Парадокс исчезающего квадрата

Тот самый «парадокс исчезающего квадрата» (часто его связывают с числами Фибоначчи — 8, 5, 13 как раз из этой последовательности). Давай разберём дословно и по делу, что там происходит с площадями и почему «теряется» квадратный сантиметр, учитывая и масштаб 1:2.

Площади в реальных размерах
Квадрат со стороной 8 см: площадь
8
;
8
=
64
 
см
2
8;8=64 см
2
 .
Прямоугольник со сторонами 5 см и 13 см: площадь
5
;
13
=
65
 
см
2
5;13=65 см
2
 .
Получается «парадокс»: из одних и тех же частей квадрата как будто собирают прямоугольник, а площадь становится больше на 1 см;.

В чём подвох (геометрическая суть)
В этой головоломке квадрат разрезают на несколько фигур (обычно два прямоугольных треугольника и две трапеции/четырёхугольника). Когда их перекладывают в прямоугольник 5;13, кажется, что всё стыкуется идеально, но это иллюзия.

Ключевое: гипотенузы треугольников и наклонные стороны других фигур не лежат на одной прямой. Углы наклона чуть отличаются:

У треугольника с катетами 3 и 8 тангенс угла равен
3
8
=
0,375
8
3
;
 =0,375.
У фигуры с катетами 2 и 5 (или аналогичной) тангенс равен
2
5
=
0,4
5
2
;
 =0,4.
Поскольку углы разные, «диагональ» прямоугольника не является прямой линией — она слегка изломана. Между частями образуется тонкий параллелограмм (почти невидимый на рисунке), и именно в нём «прячется» тот самый лишний 1 см;: он не добавляется, а перераспределяется из видимой площади в этот микрозазор.

Про масштаб 1:2
Масштаб 1:2 означает, что на чертеже размеры в 2 раза меньше реальных. Но это не меняет сути парадокса:

На чертеже квадрат будет со стороной 4 см (потому что
8
:
2
=
4
8:2=4), его площадь на бумаге
4
;
4
=
16
 
см
2
4;4=16 см
2
 .
Прямоугольник на чертеже будет 2,5 см на 6,5 см (
5
:
2
5:2 и
13
:
2
13:2), площадь
2,5
;
6,5
=
16,25
 
см
2
2,5;6,5=16,25 см
2
 .
Разница на чертеже — 0,25 см;, что как раз соответствует 1 см; в реальном масштабе (потому что площади масштабируются с коэффициентом
1
:
4
1:4, а не
1
:
2
1:2). То есть «исчезновение» или «появление» площади сохраняется пропорционально.