Геометрический объект и его определённость

УЛЬТРАНООЧЕЛЛЕНДЖ ТРЁХ ТЫСЯЧЕЛЕТИЙ. В 8-ми томах. Том 2

Том 2

ЧАСТЬ II. ПОНЯТИЙНЫЕ И МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ГАРМОНИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

От идеальных геометрических абстракций — к универсальным технологиям конструктивного преобразования пространства

Второй том «Ультраноочелленджа трёх тысячелетий» посвящён разработке понятийных и методологических оснований гармонической геометрии — предлагаемой автором системы исследования геометрических объектов, отношений и преобразований с необходимой и достаточной точностью.
Если первый том был посвящён историческому развитию великих геометрических задач, исследованию известных способов их решения и анализу ограничений классического инструментария, то во втором томе внимание переносится непосредственно на фундаментальные понятия геометрического конструирования.
Что представляет собой геометрический объект?
Каким образом определяется его форма, протяжённость и взаимное расположение составляющих элементов?
Насколько существенна идеализация геометрической линии как объекта, не имеющего ширины?
Какие дополнительные возможности возникают при рассмотрении геометрических объектов с ненулевой и произвольно задаваемой относительной шириной?
Как соотносятся абсолютная, относительная, математическая и технологическая точность?
И наконец, можно ли создать систему геометрических построений, объединяющую простоту исходных операций, широкий диапазон масштабов и потенциально неограниченную возможность уточнения получаемых результатов?
Именно эти вопросы составляют центральную проблематику второго тома.
Особое внимание уделяется переосмыслению самого понятия геометрической линии.
Классическая математическая традиция рассматривает линию как идеальный объект, не обладающий шириной. Такая абстракция сохраняет фундаментальное значение для строгой геометрической теории.
Однако при исследовании физически воспроизводимых построений возникает необходимость дополнительно учитывать ширину материального изображения, его масштаб, способ определения положения и условия достижения требуемой точности.
В гармонической геометрии предполагается исследовать семейства геометрических моделей, включающих как идеальные линии, так и объекты с ненулевой относительной шириной.
При этом ширина геометрического объекта, точность его определения и погрешность воспроизведения рассматриваются как различные характеристики, которые необходимо строго разграничивать.
Самостоятельное значение приобретает отношение ширины геометрического объекта к его длине.
Предлагается рассмотреть различные классы относительной ширины и возможность введения специальных геометрических соглашений, определяющих условия работы с соответствующими объектами.
Это позволяет поставить вопрос о применимости общих конструктивных операций к геометрическим моделям, существенно различающимся по своим метрическим и физическим характеристикам.
Следующее направление исследования связано с масштабами геометрического конструирования.
Геометрическая фигура может воспроизводиться на обычном листе бумаги, крупноформатном чертеже, поверхности архитектурного сооружения или обширном участке земной поверхности.
Поэтому в книге рассматривается широкий диапазон масштабов — от стандартных форматов A4–A1 до строительных конструкций и гигантских геоглифов Наска.
При этом особое внимание уделяется различию между математическим подобием геометрических объектов и технологическими условиями их воспроизведения в различных масштабах.
Одной из центральных тем второго тома становится принцип необходимой и достаточной точности.
В классической геометрии математическая точность выступает естественным требованием к идеальным построениям.
Однако в практической деятельности успешность геометрической операции определяется также соответствием полученного результата установленным допускам и условиям применения.
Гармоническая геометрия предполагает исследование обеих постановок, не смешивая абсолютную математическую построимость с технологической разрешимостью.
Особое место занимает возможность последовательного повышения точности.
Если определённое построение допускает математически обоснованное уточнение, возникает задача организации такой последовательности операций, которая для любого заранее установленного положительного допуска позволяет получить необходимый результат за конечное число шагов.
Таким образом, исследуется принципиальное различие между конечностью каждого отдельного построения и потенциальной неограниченностью дальнейшего уточнения.
При этом подчёркивается необходимость доказательства сходимости соответствующих процедур и оценки их конструктивной сложности.
Заключительная глава второго тома посвящена основным понятиям и операциям гармонической геометрии.
Вводятся и систематизируются понятия полисекции, мультипликации геометрических величин, геометрической арифметики и различных способов преобразования объектов.
Полисекция рассматривается как операция разделения геометрического объекта на заданное конечное количество равных частей в соответствии с предварительно установленным критерием равенства.
Мультипликация предполагает исследование преобразований, при которых определённые геометрические характеристики увеличиваются или уменьшаются в заданных отношениях.
Геометрическая арифметика рассматривается как система конструктивных операций с линейными, угловыми и другими геометрическими величинами.
Особое значение имеет вопрос о возможности объединения этих операций в общую технологическую систему.
Главная исследовательская гипотеза заключается в том, что рациональная организация сравнительно простых геометрических принципов может обеспечить решение широкого семейства задач с существенно меньшей конструктивной сложностью, чем совокупность разрозненных специализированных методов.
При этом второй том не объявляет существование такой универсальной технологии заранее доказанным.
Его задача — сформировать необходимые понятия, критерии и методологические основания для последующего конструктивного исследования.
Важнейшей особенностью авторского подхода является стремление сохранить связь с математическими знаниями и инструментами, доступными уже античным геометрам.
Речь идёт не о том, чтобы противопоставить древней математике современные вычислительные комплексы, лазерные измерительные системы или иные технические достижения.
Главный интеллектуальный вызов состоит в исследовании того, насколько более универсальная и эффективная геометрия могла быть создана уже на основе элементарных конструктивных принципов, известных во времена Евклида.
В этом контексте понятия гармонической геометрии приобретают не только математическое, но и логико-философское значение.
Возникает возможность по-новому рассмотреть соотношение математической абстракции и физического объекта, точного построения и технологического воспроизведения, специализированного метода и универсального конструктивного принципа.
Особое место занимает проблема оптимальности.
В качестве её наглядного геометрического архетипа может рассматриваться прямолинейный отрезок — кратчайший путь между двумя заданными точками евклидова пространства.
Однако универсальная конструктивная оптимальность предполагает не только минимизацию пути, но и правильный выбор направления, цели и критериев эффективности.
Именно в таком понимании возникает философская связь гармонической геометрии с более общей авторской концепцией Царского пути — поиска максимально рациональных, простых и эффективных способов организации человеческого мышления и деятельности.
Второй том предназначен для читателей, интересующихся основаниями геометрии, историей математических идей, конструктивными технологиями, инженерным мышлением и философией научного познания.
Он является необходимым переходным звеном между историческим исследованием первого тома и последующим изложением конкретных геометрических построений.
Его главная цель — определить, что именно мы строим, какими свойствами должны обладать геометрические объекты, какую точность необходимо обеспечивать и по каким критериям следует оценивать универсальность и эффективность геометрических технологий.
Ведь прежде чем искать царский путь к решению сложных геометрических задач, необходимо правильно определить само пространство возможных решений.
От геометрии идеальных объектов — к исследованию различных моделей геометрического конструирования.
От абсолютизации единственного критерия точности — к системе математически обоснованных требований.
От разрозненных конструктивных операций — к исследованию возможностей их универсальной организации.
Такова основная исследовательская программа второго тома «Ультраноочелленджа трёх тысячелетий».
От геометрии ограничений — к геометрии конструктивных возможностей.

+++++++

Геометрический объект и его определённость: отрезки прямых, отрезки кривых, окружности, фигуры и тела
1. От истории геометрических задач — к основаниям геометрического мышления
В первом томе настоящего исследования мы рассмотрели три тысячелетия развития геометрических построений.
Перед нами прошла история выдающихся математических открытий, оригинальных конструктивных методов, специальных геометрических кривых, механических инструментов и доказательств невозможности некоторых классических построений.
Мы установили, что математическая разрешимость геометрической задачи зависит от её исходных условий, принятого инструментария и требований к получаемому результату.
Однако теперь необходимо перейти к более фундаментальному вопросу.
Что именно представляет собой геометрический объект, над которым предполагается выполнять определённые конструктивные операции?
На первый взгляд вопрос кажется чрезвычайно простым.
Геометрия исследует точки, прямые, окружности, треугольники, многоугольники, пространственные тела и другие математические объекты.
Но если попытаться установить строгие условия их построения и преобразования, обнаруживается целый комплекс понятийных проблем.
Что означает построить определённый отрезок?
Достаточно ли указать его длину?
Или необходимо также установить положение его концов?
Каким образом определяется отрезок произвольной кривой?
Можно ли считать два криволинейных объекта равными, если совпадают расстояния между их конечными точками?
Что именно должно сохраняться при преобразовании геометрической фигуры — её форма, площадь, периметр или совокупность других характеристик?
И наконец, насколько существенным является различие между идеальным математическим объектом и его материальным воспроизведением?
Ответы на подобные вопросы имеют принципиальное значение для любой общей теории геометрического конструирования.
Ведь невозможно построить универсальную технологию преобразования геометрических объектов, предварительно не определив, какие именно объекты рассматриваются и какие свойства должны сохраняться или изменяться.
Поэтому второй том «Ультраноочелленджа трёх тысячелетий» начинается с исследования понятия геометрической определённости.
Именно оно должно стать одной из важнейших основ гармонической геометрии.
2. Геометрический объект как определённая система отношений
В самом общем смысле геометрический объект можно рассматривать как математически определённое множество точек, пространственную область или систему геометрических элементов и отношений.
При этом его определённость может обеспечиваться различными способами.
Например, две различные точки однозначно определяют прямую в евклидовом пространстве.
Те же точки определяют единственный прямолинейный отрезок, соединяющий их.
Окружность на заданной плоскости может быть определена посредством своего центра и положительного радиуса.
Треугольник определяется тремя вершинами, не лежащими на одной прямой.
Но существуют значительно более сложные геометрические объекты.
Например, произвольная кривая может задаваться определённым правилом изменения положения точки.
Пространственная поверхность может описываться системой математических отношений.
А сложное геометрическое тело может определяться совокупностью ограничивающих его поверхностей.
Следовательно, математическая определённость не обязательно связана с простотой внешнего изображения объекта.
Даже весьма сложная геометрическая конструкция может обладать строгим математическим описанием.
И наоборот, внешне простое изображение не всегда позволяет однозначно установить, какой именно объект имеется в виду.
Например, изображённая на бумаге замкнутая линия может обозначать только границу некоторой фигуры.
Но она же может использоваться для обозначения всей области, заключённой внутри соответствующей границы.
Следовательно, необходимо различать сам геометрический объект и способ его представления.
Определённость геометрического объекта предполагает возможность установить, что именно рассматривается, какие элементы ему принадлежат и какие отношения считаются существенными для поставленной задачи.
Именно этот принцип будет использоваться в дальнейшем при исследовании универсальных конструктивных операций.
3. Три уровня существования геометрического объекта
Для дальнейшего исследования целесообразно различать три взаимосвязанных уровня представления геометрических объектов.
Первый уровень — идеальный математический объект.
Он существует в рамках определённой математической модели и характеризуется строго установленными свойствами.
Например, математический прямолинейный отрезок имеет определённые конечные точки и длину.
Второй уровень — графическое или цифровое представление объекта.
Это может быть чертёж на бумаге, изображение на экране, пространственная компьютерная модель или другая форма визуализации.
Третий уровень — материальное воплощение.
К нему относятся физически изготовленные детали, архитектурные сооружения, элементы механизмов, дорожная разметка и другие реальные объекты.
Эти уровни тесно связаны, но не тождественны.
Например, математическая окружность представляет собой идеальный геометрический объект.
Её изображение на бумаге состоит из некоторого материального следа.
А изготовленное металлическое кольцо имеет определённую толщину, особенности поверхности и производственные отклонения.
При этом все три объекта могут рассматриваться в рамках одной практической задачи.
Однако используемые критерии точности и равенства будут различаться.
Для идеальной окружности математические отношения определяются строго.
Для её графического изображения необходимо учитывать характеристики чертёжного инструмента.
Для материальной детали дополнительно приобретают значение свойства используемого материала и технология изготовления.
Следовательно, геометрическая теория должна ясно устанавливать, к какому уровню относится рассматриваемое утверждение.
Особенно важно не переносить автоматически свойства идеальной математической модели на физический объект.
Но столь же неправильно было бы объявлять математическую идеализацию ошибочной только потому, что материальный объект не воспроизводит её абсолютно точно.
Именно разграничение этих уровней открывает возможность более содержательного исследования конструктивной геометрии.
4. Геометрическая точка: исходный элемент определённости
Одним из фундаментальных понятий классической геометрии является точка.
В традиционной евклидовой терминологии точка рассматривается как объект, не имеющий частей.
В современной математике её свойства определяются принятой системой аксиом и соответствующей геометрической моделью.
Однако для конструктивной геометрии особое значение имеет функция точки как элемента, определяющего положение других объектов.
Например, точка может обозначать конец отрезка.
Она может служить центром окружности.
Может определять вершину угла или многоугольника.
Может выступать точкой пересечения нескольких геометрических объектов.
При этом одна и та же точка может участвовать в многочисленных построениях.
Следовательно, точка представляет собой не просто элемент изображения.
Она является одним из основных средств организации геометрических отношений.
Но здесь необходимо учитывать различие между математической точкой и её графическим обозначением.
На бумаге точка обычно изображается небольшим пятном.
В компьютерной системе она может обозначаться определённым графическим символом.
Однако размеры такого изображения не являются размерами самой математической точки.
В гармонической геометрии это различие сохраняет принципиальное значение.
В дальнейшем могут рассматриваться материальные области, используемые для представления положения точек.
Но подобные области следует отличать от идеальных точек математической модели.
Именно такая понятийная точность необходима для дальнейшего исследования линий и их геометрических характеристик.
5. Прямая линия как фундаментальная геометрическая модель
Следующий важнейший объект — прямая линия.
В евклидовой геометрии прямая представляет собой один из фундаментальных объектов, характеризующих определённые отношения между точками.
При этом её полная протяжённость не ограничивается двумя конечными положениями.
Прямая может быть продолжена в обоих направлениях.
Однако практическое геометрическое построение обычно предполагает воспроизведение не всей бесконечной прямой, а определённой её части.
Именно поэтому необходимо различать прямую, луч и прямолинейный отрезок.
Прямая не имеет конечных точек в обычном смысле.
Луч имеет одну начальную точку и продолжается в определённом направлении.
Отрезок ограничен двумя конечными точками.
Эти различия кажутся элементарными, но для конструктивной технологии они имеют фундаментальное значение.
Например, если требуется построить прямую через две заданные точки, речь идёт об определении её положения.
Если необходимо построить луч, дополнительно существенным становится выбор направления.
А при построении отрезка необходимо указать оба его конца.
Следовательно, одно и то же базовое геометрическое отношение может использоваться для определения различных объектов.
В дальнейшем это обстоятельство приобретёт особое значение для исследования углов, полисекции и последовательных геометрических преобразований.
6. Прямолинейный отрезок: простейший образец конструктивной определённости
Среди геометрических объектов особое место занимает прямолинейный отрезок.
В евклидовом пространстве две различные точки определяют единственный прямолинейный отрезок, соединяющий их.
При этом соответствующий отрезок обладает определённой длиной.
Более того, среди всех соединяющих эти точки спрямляемых путей он имеет минимальную длину.
Именно это свойство делает прямолинейный отрезок одним из наиболее содержательных образов геометрической оптимальности.
Однако для настоящего исследования важно не только указанное метрическое свойство.
Прямолинейный отрезок представляет собой образец конструктивной определённости.
Его можно задать двумя концами.
Его длина может быть измерена или вычислена.
Он может быть разделён на равные части.
Может быть перенесён в другое положение.
Может использоваться для построения подобных геометрических объектов.
Наконец, его длина может служить исходной величиной для многочисленных арифметических и геометрических операций.
Именно поэтому прямолинейный отрезок рассматривается в настоящей книге в качестве одного из основных объектов универсального геометрического конструирования.
Но здесь необходимо сделать важное уточнение.
Сами по себе две конечные точки определяют положение отрезка только при условии, что задано соответствующее геометрическое пространство.
Если речь идёт о евклидовой геометрии, соответствующее определение имеет вполне ясный смысл.
В других геометрических моделях понятия прямолинейности и кратчайшего соединения могут требовать самостоятельного определения.
Следовательно, даже простейший геометрический объект существует в рамках определённой системы исходных предпосылок.
Именно это обстоятельство необходимо учитывать при развитии общей теории гармонической геометрии.
7. Геометрическая определённость и вопрос о выборе направления
Прямолинейный отрезок интересен ещё и как образ рационального достижения определённой цели.
Если исходная и конечная точки уже установлены, то прямолинейное соединение обеспечивает кратчайший путь в обычном евклидовом пространстве без препятствий.
Однако в более широкой конструктивной задаче необходимо прежде всего определить саму конечную точку.
Именно здесь появляется понятие оптимального направления.
Ведь кратчайший путь к неправильно выбранной цели не обеспечивает оптимального решения всей задачи.
Следовательно, необходимо различать выбор направления и выбор траектории.
Первый связан с определением желаемого результата.
Второй — с поиском наиболее эффективного способа его достижения.
Эта мысль выходит далеко за пределы элементарной геометрии.
Она имеет прямое отношение к будущей авторской концепции царского пути.
Однако здесь необходимо учитывать принципиальное ограничение соответствующей аналогии.
В физическом мире оптимальная траектория не всегда является прямолинейной.
Наличие препятствий, неоднородности среды и различных ограничений может приводить к необходимости выбора иной траектории.
Поэтому прямолинейный отрезок следует рассматривать прежде всего как геометрический архетип кратчайшего соединения при определённых условиях.
Но как философский образ конструктивной оптимальности он имеет значительно более широкое значение.
Царский путь начинается с правильного определения цели и оптимального направления, а затем предполагает поиск минимально необходимой сложности её достижения.
Именно в таком смысле идея прямолинейного отрезка приобретает значение одной из фундаментальных максим гармонической геометрии.
8. Отрезок кривой: почему двух конечных точек уже недостаточно?
Перейдём теперь к принципиально иному геометрическому объекту.
Пусть имеются две определённые точки.
Можно соединить их прямолинейным отрезком.
Но можно также построить кривую, проходящую через те же точки.
Причём таких кривых существует бесконечно много.
Одна может представлять собой дугу окружности.
Другая — часть эллипса.
Третья — участок параболы.
Четвёртая — произвольную волнообразную линию.
Следовательно, две конечные точки сами по себе не определяют единственного криволинейного отрезка.
Необходимо указать дополнительные свойства соответствующего объекта.
Например, можно определить кривую посредством математического правила.
Можно задать систему геометрических условий, которым она должна удовлетворять.
Или установить способ движения точки, образующей соответствующую линию.
Однако и этого не всегда достаточно для определения конкретного участка кривой.
Необходимо также указать, какая именно часть исходной кривой рассматривается.
Таким образом, криволинейный отрезок обладает более сложной системой определённости, чем прямолинейный.
Это обстоятельство имеет фундаментальное значение для полисекции кривых.
Ведь прежде чем разделить некоторый объект на равные части, необходимо установить, что именно представляет собой исходный объект и по какому критерию должны сравниваться получаемые части.
9. Криволинейный отрезок и проблема выбора участка
Рассмотрим достаточно простой пример.
Пусть задана окружность и две различные точки на ней.
Эти точки определяют не одну, а две дуги окружности.
Одна дуга проходит между точками по одному направлению обхода.
Другая — по противоположному.
В общем случае их длины различаются.
Следовательно, указание только двух конечных точек не обеспечивает однозначного определения требуемой дуги.
Необходимо дополнительно установить, какой именно участок окружности имеется в виду.
Это можно сделать посредством выбора направления обхода либо указания дополнительной точки соответствующей дуги.
Однако для более сложных кривых ситуация может оказаться ещё менее однозначной.
Например, кривая может пересекать саму себя.
В таком случае между двумя заданными точками могут существовать несколько различных участков, соответствующих разным способам прохождения кривой.
Следовательно, геометрическая определённость криволинейного объекта предполагает не только указание его граничных точек, но и определение самого пути между ними.
Именно это обстоятельство будет иметь особое значение при исследовании универсальной полисекции криволинейных объектов.
Полисекция неопределённого участка кривой не является корректно поставленной геометрической задачей.
Прежде всего необходимо определить исходный объект.
И только после этого можно переходить к исследованию способов его деления.
10. Длина кривой: от прямолинейного измерения к спрямлению
Одной из важнейших характеристик криволинейного отрезка является его длина.
Однако в отличие от прямолинейного отрезка она не определяется простым расстоянием между конечными точками.
Например, две кривые могут иметь одинаковые конечные точки, но существенно различающиеся длины.
Более того, кривая может многократно менять направление, существенно увеличивая общую протяжённость.
Следовательно, расстояние между конечными точками и длина самого криволинейного пути представляют собой различные величины.
Для математически корректного определения длины необходимо использовать соответствующее понятие спрямления кривой.
В достаточно регулярных случаях длина кривой может определяться посредством предельного перехода от длин вписанных ломаных линий.
По мере уточнения соответствующих построений становится возможным всё более точное воспроизведение криволинейной длины.
Однако здесь необходимо сделать важное уточнение.
Не всякая непрерывная кривая имеет конечную длину.
В математике известны кривые, длина которых бесконечна, несмотря на ограниченность области их расположения.
Следовательно, универсальная процедура полисекции кривых по длине должна иметь определённые условия применимости.
Например, можно первоначально ограничить исследование классом спрямляемых кривых конечной длины.
В дальнейшем область исследования может расширяться.
Но подобное расширение требует самостоятельного математического обоснования.
Универсальность геометрической операции не может утверждаться без определения класса объектов, на которых эта операция корректно существует.
Именно этот принцип приобретает фундаментальное значение для построения гармонической геометрии.
11. Окружность и круг: два различных геометрических объекта
Одним из наиболее распространённых терминологических смешений в элементарной геометрии является отождествление окружности и круга.
Однако с математической точки зрения это разные объекты.
Окружность представляет собой множество точек заданной плоскости, расположенных на одинаковом положительном расстоянии от определённого центра.
Круг включает точки, расстояние которых от центра не превышает соответствующего радиуса.
Следовательно, окружность образует границу круга.
Но круг содержит также внутреннюю область.
Именно поэтому эти объекты характеризуются различными геометрическими величинами.
Для окружности естественным параметром является её длина.
Для круга — площадь.
Разумеется, радиус и диаметр имеют значение для обоих объектов.
Однако при решении конструктивных задач необходимо точно устанавливать, что именно рассматривается.
Например, разделение окружности на несколько равных дуг и разделение круга на несколько равновеликих областей представляют собой различные геометрические задачи.
В некоторых случаях соответствующие построения тесно связаны.
Но они не являются тождественными по своему определению.
Это обстоятельство имеет особое значение для дальнейшего исследования квадратуры и политуры круга.
Ведь соответствующие задачи относятся прежде всего к преобразованиям площадей.
А методы полисекции окружности могут использоваться лишь как один из возможных элементов более общей конструктивной процедуры.
12. Окружность как переход от линейных к угловым отношениям
Окружность представляет особый интерес ещё и потому, что позволяет устанавливать закономерные отношения между линейными и угловыми величинами.
Например, центральный угол определяет соответствующую дугу окружности.
При фиксированном радиусе длина дуги закономерно связана с величиной центрального угла.
Поэтому деление окружности на равные дуги соответствует делению полного центрального угла на равные части.
Но здесь возникает обстоятельство, которое необходимо особенно подчеркнуть.
Равномерное деление хорды на прямолинейные отрезки не означает автоматического равномерного деления соответствующей дуги.
И тем более не гарантирует равенства центральных углов, определяемых лучами, проведёнными к полученным точкам хорды.
Следовательно, линейная полисекция и угловая полисекция представляют собой связанные, но различные математические операции.
Однако при достаточно точном приближении дуги системой коротких хорд могут возникать возможности последовательного уточнения соответствующих угловых отношений.
Именно эта идея составляет одну из предпосылок будущего исследования каскадов хорд.
Но для математически корректной постановки необходимо определить исходную дугу, её длину, направление обхода и требуемый критерий равенства получаемых частей.
Кроме того, следует доказать, что выбранная процедура действительно позволяет находить необходимые угловые направления.
Именно такие доказательства станут одной из задач последующих томов.
13. Замкнутые и незамкнутые геометрические линии
Следующее важное различие связано с замкнутостью геометрического объекта.
Прямолинейный отрезок имеет два различных конца.
Обычная дуга окружности также характеризуется двумя граничными точками.
Но сама окружность представляет собой замкнутую кривую.
При её обходе можно вернуться в исходную точку, не прерывая движения вдоль кривой.
Однако существуют и значительно более сложные замкнутые линии.
Например, граница многоугольника представляет собой систему взаимосвязанных прямолинейных отрезков.
Замкнутые криволинейные контуры могут иметь разнообразную форму.
Некоторые замкнутые линии пересекают сами себя.
Поэтому понятие замкнутости не всегда равнозначно понятию границы единственной простой плоской области.
Для задач геометрического конструирования подобное различие имеет принципиальное значение.
Например, при разделении простой замкнутой кривой на равные по длине части можно использовать последовательное движение вдоль её контура.
Но при наличии самопересечений необходимо определить, в каком порядке соответствующие участки считаются пройденными.
Именно поэтому корректное геометрическое описание должно учитывать не только положение точек, но и структуру объекта.
В дальнейшем это позволит избежать смешения различных классов криволинейных построений.
14. Плоская геометрическая фигура: граница и внутренняя область
Перейдём теперь к плоским геометрическим фигурам.
Обычные примеры — треугольник, квадрат, прямоугольник, многоугольник и круг.
Однако здесь также необходимо различать несколько способов математического представления.
Например, можно рассматривать только границу треугольника, состоящую из трёх прямолинейных отрезков.
Но можно рассматривать весь треугольник как плоскую область вместе с её границей.
В первом случае одним из естественных параметров является периметр.
Во втором — площадь.
Следовательно, одна и та же привычная геометрическая форма может использоваться для обозначения различных математических объектов.
Это обстоятельство особенно важно при исследовании преобразований площадей.
Например, построить многоугольник, имеющий определённый периметр, и построить многоугольник заданной площади — разные задачи.
Существуют фигуры с одинаковой площадью и различными периметрами.
Возможна и обратная ситуация: фигуры с одинаковым периметром могут иметь различные площади.
Поэтому при постановке задачи необходимо заранее определить, какая геометрическая характеристика должна сохраняться.
Именно здесь возникает принципиальное различие между равновеликостью и равенством фигур в более сильном геометрическом смысле.
Геометрические объекты могут совпадать по одной характеристике и существенно различаться по другим.
Следовательно, понятие равенства всегда должно интерпретироваться с учётом конкретной конструктивной задачи.
15. Многоугольники: простота формы и разнообразие свойств
Особое место среди плоских фигур занимают многоугольники.
Их границы образуются конечными последовательностями прямолинейных отрезков.
Однако даже внутри этого класса существует значительное разнообразие геометрических объектов.
Можно рассматривать выпуклые и невыпуклые многоугольники.
Правильные и неправильные.
Равносторонние и неравносторонние.
Равноугольные и обладающие различными внутренними углами.
Следовательно, указание количества сторон ещё не определяет единственного многоугольника.
Например, существует бесконечно много различных пятиугольников.
Для однозначного определения конкретной фигуры необходимы дополнительные сведения.
В частности, можно задать координаты её вершин.
Или установить систему длин, углов и других отношений, достаточную для определения соответствующей формы.
При этом необходимо учитывать возможные условия существования и неоднозначности.
Например, некоторые наборы длин сторон не определяют единственного многоугольника.
А в отдельных случаях вообще не позволяют построить соответствующую фигуру.
Таким образом, геометрическая определённость многоугольника представляет самостоятельную математическую задачу.
Для настоящей книги это особенно важно в связи с предполагаемым исследованием политуры круга.
Если требуется построить правильный многоугольник заданной площади, необходимо обеспечить не только соответствующее значение площади, но и правильность геометрической формы.
Следовательно, площадь и форма должны рассматриваться как различные условия одного конструктивного результата.
16. Криволинейные плоские фигуры и смешанные границы
Не все плоские геометрические фигуры ограничиваются прямолинейными отрезками.
Многие объекты имеют криволинейные границы.
К ним относятся круговые секторы, круговые сегменты, различные луночки и более сложные области.
При этом часть границы может состоять из прямолинейных элементов, а другая часть — из участков кривых.
Например, круговой сектор ограничивается двумя радиусами и дугой окружности.
Круговой сегмент ограничивается хордой и соответствующей дугой.
Однако даже для таких сравнительно простых объектов необходимо правильно определять исходные данные.
В частности, положение двух конечных точек хорды само по себе не всегда позволяет однозначно установить, какой круговой сегмент имеется в виду.
Необходимо также определить соответствующую окружность и выбрать дугу.
Именно подобные обстоятельства приобретают значение при создании универсальных процедур преобразования криволинейных фигур.
Например, геометрическая технология, позволяющая воспроизводить площадь определённого кругового сектора, должна учитывать радиус, центральный угол и другие существенные характеристики.
Таким образом, при переходе от прямолинейных к криволинейным объектам возрастает значение точности исходного определения.
Но одновременно появляются новые возможности конструктивного обобщения.
Именно их мы предполагаем исследовать в последующих частях настоящей книги.
17. Пространственные тела: от площади поверхности к объёму
Следующий фундаментальный класс геометрических объектов составляют пространственные тела.
К ним относятся кубы, параллелепипеды, призмы, пирамиды, цилиндры, конусы, шары и другие объекты.
В отличие от плоских фигур, пространственные тела характеризуются трёхмерной протяжённостью.
Однако и здесь необходимо различать различные геометрические представления.
Например, сфера представляет собой поверхность, состоящую из точек пространства, находящихся на одинаковом расстоянии от заданного центра.
Шар включает также внутреннюю область.
Следовательно, сфера и шар — разные математические объекты.
Аналогичным образом можно рассматривать поверхность куба либо весь куб как пространственное тело.
При этом существенными становятся различные характеристики.
Для поверхности естественно рассматривать площадь.
Для тела — объём.
Но могут иметь значение также линейные размеры, взаимное расположение граней, форма сечений и другие геометрические отношения.
Следовательно, определённость пространственного объекта должна соответствовать характеру поставленной задачи.
Например, построить тело заданного объёма и построить тело заданной формы — разные требования.
Одного совпадения объёмов недостаточно для геометрического тождества объектов.
Именно это обстоятельство имеет принципиальное значение для универсальной мультипликации геометрических величин.
18. Масштабирование геометрических объектов: длины, площади и объёмы
Одним из важнейших конструктивных преобразований является изменение масштаба геометрического объекта.
Однако при этом необходимо учитывать различие между линейными, площадными и объёмными характеристиками.
Если все линейные размеры геометрического тела увеличиваются в два раза, соответствующие площади увеличиваются в четыре раза.
А объём увеличивается в восемь раз.
Следовательно, простое масштабирование размеров не обеспечивает одинакового изменения всех геометрических характеристик.
Именно это обстоятельство лежит в основе знаменитой задачи удвоения куба.
Для удвоения объёма необходимо использовать специальный линейный масштабный коэффициент.
Однако соответствующая задача представляет собой лишь частный случай более широкой проблемы.
Можно исследовать увеличение объёма в три, пять, десять или другое количество раз.
Аналогичным образом возможно рассматривать масштабирование площадей.
Но для правильной постановки задачи необходимо определить, какая характеристика должна изменяться и какие свойства исходного объекта должны сохраняться.
Например, при подобном преобразовании фигуры сохраняется её форма в математическом смысле.
Но если требуется только изменение площади, допустимы и другие конструктивные решения.
Следовательно, универсальная технология мультипликации должна учитывать различные классы геометрических преобразований.
В дальнейшем именно это различие позволит перейти от отдельных задач удвоения или утроения к более общей системе арифметических операций с геометрическими величинами.
19. Многомерные геометрические объекты
В современной математике исследуются не только плоские и трёхмерные геометрические объекты.
Существуют также математические модели пространств более высокой размерности.
В частности, рассматриваются гиперкубы, многомерные многогранники и другие геометрические конструкции.
Однако здесь необходимо сделать принципиальное уточнение.
Математическая определённость многомерного объекта не предполагает обязательного существования соответствующего материального тела в привычном трёхмерном пространстве.
Речь идёт прежде всего об абстрактной математической модели.
Такая модель может быть задана посредством определённых отношений между координатами, расстояниями и другими величинами.
При этом многие геометрические операции естественным образом обобщаются на пространства более высокой размерности.
Например, масштабирование линейных размеров влияет на многомерную меру соответствующего объекта по закономерностям, зависящим от размерности.
Но возможность подобного математического обобщения не означает автоматической простоты соответствующего конструктивного алгоритма.
Для работы с многомерными объектами необходимо определить способы их представления и преобразования.
Особенно важно различать математическую операцию в многомерном пространстве и её визуализацию посредством двумерных или трёхмерных изображений.
Именно эти обстоятельства будут иметь значение при дальнейшем исследовании обобщённых технологий мультипликации гиперкубов и других многомерных объектов.
20. Форма, размеры и положение: различные уровни определённости
Теперь необходимо рассмотреть ещё одну принципиальную проблему.
Предположим, что имеются два геометрических объекта одинаковой формы.
Можно ли считать их одним и тем же объектом?
Ответ зависит от принятого критерия.
Если речь идёт о геометрическом подобии, объекты могут иметь различные размеры, но сохранять определённые отношения между соответствующими элементами.
Если требуется равенство в смысле конгруэнтности, должны сохраняться соответствующие расстояния и взаимные положения элементов с точностью до допустимых движений пространства.
Но даже конгруэнтные объекты могут занимать различные положения.
Следовательно, необходимо различать геометрическую форму, размеры и пространственное расположение.
Например, два одинаковых квадрата могут находиться в различных частях плоскости.
Они конгруэнтны, но не совпадают как множества точек.
А два квадрата разных размеров подобны, но не конгруэнтны.
Следовательно, утверждение о равенстве геометрических объектов всегда должно сопровождаться определением соответствующего критерия.
Именно это различие особенно важно при исследовании универсальных преобразований.
В одних задачах необходимо сохранить форму.
В других — площадь или объём.
В третьих — определённые углы или пропорции.
Поэтому универсальная геометрическая технология не может использовать одно неопределённое понятие равенства для всех возможных операций.
Каждый конструктивный результат должен оцениваться по тем характеристикам, которые существенны для конкретной задачи.
Именно такой подход составляет одно из оснований предполагаемой гармонической геометрии.
21. Геометрическая линия: ширина как дополнительная характеристика модели
На данном этапе мы подходим к одной из наиболее интересных особенностей авторской концепции.
Классическая математическая геометрия рассматривает линию как идеальный объект, не обладающий шириной.
Такая идеализация чрезвычайно продуктивна.
Она позволяет исследовать длины, углы, кривизну и другие геометрические свойства без необходимости учитывать толщину материального изображения.
Однако при переходе к физическому конструированию возникает дополнительная характеристика — ширина линии.
Например, прямая может быть изображена тонким карандашным следом.
Может воспроизводиться полосой определённой ширины на поверхности дороги.
Или представлять собой протяжённую область, сформированную посредством архитектурной конструкции.
При этом возникает принципиальная необходимость различать идеальную линию и материальную полосу, представляющую её.
В математической модели объект ненулевой ширины может рассматриваться как определённая область, связанная с исходной линией.
Например, такая область может задаваться совокупностью точек, находящихся от соответствующей центральной линии на расстоянии, не превышающем установленную величину.
Однако возможны и другие способы определения подобных объектов.
Следовательно, само понятие широкой геометрической линии требует специальных соглашений.
Но здесь необходимо особенно подчеркнуть следующее.
Ширина геометрического объекта и погрешность его построения не являются тождественными величинами.
Материальная линия может обладать значительной шириной, но её центральное положение при этом может быть определено достаточно точно.
И наоборот, тонкая линия не обязательно нанесена правильно.
Именно это различие станет одним из центральных предметов следующей главы.
22. Относительная ширина и геометрическая определённость
Если геометрическая линия рассматривается как материальная полоса или математически определённая область ненулевой ширины, возникает дополнительный вопрос.
Как соотносятся её ширина и длина?
Например, одна линия может иметь длину один метр и ширину один миллиметр.
Другая — длину сто метров и ширину десять сантиметров.
В обоих случаях отношение ширины к длине одинаково.
Однако абсолютные размеры соответствующих объектов различаются на два порядка.
Следовательно, можно исследовать не только абсолютную ширину линии, но и её относительную ширину.
Такой подход позволяет рассматривать определённые классы геометрических объектов, характеризующихся сходными масштабными отношениями.
Но здесь необходимо учитывать математические особенности самой формы.
Для прямолинейного отрезка относительная ширина материального представления может определяться достаточно просто.
Для криволинейного объекта возникают дополнительные вопросы.
В частности, необходимо определить, относительно какой линии измеряется длина.
Если объект обладает переменной шириной, следует установить способ характеристики соответствующего изменения.
Следовательно, универсальная теория относительной ширины требует предварительного уточнения геометрической определённости.
Именно поэтому вопрос о ширине линии рассматривается после исследования основных классов объектов.
Он не заменяет их классических математических определений, а вводит дополнительные характеристики для расширенного семейства геометрических моделей.
23. Геометрический объект и его конструктивное описание
Теперь необходимо перейти от математической определённости к вопросу о возможности построения.
Здесь следует различать три самостоятельные задачи.
Первая — математически определить некоторый объект.
Вторая — установить возможность его построения посредством заданного набора операций.
Третья — разработать технологически эффективную процедуру соответствующего построения.
Эти задачи тесно связаны, но не тождественны.
Например, можно математически определить кривую посредством определённого уравнения.
Однако из этого не следует, что соответствующую кривую можно построить точно циркулем и немаркированной линейкой.
Можно также установить возможность её приближённого воспроизведения.
Но подобная возможность сама по себе не гарантирует минимальной трудоёмкости построения.
Следовательно, математическая определённость является необходимой исходной предпосылкой конструктивного исследования, но не заменяет самого исследования.
Для построения необходимо указать допустимые операции.
Затем определить последовательность действий.
После этого установить математические свойства получаемого результата.
Если используется приближённое построение, следует дополнительно оценить погрешность.
И наконец, необходимо сопоставить полученную процедуру с возможными альтернативами.
Именно такая организация позволит перейти от общего понятия геометрического объекта к универсальной технологии его преобразования.
24. Полисекция как операция, зависящая от природы объекта
Одной из важнейших конструктивных операций настоящего исследования является полисекция.
В самом общем смысле под ней предполагается понимать разделение заданного геометрического объекта на установленное конечное количество равных частей.
Однако необходимо сразу уточнить понятие равенства.
Для прямолинейного отрезка естественным критерием является равенство длин.
Для спрямляемого криволинейного отрезка также можно рассматривать равенство длин получаемых участков.
Но если речь идёт о плоской фигуре, возникает возможность её разделения на равновеликие области.
Для пространственного тела естественным критерием может служить равенство объёмов получаемых частей.
Следовательно, полисекция представляет собой не одну-единственную элементарную операцию, а семейство конструктивных преобразований.
Их общая особенность заключается в разделении исходного объекта по заранее установленному критерию.
Но конкретные математические процедуры могут существенно различаться.
Например, разделение окружности на равные дуги связано с угловыми отношениями.
Разделение круга на равновеликие секторы может осуществляться посредством соответствующих центральных углов.
Однако разделение произвольной плоской фигуры на равновеликие части представляет собой значительно более общую задачу.
Следовательно, прежде чем утверждать универсальность полисекции, необходимо определить класс геометрических объектов и соответствующие критерии равенства.
Именно такой подход позволит постепенно расширять область применения общих конструктивных принципов.
25. Мультипликация как операция преобразования геометрических величин
Следующее важнейшее понятие — мультипликация геометрических величин.
В настоящей книге под этим термином предполагается исследовать операции, обеспечивающие увеличение или уменьшение заданных геометрических характеристик в определённых отношениях.
Например, можно рассматривать мультипликацию длины отрезка.
Или увеличение площади плоской фигуры.
Или преобразование объёма пространственного тела.
Однако необходимо учитывать, что изменение одной характеристики может сопровождаться закономерным изменением других.
Например, при подобном увеличении линейных размеров геометрического объекта его площадь и объём изменяются по различным законам.
Следовательно, универсальная мультипликация не может сводиться к простому механическому переносу одного масштабного коэффициента на все геометрические величины.
Необходимо установить, какая характеристика является исходной целью преобразования.
Затем определить необходимые геометрические отношения.
После этого разработать соответствующую конструктивную процедуру.
Именно такой подход позволит рассматривать классическую задачу удвоения куба как частный случай более широкого семейства пространственных преобразований.
Аналогичным образом квадратура круга может быть включена в семейство операций воспроизведения площадей различных геометрических фигур.
Но для каждого класса объектов необходимо установить математические условия корректности соответствующего преобразования.
Именно в этом заключается одна из центральных задач дальнейшего развития гармонической геометрии.
26. Определённость результата и принцип необходимой и достаточной точности
Теперь мы подходим к фундаментальному вопросу о точности.
Предположим, что геометрический объект математически определён.
Необходимо воспроизвести его посредством определённой последовательности конструктивных операций.
В классической математической постановке может требоваться абсолютно точное совпадение полученного объекта с исходным определением.
Однако в технологической задаче может использоваться заранее установленный допустимый уровень отклонения.
При этом необходимо точно определить, какая характеристика подлежит контролю.
Например, при построении отрезка можно оценивать ошибку его длины.
При построении угла — отклонение угловой величины.
При воспроизведении площади — соответствующую разность площадей.
Для пространственного тела могут иметь значение как отклонения линейных размеров, так и погрешность объёма.
Следовательно, нельзя рассматривать точность как одну неопределённую характеристику всех геометрических объектов.
Необходимо установить конкретную меру погрешности.
Именно поэтому принцип необходимой и достаточной точности должен применяться с учётом природы соответствующего геометрического объекта и характера выполняемой операции.
Особенно важно, что геометрическая определённость объекта не зависит от необходимости его физического воспроизведения с абсолютной точностью.
Идеальный объект может быть определён совершенно строго.
Но его материальная реализация может удовлетворять заранее установленному допуску.
Таким образом, математическая определённость и технологическая точность выступают взаимосвязанными, но самостоятельными характеристиками.
27. Определённость как условие универсальности геометрических технологий
На данном этапе необходимо сформулировать один из важнейших выводов настоящей главы.
Универсальная геометрическая технология не может основываться на неопределённых объектах и неустановленных критериях преобразования.
Для каждого класса задач необходимо заранее определить, что именно рассматривается.
Какие исходные данные считаются заданными.
Какие свойства должны сохраняться.
Какие характеристики допускают изменение.
И какой результат следует считать успешным.
Например, если требуется разделить криволинейный отрезок на несколько равных частей, необходимо определить исходный участок кривой и критерий равенства.
Если требуется построить равновеликий кругу многоугольник, необходимо установить требования к его форме и площади.
Если задача связана с мультипликацией объёма, необходимо определить допустимые изменения формы соответствующего тела.
Таким образом, универсальность технологии зависит не только от возможностей используемого инструментария.
Она предполагает также универсальную организацию самой постановки задач.
Именно здесь обнаруживается одна из наиболее глубоких связей между геометрической определённостью и ментальной эффективностью.
Чем точнее определён предмет преобразования, тем меньше вероятность избыточных конструктивных действий, связанных с неправильным пониманием исходной задачи.
Но из этого не следует, что всякая правильно определённая задача автоматически получает простое решение.
Необходимо различать точность постановки и конструктивную сложность.
Тем не менее правильная постановка является необходимым условием эффективного решения.
28. Геометрическая определённость и проблема царского пути
Вернёмся теперь к философской проблематике, обозначенной в завершении первого тома.
В качестве одного из наиболее выразительных геометрических образов царского пути был предложен прямолинейный отрезок.
При фиксированных конечных точках он представляет кратчайший путь в обычном евклидовом пространстве.
Однако для достижения действительной оптимальности необходимо также правильно определить цель и направление движения.
Это обстоятельство имеет прямое отношение к настоящей главе.
Ведь геометрическая определённость объекта представляет собой своеобразный первый этап правильной организации конструктивного мышления.
Невозможно выбрать наиболее эффективный способ преобразования объекта, если сам объект недостаточно определён.
Нельзя обоснованно минимизировать количество операций, если не установлен критерий правильности результата.
И невозможно создать универсальную технологию, если отсутствует ясное представление о классе задач, на который она распространяется.
Следовательно, геометрическая определённость представляет не только математический интерес.
Она приобретает фундаментальное методологическое значение.
Именно здесь обнаруживается возможность сформулировать более общую максиму.
Царский путь начинается с правильной определённости цели, продолжается выбором оптимального направления и реализуется посредством минимально необходимой сложности конструктивных операций.
Разумеется, это положение представляет собой философский принцип, а не универсальную математическую теорему.
Но оно позволяет установить одну из важнейших исследовательских установок гармонической геометрии.
Подлинная эффективность должна определяться не количеством хитроумных приёмов, а глубиной понимания геометрических отношений и рациональностью организации построений.
29. Пределы универсальности и необходимость специальных соглашений
Завершая рассмотрение основных классов геометрических объектов, необходимо подчеркнуть ещё одно обстоятельство.
Не всякая геометрическая процедура может быть автоматически распространена на все существующие математические объекты.
Например, операция деления прямолинейного отрезка на равные по длине части имеет совершенно определённый смысл.
Но для произвольной кривой необходимо предварительно установить существование конечной длины соответствующего участка.
Для плоской фигуры может потребоваться определённость её площади.
А для пространственного тела — существование и математическая определённость его объёма.
Кроме того, некоторые геометрические объекты могут обладать весьма сложной структурой.
Поэтому универсальность должна сопровождаться системой специальных соглашений.
Они могут определять допустимые классы объектов, способы задания границ, критерии равенства и условия выполнения соответствующих операций.
При этом специальные соглашения не должны быть произвольными.
Необходимо обеспечивать внутреннюю математическую последовательность всей системы.
В частности, нельзя использовать одно и то же понятие в существенно различных значениях без соответствующего уточнения.
Именно это требование особенно важно для исследования геометрических линий ненулевой относительной ширины.
В следующих главах будут рассмотрены возможные классы подобных объектов и соответствующие геометрические соглашения.
Таким образом, настоящее исследование предполагает не отказ от строгих математических определений, а их последовательное уточнение и расширение в соответствии с новыми конструктивными задачами.
30. Заключение. От определённости геометрического объекта — к определённости конструктивной технологии
Итак, первая глава второго тома посвящена одному из фундаментальных вопросов геометрии.
Что именно представляет собой геометрический объект?
Мы рассмотрели прямые, лучи, прямолинейные и криволинейные отрезки, окружности, круги, многоугольники, плоские фигуры, поверхности и пространственные тела.
При этом было установлено, что различные классы объектов характеризуются различными способами математической определённости.
Например, два конца однозначно определяют прямолинейный отрезок в евклидовом пространстве.
Однако для определения криволинейного отрезка необходимы дополнительные сведения о самой кривой и соответствующем участке.
Окружность и круг представляют собой различные математические объекты.
Граница плоской фигуры не тождественна всей заключённой внутри неё области.
А поверхность пространственного тела отличается от самого тела как трёхмерной области.
Эти различия имеют принципиальное значение для геометрического конструирования.
Ведь выбор конструктивной операции зависит от природы объекта и характера требуемого преобразования.
Полисекция прямолинейного отрезка, деление окружности на равные дуги, разбиение фигуры на равновеликие области и разделение тела на равные по объёму части представляют собой различные математические задачи.
Они могут обладать общими конструктивными принципами.
Но их универсальное объединение требует самостоятельного исследования.
Особое значение имеет различие между математическим объектом, его графическим представлением и материальным воплощением.
Именно оно позволяет корректно поставить вопрос о ширине геометрической линии, относительной ширине и технологической точности построений.
При этом математическая определённость не должна смешиваться с возможностью точного построения посредством конкретного инструментария.
А наличие приближённого решения не должно автоматически трактоваться как опровержение классических доказательств невозможности.
Следовательно, гармоническая геометрия должна опираться на ясное разграничение различных уровней математического и конструктивного исследования.
Но за этой понятийной программой стоит значительно более широкий интеллектуальный замысел.
Создание универсальной геометрической технологии невозможно без универсальной культуры точного определения объектов, операций и критериев успешности.
Именно здесь начинается путь от множества отдельных построений к общей системе конструктивных преобразований.
В дальнейшем предполагается исследовать возможность объединения полисекции, мультипликации, геометрической арифметики и последовательных приближений на основе сравнительно простых конструктивных принципов.
Однако действительная универсальность и эффективность соответствующей системы должны быть установлены посредством конкретных математических результатов.
Именно поэтому первая глава не объявляет существование царского пути в геометрии окончательно доказанным.
Она определяет одно из необходимых оснований его дальнейшего исследования.
Прежде чем искать кратчайший путь к решению геометрической задачи, необходимо правильно определить саму задачу, её исходные объекты и желаемый результат.
В этом заключается важнейшая связь геометрической определённости с проблемой оптимальной организации математического мышления.
От неопределённого изображения — к строго определённому геометрическому объекту.
От отдельных характеристик — к системе существенных геометрических отношений.
От разрозненных построений — к исследованию универсальных конструктивных операций.
От геометрической определённости объекта — к геометрической определённости царского пути его преобразования.
Таков главный итог первой главы второго тома «Ультраноочелленджа трёх тысячелетий».
В следующей главе мы перейдём к одной из наиболее необычных особенностей предлагаемой концепции — исследованию ширины геометрической линии, от классической идеализации до моделей объектов с произвольно задаваемой относительной шириной.







*********


© В.К.
Петросян (Вадимир) © Lag.ru [Large Apeironic Gateway, Большой Апейронический
Портал (Шлюз), Суперпортал в Бесконечность].
При копировании данного материала и размещении его на другом сайте, ссылки
на соответствующие локации порталов Lag.ru и Proza.ru обязательны
Работа написана на основе концепции и разработок В.К. Петросяна при полноценном соавторстве (активном творческом и техническом участии) ChatGPT (OpenAI), GPT-6.0 Sol (Солярис)
*****

Глава 1. Геометрический объект и его определённость: отрезки прямых, отрезки кривых, окружности, фигуры и тела