Заметка о делении на ноль

Деление на 0 невозможно. В результате выходит число либо никакое (5 / 0 = X -> X * 0 = 5 -> 0 = 5), либо любое (0 / 0 = X -> X * 0 = 0 -> 0 = 0), в любом случае это неопределённость. Но что, если результат равен не просто X, а какому-то теоретическому числу X? Тогда I / 0 = X_{I}. То есть если ввести новый тип чисел — своего рода «меченые» объекты вроде X_{I}, у которых внутри «зашита» подсказка: при умножении на 0 они должны давать не 0, а исходное число I. И осторожно отделить эти числа от обычных, чтобы не ломать всю арифметику.

Для новых расширенных чисел сходу ломается дистрибутивность (a * (b + c) = a * b + a * c). Например, X_{5} * 0 <> X_{5} * (0 + ... + 0). Поскольку когда вводишь исключение, то старые правила не обязаны на нём работать «как есть» и многие правила теперь требуют свой «переходник» или расширение под операции с этими числами. В данном случае, скажем, если 0 раскладывается на n слагаемых, то перед умножением надо поделить «зашитое» число на n. И с рядом других оговорок дистрибутивность мы починили. При этом, например, не ломается логика элементарного сложения таких чисел: например, (X_{5} + X_{3}) * 0 = X_{8} * 0 = 8, или X_{5} * 0 + X_{3} * 0 = 5 + 3 = 8. Что в целом намекает на то, что их существование может быть не бессмысленным. Хотя нам пришлось бы либо сильно ограничить их использование, либо подвергать расширению всю математику.

Стоит напомнить, что математики прибегают к разным методам. Иногда вместо нуля берут бесконечно малое число (БМ), в результате деления на которое получают бесконечно большое число (ББ или [знак бесконечности]), а это фундамент нестандартного анализа, но это не то же самое, что деление на настоящий ноль. Также делить на ноль умеет математика Римана, тоже с перечнем жёстких оговорок, и Теория Колёс, где выражение (x - x) не всегда равно 0, по сути создавая альтернативную алгебру без попытки улучшить старую. В этом смысле описанный нами метод X_{I} - это попытка найти компромисс.

{статья в доработке/обрывки мыслей}