ОТМ. Сравнительная теория сверхбольших чисел

В.К. Петросян (Вадимир). ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МЕТАЛОГАРИФМОВ. В 2-х тт.

*********
© В.К.
Петросян (Вадимир) © Lag.ru [Large Apeironic Gateway, Большой Апейронический
Портал (Шлюз), Суперпортал в Бесконечность].
При копировании данного материала и размещении его на другом сайте, ссылки
на соответствующие локации порталов Lag.ru и Proza.ru обязательны
Работа написана на основе концепции и разработок В.К. Петросяна при полноценном соавторстве (активном творческом и вычислительном участии) ChatGPT (OpenAI), GPT-5.6 Sol
*********



ТЕМПЫ РОСТА И СРАВНИТЕЛЬНАЯ ТЕОРИЯ СВЕРХБОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
Глава 1. Металогарифмы как генераторы сверхбыстрого роста
1.1. Простейшие каскады
1.2. Влияние ранга
1.3. Влияние числа итераций
1.4. Влияние асимметрии
1.5. Влияние модификаторов
1.6. Совместное действие факторов роста
1.7. Рост оператора
1.8. Рост результата
1.9. Операторная трансволюция
Глава 2. Саморефлексивные металогарифмы и предельное ускорение
2.1. Рост SML N
2.2. Влияние синхронизации параметров
2.3. SML 100 как модельный объект
2.4. Рост ранга и итераций одновременно
2.5. Рекурсивные СМЛ
2.6. Модифицированные СМЛ
2.7. СМЛ как источник неэксплицируемости
2.8. Пределы непосредственного числового представления
Глава 3. Классические системы сверхбольших чисел
3.1. Гугол и гуголплекс
3.2. Гугология
3.3. Гипероперации
3.4. Стрелочная нотация Кнута
3.5. Цепная нотация Конвея
3.6. Штейнгауз–Мозер
3.7. Число Грэма
3.8. TREE и TREE(3)
3.9. Быстрорастущие иерархии
3.10. Busy Beaver и невычислимый рост
Глава 4. Сравнительная мощность систем
4.1. Что означает мощность нотации
4.2. Числовой рост
4.3. Семантическая ёмкость
4.4. Количество независимых параметров
4.5. Управление рангом
4.6. Управление итерациями
4.7. Рекурсия
4.8. Рефлексивность
4.9. Саморефлексивность
4.10. Самомодификация
4.11. Алгебраические комплексы
4.12. Композиционность
4.13. Метакомпозиционность
4.14. SML как пример сверхплотной генеративной записи
Глава 5. От нотации величины к языку генерации
5.1. Число как значение
5.2. Число как процесс
5.3. Число как генотип
5.4. Ограничения фиксированных операторных систем
5.5. Генеративная семантика ОТМ
5.6. СМЛ как семантически сжатый кодон
5.7. Переход к многокодонным системам
5.8. От гугологии к нооинжинирингу числовых объектов
Глава 6. Генеративная и экспликационная сложность
6.1. Величина числа
6.2. Генеративная сложность
6.3. Операторная сложность
6.4. Семантическая сложность
6.5. Экспликационная сложность
6.6. Экспликационный горизонт
6.7. Компактное описание неэксплицируемого объекта
6.8. СМЛ и сверхвысокое отношение описания к результату
6.9. Конечные-бесконечные объекты

*****
Одна из наиболее очевидных областей применения Общей теории металогарифмов связана с построением чрезвычайно больших конечных чисел.

Однако ОТМ рассматривает сверхбыстрый рост несколько шире, чем обычная задача нахождения всё большего числа.

В металогарифмической системе способны одновременно расти:

само числовое значение;

основание;

сублогарифм;

ранг;

число внешних итераций;

асимметрия;

число модификаторов;

сложность закона;

глубина вложенности;

структура оператора.

Поэтому в ОТМ необходимо различать как минимум два принципиально разных вида роста:

рост результата

и

рост генератора результата.

В обычной быстрорастущей функции правило может оставаться фиксированным, тогда как значение функции стремительно увеличивается.

В развитой металогарифмической системе способ порождения следующего значения сам может изменяться.

Именно поэтому сравнительная теория сверхбольших чисел должна учитывать не одну координату «больше — меньше», а целое пространство характеристик.

ГЛАВА 1. МЕТАЛОГАРИФМЫ КАК ГЕНЕРАТОРЫ СВЕРХБЫСТРОГО РОСТА
1.1. Простейшие каскады
Рассмотрим канонический самопорождающий каскад:

X_0 = 2

X_1 = 2^2 = 4

X_2 = 4^4 = 256

X_3 = 256^256

X_4 = X_3^X_3

и далее:

X_(k+1) = X_k^X_k

Даже такая минимальная конструкция демонстрирует важную особенность ОТМ.

Результат предыдущей операции одновременно становится:

новым основанием;

новым сублогарифмом.

Следовательно, рост является не просто повторным возведением фиксированного основания в степень.

Сам объект постоянно увеличивает параметры собственной следующей операции.

В простейшей модели действует положительная обратная связь:

результат

-> новое основание

-> новый сублогарифм

-> новый результат

Поэтому даже металогарифмический каскад без динамического ранга и дополнительных модификаторов способен порождать очень быстрый рост.

При этом сам закон остаётся чрезвычайно компактным:

X_(k+1) = X_k^X_k

Разница между длиной генеративной записи и масштабом порождаемого объекта уже становится огромной.

1.2. Влияние ранга
Ранг добавляет вторую координату ускорения.

Если:

R=1

выполняется одна внутренняя степенная ступень.

Если:

R=10

одна полная операция содержит десять последовательных внутренних преобразований.

Если:

R=1000

таких ступеней уже тысяча.

В канонической модели:

a(0)=A

a(k+1)=a(k)^a(k)

операция ранга R заканчивается на:

a(R)

Следовательно, увеличение ранга означает увеличение глубины генеративного процесса.

Важно, что изменение ранга не просто увеличивает один числовой коэффициент.

Оно увеличивает количество последовательных преобразований, которым подвергается уже быстрорастущий объект.

Поэтому:

A=10,R=100

и:

A=100,R=10

являются принципиально разными архитектурами.

Даже если в отдельных системах удастся сравнить их числовые результаты, генотипы этих объектов различаются.

1.3. Влияние числа итераций
Внешняя итерационность создаёт ещё один уровень.

Пусть одна полная операция имеет ранг R.

Если:

I=1

она выполняется один раз.

Если:

I=100

полный ранговый блок повторяется сто раз, причём результат предыдущего блока может становиться входом следующего.

Схематически:

X_0

-> [R ступеней] -> X_1

-> [R ступеней] -> X_2

-> ...

-> X_I

Ранг определяет внутреннюю глубину одного блока.

Итерационность определяет число таких блоков.

Таким образом:

R

и:

I

являются независимыми координатами роста.

Именно их независимость позволяет строить системы, в которых одновременно увеличиваются:

глубина операции;

продолжительность каскада.

1.4. Влияние асимметрии
Симметричная модель имеет форму:

A^A

или в динамическом случае:

X^X

Но основание и сублогарифм не обязаны совпадать.

Можно иметь:

A^SL

где SL существенно больше A.

Например:

10^100

растёт иначе, чем:

10^10

Если асимметрия сама увеличивается, появляется дополнительный канал ускорения.

Например:

SL = K*A

при:

K=2,4,16,256,...

Теперь увеличение коэффициента K усиливает степенной показатель независимо от роста самого основания.

Однако асимметрия не является автоматически ускоряющей во всех возможных формах.

Её эффект зависит от конкретного закона.

Если изменения уменьшают показатель или переводят систему в менее интенсивный режим, рост может замедляться.

Следовательно, корректнее говорить:

асимметрия представляет независимый канал управления темпом роста.

При определённых законах этот канал становится каналом мощного ускорения.

1.5. Влияние модификаторов
Модификаторы способны воздействовать на разные уровни системы.

Например:

A -> 2A

является модификацией основания.

R -> 2R

модификацией ранга.

I -> 2I

модификацией итерационности.

На первый взгляд во всех трёх случаях применяется один коэффициент:

2

Но последствия радикально различны.

Удвоение основания изменяет числовой вход.

Удвоение ранга увеличивает глубину полного операторного блока.

Удвоение числа итераций увеличивает число таких блоков.

Если же:

SML N -> SML(2N)

один модификатор одновременно изменяет несколько синхронизированных координат.

Поэтому воздействие модификатора определяется не только его числовой величиной.

Решающую роль играет семантический уровень точки приложения.

1.6. Совместное действие факторов роста
Наиболее мощные металогарифмические конструкции возникают тогда, когда несколько механизмов действуют одновременно.

Например, пусть:

основание зависит от предыдущего результата;

сублогарифм растёт быстрее основания;

ранг увеличивается рекуррентно;

число итераций определяется результатом;

асимметрия меняется динамически;

модификатор усиливает ранг;

закон модификации сам изменяется.

Тогда система развивается сразу по многим координатам.

Схематически:

STATE_k

может включать:

A_k

SL_k

R_k

I_k

K_k

M_k

L_k

Следующее состояние:

STATE_(k+1)

становится функцией нескольких компонентов текущего.

Таким образом объектом роста становится уже не одно число.

Растёт состояние генеративной системы.

Именно многомерность отличает развитые металогарифмические конструкции от простой последовательности степеней.

1.7. Рост оператора
Особое значение имеет ситуация, когда изменяется сам оператор.

Пусть первоначально действует закон:

R_next = 2R

Позднее система переключается на:

R_next = R^2

Затем:

R_next = R^R

Изменяется уже не только R.

Изменяется функция, создающая следующий R.

Ещё более высокий уровень возникает, если система сама определяет, какой закон использовать далее.

Тогда имеется последовательность:

L_1 -> L_2 -> L_3 -> ...

где каждый L представляет закон генерации.

Это можно назвать ростом оператора.

В обычном числовом росте оператор остаётся фиксированным, а значение увеличивается.

Здесь увеличивается или усложняется сама способность системы создавать следующие значения.

1.8. Рост результата
Несмотря на важность операторного уровня, конечный числовой результат остаётся самостоятельной характеристикой.

Для фиксированной генеративной архитектуры можно исследовать:

величину результата;

число его цифр;

число знаков в полной символической записи;

сложность восстановления;

требуемый объём вычислений;

экспликационную доступность.

Но две конструкции, дающие очень большие результаты, могут иметь совершенно разные внутренние причины роста.

Один объект может быть порождён:

высокой степенной башней.

Другой:

высоким рангом.

Третий:

огромным числом итераций.

Четвёртый:

динамическим оператором.

Пятый:

комбинаторной экстремальной задачей.

Поэтому числовая величина не должна быть единственным критерием сравнительной теории.

1.9. Операторная трансволюция
Наиболее высокий режим возникает тогда, когда система изменяет не только параметры и операторы, но и правила изменения операторов.

Такой процесс в ОТМ будем называть операторной трансволюцией.

Схематически:

значение

-> изменение значения

-> изменение параметров

-> изменение оператора

-> изменение закона оператора

-> изменение правил выбора законов

Каждый новый уровень делает объектом преобразования то, что на предыдущем уровне считалось фиксированной частью языка.

Таким образом сверхбыстрый рост в ОТМ имеет два направления.

Первое:

вертикальное — рост числового результата.

Второе:

метаоператорное — рост мощности генеративного механизма.

Именно второе направление является одним из центральных отличий общей архитектуры ОТМ.

ГЛАВА 2. САМОРЕФЛЕКСИВНЫЕ МЕТАЛОГАРИФМЫ И ПРЕДЕЛЬНОЕ УСКОРЕНИЕ
Термин «предельное» в названии настоящей главы не означает существование абсолютного наибольшего конечного числа или математически максимального темпа роста.

Такого утверждения ОТМ не делает.

Речь идёт о предельном в рамках рассматриваемой архитектуры саморефлексивном усилении, когда один параметр начинает одновременно управлять несколькими каналами роста.

2.1. Рост SML N
Канонический:

SML N

задаёт:

A=N

R=N

I=N

Следовательно, увеличение N одновременно увеличивает:

исходный объект;

внутреннюю глубину;

число внешних повторений.

Это существенно отличается от функции, в которой N увеличивает только один параметр.

У SML N параметр N обладает многократной семантической нагрузкой.

В канонической модели каждая полная операция содержит N внутренних преобразований:

X_next=X^X

и таких полных операций также N.

Поэтому последовательный операционный счёт даёт:

N^2

внутренних самостепенных переходов.

Но числовой рост определяется не только их количеством.

Каждая следующая операция применяется уже к огромному результату предыдущей.

2.2. Влияние синхронизации параметров
Главная особенность SML состоит не в том, что параметров становится больше.

Наоборот, внешних параметров становится меньше.

Вместо:

A

R

I

достаточно одного:

N

Но этот один параметр одновременно управляет тремя координатами.

Получается:

уменьшение синтаксической размерности записи при увеличении объёма скрытой операторной структуры.

Это один из лучших примеров семантического сжатия ОТМ.

Если N увеличивается с 10 до 100, изменяется не просто стартовое число.

Ранг увеличивается в десять раз.

Число полных итераций также увеличивается в десять раз.

Число последовательных внутренних шагов изменяется:

от:

10^2 = 100

до:

100^2 = 10000

При этом каждый из этих шагов действует на радикально более крупные значения.

2.3. SML 100 как модельный объект
Рассмотрим:

SML 100

Канонические параметры:

A=100

R=100

I=100

Первая внешняя итерация содержит:

100 внутренних самостепенных переходов.

После неё полученный результат становится входом следующего блока ранга 100.

Таких блоков:

Таким образом последовательный операционный путь содержит:

10000

самостепенных переходов.

Но это не означает, что полная символическая структура содержит только 10000 степенных узлов.

Если каждый промежуточный объект полностью подставлять в следующий без использования ссылок на ранее вычисленные результаты, происходит удвоение синтаксического дерева на каждом переходе.

В однородной канонической модели после m последовательных переходов:

X -> X^X

полное дерево содержит:

2^m

копий исходного объекта

и:

2^m - 1

степенных узлов.

Поэтому для полного развёртывания конечного состояния SML 100, если считать все 10000 последовательных переходов одной непрерывной однородной цепью, получаем:

2^10000

копий исходного объекта

и:

2^10000 - 1

степенных узлов.

Это не число вычислительных шагов.

Это объём полностью раскрытого синтаксического дерева без повторного использования уже вычисленных подвыражений.

Именно поэтому необходимо различать:

операционную глубину;

размер синтаксического дерева;

величину числового результата.

2.4. Рост ранга и итераций одновременно
В обычной системе можно увеличивать ранг при фиксированной итерационности:

R -> 2R

при:

I=const

Или увеличивать I при фиксированном R.

В SML обе координаты связаны.

Если:

N -> N+1

то одновременно:

R -> N+1

и:

I -> N+1

Поэтому размер операционной сетки меняется:

N*N

на:

(N+1)*(N+1)

Однако главное ускорение связано не с квадратичным ростом количества шагов.

Гораздо важнее то, что каждый дополнительный шаг расположен в цепи повторного самовозведения уже огромного результата.

Следовательно, простая характеристика N^2 описывает архитектуру, но совершенно не описывает масштаб числового результата.

2.5. Рекурсивные СМЛ
Следующий уровень:

X_0=N

X_1=SML X_0

X_2=SML X_1

X_3=SML X_2

и далее.

Здесь результат предыдущего SML становится параметром следующего.

Но параметр следующего SML одновременно определяет:

его вход;

ранг;

число итераций.

Следовательно, один огромный результат преобразуется сразу в несколько огромных характеристик следующего генератора.

Это означает переход:

от быстрого роста внутри одного оператора

к:

быстрому росту мощности последовательности операторов.

Ещё один вариант:

SML(SML N)

где внутренний SML сначала полностью определяется, а затем его результат параметризует внешний.

При дальнейшей вложенности глубина SML-структуры становится самостоятельной координатой роста.

2.6. Модифицированные СМЛ
SML может быть усилен модификаторами.

Например:

SML N

может преобразовываться в:

SML(N^2)

или:

SML(2^N)

или:

SML(SML N)

Другой способ состоит в разрыве канонической диагонали.

Например:

A=N

R=N^2

I=2^N

Теперь все параметры по-прежнему порождаются одним N, но растут по разным законам.

Если дополнительно:

K=SML N

где K управляет асимметрией, система получает новый канал ускорения.

Поэтому канонический SML N следует понимать не как верхнюю границу саморефлексивных систем, а как базовый элемент целого класса.

2.7. СМЛ как источник неэксплицируемости
SML особенно хорошо показывает различие между:

генеративной определимостью

и:

непосредственной эксплицируемостью.

Запись:

SML 100

легко помещается в одну строку.

Её алгоритмическая архитектура также может быть описана сравнительно компактно.

Но полное раскрытие синтаксического дерева уже требует структуры огромного размера.

Полная десятичная запись результата находится на ещё более далёком уровне.

Следовательно, один и тот же объект может быть:

простым на уровне кода;

огромным на уровне раскрытой формулы;

практически недоступным на цифровом уровне.

Именно это различие позднее приведёт к понятию экспликационных уровней.

2.8. Пределы непосредственного числового представления
Для сверхбольших чисел быстро наступает момент, когда вопрос:

«Как выписать все цифры?»

перестаёт быть практически содержательным.

Дальнейшая работа возможна только через:

генеративные определения;

рекуррентные правила;

операторные обозначения;

структурные генотипы;

метаязыки.

Важно, однако, не смешивать разные причины невозможности полной записи.

Объект может быть:

теоретически вычислим, но физически слишком велик для записи;

символически задаваем короткой формулой;

труден для полного синтаксического раскрытия;

или вообще связан с невычислимой функцией.

Это принципиально разные классы.

SML в канонической конечной форме остаётся конечной генеративно определённой конструкцией.

Поэтому его нельзя автоматически ставить в один класс с невычислимыми функциями типа Busy Beaver.

Это различие станет особенно важным в сравнительной теории.

ГЛАВА 3. КЛАССИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ СВЕРХБОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
Сравнение ОТМ с классическими средствами описания больших чисел требует методологической осторожности.

Нельзя расположить все рассматриваемые системы на одной простой линейке.

Гугол является конкретным числом.

Стрелочная нотация Кнута является системой операций.

Число Грэма возникло как конкретная конечная верхняя оценка в комбинаторной задаче.

TREE(3) определяется через экстремальную задачу о конечных деревьях.

Быстрорастущие иерархии представляют семейства функций, индексируемых в том числе трансфинитными ординалами.

Busy Beaver относится уже к теории вычислимости и является невычислимой функцией.

Поэтому корректное сравнение требует учитывать математический тип объекта, а не только его размер.

3.1. Гугол и гуголплекс
Гугол определяется как:

10^100

то есть единица со ста нулями.

Гуголплекс:

10^(10^100)

то есть единица с гуголом нулей. Эти названия восходят к Эдварду Каснеру и его племяннику Милтону Сиротте; MathWorld приводит именно эти определения.

Гугол и гуголплекс сыграли важную культурную роль.

Они наглядно демонстрируют, насколько быстро степенная запись выходит за пределы обычного человеческого масштаба.

Но с точки зрения современной теории сверхбольших чисел обе конструкции ещё сравнительно просты.

Гугол использует одну степень.

Гуголплекс — одну степень, показатель которой сам является огромным числом.

Они не содержат:

динамического ранга;

изменяющейся итерационности;

рекурсивного оператора;

самомодификации.

Их значение для ОТМ состоит прежде всего в том, что они показывают первый этап перехода:

от длинной цифровой записи

к:

компактной генеративной записи.

3.2. Гугология
Термин «гугология» обычно используется для обозначения практики и сообщества, связанного с изучением, сравнением, именованием и конструированием чрезвычайно больших конечных чисел и быстрорастущих функций. При этом сама гугологическая среда подчёркивает свой промежуточный характер между математическим исследованием, искусством построения нотаций и специализированным интеллектуальным хобби; у неё нет единой общепринятой аксиоматики как у стандартной математической дисциплины.

Для ОТМ гугология особенно важна как большая лаборатория нотаций.

Она демонстрирует, насколько различными могут быть способы генерации огромных конечных объектов.

Однако ОТМ ставит несколько иной акцент.

Её предметом является не только:

«как компактно определить очень большое число»,

но и:

«какова внутренняя архитектура генератора»;

«какие параметры могут эволюционировать»;

«может ли оператор изменять собственный ранг»;

«может ли результат изменять закон последующих операций»;

«может ли генератор стать кодоном другой системы».

Поэтому ОТМ естественно пересекается с гугологией, но не сводится к ней.

3.3. Гипероперации
Гипероперации организуют естественную рекурсивную последовательность операций.

В одной из распространённых нумераций:

H_0 — successor;

H_1 — сложение;

H_2 — умножение;

H_3 — возведение в степень;

H_4 — тетрация;

H_5 — пентация;

и далее.

Каждая следующая операция строится как повторение предыдущей операции более низкого уровня. Тетрация, например, представляет повторное возведение в степень.

Это чрезвычайно важная идея.

Вместо многократного применения одной операции вводится новый уровень операции.

Именно здесь появляется принцип:

повторяемая структура предыдущего уровня становится элементарной операцией следующего уровня.

Этот принцип близок будущей концепции языков высоких семантических уровней.

Отличие ОТМ состоит в том, что она стремится дополнительно сделать динамическими:

ранг;

итерационность;

асимметрию;

модификаторы;

законы перехода.

Но это не означает автоматического численного превосходства любого металогарифма над любой гипероперацией.

Сравнивать необходимо конкретные определения.

3.4. Стрелочная нотация Кнута
Дональд Кнут ввёл стрелочную нотацию для компактного представления быстрорастущих итераций.

Одна стрелка соответствует возведению в степень:

a ; b

Две стрелки:

a ;; b

представляют тетрацию — степенную башню.

Три стрелки задают повторение операции с двумя стрелками, и так далее. MathWorld связывает эту нотацию с работой Кнута 1976 года и подчёркивает правую ассоциативность соответствующих конструкций.

Сила нотации заключается в том, что число стрелок само становится уровнем операции.

Несколько символов способны кодировать структуру, которую невозможно разумно развернуть.

С точки зрения ОТМ особенно интересно, что здесь уже существует аналог ранговой идеи:

изменение количества стрелок качественно меняет оператор.

Однако стрелочная нотация прежде всего организует иерархию повторных операций.

OTM стремится дополнительно описывать:

динамику самого уровня;

внешние итерации;

рефлексивные зависимости;

модификационную среду.

Таким образом стрелки Кнута являются важнейшим сравнительным эталоном, но пространство параметров ОТМ устроено иначе.

3.5. Цепная нотация Конвея
Цепная стрелочная нотация Конвея обобщает стрелочную нотацию Кнута и позволяет строить очень компактные цепочки вида:

a -> b -> c -> ...

Правила интерпретации рекурсивно уменьшают правые компоненты цепи и тем самым кодируют чрезвычайно глубокие структуры. MathWorld прямо характеризует chained arrow notation как обобщение нотации Кнута и ссылается на Conway и Guy, The Book of Numbers.

Внешне такая запись особенно интересна для ОТМ.

Несколько коротких компонентов цепи могут скрывать огромный объём рекурсивной семантики.

То есть здесь ярко реализован принцип:

малый синтаксис — огромная генеративная структура.

Различие заключается в характере семантики.

Цепная нотация Конвея имеет собственную фиксированную рекурсивную систему правил.

В ОТМ правила потенциально сами могут становиться объектом:

модификации;

рефлексии;

саморефлексии;

метауправления.

Поэтому сравнение должно проводиться не только по размеру порождаемого числа, но и по степени изменяемости генеративного закона.

3.6. Штейнгауз–Мозер
Нотации Штейнгауза–Мозера используют геометрическую идею вложения числа в фигуры — треугольники, квадраты, круги — чтобы обозначать повторное применение быстрорастущих преобразований.

В частности, MathWorld описывает circle notation Штейнгауза как систему, в которой число в круге определяется через многократно используемые квадратные конструкции, связанные с нотацией Штейнгауза–Мозера; в этой системе определяются такие большие числа, как mega и megistron.

Для истории математической нотации это особенно показательно.

Геометрическая оболочка здесь становится оператором более высокого порядка.

В терминах ОТМ можно сказать, что изменение морфологии записи меняет уровень действия оператора.

Именно по этой причине в OTM-TN была введена идея:

[ ]

[[ ]]

[[[ ]]]

и аналогичного скобочного ранга.

Однако прямого тождества между скобочным рангом OTM-TN и нотацией Штейнгауза–Мозера нет.

Это независимые системы с разной семантикой.

Сходство состоит в общем принципе повышения уровня операции посредством компактной морфологии записи.

3.7. Число Грэма
Число Грэма возникло не как произвольно придуманное «очень большое число», а в связи с реальной задачей теории Рамсея.

В стандартной записи оно определяется рекурсивной последовательностью из 64 членов.

Первый член использует четыре стрелки Кнута:

g_1 = 3 ;;;; 3

а каждый следующий член использует число стрелок, равное предыдущему члену:

g_(n+1) = 3 ;^(g_n) 3

Числом Грэма является:

g_64

MathWorld указывает на его происхождение из верхней оценки в работе Грэма и Ротшильда и приводит именно рекурсивное определение через стрелочную нотацию.

Здесь появляется механизм, особенно важный для ОТМ:

результат одной стадии становится характеристикой мощности оператора следующей стадии.

Предыдущее число определяет уже не просто новый аргумент.

Оно определяет количество стрелок, то есть уровень следующей операции.

Это структурно родственно результат-зависимым рангам и операторной рекурсии ОТМ.

Однако такое родство не означает тождественности систем.

Число Грэма имеет конкретное строгое классическое определение.

Канонический SML 100 имеет другое определение.

Поэтому нельзя объявлять один объект большим другого лишь из-за более сложного словесного описания его архитектуры.

Численное сравнение требует отдельного доказательства.

3.8. TREE и TREE(3)
TREE(3) принадлежит уже к другой категории.

Это не число, определяемое прямой последовательностью арифметических операций.

Оно возникает из конечных последовательностей размеченных деревьев и запрета на определённое вложение более раннего дерева в более позднее.

Связь с теоремой Краскала обеспечивает конечность соответствующих максимальных последовательностей. Современные описания стандартной функции TREE формулируют TREE(3) через конечные корневые деревья с тремя метками и ограничением размера i-го дерева числом i; запрещается соответствующее сохраняющее структуру вложение раннего дерева в позднее.

TREE(3) чрезвычайно превосходит по масштабу многие известные арифметические большие числа, включая число Грэма.

Но наиболее важен здесь не только размер.

TREE(3) показывает принципиально другой источник сверхбольших конечных чисел:

комбинаторную конечность.

Число возникает как максимальная длина структуры, существование которой гарантируется глубоким теоретическим результатом.

Поэтому TREE(3) нельзя корректно сравнивать с SML только по длине записи.

Необходимо сравнивать:

тип определения;

математическую область;

генеративный механизм;

доказательство конечности;

вычислительную доступность.

Для ОТМ TREE особенно интересно как пример того, что сверхогромное конечное число может быть порождено не арифметической нотацией, а ограничением на пространство структур.

3.9. Быстрорастущие иерархии
Быстрорастущие иерархии представляют ещё более общий способ систематизации роста.

Идея состоит в построении семейства функций:

f_alpha

где индекс alpha может быть не только натуральным числом, но и ординалом.

На последующих ординальных уровнях определяются всё более быстро растущие функции, а для предельных ординалов используются фундаментальные последовательности. Современные учебные материалы по счётным ординалам прямо описывают быстрорастущие иерархии как семейства функций N -> N, продолжаемые в трансфинитную область при помощи систем фундаментальных последовательностей.

Здесь возникает идея, чрезвычайно важная для будущего развития ОТМ:

уровень генератора индексируется объектом более высокого математического языка.

Натурального числа уже недостаточно.

Для классификации силы функций используются ординальные обозначения.

Это значительно более развитый аппарат, чем простое перечисление степенных операций.

Поэтому любые будущие утверждения о сравнении ОТМ с быстрорастущими иерархиями должны формулироваться особенно строго.

Недостаточно сказать:

«металогарифм выглядит сложнее».

Необходимо определить:

какой функции соответствует конкретный металогарифм;

какой ординальный уровень FGH его ограничивает;

доминирует ли он над определённым участком иерархии;

или, наоборот, сам доминируется соответствующей функцией.

Такое сравнение является отдельной математической задачей будущей аксиоматизации ОТМ.

3.10. Busy Beaver и невычислимый рост
Функция Busy Beaver представляет принципиальную границу всей сравнительной картины.

В одной из классических форм она рассматривает машины Тьюринга с фиксированным числом состояний и выбирает среди останавливающихся машин ту, которая максимизирует заданный показатель — например число записанных единиц или число шагов до остановки.

Функция восходит к Тибору Радо. Она не является вычислимой функцией: не существует машины Тьюринга, которая вычисляла бы её для произвольного входа. Это непосредственно связано с неразрешимостью проблемы остановки.

Более того, стандартные версии Busy Beaver в соответствующем смысле в конечном итоге превосходят любую вычислимую функцию. Это уже не просто необычно быстрый, но всё ещё алгоритмически вычислимый рост; граница проходит через саму теорию вычислимости.

Поэтому Busy Beaver нельзя ставить в один ряд с конечной степенной нотацией так, как будто речь идёт только о большей скорости.

Различие качественное.

Для канонического конечного металогарифмического генотипа:

SML N

при конкретном конечном N имеется конечное однозначное правило генерации.

Даже если практическое вычисление невозможно из-за колоссального объёма ресурсов, сама процедура формально задана.

Busy Beaver устроен иначе.

Проблема состоит не просто в нехватке времени или памяти.

Общего алгоритма вычисления функции не существует.

Это даёт принципиально важное различие:

физическая неэксплицируемость

не равна:

алгоритмической невычислимости.

В будущей теории эксплицируемости эти два случая должны находиться на разных осях классификации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ГЛАВ 1–3
Сравнительная теория сверхбольших чисел показывает, что существует множество принципиально различных механизмов огромного роста.

Гугол и гуголплекс демонстрируют мощь компактной степенной записи.

Гипероперации превращают повторение операции в новую операцию более высокого уровня.

Стрелочная нотация Кнута кодирует уровни повторения количеством стрелок.

Цепная нотация Конвея создаёт ещё более мощные рекурсивные цепи.

Нотации Штейнгауза–Мозера используют вложенность операторной морфологии.

Число Грэма демонстрирует рекурсию, в которой результат определяет мощность следующего оператора.

TREE(3) показывает комбинаторный источник сверхбольшой конечности.

Быстрорастущие иерархии систематизируют рост при помощи ординально индексированных семейств функций.

Busy Beaver выводит проблему в область невычислимости.

Поэтому выражение:

«какая система мощнее?»

не имеет одного ответа без предварительного определения критерия.

Необходимо спрашивать:

какая система быстрее растёт как функция?

какая определяет больше независимых параметров?

какая допускает динамический оператор?

какая поддерживает саморефлексию?

какая имеет более высокую семантическую плотность?

какая допускает метаоператорную модификацию?

какова её вычислимость?

каков уровень её экспликационной доступности?

каков математический тип порождаемого объекта?

Именно здесь появляется собственная задача сравнительной теории ОТМ.

Цель состоит не в том, чтобы объявить металогарифмы «самыми большими числами».

Такое утверждение не имело бы математического смысла.

Цель состоит в построении многомерной теории генеративной мощности.

В ней числовая величина является только одной координатой.

Другими координатами становятся:

ранг;

итерационность;

рекурсивность;

рефлексивность;

саморефлексивность;

модифицируемость;

метаоператорность;

генеративная сложность;

экспликационная сложность;

вычислимость;

семантическая плотность.

Именно по этой причине ОТМ следует сравнивать с классическими системами не только как ещё одну нотацию больших чисел, а как потенциальный язык описания архитектур их порождения.

Следующие главы должны сделать это сравнение формальным: определить критерии, построить сравнительную матрицу и отдельно исследовать переход от нотации больших чисел к языку генеративной математики.

*********

ГЛАВА 4. СРАВНИТЕЛЬНАЯ МОЩНОСТЬ СИСТЕМ
Сравнение систем сверхбольших чисел становится некорректным, если свести понятие мощности к одному вопросу:

какое число больше?

Такой критерий важен, но недостаточен.

Две системы могут радикально различаться по:

скорости числового роста;

семантической ёмкости записи;

числу независимых параметров;

способности управлять рангом;

итерационности;

рекурсивности;

рефлексивности;

композиционности;

способности изменять собственные законы.

Поэтому далее под мощностью системы будем понимать не одно число, а многомерный профиль генеративной мощности.

Это позволяет сравнивать разные математические конструкции без искусственного сведения их к единственной шкале.

4.1. Что означает мощность нотации
Мощность нотации может пониматься по-разному.

Первый и наиболее очевидный смысл:

какие по величине числа она способна компактно задавать?

Но существуют и другие вопросы.

Сколько независимых параметров можно изменять?

Может ли параметр задавать уровень самого оператора?

Можно ли изменять число итераций?

Можно ли строить рекурсивные цепи?

Может ли система использовать собственные результаты для изменения собственной структуры?

Можно ли соединять несколько операторов?

Можно ли изменять правила их соединения?

Поэтому вместо скалярной величины полезно использовать условный профиль:

POWER = {NG,SD,NP,R,I,REC,REF,SREF,MOD,COMP,MCOMP,EXP}

где:

NG — numerical growth, числовой рост;

SD — semantic density, семантическая плотность;

NP — number of independent parameters, число независимых параметров;

R — управляемость рангом;

I — управляемость итерационностью;

REC — рекурсивность;

REF — рефлексивность;

SREF — саморефлексивность;

MOD — модифицируемость;

COMP — композиционность;

MCOMP — метакомпозиционность;

EXP — экспликационная характеристика.

Это пока не числовая метрическая система.

Это система координат сравнения.

В дальнейшем каждая координата может получить отдельную формальную меру.

4.2. Числовой рост
Первая координата — собственно скорость роста числового результата.

Для функции:

F(n)

можно исследовать, насколько быстро увеличивается:

F(n)

при росте n.

Для двух функций возникает вопрос доминирования:

начиная с некоторого значения аргумента, превышает ли одна функция другую?

Это классический и необходимый критерий.

Но в ОТМ его следует применять осторожно.

Например:

SML 100

является конкретным объектом.

А:

SML N

уже задаёт семейство объектов.

Для сравнения с другой быстрорастущей системой необходимо определить:

какой параметр является аргументом;

какая функция сравнивается;

каков точный закон;

в каком диапазоне рассматривается доминирование.

Без этого фраза:

«система A растёт быстрее системы B»

может оказаться математически неопределённой.

Поэтому числовая мощность требует сравнения конкретно определённых функций или последовательностей, а не только названий нотаций.

4.3. Семантическая ёмкость
Совершенно другая характеристика — объём структуры, заключённой в единице записи.

Например:

10^100

коротко задаёт гугол.

Стрелочная запись Кнута несколькими знаками способна представлять гораздо более глубокую итерационную структуру.

SML 100

также является короткой записью, но она одновременно кодирует:

исходное значение;

ранг;

число внешних итераций;

внутренний генеративный закон;

межитерационное наследование.

Таким образом семантическая ёмкость показывает не величину результата как таковую, а:

сколько структурных решений заключено в записи данного размера.

Однако эта характеристика зависит от языка.

Если некоторый чрезвычайно сложный оператор объявить одним новым символом, его запись искусственно сократится.

Поэтому корректная оценка семантической ёмкости требует фиксировать:

словарь языка;

правила декодирования;

допустимые примитивы;

уровень представления.

Без этого любое сравнение длины записи становится условным.

4.4. Количество независимых параметров
Ещё одна координата — число параметров, которыми можно независимо управлять.

В простейшей степенной операции:

A^B

имеются две основные числовые координаты.

В металогарифмической системе могут независимо задаваться:

A

основание;

SL

сублогарифм;

R

ранг;

I

итерационность;

K

асимметрия;

M

модификаторы;

L

законы.

Количество независимых параметров само по себе не делает систему лучше.

Но оно увеличивает пространство возможных генеративных архитектур.

Вместо одномерного семейства:

F(n)

может возникать:

F(A,SL,R,I,K,M,L,...)

После этого параметры могут связываться законами и переставать быть независимыми.

Так возникает переход:

от пространства параметров

к:

пространству отношений между параметрами.

4.5. Управление рангом
Особая координата ОТМ — ранг.

Ранг определяет внутреннюю этажность полной операции.

Поэтому система, позволяющая изменять R, способна изменять собственную внутреннюю глубину.

Простейший режим:

R=100

Динамический:

R_next=R^2

Результат-зависимый:

R_next=X

Саморефлексивный:

R=N

в:

SML N

Можно пойти дальше:

R_next=SML R

Тогда ранг сам вычисляется высокосемантической системой.

Следовательно, в ОТМ ранг может быть:

параметром;

динамической переменной;

рекурсивной переменной;

результатом другого оператора;

объектом метауправления.

Это делает управление рангом самостоятельной координатой сравнительной мощности.

4.6. Управление итерациями
Аналогичная ситуация возникает с внешними итерациями.

Простейший случай:

I=100

Динамический:

I_next=2I

Рекурсивный:

I_next=I^2

Результат-зависимый:

I_next=X

Саморефлексивный:

I=N

в SML N.

Особенно мощной становится система, где одновременно изменяются:

R

и:

I

Потому что одна координата управляет глубиной единичной операции, а вторая — количеством полных операций.

Следовательно, пространство:

(R,I)

уже значительно богаче одной последовательности повторений.

4.7. Рекурсия
Рекурсия означает, что следующий объект определяется через уже определённый предыдущий.

Например:

X_(n+1)=X_n^X_n

или:

R_(n+1)=R_n^2

или:

X_(n+1)=SML X_n

Рекурсия позволяет коротким правилом определять произвольно длинную конечную последовательность.

Она поэтому является одним из главных механизмов семантического сжатия.

Но необходимо различать:

рекурсию значения;

рекурсию параметра;

рекурсию оператора;

рекурсию закона.

Чем выше объект, к которому применяется рекурсия, тем более высокий уровень генеративной архитектуры начинает развиваться.

4.8. Рефлексивность
Рефлексивная система использует собственное состояние для управления собственным будущим.

Например:

результат определяет следующий ранг;

ранг определяет число итераций;

число итераций определяет асимметрию.

Так возникает:

STATE_next = F(STATE_current)

где STATE содержит не одно число, а целый набор характеристик.

Рефлексивность отличается от обычной рекурсии прежде всего семантически.

Рекурсивно может изменяться одно значение.

Рефлексивная система использует описание собственного состояния для перестройки режима дальнейшей работы.

При этом рефлексивность не обязательно является прямой логической самоссылкой.

Если используются уже определённые предыдущие состояния, система остаётся упорядоченной.

4.9. Саморефлексивность
В каноническом SML один параметр одновременно определяет несколько характеристик:

A=R=I=N

Это можно рассматривать как параметрическую саморефлексивность.

Здесь возникает новый тип семантической плотности.

Параметр N не просто используется несколько раз.

Он связывает различные уровни архитектуры.

В расширенных СМЛ один параметр может задавать:

основание;

ранг;

итерационность;

сублогарифм;

асимметрию;

число ветвей;

профиль модификации.

Таким образом саморефлексивность увеличивает не столько количество исходных данных, сколько число структурных ролей одного и того же параметра.

4.10. Самомодификация
Следующий критерий — способность изменять собственную операторную структуру.

Например, первоначально действует:

R_next=2R

Затем система заменяет закон на:

R_next=R^2

А ещё позже:

R_next=R^R

Здесь объектом развития становится сам закон.

В ещё более сложном случае меняется:

набор операторов;

порядок операторов;

условия активации;

правила композиции.

Это уже самомодифицирующаяся система.

Необходимо подчеркнуть, что многие общие вычислительные формализмы принципиально способны моделировать подобное поведение.

Поэтому речь не идёт об утверждении, что самомодификация возможна исключительно в ОТМ.

Специфика ОТМ состоит в другом:

самомодификация вводится непосредственно в предметный язык металогарифмических объектов как самостоятельная характеристика генеративной архитектуры.

4.11. Алгебраические комплексы
Одиночная нотация может задавать один оператор.

Более развитая система объединяет несколько операторов.

Например:

AC[M1,M2,M3]

Модификаторы могут действовать:

последовательно;

параллельно;

условно;

рекурсивно;

рефлексивно.

В результате объектом сравнения становится уже не отдельная функция, а операторный комплекс.

Это создаёт ещё одну координату мощности:

насколько богато система позволяет объединять различные механизмы генерации внутри одного формального объекта?

4.12. Композиционность
Композиционность означает возможность собирать сложные конструкции из более простых.

Например:

A ][ B ][ C

может образовывать последовательную композицию.

Другой режим:

A и B вычисляются параллельно, после чего их результаты объединяются C.

Третий:

A содержит B как внутренний блок.

Таким образом возможны:

последовательная композиция;

параллельная;

вложенная;

условная;

рекурсивная.

Высокая композиционность превращает нотацию из списка отдельных операций в настоящий язык построения генеративных объектов.

4.13. Метакомпозиционность
Метакомпозиция возникает тогда, когда система управляет не только операторами, но и правилами их композиции.

Например, один метаоператор решает:

в каком порядке соединить A, B и C.

Другой:

сколько экземпляров каждого создать.

Третий:

как изменить композицию после получения промежуточного результата.

Таким образом:

META

действует на:

COMPOSITION

а не только на числа.

Это переход:

от языка операций

к:

языку архитектур операций.

Метакомпозиционность является одной из наиболее важных характеристик будущего изольдионического языка.

4.14. SML как пример сверхплотной генеративной записи
SML N

является особенно удобным примером для всей сравнительной теории.

Короткая запись задаёт:

значение N;

ранг N;

итерационность N;

внутренний закон;

наследование.

При этом SML допускает:

рекурсию;

вложение;

модификацию;

композицию;

использование как кодона.

Например:

SML(SML N)

уже превращает результат одной саморефлексивной системы в параметр другой.

Но высокая семантическая плотность не должна смешиваться с абсолютной числовой мощностью.

Короткая запись может быть семантически очень насыщенной, но конкретный объект другой системы всё равно может быть численно больше.

Поэтому SML следует использовать как пример структурной сверхплотности, а не как доказательство безусловного превосходства над всеми известными нотациями.

ГЛАВА 5. ОТ НОТАЦИИ ВЕЛИЧИНЫ К ЯЗЫКУ ГЕНЕРАЦИИ
История записи больших чисел постепенно приводит к фундаментальному сдвигу.

Сначала нотация сообщает:

каково число?

Затем:

как это число построить?

Следующий шаг:

какова архитектура системы, которая его строит?

И наконец:

как построить и изменить саму архитектуру генераторов?

Так происходит переход от нотации величины к языку генерации.

5.1. Число как значение
На первом уровне число понимается как готовое значение.

Например:

100

1000000

10^100

Число существует как определённый математический объект.

Запись стремится представить его максимально непосредственно.

Для небольших чисел это естественно.

Но по мере роста становится очевидно, что полная цифровая запись всё менее практична.

Тогда вместо перечисления цифр используется более компактное выражение.

10^100

уже является не столько цифровой записью, сколько инструкцией:

возвести 10 в степень 100.

Таким образом элемент генеративности появляется ещё в обычной степенной нотации.

5.2. Число как процесс
Следующий уровень возникает, когда одного действия недостаточно.

Например:

2 -> 2^2 -> 4^4 -> 256^256 -> ...

Теперь объект определяется процессом.

Чтобы понять конечное число, необходимо знать:

исходное состояние;

операцию;

число её повторений;

правила наследования.

Число становится конечным состоянием процесса.

Вместо:

NUMBER

появляется:

PROCESS -> NUMBER

То есть значение начинает рассматриваться как следствие истории своего построения.

5.3. Число как генотип
Следующий переход ещё глубже.

Если процесс сам может быть сложным, удобно хранить не всю историю, а компактное описание правил её генерации.

Так возникает понятие:

генотип числа.

Генотип включает:

операторы;

параметры;

ранги;

итерации;

законы;

модификаторы;

правила композиции.

Порождаемое число является его:

фенотипом.

Схема:

GENOTYPE -> GENERATION -> PHENOTYPE

Например:

SML 100

можно рассматривать как компактный генотип.

Его конечный результат — числовой фенотип.

При этом генотип и фенотип могут радикально различаться по размеру представления.

5.4. Ограничения фиксированных операторных систем
Фиксированная операторная система может обладать огромной вычислительной мощностью.

Поэтому слово «фиксированная» не означает «слабая».

Например, строго определённая рекурсивная нотация способна порождать чрезвычайно большие числа.

Ограничение состоит в другом.

Пока операторный словарь и его правила фиксированы, изменение метаархитектуры должно описываться:

либо внешним языком;

либо заранее встроенным более общим механизмом.

ОТМ стремится сделать часть подобных возможностей объектами собственного языка.

То есть непосредственно описывать:

динамический ранг;

динамическую итерационность;

изменение закона;

модификацию модификатора;

изменение композиции.

Таким образом развитие идёт:

от использования фиксированного генератора

к:

генерации самих генераторов.

5.5. Генеративная семантика ОТМ
Смысл выражения ОТМ часто нельзя свести к одному числу.

Например:

ML(A=10,R=100,I=100){EL:R_next=R^2}

содержит не только указание на результат.

Он содержит:

начальное состояние;

архитектуру;

внутреннюю глубину;

длительность;

закон будущего изменения.

Следовательно, семантика выражения включает программу происхождения объекта.

Это можно назвать генеративной семантикой.

В такой системе вопрос:

«что обозначает запись?»

имеет два ответа.

Первый:

какой математический объект она порождает?

Второй:

какой процесс его порождения она задаёт?

В ОТМ второй ответ является самостоятельной частью смысла.

5.6. СМЛ как семантически сжатый кодон
Саморефлексивный металогарифм особенно хорошо демонстрирует кодонный принцип.

SML N

представляет короткий блок с заранее установленной семантикой.

Он может включаться в более крупную конструкцию как единое целое.

Например:

SML N ][ AC1 ][ PC2

Вместо полного раскрытия SML используется его код.

Таким образом SML функционирует подобно высокоуровневой инструкции.

Но в отличие от обычного арифметического символа он скрывает многоступенчатую генеративную систему.

Именно поэтому SML может быть назван:

семантически сжатым кодоном.

5.7. Переход к многокодонным системам
Следующий шаг — объединение различных кодонов.

Предположим, имеются:

металогарифмический кодон;

SML;

изольдиационный кодон;

ноофакторальный кодон;

кодон многосоставного числа;

модификационный кодон.

Каждый выполняет собственную функцию.

Их композиция создаёт:

GENOTYPE = {C1,C2,C3,...,Cn}

Но реальный генотип должен включать не только список кодонов.

Необходимы также:

порядок активации;

зависимости;

условия;

параллельные ветви;

обратные связи;

метаправила.

Таким образом многокодонная система становится аналогом программы чрезвычайно высокого семантического уровня.

Именно здесь ОТМ переходит в более широкую область Изольдионики.

5.8. От гугологии к нооинжинирингу числовых объектов
Гугология традиционно концентрируется на чрезвычайно больших числах и способах их задания.

ОТМ предлагает сделать следующий концептуальный шаг.

Объектом проектирования становится не только огромное число, но и:

его генеративная архитектура;

его внутренний операторный генотип;

его способность взаимодействовать с другими генотипами;

его положение в системе более высокого уровня.

Так возникает то, что в рамках Изольдионики можно назвать:

нооинжинирингом числовых объектов.

Этот термин не является стандартным математическим понятием.

В настоящей теории он используется как проектное понятие для обозначения целенаправленного конструирования сложных математических объектов посредством систем операторов, кодонов и метакодонов.

Здесь большой числовой результат становится не конечной целью, а материалом.

Например, огромный объект может использоваться как:

ранг;

итерационность;

число ветвей;

индекс другого оператора;

параметр генотипа;

управляющий код.

Таким образом сверхбольшое число превращается из математического экспоната в функциональный элемент математической инженерии.

ГЛАВА 6. ГЕНЕРАТИВНАЯ И ЭКСПЛИКАЦИОННАЯ СЛОЖНОСТЬ
По мере роста математических объектов обычное понятие величины становится недостаточным.

Необходимо различать:

насколько велик объект;

насколько сложно его породить;

насколько сложна архитектура его оператора;

насколько сложно его описать;

насколько сложно полностью его раскрыть.

Эти характеристики не совпадают.

Огромный объект может иметь короткий генератор.

Относительно небольшой объект может иметь чрезвычайно сложный генотип.

Объект может быть простым для символического задания и невозможным для полной цифровой записи.

Поэтому ОТМ вводит многокомпонентное понятие сложности.

6.1. Величина числа
Первая характеристика — обычная математическая величина.

Для натуральных чисел существует однозначное отношение:

A < B

A = B

A > B

Эта характеристика фундаментальна.

Но она сообщает только положение числа на числовой оси.

Она ничего непосредственно не говорит о том:

как число было получено;

сколько операций потребовалось;

насколько длинно его кратчайшее описание;

какой структуры его генератор;

можно ли практически выписать его цифры.

Поэтому два числа могут быть сравнимы по величине, но радикально различаться по другим характеристикам.

6.2. Генеративная сложность
Генеративная сложность характеризует структуру процесса, необходимого для порождения объекта в выбранной формальной системе.

Она может учитывать:

число генеративных этапов;

число типов операторов;

глубину вложенности;

число рекурсивных связей;

количество параметров;

сложность законов перехода.

Это понятие необходимо отличать от классической колмогоровской сложности.

В алгоритмической теории информации колмогоровская сложность объекта определяется длиной кратчайшей программы, способной породить его на фиксированной универсальной вычислительной машине.

Генеративная сложность ОТМ ставит другой вопрос.

Нас интересует не только минимальная длина программы, но и архитектура конкретного допустимого генотипа внутри заданного языка ОТМ.

Следовательно:

колмогоровская сложность ищет кратчайшее эффективное описание;

генеративная сложность ОТМ исследует внутреннюю организацию выбранного генеративного описания.

Эти величины связаны концептуально, но не тождественны.

6.3. Операторная сложность
Операторная сложность характеризует сам механизм генерации.

Например, два объекта могут иметь одинаковое число последовательных вычислительных шагов.

Но в первом случае каждый шаг представляет обычное сложение.

Во втором — SML.

Очевидно, что простое количество шагов не отражает всей архитектуры.

Поэтому операторная сложность может учитывать:

уровни операторов;

ранги;

динамику рангов;

модификаторы;

рефлексивность;

число алгебраических комплексов;

метаоператоры;

самомодификацию.

То есть объектом измерения становится не длина вычисления сама по себе, а структурная высота и насыщенность операторной системы.

6.4. Семантическая сложность
Семантическая сложность характеризует количество и характер смысловых отношений, содержащихся в генотипе.

Например:

SML N

имеет короткую запись.

Но N одновременно выполняет несколько функций.

Следовательно, синтаксическая длина мала, а семантическая связанность высока.

Другой генотип может быть длиннее, но состоять из большого числа независимых простых операций.

Поэтому длина записи и семантическая сложность не совпадают.

Можно различать:

семантическую плотность — объём структурного смысла на единицу записи;

и:

семантическую сложность — сложность всей сети отношений внутри генотипа.

Эти понятия являются предлагаемыми терминами ОТМ и требуют дальнейшей формализации.

6.5. Экспликационная сложность
Экспликационная сложность отвечает на другой вопрос:

насколько трудно полностью развернуть объект на выбранном уровне представления?

Например:

10^100

коротко записывается символически.

Но его десятичная запись уже содержит 101 цифру.

10^(10^100)

также имеет короткое генеративное описание, но полная цифровая запись практически недоступна.

У SML 100 разрыв значительно сильнее.

Можно рассматривать несколько видов экспликации:

цифровую;

синтаксическую;

операторную;

генотипическую;

метагенотипическую.

Величина экспликационной сложности всегда должна указываться относительно выбранного уровня языка.

Иначе утверждение:

«объект невозможно записать»

неполно.

Необходимо спросить:

невозможно записать как что?

Цифрами?

Развёрнутой формулой?

Конечным операторным генотипом?

Метагенотипом?

6.6. Экспликационный горизонт
Экспликационный горизонт — это предел, внутри которого выбранная система представления и выбранные ресурсы позволяют полностью развернуть объект.

Обозначим его условно:

EH

Explication Horizon.

Экспликационный горизонт может зависеть от:

языка;

доступной памяти;

времени;

физического носителя;

требуемого уровня детализации.

Поэтому объект может находиться:

ниже горизонта;

вблизи горизонта;

далеко за горизонтом.

Очень важно:

экспликационный горизонт не является абсолютной математической бесконечностью.

Это граница представимости относительно фиксированных условий.

Например, число может быть конечным в строгом математическом смысле и при этом находиться фантастически далеко за любым физически реализуемым горизонтом полной цифровой записи.

6.7. Компактное описание неэксплицируемого объекта
Ключевой феномен сверхбольших чисел состоит в том, что короткое описание способно однозначно задавать объект, полное раскрытие которого недоступно.

Этот общий принцип имеет известный аналог в алгоритмической теории информации: структурно регулярные объекты способны иметь короткие программы-описания, тогда как многие нерегулярные строки не допускают существенного эффективного сжатия.

Но в ОТМ нас интересует специальный случай.

Объект может иметь:

маленький генотип;

огромный символический фенотип;

ещё более огромный цифровой фенотип.

Например:

SML 100

компактен как код.

Однако его полная экспликация выходит далеко за пределы практической записи.

Поэтому необходимо различать:

описуемость

и:

эксплицируемость.

Объект может быть строго описан, но практически неэксплицируем.

Это не противоречие.

Напротив, именно такая ситуация является нормой для сверхбольших генеративных объектов.

6.8. СМЛ и сверхвысокое отношение описания к результату
SML демонстрирует чрезвычайно большой разрыв между:

размером генотипа

и:

размером его полного фенотипического развёртывания.

Для SML N длина короткой записи растёт весьма медленно вместе с длиной представления N.

Однако масштаб порождаемой структуры растёт совершенно иным образом.

Можно ввести концептуальную характеристику:

коэффициент генеративного сжатия.

Он должен выражать отношение между:

объёмом развёрнутого представления

и:

объёмом генотипической записи.

Но такая мера имеет смысл только после фиксации:

алфавита;

кодировки;

уровня экспликации;

правил подсчёта;

допустимых макрооператоров.

Иначе результат можно искусственно изменить, просто введя новое короткое имя для сложного объекта.

Поэтому будущая формальная теория должна обязательно нормировать язык сравнения.

Главный принцип остаётся:

семантическая мощность SML определяется не длиной записи, а объёмом операторной структуры, которую эта запись способна развернуть.

6.9. Конечные-бесконечные объекты
Здесь возникает особый класс объектов, имеющий большое значение для дальнейшей Изольдионики.

Рассмотрим объект X.

Он является строго конечным натуральным числом.

То есть в классической математике:

X < infinity

и никакого противоречия здесь нет.

Однако полная десятичная запись X может находиться далеко за экспликационным горизонтом любой физически реализуемой системы.

В рамках предлагаемой терминологии такой объект можно называть:

конечным-бесконечным

или:

условно бесконечным

на определённом уровне экспликации.

Эти выражения не означают, что конечное число становится математической бесконечностью.

Они обозначают иной факт:

объект конечен онтологически в рамках классической арифметики, но практически или формально неэксплицируем на выбранном уровне представления при заданном горизонте.

Например, можно предварительно различить:

E0

цифровой уровень;

E1

уровень генеративной формулы;

E2

уровень языка, способного описывать генераторы формул;

E3

метагенеративный уровень;

и далее.

Тогда объект может быть неэксплицируемым на:

E0

но полностью эксплицируемым на:

E1.

Более сложный объект может потребовать:

E2.

В перспективе возможны объекты, для которых недостаточным становится и этот уровень.

Так возникает понятие:

неэкспликанта N-го уровня.

Полная теория этой иерархии будет разработана позднее.

На данном этапе принципиально важно установить главное:

неэксплицируемость является уровнево-зависимым свойством.

Нельзя произвольно объявить объект неэксплицируемым, а затем решить проблему, просто присвоив ему новое имя.

Для строгой теории каждый уровень:

E0, E1, E2, ...

должен обладать заранее определённым формальным языком.

Только тогда переход на более высокий уровень является реальным семантическим подъёмом, а не тривиальным переименованием объекта.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ЧАСТИ VIII
Сравнительная теория сверхбольших чисел приводит к нескольким принципиальным выводам.

Первый:

числовая величина является только одной характеристикой математического объекта.

Второй:

скорость роста функции и выразительная мощность языка — разные понятия.

Третий:

короткая запись не обязательно означает простой объект.

Четвёртый:

большая семантическая плотность не доказывает большего числового результата.

Пятый:

вычислимость, эксплицируемость и величина должны рассматриваться независимо.

Поэтому сравнение:

гуголплекса;

гиперопераций;

стрелок Кнута;

цепей Конвея;

систем Штейнгауза–Мозера;

числа Грэма;

TREE(3);

быстрорастущих иерархий;

Busy Beaver;

металогарифмов;

SML

не может быть сведено к одной колонке:

больше / меньше.

Требуется многомерная матрица.

Минимально она должна учитывать:

числовой рост;

тип генератора;

число независимых параметров;

управление рангом;

итерационность;

рекурсию;

рефлексивность;

саморефлексивность;

модифицируемость;

композиционность;

метакомпозиционность;

вычислимость;

генеративную сложность;

экспликационную сложность;

семантическую плотность.

С этой точки зрения главная претензия ОТМ состоит не в создании очередного рекордного числа.

Её более существенная задача заключается в построении языка многомерных генеративных архитектур.

В таком языке число постепенно меняет статус.

Сначала оно является значением.

Затем:

результатом процесса.

Затем:

фенотипом генотипа.

Затем:

параметром другого генотипа.

Затем:

управляющим элементом многокодонной системы.

И наконец:

строительным материалом математической среды более высокого порядка.

Так происходит переход:

число

-> процесс

-> генотип

-> кодон

-> система кодонов

-> математическая генетика

-> нооинжиниринг

Одновременно появляется второй переход:

полная цифровая запись

-> генеративная формула

-> операторный язык

-> метаязык

-> иерархия экспликационных уровней

Именно соединение этих двух направлений выводит ОТМ за пределы обычной теории сверхбольших чисел.

Большое число становится не конечной точкой исследования, а носителем и результатом организованной генеративной мощности.

В последующих частях этот принцип будет перенесён непосредственно в Изольдионику и Теорию Ланумов, где металогарифм станет лишь одним из множества кодонов, объединяемых в математические генотипы принципиально нового типа.

***********

АППЕНДИКС VIII-А. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АТЛАС СВЕРХБОЛЬШИХ ЧИСЕЛ, ГЕНЕРАТИВНОЙ МОЩНОСТИ И ЭКСПЛИЦИРУЕМОСТИ
Оглавление аппендикса
Что именно мы сравниваем
Четыре разных понятия «мощности»
От степени к самопорождающему каскаду
Влияние ранга
Влияние внешней итерационности
Совместный рост ранга и итераций
Влияние асимметрии и модификаторов
Канонический SML N как многоканальный ускоритель
SML 100 в трёх представлениях сложности
Рекурсивные SML
Гугол и гуголплекс как первый уровень генеративного сжатия
Гипероперации как подъём уровня операции
Стрелочная нотация Кнута
Цепная нотация Конвея
Системы Штейнгауза–Мозера
Число Грэма и рекурсия уровня оператора
TREE(3) и комбинаторный источник сверхбольших чисел
Быстрорастущие иерархии
Busy Beaver и граница вычислимости
Где находится SML относительно Busy Beaver
Сравнительная матрица математических типов
Матрица генеративных возможностей
Числовая мощность и мощность языка — не одно и то же
Семантическая плотность
Генотип и фенотип сверхбольшого объекта
Четыре уровня экспликации
Экспликационный горизонт
Неэкспликанты различных уровней
Конечные-бесконечные объекты
Профиль мощности вместо единственной шкалы
Правила корректного сравнения систем
Практический алгоритм анализа нового сверхбольшого объекта
От сравнительной гугологии к нооинжинирингу
Основные выводы
Введение
Главная задача настоящего аппендикса состоит не в составлении списка «самых больших чисел».

Такая постановка слишком примитивна для развитой сравнительной теории.

Числа и системы, рассматриваемые в Части VIII, относятся к различным математическим категориям.

Гугол — конкретное натуральное число.

Стрелочная нотация Кнута — система операторов.

Число Грэма — конкретное конечное число, построенное рекурсивно с помощью стрелочной нотации.

TREE(3) — конкретное конечное число, определённое через комбинаторную экстремальную задачу.

Быстрорастущая иерархия — семейство функций.

Busy Beaver — невычислимая функция.

SML N в ОТМ — предлагаемое параметрическое семейство генеративных металогарифмических конструкций.

Следовательно, сравнивать их только по принципу:

A > B

недостаточно.

Необходимо сначала спросить:

что представляет собой A?

что представляет собой B?

какую именно характеристику мы сравниваем?

1. Что именно мы сравниваем
Для корректного анализа необходимо различать по крайней мере пять объектов сравнения.

Первый объект: конкретное число
Например:

10^100

или число Грэма.

Здесь допустим обычный вопрос:

A > B ?

Второй объект: функция
Например:

F(n)

или Busy Beaver.

Здесь сравнивается уже скорость роста при изменении аргумента.

Третий объект: нотация
Например, стрелочная нотация Кнута.

Нотация сама по себе не является одним числом.

Она является языком задания семейства чисел.

Четвёртый объект: генеративная архитектура
Например:

SML N

или сложный металогарифмический генотип.

Здесь существенна не только величина результата, но и устройство процесса.

Пятый объект: формальный язык
На этом уровне сравнивается способность языка создавать и соединять разные классы генераторов.

Это уже вопрос не только чисел, но и выразительной архитектуры.

2. Четыре разных понятия «мощности»
Слово «мощность» в настоящей книге необходимо использовать осторожно.

Как минимум существуют четыре принципиально разные мощности.

Числовая мощность
Насколько велик результат?

Асимптотическая мощность
Насколько быстро растёт функция?

Генеративная мощность
Насколько сложные механизмы порождения может задавать система?

Семантическая мощность
Какой объём генеративной структуры может быть представлен единицей записи?

Эти характеристики могут расходиться.

Очень компактная нотация может задавать огромный объект.

Очень сложный язык может использоваться для задания сравнительно небольшого числа.

Очень быстрорастущая функция может иметь короткое фиксированное определение.

Поэтому ни одна из этих координат не должна автоматически подменять остальные.

3. От степени к самопорождающему каскаду
Начнём с простейшего примера.

Обычная степень:

2^2 = 4

Теперь результат используется как следующий полный степенной объект:

4^4 = 256

Затем:

256^256

Получаем:

2

-> 2^2 = 4

-> 4^4 = 256

-> 256^256

-> ...

В рекуррентной форме:

X_0 = 2

X_(k+1) = X_k^X_k

Даже этот простой закон быстро выводит числовой результат далеко за пределы обычной арифметической наглядности.

Но его генеративное описание остаётся коротким.

Именно здесь впервые ярко возникает разрыв:

короткий генотип

-> огромный фенотип

4. Влияние ранга
Теперь введём ранг.

Пусть:

a(0)=A

и:

a(k+1)=a(k)^a(k)

Тогда:

R=1

означает один переход.

R=2

два перехода.

R=100

сто последовательных переходов.

Ранг увеличивает не просто числовой аргумент.

Он увеличивает глубину внутреннего процесса.

Это принципиальное отличие.

Увеличение:

A -> 2A

и увеличение:

R -> 2R

относятся к разным уровням генеративной структуры.

5. Влияние внешней итерационности
Если операция ранга R выполняется несколько раз полностью, появляется другая координата:

I

Например:

R=10

I=100

означает:

сто полных операций,

каждая из которых включает десять внутренних ранговых ступеней.

Следовательно:

ранг отвечает за внутреннюю этажность;

итерационность — за внешнее повторение.

Эти координаты независимы.

6. Совместный рост ранга и итераций
Пусть:

R=N

и:

I=N

Тогда увеличение N одновременно увеличивает:

глубину каждой полной операции;

количество полных операций.

Получается архитектура:

N x N

По последовательному операционному счёту:

N^2

внутренних переходов.

Но это только количество шагов.

Оно ничего не говорит непосредственно о величине чисел, над которыми эти шаги выполняются.

Каждый следующий шаг действует на результат предыдущего.

Поэтому числовая величина растёт совершенно несопоставимо быстрее простой величины N^2.

7. Влияние асимметрии и модификаторов
Дополнительный рост может быть получен через изменение отношения основания и сублогарифма.

Например:

A^SL

где:

SL >> A

Но ещё более существенным оказывается уровень приложения модификатора.

Например:

A -> 2A

изменяет основание.

R -> 2R

изменяет глубину.

I -> 2I

изменяет продолжительность.

SML N -> SML(2N)

изменяет сразу несколько синхронизированных параметров.

Поэтому один и тот же числовой коэффициент имеет разную операторную силу в зависимости от семантической высоты точки приложения.

8. Канонический SML N как многоканальный ускоритель
Канонический:

SML N

декодируется как:

A=N

R=N

I=N

Таким образом N является одновременно:

начальным объектом;

рангом;

числом полных итераций.

Это создаёт особый режим многоканального роста.

При изменении N изменяется сразу несколько координат.

Именно поэтому SML следует рассматривать не только как быстрорастущую конструкцию, но и как пример:

синхронизированного генеративного усиления.

9. SML 100 в трёх представлениях сложности
Рассмотрим:

SML 100

Первый уровень: короткий генотип
SML 100

Несколько символов.

Второй уровень: операционная структура
R=100

I=100

Следовательно:

100*100 = 10000

последовательных внутренних переходов канонического вида:

X -> X^X

Третий уровень: полное синтаксическое дерево
Если каждый предыдущий объект раскрывается полностью и дважды вставляется в следующий, то после m последовательных самостепенных переходов структура содержит:

2^m

копий первоначального объекта

и:

2^m - 1

степенных узлов.

В каноническом однородном SML 100:

m = 10000

Следовательно, полностью раскрытое дерево содержит:

2^10000

копий исходного объекта

и:

2^10000 - 1

степенных узлов.

Это всё ещё не размер десятичной записи результата.

Цифровой фенотип находится на совершенно другом масштабе.

Таким образом даже один SML 100 демонстрирует минимум три разные сложности:

операционную;

синтаксическую;

цифровую.

10. Рекурсивные SML
Теперь результат одного SML используется для построения следующего.

Например:

X_0 = 2

X_1 = SML X_0

X_2 = SML X_1

X_3 = SML X_2

и далее.

Здесь растёт уже не только результат.

Каждый новый результат определяет:

исходный объект следующего SML;

его ранг;

его число итераций.

Следовательно, рост значения превращается в рост мощности следующего генератора.

Можно говорить о переходе:

рост объекта

-> рост генератора

-> рост генератора генератора

11. Гугол и гуголплекс как первый уровень генеративного сжатия
Гугол:

10^100

Гуголплекс:

10^(10^100)

Обе записи радикально короче соответствующего полного цифрового представления.

Уже здесь присутствует базовый принцип генеративной математики:

не перечислять объект, а задавать правило его построения.

Гугол поэтому можно рассматривать как простой учебный пример перехода от цифрового фенотипа к символическому генотипу.

Гуголплекс усиливает этот эффект ещё радикальнее.

12. Гипероперации как подъём уровня операции
Последовательность:

сложение;

умножение;

возведение в степень;

тетрация;

пентация;

и далее

демонстрирует принцип повышения уровня.

Повторение операции предыдущего уровня превращается в новую операцию.

Условно:

сложение

является повторением прибавления;

умножение

повторением сложения;

степень

повторением умножения;

тетрация

повторением возведения в степень.

Таким образом сложный процесс нижнего уровня становится элементарным оператором следующего.

Это один из фундаментальных примеров семантического подъёма.

13. Стрелочная нотация Кнута
В стрелочной нотации Кнута одна стрелка соответствует возведению в степень, две — следующему уровню повторения, три — повторению предыдущего уровня и так далее. Нотация специально предназначена для компактного представления чрезвычайно быстрорастущих операций.

Для сравнительной теории особенно важно:

число стрелок само становится параметром уровня операции.

То есть запись управляет уже не только аргументами, но и операционной высотой.

Это делает стрелочную нотацию одним из важнейших исторических предшественников языков генеративной мощности.

14. Цепная нотация Конвея
Цепная стрелочная нотация Конвея обобщает стрелочную нотацию Кнута и использует рекурсивно интерпретируемые цепочки.

Её значение для ОТМ особенно велико с точки зрения семантической плотности.

Сравнительно короткая строка:

a -> b -> c -> ...

может заключать глубоко рекурсивную структуру.

Это ещё один пример принципа:

короткая синтаксическая форма

-> глубокое генеративное содержание

Но правила Конвея фиксированы собственной нотацией.

В ОТМ дополнительно исследуется возможность делать объектами управления сами:

параметры;

ранги;

итерации;

модификаторы;

законы.

15. Системы Штейнгауза–Мозера
В системах Штейнгауза–Мозера геометрические оболочки — например квадраты и круги — используются как операторы повышения уровня. MathWorld описывает circle notation через вложенные квадратные конструкции и связывает её с числами типа mega и megistron.

С точки зрения OTM-TN здесь особенно интересен общий морфологический принцип:

изменение оболочки записи способно менять семантический уровень операции.

С этим отдалённо перекликается введённый в OTM-TN скобочный ранг:

[...]

[[...]]

[[[...]]]

Однако это только концептуальное сходство.

Семантика двух систем различна.

16. Число Грэма и рекурсия уровня оператора
Число Грэма связано с задачей теории Рамсея и стандартно определяется через последовательность g_1,...,g_64, где первый член использует четыре стрелки Кнута, а последующий член задаёт количество стрелок следующей операции.

Именно это особенно важно для ОТМ.

Предыдущее значение определяет уже не просто следующий аргумент.

Оно определяет уровень следующего оператора.

Схематически:

результат

-> мощность следующего оператора

-> новый результат

Такой принцип структурно родствен:

результат-зависимому рангу;

рекурсивному рангу;

генерации генератора.

Но родство принципа не означает равенства конкретных математических конструкций.

Для численного сравнения необходим отдельный формальный анализ.

17. TREE(3) и комбинаторный источник сверхбольших чисел
TREE(3) принципиально отличается от большинства арифметических нотаций.

Он возникает из экстремальной задачи о конечных размеченных деревьях, связанной с теоремой Краскала. Стандартная функция TREE конечна для каждого соответствующего конечного аргумента благодаря лежащей в основе теории хорошей квазиупорядоченности конечных деревьев; TREE(3) известен как чрезвычайно большое конечное значение.

Главный урок TREE(3):

сверхбольшое конечное число не обязано возникать из длинной цепочки арифметических операций.

Оно может возникнуть как:

максимальная длина;

минимальная граница;

экстремальный размер

в глубокой комбинаторной структуре.

Поэтому сравнительная теория должна включать не только арифметические генераторы, но и структурно-комбинаторные.

18. Быстрорастущие иерархии
Быстрорастущие иерархии организуют целые семейства функций, индексируемые в том числе счётными ординалами; для предельных уровней используются фундаментальные последовательности.

Их значение состоит в систематическом измерении уровня роста.

Здесь индекс:

alpha

задаёт не просто числовой коэффициент.

Он задаёт уровень иерархии функций.

Для будущей формализации ОТМ это чрезвычайно важный сравнительный аппарат.

Если необходимо утверждать, что определённая металогарифмическая функция растёт «быстрее» или «медленнее» классического класса функций, одним из наиболее серьёзных путей будет поиск её места относительно подходящей быстрорастущей иерархии.

До выполнения такого анализа сильные заявления о численном превосходстве должны считаться гипотезами, а не доказанными фактами.

19. Busy Beaver и граница вычислимости
Busy Beaver относится уже к принципиально другой категории.

Для фиксированного числа состояний рассматривается конечное множество соответствующих машин Тьюринга и максимум среди останавливающихся машин по выбранному критерию. Но сама функция Busy Beaver невычислима: общего алгоритма, вычисляющего её для произвольного n, не существует.

Более того, стандартные Busy-Beaver-функции в конечном итоге превосходят любую вычислимую функцию. Это является классическим следствием их связи с проблемой остановки.

Поэтому между:

очень трудно вычислить

и:

не существует общего алгоритма вычисления

проходит фундаментальная граница.

Её нельзя размывать термином «неэксплицируемость».

20. Где находится SML относительно Busy Beaver
Этот вопрос особенно важен.

Пусть канонический:

SML(N)

после окончательной формализации действительно задаёт для каждого конечного N конечную последовательность однозначно определённых эффективных операций.

Тогда функция:

F(N) = result(SML N)

будет вычислимой функцией в теоретическом смысле.

Это не означает, что её реально можно будет вычислить для больших N.

Ресурсов Вселенной может оказаться совершенно недостаточно.

Но алгоритм формально существует.

Если F(N) является вычислимой, то стандартная Busy-Beaver-функция в конечном итоге превосходит F, поскольку Busy Beaver растёт быстрее любой вычислимой функции.

Следовательно:

канонический SML не должен объявляться «сильнее Busy Beaver» по скорости роста функции без изменения вычислительного статуса самой системы.

Но это не уменьшает значения SML.

SML исследует другие координаты:

семантическую плотность;

самосинхронизацию;

операторную архитектуру;

композиционность;

генотипическую организацию.

Busy Beaver отвечает на другой фундаментальный вопрос — о границе вычислимости.

21. Сравнительная матрица математических типов
Система Математический тип Конечный объект Вычислимый общий закон Основной источник мощности
Гугол Конкретное число Да Да Степень
Гуголплекс Конкретное число Да Да Вложенная степень
Гипероперации Семейство операций Да для конечных параметров Да Повышение уровня операции
Стрелки Кнута Операторная нотация Да для конечных выражений Да Число уровней операции
Цепи Конвея Рекурсивная нотация Да для корректных конечных цепей Да Рекурсивная цепная семантика
Штейнгауз–Мозер Система нотаций Да Да Операторная вложенность
Число Грэма Конкретное число Да Да Рекурсия уровня стрелок
TREE(3) Комбинаторно определённое число Да Определение эффективно как конечное математическое значение, но практическое вычисление экстремально Комбинаторная экстремальность
Быстрорастущие иерархии Семейства функций Зависит от аргумента Для фиксированных эффективных ординальных нотаций — вычислимые участки Ординально индексированный рост
Busy Beaver Функция Каждый BB(n) конечен Нет Невычислимость
ML Предлагаемый генеративный класс ОТМ Да в конечных корректных формах Зависит от формализации Каскадность и параметры
SML N Предлагаемая саморефлексивная конструкция Да при конечном N Да для канонической эффективной версии Синхронизация A, R, I
Рекурсивный SML Семейство генераторов Да при конечном числе стадий Да при эффективных конечных правилах Рост генератора
Метасаморефлексивный SML Метаоператорная система Зависит от правил Требует отдельной проверки Изменение закона генерации
22. Матрица генеративных возможностей
Знак + ниже означает наличие соответствующего механизма в естественной или базовой форме системы.

Знак - означает, что характеристика не является частью базовой нотации.

Знак * означает, что механизм возможен через внешнее расширение или программирование, но не является основной семантической координатой исходной системы.

Система Динамический уровень операции Рекурсия Результат управляет оператором Саморефлексивность ОТМ-типа Самомодификация правил Композиция
Гугол / гуголплекс — — — — — —
Гипероперации + + — — — Ограниченно
Кнут + + Возможна в построениях — — +
Конвей + + Встроена сложная рекурсия — — +
Грэм + + + — — +
TREE Не в арифметическом смысле + в определении класса Не в смысле ОТМ — — Структурная
FGH + + Уровень задаётся индексом — — Через метатеорию
Busy Beaver Не применимо напрямую Определение через машины — — — Через вычислительные модели
ML + + + Возможна + +
SML + + + + В расширенной форме +
Металогарифмическая среда + + + + + +
Изольдионический генотип Проектируется Проектируется Проектируется Проектируется Проектируется Проектируется
Эта таблица не утверждает численного превосходства ОТМ.

Она показывает размерность языка управления генератором.

23. Числовая мощность и мощность языка — не одно и то же
Предположим, язык L1 имеет один чрезвычайно быстрорастущий оператор.

Язык L2 содержит множество более слабых операторов, но позволяет:

комбинировать их;

изменять параметры;

создавать метаоператоры;

строить рефлексивные сети.

Что «мощнее»?

Ответ зависит от критерия.

Если вопрос:

«какая конкретная функция растёт быстрее?»,

нужно сравнивать функции.

Если вопрос:

«какой язык способен описать больше различных генеративных архитектур?»,

нужно сравнивать выразительность.

Следовательно:

числовая мощность функции

и:

выразительная мощность языка

являются различными математическими вопросами.

Это один из центральных принципов всей Части VIII.

24. Семантическая плотность
Рассмотрим:

SML 100

Запись коротка.

Но декодирование включает:

A=100

R=100

I=100

внутренний закон;

наследование результата.

Можно определить концептуальное отношение:

SD = semantic content / description length

где SD — semantic density.

Однако такая формула пока не является строгой метрической дефиницией.

Причина очевидна.

Если разрешить произвольно создавать новые короткие имена, можно обозначить любую огромную структуру одной буквой.

Поэтому измерение семантической плотности возможно только при фиксированных:

алфавите;

словаре примитивов;

грамматике;

правилах макрорасширения.

Это важнейшее условие будущей формализации.

25. Генотип и фенотип сверхбольшого объекта
В ОТМ полезно использовать биологическую аналогию.

Генотип
Компактная генеративная запись.

Например:

SML 100

Генеративный процесс
Раскрытие правил:

A

R

I

внутренних операций;

переходов.

Фенотип
Конечный математический объект.

Схема:

GENOTYPE

-> GENERATION

-> PHENOTYPE

Важно:

один и тот же фенотип теоретически может иметь разные генотипы.

И наоборот, небольшое изменение генотипа способно породить радикально иной фенотип.

Поэтому сравнительная теория будущей Изольдионики должна исследовать не только числа, но и классы их генотипов.

26. Четыре уровня экспликации
Введём предварительную учебную шкалу.

E0. Цифровая экспликация
Объект полностью записывается цифрами.

Например, небольшое натуральное число.

E1. Символическая генеративная экспликация
Полная цифровая запись недоступна или неудобна, но объект задаётся конечной формулой.

Пример:

10^(10^100)

или:

SML 100

на уровне его принятого макрооператора.

E2. Метагенеративная экспликация
Обычная формула становится слишком сложной, и объект задаётся системой, которая порождает сами формулы или генотипы.

E3. Метаметагенеративная экспликация
Задаётся уже генератор систем генерации.

И так далее:

E0 -> E1 -> E2 -> E3 -> ... -> EN

Это пока концептуальная иерархия ОТМ.

Для её строгой математизации потребуется формально определить язык каждого уровня.

27. Экспликационный горизонт
Экспликационный горизонт:

EH

определяет предел полного раскрытия объекта в заданной системе представления при заданных ресурсах.

Например, объект может быть:

полностью эксплицируем на E1;

но неэксплицируем на E0.

Это не противоречие.

Разные уровни используют разные единицы выражения.

Важно также различать:

формальный горизонт

и:

физический горизонт.

Формальный горизонт связан с выразительной способностью языка.

Физический — с реальными ресурсами:

памятью;

временем;

энергией;

объёмом носителя.

28. Неэкспликанты различных уровней
Предлагаемый термин:

неэкспликант уровня N

должен использоваться только относительно заранее определённой иерархии языков.

Например, объект:

неэксплицируем на E0;

но эксплицируем на E1.

Это можно условно назвать:

E0-nonexplicant

Но он не является неэкспликантом E1.

Более сложный объект может быть неэксплицируем:

на E0;

на E1;

и требовать E2.

Тогда его экспликационный ранг выше.

Однако нельзя создать более высокий уровень простым трюком:

X = "вот то огромное число"

Если X является всего лишь новым именем без формального способа декодирования, реального семантического подъёма не произошло.

Поэтому каждый уровень должен иметь строгую систему допустимых операторов.

29. Конечные-бесконечные объекты
Термин:

конечный-бесконечный объект

в ОТМ и Изольдионике предлагается как специальная характеристика экспликационного положения.

Он не означает классическую математическую бесконечность.

Пусть X является конечным натуральным числом.

Тогда:

X < infinity

в обычном математическом смысле.

Но полная цифровая запись X может быть физически невозможна.

В таком случае X можно назвать:

условно бесконечным относительно E0 и данного EH.

То есть:

конечность относится к математическому статусу;

«бесконечность» — к практической или формальной недоступности полной экспликации на конкретном уровне.

Без этого уточнения термин использовать нельзя.

30. Профиль мощности вместо единственной шкалы
Вместо вопроса:

POWER(A) > POWER(B)?

предлагается использовать профиль:

P = {NG,OP,SD,NP,R,I,REC,REF,SR,MOD,COMP,META,EXP,COMP_STATUS}

где:

NG

числовой рост;

OP

операторная глубина;

SD

семантическая плотность;

NP

число независимых параметров;

R

управление рангом;

I

управление итерациями;

REC

рекурсивность;

REF

рефлексивность;

SR

саморефлексивность;

MOD

модифицируемость;

COMP

композиционность;

META

метаоператорность;

EXP

экспликационная характеристика;

COMP_STATUS

вычислительный статус.

Тогда разные системы могут превосходить друг друга по разным координатам.

Это значительно точнее идеи абсолютной единственной «силы».

31. Правила корректного сравнения систем
При сравнении сверхбольших объектов необходимо соблюдать несколько правил.

Правило 1
Не сравнивать число с функцией без фиксации аргумента.

Правило 2
Не сравнивать длину записи без фиксации языка.

Правило 3
Не считать количество параметров прямым доказательством более быстрого роста.

Правило 4
Не считать рефлексивность доказательством численного превосходства.

Правило 5
Не путать практическую невозможность вычисления с невычислимостью.

Правило 6
Не путать конечное огромное число с математической бесконечностью.

Правило 7
Не объявлять новый оператор «сильнее» классического без точного критерия.

Правило 8
Для асимптотического сравнения определять функции, а не отдельные записи.

Правило 9
Для сравнения языков исследовать выразительность и генеративную архитектуру отдельно от роста функций.

Правило 10
Новые термины ОТМ явно обозначать как предлагаемые термины данной теории.

32. Практический алгоритм анализа нового сверхбольшого объекта
При появлении новой конструкции следует последовательно задать вопросы.

Шаг 1
Это число, функция, оператор, нотация или язык?

Шаг 2
Какие параметры свободны?

Шаг 3
Каков базовый генеративный закон?

Шаг 4
Есть ли рекурсия?

Шаг 5
Определяет ли результат следующий аргумент?

Шаг 6
Определяет ли результат уровень следующего оператора?

Шаг 7
Может ли изменяться сам закон?

Шаг 8
Есть ли метаоператор?

Шаг 9
Является ли общий закон вычислимым?

Шаг 10
Какова цифровая эксплицируемость?

Шаг 11
Какова символическая эксплицируемость?

Шаг 12
Какова длина генотипа?

Шаг 13
На каком формальном языке определяется объект?

Шаг 14
С каким классическим классом функций его можно строго сравнить?

Такой анализ позволяет избежать поверхностной гугологической оценки:

«выглядит огромнее — значит мощнее».

33. От сравнительной гугологии к нооинжинирингу
После введения многомерного профиля цель исследования меняется.

Мы больше не только спрашиваем:

как назвать число больше?

Новый вопрос:

как спроектировать математический объект с заданным профилем генеративных свойств?

Например, требуется объект:

с заданным рангом;

динамической итерационностью;

рефлексивной асимметрией;

SML-кодоном;

двумя управляющими метакодонами;

заданным экспликационным рангом.

Это уже инженерная постановка.

Число перестаёт быть найденным или названным объектом.

Оно становится проектируемым объектом.

В предлагаемой терминологии Изольдионики именно здесь начинается:

нооинжиниринг числовых объектов.

Следующий этап:

не проектирование одного числа,

а проектирование:

математического генотипа;

системы кодонов;

семейства генотипов;

Ланума;

генератора Ланумов.

Таким образом сравнительная теория становится не финалом изучения сверхбольших чисел, а переходом от классификации к конструированию.

34. Основные выводы
Сравнение сверхбольших чисел оказывается значительно более сложной задачей, чем построение линейной лестницы величин.

На одном уровне существуют:

гугол;

гуголплекс;

число Грэма;

TREE(3).

На другом:

гипероперации;

стрелочные системы;

цепные нотации;

быстрорастущие иерархии.

На третьем:

Busy Beaver и другие объекты теории вычислимости.

На четвёртом:

предлагаемые генеративные системы ОТМ.

Поэтому фундаментальное правило настоящего аппендикса можно сформулировать так:

сначала определить тип математического объекта, затем выбрать координату сравнения, и только после этого говорить о превосходстве.

Особенно важными оказываются четыре независимые оси:

величина

генеративная архитектура

вычислимость

эксплицируемость

К ним добавляются:

семантическая плотность;

ранг;

итерационность;

рекурсия;

рефлексивность;

самомодификация;

композиционность;

метакомпозиционность.

В таком многомерном пространстве ОТМ получает собственное место.

Её основная претензия состоит не в утверждении:

«металогарифм всегда создаёт число больше любого классического числа».

Такое утверждение было бы математически некорректным.

Значительно более содержательное утверждение состоит в другом:

ОТМ стремится превратить архитектуру порождения сверхбольшого объекта в самостоятельный предмет математического проектирования.

В результате число проходит последовательность состояний:

значение

-> результат процесса

-> фенотип

-> объект генотипа

-> параметр другого генотипа

-> управляющий кодон

-> элемент математической среды

Одновременно язык проходит собственную лестницу:

цифры

-> формулы

-> генеративные операторы

-> операторные генотипы

-> метагенераторы

-> языки более высокого семантического уровня

Именно на пересечении этих двух лестниц начинается область, которая выходит за пределы классической задачи записи больших чисел.

Там возникает уже не просто гугология величин.

Возникает инженерия генеративных математических миров.

******