
Следовательно, нельзя отождествлять нормативную характеристику класса и фактически подтверждённую техническую зрелость.
Таким образом, многокритериальная оценка должна сохранять самостоятельность математических и технических характеристик.
10.24. Ноометрологическая карта дополнительных шкал
Для практического применения предлагается создать карту дополнительных математических шкал.
Её первоначальная структура может иметь следующий вид.
Характеристика Тип значения Основной метод Существенное ограничение
Количество структурных компонентов Целое неотрицательное число Подсчёт в заданной модели Зависит от правил декомпозиции
Количество отношений Целое неотрицательное число Анализ типизированной структуры Зависит от набора типов связей
Глубина зависимости Целое число Исследование графа Требует определения понятия пути
Вычислительная сложность Функция или оценка Анализ алгоритма Зависит от вычислительной модели
Документационная полнота Доля либо категориальное значение Проверка полей Не определяет смысловую корректность
Семантическая определённость Нормативный статус Логико-семантическая экспертиза Не сводится автоматически к проценту
Совместимость Типизированное отношение Проверка интерфейсов Может быть частичной и направленной
Воспроизводимость Нормативные и технические данные Повторное выполнение и контроль Не заменяет математическое доказательство
Класс экспликации Положительное целое число Нормативная классификация Не равен фактической погрешности
Абсолютная погрешность Неотрицательное числовое значение или оценка Математическое вычисление Требует определённого исходного значения
Однако такая карта представляет собой первоначальную типологию.
Для каждого показателя требуется отдельная спецификация.
Особое значение имеет возможность расширения системы шкал без изменения уже определённых характеристик.
Таким образом, ноометрологическая карта должна поддерживать контролируемое развитие многомерной классификации.
10.25. Проект стандарта дополнительных математических шкал
Для дальнейшей разработки предлагается подготовить специализированный проект нооинженерного стандарта:
НСТ-НОО-05. «Дополнительные математические шкалы. Структурная сложность, семантическая определённость, совместимость и воспроизводимость».
В первоначальном варианте он должен включать:
Раздел 1. Область применения.
Раздел 2. Термины и определения.
Раздел 3. Типы математических характеристик.
Раздел 4. Структурные шкалы.
Раздел 5. Алгоритмические и ресурсные показатели.
Раздел 6. Семантические характеристики.
Раздел 7. Нормативные статусы определённости.
Раздел 8. Шкалы совместимости.
Раздел 9. Репродуктивные характеристики.
Раздел 10. Принципы многокритериального сопоставления.
Раздел 11. Доказательственные материалы.
Раздел 12. Паспорт ноометрологического профиля.
Раздел 13. Управление нормативными редакциями.
Однако такой документ пока имеет статус исследовательского проекта.
Для его практического применения необходимо уточнить конкретные показатели, методы проверки и ограничения интерпретации.
Особенно важно установить, какие характеристики могут быть количественными, а какие требуют категориального представления.
10.26. Основные результаты главы
В настоящей главе предложены первоначальные основания многомерной классификации математических объектов.
Показано, что шкала количества десятичных позиций не исчерпывает их существенных характеристик.
Разработано определение ноометрологического профиля.
Предложены основные принципы построения дополнительных шкал.
Рассмотрены структурная, алгоритмическая и доказательственная сложность.
Для определённых конструкций предложена графовая модель структурной оценки.
На конкретном примере рассчитаны количество компонентов, связей и глубина зависимостей.
Показана необходимость разграничения структурной сложности и математической содержательности.
Предложено определение ноосемантической определённости.
Установлено, что документационная полнота не должна отождествляться с истинностью или осмысленностью математического содержания.
Рассмотрены специальные нормативные статусы семантических проверок.
Предложено определение ноотехнической совместимости.
Показана её относительная и потенциально направленная природа.
Исследованы математические основания межклассовой совместимости.
Предложено определение ноорепродуктивной воспроизводимости.
Разграничены повторяемость результатов, техническая надёжность и доказанная математическая корректность.
Рассмотрены многокритериальная оценка и Парето-сравнение.
На примере систем первого и второго классов показано, что повышение класса не означает универсального превосходства по всем инженерным характеристикам.
Предложена карта дополнительных математических шкал и структура проекта стандарта НСТ-НОО-05.
Таким образом, дополнительные математические шкалы рассматриваются как взаимосвязанные, но самостоятельные средства классификации и оценки математических объектов, обеспечивающие переход от одномерной шкалы экспликации к многокритериальной ноометрологии.
Однако теоретическая разработка шкал должна сопровождаться конкретными расчётными примерами и воспроизводимыми нормативными процедурами.
Именно эта задача составляет предмет заключительной главы настоящей части.
Глава 11. Расчётные примеры и ноотехнические регламенты построения математических объектов
11.1. От теории математических классов к инженерным процедурам
В предыдущих главах настоящей части монографии были разработаны основные определения и математические отношения, необходимые для построения систем классов конечной экспликации.
Однако полноценная нооинженерная технология предполагает не только теоретическое описание объектов, но и разработку конкретных регламентов их формирования, проверки и воспроизводства.
Следовательно, необходимо установить, каким образом исходные математические определения могут преобразовываться в технически исполнимые процедуры.
Особое значение имеет возможность независимой проверки соответствующих результатов.
Например, простое предъявление десятизначного приближения числа не является достаточным основанием для заключения о правильности алгоритма.
Необходимо указать исходный объект, класс, математическое правило, результат и доказательственные основания.
Поэтому настоящая глава включает несколько взаимосвязанных групп материалов.
Первая группа — расчётные примеры конечной экспликации рациональных чисел и отдельных математических констант.
Вторая — примеры классового сравнения и арифметических операций.
Третья — контрпримеры, показывающие ограничения привычных алгебраических преобразований.
Четвёртая — образцы инженерных требований и процедур проверки.
Пятая — проекты ноотехнических регламентов.
При этом все предлагаемые документы имеют первоначальный исследовательский статус.
Они не должны рассматриваться как уже принятые официальные стандарты.
Цель главы состоит в демонстрации перехода от нормативного определения математического объекта к воспроизводимому результату, сопровождаемому необходимыми доказательственными и техническими сведениями.
11.2. Исходная нормативная система расчётных примеров
Для обеспечения единства примеров зафиксируем первоначальную математическую систему.
В качестве исходных объектов используются рациональные числа:
x = p/q,
где p и q — целые числа, а q > 0.
При необходимости рациональная дробь приводится к несократимому виду.
Номер класса обозначается:
n ; {1, 2, 3, …}.
Количество десятичных позиций определяется:
d; = 10^n.
Масштабный множитель:
B; = 10^(d;).
Шаг конечной десятичной сетки:
h; = 1/B;.
Множество допустимых числовых значений представлений:
D; = {k/B; : k ; Z}.
Для первого нормативного профиля используется усечение по направлению к нулю.
Для второго — округление к ближайшему значению с выбором чётного последнего сохраняемого разряда при точном равенстве расстояний.
При этом результаты должны записываться с ровно d; цифрами после десятичного разделителя.
Таким образом, все дальнейшие расчёты выполняются относительно одной явно установленной математической и нормативной системы.
11.3. Алгоритм точного усечения рационального числа
Для построения представления рационального числа можно использовать точное целочисленное деление.
Пусть:
x = p/q, q > 0.
Для выбранного класса определим:
B = 10^(10^n).
Затем вычислим:
u = |p| · B.
Посредством деления с остатком определим целые числа k и r:
u = qk + r,
где:
0 ; r < q.
Тогда математическое значение усечённого результата равно:
T;(x) = sgn(p) · k/B.
Для получения нормативной записи необходимо разделить целое число k на целую и дробную части относительно основания B.
Дробная часть должна содержать ровно d; десятичных цифр.
При недостаточном количестве цифр слева добавляются нули.
При нулевом результате отрицательный знак не используется.
Таким образом, вычислительная процедура должна включать два самостоятельных этапа.
Первый — точное математическое усечение.
Второй — формирование канонической десятичной записи.
Особое значение имеет отсутствие необходимости предварительно переводить исходную рациональную дробь в приближённый машинный формат.
Это позволяет избежать определённых ошибок двойного округления.
11.4. Математическое свидетельство правильности усечения
Для проверки результата можно использовать сведения о частном и остатке.
Если:
|p| · B = qk + r
и:
0 ; r < q,
то:
k = floor(|p|B/q).
Следовательно, математическое значение усечения определено однозначно.
Кроме того:
|x ; T;(x)| = r/(qB).
Из условия r < q следует:
|x ; T;(x)| < 1/B = 10^(;d;).
Таким образом, для рационального числа можно получить точную величину абсолютной погрешности.
Однако необходимо учитывать, что данное доказательство относится к корректно выполненным целочисленным операциям.
Конкретная программная реализация должна обеспечивать их правильность.
Следовательно, проверка может использовать независимое повторное вычисление либо другой обоснованный метод.
Особое значение имеет возможность документирования пары (k, r).
Она позволяет создать математически проверяемое свидетельство соответствия результата операции усечения.
При этом дополнительно необходимо проверить формат конечной записи.
Следовательно, математическая и нормативно-форматная проверки остаются самостоятельными процедурами.
11.5. Расчётный пример № 1. Число 1/3 первого класса
Рассмотрим точное рациональное число:
x = 1/3.
Номер класса:
n = 1.
Следовательно:
d; = 10;
B; = 10^10.
Выполним деление с остатком:
10^10 = 3 · 3333333333 + 1.
Отсюда:
k = 3333333333;
r = 1.
Следовательно:
T;(1/3) = 3333333333/10^10.
Нормативная запись:
0,3333333333.
Точная абсолютная погрешность:
; = 1/(3 · 10^10).
Следовательно:
; = 1/30000000000.
При этом:
0 < ; < 10^(;10).
Таким образом, результат соответствует математическому правилу усечения первого класса.
Однако он не является точным значением исходного рационального числа.
Следовательно:
1/3 ; 0,3333333333.
Этот пример демонстрирует необходимость разграничения математической определённости исходного объекта и завершённости его конечной экспликации.
11.6. Расчётный пример № 2. Число 1/6 первого класса
Рассмотрим рациональное число:
x = 1/6.
Для первого класса:
B; = 10^10.
Выполним деление:
10^10 = 6 · 1666666666 + 4.
Следовательно:
k = 1666666666;
r = 4.
Математическое значение усечения:
T;(1/6) = 1666666666/10^10.
Нормативная запись:
0,1666666666.
Абсолютная погрешность:
; = 4/(6 · 10^10).
После сокращения:
; = 1/15000000000.
Следовательно:
; < 10^(;10).
Теперь рассмотрим округление к ближайшему значению.
Поскольку остаток r = 4 больше половины знаменателя q = 6, следует увеличить коэффициент k на единицу.
Получаем:
R;(1/6) = 0,1666666667.
Таким образом, для одного исходного числа и одного класса получены два различных нормативных результата.
Следовательно, указание номера класса недостаточно для полной спецификации экспликации.
Необходимо также указать применённый математический профиль.
11.7. Расчётный пример № 3. Число 1/7 первого класса
Рассмотрим:
x = 1/7.
Для первого класса:
B; = 10^10.
Выполним деление с остатком:
10^10 = 7 · 1428571428 + 4.
Следовательно:
k = 1428571428;
r = 4.
При усечении получаем:
T;(1/7) = 0,1428571428.
Точная абсолютная погрешность:
; = 4/(7 · 10^10).
Следовательно:
; = 1/17500000000.
При округлении к ближайшему значению необходимо увеличить последнюю цифру, поскольку:
2r = 8 > 7.
Поэтому:
R;(1/7) = 0,1428571429.
Данный пример важен по двум причинам.
Во-первых, он демонстрирует использование точного остатка для выбора операции округления.
Во-вторых, число 1/7 имеет периодическое десятичное развитие, что позволяет исследовать способы алгоритмического довычисления.
Однако сам факт существования периодического правила ещё не означает фактического получения всех представлений произвольно высокого класса.
11.8. Расчётный пример № 4. Полная экспликация 1/7 второго класса
Для второго класса:
n = 2.
Следовательно:
d; = 100;
B; = 10^100.
Для числа 1/7 необходимо выполнить деление:
10^100 = 7k + r.
Поскольку:
10^100 mod 7 = 4,
получаем:
r = 4.
Следовательно:
k = (10^100 ; 4)/7.
Полная нормативная запись усечения второго класса имеет вид:
После запятой здесь содержится ровно сто десятичных цифр.
Их можно проверить посредством периодического правила: шестизначный блок 142857 повторяется шестнадцать раз, после чего следуют четыре цифры 1428.
Однако в нормативной записи пробелы между блоками отсутствуют.
Абсолютная погрешность результата:
;; = 4/(7 · 10^100).
Следовательно:
;; < 10^(;100).
При переходе к первому классу посредством усечения получаем:
T;(T;(1/7)) = 0,1428571428.
Таким образом, на конкретном примере подтверждается математическая согласованность межклассового усечения.
Однако этот результат не означает, что любая операция округления обладает тем же композиционным свойством.
11.9. Расчётный пример № 5. Число 1/8 и нулевая погрешность
Рассмотрим:
x = 1/8.
Для первого класса:
B; = 10^10.
Выполним вычисление:
10^10 = 8 · 1250000000 + 0.
Следовательно:
k = 1250000000;
r = 0.
Нормативная запись:
0,1250000000.
Абсолютная погрешность:
; = 0.
Следовательно, математическое значение конечного представления точно совпадает с исходным рациональным числом.
Однако сама запись содержит десять цифр после запятой.
Таким образом, необходимо различать:
нулевую фактическую погрешность;
нормативный класс представления;
каноническую форму записи.
Этот пример показывает, что увеличение класса не всегда изменяет числовое значение результата.
Например, представление второго класса числа 1/8 будет содержать сто позиций после запятой, но по-прежнему обозначать точное рациональное значение 1/8.
Следовательно, увеличение количества цифр не обязательно сопровождается уменьшением ненулевой погрешности: она уже может быть равна нулю.
11.10. Расчётный пример № 6. Отрицательное рациональное число
Рассмотрим:
x = ;1/6.
Для первого класса применяется усечение по направлению к нулю.
Следовательно:
T;(;1/6) = ;0,1666666666.
Абсолютная погрешность:
; = 1/15000000000.
При округлении к ближайшему значению:
R;(;1/6) = ;0,1666666667.
Необходимо учитывать, что усечение по направлению к нулю не совпадает с округлением вниз.
Для отрицательных чисел это различие имеет существенное значение.
Например, правило математической целой части вниз могло бы привести к выбору более отрицательного значения.
Следовательно, в нормативном регламенте необходимо явно указать способ обработки отрицательных операндов.
Особое значение имеет использование одной и той же операции во всей системе.
Если отдельные компоненты применяют разные правила, возникает возможность конфигурационного нарушения.
Таким образом, проверка отрицательных значений должна являться обязательной частью программы испытаний.
11.11. Расчётный пример № 7. Точные граничные случаи округления
Рассмотрим округление к ближайшему представимому значению с выбором чётного последнего сохраняемого разряда.
Для первого класса:
h; = 10^(;10).
Пусть:
x = h;/2.
Это число расположено точно посередине между:
0
и
h;.
При использовании правила выбора чётного коэффициента получаем:
R;(h;/2) = 0.
Каноническая запись результата:
0,0000000000.
Теперь рассмотрим:
y = 3h;/2.
Это число расположено точно посередине между:
h;
и
2h;.
Первый коэффициент равен единице и является нечётным.
Второй равен двум и является чётным.
Следовательно:
R;(3h;/2) = 2h;.
Нормативная запись:
0,0000000002.
Таким образом, правило обработки граничных случаев является существенной частью математической операции округления.
Без него спецификация оказывается недостаточной для однозначного определения всех результатов.
11.12. Расчётный пример № 8. Экспликация числа ;
Рассмотрим математическую константу:
;.
Она является точно определённым математическим объектом обычной действительной арифметики.
Однако её десятичная запись бесконечна.
Для первого класса:
d; = 10.
Начало десятичного развития имеет вид:
3,141592653589793...
При усечении получаем:
T;(;) = 3,1415926535.
При округлении к ближайшему значению:
R;(;) = 3,1415926536.
Однако необходимо подчеркнуть, что обе записи являются конечными приближениями.
Следовательно:
; ; T;(;)
и
; ; R;(;).
Для математически обоснованного получения таких результатов требуется установить достаточные сведения о точном значении константы.
Например, могут использоваться доказанные интервальные оценки.
Особенно важно, что наличие алгоритма получения десятичных цифр не заменяет фактическую проверку конкретного результата.
Таким образом, экспликация математической константы должна сопровождаться документированием вычислительного метода и доказательственного основания.
11.13. Расчётный пример № 9. Классовая эквивалентность различных чисел
Рассмотрим точные рациональные числа:
x = 1/3;
y = 1/3 + 10^(;12).
Очевидно:
x ; y.
Однако при усечении до первого класса:
T;(x) = 0,3333333333;
T;(y) = 0,3333333333.
Следовательно:
x ~; y.
Таким образом, числа эквивалентны относительно первого класса усечения.
Теперь рассмотрим второй класс.
Поскольку разность исходных чисел равна 10^(;12), а шаг второго класса составляет 10^(;100), она представляет собой целое число шагов старшей сетки.
Для рассматриваемых положительных чисел выполняется:
T;(y) ; T;(x) = 10^(;12).
Следовательно:
T;(x) ; T;(y).
Таким образом, объекты, неразличимые в первом классе, становятся различимыми во втором.
Однако это не означает изменения самих чисел.
Изменяется различающая способность нормативной технологии.
Следовательно, классовая эквивалентность должна использоваться только с указанием конкретного класса.
11.14. Расчётный пример № 10. Переход из второго класса в первый
Рассмотрим завершённое представление второго класса числа 1/7.
Оно содержит сто десятичных позиций.
Для перехода в первый класс используется операция усечения до десяти позиций.
В результате получаем:
0,1428571428.
Таким образом:
p;;;(T;(1/7)) = T;(1/7).
Однако необходимо различать обратное преобразование.
Если к десятизначной записи:
0,1428571428
добавить девяносто нулей, получится запись второго класса по формату.
Но она сохранит исходное числовое значение десятизначного приближения.
Следовательно, она не будет правильной стозначной экспликацией исходного числа 1/7.
Таким образом, на конкретном примере различаются:
понижение класса;
вложение конечного значения в более детальную сетку;
повторная экспликация точного исходного объекта.
Эти процедуры имеют разные математические и информационные характеристики.
Следовательно, регламент должен устанавливать самостоятельные идентификаторы соответствующих преобразований.
11.15. Расчётный пример № 11. Точное сложение и сложение приближений
Рассмотрим:
x = 1/6;
y = 1/6.
В режиме точной рациональной арифметики:
x + y = 1/3.
При последующем усечении до первого класса:
T;(x + y) = 0,3333333333.
Теперь рассмотрим предварительную экспликацию операндов.
Получаем:
T;(x) = 0,1666666666;
T;(y) = 0,1666666666.
Их сумма:
T;(x) + T;(y) = 0,3333333332.
Следовательно:
T;(x) + T;(y) ; T;(x + y).
Различие составляет один шаг первого класса:
10^(;10).
Однако необходимо учитывать, что сама ошибка результата относительно точной суммы больше одного шага.
Действительно:
1/3 ; 0,3333333332 = 1/7500000000.
Следовательно, абсолютная погрешность суммы приближений составляет примерно:
1,333333333… · 10^(;10).
Она меньше общей верхней границы:
2 · 10^(;10).
Таким образом, пример подтверждает необходимость контроля распространения погрешностей при вычислениях по конечным представлениям.
11.16. Расчётный пример № 12. Потеря различимости при вычитании
Рассмотрим:
x = 1/3;
y = 1/3 + 10^(;12).
Точная разность:
y ; x = 10^(;12).
Однако представления первого класса совпадают:
T;(x) = T;(y).
Следовательно:
T;(y) ; T;(x) = 0.
Таким образом, вычисление по конечным представлениям приводит к потере различимости двух исходных чисел.
При этом нулевой результат является точной разностью самих конечных значений.
Однако он не является точной разностью исходных математических объектов.
Следовательно, необходимо разграничивать:
правильность арифметической операции над конечными представлениями
и
правильность результата относительно исходной математической задачи.
Особое значение имеет возможность использования более высоких классов или точной рациональной арифметики.
В данном случае второй класс позволяет различить соответствующие объекты.
Однако такая возможность должна подтверждаться математической спецификацией.
Таким образом, регламент вычислений должен предусматривать особую проверку вычитания близких приближённых значений.
11.17. Расчётный пример № 13. Классовое умножение
Для первого класса положим:
h = 10^(;10).
Определим операцию:
a ;; b = T;(ab)
для:
a, b ; D;.
Рассмотрим:
a = h;
b = 0,9;
c = 2.
Тогда:
a ;; b = T;(0,9h) = 0.
Следовательно:
(a ;; b) ;; c = 0.
Однако:
b ;; c = 1,8.
Отсюда:
a ;; (b ;; c) = T;(1,8h) = h.
Таким образом:
(a ;; b) ;; c ; a ;; (b ;; c).
Следовательно, классовое умножение с промежуточным усечением не является ассоциативным в общем случае.
Это означает, что порядок группировки операций может существенно влиять на математический результат.
Следовательно, регламент должен фиксировать допустимый порядок вычислений.
Особенно важно исключить автоматическое использование обычных алгебраических преобразований без проверки сохранения их свойств.
11.18. Расчётный пример № 14. Нарушение дистрибутивности
Рассмотрим тот же первый класс.
Пусть:
a = h;
b = 0,5;
c = 0,5.
Тогда:
b + c = 1.
Следовательно:
a ;; (b + c) = T;(h) = h.
Теперь выполним операции отдельно:
a ;; b = T;(0,5h) = 0;
a ;; c = T;(0,5h) = 0.
Следовательно:
(a ;; b) + (a ;; c) = 0.
Таким образом:
a ;; (b + c) ; (a ;; b) + (a ;; c).
Следовательно, операция классового умножения не сохраняет дистрибутивность относительно обычного сложения конечных значений.
Этот пример имеет принципиальное методологическое значение.
Он показывает, что новая нормативная система арифметических операций требует самостоятельного исследования математических свойств.
Нельзя считать её обычным кольцом только вследствие использования знакомых обозначений сложения и умножения.
Таким образом, классовая арифметика должна сопровождаться реестром доказанных законов и обнаруженных ограничений.
11.19. Расчётный пример № 15. Деление и нулевое представление ненулевого знаменателя
Рассмотрим первый класс:
h = 10^(;10).
Пусть точный знаменатель:
y = h/2 = 5 · 10^(;11).
Очевидно:
y ; 0.
Следовательно, точное деление:
1/y
математически допустимо.
Его результат равен:
1/y = 2 · 10^10.
Однако при усечении знаменателя до первого класса:
T;(y) = 0.
Следовательно, выражение:
1/T;(y)
не определено в обычной рациональной арифметике.
Таким образом, предварительная экспликация операнда способна изменить условия допустимости последующего деления.
Особое значение имеет необходимость сохранять исходный математический объект.
Если точный знаменатель доступен, деление может быть выполнено без обращения к его нулевому приближению.
Следовательно, регламент должен запрещать неявную замену точного ненулевого знаменателя его нулевым конечным представлением при выполнении операции деления.
Таким образом, классовая допустимость операции не должна отождествляться с допустимостью той же операции над исходными точными объектами.
11.20. Расчётный пример № 16. Погрешность произведения приближений
Рассмотрим:
x = 1/3.
Для первого класса:
a = T;(x) = 0,3333333333.
Теперь вычислим квадрат конечного представления:
a; = 0,11111111108888888889.
При усечении до первого класса получаем:
T;(a;) = 0,1111111110.
Однако точный квадрат исходного числа:
x; = 1/9.
Его представление первого класса:
T;(1/9) = 0,1111111111.
Следовательно:
T;(T;(x);) ; T;(x;).
Различие составляет:
10^(;10).
Таким образом, даже при использовании одного класса результат зависит от того, выполняется ли операция над точным исходным объектом или над его конечным приближением.
Следовательно, необходимо фиксировать нормативный вычислительный режим.
Особое значение имеет возможность оценки накопленной погрешности.
Для этого должны использоваться математически обоснованные правила её распространения.
11.21. Расчётный пример № 17. Интервальная интерпретация представления
Рассмотрим усечённое представление первого класса:
a = 0,3333333333.
Поскольку a > 0, все положительные исходные значения x, для которых:
T;(x) = a,
принадлежат интервалу:
a ; x < a + h;.
Следовательно:
0,3333333333 ; x < 0,3333333334.
В этот интервал входят:
1/3
и
1/3 + 10^(;12).
Следовательно, одна конечная запись не позволяет различить соответствующие точные объекты.
Теперь рассмотрим отрицательное представление:
b = ;0,1666666666.
Для него область исходных значений определяется неравенствами:
;0,1666666667 < x ; ;0,1666666666.
Таким образом, правило усечения по направлению к нулю требует раздельной обработки положительных и отрицательных значений.
Особое значение имеет нулевое представление.
Если:
T;(x) = 0,
то:
;h; < x < h;.
Следовательно, нулевое представление не гарантирует нулевого исходного значения.
Это обстоятельство должно учитываться при сравнении, вычитании и делении.
11.22. Расчётный пример № 18. Двойное округление между первым и вторым классами
Рассмотрим точное рациональное число:
x = 1 + 5·10^(;11) + 10^(;101).
Для второго класса:
d; = 100.
При округлении к ближайшему представимому значению добавка 10^(;101) оказывается меньше половины шага второго класса.
Следовательно:
R;(x) = 1 + 5·10^(;11).
Теперь округлим полученное значение до первого класса.
Оно находится точно посередине между:
1,0000000000
и
1,0000000001.
Согласно правилу выбора чётного последнего сохраняемого разряда:
R;(R;(x)) = 1,0000000000.
Однако исходное число x немного больше указанной середины.
Следовательно, непосредственное округление до первого класса даёт:
R;(x) = 1,0000000001.
Таким образом:
R;(R;(x)) ; R;(x).
Это прямой контрпример универсальной согласованности последовательного округления.
Следовательно, нормативный регламент должен устанавливать, допускается ли округление через промежуточные классы.
Если требуется правильно округлённый результат относительно точного исходного числа, может понадобиться непосредственное вычисление целевого представления либо специальный алгоритм с доказанными гарантиями.
11.23. Расчётный пример № 19. Структурная сложность вычислительной технологии
Для демонстрации дополнительных шкал рассмотрим условную конструкцию системы экспликации.
Выделим семь компонентов:
исходный объект;
класс;
нормативное правило;
вычислительный модуль;
модуль записи;
проверочный модуль;
паспорт результата.
Пусть между ними установлено восемь направленных зависимостей, описанных в предыдущей главе.
Тогда:
N; = 7;
N; = 8.
Максимальная входящая степень равна трём.
Максимальная длина направленного пути зависимости составляет четыре ребра.
Следовательно, структурный профиль имеет вид:
H_struct = ;7, 8, 3, 4;.
Однако необходимо подчеркнуть, что данный профиль зависит от выбранной архитектуры.
Например, объединение двух компонентов уменьшит число вершин.
Но это не обязательно улучшит математическую корректность системы.
Следовательно, структурные показатели должны использоваться как характеристики архитектуры, а не как универсальная мера истинности или качества.
Таким образом, расчётный пример подтверждает необходимость контекстуального использования дополнительных ноометрологических шкал.
11.24. Расчётный пример № 20. Документационная полнота и семантическая проверка
Предположим, что паспорт понятия предусматривает восемь обязательных полей.
В конкретном документе заполнены шесть.
Тогда формальный показатель заполненности:
C_doc = 6/8 = 0,75.
Следовательно, заполнено 75 процентов обязательных полей.
Однако это не означает, что понятие обладает 75-процентной смысловой определённостью.
Для такого заключения отсутствует соответствующая математически обоснованная шкала.
Допустим, что среди заполненных полей присутствуют два несовместимых определения одной операции.
В таком случае даже полное заполнение всех восьми полей не устраняет соответствующего нарушения.
Следовательно, необходима отдельная семантическая проверка.
Она должна установить:
предметную область;
содержание определения;
используемые исходные понятия;
нормативную редакцию;
отношения с другими объектами;
условия допустимого применения.
Таким образом, документационная полнота представляет собой формально вычисляемую характеристику.
Семантическая определённость требует самостоятельного содержательного исследования.
Следовательно, их показатели должны фиксироваться раздельно.
11.25. Общий алгоритм формирования нормативного результата
Для практической организации предлагается следующий проект процедуры.
Процедура НР-ЭКС-01. Формирование конечного десятичного представления рационального числа.
Входные данные:
точные целые числа p и q;
условие q > 0;
номер класса n;
нормативный профиль P;
редакция спецификации.
Основные действия:
Проверить допустимость исходной рациональной дроби.
Определить количество позиций d = 10^n.
Вычислить масштабный множитель B = 10^d.
Найти точные частное и остаток от деления |p|B на q.
Применить установленное правило усечения или округления.
Восстановить знак результата.
Сформировать каноническую запись с ровно d цифрами после десятичного разделителя.
Зафиксировать математическое значение результата.
Определить погрешность или доказанную границу.
Сформировать паспорт.
Провести предусмотренные проверки.
Зарегистрировать нормативный статус результата.
При этом необходимо различать исполнение процедуры и её нормативное описание.
Например, наличие приведённого алгоритма в монографии ещё не означает, что конкретная программная реализация разработана и испытана.
Таким образом, техническая реализация должна рассматриваться как самостоятельный результат ОКР.
11.26. Точный алгоритм усечения и округления рациональных чисел
Для математической конкретизации представим процедуру следующим образом.
Пусть:
u = |p| · B.
Выполним целочисленное деление:
u = qk + r, 0 ; r < q.
При усечении используется коэффициент:
K_T = k.
При округлении к ближайшему значению с выбором чётного коэффициента при точной середине:
K_R = k, если 2r < q;
K_R = k + 1, если 2r > q;
при 2r = q выбирается чётное из чисел k и k + 1.
Следовательно:
K_R = k, если 2r = q и k чётное;
K_R = k + 1, если 2r = q и k нечётное.
После этого математическое значение результата определяется как:
sgn(p) · K/B,
где K соответствует выбранному профилю.
Данный алгоритм использует точную целочисленную арифметику.
Следовательно, он не требует предварительного приближённого вычисления дроби.
Однако необходимо учитывать ресурсные ограничения для больших значений B.
При этом вычислительная система может использовать более эффективные способы получения десятичных цифр.
Но они должны сохранять математические требования спецификации.
Таким образом, приведённый алгоритм может служить базовой проверочной моделью для опытных реализаций.
11.27. Независимая проверка результата
Для обеспечения доказательственной надёжности необходимо предусмотреть независимую проверку существенных условий.
В первоначальном варианте она может включать следующие действия.
Проверка исходного объекта.
Устанавливается корректность рациональной дроби.
Проверка частного и остатка.
Контролируется равенство:
|p|B = qk + r.
Дополнительно проверяется:
0 ; r < q.
Проверка округления.
Исследуется отношение величин 2r и q.
Проверка формата.
Устанавливается наличие ровно d десятичных позиций.
Проверка знака.
Подтверждается правильность обработки отрицательных чисел и нуля.
Проверка математического значения.
Устанавливается соответствие записи полученному коэффициенту.
Проверка нормативной редакции.
Контролируется использование выбранного профиля.
Особое значение имеет возможность выполнения проверок независимо от исходной программы.
Однако необходимо учитывать, что проверка одного конкретного результата не доказывает универсальную корректность реализации.
Следовательно, необходимы также общие математические доказательства и программы испытаний.
11.28. Матрица прослеживаемости требований
Для организации ноотехнических НИОКР предлагается использовать матрицу связи требований и проверок.
Код требования Содержание Метод проверки
НР-01 Исходный объект — допустимая рациональная дробь Проверка q > 0
НР-02 Класс принадлежит установленной области Проверка n ; 1, n целое
НР-03 Количество позиций равно 10^n Формальный расчёт
НР-04 Усечение соответствует целочисленному делению Проверка частного и остатка
НР-05 Округление выполняется по утверждённому правилу Проверка 2r относительно q
НР-06 Запись содержит ровно d позиций Форматный контроль
НР-07 Обработка отрицательных чисел соответствует спецификации Различающие испытания
НР-08 Погрешность соответствует математическому профилю Формальное доказательство и расчёт
НР-09 Нормативная редакция идентифицирована Проверка паспорта
НР-10 Результат связан с исходным объектом Проверка регистрационных отношений
НР-11 Межклассовое преобразование имеет определённый тип Интерфейсная проверка
НР-12 Данные для воспроизводства сохранены Репродуктивный контроль
Однако такая таблица содержит требования и методы проверки.
Она не является протоколом их фактического выполнения.
Для оформления итогового заключения необходимо добавить результаты, доказательственные материалы и соответствующие статусы.
Следовательно, матрица прослеживаемости должна рассматриваться как проектно-нормативный инструмент.
11.29. Проект регламента первого класса
Предлагается следующий первоначальный регламент:
НР-МАТ-01. «Конечная десятичная экспликация рациональных чисел первого класса».
Область применения.
Рациональные числа, заданные точными дробями p/q, где q > 0.
Нормативный класс.
n = 1.
Количество позиций.
d = 10.
Основной профиль.
Усечение по направлению к нулю.
Альтернативный профиль.
Округление к ближайшему значению с выбором чётного последнего сохраняемого разряда при точном равенстве расстояний.
Обязательные требования.
Необходимо сохранять исходный точный объект и идентификатор применённого профиля.
Результат должен иметь ровно десять цифр после десятичного разделителя.
Необходимо обеспечивать правильную обработку отрицательных чисел.
Должны быть определены методы проверки математического значения.
Нельзя объявлять конечное приближение тождественным исходному числу без доказательства равенства.
Критерии приёмки.
Предусмотренные контрольные примеры должны соответствовать математической спецификации.
Результаты должны быть зарегистрированы в соответствующих протоколах.
Однако настоящий регламент имеет статус проекта.
Для его принятия требуется формальное оформление и проверка технических реализаций.
11.30. Проект регламента второго класса
Предлагается разработать самостоятельный профиль:
НР-МАТ-02. «Конечная десятичная экспликация рациональных чисел второго класса».
Его основное количественное требование:
d = 100.
Следовательно, завершённая нормативная запись должна содержать ровно сто цифр после запятой.
При этом математические правила усечения и округления могут наследоваться из общей системы.
Однако необходимо отдельно проверить, что техническая реализация правильно обрабатывает увеличенное количество позиций.
В частности, следует исследовать:
вычисление масштабного множителя 10^100;
правильность целочисленного деления;
формирование завершающих нулей;
корректность обработки длинных записей;
правильность контрольных результатов;
сохранение нормативного происхождения;
возможность повторного вычисления.
Особое значение имеют межклассовые преобразования.
Например, результат второго класса может быть приведён к первому посредством усечения.
Однако обратное преобразование с простым добавлением нулей не должно объявляться повторной экспликацией точного исходного числа.
Таким образом, регламент второго класса должен определять как собственные требования, так и отношения с системой первого класса.
11.31. Регламент межклассового преобразования
Для взаимодействия нескольких классов предлагается разработать специальную процедуру:
НР-МАТ-03. «Межклассовое преобразование конечных математических представлений».
В первоначальном варианте должны различаться три типа операций.
Тип A. Вложение числового значения.
Осуществляется перевод представления младшего класса в форму записи старшего при сохранении самого конечного числового значения.
Тип B. Проекция.
Осуществляется преобразование представления старшего класса в младший по установленному правилу.
Тип C. Повторная экспликация.
Из исходного точного объекта формируется новое представление требуемого класса.
Для каждого типа необходимо определить входные данные и математические свойства.
Особое значение имеет различие между обратимостью и наличием одной направленной процедуры.
Например, проекция из второго класса в первый в общем случае теряет информацию.
Следовательно, она не допускает универсального точного восстановления исходного стозначного значения.
Таким образом, регламент должен запрещать неявное отождествление различных типов межклассовых преобразований.
11.32. Регламент допустимых арифметических операций
Для практических вычислений предлагается разработать:
НР-МАТ-04. «Арифметические операции над объектами и представлениями различных классов».
Его основная задача состоит в разграничении вычислительных режимов.
Режим A. Точное вычисление.
Исходные математические объекты сохраняются в точной форме.
После выполнения операции формируется представление установленного класса.
Режим B. Вычисление по конечным представлениям.
Операции выполняются над уже полученными приближёнными значениями.
При необходимости применяется дополнительное усечение или округление.
Режим C. Вычисление с контролем погрешностей.
Вместе с числовыми значениями передаются математически обоснованные оценки их отклонений.
При этом необходимо отдельно установить правила сложения, вычитания, умножения и деления.
Особое значение имеют ограничения ассоциативности и дистрибутивности классового умножения.
Следовательно, регламент должен запрещать использование недоказанных алгебраических преобразований.
При делении необходимо дополнительно контролировать нулевые и близкие к нулю знаменатели.
Таким образом, система допустимых операций должна иметь строгую математическую спецификацию.
11.33. Регламент репродуктивного обеспечения
Для обеспечения воспроизводимости предлагается разработать:
НР-МАТ-05. «Репродуктивное обеспечение конечных математических вычислений».
В первоначальном варианте репродуктивный пакет должен содержать:
исходные математические данные;
нормативный класс;
правило экспликации;
версию спецификации;
описание алгоритма;
технические условия выполнения;
каноническую запись результата;
математические контрольные сведения;
результаты проведённых испытаний;
историю изменений.
Особое значение имеет возможность независимой проверки.
Например, для рационального числа можно сохранить частное и остаток, необходимые для подтверждения операции усечения.
Для длинных результатов дополнительно могут использоваться контрольные механизмы целостности файлов.
Однако необходимо различать математическую правильность и техническую неизменность данных.
Например, контрольная сумма может помочь обнаружить изменение файла.
Но она не доказывает правильность математического вычисления, посредством которого файл был сформирован.
Следовательно, репродуктивный пакет должен включать разные виды доказательственных материалов.
11.34. Протокол испытания опытной реализации
Для технической реализации необходимо создать протокол ноотехнического испытания.
В первоначальном варианте он должен включать:
Объект испытания.
Конкретная реализация алгоритма.
Нормативная редакция.
Идентификатор действующей спецификации.
Проверяемое требование.
Например, правильность усечения первого класса.
Исходные данные.
Точная рациональная дробь.
Ожидаемый результат.
Нормативная запись.
Фактический результат.
Запись, полученная при выполнении программы.
Метод проверки.
Например, независимое точное целочисленное вычисление.
Заключение.
Соответствие, несоответствие либо другой установленный процедурный статус.
Однако необходимо подчеркнуть, что примеры настоящей главы представляют собой математически рассчитанные результаты.
Они не являются доказательством того, что конкретная программная реализация уже прошла необходимые испытания.
Следовательно, формальный расчёт и протокол технического испытания должны иметь самостоятельный статус.
11.35. Пример обнаружения нормативного несоответствия
Предположим, что техническая реализация заявлена как система усечения первого класса.
В качестве исходного числа используется:
x = 1/6.
Согласно спецификации ожидается:
0,1666666666.
Однако программа возвращает:
0,1666666667.
Полученный результат является математически корректным округлением до ближайшего значения.
Но он не соответствует заявленному правилу усечения.
Следовательно, возникает нормативное несоответствие.
При этом нельзя объявлять само число 0,1666666667 математически неправильным в абсолютном смысле.
Оно представляет собой допустимое конечное рациональное значение.
Ошибка заключается в несоответствии выбранной операции.
Следовательно, протокол должен фиксировать:
исходную спецификацию;
предусмотренную операцию;
фактический результат;
характер нарушения;
необходимое корректирующее действие.
Таким образом, данный пример показывает значение нормативного контекста для оценки математических вычислений.
11.36. Пример различия исправления ошибки и нормативной инновации
Рассмотрим тот же случай.
В исходной редакции системы используется усечение.
Разработчик предлагает перейти к округлению до ближайшего значения.
Такое изменение может иметь определённые математические преимущества.
Например, оно обеспечивает меньшую общую верхнюю границу абсолютной погрешности.
Однако это не означает, что новая операция автоматически является исправлением ошибки прежней системы.
Если усечение было сознательно установлено нормативным правилом, замена операции представляет собой изменение математической конструкции.
Следовательно, требуется новая редакция либо самостоятельный профиль.
При этом прежняя система может продолжать существовать.
Таким образом, необходимо разграничивать:
устранение несоответствия реализации действующему стандарту
и
разработку нового стандарта или нормативного профиля.
Это различие имеет существенное значение для нооинноватики и управления конфигурацией.
Следовательно, изменение математических операций должно сопровождаться самостоятельной процедурой ноотехнического проектирования.
11.37. Расчётные результаты и карта ноотехнического качества
Полученные математические примеры могут использоваться для формирования карты ноотехнического уровня и качества соответствующей системы.
Например, для системы усечения первого класса можно зарегистрировать следующие характеристики.
Показатель Математическое или нормативное содержание
Номер класса n = 1
Количество позиций d = 10
Исходная предметная область Рациональные числа
Правило формирования Усечение к нулю
Общая граница абсолютной погрешности Меньше 10^(;10)
Представление 1/3 0,3333333333
Представление 1/6 0,1666666666
Представление 1/8 0,1250000000
Правило отрицательных чисел Усечение по направлению к нулю
Нормативный формат Ровно десять позиций
Межклассовая согласованность Подлежит применению доказанного свойства усечения
Техническая надёжность реализации Требует отдельного испытания
Репродуктивность реализации Требует подтверждения в установленных условиях
Однако необходимо учитывать, что часть таблицы содержит математически обоснованные свойства, а другая часть — требования к будущей технической проверке.
Следовательно, они должны обладать разными доказательственными статусами.
Таким образом, карта качества должна обеспечивать разграничение нормативной спецификации и фактически подтверждённых эксплуатационных характеристик.
11.38. Комплексная организация ноотехнических НИОКР
Для дальнейшего развития предлагается сформировать комплексную программу ноотехнических НИОКР по системе классов точности.
Научно-исследовательское направление должно включать разработку математических определений, доказательств и теории погрешностей.
Опытно-конструкторское направление предполагает создание технических реализаций соответствующих операций.
Ноометрологическое направление предназначено для разработки системы характеристик и критериев оценки.
Нооиммунологическое направление обеспечивает контроль нормативной допустимости.
Ноорепродуктивное направление разрабатывает средства воспроизводства результатов.
Ноостандартизационное направление предназначено для формирования проектов нормативных документов.
Экосистемное направление обеспечивает взаимодействие различных классов и профилей.
Однако необходимо учитывать, что все названные направления могут развиваться с различной степенью готовности.
Например, математическая теория может быть разработана раньше определённой программной реализации.
Следовательно, необходимо регистрировать фактический статус каждого компонента.
Таким образом, развитие классовой математики должно осуществляться посредством согласованной системы научных и инженерных работ.
11.39. Первоначальная система проектов ноотехнических стандартов
В настоящей части монографии были последовательно предложены несколько исследовательских проектов стандартов.
Обозначение Предмет предполагаемого стандарта
НСТ-НОО-01 Шкала классов конечной десятичной экспликации
НСТ-НОО-02 Классовая арифметика и допустимые вычисления
НСТ-НОО-03 Межклассовые преобразования и математические координаты
НСТ-НОО-04 Потенциально неограниченное довычисление и завершённость
НСТ-НОО-05 Дополнительные математические шкалы
При этом данная система обозначений является проектной.
Она не означает существования официально принятых документов.
Особое значение имеет необходимость согласования соответствующих нормативных оснований.
Например, стандарт классовой арифметики должен ссылаться на действующее определение класса точности.
А стандарт межклассовых преобразований должен учитывать правила арифметических операций.
Следовательно, изменение исходного стандарта может требовать пересмотра связанных документов.
Таким образом, система проектов стандартов должна иметь собственный ноокадастр, нормативные паспорта и историю версий.
11.40. Основные результаты главы
В настоящей главе предложена система расчётных примеров и первоначальных ноотехнических регламентов построения математических объектов.
Рассмотрены методы точной конечной десятичной экспликации рациональных чисел.
Разработана математическая схема усечения и округления на основе целочисленного деления.
Предложены правила независимой проверки результатов.
Приведены полные вычисления для чисел 1/3, 1/6, 1/7, 1/8 и ;1/6 первого класса.
Показана полная стозначная экспликация числа 1/7 второго класса.
Рассмотрены граничные случаи округления.
Приведены конечные представления числа ;.
На конкретных примерах исследована классовая эквивалентность различных точных чисел.
Показаны различия между вложением, проекцией и повторной экспликацией.
Рассмотрено накопление погрешностей при сложении и умножении.
Приведены примеры нарушения ассоциативности и дистрибутивности классового умножения.
Показано, что предварительное усечение ненулевого знаменателя может сделать последующее деление недопустимым.
Разработаны примеры интервальной интерпретации конечных представлений.
Приведён контрпример согласованности последовательного округления между первым и вторым классами.
На расчётных примерах показано применение дополнительных шкал структурной сложности и документационной полноты.
Предложены проекты алгоритмов, матриц требований, протоколов испытаний и репродуктивных пакетов.
Разработаны первоначальные регламенты первого и второго классов, межклассовых преобразований, допустимых арифметических операций и воспроизводства.
Показано различие между технической ошибкой и нормативной инновацией.
Сформирована первоначальная система проектов ноотехнических стандартов НСТ-НОО-01 — НСТ-НОО-05.
Таким образом, расчётные примеры и ноотехнические регламенты демонстрируют возможность перехода от общей теории классов математических объектов к формально проверяемым процедурам их построения, сравнения, вычисления, документирования и воспроизводства.
Однако полученные результаты необходимо рассматривать в пределах установленных математических и нормативных оснований.
В частности, создание системы конечных представлений не означает изменения математического определения исходных рациональных и действительных чисел.
А разработка новых операций требует самостоятельного доказательства их свойств.
Именно эти разграничения позволяют придать дальнейшему развитию нооинженерной математики характер строгой технической дисциплины.
Итоги части VII
В одиннадцати главах настоящей части монографии разработаны первоначальные основания системы шкал и классов математических объектов.
Первым основным результатом стало построение общей классификационной модели, разграничивающей математические объекты, их определения, способы задания, представления, алгоритмы и технические реализации.
Показано, что математический объект может обладать несколькими различными классификационными характеристиками.
При этом классификация по классу конечной десятичной экспликации не должна автоматически отождествляться с родо-видовой классификацией чисел в традиционной математике или в исходной авторской гармонической арифметике.
Вторым результатом является разработка первоначальной теории математических шкал.
Разграничены номинальные, порядковые, количественные и многокритериальные системы оценки.
Показано, что каждая шкала должна обладать определённым предметом, множеством значений, отношениями и способами проверки.
Особое значение имеет отказ от произвольного количественного оценивания характеристик, не обладающих обоснованной математической мерой.
Третьим результатом стало построение авторской шкалы классов точности конечной десятичной экспликации.
Её исходное правило имеет вид:
d; = 10^n.
Здесь номер класса n определяет количество десятичных цифр после запятой.
При этом математическое значение конечного представления зависит не только от класса, но и от исходного объекта и применённой операции.
Следовательно, необходимо разграничивать точное числовое значение и его нормативную запись.
Четвёртым результатом является разработка понятия полной конечной экспликации.
Показано, что она представляет собой завершённое формирование результата относительно установленного класса и нормативного профиля.
Однако такая завершённость не означает полного исчерпания всех математических характеристик исходного объекта.
Особое значение имеет различие между конечным символическим обозначением, алгоритмом получения результата и фактически сформированной десятичной записью.
Пятым результатом стало исследование классовой определённости и классовой эквивалентности.
Для усечения определено отношение:
x ~; y ; T;(x) = T;(y).
Показано, что оно является отношением эквивалентности.
Однако оно не совпадает с математическим равенством исходных объектов.
Два различных числа могут иметь одинаковые представления младшего класса.
При этом повышение класса позволяет в определённых случаях различить соответствующие объекты.
Особое значение имеет доказательство того, что классовая эквивалентность не сохраняется автоматически при арифметических операциях.
Шестым результатом стала разработка первоначальных оснований классовой арифметики.
Разграничены вычисления над точными исходными числами с последующей экспликацией и операции над уже полученными конечными представлениями.
На конкретных примерах показано, что данные режимы могут давать разные результаты.
Установлено, что классовое умножение с промежуточным усечением может нарушать ассоциативность и дистрибутивность.
Следовательно, соответствующие операции должны исследоваться как самостоятельные математические конструкции.
Седьмым результатом стало обоснование принципа одновременного существования математических систем различных классов.
Показано, что более высокий класс не обязательно заменяет более низкий.
Различные системы могут обладать самостоятельным функциональным назначением и использоваться параллельно.
При этом необходимо сохранять их нормативную определённость.
Особое значение имеет различие между классом точности, профилем операций и редакцией стандарта.
Восьмым результатом стала разработка первоначальной теории межклассовых соответствий.
Исследованы вложение, проекция и повторная экспликация.
Показано, что эти преобразования имеют различные математические свойства.
В частности, вложение конечного значения в старший класс не означает автоматического получения дополнительных правильных цифр исходного объекта.
А проекция в младший класс может сопровождаться потерей информации.
Следовательно, межклассовые преобразования должны иметь самостоятельные нормативные паспорта.
Девятым результатом является исследование потенциально неограниченного довычисления.
Разграничены математическая определённость алгоритма, возможность постановки конечной вычислительной задачи, техническая осуществимость и фактическая завершённость результата.
Показано, что последовательность классов может быть неограниченно продолжимой по своему математическому правилу.
Однако это не означает завершения всех соответствующих вычислений.
При этом понятие довычисления используется в специальном операционно-инженерном смысле и не должно автоматически подменять исходные философско-математические положения авторской гармонической арифметики.
Десятым результатом стало расширение системы шкал за пределы десятичной точности.
Предложены первоначальные подходы к оценке структурной сложности, семантической определённости, совместимости и воспроизводимости.
Показано, что соответствующие характеристики могут обладать различными типами значений.
Следовательно, они должны регистрироваться раздельно, без произвольного сведения к одному количественному показателю.
Особое значение имеет возможность многокритериального сравнения и сохранения нескольких специализированных решений.
Одиннадцатым результатом стала разработка конкретных расчётных примеров и первоначальных ноотехнических регламентов.
Показаны математические процедуры усечения, округления, классового сравнения, выполнения арифметических операций и проверки результатов.
Сформированы исходные требования к паспортам, контрольным примерам, испытательным протоколам и репродуктивным пакетам.
Предложена система исследовательских проектов стандартов НСТ-НОО-01 — НСТ-НОО-05.
При этом необходимо подчеркнуть, что данные документы пока имеют статус проектируемых ноотехнических стандартов.
Для их практического принятия требуются дальнейшая формализация, разработка опытных реализаций и соответствующие процедуры проверки.
Общетеоретическое значение полученных результатов
Проведённое исследование показывает возможность построения математических технологий, в которых существенные характеристики объектов и операций становятся самостоятельным предметом инженерного проектирования.
В частности, можно нормативно устанавливать количество десятичных позиций, способы получения конечных представлений, допустимые арифметические операции, правила сравнения и процедуры проверки.
Однако это не означает, что каждая новая нормативная технология автоматически создаёт новую фундаментальную математическую онтологию.
Необходимо различать изменение исходных математических объектов и изменение способов их представления или обработки.
Особенно важно, что математическая корректность предлагаемой конструкции определяется конкретными доказательствами.
Инженерная полезность характеризуется соответствием практическому назначению.
Техническая реализованность определяется наличием проверенных средств выполнения предусмотренных функций.
Нормативная допустимость устанавливается относительно определённой системы требований.
Следовательно, перечисленные характеристики не должны подменять друг друга.
Перспективы дальнейшего развития
Разработанные положения создают основу для перехода к систематическому исследованию гармонической математики как ноотехнической дисциплины.
На этом этапе необходимо будет рассмотреть математическую систему не только как объект теоретического описания, но и как предмет целенаправленного проектирования.
Особое значение приобретут закон строгого тождества, закон исключённого пятого и соответствующие нооиммунологические процедуры.
Необходимо также исследовать способы репродукции математических объектов, операций и теорий.
Далее возникает задача разработки нормативно организованных математических инноваций.
При этом необходимо обеспечить возможность создания альтернативных систем без неявной подмены их исходных оснований.
Наконец, потребуется более строго разграничить пределы конечной экспликации и самостоятельную перспективную предметную область Изольдионики.
Таким образом, седьмая часть монографии формирует математико-технические основания классификации, экспликации, сравнения и вычисления математических объектов в различных нормативных системах.
Её центральным результатом является переход от общего положения о конструируемости ментальных объектов к конкретным математически определённым технологиям, допускающим разработку спецификаций, доказательств, алгоритмов, средств проверки и ноотехнических стандартов.
На этой основе гармоническая математика может быть далее исследована как особая программа математической инженерии, в которой нормативно организованное построение ментальных объектов становится самостоятельным предметом научного и технического исследования.
*****
Шкалы и классы математических объектов
© Copyright: Вадимир Петросян, 2026
Свидетельство о публикации №226101500320
Свидетельство о публикации №226101500320
Рецензии