Логарифм и МЫ

Логарифм и МЫ

Логарифм Вслух
Логарифм Легко
Логарифм Трудно



Логарифм Вслух

Решение задач про логарифм начинает
устное буквальное определение вслух:

Логарифм: в какую степень возвести

Рассчитаем в excel логарифм 32 по основанию 2

Подсказка формулы excel Log 2 32 =LOG(32;2) = 5
создаёт устное выражение

В какую степень возвести 2 чтоб получить 32 ?
в 5-ю степень

Показывает каждое значение внутри других уравнений

Например видя Log 5 125 похожее на Log 2 32

Понимаем: как в подсказке =LOG(32;2) = 5
получаем =LOG(125;5) = 3

Рассуждая про Log 5 125
в какую степень возвести 5 чтоб получить 125 ?
в 3-ю степень

Видя похожее на Log 2 32 = 5
уравнение Log a 125 = 3

В какую степень возвести a чтоб получить 125 ?
в 3-ю степень

Алгоритм вида 2 = 32 ^ (1/5)
тогда a = 125 ^ (1/3) = 5

Видя Log 5 b = 3
в какую степень возвести 5 чтоб получить b ?
в 3-ю степень
тогда b = 5 ^ 3 = 125

Произвольная задача      Log a b = 7

В какую степень возвести a чтоб получить b ?
в 7-ю степень

Вспоминаем простейшее Log 2 32 = 5
Применяем задание:    Log a b = 7

Рассуждаем:      2 = 32 ^ (1/5) & 32 = 2 ^ 5
Решено за минуту: a = b ^ (1/7) & b = a ^ 7



Логарифм Легко

Ежегодно нечто изменяется кратно

? Через какое КОЛИЧЕСТВО лет
нечто даст РОСТ в нужный МАСШТАБ ?

МАСШТАБ равен: РОСТ в степени КОЛИЧЕСТВО

МАСШТАБ = РОСТ ^ КОЛИЧЕСТВО

КОЛИЧЕСТВО: в какую степень возвести РОСТ
чтобы получить МАСШТАБ

ЛОГАРИФМ: в какую степень возвести РОСТ
чтобы получить МАСШТАБ

Excel формула: КОЛИЧЕСТВО = ...

=LOG(МАСШТАБ;РОСТ)

Пример: нечто ежегодно растёт в 2 раза

? Через сколько лет
нечто вырастет в 32 раза ?

МАСШТАБ = РОСТ ^ КОЛИЧЕСТВО

32 = 2 ^ КОЛИЧЕСТВО

КОЛИЧЕСТВО = LOG(МАСШТАБ;РОСТ)

=LOG(32;2)
= 5

Ответ: через 5 лет



Пример: за 12 лет инфляция
обесценила деньги в 9 раз

? Какова была инфляция ежегодно ?

? Каким должен быть РОСТ
чтобы за 12 ЛЕТ нечто выросло бы
в МАСШТАБ в 9 раз ?

РОСТ = МАСШТАБ ^ (1 / ЛЕТ)

РОСТ = 9 ^ (1 / 12)
РОСТ = 1,2 = 20 % в год

Проверка: = 1,2 ^ 12 = почти 9

Задача: если инфляция средняя 20 % в год:
через сколько лет деньги обесценятся в 9 раз?

? Сколько ЛЕТ требует МАСШТАБ в 9 раз
зная РОСТ +20% ежегодно ?

ЛЕТ = LOG(МАСШТАБ;РОСТ)
ЛЕТ = LN(МАСШТАБ) / LN(РОСТ)
ЛЕТ =LN(9) / LN(1,2)
Ответ: 12 ЛЕТ



Логарифм Трудно

Задача: каков МАСШТАБ вклада с капитализацией
по ставке 8% годовых через 5 ЛЕТ

МАСШТАБ = (1 + % / 100) ^ ЛЕТ
МАСШТАБ = (1 + 8 / 100) ^ 5 = 1,47
Значит получим дополнительно 47% за 5 ЛЕТ

Самостоятельно вывести % зная МАСШТАБ за ЛЕТ

? Чтобы угадать 1 число из миллиарда
узнавая: меньше или больше загаданного:
сколько нужно ХОДОВ ?

ХОДЫ =LOG(10^9;2)

Ответ: 1 число из 1оооООО000
угадывается за 30 ХОДОВ

Определить количество работников
при надёжности работы и вероятности результата

Умножение постоянных вероятностей P
включая надёжность C для N работников:
C+(1-P)^N=1

LN(1-P)^N = LN(1-C)

N = LN(1-C) / LN(1-P)



Задача: работник выполняет работу на 78%

Определить количество работников N
для выполнения работы на 99%

Дано: вероятность P=78% и надёжность C=99%

N = LN(1-C) / LN(1-P) = LG(1-0,99) / LG(1-0,78) = 3.

Ответ: необходимо 3 работника.