Простые числа

Теория о распределении, нахождении простых чисел и прогнозирование их.

Тривиальное доказательство  непричастности дзета-функции Римана в функции распределения больших "простых чисел" и в бесконечности.

«На всякого мудреца довольно простоты»
(Русская пословица)

Математика наука строгая. Каждая гипотеза или теорема требует доказательства. Иногда этот процесс растягивается на столетия. Это часто становится причиной радостных событий: Нобелевские премии, высокие награды. Правда, Нобель математиков не жаловал из личной неприязни к одному из них, который увёл у него жену. Но для математиков установлены награды за выдающиеся работы по доказательству теорем века. Иногда возникают коллизии, как с доказательством теоремы Пуанкаре. Когда от первых идей проходят тысячелетия, естественно, последующие исследователи опираются на опыт предыдущих. Что-то используют за основу и отталкиваются от этого. Некоторые постулаты подвергают сомнениям. Некоторые теории не выдерживают критики. Мой опыт в постижении истины тоже коснулся трудов некоторых знаменитостей. Эпиграф в начале моего повествования с долей иронии, прежде всего к самому себе.

Простые числа — числа, которые делятся только на самих себя и ещё на 1 (например, 2, 3, 5, 7, 11, 13). Все остальные действительные числа называются составными, они могут делиться на любые другие числа без остатка. Двойка – единственное чётное простое число.

Простые числа интересовали многих математиков ещё за сотни лет до нашей эры, начиная с Пифагора. Евклид доказал их существование в бесконечном множестве, в III веке до нашей эры. Эратосфен 200 лет до нашей эры предложил алгоритм нахождения простых чисел – «Решето Эратосфена».

В XVI веке французский монах Марен Мерсен предложил формулу нахождения простых чисел: Р=2^р - 1, где р – тоже простое число. Простое число в показателе степени, как источник бесконечного множества простых чисел. Это известно как «Критерий Мерсена», для простоты. Этой формулой пользуются для вычисления самых больших простых чисел. Пятидесятое число Мерсена: Р=282589933. Следующее – 51-ое вычислили по формуле: Р=2^282589933 - 1. Получилось число из 25 миллионов знаков! Между этими числами существуют миллиарды, триллионы неведомых простых чисел.

Чтобы подтвердить эту формулу, потребовалось 300 лет и использование компьютерных технологий. Патрик Ларош 7 декабря 2018 года вычислил это так называемое СБПЧ (самое большое простое число). За это 35 летнему айтишнику дали награду 3000$. Это число имеет познавательный смысл. Могу привести алгоритм, по которому СБПЧ и любое ПЧ сделать в разы больше. Во - вторых: простым алгоритмом определить все близлежащие простые числа.  Можно на примере 50-го числа Мерсена.

Математики в 19-м веке перестали пытаться прогнозировать местонахождение простых чисел с абсолютной точностью, а только рассматривают феномен простых чисел в целом. Функция распределения простых чисел Гаусса Р(х) не даёт формул для нахождения п.ч., она известна только как график. Функция распределения п. ч. показывает количество п. ч. в ряду натуральных чисел. Множество теорем о распределении п.ч. стремились добиться меньшей погрешности в приближении к реальному количеству п.ч.

Дзета –функция впервые начала использоваться Эйлером, как способ изучения простых чисел. В 1859 году немецкий математик Бернгард Риман задался целью: найти закономерность, как именно среди обычных чисел распределены простые числа. Он сформулировал гипотезу: «Дзета-функция Римана», которая стала одной из главных нерешённых задач в истории науки. В основе дзета-функции Римана лежит дзета-функция Эйлера, где показатели степени s знаменателей суммы ряда дробей не действительные, а комплексные числа, состоящие из действительной и мнимой части, s = q + it.  В графическом виде, комплексные числа расширяют одномерную числовую прямую в двухмерную числовую плоскость, называемую комплексной плоскостью. Вещественную часть откладывают по оси х, а мнимую – по оси у. В результате, функция распределения простых чисел Римана, с помощью нетривиальных нулей дзета-функции, с минимальной погрешностью аппроксимирует и приближается к ступенчатой функции распределения простых чисел Р(х), в области малых чисел.

С комплексными числами мне довелось столкнуться в 1976 году, на третьем курсе НЭТИ, радиотехнический факультет. Была такая дисциплина ОТЦ (основы теории цепей). Курсовая работа по расчету сложных линейных электрических цепей, с емкостными и индуктивными нагрузками, выполнялась в комплексных числах. Многочисленные преобразования из алгебраической форы в тригонометрическую (и наоборот), их сложение и умножение, производились с помощью логарифмической линейки. Могу сказать только одно: сколько раз пересчитывал, столько раз получал новые результаты. Велика вероятность ошибиться. В XIX веке, наверное, уже пользовались математическими таблицами Брадиса.

В течение 166 лет математики пытаются доказать гипотезу Римана. Она считается одной из шести недоказанных математических теорем века. Надеюсь, и моя теория внесёт ясность в понимание сущности гипотезы Римана. Привожу эти примеры, чтобы показать в какие научные дебри могут погрузиться гениальные математики в поисках «простой» истины. Как утверждают, на гипотезе Римана сегодня строится вся современная компьютерная безопасность. Алгоритмы шифрования, которые защищают банкноты, банковские переводы и другую важную информацию, опираются именно на свойства простых чисел. Обоснование применения теоремы звучит так: «Если теория верна, то тогда …» Поэтому так важно доказать или опровергнуть её.

Если это так актуально, решил и я внести свою лепту в понимание природы «простых чисел». Свою теорию я излагаю в трёх Теоремах .

Теорема 1. Критерий для «простоты» чисел. Первый признак: Простые числа нечётные, не делятся на три (число три – исключение). 2.Числа с цифрой 5 в первом разряде исключаются, из простых (кроме числа 5). 3. Числа, отвечающие этим условиям, проверяются делением на 7. Если делятся – исключаются из простых (число 7 – исключение).
Таких чисел 39 на первую тысячу натуральных чисел, которые не являются «простыми числами», но по первому признаку – не делятся на 3. В них есть некоторая стабильная система чередования окончаний - первых разрядов. Как правило, они проявляются с интервалом 14 и 28.

  7,   49,   77,   91/ 119, 133, 161, 203/ 217, 259, 287, 301/ 329, 343, 371, 413/
427, 469, 497, 511/ 539, 553, 581, 623/ 637, 679, 707, 721/ 749, 763, 791, 833/
847, 879, 917, 931/ 959, 973, 1001, 1043.

Метод расчёта составных чисел, делящихся на 7, но не делящихся на 3:
В нужном диапазоне чисел находим «опорные» числа. Это нечётные числа,  делящиеся на 21. Число 21 – составное число, произведение простых чисел 3 и 7. Опорные числа – ряд нечётных чисел (может быть до бесконечности), кратные 21, но с интервалом 42. При вычислении, можно суммировать или вычитать 42 от одного опорного к другому. Искомые числа находятся на дистанции 14, от опорного, в большую и меньшую сторону. Таким образом, вычитая или прибавляя, к опорному, число 14, получаем числа, не являющиеся простыми, числа делящиеся на 7. Для наглядности, составляем таблицу.

Теорема 2. Древо V . Простой алгоритм вычисления всего бескрайнего поля простых чисел: Чётное число V умножить на 3, затем прибавить или отнять единицу – обязательно получатся парные простые числа. Исключение – если одно из них оканчивается на 5, в первом разряде, или делится на 7.
Общая формула: P = V x 3 +/- 1.

Доказательство: Множество чётных натуральных чисел обозначим латинской буквой V. Каждое второе число чётное. После умножения любого чётного числа на цифру 3, получаем число с наименьшими общими делителями 2 и 3. Прибавляя или отнимая единицу, тем самым вводим опцию «запрет» на деление числа на 2 и на 3. Числа, делящиеся на 5 очевидны – исключаются. Редкие нечётные числа, делящиеся на 7, проверяются и тоже исключаются.

Теорема 2, к тому же,  доказывает теорию парных простых чисел. «Простые близнецы»  - числа (5, 7), (11, 13), (17, 19), (23, 25) …, но 25 – число не простое, а составное. Если среднее чётное число, образующее пару «близнецов», оканчивается на 4 или 6, то одно из них составное, которое делится на 5.
Проверим статистику распределения чисел отвечающих первому признаку «простоты », на основе V = 120 первых чётных чисел. Общая формула: Pn = Vn х 3 +/- 1.  N – порядковый номер пары нечётных чисел. V – последовательность чётных чисел. Пример: 2 х 3 +/- 1 = 1_ 5/7 .  Первые два простых числа 2 и 3 этой формулой не охватываются.

1_   5/7.;  2_ 11/13; 3_ 17/19; 4_ 23/25; 5_ 29 /31; 6_ 17/19; 7_  41/43; 8_ 47/49.; 9_ 51/53;  10_ 59/61; 11_ 65/67; 12_ 71/73; 13_ 77./79; 14_ 83/85; 15_ 89/91.; 16_ 95/97; 17_ 101/103; 18_ 107/109; 19_ 113/115; 20_ 119./121; 21_ 125/127; 22_ 131/133.; 23_ 137/139; 24_ 143/145; 25_ 149/151; 26_ 155/157; 27_ 161./163; 28_ 167/169; 29_ 173/175; 30_ 179/181; 31_ 185/187; 32_ 191/193; 33_ 197/199; 34_ 203./205; 35_ 209/211; 36_ 215/217.; 37_ 221/223; 38_ 227/229; 39_ 233/235; 40_ 239/241; 41_ 245/247; 42_ 251/253; 43_ 257/259.; 44_ 263/265; 45_ 269/271; 46_ 275/277; 47_ 281/283; 48_ 287./289; 49_ 293/295; 50_ 299/301.; 51_ 305/307; 52_ 311/313; 53_ 317/319; 54_ 323/325; 55_ 329./331; 56_ 335/ 337;  57_ 341/343.; 58_ 347/349; 59_ 353/355; 60_ 359/361.

Точкой помечены числа кратные семи. Получили: 60 пар нечётных чисел отвечающих первому признаку «простоты», в диапазоне до числа 361. Первые 120 чисел «решета Эратосфена» абсолютно коррелируются с моей теорией.
Сделаем выборку с 20 по 60 пары чисел в диапазоне 119 – 361. Это 243 числа. Имеем  41 пара нечётных чисел = 82, соответствующих первому признаку простоты. Из них 16, которые делятся на 5. 10 чисел делятся на 7. Количество простых чисел находим 82 – 16 – 10 = 56. От 243 чисел это составит 23,045%.
В «решете Эратосфена» из первых 120 чисел «простые» составляют 25%.  Показательно для сравнения количественного соотношения простых чисел в начале ряда натуральных чисел и в дальнейшем.

Мы имеем достаточно материала, чтобы описать природу и функцию распределения простых чисел Р (Х) или Р (N). Кривая ступенчатой функции в самом её начале – это восходящая из начала координат под углом в 45*. В начале функции дифференциал её ступенчато меняется от d =1, d = 0,5, d = 0,25. По графику функции распределения не сложно вычислить дифференциалы (приращения) в каждой точке простого числа. Их 30 до  N = 120, что составляет 25%. Вычислил, но приводить не стал. Среднее значение приращения функции Р (N) стабилизируется на уровне d = 0,23045.

За пределами N = 120 функция обретает регулярную периодичность. В бесконечность идёт зигзагообразная упорядоченная последовательность распределения простых чисел с определённой периодичностью. Осью распределения, в бесконечности, является прямая Р (N). Формула её Р = 0, 23045 х N. Её же можно считать осью симметрии зигзагообразной функции распределения простых чисел от нуля до бесконечности.

Вторая теорема опровергает абсурд «Гипотезы о простых близнецах» описанный на канале «инженерные знания».
«История гипотезы насчитывает более двух столетий. В XVIII веке математики уже задумывались о регулярности простых чисел. Прорыв произошёл в 2013 году. Математик Йео Цзиньтянь сделал сенсационное открытие: «Существуют бесконечно много пар простых чисел, различающихся на не более 70 миллионов.» Да, 70 миллионов - это не 2, но прорыв был историческим. Впервые показано, что разброс простых чисел подчиняется некоторым строгим законам, и мы движемся к доказательству гипотезы близнецов. После этого коллективы математиков постепенно уменьшили разрыв до 246. Каждый новый шаг сокращает дистанцию до золотого числа 2, которое сделает гипотезу доказанной.»

Вторая Теорема доказывает теорию близнецов определённо и не в интервалах 70 миллионов чисел. Действительно, разброс простых чисел подчиняется строгим законам, но нельзя опрометчивые прогнозы обращать в прорыв и сенсационные открытия.

Вычислил пять пар «простых близнецов» (по первому признаку – не делятся на 3), сразу за пределами 50-го числа Мерсена, причём, в одном интервале из 30 чисел.
 
Привожу пример: 50-ое = 282589933, образовано из числа на 1 больше 282589932 – "среднее число", назовём его. (Для моей теории число 282589934 не подошло бы.) Прародитель его в 3 раза меньше = 94196644. Следующие большие чётные числа прародителей: 94196646; 94196648; 94196650; 94196652; 94196654. Помножим числа на 3, получим 5 ветвей: 282589938; 282589944; 282589950;  282589956; 282589962. На каждой ветви по паре простых близнецов, с разностью 2.  Можете самостоятельно вычислить первые четыре. Пятая пара: среднее число 282589962. Р9 = 282589961 / Р10 =  282589963. Если делить на 3 парные простые числа, то у большего числа всегда остаток (3) – три в периоде после запятой, а у меньшего – (6). 282589963 - 282589933 = 30. Десять чисел с признаками «простых» в интервале тридцати. Это 33,3 %. И это закономерность.

Вначале предлагал умножить СБПЧ в разы. Очень просто получить ветвь (или продлить сколько угодно ветвь) если помножить чётное "серединное число" на 3 или на 6.

Пример: 282589932 х 3 = 847769796. Р1 = 847769795(исключить – делится на 5) / Р2 = 847769797 (тоже исключается т.к. делится на 7). Попробуем увеличить в 6 раз. 282589932 х 6 = 1695539592. Р1 = 1695539591 / Р2 = 1695539593. Проверка показала, что это – пара простых «близнецов», которые в диапазоне в 6 раз больше 50-го числа Мерсена.  Пара простых близнецов Р1 и Р2 в области чисел 10^10. Что и требовалось доказать.

На основании статистических исследований можно определить количественное распределение простых чисел в общей массе больших натуральных чисел.

Продолжим исследование простых чисел за пределами 50-го числа Мерсена. Гаусс впервые ввёл термин «первообразные корни простых чисел». Мы же воспользуемся этим термином в своей теории, для чётных чисел, что раньше называл «среднее число», образующее пару или одно простые числа, вычитанием или прибавлением единицы . В ряду первообразных корней, последующее первообразное число больше предыдущего на 6.
 
Теорема 3. Из трёх соседних чётных чисел, только одно является первообразным, которое делится на 6.

По этому принципу составляем таблицу «первообразных», в диапазоне от 282589902 до 282590586, это 684 числа. Чётных чисел будет половина = 342. Первообразных будет одна треть, взял 115 чисел. Получается три параллельных ветви чётных чисел, средняя из них – первообразные корни простых чисел. Нечётные простые числа и числа, кратные 3 и 7,  распределятся вблизи первообразных, на границе двух других чётных рядов. Их общее количество будет 115 х 2 = 230.

Образно можно представить распределение простых чисел, как продольные полосы на тыкве. Чередующиеся тёмные полосы - это ряды чётных чисел, а рябь между ними - простые числа, возле "первообразных" и другие нечётные. Главное - полос должно быть чётное количество (мои тыквы 10 полосные). На этом основании я бы назвал Теорему 3 – «Тыква V». Существуют же «Решето Эратосфена», «Поле Римана». «Тыква V» украсила бы этот триумвират XXI века.

Итак, составил таблицу. Посчитал числа нечётные, делящиеся на 5 (образуются из чётных, оканчивающихся на 4 и на 6). Таких – 46. Вычислил из остальных числа кратные 7. Таких – 26. Количество простых чисел 230 – 46 - 26 = 158. Процент 158 от 684 вычислим. Получили = 23,099%.

«Решето Эрастофена», в области малых чисел, имеет 25% простых чисел. За пределами 120 числа, 23,045% простых чисел. В районе 50-го числа Мерсена плотность распределения простых чисел равна 23,099 %.

Первая теорема: «Критерий простоты» позволяет простым алгоритмом «высветить» простые числа в любом бескрайнем пространстве действительных чисел. Статистический анализ показал, что в множестве действительных чисел, в диапазоне 10^9, простые числа составляют примерно 23,1%.

Моя теория коррелируется с «Решетом Эратосфена», с «Критерием Мерсена». Теоремы – как телескоп в бескрайнем океане чисел позволяют разглядеть или сгенерировать простые числа.
 
В настоящее время известны количественно простые числа Р, для чисел Х до 10^14.
 
X / P: 10^8 / 5761455; 10^9 / 50847534; 10^10 / 455052511; 10^11 / 4118054313; 10^12 / 37607912018; 10^13 / 346065536839; 10^14 / 3204941750802.

Реальным подтверждением гипотезы могла бы быть проверка «простых» числовых рядов Римана, с помощью доказанных мной теорем. Но рядов простых чисел Римана не существует в природе. Его гипотеза даёт количественное распределение простых чисел в общем объёме натуральных чисел. Если представленное распределение определено на основе «дзета-функции Римана», то сделаем сравнение. Посчитаем процентное содержание простых чисел для  диапазона натуральных чисел  Х = 10^9 это будет соответствовать Р = 5,08%
 

Мой анализ в диапазоне 50-го числа Мерсена показал фактическое количественное распределение простых чисел в диапазоне Х = 10^9 / Р = 23,099%.   Это в 4,55 раз больше Заявленного распределения. Распределение простых чисел за пределами N = 120 стабилизируется в пределах Р = 23,045% и остаётся приблизительно таким до бесконечности.

Своим "инструментарием" готов перепроверить Распределение простых чисел Римана в любом диапазоне натуральных чисел. Если гипотеза Римана не состоятельна в функции распределения простых чисел, действенными средствами, в настоящее время, являются только "Решето Эратосфена" и "Критерий Мерсена".

Моя теория подтверждается и в области больших чисел. В пределах погрешности выборки диапазона натуральных чисел, функция  распределения варьируется  23,045% - 23,099%.

Делаю вывод: Гипотеза "Дзета-функция Римана" моей теорией и Теоремами опровергается! Практическое её применение не целесообразно!

Дело не в числах, господа! А в цифрах. Это свойства бесконечного числового ряда натуральных чисел, обусловленные цифрами. Числа, в любом диапазоне, имеют строгую периодичность, описанную мной. Например: Чётные числа чередуются с нечётными; Первообразные корни простых чисел чередуются с разностью 6; В числах, соответствующих первому критерию "простоты", оканчивающиеся на 5 чередуются через 20, кратные 7 - через 14 и 28; парные простые - с разностью 2. Эти свойства характерны в любом бескрайнем диапазоне натуральных чисел. Узор полос на тыкве лучше линейных графиков и комплексных площадей, наглядно иллюстрирует регулярность распределения простых чисел. Эту абстрактную философию нужно принять!

Многие IT компании, «дата-центры», в настоящее время, занимаются оказанием услуг банкам и другим учреждениям по шифрованию и генерированию кодов на основе простых чисел. Моя теория и Теоремы – действенный и доступный инструмент, с довольно простыми алгоритмами, не требующие сложной вычислительной техники. Предлагаю принять Теорию за основу и повсеместно пользоваться.

20.10.2026 г.