Атлас конструкций sml n

В.К. Петросян (Вадимир). ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МЕТАЛОГАРИФМОВ. Ы 2-х тт.

*********
© В.К.
Петросян (Вадимир) © Lag.ru [Large Apeironic Gateway, Большой Апейронический
Портал (Шлюз), Суперпортал в Бесконечность].
При копировании данного материала и размещении его на другом сайте, ссылки
на соответствующие локации порталов Lag.ru и Proza.ru обязательны
Работа написана на основе концепции и разработок В.К. Петросяна при полноценном соавторстве (активном творческом и вычислительном участии) ChatGPT (OpenAI), GPT-5.6 Sol
*********



АТЛАС КОНСТРУКЦИЙ SML N


Настоящее приложение представляет последовательный атлас саморефлексивных металогарифмов:

SML N

от простейших случаев до динамических, рекурсивных и вложенных конструкций.

Для всего приложения, если не указано иное, используется каноническое определение SML.

Пусть:

N >= 1

и:

X_0=N

Для каждой внешней итерации:

j=1,...,N

задаётся внутренняя ранговая лестница:

a_(j,0)=X_(j-1)

a_(j,r)=a_(j,r-1)^a_(j,r-1)

для:

r=1,...,N

После завершения N-го внутреннего ранга:

X_j=a_(j,N)

Итог:

SML(N)=X_N

Следовательно, в канонической модели:

A=N

R=N

I=N

а полное число последовательных самостепенных переходов:

T_seq(N)=N^2

Это число не следует смешивать:

с количеством цифр результата;

с размером полностью раскрытого синтаксического дерева;

с реальной вычислительной стоимостью арифметики над гигантскими целыми.

4.1. SML 2
Канонические параметры:

A=2

R=2

I=2

Начальное состояние:

X_0=2

Первая внешняя итерация
Начало:

a_(1,0)=2

Первая ранговая ступень:

a_(1,1)=2^2=4

Вторая ранговая ступень:

a_(1,2)=4^4=256

Следовательно:

X_1=256

Вторая внешняя итерация
Теперь:

a_(2,0)=256

Первая ранговая ступень:

a_(2,1)=256^256

Вторая:

a_(2,2)=(256^256)^(256^256)

Следовательно:

SML 2=X_2

Полное число последовательных самостепенных переходов:

2^2=4

Структурная схема:

2

-> 4

-> 256

-> 256^256

-> (256^256)^(256^256)

SML 2 является минимальным невырожденным примером, в котором уже одновременно присутствуют:

ранг;

внешняя итерация;

наследование результата;

синхронизация:

A=R=I=2

4.2. SML 3
Параметры:

A=3

R=3

I=3

Начальное состояние:

X_0=3

Первая внешняя итерация
a_(1,0)=3

a_(1,1)=3^3=27

a_(1,2)=27^27

a_(1,3)=(27^27)^(27^27)

Обозначим:

X_1=a_(1,3)

Вторая внешняя итерация
a_(2,0)=X_1

a_(2,1)=X_1^X_1

a_(2,2)=a_(2,1)^a_(2,1)

a_(2,3)=a_(2,2)^a_(2,2)

Получаем:

X_2=a_(2,3)

Третья внешняя итерация
Аналогично:

a_(3,0)=X_2

после трёх внутренних переходов:

X_3=a_(3,3)

Следовательно:

SML 3=X_3

Число последовательных самостепенных переходов:

3^2=9

Если вся цепь из девяти переходов полностью инлайнится без повторного использования поддеревьев, она имеет:

2^9=512

копий исходного объекта 3

и:

2^9-1=511

степенных узлов.

Эти числа характеризуют синтаксическую структуру, а не размер десятичного фенотипа.

4.3. SML 4
Параметры:

A=4

R=4

I=4

Начало:

X_0=4

Первая внешняя итерация:

a_(1,1)=4^4=256

a_(1,2)=256^256

a_(1,3)=a_(1,2)^a_(1,2)

a_(1,4)=a_(1,3)^a_(1,3)

Получаем:

X_1=a_(1,4)

Затем весь четырёхступенчатый ранговый оператор повторяется ещё три раза:

X_1 -> X_2 -> X_3 -> X_4

Итог:

SML 4=X_4

Число последовательных самостепенных переходов:

4^2=16

Полное инлайненное дерево непрерывной 16-ступенчатой цепи содержит:

2^16=65536

копий исходного объекта

и:

65535

степенных узлов.

SML 4 уже наглядно показывает быстро возрастающий разрыв между:

короткой записью;

числом последовательных стадий;

полностью раскрытым синтаксисом;

числовым фенотипом.

4.4. SML 10
Канонические параметры:

A=10

R=10

I=10

Начало:

X_0=10

Первая ранговая ступень:

a_(1,1)=10^10

Вторая:

a_(1,2)=(10^10)^(10^10)

Третья:

a_(1,3)=a_(1,2)^a_(1,2)

И далее до:

a_(1,10)

После этого:

X_1=a_(1,10)

Начинается вторая полная внешняя итерация:

a_(2,0)=X_1

и вновь выполняются десять внутренних самостепенных переходов.

Всего:

10

ранговых ступеней

на:

10

внешних итерациях.

Следовательно:

T_seq(10)=100

Полное инлайненное дерево при трактовке всей последовательности как непрерывной цепи имеет:

2^100

копий исходного объекта

и:

2^100-1

степенных узлов.

Уже здесь полное синтаксическое раскрытие существенно превышает разумный объём ручной записи.

При этом генотип:

SML 10

состоит всего из одной короткой инструкции.

4.5. SML 100
Канонические параметры:

A=100

R=100

I=100

Начало:

X_0=100

Первая ступень:

a_(1,1)=100^100

Поскольку:

100=10^2

получаем:

100^100=10^200

Но уже следующая ступень:

a_(1,2)=a_(1,1)^a_(1,1)

то есть:

(10^200)^(10^200)

создаёт резкий скачок.

И далее:

a_(1,r)=a_(1,r-1)^a_(1,r-1)

до:

r=100

После этого:

X_1=a_(1,100)

И весь ранговый процесс повторяется ещё:

99

раз.

Полное число последовательных переходов:

100*100=10000

При полном инлайненном синтаксическом раскрытии непрерывной цепи:

число копий исходного объекта:

2^10000

число степенных узлов:

2^10000-1

Важно:

это ещё не количество цифр конечного результата.

SML 100 является ярким примером того, насколько сильно могут расходиться:

длина генотипа;

операционная глубина;

синтаксическая глубина;

размер фенотипа.

Подробная декомпозиция приведена в Приложении 5.

4.6. SML 1000
Параметры:

A=1000

R=1000

I=1000

Следовательно:

одна полная операция содержит:

1000

самостепенных переходов.

Она повторяется:

1000

раз.

Полное число последовательных переходов:

T_seq(1000)=1000^2

то есть:

1000000

При полном инлайненном синтаксическом представлении непрерывной миллионной цепи:

2^1000000

копий исходного объекта

и:

2^1000000-1

степенных узлов.

Само выражение:

SML 1000

остаётся чрезвычайно коротким.

Именно здесь особенно ясно проявляется принцип:

семантическая мощность записи определяется не её физической длиной, а объёмом формально заданной структуры, которую она разворачивает.

4.7. SML N
Общий канонический случай:

SML N

определяется:

A=N

R=N

I=N

Начальное состояние:

X_0=N

Ранговый оператор:

RankOp_N(X)

задаётся:

a_0=X

a_(r+1)=a_r^a_r

для:

r=0,...,N-1

Затем:

X_j=RankOp_N(X_(j-1))

для:

j=1,...,N

И:

SML(N)=X_N

Основные структурные характеристики
Число внутренних переходов одной полной операции:

N

Число полных внешних операций:

N

Общее число последовательных самостепенных переходов:

N^2

Полное число исходных листьев при непрерывном инлайненном раскрытии:

2^(N^2)

Полное число степенных узлов:

2^(N^2)-1

Последние две формулы предполагают:

полное раскрытие без повторного использования уже построенного поддерева.

Основной инвариант канонического SML
A=R=I=N

Именно эта параметрическая синхронизация отличает канонический SML от более общих металогарифмических конструкций.

4.8. Динамические SML
Канонический SML использует фиксированную синхронизацию:

A=R=I=N

Однако расширенная ОТМ допускает динамические формы.

Например:

A_0=N

R_0=N

I=N

но:

R_(j+1)=R_j^2

Теперь каждая следующая внешняя операция имеет другой ранг.

Другой пример:

A_(j+1)=X_j

R_(j+1)=X_j

при фиксированном I.

Или:

I=F(N)

при:

A=R=N

Такие конструкции следует обозначать как:

динамические SML;

частично синхронизированные SML;

модифицированные SML,

в зависимости от конкретной архитектуры.

Главное правило:

если нарушается каноническое:

A=R=I=N

дополнительный закон должен быть записан явно.

4.9. Рекурсивные SML
Простейшая рекурсивная форма:

X_0=N

X_(k+1)=SML X_k

Например:

X_0=2

X_1=SML 2

X_2=SML(X_1)

X_3=SML(X_2)

и далее.

Здесь происходит принципиально важный переход.

Результат предыдущего SML становится одновременно:

новым основанием;

новым рангом;

новым числом внешних итераций.

Таким образом растёт уже не только значение.

Растёт мощность следующего генератора.

Можно также определить конечную рекурсивную конструкцию:

RSML(N,K)

где:

X_0=N

X_(k+1)=SML X_k

для:

k=0,...,K-1

Итог:

X_K

Подобная запись требует отдельного нормативного включения в будущую версию OTM-TN.

4.10. SML над SML
Вложенная форма:

SML(SML N)

интерпретируется изнутри наружу.

Сначала:

Y=SML N

Затем:

SML Y

То есть Y становится:

основанием;

рангом;

числом итераций

внешнего SML.

Важно отличать:

SML(SML N)

от:

X_(k+1)=SML X_k

Первая конструкция — конкретное двухуровневое вложение.

Вторая — рекурсивная схема, которую можно повторять произвольное заданное число раз.

Можно продолжить:

SML(SML(SML N))

и далее.

Для глубины вложения m можно концептуально ввести:

SML^[m](N)

но эта запись не является нормативной частью текущего OTM-TN и требует отдельного утверждения.

Основной смысл подобных конструкций:

фенотип нижнего генеративного уровня становится параметром более высокого генератора.

Именно этот механизм является одним из мостов:

от SML

к:

экспликационным иерархиям;

Изольдионике;

метакодонам;

Теории Ланумов.