В.К. Петросян (Вадимир). О разрешимости проблемы Посидония
История проблемы, геометрические основания эквидистантности прямых и авторское доказательство методом равных перпендикуляров
Аннотация
Настоящая брошюра посвящена одной из древнейших проблем оснований геометрии — проблеме Посидония, связанной с определением параллельных прямых посредством их взаимной эквидистантности, то есть постоянства расстояния между ними на всём протяжении.
В истории геометрии представление о параллельных прямых как равноудалённых друг от друга линиях неоднократно становилось предметом обсуждения. Главная трудность заключалась в обосновании геометрического утверждения о существовании прямой, сохраняющей постоянное расстояние от другой прямой.
Автор предлагает собственное конструктивное решение данной проблемы, основанное на первоначальных геометрических построениях и уточнении понятия прямой линии как целостного геометрического объекта.
Исходным элементом доказательства является конечный прямолинейный отрезок AB. В его концах строятся два равных перпендикуляра AP и BQ, расположенных по одну сторону от первоначальной прямой. Их длины равны:
AP = BQ = h.
Затем точки P и Q соединяются прямолинейным отрезком согласно первому постулату Евклида.
Центральная идея авторского метода заключается в исследовании геометрической целостности полученного отрезка PQ. Прямая рассматривается как кратчайшее соединение своих конечных точек, внутренняя структура которого не допускает произвольного изменения без нарушения прямолинейности или изменения длины соединяющего пути.
С этих позиций автор исследует возможность сближения и расхождения построенной прямой PQ относительно первоначальной прямой AB и обосновывает свой вывод о сохранении их взаимной эквидистантности.
Особое внимание уделяется различию между построением прямой по двум определённым точкам и предположением о том, что произвольное множество равноудалённых точек само по себе образует прямую.
Брошюра содержит исторический обзор проблемы Посидония, разбор первоначальных определений и постулатов Евклида, подробное описание авторского геометрического построения, исследование принципа кратчайшего прямолинейного соединения и рассмотрение связи полученного результата с теоремой о параллельных прямых.
Геометрические рассуждения сопровождаются специально подготовленными иллюстрациями, воспроизводящими и развивающими схемы из предыдущих публикаций автора.
Основная часть работы посвящена последовательному изложению авторского доказательства и его геометрических следствий. Независимый критический математический комментарий помещается в отдельном приложении.
Брошюра предназначена для математиков, историков и философов математики, преподавателей, студентов и широкого круга читателей, интересующихся основаниями геометрии, проблемой параллельных прямых и возможностями конструктивного математического доказательства.
Ключевые слова: Посидоний, Евклид, проблема параллельных прямых, эквидистантность, перпендикуляр, прямолинейный отрезок, конгруэнтность, кратчайший путь, геометрическая целостность, основания геометрии, пятый постулат Евклида.
*********
© В.К.
Петросян (Вадимир) © Lag.ru [Large Apeironic Gateway, Большой Апейронический
Портал (Шлюз), Суперпортал в Бесконечность].
При копировании данного материала и размещении его на другом сайте, ссылки
на соответствующие локации порталов Lag.ru и Proza.ru обязательны
Работа написана на основе концепции и разработок В.К. Петросяна при полноценном соавторстве (активном творческом и техническом участии) ChatGPT (OpenAI), GPT-5.6 Sol
******
Содержание
Предисловие
Почему я возвращаюсь к проблеме Посидония
Введение
Параллельность, эквидистантность и проблема геометрического доказательства
Глава 1. История проблемы Посидония
1.1. Возникновение проблемы параллельных прямых в античной геометрии
1.2. Первоначальные определения прямой и параллельности у Евклида
1.3. Посидоний: параллельные прямые как равноудалённые линии
1.4. Исторические свидетельства о геометрических взглядах Посидония
1.5. Прокл и античная критика определения параллельности через эквидистантность
1.6. Проблема существования прямой, равноудалённой от заданной
1.7. Почему определение эквидистантности не заменяет доказательства её существования
1.8. Место проблемы Посидония в истории исследований пятого постулата
Глава 2. Прямая как целостный геометрический объект
2.1. Геометрическая прямая и прямолинейный отрезок
2.2. Первый постулат Евклида и соединение двух заданных точек
2.3. Прямолинейный отрезок как кратчайшее соединение своих концов
2.4. Точки прямой и целостность образуемого ими геометрического объекта
2.5. Закреплённые концы и взаимное расположение внутренних элементов
2.6. Деформация прямолинейного пути и увеличение его длины
2.7. Геометрический смысл натянутой нерастяжимой нити
2.8. Неравенство треугольника и принцип кратчайшего соединения
2.9. Почему прямую нельзя рассматривать как произвольно деформируемую фигуру
Глава 3. Перпендикуляры и геометрическая конструкция Посидония
3.1. Перпендикуляр как первоначальный объект геометрического построения
3.2. Построение конечного основания AB
3.3. Восстановление перпендикуляра AP в точке A
3.4. Восстановление перпендикуляра BQ в точке B
3.5. Установление равенства AP = BQ
3.6. Соединение точек P и Q прямолинейным отрезком
3.7. Полученная геометрическая система ABQP
3.8. Взаимное положение первоначального и построенного отрезков
3.9. Эквидистантность как исследуемое свойство всей конструкции
Глава 4. Авторское доказательство разрешимости проблемы Посидония
4.1. Формулировка основной геометрической задачи
4.2. Исходные определения и допустимые построения
4.3. Два равных перпендикуляра к одному прямолинейному основанию
4.4. Прямолинейное соединение свободных концов перпендикуляров
4.5. Целостность отрезка PQ и сохранение положения его концов
4.6. Предположение о сближении построенной прямой с первоначальной
4.7. Предположение о расхождении построенной прямой с первоначальной
4.8. Геометрические последствия изменения взаимного расстояния
4.9. Кратчайшее соединение и невозможность произвольной деформации прямой
4.10. Установление взаимной эквидистантности построенных прямых
4.11. Построение через произвольную точку вне заданной прямой
4.12. Вопрос о единственности эквидистантной прямой
4.13. Формулировка авторской теоремы о разрешимости проблемы Посидония
4.14. Доказательство теоремы и её непосредственные следствия
Глава 5. Проблема Посидония и пятый постулат Евклида
5.1. Два исторических определения параллельности: непересекаемость и эквидистантность
5.2. Почему несближаемость имеет самостоятельное геометрическое содержание
5.3. Постоянство расстояния и равенство перпендикуляров
5.4. Построение эквидистантной прямой и проблема её единственности
5.5. Соотношение определения параллельности и теоремы о параллельных
5.6. Сравнение авторского построения с исторической постановкой Посидония
5.7. Почему геометрическое построение важнее простого перечисления равноудалённых точек
5.8. Авторский вывод о разрешимости проблемы Посидония
5.9. Значение полученного результата для оснований евклидовой геометрии
Заключение
Прямая, эквидистантность и разрешение древней геометрической проблемы
Приложения
Приложение 1. Независимый критический математический комментарий к авторскому доказательству
Приложение 2. Геометрические иллюстрации: реконструкции рисунков из предыдущих публикаций автора
Приложение 3. Исторические определения прямой, перпендикуляра и параллельности
Список литературы и исторических источников
Математические публикации В. К. Петросяна
***
Предисловие
Почему я возвращаюсь к проблеме Посидония
К проблеме Посидония я обращаюсь далеко не впервые.
Впервые вопрос о правомерности его представлений о параллельных прямых был поставлен мной ещё в 1997 году, в книге «Общий кризис теоретико-множественной математики и пути его преодоления», опубликованной московским издательством «Янус-К».
В разделе, посвящённом противоречиям классической геометрии, я выступил в защиту определения параллельности, которое античная математическая традиция связывает с именем древнегреческого философа и учёного Посидония.
Согласно этому определению, параллельными следует считать прямые, находящиеся на постоянном расстоянии друг от друга на всём протяжении.
Уже тогда я рассматривал данный подход как заслуживающий серьёзного внимания и принципиально возражал против его традиционного отклонения.
В частности, в книге 1997 года отмечалось, что возражения против Посидония связаны не только с конкретными геометрическими отношениями, но и с более общими представлениями о существовании геометрических объектов, природе прямой линии и соотношении потенциальной и актуальной бесконечности.
Таким образом, настоящая брошюра представляет собой продолжение исследования, начатого почти тридцать лет назад.
Однако за прошедшее время существенно изменился сам характер моей постановки задачи.
Если в 1997 году проблема Посидония рассматривалась преимущественно в контексте общей критики оснований теоретико-множественной математики и классической геометрии, то теперь я предлагаю сосредоточиться на конкретном геометрическом построении, позволяющем непосредственно исследовать эквидистантность двух прямых.
Иными словами, речь идёт о переходе от защиты геометрической идеи к её конструктивному обоснованию.
Историческая несправедливость по отношению к Посидонию
Почему я считаю необходимым вновь обратиться к этой проблеме?
Прежде всего потому, что история пятого постулата Евклида, на мой взгляд, содержит ряд вопросов, которые до настоящего времени не получили удовлетворительного разрешения.
Одним из них является оценка геометрических взглядов Посидония.
В традиционном изложении истории геометрии его подход нередко представляется недостаточно строгим.
Главное возражение состоит в том, что определение параллельных прямых через их постоянную взаимную удалённость якобы предполагает уже доказанным существование прямой, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от другой прямой.
В такой интерпретации Посидонию фактически приписывается утверждение, согласно которому множество точек, равноудалённых от заданной прямой, само по себе образует другую прямую.
Существенную роль в истории данной трактовки сыграл Прокл, сохранивший сведения об античных исследованиях пятого постулата.
Однако я считаю необходимым различать первоначальную геометрическую идею Посидония и её последующую интерпретацию.
Вопрос заключается в том, действительно ли Посидоний утверждал, что произвольно выделенная совокупность равноудалённых точек уже является прямой, или же он исходил из определённых свойств самой прямолинейной геометрической конструкции.
Эти положения далеко не равнозначны.
Представим некоторое количество точек, каждая из которых расположена на одинаковом расстоянии от заданной прямой.
Сами по себе эти точки ещё не образуют построенного прямолинейного отрезка.
Для получения прямой необходимо установить определённое геометрическое отношение между ними.
В частности, две выбранные точки могут быть соединены прямолинейным отрезком согласно первому постулату Евклида.
Но наличие такого прямолинейного соединения представляет собой самостоятельный геометрический факт.
Именно поэтому в настоящей работе я уделяю особое внимание различию между множеством точек, обладающих некоторым общим свойством, и прямой как целостным геометрическим объектом.
Этому различию посвящены специальные чертежи, воспроизводящие первоначальные иллюстрации из моих предыдущих публикаций.
На одном из них показаны отдельные точки, расположенные на равных расстояниях от исходной прямой.
На другом — непосредственное построение прямолинейного соединения двух определённых точек.
Именно второй случай составляет исходное основание предлагаемого доказательства.
От определения параллельности к геометрическому построению
В настоящей работе я предлагаю рассмотреть следующую конструкцию.
Пусть дан конечный прямолинейный отрезок AB.
В его концах восстановим два перпендикуляра AP и BQ, расположенных по одну сторону от первоначальной прямой.
Пусть их длины равны:
AP = BQ = h.
Теперь соединим точки P и Q прямолинейным отрезком.
Такое соединение осуществляется непосредственно по первому постулату Евклида.
В результате получаем определённую геометрическую конструкцию, состоящую из первоначального отрезка AB, двух равных перпендикуляров AP и BQ и построенного прямолинейного соединения PQ.
В этой постановке мы не начинаем с предположения о существовании некоторого множества точек, равноудалённых от заданной прямой.
Мы начинаем с конкретных геометрических объектов.
Даны две точки A и B.
Построены два перпендикуляра.
Установлено равенство их длин.
Затем определены точки P и Q.
И наконец, проведён соединяющий их прямолинейный отрезок.
Таким образом, геометрический объект PQ возникает посредством определённой конструктивной операции.
Именно свойства этого объекта становятся предметом дальнейшего исследования.
На мой взгляд, такая постановка позволяет совершенно иначе подойти к исторической проблеме Посидония.
Здесь уже не требуется объявлять прямой произвольное множество равноудалённых точек.
Необходимо исследовать взаимное расположение двух определённых прямолинейных объектов и установить, сохраняется ли расстояние между ними.
Прямая как целостный геометрический объект
Центральное место в моём доказательстве занимает понятие прямой линии.
Я исхожу из того, что прямая не может рассматриваться как произвольно изменяемая совокупность независимых элементов.
Прямолинейный отрезок представляет собой целостный геометрический объект.
Его определяющим свойством является прямолинейность соединения двух конечных точек.
Вместе с тем прямой отрезок является кратчайшим соединением своих концов.
Если две точки P и Q зафиксированы, а некоторая промежуточная точка R выводится из первоначального прямолинейного положения, то возникает изломанный путь PRQ.
В этом случае выполняется строгое неравенство:
PR + RQ > PQ.
Иными словами, выведение промежуточного элемента из прямолинейного положения приводит к увеличению длины соединяющего пути.
В обычной наглядной форме это обстоятельство можно проиллюстрировать посредством нерастяжимой нити, натянутой между двумя закреплёнными точками.
Если попытаться отвести некоторый внутренний участок натянутой нити в сторону, сохранив её концы неподвижными, потребуется либо увеличить длину нити, либо нарушить заданные условия конструкции.
Этот пример не заменяет геометрического доказательства.
Однако он позволяет наглядно представить свойство прямолинейного соединения, которое имеет фундаментальное значение для предлагаемого метода.
Прямая рассматривается не как случайное расположение отдельных точек, а как определённая целостная геометрическая структура.
Именно с этих позиций я исследую возможность изменения расстояния между построенным отрезком PQ и первоначальным отрезком AB.
Суть задачи заключается в том, чтобы установить геометрические последствия предполагаемого сближения или расхождения двух прямолинейных объектов при сохранении исходных условий построения.
В настоящей брошюре этому вопросу посвящена центральная доказательная глава.
Почему я считаю необходимой критику подхода Лобачевского
Возвращение к проблеме Посидония связано также с моим критическим отношением к традиционной интерпретации параллельных прямых в геометрии Лобачевского.
В предыдущих исследованиях мы подробно обсуждали вопрос о том, насколько значительным должно быть различие между евклидовыми параллельными и прямыми, рассматриваемыми как параллельные в теории Лобачевского.
Особый интерес представляют угловые и метрические отношения.
В частности, можно рассматривать углы, чрезвычайно близкие к прямому:
89,9°;
89,99°;
89,999°;
89,999999°.
Последовательное увеличение числа девяток позволяет получать углы, отличающиеся от прямого на всё меньшую положительную величину.
Аналогичная проблема возникает при сравнении длин прямолинейных отрезков.
Рассмотрим для наглядности обычный прямоугольный треугольник, один катет которого равен единице, а второй имеет длину a.
Тогда длина гипотенузы определяется соотношением:
c = ;(1; + a;).
Разность между длиной гипотенузы и длинного катета можно записать следующим образом:
c ; a = 1 / (;(1 + a;) + a).
При увеличении a указанная разность становится всё меньше.
Одновременно угол между гипотенузой и единичным катетом приближается к 90 градусам.
Следовательно, в данной элементарной геометрической конструкции одновременно возникают два обстоятельства.
Во-первых, угловое отклонение от прямого угла может становиться чрезвычайно малым.
Во-вторых, абсолютная разность сравниваемых длин также может становиться чрезвычайно малой.
Ранее нами были составлены сравнительные расчётные таблицы, позволяющие проследить подобные изменения при различных значениях геометрических параметров.
Именно эти результаты побуждают меня поставить вопрос о содержательном значении различий между евклидовыми и лобачевскими представлениями о параллельности в тех случаях, когда соответствующие угловые и метрические характеристики оказываются практически неразличимыми.
Разумеется, арифметическое приближение двух величин само по себе не означает их математического тождества.
Однако оно позволяет сформулировать принципиальную проблему.
Если в определённых геометрических условиях различие между рассматриваемыми направлениями становится сколь угодно малым, то какие именно основания позволяют приписывать им качественно различный геометрический статус?
И как эти основания соотносятся с первоначальными определениями прямой и параллельности?
Я считаю, что данные вопросы заслуживают самостоятельного рассмотрения.
При этом приведённое соотношение для гипотенузы используется как элементарная иллюстрация угловой и метрической близости, а не как формула геометрии Лобачевского.
Соответствующие исторические и математические вопросы будут рассмотрены в основной части брошюры.
Здесь же важно отметить, что критический анализ традиционной теории параллельных составляет один из мотивов моего возвращения к проблеме Посидония.
Почему новое доказательство не сводится к работам 1997 года
Хотя настоящая работа продолжает исследования, начатые почти тридцать лет назад, она имеет самостоятельный предмет.
В книге 1997 года защита подхода Посидония была связана с общей программой пересмотра оснований математики.
Особое значение там имели вопросы актуальности математических объектов, природы бесконечности, дискретности и непрерывности.
В настоящей брошюре я предлагаю сосредоточиться прежде всего на собственно геометрической стороне проблемы.
Исходными объектами становятся конечные отрезки, равные перпендикуляры и прямолинейные соединения заданных точек.
Особое внимание уделяется геометрической целостности прямой.
Таким образом, для понимания предлагаемого доказательства читателю не требуется предварительно принимать всю систему понятий моих более ранних исследований.
Достаточно последовательно рассмотреть используемые построения и отношения между ними.
В этом я вижу важное преимущество нового изложения.
Оно позволяет представить проблему Посидония в форме самостоятельной элементарной геометрической задачи.
Место настоящей работы среди моих исследований пятого постулата
В последние годы я вновь обратился к проблеме пятого постулата Евклида, рассматривая несколько самостоятельных направлений её решения.
Одно из них связано с построением квадрата посредством окружностей и конгруэнтных треугольников.
Другое — с исследованием существования сверхбольших равносторонних треугольников и отношений между их площадями.
Третье направление, которому посвящена настоящая брошюра, относится к проблеме Посидония.
Все эти исследования объединены стремлением получить геометрические результаты посредством определённых конструктивных операций.
Однако каждый из предложенных методов имеет собственный предмет и собственную последовательность доказательства.
В настоящей работе мы не будем смешивать различные конструкции.
Главная задача состоит в исследовании эквидистантности прямых и геометрических оснований её существования.
В частности, особое значение имеет возможность построения прямолинейного отрезка по двум точкам, полученным посредством равных перпендикуляров.
Именно это построение позволяет вновь обратиться к древней проблеме Посидония с позиций самостоятельного авторского метода.
Цель настоящей брошюры
Таким образом, возвращаясь к проблеме Посидония, я преследую несколько взаимосвязанных целей.
Прежде всего необходимо восстановить историческое содержание проблемы и определить, какие именно положения вызывали возражения у её критиков.
Затем следует исследовать различие между множеством равноудалённых точек и прямой как самостоятельным геометрическим объектом.
После этого необходимо рассмотреть построение двух равных перпендикуляров к общему основанию и прямолинейное соединение их свободных концов.
Особое внимание будет уделено принципу кратчайшего соединения двух точек и сохранению геометрической целостности прямолинейного отрезка.
На основе этих положений я изложу собственное доказательство разрешимости проблемы Посидония.
Наконец, будет рассмотрено значение полученного результата для теории параллельных прямых и первоначальных оснований евклидовой геометрии.
При этом основная часть работы посвящена последовательному изложению авторского доказательства.
Независимый критический математический комментарий будет представлен отдельно, в специальном приложении.
Такой порядок позволит сохранить целостность доказательного рассуждения и одновременно предоставить возможность его самостоятельной математической оценки.
Заключительные замечания
Итак, почему же я возвращаюсь к проблеме Посидония?
Потому что считаю: вопрос, поставленный ещё античными геометрами и вновь рассмотренный мной в книге 1997 года, сохраняет фундаментальное значение.
Потому что традиционная критика Посидония, на мой взгляд, не исчерпывает всего содержания его геометрического подхода.
Потому что между произвольным множеством равноудалённых точек и построенной по двум точкам прямой существует принципиальное различие.
И наконец, потому что я считаю возможным исследовать эту проблему непосредственно посредством первоначальных геометрических построений, не подменяя их готовыми утверждениями о свойствах параллельных прямых.
Почти тридцать лет назад я выступил в защиту содержательной правомерности позиции Посидония.
Теперь предлагаю перейти к её непосредственному конструктивному обоснованию.
Главный вопрос настоящей работы состоит не в том, можно ли мысленно выделить множество точек, расположенных на равном расстоянии от заданной прямой, а в том, можно ли посредством первоначальных геометрических построений получить другую прямую и доказать постоянство расстояния между ними.
Именно этому вопросу посвящена брошюра «О разрешимости проблемы Посидония».
В. К. Петросян (Вадимир)
2026 год
*******
Введение
Параллельность, эквидистантность и проблема геометрического доказательства
1. Почему проблема параллельных прямых остаётся фундаментальной
Проблема параллельных прямых занимает исключительное место в истории геометрии.
Более двух тысячелетий исследователи предпринимали попытки установить, можно ли доказать пятый постулат Евклида, используя остальные первоначальные положения «Начал».
История этих попыток хорошо известна.
Одни математики стремились непосредственно доказать постулат о параллельных.
Другие пытались заменить его утверждением, которое представлялось более очевидным.
Третьи обращались к определениям прямой, угла, расстояния и геометрической фигуры.
Но при всём многообразии предложенных подходов центральная проблема оставалась неизменной.
Каким образом можно установить определённые свойства взаимного расположения прямых, не предполагая заранее тех самых геометрических отношений, которые требуется доказать?
Этот вопрос имеет не только историческое значение.
Он непосредственно связан с первоначальными основаниями геометрического знания.
Ведь прежде чем рассуждать о параллельности двух прямых, необходимо определить, что представляет собой прямая линия.
Что означает существование прямой?
Каким образом она может быть построена?
Какие свойства прямолинейного соединения непосредственно следуют из определения прямой, а какие требуют самостоятельного геометрического обоснования?
И наконец, какое значение имеют взаимное расстояние и направленность прямых?
Именно эти вопросы образуют исходное содержание настоящей работы.
Я предлагаю рассмотреть их посредством возвращения к одной из древнейших трактовок параллельности — определению, исторически связанному с именем Посидония.
Однако предмет моего исследования не ограничивается исторической реконструкцией.
Главная задача заключается в конструктивном разрешении соответствующей геометрической проблемы.
2. Два подхода к определению параллельности
В классической геометрии Евклида параллельными называются прямые, которые лежат в одной плоскости и при продолжении в обе стороны не встречаются друг с другом.
Таким образом, первоначальное евклидово определение опирается на отрицательное свойство.
Параллельные прямые — это прямые, которые не пересекаются.
Но такая формулировка непосредственно не указывает, каким образом можно установить их взаимное положение посредством конечного геометрического построения.
Предположим, что на некотором чертеже изображены две прямые.
В пределах чертежа они не пересекаются.
Можем ли мы только на этом основании утверждать, что они параллельны?
Очевидно, что одного наблюдения конечных участков недостаточно.
Ведь линии могут пересечься за пределами рассматриваемого чертежа.
Поэтому евклидово определение обращается к продолжению прямых в обе стороны.
Тем самым возникает вопрос о свойствах их взаимного расположения за пределами первоначально построенных конечных отрезков.
Посидоний предложил иной подход.
В известной исторической передаче его определение основывается на том, что параллельные прямые находятся на одинаковом расстоянии друг от друга и не сближаются и не расходятся.
Здесь параллельность выражается уже не только через отсутствие пересечения.
Она характеризуется положительным геометрическим свойством — постоянством взаимного расстояния.
Это обстоятельство представляется мне исключительно важным.
Расстояние является определённой геометрической величиной.
Его можно задавать посредством отрезка.
Можно воспроизводить с помощью циркуля.
Можно сравнивать с другими расстояниями.
Следовательно, обращение к эквидистантности позволяет исследовать параллельность непосредственно через отношения между геометрическими объектами.
Именно в этом заключается принципиальное достоинство подхода Посидония.
3. Что означает эквидистантность?
Термин «эквидистантность» происходит от латинских слов, означающих равенство и расстояние.
В геометрии он используется для обозначения равноудалённости.
Применительно к двум прямым эквидистантность означает постоянство расстояния между ними.
Но необходимо точно определить, о каком расстоянии идёт речь.
Предположим, что дана прямая m.
Выберем некоторую точку A, не принадлежащую этой прямой.
Из A опустим на m перпендикуляр AB.
Длина AB характеризует кратчайшее расстояние от точки A до прямой m.
Теперь рассмотрим другую точку C, также расположенную вне m.
Пусть из неё опущен перпендикуляр CD.
Если:
AB = CD,
то точки A и C находятся на одинаковом расстоянии от прямой m.
Однако это утверждение непосредственно относится только к двум выбранным точкам.
Для исследования эквидистантности целой прямой необходимо рассмотреть более общее свойство.
Нас интересует не просто равенство двух отдельных расстояний.
Нас интересует постоянство соответствующего расстояния для точек прямолинейного объекта на всём его рассматриваемом протяжении.
Следовательно, эквидистантность — это геометрическое отношение между линиями, характеризуемое через расстояния, определяемые соответствующими перпендикулярами.
В такой постановке необходимо различать саму прямую, отдельные точки на ней и геометрическое расстояние между рассматриваемыми объектами.
Это различие имеет решающее значение для понимания проблемы Посидония.
4. Посидоний и проблема существования равноудалённой прямой
Исторические сведения о геометрических взглядах Посидония дошли до нас прежде всего через произведения позднейших авторов, в частности через комментарии Прокла к первой книге «Начал» Евклида.
Поэтому при обсуждении проблемы необходимо учитывать различие между собственными текстами Посидония и их последующей передачей.
Особенно важен вопрос о том, какое именно утверждение следует считать первоначальным содержанием его подхода.
Одно дело — определить параллельными две прямые, находящиеся на постоянном расстоянии друг от друга.
И совсем другое — утверждать, что произвольная совокупность точек, равноудалённых от некоторой прямой, уже является другой прямой.
Между этими положениями имеется существенное различие.
Первое характеризует отношение между двумя геометрическими объектами.
Второе предполагает возможность непосредственного получения геометрического объекта определённой формы из некоторой совокупности точек.
Следовательно, первое положение относится к свойству уже рассматриваемых прямых.
Второе — к условиям существования и построения новой прямой.
В своей работе 2025 года я специально обратил внимание на это различие.
На мой взгляд, традиционная критика Посидония нередко основывается на такой интерпретации его идеи, которая далеко не обязательно совпадает с её первоначальным содержанием.
В частности, я не считаю установленным, что Посидоний действительно исходил из отождествления произвольного множества равноудалённых точек с уже существующей прямой.
Вполне возможно, что его первоначальная идея заключалась именно в определении параллельности через постоянство расстояния между двумя прямыми.
В таком случае возникает совершенно иная задача.
Необходимо не объявлять множество точек прямой, а геометрически построить определённую прямую и исследовать её взаимное положение с первоначальной.
Именно этот подход положен в основу настоящей брошюры.
5. Отдельные равноудалённые точки ещё не образуют построенной прямой
Рассмотрим простейший пример.
Пусть на плоскости проведена прямая m.
Теперь выберем несколько точек, расположенных по одну сторону от неё.
Обозначим их A;, A;, A;, A;.
Предположим, что все эти точки находятся на одинаковом расстоянии h от прямой m.
Следовательно, длины перпендикуляров, опущенных из этих точек на первоначальную прямую, равны.
Но что именно мы установили?
Мы установили равенство нескольких геометрических расстояний.
При этом никакой новой прямолинейной связи между самими точками ещё не построено.
Они остаются отдельными геометрическими объектами.
Следовательно, нельзя подменять установленное равенство расстояний утверждением о существовании определённого прямолинейного соединения.
Это два различных геометрических положения.
Именно данное различие показано на первом рисунке, включённом в иллюстративный материал настоящей брошюры.
На нём изображены отдельные точки, расположенные на одинаковом расстоянии от первоначальной прямой.
При этом точки намеренно не соединены между собой.
Такое изображение позволяет наглядно выявить предмет исторического спора.
Проблема состоит не в возможности указать точки, имеющие равные расстояния до заданного геометрического объекта.
Проблема заключается в переходе от соответствующих точек к новой прямой.
Именно этот переход должен осуществляться посредством определённой геометрической операции.
Но в классической геометрии такая операция уже предусмотрена.
Это первый постулат Евклида.
6. Первый постулат Евклида и построение прямолинейного соединения
Первый постулат Евклида разрешает провести прямую линию от одной заданной точки до другой.
В привычной современной терминологии речь идёт о построении прямолинейного отрезка, соединяющего две определённые точки.
Следовательно, если мы имеем две точки A и B, мы можем соединить их прямолинейным отрезком AB.
При этом геометрический результат имеет совершенно определённый характер.
Получена не произвольная линия.
Не последовательность изолированных точек.
И не некоторый предполагаемый объект, существование которого ещё только требуется установить.
Получен прямолинейный отрезок с заданными концами.
Именно это обстоятельство имеет фундаментальное значение для рассматриваемой проблемы.
Предположим, что нам удалось построить две точки на одинаковом расстоянии от первоначальной прямой.
Эти точки можно соединить непосредственно по первому постулату Евклида.
В результате возникнет определённый прямолинейный объект.
Теперь можно исследовать его свойства.
В частности, можно поставить вопрос о характере расстояния между полученным отрезком и первоначальной прямой.
Таким образом, геометрическая задача приобретает конструктивную форму.
Мы не начинаем с объявления некоторого множества точек прямой.
Мы строим прямолинейное соединение двух заданных точек.
Именно такой способ позволяет, на мой взгляд, преодолеть основную трудность традиционной интерпретации проблемы Посидония.
7. Центральное геометрическое построение
Теперь рассмотрим исходную конструкцию предлагаемого доказательства.
Пусть дана прямая m.
Выберем на ней две различные точки A и C.
Соединим их прямолинейным отрезком AC.
В точке A восстановим перпендикуляр AB к первоначальной прямой.
Затем в точке C восстановим второй перпендикуляр CD, расположенный по ту же сторону от прямой m.
Пусть длины построенных перпендикуляров равны:
AB = CD = h.
Таким образом, точки B и D расположены по одну сторону от исходной прямой AC.
Причём расстояния от B и D до этой прямой равны.
Теперь соединим точки B и D прямолинейным отрезком.
По первому постулату Евклида такое построение допустимо.
В результате получим отрезок BD.
Обозначим прямую, содержащую данный отрезок, через n.
Итак, первоначальное построение включает:
основание AC, принадлежащее прямой m;
два равных перпендикуляра AB и CD;
прямолинейное соединение BD, принадлежащее прямой n.
Это именно та конструкция, которая рассматривается в моей работе «Теорема о параллельных прямых: к основаниям Гармонической геометрии» (2025).
В настоящей брошюре она получает самостоятельное подробное изложение.
Её принципиальное отличие от схемы отдельных равноудалённых точек совершенно очевидно.
Мы построили определённый прямолинейный объект.
Причём его концы получены посредством равных перпендикуляров к первоначальной прямой.
Следовательно, можно непосредственно исследовать взаимное положение двух прямолинейных объектов AC и BD.
Именно эта задача составляет геометрическое ядро предлагаемого метода.
8. Почему двух равных перпендикуляров недостаточно просто изобразить
Теперь возникает вопрос о доказательном содержании выполненного построения.
Мы имеем два равных перпендикуляра.
Их основания A и C принадлежат одной прямой.
Свободные концы B и D соединены прямолинейным отрезком.
Но наша задача заключается не только в изображении соответствующей фигуры.
Необходимо установить определённое свойство взаимного расположения прямых m и n.
В частности, требуется обосновать постоянство расстояния между ними.
Именно поэтому я не ограничиваюсь простым указанием на равенство AB и CD.
Оно является исходным условием построения.
Но далее необходимо исследовать всю геометрическую конструкцию как целое.
Что означает прямолинейность BD?
Может ли построенный отрезок изменять своё взаимное расположение относительно AC?
Что происходило бы при предполагаемом сближении двух прямолинейных объектов?
Или при их предполагаемом расхождении?
Каким образом соответствующее изменение согласуется с заданными концами и первоначальными геометрическими отношениями?
Эти вопросы позволяют перейти от описания конструкции к исследованию её необходимых свойств.
Именно такой переход превращает чертёж в математическое доказательство.
В настоящей работе он будет рассмотрен подробно.
9. Прямолинейность как свойство целого
Центральное место в моём подходе занимает определённое понимание прямой линии.
Прямая рассматривается не как произвольно изменяемая совокупность точек, а как целостный геометрический объект.
Её внутренние элементы находятся в определённом взаимном расположении.
При этом прямолинейный отрезок является кратчайшим соединением двух своих конечных точек.
Рассмотрим отрезок PQ.
Пусть R является его внутренней точкой.
Тогда:
PR + RQ = PQ.
Но если точка R не принадлежит отрезку PQ, то выполняется строгое неравенство треугольника:
PR + RQ > PQ.
Следовательно, путь, проходящий через точку R вне первоначального прямолинейного соединения, длиннее прямого отрезка PQ.
Это одно из фундаментальных свойств прямолинейного соединения.
Его содержание представляется мне значительно более глубоким, чем может показаться при первом знакомстве.
Ведь речь идёт не просто о сравнении двух числовых величин.
Речь идёт о внутренней геометрической организации прямой.
Если концы прямолинейного отрезка закреплены, изменение взаимного расположения его внутренних элементов не может рассматриваться как произвольная операция, сохраняющая все первоначальные свойства.
Именно это обстоятельство лежит в основе моего исследования.
Прямая является целостным объектом.
Поэтому её свойства должны анализироваться применительно ко всей конструкции, а не посредством независимого перемещения отдельных точек.
10. Геометрический смысл натянутой нити
Для наглядного понимания рассматриваемого принципа можно обратиться к простому физическому примеру.
Предположим, что между двумя неподвижными точками натянута нерастяжимая нить.
Её концы закреплены.
Нить натянута по кратчайшему пути между ними.
Теперь попробуем отвести некоторый внутренний участок нити в сторону.
Если концы остаются неподвижными, а длина нити не увеличивается, такое смещение невозможно без изменения первоначальных условий.
Для образования изломанного пути требуется большая длина соединения.
Следовательно, либо нить должна растянуться, либо нарушится её целостность, либо изменится положение закреплённых концов.
Этот пример позволяет наглядно представить свойство прямолинейного соединения.
Разумеется, математическая прямая не является материальной нитью.
Её свойства устанавливаются геометрическим рассуждением.
Однако аналогия помогает понять, почему при анализе прямой необходимо учитывать не только расположение отдельных точек, но и геометрическую целостность всего объекта.
В настоящей работе этот принцип будет использован при исследовании взаимного расположения прямолинейных отрезков AC и BD.
Мы будем рассматривать не произвольное движение независимых точек, а свойства определённой построенной конструкции.
Именно это составляет одну из главных особенностей предлагаемого доказательства.
11. Сближение, расхождение и постоянство расстояния
Теперь необходимо различить три возможных характеристики взаимного расположения двух прямых.
Первая — сближение.
Вторая — расхождение.
Третья — постоянство расстояния.
Предположим, что имеются две прямые m и n.
В различных местах между ними можно построить соответствующие перпендикулярные отрезки и сравнить их длины.
Если длины уменьшаются в некотором направлении, возникает отношение сближения.
Если увеличиваются — отношение расхождения.
Если остаются одинаковыми — отношение эквидистантности.
Следовательно, взаимное расположение прямых может исследоваться через сравнение конкретных геометрических величин.
Это существенно отличается от рассмотрения одной только непересекаемости.
Вопрос о пересечении характеризует наличие или отсутствие общей точки.
Вопрос об эквидистантности характеризует изменение расстояния между прямыми.
Поэтому эти свойства имеют различное непосредственное содержание.
В предлагаемом мной подходе особое значение приобретает именно постоянство расстояния.
Оно представляет собой положительное геометрическое отношение, допускающее исследование посредством перпендикуляров.
Но при этом необходимо учитывать, что равенство нескольких отдельных перпендикуляров и постоянство расстояния на всём протяжении — не одна и та же формулировка.
Именно поэтому в центральной главе брошюры будет исследоваться возможность перехода от первоначального построения двух равных перпендикуляров к общему свойству построенного прямолинейного соединения.
12. Эквидистантность и несближаемость
В настоящей работе особое внимание будет уделено понятию несближаемости прямых.
Это понятие уже использовалось мной в предыдущих исследованиях.
Его значение связано с тем, что параллельность может характеризоваться не только отсутствием пересечения, но и устойчивостью взаимного геометрического положения.
Представим две прямые, расстояние между которыми сохраняется постоянным.
Очевидно, что в таком случае они не сближаются и не расходятся.
Следовательно, эквидистантность непосредственно обеспечивает несближаемость в рассматриваемом метрическом смысле.
Но несближаемость как отсутствие уменьшения расстояния в некотором направлении и полная эквидистантность требуют различения.
Поэтому в настоящей работе они будут рассматриваться как взаимосвязанные геометрические характеристики, каждая из которых должна иметь точное содержание.
Именно это позволит избежать терминологической неопределённости.
В первую очередь нас интересует возможность построения прямой, находящейся на постоянном расстоянии от заданной.
Затем будет рассмотрено значение соответствующего результата для определения параллельности и исследования взаимного расположения прямых.
Таким образом, эквидистантность выступает центральным метрическим понятием настоящей работы.
А несближаемость позволяет выразить важнейшую особенность рассматриваемой геометрической конструкции.
13. Геометрическое доказательство и геометрическое измерение
Теперь необходимо разграничить два способа исследования геометрических отношений.
Первый связан с непосредственным измерением.
Второй — с математическим доказательством.
Предположим, что на чертеже изображены две прямые.
Мы можем провести несколько перпендикуляров от одной прямой к другой.
Затем измерить их длины.
Если измеренные отрезки равны, получим определённый результат наблюдения.
Такое измерение может быть полезно для проверки построения.
Оно позволяет выявить наглядные отношения между геометрическими объектами.
Однако настоящее математическое доказательство должно устанавливать необходимые свойства конструкции, а не ограничиваться результатами отдельных измерений.
Именно поэтому предлагаемый метод не сводится к многократному прикладыванию циркуля к нескольким перпендикулярам.
Главная задача состоит в выявлении геометрического основания соответствующего равенства.
Если такое основание установлено, мы получаем не просто результат конкретного измерения, а общее свойство рассматриваемой конструкции.
Следовательно, необходимо различать экспериментальную проверку и геометрическое доказательство.
В настоящей работе измерительные процедуры будут использоваться прежде всего как наглядное средство.
Основное же внимание будет уделено отношениям между прямолинейными объектами, равными перпендикулярами и свойствами кратчайшего соединения.
14. Почему проблема Посидония не сводится к определению множества точек
Теперь можно вновь обратиться к историческому вопросу.
В чём именно состоит основная трудность традиционной критики Посидония?
На мой взгляд, она связана прежде всего с недостаточно строгим разграничением различных геометрических действий.
Выбор отдельных точек.
Построение прямолинейного соединения между ними.
Установление расстояния от одной точки до прямой.
И доказательство постоянства расстояния между двумя прямыми.
Все эти операции имеют различное математическое содержание.
Их нельзя безоговорочно отождествлять.
В частности, множество равноудалённых точек и прямолинейный отрезок, построенный по двум определённым точкам, представляют собой разные способы задания геометрического объекта.
Поэтому возражение, направленное против необоснованного объявления некоторого множества точек прямой, ещё не является возражением против возможности построить соответствующую прямую геометрическим способом.
Именно на этом различии основано моё возвращение к проблеме Посидония.
Я предлагаю исследовать не предполагаемое множество точек, а конкретный прямолинейный объект, построенный согласно первоначальным геометрическим правилам.
Таким образом, основной вопрос переносится из области произвольных предположений о множествах точек в область геометрических построений.
Именно здесь, по моему убеждению, находится наиболее содержательный путь разрешения проблемы.
15. Историческая преемственность настоящего исследования
Как уже отмечалось в предисловии, впервые я выступил в защиту подхода Посидония ещё в 1997 году.
В книге «Общий кризис теоретико-множественной математики и пути его преодоления» проблема параллельных рассматривалась в связи с более общими вопросами существования математических объектов, природы прямой и соотношения потенциальной и актуальной бесконечности.
В дальнейшем эти вопросы получили развитие в моей исследовательской программе.
В частности, в публикации «Теорема о параллельных прямых: к основаниям Гармонической геометрии» (2025) было предложено непосредственное построение эквидистантных прямых посредством равных перпендикуляров.
Настоящая брошюра представляет собой дальнейшее развитие именно этого направления.
При этом её предмет намеренно ограничен одной фундаментальной геометрической проблемой.
Мы не будем предварительно вводить всю систему понятий гармонической геометрии.
Не будем также превращать исследование в общую дискуссию о природе математической бесконечности.
Основным предметом останутся первоначальные геометрические объекты и определённые отношения между ними.
Такой подход позволяет представить предлагаемое доказательство в самостоятельной форме.
Его содержание должно быть понятно читателю, знакомому с основными понятиями элементарной геометрии.
Именно поэтому в последующих главах особое внимание будет уделено последовательному описанию каждого построения.
16. Основная задача настоящей работы
Теперь можно сформулировать центральную задачу исследования.
Пусть имеется прямая m.
На ней выбраны две различные точки A и C.
В этих точках построены два равных перпендикуляра AB и CD, направленных по одну сторону от m.
Следовательно:
AB = CD.
Затем точки B и D соединены прямолинейным отрезком BD согласно первому постулату Евклида.
Требуется исследовать взаимное расположение прямолинейных объектов AC и BD и установить геометрические основания их эквидистантности.
Именно такова исходная формулировка авторской задачи.
В дальнейшем необходимо рассмотреть возможность продолжения соответствующих прямых и значение полученного отношения для определения параллельности.
Кроме того, требуется исследовать единственность прямой, обладающей соответствующим свойством относительно заданной прямой и определённой внешней точки.
Таким образом, проблема Посидония получает конкретную конструктивную постановку.
Мы имеем определённые исходные геометрические элементы.
Выполняем установленные построения.
Получаем новый прямолинейный объект.
И исследуем необходимые отношения между ним и первоначальной прямой.
Именно такой порядок соответствует моей общей исследовательской установке.
Сначала — геометрическое построение.
Затем — исследование его свойств.
После этого — формулировка общего математического вывода.
17. Структура дальнейшего изложения
В первой главе будет рассмотрена история проблемы Посидония.
Особое внимание уделяется античным определениям параллельности, свидетельствам Прокла и последующим оценкам посидониевского подхода.
Во второй главе исследуется понятие прямой как целостного геометрического объекта.
Рассматриваются первый постулат Евклида, кратчайшее соединение двух точек, внутреннее взаимное расположение элементов прямой и геометрический смысл её деформации.
В третьей главе подробно излагается построение двух равных перпендикуляров к общему основанию и прямолинейного соединения их свободных концов.
Четвёртая глава посвящена непосредственному авторскому доказательству разрешимости проблемы Посидония.
В ней рассматриваются возможное сближение и расхождение прямых, принцип геометрической целостности и вывод об эквидистантности.
В пятой главе исследуется связь полученного результата с пятым постулатом Евклида и общей проблемой параллельных прямых.
В заключении будут подведены итоги авторского исследования.
Отдельное приложение будет содержать независимый критический математический комментарий.
Такой порядок позволит сохранить целостность авторского доказательства и одновременно предоставить читателю возможность познакомиться с его самостоятельной экспертизой.
18. Заключительные замечания ко введению
Проблема Посидония представляется мне одним из наиболее показательных примеров того, как первоначально простой геометрический вопрос может приобрести фундаментальное значение для всей математической теории.
В самом деле, что может быть проще следующего построения?
Даны две точки на прямой.
В них восстановлены два равных перпендикуляра.
Их свободные концы соединены прямолинейным отрезком.
Но за этой элементарной конструкцией скрывается важнейший вопрос.
Какие геометрические свойства определяют взаимное расположение двух полученных прямолинейных объектов?
И каким образом можно доказать постоянство расстояния между ними?
Именно этот вопрос на протяжении многих столетий был связан с исторической проблемой Посидония.
Однако я считаю, что его исследование необходимо начинать не с предполагаемых множеств равноудалённых точек, а с определённых геометрических построений.
Первый постулат Евклида позволяет соединять две заданные точки прямолинейным отрезком.
Построение равных перпендикуляров позволяет установить определённые расстояния между концами соответствующих отрезков.
Свойство прямолинейности характеризует полученный объект как целостное кратчайшее соединение.
Таким образом, имеются все основные элементы для самостоятельного геометрического исследования.
Именно их взаимосвязь составляет предмет предлагаемого доказательства.
В этом смысле проблема Посидония имеет значение, выходящее далеко за пределы исторического спора об определении параллельных прямых.
Она заставляет вновь обратиться к самому понятию геометрического объекта.
К различию между точками и прямой.
К содержанию первоначальных постулатов.
К отношениям между построением и доказательством.
И наконец, к вопросу о том, каким образом из элементарных геометрических операций могут быть получены фундаментальные свойства пространства.
Главная идея настоящей работы заключается в следующем: для исследования эквидистантности необходимо исходить не из произвольно предполагаемой совокупности равноудалённых точек, а из непосредственно построенного прямолинейного объекта, геометрические свойства которого подлежат доказательству.
Именно с этой позиции я предлагаю вновь обратиться к древней проблеме Посидония.
Именно она определяет содержание всей настоящей брошюры.
*******
Глава 3. Перпендикуляры и геометрическая конструкция Посидония
3.1. Перпендикуляр как первоначальный объект геометрического построения
В предыдущих главах мы рассмотрели исторические основания проблемы Посидония, первоначальные определения прямой и параллельности, а также значение геометрической целостности прямолинейного отрезка.
Теперь перейдём непосредственно к построению, составляющему основу предлагаемого мной доказательства.
Его исходными элементами являются конечный прямолинейный отрезок и два равных перпендикуляра, восстановленных в концах этого отрезка.
На первый взгляд подобная конструкция представляется совершенно элементарной.
Действительно, что может быть проще двух равных отрезков, перпендикулярных одному прямолинейному основанию?
Однако именно исследование отношений между этими отрезками и прямолинейным соединением их свободных концов приводит нас к центральному вопросу проблемы Посидония.
Можно ли посредством такого построения получить другую прямую, находящуюся на постоянном расстоянии от первоначальной?
И какие геометрические свойства обеспечивают соответствующий результат?
Для ответа необходимо прежде всего рассмотреть само понятие перпендикуляра.
Определение перпендикуляра
Пусть две прямые пересекаются в некоторой точке.
Если при их пересечении образуются равные смежные углы, каждый из этих углов называется прямым.
Следовательно, прямой угол представляет собой половину развёрнутого угла.
В современной угловой мере его величина равна 90 градусам.
Две прямые называются перпендикулярными, если при их пересечении образуются прямые углы.
Таким образом, перпендикулярность определяется посредством определённого углового отношения.
Она не требует предварительного обращения к постулату о параллельных прямых.
Именно поэтому построение перпендикуляра может использоваться в качестве первоначальной геометрической операции при исследовании пятого постулата Евклида.
Построение перпендикуляра в классической геометрии
В первой книге «Начал» Евклида построению перпендикуляров посвящены специальные предложения.
В частности, предложение I.11 устанавливает возможность построить прямую, перпендикулярную данной прямой, через заданную точку, расположенную на ней.
Соответствующая конструкция основывается на построении равных отрезков, равностороннего треугольника и применении признаков конгруэнтности.
Таким образом, перпендикуляр является не произвольно предполагаемым, а геометрически строимым объектом.
Это обстоятельство имеет принципиальное значение.
В нашем исследовании оба перпендикуляра будут получены посредством обычных элементарных геометрических операций.
При этом не требуется предварительно устанавливать существование параллельных прямых.
Не требуется также принимать эквидистантность как уже доказанное свойство некоторой пары линий.
Мы начинаем с более простых отношений.
Перпендикуляр и расстояние
Перпендикуляр обладает ещё одним важным свойством.
Пусть дана прямая m и точка P, не принадлежащая ей.
Если из P опущен перпендикуляр PA на прямую m, то длина PA выражает кратчайшее расстояние от точки P до этой прямой.
Следовательно, перпендикуляр позволяет геометрически определить расстояние между точкой и прямой.
Это свойство делает его особенно важным для исследования эквидистантности.
Ведь постоянство расстояния между двумя прямыми должно выражаться посредством определённых геометрических величин.
Именно такие величины позволяют получать перпендикулярные отрезки.
Таким образом, перпендикуляр представляет собой первоначальный инструмент для исследования отношений равноудалённости.
Почему необходимы именно два перпендикуляра?
Предположим, что из некоторой точки A исходной прямой восстановлен перпендикуляр AP.
Его длина равна h.
Тогда точка P находится на определённом расстоянии от первоначальной прямой.
Но пока мы имеем только одну внешнюю точку.
Для построения другого прямолинейного объекта необходимо определить ещё одну точку.
Поэтому выберем на первоначальной прямой вторую точку B.
В ней восстановим другой перпендикуляр BQ.
Сделаем его равным первому.
В результате получим две точки P и Q, расположенные по одну сторону от исходной прямой на одинаковом расстоянии h от неё.
Теперь эти точки можно соединить прямолинейным отрезком.
Именно такой порядок геометрических действий составляет основу предлагаемого метода.
От перпендикуляра мы переходим к двум равным перпендикулярам.
От двух внешних точек — к прямолинейному соединению.
От полученной конструкции — к исследованию эквидистантности.
При этом каждый переход имеет вполне определённое геометрическое содержание.
3.2. Построение конечного основания AB
Начнём с построения первоначального прямолинейного отрезка.
Пусть дана геометрическая плоскость.
Выберем на ней две различные точки A и B.
По первому постулату Евклида соединим эти точки прямолинейным отрезком.
Обозначим полученный отрезок через AB.
Его длину обозначим буквой a.
Следовательно:
AB = a, где a > 0.
Таким образом, перед нами имеется конечный прямолинейный отрезок определённой положительной длины.
Геометрическое значение основания
В дальнейшем отрезок AB будет выполнять несколько функций.
Прежде всего он определяет положение двух исходных точек.
Кроме того, он задаёт прямолинейное направление, относительно которого будут строиться перпендикуляры.
Наконец, именно относительно прямой, содержащей AB, мы будем исследовать положение нового отрезка PQ.
Поэтому AB представляет собой не просто произвольно выбранную сторону будущей фигуры.
Это первоначальная геометрическая основа всей конструкции.
Произвольность длины основания
Обратим внимание на то, что длина a не должна иметь какое-либо специально установленное числовое значение.
В качестве основания можно выбрать отрезок длиной один сантиметр.
Можно рассмотреть отрезок длиной один метр.
Или тысяча километров.
Для геометрической постановки нашей задачи абсолютная величина основания не имеет определяющего значения.
Важно, что оно является прямолинейным и конечным.
И что на нём определены две различные точки A и B.
Все дальнейшие построения будут осуществляться относительно этих точек.
Следовательно, рассматриваемая конструкция не зависит от обязательного выбора некоторого специального масштаба.
Прямая и её конечный участок
Здесь необходимо уточнить используемую терминологию.
Отрезок AB имеет две определённые конечные точки.
Но его прямолинейность позволяет рассматривать его как часть соответствующей прямой.
В дальнейшем будем различать сам конечный отрезок AB и прямую, содержащую этот отрезок.
Это различие особенно важно для исследования параллельности.
Первоначально построение будет выполняться на конечном участке.
Затем будет рассмотрено значение полученных отношений для соответствующих прямых.
При этом нет необходимости заранее предполагать, что все свойства конечной конструкции автоматически распространяются на произвольное продолжение.
Каждый такой переход должен иметь собственное геометрическое основание.
Геометрическая определённость AB
Теперь зафиксируем исходные условия.
Точки A и B определены.
Отрезок AB построен.
Его длина положительна и конечна.
Положение его концов считается неизменным при выполнении последующих операций.
Таким образом, первоначальная геометрическая конструкция полностью определена.
Теперь перейдём к восстановлению первого перпендикуляра.
3.3. Восстановление перпендикуляра AP в точке A
В точке A построим перпендикуляр к прямой, содержащей отрезок AB.
Обозначим его через AP.
Для определённости будем считать, что точка P расположена выше первоначального основания на нашем чертеже.
Следовательно, перпендикуляр AP направлен в одну из двух полуплоскостей, ограниченных прямой AB.
Построение выполняется посредством обычной элементарной геометрической операции восстановления перпендикуляра в заданной точке прямой.
При необходимости могут использоваться конечные вспомогательные отрезки и окружности.
Однако нам не требуется предварительно предполагать неограниченное продолжение первоначального основания.
Угловое отношение
По определению перпендикулярности:
;PAB = 90°.
Следовательно, отрезок AP образует с основанием AB прямой угол.
Это первое установленное геометрическое отношение нашей конструкции.
Оно характеризует взаимное положение двух определённых прямолинейных отрезков.
Выбор длины перпендикуляра
Теперь выберем некоторую положительную конечную величину h.
Отложим её на построенном перпендикулярном луче, начиная от точки A.
Полученную конечную точку обозначим через P.
Следовательно:
AP = h.
Таким образом, положение точки P определяется двумя условиями.
Во-первых, она принадлежит перпендикулярному лучу, восстановленному в точке A.
Во-вторых, расстояние от A до P равно h.
Оба условия имеют непосредственное геометрическое содержание.
Точка P и исходная прямая
Поскольку AP перпендикулярен прямой AB, его длина определяет расстояние от точки P до этой прямой.
Следовательно:
d(P, AB) = h,
где запись d(P, AB) обозначает расстояние от точки P до прямой, содержащей AB.
Таким образом, мы построили первую внешнюю точку, находящуюся на заданном расстоянии h от первоначальной прямой.
Но пока не получили новой прямой.
Перед нами имеются только исходное основание AB и один перпендикуляр AP.
Для дальнейшего построения необходимо определить вторую внешнюю точку.
Именно к этому мы теперь перейдём.
3.4. Восстановление перпендикуляра BQ в точке B
Теперь рассмотрим второй конец первоначального основания — точку B.
Восстановим в ней перпендикуляр к прямой AB.
Обозначим его через BQ.
При этом необходимо выполнить одно существенное условие.
Перпендикуляр BQ должен быть направлен в ту же полуплоскость, что и первоначально построенный перпендикуляр AP.
Иначе говоря, точки P и Q должны находиться по одну сторону от прямой AB.
Это условие определяет взаимную ориентацию двух перпендикуляров.
Построение прямого угла
По определению:
;QBA = 90°.
Следовательно, отрезок BQ перпендикулярен первоначальной прямой.
Мы получили два прямых угла:
;PAB = 90°,
;QBA = 90°.
Таким образом, оба построенных отрезка AP и BQ перпендикулярны одной и той же прямой.
Это второе важнейшее отношение конструкции.
Почему нельзя менять сторону построения?
Предположим, что первоначальный перпендикуляр AP направлен вверх от основания AB.
Тогда второй перпендикуляр BQ также должен быть направлен вверх.
Если расположить его свободный конец по другую сторону от основания, получится иная геометрическая конфигурация.
Поэтому требование одинаковой ориентации перпендикуляров необходимо включить в условия построения.
Оно не является случайным свойством чертежа.
Именно от него зависит расположение внешних точек P и Q относительно первоначальной прямой.
Второй перпендикуляр как самостоятельный объект
Теперь важно отметить, что перпендикуляр BQ не является продолжением AP.
Он построен в другой точке основания.
Имеет собственную конечную точку Q.
И представляет собой самостоятельный прямолинейный отрезок.
Однако оба перпендикуляра находятся в определённой геометрической связи.
Они восстановлены к одной прямой.
Образуют с ней равные прямые углы.
Расположены по одну сторону от неё.
Остаётся установить ещё одно отношение — равенство их длин.
Именно оно завершит построение двух внешних точек, имеющих одинаковое расстояние до первоначальной прямой.
3.5. Установление равенства AP = BQ
В предыдущем разделе мы построили два перпендикуляра к первоначальной прямой AB.
Первый восстановлен в точке A.
Второй — в точке B.
Теперь необходимо установить равенство их длин.
Первоначальная длина
Напомним, что длина первого перпендикуляра была обозначена через h.
Следовательно:
AP = h.
Эта величина является положительной и конечной.
Она может быть выбрана произвольно в пределах допустимых конечных геометрических построений.
Перенесение длины
Теперь перенесём длину AP на второй перпендикулярный луч.
Для этого можно использовать окружность с центром B и радиусом, равным AP.
Точку её пересечения с выбранным перпендикулярным лучом обозначим через Q.
Тогда по самому построению:
BQ = AP.
Следовательно:
AP = BQ = h.
Это равенство не является результатом измерительной проверки готового чертежа.
Оно обеспечивается способом построения.
Именно поэтому мы можем использовать его как строго установленное геометрическое отношение.
Геометрический смысл равенства
Теперь рассмотрим два перпендикуляра вместе.
Отрезок AP имеет длину h.
Отрезок BQ также имеет длину h.
Каждый из них образует прямой угол с первоначальной прямой.
Следовательно, точки P и Q находятся на одинаковом расстоянии от прямой AB.
Получаем:
d(P, AB) = d(Q, AB) = h.
Таким образом, установлена равноудалённость двух определённых внешних точек.
Это непосредственный результат выполненной конструкции.
Почему данное построение принципиально важно?
Именно здесь необходимо вновь обратиться к исторической проблеме Посидония.
В традиционной критике соответствующего подхода нередко рассматривается предполагаемое множество точек, расположенных на постоянном расстоянии от заданной прямой.
Но в настоящем доказательстве мы действуем иначе.
Мы не объявляем некоторое множество точек уже готовой прямой.
Мы строим две определённые точки P и Q.
Причём положение каждой из них устанавливается посредством перпендикуляра к первоначальной прямой.
Следовательно, их равноудалённость является не произвольным предположением, а результатом конкретных геометрических действий.
Теперь эти точки могут быть использованы для построения нового прямолинейного отрезка.
Два равных расстояния и новая геометрическая задача
Вместе с тем необходимо точно определить, что получено на данном этапе.
Установлено:
AP = BQ.
Следовательно, две определённые внешние точки равноудалены от первоначальной прямой.
Но нас интересует не только взаимное расположение отдельных точек.
Нас интересует прямолинейный объект, соединяющий их.
Именно поэтому следующим этапом должно стать проведение отрезка PQ.
В результате возникнет новая геометрическая конструкция, свойства которой предстоит исследовать.
3.6. Соединение точек P и Q прямолинейным отрезком
Итак, мы имеем две определённые точки P и Q.
Обе расположены по одну сторону от прямой AB.
При этом:
AP = BQ = h.
Теперь воспользуемся первым постулатом Евклида.
Соединим точки P и Q прямолинейным отрезком.
Обозначим его через PQ.
Таким образом, получена новая геометрическая линия с заданными конечными точками.
Что именно устанавливает первый постулат?
Первый постулат разрешает провести прямолинейное соединение между двумя заданными точками.
Следовательно, построение PQ имеет определённое геометрическое основание.
Мы не предполагаем заранее существование некоторой линии, проходящей через произвольно выбранную совокупность точек.
Мы строим конкретный отрезок между P и Q.
Именно в этом заключается принципиальное отличие предлагаемой конструкции от той интерпретации проблемы Посидония, против которой направлена моя критика.
В историческом споре центральное место занимает вопрос о возможности получить прямую, равноудалённую от заданной.
В настоящем построении прямолинейное соединение двух определённых точек получено непосредственно.
Поэтому далее исследуется уже не вопрос о допустимости такого соединения, а его геометрическое положение относительно первоначального основания.
Прямолинейность PQ
Построенный отрезок PQ является прямолинейным.
Следовательно, он представляет собой кратчайшее соединение своих конечных точек.
Если некоторое промежуточное положение заменяется изломанным путём через точку R, не принадлежащую PQ, то:
PR + RQ > PQ.
Это обычное геометрическое свойство прямолинейного соединения.
В настоящем исследовании оно приобретает особое значение.
Мы будем рассматривать PQ как целостный геометрический объект.
Его конечные точки P и Q уже определены первоначальным построением.
Его прямолинейность также установлена.
Поэтому последующий анализ должен учитывать все эти свойства одновременно.
Почему нельзя заменить PQ произвольной кривой?
Предположим, что вместо прямолинейного отрезка PQ мы провели некоторую кривую, имеющую те же конечные точки.
Это уже было бы другим геометрическим объектом.
Он мог бы обладать иной длиной.
Иным расположением внутренних точек.
Иным отношением к первоначальной прямой.
Но наше построение требует именно прямолинейного соединения.
Поэтому любые рассуждения о взаимном положении его частей должны относиться к самому отрезку PQ, а не к произвольной линии, которой его можно было бы заменить.
Это обстоятельство составляет основу моего понимания геометрической целостности прямой.
Две определённые прямолинейные конструкции
Теперь перед нами имеются два прямолинейных отрезка.
Первый — AB.
Второй — PQ.
Они связаны двумя равными перпендикулярами AP и BQ.
Следовательно, мы получили целостную систему взаимосвязанных геометрических объектов.
Каждый её элемент имеет определённое происхождение.
Основание AB построено по двум исходным точкам.
Перпендикуляры AP и BQ восстановлены к первоначальной прямой.
Их длины установлены равными.
Отрезок PQ построен посредством прямолинейного соединения их свободных концов.
Таким образом, все исходные элементы конструкции определены.
Теперь необходимо рассмотреть их совместные свойства.
3.7. Полученная геометрическая система ABQP
В результате выполненных построений получена геометрическая система ABQP.
Её вершинами являются точки A, B, Q и P.
Сторона AB представляет собой первоначальное основание.
Сторона BQ — второй перпендикуляр.
Сторона QP — новое прямолинейное соединение свободных концов.
Сторона PA — первый перпендикуляр.
Таким образом, мы имеем замкнутый четырёхугольник ABQP.
Основные установленные отношения
Запишем все свойства, непосредственно следующие из построения.
Во-первых:
AB = a.
Во-вторых:
AP = BQ = h.
В-третьих:
;PAB = 90°.
В-четвёртых:
;QBA = 90°.
Наконец, точки P и Q соединены прямолинейным отрезком.
Таким образом, четырёхугольник ABQP имеет две равные стороны AP и BQ, перпендикулярные общему основанию AB.
Указанные отношения образуют первоначальную геометрическую структуру рассматриваемой фигуры.
Почему мы рассматриваем всю систему целиком?
На первый взгляд можно было бы ограничиться двумя равными перпендикулярами.
Но тогда новый прямолинейный объект PQ остался бы вне исследования.
Между тем именно его положение относительно AB представляет главный интерес.
Поэтому необходимо рассматривать все четыре стороны конструкции совместно.
Отрезок AB определяет первоначальное основание.
Отрезки AP и BQ задают равные расстояния в двух различных точках.
Отрезок PQ соединяет свободные концы этих перпендикуляров.
Следовательно, свойства PQ должны исследоваться с учётом всей системы ABQP.
Именно в этом смысле построение является геометрически целостным.
Вспомогательные диагонали
Для более подробного исследования проведём внутри четырёхугольника две диагонали.
Соединим A с Q.
Затем B с P.
Получим отрезки AQ и BP.
Они позволяют рассмотреть две пары треугольников и установить дополнительные отношения между их сторонами и углами.
В частности, рассмотрим треугольники PAB и QBA.
У них:
AP = BQ,
AB = BA,
;PAB = ;QBA = 90°.
Следовательно, по двум сторонам и углу между ними эти треугольники конгруэнтны.
Отсюда непосредственно:
PB = AQ.
Таким образом, диагонали построенного четырёхугольника равны.
Это самостоятельный геометрический результат.
Он следует из равенства первоначальных перпендикуляров, общего основания и равенства прямых углов.
Для его установления не требуется заранее принимать какое-либо положение об эквидистантности прямых AB и PQ.
Дополнительное следствие конгруэнтности
Теперь рассмотрим треугольники APQ и BQP.
У них:
AP = BQ,
AQ = BP,
PQ = QP.
Следовательно, эти треугольники конгруэнтны по трём сторонам.
Из их конгруэнтности получаем:
;APQ = ;BQP.
Таким образом, два угла четырёхугольника при вершинах P и Q равны между собой.
В результате построение обладает определённой симметрией.
Две стороны AP и BQ равны.
Два угла при основании A и B прямые.
Две диагонали AQ и BP равны.
Два угла при вершинах P и Q также равны.
Все перечисленные свойства установлены посредством элементарных геометрических отношений.
Значение полученной симметрии
Равенство диагоналей и углов при вершинах P и Q позволяет рассматривать построенный четырёхугольник как строго определённую геометрическую систему.
Но главным предметом нашего исследования остаётся положение стороны PQ относительно первоначального основания AB.
Поэтому полученные отношения должны рассматриваться как подготовка к дальнейшему доказательству.
Они существенно уточняют геометрическую структуру построения.
Теперь необходимо исследовать взаимное расположение двух его противоположных сторон.
3.8. Взаимное положение первоначального и построенного отрезков
Перед нами имеются два прямолинейных отрезка AB и PQ.
Они расположены по одну и другую стороны от внутренней области построенного четырёхугольника.
При этом концы второго отрезка определены посредством равных перпендикуляров к первому.
Необходимо рассмотреть, какие отношения между ними уже установлены и какие свойства подлежат дальнейшему исследованию.
Равенство расстояний в конечных точках
Прежде всего известно:
AP = h.
BQ = h.
Следовательно, точки P и Q равноудалены от первоначальной прямой AB.
Это непосредственно доказано построением.
Таким образом, расстояния в двух определённых точках построенного прямолинейного соединения равны.
Теперь необходимо рассмотреть положение остальных точек отрезка PQ.
Внутренняя точка нового отрезка
Выберем некоторую точку X, расположенную между P и Q.
Следовательно, X принадлежит прямолинейному отрезку PQ.
Рассмотрим расстояние от X до прямой AB.
Для этого опустим из X перпендикуляр к первоначальной прямой.
Пусть его основание обозначено через Y.
Тогда длина XY представляет собой расстояние от точки X до прямой AB.
Обозначим его через d.
Следовательно:
XY = d.
Основной вопрос теперь можно сформулировать совершенно точно.
Каково отношение между d и первоначальной длиной h?
Возможны три числовых отношения:
d < h,
d = h,
d > h.
Равенство d = h означает, что точка X находится на том же расстоянии от первоначальной прямой, что и конечные точки P и Q.
Неравенство d < h означало бы меньшее расстояние.
Неравенство d > h — большее.
Таким образом, вопрос об эквидистантности всей конструкции может быть исследован непосредственно посредством отношений между конечными перпендикулярными отрезками.
Прямолинейность и положение внутренней точки
Но точка X не является произвольной независимой точкой плоскости.
По определению она принадлежит отрезку PQ.
Следовательно, её положение связано с прямолинейным соединением P и Q.
Это обстоятельство имеет фундаментальное значение для авторского метода.
Нельзя рассматривать X исключительно как отдельный объект, произвольно перемещаемый относительно остальных элементов.
Принадлежность X отрезку PQ представляет собой определённое геометрическое условие.
Если положение X изменяется так, что она перестаёт принадлежать прямолинейному соединению P и Q, то изменяется сама рассматриваемая геометрическая конструкция.
Именно поэтому свойства внутренней точки необходимо исследовать в связи со свойствами всего отрезка.
Прямой путь и изломанный путь
Предположим, что вместо первоначального прямолинейного соединения P и Q рассматривается путь через некоторую точку R вне PQ.
Тогда выполняется:
PR + RQ > PQ.
Следовательно, изломанный путь длиннее первоначального прямолинейного соединения.
Этот результат непосредственно выражает свойство кратчайшего пути между двумя точками.
В настоящем исследовании он используется для постановки вопроса о геометрических последствиях предполагаемого изменения внутренней структуры прямолинейного объекта.
При этом необходимо учитывать все первоначально заданные условия.
Точки P и Q закреплены.
Отрезок PQ прямолинеен.
Его концы связаны равными перпендикулярами с первоначальной прямой AB.
Таким образом, исследование взаимного положения AB и PQ должно проводиться в пределах одной целостной геометрической системы.
Сближение и расхождение
Теперь рассмотрим геометрический смысл двух возможных отклонений расстояния d от первоначальной величины h.
Если d < h, точка X находится ближе к исходной прямой, чем конечные точки P и Q.
Если d > h, она находится дальше от исходной прямой.
Оба случая представляют интерес для доказательства.
В первом возникает вопрос о сближении рассматриваемых линий на некотором внутреннем участке.
Во втором — об их расхождении.
Но в обоих случаях необходимо учитывать, что X принадлежит построенному прямолинейному отрезку.
Именно поэтому исследование нельзя ограничить произвольным изменением положения одной точки.
Требуется определить, какие геометрические отношения допускаются первоначальной конструкцией ABQP как целым.
Этому вопросу будет посвящена следующая глава.
Конечный участок и вся прямая
Наконец, необходимо различать свойства построенных конечных отрезков и свойства содержащих их прямых.
Первоначально мы имеем конечный отрезок AB.
Построенный отрезок PQ также конечен.
Поэтому непосредственный анализ относится прежде всего к этим объектам.
Для перехода к утверждению о параллельности соответствующих прямых необходимо рассмотреть свойства их продолжений.
В частности, эквидистантность должна характеризовать не только конечные точки P и Q, но и соответствующие точки прямолинейного объекта на всём рассматриваемом протяжении.
Таким образом, вопрос о продолжении возникает как отдельный этап исследования.
Именно это разграничение позволяет сохранить доказательную последовательность предлагаемого метода.
3.9. Эквидистантность как исследуемое свойство всей конструкции
Теперь мы подошли к центральному вопросу настоящей главы.
Построена геометрическая система ABQP.
Два её противоположных боковых отрезка AP и BQ равны.
Оба перпендикулярны первоначальному основанию AB.
Свободные концы P и Q соединены прямолинейным отрезком.
Необходимо определить, какое общее свойство взаимного положения AB и PQ следует из данной конструкции.
Точная постановка задачи
Пусть:
AB = a,
AP = BQ = h,
;PAB = ;QBA = 90°.
Пусть PQ — прямолинейный отрезок, соединяющий свободные концы двух равных перпендикуляров.
Рассмотрим произвольную внутреннюю точку X отрезка PQ.
Опустим из неё перпендикуляр XY к прямой AB.
Основная задача заключается в установлении равенства:
XY = h.
Если оно выполняется для каждой точки X рассматриваемого отрезка, то весь отрезок PQ находится на постоянном расстоянии h от первоначальной прямой AB.
Именно это свойство мы будем называть эквидистантностью построенного отрезка относительно исходной прямой.
Почему речь идёт о свойстве целого?
Равенство AP = BQ непосредственно относится к двум боковым перпендикулярам.
Оно определяет расстояния в двух конечных точках.
Но эквидистантность всей конструкции характеризует взаимное расположение прямолинейных объектов.
Поэтому необходимо перейти от первоначальных равенств к общему свойству построенного отрезка PQ.
Именно такой переход составляет основное содержание авторского доказательства.
При этом важнейшее значение имеет то обстоятельство, что PQ уже построен как прямолинейный объект.
Мы не образуем его посредством произвольного перечисления равноудалённых точек.
Не объявляем множество таких точек прямой.
Мы имеем определённое прямолинейное соединение P и Q и исследуем его свойства.
Это различие принципиально.
Именно оно позволяет, на мой взгляд, иначе поставить проблему Посидония.
Два возможных подхода к исследованию
Первый подход заключался бы в последовательной проверке расстояний от отдельных точек PQ до первоначальной прямой.
Но такой способ сам по себе не раскрывает общего геометрического основания постоянства расстояния.
Второй подход состоит в исследовании свойств всего прямолинейного соединения.
Именно его я использую.
При этом центральную роль играет свойство кратчайшего пути.
Прямолинейное соединение двух определённых точек образует геометрически целостный объект.
Его внутренние элементы не могут рассматриваться независимо от его концов и прямолинейности.
Следовательно, вопрос о предполагаемом сближении или расхождении построенной линии должен анализироваться с учётом этих свойств.
Основной замысел авторского доказательства
Предположим, что взаимное расстояние между построенным отрезком PQ и первоначальной прямой AB изменяется.
Тогда в некоторой точке X возникает расстояние, отличающееся от первоначального h.
Следовательно, необходимо исследовать геометрическую возможность такого положения при одновременно заданных условиях:
AP = BQ,
AP ; AB,
BQ ; AB,
а также при сохранении прямолинейности PQ.
В авторском методе особое внимание уделяется вопросу о том, какие изменения взаимного положения внутренних элементов были бы необходимы для возникновения сближения или расхождения.
Эти изменения сопоставляются со свойством прямолинейного отрезка как кратчайшего соединения своих концов.
Таким образом, исследование приобретает конструктивный характер.
Мы анализируем не произвольное множество точек, а систему связанных геометрических объектов.
Именно эта система должна стать основанием общего вывода об эквидистантности.
Связь с исторической проблемой Посидония
Теперь можно вновь обратиться к первоначальному историческому вопросу.
В чём заключается основной смысл предлагаемого построения?
Посидоний связывал параллельность с постоянством расстояния между прямыми.
В позднейшей критике его подхода особое значение приобрёл вопрос о том, каким образом устанавливается существование соответствующей прямой.
В настоящем исследовании этот вопрос получает определённую конструктивную постановку.
Прежде всего строится первоначальный отрезок AB.
Затем восстанавливаются два равных перпендикуляра AP и BQ.
После этого их свободные концы соединяются прямолинейным отрезком PQ.
Следовательно, новая прямая не вводится посредством объявления некоторого множества точек уже существующим прямолинейным объектом.
Соответствующее прямолинейное соединение строится непосредственно.
Таким образом, первоначальная проблема существования геометрического объекта отделяется от проблемы доказательства его эквидистантности.
Именно такое разграничение позволяет точно определить содержание предлагаемого метода.
Почему мы не начинаем с определения параллельности?
В настоящей работе я намеренно не использую эквидистантность как заранее доказанное свойство построенных прямых.
Напротив, она является предметом исследования.
Сначала выполняется геометрическая конструкция.
После этого устанавливаются её непосредственные свойства.
И только затем исследуется возможность общего вывода о постоянстве расстояния.
Таким образом, определение параллельности не подменяет собой доказательство.
Именно это обстоятельство имеет принципиальное значение для разрешения проблемы Посидония.
Ведь если бы мы с самого начала объявили PQ равноудалённым от AB, то никакого самостоятельного геометрического исследования не потребовалось бы.
Но предлагаемая задача состоит именно в том, чтобы получить соответствующее свойство из отношений между первоначально построенными объектами.
Значение геометрической целостности
В качестве основного исследовательского принципа я использую представление о прямой как целостном кратчайшем соединении двух заданных точек.
Это свойство уже рассматривалось в предыдущей главе.
Теперь оно применяется к конкретному построению.
Отрезок PQ имеет определённые конечные точки.
Его прямолинейность установлена первым постулатом Евклида.
Следовательно, он не является произвольной линией, внутренние части которой могут независимо изменять положение без изменения самого объекта.
Поэтому доказательство эквидистантности должно учитывать всю систему отношений ABQP.
В частности, нельзя изменять положение отдельных элементов, сохраняя лишь их первоначальные названия.
Необходимо рассматривать геометрические объекты в тех отношениях, которые были определены самим построением.
Именно в таком понимании целостность прямой приобретает доказательное значение.
От построения к теореме
Итак, в настоящей главе нами получены следующие геометрические результаты.
Построен конечный прямолинейный отрезок AB.
В его концах восстановлены два перпендикуляра AP и BQ.
Установлено их равенство:
AP = BQ = h.
Точки P и Q соединены прямолинейным отрезком.
Получен четырёхугольник ABQP.
Кроме того, доказано равенство его диагоналей:
AQ = BP.
Установлено также равенство углов при вершинах P и Q:
;APQ = ;BQP.
Таким образом, исходная конструкция обладает целым рядом определённых геометрических свойств.
Теперь необходимо исследовать главное отношение — постоянство расстояния между первоначальным основанием и построенным прямолинейным соединением.
Итоги третьей главы
Проведённое построение позволяет сформулировать основную задачу следующей главы в строгой геометрической форме.
Дано: конечный прямолинейный отрезок AB; два равных перпендикуляра AP и BQ, восстановленных в его концах по одну сторону от первоначальной прямой; прямолинейный отрезок PQ, соединяющий свободные концы перпендикуляров.
Установлено:
AP = BQ = h;
;PAB = ;QBA = 90°;
AQ = BP;
;APQ = ;BQP.
Требуется доказать: что для каждой точки X построенного прямолинейного отрезка PQ расстояние до первоначальной прямой AB равно h, и исследовать соответствующее свойство для содержащих эти отрезки прямых.
Таким образом, проблема Посидония получает определённую конструктивную формулировку.
Мы начинаем не с произвольного множества равноудалённых точек, а с конкретной системы прямолинейных геометрических объектов.
Каждый её элемент имеет собственное основание построения.
Каждое первоначальное равенство устанавливается геометрически.
А эквидистантность рассматривается как общее свойство, подлежащее доказательству.
Главное значение проведённой конструкции заключается в переходе от двух равноудалённых точек к определённому прямолинейному объекту, взаимное положение которого с первоначальной прямой становится предметом самостоятельного исследования.
*****
Глава 4. Авторское доказательство разрешимости проблемы Посидония
4.1. Формулировка основной геометрической задачи
В предыдущей главе мы рассмотрели построение геометрической системы, состоящей из первоначального прямолинейного отрезка, двух равных перпендикуляров, восстановленных в его концах, и прямолинейного соединения свободных концов этих перпендикуляров.
Теперь перейдём непосредственно к доказательству основного положения настоящей работы.
Наша задача заключается в установлении эквидистантности двух прямых, полученных посредством указанной конструкции.
Напомним её первоначальные условия.
Пусть дан конечный прямолинейный отрезок AB.
В точке A восстановлен перпендикуляр AP.
В точке B восстановлен перпендикуляр BQ.
Оба перпендикуляра расположены по одну сторону от прямой AB и имеют одинаковую положительную конечную длину:
AP = BQ = h.
Свободные концы P и Q соединены прямолинейным отрезком.
В результате получена геометрическая система ABQP.
Таким образом, первоначальный отрезок AB и построенный отрезок PQ имеют определённые конечные точки и связаны двумя равными перпендикулярами.
Необходимо установить, сохраняется ли расстояние h между этими прямолинейными объектами на всём их рассматриваемом протяжении.
Именно данное положение составляет центральную задачу предлагаемого доказательства.
От равенства двух расстояний к общему геометрическому свойству
Равенство AP = BQ устанавливается непосредственно построением.
Следовательно, точки P и Q находятся на одинаковом расстоянии от первоначальной прямой AB.
Однако проблема Посидония имеет более общее содержание.
Нас интересует не только равенство расстояний в двух конечных точках.
Необходимо исследовать положение всех внутренних точек прямолинейного отрезка PQ.
Пусть X — произвольная внутренняя точка этого отрезка.
Опустим из X перпендикуляр XY к первоначальной прямой AB.
Тогда длина XY представляет собой расстояние от X до AB.
Требуется установить:
XY = h.
При этом X не является какой-либо специально выбранной точкой.
Она может занимать любое внутреннее положение на отрезке PQ.
Поэтому речь идёт об общем свойстве всей построенной прямолинейной конструкции.
Если указанное равенство установлено для каждой точки X, то отрезок PQ является эквидистантным первоначальной прямой AB.
После этого можно поставить вопрос о соответствующем отношении между прямыми, содержащими указанные отрезки.
Содержание авторского метода
Предлагаемое мной доказательство основано на рассмотрении прямой как целостного геометрического объекта.
Прямолинейный отрезок соединяет две определённые точки кратчайшим путём.
При закреплённых концах невозможно произвольно изменять внутреннюю структуру этого соединения, не изменяя его прямолинейности либо длины соединяющего пути.
Именно из этого свойства я предлагаю исходить при исследовании построенного отрезка PQ.
Основная идея состоит в рассмотрении предполагаемого изменения его расстояния от первоначальной прямой AB.
Если такое изменение допускается, необходимо определить, каким образом оно согласуется с прямолинейностью PQ, закреплённым положением его концов и условиями всей конструкции ABQP.
Таким образом, вопрос об эквидистантности переводится в вопрос о сохранении геометрической целостности прямолинейного соединения.
Именно эта связь составляет основу предлагаемого решения проблемы Посидония.
4.2. Исходные определения и допустимые построения
Для строго определённого изложения доказательства необходимо предварительно установить используемые понятия и геометрические операции.
При этом я намеренно ограничиваюсь первоначальными средствами элементарной геометрии.
Нам не требуется заранее принимать утверждение о существовании параллельных прямых.
Не требуется также пользоваться определением параллельности через уже доказанную эквидистантность.
Напротив, соответствующее свойство должно быть получено в результате исследования построенной геометрической конструкции.
Прямолинейный отрезок
Прямолинейным отрезком будем называть часть прямой, ограниченную двумя определёнными конечными точками.
Такой отрезок представляет собой геометрически целостное соединение своих концов.
В соответствии с первоначальным пониманием прямолинейности он является кратчайшим соединением двух заданных точек.
Если P и Q — его концы, а X принадлежит самому отрезку, то:
PX + XQ = PQ.
Если же R не принадлежит отрезку PQ, то:
PR + RQ > PQ.
Именно это различие между прямым и изломанным путями приобретает особое значение для дальнейшего доказательства.
Перпендикуляр
Перпендикуляром называется прямая, образующая при пересечении с другой прямой прямые углы.
В современной угловой мере величина каждого прямого угла составляет 90 градусов.
В настоящем доказательстве используются перпендикуляры, восстановленные в двух различных точках одной первоначальной прямой.
При этом их построение не предполагает предварительного доказательства эквидистантности соответствующих линий.
Равенство отрезков
Два отрезка называются равными, если они имеют одинаковую длину.
Равенство может устанавливаться посредством непосредственного геометрического перенесения длины с помощью циркуля.
Следовательно, условие AP = BQ имеет самостоятельное конструктивное основание.
Оно не является результатом предварительного предположения о параллельности.
Расстояние от точки до прямой
Расстоянием от точки до прямой будем называть длину перпендикуляра, опущенного из данной точки на эту прямую.
Таким образом, если XY перпендикулярен AB, то длина XY характеризует расстояние от точки X до прямой AB.
Эквидистантность
Два прямолинейных объекта будем называть эквидистантными, если расстояние между ними, определяемое соответствующими перпендикулярами, сохраняется постоянным на всём рассматриваемом протяжении.
В данной работе эквидистантность представляет собой не исходную предпосылку, а исследуемое геометрическое свойство.
Допустимые операции
В доказательстве используются следующие элементарные геометрические действия:
выбор двух различных точек на плоскости;
соединение заданных точек прямолинейным отрезком;
построение перпендикуляра в заданной точке прямой;
перенесение конечной длины на заданный луч;
построение вспомогательных прямолинейных отрезков;
сравнение длин посредством равенства и неравенства;
применение признаков конгруэнтности треугольников.
Центральным геометрическим принципом остаётся свойство прямолинейного отрезка как целостного кратчайшего соединения двух заданных точек.
Именно в рамках этих понятий и операций будет изложено доказательство.
4.3. Два равных перпендикуляра к одному прямолинейному основанию
Пусть дан конечный прямолинейный отрезок AB длиной a.
В точке A восстановим перпендикуляр AP.
В точке B восстановим перпендикуляр BQ.
Пусть оба перпендикуляра направлены по одну сторону от первоначальной прямой.
Отложим на них одну и ту же положительную конечную длину h.
Получим:
AP = BQ = h.
Таким образом, построены два равных прямолинейных отрезка, имеющих различные основания на одной прямой.
Угловые отношения
По определению перпендикулярности:
;PAB = 90°,
;QBA = 90°.
Следовательно, оба перпендикуляра образуют с первоначальным основанием прямые углы.
При этом их длины равны.
Таким образом, концы P и Q занимают определённое положение относительно прямой AB.
Геометрическая самостоятельность построения
Обратим внимание на важное обстоятельство.
Мы не предполагаем заранее, что через P и Q проходит прямая, параллельная AB.
Мы даже не используем на данном этапе понятие параллельности для характеристики взаимного положения будущего отрезка PQ.
Мы лишь выполнили две независимые операции восстановления перпендикуляров.
Затем установили равенство их длин.
Следовательно, положение двух внешних точек P и Q определяется исключительно первоначальными геометрическими условиями.
Это существенно отличает рассматриваемое построение от простого предположения о существовании некоторой прямой, все точки которой равноудалены от AB.
В нашей конструкции никакая подобная прямая пока не вводится.
Имеются только две определённые внешние точки и соответствующие равные перпендикуляры.
Равенство расстояний
Поскольку AP и BQ являются перпендикулярами к первоначальной прямой, получаем:
d(P, AB) = AP = h,
d(Q, AB) = BQ = h.
Следовательно:
d(P, AB) = d(Q, AB).
Это непосредственный геометрический результат.
Однако он характеризует только две определённые точки.
Для перехода к исследованию эквидистантности необходимо построить связывающий их прямолинейный объект.
Именно к этому мы теперь перейдём.
4.4. Прямолинейное соединение свободных концов перпендикуляров
Теперь рассмотрим точки P и Q.
Их положения определены предыдущими построениями.
Обе находятся по одну сторону от первоначальной прямой AB.
Обе расположены на одинаковом расстоянии h от неё.
По первому постулату Евклида соединим P и Q прямолинейным отрезком.
Получим отрезок PQ.
Что именно получено?
В результате выполненной операции построен новый геометрический объект.
Это не произвольная совокупность точек.
Не некоторая предполагаемая линия, существование которой необходимо принять отдельно.
И не результат мысленного объединения всех точек, удовлетворяющих определённому условию равноудалённости.
Перед нами непосредственно построенный прямолинейный отрезок.
Его концы P и Q определены.
Его прямолинейность обеспечивается самой операцией построения.
Следовательно, отрезок PQ имеет собственное геометрическое существование независимо от того, какое отношение между ним и AB будет установлено в дальнейшем.
Значение первого постулата
Именно в этом обстоятельстве я усматриваю принципиальное отличие предлагаемого решения от традиционной трактовки проблемы Посидония.
В исторической критике посидониевского подхода рассматривается предполагаемое множество равноудалённых точек.
Затем ставится вопрос о том, образует ли такое множество прямую.
Но в настоящем доказательстве новая прямая не определяется как множество заранее выбранных равноудалённых точек.
Она строится непосредственно между двумя определёнными точками.
Таким образом, вопрос о существовании прямолинейного соединения решается посредством первого постулата Евклида.
Дальнейшему исследованию подлежит уже геометрическое свойство построенного отрезка.
Это существенно меняет саму постановку задачи.
Кратчайшее соединение
Поскольку PQ является прямолинейным отрезком, он представляет собой кратчайшее соединение своих концов.
Следовательно, если X принадлежит PQ:
PX + XQ = PQ.
Если же некоторая точка R не принадлежит этому отрезку:
PR + RQ > PQ.
Таким образом, прямолинейное соединение обладает вполне определённым свойством минимальности.
Именно оно будет использовано при исследовании предполагаемого изменения взаимного расстояния между AB и PQ.
Построение завершено
На данном этапе мы располагаем следующей системой:
AB — первоначальное основание;
AP и BQ — два равных перпендикуляра;
PQ — прямолинейное соединение их свободных концов.
Следовательно, перед нами определённая геометрическая конструкция ABQP.
Теперь необходимо исследовать её целостность.
4.5. Целостность отрезка PQ и сохранение положения его концов
Важнейшим положением предлагаемого доказательства является рассмотрение прямолинейного отрезка как целостного геометрического объекта.
Это положение уже обсуждалось в предыдущих главах.
Однако теперь необходимо раскрыть его значение применительно к конкретной конструкции ABQP.
Закреплённые конечные точки
Прежде всего обратим внимание на положение точек P и Q.
Они получены посредством двух равных перпендикуляров.
При этом исходные точки A и B принадлежат первоначальной прямой.
Длины AP и BQ установлены равными.
Следовательно, положение P и Q определено условиями построения.
В дальнейшем мы не будем произвольно перемещать эти точки.
Они рассматриваются как закреплённые концы построенного отрезка PQ.
Таким образом, исследуемая конструкция имеет определённую и неизменную геометрическую основу.
Внутренние элементы прямой
Теперь рассмотрим произвольную внутреннюю точку X отрезка PQ.
По определению она принадлежит самому прямолинейному соединению.
Следовательно, её положение нельзя рассматривать независимо от положения P и Q и свойства прямолинейности PQ.
Если X принадлежит PQ, то:
PX + XQ = PQ.
Это равенство непосредственно характеризует принадлежность внутренней точки кратчайшему соединению его концов.
Теперь предположим, что некоторый внутренний элемент выводится из первоначального прямолинейного положения.
Тогда возникает уже иной путь между P и Q.
Если этот путь проходит через точку R, не принадлежащую PQ, то:
PR + RQ > PQ.
Таким образом, изменение взаимного расположения внутренних элементов не является нейтральной операцией, сохраняющей все свойства исходного прямолинейного соединения.
Оно изменяет геометрическую конструкцию.
Прямая и её деформация
В этой связи необходимо подчеркнуть принципиальное различие между прямой и её предполагаемой деформацией.
Прямая является определённым геометрическим объектом.
Деформированная линия, соединяющая те же конечные точки, уже не тождественна первоначальной прямой.
Она может иметь другую длину.
Иное взаимное расположение внутренних элементов.
Иные отношения с окружающими геометрическими объектами.
Но всё это относится к другой конструкции.
Поэтому при исследовании свойств PQ нельзя произвольно заменять его некоторой изменённой линией, одновременно продолжая считать её тем же самым прямолинейным отрезком.
Именно в этом состоит принцип геометрической целостности, используемый в авторском доказательстве.
Наглядная иллюстрация
Представим нерастяжимую нить, натянутую между двумя закреплёнными точками P и Q.
Если попытаться отвести её внутренний участок в сторону, сохранив оба конца неподвижными, возникнет необходимость увеличить длину соединяющего пути.
Если длина не может увеличиваться, предполагаемое изменение невозможно без нарушения первоначальных условий.
Подобная аналогия позволяет наглядно представить геометрическое содержание рассматриваемого принципа.
Разумеется, математическая прямая не является материальной нитью.
Однако её свойство кратчайшего соединения выражается строгим геометрическим неравенством.
Поэтому рассматриваемая аналогия не заменяет доказательства, а лишь поясняет его исходную идею.
Значение для проблемы Посидония
Теперь становится понятным, почему я придаю столь большое значение целостности прямой.
Нас интересует не произвольное расположение отдельных точек между P и Q.
Нас интересует определённый прямолинейный объект.
Следовательно, предполагаемое изменение его взаимного положения относительно AB необходимо рассматривать с учётом всей геометрической конструкции.
Именно на этом основании я предлагаю исследовать два возможных отклонения от эквидистантности.
Первое — сближение.
Второе — расхождение.
4.6. Предположение о сближении построенной прямой с первоначальной
Теперь рассмотрим первый возможный случай.
Предположим, что построенный прямолинейный отрезок PQ не сохраняет постоянного расстояния от первоначальной прямой AB.
В частности, допустим, что на некотором внутреннем участке он оказывается ближе к AB, чем его конечные точки.
Тогда существует внутренняя точка X отрезка PQ, расстояние от которой до AB меньше h.
Опустим из X перпендикуляр XY к первоначальной прямой.
Обозначим его длину через d.
По предположению:
d < h.
При этом:
AP = BQ = h.
Следовательно, конечные точки P и Q находятся на одинаковом расстоянии от первоначальной прямой, а некоторая внутренняя точка X — на меньшем.
Геометрический смысл предполагаемого сближения
Такое отношение означает, что в рассматриваемой внутренней области расстояние между прямолинейными объектами уменьшается.
Затем, при переходе к другому закреплённому концу, оно должно вновь принять первоначальное значение h.
Таким образом, предполагаемое сближение характеризуется изменением взаимного расстояния при неизменных конечных условиях.
Но здесь необходимо учитывать, что X не является отдельной свободно перемещаемой точкой.
Она принадлежит построенному отрезку PQ.
Следовательно, её положение связано со всей прямолинейной конструкцией.
Именно это обстоятельство имеет определяющее значение для дальнейшего рассуждения.
Авторский анализ предполагаемого сближения
Рассмотрим геометрическую ситуацию с позиции целостности прямого соединения.
Положение P и Q уже установлено посредством равных перпендикуляров.
Прямолинейный отрезок PQ также построен.
Следовательно, мы имеем определённое кратчайшее соединение заданных конечных точек.
Если теперь предположить изменение положения некоторого внутреннего элемента относительно первоначальной прямолинейной конструкции, то необходимо учитывать геометрические последствия такого изменения.
При выведении промежуточного элемента из прямого пути между закреплёнными концами возникает изломанное соединение.
Его длина больше длины первоначального прямолинейного отрезка.
Поэтому произвольная деформация PQ, сохраняющая P и Q неподвижными, не может одновременно сохранять первоначальную прямолинейность и длину.
Именно этим положением я руководствуюсь при исследовании предполагаемого сближения.
В рамках авторского подхода сближение нельзя вводить посредством произвольного изменения внутренних элементов PQ, продолжая считать полученный объект тем же самым прямолинейным соединением.
Значение рассматриваемого случая
Таким образом, предположение о сближении заставляет обратиться к вопросу о допустимости изменения внутреннего взаимного расположения элементов прямой.
Оно показывает, что задача об эквидистантности непосредственно связана с понятием геометрической целостности.
В дальнейшем этот вопрос будет рассмотрен совместно со вторым возможным случаем — расхождением.
4.7. Предположение о расхождении построенной прямой с первоначальной
Теперь рассмотрим противоположный случай.
Предположим, что построенный отрезок PQ на некотором внутреннем участке удаляется от первоначальной прямой AB.
Иначе говоря, существует внутренняя точка X, расстояние от которой до AB больше h.
Опустим из неё перпендикуляр XY.
Пусть:
XY = d.
По предположению:
d > h.
Вместе с тем:
AP = BQ = h.
Следовательно, конечные точки P и Q расположены на одинаковом расстоянии от первоначальной прямой, а точка X — на большем.
Геометрический смысл предполагаемого расхождения
В данном случае расстояние между рассматриваемыми объектами увеличивается на некотором внутреннем участке.
Но затем оно должно вновь принять значение h у другого закреплённого конца.
Следовательно, предполагаемое расхождение также характеризуется изменением взаимного расстояния при сохранении первоначальных конечных условий.
Здесь возникает тот же принципиальный вопрос.
Может ли рассматриваемое изменение быть совместимо с целостностью уже построенного прямолинейного отрезка PQ?
Закреплённые концы и внутренняя структура
Напомним, что P и Q не являются произвольно перемещаемыми точками.
Их положения определены построением.
Кроме того, PQ является прямолинейным соединением.
Поэтому положение его внутренних элементов должно рассматриваться в связи с данным геометрическим объектом.
Если вместо первоначального прямого пути рассматривается соединение через точку, выведенную из прямолинейного положения, возникает более длинный путь.
Следовательно, такое изменение представляет собой деформацию первоначальной геометрической конструкции.
Но деформированная линия не тождественна исходному отрезку PQ.
Таким образом, авторский анализ предполагаемого расхождения основывается на том же принципе, что и исследование сближения.
Прямолинейный объект нельзя произвольно изменять, сохраняя за ним все свойства первоначального кратчайшего соединения.
Единство двух рассматриваемых случаев
На первый взгляд сближение и расхождение представляют собой противоположные геометрические явления.
В первом случае расстояние уменьшается.
Во втором — увеличивается.
Но с позиции предлагаемого метода они имеют общее содержание.
Оба случая требуют исследования предполагаемого изменения взаимного положения внутренних элементов построенного прямолинейного объекта.
Следовательно, оба связаны с вопросом о допустимости такого изменения при сохранении прямолинейности и закреплённых концов.
Именно поэтому в дальнейшем они будут рассматриваться совместно.
4.8. Геометрические последствия изменения взаимного расстояния
Теперь объединим результаты предыдущих рассуждений.
Имеется построенная геометрическая система ABQP.
Положения всех четырёх её вершин определены.
Отрезки AP и BQ равны.
Они перпендикулярны первоначальному основанию.
Свободные концы соединены прямолинейным отрезком PQ.
Следовательно, первоначальная конструкция обладает определённой геометрической целостностью.
Три возможных отношения расстояний
Пусть X — внутренняя точка PQ.
Пусть XY — перпендикуляр из X к первоначальной прямой.
Тогда возможны три формальных отношения:
XY < h,
XY = h,
XY > h.
Первое выражает меньшее расстояние.
Второе — равенство расстояний.
Третье — большее расстояние.
Нас интересует вопрос о том, какое из этих отношений соответствует построенной геометрической системе.
Почему необходимо учитывать всю конструкцию?
В традиционном рассмотрении геометрического чертежа нередко анализируются отдельные точки и отрезки.
Но в настоящей задаче существует дополнительное обстоятельство.
Точки P и Q соединены прямолинейным отрезком.
Иными словами, они связаны определённым геометрическим отношением, которое распространяется на весь соединяющий их объект.
Поэтому внутреннюю точку X нельзя рассматривать как независимую от PQ.
Принадлежность X построенной прямой является обязательным условием.
Это положение имеет принципиальное значение для предлагаемого доказательства.
Если мы изменяем положение X произвольно, то можем получить другую геометрическую фигуру.
Но результат такого изменения не следует автоматически отождествлять с первоначально построенным прямолинейным отрезком.
Изменение расстояния и изменение геометрического объекта
В авторском методе я предлагаю рассматривать предполагаемое сближение или расхождение через вопрос о сохранении первоначальной прямолинейной структуры.
Если изменение расстояния осуществляется посредством вывода внутреннего элемента из прямолинейного положения, то соединение между закреплёнными концами перестаёт быть первоначальным кратчайшим путём.
Следовательно, такое изменение требует замены исходного геометрического объекта другим.
Но в нашей задаче первоначальная прямая PQ уже построена.
Её концы закреплены.
Её прямолинейность установлена.
Таким образом, нельзя одновременно произвольно изменять внутреннюю структуру отрезка и считать его неизменным.
Именно это обстоятельство, по моему убеждению, имеет определяющее значение для исследования эквидистантности.
Геометрическая целостность как основание вывода
Следовательно, задача сводится к установлению того, что предполагаемое изменение взаимного расстояния не должно рассматриваться независимо от целостности прямолинейного соединения.
Мы должны исследовать не множество возможных положений отдельных точек, а одну определённую геометрическую систему.
Именно такой подход позволяет связать вопрос об эквидистантности с первоначальными свойствами прямой.
В следующем разделе рассмотрим этот принцип в его наиболее общей форме.
4.9. Кратчайшее соединение и невозможность произвольной деформации прямой
Теперь необходимо подробнее рассмотреть фундаментальное свойство прямолинейного отрезка, на котором основан предлагаемый метод.
Пусть заданы две различные точки P и Q.
Соединим их прямолинейным отрезком.
Получим PQ.
Теперь выберем некоторую точку R, не принадлежащую этому отрезку.
Соединим P с R.
Затем R с Q.
Получим изломанный путь PRQ.
По неравенству треугольника:
PR + RQ > PQ.
Это строгое геометрическое отношение.
Оно показывает, что изломанный путь между двумя точками длиннее их прямолинейного соединения.
Что означает кратчайшее соединение?
Свойство кратчайшего соединения представляет собой не случайную числовую характеристику прямой.
Оно выражает определённую геометрическую организацию рассматриваемого объекта.
Прямолинейное соединение определяется взаимным положением двух конечных точек.
Внутренние элементы такого соединения располагаются на кратчайшем пути между ними.
Следовательно, изменение этого расположения связано с изменением самого геометрического объекта.
Именно в этом состоит смысл рассматриваемого принципа.
Невозможность произвольной деформации
Теперь предположим, что конечные точки P и Q закреплены.
При этом требуется сохранить длину PQ.
Можно ли произвольно изменить положение внутреннего участка прямолинейного отрезка, не нарушая ни одного из первоначальных условий?
Если такое изменение приводит к образованию изломанного пути, его длина становится больше PQ.
Следовательно, первоначальная длина не сохраняется.
Если же требуется сохранить прямолинейность, внутренние элементы должны принадлежать тому самому прямому соединению P и Q.
Поэтому произвольная деформация прямолинейного отрезка при закреплённых концах несовместима с сохранением всех первоначальных свойств.
Именно это положение я рассматриваю как фундаментальный геометрический принцип.
Прямая как целостный объект
Необходимо подчеркнуть, что речь идёт не о физических свойствах материальных тел.
Прямая не обладает упругостью.
Не является нитью.
Не сопротивляется деформации в физическом смысле.
Речь идёт о геометрическом определении.
Прямолинейный отрезок — это определённый объект, характеризуемый положением своих концов и кратчайшим соединением между ними.
Если объект изменён таким образом, что соединяющий путь перестал быть прямолинейным, мы имеем другую линию.
Следовательно, геометрическая целостность прямой означает сохранение её определяющих свойств.
Применение к конструкции ABQP
Теперь вернёмся к нашему построению.
Точки P и Q получены посредством равных перпендикуляров к AB.
Они соединены прямолинейным отрезком.
Следовательно, PQ является определённым целостным геометрическим объектом.
При исследовании его взаимного положения с AB необходимо учитывать именно это свойство.
Нельзя произвольно изменять положение отдельных внутренних элементов PQ, не рассматривая последствий для всей прямолинейной конструкции.
В авторском доказательстве данный принцип используется как основание исключения произвольного изменения внутренней структуры построенной прямой.
Таким образом, мы получаем центральное положение предлагаемого метода:
Прямолинейный отрезок с закреплёнными концами сохраняет своё определённое геометрическое положение как целостное кратчайшее соединение этих концов; его произвольная деформация означает изменение самой первоначальной конструкции.
Именно это положение используется при дальнейшем выводе об эквидистантности.
4.10. Установление взаимной эквидистантности построенных прямых
Теперь можно сформулировать основной результат авторского рассуждения.
Пусть построена система ABQP, удовлетворяющая условиям:
AP = BQ = h,
AP ; AB,
BQ ; AB.
Точки P и Q соединены прямолинейным отрезком.
Следовательно, PQ является целостным кратчайшим соединением своих конечных точек.
Наша задача заключалась в установлении постоянства расстояния между PQ и первоначальной прямой AB.
Рассмотрение внутренней точки
Пусть X — произвольная внутренняя точка PQ.
Опустим из неё перпендикуляр XY к AB.
Обозначим его длину через d.
В предыдущих разделах были рассмотрены два возможных отклонения от первоначальной величины h.
Первое:
d < h.
Второе:
d > h.
Оба случая рассматривались с точки зрения возможного изменения взаимного положения внутренних элементов уже построенной геометрической конструкции.
При этом исходным принципом является целостность прямолинейного отрезка PQ.
Авторский вывод
Поскольку PQ построен как прямолинейное кратчайшее соединение закреплённых точек P и Q, его нельзя произвольно деформировать, продолжая считать результат тем же самым геометрическим объектом.
В рамках предлагаемого мной понимания прямой как целостной конструкции предположения о её произвольном внутреннем сближении или расхождении относительно первоначального прямолинейного основания рассматриваются как несовместимые с сохранением исходной прямолинейной структуры.
Поэтому я заключаю, что построенный отрезок PQ сохраняет первоначальное расстояние h от прямой AB.
Следовательно, для произвольной внутренней точки X выполняется:
XY = h.
Но X была выбрана произвольно.
Поэтому указанное равенство относится ко всем точкам построенного отрезка PQ.
Таким образом, в авторском доказательстве получается отношение:
d(X, AB) = h для каждой точки X ; PQ.
Это и означает постоянство расстояния между построенным отрезком и первоначальной прямой.
Содержание полученного результата
Особенно важно, что эквидистантность здесь не вводилась в качестве первоначального определения построенного объекта.
Мы не начинали с утверждения о том, что PQ параллелен AB.
Не объявляли произвольное множество равноудалённых точек прямой.
Не использовали готовую формулу расстояния между параллельными прямыми.
Сначала были построены два равных перпендикуляра.
Затем их концы соединены прямолинейным отрезком.
После этого исследованы геометрическая целостность полученной конструкции и последствия предполагаемого изменения взаимного расстояния.
Именно в такой последовательности формулируется авторский вывод об эквидистантности.
От конечных отрезков к прямым
До настоящего момента мы рассматривали прежде всего конечные геометрические объекты.
Однако проблема Посидония относится к прямым как целым.
Следовательно, необходимо рассмотреть вопрос о продолжении первоначальных отрезков.
Пусть прямая m содержит AB.
Пусть прямая n содержит PQ.
Тогда исследование их взаимной эквидистантности требует применения установленного конструктивного принципа к соответствующим участкам этих прямых.
При этом важно сохранить определённость исходной операции.
Прямая n рассматривается как продолжение уже построенного прямолинейного объекта PQ.
А не как произвольная новая линия, положение которой независимо выбирается на каждом участке.
Таким образом, авторский метод связывает общее свойство прямой с её первоначальной геометрической конструкцией.
Именно это составляет основное содержание предлагаемого разрешения проблемы Посидония.
4.11. Построение через произвольную точку вне заданной прямой
Теперь рассмотрим более общую задачу.
Пусть дана прямая m.
Пусть P — произвольная точка, не принадлежащая этой прямой.
Требуется построить через P прямую, эквидистантную m.
Воспользуемся рассмотренным методом.
Первый шаг. Построение перпендикуляра
Из точки P опустим перпендикуляр PA на прямую m.
Пусть A — его основание.
Обозначим длину AP через h.
Следовательно:
AP = h.
Таким образом, первоначальная внешняя точка P находится на определённом расстоянии h от прямой m.
Второй шаг. Выбор другой точки основания
Теперь выберем на прямой m другую точку B.
Предполагается, что B отличается от A.
Соединим A и B прямолинейным отрезком.
Получим конечное основание AB.
Третий шаг. Построение второго перпендикуляра
В точке B восстановим перпендикуляр к прямой m.
Направим его в ту же сторону, в которой расположена точка P.
На данном перпендикуляре отложим длину h.
Полученную точку обозначим через Q.
Следовательно:
BQ = h.
Но:
AP = h.
Поэтому:
AP = BQ.
Таким образом, построены два равных перпендикуляра к первоначальной прямой.
Четвёртый шаг. Прямолинейное соединение
Теперь соединим точки P и Q прямолинейным отрезком.
Получим PQ.
По авторскому результату предыдущего раздела данная конструкция рассматривается как обеспечивающая эквидистантность PQ первоначальной прямой m.
Следовательно, получена прямая n, проходящая через заданную внешнюю точку P и обладающая требуемым отношением к исходной прямой.
Значение построения
Таким образом, проблема Посидония получает общую конструктивную постановку.
Нам не требуется предварительно выбирать всё множество точек, находящихся на расстоянии h от первоначальной прямой.
Достаточно иметь одну заданную внешнюю точку P.
Затем строится перпендикуляр к первоначальной прямой.
Выбирается другая точка основания.
В ней восстанавливается равный перпендикуляр.
И наконец, свободные концы соединяются прямолинейным отрезком.
Таким образом, через заданную точку получается новая геометрическая прямая.
Именно это обстоятельство имеет принципиальное значение для перехода от определения эквидистантности к вопросу о существовании соответствующего геометрического объекта.
4.12. Вопрос о единственности эквидистантной прямой
Теперь обратимся к следующей задаче.
Предположим, что через заданную точку P вне прямой m построена эквидистантная прямая n.
Может ли через ту же точку проходить другая, отличная от n прямая, также находящаяся на постоянном расстоянии h от m?
Этот вопрос имеет особое значение для проблемы параллельности.
Ведь существование прямой с определённым свойством и единственность такой прямой представляют собой разные математические утверждения.
Поэтому необходимо рассмотреть их отдельно.
Исходные условия
Пусть дана прямая m.
Пусть P — точка вне m.
Опустим из P перпендикуляр PA к m.
Обозначим:
AP = h.
Теперь предположим, что через P проходят две прямые n; и n;, каждая из которых обладает свойством постоянного расстояния h от m.
Необходимо исследовать, могут ли они быть различными.
Единственность точки на заданном перпендикуляре
Выберем на первоначальной прямой m точку B, отличную от A.
Восстановим в B перпендикуляр к m, направленный в ту же полуплоскость, что и AP.
На этом перпендикулярном луче отложим длину h.
Получим точку Q.
Её положение определяется однозначно.
Действительно, на заданном луче имеется только одна точка, находящаяся от его начала на заданном положительном расстоянии h.
Следовательно, соответствующая внешняя точка Q единственна.
Единственность прямой через две точки
Теперь воспользуемся другим первоначальным геометрическим свойством.
Через две различные точки может проходить только одна прямая.
Следовательно, точки P и Q определяют единственный прямолинейный объект.
Если две предполагаемые эквидистантные прямые проходят через P и через ту же определённую точку Q, они совпадают.
Именно в этом заключается конструктивный смысл единственности.
Авторская постановка общего вывода
В рассматриваемом построении каждая новая точка на требуемом расстоянии от m определяется посредством перпендикуляра.
Поэтому при переходе к другому основанию B возникает одна определённая точка Q.
А через P и Q проводится единственная прямая.
В рамках предложенного метода я рассматриваю это обстоятельство как основание единственности построенной эквидистантной прямой.
Тем самым утверждение о существовании получает дополнение в виде утверждения о единственности соответствующего геометрического объекта.
Значение для проблемы параллельных
Таким образом, вопрос о параллельности приобретает вполне определённое содержание.
Через заданную точку вне первоначальной прямой рассматривается построение единственной прямой, сохраняющей постоянное расстояние от исходной.
Именно это положение непосредственно связано с проблемой Посидония.
Его дальнейшее значение для пятого постулата Евклида будет рассмотрено в следующей главе.
4.13. Формулировка авторской теоремы о разрешимости проблемы Посидония
Теперь можно сформулировать основной результат настоящего исследования.
Теорема о разрешимости проблемы Посидония. Авторская формулировка.
Пусть дана прямая m и произвольная точка P, не принадлежащая этой прямой.
Из P опустим перпендикуляр PA на m.
Выберем на m другую точку B и восстановим в ней перпендикуляр BQ, направленный в ту же полуплоскость, что и PA.
Пусть:
AP = BQ.
Соединим точки P и Q прямолинейным отрезком согласно первому постулату Евклида.
Тогда, в соответствии с предлагаемым авторским принципом геометрической целостности прямолинейного соединения, построенная прямая PQ является эквидистантной первоначальной прямой m.
При этом через заданную внешнюю точку P определяется единственное прямолинейное соединение, отвечающее рассматриваемой конструктивной схеме.
Геометрическое содержание теоремы
Смысл сформулированного положения заключается в следующем.
Мы не принимаем заранее существование некоторой прямой, составленной из произвольно выделенных равноудалённых точек.
Напротив, мы строим определённую прямую посредством первоначальных геометрических операций.
Сначала задаётся исходная прямая.
Затем определяется внешняя точка.
После этого строятся два равных перпендикуляра.
Наконец, их свободные концы соединяются прямолинейным отрезком.
Таким образом, геометрический объект получается непосредственно посредством построения.
Эквидистантность рассматривается как результат исследования его свойств.
Почему это является решением проблемы Посидония?
Историческая проблема Посидония заключается прежде всего в обосновании существования прямой, находящейся на постоянном расстоянии от заданной.
В традиционной интерпретации соответствующее существование нередко связывается с предполагаемой совокупностью равноудалённых точек.
Но в предлагаемом мной доказательстве проблема решается иначе.
Существование прямолинейного соединения обеспечивается первым постулатом Евклида.
Равенство первоначальных расстояний устанавливается геометрически посредством двух равных перпендикуляров.
А свойство эквидистантности выводится в рамках авторского анализа целостности полученной прямолинейной конструкции.
Таким образом, проблема переносится из области предполагаемого существования некоторого множества точек в область конкретных геометрических построений.
Именно в таком виде я считаю историческую проблему Посидония разрешённой.
Значение теоремы
Полученный результат имеет принципиальное значение для теории параллельных прямых.
Он позволяет рассматривать параллельность через конструктивно устанавливаемое постоянство расстояния.
При этом первоначальным объектом выступает обычный прямолинейный отрезок.
Не требуется предварительно вводить какой-либо специальный бесконечный геометрический объект.
Не требуется также формулировать существование эквидистантной прямой как дополнительный постулат.
В рамках авторской конструкции соответствующий объект строится непосредственно.
Именно в этом заключается основное содержание теоремы.
4.14. Доказательство теоремы и её непосредственные следствия
Теперь изложим всю последовательность предлагаемого доказательства в единой форме.
Доказательство
Шаг 1. Построение первоначального основания.
Пусть дана прямая m.
Выберем на ней две различные точки A и B.
Соединим их прямолинейным отрезком AB.
Таким образом, первоначальное основание построено.
Шаг 2. Построение первого перпендикуляра.
В точке A восстановим перпендикуляр AP к первоначальной прямой.
Пусть его длина равна положительной конечной величине h.
Следовательно:
AP = h.
Шаг 3. Построение второго перпендикуляра.
В точке B восстановим второй перпендикуляр BQ, направленный в ту же полуплоскость, что и AP.
Отложим на нём длину h.
Получим:
BQ = h.
Следовательно:
AP = BQ.
Таким образом, две определённые внешние точки P и Q находятся на одинаковом расстоянии от первоначальной прямой.
Шаг 4. Построение нового прямолинейного объекта.
По первому постулату Евклида соединим P и Q прямолинейным отрезком.
Получим PQ.
Данный отрезок является кратчайшим соединением своих конечных точек.
Следовательно, он представляет собой определённый целостный геометрический объект.
Шаг 5. Закрепление первоначальных условий.
Положения точек A, B, P и Q определены.
Длины AP и BQ равны.
Оба перпендикуляра направлены по одну сторону от AB.
Отрезок PQ прямолинеен.
Таким образом, все первоначальные элементы геометрической конструкции ABQP установлены.
Шаг 6. Исследование внутренней точки.
Пусть X — произвольная внутренняя точка отрезка PQ.
Опустим из неё перпендикуляр XY к первоначальной прямой AB.
Пусть:
XY = d.
Требуется установить:
d = h.
Шаг 7. Рассмотрение предполагаемого сближения.
Предположим:
d < h.
В таком случае внутренняя точка X находится ближе к первоначальной прямой, чем закреплённые конечные точки P и Q.
В рамках авторского метода такое предполагаемое изменение рассматривается через вопрос о сохранении внутренней геометрической структуры прямолинейного соединения PQ.
Поскольку PQ представляет собой целостный кратчайший путь между закреплёнными P и Q, произвольное изменение положения его внутренних элементов не может сохранять все первоначальные свойства отрезка.
Шаг 8. Рассмотрение предполагаемого расхождения.
Теперь предположим:
d > h.
В этом случае внутренняя точка X находится дальше от первоначальной прямой, чем P и Q.
Аналогично предыдущему случаю возникает вопрос о совместимости предполагаемого изменения взаимного положения с целостностью построенного прямолинейного отрезка.
В авторском доказательстве расхождение также рассматривается как недопустимое изменение первоначальной прямолинейной конструкции при сохранении её закреплённых конечных точек.
Шаг 9. Применение принципа кратчайшего соединения.
Напомним, что если промежуточная точка R выводится из прямолинейного положения между P и Q, то:
PR + RQ > PQ.
Следовательно, произвольная деформация прямолинейного соединения приводит к увеличению соединяющего пути.
Поэтому при сохранении геометрической целостности исходного отрезка PQ его нельзя заменять иной линией, не изменяя самого объекта.
Именно это положение составляет центральный принцип авторского рассуждения.
Шаг 10. Вывод об эквидистантности.
На основании принятого принципа целостности построенного прямолинейного объекта я исключаю рассматриваемые варианты произвольного сближения и расхождения его внутренних элементов относительно первоначальной конструкции.
Следовательно, в авторской трактовке сохраняется первоначальное расстояние:
d = h.
Иначе говоря:
XY = AP = BQ = h.
Но X является произвольной внутренней точкой PQ.
Следовательно, полученное отношение рассматривается как общее свойство построенного прямолинейного отрезка.
Таким образом, в авторском доказательстве устанавливается эквидистантность PQ первоначальной прямой AB.
Шаг 11. Переход к произвольной внешней точке.
Поскольку первоначальное построение можно начать с любой заданной внешней точки P и её перпендикулярной проекции на исходную прямую, соответствующая конструкция имеет общий характер.
Следовательно, предложенный метод позволяет строить через заданную внешнюю точку прямолинейный объект, обладающий рассматриваемым свойством эквидистантности.
Шаг 12. Единственность построения.
Положение внешней точки на заданном перпендикуляре при фиксированной длине h определяется однозначно.
Через две различные точки проходит единственная прямая.
Поэтому для фиксированных исходных точек P и Q прямолинейное соединение является единственным.
В авторском методе именно это свойство используется при рассмотрении единственности построенной эквидистантной прямой.
Таким образом, последовательность доказательного рассуждения завершена.
Непосредственные следствия
Теперь рассмотрим основные результаты, которые автор связывает с полученной теоремой.
Следствие 1. Конструктивное существование эквидистантной прямой.
Через заданную точку вне первоначальной прямой может быть построен прямолинейный объект посредством соединения свободных концов двух равных перпендикуляров.
В рамках авторского доказательства полученная прямая обладает свойством постоянного расстояния от исходной.
Следствие 2. Постоянство расстояния.
Для каждой рассматриваемой точки X построенной прямой расстояние до первоначальной прямой выражается одной и той же величиной h.
Следовательно, взаимное расположение соответствующих прямолинейных объектов характеризуется эквидистантностью.
Следствие 3. Несближаемость и нерасходимость.
Из постоянства расстояния непосредственно следует отсутствие его уменьшения или увеличения на рассматриваемом протяжении.
Таким образом, эквидистантность обеспечивает несближаемость и нерасходимость прямых в соответствующем метрическом смысле.
Следствие 4. Отсутствие пересечения.
Если расстояние между двумя прямыми сохраняется равным положительной величине h, то они не имеют общей точки.
Действительно, в общей точке расстояние между прямыми равнялось бы нулю.
Но:
h > 0.
Следовательно, пересечение исключается.
Таким образом, эквидистантность обеспечивает непересекаемость соответствующих прямых.
Следствие 5. Конструктивный характер определения параллельности.
Параллельность может рассматриваться посредством определённого геометрического построения и доказательства постоянства расстояния, а не только посредством отрицательного утверждения об отсутствии пересечения.
Следствие 6. Значение для проблемы Посидония.
Традиционное возражение, основанное на отождествлении произвольного множества равноудалённых точек с прямой, не затрагивает непосредственно сам способ построения прямолинейного соединения двух определённых точек.
Следовательно, авторский метод позволяет предложить самостоятельное конструктивное решение исторической проблемы существования эквидистантной прямой.
Общий результат четвёртой главы
Подведём итог.
В настоящей главе было изложено авторское доказательство разрешимости проблемы Посидония.
Его исходным объектом является конечный прямолинейный отрезок AB.
В концах отрезка восстанавливаются два равных перпендикуляра AP и BQ.
Их свободные концы соединяются прямолинейным отрезком PQ.
После этого исследуется целостность полученного геометрического объекта и последствия предполагаемого изменения его взаимного расстояния относительно первоначальной прямой.
Главная идея доказательства заключается в рассмотрении прямой как целостного кратчайшего соединения двух определённых точек.
С этих позиций автор обосновывает свой вывод о постоянстве расстояния между построенными прямолинейными объектами.
Таким образом, предлагаемый метод принципиально отличается от той интерпретации проблемы Посидония, которая отождествляет прямую с произвольным множеством равноудалённых точек.
В нашем построении прямая получается непосредственно по первому постулату Евклида.
Равенство первоначальных расстояний устанавливается посредством двух равных перпендикуляров.
А эквидистантность рассматривается как геометрическое следствие целостности построенного прямолинейного соединения.
Именно в таком конструктивном понимании я считаю проблему Посидония разрешённой.
Вместе с тем настоящий результат имеет более широкое значение.
Он позволяет вновь обратиться к определению параллельных прямых и исследовать связь между их непересекаемостью, эквидистантностью и единственностью прямой, проходящей через заданную внешнюю точку.
********
Глава 5. Проблема Посидония и пятый постулат Евклида
5.1. Два исторических определения параллельности: непересекаемость и эквидистантность
В предыдущей главе было представлено авторское доказательство разрешимости проблемы Посидония посредством построения двух равных перпендикуляров к заданной прямой и прямолинейного соединения их свободных концов.
Теперь необходимо рассмотреть значение полученного результата для первоначальных оснований евклидовой геометрии.
Прежде всего обратимся к двум историческим подходам к определению параллельности.
Первый принадлежит Евклиду.
Второй связан с именем Посидония.
На первый взгляд эти определения могут показаться различными способами выражения одного и того же геометрического отношения.
Однако их содержательное различие представляется мне исключительно важным.
Евклидово определение параллельных прямых
В определении 23 первой книги «Начал» Евклид называет параллельными прямые, которые лежат в одной плоскости и при продолжении в обе стороны не встречаются друг с другом.
Таким образом, параллельность определяется через отсутствие пересечения.
Это отрицательная характеристика взаимного положения прямых.
Она устанавливает, чего между ними не происходит: они не имеют общей точки, сколько бы ни продолжались в соответствующих направлениях.
Но данное определение непосредственно не указывает, каким именно должно быть расстояние между такими прямыми.
Оно также не определяет способ построения второй прямой относительно первой.
Поэтому естественно возникает вопрос: какие геометрические отношения обеспечивают отсутствие пересечения?
Можно ли установить такое отношение непосредственно посредством построения?
И можно ли выразить его через определённую положительную геометрическую величину?
Эти вопросы имеют принципиальное значение для исследования пятого постулата.
Подход Посидония
Согласно свидетельству Прокла, Посидоний характеризовал параллельные прямые как линии, которые, находясь в одной плоскости, не сближаются и не расходятся, причём перпендикуляры, проведённые от одной линии к другой, равны.
В данном случае центральное значение приобретает уже не просто отсутствие пересечения.
Речь идёт о постоянстве взаимного расстояния.
Именно это свойство мы называем эквидистантностью.
Таким образом, в подходе Посидония параллельность характеризуется положительным геометрическим отношением.
Если расстояние между двумя прямыми постоянно, то их взаимное положение определяется посредством равенства соответствующих перпендикулярных отрезков.
Следовательно, это отношение можно исследовать непосредственно геометрическими средствами.
В частности, с помощью построения равных перпендикуляров и сравнения их длин.
Именно поэтому посидониевская трактовка представляет для меня особый интерес.
Содержательное различие двух определений
Рассмотрим теперь указанные определения совместно.
Евклид характеризует параллельность через непересекаемость.
Посидоний — через постоянство взаимного расстояния, исключающее сближение и расхождение.
Эти характеристики взаимосвязаны.
Если две прямые находятся на постоянном положительном расстоянии друг от друга, то они не могут иметь общей точки.
Действительно, в общей точке расстояние между ними было бы равно нулю.
Но постоянное положительное расстояние исключает такой случай.
Следовательно, из эквидистантности непосредственно следует непересекаемость.
Однако обратный переход требует самостоятельного геометрического основания.
Из одного лишь утверждения об отсутствии общей точки ещё не получается непосредственное числовое отношение между всеми соответствующими перпендикулярами.
Именно поэтому исследование эквидистантности имеет собственное математическое содержание.
Значение для первоначальных оснований геометрии
На мой взгляд, определение параллельности через постоянство расстояния обладает важным методологическим преимуществом.
Оно позволяет перейти от отрицательного свойства к положительному геометрическому отношению.
Вместо того чтобы ограничиваться утверждением о невозможности пересечения, мы можем исследовать определённые отрезки, их равенство и взаимное расположение.
Тем самым вопрос о параллельности приобретает конструктивную форму.
Необходимо построить соответствующие прямые.
Установить расстояние между ними.
И доказать его постоянство.
Именно этим путём развивается предлагаемое мной исследование.
В таком понимании проблема Посидония не является второстепенным эпизодом истории геометрии.
Она непосредственно затрагивает вопрос о том, каким образом фундаментальное отношение параллельности может быть получено из первоначальных геометрических построений.
5.2. Почему несближаемость имеет самостоятельное геометрическое содержание
Теперь необходимо подробнее рассмотреть понятие несближаемости прямых.
В обыденном геометрическом представлении параллельные линии нередко описываются как линии, которые не приближаются друг к другу.
Однако необходимо установить точный смысл подобного утверждения.
Ведь отсутствие пересечения и отсутствие сближения представляют собой различные характеристики взаимного положения геометрических объектов.
Непересекаемость и изменение расстояния
Предположим, что даны две прямые m и n.
Пусть они лежат в одной плоскости.
В определённых точках одной из них можно построить перпендикуляры к другой прямой и сравнить соответствующие расстояния.
Если на различных участках получаются неодинаковые значения, это характеризует изменение взаимного удаления.
Само же отсутствие пересечения устанавливает только отсутствие общей точки.
Следовательно, непересекаемость и постоянство расстояния выражают различные математические положения.
Именно поэтому нельзя заранее отождествлять их без соответствующего доказательства.
Понятие сближения
Пусть в двух различных положениях расстояние между рассматриваемыми линиями определяется величинами h; и h;.
Если при переходе в некотором направлении выполняется:
h; < h;,
то возникает отношение сближения.
Иначе говоря, расстояние уменьшается.
Напротив, если:
h; > h;,
имеет место увеличение взаимного расстояния, или расхождение.
Если же:
h; = h;,
то расстояние в двух рассматриваемых положениях одинаково.
Следовательно, сравнение перпендикулярных расстояний позволяет непосредственно характеризовать взаимное положение двух линий.
В этом заключается положительное геометрическое содержание понятий сближения и расхождения.
Несближаемость как особое отношение
Теперь рассмотрим несближаемость.
Она означает отсутствие уменьшения взаимного расстояния в рассматриваемом направлении.
Но отсутствие уменьшения ещё не тождественно постоянству расстояния.
Ведь расстояние может не уменьшаться, но увеличиваться.
Поэтому для характеристики полной эквидистантности необходимо одновременно исключить сближение и расхождение.
Именно так, согласно исторической передаче, формулировалась соответствующая идея Посидония.
Следовательно, несближаемость и нерасходимость выступают двумя взаимосвязанными характеристиками постоянства расстояния.
Их совместное рассмотрение позволяет получить более определённое метрическое содержание понятия параллельности.
Почему это различие принципиально?
Если ограничиться только утверждением о непересекаемости, мы будем рассматривать прежде всего наличие или отсутствие общей точки.
Если же исследовать несближаемость и нерасходимость, предметом анализа становятся сами отношения расстояний.
Таким образом, мы переходим от одной характеристики геометрического положения к другой.
Именно здесь обнаруживается значение посидониевского подхода.
Он позволяет поставить вопрос о параллельности посредством сравнения определённых конечных отрезков.
Следовательно, речь идёт не только о свойствах неопределённо продолженных прямых, но и о конкретных геометрических отношениях, доступных построению.
Несближаемость и авторский метод
В предлагаемом мной доказательстве понятие несближаемости получает особое содержание.
Мы начинаем с двух равных перпендикуляров к первоначальной прямой.
Их свободные концы соединяются прямолинейным отрезком.
После этого исследуется возможность изменения расстояния между построенным отрезком и первоначальным основанием.
В частности, рассматриваются предполагаемые сближение и расхождение.
При этом определяющее значение приобретает целостность построенного прямолинейного объекта.
Именно с этой позиции я обосновываю свой вывод о сохранении первоначального взаимного расстояния.
Таким образом, несближаемость рассматривается не как произвольно назначенное свойство прямых, а как результат геометрического исследования.
В этом заключается её самостоятельное значение для предлагаемой теоремы.
5.3. Постоянство расстояния и равенство перпендикуляров
Теперь перейдём к центральному метрическому отношению, лежащему в основе проблемы Посидония.
Речь идёт о равенстве перпендикуляров, определяющих расстояние между двумя прямыми.
Перпендикуляр как мера расстояния
Пусть дана прямая m.
Выберем точку P, не принадлежащую ей.
Опустим из P перпендикуляр PA к m.
Тогда длина PA представляет собой расстояние от P до m.
Обозначим его через h.
Следовательно:
PA = h.
Теперь рассмотрим другую точку Q, расположенную по ту же сторону от m.
Пусть из Q опущен перпендикуляр QB.
Если:
QB = h,
то точки P и Q находятся на одинаковом расстоянии от первоначальной прямой.
Таким образом, равенство расстояний выражается непосредственно посредством равенства перпендикуляров.
Это простое отношение составляет исходную основу всей рассматриваемой конструкции.
Два равных перпендикуляра
Пусть теперь точки A и B принадлежат прямой m.
В них восстановлены два перпендикуляра AP и BQ.
Предположим:
AP = BQ = h.
Таким образом, свободные концы перпендикуляров находятся на одинаковом расстоянии от первоначальной прямой.
Теперь соединим P и Q прямолинейным отрезком.
Получим PQ.
В результате возникает новая геометрическая задача.
Мы должны исследовать расстояние от остальных точек PQ до прямой m.
От двух равных расстояний к эквидистантности
Выберем произвольную внутреннюю точку X отрезка PQ.
Опустим из неё перпендикуляр XY к первоначальной прямой.
Пусть:
XY = d.
Необходимо установить отношение между d и h.
Если для каждой внутренней точки X выполняется:
d = h,
то весь построенный отрезок находится на постоянном расстоянии от первоначальной прямой.
Именно такое свойство составляет содержание эквидистантности.
В четвёртой главе я предложил авторское обоснование данного результата, основанное на геометрической целостности PQ и его свойстве кратчайшего соединения закреплённых конечных точек.
Таким образом, в рамках предлагаемого доказательства равенство первоначальных перпендикуляров получает продолжение в виде общего отношения постоянства расстояния.
Геометрическое значение постоянства расстояния
Если построенный отрезок PQ находится на постоянном расстоянии h от первоначальной прямой, то всякая его рассматриваемая точка удовлетворяет одному и тому же метрическому условию.
Следовательно, расстояние не уменьшается.
И не увеличивается.
Оно сохраняется.
Таким образом, построенная линия не сближается с первоначальной и не расходится с ней.
В этом отношении она соответствует посидониевской характеристике параллельных прямых.
Но необходимо подчеркнуть ещё одно обстоятельство.
Мы не получали прямую PQ посредством предварительного выбора всех точек, находящихся на расстоянии h.
Напротив, первоначально были определены только две внешние точки.
Затем они соединены прямолинейным отрезком.
И после этого исследовано свойство расстояния для всего построенного объекта.
Таким образом, равенство перпендикуляров выступает первоначальным конструктивным условием, а постоянство расстояния — общим результатом авторского исследования.
Значение для теории параллельности
Эквидистантность представляет собой положительное геометрическое отношение.
Её содержание выражается посредством определённой длины h.
Если h положительно, соответствующие прямые не могут пересекаться, пока данное отношение сохраняется.
Следовательно, постоянство расстояния непосредственно связывает метрическую характеристику прямых с их взаимным расположением.
Таким образом, в рамках предлагаемого метода устанавливается геометрический переход от равенства перпендикуляров к эквидистантности, а затем — от эквидистантности к непересекаемости.
Именно этот переход представляет собой главное содержание авторского решения проблемы Посидония.
5.4. Построение эквидистантной прямой и проблема её единственности
Одним из важнейших вопросов теории параллельных является вопрос о существовании и единственности прямой, обладающей определённым отношением к первоначальной прямой.
Эти два свойства необходимо различать.
Существование отвечает на вопрос, можно ли получить соответствующий геометрический объект.
Единственность — существует ли только один такой объект при заданных условиях.
В настоящей работе оба вопроса рассматриваются посредством авторской конструкции равных перпендикуляров.
Построение через заданную внешнюю точку
Пусть дана прямая m.
Пусть P — произвольная точка, не принадлежащая этой прямой.
Опустим из P перпендикуляр PA к m.
Обозначим:
AP = h.
Теперь выберем другую точку B на прямой m.
Восстановим в ней перпендикуляр BQ, направленный в ту же полуплоскость, что и PA.
Отложим на нём длину h.
Получим:
AP = BQ = h.
После этого соединим P и Q прямолинейным отрезком.
Получим PQ.
В соответствии с авторским доказательством, изложенным в предыдущей главе, построенная прямая рассматривается как эквидистантная первоначальной.
Следовательно, соответствующий геометрический объект получен непосредственно посредством построения.
Почему существование имеет самостоятельное значение?
В традиционной проблеме Посидония вопрос о существовании эквидистантной прямой играет центральную роль.
Ведь недостаточно определить параллельные прямые как равноудалённые.
Необходимо также установить возможность получения прямой, обладающей соответствующим свойством.
Именно поэтому в предлагаемом методе исходное значение имеет первый постулат Евклида.
Он позволяет провести прямолинейное соединение двух определённых точек.
Однако при этом я различаю само построение нового отрезка и доказательство его эквидистантности.
Первое осуществляется посредством первоначальной геометрической операции.
Второе связано с исследованием целостности построенной конструкции.
Таким образом, проблема существования получает конструктивную постановку.
Единственность точки на перпендикуляре
Теперь рассмотрим вопрос о единственности.
Пусть на первоначальной прямой выбрана точка B.
В ней восстановлен перпендикуляр в заданную полуплоскость.
На полученном луче необходимо отложить положительную длину h.
При этих условиях положение точки Q определяется однозначно.
Действительно, на данном луче существует только одна точка, находящаяся на заданном расстоянии h от его начала.
Следовательно, для выбранного основания B точка Q единственна.
Единственность прямолинейного соединения
Теперь рассмотрим две определённые точки P и Q.
Через них проходит единственная прямая.
Поэтому при фиксированных P и Q прямолинейное соединение PQ не допускает другого положения.
Таким образом, построение исключает произвольность выбора прямолинейного объекта после определения его конечных точек.
Именно это свойство я использую при рассмотрении единственности.
Общая постановка вопроса о единственности
Однако проблема параллельности имеет более широкое содержание.
Необходимо рассмотреть не только единственность прямой через два заранее определённых конца, но и вопрос о единственности эквидистантной прямой через одну заданную внешнюю точку.
В авторском подходе этот вопрос связан с возможностью произвольного выбора второго основания B на первоначальной прямой.
Для каждого такого основания строится точка Q, находящаяся на расстоянии h.
Если полученное отношение эквидистантности характеризует один и тот же целостный прямолинейный объект, то различные конечные построения представляют собой участки одной прямой.
В этом заключается геометрический смысл рассматриваемой единственности.
Именно таким образом я связываю первоначальную конструкцию с общим утверждением о прямой, проходящей через заданную внешнюю точку.
Значение для пятого постулата
В современной формулировке проблема параллельности непосредственно связана с утверждением о существовании единственной параллельной прямой через точку вне заданной прямой.
Поэтому авторское исследование эквидистантности имеет значение не только для определения параллельности, но и для вопроса о её единственности.
Если через заданную точку построена единственная эквидистантная прямая, то соответствующее свойство приобретает значение общего геометрического принципа.
Таким образом, проблема Посидония оказывается непосредственно связанной с одной из наиболее известных формулировок пятого постулата Евклида.
5.5. Соотношение определения параллельности и теоремы о параллельных
Теперь необходимо рассмотреть важнейшее методологическое различие.
Определение геометрического понятия и доказательство существования соответствующего геометрического объекта — не одно и то же.
Это положение представляется мне принципиальным.
Именно недостаточное разграничение данных вопросов, на мой взгляд, стало одной из причин многовековых затруднений в исследовании проблемы Посидония.
Определение не заменяет построения
Предположим, что параллельными называются две прямые, расположенные на постоянном расстоянии друг от друга.
Такое определение устанавливает содержание понятия параллельности.
Но оно само по себе ещё не описывает способ построения соответствующей пары прямых.
Следовательно, возникает самостоятельная задача.
Необходимо показать, каким образом можно получить геометрические объекты, обладающие требуемым отношением.
Именно эта задача составляет содержание предлагаемого исследования.
Мы не ограничиваемся определением эквидистантности.
Мы строим первоначальный отрезок.
Восстанавливаем два равных перпендикуляра.
Соединяем их свободные концы.
И исследуем полученную геометрическую систему.
Таким образом, определение и построение занимают различные места в доказательстве.
Построение и доказательство свойства
Теперь необходимо провести ещё одно разграничение.
Само построение прямолинейного отрезка PQ не является простым словесным объявлением его параллельным первоначальной прямой.
Построение устанавливает существование определённого геометрического объекта.
Но его отношение к исходной прямой становится предметом самостоятельного доказательства.
Именно поэтому в четвёртой главе было уделено особое внимание свойству кратчайшего соединения и геометрической целостности прямой.
Авторский вывод об эквидистантности опирается на исследование данной конструкции как целого.
Таким образом, предлагаемая последовательность имеет следующий характер:
первоначальные геометрические объекты ; построение новой прямой ; исследование её свойств ; вывод об эквидистантности ; определение отношения параллельности.
Именно такой порядок я считаю необходимым для конструктивного подхода к проблеме Посидония.
Пятый постулат и его содержание
Теперь обратимся непосредственно к пятому постулату Евклида.
В первоначальной формулировке он утверждает, что если прямая, пересекающая две другие прямые, образует внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, то эти две прямые при продолжении встретятся с той стороны, где указанная сумма меньше двух прямых.
Таким образом, постулат связывает угловые отношения с существованием точки пересечения.
На первый взгляд его содержание существенно отличается от определения параллельности через эквидистантность.
Однако оба положения относятся к одной фундаментальной проблеме — взаимному расположению прямых в плоскости.
В одном случае рассматриваются условия их пересечения.
В другом — условия постоянства взаимного расстояния.
Поэтому исследование эквидистантности непосредственно затрагивает геометрические основания теории параллельных.
Определение и эквивалентные геометрические утверждения
В истории геометрии пятый постулат неоднократно выражался посредством других формулировок.
Особенно известна формулировка, согласно которой через точку вне заданной прямой проходит единственная параллельная ей прямая.
Таким образом, проблема существования и единственности занимает центральное место в теории параллельности.
Именно к этому вопросу непосредственно обращается предлагаемая конструкция.
Если через заданную внешнюю точку можно построить эквидистантную прямую и установить единственность такого построения, возникает геометрическое основание для соответствующей теоремы о параллельных.
Следовательно, проблема Посидония имеет значение, выходящее за пределы одного определения.
Она непосредственно связана с вопросом о доказательном статусе пятого постулата Евклида.
Исторический порядок доказательств в «Началах»
Здесь представляет интерес сама последовательность предложений первой книги «Начал».
В предложениях I.27 и I.28 Евклид устанавливает достаточные угловые условия параллельности.
При этом соответствующие доказательства предшествуют предложению I.29, в котором из параллельности прямых выводятся определённые равенства углов.
Именно в доказательстве последнего предложения используется пятый постулат.
Данная последовательность показывает, что в первоначальной системе Евклида переходы между угловыми отношениями и параллельностью занимают различные места в логической структуре геометрии.
Поэтому вопрос о возможности получить параллельность через другие первоначальные построения представляет самостоятельный интерес.
Именно такой путь я предлагаю исследовать посредством конструкции равных перпендикуляров.
5.6. Сравнение авторского построения с исторической постановкой Посидония
Теперь рассмотрим, в чём заключается сходство и различие исторического подхода Посидония и предлагаемого мной конструктивного метода.
Прежде всего необходимо подчеркнуть их общую основу.
И Посидоний, и я рассматриваем постоянство расстояния как фундаментальное геометрическое отношение, характеризующее параллельность.
Однако способ постановки задачи имеет существенные особенности.
Историческая идея Посидония
Согласно дошедшей до нас исторической передаче, Посидоний связывал параллельность прямых с отсутствием сближения и расхождения и равенством соответствующих перпендикуляров.
Таким образом, в центре его подхода находилось метрическое отношение между прямыми.
Это представляется мне исключительно важным.
Ведь расстояние, в отличие от простого отсутствия пересечения, может быть непосредственно представлено определённым отрезком.
Следовательно, эквидистантность допускает исследование посредством элементарных геометрических построений.
Именно поэтому ещё в 1997 году я выступил в защиту содержательной правомерности посидониевского подхода.
Проблема исторической интерпретации
В последующей истории геометрии значительное место заняло возражение, согласно которому определение Посидония якобы предполагает существование прямой, все точки которой равноудалены от другой прямой.
При этом вопрос о существовании такой прямой представлялся самостоятельной недоказанной предпосылкой.
Но здесь возникает важнейшее различие.
Одно дело — определять параллельность через постоянство расстояния между двумя прямыми.
И совсем другое — объявлять некоторую произвольную совокупность равноудалённых точек уже готовой прямой.
Эти положения не тождественны.
Поэтому я считаю необходимым критически рассматривать позднейшую интерпретацию первоначальной идеи Посидония.
При этом, разумеется, необходимо учитывать, что сведения о его геометрических взглядах дошли до нас преимущественно через других античных авторов.
Следовательно, исторический вопрос о точном содержании первоначального рассуждения требует самостоятельного источниковедческого исследования.
Однако для настоящей работы важнее другое.
Мы можем рассмотреть проблему существования эквидистантной прямой непосредственно, независимо от неопределённости исторических деталей.
Особенность предлагаемого мной метода
В авторском доказательстве рассматривается конкретное геометрическое построение.
Сначала выбирается конечный отрезок AB.
Затем в его концах восстанавливаются два равных перпендикуляра AP и BQ.
После этого точки P и Q соединяются прямолинейным отрезком.
Таким образом, новая прямая возникает посредством первоначального геометрического действия.
Мы не объявляем её существующей исключительно потому, что две отдельные точки находятся на одинаковом расстоянии от первоначальной прямой.
Мы строим её непосредственно.
И затем исследуем её свойства.
Именно это обстоятельство составляет принципиальное отличие предлагаемого метода.
Защита Посидония в работе 1997 года
В книге «Общий кризис теоретико-множественной математики и пути его преодоления», опубликованной в Москве в 1997 году, я впервые выступил в защиту подхода Посидония.
Тогда проблема рассматривалась прежде всего в контексте более широкого исследования оснований математики.
Особое значение имели вопросы существования геометрических объектов, природы прямой, потенциальной и актуальной бесконечности.
Уже в тот период я считал, что традиционные возражения против Посидония не исчерпывают всего содержания его идеи.
Однако непосредственное конструктивное доказательство эквидистантности не являлось самостоятельным предметом той работы.
Развитие исследования в 2025–2026 годах
В публикации «Теорема о параллельных прямых: к основаниям Гармонической геометрии» (2025) проблема получила дальнейшее развитие.
В частности, было предложено рассматривать геометрическую систему, образованную двумя равными перпендикулярами и прямолинейным соединением их свободных концов.
Настоящая брошюра представляет собой самостоятельное подробное исследование данной конструкции.
При этом я намеренно не связываю её доказательное содержание с предварительным принятием всей системы понятий гармонической геометрии.
Исходными объектами являются обычные отрезки, перпендикуляры и прямолинейные соединения.
Следовательно, рассматриваемая задача непосредственно относится к первоначальным основаниям классической геометрии.
Главное отличие от исторической постановки
Таким образом, моя позиция заключается не просто в повторении определения Посидония.
Я предлагаю дополнить соответствующее понимание параллельности конкретным геометрическим построением.
Его основная задача — установить существование прямолинейного объекта и исследовать постоянство расстояния между ним и первоначальной прямой.
Именно это позволяет перейти от исторической идеи к самостоятельной геометрической теореме.
В таком переходе я вижу главное содержание настоящего исследования.
5.7. Почему геометрическое построение важнее простого перечисления равноудалённых точек
Теперь необходимо подробнее рассмотреть различие, которое имеет центральное значение для всей брошюры.
Речь идёт о различии между множеством точек, удовлетворяющих некоторому условию, и геометрическим объектом, построенным посредством определённой операции.
На мой взгляд, именно недостаточная определённость этого различия способствовала возникновению исторических возражений против подхода Посидония.
Множество точек как исходная характеристика
Предположим, что на плоскости дана прямая m.
Выберем несколько точек, расположенных по одну сторону от неё.
Обозначим их:
P;, P;, P;, P;.
Пусть каждая из этих точек находится на одинаковом расстоянии h от первоначальной прямой.
Следовательно:
d(P;, m) = h,
d(P;, m) = h,
d(P;, m) = h,
d(P;, m) = h.
Мы установили определённое общее свойство выбранных точек.
Но какой именно геометрический объект получен?
На данном этапе перед нами имеются четыре отдельные точки.
Мы не проводили прямолинейных соединений между ними.
Не исследовали взаимное расположение соответствующих соединений.
И не устанавливали существование единой прямой, содержащей все выбранные точки.
Следовательно, равенство расстояний само по себе не является выполненной операцией построения прямой.
Именно это обстоятельство показано на рисунке 1.2.1, воспроизведённом в иллюстративном материале настоящей брошюры.
Переход к прямолинейному объекту
Теперь рассмотрим другой случай.
Пусть имеются две определённые точки P и Q, равноудалённые от первоначальной прямой m.
Соединим их прямолинейным отрезком.
Получим PQ.
В результате выполнена новая геометрическая операция.
Мы уже не ограничиваемся указанием на две отдельные точки.
Мы имеем определённый прямолинейный объект.
Его концы известны.
Его положение установлено.
Его прямолинейность обеспечивается первоначальным построением.
Именно такой переход представлен на рисунке 1.2.2.
Почему это различие принципиально?
На первый взгляд может показаться, что речь идёт лишь о несущественной особенности геометрического описания.
Но это не так.
Выбор отдельных точек и построение прямолинейного соединения между ними — различные действия.
Следовательно, они не должны подменять друг друга.
Если мы располагаем несколькими точками, имеющими одинаковое расстояние до первоначальной прямой, это ещё не означает, что мы выполнили геометрическую операцию соединения этих точек.
Но если мы непосредственно строим прямолинейное соединение, возникает определённый объект, свойства которого могут быть исследованы самостоятельно.
Именно поэтому я придаю столь большое значение первому постулату Евклида.
Он обеспечивает саму возможность получения прямолинейного соединения двух заданных точек.
Построение не заменяет доказательства свойства
Вместе с тем необходимо подчеркнуть ещё одно обстоятельство.
Проведение прямолинейного отрезка между двумя равноудалёнными точками устанавливает существование соответствующего отрезка.
Но задача исследования этим не исчерпывается.
Необходимо также установить его отношение к первоначальной прямой.
Именно поэтому после построения PQ я обращаюсь к свойству прямолинейного соединения как целостного кратчайшего пути.
Таким образом, предлагаемый метод объединяет две последовательные операции.
Первая — конструктивное получение геометрического объекта.
Вторая — исследование его взаимного положения относительно первоначальной прямой.
Следовательно, речь идёт не о подмене доказательства чертежом, а о последовательном переходе от построения к исследованию соответствующего свойства.
Целостность геометрического объекта
В данном контексте вновь приобретает значение представление о прямой как целостной геометрической конструкции.
Прямолинейный отрезок не является произвольным набором независимо расположенных точек.
Он представляет собой кратчайшее соединение своих концов.
Следовательно, свойства внутренних элементов должны рассматриваться в связи со всем объектом.
Именно поэтому попытка произвольно изменить взаимное расположение отдельных внутренних элементов означает переход к другой геометрической конструкции.
Этот принцип был подробно исследован в предыдущих главах.
Теперь его значение становится особенно очевидным.
Ведь историческая проблема Посидония непосредственно касается вопроса о существовании прямой с определённым метрическим свойством.
Следовательно, необходимо исследовать прямую именно как геометрический объект, а не только как формальное множество точек.
Значение для оснований математики
Указанное различие имеет, на мой взгляд, более общее значение.
В математике необходимо разграничивать определение объекта через некоторую совокупность свойств и его непосредственное конструктивное получение.
Эти подходы могут дополнять друг друга.
Но они не должны безосновательно отождествляться.
Особенно важно такое разграничение при исследовании первоначальных оснований геометрии.
Ведь именно здесь вопрос о существовании объекта приобретает фундаментальный характер.
Поэтому в настоящей работе я последовательно использую принцип:
Сначала геометрический объект должен быть определён или построен посредством допустимых первоначальных операций; затем исследуются и доказываются его свойства.
Именно этот порядок составляет методологическую основу предлагаемого решения проблемы Посидония.
5.8. Авторский вывод о разрешимости проблемы Посидония
Теперь можно подвести итог проведённому исследованию и сформулировать основной авторский результат.
В предыдущих главах была рассмотрена геометрическая конструкция, состоящая из первоначального прямолинейного основания, двух равных перпендикуляров и прямолинейного соединения их свободных концов.
Затем исследовалось свойство геометрической целостности полученного отрезка.
На этой основе в четвёртой главе было представлено авторское доказательство эквидистантности построенной прямой относительно первоначальной.
Теперь необходимо определить общее значение полученного результата.
Первоначальная геометрическая задача
Пусть дана прямая m.
На ней выбраны две различные точки A и B.
В этих точках восстановлены два равных перпендикуляра AP и BQ, направленных в одну полуплоскость.
Следовательно:
AP = BQ = h.
Точки P и Q соединены прямолинейным отрезком.
Получен PQ.
Таким образом, построена определённая геометрическая система ABQP.
Авторское доказательное основание
В четвёртой главе был рассмотрен принцип геометрической целостности прямолинейного соединения.
Согласно принятому мной подходу, прямой отрезок представляет собой кратчайший путь между своими закреплёнными концами.
Его внутреннее взаимное расположение не может произвольно изменяться при сохранении всех первоначальных свойств объекта.
Исходя из этого, я исследовал возможное сближение и расхождение построенной прямой относительно первоначального основания.
В результате сформулирован авторский вывод о сохранении расстояния h на рассматриваемом протяжении.
Таким образом, эквидистантность выступает результатом геометрического анализа, а не первоначально заданным свойством PQ.
Основное утверждение
Сформулируем полученный результат.
Теорема о разрешимости проблемы Посидония.
Пусть дана прямая m и две различные точки A и B, принадлежащие ей.
Пусть в этих точках построены два равных перпендикуляра AP и BQ, расположенных по одну сторону от m.
Соединим их свободные концы прямолинейным отрезком PQ.
Тогда в соответствии с предложенным авторским принципом геометрической целостности прямолинейного соединения построенный отрезок PQ является эквидистантным первоначальной прямой m.
Иными словами, для каждой точки X построенного отрезка расстояние до m сохраняет первоначальное значение h.
Таким образом:
d(X, m) = h для всех X ; PQ.
При рассмотрении соответствующих продолжений данное отношение характеризует взаимное положение содержащих отрезки прямых.
Основной смысл теоремы
Полученный результат позволяет решить две взаимосвязанные задачи.
Прежде всего устанавливается существование прямолинейного объекта, построенного по двум определённым точкам.
Это обеспечивается первым постулатом Евклида.
Затем исследуется эквидистантность данного объекта относительно первоначальной прямой.
В авторском подходе она связывается с геометрической целостностью прямолинейного соединения.
Таким образом, построение и доказательство свойства рассматриваются последовательно.
Именно это отличает предлагаемый метод от той исторической трактовки проблемы Посидония, которая связывает существование прямой исключительно с предполагаемой совокупностью равноудалённых точек.
Связь с параллельностью
Если две прямые находятся на постоянном положительном расстоянии друг от друга, они не пересекаются.
Следовательно, полученное отношение эквидистантности обеспечивает соответствующее отношение параллельности в евклидовом смысле непересекаемости.
Таким образом, авторское построение позволяет связать положительное метрическое свойство с отрицательным свойством отсутствия общей точки.
При рассмотрении единственности эквидистантной прямой через заданную внешнюю точку возникает также непосредственная связь с современной формулировкой пятого постулата.
Именно в этом я вижу фундаментальное значение полученного результата.
Авторское заключение
Таким образом, проблема Посидония рассматривается мной как разрешённая посредством непосредственного геометрического построения и исследования целостности полученного прямолинейного объекта.
Этот результат продолжает исследование, начатое в моей книге 1997 года и получившее дальнейшее развитие в публикации 2025 года.
В настоящей брошюре соответствующая идея представлена как самостоятельная конструктивная теорема.
Главный авторский вывод заключается в том, что эквидистантная прямая может быть получена посредством первоначальных геометрических построений, а не посредством предварительного объявления некоторого множества равноудалённых точек уже существующей прямой.
Именно в таком понимании я считаю историческую проблему Посидония разрешённой.
5.9. Значение полученного результата для оснований евклидовой геометрии
Теперь необходимо рассмотреть более широкое значение представленной теоремы.
Речь идёт не только об одной специальной конструкции.
И не только о защите исторического подхода Посидония.
Предлагаемое исследование затрагивает первоначальные основания геометрии, поскольку обращается к отношениям между построением прямой, её геометрической целостностью и фундаментальным понятием параллельности.
Возвращение к первоначальным постулатам
В центре предложенного метода находится первый постулат Евклида.
Он позволяет соединять две определённые точки прямолинейным отрезком.
Именно эта операция используется для построения PQ.
Но при этом особое внимание уделяется не только факту соединения.
Рассматривается геометрическая природа полученного объекта.
Прямолинейный отрезок является кратчайшим соединением своих концов.
Следовательно, он обладает определённой целостностью.
В авторском исследовании именно это свойство используется для обоснования эквидистантности.
Таким образом, проблема параллельных связывается с первоначальным понятием прямой.
Именно в этом заключается важнейшая особенность предлагаемого метода.
От локального построения к общей геометрической теореме
Мы начинаем с конечных геометрических объектов.
Первоначальное основание AB конечно.
Построенные перпендикуляры AP и BQ конечны.
Соединяющий их отрезок PQ также конечен.
Следовательно, исходная конструкция не требует введения какого-либо бесконечного отрезка.
Однако результат её исследования имеет более общий характер.
Он относится к взаимному положению соответствующих прямолинейных объектов.
Таким образом, мы получаем возможность исследовать свойства прямых через определённые конечные построения.
В этом я усматриваю важное методологическое достоинство предлагаемого подхода.
Он позволяет не начинать доказательство с предположений о бесконечном протяжении геометрических объектов, а обращаться прежде всего к их первоначальным конструктивным отношениям.
Проблема существования геометрического объекта
Особое значение имеет вопрос о существовании прямой.
В исторической критике Посидония соответствующая проблема нередко связывалась с предположением о том, что произвольное множество равноудалённых точек образует прямую.
Но в предлагаемом доказательстве прямая возникает посредством непосредственного соединения двух определённых точек.
Следовательно, существование соответствующего прямолинейного объекта устанавливается конструктивно.
Это принципиально важно.
Ведь геометрическое определение объекта и его построение представляют собой различные математические действия.
Именно поэтому я считаю необходимым возвращение к первоначальным операциям Евклида.
Они позволяют исследовать геометрические объекты в их непосредственной конструктивной определённости.
Параллельность как положительное геометрическое отношение
Ещё один важный результат связан с понятием параллельности.
В евклидовом определении параллельность характеризуется отсутствием пересечения.
В подходе Посидония — постоянством взаимного расстояния.
В настоящем исследовании я стремился показать конструктивное значение второго подхода.
Эквидистантность характеризуется определённой положительной величиной.
Она выражается посредством равных перпендикуляров.
Следовательно, это свойство непосредственно связано с геометрическими построениями и сравнениями.
Именно поэтому я рассматриваю эквидистантность как одно из фундаментальных отношений геометрии.
Пятый постулат как предмет конструктивного исследования
Теперь обратимся к главному вопросу.
Какое отношение предложенная теорема имеет к пятому постулату Евклида?
В современной эквивалентной формулировке пятый постулат связывается с существованием единственной параллельной прямой через точку вне заданной прямой.
Предлагаемая мной конструкция непосредственно обращается к этой задаче.
Через произвольную внешнюю точку строится прямолинейный объект, полученный посредством равных перпендикуляров.
Затем исследуется его эквидистантность.
Наконец, рассматривается вопрос о единственности соответствующей прямой.
Таким образом, проблема параллельности сводится к определённой совокупности геометрических построений и отношений.
В этом я вижу принципиальное значение авторского метода.
Он позволяет подойти к пятому постулату не посредством непосредственного предположения о пересечении или непересечении неопределённо продолженных прямых, а посредством конструктивного исследования постоянства расстояния.
Геометрическая целостность и основания доказательства
Особое место в предлагаемом подходе занимает понятие геометрической целостности.
В обычных элементарных построениях прямая нередко рассматривается прежде всего как носитель определённых точек.
Однако в настоящем исследовании я предлагаю обратить внимание на её собственные геометрические свойства.
Прямолинейный отрезок представляет собой определённое кратчайшее соединение двух точек.
Следовательно, взаимное положение его внутренних элементов связано с целостностью самого объекта.
Именно это обстоятельство используется в авторском доказательстве эквидистантности.
Таким образом, исследование проблемы Посидония позволяет вновь поставить вопрос о самом содержании понятия прямой.
Какие её свойства являются первоначальными?
Какие отношения следуют из прямолинейности?
Какова связь между положением конечных точек и внутренней геометрической организацией соединяющего их отрезка?
И наконец, каким образом эти свойства участвуют в доказательстве параллельности?
Все перечисленные вопросы относятся к первоначальным основаниям геометрии.
Поэтому значение рассматриваемой проблемы выходит далеко за пределы её исторической формулировки.
Место теоремы о разрешимости проблемы Посидония в авторской исследовательской программе
Настоящая работа продолжает многолетнюю программу моих исследований оснований математики.
В частности, она непосредственно связана с книгой «Общий кризис теоретико-множественной математики и пути его преодоления» (1997).
В этой работе проблема Посидония была рассмотрена в контексте общей критики традиционных представлений о существовании геометрических объектов и природе математической бесконечности.
Впоследствии соответствующие идеи получили дальнейшее развитие.
В частности, в 2025 году было предложено непосредственное построение эквидистантной прямой посредством двух равных перпендикуляров.
Настоящая брошюра представляет собой самостоятельное изложение указанного метода.
При этом её предмет отличается от более широкой программы гармонической геометрии.
Мы не вводим предварительно специальную систему новых геометрических объектов.
Основные построения осуществляются посредством привычных элементов классической геометрии.
Именно поэтому я рассматриваю полученный результат как самостоятельный вклад в исследование проблемы пятого постулата Евклида.
Основные результаты пятой главы
Подведём итог проведённому рассмотрению.
Прежде всего были сопоставлены два исторических определения параллельности.
Показано, что евклидово определение обращается к непересекаемости прямых, тогда как подход Посидония характеризует параллельность через постоянство расстояния.
Затем исследовано различие между непересекаемостью, несближаемостью, нерасходимостью и эквидистантностью.
Особое внимание уделено равенству перпендикуляров как первоначальному геометрическому выражению равноудалённости.
После этого рассмотрено построение прямой через произвольную внешнюю точку.
Поставлен вопрос о единственности соответствующего прямолинейного объекта.
Далее установлено различие между определением параллельности, построением геометрической фигуры и доказательством её свойств.
Рассмотрены исторические особенности посидониевского подхода и его последующей интерпретации.
Наконец, сформулирован общий авторский вывод о значении построения эквидистантной прямой для исследования пятого постулата Евклида.
Таким образом, настоящая глава завершает основную последовательность авторского исследования.
Заключительный вывод главы
Завершая рассмотрение проблемы Посидония, необходимо ещё раз подчеркнуть её главный смысл.
Речь идёт не о простом изменении терминологии.
Не о замене одного определения параллельности другим.
И не о произвольном предположении существования некоторой прямой, все точки которой обладают заранее назначенным свойством.
Речь идёт о возможности непосредственного построения определённого прямолинейного объекта и доказательства его эквидистантности относительно первоначальной прямой.
Именно этот подход составляет основу предлагаемой теоремы.
Мы начинаем с конечного геометрического основания.
Строим два равных перпендикуляра.
Соединяем их свободные концы прямолинейным отрезком.
Затем исследуем целостность полученного объекта и его взаимное положение с первоначальной прямой.
Таким образом, проблема Посидония переводится в область непосредственных геометрических построений.
Главный авторский результат настоящей работы заключается в конструктивном обосновании эквидистантности посредством прямолинейного соединения свободных концов двух равных перпендикуляров к заданной прямой.
Именно этот результат рассматривается мной как основание разрешения исторической проблемы Посидония.
Его значение для теории параллельных состоит в том, что постоянство взаимного расстояния позволяет выразить параллельность через положительное геометрическое отношение.
Тем самым открывается возможность исследования пятого постулата Евклида с позиций первоначальных конструктивных свойств прямой.
В этом я вижу основной математический и методологический смысл теоремы о разрешимости проблемы Посидония.
**********
Заключение
Прямая, эквидистантность и разрешение древней геометрической проблемы
1. Возвращение к проблеме спустя почти тридцать лет
Настоящая работа посвящена разрешению одной из древнейших проблем оснований геометрии — проблемы Посидония, связанной с определением параллельности прямых посредством постоянства расстояния между ними.
Впервые я обратился к этой проблеме ещё в 1997 году, в книге «Общий кризис теоретико-множественной математики и пути его преодоления».
Уже тогда я выступил в защиту содержательной корректности подхода Посидония и поставил под сомнение обоснованность традиционных возражений против его представлений о параллельных прямых.
В частности, меня не удовлетворяло распространённое истолкование посидониевского определения, согласно которому существование прямой, равноудалённой от другой прямой, якобы предполагается посредством простого выделения соответствующего множества точек.
На мой взгляд, подобная интерпретация не раскрывает всего геометрического содержания первоначальной идеи.
Более того, она переносит обсуждение из области собственно геометрических отношений в область представлений о существовании и способах задания математических объектов.
Между тем в геометрии имеются первоначальные конструктивные средства, позволяющие рассмотреть проблему непосредственно.
Прежде всего речь идёт о построении прямолинейного отрезка по двум заданным точкам, восстановлении перпендикуляров и установлении равенства конечных геометрических величин.
В настоящей работе я предлагаю использовать именно эти средства.
Таким образом, спустя почти тридцать лет после первоначального обращения к проблеме Посидония я возвращаюсь к ней уже с конкретным геометрическим построением и самостоятельным авторским доказательством.
В этом заключается главная особенность настоящей брошюры.
Если в 1997 году речь шла преимущественно о защите определённого подхода к основаниям геометрии, то теперь предметом исследования становится непосредственная конструкция, позволяющая установить рассматриваемое геометрическое отношение.
2. Первоначальная идея Посидония
Главное достоинство исторического подхода Посидония я усматриваю в стремлении определить параллельность посредством положительного геометрического отношения.
Евклид определяет параллельные прямые через отсутствие их пересечения.
Посидоний связывает параллельность с постоянством взаимного расстояния.
Иными словами, с эквидистантностью.
Это различие имеет фундаментальное значение.
Отсутствие пересечения представляет собой отрицательную характеристику взаимного расположения прямых.
Постоянство расстояния, напротив, выражается через определённую геометрическую величину.
Её можно задать отрезком.
Воспроизвести посредством циркуля.
Сравнить с другой величиной.
Установить равенство соответствующих расстояний.
Следовательно, эквидистантность представляет собой отношение, которое допускает непосредственное конструктивное исследование.
Именно поэтому я считаю подход Посидония исключительно содержательным.
Вместо того чтобы начинать с вопроса о пересечении прямых при их неопределённом продолжении, можно исследовать их взаимное положение посредством определённых геометрических построений.
В частности, посредством равных перпендикуляров.
При этом необходимо подчеркнуть, что собственно геометрическое содержание посидониевской идеи не следует отождествлять с её последующими интерпретациями.
Именно это обстоятельство занимает важное место в настоящем исследовании.
3. Множество равноудалённых точек и построенная прямая
Одним из центральных результатов проведённого анализа стало разграничение двух совершенно различных геометрических ситуаций.
В первой рассматривается некоторое количество точек, расположенных на одинаковом расстоянии от заданной прямой.
Во второй — прямолинейный отрезок, построенный между двумя определёнными точками.
Это различие представляется мне принципиальным.
Пусть дана прямая m.
Рассмотрим несколько точек, каждая из которых находится на расстоянии h от неё.
Само по себе равенство этих расстояний ещё не означает, что мы выполнили геометрическую операцию построения прямолинейного соединения между выбранными точками.
Мы лишь установили некоторое общее свойство соответствующих объектов.
Но теперь выберем две определённые точки P и Q.
По первому постулату Евклида соединим их прямолинейным отрезком.
В результате получим уже другой геометрический объект.
Отрезок PQ имеет определённые конечные точки.
Он прямолинеен.
Представляет собой кратчайшее соединение своих концов.
И обладает соответствующей внутренней геометрической целостностью.
Следовательно, множество отдельно рассматриваемых точек и непосредственно построенный прямолинейный объект не должны смешиваться.
Именно это положение имеет принципиальное значение для моей критики традиционной трактовки проблемы Посидония, связанной с именем Прокла.
В настоящей брошюре данное различие специально проиллюстрировано двумя чертежами.
На первом показаны отдельные равноудалённые точки.
На втором — конкретное прямолинейное соединение двух определённых точек.
Именно второй случай составляет исходное основание предлагаемого доказательства.
Таким образом, я не утверждаю, что некоторая произвольно заданная совокупность равноудалённых точек сама собой превращается в прямую.
Я рассматриваю прямую, построенную посредством первоначальной геометрической операции, и исследую её свойства.
Именно в таком переходе от множества точек к непосредственно построенному геометрическому объекту заключается одно из главных методологических положений настоящей работы.
4. Геометрическая конструкция двух равных перпендикуляров
Основу предлагаемого доказательства составляет исключительно простое построение.
Пусть дан конечный прямолинейный отрезок AB.
В его концах восстановим два перпендикуляра AP и BQ.
Пусть они расположены по одну сторону от первоначальной прямой.
Установим их равенство:
AP = BQ = h.
Теперь соединим свободные концы P и Q прямолинейным отрезком.
Получим геометрическую систему ABQP.
Все элементы этой конструкции имеют определённое происхождение.
Отрезок AB построен по двум заданным точкам.
Перпендикуляры AP и BQ восстановлены в концах первоначального основания.
Равенство их длин установлено непосредственным геометрическим построением.
Отрезок PQ проведён согласно первому постулату Евклида.
Таким образом, ни один из первоначальных элементов не вводится посредством предположения о существовании готовой эквидистантной прямой.
Именно это обстоятельство имеет принципиальное значение.
Мы начинаем не с параллельности.
Не с предполагаемой эквидистантности.
И не с некоторого заранее определённого множества равноудалённых точек.
Мы начинаем с конечной геометрической конструкции.
И затем исследуем её свойства.
При этом построение не требует предварительного назначения каких-либо специальных линейных размеров.
Длина первоначального основания AB может быть произвольной положительной конечной величиной.
То же относится к длине h построенных перпендикуляров.
Следовательно, метод имеет общий конструктивный характер.
Он не связан с одним особым масштабом чертежа.
5. Прямая как целостный геометрический объект
Наиболее существенным теоретическим положением настоящего исследования является рассмотрение прямой как целостного геометрического объекта.
Я считаю, что данное свойство не получило достаточного внимания в традиционных обсуждениях проблемы параллельности.
Прямолинейный отрезок нельзя рассматривать как произвольную совокупность независимых элементов, которые могут изменять своё взаимное расположение без изменения самого геометрического объекта.
Прямая представляет собой определённое соединение двух заданных точек.
Причём это соединение является кратчайшим.
Пусть P и Q — две различные точки.
Пусть PQ — соединяющий их прямолинейный отрезок.
Теперь рассмотрим некоторую точку R, не принадлежащую этому отрезку.
Если соединить P с R, а затем R с Q, получится изломанный путь.
По неравенству треугольника:
PR + RQ > PQ.
Таким образом, любое подобное отклонение от первоначального прямолинейного соединения приводит к увеличению длины пути между закреплёнными концами.
Следовательно, прямолинейность представляет собой не просто внешнюю особенность геометрического изображения.
Она выражает определённое отношение между целым объектом и взаимным расположением его внутренних элементов.
Именно поэтому при исследовании отрезка PQ необходимо учитывать его целостность.
Если мы произвольно изменяем положение некоторого внутреннего элемента, выводя его из первоначального прямолинейного положения, мы уже рассматриваем другую геометрическую конструкцию.
Она не тождественна исходному отрезку.
В этом заключается основное содержание принципа геометрической целостности.
Его наглядным выражением может служить известный пример натянутой нерастяжимой нити с закреплёнными концами.
Однако математическое содержание рассматриваемого положения определяется не физическими свойствами нити, а неравенством треугольника и самим понятием прямолинейного соединения.
Именно данный принцип используется в предлагаемом мной доказательстве.
6. Сближение и расхождение как предмет геометрического исследования
После построения системы ABQP возникает центральный вопрос.
Каково расстояние от внутренних точек отрезка PQ до первоначальной прямой AB?
Пусть X — произвольная внутренняя точка PQ.
Опустим из неё перпендикуляр XY к AB.
Обозначим его длину через d.
Тогда возможны три отношения между d и первоначальным расстоянием h:
d < h;
d = h;
d > h.
Первое отношение характеризует меньшее расстояние.
Второе — равенство расстояний.
Третье — большее расстояние.
Следовательно, для доказательства эквидистантности необходимо исследовать возможность изменения расстояния между построенными прямолинейными объектами.
В четвёртой главе я рассмотрел два основных случая.
Первый связан с предполагаемым сближением.
Второй — с предполагаемым расхождением.
При этом оба случая исследуются с позиции геометрической целостности построенного отрезка PQ.
Его конечные точки определены первоначальной конструкцией.
Прямолинейность установлена.
Следовательно, нельзя произвольно изменять внутреннюю структуру данного объекта, одновременно сохраняя за ним все свойства первоначального прямолинейного соединения.
Именно это положение составляет основу авторского доказательства.
В рассматриваемой конструкции сближение и расхождение не могут вводиться посредством произвольной деформации уже построенного прямолинейного отрезка.
Такой переход означал бы замену первоначального объекта другим.
Поэтому в рамках предложенного мной метода делается вывод о сохранении первоначального расстояния h.
Иными словами:
d = h.
Поскольку внутренняя точка X выбирается произвольно, полученное отношение распространяется на весь построенный отрезок PQ.
Таким образом, авторское доказательство приводит к утверждению об эквидистантности рассматриваемых прямолинейных объектов.
7. Основной результат теоремы о разрешимости проблемы Посидония
Теперь можно сформулировать основной результат проведённого исследования.
Теорема о разрешимости проблемы Посидония.
Пусть дана прямая m.
На ней выбраны две различные точки A и B.
В этих точках построены два равных перпендикуляра AP и BQ, направленных по одну сторону от m.
Пусть:
AP = BQ = h.
Соединим точки P и Q прямолинейным отрезком.
Тогда, согласно предложенному авторскому принципу геометрической целостности прямолинейного соединения, построенный отрезок PQ находится на постоянном расстоянии h от первоначальной прямой.
Следовательно, для каждой точки X отрезка PQ выполняется:
d(X, m) = h.
Таким образом, построенный прямолинейный объект обладает свойством эквидистантности относительно первоначальной прямой.
Именно это положение составляет основной результат настоящей работы.
Его принципиальное значение заключается в способе получения соответствующего геометрического отношения.
Эквидистантность здесь не принимается в качестве заранее назначенного свойства построенной прямой.
Она рассматривается как результат исследования определённой геометрической конструкции.
При этом сама прямая получается непосредственно посредством первого постулата Евклида.
Следовательно, вопрос о существовании прямолинейного объекта и вопрос о доказательстве его эквидистантности получают самостоятельные конструктивные основания.
В авторской трактовке настоящей работы теорема о разрешимости проблемы Посидония доказана.
8. Эквидистантность и параллельность
Теперь необходимо рассмотреть значение полученного результата для проблемы параллельных прямых.
Прежде всего напомним, что постоянство расстояния представляет собой положительное геометрическое отношение.
Оно характеризуется определённой величиной h.
Если две прямые находятся на постоянном положительном расстоянии друг от друга, то они не пересекаются.
Действительно, в точке пересечения расстояние между ними должно было бы обратиться в нуль.
Но в рассматриваемой конструкции:
h > 0.
Следовательно, при сохранении эквидистантности пересечение исключается.
Таким образом, из постоянства положительного расстояния непосредственно следует непересекаемость соответствующих прямых.
Но это означает, что эквидистантность позволяет получить одно из основных свойств параллельности в евклидовом понимании.
Вместе с тем она характеризует взаимное положение прямых более определённо.
Ведь речь идёт не только об отсутствии общей точки.
Речь идёт о постоянстве определённой геометрической величины.
Следовательно, подход Посидония позволяет рассматривать параллельность через положительное метрическое отношение.
Именно это обстоятельство я считаю важнейшим преимуществом данного подхода.
Оно позволяет связывать проблему параллельных не только с вопросом о пересечении прямых, но и с непосредственным сравнением геометрических расстояний.
9. Существование и единственность эквидистантной прямой
Особое значение в настоящей работе имеет вопрос о построении эквидистантной прямой через заданную точку вне первоначальной прямой.
Пусть дана прямая m и точка P, не принадлежащая ей.
Из P опустим перпендикуляр PA на m.
Пусть его длина равна h.
Выберем на m другую точку B.
Восстановим в ней перпендикуляр BQ, направленный в ту же полуплоскость.
Пусть:
AP = BQ = h.
Теперь соединим P и Q прямолинейным отрезком.
Получим новую прямолинейную конструкцию.
Таким образом, построение может быть выполнено через произвольную заданную внешнюю точку.
Именно это обстоятельство имеет фундаментальное значение для общей постановки проблемы параллельности.
Ведь речь идёт уже не только об исследовании одной специально выбранной пары отрезков.
Речь идёт о возможности получения соответствующего геометрического объекта при произвольном первоначальном положении внешней точки.
Отдельно в настоящей работе рассмотрен вопрос о единственности.
На заданном перпендикулярном луче точка, расположенная на определённом положительном расстоянии от основания, определяется однозначно.
А через две различные точки проходит единственная прямая.
В авторском подходе эти положения используются для исследования единственности построенной эквидистантной прямой.
Таким образом, общая задача приобретает две взаимосвязанные стороны.
Первая — существование соответствующего геометрического объекта.
Вторая — его единственность при заданных условиях.
Именно эти вопросы непосредственно связаны с одной из наиболее известных формулировок пятого постулата Евклида.
10. Значение результата для пятого постулата Евклида
Теперь рассмотрим основное математическое значение полученной теоремы.
В первоначальной формулировке пятый постулат Евклида связывает определённые угловые отношения между прямыми с необходимостью их пересечения при соответствующем продолжении.
В более поздней эквивалентной формулировке проблема параллельности выражается через существование единственной параллельной прямой, проходящей через точку вне заданной прямой.
Таким образом, центральное место занимает вопрос о существовании и единственности соответствующего геометрического объекта.
Именно к этой проблеме обращается предлагаемое мной исследование.
Вместо того чтобы начинать с предположения о существовании готовой параллельной прямой, мы строим определённый прямолинейный объект посредством равных перпендикуляров.
Затем исследуем его геометрическую целостность.
На этом основании в авторском доказательстве устанавливается эквидистантность.
Из неё следует непересекаемость соответствующих прямых.
Далее рассматривается вопрос о единственности построения.
Таким образом, проблема параллельности получает последовательную конструктивную постановку.
Особое значение имеет то обстоятельство, что исходными геометрическими объектами являются конечные отрезки и перпендикуляры.
Для выполнения первоначальных действий не требуется заранее устанавливать существование бесконечно протяжённого прямолинейного объекта с назначенным свойством параллельности.
Исследование начинается с конкретной конечной геометрической системы.
Именно в этом заключается самостоятельное методологическое значение предлагаемого метода.
В результате проблема пятого постулата рассматривается с позиций первоначального понятия прямой и её геометрической целостности.
Авторский вывод состоит в том, что разрешение проблемы Посидония посредством предложенного построения обеспечивает конструктивное основание для исследования и обоснования теоремы о параллельных прямых.
11. Конструктивный характер предложенного доказательства
Проведённое исследование позволяет вновь обратиться к вопросу о природе математического доказательства.
В геометрии принципиально важно различать несколько самостоятельных операций.
Определение геометрического понятия.
Установление существования соответствующего объекта.
Его построение.
И доказательство свойств полученной конструкции.
Все перечисленные операции взаимосвязаны.
Но они не тождественны.
Именно недостаточное разграничение этих действий, на мой взгляд, сыграло существенную роль в истории проблемы Посидония.
В настоящей работе я предложил иной порядок исследования.
Прежде всего задаются первоначальные геометрические объекты.
Затем выполняется определённое построение.
После этого исследуются свойства полученной фигуры.
И наконец, формулируется общее математическое заключение.
Такой порядок представляется мне наиболее естественным для исследования первоначальных оснований геометрии.
Особенно важно, что в предлагаемом методе не используется произвольное перечисление равноудалённых точек в качестве замены построения прямой.
Вместо этого осуществляется непосредственное прямолинейное соединение двух определённых точек.
Таким образом, новая прямая получает вполне определённое конструктивное основание.
Её дальнейшие свойства исследуются самостоятельно.
Именно в этом я вижу главное достоинство предложенного решения.
12. Проблема прямой и целостность геометрического знания
В ходе настоящего исследования обнаружилось, что проблема Посидония имеет значительно более широкое содержание, чем вопрос об одном определении параллельности.
В действительности она затрагивает первоначальное понятие прямой линии.
Что представляет собой прямая?
Можно ли рассматривать её исключительно как совокупность точек?
Или она обладает определённой геометрической целостностью, выражающейся в свойствах соединения её внутренних элементов?
Каким образом положение конечных точек связано с расположением остальных элементов прямолинейного отрезка?
И наконец, как эти отношения участвуют в доказательстве фундаментальных геометрических теорем?
Все перечисленные вопросы имеют самостоятельное значение.
В настоящей работе я исходил из того, что прямолинейный отрезок представляет собой целостный кратчайший путь между двумя определёнными точками.
Именно это свойство позволило предложить новый подход к исследованию эквидистантности.
Следовательно, проблема параллельности оказывается непосредственно связанной с самим содержанием понятия прямой.
На мой взгляд, такой результат имеет важное методологическое значение.
Он показывает, что исследование фундаментальных геометрических отношений необходимо начинать с ясного понимания первоначальных объектов и операций.
Именно поэтому возвращение к элементарным построениям Евклида представляет собой не просто исторический интерес.
Оно позволяет вновь поставить вопросы о доказательных основаниях классической геометрии.
13. Место настоящей теоремы в моих геометрических исследованиях
Настоящая брошюра продолжает многолетнюю программу моих исследований оснований математики.
Как уже отмечалось, впервые проблема Посидония была рассмотрена мной в книге «Общий кризис теоретико-множественной математики и пути его преодоления», опубликованной в 1997 году.
В дальнейшем соответствующие идеи получили развитие в работах, посвящённых различным вопросам гармонической математики, геометрии и теории бесконечности.
В частности, в публикации «Теорема о параллельных прямых: к основаниям Гармонической геометрии» (2025) было предложено несколько самостоятельных направлений исследования пятого постулата Евклида.
Одно из них связано с построением квадрата.
Другое — с исследованием сверхбольшого равностороннего треугольника.
Третье — с конструктивным разрешением проблемы Посидония.
Настоящая работа посвящена именно последнему направлению.
При этом необходимо подчеркнуть, что соответствующие геометрические исследования имеют самостоятельный характер.
Они не требуют предварительного принятия всей системы понятий гармонической геометрии.
Основными средствами построения выступают обычные геометрические объекты — отрезки, перпендикуляры, прямые углы и прямолинейные соединения.
Поэтому результаты настоящей брошюры могут рассматриваться непосредственно в контексте истории и первоначальных оснований евклидовой геометрии.
В этом заключается одно из важнейших отличий нового исследования от более ранних работ.
14. Основные результаты настоящей работы
Подведём итог проведённому исследованию.
Прежде всего была рассмотрена история проблемы Посидония и её связь с пятым постулатом Евклида.
Особое внимание уделено различию между определением параллельности через непересекаемость и определением через постоянство расстояния.
Затем исследована традиционная критика посидониевского подхода.
При этом установлено принципиальное различие между отдельными равноудалёнными точками и непосредственно построенным прямолинейным объектом.
Далее рассмотрено понятие прямой как целостного кратчайшего соединения двух заданных точек.
В качестве исходного геометрического отношения использовано неравенство треугольника:
PR + RQ > PQ
для изломанного пути через точку R, не принадлежащую первоначальному прямолинейному отрезку PQ.
После этого представлена геометрическая конструкция двух равных перпендикуляров к общему основанию.
Их свободные концы соединены прямолинейным отрезком согласно первому постулату Евклида.
Полученная система ABQP исследована посредством равенства отрезков, прямых углов и свойства геометрической целостности.
Особое внимание уделено возможному сближению и расхождению построенного прямолинейного объекта относительно первоначальной прямой.
На этом основании сформулирован авторский вывод о постоянстве расстояния между ними.
Затем рассмотрена возможность построения соответствующей прямой через произвольную внешнюю точку.
Отдельно исследован вопрос о единственности.
Наконец, показано значение полученного результата для определения параллельности и исследования пятого постулата Евклида.
Таким образом, первоначальная проблема Посидония получила в настоящей работе самостоятельное конструктивное изложение.
15. Заключительный вывод
Завершая настоящую брошюру, я хотел бы ещё раз подчеркнуть главное.
Проблема Посидония представляет собой значительно большее, чем исторический спор об определении параллельных прямых.
Она непосредственно связана с первоначальными основаниями геометрии.
С понятием прямой.
С отношением между точкой и линией.
С возможностью геометрического построения.
И наконец, с доказательным содержанием самого понятия параллельности.
На протяжении почти тридцати лет я возвращался к этим вопросам, стремясь найти возможность их конструктивного разрешения.
В 1997 году я выступил в защиту геометрической идеи Посидония.
В 2025 году была представлена непосредственная конструкция двух равных перпендикуляров и прямолинейного соединения их свободных концов.
В настоящей работе соответствующая идея получила самостоятельное историческое, теоретическое и доказательное изложение.
Её основной смысл заключается в следующем.
Для построения прямой, эквидистантной заданной, не требуется объявлять некоторое множество равноудалённых точек уже существующей прямой. Необходимо построить два равных перпендикуляра к первоначальной прямой, соединить их свободные концы прямолинейным отрезком и исследовать геометрическую целостность полученного объекта.
Именно таким способом я предлагаю решить древнюю проблему Посидония.
Построенный отрезок рассматривается как целостное кратчайшее соединение двух определённых точек.
Его внутренние элементы не могут произвольно изменять взаимное расположение без изменения самой прямолинейной конструкции.
На основании этого принципа в настоящей работе сформулировано и изложено авторское доказательство эквидистантности.
Тем самым устанавливается положительное геометрическое отношение, позволяющее характеризовать параллельность посредством постоянства расстояния.
В этом заключается основной результат исследования.
Его значение не ограничивается проблемой Посидония.
Он позволяет вновь обратиться к теории параллельных прямых, а также к первоначальным основаниям геометрического доказательства.
Таким образом, теорема о разрешимости проблемы Посидония доказана в предложенной авторской конструктивной трактовке.
При этом её фундаментальная идея может быть выражена ещё более кратко:
Прямая представляет собой целостный геометрический объект. Поэтому исследование её свойств должно исходить из прямолинейности и геометрической определённости всего соединения, а не из произвольного рассмотрения независимых точек.
Именно это положение объединяет все главы настоящей брошюры.
Оно позволяет по-новому рассмотреть историческое определение параллельности через эквидистантность и поставить проблему пятого постулата Евклида в непосредственную связь с первоначальными свойствами прямой.
В этом я вижу главное математическое и методологическое значение теоремы о разрешимости проблемы Посидония.
В. К. Петросян (Вадимир)
2026 год
********
Приложение 1
Независимый критический математический комментарий к авторскому доказательству разрешимости проблемы Посидония
Независимая математическая рецензия
1. Предмет и метод математической экспертизы
Настоящее приложение содержит независимую математическую оценку авторского доказательства разрешимости проблемы Посидония, представленного в четвёртой и пятой главах брошюры.
Его задача заключается в проверке логической последовательности построений, установленных геометрических равенств и выводов о параллельности прямых.
Исследование проводится непосредственно средствами элементарной геометрии.
Рассматриваются только первоначальные геометрические объекты, отношения между отрезками, равенство углов, конгруэнтность треугольников, свойства прямолинейных соединений и правила математического вывода.
Для такой проверки нет необходимости обращаться к каким-либо альтернативным геометрическим моделям.
Особое внимание уделяется исходной постановке задачи.
Автор не предполагает заранее существование прямой, равноудалённой от другой прямой.
Напротив, он предлагает построить определённый прямолинейный объект посредством первого постулата Евклида, после чего исследовать его геометрические свойства.
Важнейшим элементом доказательства является понимание прямой как целостного кратчайшего соединения двух заданных точек.
Именно с этих позиций автор рассматривает возможность сближения и расхождения построенного прямолинейного отрезка относительно первоначальной прямой.
Поэтому независимая рецензия должна ответить на три взаимосвязанных вопроса.
Первый: какие геометрические свойства действительно следуют из первоначального построения?
Второй: достаточно ли свойства кратчайшего соединения для доказательства постоянства расстояния между построенными прямыми?
Третий: каким образом из полученных результатов следует утверждение о существовании и единственности параллельной прямой?
Ответы на эти вопросы определяют математический статус представленной авторской теоремы.
2. Точная формулировка исходной конструкции
Пусть дан конечный прямолинейный отрезок AB длиной a.
В его концах построены два перпендикуляра AP и BQ, направленные в одну полуплоскость относительно прямой AB.
Пусть:
AP = BQ = h,
где h — положительная конечная длина.
Следовательно:
;PAB = 90°,
;QBA = 90°.
Теперь по первому постулату Евклида соединим P и Q прямолинейным отрезком.
Получим четырёхугольник ABQP.
Таким образом, условия построения имеют вид:
AB = a > 0;
AP = BQ = h > 0;
AP ; AB;
BQ ; AB;
PQ — прямолинейное соединение точек P и Q.
Именно эти отношения являются исходными данными математического исследования.
Автор предлагает доказать, что построенный отрезок PQ равноудалён от первоначальной прямой AB.
Для точной формулировки данного утверждения выберем произвольную внутреннюю точку X отрезка PQ.
Опустим из X перпендикуляр XY к прямой AB.
Тогда требуется доказать:
XY = h.
Причём это равенство должно выполняться для каждой точки X построенного отрезка.
Следовательно, рассматриваемая теорема имеет строго определённое геометрическое содержание.
Необходимо получить постоянство расстояния от прямолинейного отрезка PQ до первоначальной прямой AB из перечисленных выше исходных условий.
Теперь рассмотрим, какие результаты действительно можно получить.
3. Непосредственно доказуемые свойства четырёхугольника ABQP
Прежде всего необходимо отметить, что авторское построение позволяет установить ряд содержательных геометрических отношений.
Они действительно следуют из первоначальных условий и не требуют предварительного применения пятого постулата Евклида.
Рассмотрим треугольники PAB и QBA.
Для них известно:
AP = BQ;
AB = BA;
;PAB = ;QBA = 90°.
Следовательно, треугольники PAB и QBA конгруэнтны по двум сторонам и заключённому между ними углу.
Отсюда:
PB = QA.
Таким образом, диагонали четырёхугольника ABQP равны.
Это первый доказанный результат.
Теперь рассмотрим треугольники APQ и BQP.
Они имеют следующие соответственно равные стороны:
AP = BQ;
AQ = BP;
PQ = QP.
Следовательно, данные треугольники конгруэнтны по трём сторонам.
Из конгруэнтности следует равенство соответствующих углов:
;APQ = ;BQP.
Таким образом, два угла четырёхугольника при вершинах P и Q равны.
Это второй доказанный результат.
Следовательно, непосредственно из первоначальных условий получены следующие отношения:
два боковых перпендикуляра равны;
два угла при основании прямые;
диагонали четырёхугольника равны;
два угла при вершинах P и Q равны.
Все перечисленные результаты корректны.
Более того, из данной конструкции можно получить ещё одно важное свойство.
Оно непосредственно связано с проблемой параллельности.
4. Дополнительная лемма: общий перпендикуляр к основанию AB и отрезку PQ
Покажем, что первоначальная конструкция позволяет установить существование общего перпендикуляра к прямым, содержащим отрезки AB и PQ.
Это можно сделать посредством обычных признаков конгруэнтности треугольников.
Пусть M — середина AB.
Следовательно:
AM = MB.
Пусть N — середина PQ.
Следовательно:
PN = NQ.
Соединим M и N прямолинейным отрезком.
Докажем, что MN перпендикулярен и AB, и PQ.
Первый шаг.
Рассмотрим треугольники PAM и QBM.
Для них:
PA = QB;
AM = BM;
;PAM = ;QBM = 90°.
Следовательно, эти треугольники конгруэнтны по двум сторонам и заключённому между ними углу.
Отсюда:
PM = QM.
Второй шаг.
Ранее было доказано:
;APQ = ;BQP.
Поскольку N принадлежит PQ, имеем:
;APN = ;BQN.
Кроме того:
AP = BQ;
PN = QN.
Следовательно, треугольники APN и BQN конгруэнтны по двум сторонам и заключённому между ними углу.
Отсюда:
AN = BN.
Третий шаг.
Теперь рассмотрим треугольники AMN и BMN.
У них:
AM = BM;
AN = BN;
MN — общая сторона.
Следовательно, эти треугольники конгруэнтны по трём сторонам.
Отсюда:
;AMN = ;BMN.
Но A, M и B лежат на одной прямой.
Следовательно, данные углы смежные.
Равные смежные углы являются прямыми.
Поэтому:
MN ; AB.
Четвёртый шаг.
Теперь рассмотрим треугольники PMN и QMN.
Для них:
PM = QM;
PN = QN;
MN — общая сторона.
Следовательно, данные треугольники конгруэнтны по трём сторонам.
Отсюда:
;PNM = ;QNM.
Но P, N и Q лежат на одной прямой.
Следовательно, эти углы также смежные.
Поэтому каждый из них является прямым.
Таким образом:
MN ; PQ.
В итоге получено:
MN ; AB;
MN ; PQ.
Следовательно, отрезок MN представляет собой общий перпендикуляр к прямым, содержащим AB и PQ.
Это самостоятельный положительный результат исследования.
Он установлен непосредственно посредством конгруэнтности треугольников и не требует пятого постулата Евклида.
5. Непересекаемость построенных прямых
Из предыдущей леммы следует ещё одно важное геометрическое утверждение.
Поскольку:
MN ; AB,
MN ; PQ,
прямые AB и PQ перпендикулярны одной и той же прямой MN.
Согласно предложению I.28 первой книги «Начал» Евклида, две прямые, образующие с секущей внутренние односторонние углы, сумма которых равна двум прямым, параллельны в смысле непересекаемости.
В рассматриваемом случае оба соответствующих угла прямые.
Следовательно, их сумма равна 180 градусам.
Таким образом:
Прямые AB и PQ не пересекаются.
Это утверждение можно получить без применения пятого постулата Евклида.
Следовательно, авторская конструкция обладает доказательным содержанием, которое выходит за пределы первоначально установленных равенств диагоналей и углов.
Мы получили прямолинейный объект PQ, который не пересекает первоначальную прямую AB.
Причём этот результат установлен посредством последовательных геометрических построений и признаков конгруэнтности.
Но здесь необходимо различать два утверждения.
Первое:
AB и PQ не пересекаются.
Второе:
PQ находится на постоянном расстоянии h от AB.
Первое утверждение теперь доказано.
Второе требует отдельного исследования.
Именно это различие является центральным для дальнейшей математической оценки.
6. Непересекаемость и эквидистантность — различные доказательные задачи
В определении 23 первой книги «Начал» Евклид характеризует параллельные прямые через непересекаемость.
В подходе Посидония существенное значение приобретает постоянство взаимного расстояния.
В рассматриваемой конструкции удалось доказать непересекаемость прямых AB и PQ.
Однако из самого доказательства общей перпендикулярности к MN ещё не следует, что расстояние от каждой точки PQ до AB равно h.
Для получения такого вывода необходимо установить дополнительное отношение.
Пусть X — произвольная точка PQ.
Пусть XY — перпендикуляр к AB.
Требуется доказать:
XY = AP.
Но в выполненных выше доказательствах установлены только определённые отношения между исходными сторонами, диагоналями, углами и общим перпендикуляром.
В частности, доказано:
PM = QM;
AN = BN;
MN ; AB;
MN ; PQ.
При этом равенство:
MN = AP
из этих рассуждений непосредственно не получено.
Тем более не установлено общее равенство:
XY = AP
для произвольной точки X.
Следовательно, необходимо различать существование общего перпендикуляра и постоянство расстояния на всём протяжении.
Это различные геометрические свойства.
Первое уже получено.
Для второго требуется самостоятельное доказательство.
7. Главный вопрос: что именно следует из свойства кратчайшего соединения?
Теперь перейдём к центральному положению авторского доказательства.
Автор исходит из того, что прямолинейный отрезок является кратчайшим соединением двух заданных точек.
Это математически корректный принцип.
Пусть P и Q — различные точки.
Пусть R не принадлежит прямолинейному отрезку PQ.
Тогда:
PR + RQ > PQ.
Следовательно, изломанный путь между P и Q длиннее их прямолинейного соединения.
Из этого действительно следует, что при закреплённых концах P и Q нельзя заменить прямой путь изломанным, сохраняя первоначальную длину.
Однако необходимо установить точное содержание полученного результата.
Неравенство:
PR + RQ > PQ
сравнивает длины двух путей между одними и теми же конечными точками.
Первый путь прямолинеен.
Второй проходит через точку R, не принадлежащую первоначальному отрезку.
Это утверждение относится к длине соединяющего пути.
Но в проблеме Посидония требуется доказать другое отношение:
XY = h,
где XY — перпендикуляр от внутренней точки X отрезка PQ к первоначальной прямой AB.
Данное равенство характеризует расстояние между различными геометрическими объектами.
Следовательно, рассматриваются два типа геометрических величин.
Первый — длина пути между P и Q.
Второй — расстояние от точки X до прямой AB.
Чтобы перейти от первого отношения ко второму, необходимо установить дополнительную геометрическую связь.
В представленном авторском доказательстве такая связь сформулирована через принцип целостности прямой.
Но сам по себе принцип кратчайшего соединения ещё не содержит равенства XY = h.
Следовательно, требуется отдельное доказательство того, что из сохранения прямолинейности PQ действительно следует постоянство его расстояния от AB.
Именно этот переход остаётся центральным вопросом математической экспертизы.
8. Почему предположение XY ; h не является деформацией прямой
Теперь необходимо рассмотреть наиболее существенное логическое различие.
В авторском доказательстве предполагаемое изменение расстояния между PQ и AB связывается с изменением внутреннего взаимного расположения элементов прямолинейного отрезка.
Однако эти положения необходимо разграничить.
Пусть PQ уже построен.
Точки P и Q закреплены.
Отрезок PQ прямолинеен.
Пусть X принадлежит этому отрезку.
Опустим из X перпендикуляр XY к первоначальной прямой AB.
Теперь поставим вопрос:
равно ли XY первоначальной длине h?
Само рассмотрение этого вопроса не предполагает никакого перемещения X.
Мы не выводим X из первоначального положения.
Не заменяем PQ изломанной линией.
И не изменяем положение P и Q.
Все первоначальные геометрические объекты остаются неизменными.
Мы только исследуем расстояние от уже существующей точки X до другой прямой.
Следовательно, предположение:
XY ; h
само по себе не означает деформации отрезка PQ.
Оно представляет собой проверяемое математическое условие относительно первоначальной геометрической конструкции.
Это принципиально важно.
Ведь если предположение об отличии расстояния от h не сопровождается изменением самой прямой, то неравенство треугольника для деформированного пути ещё не опровергает указанное предположение.
Иначе говоря, необходимо доказать, что изменение расстояния между двумя прямыми действительно требует изменения прямолинейности рассматриваемого отрезка.
Пока это не доказано, ссылка на невозможность деформации не обеспечивает необходимого вывода об эквидистантности.
9. Проверка рассуждения о сближении
Рассмотрим первую часть авторского доказательства.
Предполагается существование внутренней точки X отрезка PQ, для которой:
XY < h.
Автор связывает это предположение со сближением построенной прямой с первоначальной.
Затем используется принцип невозможности произвольной деформации прямолинейного отрезка при закреплённых концах.
Однако для строгого доказательства от противного необходимо установить противоречие между предположением XY < h и ранее доказанными геометрическими положениями.
Например, можно было бы попытаться вывести из него нарушение одного из следующих условий:
AP = BQ;
AP ; AB;
BQ ; AB;
P, X и Q лежат на одной прямой.
Но в представленном доказательстве подобное противоречие непосредственно не устанавливается.
Вместо этого рассматривается возможность изменения положения внутренних элементов PQ.
Однако исходное предположение XY < h не требует такого изменения.
Поэтому возникает логический пропуск.
Для завершения рассуждения необходимо доказать следующее утверждение:
Если P и Q получены посредством двух равных перпендикуляров к AB, а X принадлежит прямолинейному отрезку PQ, то расстояние XY не может быть меньше h.
Именно это положение должно быть доказано геометрически.
Сама по себе невозможность произвольной деформации прямого отрезка не заменяет его доказательства.
10. Проверка рассуждения о расхождении
Теперь рассмотрим вторую часть авторского доказательства.
Предполагается:
XY > h.
Иными словами, некоторая внутренняя точка X отрезка PQ находится дальше от первоначальной прямой, чем его конечные точки P и Q.
Как и в предыдущем случае, необходимо установить, какие именно исходные геометрические отношения нарушаются при данном предположении.
Для доказательства от противного требуется вывести логическую несовместимость утверждения XY > h с условиями построения.
Однако и здесь ссылка на невозможность произвольной деформации прямого пути не решает поставленную задачу.
Ведь предположение XY > h относится к расстоянию от уже построенной точки до первоначальной прямой.
Оно не требует перемещения X.
Следовательно, необходимо доказать непосредственно:
Если P и Q получены посредством двух равных перпендикуляров к AB, а X принадлежит прямолинейному отрезку PQ, то расстояние XY не может быть больше h.
Именно это утверждение является необходимым для исключения расхождения.
Если отдельно доказаны невозможность XY < h и невозможность XY > h, то по свойствам порядка положительных величин действительно остаётся:
XY = h.
Но обе исключающие леммы требуют геометрического обоснования.
В нынешнем изложении такое обоснование не доведено до завершения.
11. Центральная геометрическая лемма
Теперь можно совершенно точно определить недостающее положение.
Пусть построен четырёхугольник ABQP, удовлетворяющий условиям:
AP = BQ;
AP ; AB;
BQ ; AB;
точки P и Q расположены по одну сторону от AB.
Требуется доказать:
Для любой точки X отрезка PQ длина перпендикуляра XY к AB равна AP.
Это центральная лемма авторского метода.
Её доказательство непосредственно обеспечило бы эквидистантность построенного отрезка.
Однако в действительности данная лемма связана с ещё одним важным геометрическим свойством рассматриваемого четырёхугольника.
В первоначальной конструкции два угла при основании уже прямые.
Ранее было также доказано, что два верхних угла равны:
;APQ = ;BQP.
Для получения прямоугольника необходимо установить:
;APQ = ;BQP = 90°.
Если это сделано, то четырёхугольник ABQP имеет четыре прямых угла.
Соответственно, можно применять к нему обычные свойства прямоугольника.
В частности, отношения между противоположными сторонами и расстояниями.
Но здесь возникает важнейшее обстоятельство.
В обычном евклидовом доказательстве соответствующие свойства прямоугольника устанавливаются с использованием геометрических результатов, связанных с пятым постулатом.
Поэтому нельзя без дополнительного обоснования переносить их в доказательство самого постулата.
Иначе соответствующее рассуждение окажется зависимым от положения, которое первоначально предполагалось доказать.
Таким образом, центральная лемма имеет фундаментальное значение.
Она представляет собой не просто техническое уточнение.
Именно в ней сосредоточена основная математическая задача исследования.
12. Связь с первоначальной последовательностью предложений Евклида
Для оценки доказательства полезно обратиться к логическому порядку первой книги «Начал».
Предложения I.27 и I.28 позволяют устанавливать непересекаемость прямых при определённых угловых условиях.
Они предшествуют первому явному применению пятого постулата.
Именно поэтому при помощи общего перпендикуляра MN нам удалось получить утверждение о непересекаемости AB и PQ.
Но предложение I.29 имеет другое содержание.
В нём рассматриваются угловые отношения, возникающие при пересечении параллельных прямых секущей.
И именно здесь Евклид использует пятый постулат.
Следовательно, необходимо различать два направления математического вывода.
Первое:
Из определённых равенств углов можно установить непересекаемость прямых.
Второе:
Из непересекаемости прямых делаются дальнейшие выводы об их угловых отношениях.
Эти переходы не тождественны по своему доказательному статусу.
Применительно к авторскому построению данное различие означает следующее.
Непересекаемость прямых AB и PQ может быть доказана посредством установления общего перпендикуляра.
Но для получения всех свойств прямоугольника и соответствующего постоянства расстояния необходимо дополнительное основание.
Таким образом, авторский метод действительно позволяет получить содержательный результат из первоначальных геометрических положений.
Однако переход к эквидистантности требует доказательства более сильного утверждения.
13. От конечного построения к прямым на всём протяжении
Следующий вопрос связан с областью действия доказательства.
Первоначально автор строит конечные отрезки AB и PQ.
Но проблема Посидония относится к прямым, рассматриваемым на всём их протяжении.
Следовательно, необходимо различать два утверждения.
Первое:
Конечный отрезок PQ находится на постоянном расстоянии h от прямой AB.
Второе:
Вся прямая, содержащая PQ, находится на постоянном расстоянии h от прямой, содержащей AB.
Даже если первое утверждение доказано, второе требует отдельного обоснования.
Необходимо установить, что соответствующее свойство сохраняется при переходе за первоначально построенные конечные точки.
В частности, требуется исследовать отношения для точек, расположенных на продолжениях PQ за P и Q.
Здесь автор обращается к целостности прямолинейного объекта.
Однако сохранение прямолинейности при продолжении и сохранение постоянного расстояния до другой прямой — различные математические свойства.
Поэтому необходимо доказать их связь.
Иначе говоря, из доказательства эквидистантности конечного участка не следует автоматически эквидистантность всей соответствующей прямой.
Таким образом, для завершения общей теоремы требуется ещё одна лемма.
Она должна устанавливать распространение первоначального метрического отношения на соответствующие продолжения.
14. Существование и единственность — разные утверждения
Теперь рассмотрим вопрос о единственности.
В авторском доказательстве он связан с двумя обстоятельствами.
Первое: на заданном перпендикулярном луче существует единственная точка Q, находящаяся на заданном расстоянии h от его начала B.
Второе: через две различные точки P и Q проходит единственная прямая.
Оба положения корректны.
Но необходимо определить, какой именно общий вывод из них следует.
Пусть задана первоначальная прямая m.
Пусть P — внешняя точка.
Опустим из P перпендикуляр PA к m.
Теперь выберем на m точку B.
Восстановим в B перпендикуляр и отложим на нём длину AP.
Получим определённую точку Q.
Через P и Q проходит единственная прямая.
Следовательно, для фиксированного выбора B построенный объект действительно единственен.
Но исходная задача допускает выбор различных точек B на первоначальной прямой.
Предположим, что выбраны B; и B;.
Посредством соответствующих построений получены точки Q; и Q;.
Тогда возникают две прямые:
PQ;;
PQ;.
Для доказательства единственности необходимо установить, что эти прямые совпадают.
Иными словами, необходимо доказать:
P, Q; и Q; лежат на одной прямой.
Но данная коллинеарность непосредственно не следует только из единственности прямой через P и Q; и единственности прямой через P и Q;.
Ведь это два различных набора конечных точек.
Следовательно, в авторском рассуждении о единственности необходимо добавить самостоятельное доказательство того, что выбор различных оснований B приводит к одному и тому же прямолинейному объекту.
Именно это утверждение отвечает общей постановке задачи.
Таким образом, единственность прямой через две заданные точки доказана.
Но единственность эквидистантной прямой через одну заданную внешнюю точку требует дополнительного геометрического обоснования.
15. Математическое значение различия между точками и прямой
Теперь рассмотрим важнейшее положение авторской критики исторической трактовки Посидония.
Автор подчёркивает необходимость различать произвольную совокупность равноудалённых точек и непосредственно построенную прямую.
Данное различие имеет вполне определённое математическое содержание.
Пусть на плоскости выбраны конечные точки P;, P;, P; и P;.
Пусть каждая из них расположена на одинаковом расстоянии h от заданной прямой.
Само по себе такое условие устанавливает только определённое метрическое свойство выбранных точек.
При этом вопрос о существовании единой прямой, содержащей все эти точки, представляет собой отдельное математическое утверждение.
Следовательно, в этой части авторская постановка задачи вполне обоснованна.
Нельзя без доказательства отождествлять отдельные геометрические условия с уже установленным свойством целой прямой.
Однако необходимо учитывать и обратное обстоятельство.
Если две определённые равноудалённые точки P и Q соединены прямолинейным отрезком, то тем самым доказано существование соединяющего их прямолинейного объекта.
Но ещё не установлено, что все его внутренние точки равноудалены от первоначальной прямой.
Следовательно, различие между множеством точек и построенным отрезком не устраняет само по себе необходимость доказательства эквидистантности.
Оно только позволяет правильно разделить две задачи.
Первая — построение прямой.
Вторая — доказательство её метрического свойства.
Это разделение действительно представляет собой важное методологическое достоинство авторского подхода.
Но завершение второй задачи требует самостоятельного геометрического доказательства.
16. Как можно завершить авторское доказательство?
Проведённая экспертиза позволяет сформулировать программу дальнейшего математического исследования.
Причём она непосредственно следует из самой авторской конструкции.
Первый этап.
Сохраняется первоначальное построение:
AB — основание;
AP = BQ = h;
AP ; AB;
BQ ; AB;
PQ — прямолинейное соединение свободных концов.
Второй этап.
Доказываются отношения:
PB = AQ;
;APQ = ;BQP.
Третий этап.
Проводится общий перпендикуляр MN через середины основания AB и верхнего отрезка PQ.
Устанавливается:
MN ; AB;
MN ; PQ.
Четвёртый этап.
Из предложения I.28 Евклида получается непересекаемость прямых AB и PQ.
Таким образом, уже на этом этапе имеется самостоятельный геометрический результат.
Пятый этап.
Необходимо получить дополнительную лемму, обеспечивающую постоянство расстояния.
Например, можно стремиться доказать:
;APQ = ;BQP = 90°.
Или непосредственно:
XY = h
для произвольной точки X отрезка PQ.
При этом доказательство должно опираться на первоначальные условия, не предполагающие заранее пятый постулат либо эквивалентные ему геометрические утверждения.
Шестой этап.
После доказательства эквидистантности конечного отрезка необходимо установить сохранение соответствующего свойства на продолжениях.
Седьмой этап.
Следует доказать независимость построенной прямой от выбора второго основания B.
Иначе говоря, необходимо установить коллинеарность точек P, Q; и Q;, возникающих при различных допустимых выборах B.
После выполнения перечисленных этапов можно будет сформулировать завершённую теорему о существовании и единственности эквидистантной прямой.
Таким образом, авторское исследование допускает совершенно определённую программу математического продолжения.
Она не требует изменения первоначальной конструкции.
Не требует отказа от геометрической постановки проблемы.
И не требует обращения к посторонним моделям.
Необходимо лишь дополнить доказательство недостающими геометрическими отношениями.
17. Разграничение установленных и требующих доказательства результатов
Теперь сведём основные результаты математической экспертизы в единую систему.
А. Непосредственно установленные положения
Построение прямолинейного отрезка PQ между двумя определёнными точками P и Q.
Равенство двух первоначальных перпендикуляров AP и BQ.
Равенство расстояний от конечных точек P и Q до первоначальной прямой AB.
Конгруэнтность треугольников PAB и QBA.
Равенство диагоналей PB и AQ.
Равенство верхних углов ;APQ и ;BQP.
Существование общего перпендикуляра MN к прямым AB и PQ.
Непересекаемость прямых AB и PQ, установленная посредством предложения I.28 Евклида.
Перечисленные утверждения допускают непосредственное геометрическое доказательство без применения пятого постулата.
Б. Корректное общее свойство прямолинейного соединения
Прямолинейный отрезок PQ является кратчайшим соединением своих концов.
Поэтому для любой точки R, не принадлежащей отрезку PQ:
PR + RQ > PQ.
Из этого следует невозможность заменить первоначальный прямой путь изломанным без увеличения длины соединяющего пути.
В. Положения, требующие дополнительного доказательства
Постоянство расстояния от произвольной внутренней точки X отрезка PQ до первоначальной прямой AB.
Невозможность отношений XY < h и XY > h, установленная непосредственно из исходных геометрических условий.
Связь принципа кратчайшего соединения с постоянством расстояния между двумя различными прямыми.
Сохранение эквидистантности при продолжении первоначально построенных конечных отрезков.
Независимость построенной прямой от произвольного выбора второго основания B.
Единственность эквидистантной прямой через заданную внешнюю точку.
Таким образом, точное разграничение этих групп позволяет определить доказательный статус представленной теоремы.
18. Итоговая независимая математическая оценка
Проведённый анализ позволяет сделать несколько принципиальных выводов.
Прежде всего необходимо признать, что авторская конструкция имеет самостоятельное математическое содержание.
Она позволяет получить определённый прямолинейный объект посредством первоначальных геометрических операций.
При этом равенство перпендикуляров устанавливается конструктивно.
Из соответствующих условий следуют конгруэнтность определённых треугольников, равенство диагоналей и верхних углов четырёхугольника.
Более того, в настоящем приложении показано, что из рассматриваемой конструкции можно непосредственно доказать существование общего перпендикуляра к основанию AB и построенному отрезку PQ.
Следовательно, можно доказать непересекаемость содержащих их прямых.
Это математически содержательный результат.
Однако основная авторская теорема утверждает большее.
Она требует установить не просто непересекаемость, а постоянство расстояния между построенными прямыми.
Именно здесь возникает главный логический вопрос.
Свойство кратчайшего соединения относится к сравнению длин путей между закреплёнными концами.
Эквидистантность относится к расстоянию между двумя различными прямолинейными объектами.
Поэтому для перехода от первого свойства ко второму необходимо дополнительное геометрическое доказательство.
В частности, необходимо установить, что для произвольной точки X отрезка PQ длина перпендикуляра XY к первоначальной прямой AB равна первоначальной длине h.
В представленном доказательстве такое равенство выводится посредством рассуждения о невозможности деформации прямого пути.
Однако предположение об изменении расстояния XY само по себе не является предположением о деформации PQ.
Поэтому соответствующее рассуждение не обеспечивает строгого исключения случаев XY < h и XY > h.
Следовательно, центральная лемма об эквидистантности в нынешнем изложении не получила завершённого доказательства.
Отдельного обоснования требуют также переход от конечных отрезков к целым прямым и доказательство единственности через заданную внешнюю точку.
Таким образом, независимая математическая экспертиза не подтверждает завершённость доказательства теоремы о разрешимости проблемы Посидония в её полной авторской формулировке.
Вместе с тем она подтверждает корректность ряда первоначальных построений и позволяет дополнить авторское исследование самостоятельным доказанным результатом о непересекаемости построенных прямых.
Это существенно уточняет математическую структуру работы.
19. Заключение рецензента
Подводя итог, необходимо подчеркнуть, что главная особенность авторского метода состоит в обращении к прямой как целостному геометрическому объекту.
В рамках этого подхода предлагается не объявлять произвольное множество равноудалённых точек готовой прямой, а непосредственно строить прямолинейный объект посредством первоначальных геометрических операций.
Такая постановка позволяет разделить вопрос о существовании прямой и вопрос о доказательстве её метрических свойств.
Это самостоятельное методологическое достоинство работы.
Однако для завершения доказательства необходимо установить, что целостность построенного прямолинейного отрезка действительно обеспечивает постоянство расстояния между ним и первоначальной прямой.
Свойство кратчайшего соединения само по себе устанавливает минимальность длины пути между закреплёнными концами.
Но оно ещё не выражает равенства всех перпендикулярных расстояний до другой прямой.
Следовательно, центральная геометрическая лемма требует дополнительного обоснования.
При этом положительный результат авторской конструкции может быть сформулирован строго уже сейчас.
Из двух равных перпендикуляров, восстановленных по одну сторону от прямолинейного основания, и прямолинейного соединения их свободных концов можно посредством конгруэнтности треугольников построить общий перпендикуляр к основанию и верхнему отрезку и доказать непересекаемость содержащих их прямых без пятого постулата Евклида.
Этот результат представляет собой самостоятельную теорему.
Дальнейшая задача заключается в доказательстве более сильного утверждения об эквидистантности.
Именно оно необходимо для полного разрешения проблемы Посидония в авторской постановке.
Таким образом, математическая экспертиза позволяет не только обнаружить недостающее звено доказательства, но и точно определить уже полученный положительный результат.
Окончательное заключение независимого рецензента: авторская конструкция обеспечивает строго доказуемую непересекаемость двух построенных прямых. Для завершения доказательства их эквидистантности необходимо дополнительно установить постоянство перпендикулярного расстояния между ними. Для общей теоремы о параллельных требуется также самостоятельное доказательство единственности построенной прямой через заданную внешнюю точку.
Все перечисленные вопросы могут быть исследованы непосредственно средствами элементарной геометрии.
*********
Приложение 2
Геометрические иллюстрации: реконструкции рисунков из предыдущих публикаций автора
1. Назначение приложения
Настоящее приложение содержит геометрические иллюстрации, сопровождающие исследование проблемы Посидония и конструктивное доказательство эквидистантности прямых, изложенное в предыдущих главах брошюры.
Основным источником иллюстративного материала является моя работа «Теорема о параллельных прямых: к основаниям Гармонической геометрии», опубликованная 12 марта 2025 года на портале Lag.ru.
В ней были представлены несколько чертежей, непосредственно связанных с проблемой Посидония, вопросом о первоначальном построении прямой и исследованием взаимного расположения параллельных и непараллельных линий.
Указанные чертежи имеют самостоятельное значение.
Они позволяют наглядно представить различие между отдельными равноудалёнными точками и прямолинейным геометрическим объектом.
Кроме того, они иллюстрируют геометрические отношения сближения, расхождения и эквидистантности.
В настоящей брошюре эти иллюстрации воспроизводятся в обновлённом графическом исполнении.
При реконструкции сохранены первоначальные обозначения основных точек, прямых и перпендикуляров, а также геометрические отношения, составляющие содержание соответствующих рисунков.
Таким образом, приложение выполняет две функции.
Прежде всего оно представляет собой самостоятельный иллюстративный материал к настоящему исследованию.
Вместе с тем оно позволяет проследить преемственность между публикацией 2025 года и предлагаемым новым доказательством разрешимости проблемы Посидония.
2. Рисунок 1.2.1. Прямая и множество равноудалённых точек
Первый рисунок посвящён принципиальному различию между отдельными точками, находящимися на одинаковом расстоянии от заданной прямой, и непосредственно построенным прямолинейным объектом.
На чертеже изображена первоначальная прямая m.
По одну сторону от неё расположено несколько отдельных точек.
Из некоторых точек проведены перпендикуляры к первоначальной прямой.
Их длины одинаковы.
Следовательно, рассматриваемые точки обладают общим метрическим свойством: они находятся на одном расстоянии от m.
Однако точки намеренно не соединены между собой.
Именно это обстоятельство составляет главное содержание рисунка.
В публикации 2025 года соответствующий чертёж сопровождался полемической подписью о ложности отождествления прямой с множеством равноудалённых точек.
Данная иллюстрация имеет принципиальное значение для критики традиционной трактовки проблемы Посидония, связанной с именем Прокла.
Мой основной тезис заключается в необходимости различать два положения.
Первое — несколько точек удовлетворяют одному и тому же условию равноудалённости.
Второе — между определёнными точками построено прямолинейное соединение.
Это разные геометрические действия.
Именно поэтому простое рассмотрение отдельных равноудалённых точек не должно подменять собой построение прямой.
Рис. 1.2.1. Прямая — множество равноудалённых от другой прямой точек (ложь). Реконструкция по публикации 2025 года.
3. Рисунок 1.2.2. Параллельность эквидистантных прямых
Второй рисунок представляет собой первоначальную конструктивную постановку проблемы Посидония.
На нём изображены две прямые m и n.
На первоначальной прямой m определены точки A и C.
В этих точках восстановлены два перпендикуляра AB и CD, расположенные по одну сторону от m.
Их длины равны:
AB = CD.
Свободные концы B и D соединены прямолинейным отрезком.
Таким образом, получается новая прямая n, содержащая BD.
Принципиально важно, что в данном случае прямая n не вводится посредством произвольного объединения отдельных равноудалённых точек.
Она строится непосредственно по двум определённым точкам B и D.
Именно это соответствует первому постулату Евклида.
В результате возникает геометрическая система ACDB.
Два равных перпендикуляра связывают первоначальную прямую m с построенной прямой n.
Именно эта конструкция представляет собой отправной пункт предлагаемого мной метода исследования эквидистантности.
При этом необходимо обратить внимание на обозначения.
В публикации 2025 года первоначальное основание обозначено AC, а два равных перпендикуляра — AB и CD.
В настоящей брошюре используется другая, но геометрически соответствующая система обозначений:
AB — первоначальное основание;
AP и BQ — равные перпендикуляры;
PQ — соединение их свободных концов.
Следовательно, эти две записи представляют собой описание одной и той же конструктивной схемы.
Соответствие обозначений устанавливается следующим образом:
A прежней схемы соответствует A новой;
C прежней схемы соответствует B новой;
B прежней схемы соответствует P новой;
D прежней схемы соответствует Q новой.
Таким образом, первоначальное равенство:
AB = CD
соответствует используемому в настоящей брошюре равенству:
AP = BQ.
Это уточнение необходимо для правильного сопоставления рисунков из разных публикаций.
Рис. 1.2.2. Параллельность эквидистантных прямых. Реконструкция первоначального построения посредством двух равных перпендикуляров.
4. Рисунок 2.3.1. Основные виды геометрически допустимых линий
Следующий рисунок посвящён исследованию различных направлений прямых, проходящих через одну заданную точку.
В первоначальной публикации рассматривается прямая m, содержащая конечный отрезок BC.
Вне этой прямой расположена точка A.
Из A опущен перпендикуляр AB к первоначальной прямой.
На другом конце основания BC восстановлен перпендикуляр CD равной длины.
Следовательно:
AB = CD.
Точки A и D соединены прямолинейным отрезком.
Через A рассматриваются также другие направления, пересекающие основание BC либо перпендикуляр CD в различных точках.
В частности, на чертеже обозначены направления AC, AC;, AC; и AC;.
Главная задача рисунка заключается в сравнении различных классов прямых по характеру их взаимного положения с первоначальным основанием.
Одно направление пересекает отрезок BC.
Другие пересекают перпендикуляр CD в точках, расположенных ниже D.
Отдельно рассматривается направление AD.
Именно оно представляет особый интерес для исследования эквидистантности.
Рисунок позволяет наглядно поставить вопрос о различии между прямыми, сближающимися с первоначальной прямой, и прямой, построенной посредством соединения свободных концов равных перпендикуляров.
В настоящем приложении воспроизводится обновлённая версия данной схемы.
При этом сохранены её первоначальные буквенные обозначения.
Кроме того, отдельно приводится сохранившийся рукописный оригинал, позволяющий непосредственно сопоставить первоначальную авторскую конструкцию с новой графической реконструкцией.
Рис. 2.3.1. Основные виды геометрически допустимых линий. Реконструкция по первоначальному авторскому чертежу.
5. Рисунок 2.3.2. Непараллельность: сближение и неэквидистантность прямых
Четвёртый рисунок посвящён исследованию сближения двух прямых.
На нём представлена первоначальная прямая m.
Вне неё расположена точка A.
Через A проходит другая прямая p.
Из точки A опущен перпендикуляр AB к первоначальной прямой m.
Кроме того, на p выбраны точки C и D.
Из них опущены соответствующие перпендикуляры CH и DG.
На чертеже также изображена окружность с центром A и радиусом AB.
Она служит дополнительным геометрическим средством для наглядного сопоставления соответствующих расстояний.
В рассматриваемом положении перпендикулярные отрезки имеют различные длины.
Причём:
CH > AB > DG.
Следовательно, при переходе от точки C через A к D расстояние до первоначальной прямой m уменьшается.
Именно это изменение характеризует отношение сближения.
Таким образом, прямая p не является эквидистантной прямой m.
В данном случае взаимное расстояние не сохраняет постоянного значения.
На рисунке это выражено непосредственно посредством сравнения трёх определённых конечных отрезков.
Именно в таком положительном метрическом отношении я предлагаю исследовать сближение прямых.
Наличие общей точки за пределами рассматриваемого участка не является первоначальным предметом измерительной процедуры.
Главное здесь — изменение расстояния.
Следовательно, рисунок 2.3.2 позволяет наглядно представить критерий неэквидистантности.
Рис. 2.3.2. Непараллельность (сближаемость, неэквидистантность) прямых.
6. Рисунок 2.3.3. Параллельность: несближаемость и эквидистантность
Следующий рисунок представляет противоположный случай.
На нём изображены две прямые m и n.
Вне первоначальной прямой m расположена точка A, принадлежащая n.
Из A опущен перпендикуляр AB к m.
Кроме того, на n выбраны точки C и D.
Из них проведены перпендикуляры CE и DF к первоначальной прямой.
На чертеже также показана окружность с центром A и радиусом AB.
В рассматриваемой конструкции все три перпендикулярных расстояния равны.
Следовательно:
CE = AB = DF.
Таким образом, при переходе между выбранными точками расстояние между прямыми сохраняет одно и то же значение.
Именно это отношение характеризует эквидистантность.
В отличие от рисунка 2.3.2, здесь отсутствует изменение длины соответствующих перпендикуляров.
Следовательно, рассматриваемые прямые не сближаются и не расходятся на изображённом участке.
Рисунок иллюстрирует основной положительный критерий параллельности, используемый в моём исследовании.
Особое значение имеет возможность воспроизводить соответствующие измерения посредством обычных геометрических инструментов.
При этом равенство расстояний представляется в виде равенства конечных перпендикулярных отрезков.
Таким образом, рисунок 2.3.3 непосредственно дополняет рисунок 2.3.2.
Первый случай характеризуется изменением расстояния.
Второй — его постоянством.
Именно их сопоставление позволяет наглядно выразить различие между сближением и эквидистантностью.
Рис. 2.3.3. Параллельность (несближаемость, эквидистантность) прямых.
7. Первоначальный рукописный чертёж
В дополнение к реконструированным геометрическим схемам в настоящем приложении воспроизводится один из первоначальных авторских чертежей.
Он содержит пучок прямолинейных направлений, исходящих из точки A.
На нём обозначены первоначальное основание BC, верхний прямолинейный отрезок AD и несколько промежуточных направлений, пересекающих перпендикуляр DC.
Рукописное изображение сохранено без геометрической переработки.
Это позволяет сопоставить расположение основных точек и линий с современной графической реконструкцией.
Такое сопоставление имеет важное значение.
Реконструкция геометрического рисунка не должна изменять его первоначальное математическое содержание.
В частности, необходимо сохранять взаимное расположение точек, направления прямых, отношения перпендикулярности и первоначальные обозначения.
Именно поэтому в приложении представлен как обновлённый чертёж, так и соответствующий первоначальный эскиз.
Иллюстрация 6. Первоначальный рукописный чертёж пучка направлений из точки A.
8. Сопоставление геометрических иллюстраций
Теперь рассмотрим общий смысл представленных рисунков.
Рисунок 1.2.1 посвящён различию между отдельными равноудалёнными точками и построенной прямой.
Рисунок 1.2.2 представляет непосредственную конструкцию двух равных перпендикуляров и прямолинейного соединения их свободных концов.
Рисунок 2.3.1 позволяет сравнить различные направления прямых, проходящих через одну внешнюю точку.
Рисунок 2.3.2 иллюстрирует изменение расстояния между сближающимися прямыми.
Рисунок 2.3.3 представляет отношение постоянства расстояния между эквидистантными прямыми.
Наконец, первоначальный авторский эскиз обеспечивает возможность проверки геометрической преемственности реконструкций.
Таким образом, иллюстративный материал образует единую последовательность.
Сначала рассматривается проблема существования прямолинейного объекта.
Затем — способ его непосредственного построения.
После этого — различные отношения между построенной прямой и первоначальным основанием.
И наконец — различие между изменением расстояния и его постоянством.
Именно такая последовательность соответствует общей структуре настоящего исследования.
9. Значение иллюстраций для авторского доказательства
Представленные рисунки являются не только вспомогательным средством наглядного изложения.
Они позволяют уточнить геометрический смысл первоначальных построений.
В частности, рисунок 1.2.2 непосредственно связан с конструкцией, рассмотренной в третьей и четвёртой главах настоящей брошюры.
Рисунки 2.3.2 и 2.3.3 позволяют наглядно различить отношения сближения и эквидистантности.
А рисунок 2.3.1 показывает различные направления, которые могут рассматриваться относительно определённого конечного основания и внешней точки.
При этом центральное значение имеет различие между построением прямой и установлением её геометрических свойств.
Само построение осуществляется посредством первоначальных геометрических операций.
После этого исследуются отношения между полученным прямолинейным объектом и первоначальной прямой.
Именно такая последовательность составляет основу предлагаемого мной метода.
Таким образом, реконструированные чертежи представляют собой единый иллюстративный материал к теореме о разрешимости проблемы Посидония.
10. Источники и редакционные замечания
Основным источником пяти реконструированных рисунков является публикация:
Петросян В. К. (Вадимир). Теорема о параллельных прямых: к основаниям Гармонической геометрии. — Lag.ru, 12 марта 2025 года.
В настоящем приложении использованы рисунки 1.2.1, 1.2.2, 2.3.1, 2.3.2 и 2.3.3 указанной публикации.
Их графическое исполнение обновлено для использования в настоящей брошюре.
При этом первоначальные системы обозначений сохранены, а изменения оформления не предназначены для изменения геометрического содержания рисунков.
Сохранившийся рукописный чертёж воспроизводится отдельно.
Реконструкции следует отличать от факсимильных копий первоначальных изображений: они выполнены в современном графическом оформлении с сохранением авторского замысла и основных геометрических отношений.
Историческим предшественником рассматриваемых исследований является моя книга «Общий кризис теоретико-множественной математики и пути его преодоления» (М.: Янус-К, 1997), в которой впервые была представлена защита содержательной правомерности подхода Посидония.
Таким образом, иллюстрации настоящего приложения отражают дальнейшее развитие исследовательской программы, начатой почти тридцать лет назад.
11. Заключение
Представленные геометрические иллюстрации имеют принципиальное значение для правильного понимания предлагаемого разрешения проблемы Посидония.
Они показывают различие между отдельными равноудалёнными точками и построенной прямой.
Демонстрируют конструкцию двух равных перпендикуляров.
Позволяют сопоставить различные направления прямых.
И наглядно выражают отличие сближения от постоянства расстояния.
Таким образом, иллюстративный материал непосредственно связан с основными положениями настоящей брошюры.
Главное значение этих рисунков состоит в наглядном представлении перехода от первоначального геометрического построения к исследованию эквидистантности как свойства целостных прямолинейных объектов.
Именно это различие определяет содержание авторского метода и его связь с исторической проблемой Посидония.
*****
риложение 3. Исторические определения прямой, перпендикуляра и параллельности
Для заключительного исторического приложения существенно различить три традиции: евклидову прямую как первоначальный геометрический объект, архимедов принцип кратчайшего соединения и посидониевскую характеристику параллельности через эквидистантность.
Проверка первоисточников подтверждает важную деталь для вашей аргументации: в сохранившемся сообщении Прокла Посидоний определяет отношение между прямыми через отсутствие сближения и расхождения и равенство перпендикуляров. Буквального утверждения о том, что произвольное множество равноудалённых точек автоматически является прямой, в этом определении нет. Project Gutenberg+1
Ниже приведён полный текст приложения, рассчитанный на включение непосредственно в брошюру. Исторические формулировки передаются на русском языке с указанием соответствующих определений, постулатов и произведений.
Приложение 3
Исторические определения прямой, перпендикуляра и параллельности
1. Назначение историко-геометрического приложения
Настоящее приложение посвящено историческому развитию трёх фундаментальных понятий геометрии: прямой линии, перпендикулярности и параллельности.
Эти понятия имеют непосредственное отношение к проблеме Посидония и предлагаемому в настоящей брошюре авторскому доказательству её разрешимости.
Особое значение имеет то обстоятельство, что исторически определения указанных понятий формировались не одновременно и не всегда имели одинаковое содержание.
В одних случаях прямая рассматривалась преимущественно через особенности своего расположения.
В других — через свойство кратчайшего соединения двух точек.
Параллельность могла определяться через непересекаемость прямых либо через постоянство расстояния между ними.
Наконец, перпендикулярность выступала как первоначальное угловое отношение, позволяющее определять и сравнивать геометрические расстояния.
Для правильного понимания рассматриваемой проблемы необходимо учитывать эти различия.
Ведь речь идёт не только об изменении геометрической терминологии.
От выбора первоначальных понятий непосредственно зависит содержание геометрических построений и доказательств.
Поэтому в настоящем приложении последовательно рассматриваются определения Евклида, принцип кратчайшего соединения у Архимеда, свидетельства Прокла о геометрических взглядах Посидония, а также некоторые последующие формулировки проблемы параллельности.
Отдельное внимание уделяется соотношению исторических определений с авторской конструкцией двух равных перпендикуляров.
Исторические положения и авторские интерпретации разграничиваются.
Русские формулировки античных текстов приводятся в рабочем переводе с опубликованных научных переводов; различия между редакциями специально оговариваются там, где они существенны.
2. Первоначальные геометрические определения Евклида
В первой книге «Начал» Евклида геометрическое изложение начинается с последовательности определений.
Среди них особое место занимают определения точки, линии и прямой.
Определение 1. Точка.
В традиционном русском переводе:
«Точка есть то, что не имеет частей».
Это одно из наиболее известных первоначальных определений евклидовой геометрии.
Оно характеризует точку посредством отсутствия внутренней протяжённости и частей.
При этом точка выступает первоначальным элементом геометрических построений.
Определение 2. Линия.
«Линия есть длина без ширины».
Следовательно, линия характеризуется как одномерная геометрическая величина.
В данном определении ещё не устанавливается прямолинейность.
Линия может рассматриваться как более общее геометрическое понятие.
Определение 3. Концы линии.
«Концы линии суть точки».
Это определение непосредственно связывает понятия линии и точки.
В частности, оно позволяет рассматривать конечный участок линии как объект, имеющий две определённые границы.
Указанное положение имеет значение для дальнейшего построения прямолинейного отрезка.
Определение 4. Прямая линия.
В переводе, близком к греческому тексту:
«Прямая линия есть линия, которая ровно расположена по отношению к точкам, лежащим на ней».
В литературе встречается также вариант:
«Прямая линия есть та, которая ровно лежит между своими концами».
Следует учитывать, что второй вариант отражает особую переводческую и редакционную традицию.
Первоначальный греческий текст содержит указание именно на точки, принадлежащие рассматриваемой линии.
Это различие имеет значение для понимания геометрического содержания определения.
Ведь характеристика прямой через её собственные точки обращает внимание на внутреннее расположение элементов самой линии.
Между тем формулировка через конечные точки подчёркивает положение линии относительно своих границ.
Обе редакции исторически использовались для передачи содержания евклидова определения.
Однако их не следует автоматически считать совершенно одинаковыми по смысловым акцентам.
3. Геометрическое содержание определения прямой у Евклида
Четвёртое определение первой книги «Начал» заслуживает особого рассмотрения.
В отличие от определения точки через отсутствие частей и линии через длину без ширины, определение прямой содержит указание на определённое взаимное расположение.
Речь идёт о линии, одинаково или ровно расположенной относительно собственных точек.
Но что именно означает подобное расположение?
Этот вопрос на протяжении истории геометрии вызывал различные интерпретации.
С одной стороны, определение подчёркивает особый характер прямолинейности.
С другой стороны, оно не содержит явной формулы, позволяющей непосредственно выразить соответствующее свойство через длины отрезков или величины углов.
Именно поэтому последующие авторы неоднократно обращались к другим характеристикам прямой.
В частности, к её способности кратчайшим образом соединять две определённые точки.
Для настоящего исследования важно следующее.
В первоначальном определении Евклида прямая характеризуется через отношение к собственным точкам.
При этом в данном определении не рассматривается расстояние до какой-либо другой прямой.
Следовательно, здесь необходимо различать два понятия.
Первое — прямолинейность как свойство самой линии.
Второе — эквидистантность как отношение между двумя линиями.
Прямая может быть предметом первоначального геометрического определения.
Эквидистантность же требует рассмотрения по крайней мере двух геометрических объектов и соответствующего расстояния между ними.
Это различие непосредственно связано с проблемой Посидония.
В предлагаемом авторском методе сначала осуществляется построение прямолинейного соединения двух заданных точек.
Затем исследуется его взаимное положение относительно первоначальной прямой.
Таким образом, прямолинейность и эквидистантность не смешиваются в одном исходном определении.
4. Архимед: прямая как кратчайшее соединение двух точек
Особое место в истории геометрии занимает характеристика прямой, связанная с именем Архимеда.
В трактате «О шаре и цилиндре» среди первоначальных допущений рассматривается положение, согласно которому из линий с одинаковыми концами прямая имеет наименьшую длину.
В современном русском изложении соответствующий принцип можно сформулировать следующим образом:
Из всех линий, соединяющих две заданные точки, кратчайшей является прямая.
Это положение имеет фундаментальное значение.
В отличие от евклидова определения, основанного на характеристике расположения точек самой линии, архимедова формулировка непосредственно обращается к сравнению геометрических длин.
Пусть две определённые точки обозначены через P и Q.
Пусть PQ — соединяющий их прямолинейный отрезок.
Теперь рассмотрим некоторый иной путь между теми же точками.
В частности, пусть он проходит через точку R, не принадлежащую первоначальному отрезку PQ.
Тогда возникает изломанное соединение PRQ.
По неравенству треугольника:
PR + RQ > PQ.
Следовательно, изломанный путь длиннее прямолинейного.
В этом отношении принцип кратчайшего соединения получает непосредственное математическое выражение.
Для настоящей брошюры указанное историческое обстоятельство представляет особый интерес.
Ведь в авторском доказательстве разрешимости проблемы Посидония свойство прямой как кратчайшего соединения рассматривается в качестве одного из первоначальных геометрических оснований.
Таким образом, соответствующий подход имеет глубокие исторические корни.
Он не является произвольным введением нового понятия прямой, а продолжает известную античную традицию рассмотрения прямолинейности через минимальность соединяющего пути.
При этом необходимо сохранять точность исторической атрибуции.
У Евклида четвёртое определение прямой и первый постулат не тождественны приведённому архимедову принципу.
У Архимеда же минимальность прямолинейного соединения выступает в качестве самостоятельного первоначального допущения.
Именно поэтому в историческом изложении данные положения рассматриваются раздельно.
5. Прокл о прямой и принципе кратчайшего пути
В комментарии к первой книге «Начал» Евклида Прокл обращается к различным историческим трактовкам первоначальных геометрических понятий.
В частности, при обсуждении прямолинейности он упоминает характеристику, связываемую с Архимедом.
Согласно этой характеристике, прямая представляет собой кратчайшую линию между одинаковыми конечными точками.
Таким образом, уже в античной комментаторской традиции евклидово определение прямой сопоставлялось с метрическим свойством кратчайшего соединения.
Это обстоятельство имеет значение для истории проблемы параллельности.
Оно показывает, что понятие прямой рассматривалось не только как наглядное описание линии, но и как объект с определёнными геометрическими свойствами.
При этом свойство кратчайшего пути имеет самостоятельное содержание.
Оно устанавливает отношение между длиной прямого соединения и длиной иных путей с теми же концами.
Следовательно, речь идёт об определённом геометрическом принципе, допускающем математическое исследование.
Для предлагаемого авторского метода особенно важно, что подобное понимание прямой позволяет рассматривать её как целостный объект.
Длина соединяющего пути относится не к одной отдельно выбранной точке, а ко всему соединению.
Именно поэтому прямолинейность предполагает определённое взаимное расположение внутренних элементов.
Однако историческое положение о кратчайшем соединении необходимо отличать от самостоятельного утверждения об эквидистантности двух прямых.
Первое характеризует одну линию и её конечные точки.
Второе устанавливает отношение между двумя геометрическими объектами.
Именно связь этих положений составляет предмет основного авторского доказательства настоящей брошюры.
6. Евклидово определение прямого угла и перпендикуляра
Теперь обратимся ко второму первоначальному понятию — перпендикулярности.
В первой книге «Начал» ему посвящено определение 10.
Евклид рассматривает прямую, стоящую на другой прямой и образующую с ней два равных смежных угла.
Если такие углы равны, каждый из них называется прямым.
А стоящая прямая называется перпендикуляром к той прямой, на которой она стоит.
Таким образом, первоначальное определение перпендикулярности основывается на равенстве смежных углов.
В современной записи это можно представить следующим образом.
Пусть AB — прямолинейное основание.
Пусть C — точка на AB.
Пусть CD — отрезок, выходящий из C.
Если:
;ACD = ;DCB,
а A, C и B лежат на одной прямой, то оба смежных угла являются прямыми.
Следовательно:
CD ; AB.
Это отношение имеет первоначальное геометрическое содержание.
Оно определяется непосредственно через равенство углов.
При этом нет необходимости предварительно пользоваться понятием параллельности прямых.
Именно поэтому построение перпендикуляра имеет особое значение для исследования пятого постулата.
Перпендикулярность является самостоятельным геометрическим отношением, которое можно использовать для дальнейших построений.
7. Четвёртый постулат Евклида и равенство прямых углов
Важнейшее дополнение к определению перпендикулярности содержится в четвёртом постулате Евклида.
Он утверждает равенство всех прямых углов.
Таким образом, прямой угол рассматривается как универсальная геометрическая величина.
В современной угловой мере:
90° = 90°.
Однако необходимо учитывать, что сама градусная запись является позднейшей системой числового выражения углов.
В первоначальном тексте Евклида прямые углы сравниваются как геометрические величины без обязательного обращения к градусной мере.
Это обстоятельство имеет определённое методологическое значение.
Поскольку все прямые углы равны, перпендикуляры, построенные в различных точках одной прямой, образуют с ней одинаковые угловые отношения.
Именно это положение используется в авторской конструкции двух равных перпендикуляров.
Пусть AP и BQ восстановлены в различных точках основания AB.
Тогда:
;PAB = ;QBA = 90°.
При этом равенство прямых углов следует из первоначального геометрического положения, а не из предположения о параллельности построенных линий.
Следовательно, угловое основание конструкции устанавливается независимо от свойства эквидистантности.
В этом заключается одна из её важнейших особенностей.
8. Построение перпендикуляра в первой книге «Начал»
Определение перпендикуляра дополняется у Евклида конкретными конструктивными предложениями.
Особенно важны предложения I.11 и I.12.
Предложение I.11 посвящено построению перпендикуляра к заданной прямой через точку, расположенную на ней.
Предложение I.12 устанавливает возможность проведения перпендикуляра к прямой из точки, не принадлежащей ей.
Следовательно, Евклид не ограничивается словесным определением перпендикулярности.
Он рассматривает также способы получения соответствующих геометрических объектов.
Для настоящей работы именно это обстоятельство имеет принципиальное значение.
Пусть дан первоначальный отрезок AB.
В точке A можно восстановить перпендикуляр AP.
В точке B можно восстановить перпендикуляр BQ.
После этого посредством перенесения длины можно установить:
AP = BQ.
Таким образом, все исходные элементы авторской конструкции имеют определённое основание в первоначальных геометрических построениях.
При этом не требуется предварительно вводить эквидистантную прямую.
Она становится предметом дальнейшего исследования.
Именно такой порядок соответствует конструктивному характеру рассматриваемой задачи.
9. Перпендикуляр как геометрическая мера расстояния
Первоначальное определение перпендикуляра носит угловой характер.
Однако в дальнейшем геометрическом развитии перпендикуляр приобретает также метрическое значение.
Он используется для определения расстояния от точки до прямой.
Пусть дана прямая m.
Пусть P — точка вне неё.
Опустим из P перпендикуляр PA к m.
Тогда длина PA характеризует кратчайшее расстояние от P до данной прямой.
В современной символической записи:
d(P, m) = PA.
Это обозначение не является частью первоначальной терминологии Евклида.
Оно представляет собой современный способ записи соответствующего геометрического отношения.
Однако само сравнение прямолинейных расстояний имеет древние геометрические основания.
Применительно к проблеме Посидония данный переход особенно важен.
Ведь эквидистантность двух прямых определяется через постоянство соответствующих перпендикулярных расстояний.
Следовательно, первоначальное угловое понятие перпендикулярности становится средством исследования метрического отношения между линиями.
Именно в этом заключается его особое значение.
10. Евклидово определение параллельных прямых
Теперь обратимся к третьему основному понятию — параллельности.
В первой книге «Начал» оно вводится определением 23.
Согласно Евклиду, параллельными являются прямые, принадлежащие одной плоскости и не встречающиеся друг с другом при неограниченном продолжении в обе стороны.
Таким образом, определение содержит три условия.
Прежде всего рассматриваемые линии должны быть прямыми.
Кроме того, они должны принадлежать одной плоскости.
Наконец, при продолжении в обе стороны они не должны пересекаться.
Важнейшее значение имеет последнее условие.
Параллельность характеризуется отсутствием общей точки.
Следовательно, евклидово определение носит отрицательный характер.
Оно непосредственно не устанавливает величину расстояния между параллельными прямыми.
И не предусматривает в самом определении способа построения соответствующей пары линий.
При этом необходимо различать определение параллельности и пятый постулат Евклида.
Они имеют различное содержание.
Определение характеризует определённый вид взаимного расположения прямых.
Пятый постулат устанавливает условие, при котором две прямые обязательно пересекутся.
Следовательно, определение и постулат не тождественны друг другу.
11. Пятый постулат Евклида: пересечение прямых и внутренние углы
Пятый постулат первой книги «Начал» имеет значительно более сложную формулировку, чем первоначальные постулаты о проведении прямой, её продолжении и построении окружности.
Он рассматривает две прямые, пересечённые третьей.
Если сумма внутренних односторонних углов меньше двух прямых, то соответствующие прямые при продолжении должны пересечься с той стороны, где указанная сумма меньше двух прямых.
Таким образом, постулат устанавливает связь между угловым отношением и необходимостью пересечения прямых.
В современной записи условие можно выразить следующим образом:
; + ; < 180°.
Тогда соответствующие прямые при продолжении пересекутся с определённой стороны секущей.
Здесь параллельность рассматривается косвенно — через условия, исключающие непересекаемость.
Следовательно, пятый постулат представляет собой самостоятельное геометрическое утверждение о взаимном положении прямых.
Для истории геометрии особенно важно, что Евклид использует данный постулат не с самого начала первой книги.
Его первое явное применение происходит в предложении I.29.
Предшествующие предложения I.27 и I.28 устанавливают достаточные условия параллельности посредством определённых угловых отношений.
Именно это различие между последовательными геометрическими утверждениями имеет значение при исследовании возможных доказательств пятого постулата.
Нельзя без дополнительного обоснования отождествлять вывод о непересекаемости прямых с более сильными утверждениями о всех их угловых и метрических отношениях.
Историческая структура «Начал» показывает необходимость самостоятельного рассмотрения соответствующих переходов.
12. Посидоний: параллельность как эквидистантность
Особое место среди античных трактовок параллельности занимает подход Посидония.
Сведения о нём дошли до нас прежде всего через комментарии Прокла.
В соответствующем фрагменте Посидонию приписывается определение параллельных прямых через отсутствие взаимного сближения и расхождения, а также равенство перпендикуляров, проведённых от одной прямой к другой.
В современном русском изложении смысл этого определения можно передать следующим образом.
Параллельными являются прямые одной плоскости, которые не сближаются и не расходятся и для которых соответствующие перпендикуляры между ними имеют равную длину.
Таким образом, в определении Посидония центральную роль играет постоянство расстояния.
Следовательно, параллельность характеризуется не только отсутствием пересечения.
Она выражается посредством определённого положительного метрического отношения.
Пусть две прямые обозначены через m и n.
Пусть из различных точек одной из них проведены перпендикуляры к другой.
Если их длины одинаковы, то соответствующее взаимное расстояние сохраняется.
В современной записи:
d(X, m) = h
для всех рассматриваемых точек X прямой n.
Именно такое отношение мы называем эквидистантностью.
Разумеется, приведённая символическая запись является современной реконструкцией.
Посидоний не использовал соответствующего математического обозначения.
Однако геометрическое содержание постоянства расстояния непосредственно присутствует в дошедшей до нас исторической формулировке.
Именно поэтому в настоящей работе я рассматриваю посидониевский подход как исключительно важный для исследования оснований параллельности.
13. Прокл и историческая передача определения Посидония
Теперь необходимо специально рассмотреть роль Прокла.
Прокл жил в V веке нашей эры, то есть значительно позднее Посидония.
Следовательно, его комментарий представляет собой свидетельство последующей античной традиции.
Это обстоятельство необходимо учитывать при исторической оценке первоначального содержания посидониевского подхода.
В сохранившемся фрагменте Прокл сообщает об определении параллельности через отсутствие сближения и расхождения и равенство перпендикуляров.
Однако данное свидетельство необходимо отличать от последующих рассуждений о возможности построения прямой посредством равноудалённых точек.
В частности, в переданной Проклом формулировке прямо говорится о прямых, находящихся в определённом взаимном положении.
Буквального утверждения о том, что всякое произвольное множество равноудалённых точек автоматически составляет прямую, рассматриваемый фрагмент не содержит.
Следовательно, необходимо различать первоначальное определение и его дальнейшие логико-геометрические интерпретации.
Это положение имеет принципиальное значение для настоящего исследования.
Ведь авторская конструкция основана именно на различии между непосредственным построением прямой и предполагаемым существованием некоторого множества точек с заранее установленным метрическим свойством.
14. Что именно необходимо различать в историческом споре?
В рамках проблемы Посидония можно выделить три самостоятельных геометрических утверждения.
Первое:
Две заданные прямые находятся на постоянном расстоянии друг от друга.
Это утверждение выражает свойство эквидистантности.
Второе:
Существуют точки, находящиеся на одинаковом расстоянии от заданной прямой.
Это утверждение относится к определённым точкам и соответствующим расстояниям.
Третье:
Через выбранные равноудалённые точки построена прямая, все точки которой сохраняют такое же расстояние от первоначальной прямой.
Это утверждение соединяет существование прямолинейного объекта с определённым общим метрическим свойством.
Перечисленные положения имеют различное содержание.
Именно поэтому их нельзя безоговорочно отождествлять.
В частности, установление равенства расстояний для нескольких отдельных точек ещё не является самостоятельной операцией проведения прямолинейного соединения.
Но и проведение прямолинейного соединения представляет собой геометрическое действие, отличное от утверждения о постоянстве расстояния на всём его протяжении.
В настоящей брошюре эти вопросы разграничиваются.
Сначала строится прямая.
Затем рассматривается её взаимное положение относительно первоначальной прямой.
И только после этого формулируется общий вывод об эквидистантности.
Именно такое разграничение составляет основу предлагаемого авторского метода.
15. Дальнейшая античная традиция: Прокл, Гемин и проблема сближения
В комментариях Прокла встречаются также рассуждения о различных видах линий, которые могут приближаться друг к другу, не пересекаясь.
В частности, античные авторы рассматривали отношения между прямыми и кривыми линиями, а также геометрические ситуации, в которых уменьшение расстояния не обязательно сопровождается пересечением рассматриваемых кривых.
Подобные примеры использовались для обсуждения логической допустимости перехода от сближения к утверждению о неизбежности встречи линий.
В этом контексте Прокл обращается также к рассуждениям Гемина.
Для истории проблемы параллельности данное обстоятельство имеет значение прежде всего как свидетельство сложности соответствующих геометрических отношений.
Непересекаемость.
Сближение.
Расхождение.
Постоянство расстояния.
Все эти понятия требуют самостоятельного рассмотрения.
Особенно важно, что свойства произвольных линий и свойства прямых не следует смешивать.
В определении параллельности Евклида первоначально рассматриваются именно прямые.
В посидониевской характеристике также говорится о прямых, находящихся в одной плоскости.
Следовательно, при исследовании исторического спора необходимо точно определять класс геометрических объектов, к которому относится каждое утверждение.
Именно поэтому в настоящей работе я уделяю особое внимание построению прямолинейного соединения двух заданных точек.
16. Джон Плейфер: параллельность через единственность
В истории последующего развития геометрии важное место занимает формулировка, известная как аксиома Плейфера.
Она получила широкую известность благодаря работе Джона Плейфера «Elements of Geometry», опубликованной в 1795 году.
Её современная формулировка имеет следующий вид.
Через точку, не принадлежащую заданной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной.
Эта формулировка отличается как от первоначального определения Евклида, так и от посидониевского подхода.
Евклид определяет параллельность через непересекаемость.
Посидоний характеризует её через постоянство взаимного расстояния.
Формулировка Плейфера делает центральным вопрос о единственности.
При этом необходимо учитывать историческую деталь.
Сам Плейфер использовал положение о невозможности провести через одну точку две различные прямые, параллельные третьей.
Более привычная современная формулировка с утверждением о существовании ровно одной параллельной представляет собой последующее стандартное изложение соответствующего принципа.
Кроме того, Плейфер не был первым автором, обсуждавшим такое свойство параллельности.
Аналогичные идеи встречаются значительно раньше.
Тем не менее именно его имя закрепилось за данной аксиоматической формулировкой.
Для настоящей работы её значение состоит в том, что проблема Посидония может быть сопоставлена с вопросом о существовании и единственности соответствующей прямой.
Если эквидистантная прямая построена через заданную внешнюю точку, необходимо исследовать также её единственность.
Именно этот вопрос рассматривается в четвёртой и пятой главах настоящей брошюры.
17. Лобачевский: параллельная как граничное направление
В XIX веке понятие параллельности получило ещё одну исторически важную интерпретацию.
Н. И. Лобачевский рассматривал прямые, выходящие из заданной точки, по отношению к другой прямой, расположенной в той же плоскости.
При этом выделялись направления, соответствующие пересечению и непересечению первоначальной прямой.
Параллельными назывались граничные прямые между соответствующими классами направлений.
Таким образом, в данной постановке параллельность характеризуется прежде всего особым направлением.
Лобачевский также ввёл понятие угла параллельности.
Этот угол определяется по отношению к перпендикуляру, опущенному из рассматриваемой точки на первоначальную прямую.
Следовательно, в его исследованиях проблема параллельности непосредственно связана с угловыми отношениями.
Для настоящей брошюры данное историческое обстоятельство имеет значение прежде всего потому, что позволяет сопоставить различные основания геометрического определения.
В одном случае параллельность характеризуется отсутствием пересечения.
В другом — постоянством расстояния.
В третьем — граничным положением соответствующего направления.
Эти подходы используют различные первоначальные геометрические характеристики.
Именно поэтому их математическое содержание должно рассматриваться раздельно.
В предисловии настоящей брошюры уже был поставлен вопрос о предельно малых угловых и метрических различиях между соответствующими построениями.
Здесь необходимо лишь отметить исторический факт: в теории Лобачевского понятие параллельности непосредственно связано с определённым граничным угловым отношением.
Таким образом, сопоставление исторических определений подтверждает фундаментальное значение первоначального выбора геометрических характеристик.
18. Давид Гильберт: прямая и параллельность в современной аксиоматике
В конце XIX века существенный вклад в развитие строгих оснований геометрии внёс Давид Гильберт.
В работе «Основания геометрии», впервые опубликованной в 1899 году, он предложил аксиоматическую систему, в которой точки, прямые и плоскости рассматриваются как первоначальные объекты.
Их свойства определяются соответствующими аксиомами и отношениями.
Особое значение имеют аксиомы принадлежности.
В частности, для любых двух различных точек существует прямая, содержащая их.
При этом через две различные точки проходит не более одной прямой.
Следовательно, две различные точки определяют единственную прямую.
Данное положение имеет непосредственное значение для геометрических построений.
Ведь именно через две определённые точки осуществляется построение прямолинейного объекта.
В гильбертовой системе отдельно рассматривается также аксиома параллельности.
В одной из её стандартных формулировок утверждается, что через точку вне данной прямой может проходить не более одной прямой, лежащей в той же плоскости и не пересекающей данную.
Таким образом, в современной аксиоматике различаются первоначальные отношения принадлежности и специальное положение о параллельности.
Это разграничение имеет принципиальное значение.
Существование единственной прямой через две заданные точки представляет собой одно утверждение.
Единственность прямой, параллельной заданной, через одну внешнюю точку — другое.
Именно поэтому вопрос о параллельности не должен подменяться одним лишь утверждением о возможности провести прямую через две точки.
В настоящей брошюре соответствующие геометрические задачи рассматриваются последовательно.
Прежде всего строится определённый прямолинейный объект.
Затем исследуется его эквидистантность.
После этого ставится вопрос о единственности соответствующей прямой.
19. Сравнение основных исторических определений
Теперь сведём рассмотренные исторические подходы в единую сравнительную систему.
Автор и традиция Первоначальная характеристика Геометрическое содержание
Евклид, определения 1–4 Точка, линия и прямая через их первоначальные свойства Прямая как особый геометрический объект
Евклид, определение 10 Равенство смежных углов Прямой угол и перпендикулярность
Евклид, определение 23 Непересекаемость прямых одной плоскости Параллельность
Архимед Наименьшая длина среди линий с одинаковыми концами Кратчайшее соединение
Посидоний в передаче Прокла Отсутствие сближения и расхождения, равенство перпендикуляров Эквидистантность
Джон Плейфер Единственность параллельной через внешнюю точку Аксиоматическое свойство параллельности
Н. И. Лобачевский Граничное направление между пересекающими и непересекающими направлениями Направление и угол параллельности
Давид Гильберт Первоначальные объекты, отношения принадлежности и отдельная аксиома параллельности Формальная аксиоматизация геометрии
Представленная таблица позволяет увидеть, что исторические определения существенно различаются по своему предмету.
Одни характеризуют геометрические объекты.
Другие — отношения между объектами.
Третьи — условия существования и единственности соответствующих конструкций.
Именно поэтому необходимо строго различать определение прямой, построение перпендикуляра и доказательство параллельности.
В настоящем исследовании эти положения рассматриваются как последовательные этапы геометрического доказательства.
20. Исторические определения и авторская конструкция
Теперь обратимся к тому, как рассмотренные исторические положения используются в настоящей брошюре.
Основная авторская конструкция имеет следующий вид.
Пусть дан прямолинейный отрезок AB.
В его концах восстановлены два перпендикуляра AP и BQ.
Пусть они расположены по одну сторону от первоначальной прямой.
И пусть:
AP = BQ = h.
Теперь соединим P и Q прямолинейным отрезком.
Получим PQ.
Таким образом, в данной конструкции объединяются три исторически различных геометрических основания.
Первое связано с евклидовым построением прямолинейного соединения двух заданных точек.
Второе — с первоначальным понятием перпендикуляра и равенством прямых углов.
Третье — с принципом кратчайшего соединения, известным ещё со времён Архимеда.
На этой основе автор исследует эквидистантность построенного прямолинейного объекта относительно первоначальной прямой.
Следовательно, проблема Посидония получает самостоятельную конструктивную постановку.
При этом необходимо подчеркнуть, что в авторском исследовании эквидистантность не вводится в качестве первоначального определения уже построенного PQ.
Она рассматривается как свойство, подлежащее геометрическому обоснованию.
Именно это различие между построением объекта и доказательством его свойств имеет центральное значение для всего исследования.
21. Историческое место проблемы Посидония
Теперь можно рассмотреть проблему Посидония в более широком историческом контексте.
Евклид сформулировал первоначальное определение параллельности через непересекаемость.
Посидоний предложил характеризовать параллельность посредством постоянства расстояния.
Последующие геометры неоднократно обращались к вопросам существования, единственности и построения соответствующих прямых.
Таким образом, история проблемы параллельности представляет собой не только историю поисков доказательства пятого постулата.
Она является также историей уточнения первоначальных геометрических понятий.
В частности, изменялись представления о том, какие свойства прямой следует считать определяющими.
Как должны задаваться расстояния между прямыми.
Каким образом устанавливается их взаимное положение.
И что именно необходимо доказать, чтобы считать соответствующий геометрический объект существующим.
С этих позиций проблема Посидония занимает особое место.
Она позволяет сформулировать вопрос о параллельности непосредственно через положительное метрическое отношение.
Именно поэтому в 1997 году я выступил в защиту содержательной правомерности данного подхода.
В последующих исследованиях этот вопрос получил развитие.
В частности, в публикации 2025 года была предложена конструкция двух равных перпендикуляров и прямолинейного соединения их свободных концов.
Настоящая брошюра представляет собой дальнейшее изложение и обоснование соответствующего метода.
Таким образом, исторические определения прямой, перпендикуляра и параллельности составляют не просто справочный материал.
Они непосредственно связаны с математическим содержанием авторского доказательства.
22. Заключение исторического приложения
Проведённое рассмотрение позволяет установить несколько основных историко-геометрических положений.
Прежде всего, понятия прямой, перпендикуляра и параллельности имеют различные первоначальные определения.
У Евклида прямая характеризуется через особенности своего расположения относительно принадлежащих ей точек.
Перпендикулярность определяется через равенство смежных углов.
Параллельность — через непересекаемость прямых одной плоскости.
У Архимеда особое значение приобретает свойство кратчайшего соединения двух заданных точек.
У Посидония параллельность характеризуется посредством постоянства расстояния между прямыми.
В последующей истории геометрии появляются формулировки, связанные с единственностью параллельной прямой и особыми граничными угловыми отношениями.
Таким образом, история показывает многообразие первоначальных характеристик рассматриваемых геометрических объектов.
При этом особое значение для настоящей работы имеют два обстоятельства.
Первое связано с исторической характеристикой прямой как кратчайшего соединения двух точек.
Второе — с посидониевским определением параллельности посредством равенства перпендикулярных расстояний.
Именно эти положения объединяются в предлагаемой авторской конструкции.
В результате проблема Посидония рассматривается не как вопрос о произвольном множестве равноудалённых точек, а как задача построения определённого прямолинейного объекта и исследования его взаимного положения относительно первоначальной прямой.
Главное историко-математическое значение рассмотренных определений заключается в возможности чётко разграничить прямолинейность, перпендикулярность и эквидистантность как самостоятельные геометрические понятия, объединяемые в последовательном конструктивном исследовании.
Именно такой подход лежит в основе настоящей брошюры «О разрешимости проблемы Посидония».
Основные исторические источники
1. Евклид. «Начала»
Первостепенное значение для настоящего исследования имеет первая книга «Начал» Евклида.
В ней содержатся первоначальные определения точки, линии, прямой, прямого угла, перпендикуляра и параллельных прямых.
Особый интерес представляют следующие определения.
Определение 2. Линия характеризуется как длина без ширины.
Определение 3. Концами линии являются точки.
Определение 4. Прямая определяется как линия, равно расположенная по отношению к находящимся на ней точкам.
Определение 10. Прямой угол возникает при равенстве двух смежных углов, образованных пересекающимися прямыми; соответствующие прямые являются перпендикулярными.
Определение 23. Параллельными называются прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся при неограниченном продолжении в обе стороны.
Приведённые положения имеют непосредственное отношение к проблеме Посидония.
Особенно важно различие между определением прямой как самостоятельного геометрического объекта и определением параллельности как отношения между двумя прямыми.
Для конструктивного исследования необходимо также обратиться к первоначальным постулатам Евклида.
Первый постулат устанавливает возможность проведения прямой от одной заданной точки к другой.
Второй допускает продолжение конечного прямолинейного отрезка.
Пятый постулат связывает определённые угловые отношения между прямыми с их пересечением при продолжении.
В настоящей брошюре особое значение придаётся первому постулату, поскольку именно он обеспечивает непосредственное построение прямолинейного соединения свободных концов двух равных перпендикуляров.
Не менее важны предложения первой книги «Начал».
Предложения I.11 и I.12 посвящены построению перпендикуляров.
Предложения I.27 и I.28 устанавливают достаточные условия параллельности через отношения углов.
Предложение I.29 рассматривает угловые следствия параллельности и содержит применение пятого постулата.
Предложение I.31 посвящено построению прямой, параллельной заданной, через определённую внешнюю точку.
Таким образом, первая книга «Начал» представляет собой основной исторический и математический источник для исследования первоначального содержания проблемы параллельных.
2. Прокл. «Комментарий к первой книге „Начал“ Евклида»
Вторым основным источником является сочинение Прокла Диадоха, древнегреческого философа и комментатора Евклида V века.
Его труд имеет исключительное значение для истории геометрии, поскольку в нём сохранились сведения о взглядах ряда античных математиков, произведения которых не дошли до нашего времени в полном виде.
В частности, именно Прокл передаёт характеристику параллельных прямых, связанную с именем Посидония.
Согласно этому свидетельству, Посидоний определял параллельные прямые как такие, которые, находясь в одной плоскости, не сближаются и не расходятся, причём перпендикуляры, проведённые от одной прямой к другой, имеют равную длину.
Следовательно, в сохранившейся передаче центральное значение имеет постоянство взаимного расстояния.
Для настоящего исследования особенно важно установить, что именно содержится в историческом свидетельстве, а что относится к последующей его интерпретации.
В приведённом Проклом определении говорится об отношении между прямыми и о равенстве перпендикуляров.
Однако утверждение, будто Посидоний прямо отождествлял произвольное множество равноудалённых точек с уже построенной прямой, не является дословной формулировкой данного свидетельства.
Поэтому подобное истолкование следует рассматривать отдельно от самого текста, переданного Проклом.
Именно данное обстоятельство имеет существенное значение для авторской критики традиционного понимания проблемы Посидония.
При работе с источником желательно обращаться к критическому греческому изданию комментария Прокла, подготовленному Готфридом Фридлейном в 1873 году, а также к английскому переводу Гленна Морроу 1970 года.
Представляет исторический интерес и более ранний перевод Томаса Тейлора, опубликованный в 1792 году.
3. Гемин и античная традиция исследования параллельности
Дополнительное значение имеют сведения о Гемине, также сохранившиеся в комментарии Прокла.
В рассматриваемом историческом контексте Гемин уделял внимание различию между прямыми и другими видами линий, а также между непересекаемостью и постоянством расстояния.
Соответствующее обсуждение показывает, что античные геометры уже различали несколько самостоятельных характеристик взаимного положения линий.
В частности, непересекаемость не рассматривалась как единственное содержательное свойство, которое можно исследовать.
Обсуждались также сближение, расхождение и постоянство взаимного удаления.
Это имеет существенное значение для исторической постановки проблемы Посидония.
Ведь его определение параллельности оказывается частью более широкой античной дискуссии о свойствах прямолинейных геометрических объектов.
При этом необходимо учитывать источниковедческое обстоятельство: сведения о Гемине в данном случае известны через изложение Прокла.
Следовательно, при обращении к ним необходимо различать первоначальный античный материал и его последующую передачу.
4. Н. И. Лобачевский. Работы по теории параллельных
Для исследования дальнейшей истории проблемы пятого постулата необходимо учитывать труды Н. И. Лобачевского.
Прежде всего речь идёт о работе «О началах геометрии», опубликованной в «Казанском вестнике» в 1829–1830 годах.
Дальнейшее изложение соответствующих исследований содержится в работе «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных», публиковавшейся в 1835–1838 годах.
Эти сочинения занимают важное место в истории изменения представлений о параллельности.
В настоящей брошюре они представляют интерес прежде всего как исторические свидетельства иной постановки фундаментальных вопросов геометрии.
В предисловии уже сформулированы мои собственные критические соображения, связанные с угловой и метрической близостью геометрических объектов при соответствующих предельных соотношениях.
Однако историческое изложение должно прежде всего точно воспроизводить содержание рассматриваемых источников.
Поэтому необходимо различать положения самого Лобачевского и мои собственные аргументы, направленные на их критический анализ.
5. Т. Л. Хит и историко-математические исследования «Начал»
Важное вспомогательное значение имеет фундаментальный труд Томаса Литтла Хита «The Thirteen Books of Euclid’s Elements».
Это издание содержит перевод «Начал», историческое введение и подробные комментарии.
Особенно полезны материалы первого тома, посвящённые определениям, постулатам и первоначальным геометрическим предложениям.
Для настоящей работы значение труда Хита заключается прежде всего в возможности сопоставить различные исторические трактовки первоначальных положений Евклида.
Кроме того, его комментарии позволяют уточнить роль Прокла и других античных авторов в передаче сведений о развитии геометрии.
При этом труд Хита следует рассматривать как историко-математическое исследование, а не как самостоятельный античный первоисточник.
6. Авторские исследования 1997–2026 годов
Наконец, необходимо указать два произведения, непосредственно определяющих историю настоящего авторского исследования.
Петросян В. К. Общий кризис теоретико-множественной математики и пути его преодоления. Версия 1.0. — Москва: Янус-К, 1997.
В этой книге проблема Посидония впервые была рассмотрена мной в контексте защиты содержательной правомерности его определения параллельности.
Соответствующее обсуждение связано с более общими вопросами существования геометрических объектов, природы прямой и оснований математического знания.
Петросян В. К. Теорема о параллельных прямых: к основаниям Гармонической геометрии. — Lag.ru, 12 марта 2025 года.
В данной работе были представлены новые конструктивные подходы к проблеме параллельности, включая построение посредством двух равных перпендикуляров.
Именно эта публикация является непосредственным предшественником настоящей брошюры.
Таким образом, исследования 1997 и 2025 годов позволяют установить преемственность авторской работы над проблемой Посидония.
При этом они относятся не к античным историческим источникам, а к современной истории развития предлагаемой авторской концепции.
7. Основные библиографические позиции
Для окончательного списка литературы настоящей брошюры следует сохранить следующие издания:
Euclid. Elementa («Начала»). Книга I: определения, постулаты, предложения I.11, I.12, I.27–I.29, I.31. Критическое издание греческого текста: Euclidis Elementa, под редакцией J. L. Heiberg. Leipzig: Teubner, 1883–1888.
Proclus Diadochus. In primum Euclidis Elementorum librum commentarii. Издание G. Friedlein. Leipzig: B. G. Teubner, 1873.
Proclus. A Commentary on the First Book of Euclid’s Elements. Перевод, введение и примечания Glenn R. Morrow. Princeton: Princeton University Press, 1970.
Proclus. The Philosophical and Mathematical Commentaries of Proclus on the First Book of Euclid’s Elements. Перевод Thomas Taylor. London, 1792.
Heath T. L. The Thirteen Books of Euclid’s Elements. Перевод и комментарии. 2-е исправленное издание; переиздание: New York: Dover Publications, 1956. Три тома.
Лобачевский Н. И. О началах геометрии. — Казанский вестник, 1829–1830.
Лобачевский Н. И. Новые начала геометрии с полной теорией параллельных. — Учёные записки Казанского университета, 1835–1838.
Петросян В. К. Общий кризис теоретико-множественной математики и пути его преодоления. Версия 1.0. — Москва: Янус-К, 1997.
Петросян В. К. Теорема о параллельных прямых: к основаниям Гармонической геометрии. — Lag.ru, 12 марта 2025 года.
Заключительное историко-источниковедческое замечание
Рассмотрение основных исторических источников позволяет сделать несколько существенных выводов.
Прежде всего проблема параллельности действительно имеет два различных аспекта.
Первый связан с определением взаимного положения прямых.
Второй — с возможностью построения соответствующих геометрических объектов и доказательства их свойств.
В «Началах» Евклида параллельность определяется через непересекаемость.
В свидетельстве Прокла о Посидонии — через отсутствие сближения и расхождения, выражаемое равенством перпендикуляров.
Таким образом, уже в античной геометрии существовали различные способы характеристики одного из фундаментальных отношений между прямыми.
Особое значение имеет то обстоятельство, что историческое свидетельство о Посидонии сохранилось не в его собственном сочинении, а в позднейшем комментарии.
Поэтому при исследовании данной проблемы следует строго различать первоначальное геометрическое определение, его передачу античным комментатором и последующие математические интерпретации.
Именно такое разграничение позволяет точнее определить действительный предмет спора.
В настоящей работе я исхожу из того, что вопрос о постоянстве расстояния между прямыми заслуживает самостоятельного конструктивного исследования.
При этом принципиально важно не подменять построение геометрического объекта предположением о том, что некоторая совокупность равноудалённых точек уже образует прямую.
Прямолинейное соединение двух определённых точек представляет собой самостоятельную первоначальную геометрическую операцию.
Её содержание установлено первым постулатом Евклида.
Поэтому исследование проблемы Посидония может быть начато непосредственно с геометрического построения, а не с произвольного предположения о существовании готовой эквидистантной линии.
Таким образом, обращение к историческим источникам подтверждает необходимость различать три самостоятельных вопроса: определение параллельности, построение прямой и доказательство постоянства расстояния между построенными прямолинейными объектами.
Именно это различие составляет методологическую основу настоящей брошюры.
В таком понимании исследование исторических определений непосредственно подводит к главной задаче работы — конструктивному разрешению проблемы Посидония.
********
О разрешимости проблемы Посидония
© Copyright: Вадимир Петросян, 2026
Свидетельство о публикации №226102900231
Свидетельство о публикации №226102900231
Рецензии