Основные понятия и операции гарм. геометрии

В.К. Петросян (Вадимир). УЛЬТРАНООЧЕЛЛЕНДЖ ТРЁХ ТЫСЯЧЕЛЕТИЙ. В 8-ми томах. Том 2


О разрешимости «неразрешимых» геометрических задач
Том 2

ЧАСТЬ II. ПОНЯТИЙНЫЕ И МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ГАРМОНИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
*********

© В.К.
Петросян (Вадимир) © Lag.ru [Large Apeironic Gateway, Большой Апейронический
Портал (Шлюз), Суперпортал в Бесконечность].

При копировании данного материала и размещении его на другом сайте, ссылки
на соответствующие локации порталов Lag.ru и Proza.ru обязательны

Работа написана на основе концепции и разработок В.К. Петросяна при полноценном соавторстве (активном творческом и техническом участии) ChatGPT (OpenAI), GPT-6.0 Sol (Солярис)


++++

Глава 7. Основные понятия и операции гармонической геометрии: полисекция, мультипликация, геометрическая арифметика и преобразования объектов
1. От геометрических понятий — к системе конструктивных операций
В предыдущих главах мы последовательно исследовали фундаментальные понятия геометрической определённости.
Были рассмотрены различные классы геометрических объектов, включая прямолинейные и криволинейные отрезки, окружности, плоские фигуры и пространственные тела.
Особое внимание уделялось понятию ширины геометрической линии.
При этом было показано, что наряду с традиционной математической линией нулевой ширины можно исследовать геометрические объекты, имеющие конечную, переменную и даже рекурсивно изменяющуюся ширину.
Затем мы рассмотрели проблему масштабов конструирования.
От геометрических построений на обычном бумажном листе — до архитектурных сооружений, крупных инженерных конструкций и геоглифов Наска.
После этого были исследованы различные виды точности, принцип необходимой и достаточной точности и возможность последовательного уточнения геометрических результатов.
Таким образом, мы подготовили понятийную основу для перехода к следующему этапу.
Теперь необходимо установить, какие именно операции могут выполняться над различными геометрическими объектами.
И каким образом эти операции следует организовать в единую конструктивную систему.
Именно здесь возникает понятие гармонической геометрии как исследовательской программы.
Её предполагаемая универсальность должна проявляться не в простом провозглашении возможности любых построений.
Она должна подтверждаться существованием конкретных алгоритмов, строгими определениями, доказательствами их свойств и сравнительным исследованием конструктивной эффективности.
От геометрических понятий необходимо перейти к геометрическим действиям. А от отдельных действий — к согласованной системе преобразований.
Именно этой задаче посвящена заключительная глава второй части.
2. Гармоническая геометрия как конструктивная исследовательская программа
Прежде всего необходимо уточнить содержание самого понятия гармонической геометрии.
В настоящей работе оно используется как авторское обозначение предполагаемой системы геометрических методов, ориентированной на согласованное исследование различных классов объектов и конструктивных операций.
При этом слово «гармоническая» не следует понимать исключительно в эстетическом смысле.
Речь идёт не только о красоте геометрических пропорций.
И не только о традиционных представлениях о золотом сечении.
Основное содержание этого понятия значительно шире.
Предполагается исследовать возможность построения такой системы, в которой различные геометрические операции образуют внутренне согласованный конструктивный аппарат.
Например, одна и та же общая схема может использоваться для деления, увеличения, уменьшения, пропорционального преобразования и последовательного уточнения различных геометрических величин.
Но подобная общность не должна постулироваться без доказательства.
Для каждого класса задач необходимо установить условия применимости соответствующей операции.
Именно поэтому гармоническая геометрия рассматривается здесь прежде всего как программа математического исследования.
Её задача заключается в выявлении наиболее общих конструктивных принципов и определении границ их применимости.
Гармония в данном контексте означает согласованность геометрических определений, операций, преобразований и критериев точности.
Именно такое понимание представляется наиболее продуктивным.
3. Геометрический объект, операция и результат
Теперь необходимо определить три фундаментальных понятия.
Первое — геометрический объект.
Второе — геометрическая операция.
Третье — результат соответствующей операции.
Под геометрическим объектом будем понимать математически определённую конфигурацию, обладающую установленными характеристиками.
Например, отрезок имеет определённые конечные точки и длину.
Окружность определяется центром и радиусом.
Плоская фигура характеризуется своей областью, границей и другими геометрическими свойствами.
Однако для некоторых расширенных классов объектов необходимо указывать дополнительные характеристики.
Например, ширину геометрической линии.
Или правило изменения этой ширины вдоль выбранной оси.
Геометрической операцией будем называть определённое преобразование одного или нескольких исходных объектов.
При этом должны быть установлены условия выполнения соответствующего действия.
Например, сложение двух положительных длин требует определения способа их геометрического сопоставления.
А деление угла предполагает установленное правило измерения угловой величины.
Результатом операции является новый геометрический объект либо новая характеристика ранее существующего объекта.
Следовательно, основная конструктивная схема включает исходные данные, допустимое действие и определённый результат.
Геометрическая операция должна быть задана настолько ясно, чтобы можно было установить, действительно ли полученный результат соответствует её определению.
Это требование составляет основу всей дальнейшей системы.
4. Сохранение геометрической определённости
Теперь необходимо обратиться к одному из важнейших методологических принципов.
При выполнении любой геометрической операции необходимо сохранять определённость исходных объектов.
Например, если исследуется прямолинейный отрезок, то его последовательное продолжение должно сохранять соответствующую прямолинейность.
Если же в процессе построения изменяется направление очередного участка, результатом может оказаться ломаная линия.
Но она уже представляет собой другой геометрический объект.
Следовательно, подобное преобразование должно быть специально оговорено.
Аналогичная проблема возникает при исследовании кривых.
Например, замена дуги окружности прямолинейной хордой является допустимой операцией аппроксимации.
Но хорда не становится самой исходной дугой.
Она представляет собой иной объект, имеющий определённое отношение к первоначальной кривой.
Именно поэтому необходимо различать тождественное сохранение объекта и построение его приближения.
Это положение особенно существенно для рекурсивных конструкций переменной ширины.
Ведь последовательное изменение ширины отдельных суботрезков способно преобразовать внешнюю границу и площадь исходной области.
Следовательно, необходимо ясно указывать, какая характеристика сохраняется, а какая изменяется.
Нельзя использовать свойства преобразованного объекта как свойства первоначального, если соответствующая инвариантность не установлена.
Именно этот принцип должен сопровождать все операции гармонической геометрии.
5. Исходные геометрические элементы и конструктивные примитивы
Теперь рассмотрим понятие элементарного геометрического действия.
В классической геометрии циркуля и немаркированной линейки основными допустимыми действиями являются определённые построения прямых и окружностей.
Например, можно провести прямую через две заданные точки.
И построить окружность с заданным центром и радиусом.
Но при разработке более широкой конструктивной системы возникает необходимость различать исходные инструменты и составные операции.
Например, деление отрезка пополам можно рассматривать как самостоятельную стандартную операцию.
Хотя в классическом смысле она представляет собой определённую конечную последовательность элементарных построений.
Аналогичным образом можно выделить перенос длины.
Построение параллельной прямой.
Проведение перпендикуляра.
Создание подобной фигуры.
И другие действия.
Но здесь существует принципиальное требование.
Если составная операция используется как элемент нового алгоритма, необходимо знать, посредством каких исходных действий она выполняется.
И какое количество операций требуется для её реализации.
Иначе простое введение нового названия не создаёт новой конструктивной возможности.
Поэтому гармоническая геометрия должна различать элементарные действия, составные операции и общие алгоритмы построения.
Именно такая иерархия позволяет исследовать конструктивную сложность.
6. Геометрические маркеры положения, направления и масштаба
Для выполнения различных операций необходимо установить дополнительные характеристики исходных объектов.
Например, прямолинейный отрезок имеет две конечные точки.
Но при последовательном продолжении важную роль играет выбор направления.
Поэтому полезно различать отрезок как неориентированную геометрическую величину и отрезок с установленной направленностью.
В последнем случае определяется начальная точка и положительное направление соответствующей оси.
Подобное уточнение необходимо при сложении и вычитании ориентированных величин.
А также при построении последовательных продолжений.
Для криволинейных объектов могут потребоваться другие маркеры.
Например, начальная точка обхода.
Выбранное направление движения по кривой.
И установленный способ измерения её длины.
Для геометрической линии конечной ширины дополнительно может указываться основная ось.
А также правило определения поперечных размеров.
Следовательно, необходима общая система исходных геометрических данных.
Она должна позволять однозначно определять объект и допустимые преобразования.
Одинаковая длина ещё не означает одинаковое положение. А различие ориентации не всегда означает различие самой несущей прямой.
Именно поэтому соответствующие маркеры необходимо определять строго.
7. Геометрическая линия как объект произвольной относительной ширины
Теперь вернёмся к одному из центральных понятий настоящей работы.
В традиционной элементарной геометрии линия рассматривается как математический объект нулевой ширины.
Но в предполагаемой гармонической геометрии дополнительно исследуются протяжённые области, связанные с определёнными линейными осями.
Например, можно рассматривать прямолинейную полосу конечной ширины.
Или криволинейную полосу, ограниченную двумя соответствующими границами.
Однако необходимо учитывать, что ширина такого объекта может изменяться.
Следовательно, постоянная ширина представляет только один частный случай.
Более того, относительная ширина способна принимать весьма различные значения.
Например, геометрический объект может быть значительно шире своей продольной протяжённости.
При этом сам выбор продольной оси должен быть заранее установлен.
Иначе характеристика относительной ширины может оказаться неоднозначной.
В этом отношении особенно важно не смешивать математическую линию и связанную с ней геометрическую область.
Первая может иметь нулевую ширину.
Вторая обладает собственной двумерной структурой.
Следовательно, операции над ними могут существенно различаться.
Включение объектов произвольной относительной ширины расширяет круг исследуемых геометрических конструкций, но требует специальных определений их размеров и границ.
8. Сложные объекты из суботрезков переменной ширины
Теперь рассмотрим более общий случай.
Предположим, что некоторый геометрический объект составлен из нескольких последовательных суботрезков.
При этом соответствующие участки могут иметь разные длины.
И разные ширины.
Например, первый участок может быть коротким и широким.
Второй — длинным и узким.
Третий — обладать переменной шириной.
А четвёртый — включать дополнительные внутренние подразделения.
Следовательно, возникает сложная конструктивная система.
При этом её организация может быть как конечной, так и потенциально рекурсивной.
Например, каждый суботрезок допускает дальнейшее разбиение.
И каждому новому участку можно назначить самостоятельное правило изменения ширины.
Однако необходимо учитывать, что рекурсия может иметь различный характер.
В одном случае сохраняется первоначальная ось.
Изменяется только распределение ширины вдоль неё.
В другом случае преобразуется и сама ось.
Например, прямолинейный участок заменяется ломаной или кривой.
Тогда одновременно меняются осевая структура, границы и пространственное положение соответствующих частей.
Следовательно, подобные операции необходимо исследовать отдельно.
Рекурсивное изменение ширины и рекурсивное изменение формы — различные конструктивные действия, даже если они применяются к одному геометрическому объекту.
Это разграничение имеет фундаментальное значение для гармонической геометрии.
9. Основные классы геометрических операций
Теперь возникает возможность предложить предварительную классификацию.
Во-первых, можно выделить операции изменения размеров.
К ним относятся увеличение и уменьшение длин, масштабирование фигур и аналогичные преобразования.
Во-вторых, существуют операции деления.
Например, полисекция отрезков, углов, дуг и других геометрических объектов.
В-третьих, можно рассматривать операции многократного воспроизведения.
К ним относится мультипликация.
В-четвёртых, существуют геометрические аналоги арифметических действий.
Например, сложение, вычитание, умножение и деление величин.
В-пятых, необходимо выделить операции изменения положения.
К ним относятся переносы, повороты и отражения.
В-шестых, особое значение имеют преобразования формы.
Например, переход от одной плоской фигуры к другой.
Или преобразование определённой пространственной конфигурации.
Наконец, существуют операции последовательного приближения.
Они позволяют получать всё более точные результаты посредством конечных построений.
Однако представленная классификация является предварительной.
Возможны дополнительные классы операций и более сложные композиции.
Но именно такая система позволяет перейти к последовательному исследованию основных конструктивных возможностей.
10. Полисекция как обобщённая операция деления
Одно из центральных мест в предполагаемой гармонической геометрии занимает полисекция.
Под этим термином предлагается понимать геометрическую операцию деления определённого объекта на заданное натуральное число частей.
Однако необходимо сразу уточнить важнейшее обстоятельство.
Равенство частей должно определяться относительно заранее установленной геометрической характеристики.
Например, отрезок можно разделить на части одинаковой длины.
Плоскую фигуру — на области одинаковой площади.
Пространственное тело — на части одинакового объёма.
Но подобные условия не эквивалентны.
Например, равенство площадей двух фигур ещё не означает совпадения их формы.
И равенство объёмов двух тел не означает равенства их поверхностей.
Поэтому полисекция не должна определяться исключительно через неопределённое понятие равенства.
Необходимо указывать соответствующую характеристику.
Кроме того, требуется различать точную и приближённую полисекцию.
В первом случае установленные части должны быть математически равными по заданному критерию.
Во втором допускается заранее ограниченное отклонение.
Таким образом, полисекция представляет собой семейство геометрических операций, объединённых общей идеей деления, но различающихся конкретными условиями.
11. Точная полисекция прямолинейных отрезков
Рассмотрим простейшую разновидность полисекции.
Пусть имеется произвольный прямолинейный отрезок положительной длины.
Необходимо разделить его на заданное натуральное число равных частей.
Подобная задача точно разрешима средствами классической геометрии циркуля и немаркированной линейки.
Например, можно провести из одного конца исходного отрезка вспомогательный луч.
Затем отложить на нём необходимое количество равных отрезков.
После этого соединить последнюю полученную точку с другим концом исходного отрезка.
И построить соответствующие параллельные прямые.
В результате исходный отрезок делится на требуемое количество равных частей.
Данное построение основано на свойствах подобных треугольников.
Оно известно ещё из классической геометрии.
Поэтому его нельзя представлять как совершенно новое математическое открытие.
Однако в предполагаемой гармонической геометрии оно приобретает значение одного из базовых конструктивных элементов.
Ведь аналогичные пропорциональные построения могут использоваться для выполнения более сложных операций.
Точная полисекция отрезка представляет собой проверенный классический инструмент, который может входить в состав значительно более широких конструктивных алгоритмов.
Именно в таком качестве она представляет особый интерес.
12. Пропорциональная полисекция и деление по заданным отношениям
Теперь рассмотрим более общий случай.
Предположим, что необходимо разделить отрезок не на равные, а на пропорциональные части.
Например, требуется получить три последовательных участка, длины которых находятся в заданном отношении.
При этом соответствующие коэффициенты могут определяться заранее.
Тогда возникает возможность использовать конструкцию на основе подобных треугольников.
Сначала выбирается вспомогательный луч.
На нём откладываются отрезки, соответствующие установленным отношениям.
Затем полученные деления переносятся на исходную геометрическую величину посредством параллельных построений.
В результате исходный отрезок разделяется в требуемой пропорции.
Однако здесь необходимо учитывать способ задания исходных отношений.
Если они заданы посредством доступных конструктивных величин, соответствующее деление может выполняться точно.
Если же исходные коэффициенты доступны только приближённо, результат также может быть приближённым.
Следовательно, необходимо различать точность исходных данных и точность самого алгоритма.
Особенно интересно, что пропорциональная полисекция позволяет рассматривать не только равномерные, но и неравномерные геометрические структуры.
Именно это обстоятельство открывает дополнительные возможности для работы с объектами переменной ширины.
13. Полисекция углов и различие классов построимости
Теперь обратимся к более сложной задаче.
Предположим, что необходимо разделить произвольный угол на заданное натуральное число равных частей.
В отличие от полисекции прямолинейного отрезка, такая задача не всегда допускает точное построение посредством одного циркуля и немаркированной линейки.
Например, деление произвольного угла пополам возможно.
А последовательное применение бисекции позволяет получать определённые равные угловые части.
Но точная трисекция произвольного угла в классическом наборе операций невозможна.
Следовательно, понятие угловой полисекции требует более строгой классификации.
Прежде всего необходимо выделять случаи точной построимости.
Затем случаи, допускающие только приближённое решение при выбранном наборе инструментов.
И наконец, случаи, когда точное построение становится возможным после расширения допустимых операций.
Например, посредством специальных кривых или других геометрических средств.
Однако необходимо фиксировать соответствующий инструментарий.
Точная разрешимость задачи зависит не только от её геометрического содержания, но и от выбранного класса допустимых построений.
Именно это положение должно стать одним из фундаментальных принципов гармонической геометрии.
14. Приближённая полисекция произвольных углов
Теперь рассмотрим возможность последовательного приближения.
Предположим, что необходимо получить определённую долю произвольного угла.
При этом точное построение в выбранном наборе операций недоступно.
Но исходный угол можно последовательно делить пополам.
Следовательно, возникают всё более мелкие двоичные угловые части.
Из определённого набора таких частей можно составлять приближения к требуемому результату.
При этом каждая отдельная операция представляет собой конечное геометрическое построение.
А количество последовательных уточнений зависит от установленного допуска.
Если алгоритм организован правильно, можно доказать уменьшение погрешности.
Более того, можно заранее определить достаточное количество бисекций.
Следовательно, возникает конструктивная процедура, обеспечивающая любую заранее установленную положительную точность.
Но необходимо ещё раз подчеркнуть принципиальное разграничение.
Подобная процедура не является точным классическим решением произвольной трисекции.
Она представляет собой строго контролируемое приближение.
Именно поэтому при описании соответствующих алгоритмов необходимо обязательно указывать требуемую точность и способ её достижения.
Полисекция произвольных углов становится достаточно общей конструктивной операцией в приближённой постановке, но её точная осуществимость требует отдельного исследования.
15. Полисекция дуг окружности
Теперь рассмотрим деление криволинейных объектов.
Пусть имеется определённая дуга окружности.
Необходимо разделить её на несколько равных частей.
На первый взгляд соответствующая задача похожа на деление прямолинейного отрезка.
Однако между ними существует существенное различие.
Ведь равное деление дуги предполагает равенство соответствующих дуговых длин.
Для одной окружности при одинаково выбранных направлениях обхода этому соответствует равенство центральных углов.
Следовательно, задача может быть сведена к определённой угловой полисекции.
Но такая редукция не делает её автоматически точно разрешимой.
В частности, точная полисекция произвольной дуги может сталкиваться с теми же конструктивными ограничениями, что и деление произвольного угла.
При этом необходимо отдельно рассматривать возможность приближённого построения.
Ещё одно важное обстоятельство связано с хордами.
Равное деление одной исходной хорды не означает равного деления соответствующей дуги.
Поскольку точки деления хорды, как правило, не располагаются на окружности.
Следовательно, необходимо строго различать равенство прямолинейных отрезков и равенство дуг.
Полисекция дуг требует собственного геометрического критерия и не может автоматически отождествляться с обычным линейным делением.
16. Полисекция произвольных криволинейных отрезков
Теперь перейдём к более широкому классу кривых.
Предположим, что имеется определённый участок произвольной кривой.
Необходимо разделить его на несколько частей одинаковой длины.
Однако здесь возникают дополнительные математические вопросы.
Прежде всего необходимо установить, обладает ли рассматриваемая кривая конечной длиной.
Например, некоторые математические фрактальные кривые имеют бесконечную длину.
В таком случае обычная постановка деления всей кривой на конечное число частей равной конечной длины теряет соответствующий смысл.
Но если кривая обладает конечной длиной, задача может быть поставлена корректно.
Далее необходимо установить способ задания исходной кривой.
Например, она может быть определена посредством параметрического правила.
Или конечной последовательности геометрических построений.
Если существует эффективный способ вычислять длину её участков с необходимой точностью, может быть организована соответствующая приближённая полисекция.
Однако математическая возможность и алгоритмическая осуществимость не всегда совпадают.
Поэтому необходимо учитывать конструктивную определённость исходного объекта.
Полисекция произвольной кривой требует дополнительных условий, связанных с её длиной, математическим заданием и способом контроля точности.
17. Полисекция геометрических объектов переменной ширины
Теперь возникает одна из наиболее интересных задач предлагаемой системы.
Предположим, что рассматривается геометрическая линия конечной переменной ширины.
Она может быть представлена областью, связанной с определённой осью.
При этом ширина вдоль соответствующей оси изменяется по установленному правилу.
Можно ли разделить такой объект на несколько равных частей?
Ответ зависит от выбранного критерия.
Например, можно разделить его ось на равные по длине участки.
Но соответствующие полосы могут иметь различные площади.
Особенно если ширина изменяется неравномерно.
В другом случае можно требовать равенства площадей отдельных частей.
Тогда соответствующие осевые интервалы, как правило, не будут иметь одинаковую длину.
Следовательно, возникает необходимость различать два вида полисекции.
Первый — по длине оси.
Второй — по площади связанной с осью области.
Аналогичным образом можно вводить дополнительные критерии.
Например, равенство определённых средних поперечных размеров.
Но эти условия должны быть согласованы между собой.
Полисекция геометрической линии переменной ширины не имеет единственного универсального смысла без предварительного указания сохраняемой характеристики.
Именно это положение представляет особую важность для дальнейшего развития гармонической геометрии.
18. Полисекция плоских фигур по площади
Теперь рассмотрим произвольную плоскую фигуру.
Предположим, что необходимо разделить её на определённое количество областей одинаковой площади.
Подобная задача существенно отличается от деления прямолинейного отрезка.
Ведь соответствующие части могут обладать различной формой.
И различным расположением.
Например, прямоугольник можно разделить на несколько равновеликих прямоугольников.
Но для сложной криволинейной фигуры соответствующее построение может потребовать специальных методов.
Кроме того, можно предъявить дополнительные требования.
Например, чтобы все части были связными.
Или имели одинаковую форму.
Или сохраняли определённую симметрию.
Каждое такое условие сужает класс допустимых решений.
Следовательно, необходимо различать равновеликость и геометрическое равенство частей.
Подобное различие особенно важно при исследовании сложных объектов.
Например, при полисекции прибрежной полосы переменной ширины.
Ведь равное деление её центральной оси не гарантирует равенства площадей отдельных прибрежных участков.
Таким образом, полисекция по площади представляет собой самостоятельный класс конструктивных задач.
Её разрешимость зависит от формы исходной области и дополнительных условий.
19. Полисекция пространственных тел
Теперь перейдём от плоскости к пространству.
Предположим, что имеется определённое геометрическое тело.
Например, куб.
Или цилиндр.
Или другое пространственное образование.
Необходимо разделить его на заданное количество частей одинакового объёма.
При этом возникает пространственная полисекция.
Однако и здесь необходимо строго определять критерий равенства.
Например, куб можно разделить определёнными плоскостями на части одинакового объёма.
Но эти части не обязательно будут подобны исходному кубу.
Если же требуется получить именно одинаковые кубы, возникают дополнительные требования к организации разбиения.
Аналогичная ситуация наблюдается при делении более сложных пространственных тел.
Например, тела переменного поперечного сечения.
Или объекта, образованного последовательным соединением участков различных размеров.
Следовательно, пространственная полисекция может требовать специальных методов вычисления объёмов.
Или построения поверхностей, ограничивающих равновеликие части.
Равенство объёмов не предполагает автоматически равенства линейных размеров, форм или площадей поверхностей.
Именно это обстоятельство необходимо учитывать при развитии универсальных пространственных конструктивных операций.
20. Мультипликация как операция многократного воспроизведения
Теперь перейдём к другому центральному понятию.
Под мультипликацией будем понимать определённую операцию многократного воспроизведения геометрической величины или конструкции.
Однако необходимо сразу различить несколько её разновидностей.
Во-первых, можно последовательно откладывать одинаковые прямолинейные отрезки.
Во-вторых, можно создавать несколько одинаковых геометрических фигур.
В-третьих, возможно построение подобной фигуры, размеры которой увеличены в заданное количество раз.
В-четвёртых, можно рассматривать многократное воспроизведение пространственных тел.
Но соответствующие операции различаются.
Например, последовательное соединение нескольких одинаковых отрезков может образовать один более длинный отрезок.
А размещение нескольких одинаковых квадратов рядом друг с другом не обязательно образует больший квадрат.
Следовательно, необходимо различать мультипликацию количества и мультипликацию линейного масштаба.
Именно такое разграничение имеет фундаментальное значение.
Мультипликация геометрических объектов должна определяться через конкретное правило воспроизведения, а не только через арифметическое представление о многократности.
21. Мультипликация прямолинейных отрезков
Рассмотрим простейший случай.
Пусть имеется определённый прямолинейный отрезок положительной длины.
Необходимо построить новый отрезок, длина которого представляет собой заданное натуральное количество исходных длин.
Для этого можно последовательно откладывать равные отрезки вдоль одного и того же луча.
При этом каждый следующий участок должен продолжать предыдущий без изменения направления.
В результате возникает один прямолинейный объект установленной общей длины.
Подобная операция обладает очевидной конструктивной определённостью.
Каждый отдельный шаг конечен.
А количество шагов устанавливается заранее.
Однако здесь необходимо учитывать различие между прямолинейной мультипликацией и построением произвольной цепочки отрезков.
Если направления отдельных участков изменяются, результирующий объект становится ломаной.
Следовательно, его геометрические свойства изменяются.
Именно поэтому необходимо сохранять установленную направленность исходной конструкции.
Особенно важна такая операция при исследовании пересечений прямых.
Если известны исходное положение и фиксированный ненулевой наклон соответствующих прямолинейных продолжений, можно определить конечную длину, достаточную для достижения точки пересечения в евклидовой плоскости.
Мультипликация отрезков позволяет переходить к любым необходимым конечным масштабам, сохраняя прямолинейность геометрической конструкции.
22. Мультипликация и масштабирование геометрических фигур
Теперь рассмотрим более сложный случай.
Предположим, что имеется определённый многоугольник.
Необходимо увеличить его линейные размеры в заданное количество раз.
Для этого можно использовать преобразование подобия.
При соответствующем масштабировании сохраняются углы исходного многоугольника.
И отношения соответствующих линейных размеров.
Но абсолютные длины его сторон изменяются.
Следовательно, возникает подобная фигура.
Однако необходимо учитывать, что увеличение линейного масштаба не означает такого же изменения площади.
Например, если линейные размеры квадрата увеличиваются в два раза, его площадь увеличивается в четыре раза.
А для пространственного куба увеличение всех линейных размеров в два раза приводит к восьмикратному увеличению объёма.
Следовательно, необходимо различать мультипликацию линейных размеров, площадей и объёмов.
Это обстоятельство имеет фундаментальное значение для гармонической геометрии.
Ведь подобная система предполагает работу с геометрическими объектами различной размерности.
Одинаковый числовой коэффициент масштабирования действует на геометрические характеристики разной размерности по различным законам.
Именно поэтому необходимо заранее указывать, какая величина подлежит мультипликации.
23. Мультипликация площади и объёма
Теперь рассмотрим геометрические задачи, в которых увеличению подлежит не длина, а площадь или объём.
Предположим, что имеется квадрат определённой площади.
Необходимо построить новый квадрат, площадь которого в заданное число раз больше.
В таком случае необходимо определить соответствующее отношение длин сторон.
Именно здесь возникает операция извлечения квадратного корня в геометрической интерпретации.
Для положительных величин соответствующие построения во многих случаях осуществимы посредством классических методов.
Но для пространственных тел ситуация может быть сложнее.
Например, если необходимо построить куб, объём которого втрое больше исходного, требуется определить соответствующее отношение рёбер.
Это отношение связано с извлечением кубического корня.
И потому не всегда допускает точное классическое построение.
Следовательно, мультипликация объёмов требует отдельного исследования.
При этом можно рассматривать два разных результата.
Первый — совокупность нескольких одинаковых кубов, суммарный объём которых соответствует требуемой величине.
Второй — один новый куб соответствующего увеличенного объёма.
Эти задачи неэквивалентны.
Мультипликация количества одинаковых тел и построение одного подобного тела с кратно увеличенным объёмом представляют разные геометрические операции.
24. Мультипликация рекурсивных геометрических структур
Теперь рассмотрим возможность многократного воспроизведения более сложных объектов.
Предположим, что имеется геометрическая конструкция, состоящая из нескольких суботрезков.
При этом каждому суботрезку назначена собственная ширина.
И собственная длина.
Возможно, отдельные части дополнительно содержат вложенные рекурсивные структуры.
Теперь необходимо воспроизвести исходную конструкцию несколько раз.
При этом возникают различные варианты.
Например, можно создавать точные копии первоначального объекта.
Или подобные копии уменьшенного масштаба.
В другом случае можно повторять только правило построения, изменяя его параметры.
Но необходимо учитывать, что повторение правила не обязательно приводит к геометрически подобным объектам.
Например, если на каждом новом уровне изменяется отношение ширины к длине, соответствующие конструкции могут существенно различаться.
Следовательно, необходимо различать мультипликацию объекта и мультипликацию его конструктивного алгоритма.
Особенно важно учитывать возможные наложения отдельных частей.
Ведь суммарная площадь перекрывающихся областей не равна простой сумме их площадей без учёта перекрытия.
Рекурсивная мультипликация требует контроля не только количества элементов, но и их положения, масштаба, взаимного пересечения и геометрической связности.
25. Мультипликация в пространствах большей размерности
Теперь рассмотрим возможность дальнейшего обобщения.
В традиционной элементарной геометрии обычно исследуются одномерные, двумерные и трёхмерные объекты.
Но современная математика допускает рассмотрение пространств большей размерности.
Например, можно исследовать гиперкубы.
И другие многомерные геометрические конструкции.
При этом понятие масштабирования сохраняет определённый математический смысл.
Однако необходимо учитывать, что соответствующие объекты уже не обязательно допускают непосредственное физическое воспроизведение в обычном трёхмерном пространстве.
Следовательно, возникает различие между математической конструктивностью и материальной реализацией.
Например, многомерный гиперкуб можно задать конечной системой координатных условий.
И исследовать его характеристики посредством соответствующего математического аппарата.
Но его непосредственное физическое построение требует определённой интерпретации.
Таким образом, предполагаемая гармоническая геометрия может исследовать обобщения своих операций на пространства большей размерности.
Однако подобная возможность должна обосновываться строго.
Математическое расширение конструктивной операции на большую размерность не означает автоматической возможности её физического воспроизведения.
Именно это разграничение необходимо сохранять.
26. Геометрическая арифметика: общая постановка
Теперь перейдём к третьему центральному направлению.
Речь идёт о геометрической арифметике.
Под этим понятием будем понимать систему операций, позволяющих представлять арифметические отношения посредством геометрических величин и построений.
Например, сложение можно интерпретировать через соединение определённых отрезков.
Вычитание — через выделение разности.
Умножение и деление — посредством пропорциональных построений.
Однако необходимо учитывать, что соответствующие методы имеют глубокие исторические основания.
В частности, построения на основе отношений отрезков и подобных треугольников известны ещё из античной математики.
Следовательно, новизна предполагаемой гармонической геометрии не должна обосновываться простым существованием геометрических аналогов арифметических действий.
Гораздо более интересным представляется исследование возможности объединения различных операций в согласованную конструктивную систему.
Причём желательно использовать минимально необходимое количество стандартных построений.
Но здесь возникает важное требование.
Каждая арифметическая операция должна выполняться над величинами согласованного математического типа.
Например, нельзя без дополнительного определения складывать длину и площадь.
Именно поэтому геометрическая арифметика требует строгого различения размерностей.
27. Сложение геометрических величин
Рассмотрим простейшую арифметическую операцию.
Пусть имеются два отрезка положительной длины.
Необходимо построить третий отрезок, длина которого равна сумме исходных.
Для этого можно перенести первый отрезок на выбранный луч.
А затем непосредственно продолжить его вторым.
В результате возникает отрезок необходимой суммарной длины.
Но подобная простота не должна скрывать важное обстоятельство.
Исходные отрезки могут располагаться в разных частях плоскости.
И иметь различные направления.
Поэтому необходимо предварительно определить правило переноса их длин.
При этом соответствующие длины сохраняются.
Но положение исходных объектов может изменяться.
Следовательно, геометрическое сложение положительных длин представляет собой операцию над величинами, а не обязательно над пространственным расположением исходных отрезков.
Аналогичным образом можно складывать площади и объёмы.
Но в таких случаях результат не всегда соответствует одному объекту заранее заданной формы.
Поэтому необходимо отдельно исследовать возможность построения соответствующей фигуры или тела.
Геометрическое сложение величин и геометрическое объединение объектов не являются автоматически тождественными действиями.
28. Вычитание и определение геометрической разности
Теперь рассмотрим вычитание.
Предположим, что имеются два положительных отрезка.
Длина первого больше длины второго.
Необходимо построить отрезок, соответствующий их разности.
Для этого можно отложить меньшую длину на большем отрезке.
Оставшийся участок будет представлять необходимую положительную разность.
Но возникает вопрос.
Что делать, если второй отрезок длиннее первого?
В таком случае обычная неориентированная длина разности не может быть отрицательной.
Однако можно ввести ориентированные геометрические величины.
При этом положительное и отрицательное направления задаются относительно выбранной оси.
Тогда операция вычитания приобретает более широкий смысл.
Но отрицательная ориентированная величина не означает существования физического отрезка отрицательной длины.
Следовательно, необходимо различать математический знак и геометрическую протяжённость.
Именно такое разграничение имеет значение для дальнейшего развития геометрической арифметики.
Ориентированные геометрические величины позволяют расширить арифметические операции, сохраняя положительность собственно геометрической длины.
29. Геометрическое умножение и деление
Теперь рассмотрим более сложные арифметические действия.
Пусть имеются определённые геометрические величины.
Необходимо построить результат их умножения или деления.
Однако для математической корректности требуется предварительно выбрать единичную длину.
Ведь произведение двух числовых значений длин может быть представлено новой длиной только после установления соответствующего масштаба.
Иначе речь идёт о величине другой физической размерности.
Например, произведение двух длин естественным образом связано с площадью.
Но при выбранной единице можно также определить соответствующую числовую операцию и представить её результат отрезком.
Для выполнения подобных построений используются свойства пропорциональных отрезков.
И подобных треугольников.
При этом геометрическое деление связано с определением отношения соответствующих величин.
Однако необходимо учитывать ограничения.
Например, деление на нулевую величину не определено.
Следовательно, нельзя рассматривать геометрическую арифметику как совокупность формальных действий без установленных условий.
Каждая геометрическая арифметическая операция должна сопровождаться определением единиц, допустимых исходных величин и математического смысла результата.
30. Симметричные лучи и единая схема геометрической арифметики
Теперь рассмотрим один из возможных организационных принципов гармонической геометрии.
Предположим, что из общей вершины проведены два вспомогательных луча.
Они могут быть расположены симметрично относительно выбранной оси.
Или образовывать другой заранее установленный угол.
На соответствующих лучах откладываются исходные геометрические величины.
Затем используются вспомогательные соединения и параллельные построения.
В результате можно получать необходимые пропорциональные отношения.
Подобная схема позволяет представить различные арифметические операции в достаточно наглядной геометрической форме.
Особенно интересно использование единой исходной конструкции.
Ведь тогда множество отдельных операций может быть организовано посредством одного общего расположения вспомогательных элементов.
Но необходимо учитывать, что сама идея работы с двумя лучами и подобными треугольниками давно известна.
Поэтому предметом дальнейшего исследования должна стать не декларация новизны, а конструктивная эффективность конкретной организации.
Например, можно сравнить количество необходимых построений.
И устойчивость результата к погрешностям.
А также возможность объединения нескольких операций в одном чертеже.
Единая схема симметричных лучей может представлять интерес как способ конструктивной организации геометрической арифметики, если её преимущества будут подтверждены конкретными алгоритмами.
31. Четвёртая пропорциональная и геометрическая основа арифметики
Теперь обратимся к одному из важнейших классических построений.
Пусть заданы три положительных прямолинейных величины.
Необходимо построить четвёртую величину, образующую с ними установленную пропорцию.
Подобная задача известна из шестой книги «Начал» Евклида.
Она решается посредством вспомогательных лучей и параллельных построений.
В результате возникает возможность выполнять определённые геометрические аналоги умножения и деления.
Именно этот принцип представляет важнейшее историческое основание геометрической арифметики.
Однако для нашей исследовательской программы особенно интересно другое.
Можно ли организовать подобные операции настолько рационально, чтобы они использовали ограниченное количество универсальных вспомогательных конструкций?
Например, можно рассмотреть возможность выполнения нескольких последовательных арифметических действий без полного перестроения всей схемы.
Но такая возможность должна исследоваться отдельно.
Ведь сокращение количества вспомогательных линий не всегда означает повышение точности.
Иногда более простая схема может оказаться технологически менее устойчивой.
Следовательно, необходимо рассматривать как конструктивную сложность, так и точность результата.
Геометрическая арифметика должна объединять математическую корректность пропорциональных построений с рациональной организацией соответствующих операций.
32. Геометрические средние и пределы классической построимости
Теперь рассмотрим более сложные арифметико-геометрические отношения.
Предположим, что заданы две положительные длины.
Необходимо построить их среднее геометрическое.
Подобная задача допускает классическое решение посредством геометрических построений.
Например, можно использовать соответствующую конструкцию с полуокружностью и перпендикуляром.
Однако при переходе к другим видам средних могут возникать дополнительные ограничения.
Например, построение величины, связанной с извлечением кубического корня, в общем случае не допускает точного выполнения посредством одного циркуля и немаркированной линейки.
Именно эта проблема непосредственно связана с классической задачей удвоения куба.
Следовательно, необходимо различать арифметическую определённость величины и её точную конструктивную доступность.
В современной геометрической арифметике можно также использовать приближённые алгоритмы.
Но при этом необходимо указывать требуемую точность.
И доказывать её достижение.
Не всякая математически определённая числовая величина может быть точно представлена посредством конечного построения в произвольно выбранном классе геометрических операций.
Это положение составляет важнейшую границу любой универсальной конструктивной программы.
33. Геометрическая арифметика и операции над площадями и объёмами
Теперь необходимо расширить рассмотрение.
Предположим, что требуется сложить площади двух фигур.
В арифметическом смысле подобная операция достаточно очевидна.
Но в геометрической постановке необходимо определить форму результирующей фигуры.
Например, можно построить прямоугольник соответствующей площади.
Но если требуется именно квадрат, возникает дополнительное геометрическое условие.
Аналогичная ситуация наблюдается при операциях над объёмами.
Например, суммарный объём двух кубов можно определить арифметически.
Но построение одного куба соответствующего объёма требует определения длины его ребра.
Следовательно, возникает другая математическая задача.
Именно поэтому геометрическая арифметика должна различать операции над числовыми величинами и операции построения определённых геометрических форм.
В некоторых случаях арифметическая операция выполняется точно.
Но соответствующее построение фигуры заданного класса может оказаться недоступным в выбранном инструментарии.
Арифметическая определённость результата не гарантирует точной конструктивной доступности любой заранее установленной геометрической формы.
Именно это положение необходимо учитывать при исследовании мультипликации площадей и объёмов.
34. Перемещение, поворот и отражение геометрических объектов
Теперь рассмотрим основные преобразования положения.
Предположим, что имеется определённая геометрическая фигура.
Её можно перенести в другую часть плоскости.
При этом сохраняются длины соответствующих отрезков.
И величины соответствующих углов.
А также площадь.
Подобным образом можно выполнить поворот фигуры.
Или её отражение относительно установленной прямой.
Такие преобразования относятся к движениям евклидовой плоскости.
Они сохраняют геометрические расстояния.
Следовательно, позволяют получать фигуры, равные исходной по форме и размерам.
Но необходимо учитывать, что некоторые дополнительные характеристики могут изменяться.
Например, отражение изменяет ориентацию.
А перенос меняет абсолютное положение фигуры относительно выбранной системы координат.
Поэтому необходимо различать свойства самого объекта и его положение в пространстве.
Преобразование положения может сохранять метрическую структуру объекта, изменяя при этом его координатное расположение и некоторые характеристики ориентации.
Именно подобные операции могут использоваться при мультипликации и организации составных геометрических конструкций.
35. Подобие и пропорциональное изменение размеров
Теперь рассмотрим другую группу преобразований.
Предположим, что необходимо увеличить или уменьшить геометрический объект, сохраняя его форму.
Для этого можно использовать преобразование подобия.
При соответствующем преобразовании все линейные размеры изменяются в одной пропорции.
При этом углы сохраняются.
А соответствующие стороны остаются пропорциональными.
Следовательно, возникает фигура, подобная исходной.
Но необходимо учитывать, что подобие не означает равенства размеров.
Поэтому подобные фигуры могут существенно различаться по площади.
Или объёму.
Именно здесь возникает возможность систематического изменения масштаба геометрических конструкций.
Например, небольшой чертёж можно использовать как основу для создания значительно более крупной конструкции.
Но физическая реализация требует учёта дополнительных технологических факторов.
Например, погрешностей измерения.
И свойств материалов.
Поэтому математическое подобие и инженерное масштабирование необходимо рассматривать раздельно.
Подобие обеспечивает математическое сохранение формы, но не гарантирует автоматического сохранения всех физических характеристик масштабированного объекта.
36. Преобразования формы и изменение геометрических характеристик
Теперь рассмотрим более широкий класс операций.
Предположим, что необходимо преобразовать одну геометрическую фигуру в другую.
Например, прямоугольник — в параллелограмм.
Или определённый многоугольник — в другой многоугольник.
При этом могут сохраняться различные характеристики.
Например, площадь.
Или определённые пропорции.
Но сохранение одной величины не гарантирует сохранения остальных.
Например, две равновеликие фигуры могут иметь различные периметры.
А две фигуры одинакового периметра могут существенно различаться по площади.
Следовательно, необходимо устанавливать конкретный инвариант преобразования.
Кроме того, требуется различать непрерывное изменение формы и разрезание фигуры на части с последующим перемещением.
Подобные операции имеют различную математическую структуру.
И могут требовать разных конструктивных средств.
Именно поэтому общая система преобразований должна включать классификацию сохраняемых характеристик.
Геометрическое преобразование определяется не только получаемой формой, но и теми свойствами исходного объекта, которые должны сохраняться в процессе построения.
37. Политура круга как программа геометрических преобразований
Теперь рассмотрим одну из авторских конструктивных идей.
Для её обозначения предлагается использовать термин «политура круга».
Под ним можно понимать исследовательскую программу преобразования круга в различные многоугольные фигуры при установленном критерии соответствия.
Например, можно рассматривать построение правильного пятиугольника, площадь которого приближённо равна площади заданного круга.
Или соответствующего шестиугольника.
Или другого правильного многоугольника.
Однако здесь необходимо строго различать несколько задач.
Первая — построение правильного многоугольника заданного типа.
Вторая — обеспечение необходимого отношения его площади к площади исходного круга.
Третья — выполнение соответствующего построения выбранным набором инструментов.
Эти требования не всегда могут быть одновременно удовлетворены точно.
В частности, некоторые правильные многоугольники не допускают точного построения циркулем и немаркированной линейкой.
Следовательно, для отдельных случаев потребуется приближённый алгоритм.
Но его точность должна быть заранее установлена.
Политура круга представляет интерес как программа систематического исследования геометрических преобразований, а не как автоматическое объявление классической квадратуры круга разрешённой.
38. Круг, многоугольники и двустороннее приближение площади
Теперь рассмотрим один из наиболее важных способов приближения площади.
Пусть имеется круг определённого радиуса.
Внутри него можно построить правильный многоугольник.
При этом его площадь меньше площади исходного круга.
Также можно построить соответствующий многоугольник, описанный около окружности.
Его площадь будет больше площади круга.
Следовательно, возникают две оценки.
Нижняя.
И верхняя.
При последовательном увеличении количества сторон эти оценки могут сближаться.
Именно такой подход позволяет контролировать точность определения площади круга.
Но здесь необходимо учитывать способы построения самих многоугольников.
Для некоторых количеств сторон точное классическое построение возможно.
Для других — нет.
Однако при приближённой постановке можно использовать соответствующие алгоритмы уточнения.
Следовательно, возникает возможность получения всё более точных оценок.
Двустороннее ограничение площади представляет собой один из наиболее надёжных способов контроля геометрического приближения.
Особенно важно, что для оценки ошибки не обязательно предварительно знать абсолютно точное числовое значение исследуемой площади.
Достаточно иметь строго обоснованные границы.
39. Каскады хорд как операция последовательного уточнения
Теперь вернёмся к понятию каскадов хорд.
Предположим, что имеется определённая дуга окружности.
Её конечные точки соединяются хордой.
При этом получается простейшее прямолинейное приближение соответствующей кривой.
Затем можно выбрать промежуточную точку дуги.
И заменить первоначальную хорду двумя более короткими.
После этого процедуру можно продолжать.
В результате возникает последовательность ломаных линий.
При соответствующем правиле выбора точек такие линии могут всё точнее приближаться к исходной дуге.
Однако необходимо различать несколько видов ошибки.
Например, максимальное отклонение ломаной от окружности.
И погрешность соответствующей длины.
А также погрешность площади, ограниченной полученной ломаной.
Эти характеристики требуют различных оценок.
Следовательно, каскады хорд должны сопровождаться определённым математическим критерием сходимости.
И правилом прекращения уточнения.
Неограниченная возможность увеличения количества хорд должна сочетаться с конечным способом получения установленной точности.
Именно это условие превращает последовательное приближение в полноценную конструктивную операцию.
40. Преобразования рекурсивных объектов переменной ширины
Теперь необходимо объединить предыдущие направления.
Предположим, что имеется геометрическая конструкция, состоящая из последовательных суботрезков переменной ширины.
При этом соответствующие участки могут иметь разные размеры.
И различную внутреннюю структуру.
Теперь необходимо выполнить определённое преобразование.
Например, увеличить общую длину объекта.
Или уменьшить его ширину.
Или изменить положение отдельных суботрезков.
Здесь возникает важнейшая методологическая проблема.
Какие характеристики должны сохраняться?
Например, при равномерном масштабировании исходного объекта пропорционально изменяются все линейные размеры.
Но если изменяется только длина оси, а ширины остаются прежними, результирующая конструкция уже не обязательно подобна первоначальной.
И наоборот.
Если изменяются только поперечные размеры, геометрическая форма может преобразоваться существенно.
Ещё более сложная ситуация возникает при изменении самой оси.
Например, при замене прямолинейного участка ломаной.
В таком случае необходимо учитывать и новое положение суботрезков.
И изменение границ.
И возможные наложения.
Операции над рекурсивными объектами переменной ширины требуют одновременного контроля продольной структуры, поперечных размеров и геометрического положения отдельных частей.
Именно здесь могут проявиться наиболее интересные возможности предлагаемой системы.
41. Составные операции и геометрические алгоритмы
Теперь рассмотрим возможность объединения элементарных действий.
Предположим, что необходимо получить определённую геометрическую конструкцию.
Для этого можно сначала выполнить полисекцию исходного отрезка.
Затем мультиплицировать одну из полученных частей.
После этого использовать геометрическую арифметику для определения нового отношения длин.
И наконец, построить соответствующую подобную фигуру.
Каждый из этих этапов представляет самостоятельную геометрическую операцию.
Но их последовательное применение образует более сложный алгоритм.
При этом необходимо учитывать порядок действий.
Ведь изменение последовательности операций не всегда сохраняет результат.
Например, сначала изменить ширину геометрической полосы, а затем разделить её на равновеликие участки — не обязательно то же самое, что сначала выполнить исходную полисекцию, а потом изменить ширины частей.
Следовательно, необходимо исследовать условия совместимости операций.
И случаи, когда их порядок можно изменять.
Гармоническая геометрия должна изучать не только отдельные операции, но и правила их композиции, включая условия сохранения результата при изменении последовательности действий.
Именно это положение позволяет перейти от элементарных построений к общей конструктивной системе.
42. Конечность геометрической операции и потенциальная бесконечность уточнения
Теперь необходимо установить связь с предыдущей главой.
Предположим, что имеется определённый геометрический алгоритм.
Он может допускать последовательное уточнение результата.
Например, можно увеличивать количество вспомогательных построений.
Или уменьшать длину отдельных аппроксимирующих участков.
Или повышать точность пропорционального преобразования.
При этом соответствующая процедура может иметь потенциально неограниченное продолжение.
Но каждый предъявляемый результат должен достигаться после конечного количества действий.
Именно это разграничение имеет фундаментальное значение.
Нельзя отождествлять возможность неограниченного продолжения алгоритма с фактическим завершением бесконечного количества его этапов.
Но одновременно нельзя считать, что отсутствие последнего этапа делает любое конечное приближение математически бессодержательным.
Напротив, при правильно организованной процедуре каждый этап может обладать строго определённой точностью.
Именно поэтому необходимо исследовать критерий завершения.
Гармоническая геометрия должна использовать потенциальную бесконечность как возможность дальнейшего уточнения, но строить конкретные результаты посредством конечных последовательностей операций.
43. Точные, приближённые и технологические геометрические операции
Теперь необходимо провести ещё одно фундаментальное разграничение.
Предположим, что определённый алгоритм обеспечивает построение необходимого объекта.
Возможны различные уровни математической определённости.
Первый — абсолютно точное построение.
В этом случае результат должен строго соответствовать установленному математическому определению.
Второй — приближённое построение.
Здесь допускается положительная погрешность, ограниченная заранее установленной величиной.
Третий — технологическое воспроизведение.
Оно предполагает использование материальных инструментов и сопровождается погрешностями измерения и изготовления.
При этом математически точный алгоритм не гарантирует физически безошибочного результата.
И наоборот, приближённая математическая процедура может обеспечивать точность, значительно превосходящую реальные потребности конкретной технологии.
Следовательно, необходимо различать математический и технологический уровни точности.
Это обстоятельство особенно важно для конструкций большого масштаба.
Например, архитектурных сооружений.
Или геометрических объектов, воспроизводимых на местности.
Универсальная геометрическая операция должна сопровождаться указанием того, в каком именно смысле устанавливается точность её результата.
44. Пример объединения полисекции и мультипликации
Теперь рассмотрим конкретный пример.
Предположим, что имеется прямолинейный отрезок длиной двенадцать сантиметров.
Необходимо разделить его на пять равных частей.
Соответствующая операция представляет собой точную полисекцию отрезка.
В результате получаются пять участков длиной по 2,4 сантиметра.
Теперь предположим, что необходимо построить новый отрезок, состоящий из семи последовательных копий одной такой части.
Для этого можно использовать прямолинейную мультипликацию.
В результате получится отрезок длиной 16,8 сантиметра.
При этом обе операции обладают точной математической определённостью.
И не требуют использования бесконечных последовательностей.
Но физическое выполнение соответствующего построения сопровождается обычными технологическими погрешностями.
Следовательно, необходимо различать точность математического результата и точность реального чертежа.
Этот простейший пример показывает, каким образом две разные операции могут быть объединены в один конструктивный алгоритм.
Полисекция создаёт определённую геометрическую часть, а мультипликация позволяет использовать её для построения новой величины.
Именно подобные композиции представляют основу более сложной геометрической технологии.
45. Пример приближённой угловой полисекции
Теперь рассмотрим другой пример.
Предположим, что необходимо разделить произвольный угол на три равные части.
При этом используется только циркуль и немаркированная линейка.
Как известно, точная универсальная трисекция в таком наборе операций невозможна.
Но можно организовать последовательную процедуру приближения.
Например, сначала построить четверть исходного угла.
Затем добавить соответствующую меньшую двоичную долю.
После этого выполнить дальнейшее уточнение.
В предыдущей главе мы рассмотрели конкретную последовательность, в которой остаточная ошибка уменьшается в четыре раза после каждого дополнительного этапа.
Следовательно, для любого заранее установленного положительного допуска можно определить достаточное количество уточнений.
Это обстоятельство позволяет рассматривать приближённую угловую полисекцию как математически контролируемую операцию.
Но необходимо учитывать конструктивную стоимость.
Например, если требуется очень высокая точность, количество бисекций и вспомогательных построений возрастает.
Поэтому необходимо исследовать эффективность конкретной схемы.
Ценность приближённого алгоритма определяется не только его сходимостью, но и тем, насколько рационально достигается необходимая точность.
46. Пример преобразования круга в многоугольную конструкцию
Теперь рассмотрим более сложную задачу.
Предположим, что имеется круг определённого радиуса.
Необходимо построить правильный многоугольник, площадь которого с установленной точностью соответствует площади исходного круга.
Для этого сначала необходимо определить тип результирующего многоугольника.
Например, шестиугольник.
Затем установить необходимую площадь.
После этого определить соответствующий линейный размер.
И наконец, выполнить геометрическое построение.
В данном алгоритме могут участвовать различные операции.
Например, построение пропорциональных отрезков.
И геометрическое масштабирование.
А также приближённое определение необходимых коэффициентов.
При этом особое значение имеет контроль ошибки площади.
Ведь небольшое отклонение линейного размера может привести к определённому изменению площади результирующей фигуры.
Следовательно, требуется установить допустимый предел соответствующего отклонения.
Именно здесь предполагаемая политура круга приобретает конкретное конструктивное содержание.
Преобразование формы должно сопровождаться доказательством выполнения того геометрического условия, ради которого соответствующая операция осуществляется.
47. Масштабирование алгоритмов: от бумажного чертежа до геоглифов
Теперь рассмотрим вопрос практического масштаба.
Предположим, что определённая геометрическая конструкция успешно выполнена на листе бумаги.
Можно ли использовать тот же алгоритм для создания значительно более крупного объекта?
Математически соответствующее масштабирование может быть вполне определённым.
Но физическая реализация потребует дополнительных условий.
Например, при переходе от листа формата А4 к архитектурному сооружению необходимо учитывать особенности измерительных инструментов.
И свойства строительных материалов.
А также устойчивость конструкций.
И точность воспроизведения соответствующих направлений.
Особенно интересно сопоставление с древними геоглифами Наска.
Их существование показывает возможность создания крупных геометрических и изобразительных объектов на земной поверхности.
Однако конкретные исторические технологии их выполнения требуют самостоятельного археологического исследования.
Для гармонической геометрии здесь особенно важен общий принцип.
Геометрический алгоритм может обладать математической масштабной общностью, но его физическая реализация должна учитывать особенности выбранного масштаба и технологии.
Именно поэтому необходимо различать математическую и инженерную универсальность.
48. Принцип царского пути и конструктивная эффективность
Теперь необходимо обратиться к одной из центральных философских идей настоящей работы.
Речь идёт о царском пути в геометрии.
В первоначальном геометрическом смысле прямолинейный отрезок представляет кратчайшее соединение двух точек в обычном евклидовом пространстве.
Но этот принцип допускает более широкую методологическую интерпретацию.
Предположим, что определённая геометрическая задача имеет несколько различных конструктивных решений.
Одно из них требует большого количества вспомогательных построений.
Другое достигает того же результата значительно проще.
Третье может обеспечивать более высокую точность, но требует значительно больших технологических затрат.
Следовательно, необходимо установить рациональный критерий сравнения.
Например, количество операций.
Их математическую сложность.
Требуемую точность.
А также устойчивость к технологическим погрешностям.
Но здесь необходимо учитывать, что геометрически кратчайший путь не всегда соответствует наименьшей трудоёмкости реального построения.
Особенно если существуют препятствия, ограничения инструментов или особые требования к форме.
Поэтому царский путь следует понимать не как механическое требование минимальной длины.
Царский путь — это выбор наиболее рационального конструктивного способа достижения правильно определённой геометрической цели при установленных ограничениях.
Именно такое понимание объединяет математическую строгость и практическую эффективность.
49. Универсальность гармонической геометрии и границы её применимости
Теперь возникает фундаментальный вопрос.
Можно ли считать рассмотренные операции основой универсальной геометрической системы?
Для ответа необходимо прежде всего определить смысл универсальности.
Если под ней понимать способность выполнять абсолютно любое математически мыслимое построение, подобное утверждение было бы необоснованным.
Ведь существуют геометрические величины, не допускающие точного построения в определённых наборах операций.
Кроме того, имеются математические объекты, для которых не существует обычного эффективного способа вычисления соответствующих характеристик.
Следовательно, необходимо устанавливать конкретную область применимости.
Например, можно исследовать класс геометрических объектов, заданных посредством конечных конструктивных правил.
Или более широкий класс объектов, для которых существуют эффективные алгоритмы приближения.
При этом необходимо учитывать точность исходных данных.
И математические свойства соответствующих операций.
Следовательно, универсальность следует рассматривать как исследуемую характеристику системы.
А не как автоматически установленный факт.
Научная состоятельность гармонической геометрии должна определяться доказанными возможностями её конструктивного аппарата, а не широтой предварительно заявленных намерений.
50. Что в гармонической геометрии является известным, а что требует доказательства новизны
Теперь необходимо сделать важное историко-математическое уточнение.
Многие рассмотренные операции хорошо известны.
Например, деление отрезков.
Построение пропорциональных величин.
Геометрическое сложение длин.
Масштабирование подобных фигур.
И построение вспомогательных многоугольников.
Все эти методы обладают длительной историей.
Следовательно, нельзя считать их новыми только потому, что в настоящей работе они включаются в другую терминологическую систему.
Но возможна новизна организации.
Например, единая конструктивная схема может объединять несколько ранее разрозненных методов.
Или обеспечивать более рациональное выполнение определённого класса задач.
Возможно также расширение области применимости известных операций.
Например, на объекты переменной ширины и специальные рекурсивные конструкции.
Однако и подобные утверждения требуют доказательства.
Необходимо установить, какие возможности действительно отсутствовали в известных ранее системах.
Или были представлены менее эффективно.
Следовательно, важнейшей задачей дальнейшего исследования должен стать систематический сравнительный анализ.
Историческая известность отдельных операций не исключает новизны их композиции, но сама по себе новая терминология ещё не доказывает существования нового математического результата.
Именно такое разграничение позволит обеспечить научную убедительность предлагаемой системы.
51. Программа дальнейшего математического исследования
Теперь необходимо определить основные направления дальнейшей работы.
Прежде всего требуется формализовать исходные понятия.
Например, геометрические объекты различной размерности.
И линии переменной ширины.
А также соответствующие характеристики положения, формы и масштаба.
Затем необходимо определить допустимые операции.
Для каждой из них должны быть установлены исходные условия.
И математические свойства результата.
После этого требуется разработать конкретные алгоритмы.
Например, различные схемы полисекции.
Или геометрической арифметики.
А также процедуры последовательного уточнения.
Затем необходимо доказать свойства соответствующих алгоритмов.
Например, точность.
Сходимость.
И конечность достижения установленного допуска.
После этого можно переходить к сравнительному анализу эффективности.
Особое значение будет иметь исследование количества необходимых построений.
И устойчивости результата к погрешностям.
Наконец, необходимо установить область математической применимости каждого алгоритма.
Именно последовательность «определение — алгоритм — доказательство — оценка точности — сравнительный анализ» должна стать основой дальнейшего развития гармонической геометрии.
Подобная программа представляется значительно более содержательной, чем простое перечисление отдельных геометрических построений.
52. Заключение. От геометрических операций — к целостной конструктивной системе
Итак, мы завершили рассмотрение понятийных и методологических оснований предполагаемой гармонической геометрии.
В первой главе второй части были исследованы основные классы геометрических объектов и проблема их определённости.
Затем мы рассмотрели ширину геометрической линии.
И возможность её изменения.
После этого было исследовано отношение ширины к длине.
А также различные классы относительной ширины и специальные геометрические соглашения.
Далее мы обратились к проблеме масштабов.
От бумажных чертежей — до архитектурных сооружений и крупных геометрических конструкций на земной поверхности.
Затем была исследована точность.
Абсолютная.
Относительная.
Математическая.
И технологическая.
При этом был сформулирован принцип необходимой и достаточной точности.
После этого мы рассмотрели потенциальную бесконечность.
И возможность последовательных геометрических приближений.
Особое внимание уделялось конечности каждого конкретного построения.
И неограниченности математической возможности дальнейшего уточнения.
Теперь, в заключительной главе второй части, рассмотренные положения были объединены посредством общей системы конструктивных операций.
Прежде всего была исследована полисекция.
Как обобщённая операция деления геометрических объектов на установленное количество частей.
При этом было показано, что равенство частей должно определяться относительно конкретной геометрической характеристики.
Для прямолинейных отрезков это может быть длина.
Для плоских фигур — площадь.
Для пространственных тел — объём.
Однако соответствующие операции не всегда обладают одинаковой точной конструктивной разрешимостью.
Следовательно, необходимо различать точные и приближённые построения.
Особенно важно это обстоятельство для полисекции произвольных углов и криволинейных объектов.
После этого была рассмотрена мультипликация.
Как операция многократного воспроизведения геометрических величин и конструкций.
При этом было установлено различие между увеличением количества объектов и масштабированием одной геометрической фигуры.
Особенно существенно это различие для пространственных тел.
Ведь многократное соединение одинаковых объёмов не всегда эквивалентно построению одного подобного тела соответствующего объёма.
Затем мы обратились к геометрической арифметике.
И рассмотрели возможность организации основных арифметических операций посредством соответствующих геометрических построений.
При этом особое внимание уделялось пропорциональным величинам.
И построениям на основе вспомогательных лучей.
В частности, была рассмотрена возможность использования симметричных лучей из общей вершины как единой организационной схемы.
Однако было подчёркнуто, что сами пропорциональные построения имеют длительную историю.
Следовательно, их включение в гармоническую геометрию должно сопровождаться исследованием конкретных конструктивных преимуществ.
После этого мы рассмотрели основные преобразования геометрических объектов.
Перемещение.
Поворот.
Отражение.
Масштабирование.
И изменение формы.
При этом было показано, что каждый класс преобразований должен сопровождаться определением сохраняемых характеристик.
Особое значение приобрели преобразования объектов переменной ширины.
Ведь такие объекты обладают сложной внутренней структурой.
И могут включать суботрезки разных длин и ширин.
При этом соответствующая структура способна изменяться рекурсивно.
Но необходимо строго различать изменение ширины и изменение формы исходной оси.
Именно здесь проявляется один из наиболее интересных аспектов предлагаемой гармонической геометрии.
Ведь геометрический объект может рассматриваться не только как готовая фигура.
Но и как результат определённой конструктивной программы.
Следовательно, возникает возможность исследовать преобразования не только отдельных объектов, но и правил их образования.
Однако такая возможность должна сопровождаться строгим математическим анализом.
Необходимо учитывать изменение формы.
И размеров.
А также границ.
И возможных взаимных наложений.
Особое значение в настоящей главе было уделено составным алгоритмам.
Ведь отдельная геометрическая операция представляет только один элемент общей конструктивной системы.
Гораздо более интересна возможность их согласованного объединения.
Например, полисекция может создавать необходимые геометрические части.
Мультипликация — воспроизводить их.
Геометрическая арифметика — определять соответствующие отношения.
А преобразования формы — обеспечивать получение необходимого результирующего объекта.
Следовательно, возникает возможность организации сложных построений посредством сравнительно небольшого набора основных операций.
Но подобная система должна быть исследована с точки зрения математической строгости.
В частности, необходимо доказывать правильность получаемых результатов.
И устанавливать условия применимости соответствующих алгоритмов.
Особенно важно различать точное и приближённое построение.
Ведь невозможность точного решения определённой задачи посредством выбранного набора инструментов не исключает возможности получения сколь угодно точных приближений.
Но эти два результата не должны смешиваться.
Именно поэтому принцип необходимой и достаточной точности становится одним из важнейших элементов предполагаемой гармонической геометрии.
Он позволяет определять, какая именно точность требуется для решения конкретной задачи.
А последовательные приближения обеспечивают возможность дальнейшего уточнения.
Однако каждое конкретное построение должно оставаться конечным.
И сопровождаться определённым критерием завершения.
Именно здесь обнаруживается фундаментальное значение философии царского пути.
Ведь задача состоит не в бесконечном увеличении количества геометрических действий.
И не в механическом стремлении к максимально сложной конструкции.
Необходимо находить наиболее рациональный способ достижения определённой цели.
При этом конструктивная эффективность должна оцениваться по нескольким взаимосвязанным характеристикам.
Математической правильности.
Количеству операций.
Требуемой точности.
Устойчивости.
И общей технологической сложности.
Но необходимо учитывать, что оптимальность всегда определяется относительно конкретных условий задачи.
Следовательно, не существует оснований заранее объявлять одну геометрическую процедуру абсолютно наилучшей для всех возможных ситуаций.
Именно поэтому необходим сравнительный анализ.
В конечном счёте гармоническая геометрия должна стремиться не к безусловному провозглашению универсальности.
А к доказательному исследованию её реальных конструктивных возможностей.
Особенно важно определить, какие классы задач допускают точное решение.
Какие — только приближённое.
И какие требуют дополнительных инструментов или более сложного математического аппарата.
Но при этом нельзя забывать и об историческом содержании нашей исследовательской программы.
Многие элементарные операции были известны уже античным математикам.
Следовательно, возникает возможность реконструкции таких конструктивных технологий, которые могли быть разработаны значительно раньше появления современной математики.
Но соответствующие исторические гипотезы требуют специального обоснования.
Необходимо устанавливать, какие операции действительно были доступны в конкретную эпоху.
И какие математические представления могли использоваться для их организации.
Именно подобное исследование позволит соединить историю геометрии с анализом современных конструктивных возможностей.
И теперь можно сформулировать главный методологический результат всей второй части.
Гармоническая геометрия рассматривается как программа согласованной организации геометрических объектов, операций и преобразований, ориентированная на получение математически определённых результатов посредством конечных конструктивных процедур.
При этом её развитие должно сопровождаться строгим разграничением математической точности, приближения и технологической реализации.
Именно такое понимание позволяет перейти от отдельных геометрических задач к исследованию достаточно общих конструктивных принципов.
От полисекции — к мультипликации.
От мультипликации — к геометрической арифметике.
От арифметики — к преобразованию форм.
От преобразований — к составным алгоритмам.
От составных алгоритмов — к единой системе геометрического конструирования.
И наконец:
От множества отдельных геометрических методов — к поиску царского пути, обеспечивающего наиболее рациональное достижение правильно определённой геометрической цели.
Так завершается вторая часть второго тома «Ультраноочелленджа трёх тысячелетий».
Но одновременно начинается следующий этап исследования.
Ведь теперь необходимо перейти от понятийных оснований к подробному рассмотрению конкретных геометрических технологий.
Именно там должны быть представлены соответствующие алгоритмы.
И доказательства их правильности.
А также сравнительный анализ их точности, сложности и области применимости.
От методологии гармонической геометрии — к её конструктивной реализации.
+++++

 


ЗАКЛЮЧЕНИЕ КО ВТОРОМУ ТОМУ
1. От исторического исследования — к построению собственной геометрической системы
Завершён второй том «Ультраноочелленджа трёх тысячелетий».
В первом томе основное внимание было уделено историческому развитию геометрии, великим задачам античности, классическим методам построений и математическим ограничениям традиционного инструментария.
Мы проследили многовековую историю попыток решения задач трисекции угла, квадратуры круга и удвоения куба.
Рассмотрели геометрические методы античности, Средневековья, Возрождения и Нового времени.
Обратились к достижениям математиков XIX–XXI веков.
И установили принципиальное различие между точными классическими построениями, решениями с расширенным набором инструментов и приближёнными конструктивными процедурами.
Но историческое исследование представляло собой только первый этап нашей работы.
Ведь основная задача «Ультраноочелленджа трёх тысячелетий» заключается не в повторении истории геометрии.
Она состоит в исследовании возможности создания более широкой и внутренне согласованной системы геометрического конструирования.
Именно поэтому второй том был посвящён прежде всего понятийным и методологическим основаниям предполагаемой гармонической геометрии.
Нам необходимо было определить, какие объекты могут становиться предметом соответствующих построений.
Какие характеристики должны учитываться.
Какие операции допустимы.
И по каким критериям следует оценивать их результативность.
Таким образом, второй том стал переходом от исторической постановки проблемы к формированию собственного конструктивного языка.
Мы перешли от вопроса о том, как геометрические задачи решались прежде, к вопросу о том, как следует организовать геометрическое мышление для разработки новых конструктивных технологий.
2. Семь глав как единая последовательность исследования
Второй том включает семь глав, каждая из которых посвящена определённому аспекту геометрической определённости.
Первая глава рассматривает геометрические объекты: отрезки прямых, отрезки кривых, окружности, плоские фигуры и пространственные тела.
Во второй исследуется понятие ширины геометрической линии.
В третьей анализируется отношение ширины к длине, различные классы относительной ширины и специальные геометрические соглашения.
Четвёртая глава посвящена масштабам конструирования: от обычных бумажных форматов до архитектурных сооружений и крупных геометрических объектов на местности.
Пятая рассматривает абсолютную, относительную, математическую и технологическую точность.
Именно в ней получает систематическое изложение принцип необходимой и достаточной точности.
Шестая глава посвящена потенциальной бесконечности, последовательным приближениям и различию между конечностью каждого построения и неограниченностью возможного уточнения.
Наконец, седьмая глава объединяет предыдущие понятия в систему основных конструктивных операций: полисекции, мультипликации, геометрической арифметики и преобразований объектов.
Таким образом, последовательность глав не является случайной.
Каждая из них подготавливает следующую.
Сначала устанавливается, что именно мы строим.
Затем выясняется, какими характеристиками обладает соответствующий объект.
После этого исследуются масштабы и точность.
Далее — возможность последовательного уточнения.
И наконец, определяются основные операции, посредством которых могут осуществляться геометрические преобразования.
Так возникает понятийная последовательность: объект — характеристика — масштаб — точность — алгоритм — преобразование — результат.
Именно она образует методологический каркас второго тома.
3. Геометрическая определённость как исходное условие всякого построения
Одним из важнейших результатов второго тома является уточнение самого понятия геометрической определённости.
Любая конструктивная задача предполагает наличие некоторого объекта.
Но прежде чем преобразовывать объект, необходимо установить, что именно под ним понимается.
Например, отрезок прямой имеет определённые конечные точки.
И определённую длину.
Дуга окружности обладает другой структурой.
Плоская фигура характеризуется своей областью и границей.
А пространственное тело дополнительно предполагает объёмные отношения.
Следовательно, различные классы геометрических объектов не должны произвольно отождествляться.
Особенно важно это обстоятельство при переходе от одного типа построений к другому.
Например, если исходная конструкция представляет собой прямолинейный отрезок, изменение направления его последовательно присоединяемых частей может привести к образованию ломаной.
Но ломаная уже представляет собой иной геометрический объект.
Поэтому соответствующее преобразование должно быть явно определено.
Иначе возникает риск незаметной подмены предмета исследования.
Таким образом, геометрическая определённость имеет не только техническое, но и логическое значение.
Она обеспечивает сохранение смысла исходных понятий на протяжении доказательства.
Ни одна геометрическая операция не должна использоваться без ясного указания того, что именно преобразуется и какие характеристики исходного объекта сохраняются.
Этот принцип становится одним из фундаментальных оснований предполагаемой гармонической геометрии.
4. Геометрическая линия и проблема её ширины
Особое место во втором томе заняло исследование ширины геометрической линии.
Традиционная элементарная геометрия рассматривает линию как математический объект, не имеющий ширины.
Такое представление обладает фундаментальным значением.
Но вместе с тем многие конструктивные задачи связаны с объектами, которые имеют определённую продольную протяжённость и ненулевые поперечные размеры.
Например, с полосами.
Лентами.
Протяжёнными криволинейными областями.
Или сложными геометрическими образованиями, организованными относительно определённой оси.
Для подобных объектов ширина становится существенной характеристикой.
Однако здесь необходимо сохранять строгое разграничение.
Математическая линия и связанная с ней область конечной ширины не являются одним и тем же объектом.
Следовательно, введение понятия геометрической линии конечной ширины требует соответствующего определения.
При этом возможны различные способы организации поперечных размеров.
Например, относительно центральной оси.
Или относительно одной из граничных линий.
Или посредством специально заданного правила построения области.
Следовательно, ширина должна определяться не интуитивно, а конструктивно.
Расширение круга рассматриваемых объектов не отменяет традиционной математической линии. Оно вводит дополнительные классы геометрических образований, для которых ширина становится самостоятельной характеристикой.
Именно такое понимание позволяет сохранить математическую ясность.
5. От постоянной ширины — к произвольной и переменной
Следующий результат связан с отказом от неоправданного ограничения объектов постоянной ширины.
Ведь многие геометрические образования не обладают одинаковым поперечным размером на всём протяжении.
Например, можно рассматривать полосу, которая постепенно расширяется.
Или сужается.
Или состоит из нескольких участков различной ширины.
Более того, ширина способна изменяться по достаточно сложному правилу.
При этом соответствующий объект может сохранять одну прямолинейную ось.
Но может иметь и криволинейную продольную структуру.
Следовательно, возникает необходимость исследовать различные способы определения локальной ширины.
Особенно важно учитывать, что локальная характеристика может существенно отличаться от усреднённой.
Например, геометрическая полоса способна иметь небольшую среднюю ширину, но отдельные весьма широкие участки.
И наоборот.
Поэтому одна числовая характеристика не всегда обеспечивает достаточно полное описание объекта.
В определённых случаях необходимо указывать распределение ширины вдоль оси.
Или диапазон её изменения.
Или соответствующее конструктивное правило.
Переменная ширина превращает геометрическую линию конечной толщины из простого полосового объекта в самостоятельный класс сложных геометрических конструкций.
Именно этот результат представляет особый интерес для дальнейшего исследования.
6. Относительная ширина и зависимость геометрических характеристик от масштаба
В третьей главе было рассмотрено отношение ширины геометрического объекта к его продольной протяжённости.
Соответствующая характеристика позволяет сопоставлять объекты различных абсолютных размеров.
Например, короткая широкая полоса и длинная узкая полоса могут существенно различаться по относительной ширине.
Однако здесь возникает важнейшая методологическая проблема.
Ведь отношение ширины к длине зависит от того, какие именно величины используются.
Например, можно рассматривать ширину всего объекта относительно его общей длины.
Но можно исследовать ширину отдельного суботрезка относительно длины именно этого участка.
Следовательно, один и тот же объект может обладать различными относительными характеристиками на разных уровнях разбиения.
При этом увеличение относительной ширины не всегда означает увеличение абсолютной.
Оно может быть вызвано уменьшением рассматриваемой длины.
Именно поэтому необходимо различать локальные и глобальные показатели.
А также устанавливать правила их использования.
Предлагаемые классы относительной ширины могут служить удобным исследовательским инструментом.
Но их границы должны рассматриваться как специальные определения, а не как автоматически существующие универсальные законы.
Относительная ширина представляет собой характеристику определённого отношения размеров, а не самостоятельную геометрическую сущность, независимую от способа измерения.
Это положение имеет фундаментальное значение для рекурсивных конструкций.
7. Рекурсивная организация геометрических объектов
Одним из наиболее перспективных направлений второго тома стало исследование рекурсивных геометрических структур.
Предположим, что исходный объект состоит из нескольких суботрезков.
Каждый из них имеет собственную длину.
И собственную ширину.
Затем любой суботрезок может быть разделён на новые части.
При этом соответствующие части также могут получать независимые характеристики.
Следовательно, возникает возможность построения многоуровневой системы.
Её внутренняя структура может последовательно уточняться.
Однако особенно важно, что рекурсия не обязательно ограничивается изменением ширины.
В одном случае исходная ось сохраняется.
И изменяется только распределение поперечных размеров.
В другом случае преобразуется сама осевая структура.
Например, прямолинейный участок заменяется последовательностью других прямолинейных участков.
Или криволинейным образованием.
Тогда возникают дополнительные изменения формы и положения границ.
Следовательно, необходимо различать несколько типов геометрической рекурсии.
Рекурсию разбиения.
Рекурсию изменения размеров.
Рекурсию изменения ширины.
И рекурсию преобразования формы.
Возможно также их совместное применение.
Рекурсивная геометрия позволяет исследовать сложные объекты посредством сравнительно простых повторяемых правил, но требует строгого определения результата каждого отдельного этапа.
Именно на этом основании могут развиваться дальнейшие алгоритмы гармонической геометрии.
8. Сложность формы и простота конструктивного правила
Теперь возникает одно из наиболее интересных философско-математических следствий.
Сложный геометрический объект не обязательно должен иметь сложное исходное описание.
Например, определённая рекурсивная кривая может задаваться весьма простым правилом.
Но после многократного повторения соответствующего преобразования приобретать сложную форму.
Именно это обстоятельство хорошо известно по различным фрактальным конструкциям.
Однако необходимо учитывать и обратную сторону.
Простота исходного правила не гарантирует простоты физического воспроизведения его результата.
Например, количество геометрических элементов может быстро возрастать.
И требовать значительного объёма измерений и построений.
Следовательно, математическая компактность алгоритма и технологическая трудоёмкость его реализации представляют разные характеристики.
Это обстоятельство имеет фундаментальное значение для концепции царского пути.
Ведь необходимо стремиться не просто к краткости исходного описания.
Но к рациональной организации всей процедуры.
Особенно важно определить, сколько этапов действительно необходимо для достижения установленной точности.
Именно здесь соединяются рекурсивность и принцип необходимой и достаточной точности.
Сложность результирующей формы должна оцениваться отдельно от сложности её конструктивного алгоритма.
Такое разграничение позволяет более содержательно сравнивать геометрические технологии.
9. Геометрия от бумажного листа до архитектурного сооружения
Четвёртая глава была посвящена масштабам геометрического конструирования.
На первый взгляд эта проблема может показаться преимущественно технической.
Ведь математические фигуры можно изображать на листах различных форматов.
Или воспроизводить в значительно большем масштабе.
Однако подробный анализ показывает, что соответствующая проблема имеет более глубокое содержание.
В математической модели масштабирование может сохранять подобие геометрических объектов.
Но при физическом выполнении возникают дополнительные условия.
Например, ширина чертёжной линии.
И точность измерений.
А также разрешающая способность инструмента.
При переходе к строительным конструкциям необходимо учитывать прочность материалов.
И особенности геодезических измерений.
Следовательно, нельзя автоматически отождествлять математическую масштабную общность и технологическую универсальность.
Но вместе с тем математические принципы способны сохранять своё значение в чрезвычайно широком диапазоне размеров.
Именно поэтому необходимо различать конструктивную схему и способы её материальной реализации.
Один и тот же математический алгоритм может служить основанием для объектов различных масштабов, но его технологическое выполнение должно учитывать особенности каждого конкретного масштаба.
Именно это положение открывает возможность дальнейшего исследования крупных геометрических конструкций.
10. Геоглифы Наска и историческая проблема масштабной геометрии
Особое значение в четвёртой главе приобрело сопоставление обычных чертёжных построений с крупными геометрическими объектами на земной поверхности.
Одним из наиболее выразительных примеров стали геоглифы Наска.
Их существование показывает, что создание сложных изображений большого масштаба было доступно древним обществам задолго до появления современной измерительной техники.
Однако необходимо учитывать, что сами геоглифы имеют различную форму и происхождение.
А конкретные способы их построения требуют археологического исследования.
Следовательно, нельзя произвольно приписывать их создателям те или иные геометрические технологии без соответствующих свидетельств.
Но подобные объекты позволяют поставить важный конструктивный вопрос.
Каким образом ограниченное количество элементарных измерительных операций может обеспечивать воспроизведение сложного изображения на большой территории?
Для гармонической геометрии этот вопрос представляет особый интерес.
Ведь он непосредственно связан с полисекцией.
Мультипликацией.
Масштабированием.
И геометрическими преобразованиями.
Таким образом, изучение крупных исторических объектов способно предоставить материал для сравнительного анализа различных конструктивных технологий.
Исторические геометрические сооружения представляют интерес не как автоматические доказательства определённой математической теории, а как реальные примеры масштабного конструктивного мышления.
11. Математическая точность и технологическая погрешность
В пятой главе мы рассмотрели одну из важнейших проблем всего исследования.
Речь идёт о точности.
Прежде всего было установлено различие между математически точным построением и его материальным воспроизведением.
Математическая геометрия допускает исследование идеальных объектов.
Например, точек без размеров.
И прямых без ширины.
Но при физическом выполнении чертежа используются материальные инструменты.
И возникают соответствующие погрешности.
Следовательно, идеально точный математический алгоритм не гарантирует отсутствия технологических ошибок.
Но из существования материальных погрешностей также не следует математическая неточность самого алгоритма.
Именно поэтому необходимо различать математическую и технологическую точность.
Кроме того, были рассмотрены абсолютные и относительные характеристики погрешности.
Ведь одно и то же абсолютное отклонение может иметь существенно различное значение для объектов разных размеров.
Например, миллиметровая ошибка на небольшом чертеже может оказаться весьма значительной.
Но для крупного сооружения такая же абсолютная величина может иметь совершенно другое относительное значение.
Однако подобные сравнения должны учитывать реальные условия задачи.
Точность не является абстрактным достоинством построения. Она представляет собой определённое соответствие результата заранее установленному геометрическому требованию.
Это положение стало одним из центральных выводов второго тома.
12. Принцип необходимой и достаточной точности
Теперь мы подходим к одному из важнейших методологических результатов.
Предположим, что необходимо выполнить определённое геометрическое построение.
При этом заранее установлен допустимый предел погрешности.
Если соответствующая точность достигнута, дальнейшее уточнение может оказаться ненужным.
Но если допустимый предел ещё не обеспечен, построение требует продолжения или изменения алгоритма.
Следовательно, возникает возможность рационального управления конструктивной процедурой.
Именно в этом заключается принцип необходимой и достаточной точности.
Однако необходимо подчеркнуть, что он не означает произвольного отказа от математической строгости.
Напротив, его использование предполагает ясное определение цели.
Если задача требует абсолютно точного результата, положительная погрешность недопустима.
Если же допускается приближение, необходимо установить соответствующий предел.
Следовательно, точность должна определяться содержанием конкретной задачи.
А не произвольным желанием исследователя.
Принцип необходимой и достаточной точности требует достигать именно ту степень соответствия, которая необходима для правильно сформулированной задачи, не подменяя её более слабым условием.
Именно это разграничение является фундаментальным.
Ведь оно позволяет соединять математическую корректность с рациональной конструктивной эффективностью.
13. Погрешность, устойчивость и условия прекращения построения
Однако достижение необходимой точности требует не только соответствующего алгоритма.
Необходимо также учитывать возможные источники ошибок.
Например, исходные данные могут быть определены приближённо.
Промежуточные построения могут сопровождаться технологическими погрешностями.
А определённые геометрические конфигурации способны усиливать малые отклонения.
Например, при пересечении двух почти параллельных прямых небольшая ошибка направления может существенно изменить положение предполагаемой точки пересечения.
Следовательно, необходимо исследовать устойчивость геометрической процедуры.
Кроме того, важно различать уменьшение математической ошибки приближения и накопление физических ошибок построения.
Ведь увеличение количества операций не всегда повышает реальную точность.
Иногда дополнительные действия приводят к росту технологической неопределённости.
Поэтому алгоритм должен сопровождаться не только правилом уточнения.
Но и условиями остановки.
При этом желательно иметь доказанную оценку ошибки.
Именно тогда можно установить, что необходимая точность действительно достигнута.
Конструктивная эффективность предполагает согласование математической сходимости, устойчивости алгоритма и технологических возможностей его выполнения.
14. Потенциальная бесконечность и конечность геометрического построения
Шестая глава была посвящена одному из наиболее фундаментальных вопросов математики.
Каким образом конечная последовательность геометрических операций может сочетаться с возможностью неограниченного уточнения?
Ведь каждый конкретный результат должен быть получен после определённого количества действий.
Но математический алгоритм может допускать дальнейшее продолжение.
Например, отрезок можно последовательно делить пополам.
И после каждого конечного числа делений получить новый положительный отрезок.
При этом возможность дальнейшего деления сохраняется.
Следовательно, потенциальная бесконечность проявляется как отсутствие заранее установленного последнего этапа.
Но её нельзя отождествлять с фактическим выполнением бесконечного количества операций.
Именно это различие стало одним из центральных результатов шестой главы.
Однако оно требует дополнительного уточнения.
Из потенциальной продолжимости алгоритма само по себе не следует, что его результаты сходятся к необходимой величине.
Для этого требуется отдельное математическое обоснование.
Кроме того, желательно иметь возможность заранее определить количество шагов, достаточное для установленной точности.
Неограниченность потенциального продолжения не отменяет конечности каждого конструктивного результата. Но она также не гарантирует его правильности без доказательства соответствующих свойств алгоритма.
Именно такое понимание позволяет использовать последовательные приближения научно корректно.
15. Архимедов принцип и конечная достижимость результата
Особое значение для нашей исследовательской программы имеет архимедова традиция геометрического мышления.
В знаменитом трактате «Псаммит», известном также как «Исчисление песчинок», Архимед рассматривает возможность числовой оценки чрезвычайно больших количеств.
При этом важнейшая особенность его подхода заключается в использовании конечного математического рассуждения.
Ему не требуется непосредственно пересчитать все предполагаемые песчинки.
Вместо этого разрабатывается соответствующая система чисел и оценок.
Особенно интересно сопоставить такой подход с архимедовым свойством геометрических величин.
Если имеется некоторая положительная длина и другая конечная длина, то достаточно многократное повторение первой может превысить вторую.
Следовательно, для определённых конструктивных задач можно доказать конечную достижимость необходимого масштаба.
Именно это обстоятельство представляет важнейшее значение для мультипликации.
Например, последовательное продолжение отрезка в неизменном направлении позволяет получать всё большие конечные длины.
Однако необходимо различать существование достаточного конечного количества операций и наличие одной универсальной конечной границы для всех возможных задач.
Первое не обязательно предполагает второе.
Архимедов подход показывает ценность конечного доказательства, позволяющего охватить чрезвычайно большие величины без необходимости непосредственно выполнять соответствующее количество отдельных действий.
В этом заключается один из исторических истоков философии царского пути.
16. Неограниченное приближение и точное построение
Теперь вернёмся к проблеме классических геометрических задач.
Ведь именно они образуют исторический центр «Ультраноочелленджа трёх тысячелетий».
Как известно, произвольная трисекция угла, квадратура круга и удвоение куба в общем случае не допускают точного решения посредством одного циркуля и немаркированной линейки.
Но необходимо строго учитывать математическую постановку.
Эти результаты относятся к определённому набору допустимых операций.
При расширении инструментария возможности изменяются.
Кроме того, даже при сохранении классических инструментов можно рассматривать приближённые построения.
Например, определённая последовательность бисекций способна обеспечивать всё более точное приближение к трети произвольного угла.
Однако соответствующее приближение не становится от этого точной классической трисекцией.
Следовательно, необходимо различать математическую невозможность точного построения и возможность получения результата с любой заранее установленной положительной точностью.
Это различие не ослабляет конструктивную программу.
Напротив, оно делает её научно определённой.
Разрешимость геометрической задачи должна оцениваться относительно явно установленного набора операций и конкретного требования к точности.
Именно этот принцип необходимо сохранять на протяжении всей дальнейшей работы.
17. Полисекция как общая операция геометрического деления
В седьмой главе мы приступили к систематизации основных конструктивных операций.
Первое место заняла полисекция.
Под этим термином предлагается понимать деление геометрического объекта на заданное количество частей при определённом критерии равенства.
Например, отрезок можно разделить на части одинаковой длины.
Плоскую фигуру — на области одинаковой площади.
Пространственное тело — на части одинакового объёма.
Но подобные операции существенно различаются.
Например, равенство площадей ещё не означает геометрической тождественности фигур.
А равенство объёмов не означает совпадения их формы.
Следовательно, полисекция представляет собой не одну элементарную операцию, а целое семейство конструктивных задач.
Особенно важно различать точную и приближённую полисекцию.
Для прямолинейных отрезков точное деление на любое заданное натуральное число равных частей доступно средствами классической геометрии.
Но для произвольных углов соответствующая задача в общем случае имеет другие ограничения.
Следовательно, предполагаемая универсальность полисекции должна сопровождаться определением области точной и приближённой построимости.
Полисекция становится математически содержательным понятием только тогда, когда ясно определено, какая именно характеристика делимого объекта должна сохранять равенство между полученными частями.
18. От полисекции к многомасштабной структуре
Однако значение полисекции не ограничивается получением равных частей.
Она может использоваться как исходная операция построения сложных геометрических структур.
Например, отрезок можно разделить на несколько участков.
Затем каждому участку назначить собственные геометрические параметры.
После этого отдельные суботрезки допускают дальнейшее деление.
Следовательно, возникает система последовательных разбиений.
При этом соответствующая структура может иметь различную внутреннюю организацию.
Например, одинаковые длины могут сочетаться с различными ширинами.
Или, наоборот, одинаковые ширины — с различными длинами.
Возможно также изменение формы отдельных частей.
Но необходимо учитывать, что увеличение количества суботрезков не обязательно означает изменение внешней формы всего объекта.
Если разделение носит исключительно описательный характер, геометрическая область может оставаться неизменной.
Однако если новые части получают изменённые размеры или положения, результат преобразуется.
Следовательно, необходимо различать полисекцию как внутреннее разбиение и полисекцию как этап последующего геометрического преобразования.
Именно сочетание деления, параметризации и преобразования способно превратить простую операцию полисекции в инструмент построения сложных многомасштабных объектов.
19. Каскады хорд и геометрическое приближение кривых
Следующее направление связано с каскадами хорд.
Предположим, что необходимо исследовать определённую дугу окружности.
Её можно приблизить прямолинейной хордой.
Затем построить две более короткие хорды.
После этого — четыре.
Или использовать другое правило последовательного уточнения.
В результате возникает система ломаных линий, приближающих исходную кривую.
Однако математическая корректность подобного подхода требует доказательства.
Например, необходимо установить, уменьшается ли максимальное отклонение от исходной дуги.
И как изменяется соответствующая погрешность длины.
А также площадь области между кривой и её приближением.
Следовательно, каскады хорд должны рассматриваться как алгоритмическая конструкция, сопровождаемая установленными критериями точности.
При этом необходимо избегать распространённой ошибки.
Равное деление прямолинейной хорды не означает равного деления соответствующей дуги.
Ведь точки деления хорды не обязаны лежать на исходной окружности.
Каскады хорд представляют интерес как универсально организуемый метод аппроксимации определённых классов кривых, но каждый конкретный алгоритм требует самостоятельного доказательства сходимости и точности.
20. Мультипликация и переход между масштабами
Другим фундаментальным понятием стала мультипликация.
Под ней предлагается понимать различные операции многократного воспроизведения геометрических величин и конструкций.
Однако необходимо различать несколько её видов.
Например, последовательное откладывание равных отрезков вдоль одного луча.
Или воспроизведение нескольких одинаковых фигур.
Или создание одной подобной фигуры увеличенного масштаба.
Эти операции могут приводить к существенно различным результатам.
Например, соединение четырёх одинаковых квадратов в определённом расположении способно образовать больший квадрат.
Но произвольное размещение тех же четырёх квадратов не гарантирует сохранения необходимой формы.
Следовательно, мультипликация должна сопровождаться определённым правилом пространственной организации.
Особенно важно это обстоятельство для рекурсивных структур.
Ведь повторение одного и того же правила не обязательно приводит к геометрически тождественным объектам.
Если изменяются параметры, результат также может изменяться.
Мультипликация объединяет идею многократного воспроизведения с необходимостью строгого контроля формы, масштаба и положения результирующей конструкции.
Именно в таком понимании она становится самостоятельным элементом предполагаемой гармонической геометрии.
21. От линейных размеров — к площадям и объёмам
Теперь необходимо подчеркнуть ещё одно важнейшее положение.
Мультипликация линейного размера не означает такого же изменения площади или объёма.
Например, увеличение стороны квадрата в два раза приводит к четырёхкратному увеличению площади.
А аналогичное увеличение всех линейных размеров куба приводит к восьмикратному увеличению объёма.
Следовательно, необходимо различать операции, действующие на геометрические характеристики разной размерности.
Особенно важно это обстоятельство для классической задачи удвоения куба.
Ведь она предполагает не создание двух отдельных кубов исходного размера.
А построение одного нового куба удвоенного объёма.
Соответственно, необходимо определить длину его ребра.
Именно здесь возникают известные ограничения классической построимости.
Но при приближённой постановке можно рассматривать последовательные алгоритмы уточнения.
При этом погрешность должна оцениваться по объёму, если именно объём составляет основное условие задачи.
Мультипликация геометрических величин требует различать линейный масштаб, площадь, объём и количество отдельных объектов.
Это разграничение имеет фундаментальное значение для всей дальнейшей конструктивной программы.
22. Геометрическая арифметика и единый язык пропорций
Третьим центральным направлением стала геометрическая арифметика.
Её основная идея заключается в представлении арифметических отношений посредством геометрических построений.
Например, сложение положительных длин можно выполнить последовательным соединением соответствующих отрезков.
Вычитание — выделением разности.
А умножение и деление определённых величин — посредством пропорциональных построений.
При этом особое значение имеют свойства подобных треугольников.
И классические задачи построения пропорциональных отрезков.
Но необходимо помнить, что соответствующие методы известны со времён античности.
Следовательно, научная задача предполагаемой гармонической геометрии заключается не в их простом переименовании.
Гораздо более содержательной представляется возможность рациональной организации различных операций в единой схеме.
Например, посредством вспомогательных лучей из общей вершины.
Или других конструкций, позволяющих выполнять несколько последовательных действий.
Но преимущества подобных схем необходимо устанавливать сравнительным исследованием.
Геометрическая арифметика должна рассматриваться как система математически корректных преобразований величин, а её конструктивная эффективность — как самостоятельный предмет доказательства и сравнения.
23. Размерность величины и корректность геометрических операций
Однако геометрическая арифметика требует особой дисциплины.
Ведь необходимо различать числовые значения и собственно геометрические величины.
Например, длина и площадь обладают различной размерностью.
Поэтому нельзя произвольно складывать их как однородные геометрические величины.
А при геометрическом представлении умножения длин необходимо учитывать смысл результирующей операции.
В частности, можно рассматривать произведение как площадь.
Или, после выбора единичной длины, использовать пропорциональное построение, результат которого представлен новым отрезком.
Но соответствующее соглашение должно быть явно установлено.
Аналогичное требование относится к пространственным величинам.
Например, при преобразовании объёма в длину ребра необходимо определить соответствующую геометрическую зависимость.
Следовательно, геометрическая арифметика должна строиться не на свободном обращении с названиями операций.
А на строгом определении исходных величин, допустимых действий и результата.
Согласованность арифметических операций с геометрической размерностью представляет одно из обязательных условий математической строгости гармонической геометрии.
24. Политура круга и программа преобразования фигур
Отдельного внимания заслуживает авторская идея политуры круга.
Она предполагает систематическое исследование преобразований круга в различные геометрические фигуры при заранее установленном критерии соответствия.
Например, можно рассматривать построение правильного многоугольника, площадь которого приближённо соответствует площади заданного круга.
При этом необходимо различать форму результирующего объекта.
Его площадь.
И способ выполнения соответствующего построения.
Например, построение правильного пятиугольника является одной задачей.
А обеспечение определённого отношения его площади к площади исходного круга — другой.
Следовательно, необходимо рассматривать соответствующие условия совместно.
В некоторых случаях возможно точное выполнение необходимых построений.
В других потребуется приближённый алгоритм.
Но необходимо устанавливать его точность.
И сравнивать конструктивную эффективность.
Именно здесь могут применяться геометрическая арифметика, масштабирование и последовательное уточнение.
Политура круга представляет интерес как организованная программа преобразования геометрических форм с контролем установленных характеристик, а не как автоматическое объявление классической квадратуры круга разрешённой.
25. Преобразования объектов и сохраняемые геометрические свойства
Одним из важнейших результатов седьмой главы стала необходимость исследовать геометрические инварианты.
Например, перенос фигуры в евклидовой плоскости сохраняет расстояния между её точками.
Поворот также сохраняет метрическую структуру.
А отражение изменяет ориентацию, сохраняя расстояния.
При масштабировании подобной фигуры сохраняются углы и пропорции линейных размеров.
Но абсолютные длины изменяются.
В других преобразованиях может сохраняться площадь.
Или объём.
Однако при этом форма способна существенно изменяться.
Следовательно, необходимо заранее определять, какая характеристика должна сохраняться.
Особенно важно это обстоятельство для сложных рекурсивных объектов.
Ведь преобразование осевой структуры способно изменять границы и площадь.
А изменение ширины не обязательно затрагивает продольную длину.
Таким образом, необходимо исследовать не только результат преобразования, но и его математические инварианты.
Геометрическая операция считается определённой лишь тогда, когда установлено, какие свойства объекта она сохраняет, какие изменяет и по каким правилам.
Именно такое требование позволяет объединять различные действия в согласованную конструктивную систему.
26. Закон тождества и сохранение предмета геометрического доказательства
Теперь необходимо обратиться к логическим основаниям геометрического рассуждения.
При исследовании любой конструкции важно сохранять определённость исходного объекта.
Например, если рассматривается одна прямая, её последовательное продолжение не должно незаметно заменяться ломаной линией.
Иначе изменяется сам предмет доказательства.
Аналогичным образом нельзя автоматически переносить свойства прямолинейного отрезка на произвольную кривую.
Или свойства двумерной фигуры на пространственное тело.
Подобные переходы требуют специальных обоснований.
Следовательно, логический закон тождества приобретает в геометрии непосредственное методологическое значение.
Но при этом необходимо учитывать, что математические преобразования могут совершенно законно изменять исходный объект.
Например, превращать отрезок в ломаную.
Или окружность — в многоугольное приближение.
Ошибка возникает не из самого факта преобразования.
А из отсутствия ясного разграничения между первоначальным объектом и его результатом.
Недопустима не смена геометрической формы как таковая, а её незаявленная подмена в ходе рассуждения, при которой свойства нового объекта приписываются исходному.
Именно этот принцип следует использовать при анализе любых геометрических доказательств.
27. Проблема параллельности и границы конструктивной интерпретации
Одним из направлений будущего исследования должна стать критическая проверка оснований теории параллельных.
Ведь классическая геометрия использует понятие неограниченного продолжения прямых.
А при исследовании параллельности необходимо устанавливать отсутствие их пересечения при соответствующих продолжениях.
Именно здесь возникает философско-математическая проблема соотношения конечной конструктивной процедуры и глобального свойства геометрического объекта.
Однако необходимо различать несколько обстоятельств.
Первое — возможность фактически продолжить отрезок на определённую конечную длину.
Второе — математическое определение соответствующей прямой.
Третье — доказательство её пересечения или непересечения с другой прямой.
В частности, для двух непараллельных прямых в одной евклидовой плоскости можно установить конечную достижимость точки пересечения.
Но подобный результат использует определённые свойства именно евклидовой геометрии.
Поэтому его нельзя автоматически переносить на другие аксиоматические модели.
Именно здесь возникает возможность отдельного исследования оснований геометрии Евклида и Лобачевского.
Но такая критика должна сопровождаться строгим разграничением исходных понятий и доказательств.
Проблема потенциальной бесконечности в геометрии параллельных представляет самостоятельный предмет дальнейшего исследования, но её наличие само по себе ещё не устанавливает внутренней противоречивости соответствующих аксиоматических систем.
Это разграничение необходимо сохранить для научной убедительности будущей книги.
28. Что означает универсальность гармонической геометрии?
Теперь мы подходим к центральному вопросу всего второго тома.
В каком смысле предполагаемая гармоническая геометрия может называться универсальной?
Прежде всего необходимо отказаться от неопределённого понимания универсальности как способности выполнять абсолютно любые математически мыслимые построения.
Подобное утверждение требовало бы чрезвычайно сильного доказательства.
И вступало бы в противоречие с известными ограничениями некоторых классов построимости, если не уточнить допустимые операции.
Поэтому научно содержательнее рассматривать универсальность применительно к определённой системе задач.
Например, к конструктивно заданным прямолинейным и криволинейным объектам.
К фигурам конечной и переменной ширины.
К определённым рекурсивным структурам.
И к задачам, допускающим точное или контролируемое приближённое решение.
При этом необходимо устанавливать общность используемых операций.
Например, может оказаться, что один и тот же алгоритмический принцип позволяет организовать полисекцию, мультипликацию и пропорциональные преобразования различных объектов.
Но подобная общность должна подтверждаться конкретными доказательствами.
Универсальность гармонической геометрии должна пониматься как исследуемая широта применимости единой конструктивной системы, а не как заранее доказанная неограниченность её возможностей.
Именно такое понимание открывает путь к содержательному математическому развитию.
29. Историческая преемственность и проблема математической новизны
Одним из принципиальных результатов второго тома стало понимание необходимости строгого исторического сравнения.
Ведь многие рассматриваемые операции имеют глубокие исторические основания.
Например, пропорциональные построения.
Деление отрезков.
Построение подобных фигур.
И методы приближения криволинейных объектов.
Все они существовали задолго до современной математики.
Поэтому нельзя обосновывать новизну предлагаемой системы простым введением новых названий.
Но историческая известность отдельных методов не исключает возможности их новой организации.
Например, определённая схема может объединять несколько операций, которые ранее рассматривались преимущественно раздельно.
Или использовать известные построения для исследования новых классов объектов.
Например, рекурсивных структур произвольной относительной ширины.
Но и подобные утверждения требуют сравнительного доказательства.
Следовательно, будущая программа должна включать анализ исторических источников.
И исследование конструктивной сложности.
А также выявление действительных отличий предлагаемых алгоритмов от уже известных методов.
Математическая новизна должна устанавливаться не терминологически, а посредством новых результатов, доказанных обобщений или подтверждённых конструктивных преимуществ.
Именно такое отношение к истории позволяет сохранять преемственность и научную строгость.
30. Гармоническая геометрия как язык согласованных операций
Теперь возникает возможность сформулировать одно из важнейших итоговых положений.
Предполагаемая гармоническая геометрия должна рассматриваться не просто как собрание отдельных построений.
Гораздо более интересной представляется возможность организации целостного языка конструктивных операций.
В таком языке каждая операция имеет определённые исходные данные.
И установленный математический результат.
Например, полисекция позволяет получать определённые части исходного объекта.
Мультипликация — воспроизводить геометрические величины и конструкции.
Геометрическая арифметика — устанавливать необходимые пропорциональные отношения.
А преобразования формы — получать объекты с заданными характеристиками.
При этом составные алгоритмы способны объединять несколько операций.
Но для подобного объединения необходимо установить условия их совместимости.
Именно поэтому особое значение приобретает порядок выполнения действий.
Ведь изменение последовательности операций может приводить к другому результату.
Следовательно, необходимо исследовать не только отдельные геометрические преобразования.
Но и правила их композиции.
Гармоническая геометрия должна стремиться к созданию согласованного конструктивного языка, в котором сложные построения выражаются через ясно определённые и математически проверяемые операции.
Именно этот принцип объединяет все семь глав второго тома.
31. От отдельных построений — к общим алгоритмам
Теперь необходимо сделать следующий шаг.
Предположим, что определённая геометрическая задача допускает несколько конструктивных решений.
Каждое из них может использовать разные вспомогательные построения.
Например, один алгоритм использует последовательные бисекции.
Другой — пропорциональные преобразования.
Третий — специальные геометрические кривые.
Следовательно, возникает необходимость сравнения.
Но прежде чем сравнивать, необходимо установить математическую корректность каждого метода.
Для этого требуется определить исходные условия.
Затем последовательность операций.
После этого доказать свойства результата.
И наконец, оценить конструктивную сложность.
Если алгоритм приближённый, необходимо установить правило контроля погрешности.
И критерий завершения.
Именно такая последовательность представляет основу научного исследования геометрической технологии.
Конструктивная программа становится математически убедительной не тогда, когда объявляется возможность решения, а тогда, когда представлен воспроизводимый алгоритм и доказано соответствие его результата установленным требованиям.
В этом заключается важнейший переход от понятийного аппарата к полноценной математической теории.
32. Царский путь как принцип геометрической рациональности
Теперь необходимо обратиться к философскому центру всего исследования.
Речь идёт о царском пути.
В геометрии прямолинейный отрезок представляет кратчайшее соединение двух точек в обычном евклидовом пространстве.
Но в настоящей работе соответствующее понятие приобретает более широкое методологическое значение.
Царский путь предполагает поиск наиболее рационального способа достижения правильно определённой цели.
При этом необходимо учитывать не только количество операций.
Но и их математическую сложность.
Точность.
Устойчивость.
Требуемый инструментарий.
И общую технологическую трудоёмкость.
Ведь кратчайшая по числу шагов конструкция не обязательно оказывается наиболее точной.
А математически изящный алгоритм может быть неудобен для физического выполнения.
Следовательно, оптимальность должна устанавливаться относительно конкретных условий задачи.
Особенно важно учитывать принцип необходимой и достаточной точности.
Если установленное требование уже выполнено, дальнейшее усложнение может оказаться неоправданным.
Но если точность недостаточна, необходимо продолжить уточнение или изменить метод.
Царский путь — это не стремление к минимальному количеству действий любой ценой, а поиск наилучшего соотношения правильности, точности, простоты и эффективности при заданных условиях.
Именно такое понимание позволяет соединить философскую идею с реальными геометрическими алгоритмами.
33. От искусственного усложнения — к рациональной конструктивной процедуре
Здесь необходимо сформулировать ещё одно важное следствие.
Иногда определённая геометрическая задача допускает простое конечное решение.
Но исследователь может выбрать значительно более сложную последовательность действий.
Например, вместо непосредственного деления отрезка на необходимое количество равных частей можно организовать неоправданно длинную процедуру последовательных приближений.
При этом математический результат не обязательно станет лучше.
Напротив, физические ошибки могут накапливаться.
Следовательно, необходимо различать действительную сложность задачи и сложность произвольно выбранного метода.
Это положение особенно важно для философии царского пути.
Ведь сама возможность бесконечного уточнения не означает необходимости его использования.
Если точный конечный алгоритм существует и доступен, он может оказаться предпочтительнее приближённого.
Но если точное построение невозможно при установленном наборе инструментов, контролируемое приближение становится самостоятельным рациональным решением другой, явно сформулированной задачи.
Таким образом, необходима иерархия конструктивных предпочтений.
Прежде всего следует устанавливать точную математическую постановку.
Затем исследовать существование точного решения.
После этого, если это необходимо, рассматривать приближённые алгоритмы.
И наконец, выбирать наиболее эффективный способ достижения установленной цели.
Не следует превращать конечную задачу в бесконечный процесс без математической или технологической необходимости.
Этот принцип представляет одно из наиболее выразительных воплощений философии царского пути.
34. Что уже установлено и что ещё предстоит доказать
Теперь необходимо подвести строго научный итог.
Во втором томе сформулированы основные понятия предполагаемой гармонической геометрии.
Предложена классификация объектов.
Рассмотрены их геометрические характеристики.
Установлена необходимость разграничения различных видов точности.
И представлены основные семейства конструктивных операций.
Но необходимо различать понятийную разработку и доказанное построение полноценной математической теории.
Само по себе введение определений ещё не обеспечивает универсальной разрешимости соответствующих задач.
А описание общей конструктивной программы не заменяет доказательства конкретных алгоритмов.
Следовательно, следующий этап должен быть посвящён именно математической реализации предложенных принципов.
Необходимо устанавливать, какие результаты уже следуют из классических теорем.
Какие требуют специальных доказательств.
И какие представляют действительную математическую новизну.
Особенно важно исследовать сложность операций.
И точность приближённых алгоритмов.
А также условия их практического выполнения.
Таким образом, главный результат второго тома заключается в формировании исследовательского основания, на котором может быть построена дальнейшая доказательная конструктивная программа.
Именно в этом состоит его самостоятельное значение.
35. Программа следующего этапа исследования
Теперь возникает вопрос о дальнейшем развитии «Ультраноочелленджа трёх тысячелетий».
Следующий этап должен перейти от преимущественно понятийного анализа к конкретным геометрическим алгоритмам.
Прежде всего необходимо исследовать различные виды полисекции.
В частности, точное деление отрезков.
И приближённое деление произвольных углов.
А также специальные методы работы с дугами и криволинейными объектами.
Затем следует рассмотреть мультипликацию.
И различные способы построения кратных геометрических величин.
Особое значение будет иметь мультипликация площадей и объёмов.
После этого необходимо подробно исследовать геометрическую арифметику.
Включая построение пропорциональных величин.
И использование вспомогательных лучей.
Далее следует обратиться к преобразованиям формы.
И специальным алгоритмам политуры круга.
Особое место должны занять рекурсивные объекты переменной ширины.
Ведь именно они способны предоставить материал для исследования новых конструктивных возможностей.
Но каждое направление должно сопровождаться строгими определениями и доказательствами.
Именно так понятийная система второго тома сможет превратиться в математически проверяемую конструктивную технологию.
36. Заключительное размышление: геометрия между возможностью и построением
На протяжении тысячелетий геометрия развивалась между двумя интеллектуальными полюсами.
Первый — математическое представление о совершенных объектах.
Второй — практическая необходимость создавать конечные построения.
В первом случае исследователь обращается к идеальной прямой.
К окружности.
К математически точной фигуре.
И к строгому доказательству.
Во втором — использует инструменты.
Откладывает отрезки.
Проводит линии.
Измеряет углы.
И создаёт реальные объекты.
Однако между этими полюсами не обязательно существует непреодолимое противоречие.
Напротив, именно их взаимодействие составляет одну из важнейших особенностей геометрического мышления.
Математическая определённость позволяет устанавливать необходимые отношения.
А конструктивная процедура обеспечивает получение соответствующего результата.
Но для этого требуется ясное разграничение.
Между математическим объектом и его изображением.
Между точной операцией и приближением.
Между потенциально неограниченным процессом и конечным построением.
Между определением задачи и способом её решения.
И наконец, между действительной необходимостью и неоправданным усложнением.
Именно такие разграничения составили основное содержание второго тома.
Теперь можно сформулировать его главный философско-геометрический вывод.
Неограниченность математических возможностей должна исследоваться посредством определённых понятий и конечных доказательств, а конструктивная эффективность — посредством рационально организованных операций.
Именно в этом заключается один из важнейших смыслов предполагаемой гармонической геометрии.
37. Последнее слово второго тома. От многообразия геометрии — к царскому пути
Итак, завершён второй том.
Мы начали его с исследования простейших геометрических объектов.
Отрезков.
Кривых.
Окружностей.
Фигур.
И пространственных тел.
Затем обратились к ширине.
И обнаружили, что даже такая, казалось бы, элементарная характеристика открывает возможность исследования чрезвычайно сложных геометрических структур.
После этого мы рассмотрели относительные размеры.
И различные способы их сопоставления.
Затем перешли к масштабам.
От небольшого бумажного чертежа — до крупных архитектурных и геометрических конструкций.
После этого исследовали точность.
И сформулировали принцип необходимой и достаточной точности.
Затем обратились к потенциальной бесконечности.
И установили фундаментальное различие между возможностью неограниченного уточнения и конечностью конкретного построения.
Наконец, мы рассмотрели основные конструктивные операции.
Полисекцию.
Мультипликацию.
Геометрическую арифметику.
И преобразования объектов.
Таким образом, отдельные понятия начали объединяться в единую систему.
Однако настоящий смысл этой системы заключается не в количестве её терминов.
И не в сложности соответствующих построений.
Её значение должно определяться способностью делать геометрические задачи яснее.
А решения — точнее.
Процедуры — проще.
И математические рассуждения — строже.
Ведь подлинная эффективность геометрии проявляется не тогда, когда исследователь использует максимально сложный инструментарий.
А тогда, когда он находит именно тот способ построения, который необходим для достижения цели.
И никакого лишнего.
При этом простота не должна приобретаться ценой математической некорректности.
А точность не должна становиться самоцелью, оторванной от требований задачи.
Именно поэтому принцип царского пути необходимо соединять с принципом необходимой и достаточной точности.
Вместе они образуют своеобразное методологическое единство.
Первый отвечает на вопрос о рациональном способе действия.
Второй — о достаточности получаемого результата.
Но оба предполагают предварительное определение цели.
Следовательно, геометрическое исследование начинается не с множества линий на чертеже.
И даже не с выбора инструмента.
Оно начинается с правильной постановки вопроса.
Что именно необходимо построить?
Какими характеристиками должен обладать результат?
Какая точность требуется?
Какие операции допустимы?
И можно ли достигнуть установленной цели посредством более простого алгоритма?
Именно подобные вопросы должны сопровождать дальнейшее развитие гармонической геометрии.
Ведь за внешней сложностью многих геометрических задач иногда скрываются сравнительно простые конструктивные отношения.
Но обнаружить их можно только посредством строгого анализа.
Именно поэтому предполагаемая гармоническая геометрия рассматривается не как отказ от исторического математического наследия.
А как программа его дальнейшего исследования, систематизации и возможного конструктивного развития.
Она должна опираться на известные результаты.
Учитывать установленные ограничения.
И предлагать новые методы там, где их действительные преимущества могут быть доказаны.
И в этом отношении второй том выполняет свою главную задачу.
Он не завершает построение гармонической геометрии.
Но создаёт понятийные основания для её дальнейшей разработки.
Отныне необходимо переходить от определений к алгоритмам.
От алгоритмов — к доказательствам.
От доказательств — к сравнительному исследованию.
От отдельных результатов — к общей конструктивной системе.
И от общей системы — к её применению в решении конкретных геометрических задач.
Так завершается второй том «Ультраноочелленджа трёх тысячелетий».
Но само исследование продолжается.
Впереди — разработка конкретных конструктивных технологий.
И проверка их математических возможностей.
Впереди — новые сопоставления с геометрическим наследием античности.
И новые вопросы о границах точного и приближённого построения.
Впереди — исследование полисекции, мультипликации, геометрической арифметики и преобразований объектов в их практическом конструктивном содержании.
И наконец, впереди — поиск того, что составляет главную интеллектуальную цель всей работы.
Не наиболее сложного пути к геометрическому результату.
Не наиболее длинной последовательности построений.
И не бесконечного уточнения ради самого уточнения.
А царского пути — наиболее рационального, математически обоснованного и конструктивно достаточного способа достижения правильно определённой геометрической цели.
Именно в этом направлении открывается следующая страница нашего исследования.
От понятийных оснований гармонической геометрии — к её конструктивным технологиям.
От возможности построения — к доказательству его осуществимости.
От многообразия методов — к поиску царского пути в геометрии.