ОТМ. Сверхбольшие числовые системы

СРАВНИТЕЛЬНАЯ ТАБЛИЦА СВЕРХБОЛЬШИХ ЧИСЛОВЫХ СИСТЕМ


1. Как следует сравнивать системы сверхбольших чисел
Сверхбольшие числа нельзя корректно расположить в одну универсальную последовательность:

слабое -> сильное -> самое сильное

по одному названию нотации.

Следует различать:

конкретное число;

функцию;

семейство функций;

нотацию;

комбинаторный объект;

невычислимую функцию;

генеративный язык.

Например:

число Грэма

является конкретным конечным числом.

Быстрорастущая иерархия

является семейством функций.

Busy Beaver

является невычислимой функцией.

TREE(3)

возникает как конкретное конечное значение комбинаторной функции.

SML

в настоящей книге является предлагаемым классом генеративных операторов.

Поэтому сравнение должно быть типизированным.

14.1. Гугол и гуголплекс
Гугол:

10^100

то есть единица со 100 нулями.

Гуголплекс:

10^(10^100)

то есть единица с гуголом нулей.

Эти числа чрезвычайно велики в бытовом масштабе, но генеративно имеют очень простые описания.

В терминах настоящей книги они являются ярким примером:

огромного фенотипа при очень простом генотипе.

Однако их нотация сама по себе не содержит:

динамического ранга;

рефлексивности;

изменения закона;

метакомпозиции.

14.2. Гипероперации
Гипероперационная идея продолжает последовательность:

сложение;

умножение;

возведение в степень;

тетрация;

операции более высокого уровня.

Тетрация представляет повторное возведение в степень, то есть степенную башню заданной высоты. Разные авторские соглашения о нумерации гиперопераций могут отличаться, поэтому при строгом сравнении необходимо фиксировать конкретную конвенцию.

Основное преимущество гиперопераций:

повышение уровня самой арифметической операции.

В терминах ОТМ это ранний пример:

семантического подъёма.

Однако стандартная гипероперационная шкала в своей обычной форме является относительно регулярной и одномерной:

уровень операции задаётся внешним индексом.

14.3. Нотация Кнута
Стрелочная нотация Кнута использует количество стрелок для повышения уровня повторяемой операции.

Например:

a ; b

соответствует обычному возведению в степень,

а:

a ;; b

связано с тетрацией и степенными башнями.

Увеличение числа стрелок создаёт всё более высокие уровни итерации.

Ключевая сила нотации:

компактное управление уровнем операции.

Она чрезвычайно эффективна для записи огромных чисел.

Но стандартная запись Кнута сама по себе не предполагает:

самомодификации;

рефлексивного изменения количества стрелок в ходе одной конструкции;

кодонного генотипа;

операторной среды.

Конечно, такие механизмы можно определить внешне с использованием стрелочной нотации.

Но тогда они принадлежат уже метаязыку над Кнутом, а не базовой нотации.

14.4. Нотация Конвея
Цепная стрелочная нотация Конвея расширяет стрелочную идею, используя цепочки чисел, связанные стрелками, и является обобщением нотации Кнута.

Её преимущество состоит в высокой компактности и способности кодировать чрезвычайно быстрый рост относительно небольшой записью.

В сравнительном анализе важно различать:

длину цепочки;

значения элементов цепочки;

правила рекурсивного раскрытия.

По семантической организации цепи Конвея уже заметно ближе к генеративной записи, чем простая единичная степень.

Но их основная задача остаётся:

компактным заданием сверхбольших чисел,

а не описанием произвольной эволюционирующей операторной среды.

14.5. Система Штейнгауза–Мозера
Нотация Штейнгауза использует геометрические оболочки.

В классическом варианте:

число n в треугольнике означает:

n^n

число n в квадрате задаётся через n-кратное вложение треугольной операции,

а дальнейшие оболочки повышают уровень вложенности.

Мозер расширил идею на многоугольники более высокого порядка.

Эта система особенно интересна для ОТМ как ранний пример:

морфологии записи, кодирующей уровень операции.

Геометрическая оболочка играет роль метасимвола:

форма знака изменяет семантический уровень выражения.

Это отдалённо напоминает скобочный ранг OTM-TN, хотя формальные системы различны.

14.6. Число Грэма
В распространённом определении последовательность строится через стрелочную нотацию Кнута.

Первый член:

g_1 = 3 ;;;; 3

а каждый последующий использует предыдущий член как количество стрелок между двумя тройками.

Числом Грэма является:

g_64.

Для ОТМ особенно интересен принцип:

результат предыдущей стадии управляет уровнем оператора следующей.

Здесь возникает структурное родство с рефлексивной логикой:

VALUE

-> OPERATOR LEVEL

-> NEW VALUE

Но это родство не означает тождественности систем.

Число Грэма определено конкретной рекурсивной схемой.

ОТМ стремится выделить подобный механизм как один из возможных общих операторных паттернов.

14.7. TREE(3)
TREE(3) принципиально отличается от степенных нотаций.

Он возникает из конечной комбинаторики деревьев.

В соответствующей постановке рассматриваются конечные корневые деревья с метками, причём i-е дерево имеет ограничение на число вершин, а последовательность строится так, чтобы более раннее дерево не вкладывалось допустимым способом в более позднее. TREE(3) выражает максимальную длину подобной «плохой» последовательности для трёх меток. Формулировки Фридмана непосредственно связывают эту задачу с конечными деревьями и запретом сохраняющего метки вложения более ранних деревьев в более поздние.

Поэтому TREE(3) нельзя понимать как просто:

«ещё один уровень степенной башни».

Его огромность является следствием:

комбинаторной структуры;

условия запрещённого вложения;

глубоких логико-комбинаторных принципов.

Это другой тип генерации величины.

14.8. Быстрорастущие иерархии
Быстрорастущие иерархии представляют семейства функций:

f_alpha(n)

индексированных ординальными обозначениями.

Типичная схема имеет:

базовый уровень;

уровень-преемник, использующий многократную итерацию предыдущей функции;

предельный уровень, использующий фундаментальную последовательность для соответствующего ординала.

Это чрезвычайно важный переход.

Здесь изменяется уже не только:

число операций,

но:

индекс функции в трансфинитной иерархии.

При этом нужно помнить:

существуют разные конкретные варианты быстрорастущих иерархий;

результаты зависят от выбранной системы ординальных обозначений и фундаментальных последовательностей.

Поэтому выражение:

«быстрорастущая иерархия»

без дополнительных условий не обозначает одну-единственную функцию.

14.9. Busy Beaver
Функции Busy Beaver возникают из экстремального поведения машин Тьюринга фиксированного размера.

Их принципиальное отличие от перечисленных выше стандартных вычислимых нотационных систем заключается в невычислимости.

Для стандартной Busy Beaver-функции существует фундаментальное свойство:

она в конечном счёте превосходит любую вычислимую функцию.

Поэтому сравнение вида:

SML быстрее Busy Beaver

не является корректным для канонического вычислимого SML.

Если:

F(N)=SML(N)

является вычислимой функцией,

то стандартная Busy Beaver-функция в конечном счёте превосходит F.

Это принципиальная граница.

Практическая невозможность вычислить SML-фенотип

не означает:

теоретической невычислимости.

14.10. Обычные металогарифмы
Обычные металогарифмы в рамках предлагаемой ОТМ являются рангово-каскадными степенными конструкциями.

Их отличительными характеристиками могут быть:

динамическое основание;

динамический сублогарифм;

ранг;

внешняя итерационность;

законы перехода.

В отличие от классических сверхбольших нотаций, ОТМ проектируется не только как средство записи одного огромного числа, но и как язык управления:

параметрической архитектурой процесса.

При этом ОТМ является предлагаемой системой и требует дальнейшей формальной аксиоматизации.

14.11. Саморефлексивные металогарифмы
SML добавляет синхронизацию:

A=N

R=N

I=N

В каноническом случае один параметр одновременно определяет:

исходный объект;

внутреннюю глубину;

число внешних повторений.

Дополнительная сила SML проявляется тогда, когда его результат становится:

рангом;

итерационностью;

параметром другого SML;

параметром кодонной системы.

Таким образом SML интересен не только как генератор большого фенотипа, но и как:

генератор параметров других генераторов.

14.12. Изольдионы
Изольдионы относятся к предлагаемой системе Изольдионики.

Их предполагаемая особенность:

объект может порождаться:

одним;

несколькими;

многими

операторными кодонами.

Тогда существенны:

не только значение;

но и:

генотип;

кодонная структура;

законы композиции.

Следовательно, сравнивать Изольдионику со стрелочной нотацией только по скорости роста недостаточно.

Это объекты разных уровней концептуальной организации.

14.13. Ланумы
Ланум в предварительной Теории Ланумов рассматривается как объект, математическая идентичность которого может зависеть от:

фенотипа;

генотипа;

генома;

операторной среды;

экспликационного профиля;

трансволюционной истории.

Поэтому Ланум является не просто названием ещё более большого натурального числа.

Это проект нового типа генеративного математического объекта.

Теория Ланумов находится на концептуальной стадии и требует самостоятельной будущей аксиоматики.

14.14. Сводная сравнительная таблица
Система Основной тип Главный генеративный принцип Вычислимость типичных конечных конструкций Главная особенность
Гугол Конкретное число Одна степень Да Простой генотип, большой фенотип
Гуголплекс Конкретное число Вложенная степень Да Очень компактная запись
Гипероперации Семейство операций Повторение операции предыдущего уровня Да для конечных параметров Иерархия операций
Кнут Нотация Число стрелок задаёт уровень Да для конечной записи Очень компактный рост
Конвей Нотация Рекурсивные цепочки Да для конечных цепей Более высокое семантическое сжатие
Штейнгауз–Мозер Нотация Вложенные геометрические уровни Да для конечных конструкций Морфология как уровень операции
Число Грэма Конкретное число Предыдущий результат задаёт число стрелок Да в теоретическом смысле Динамика уровня оператора
TREE(3) Комбинаторное число Максимальная запрещающая вложения последовательность деревьев Конкретное конечное определение Комбинаторный, а не степенной источник роста
FGH Иерархия функций Ординально индексированная итерация Зависит от выбранного уровня/формализма Трансфинитная индексация
Busy Beaver Невычислимая функция Экстремум по останавливающимся машинам Нет как общая функция Превосходит любую вычислимую функцию в конечном счёте
ML Предлагаемый операторный класс Динамические степенные каскады Для базовых конечных классов — да Многопараметрическая генерация
SML Предлагаемый класс Синхронизация A, R, I Канонический конечный — да Саморефлексивная параметрическая плотность
Изольдионика Предлагаемый метаязык Многокодонный генотип Зависит от кодонов Генотипическая организация
Ланумы Предлагаемый класс объектов Генотип + среда + метаархитектура Зависит от будущего определения Генеративная идентичность объекта


МАТРИЦА СРАВНИТЕЛЬНОЙ МОЩНОСТИ НОТАЦИЙ
1. Что означает сравнительная мощность
Термин:

мощность нотации

не должен пониматься как одно число.

По крайней мере необходимо различать:

скорость роста;

семантическую плотность;

число независимых параметров;

динамичность;

рекурсивность;

рефлексивность;

способность изменять собственный оператор;

генотипическую выразительность;

экспликационный уровень.

Поэтому вводится:

профиль сравнительной мощности.

Он не является пока одной формальной метрикой.

Это многомерная таблица признаков.

2. Ограничение сравнительной матрицы
Для классических систем таблица описывает прежде всего их:

нативную семантику.

Например, используя язык общего программирования, можно заставить программу:

динамически менять число стрелок Кнута;

выбирать цепи Конвея;

строить разные гипероперации.

Но такая рефлексивность принадлежит:

внешней программе,

а не самой базовой стрелочной записи.

То же правило применяется ко всем системам.

15.1. Скорость роста
По скорости роста не существует одной универсальной шкалы для всех объектов.

Гугол и гуголплекс — конкретные числа.

Число Грэма — другое конкретное число.

TREE(3) — конкретное комбинаторное значение.

FGH — семейство функций.

Busy Beaver — невычислимая функция.

ОТМ и SML — предлагаемые классы операторов.

Следовательно, корректное сравнение роста требует сначала выбрать:

функции одного типа;

аргументы;

режимы;

асимптотический критерий.

Особенно важно:

канонический вычислимый SML не может асимптотически превосходить стандартную Busy Beaver-функцию, поскольку Busy Beaver в конечном счёте превосходит любую вычислимую функцию.

15.2. Семантическая плотность
Семантическая плотность характеризует:

сколько формально определённой генеративной структуры кодируется относительно короткой записью.

Высокую семантическую плотность имеют:

стрелки Кнута;

цепи Конвея;

FGH-индексы;

SML.

Но сравнивать её количественно можно только после фиксации:

алфавита;

грамматики;

макрооператоров;

правил кодирования.

Иначе сложную конструкцию можно искусственно назвать одной буквой.

15.3. Динамический ранг
В стандартных:

гуголе;

гуголплексе;

обычной единичной стрелочной записи

нет нативного понятия динамического ранга ОТМ.

В ОТМ:

R_next=F(R,X)

является самостоятельной конструкцией.

В SML ранг связан с N.

В расширенном SML он может изменяться.

У FGH имеется иная координата:

ординальный индекс уровня функции,

которую не следует автоматически отождествлять с рангом ОТМ.

15.4. Динамическая итерационность
Классические рекурсивные нотации активно используют итерацию.

Однако в ОТМ:

I

выделяется как самостоятельная типизированная координата.

Она может быть:

фиксированной;

динамической;

результат-зависимой;

задаваемой другим оператором.

Эта явная независимость R и I является специфической особенностью ОТМ.

15.5. Рекурсивность
Рекурсивность присутствует во многих мощных классических системах.

Она фундаментальна для:

стрелочных расширений;

цепей Конвея;

числа Грэма;

быстрорастущих иерархий.

Поэтому рекурсивность сама по себе не является уникальным свойством ОТМ.

Специфика ОТМ заключается в попытке сочетать рекурсию с:

динамическими параметрами;

рангом;

итерационностью;

модификаторами;

рефлексивным управлением.

15.6. Рефлексивность
В терминологии настоящей книги рефлексивность означает использование состояния системы для управления собственным будущим состоянием.

Отдельные классические конструкции имеют структурно родственные механизмы.

Например, при определении числа Грэма предыдущий член определяет количество стрелок следующего.

Но ОТМ стремится сделать подобный механизм:

общим;

типизированным;

многопараметрическим.

15.7. Саморефлексивность
Канонический SML:

A=R=I=N

использует один параметр в нескольких структурных ролях.

Это и называется в книге:

саморефлексивной синхронизацией.

Стандартные классические нотации обычно не выделяют именно такую тройную координатную синхронизацию как отдельный базовый объект.

Это не означает отсутствия любых самосвязанных параметров в классической математике.

Речь идёт только о нативной архитектуре конкретной нотации.

15.8. Самомодификация
Большинство классических нотаций задают фиксированные правила раскрытия.

Они могут быть чрезвычайно рекурсивными, но:

сама грамматика не переписывается во время вычисления одного выражения.

В расширенной ОТМ вводится возможность:

SYSTEM_(k+1)=Transform(SYSTEM_k,STATE_k)

Это уже самомодификация операторной архитектуры.

Однако такая возможность требует особенно строгих ограничений, иначе система превращается в общий язык программирования.

15.9. Алгебраические комплексы
AC

в ОТМ позволяет объединять:

модификаторы;

законы;

порядки;

вложенные структуры.

У классических нотаций могут существовать внешние композиции, но понятие AC не является их нативной частью.

Поэтому данная координата измеряет:

не числовую скорость,

а выразительность управляющего языка.

15.10. Кодонность
Кодонность означает способность рассматривать сложный оператор как:

функционально законченную семантическую единицу,

предназначенную для композиции внутри генотипа.

В ОТМ:

SML

может играть роль кодона.

В Изольдионике кодонность становится основной организационной идеей.

Классические нотации можно инкапсулировать в кодоны внешнего языка, но сами по себе они обычно не вводятся как элементы математического генома.

15.11. Генотипическая структура
Генотипическая структура означает явное различение:

способа порождения

и:

полученного фенотипа.

Классическая формула, конечно, тоже может рассматриваться как описание способа порождения числа.

Но в предлагаемой Изольдионике это различие становится:

формальной частью идентичности объекта.

То есть два равных числа с разными генотипами могут рассматриваться:

как численно равные,

но генотипически различные.

15.12. Метасемантика
Метасемантика начинается там, где язык управляет:

не только числами;

но и:

операторами;

правилами;

композициями;

генераторами операторов.

Некоторые классические системы уже содержат сильные метаэлементы.

Например:

FGH использует уровень функции, индексируемый ординальными обозначениями.

Но Изольдионика предполагает сделать метаоператорность общей архитектурой языка.

15.13. Экспликационный ранг
Экспликационный ранг не является традиционной характеристикой классической нотации.

Он вводится в настоящем проекте как:

минимальный уровень языка, необходимый для полного представления объекта при фиксированных правилах и горизонте.

Например:

гугол имеет очень небольшой символический генотип,

несмотря на 101 цифру.

Гуголплекс уже практически неэксплицируем цифрово, но элементарно записывается символически.

Таким образом числовая величина и ER могут быть независимы.

15.14. Глубина языка представления
Последняя координата характеризует число уровней между:

компактным описанием

и:

полностью раскрытым объектом.

Например:

SML N

можно раскрывать:

в параметры;

в ранговые операции;

в последовательные степенные переходы;

в синтаксическое дерево;

в цифровой фенотип.

Для генотипа Ланума лестница потенциально ещё глубже:

META-GENERATOR

-> GENOME

-> GENOTYPE

-> OPERATOR STRUCTURE

-> PHENOTYPE

Именно поэтому глубина языка становится самостоятельной характеристикой.

3. Сводная матрица нативных возможностей
Условные обозначения:

+

характеристика выражена существенно;

~

присутствует ограниченно, косвенно или в иной форме;

-

не является нативной характеристикой базовой системы;

?

требует будущей формализации.

Система Быстрый рост Дин. ранг ОТМ Дин. I Рекурсия Рефлексия SML-саморефл. Самомодификация AC Кодоны Генотип Метасемантика
Гугол — — — — — — — — — ~ —
Гуголплекс ~ — — — — — — — — ~ —
Гипероперации + — ~ + — — — — — ~ ~
Кнут + — ~ + — — — — — ~ ~
Конвей + — ~ + ~ — — — — ~ +
Штейнгауз–Мозер + — + + — — — — — ~ +
Число Грэма + — + + + — — — — + +
TREE(3) + — — ~ — — — — — + ~
FGH + — + + ~ — — — — + +
Busy Beaver + — — ~ — — — — — + ~
Обычная ОТМ + + + + + — ~ + ~ + +
SML + + + + + + ~ + + + +
Изольдионика ? + + + + + + + + + +
Теория Ланумов ? + + + + + + + + + +
Эта матрица не является доказательством превосходства одной системы над другой.

Она показывает различие типов выразительной организации.

4. Почему нельзя складывать признаки в один балл
Можно было бы присвоить:

+ = 1

и просуммировать столбцы.

Но такой результат был бы почти бессодержателен.

Например:

Busy Beaver

получила бы мало «функций языка»,

хотя обладает фундаментальной невычислимой скоростью роста.

Изольдионика могла бы получить много структурных признаков,

но это не доказывало бы превосходства её числового роста.

Следовательно:

сравнительная мощность должна оставаться многомерной.

5. Четыре основных вида мощности
Полезно различать:

Числовую мощность
Как быстро растёт результат?

Генеративную мощность
Какой класс процессов может быть задан?

Семантическую мощность
Сколько структурных функций может выполнять одна единица записи?

Метаязыковую мощность
Может ли система создавать или изменять собственные операторы и способы композиции?

Разные системы сильны по разным координатам.

6. Busy Beaver как предельный контроль
Busy Beaver особенно полезен как методологический ограничитель.

Если некоторая новая система задаёт обычную вычислимую функцию:

F(N)

нельзя утверждать, что:

F

асимптотически быстрее Busy Beaver.

Стандартная Busy Beaver-функция в конечном счёте превосходит каждую вычислимую функцию.

Поэтому заявления о «предельной скорости» должны всегда уточнять:

класс сравниваемых вычислимых систем.

7. TREE(3) как контроль другого типа
TREE(3) демонстрирует другую методологическую проблему.

Огромная величина может возникать не из:

арифметической башни;

стрелок;

каскада степеней,

а из:

комбинаторного ограничения на конечные структуры.

Следовательно, теория сверхбольших чисел не сводится к арифметическим нотациям.

8. FGH как контроль иерархий
Быстрорастущие иерархии показывают, что уровень генератора может индексироваться:

не натуральным числом,

а:

ординальной структурой.

Это выводит сравнение далеко за рамки обычной глубины степенной башни.

Для ОТМ это означает:

ранг не следует объявлять универсальным измерителем всех возможных иерархий роста.

Он является координатой конкретного формализма.

9. Что ОТМ добавляет к сравнению
Основная заявка ОТМ состоит не в утверждении:

ML > Conway

или:

SML > TREE(3)

или:

SML > Busy Beaver.

Такие утверждения без строгого выбора функций и параметров либо не определены, либо могут быть просто ложными.

Более содержательная заявка:

ОТМ выделяет дополнительные структурные координаты:

ранг;

внешнюю итерационность;

динамику параметров;

рефлексивность;

модификацию;

операторную трансволюцию.

То есть предметом сравнения становится уже:

не только величина числа, но архитектура генератора.

10. Что добавляет Изольдионика
Изольдионика переносит анализ ещё выше.

Её предполагаемая единица:

не отдельная нотация,

а:

кодон.

Тогда сравниваться могут:

системы кодонов;

генотипы;

геномы;

метакодоны.

Таким образом классическая нотация сама может стать одним кодоном более высокого языка.

Например концептуально:

KNUTH_CODON

CONWAY_CODON

SML_CODON

могут существовать внутри одной метасистемы.

Но такие обозначения пока не являются нормативным языком Изольдионики.

11. Что добавляет Теория Ланумов
Теория Ланумов предполагает ещё один переход.

Основным объектом становится не просто:

число

и даже не только:

генотип,

а целая генеративная сущность со своей:

архитектурой;

средой;

историей;

экспликационным профилем.

Поэтому Ланум может сравниваться:

не по одной оси размера,

а по многомерному паспорту.

12. Итоговый профиль сравнительной мощности
Общая схема:

POWER_PROFILE = {

numeric growth,

semantic density,

parameter dynamics,

rank dynamics,

iteration dynamics,

recursion,

reflexivity,

self-reflexivity,

self-modification,

composition,

metacomposition,

genotype structure,

explication rank,

language depth

}

Это не утверждённая числовая метрика.

Это карта координат.

13. Главный вывод Приложений 13–15
Переход от классической гугологии к ОТМ не следует описывать как:

маленькие числа

-> большие числа

-> ещё большие числа

-> SML

Гораздо точнее:

NUMBER

-> NOTATION

-> OPERATOR

-> OPERATOR HIERARCHY

-> DYNAMIC OPERATOR

-> CODON

-> GENOTYPE

-> META-GENERATOR

Классические системы сверхбольших чисел демонстрируют исключительную силу:

итерации;

рекурсии;

операторных иерархий;

комбинаторных принципов;

теории вычислимости.

ОТМ предлагает добавить к этому исследованию:

многопараметрическую операторную динамику;

различение ранга и внешней итерации;

рефлексивное управление;

саморефлексивную синхронизацию;

модификационные комплексы;

генотипическую интерпретацию.

Изольдионика расширяет предмет:

до систем математических кодонов.

Теория Ланумов:

до высокоуровневых генеративных объектов.

Поэтому итоговое сравнение должно строиться не вокруг вопроса:

«какая запись даёт самое большое число?»

а вокруг более общего вопроса:

«какой тип генеративной структуры способен выразить данный математический язык и на каком семантическом уровне он это делает?»

Именно этот переход:

от соревнования величин

к:

сравнительной теории генераторов

является одним из основных направлений дальнейшего развития ОТМ.