18 эквивалентов 5 постулата

ВОСЕМНАДЦАТЬ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ УТВЕРЖДЕНИЙ ПЯТОГО ПОСТУЛАТА

4.1. Понятие эквивалентности геометрических утверждений
В предыдущей главе мы рассмотрели многовековую историю попыток доказательства пятого постулата Евклида, уделив особое внимание разнообразию геометрических конструкций и исследовательских методов.

Однако исторический материал приводит нас к проблеме, имеющей самостоятельное математическое и методологическое значение.

Оказывается, знаменитый постулат о параллельных допускает множество альтернативных формулировок, иногда настолько отличающихся от первоначального евклидова утверждения, что их содержательное родство далеко не очевидно.

Некоторые формулировки относятся непосредственно к взаимному расположению прямых.

Другие характеризуют свойства треугольников.

Третьи связаны с существованием специальных четырёхугольников.

Четвёртые обращаются к геометрическому подобию, площади фигур, окружностям и метрическим отношениям.

Тем не менее соответствующие положения традиционно рассматриваются как логически эквивалентные пятому постулату Евклида.

Именно это обстоятельство составляет математическую основу предлагаемого Великого геометрического ноочелленджа.

Что означает эквивалентность?
В математике два утверждения называются логически эквивалентными относительно определённой системы исходных положений, если каждое из них может быть выведено из другого с использованием этой системы.

Таким образом, эквивалентность предполагает наличие двух направлений доказательства.

В первом необходимо установить, что из принятия исходного утверждения следует другое.

Во втором требуется доказать обратный переход.

При этом сами утверждения могут существенно различаться по своему геометрическому содержанию.

Например, одно из них может относиться к существованию прямоугольника, а другое — к условиям пересечения двух прямых.

Их логическая эквивалентность не означает, что прямоугольник представляет собой то же самое, что и пересечение прямых.

Она означает лишь то, что в рассматриваемой системе геометрических предпосылок соответствующие положения обладают одинаковой доказательной силой.

Это различие имеет фундаментальное значение.

Логическая эквивалентность геометрических утверждений не устраняет различий между их предметным содержанием и методами доказательства.

Более того, именно эти различия делают исследование альтернативных формулировок особенно интересным.

Эквивалентность и первоначальные основания геометрии
Необходимо подчеркнуть, что математическая эквивалентность всегда устанавливается относительно определённой совокупности исходных положений.

Если изменяется эта совокупность, может измениться и доказательный статус рассматриваемых утверждений.

Поэтому утверждение об эквивалентности пятому постулату необходимо сопровождать указанием на принятую геометрическую систему.

В обычной элементарной геометрии многие свойства прямых, треугольников и окружностей уже считаются доказанными.

Однако при исследовании первоначальных оснований геометрии возникает иной вопрос.

Какие из этих свойств можно использовать в качестве исходных, а какие должны быть получены посредством самостоятельного доказательства?

Например, в полной евклидовой геометрии существование прямоугольника не вызывает сомнений.

Но если исследователь намерен использовать существование прямоугольника для доказательства пятого постулата, необходимо проследить, на основании каких положений соответствующая фигура была построена.

Аналогичная проблема возникает при использовании теоремы о сумме углов треугольника.

В евклидовой геометрии её справедливость общеизвестна.

Однако классическое доказательство Евклида опирается на положения о параллельных прямых.

Следовательно, простая ссылка на эту теорему ещё не решает вопроса о возможности её самостоятельного использования в доказательстве самого постулата о параллельных.

Здесь необходим анализ конкретной доказательной схемы.

Три уровня исследования эквивалентных утверждений
Для дальнейшего изложения я предлагаю различать три уровня математического исследования.

Первый уровень — содержательная формулировка утверждения.

Здесь необходимо точно определить геометрические объекты, их свойства, допустимые условия и характер требуемого результата.

Например, утверждение о существовании хотя бы одного прямоугольника принципиально отличается по форме от утверждения о возможности построения прямоугольника на любом заданном отрезке.

Даже если впоследствии устанавливается эквивалентность этих положений, нельзя смешивать их первоначальное содержание.

Второй уровень — установление логической эквивалентности.

На этом уровне исследуется взаимная выводимость соответствующего утверждения и пятого постулата при точно обозначенных исходных предпосылках.

Именно здесь определяется место рассматриваемого положения в общей системе геометрических теорем.

Третий уровень — поиск самостоятельного доказательства.

В этом случае предметом исследования становится возможность получить соответствующее утверждение посредством определённого комплекса исходных геометрических операций и ранее установленных результатов, не предполагая заранее доказываемого положения.

Именно третий уровень представляет основной интерес для нашего ноочелленджа.

Его участникам предлагается не просто воспроизвести известную цепочку эквивалентностей, а разработать содержательно самостоятельные геометрические доказательства.

Почему достаточно одного доказательства, но предлагается восемнадцать задач?
Здесь обнаруживается своеобразный парадокс.

С точки зрения формальной логики, если одно утверждение доказано независимо от пятого постулата в системе предпосылок, относительно которой установлена их эквивалентность, то можно получить и сам пятый постулат.

После этого остальные эквивалентные утверждения становятся доступными посредством соответствующих логических выводов.

Следовательно, для решения первоначальной доказательной задачи достаточно одного такого результата.

Однако наш ноочеллендж имеет более широкую цель.

Мы стремимся исследовать не только возможность получения определённого утверждения, но и разнообразие геометрических путей, ведущих к соответствующим результатам.

Поэтому восемнадцать задач рассматриваются как самостоятельные направления конструктивного математического творчества.

Разумеется, это не означает, что каждое доказательство должно полностью отличаться от всех остальных.

Математические методы неизбежно используют общие понятия, конструкции и результаты.

Но для конкурсного зачёта важно установить наличие собственного существенного доказательного содержания.

Именно в этом заключается главное отличие предлагаемого соревнования от простого упражнения по выводу логически эквивалентных теорем.

Выбор конкурсного корпуса
В настоящей книге рассматриваются восемнадцать утверждений, представленных в распространённом справочном перечне эквивалентов пятого постулата Евклида.

Этот перечень не является исчерпывающим.

В математической литературе известны и другие формулировки, обладающие соответствующей доказательной силой.

В частности, широко известная формулировка Прокла — Плейфера, утверждающая единственность параллельной прямой через заданную точку вне данной прямой, рассматривается нами как важнейший исторический ориентир, но не включается отдельным девятнадцатым пунктом в установленный конкурсный корпус.

Подобное решение имеет прежде всего организационное значение.

Для проведения интеллектуального соревнования необходимо заранее зафиксировать перечень задач, исключив возможность произвольного изменения их количества и содержания в ходе конкурса.

Каждому утверждению присваивается постоянный номер — от НЗ-01 до НЗ-18.

Сокращение «НЗ» означает «ноозадача».

В дальнейшем эти номера будут использоваться при регистрации доказательств, составлении исследовательских паспортов и определении конкурсных результатов.

4.2. Историческое формирование альтернативных формулировок
Система эквивалентов пятого постулата не возникла одновременно.

Она формировалась на протяжении многих столетий вследствие последовательных попыток исследователей найти более простые, очевидные или конструктивно доступные способы обоснования теории параллельных прямых.

При этом каждая новая формулировка отражала определённые особенности геометрического мышления своего времени.

Одни исследователи обращались непосредственно к свойствам прямых.

Другие стремились использовать специальные геометрические фигуры.

Третьи рассматривали метрические отношения и возможность изменения масштаба.

Постепенно первоначальная проблема приобрела характер широкой совокупности взаимосвязанных геометрических задач.

Античные истоки альтернативных формулировок
Одним из ранних направлений исследования пятого постулата стало обращение к эквидистантности прямых.

Соответствующая традиция связывается с Посидонием, взгляды которого известны прежде всего по свидетельствам Прокла.

Вместо определения параллельных прямых исключительно через их непересечение рассматривалась возможность характеризовать их посредством постоянства взаимного расстояния.

Так возникла особая геометрическая проблема: можно ли установить прямолинейность множества точек, расположенных на одинаковом перпендикулярном расстоянии от данной прямой?

Другой исторический подход был связан с исследованием пересечения прямых при определённых угловых условиях.

В комментариях Прокла встречаются рассуждения, в которых существенное значение придаётся поведению расстояний между прямыми при их продолжении.

Таким образом, уже античная геометрия предложила несколько направлений последующего исследования пятого постулата.

Средневековые конструкции
В математике исламского мира дальнейшее развитие получили исследования параллельности, перпендикулярности и специальных четырёхугольников.

Особое значение имели работы Омара Хайяма.

В его трактате о трудностях «Начал» Евклида центральное место занимал четырёхугольник с двумя равными перпендикулярными сторонами.

Такая конструкция позволяла исследовать свойства остальных углов и их связь с теорией параллельных прямых.

Впоследствии сходные геометрические методы использовали другие исследователи.

Именно здесь обнаруживается важное историческое обстоятельство.

Проблема пятого постулата постепенно стала исследоваться не только посредством прямых и углов, но и посредством специальных геометрических фигур, обладающих определённой совокупностью свойств.

XVII век: Джон Уоллис и геометрическое подобие
Существенно новый подход был предложен Джоном Уоллисом.

В лекции 1663 года, опубликованной позднее в составе его математических трудов, он обратился к существованию подобных фигур различных размеров.

Его идея заключалась в том, что геометрическая форма может сохраняться при изменении масштаба.

Для треугольников соответствующее положение означает возможность построения фигур, имеющих одинаковые углы, но различные линейные размеры.

Таким образом, проблема пятого постулата получает метрическое и конструктивное выражение.

Речь идёт уже не о непосредственном исследовании пересечения прямых, а о существовании геометрических преобразований масштаба.

В дальнейшем данная идея стала одним из классических направлений исследования параллельных.

XVIII век: четырёхугольники и угловые отношения
В XVIII столетии особое значение приобрели исследования специальных четырёхугольников.

В 1741 году Алексис Клод Клеро использовал существование прямоугольника в своём изложении геометрии.

Ранее Джироламо Саккери исследовал четырёхугольники с двумя прямыми углами и равными боковыми сторонами.

Иоганн Генрих Ламберт обратился к четырёхугольнику с тремя прямыми углами.

Эти исследования позволяли заменить первоначальную постановку проблемы вопросом о возможности существования геометрической фигуры с определёнными свойствами.

Одновременно развивались попытки обосновать постулат через характер изменения расстояний между прямыми.

С соответствующей традицией связано имя Роберта Симсона.

Конец XVIII — XIX век: треугольники и пересечения
Важное место занимают исследования Иоганна Фридриха Лоренца и Адриена Мари Лежандра.

Лоренц связывал проблему пятого постулата с пересечением стороны угла произвольной прямой, проходящей через внутреннюю точку.

Лежандр исследовал другое утверждение: существование прямой, которая проходит через заданную внутреннюю точку угла и пересекает обе его стороны.

Эти положения следует строго различать.

В первом случае рассматривается обязательное свойство произвольной прямой.

Во втором требуется доказать существование хотя бы одной прямой, удовлетворяющей определённым условиям.

Однако оба утверждения связаны с общей геометрической проблемой пересечения прямых и лучей.

Важное место в исследованиях Лежандра занимает также сумма внутренних углов треугольника.

Здесь проблема параллельности получает новое выражение: вместо пересечения прямых исследуется универсальное угловое свойство геометрических фигур.

XIX век: дальнейшее расширение перечня
В XIX столетии продолжалось исследование альтернативных формулировок.

В историко-математической литературе с именем М. В. Остроградского связывают утверждение о том, что две прямые, параллельные третьей, параллельны друг другу.

С именем Фаркаша Бойяи связывается задача о существовании описанной окружности для произвольного треугольника.

В более поздних систематизациях к перечню эквивалентов включались также теорема Пифагора, метрические свойства окружностей и некоторые другие утверждения.

Однако здесь необходима существенная историческая оговорка.

Современный справочный перечень представляет собой результат длительной математической систематизации.

Он не является воспроизведением единого исторического документа, составленного каким-либо одним математиком.

Поэтому индивидуальные исторические атрибуции должны уточняться по первичным публикациям.

Особенно это относится к формулировкам, которые встречались у нескольких исследователей или получали последующие логически эквивалентные уточнения.

Историческая последовательность и логическая систематизация
Для настоящей книги важно различать два способа организации материала.

Исторический подход предполагает последовательное рассмотрение появления соответствующих утверждений.

Логико-математический подход объединяет формулировки по их геометрическому содержанию.

Для Великого геометрического ноочелленджа второй способ представляется более продуктивным.

Он позволяет распределить задачи по нескольким исследовательским направлениям.

Первое связано с четырёхугольниками и прямыми углами.

Второе — с треугольниками, подобием, площадями и метрическими отношениями.

Третье — с прямыми, параллельностью, пересечениями и эквидистантностью.

Четвёртое — с окружностями и связанными с ними геометрическими величинами.

При этом исторические сведения не исчезают, а включаются в паспорта отдельных ноозадач.

Таким образом, каждая задача получает два измерения: историческое и математико-исследовательское.

4.3. Четырёхугольники и свойства прямых углов
НЗ-01. Теорема о существовании прямоугольника
Первое утверждение нашего конкурсного перечня формулируется следующим образом:

Существует хотя бы один прямоугольник, то есть четырёхугольник, у которого все четыре внутренних угла являются прямыми.

На первый взгляд данное положение кажется одним из наиболее очевидных утверждений элементарной геометрии.

Прямоугольники широко используются в практической деятельности, строительстве, техническом черчении и математических построениях.

Однако с точки зрения оснований геометрии вопрос об их существовании приобретает самостоятельное значение.

Прямоугольник определяется совокупностью четырёх прямых углов, принадлежащих одной замкнутой прямолинейной фигуре.

Поэтому недостаточно построить несколько отдельных прямых углов.

Необходимо доказать, что соответствующие элементы могут образовать единый четырёхугольник с требуемыми свойствами.

Именно в таком виде задача оказывается связанной с пятым постулатом Евклида.

Четырёхугольники Хайяма, Саккери и Ламберта
Исторически проблема существования прямоугольника исследовалась посредством специальных четырёхугольников.

В конструкции Хайяма — Саккери рассматриваются две равные боковые стороны, перпендикулярные общему основанию.

В четырёхугольнике Ламберта исходными условиями являются три прямых угла.

В обоих случаях необходимо установить определённое свойство остальных углов.

Таким образом, проблема пятого постулата переносится в область исследования конкретной конечной фигуры.

Это имеет принципиальное значение для конструктивной геометрии.

Вместо непосредственного рассмотрения неограниченного продолжения прямых исследователь может работать с определённой системой отрезков и углов.

Однако переход от конечной конструкции к необходимым свойствам построенной фигуры должен получать самостоятельное доказательное обоснование.

От прямоугольника к квадрату
Особый интерес представляет частный случай прямоугольника — квадрат.

Квадрат обладает не только четырьмя прямыми углами, но и четырьмя равными сторонами.

Следовательно, доказательство существования хотя бы одного квадрата одновременно устанавливает существование прямоугольника.

В стандартной системе нейтральной геометрии существование квадрата может использоваться как эквивалентная постановка задачи о пятом постулате.

Однако необходимо помнить, что определение квадрата и доказательство его существования — разные математические действия.

Именно этой проблеме посвящена первая из моих четырёх опубликованных работ:

«Теорема о существовании квадрата. История вопроса, геометрические основания и доказательство методом последовательной надстройки».

В ней предлагается конструкция, основанная на системе равных радиальных отрезков, конгруэнтных треугольниках и последовательном расширении первоначального четырёхугольника.

Основная доказательная задача заключается в установлении прямоты внешних углов соответствующей фигуры без предварительного обращения к исследуемому постулату.

Подробное изложение авторского подхода будет представлено в главе 5.

Здесь необходимо зафиксировать, что НЗ-01 является первым направлением, по которому уже опубликован самостоятельный авторский исследовательский материал.

Конкурсная постановка
Участникам предлагается разработать геометрическое доказательство существования хотя бы одного прямоугольника с использованием заранее установленных исходных положений.

Допускаются самостоятельные доказательства существования квадрата, если они обеспечивают получение соответствующего прямоугольного четырёхугольника.

При этом необходимо отдельно установить существование фигуры и обосновать прямоту всех её внутренних углов.

Особенно важно, чтобы доказательство не использовало заранее в качестве вспомогательного результата само существование прямоугольника или равносильное ему положение.

Исследовательский статус НЗ-01: опубликована авторская работа, подлежащая независимой математической экспертизе на общих конкурсных основаниях.

4.4. Треугольники, подобие, площади и метрические соотношения
Второе крупное направление нашего ноочелленджа связано с геометрией треугольников.

Особенность этого направления заключается в том, что проблема пятого постулата получает выражение через свойства конечных фигур, их размеров, углов и метрических отношений.

В состав данного раздела входят семь ноозадач.

НЗ-02. Существование подобных, но неконгруэнтных треугольников
Существует хотя бы одна пара треугольников, имеющих соответственно равные углы, но не являющихся конгруэнтными.

Это утверждение связано с историческим постулатом Уоллиса.

Оно предполагает возможность существования треугольников одинаковой формы, но различных размеров.

В привычной евклидовой геометрии такая возможность представляется очевидной.

Однако при исследовании первоначальных оснований геометрии необходимо установить, какие исходные положения обеспечивают существование соответствующих фигур.

Важно, что для формулировки НЗ-02 достаточно одной пары треугольников.

Не требуется заранее доказывать возможность увеличения произвольного треугольника в любое число раз.

Тем самым задача получает сравнительно узкую, но математически содержательную форму.

Предметом конкурсного исследования становится построение двух подобных треугольников разных размеров с самостоятельным обоснованием равенства их соответствующих углов.

Особое внимание следует уделить тому, чтобы свойство подобия не вводилось как заранее принятая предпосылка в той форме, которая уже содержит требуемый результат.

НЗ-03. Возможность пропорционального увеличения геометрической фигуры
Любую допустимую геометрическую фигуру можно пропорционально увеличить с сохранением её формы.

В исторической традиции данное утверждение тесно связано с проблемой подобия.

Однако его содержание шире, чем содержание предыдущей ноозадачи.

НЗ-02 требует существования одной пары подобных неконгруэнтных треугольников.

НЗ-03 предполагает возможность изменения масштаба произвольной геометрической фигуры.

В справочной литературе встречается и более слабая формулировка: существует хотя бы одна фигура, которую можно пропорционально увеличить.

Поэтому при подготовке конкурсного регламента необходимо решить, какая именно версия утверждения будет использоваться.

В настоящей книге в качестве основной принимается универсальная формулировка.

При этом требуется уточнить класс допустимых фигур и смысл пропорционального увеличения.

Для многоугольников такое преобразование должно обеспечивать сохранение соответствующих углов и установленных отношений между сторонами.

Особый исследовательский интерес представляет возможность доказать существование такого преобразования посредством первоначальных геометрических построений, не принимая заранее развитую теорию подобия.

НЗ-04. Существование треугольников сколь угодно большой площади
Площади треугольников не имеют общей конечной верхней границы.

Иначе говоря, для любой заранее выбранной конечной положительной площади может быть построен треугольник с большей площадью.

На первый взгляд это утверждение кажется непосредственным следствием возможности увеличивать размеры геометрических фигур.

Однако здесь необходимо различать два свойства.

Первое — возможность построения треугольников с произвольно большими сторонами.

Второе — возможность построения треугольников с произвольно большой площадью.

Логическая связь между ними зависит от свойств рассматриваемой геометрической системы и используемого понятия площади.

Поэтому нельзя без дополнительного доказательства отождествлять неограниченность линейных размеров и неограниченность площади.

Именно эта проблема составляет предмет моего второго опубликованного исследования:

«Теорема о сверхбольшом треугольнике. История вопроса, геометрические основания и доказательство методом неограниченного увеличения конечных фигур».

В данной работе рассматривается возможность построения равносторонних треугольников произвольно больших, но конечных размеров.

Особое значение придаётся последовательному увеличению геометрических фигур и их композиции из конгруэнтных элементов.

Задача состоит не только в увеличении длины стороны, но и в самостоятельном установлении соответствующих отношений между геометрическими площадями.

Подробный конспект авторского доказательства будет приведён в главе 6.

Исследовательский статус НЗ-04: опубликована авторская работа, математический зачёт которой предполагает независимую проверку конструкций и обоснования неограниченности площади.

НЗ-10. Постоянство суммы углов у всех треугольников
Сумма внутренних углов одинакова у всех треугольников.

Данное утверждение существенно отличается от привычной теоремы о том, что сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым углам.

Здесь первоначально не указывается конкретное значение суммы.

Утверждается только её постоянство для всех треугольников.

В справочных перечнях встречается также более специальная формулировка: существует хотя бы одна пара треугольников различных площадей, имеющих одинаковую сумму внутренних углов.

Такой вариант представляет интерес потому, что связывает угловые отношения с метрическими характеристиками фигур.

При разработке доказательства НЗ-10 необходимо строго разграничивать постоянство суммы и её конкретное значение.

Нельзя заранее использовать обычную евклидову теорему о сумме углов треугольника, поскольку она уже обеспечивает требуемый результат.

Предметом исследования должно стать самостоятельное обоснование постоянства соответствующей угловой величины.

НЗ-11. Существование треугольника с суммой углов, равной двум прямым
Существует хотя бы один треугольник, сумма внутренних углов которого равна двум прямым углам.

Исторически это направление связано с исследованиями Лежандра.

Особенность данной формулировки заключается в её экзистенциальном характере.

Не требуется изначально доказывать соответствующее свойство для всех треугольников.

Достаточно установить существование хотя бы одной фигуры с указанной суммой углов.

Однако полученное утверждение должно быть доказано, а не просто принято в качестве привычного свойства геометрического чертежа.

В этом отношении задача представляет особый интерес для конструктивного исследования.

Можно ли построить определённый треугольник и установить величину суммы его углов посредством исходных геометрических операций?

Какие вспомогательные построения для этого необходимы?

Какие ранее установленные теоремы допустимо использовать?

Именно эти вопросы должны определять содержание конкурсных доказательств.

НЗ-15. Существование описанной окружности для произвольного треугольника
Для всякого невырожденного треугольника существует окружность, проходящая через все три его вершины.

Это утверждение традиционно связывается с исследованиями Фаркаша Бойяи.

В обычной евклидовой геометрии построение описанной окружности осуществляется посредством серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

При этом центр окружности определяется как точка их пересечения.

Однако для строгого геометрического доказательства необходимо установить существование этой точки.

Именно здесь обнаруживается связь с проблемой пятого постулата.

Построение отдельных серединных перпендикуляров ещё не означает, что они обязательно пересекутся.

Необходимо доказать соответствующее свойство.

Поэтому существование описанной окружности представляет собой самостоятельную задачу о пересечении определённых геометрических объектов.

В рамках нашего ноочелленджа особенно интересны доказательства, основанные на непосредственном построении и исследовании серединных перпендикуляров, а также иные геометрические подходы, не предполагающие заранее существование центра описанной окружности.

НЗ-16. Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах.

В рассматриваемом справочном перечне достаточно установить соответствующее метрическое соотношение хотя бы для одного невырожденного прямоугольного треугольника.

Теорема Пифагора принадлежит к числу наиболее знаменитых математических результатов.

Её доказательства известны в многочисленных геометрических и алгебраических вариантах.

Однако при исследовании связи с пятым постулатом необходимо учитывать основания используемых методов.

В частности, геометрические доказательства часто опираются на свойства параллелограммов, подобие треугольников или определённые отношения площадей.

Поэтому непосредственное использование таких результатов требует проверки их доказательного статуса.

Особое значение имеет различие между универсальной теоремой Пифагора и утверждением о существовании одного прямоугольного треугольника, удовлетворяющего соответствующему соотношению.

Для целей нашего соревнования эти постановки необходимо фиксировать отдельно.

Предметом НЗ-16 становится разработка самостоятельного геометрического доказательства соответствующего метрического отношения, не предполагающего заранее его справедливость.

Общий итог треугольного направления
Семь рассмотренных утверждений образуют достаточно разнообразную систему исследовательских задач.

Одни связаны с подобием.

Другие — с возможностью пропорционального увеличения фигур.

Третьи — с неограниченностью площади.

Четвёртые — с угловыми отношениями.

Пятые — с существованием описанной окружности.

Наконец, шестое направление связано с метрическими отношениями прямоугольного треугольника.

Общим для всех является то, что исходным предметом исследования выступают конечные геометрические фигуры.

Однако доказательное значение соответствующих утверждений может выходить далеко за пределы свойств отдельных треугольников.

Именно поэтому данный раздел представляет особый интерес для Великого геометрического ноочелленджа.

4.5. Прямые, параллельность, пересечения и эквидистантность
Третье исследовательское направление связано непосредственно с взаимным расположением прямых.

В отличие от задач о треугольниках и четырёхугольниках, здесь особенно заметна связь с первоначальной формулировкой пятого постулата.

Однако различные утверждения этого направления также существенно отличаются друг от друга.

Одни предполагают существование определённых точек пересечения.

Другие характеризуют взаимные расстояния между прямыми.

Третьи устанавливают отношения параллельности.

Всего в эту группу входят восемь ноозадач.

НЗ-05. Утверждение Лоренца о пересечении стороны угла
Любая прямая, проходящая через точку внутри угла, меньшего развёрнутого, пересекает по крайней мере одну из сторон этого угла.

Данная формулировка связывается с исследованиями Иоганна Фридриха Лоренца конца XVIII века.

Её особенность заключается в том, что рассматривается произвольная прямая, проходящая через внутреннюю точку угла.

Не требуется специально выбирать определённое направление прямой.

Утверждается, что при любом допустимом выборе она обязательно пересечёт хотя бы одну из двух образующих угол сторон.

При этом необходимо различать геометрическую прямую и луч.

Сторона угла представляет собой луч, имеющий определённую начальную точку и направление.

Поэтому пересечение прямой с продолжением луча в противоположную сторону не равнозначно пересечению самого луча.

Это различие имеет существенное значение для точной математической постановки.

В рамках нашего ноочелленджа НЗ-05 составляет самостоятельную задачу, не совпадающую с утверждением Лежандра.

НЗ-06. Утверждение Лежандра о пересечении обеих сторон угла
Через любую точку, расположенную строго внутри острого угла, можно провести прямую, пересекающую обе стороны угла в двух различных точках, отличных от его вершины.

В отличие от НЗ-05, здесь требуется доказать существование специально выбранной прямой.

Не утверждается, что любая прямая через внутреннюю точку обладает соответствующим свойством.

Задача состоит в построении хотя бы одной прямой, пересекающей оба образующих угол луча.

Именно это утверждение связано с одной из известных исторических попыток Лежандра доказать пятый постулат.

Следует учитывать, что в исторических материалах встречается и более узкая формулировка, относящаяся к углам менее шестидесяти градусов.

В настоящем конкурсном перечне принимается расширенная формулировка для произвольного острого угла.

Она соответствует предмету моего четвёртого опубликованного исследования:

«Теорема о пересечении угла с точкой. Конструктивное доказательство утверждения Лежандра и проблема пятого постулата Евклида».

В данной работе рассматривается последовательность геометрических построений, направленных на получение прямой через заданную внутреннюю точку угла и установление двух точек её пересечения с образующими лучами.

Особое внимание уделено различию между построением прямой и доказательством существования соответствующих пересечений.

Подробное изложение авторского подхода будет представлено в главе 8.

Исследовательский статус НЗ-06: опубликована авторская работа; для конкурсного зачёта необходима независимая проверка общности построения и корректности переходов к существованию обеих точек пересечения.

НЗ-07. Утверждение о пересечении сближающихся прямых
Две прямые, которые при продолжении сближаются в определённом направлении, должны в конечном счёте пересечься.

Данное утверждение непосредственно связано с исторической проблемой пятого постулата.

Его содержание представляется интуитивно убедительным.

Если прямые сближаются, кажется естественным предположить, что при достаточном продолжении они встретятся.

Однако для строгого доказательства необходимо точно определить понятие сближения.

В частности, следует установить, как измеряется расстояние между рассматриваемыми прямыми, какие точки сопоставляются при продолжении и что означает уменьшение соответствующего расстояния.

Необходимо также различать утверждение о пересечении прямых и представление об их постепенном сближении на геометрическом чертеже.

В справочной литературе встречается специальная формулировка, известная как постулат Лежандра:

Перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой должны пересечься при соответствующем продолжении.

Сходные геометрические положения рассматривались и ранее.

Для конкурса необходимо выбрать точную редакцию НЗ-07 и установить допустимые метрические предпосылки.

НЗ-08. Проблема Посидония: эквидистантность прямых
Точки, расположенные по одну сторону данной прямой и находящиеся на одинаковом перпендикулярном расстоянии от неё, образуют прямую линию.

Данное утверждение связано с древней традицией исследования параллельности посредством эквидистантности.

В справочных перечнях встречается также альтернативная формулировка: расстояние между параллельными прямыми постоянно на всём их протяжении.

Однако эти положения отличаются по непосредственному содержанию.

Первое относится к геометрической природе множества равноудалённых точек.

Второе — к свойствам двух уже рассматриваемых параллельных прямых.

Поэтому при исследовании необходимо точно устанавливать, какое положение принимается в качестве исходного, а какое подлежит доказательству.

Именно данной проблеме посвящена третья из моих опубликованных работ:

«О разрешимости проблемы Посидония. История проблемы, геометрические основания эквидистантности прямых и авторское доказательство методом равных перпендикуляров».

В основе предлагаемого подхода лежит построение двух равных перпендикуляров к заданной прямой и прямолинейного соединения их свободных концов.

Далее исследуются свойства полученной конструкции и её отношение к первоначальному понятию эквидистантности.

Особое значение придаётся вопросу о том, каким образом свойство, установленное для отдельных элементов, распространяется на соответствующую прямолинейную фигуру в целом.

Подробный конспект исследования будет представлен в главе 7.

Исследовательский статус НЗ-08: опубликована авторская работа; независимая экспертиза должна установить, какие именно свойства эквидистантности доказаны и на основании каких исходных геометрических положений.

НЗ-09. Утверждение Роберта Симсона
Если две прямые при продолжении в определённом направлении начинают сближаться, то они не могут затем, не пересекаясь, начать расходиться в том же направлении.

В исторической литературе соответствующее положение связывается с Робертом Симсоном и его исследованиями XVIII века.

Оно отличается от предыдущего утверждения.

НЗ-07 устанавливает необходимость пересечения сближающихся прямых.

НЗ-09 характеризует невозможность определённого изменения характера их взаимного расположения.

Таким образом, здесь исследуется не только расстояние между прямыми, но и направление изменения этого расстояния.

Однако понятия сближения и расхождения требуют строгой геометрической экспликации.

В частности, необходимо определить способ сравнения расстояний между соответствующими точками прямых.

Без такого определения утверждение остаётся содержательно понятным, но недостаточно точным для непосредственного конкурсного использования.

Поэтому одной из предварительных задач будет разработка строгой редакции НЗ-09.

НЗ-12. Аксиома Остроградского
Две прямые, параллельные одной и той же третьей прямой, параллельны друг другу.

В историко-математической литературе данное утверждение связывается с М. В. Остроградским.

По своему содержанию оно представляет собой принцип транзитивности отношения параллельности для различных прямых одной плоскости.

В обычной геометрической практике такое положение кажется элементарным.

Однако для доказательного исследования необходимо установить, на основании каких исходных геометрических свойств оно следует.

При этом параллельность должна быть определена заранее.

Если она понимается как непересекаемость прямых, то требуется показать, что две прямые, не пересекающиеся с третьей, также не пересекаются друг с другом.

Предметом НЗ-12 становится самостоятельное геометрическое обоснование соответствующего отношения.

Особое значение могут иметь построения с секущими и доказательства от противного.

НЗ-13. Прямолинейность ортогональной траектории
Линия, ортогональная определённому семейству параллельных прямых, является прямой.

Данное утверждение имеет существенно более сложное содержание, чем может показаться на первый взгляд.

Здесь необходимо определить само семейство параллельных прямых.

Далее требуется уточнить, что означает ортогональность некоторой линии по отношению к этому семейству.

В частности, если рассматривается непрерывная траектория, пересекающая каждую прямую семейства под прямым углом, необходимо установить, на основании каких условий такая траектория обладает прямолинейностью.

Таким образом, НЗ-13 связана с более общей проблемой геометрических траекторий.

Особое значение здесь может иметь исследование перпендикуляров и допустимых перемещений геометрических объектов.

Однако нельзя заранее считать доказанным, что линия, полученная посредством определённого движения, обязательно является прямой.

Именно это свойство составляет предмет исследования.

Для включения НЗ-13 в окончательный регламент потребуется особенно точное определение используемых понятий.

НЗ-14. Пересечение одной из двух параллельных прямых
Если некоторая прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она обязательно пересекает и другую, если сама не совпадает с ними.

Данное утверждение известно в исторической традиции исследований пятого постулата.

Оно связано с работами Прокла и последующих геометров.

В отличие от НЗ-12, здесь рассматривается не транзитивность параллельности, а поведение секущей.

Если прямая пересекает одну из двух параллельных, необходимо установить существование её пересечения со второй.

Задача представляет интерес тем, что первоначально предполагается только одна точка пересечения.

Существование второй должно быть обосновано.

В этом отношении НЗ-14 непосредственно связана с общей проблемой перехода от известных свойств геометрической конфигурации к доказательству существования нового геометрического объекта.

Общий итог направления
Восемь рассмотренных утверждений объединены общей проблемой взаимного расположения прямых.

Однако между ними существуют существенные содержательные различия.

НЗ-05 и НЗ-06 относятся к пересечению лучей, образующих угол.

НЗ-07 и НЗ-09 связаны с изменением расстояний между прямыми.

НЗ-08 обращается к эквидистантности.

НЗ-12 характеризует отношение параллельности.

НЗ-13 исследует ортогональные траектории.

НЗ-14 посвящена существованию пересечения секущей со второй из двух параллельных прямых.

Именно это разнообразие делает соответствующую группу особенно интересной для конструктивного геометрического исследования.

4.6. Окружности и связанные с ними геометрические соотношения
Последние две ноозадачи нашего первоначального перечня относятся к метрическим свойствам окружности.

Они существенно отличаются от большинства предшествующих утверждений.

Здесь предметом исследования становятся отношения между длиной окружности и её диаметром.

Однако такие утверждения требуют предварительного определения самого понятия длины кривой линии.

Поэтому их доказательная постановка предполагает особую метрическую подготовку.

НЗ-17. Постоянство отношения длины окружности к диаметру
Отношение длины окружности к её диаметру одинаково для всех окружностей.

В обычной евклидовой геометрии это положение считается фундаментальным свойством окружностей.

Однако при исследовании первоначальных оснований геометрии необходимо установить, какими именно средствами определяется длина окружности.

Прямолинейный отрезок имеет естественную метрическую характеристику.

Для криволинейной фигуры вопрос определения длины оказывается значительно сложнее.

Исторически для этого использовались различные методы геометрического приближения, вписанные и описанные многоугольники, а впоследствии — методы математического анализа.

Поэтому НЗ-17 представляет особый интерес как задача, связывающая элементарную геометрию с теорией измерения.

При её доказательстве необходимо уточнить исходное понятие длины окружности и установить, какие метрические свойства допускается использовать.

Особенно важно избежать ситуации, когда постоянство соответствующего отношения заранее включается в само определение длины или в принимаемую теорию подобия.

НЗ-18. Существование окружности с отношением длины к диаметру, равным числу пи
Существует хотя бы одна окружность, отношение длины которой к диаметру равно числу пи.

Эта формулировка отличается от предыдущей.

НЗ-17 утверждает постоянство отношения для всех окружностей.

НЗ-18 требует существования хотя бы одной окружности, удовлетворяющей определённому метрическому условию.

Однако здесь возникает дополнительная методологическая трудность.

Необходимо заранее определить само число пи независимо от того геометрического отношения, существование которого требуется доказать.

Если число пи первоначально определяется как отношение длины произвольно выбранной окружности к её диаметру, то утверждение о существовании такой окружности становится определительным следствием, а не самостоятельным математическим результатом.

Поэтому для корректной конкурсной постановки необходимо использовать независимое математическое определение числа пи.

Кроме того, требуется установить содержание используемого понятия длины окружности.

Таким образом, НЗ-18 представляет интерес не только как геометрическая, но и как логико-метрическая задача.

Её включение в окончательный конкурсный перечень предполагает предварительное согласование используемых определений.

Значение окружностных задач
НЗ-17 и НЗ-18 занимают особое место в системе восемнадцати утверждений.

Они позволяют перейти от исследования свойств прямолинейных фигур к более общей проблеме геометрического измерения.

В этом отношении соответствующие задачи представляют интерес и для моей дальнейшей исследовательской программы.

В частности, они затрагивают вопросы, которые в более фундаментальной постановке будут рассматриваться в рамках Юниметрии — теории измерения универсума.

Однако необходимо подчеркнуть, что настоящий ноочеллендж не предполагает обязательного использования Юниметрии.

Конкурсные доказательства должны оцениваться на основании заранее согласованных геометрических и метрических предпосылок.

Поэтому связь с будущими фундаментальными исследованиями носит здесь прежде всего методологический характер.

4.7. Сводный реестр восемнадцати задач
Теперь, после содержательного рассмотрения всех основных групп утверждений, можно представить сводный реестр Великого геометрического ноочелленджа.

Его назначение состоит в создании единой исследовательской и организационной основы для последующего соревнования.

Каждая ноозадача получает постоянный номер.

Формулировка задачи должна быть достаточно определённой для её независимого исследования.

Дополнительно фиксируется наличие авторских публикаций, относящихся к соответствующему направлению.

При этом необходимо подчеркнуть, что статус опубликованной работы и статус математически принятого доказательства не являются тождественными.

Предварительный реестр отражает прежде всего состояние авторской исследовательской программы на момент подготовки настоящей книги.

Таблица 4.1. Ноозадачи НЗ-01 — НЗ-09
Код Краткая формулировка Авторская программа
НЗ-01 Существует хотя бы один прямоугольник Опубликована работа о квадрате
НЗ-02 Существуют подобные неконгруэнтные треугольники Дальнейшее исследование
НЗ-03 Возможно пропорциональное увеличение фигуры Дальнейшее исследование
НЗ-04 Площадь треугольника не ограничена сверху Опубликована работа о сверхбольшом треугольнике
НЗ-05 Любая прямая через внутреннюю точку угла пересекает хотя бы один его луч Дальнейшее исследование
НЗ-06 Через внутреннюю точку острого угла проходит прямая, пересекающая оба луча Опубликована работа по утверждению Лежандра
НЗ-07 Сближающиеся прямые в конечном счёте пересекаются Дальнейшее исследование
НЗ-08 Равноудалённые от прямой точки образуют прямую Опубликована работа по проблеме Посидония
НЗ-09 Сближающиеся прямые не начинают затем расходиться без пересечения Дальнейшее исследование
Таблица 4.2. Ноозадачи НЗ-10 — НЗ-18
Код Краткая формулировка Авторская программа
НЗ-10 Сумма углов одинакова у всех треугольников Дальнейшее исследование
НЗ-11 Существует треугольник с суммой углов в два прямых Дальнейшее исследование
НЗ-12 Прямые, параллельные третьей, параллельны друг другу Дальнейшее исследование
НЗ-13 Ортогональная траектория семейства параллельных является прямой Дальнейшее исследование
НЗ-14 Прямая, пересекающая одну из двух параллельных, пересекает и другую Дальнейшее исследование
НЗ-15 Для всякого невырожденного треугольника существует описанная окружность Дальнейшее исследование
НЗ-16 Справедлива теорема Пифагора хотя бы для одного прямоугольного треугольника Дальнейшее исследование
НЗ-17 Отношение длины окружности к диаметру постоянно Дальнейшее исследование
НЗ-18 Существует окружность с отношением длины к диаметру, равным числу пи Дальнейшее исследование
Четыре опубликованных направления
Таким образом, из восемнадцати установленных ноозадач четыре уже получили самостоятельную авторскую разработку в опубликованных исследованиях.

Это НЗ-01, НЗ-04, НЗ-06 и НЗ-08.

Именно им будут посвящены четыре следующие главы настоящей книги.

При этом публикации сохраняют свой первоначальный математический и библиографический статус.

Их включение в реестр не означает автоматического конкурсного признания.

Соответствующая экспертиза должна осуществляться на общих основаниях.

Четырнадцать дальнейших направлений
Остальные четырнадцать утверждений образуют первоначальную программу дальнейших исследований.

Однако необходимо сделать два уточнения.

Во-первых, отсутствие соответствующих авторских публикаций не означает, что данные утверждения неизвестны математике.

Во-вторых, оно не означает отсутствия у автора предварительных исследовательских наработок.

Речь идёт исключительно о разграничении четырёх опубликованных направлений и четырнадцати направлений, по которым предстоит представить дальнейшие самостоятельные результаты.

При этом участники ноочелленджа вправе предлагать доказательства любого из восемнадцати утверждений.

Наличие предшествующей авторской публикации не должно препятствовать разработке нового доказательства той же задачи.

Паспорт каждой ноозадачи
Для полноценной организации ноочелленджа одного сводного перечня недостаточно.

Необходимо разработать исследовательский паспорт каждого утверждения.

Такой паспорт должен содержать точную формулировку задачи, её историческую атрибуцию, геометрические определения, допустимые исходные положения, сведения об известных доказательствах, критерии самостоятельности нового решения и порядок экспертной проверки.

Особенно важно фиксировать характер логической связи между исследуемым утверждением и пятым постулатом.

Если доказательство предполагает использование определённого вспомогательного результата, необходимо установить его доказательный статус.

Если используются дополнительные геометрические операции, следует точно описать условия их допустимости.

Если результат относится к метрическим отношениям, необходимо определить соответствующие понятия измерения.

Таким образом, паспорта ноозадач должны стать не формальным приложением к книге, а одним из основных инструментов исследовательской организации соревнования.

Проблема самостоятельности конкурсных доказательств
Наличие восемнадцати логически эквивалентных утверждений создаёт особую проблему конкурсной оценки.

Участник может представить одно доказательство, а затем использовать уже известные отношения эквивалентности для получения остальных утверждений.

С формально-логической точки зрения подобные выводы могут быть совершенно корректными.

Однако автоматически засчитывать их как восемнадцать самостоятельных доказательств было бы неправильно.

Ведь главной целью ноочелленджа является не простое воспроизведение взаимной выводимости известных утверждений, а разработка различных содержательных геометрических методов.

Поэтому в регламенте необходимо разграничить несколько характеристик результата.

Прежде всего — математическую корректность.

Затем — содержательную самостоятельность.

Далее — оригинальность используемой геометрической конструкции.

Наконец — соответствие установленным конкурсным условиям.

При этом математическая корректность является обязательным предварительным требованием, а остальные характеристики определяют конкурсную квалификацию результата.

Возможность нескольких доказательств одной задачи
Возникает ещё один интересный организационный вопрос.

Можно ли засчитывать одному участнику несколько различных доказательств одного и того же утверждения?

Если главной целью соревнования является получение максимального числа доказанных утверждений, то несколько доказательств одной задачи не должны автоматически увеличивать количество зачётных позиций в основной номинации.

В противном случае исследователь, представивший множество доказательств одного положения, мог бы формально превысить установленный количественный рубеж, не обратившись к другим задачам.

Однако это не означает, что дополнительные доказательства должны оставаться без признания.

Напротив, они могут обладать исключительной математической ценностью.

Поэтому я предлагаю использовать следующий принцип.

В основной номинации учитывается количество различных ноозадач, для которых участником представлены принятые самостоятельные доказательства.

Дополнительные доказательства одной задачи учитываются при оценке оригинальности, разнообразия методов и специальных исследовательских достижений.

Такой подход позволяет сохранить смысл главного рубежа в десять задач, не обесценивая математическую продуктивность отдельных направлений.

Открытость конкурса и регистрация авторского приоритета
Сводный реестр должен использоваться также для регистрации результатов участников.

Каждая представленная работа получает уникальную запись, связанную с определённой ноозадачей.

При этом сохраняются сведения об авторе, дате представления, версии текста, используемых геометрических методах и ходе математической экспертизы.

Особое значение имеет документирование исследовательского приоритета.

Поскольку участники могут независимо разрабатывать сходные конструкции, необходимо заранее установить правила сопоставления таких результатов.

Однако дата первоначальной публикации сама по себе не должна рассматриваться как окончательное доказательство математической новизны.

Для установления приоритета требуется изучение фактического содержания соответствующих работ и их отношения к предшествующей исследовательской литературе.

Поэтому историко-библиографическая экспертиза должна стать самостоятельной частью процедуры оценки.

Основной соревновательный рубеж
В рамках Великого геометрического ноочелленджа предлагается установить главный количественный ориентир — десять доказанных утверждений из восемнадцати.

Этот рубеж имеет прежде всего организационное значение.

Он создаёт достаточно сложную, но определённую цель интеллектуального соревнования.

При этом не утверждается, что математическое значение десяти доказательств обязательно превосходит значение любого меньшего количества результатов.

Речь идёт о правилах конкретного конкурса.

Если участник представит десять самостоятельных доказательств, прошедших необходимую экспертизу и относящихся к десяти различным ноозадачам, он получит право претендовать на главную победу.

Если к моменту завершения конкурса указанный рубеж не будет достигнут, победителем дополнительной номинации может быть признан исследователь, представивший наибольшее количество принятых доказательств.

Особые награды могут предусматриваться за наиболее оригинальный метод, конструктивную изобретательность и исключительную математическую продуктивность.

Конкретные условия будут сформулированы в соответствующем регламенте.

Предварительные методологические ограничения
Для завершения подготовки конкурсного корпуса необходимо выполнить ещё одну задачу.

Все восемнадцать утверждений должны быть приведены к точной математической форме.

Это особенно существенно для положений, в которых используются понятия сближения и расхождения прямых, изменения масштаба, ортогональной траектории, длины окружности и числа пи.

Кроме того, необходимо проверить исторические варианты формулировок, чтобы исключить непреднамеренное смешение более сильных и более слабых утверждений.

Такое уточнение не изменяет общей исследовательской идеи.

Напротив, оно позволит обеспечить содержательную определённость ноозадач и избежать последующих разногласий относительно того, какое именно утверждение было предложено участникам.

В окончательной редакции регламента каждая ноозадача должна иметь одну основную конкурсную формулировку, а допустимые эквивалентные варианты — специально оговорённый статус.

Заключение к главе 4
Рассмотренные восемнадцать утверждений показывают, насколько разнообразным может быть геометрическое содержание проблемы пятого постулата Евклида.

Первоначально речь шла об условиях пересечения прямых, связанных определёнными угловыми отношениями.

Однако в процессе многовековых исследований были сформулированы многочисленные другие положения.

Существование прямоугольника.

Подобие треугольников.

Возможность изменения масштаба фигур.

Неограниченность площади треугольников.

Угловые соотношения.

Эквидистантность прямых.

Существование пересечений.

Свойства описанных окружностей.

Теорема Пифагора.

Метрические отношения окружностей.

Всё это — различные геометрические проблемы, связанные общей историей исследования пятого постулата.

Однако для настоящей книги особенно важно другое.

Логическая эквивалентность перечисленных утверждений не уничтожает разнообразия способов их геометрического обоснования.

Именно это разнообразие составляет основной предмет Великого геометрического ноочелленджа.

В рамках первоначальной авторской исследовательской программы уже опубликованы четыре работы, относящиеся к НЗ-01, НЗ-04, НЗ-06 и НЗ-08.

Оставшиеся четырнадцать направлений образуют дальнейшее исследовательское поле.

При этом все восемнадцать задач остаются открытыми для представления новых самостоятельных доказательств участниками конкурса.

Разумеется, математическая состоятельность каждого результата должна устанавливаться посредством независимого исследования его аргументации.

Однако я считаю особенно важным, чтобы подобная экспертиза была направлена не на механическое воспроизведение общепринятых мнений, а на точное исследование исходных положений, конструкций и доказательных переходов.

Именно такая организация способна превратить конкурс в продуктивную форму математического творчества.

При этом необходимо ещё раз напомнить о более широкой перспективе моей геометрической программы.

Я не рассматриваю доказательство всех восемнадцати утверждений как конечную цель развития геометрии.

Главные фундаментальные перспективы связываю с гармонической геометрией и Юниметрией.

Но историческое значение проблемы пятого постулата и многообразие связанных с ней конструктивных методов позволяют придать соответствующему исследовательскому факультативу самостоятельную интеллектуальную ценность.

Великий геометрический ноочеллендж призван превратить восемнадцать логически взаимосвязанных утверждений в восемнадцать направлений открытого геометрического творчества.

И если участникам удастся предложить новые самостоятельные доказательства, их значение будет определяться не только количеством полученных результатов, но и тем, какие геометрические идеи, методы и конструктивные возможности окажутся обнаружены в процессе исследования.

В следующей части книги мы перейдём от систематизации ноозадач к четырём опубликованным авторским доказательствам.

Первым из них станет исследование существования квадрата — одной из наиболее элементарных и одновременно фундаментальных фигур классической геометрии.

Основные источники и литература
Евклид. Начала. Книга I: определения, постулаты, предложения I.27–I.29, I.32, I.46–I.47.
Евклид. Начала. Перевод и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского. Т. I. Москва — Ленинград, 1948. Особенно комментарии к пятому постулату, с. 241–244.
Heath, T. L. The Thirteen Books of Euclid’s Elements. Cambridge University Press, 1908.
Cajori, F. A History of Elementary Mathematics, with Hints on Methods of Teaching. New York, 1896.
Wallis, J. Opera Mathematica. Т. II. Oxford, 1693. Материалы о постулате параллельных.
Saccheri, G. G. Euclides ab omni naevo vindicatus. Milan, 1733.
Clairaut, A.-C. ;l;ments de g;om;trie. Paris, 1741.
Simson, R. The Elements of Euclid. Glasgow, 1756.
Legendre, A.-M. ;l;ments de g;om;trie. Paris, 1794; последующие издания.
Каган В. Ф. Основания геометрии. Москва — Ленинград, 1949.
История математики. Под редакцией А. П. Юшкевича. Тома I–III. Москва: Наука, 1970–1972.
Rosenfeld, B. A. Исследования средневековых доказательств пятого постулата Евклида. Историко-математические исследования, 1958–1963.
The Development of Euclidean Axiomatics: The Systems of Principles and the Foundations of Mathematics in Editions of the Elements in the Early Modern Age. Archive for History of Exact Sciences, 2016.
Lima, F. M. S., Jord;o, P. G. F. Why is it that the Ratio of Any Circle’s Circumference to its Diameter is a Constant? The College Mathematics Journal, 2022, том 53, № 3, с. 171–182.
Fifth Postulate. Encyclopedia of Mathematics.
Аксиома параллельности Евклида. Википедия. Раздел «Равносильные формулировки постулата о параллельных» — исходный справочный перечень восемнадцати конкурсных утверждений.
Петросян В. К. (Вадимир). Теорема о существовании квадрата. Lag.ru, 28 октября 2026 года.
Петросян В. К. (Вадимир). Теорема о сверхбольшом треугольнике. Lag.ru, 28 октября 2026 года.
Петросян В. К. (Вадимир). О разрешимости проблемы Посидония. Lag.ru, 29 октября 2026 года.
Петросян В. К. (Вадимир). Теорема о пересечении угла с точкой. Lag.ru, 29 октября 2026 года.
Петросян В. К. (Вадимир). 18 путей к пятому постулату Евклида. Lag.ru, 29 октября 2026 года.
*********