Основы общей теории металогарифмов

В.К.
Петросян (Вадимир). ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МЕТАЛОГАРИФМОВ. В 2-х тт.

*********
© В.К.
Петросян (Вадимир) © Lag.ru [Large Apeironic Gateway, Большой Апейронический
Портал (Шлюз), Суперпортал в Бесконечность].
При копировании данного материала и размещении его на другом сайте, ссылки
на соответствующие локации порталов Lag.ru и Proza.ru обязательны
Работа написана на основе концепции и разработок В.К. Петросяна при полноценном соавторстве (активном творческом и вычислительном участии) ChatGPT (OpenAI), GPT-5.6 Sol
*********

ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ МЕТАЛОГАРИФМОВ

Глава 1. Базовые понятия ОТМ
1.1. Ординарные и экстраординарные логарифмические операции
1.2. Понятие металогарифма
1.3. Прямое металогарифмирование
1.4. Обратное металогарифмирование
1.5. Степенная субоперация
1.6. Сублогарифм
1.7. Основание субоперации
1.8. Промежуточный результат
1.9. Металогарифмический цикл
1.10. Металогарифмический каскад
1.11. Индекс каскада
1.12. Циклический логарифм
1.13. Абсолютный логарифм
1.14. Металогарифм как структурированный математический объект
Глава 2. Металогарифмический каскад
2.1. Структура каскада
2.2. Последовательные каскады
2.3. Вложенные каскады
2.4. Сцепленные каскады
2.5. Каскады с постоянными параметрами
2.6. Каскады с переменными параметрами
2.7. Закон перехода между циклами
2.8. Наследование результата
2.9. Каскад как единый математический объект
2.10. Каскад как генеративная программа
Глава 3. Основные классы металогарифмов
3.1. Стационарные металогарифмы
3.2. Динамические металогарифмы
3.3. Рекурсивные металогарифмы
3.4. Самопорождающие металогарифмы
3.5. Симметричные металогарифмы
3.6. Асимметричные металогарифмы
3.7. Условные металогарифмы
3.8. Модифицированные металогарифмы
3.9. Рефлексивные металогарифмы
3.10. Саморефлексивные металогарифмы
3.11. Комбинированные металогарифмические системы


ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ МЕТАЛОГАРИФМОВ
Общая теория металогарифмов начинается с расширения самого представления о том, что может являться объектом логарифмического анализа.

В классической математике логарифм связан прежде всего с одной законченной степенной операцией. Заданы основание и результат, а искомой величиной становится показатель степени. Такая конструкция чрезвычайно важна, но структурно проста: она описывает отношение между тремя элементами одной степенной связи.

Металогарифмический подход переносит внимание с единичной операции на организованный процесс.

Предметом рассмотрения становится уже не один акт возведения в степень, а последовательность степенных субопераций, связанных между собой определённым законом. Результат одной субоперации способен становиться основанием следующей, определять её показатель, изменять количество дальнейших циклов, влиять на ранг операции или участвовать в выборе нового закона развития всего каскада.

Поэтому Общая теория металогарифмов изучает не только числовые значения, но и архитектуру их происхождения.

Настоящая часть вводит исходный понятийный аппарат ОТМ. Большинство терминов будет далее уточняться и расширяться, однако уже здесь необходимо установить фундаментальные различия между субоперацией, циклом, каскадом, индексом, циклическим логарифмом и абсолютным логарифмом.

Особенно важно понимать, что терминология ОТМ образует специальную систему. Некоторые используемые слова имеют аналоги в классической математике, но внутри ОТМ получают более широкое или специально определённое значение.

ГЛАВА 1. БАЗОВЫЕ ПОНЯТИЯ ОТМ
1.1. Ординарные и экстраординарные логарифмические операции
Исходным разделением Общей теории металогарифмов является разделение логарифмических операций на ординарные и экстраординарные.

Под ординарными, или обыкновенными, логарифмическими операциями понимаются классические логарифмические отношения, связанные с обращением единичного возведения в степень.

Ординарный логарифм определяет показатель, необходимый для получения заданного результата при заданном основании.

В данном случае объектом обращения является одна степенная операция.

Экстраординарная логарифмическая операция рассматривает уже не отдельный степенной акт, а систему взаимосвязанных степенных преобразований.

Такой системой может являться последовательность, каскад, вложенная структура, многоранговая конструкция или более сложная динамическая система, внутри которой основания, показатели и законы перехода способны изменяться.

Именно экстраординарные логарифмические операции образуют основную область Общей теории металогарифмов.

Разделение на ординарный и экстраординарный классы не означает противопоставления двух независимых математик.

Напротив, ординарный логарифм следует рассматривать как простейший случай более широкого принципа обращения степенных структур.

В предельно простой ситуации структура состоит из одного шага.

В металогарифмической ситуации структура состоит из множества связанных шагов.

Тем самым переход от ординарного логарифмирования к металогарифмированию является переходом от локального обращения отдельной операции к структурному анализу многооперационного процесса.

1.2. Понятие металогарифма
Металогарифмом в ОТМ называется характеристика или система характеристик, описывающая степенной каскад как единый генеративный объект либо отдельные уровни этого каскада.

Такое определение принципиально шире представления о металогарифме как об одном числовом показателе.

В простейших случаях металогарифм действительно может быть представлен относительно компактным набором параметров.

Однако по мере усложнения каскада металогарифмический объект может включать:

значения сублогарифмов;

последовательность оснований;

индекс каскада;

ранг;

число итераций;

закон перехода;

модификаторы;

условия;

характеристики рефлексивности;

параметры более высоких уровней.

Следовательно, металогарифм может быть не только скалярной величиной, но и структурированным математическим объектом.

Это положение является одним из фундаментальных для всей ОТМ.

Металогарифм описывает не только то, насколько велик результат, но и каким образом этот результат возникает.

Иными словами, металогарифмическая информация является одновременно числовой и генеративной.

1.3. Прямое металогарифмирование
Под прямым металогарифмированием в настоящей теории понимается процедура определения металогарифмических характеристик заданной каскадной структуры.

Если известен процесс обратного металогарифмирования, его начальные параметры, промежуточные состояния и конечный объект, прямое металогарифмирование выделяет характеристики этого процесса.

К числу таких характеристик могут относиться:

сублогарифмы отдельных циклов;

последовательность сублогарифмов;

индекс каскада;

циклические логарифмы;

ранг;

абсолютный логарифм;

закон изменения параметров;

дополнительные характеристики структуры.

Таким образом прямое металогарифмирование является в первую очередь аналитической операцией.

Оно переводит сложный каскад в систему описывающих его параметров.

В дальнейших разделах книги понятие прямого металогарифмирования будет расширено. В частности, будет рассмотрена возможность неполного и полного прямого металогарифмирования.

При неполном прямом металогарифмировании определяется только часть характеристик каскада.

При полном прямом металогарифмировании предпринимается попытка получить максимально полное описание его генеративной структуры.

Такое различие особенно важно для сложных рекурсивных и саморефлексивных систем, где восстановление всего процесса может быть значительно труднее получения отдельных локальных характеристик.

1.4. Обратное металогарифмирование
Обратным металогарифмированием называется генеративный процесс, в ходе которого исходный математический объект преобразуется посредством последовательности связанных степенных субопераций.

Если прямое металогарифмирование анализирует и описывает каскад, то обратное металогарифмирование разворачивает его.

Это не обязательно простое повторение одного и того же действия.

В общем случае на каждой ступени могут изменяться:

основание;

сублогарифм;

отношение между ними;

закон изменения;

модификаторы;

ранг;

число дальнейших циклов.

Следовательно, обратное металогарифмирование представляет собой выполнение металогарифмической программы.

В простейшей форме такая программа может состоять из нескольких последовательных операций самовозведения.

В более сложной форме результат каждого шага способен перестраивать следующую операцию.

В предельных конструкциях изменяться может уже сама архитектура каскада.

Поэтому обратное металогарифмирование является генеративной стороной ОТМ.

Именно оно непосредственно связано с созданием чрезвычайно больших числовых объектов и с использованием металогарифмов в Изольдионике.

1.5. Степенная субоперация
Степенной субоперацией называется элементарный степенной акт, входящий в состав более крупной металогарифмической конструкции.

Термин «субоперация» подчёркивает, что рассматриваемая операция не обязательно является самостоятельной в рамках всей системы.

Она может быть лишь одним шагом внутри цикла, каскада или операции определённого ранга.

Степенная субоперация имеет как минимум:

основание;

сублогарифм;

результат.

В расширенных моделях она может дополнительно характеризоваться:

номером;

рангом локального уровня;

модификатором;

условием;

ссылкой на предыдущий результат;

ссылкой на внешний управляющий объект.

Субоперация является минимальной единицей степенного действия внутри ОТМ.

Однако она не является минимальной единицей смысла.

Её значение определяется тем местом, которое она занимает в структуре каскада.

Одна и та же степенная субоперация, включённая в разные законы перехода, может участвовать в принципиально различных металогарифмических процессах.

1.6. Сублогарифм
Сублогарифмом называется логарифмическая характеристика отдельной степенной субоперации металогарифмического каскада.

В генеративной интерпретации сублогарифм связан с показателем, используемым в соответствующей ступени обратного металогарифмирования.

Если показатели во всех циклах одинаковы, система имеет стационарную сублогарифмическую структуру.

Если они различаются, возникает последовательность сублогарифмов.

Например, один цикл может использовать один сублогарифм, следующий — больший, третий — ещё больший.

Порядок изменения сублогарифмов может задаваться внешним законом либо определяться внутренними состояниями самого каскада.

Поэтому сублогарифм в ОТМ необходимо рассматривать в двух аспектах.

Первый аспект — локальный.

Сублогарифм характеризует отдельную субоперацию.

Второй аспект — динамический.

Последовательность сублогарифмов может образовывать самостоятельный процесс развития.

Этот второй аспект особенно важен для динамических, рекурсивных и саморефлексивных металогарифмов.

1.7. Основание субоперации
Основанием субоперации называется математический объект, подвергающийся соответствующему степенному преобразованию.

В простейших металогарифмических системах основание может оставаться постоянным.

Однако это лишь частный случай.

В динамических каскадах основание способно изменяться от цикла к циклу.

Особенно важен случай, когда результат предыдущей субоперации автоматически становится основанием следующей.

Тогда возникает механизм наследования результата.

Основание может изменяться независимо от сублогарифма либо быть связано с ним определённым законом.

Одним из важных частных случаев является совпадение основания и сублогарифма.

В другом классе систем сублогарифм может быть больше основания.

В третьем — меньше.

При этом само отношение между ними также может изменяться.

Таким образом основание в ОТМ перестаёт быть пассивной константой.

Оно становится одной из динамических координат каскада.

1.8. Промежуточный результат
Промежуточным результатом называется объект, возникающий после выполнения отдельной субоперации или законченного локального блока каскада до завершения всего процесса обратного металогарифмирования.

Промежуточный результат может выполнять различные функции.

Он может просто передаваться следующему циклу.

Он может становиться новым основанием.

Он может становиться новым сублогарифмом.

Он может одновременно задавать и основание, и сублогарифм.

Он может изменять ранг следующей операции.

Он может определять количество будущих итераций.

Он может выбирать модификатор или даже закон дальнейшего развития.

Поэтому промежуточный результат следует понимать не только как временное числовое значение.

В динамических системах он является элементом управления.

Чем больше параметров следующей стадии определяется промежуточным результатом, тем более выраженной становится внутренняя рефлексивность каскада.

1.9. Металогарифмический цикл
Металогарифмическим циклом называется законченный локальный этап каскада, включающий одну или несколько связанных степенных субопераций и приводящий систему из одного определённого состояния в другое.

В простейшем металогарифме цикл может совпадать с одной субоперацией.

Однако в металогарифмах более высокого ранга один цикл способен содержать внутренний многоэтажный блок.

Поэтому цикл и субоперация не являются синонимами.

Субоперация — элементарный степенной акт.

Цикл — законченная структурная единица металогарифмического процесса.

Это различие становится критически важным после введения рангов.

Например, один цикл металогарифма высокого ранга может состоять из большого количества внутренних субопераций.

После завершения этого блока полученный результат передаётся следующему циклу.

Тем самым цикл является промежуточным уровнем между элементарной субоперацией и полным каскадом.

1.10. Металогарифмический каскад
Металогарифмическим каскадом называется упорядоченная система циклов и субопераций, объединённых общим законом генерации.

Каскад характеризуется не только количеством входящих в него элементов, но и отношениями между ними.

Порядок принципиален.

Если две одинаковые субоперации поменять местами, итоговая структура может измениться.

Поэтому металогарифмический каскад не является обычным множеством.

Это организованная последовательность или более сложная система связей.

В общем случае каскад включает:

начальное состояние;

структуру циклов;

субоперации;

закон перехода;

механизм наследования результата;

условия;

модификаторы;

критерий завершения.

В сложных системах каскад может содержать другие каскады.

Тогда возникает вложенная архитектура.

Каскады также могут сцепляться, действовать параллельно или воздействовать друг на друга.

Таким образом понятие каскада становится одним из центральных понятий всей ОТМ.

1.11. Индекс каскада
Индексом каскада называется характеристика его протяжённости, указывающая количество выделяемых циклов либо иной заранее определённой структурной единицы.

В простейшем случае индекс совпадает с количеством последовательных циклов.

Однако для сложных систем этого определения может оказаться недостаточно.

Необходимо различать:

число циклов;

число субопераций;

глубину вложенности;

ранг;

число внешних итераций.

Все эти характеристики способны различаться.

Поэтому индекс каскада должен всегда сопровождаться указанием того, какой уровень структуры он измеряет.

В базовой версии ОТМ под индексом без дополнительных уточнений будет пониматься число циклов верхнего уровня соответствующего каскада.

Для внутренних уровней могут вводиться локальные индексы.

Такой подход позволит избежать смешения количества циклов с рангом или числом элементарных степенных субопераций.

1.12. Циклический логарифм
Циклическим логарифмом называется локальная металогарифмическая характеристика отдельного цикла либо упорядоченная система таких характеристик для последовательности циклов.

В простейшем случае циклический логарифм фиксирует параметры одного конкретного цикла.

В динамическом каскаде возникает последовательность циклических логарифмов.

Тем самым циклический логарифм может рассматриваться как локальное описание процесса.

Он отвечает не на вопрос о всей операции целиком, а на вопрос:

что происходит на данном уровне каскада?

Циклические логарифмы позволяют разложить сложный металогарифмический процесс на последовательность локально анализируемых состояний.

Это особенно важно тогда, когда параметры изменяются от цикла к циклу.

В дальнейшем теория циклических логарифмов должна позволить анализировать:

локальную скорость роста;

изменение основания;

изменение сублогарифма;

изменение ранга;

действие модификаторов;

влияние предыдущего состояния.

Таким образом циклический логарифм является главным инструментом локального анализа каскада.

1.13. Абсолютный логарифм
Абсолютным логарифмом называется интегральная металогарифмическая характеристика полного каскада, рассматриваемого как единый объект без обязательного разложения на отдельные циклы.

Если циклический логарифм характеризует локальную структуру, то абсолютный логарифм должен характеризовать целое.

Это одно из наиболее перспективных и одновременно наиболее сложных понятий ОТМ.

Абсолютный логарифм не должен автоматически пониматься как простая сумма, произведение или иная тривиальная агрегация циклических логарифмов.

В общем случае каскад обладает свойствами, которые не сводятся к независимому набору его элементов.

Именно поэтому абсолютная характеристика должна учитывать структуру связей между циклами.

Потенциально она может включать:

ранг;

индекс;

закон перехода;

тип наследования;

модификационную среду;

характер рефлексивности;

структурную сложность.

В простых случаях абсолютный логарифм может иметь компактное числовое выражение.

В сложных системах он способен стать составным объектом.

Разработка строгой теории абсолютного логарифма является одной из фундаментальных задач дальнейшего развития ОТМ.

1.14. Металогарифм как структурированный математический объект
Все предыдущие определения приводят к ключевому выводу.

Металогарифм нельзя в общем случае сводить к одному числу.

Он представляет собой структурированный математический объект.

В нём могут одновременно присутствовать:

числовая информация;

операторная информация;

структурная информация;

генеративная информация;

семантическая информация.

Это принципиально отличает зрелую металогарифмическую систему от простой нотации сверхбольшого числа.

Нотация может только обозначать величину.

Структурированный металогарифм способен описывать способ её рождения.

Поэтому полный металогарифмический объект можно рассматривать как своеобразный генотип степенного процесса.

Именно этот переход — от числа к структуре его генерации — впоследствии позволит встроить ОТМ в семантический алфавит Изольдионики.

ГЛАВА 2. МЕТАЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ КАСКАД
Если металогарифм является основной единицей описания ОТМ, то каскад является основной единицей её динамики.

Без понятия каскада Общая теория металогарифмов превратилась бы в набор отдельных расширенных степенных операций.

Именно каскад связывает эти операции в единый процесс.

2.1. Структура каскада
Минимальная структура металогарифмического каскада включает:

начальное состояние;

один или несколько циклов;

закон перехода;

конечное состояние.

Однако в развитых системах этого недостаточно.

Каскад может также содержать:

внутренние ранги;

локальные модификаторы;

условия активации;

параллельные ветви;

вложенные каскады;

метаправила.

Поэтому структура каскада имеет несколько уровней.

Первый уровень — арифметический.

На нём рассматриваются конкретные числа и степенные преобразования.

Второй уровень — операторный.

На нём определяются типы действий.

Третий уровень — структурный.

Он задаёт порядок и связи между операциями.

Четвёртый уровень — метаоператорный.

На нём могут изменяться сами правила организации процесса.

Чем выше металогарифмическая система, тем больше значение получают последние два уровня.

2.2. Последовательные каскады
Последовательным называется каскад, в котором циклы выполняются один за другим в определённом порядке.

Это базовая форма металогарифмического процесса.

Результат первого цикла передаётся второму.

Результат второго — третьему.

И так далее.

В простейшей модели результат становится новым основанием.

В более сложной модели он может участвовать в вычислении нескольких параметров следующего цикла.

Последовательный каскад удобен тем, что обладает ясной причинной структурой.

Каждое состояние порождает следующее.

Поэтому именно на последовательных каскадах наиболее удобно вводить базовые понятия рекурсии, наследования и динамического изменения параметров.

Однако последовательность не обязательно означает однообразие.

Каждый цикл способен иметь собственную внутреннюю структуру.

Следовательно, последовательный каскад может быть чрезвычайно неоднородным.

2.3. Вложенные каскады
Вложенным называется каскад, внутри отдельного цикла или структурного блока которого содержится другой каскад.

Это принципиально более мощная конструкция.

Если обычный последовательный каскад образует цепь, вложенный каскад создаёт иерархию.

Один внешний цикл способен включать несколько внутренних циклов.

Каждый из них, в свою очередь, может содержать следующий уровень.

Количество уровней вложенности может быть фиксированным, динамическим или рефлексивным.

Именно вложенные структуры подготавливают переход к металогарифмам высокого ранга.

Ранг и вложенность не являются полностью тождественными понятиями, однако тесно связаны.

В дальнейшем будет показано, что один ранг может определять стандартную глубину внутреннего степенного механизма, тогда как произвольная вложенность позволяет строить ещё более сложные структуры.

Вложенные каскады особенно важны для семантического сжатия.

Короткая запись может обозначать не отдельную последовательность операций, а целую иерархию последовательностей.

2.4. Сцепленные каскады
Сцепленными называются два или более каскада, между которыми установлен формальный механизм передачи состояния или результата.

В последовательном каскаде связь осуществляется между циклами одного процесса.

В сцепленной системе соединяются уже отдельные каскады.

Результат одного может становиться:

входом другого;

основанием другого;

его сублогарифмом;

параметром ранга;

числом итераций;

модификатором;

условием активации.

Сцепление может быть однонаправленным или взаимным.

В однонаправленном случае первый каскад управляет вторым.

Во взаимном случае каскады способны влиять друг на друга.

Последний вариант особенно интересен, поскольку создаёт основу для многоконтурных рефлексивных систем.

В будущем сцепленные каскады станут одним из основных механизмов соединения металогарифмического кодона с другими кодонами Изольдионики.

2.5. Каскады с постоянными параметрами
Каскадом с постоянными параметрами называется система, в которой заранее определённый набор основных характеристик не изменяется от цикла к циклу.

Постоянными могут быть:

основание;

сублогарифм;

ранг;

модификатор;

правило перехода.

Не обязательно все эти параметры должны оставаться постоянными одновременно.

Можно говорить о частично стационарном каскаде.

Например, основание может изменяться, но сублогарифм оставаться постоянным.

Или наоборот.

Полностью стационарный каскад представляет особый предельный случай, максимально близкий к обычной итерации одной функции.

Такие системы имеют большое теоретическое значение, поскольку служат базовым уровнем для сравнения с динамическими конструкциями.

2.6. Каскады с переменными параметрами
В динамическом каскаде один или несколько параметров изменяются от цикла к циклу.

Изменение может происходить:

по заранее заданной последовательности;

по рекуррентному закону;

в зависимости от результата;

под воздействием внешнего кодона;

в результате рефлексивного правила.

Например, сублогарифм может последовательно увеличиваться.

Основание может автоматически наследовать результат предыдущего цикла.

Ранг может возрастать.

Количество внутренних ступеней может зависеть от текущего состояния.

Модификатор может усиливаться.

В результате каскад становится не просто механизмом повторения, а динамической системой.

Особенно важно, что динамический каскад способен развиваться одновременно по нескольким координатам.

Величина растёт.

Одновременно растёт показатель.

Одновременно меняется основание.

Одновременно увеличивается ранг.

Одновременно может возрастать число последующих итераций.

Так возникает многоканальный рост.

2.7. Закон перехода между циклами
Законом перехода называется правило, определяющее, каким образом состояние текущего цикла формирует состояние следующего.

Это одно из центральных понятий ОТМ.

Без закона перехода каскад остаётся просто списком операций.

Закон превращает его в систему.

В простейшем случае он указывает, что результат предыдущего цикла становится основанием следующего.

Более сложный закон может одновременно определять:

новое основание;

новый сублогарифм;

новый ранг;

модификатор;

число будущих итераций.

В ещё более сложных конструкциях закон перехода сам способен изменяться.

Тогда появляется закон изменения закона.

А если и он становится динамическим, возникает метауровень управления.

Именно здесь ОТМ начинает переходить от теории каскадов к теории операторной эволюции.

2.8. Наследование результата
Наследованием результата называется использование промежуточного результата текущего цикла при формировании одного или нескольких параметров следующего.

Это один из основных механизмов рекурсивности ОТМ.

Можно выделить несколько базовых типов наследования.

Простое наследование: результат становится новым основанием.

Диагональное наследование: результат становится одновременно основанием и сублогарифмом.

Параметрическое наследование: результат определяет один из дополнительных параметров.

Ранговое наследование: результат влияет на ранг.

Итерационное наследование: результат определяет количество дальнейших повторений.

Модификационное наследование: результат выбирает или формирует новый модификатор.

Метазаконное наследование: результат воздействует на закон последующего развития.

Последние формы чрезвычайно важны для построения рефлексивных и саморефлексивных систем.

2.9. Каскад как единый математический объект
Хотя каскад состоит из отдельных циклов и субопераций, в ОТМ он должен рассматриваться как единый объект.

Причина проста.

Свойства полного каскада не всегда можно восстановить простым рассмотрением отдельных элементов вне их связей.

Порядок операций имеет значение.

Законы перехода имеют значение.

Механизм наследования имеет значение.

Вложенность имеет значение.

Следовательно, каскад обладает структурной целостностью.

Два каскада могут содержать одинаковый набор локальных операций, но отличаться порядком их выполнения и потому иметь совершенно разные свойства.

Это означает, что теория эквивалентности металогарифмических каскадов не может основываться только на совпадении составляющих элементов.

Необходимо учитывать архитектуру связей.

Такой подход станет особенно важен при разработке абсолютного логарифма и теории металогарифмических инвариантов.

2.10. Каскад как генеративная программа
Высшая интерпретация металогарифмического каскада состоит в его понимании как генеративной программы.

Программа в данном случае означает конечное описание правил, способных породить последовательность математических состояний.

Каскад содержит:

начальное значение;

набор операций;

порядок их выполнения;

условия переходов;

правила изменения параметров;

условие завершения либо продолжения.

Этого достаточно, чтобы рассматривать его как математическую программу происхождения объекта.

Так возникает фундаментальное различие между числовым значением и его генеративным описанием.

Числовое значение отвечает на вопрос, что получилось.

Каскад отвечает на вопрос, как это получилось.

Для Изольдионики второй вопрос может оказаться важнее первого.

Число может быть настолько велико, что его полная запись недостижима.

Но программа, порождающая его, способна оставаться сравнительно компактной.

Именно на этом принципе позднее будет построена концепция семантического сжатия и саморефлексивных металогарифмов.

ГЛАВА 3. ОСНОВНЫЕ КЛАССЫ МЕТАЛОГАРИФМОВ
Общая теория металогарифмов предполагает существование большого числа классов металогарифмических систем.

Эти классы не всегда являются взаимоисключающими.

Один и тот же металогарифм может одновременно быть динамическим, рекурсивным, асимметричным и модифицированным.

Поэтому предлагаемая далее классификация имеет фасетный характер.

Она отвечает не на вопрос, к какому единственному типу относится объект, а на вопрос, какими структурными свойствами он обладает.

3.1. Стационарные металогарифмы
Стационарными называются металогарифмы, основные правила которых сохраняются неизменными на протяжении рассматриваемого процесса.

Это наиболее простой класс после ординарных логарифмов.

Стационарность может относиться к:

основанию;

сублогарифму;

рангу;

числу внутренних ступеней;

модификатору;

закону перехода.

Полностью стационарная система использует один и тот же структурный шаблон на всех этапах.

Такие металогарифмы особенно удобны для построения базовой теории и исследования чистого влияния числа итераций.

Однако их генеративная мощность ограничена неизменностью самой архитектуры процесса.

3.2. Динамические металогарифмы
Динамическими называются металогарифмы, в которых один или несколько параметров изменяются в ходе вычисления.

Динамическим может быть:

сублогарифм;

основание;

ранг;

модификатор;

число дальнейших операций;

закон перехода.

Динамический металогарифм значительно шире простой итерации.

При обычной итерации многократно применяется один и тот же оператор.

В динамической системе оператор на разных стадиях способен различаться.

Именно поэтому динамичность является одним из основных источников структурного разнообразия ОТМ.

3.3. Рекурсивные металогарифмы
Рекурсивным называется металогарифм, в котором параметры следующей стадии определяются результатами или состояниями предыдущих стадий.

Главный принцип рекурсивности можно выразить словами:

следующее состояние выводится из предыдущего.

Рекурсивная зависимость может быть простой или многопараметрической.

Результат предыдущего цикла может определять только основание.

Или сразу несколько характеристик.

Рекурсивные металогарифмы обладают внутренней памятью.

Каждое новое состояние несёт информацию о предыдущей истории процесса.

Это делает их особенно важными для сложных генеративных систем.

3.4. Самопорождающие металогарифмы
Самопорождающими называются металогарифмы, в которых результат очередной стадии непосредственно участвует в создании самого механизма следующей стадии.

Это более сильное свойство, чем простая рекурсивность.

При обычной рекурсии результат может лишь подставляться в заранее заданную функцию.

В самопорождающей системе результат способен определять параметры новой операции.

Например, он может становиться одновременно новым основанием и новым сублогарифмом.

Тогда каждая стадия фактически создаёт следующий степенной оператор.

В результате эволюционирует уже не только число, но и последовательность локальных операций.

Самопорождающие металогарифмы являются одним из наиболее естественных мостов между ОТМ и идеей операторной трансволюции.

3.5. Симметричные металогарифмы
Симметричными называются металогарифмические системы, в которых между ключевыми параметрами поддерживается определённое отношение равенства или структурного соответствия.

Наиболее важный базовый пример — совпадение основания и сублогарифма.

Такой режим приводит к самостепенным операциям.

В динамическом симметричном каскаде результат предыдущей стадии может становиться одновременно новым основанием и новым сублогарифмом.

Симметрия в ОТМ не обязательно означает равенство всех параметров.

Это может быть более широкий принцип согласованного изменения.

Однако канонический симметричный случай особенно важен как один из базовых генераторов сверхбыстрого роста.

3.6. Асимметричные металогарифмы
Асимметричными называются металогарифмы, в которых между основанием и сублогарифмом или между иными ключевыми параметрами существует систематическое различие.

Например, сублогарифм может превышать основание.

Причём величина этого превышения способна оставаться постоянной либо изменяться.

Особый интерес представляет динамическая асимметрия.

В таком случае изменяется не только основание или сублогарифм, но и само отношение между ними.

Таким образом возникает дополнительный независимый источник роста.

Если коэффициент асимметрии увеличивается от цикла к циклу, каждый следующий степенной акт становится не просто больше предыдущего, но и структурно более агрессивным.

Асимметрия станет предметом отдельного рассмотрения во второй части книги.

3.7. Условные металогарифмы
Условными называются металогарифмы, ход которых зависит от выполнения одного или нескольких заданных условий.

Условие способно определять:

продолжение или остановку каскада;

выбор следующей операции;

изменение ранга;

изменение сублогарифма;

подключение модификатора;

переход к другому каскаду.

Условность превращает линейный процесс в систему выбора.

Таким образом появляется возможность ветвления.

Сложный условный металогарифм уже напоминает алгоритмическую структуру.

Именно поэтому класс условных систем чрезвычайно важен для будущего математического программирования генотипов.

3.8. Модифицированные металогарифмы
Модифицированными называются металогарифмы, на базовую структуру которых накладывается дополнительный оператор или комплекс операторов.

Простейший пример — числовой мультипликатор.

Однако модификатор не обязан быть числом.

Он может быть функцией.

Последовательностью.

Рекуррентным правилом.

Другим металогарифмом.

Алгебраическим комплексом.

Модификатор способен воздействовать на любой уровень системы.

Он может менять результат.

Основание.

Сублогарифм.

Ранг.

Количество итераций.

Закон перехода.

Позднее будет введено понятие металогарифмической среды, в которой базовый металогарифм рассматривается вместе с системой действующих на него модификаторов.

3.9. Рефлексивные металогарифмы
Рефлексивными называются металогарифмы, в которых результаты или внутренние характеристики процесса используются для определения собственных последующих параметров.

Это понятие близко к рекурсивности, но шире её по смыслу.

Рекурсия связывает состояния.

Рефлексивность означает, что система начинает использовать информацию о себе для управления собой.

Например, результат способен определять:

собственный будущий ранг;

количество дальнейших итераций;

будущий закон изменения;

активный модификатор.

Таким образом металогарифм приобретает элементы внутреннего самоуправления.

Рефлексивность является важнейшим переходом от обычной динамической системы к метадинамической.

3.10. Саморефлексивные металогарифмы
Саморефлексивные металогарифмы, или СМЛ, представляют особый класс, в котором одна характеристика объекта используется одновременно для задания нескольких фундаментальных параметров собственной генеративной структуры.

Каноническая форма SML N означает, что значение N выступает сразу в нескольких ролях.

Оно задаёт исходный объект.

Оно задаёт ранг.

Оно задаёт число полных итераций.

В результате чрезвычайно короткая запись скрывает большую внутреннюю структуру.

Саморефлексивность здесь проявляется прежде всего как семантическая синхронизация параметров.

Одно значение начинает определять сразу несколько уровней собственного развёртывания.

Это делает СМЛ особенно важными по трём причинам.

Во-первых, они обеспечивают чрезвычайно высокий темп роста.

Во-вторых, они обладают огромной семантической плотностью.

В-третьих, они чрезвычайно удобны в качестве операторных кодонов Изольдионики.

Саморефлексивные металогарифмы будут подробно рассмотрены в отдельной части книги.

3.11. Комбинированные металогарифмические системы
Наиболее мощные металогарифмические конструкции, вероятно, будут относиться не к одному, а одновременно к нескольким классам.

Например, система может быть:

динамической;

рекурсивной;

самопорождающей;

асимметричной;

рефлексивной;

модифицированной.

Кроме того, разные участки одного каскада могут иметь разные свойства.

Один блок может быть стационарным.

Другой — рекурсивным.

Третий — саморефлексивным.

Четвёртый — управляться внешним кодоном.

Так возникает комбинированная металогарифмическая система.

Именно комбинированные системы обладают наибольшим потенциалом для Изольдионики.

Их мощность определяется уже не отдельным механизмом, а взаимодействием механизмов.

В таком объекте скорость роста становится лишь одной характеристикой.

Не менее важными оказываются:

структурная глубина;

семантическая плотность;

степень самоуправления;

сложность генотипа;

возможность метамодификации;

экспликационная недоступность.

Поэтому Общая теория металогарифмов в своём развитом виде должна стать не каталогом отдельных быстрорастущих операций, а теорией их системной композиции.

Именно с этой точки начинается переход к следующей части книги — исследованию динамики металогарифмических каскадов.

*******