Ультраноочеллендж трёх тысячелетий. В 8 тт. т. 3

УЛЬТРАНООЧЕЛЛЕНДЖ ТРЁХ ТЫСЯЧЕЛЕТИЙ. В 8-ми томах. Том 3

О разрешимости «неразрешимых» геометрических задач

   ЧАСТЬ III. ПОЛИСЕКЦИЯ ОТРЕЗКОВ И УНИВЕРСАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ АРИФМЕТИКА

 
АННОТАЦИЯ

От полисекции простейшего отрезка — к универсальным технологиям геометрического преобразования длин, площадей и объёмов
Третий том «Ультраноочелленджа трёх тысячелетий» открывает принципиально новый этап исследования — переход от исторического и понятийно-методологического анализа геометрических задач к непосредственной разработке, систематизации и демонстрации конкретных конструктивных технологий их решения.
Если первый том был посвящён трёхтысячелетней истории великих геометрических проблем, а второй — разработке понятийных и методологических оснований гармонической геометрии, то третий том обращается непосредственно к геометрическому конструированию как системе последовательных, воспроизводимых и математически определённых действий.
В центре исследования находится сравнительно простой, но исключительно продуктивный геометрический объект — прямолинейный отрезок.
Каким образом разделить произвольный отрезок на любое заданное количество равных частей?
Можно ли на основе одной геометрической конструкции организовать целую систему арифметических операций над длинами?
Как посредством элементарных построений воспроизводить необходимые числовые отношения, выполнять масштабирование и последовательно повышать точность получаемых результатов?
И наконец, каким образом эти технологии могут использоваться при решении знаменитых задач квадратуры круга, удвоения куба и многочисленных обобщённых геометрических проблем?
Ответам на эти вопросы посвящён настоящий том.
Исходную конструктивную основу составляет технология полисекции отрезков посредством системы подобных треугольников с общей вершиной.
Исследуются принципы организации такой системы, использование вспомогательных лучей, установление необходимых пропорций и последовательное воспроизведение заданных линейных отношений.
Особое внимание уделяется возможности организации разнообразных геометрических действий в рамках единой конструктивной схемы.
На этой основе последовательно рассматриваются бисекция, трисекция, пентасекция, гексасекция и деление произвольного прямолинейного отрезка на любое заранее установленное натуральное число равных частей.
Полисекция выступает здесь не только как самостоятельная геометрическая операция, но и как фундаментальная технология получения новых геометрических величин и организации более сложных построений.
Самостоятельная глава посвящена историческому сопоставлению конструктивных методов Евклида, ан-Найризи и других математиков с исследуемой универсальной технологией полисекции.
Предметом сравнительного анализа становятся геометрические принципы построений, последовательность необходимых операций, воспроизводимость результатов, возможности масштабирования и конструктивная эффективность.
Следующий этап исследования — создание согласованной системы универсальной геометрической арифметики.
Рассматриваются технологии геометрического сложения и вычитания отрезков, получения заданных сумм и разностей, построения кратных величин и установления необходимых линейных соотношений.
Затем исследуются геометрическое умножение и деление, пропорциональное масштабирование, построение заданных отношений и воспроизведение числовых коэффициентов посредством систем подобных треугольников.
Особое значение приобретает возможность объединения этих действий в последовательные многоступенчатые алгоритмы.
В результате полисекция и геометрическая арифметика рассматриваются как взаимосвязанные элементы единой технологической системы.
Отдельное направление посвящено последовательной полисекции и геометрическому воспроизведению числовых величин с необходимой и достаточной точностью.
Исследуется возможность получения заданных числовых отношений посредством конечных последовательностей геометрических операций, допускающих дальнейшее уточнение результатов.
Здесь получает непосредственное конструктивное применение один из центральных принципов гармонической геометрии, разработанных во втором томе, — принцип необходимой и достаточной точности.
Особое внимание уделяется согласованию математической точности построения, количества выполняемых операций и технологических условий его физического воспроизведения.
Кульминационное направление третьего тома — применение универсальной геометрической арифметики к великим задачам античности.
Прежде всего рассматривается квадратура круга — построение квадрата, площадь которого воспроизводит площадь заданного круга с предварительно установленной точностью.
Исследуется технология получения необходимой длины стороны квадрата посредством последовательных геометрических построений, пропорциональных преобразований и контролируемого уточнения соответствующих числовых величин.
Получаемые конструкции рассматриваются в единстве их математических оснований, геометрической наглядности и практической воспроизводимости.
Дальнейшее обобщение этой программы представлено политурой круга — исследованием геометрических технологий преобразования площади круга в площади многоугольников заданных классов.
Наряду с квадратурой рассматриваются пентатура, гексатура, гептатура, нонатура, декатура и другие обобщённые задачи.
Особое внимание уделяется построению правильных многоугольников, воспроизводящих площадь исходного круга с необходимой точностью, а также определению соответствующих масштабных коэффициентов.
Таким образом, классическая задача квадратуры включается в более обширное семейство геометрических преобразований площадей.
Завершающая исследовательская глава посвящена удвоению куба и произвольной мультипликации объёмов.
Здесь рассматривается переход от арифметики линейных величин к построению геометрических тел, объёмы которых находятся в заданных числовых отношениях.
Исследуются способы получения необходимых масштабных коэффициентов, геометрического воспроизведения соответствующих длин рёбер и последовательного уточнения объёмных характеристик.
Задача удвоения куба выступает частным случаем более общей конструктивной проблемы — воспроизведения заданного объёма посредством геометрического масштабирования исходного тела.
Принципиальной особенностью третьего тома является его максимально наглядный, конструктивно-иллюстративный характер.
Каждая основная технология должна быть представлена не только словесным описанием, но и подробными геометрическими чертежами, последовательными схемами построений и изображениями промежуточных результатов.
Особое место займут серии иллюстраций, демонстрирующие переход от исходного геометрического объекта к искомому результату.
Для полисекции — последовательное получение равных суботрезков.
Для геометрической арифметики — построение соответствующих пропорциональных величин.
Для квадратуры и политуры — переход от исходного круга к равновеликим многоугольникам.
Для мультипликации объёмов — последовательное изменение линейных размеров и воспроизведение заданных объёмных отношений.
Такая организация материала должна превратить третий том одновременно в научное исследование и подробный иллюстрированный атлас универсальных геометрических технологий.
Значительное внимание уделяется математическому обоснованию каждого построения, определению исходных условий, последовательности операций, свойств результата и критериев достигнутой точности.
Существенное место занимает также сравнительная оценка конструктивной эффективности различных методов.
Именно здесь получает дальнейшее развитие идея Царского пути в геометрии — поиска наиболее рациональной технологии достижения правильно поставленной геометрической цели при необходимых и достаточных затратах интеллектуальных, конструктивных и технологических ресурсов.
Третий том предназначен для математиков, историков науки, исследователей оснований геометрии, инженеров, архитекторов, преподавателей, студентов и всех читателей, интересующихся конкретными технологиями геометрического мышления и конструирования.
Его основная задача — продемонстрировать, каким образом сравнительно простые геометрические отношения и операции могут объединяться в общую систему построений, охватывающую широкий спектр линейных, плоскостных и пространственных задач.
Вместе с тем третий том закладывает непосредственную конструктивную основу последующих исследований универсальной полисекции углов, криволинейных объектов, сложных геометрических фигур и многомерных преобразований.
От геометрической определённости — к геометрическому действию.
От простейшей полисекции — к универсальной арифметике геометрических величин.
От отдельных построений — к согласованной системе преобразования длин, площадей и объёмов.
От принципа необходимой и достаточной точности — к конкретным технологиям её достижения.
Таково основное содержание третьего тома «Ультраноочелленджа трёх тысячелетий».
От геометрии ограничений — к геометрии конструктивных возможностей.

*********
© В.К.
Петросян (Вадимир) © Lag.ru [Large Apeironic Gateway, Большой Апейронический
Портал (Шлюз), Суперпортал в Бесконечность].
При копировании данного материала и размещении его на другом сайте, ссылки
на соответствующие локации порталов Lag.ru и Proza.ru обязательны
Работа написана на основе концепции и разработок В.К. Петросяна при полноценном соавторстве (активном творческом и техническом участии) ChatGPT (OpenAI), GPT-6.0 Sol (Солярис)
*****

Оглавление 3 тома

ЧАСТЬ III. ПОЛИСЕКЦИЯ ОТРЕЗКОВ И УНИВЕРСАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ АРИФМЕТИКА

Предисловие

Глава 1. Базовая технология полисекции отрезка прямой: система подобных треугольников с общей вершиной.
Глава 2. Универсальная полисекция отрезков: бисекция, трисекция, пентасекция, гексасекция и деление на произвольное число равных частей.
Глава 3. Евклид, ан-Найризи и другие исторические методы полисекции. Сравнительный анализ конструктивных технологий.
Глава 4. Геометрическое сложение и вычитание отрезков. Получение необходимых линейных соотношений.
Глава 5. Геометрическое умножение и деление. Масштабирование отрезков и построение заданных пропорций.
Глава 6. Последовательная полисекция и геометрическое воспроизведение числовых величин с заданной точностью.
Глава 7. Квадратура круга: универсальная технология приближённого построения равновеликого квадрата.
Глава 8. Политура круга: квадратура, пентатура, гексатура, гептатура, нонатура, декатура и другие обобщённые задачи.
Глава 9. Удвоение куба и произвольная мультипликация объёмов. Геометрические технологии построения необходимых масштабных коэффициентов.

 Заключение
++++
 

ПРЕДИСЛОВИЕ

От понятийных оснований гармонической геометрии — к универсальным конструктивным технологиям
1. Третий этап большого геометрического исследования
Перед читателем третий том «Ультраноочелленджа трёх тысячелетий» — исследования, посвящённого одной из наиболее продолжительных и содержательных интеллектуальных проблем в истории человечества: проблеме разрешимости геометрических задач.
Почти три тысячелетия великие задачи античности привлекали внимание математиков, философов, архитекторов, инженеров и исследователей самых различных направлений.
Трисекция произвольного угла, квадратура круга и удвоение куба стали своеобразными символами геометрических возможностей и ограничений.
Однако настоящее исследование с самого начала предполагало значительно более широкую постановку вопроса.
Нас интересует не только история отдельных геометрических проблем.
И не только возможность получения того или иного результата посредством определённого набора инструментов.
Главная задача заключается в исследовании перспектив создания общей системы рациональных геометрических технологий, позволяющей последовательно выполнять широкий класс конструктивных операций с необходимой и достаточной точностью.
Первый том подготовил исторические основания этой программы.
Второй разработал её понятийный и методологический аппарат.
Настало время перейти к третьему этапу.
От исследования геометрических возможностей — к непосредственному конструированию.
2. Что было достигнуто в первых двух томах
В первом томе мы проследили историческое развитие великих геометрических задач, начиная с античности и заканчивая современными математическими исследованиями.
Были рассмотрены классические геометрические построения, специальные кривые, механические технологии, исторические способы преобразования фигур и доказательства ограничений определённых систем геометрических операций.
Особое внимание уделялось достижениям Евклида, Архимеда, представителей средневековой арабоязычной математической традиции, математиков Возрождения, Нового и Новейшего времени.
В результате была выявлена важная исследовательская проблема.
Многочисленные известные методы геометрического конструирования образуют богатейшее интеллектуальное наследие.
Но насколько возможно объединить их базовые принципы в согласованную систему, способную решать не только отдельные специализированные задачи, но и целые семейства геометрических проблем?
Второй том был посвящён подготовке понятийных оснований для исследования этой возможности.
В нём последовательно рассматривались геометрическая определённость объектов, ширина линий, отношение ширины к длине, масштабы конструирования, абсолютная и относительная точность, последовательные приближения, потенциальная бесконечность и основные конструктивные операции.
Особенно важное место заняла разработка принципа необходимой и достаточной точности.
Были также систематизированы понятия полисекции, мультипликации, геометрической арифметики и преобразования объектов.
Таким образом, к началу третьего тома сформировалась необходимая методологическая основа.
Теперь следует показать, каким образом эти понятия превращаются в конкретные действия.
3. Почему исследование начинается с прямолинейного отрезка
Среди множества геометрических объектов прямолинейный отрезок занимает особое место.
Он определяется двумя конечными точками и характеризуется определённой длиной.
Его можно переносить, продолжать, делить на части, воспроизводить, складывать с другими отрезками и использовать для построения разнообразных геометрических фигур.
В евклидовой геометрии прямолинейный отрезок представляет кратчайшее соединение двух заданных точек.
Но для нашего исследования особенно важно другое его свойство.
Прямолинейный отрезок является исключительно удобным исходным объектом для организации геометрических операций.
На его основе можно исследовать как простейшие отношения равенства, так и сложные системы пропорций.
Можно воспроизводить целочисленные и дробные отношения.
Можно выполнять последовательное масштабирование.
Можно строить величины, необходимые для последующих преобразований площадей и объёмов.
Поэтому выбор прямолинейного отрезка в качестве отправной точки третьего тома не случаен.
Он позволяет перейти от элементарного геометрического объекта к исследованию универсальных принципов конструктивной арифметики.
4. Полисекция как исходная технологическая операция
Одним из центральных понятий предлагаемой гармонической геометрии является полисекция.
В наиболее общем смысле под ней понимается разделение определённого геометрического объекта на заданное количество частей в соответствии с заранее установленным критерием равенства.
Для прямолинейного отрезка таким критерием выступает равенство длин.
Если необходимо разделить отрезок на две равные части, выполняется бисекция.
Если на три — трисекция.
Если на пять — пентасекция.
Если на шесть — гексасекция.
Однако этим перечень возможных операций не ограничивается.
Можно поставить задачу деления отрезка на семь, девять, десять, сто, тысячу или любое другое заранее установленное натуральное число равных частей.
Именно здесь возникает задача универсальной полисекции.
Нас интересует не отдельный специальный способ деления на некоторое определённое число частей.
Нас интересует общая конструктивная технология, которая может использоваться при различных значениях этого числа.
Главное преимущество универсального подхода должно проявляться в единстве исходных принципов и воспроизводимости последовательности построений.
5. Система подобных треугольников с общей вершиной
В качестве базовой технологии полисекции в третьем томе исследуется система подобных треугольников, организованных относительно общей вершины.
Принцип геометрического подобия известен со времён античности.
Он позволяет устанавливать строго определённые отношения между соответствующими сторонами геометрических фигур.
Но особый интерес представляет организация целого семейства подобных треугольников в рамках одной конструктивной системы.
Общая вершина, вспомогательные лучи, пропорциональные отрезки и соответствующие соединительные прямые позволяют рассматривать не единичный треугольник, а согласованную совокупность взаимосвязанных геометрических объектов.
В такой системе становится возможным исследовать передачу пропорций от одного отрезка к другому.
А также воспроизведение заданных линейных отношений посредством повторяющихся элементарных операций.
В дальнейшем мы рассмотрим различные способы организации подобных построений, включая использование симметрично расположенных вспомогательных лучей.
Для каждой конструкции будут определяться исходные элементы, порядок построения и свойства получаемых отрезков.
Особое внимание будет уделено тому, каким образом исходная конструктивная схема сохраняет свою применимость при изменении количества частей и числовых коэффициентов.
Именно эта технология становится отправной точкой всего третьего тома.
6. От единичной конструкции — к универсальному алгоритму
Одна из важнейших задач исследования заключается в переходе от отдельного геометрического построения к общему алгоритму.
Предположим, что нам удалось разделить некоторый отрезок на пять равных частей.
Сам по себе этот результат представляет решение определённой геометрической задачи.
Но возникает следующий вопрос.
Можно ли использовать те же исходные конструктивные принципы для разделения другого отрезка на семь частей?
На двенадцать?
На сто двадцать?
Или на любое другое заранее заданное число?
Если для этого достаточно соответствующим образом изменить количество повторяющихся элементов одной геометрической системы, возникает возможность её универсальной организации.
При таком подходе отдельные построения рассматриваются как представители общего семейства.
Это позволяет исследовать их внутреннюю структуру, число необходимых действий, возможности повторного использования и особенности технологического воспроизведения.
Универсальность здесь должна определяться не внешним сходством чертежей, а математически установленной общностью конструктивного принципа.
7. Геометрия как последовательность воспроизводимых действий
Третий том существенно отличается от предыдущих не только предметом исследования, но и способом изложения.
В центре внимания оказывается геометрическая операция.
Читатель должен иметь возможность проследить, каким образом из заданных исходных элементов возникает искомый результат.
Для этого необходимо последовательно устанавливать:
1. Что именно задано в исходной геометрической задаче.
2. Какой результат необходимо получить.
3. Какие вспомогательные объекты требуется построить.
4. В какой последовательности выполняются геометрические действия.
5. Какие отношения сохраняются при каждом преобразовании.
6. Каким образом определяется правильность результата.
7. Какие возможности дальнейшего применения предоставляет построенная конструкция.
Такое изложение объединяет математическую определённость с технологической наглядностью.
Геометрический чертёж должен выступать не украшением текста, а непосредственным средством исследования.
Именно поэтому третий том предполагает исключительно широкое использование иллюстраций.
Каждая существенная конструктивная операция должна быть представлена таким образом, чтобы её можно было самостоятельно воспроизвести.
8. От полисекции — к геометрической арифметике
Разделение отрезка на равные части представляет собой важную операцию.
Но его конструктивное значение значительно возрастает при объединении с другими геометрическими действиями.
Предположим, что мы умеем воспроизводить заданную длину.
Умеем делить её на равные части.
Умеем последовательно откладывать полученные части.
Умеем устанавливать определённые пропорции посредством подобных треугольников.
Тогда возникает возможность организации целой системы геометрической арифметики.
Простейшие арифметические действия получают непосредственную пространственную интерпретацию.
Сложение становится построением результирующего отрезка из заданных составляющих.
Вычитание — получением разности длин.
Умножение — построением величины в установленном числовом отношении к исходной.
Деление — воспроизведением соответствующей части или пропорциональной величины.
При этом исходные геометрические операции могут объединяться в многоступенчатые конструкции.
Так возникает возможность перейти от элементарного деления отрезков к более общей системе преобразования линейных величин.
9. Геометрическое сложение и вычитание
Сложение и вычитание представляют собой фундаментальные операции арифметики.
В геометрическом конструировании им соответствуют определённые действия над длинами.
Если заданы два отрезка, можно поставить задачу получения третьего, длина которого равна сумме исходных длин.
Аналогичным образом можно построить отрезок, соответствующий их положительной разности.
Однако при исследовании универсальной технологии важно не ограничиваться отдельными простейшими примерами.
Необходимо рассмотреть возможность организации последовательного сложения нескольких геометрических величин.
Получения необходимых комбинаций длин.
Переноса результатов на другие лучи и прямые.
Использования построенных сумм и разностей в дальнейших пропорциональных конструкциях.
Таким образом, сложение и вычитание рассматриваются как составные элементы геометрической арифметики, взаимодействующие с полисекцией и масштабированием.
10. Геометрическое умножение, деление и масштабирование
Следующий уровень конструктивных возможностей связан с умножением и делением геометрических величин.
Здесь особое значение приобретают подобные треугольники и установление пропорций.
Например, можно поставить задачу построения отрезка, длина которого в несколько раз превышает длину исходного.
Или составляет определённую долю этой длины.
Но возможны и более сложные отношения, задаваемые дробными и многозначными числовыми коэффициентами.
Для организации таких построений необходимо установить исходную единицу длины и соответствующие геометрические соглашения.
После этого становится возможным исследовать геометрическое воспроизведение заданных числовых отношений.
Именно здесь универсальная полисекция соединяется с универсальным масштабированием.
А система подобных треугольников приобретает значение одного из основных инструментов геометрической арифметики.
11. Числовые величины и их геометрическое воспроизведение
Особую проблему представляет переход от числового описания величины к её непосредственному геометрическому воспроизведению.
В современной математике число и геометрическая длина могут связываться посредством установленных измерительных соглашений.
Но в настоящем исследовании важен прежде всего конструктивный аспект этой связи.
Каким образом получить отрезок, соответствующий определённой числовой величине?
Как воспроизвести заданную десятичную дробь?
Как организовать последовательное уточнение построения?
Каким образом использовать уже полученные отрезки для построения других величин?
Этим вопросам посвящена специальная глава.
Её задача заключается в исследовании технологий, позволяющих переходить от числового задания результата к конкретным геометрическим действиям.
Особенно важна возможность организации построений, точность которых определяется заранее установленным условием.
12. Необходимая и достаточная точность как конструктивный принцип
Во втором томе принцип необходимой и достаточной точности получил подробное понятийное и методологическое обоснование.
Теперь предстоит исследовать его непосредственное использование в конкретных геометрических технологиях.
Предположим, что требуется воспроизвести определённую длину с заданным допустимым отклонением.
В таком случае важно установить не только способ построения.
Необходимо также определить, когда результат становится достаточным.
Если требуемая точность достигнута, соответствующая конструктивная процедура может завершаться.
Если точность недостаточна, применяется предусмотренное алгоритмом уточнение.
Таким образом, количество выполняемых действий связывается с конкретными требованиями задачи.
Это имеет особое значение при геометрическом воспроизведении числовых величин, которые невозможно представить конечной десятичной записью.
Последовательные построения позволяют исследовать получение приближений с заранее установленной погрешностью.
Каждое отдельное построение при этом остаётся конечным.
Возможность дальнейшего уточнения представляет самостоятельную характеристику соответствующего алгоритма.
13. Конечность построения и потенциальная неограниченность уточнения
Одной из фундаментальных идей второго тома являлось разграничение конечного конструктивного действия и потенциально неограниченного процесса его продолжения.
В третьем томе эта идея получает непосредственное геометрическое содержание.
Рассмотрим некоторую величину, которую требуется воспроизвести с возрастающей точностью.
Первое построение обеспечивает определённое приближение.
Следующее позволяет получить более точный результат.
Дальнейшие операции могут последовательно уменьшать отклонение от заданной величины.
Однако для конкретной геометрической задачи необходимо только такое количество действий, которое обеспечивает установленный допуск.
Поэтому принцип потенциальной неограниченности уточнения не предполагает обязательного выполнения бесконечного количества операций.
Напротив, он предполагает возможность выбора соответствующего конечного этапа.
Особенно важным становится исследование алгоритмов, для которых можно математически установить характер изменения погрешности.
Тем самым философско-математические положения предыдущего тома получают конкретную конструктивную интерпретацию.
14. От линейных величин — к преобразованию площадей
На первый взгляд полисекция прямолинейных отрезков и преобразование площадей представляют собой различные геометрические задачи.
Однако между ними существует глубокая конструктивная связь.
Площадь многих геометрических фигур определяется через определённые отношения их линейных размеров.
Поэтому построение отрезков необходимой длины может служить основой получения фигур с заданными площадями.
В частности, при построении квадрата заданной площади необходимо определить соответствующую длину его стороны.
Именно здесь возникает возможность применения геометрической арифметики к более сложным задачам.
Исследование переходит от построения отдельных длин к получению плоских фигур с заранее установленными метрическими характеристиками.
Это направление открывает путь к рассмотрению квадратуры круга.
15. Квадратура круга как конструктивная задача
Квадратура круга занимает особое место в истории геометрии.
Её классическая постановка предполагает построение квадрата, площадь которого точно равна площади заданного круга, посредством строго определённого набора геометрических инструментов.
В настоящем томе рассматривается технология приближённого построения равновеликого квадрата с заранее установленной необходимой и достаточной точностью.
Основная конструктивная задача заключается в получении стороны квадрата, обеспечивающей требуемое соответствие площадей.
Для этого предполагается использовать систему геометрической арифметики, пропорциональное масштабирование и последовательное уточнение необходимых линейных величин.
Особое внимание будет уделено наглядной демонстрации каждого этапа.
От исходного круга и определения его метрических характеристик — к получению необходимого масштабного отношения.
От масштабного отношения — к построению стороны квадрата.
От построенной стороны — к воспроизведению соответствующей площади.
От полученного результата — к определению достигнутой точности.
Таким образом, квадратура круга будет исследоваться как последовательность определённых геометрических действий, объединённых общей конструктивной целью.
16. Политура круга: расширение классической постановки
Одним из наиболее интересных направлений исследования является переход от квадратуры круга к более общему семейству задач.
В авторской концепции такое направление обозначается термином «политура круга».
Если квадратура предполагает построение соответствующего квадрата, то политура рассматривает также другие многоугольные формы.
Возникают задачи пентатуры, гексатуры, гептатуры, нонатуры, декатуры и иных преобразований.
Например, можно поставить задачу построения правильного пятиугольника, площадь которого воспроизводит площадь заданного круга с установленной точностью.
Аналогичным образом можно исследовать построение соответствующего шестиугольника, семиугольника, девятиугольника или десятиугольника.
Для каждой такой задачи необходимо определить не только площадь искомой фигуры.
Необходимо также обеспечить её заданную геометрическую форму.
Важнейшим направлением исследования становится получение соответствующих линейных размеров посредством геометрической арифметики.
Таким образом, политура позволяет рассматривать квадратуру как частный случай более общего семейства преобразований площадей.
Это направление относится к числу метаантичных геометрических задач, расширяющих традиционную проблематику античной математики.
17. Удвоение куба и мультипликация объёмов
Завершающая исследовательская глава третьего тома посвящена переходу от плоских фигур к пространственным телам.
Здесь центральное место занимает знаменитая задача удвоения куба.
Но и она рассматривается в более широкой постановке.
Предположим, что задан куб определённого объёма.
Требуется построить другой куб, объём которого в два раза превышает исходный.
Можно также поставить задачу увеличения объёма в три, пять, десять или произвольное заданное число раз.
Или, напротив, получения определённой части исходного объёма.
При этом необходимо различать простое воспроизведение нескольких одинаковых кубов и построение одного куба с заданным увеличенным объёмом.
Для последней задачи требуется установить соответствующее отношение длин рёбер.
Таким образом, основная проблема вновь приводит нас к геометрической арифметике линейных величин.
Необходимо определить масштабный коэффициент.
Геометрически воспроизвести соответствующую длину.
Построить новый куб.
И установить степень соответствия полученного объёма заданному.
Тем самым единая система геометрических операций получает приложение к пространственным преобразованиям.
18. Единство линейных, плоскостных и объёмных построений
Особенно важным результатом рассматриваемой программы должно стать исследование внутренней связи между различными классами геометрических задач.
На первом уровне мы имеем прямолинейные отрезки.
На втором — плоские геометрические фигуры.
На третьем — пространственные тела.
Эти объекты различаются своими метрическими характеристиками и способами определения.
Однако при построении фигур заданной площади или тел заданного объёма существенную роль играют линейные размеры.
Поэтому технологии получения необходимых длин могут становиться составной частью более сложных геометрических алгоритмов.
Именно эта связь позволяет рассматривать полисекцию отрезков как один из фундаментальных элементов более общей системы геометрического конструирования.
Не как единственную операцию, достаточную для всех возможных задач.
А как базовую технологию, которая может сочетаться с другими установленными геометрическими действиями.
19. Сохранение геометрической определённости
Одним из важнейших методологических принципов нашего исследования остаётся сохранение определённости геометрического объекта.
Если исходно задан прямолинейный отрезок, необходимо ясно указывать, какие действия выполняются именно с ним.
Если строится вспомогательный луч, следует определять его положение и назначение.
Если выполняется перенос длины, необходимо установить, какая характеристика сохраняется.
Если результатом построения становится новая фигура, следует указать её существенные геометрические свойства.
Особое значение приобретает различение идеального математического построения, его графического изображения и материального воспроизведения.
Точное математическое отношение может изображаться линиями определённой физической толщины.
Но толщина чертёжной линии и погрешность определения соответствующей геометрической величины представляют собой разные характеристики.
Поэтому все основные конструкции третьего тома должны сопровождаться ясным определением исходных и результирующих объектов.
Это позволит сохранить преемственность с методологическими положениями второго тома.
20. Геометрическая технология и масштаб построения
Важным направлением исследования является возможность воспроизведения одной конструктивной схемы в различных масштабах.
Геометрический принцип, изображённый на небольшом листе бумаги, может использоваться при выполнении крупноформатного чертежа.
А соответствующие отношения могут находить применение в архитектурном проектировании, изготовлении технических деталей и других видах пространственного конструирования.
Однако при переходе от идеального построения к его материальному осуществлению необходимо учитывать конкретные технологические условия.
Размер используемых инструментов.
Толщину изображаемых линий.
Точность определения точек пересечения.
Возможность воспроизведения малых отрезков.
Особенности последовательного переноса размеров.
Таким образом, универсальность математической схемы и эффективность её физической реализации исследуются как взаимосвязанные, но самостоятельные характеристики.
Именно такой подход соответствует разработанному ранее принципу необходимой и достаточной точности.
21. Исторические технологии и проблема конструктивной эффективности
Третий том не отрывается от исторического геометрического наследия.
Напротив, оно представляет важнейший материал для сравнительного исследования.
Специальная глава посвящена рассмотрению методов Евклида, ан-Найризи и других исследователей, связанных с построением пропорций и делением отрезков.
Особое внимание будет уделено конкретной организации геометрических действий.
Сколько вспомогательных объектов необходимо построить?
Как устанавливаются равные части?
Какие операции повторяются?
Насколько удобно изменять количество получаемых частей?
Какие элементы построения могут использоваться повторно?
Как изменяется технологическая сложность при увеличении числа делений?
Такое сопоставление позволит рассматривать известные и предлагаемые методы не только с точки зрения математического результата, но и с позиции рациональной организации геометрической деятельности.
Важнейшим критерием станет конструктивная эффективность.
22. Царский путь в геометрическом конструировании
Проблема эффективности непосредственно связана с более общей авторской концепцией Царского пути.
Эта концепция имеет самостоятельную историю разработки и не ограничивается геометрией.
В настоящем исследовании рассматривается одна из её предметных специализаций.
Царский путь в геометрии предполагает поиск наиболее рациональной технологии достижения правильно установленной конструктивной цели.
При этом рациональность нельзя сводить исключительно к минимальному количеству операций.
Необходимо учитывать правильность результата, требуемую точность, конструктивную сложность, доступность используемых инструментов, устойчивость технологии и возможность повторного применения найденного метода.
Иногда простейшая по числу операций конструкция может оказаться технологически неудобной.
В других случаях большое количество вспомогательных построений может быть оправданно необходимостью повышения точности.
Поэтому поиск Царского пути предполагает согласованную оценку нескольких критериев.
Именно в третьем томе возникает возможность перейти от общего понимания этого принципа к сравнению конкретных геометрических алгоритмов.
23. Особая роль иллюстраций
Принципиальной особенностью настоящего тома становится его максимально наглядный характер.
В предыдущих частях исследования основную роль играли исторический анализ, понятийные определения и методологические рассуждения.
Теперь центр внимания переносится на конкретные геометрические конструкции.
Поэтому иллюстративный материал приобретает самостоятельное научно-методическое значение.
Для полноценного понимания конструктивной технологии недостаточно увидеть только её конечный результат.
Необходимо проследить последовательность геометрических действий.
В частности, при исследовании полисекции отрезка целесообразно отдельно показывать исходный отрезок, вспомогательные лучи, систему подобных треугольников, последовательность пропорциональных построений и полученное деление.
Аналогичный принцип будет использоваться при рассмотрении геометрической арифметики.
Особенно подробные серии изображений предполагаются для квадратуры круга, политуры и мультипликации объёмов.
Каждая такая серия должна демонстрировать внутреннюю логику соответствующей технологии.
Таким образом, иллюстрации будут выступать не вспомогательным украшением, а неотъемлемой частью геометрического доказательства и объяснения.
24. От статического чертежа — к последовательной визуализации
Развитие современных цифровых технологий открывает дополнительные возможности представления геометрических построений.
Традиционный чертёж фиксирует определённое состояние конструкции.
Но последовательная серия изображений позволяет показать её развитие.
Первоначально читатель видит исходные данные.
Затем появляется первый вспомогательный элемент.
Следующий рисунок демонстрирует продолжение построения.
После этого устанавливаются необходимые геометрические отношения.
И наконец, показывается искомый результат.
Такое представление особенно полезно для многоступенчатых алгоритмов, включающих большое количество взаимосвязанных операций.
В дальнейшем соответствующие серии могут стать основой анимационных и видеоматериалов.
Это позволит перейти от обычного книжного описания к динамическому представлению геометрической технологии.
Но исходной научной основой подобных визуализаций должен оставаться математически определённый алгоритм.
25. Чертёж как средство самостоятельного исследования
Особенность геометрии состоит в том, что правильно организованный чертёж способен не только пояснять уже полученный результат.
Он может помогать обнаруживать новые отношения между геометрическими объектами.
Изменяя исходные размеры, сохраняя пропорции и повторяя определённые действия, исследователь получает возможность сравнивать различные варианты одной конструкции.
При этом особое значение приобретает воспроизводимость.
Читатель должен иметь возможность самостоятельно выполнить основные построения.
Проверить соответствующие отношения.
Изменить исходные данные.
Повторить алгоритм для других числовых значений.
И исследовать возможности дальнейшего развития конструкции.
В этом смысле третий том должен выполнять двойную функцию.
С одной стороны, представлять последовательное научное изложение геометрических технологий.
С другой — служить своеобразной практической лабораторией конструктивной геометрии.
Именно поэтому особое внимание будет уделено ясности чертежей, последовательности операций и полноте пояснений.
26. Девять глав как единая конструктивная программа
Структура третьего тома организована в соответствии с последовательным усложнением геометрических задач.
Первая глава посвящена базовой технологии полисекции отрезка посредством системы подобных треугольников с общей вершиной.
Во второй исследуется универсальная полисекция на произвольное количество равных частей.
Третья глава содержит историческое сопоставление конструктивных технологий.
Четвёртая и пятая посвящены геометрической арифметике: сложению, вычитанию, умножению и делению.
Шестая рассматривает последовательную полисекцию и воспроизведение числовых величин с заданной точностью.
Седьмая посвящена квадратуре круга.
Восьмая — политуре и её обобщённым задачам.
Девятая — удвоению куба и произвольной мультипликации объёмов.
Таким образом, последовательность глав образует согласованную исследовательскую программу.
Каждая следующая группа задач использует результаты и конструктивные принципы, рассмотренные ранее.
В результате формируется переход от простейших линейных построений к значительно более сложным преобразованиям площадей и объёмов.
27. Третий том и дальнейшее развитие гармонической геометрии
Несмотря на широкий круг рассматриваемых проблем, третий том представляет собой только один из этапов большого восьмитомного исследования.
Его основной предмет — геометрические операции, непосредственно связанные с прямолинейными отрезками и использованием их метрических отношений.
Однако геометрическое пространство возможностей значительно шире.
В дальнейшем предстоит исследовать универсальную полисекцию углов.
Каскады хорд.
Преобразования дуг и криволинейных объектов.
Более сложные операции над площадями и объёмами.
Рекурсивные конструкции.
Многомерные геометрические преобразования.
Поэтому результаты третьего тома следует рассматривать одновременно как самостоятельную систему построений и как конструктивную основу последующих исследований.
Особенно важной становится возможность повторного использования разработанных технологий.
Если определённый геометрический принцип оказывается применимым в различных задачах, его значение выходит за пределы первоначального частного построения.
Именно в этом направлении предполагается дальнейшее развитие гармонической геометрии.
28. Главная исследовательская задача
В конечном счёте перед третьим томом стоит одна общая задача.
Необходимо исследовать, насколько широкое семейство геометрических преобразований может быть организовано на основе сравнительно небольшого числа согласованных конструктивных принципов.
Полисекция.
Подобие.
Пропорциональное масштабирование.
Геометрическая арифметика.
Мультипликация.
Последовательное уточнение.
Эти операции рассматриваются как взаимосвязанные элементы общей технологической системы.
Её математическая состоятельность должна проявляться в правильности конкретных построений.
Её универсальность — в возможности применения одних и тех же принципов к различным задачам.
Её эффективность — в рациональной организации необходимых действий.
А её практическая ценность — в возможности воспроизводить заданные геометрические результаты с необходимой и достаточной точностью.
Именно такое сочетание математической определённости, алгоритмической воспроизводимости и конструктивной рациональности составляет центральную исследовательскую установку третьего тома.
29. От геометрического знания — к геометрической технологии
На протяжении тысячелетий человечество накопило чрезвычайно богатый опыт геометрических построений.
Однако существует существенное различие между знанием отдельных геометрических отношений и умением организовать их в рациональную технологическую систему.
Можно знать свойства подобных треугольников.
Но следующий вопрос заключается в том, каким образом использовать их для построения целого семейства заданных пропорций.
Можно уметь делить отрезок пополам.
Но значительно более общей задачей становится организация универсальной полисекции.
Можно знать числовой коэффициент, необходимый для определённого масштабирования.
Но самостоятельную конструктивную проблему представляет его геометрическое воспроизведение.
Именно переход от знания к технологии становится одним из главных направлений настоящей работы.
Геометрическая технология объединяет исходные понятия, допустимые операции, порядок действий, критерии правильности и способы воспроизведения результата.
Тем самым она превращает отдельное математическое отношение в практически применимый алгоритм.
30. Заключение предисловия. От простейшего отрезка — к универсальным геометрическим преобразованиям
Итак, третий том «Ультраноочелленджа трёх тысячелетий» посвящён непосредственному исследованию конструктивных возможностей геометрии.
Его исходным объектом становится прямолинейный отрезок.
Его базовой технологией — универсальная полисекция посредством систем подобных треугольников.
Его следующим содержательным уровнем — геометрическая арифметика.
Его важнейшим методологическим принципом — необходимая и достаточная точность.
А его наиболее сложными прикладными задачами — квадратура и политура круга, удвоение куба и произвольная мультипликация объёмов.
Впервые в рамках настоящего восьмитомного исследования эти направления объединяются в самостоятельную часть, специально посвящённую последовательному изложению конкретных конструктивных технологий.
Здесь геометрические идеи должны получать непосредственное выражение в построениях.
Геометрические операции — в воспроизводимых алгоритмах.
Числовые отношения — в определённых длинах.
А сложные преобразования — в последовательностях элементарных действий.
Особое значение приобретает принцип конструктивной рациональности.
Ведь задача исследователя заключается не только в том, чтобы установить возможность некоторого результата.
Необходимо также найти эффективный способ его получения.
Способ, соответствующий исходным условиям.
Обеспечивающий необходимую точность.
Допускающий понятное математическое обоснование.
И позволяющий при необходимости воспроизводить результат в различных масштабах.
Именно к такой организации геометрической деятельности направлен поиск Царского пути.
Перед нами открывается новая страница трёхтысячелетнего интеллектуального исследования.
Теперь основным предметом становится не история геометрических задач и не только философия их разрешимости.
Теперь главным действующим лицом становится само геометрическое построение.
Прямая.
Отрезок.
Вспомогательный луч.
Треугольник.
Пропорция.
Последовательность конструктивных действий.
И результат, который можно определить, обосновать, воспроизвести и исследовать.
От простейшего отрезка — к универсальной полисекции.
От полисекции — к геометрической арифметике.
От арифметики длин — к преобразованию площадей.
От преобразования площадей — к мультипликации объёмов.
От отдельных геометрических операций — к согласованной системе конструктивных технологий.
Так начинается третий том «Ультраноочелленджа трёх тысячелетий».
От геометрии ограничений — к геометрии конструктивных возможностей.
От возможности геометрического построения — к технологии его осуществления.
++++++

 
 

ГЛАВА 1. БАЗОВАЯ ТЕХНОЛОГИЯ ПОЛИСЕКЦИИ ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ: СИСТЕМА ПОДОБНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ С ОБЩЕЙ ВЕРШИНОЙ
1. От геометрической теории — к конкретному построению
В первых двух томах настоящего исследования были рассмотрены исторические, понятийные и методологические основания гармонической геометрии.
Мы проследили трёхтысячелетнюю историю великих геометрических задач, исследовали фундаментальные понятия геометрической определённости, масштаба, точности и конструктивных преобразований.
Теперь наступает принципиально новый этап.
Необходимо перейти от исследования общих возможностей геометрического конструирования к непосредственному построению геометрических объектов.
Причём речь идёт не просто о воспроизведении отдельных известных операций.
Наша главная задача заключается в исследовании возможности создания согласованной системы универсальных конструктивных технологий.
В качестве исходного объекта рассматривается прямолинейный отрезок.
А первой фундаментальной операцией становится его полисекция — разделение на заданное количество равных частей.
Именно с этой сравнительно простой задачи начинается конструктивная программа третьего тома.
2. Полисекция как универсальная геометрическая операция
Под полисекцией прямолинейного отрезка будем понимать его разделение на заранее установленное натуральное число частей, равных по длине.
При этом исходный отрезок сохраняется как определённый геометрический объект.
Его конечные точки остаются неизменными.
Все внутренние точки деления располагаются на той же прямой.
А полученные суботрезки последовательно составляют первоначальный отрезок.
В зависимости от количества частей можно говорить о бисекции, трисекции, тетрасекции, пентасекции, гексасекции и других разновидностях полисекции.
Но для настоящего исследования наиболее существенным является переход от отдельных разновидностей деления к единой конструктивной технологии.
Нас интересует такой принцип построения, который позволяет изменять количество частей без необходимости каждый раз разрабатывать совершенно новую геометрическую схему.
Именно поэтому в центре внимания оказывается система подобных треугольников с общей вершиной.
3. Исходная постановка геометрической задачи
Пусть на евклидовой плоскости задан произвольный прямолинейный отрезок.
Обозначим его левую конечную точку буквой А, а правую — буквой Б.
Длина отрезка может быть любой положительной величиной.
Например, он может иметь длину десять сантиметров.
Или семнадцать миллиметров.
Или пять метров.
Однако математическая схема построения не должна зависеть от конкретного числового значения этой длины.
Предположим, что необходимо разделить исходный отрезок на пять равных частей.
Требуется определить четыре внутренние точки деления таким образом, чтобы все пять последовательно расположенных суботрезков обладали одинаковой длиной.
В дальнейшем мы распространим соответствующий принцип на произвольное заданное количество частей.
Но сначала необходимо подробно исследовать исходную конструкцию.
Чертёж 1. Исходный отрезок прямой.
4. Геометрическая определённость исходного объекта
Прежде чем выполнять построение, необходимо установить его исходные условия.
Во-первых, рассматривается именно прямолинейный отрезок.
Во-вторых, его конечные точки определены.
В-третьих, все получаемые точки деления должны принадлежать исходному отрезку.
В-четвёртых, равенство частей определяется посредством равенства их длин.
В-пятых, вспомогательные геометрические объекты не должны изменять математическую определённость самого делимого отрезка.
Это положение имеет принципиальное значение.
В процессе конструирования мы будем использовать дополнительные лучи, отрезки и прямые.
Однако они выполняют вспомогательную функцию.
Исходный объект остаётся неизменным.
Таким образом, полисекция представляет собой не преобразование прямого отрезка в ломаную или иную фигуру, а определение системы внутренних точек на первоначальном объекте.
5. Почему основой технологии становится подобие треугольников
Подобие треугольников представляет собой одно из фундаментальных геометрических отношений.
При подобии сохраняются соответствующие углы.
А длины соответствующих сторон находятся в одном и том же отношении.
Следовательно, изменение размеров треугольника при сохранении его формы позволяет воспроизводить определённые пропорции.
Именно это свойство представляет особый интерес для геометрической арифметики.
Если мы располагаем системой подобных треугольников, то можем использовать отношения их сторон для переноса заданных пропорций.
Например, можно построить один треугольник, размеры которого составляют половину соответствующих размеров другого.
Или треть.
Или пятую часть.
В настоящем исследовании особое внимание уделяется организации таких треугольников относительно одной общей вершины.
Это позволяет объединить множество пропорциональных построений в одной геометрической системе.
6. Общая вершина как организующий центр построения
Рассмотрим два луча, исходящих из одной точки.
Эта точка становится общей вершиной образуемой угловой конструкции.
На каждом луче можно определить различные точки, находящиеся на заданных расстояниях от вершины.
Если соответствующие пары точек соединять прямыми, параллельными друг другу, возникают подобные треугольники.
Их общая вершина остаётся неподвижной.
Изменяются только размеры.
Таким образом, одна вершина становится организующим центром целого семейства геометрических фигур.
В базовом варианте нашего построения роль общей вершины выполняет начальная точка исходного отрезка — точка А.
Первый луч совпадает с направлением отрезка от точки А к точке Б.
Второй луч проводится из той же точки А под выбранным ненулевым углом к первому.
Именно на этом втором луче будет организована вспомогательная система равных отрезков.
7. Построение вспомогательного луча
Из точки А проведём вспомогательный луч, не совпадающий с исходной прямой.
Для удобства изображения можно направить его вверх и вправо.
Например, под углом приблизительно сорок градусов к исходному отрезку.
Конкретная величина угла в данном случае не является определяющим условием математического построения.
Важно, чтобы два луча имели общую начальную точку и различные направления.
Первый луч содержит исходный отрезок АБ.
Второй служит вспомогательным носителем системы равных линейных величин.
Тем самым возникает простейшая угловая конструкция, содержащая одну общую вершину и два расходящихся направления.
В дальнейшем именно она будет использована для построения системы подобных треугольников.
8. Получение равных частей на вспомогательном луче
Предположим, что исходный отрезок необходимо разделить на пять равных частей.
Выберем на вспомогательном луче произвольный положительный отрезок, который будет служить единичным шагом вспомогательного построения.
С помощью циркуля последовательно отложим этот шаг пять раз.
В результате на вспомогательном луче возникнет последовательность из пяти равных суботрезков.
Их внутренние границы и конечную точку обозначим как вспомогательные точки построения.
Особенно важно, что все пять суботрезков лежат на одной прямой.
И все имеют одинаковую длину.
Следовательно, мы получили вспомогательную линейную шкалу, включающую пять равных последовательных интервалов.
Величина каждого интервала может быть выбрана с учётом масштаба чертежа и удобства использования инструмента.
Чертёж 2. Вспомогательный луч с пятью равными последовательными отрезками.
9. Построение основного треугольника
Теперь соединим конечную точку пятого вспомогательного отрезка с точкой Б — конечной точкой исходного отрезка.
Получится треугольник.
Одна его сторона совпадает с исходным отрезком АБ.
Другая расположена на вспомогательном луче.
Третья соединяет конечные точки этих двух сторон.
Общей вершиной становится точка А.
Этот треугольник представляет собой исходную фигуру для построения семейства подобных треугольников.
Его геометрическая форма определяется взаимным расположением двух лучей и длинами соответствующих сторон.
Однако главная конструктивная функция треугольника заключается в возможности передачи пропорциональных отношений с вспомогательной стороны на исходный отрезок.
Чертёж 3. Основной треугольник с общей исходной вершиной.
10. Проведение первой параллельной прямой
Рассмотрим первую точку деления на вспомогательном луче.
Она расположена на расстоянии одного вспомогательного шага от общей вершины.
Через эту точку проведём прямую, параллельную третьей стороне основного треугольника.
Построенная прямая пересечёт исходный отрезок АБ в некоторой внутренней точке.
Именно эта точка становится первой точкой деления исходного отрезка.
В результате образуется меньший треугольник.
Он имеет общую вершину с исходным большим треугольником.
Одна его сторона лежит на исходном отрезке.
Другая — на вспомогательном луче.
А третья параллельна соответствующей стороне большого треугольника.
Следовательно, эти два треугольника подобны.
Чертёж 4. Первая параллельная прямая и первая точка полисекции.
11. Получение остальных точек деления
Повторим аналогичную операцию для остальных внутренних точек вспомогательной шкалы.
Через вторую вспомогательную точку проведём прямую, параллельную третьей стороне основного треугольника.
Она определит вторую внутреннюю точку на исходном отрезке.
Через третью вспомогательную точку проведём следующую параллельную.
Она определит третью точку деления.
Наконец, через четвёртую вспомогательную точку получим четвёртую точку исходного отрезка.
Теперь между точками А и Б расположены четыре внутренние точки.
Они разделяют исходный отрезок на пять последовательных частей.
Каждой вспомогательной точке соответствует определённая точка исходного отрезка.
Тем самым осуществляется перенос равномерной вспомогательной шкалы на исходный геометрический объект.
Чертёж 5. Завершённая полисекция отрезка на пять равных частей.
12. Математическое обоснование равенства частей
Правильность полученного построения определяется свойствами подобных треугольников.
Все построенные треугольники имеют одну общую вершину.
Их стороны, расположенные на исходном отрезке, принадлежат одному лучу.
Вспомогательные стороны принадлежат второму лучу.
А соединяющие стороны попарно параллельны.
Следовательно, соответствующие треугольники подобны.
Первый вспомогательный отрезок составляет одну пятую полной длины вспомогательной стороны основного треугольника.
Поэтому соответствующая часть исходного отрезка, отсчитываемая от общей вершины, также составляет одну пятую его полной длины.
Вторая вспомогательная точка находится на расстоянии двух равных шагов от общей вершины.
Следовательно, соответствующая точка исходного отрезка находится на расстоянии двух пятых его длины от точки А.
Аналогичные отношения выполняются для третьей и четвёртой точек.
В результате последовательные расстояния между соседними точками деления оказываются равными.
Таким образом, исходный отрезок действительно разделён на пять равных частей.
13. Система подобных треугольников как единая конструкция
Рассмотрим теперь всю полученную геометрическую систему.
В неё входит основной большой треугольник.
А также четыре меньших треугольника, построенных относительно той же общей вершины.
Каждый следующий треугольник отличается от предыдущего своими линейными размерами.
Однако все они сохраняют одни и те же соответствующие углы.
И следовательно, принадлежат одному семейству подобных фигур.
Именно эта система представляет непосредственный предмет нашего исследования.
Её важнейшей особенностью является согласованность всех элементов.
Каждая вспомогательная точка занимает строго определённое положение.
Каждая параллельная прямая устанавливает соответствующее пропорциональное отношение.
Каждый меньший треугольник воспроизводит форму исходного.
А вся конструкция обеспечивает равномерную полисекцию первоначального отрезка.
Чертёж 6. Семейство вложенных подобных треугольников с общей вершиной.
14. Геометрический смысл пропорционального переноса
Остановимся подробнее на важнейшем принципе полученного построения.
Вспомогательный луч первоначально содержит известную систему равных частей.
Исходный отрезок такой системы ещё не имеет.
Однако посредством подобия треугольников равномерная структура вспомогательного луча переносится на исходный объект.
При этом мы не измеряем непосредственно длину исходного отрезка.
И не вычисляем заранее длину каждой получаемой части.
Необходимое отношение возникает непосредственно из геометрической конструкции.
Следовательно, подобие позволяет использовать уже построенную систему линейных отношений для получения другой системы с аналогичными пропорциями.
Этот принцип обладает значением, выходящим далеко за пределы одной задачи полисекции.
Именно на нём впоследствии будут основаны различные способы геометрического масштабирования и построения заданных числовых отношений.
15. Произвольность вспомогательной единицы длины
В рассмотренной конструкции длина вспомогательного шага не была заранее связана с длиной исходного отрезка.
Это обстоятельство представляет самостоятельный интерес.
Допустим, что исходный отрезок имеет длину десять сантиметров.
Вспомогательный шаг может составлять один сантиметр.
Или два сантиметра.
Или какую-либо другую положительную величину.
При сохранении равенства всех вспомогательных шагов и правильном построении параллельных прямых получаемое деление исходного отрезка остаётся равномерным.
Следовательно, определяющим условием выступает не абсолютная длина вспомогательного шага.
Определяющим является сохранение соответствующих пропорций.
Это позволяет адаптировать конструкцию к различным размерам чертежей и особенностям используемого инструментария.
16. Бисекция как простейший частный случай
Рассмотрим теперь более простой вариант.
Требуется разделить исходный отрезок на две равные части.
На вспомогательном луче достаточно последовательно отложить два равных шага.
Конечную точку второго шага соединяем с конечной точкой исходного отрезка.
Затем через первую вспомогательную точку проводим параллельную прямую.
Она пересекает исходный отрезок в его середине.
Таким образом, бисекция осуществляется по тому же конструктивному принципу.
Изменяется только количество вспомогательных шагов и промежуточных построений.
При этом сама базовая система остаётся неизменной.
Это обстоятельство позволяет рассматривать бисекцию как простейший представитель общего семейства полисекций.
17. Трисекция отрезка
Следующий пример — разделение исходного отрезка на три равные части.
На вспомогательном луче откладываются три одинаковых последовательных шага.
Конец третьего шага соединяется с конечной точкой исходного отрезка.
Через первые две вспомогательные точки проводятся прямые, параллельные заключительной стороне основного треугольника.
Они определяют две внутренние точки исходного отрезка.
Получается трисекция.
Важно подчеркнуть, что речь идёт именно о трисекции прямолинейного отрезка.
Здесь используется перенос линейных пропорций.
В дальнейшем, при исследовании полисекции углов, соответствующие геометрические задачи будут рассматриваться отдельно.
Однако для организации универсальной геометрической арифметики уже сейчас существенно, что деление отрезка на три равные части осуществляется посредством той же базовой технологии.
18. Гексасекция отрезка
Рассмотрим деление исходного отрезка на шесть равных частей.
На вспомогательном луче откладываются шесть одинаковых шагов.
Затем строится основной треугольник.
Через пять внутренних вспомогательных точек проводятся параллельные прямые.
Полученные точки пересечения определяют шесть равных суботрезков первоначального объекта.
Никакого принципиального изменения конструктивной схемы не требуется.
Бисекция, трисекция, пентасекция и гексасекция реализуются посредством одной технологической основы.
В этом проявляется важнейшее преимущество унифицированной организации геометрических операций.
Чертёж 9. Сопоставление трисекции и гексасекции в одной конструктивной технологии.
19. Полисекция на произвольное натуральное число частей
Теперь можно перейти к общей постановке задачи.
Пусть требуется разделить произвольный прямолинейный отрезок на заранее установленное натуральное число равных частей.
Для этого на вспомогательном луче необходимо отложить соответствующее количество одинаковых последовательных шагов.
После этого конечная точка последнего шага соединяется с конечной точкой исходного отрезка.
Через все внутренние вспомогательные точки проводятся прямые, параллельные построенной соединительной стороне.
Полученные пересечения с исходным отрезком определяют искомые точки полисекции.
Таким образом, одна конструктивная процедура охватывает произвольное конечное количество равных частей.
Количество шагов определяется исходной задачей.
А математический принцип построения сохраняется.
Чертёж 8. Полисекция исходного отрезка на десять равных частей.
20. Универсальность как неизменность конструктивного принципа
Здесь необходимо уточнить смысл универсальности предлагаемой технологической организации.
Речь идёт о возможности использовать один и тот же геометрический принцип для различных значений количества частей.
При переходе от деления на пять частей к делению на десять изменяется количество вспомогательных точек.
Соответственно изменяется количество промежуточных параллельных построений.
Но не изменяется фундаментальная геометрическая зависимость.
Во всех случаях используется одна общая вершина.
Два исходящих из неё луча.
Вспомогательная система равных шагов.
И семейство подобных треугольников.
Следовательно, универсальность выражается в постоянстве математического механизма при изменении количественных параметров задачи.
Это положение в дальнейшем станет одним из оснований исследования универсальной геометрической арифметики.
21. Выбор положения вспомогательного луча
В рассмотренных примерах вспомогательный луч направлялся вверх и вправо.
Однако такое расположение является лишь одним из возможных.
Луч можно провести под другим углом к исходному отрезку.
Он может располагаться выше или ниже первоначальной прямой.
Его направление следует выбирать с учётом размеров чертежа, расположения других геометрических объектов и удобства проведения вспомогательных линий.
Математическая структура построения определяется отношением соответствующих отрезков и параллельностью соединительных прямых.
Поэтому изменение угла вспомогательного луча при сохранении необходимых условий приводит к другой внешней конфигурации той же конструктивной технологии.
Это позволяет использовать различные пространственные организации одной математической схемы.
22. Симметричная организация вспомогательных лучей
Особый интерес представляет симметричная разновидность базового построения.
Вместо одного вспомогательного луча можно использовать два луча, исходящих из общей начальной точки.
Один располагается выше исходного отрезка.
Другой — ниже.
При этом они могут образовывать одинаковые углы с первоначальной прямой.
В результате возникает симметричная конструкция.
На обоих вспомогательных лучах можно отложить одинаковые системы равных шагов.
Затем организовать соответствующие семейства подобных треугольников.
Такая схема позволяет исследовать полисекцию с двух сторон относительно исходной прямой.
Особое значение она приобретает при организации более сложных пропорциональных построений, в которых удобно использовать симметричное расположение вспомогательных элементов.
Чертёж 7. Симметричная двухлучевая система полисекции.
23. Совпадение результатов симметричных построений
Рассмотрим симметричную конструкцию подробнее.
Пусть на верхнем и нижнем вспомогательных лучах отложено одинаковое количество равных шагов.
И пусть соответствующие полные вспомогательные отрезки имеют одинаковую длину.
На каждом луче построим собственную систему параллельных прямых.
Верхняя система определяет определённые точки деления исходного отрезка.
Нижняя система определяет точки по тому же принципу.
В обоих случаях положение очередной точки на исходном отрезке определяется одной и той же долей полной длины.
Следовательно, соответствующие точки двух построений совпадают.
Таким образом, симметричная организация предоставляет возможность получить одну систему деления посредством двух согласованных геометрических построений.
Это может быть использовано для наглядной демонстрации пропорциональных отношений и проверки воспроизводимости конструкции.
24. Единая вершина и семейство масштабов
Особое значение имеет сохранение общей вершины при образовании подобных треугольников.
Благодаря этому все соответствующие стороны имеют согласованное расположение.
Каждая точка на вспомогательном луче определяет собственный масштаб относительно основного треугольника.
Чем дальше расположена вспомогательная точка от общей вершины, тем больше соответствующий вложенный треугольник.
При этом его форма сохраняется.
Следовательно, система подобных треугольников может рассматриваться как геометрическое семейство последовательно изменяющихся масштабов.
Именно такой подход позволяет объединить полисекцию и пропорциональное преобразование длин.
В дальнейшем это обстоятельство будет использоваться при разработке геометрического умножения и деления.
25. Повторное использование одной вспомогательной шкалы
Рассмотрим ещё одну возможность.
Предположим, что уже построена вспомогательная шкала, содержащая пять равных шагов.
Она использована для деления некоторого исходного отрезка.
Однако сама вспомогательная шкала после этого не исчезает.
Её можно сохранять как часть рабочей геометрической конструкции.
Если из общей вершины провести другой целевой луч и задать на нём новый отрезок, становится возможным перенести на него те же пропорциональные отношения.
Таким образом, одна вспомогательная система равных частей может использоваться для полисекции нескольких исходных отрезков.
Именно здесь возникает идея геометрической технологической инфраструктуры.
Вспомогательная конструкция создаётся один раз.
А затем применяется к последовательности геометрических задач.
Чертёж 10. Использование одной вспомогательной шкалы для двух целевых отрезков.
26. Перенос пропорций между различными отрезками
Предположим, что на одном отрезке уже получено деление на определённое количество равных частей.
Теперь требуется воспроизвести аналогичную структуру на другом отрезке.
Если оба отрезка представлены в согласованной системе лучей с общей вершиной, соответствующие пропорции могут переноситься посредством подобных треугольников.
В результате можно получать геометрические величины, находящиеся в заданных отношениях.
Это направление представляет особый интерес для построения масштабных моделей.
Например, если некоторая длина разделена на десять равных частей, её десятичные доли могут использоваться как исходные величины для других построений.
А при объединении нескольких таких долей возникают дополнительные возможности геометрической арифметики.
Таким образом, полисекция постепенно превращается из операции деления в универсальный инструмент работы с линейными отношениями.
27. Последовательная полисекция уже полученных частей
Полученный результат может становиться исходным объектом следующего построения.
Предположим, что первоначальный отрезок разделён на пять равных частей.
Выберем одну из этих частей.
Теперь разделим её ещё на две равные части.
В результате появятся дополнительные точки деления.
Если аналогичная операция выполнена для каждой из пяти частей, первоначальный отрезок окажется разделённым на десять равных частей.
Можно продолжить процесс.
Например, последовательно выполнять новые полисекции уже полученных суботрезков.
Тем самым возникает рекурсивная организация геометрических действий.
Каждый следующий этап использует результат предыдущего.
При этом все построения остаются конечными на каждом определённом этапе.
В дальнейшем последовательная полисекция станет важнейшим инструментом геометрического воспроизведения числовых величин с установленной точностью.
28. Геометрическое выделение заданной доли
Полисекция позволяет не только получить систему равных частей.
Она также позволяет выделить определённую долю первоначального отрезка.
Предположим, что отрезок разделён на восемь равных частей.
Тогда можно выбрать один суботрезок.
Или два последовательных суботрезка.
Или три.
Или любое другое допустимое количество таких частей.
Таким образом, посредством исходной системы деления получаются различные рациональные доли первоначальной длины.
Соответствующие отрезки могут затем переноситься, сопоставляться и использоваться в последующих построениях.
Это обстоятельство составляет одно из непосредственных оснований геометрической арифметики.
Чертёж 11. Выделение заданной доли исходного отрезка из системы равных частей.
29. Полисекция и геометрическое воспроизведение рациональных отношений
Рассмотрим более общий вопрос.
Пусть необходимо построить отрезок, длина которого составляет определённую рациональную часть другой длины.
Например, три пятых.
Или семь десятых.
Или одиннадцать двадцатых.
Для получения соответствующей величины можно первоначально разделить исходный отрезок на необходимое количество равных частей.
После этого выделить требуемое число последовательных суботрезков.
Полученная длина будет соответствовать заданной рациональной доле.
Так возникает непосредственная связь между полисекцией и арифметикой рациональных чисел.
Особенно важно, что построение может выполняться на основе заранее установленного алгоритма.
И не требует обязательного предварительного измерения исходного отрезка в физических единицах длины.
30. Геометрическое сложение долей
После получения системы равных частей можно рассмотреть их объединение.
Пусть первоначальный отрезок разделён на десять равных суботрезков.
Одна часть представляет одну десятую его длины.
Две последовательные части — две десятых.
Пять — пять десятых.
Таким образом, суммирование равных частей непосредственно соответствует построению определённых рациональных долей.
Можно также переносить выбранные суботрезки на другие лучи и прямые.
Последовательно откладывать их.
Соединять полученные величины.
И создавать более сложные линейные комбинации.
Всё это подготавливает переход к геометрическому сложению и вычитанию, которые будут подробно рассмотрены в четвёртой главе.
31. Полисекция и задача геометрического умножения
Геометрическое умножение в дальнейшем будет рассматриваться как построение заданной линейной величины посредством определённого масштабного отношения.
Система подобных треугольников представляет для этого удобную конструктивную основу.
Если известна единичная длина и задан необходимый коэффициент масштабирования, возникает задача построения соответствующего отрезка.
При целочисленном коэффициенте можно использовать последовательное откладывание единичных отрезков.
При рациональном коэффициенте — сочетание полисекции и последующего воспроизведения необходимого количества частей.
Таким образом, базовая технология первого раздела третьего тома непосредственно связана с будущим построением системы геометрического умножения.
32. Полисекция и геометрическое деление
Аналогичная связь возникает с геометрическим делением.
Если необходимо получить определённую долю исходной длины, полисекция предоставляет непосредственный конструктивный механизм.
Разделение на две части позволяет получить половину длины.
На три — треть.
На пять — пятую часть.
При более сложных рациональных отношениях можно использовать сочетание деления и выбора необходимого количества полученных частей.
Таким образом, одна базовая технология становится основой различных операций над линейными величинами.
В дальнейшем соответствующие построения будут объединены в единую систему геометрической арифметики.
33. Сохранение прямолинейности исходного объекта
Вернёмся к одному из важнейших принципов гармонической геометрии.
В рассмотренной технологии исходный отрезок сохраняет свою геометрическую определённость.
Все внутренние точки деления принадлежат исходной прямой.
Вспомогательные лучи не заменяют её.
Соединительные стороны треугольников также не изменяют её направления.
Следовательно, результатом полисекции становится определённая система прямолинейных суботрезков, расположенных на одной и той же исходной прямой.
Это обстоятельство необходимо сохранять при дальнейшем усложнении алгоритмов.
Каждая операция должна сопровождаться ясным указанием того, какие геометрические характеристики остаются неизменными.
А какие изменяются или приобретают новые значения.
Именно так обеспечивается логическая и математическая определённость всей конструктивной процедуры.
34. Идеальная математическая точность полисекции
В математической модели евклидовой плоскости рассмотренное построение обеспечивает точное равенство полученных суботрезков.
Это следует из свойств подобных треугольников.
Если вспомогательные шаги строго равны, а соответствующие соединительные прямые строго параллельны, то полученные части исходного отрезка также строго равны.
Таким образом, математическая точность результата определяется геометрическими отношениями, а не разрешением изображения или точностью измерительной шкалы.
Однако при переходе к физическому чертежу необходимо учитывать особенности материального воспроизведения.
Эти две постановки следует рассматривать совместно, сохраняя их различие.
35. Технологическая точность чертежа
При физическом выполнении построения возникают определённые технологические факторы.
Например, циркуль имеет конечные размеры.
Карандаш или чертёжное перо создают линию определённой толщины.
Положение точки пересечения может определяться с некоторым отклонением.
А последовательное откладывание одинаковых шагов требует соблюдения соответствующей точности.
Следовательно, технологическая реализация математически точной схемы характеризуется определёнными погрешностями.
Именно здесь получает непосредственное применение принцип необходимой и достаточной точности.
Если чертёж предназначен для демонстрации общего геометрического принципа, могут быть достаточны одни требования.
Если он используется при изготовлении точной технической детали, потребуется иной уровень воспроизведения.
36. Накопление погрешностей при последовательном построении
Особое внимание необходимо уделять ситуациям, когда геометрическая конструкция содержит большое количество повторяющихся операций.
Например, при делении отрезка на сто равных частей требуется организовать значительно больше вспомогательных шагов, чем при бисекции.
При последовательном физическом откладывании одинаковой длины отдельные небольшие отклонения могут накапливаться.
А построение большого количества параллельных прямых требует соответствующей точности определения их направления.
Поэтому технологическая эффективность определяется не только математической правильностью конструкции.
Необходимо также учитывать её устойчивость к погрешностям исполнения.
В дальнейшем это позволит сравнивать различные варианты полисекции с учётом требований конкретной задачи.
37. Выбор масштаба вспомогательной конструкции
Рассмотрим влияние масштаба.
Допустим, что исходный отрезок очень короткий.
Если вспомогательный луч также содержит чрезвычайно малые шаги, их точное физическое воспроизведение может оказаться затруднительным.
Поэтому целесообразно исследовать возможность использования более крупной вспомогательной конструкции.
Благодаря подобию треугольников абсолютный размер вспомогательной шкалы может выбираться независимо от длины исходного отрезка.
В результате небольшие целевые отрезки могут строиться на основе более удобных вспомогательных масштабов.
Аналогичным образом при работе с большими геометрическими объектами могут использоваться соответствующие масштабированные конструкции.
Это обстоятельство приобретает особое значение для инженерного и архитектурного применения геометрических технологий.
38. Геометрическая рациональность и количество операций
Теперь рассмотрим вопрос о конструктивной эффективности.
Для выполнения полисекции необходимо построить определённое количество вспомогательных объектов.
В простейшем варианте используются один вспомогательный луч, система равных шагов, заключительная соединительная сторона и соответствующие параллельные прямые.
Количество промежуточных построений зависит от требуемого числа частей.
Однако при повторном использовании общей вспомогательной системы некоторые элементы могут сохраняться.
Например, уже построенная шкала равных шагов может применяться к новым целевым отрезкам.
В таких случаях возникает возможность уменьшения объёма повторной подготовительной работы.
Это направление представляет особый интерес для исследования конструктивной эффективности.
39. Симметричная система как средство организации сложных построений
Вернёмся к симметричной двухлучевой конструкции.
Её значение не ограничивается демонстрацией полисекции с двух сторон исходного отрезка.
Симметрично расположенные вспомогательные лучи создают дополнительную пространственную структуру.
Она может использоваться при последовательном построении нескольких пропорциональных величин.
При переносе отдельных частей на разные направления.
При организации комбинированных линейных операций.
А также при исследовании возможностей повторного использования уже созданных вспомогательных элементов.
Особенно интересной становится возможность согласованного построения двух семейств подобных треугольников с общей вершиной.
Одно семейство располагается выше исходной прямой.
Другое — ниже.
И оба могут использоваться в общей системе геометрической арифметики.
Чертёж 12. Полная симметричная двухлучевая конструкция.
40. От отдельного построения — к геометрической технологической системе
Важнейшая цель настоящего исследования заключается в переходе от единичного геометрического действия к системе повторно используемых конструктивных операций.
Для этого необходимо определить не только математическое содержание построения.
Нужно также исследовать последовательность действий.
Возможность сохранения вспомогательных объектов.
Порядок переноса полученных величин.
Способы изменения масштабов.
Возможность объединения нескольких операций в один алгоритм.
И критерии завершения соответствующей процедуры.
Именно такой подход превращает полисекцию из отдельной геометрической задачи в элемент более общей технологии.
Здесь начинает формироваться конструктивный аппарат гармонической геометрии.
41. Историческая преемственность геометрических принципов
Подобие треугольников, параллельные прямые и пропорциональное деление отрезков принадлежат к фундаментальному наследию классической геометрии.
Их математические свойства были известны ещё древним геометрам.
Поэтому предметом настоящего исследования становится прежде всего организация этих принципов в единую конструктивную систему.
Особый интерес представляет вопрос о том, насколько универсальная и технологически рациональная организация соответствующих операций могла быть разработана уже на основе математических знаний и инструментов, доступных в античности.
Этому направлению будет посвящено специальное историческое исследование в третьей главе настоящего тома.
Здесь же наша задача состоит в последовательном изложении исходной технологии и математическом обосновании её конструктивных свойств.
42. Иллюстративный атлас базовой технологии
Для полноценного понимания рассмотренной конструкции особое значение имеют геометрические иллюстрации.
Последовательность основных изображений организуется следующим образом.
Первый чертёж показывает исходный отрезок.
Второй — построение вспомогательного луча и равных шагов.
Третий — образование основного треугольника.
Четвёртый — получение первой точки деления посредством параллельной прямой.
Пятый — завершённую пентасекцию.
Шестой — систему вложенных подобных треугольников.
Седьмой — симметричную двухлучевую разновидность.
Восьмой — деление исходного отрезка на десять равных частей.
Девятый — сопоставление трисекции и гексасекции.
Десятый — перенос одной вспомогательной шкалы на два различных целевых отрезка.
Одиннадцатый — выделение заданной доли первоначальной длины.
Двенадцатый — полную симметричную систему полисекции.
Такой иллюстративный ряд позволяет проследить переход от простейшей геометрической схемы к более развитой системе конструктивных операций.
43. Самостоятельное воспроизведение построения
Для закрепления материала рассмотрим практическую последовательность действий.
Возьмём произвольный прямолинейный отрезок.
Поставим задачу разделить его на семь равных частей.
Из одного конца отрезка проведём вспомогательный луч.
На этом луче последовательно отложим семь одинаковых шагов.
Конечную точку седьмого шага соединим с другим концом исходного отрезка.
Через каждую из шести внутренних вспомогательных точек проведём прямую, параллельную полученной соединительной стороне.
Определим точки пересечения этих прямых с исходным отрезком.
В результате получим семь равных последовательных суботрезков.
Правильность построения непосредственно следует из подобия соответствующих треугольников.
Этот пример показывает возможность самостоятельного воспроизведения универсального алгоритма при изменении количества частей.
44. Главные конструктивные результаты первой главы
Подведём предварительные итоги.
Во-первых, исходная задача полисекции прямолинейного отрезка может быть организована посредством системы подобных треугольников с общей вершиной.
Во-вторых, такая конструкция обеспечивает перенос равномерной вспомогательной шкалы на исходный отрезок.
В-третьих, один и тот же геометрический принцип применим к различному заранее установленному количеству равных частей.
В-четвёртых, вспомогательная система может использоваться повторно для построения пропорциональных отношений на других отрезках.
В-пятых, возможна симметричная организация конструкции посредством двух вспомогательных лучей.
В-шестых, полученные суботрезки могут служить исходными величинами для последовательной полисекции, сложения, вычитания и других операций геометрической арифметики.
В-седьмых, математическая точность результата определяется свойствами подобия, тогда как технологическая точность физического воспроизведения требует самостоятельного контроля.
Таким образом, уже на уровне исходной конструкции формируется достаточно широкий комплекс взаимосвязанных геометрических возможностей.
45. Заключение. От базовой полисекции — к универсальной геометрической арифметике
Итак, в первой главе третьего тома мы перешли от понятийно-методологических оснований гармонической геометрии к непосредственному исследованию конкретной конструктивной технологии.
В качестве исходного геометрического объекта был рассмотрен произвольный прямолинейный отрезок.
В качестве основной операции — его полисекция.
А в качестве математической основы — система подобных треугольников с общей вершиной.
Мы установили последовательность основных конструктивных действий.
Рассмотрели получение вспомогательной шкалы равных шагов.
Исследовали построение соответствующих параллельных прямых.
Показали получение равных частей первоначального отрезка.
И обосновали правильность результата посредством подобия треугольников.
Затем рассмотрели возможность распространения исходной схемы на произвольное конечное количество частей.
Особое внимание было уделено симметричной организации вспомогательных лучей, переносу пропорций, повторному использованию построенных элементов и перспективам объединения полисекции с другими геометрическими операциями.
Таким образом, базовая полисекция рассматривается не только как отдельный способ деления отрезка.
Она становится одним из исходных элементов более общей системы конструктивной геометрической арифметики.
Перед нами открывается возможность дальнейшего исследования сложения, вычитания, умножения и деления линейных величин.
Последовательного масштабирования.
Воспроизведения заданных рациональных отношений.
И построения числовых коэффициентов с необходимой и достаточной точностью.
Именно такие технологии в дальнейшем должны составить конструктивную основу более сложных геометрических преобразований.
От разделения прямолинейного отрезка — к исследованию его произвольных долей.
От получения долей — к их последовательному воспроизведению.
От пропорционального переноса — к геометрической арифметике.
От одной вспомогательной конструкции — к системе многократно используемых геометрических операций.
От полисекции отрезков — к универсальным конструктивным технологиям гармонической геометрии.
Следующая глава будет посвящена подробному исследованию универсальной полисекции отрезков: бисекции, трисекции, пентасекции, гексасекции и деления на произвольное количество равных частей.
В ней предстоит систематизировать конкретные варианты построений, исследовать их особенности и возможности сочетания в единой технологической системе.
От базовой технологии — к универсальной полисекции.
++++++

 

ГЛАВА 2. УНИВЕРСАЛЬНАЯ ПОЛИСЕКЦИЯ ОТРЕЗКОВ: БИСЕКЦИЯ, ТРИСЕКЦИЯ, ПЕНТАСЕКЦИЯ, ГЕКСАСЕКЦИЯ И ДЕЛЕНИЕ НА ПРОИЗВОЛЬНОЕ ЧИСЛО РАВНЫХ ЧАСТЕЙ
1. От базовой технологии — к универсальной полисекции
В первой главе третьего тома мы рассмотрели фундаментальную технологию полисекции прямолинейного отрезка посредством системы подобных треугольников с общей вершиной.
Было показано, что использование вспомогательного луча, равных последовательных отрезков и параллельных прямых позволяет воспроизводить на исходном отрезке заданную систему равных частей.
Математическая правильность соответствующего построения определяется свойствами подобных треугольников.
Однако теперь необходимо сделать следующий шаг.
Исследовать не только одну геометрическую конструкцию, но и целое семейство построений, объединённых общим математическим принципом.
Как разделить отрезок на две равные части?
На три?
На пять?
На шесть?
На десять, сто или произвольное заранее заданное количество частей?
И можно ли все эти построения организовать посредством одного универсального алгоритма?
Именно эти вопросы составляют основное содержание настоящей главы.
2. Универсальность как свойство конструктивной технологии
Важнейшей особенностью универсальной геометрической технологии является возможность применять один и тот же конструктивный принцип к различным исходным условиям.
В нашем случае такими условиями выступают длина исходного отрезка и количество равных частей, которые необходимо получить.
Предположим, что первоначально требуется разделить отрезок на три равные части.
Затем возникает задача деления другого отрезка на семь частей.
После этого — на двенадцать.
Если для каждого случая используется совершенно самостоятельная система построений, мы имеем совокупность специализированных методов.
Но если соответствующие результаты получаются посредством одного общего алгоритма, изменяемого только в зависимости от количества необходимых частей, возникает универсальная конструктивная технология.
Именно такую организацию геометрического конструирования будем исследовать далее.
3. Геометрическая определённость задачи
Рассматривается произвольный прямолинейный отрезок, расположенный на евклидовой плоскости.
Его конечные точки обозначим буквами А и Б.
Длина исходного отрезка является положительной.
Требуется построить заданное количество последовательных суботрезков, обладающих одинаковой длиной.
Все получаемые точки деления должны принадлежать исходному отрезку.
Причём их порядок должен соответствовать последовательному расположению равных частей от точки А к точке Б.
Таким образом, результатом полисекции становится не новая пространственная траектория, а определённая система точек на первоначальном прямолинейном объекте.
Это положение сохраняет силу независимо от количества частей.
4. Три основных элемента универсальной полисекции
В рассматриваемой технологии можно выделить три взаимосвязанных конструктивных элемента.
Первый — исходный прямолинейный отрезок, подлежащий делению.
Второй — вспомогательная система равных шагов, организованная на отдельном луче.
Третий — система параллельных соединительных прямых, обеспечивающая перенос пропорциональных отношений.
Эти элементы выполняют различные функции.
Исходный отрезок определяет геометрический объект и общую длину, которую необходимо разделить.
Вспомогательная шкала задаёт требуемое количество равных интервалов.
А система параллельных прямых обеспечивает воспроизведение соответствующих пропорций на исходном отрезке.
В результате образуется семейство подобных треугольников с общей вершиной.
5. Основная последовательность построения
Представим универсальный алгоритм в виде последовательности конкретных действий.
1. Задаём исходный прямолинейный отрезок АБ.
2. Выбираем один из его концов в качестве общей вершины построения.
3. Из этой вершины проводим вспомогательный луч, не лежащий на исходной прямой.
4. На вспомогательном луче откладываем столько равных последовательных шагов, сколько частей требуется получить.
5. Соединяем конечную точку последнего вспомогательного шага с противоположным концом исходного отрезка.
6. Через остальные точки вспомогательной шкалы проводим прямые, параллельные полученной соединительной стороне.
7. Определяем точки пересечения этих параллельных прямых с исходным отрезком.
8. Полученные точки разделяют исходный отрезок на установленное количество равных частей.
Эта последовательность представляет собой обобщённый алгоритм полисекции.
В дальнейшем мы рассмотрим его конкретные реализации.
6. Почему длина исходного отрезка может быть произвольной
Математическая основа предложенной технологии не зависит от абсолютной длины исходного отрезка.
Он может иметь длину несколько миллиметров.
Несколько сантиметров.
Несколько метров.
Или существенно большую величину.
Пропорциональные отношения в системе подобных треугольников определяются не абсолютными размерами исходного объекта, а соответствующими геометрическими отношениями сторон.
Поэтому изменение длины исходного отрезка при сохранении правил построения не изменяет математического принципа полисекции.
Разумеется, при материальном выполнении чертежа особенности масштаба приобретают самостоятельное значение.
Однако математическая универсальность сохраняется.
7. Произвольность вспомогательного шага
Аналогичное положение относится к длине вспомогательного шага.
Его можно выбирать с учётом доступного пространства и удобства выполнения построения.
Например, при делении некоторого отрезка на пять частей на вспомогательном луче можно последовательно отложить пять одинаковых отрезков выбранной длины.
При этом величина вспомогательного шага не обязана совпадать с длиной одной пятой первоначального отрезка.
Именно система подобия обеспечивает получение необходимого отношения.
Таким образом, не требуется заранее вычислять длину искомой части исходного отрезка.
Она определяется непосредственно геометрическим построением.
8. Роль параллельных прямых
Особое значение в универсальной полисекции имеют параллельные прямые.
Рассмотрим основной треугольник, одна сторона которого представляет исходный отрезок, а другая располагается на вспомогательном луче.
Третья сторона соединяет конечные точки этих двух сторон.
Если через внутреннюю точку вспомогательной стороны провести прямую, параллельную третьей стороне основного треугольника, возникает меньший треугольник.
Он подобен исходному.
Следовательно, положение его основания на первоначальном отрезке определяется соответствующей долей вспомогательной стороны.
Именно благодаря этому равные шаги вспомогательного луча воспроизводятся в виде равных частей исходного отрезка.
Параллельность здесь выступает не декоративным свойством чертежа, а фундаментальным условием математической правильности построения.
9. Общее доказательство правильности полисекции
Предположим, что на вспомогательном луче отложено заранее установленное количество одинаковых последовательных шагов.
Последняя точка вспомогательной шкалы соединена с конечной точкой исходного отрезка.
Через каждую внутреннюю вспомогательную точку проведена прямая, параллельная заключительной соединительной стороне.
В результате образуется семейство подобных треугольников с общей вершиной.
Для каждого такого треугольника отношение его основания к полной длине исходного отрезка равно отношению соответствующей части вспомогательного луча к полной длине вспомогательной шкалы.
Поскольку последовательные вспомогательные шаги равны, расстояния между соседними полученными точками исходного отрезка также равны.
Следовательно, универсальный алгоритм обеспечивает математически точное разделение первоначального отрезка на заданное количество равных частей.
Это доказательство применимо ко всем рассматриваемым далее разновидностям полисекции.
10. Бисекция как простейший случай универсальной полисекции
Начнём с деления отрезка на две равные части.
Эта операция называется бисекцией.
Пусть задан исходный отрезок АБ.
Из точки А проведём вспомогательный луч.
На нём последовательно отложим два равных шага.
Конечную точку второго шага соединим с точкой Б.
Через промежуточную точку вспомогательной шкалы проведём прямую, параллельную полученной соединительной стороне.
Она пересечёт исходный отрезок в определённой точке.
Поскольку соответствующий малый треугольник подобен основному, а его вспомогательная сторона составляет половину соответствующей стороны большого треугольника, полученная точка располагается точно посередине первоначального отрезка.
Таким образом, бисекция осуществляется посредством универсальной системы подобных треугольников.
Субрисунок 1. Бисекция отрезка посредством двух равных вспомогательных шагов.
11. Математический результат бисекции
После завершения построения исходный отрезок разделён на две равные части.
Каждая обладает половиной первоначальной длины.
При этом оба полученных суботрезка лежат на одной прямой.
И имеют одну общую внутреннюю конечную точку.
Таким образом, сохраняется геометрическая определённость первоначального объекта.
Бисекция представляет собой простейшую нетривиальную разновидность универсальной полисекции.
Она особенно важна потому, что может многократно применяться к уже полученным частям.
Например, последовательная бисекция позволяет получать четыре, восемь, шестнадцать и другие количества равных частей, образуемые повторным делением пополам.
12. Бисекция и геометрическая середина
Полученная посредством бисекции точка является серединой исходного отрезка.
Её можно определить и другими классическими геометрическими способами.
Однако в настоящем исследовании особенно важно, что построение середины включается в единую систему универсальной полисекции.
Это позволяет использовать одну конструктивную технологию при решении задач с различным количеством частей.
Следовательно, бисекция рассматривается не только как самостоятельная операция.
Она выступает начальным элементом более общей системы деления линейных величин.
13. Трисекция прямолинейного отрезка
Следующий случай — трисекция.
Требуется разделить исходный отрезок на три равные части.
Для этого из точки А проведём вспомогательный луч.
На нём последовательно отложим три одинаковых шага.
Конечную точку третьего шага соединим с точкой Б.
Теперь через первую и вторую вспомогательные точки проведём прямые, параллельные заключительной соединительной стороне.
Они пересекут первоначальный отрезок в двух внутренних точках.
Эти точки разделят его на три последовательных суботрезка.
По свойствам подобных треугольников все три полученных суботрезка имеют одинаковую длину.
Таким образом, трисекция осуществляется посредством того же базового алгоритма.
Субрисунок 2. Трисекция отрезка посредством трёх равных вспомогательных шагов.
14. Геометрическое обоснование трисекции
Рассмотрим три треугольника с общей вершиной А.
Первый соответствует одному вспомогательному шагу.
Второй — двум.
Третий — всей вспомогательной шкале, содержащей три шага.
Все три треугольника подобны.
Следовательно, основания первых двух треугольников составляют соответственно одну треть и две трети полного исходного отрезка.
Таким образом, первая внутренняя точка деления располагается на расстоянии одной трети длины от точки А.
Вторая — на расстоянии двух третей.
Расстояние между этими точками также составляет одну треть исходной длины.
Следовательно, все три полученные части равны.
15. Принципиальное значение трисекции отрезка
Трисекция представляет особый интерес для последующего исследования геометрической арифметики.
Она позволяет непосредственно получать треть исходной длины.
Две трети.
А также последовательные комбинации этих долей с другими геометрическими величинами.
При этом следует сохранять точное определение предмета построения.
В настоящей главе рассматривается трисекция прямолинейного отрезка.
Это операция над линейной величиной.
Её математическое содержание определяется подобием и отношениями длин.
В дальнейшем, при исследовании полисекции углов, будут рассматриваться самостоятельные конструктивные технологии работы с угловыми величинами.
16. Пентасекция отрезка
Перейдём к делению первоначального отрезка на пять равных частей.
Эта операция называется пентасекцией.
Из точки А проведём вспомогательный луч.
На нём отложим пять одинаковых последовательных шагов.
Последнюю вспомогательную точку соединим с точкой Б.
Через четыре внутренние точки вспомогательной шкалы проведём прямые, параллельные заключительной соединительной стороне.
В результате на исходном отрезке возникнут четыре внутренние точки деления.
Они образуют пять последовательно расположенных суботрезков.
Все полученные части будут равны по длине.
Субрисунок 3. Пентасекция отрезка на основе пяти равных вспомогательных шагов.
17. Пентасекция как основа построения пятых долей
После выполнения пентасекции исходная длина представлена системой пяти равных частей.
Каждая составляет одну пятую первоначального отрезка.
Но конструктивные возможности полученной системы этим не ограничиваются.
Можно выделить два последовательных суботрезка.
Их суммарная длина будет составлять две пятых исходной.
Аналогичным образом можно получить три пятых.
Или четыре пятых.
Следовательно, пентасекция позволяет воспроизводить несколько различных рациональных отношений посредством одной первоначальной конструкции.
Это представляет непосредственный интерес для дальнейшей разработки геометрической арифметики.
18. Пример пентасекции отрезка заданной длины
Предположим, что исходный отрезок имеет длину двадцать сантиметров.
Требуется разделить его на пять равных частей.
В результате каждая полученная часть должна иметь длину четыре сантиметра.
Однако при использовании рассматриваемой технологии нет необходимости предварительно измерять и последовательно откладывать на исходном отрезке четыре сантиметра.
Достаточно построить вспомогательную шкалу из пяти равных шагов.
Затем перенести соответствующие пропорции посредством системы подобных треугольников.
Полученный результат будет определяться математическими свойствами построения.
Таким образом, числовое значение длины может использоваться для проверки результата, но не является обязательным исходным элементом самого алгоритма.
19. Гексасекция отрезка
Следующая разновидность универсальной полисекции — гексасекция.
Требуется разделить первоначальный отрезок на шесть равных частей.
Из точки А проведём вспомогательный луч.
На нём последовательно отложим шесть одинаковых шагов.
Конечную точку шестого шага соединим с точкой Б.
Через пять внутренних вспомогательных точек проведём прямые, параллельные заключительной соединительной стороне.
Полученные точки пересечения с исходным отрезком определят шесть равных суботрезков.
Математическая правильность результата вновь определяется подобием треугольников.
Субрисунок 4. Гексасекция посредством шести равных вспомогательных шагов.
20. Гексасекция как непосредственная универсальная операция
Особенность рассмотренного построения заключается в том, что деление на шесть частей выполняется непосредственно.
Не требуется предварительно делить исходный отрезок на три части.
И затем каждую треть делить пополам.
Возможно сразу организовать вспомогательную шкалу из шести шагов и получить все необходимые внутренние точки.
Таким образом, универсальная технология позволяет осуществлять гексасекцию как единую конструктивную процедуру.
При этом составные способы деления также представляют самостоятельный интерес.
Их можно исследовать с точки зрения последовательной организации операций.
21. Гексасекция посредством последовательной трисекции и бисекции
Рассмотрим альтернативную конструктивную организацию той же задачи.
Сначала разделим исходный отрезок на три равные части.
После этого каждую из полученных частей разделим пополам.
В результате возникнет шесть равных суботрезков.
Такой способ основан на последовательном применении двух операций.
Трисекции.
И бисекции.
Обе выполняются посредством известных геометрических построений.
И каждая имеет самостоятельное математическое обоснование.
Таким образом, гексасекция может быть осуществлена как непосредственно, так и посредством комбинации более простых операций.
Сравнение подобных вариантов представляет интерес для исследования конструктивной эффективности.
22. Прямая и последовательная полисекция
В рассмотренных примерах возникает важное различие между двумя способами организации построений.
Первый способ предполагает непосредственное деление исходного отрезка на необходимое количество частей.
Второй — последовательное деление уже полученных суботрезков.
Например, деление на шесть равных частей может выполняться посредством шести вспомогательных шагов.
Или посредством трисекции с последующей бисекцией.
Оба варианта обеспечивают одинаковый математический результат.
Однако их конструктивная организация различается.
Поэтому в дальнейшем будет полезно исследовать, какое количество вспомогательных элементов необходимо для каждого варианта.
Насколько удобно выполнять соответствующие операции.
И какие построения допускают повторное использование.
Именно так универсальная полисекция связывается с проблемой рациональной организации геометрических технологий.
23. Сравнение бисекции, трисекции, пентасекции и гексасекции
Теперь сопоставим четыре рассмотренные разновидности полисекции.
При бисекции вспомогательная шкала содержит два равных шага.
При трисекции — три.
При пентасекции — пять.
При гексасекции — шесть.
Соответственно увеличивается количество внутренних точек деления исходного отрезка.
Однако математический принцип остаётся неизменным.
Во всех случаях используется вспомогательный луч.
Во всех случаях выполняется построение основного треугольника.
И во всех случаях соответствующие пропорции переносятся посредством параллельных прямых.
Следовательно, четыре разновидности полисекции представляют собой конкретные реализации одной универсальной конструктивной системы.
24. Декасекция отрезка
Рассмотрим более сложный пример.
Требуется разделить исходный отрезок на десять равных частей.
Такую операцию будем называть декасекцией.
На вспомогательном луче последовательно откладываются десять равных шагов.
Конечная точка десятого шага соединяется с точкой Б.
Через девять внутренних вспомогательных точек проводятся соответствующие параллельные прямые.
В результате образуются десять равных последовательных суботрезков.
Полученная конструкция имеет особое значение для воспроизведения десятичных долей геометрических величин.
Она позволяет получать одну десятую, две десятых и другие рациональные доли первоначальной длины.
Субрисунок 5. Декасекция отрезка посредством десяти равных вспомогательных шагов.
25. Декасекция и десятичная система числовых величин
Деление отрезка на десять равных частей создаёт удобную конструктивную основу для воспроизведения десятичных отношений.
Каждая часть составляет одну десятую исходной длины.
Если затем разделить одну такую часть ещё на десять равных суботрезков, получится одна сотая первоначальной длины.
Повторное деление позволяет получать тысячные и последующие десятичные доли.
Таким образом, десятичная система записи чисел может получать непосредственную геометрическую интерпретацию.
При этом важно различать математически определённые последовательные доли и возможности их физического воспроизведения в конкретном масштабе.
Эта проблема будет подробно исследована в шестой главе настоящего тома.
26. Полисекция на семь равных частей
Рассмотрим ещё один пример, показывающий универсальность технологии.
Требуется разделить исходный отрезок на семь равных частей.
Для этого не нужно разрабатывать новый принцип построения.
Достаточно отложить на вспомогательном луче семь одинаковых шагов.
Соединить конечную вспомогательную точку с точкой Б.
И провести через шесть внутренних вспомогательных точек соответствующие параллельные прямые.
Полученные пересечения разделят первоначальный отрезок на семь равных частей.
Этот пример особенно показателен.
Число семь не образуется последовательным умножением двух меньших натуральных чисел, превышающих единицу.
Но непосредственная универсальная полисекция не зависит от такого арифметического свойства количества частей.
27. Простые и составные количества частей
С точки зрения универсальной технологии полезно различать два класса задач.
Первый связан с делением на простое количество равных частей.
Например, на три, пять, семь или одиннадцать.
Второй — с делением на составное количество частей.
Например, на шесть, восемь, десять или двенадцать.
При непосредственной полисекции различие между этими случаями не изменяет математического принципа построения.
В обоих случаях используется соответствующее количество равных вспомогательных шагов.
Однако для составных количеств частей возникают дополнительные возможности последовательного деления.
Например, деление на двенадцать равных частей можно организовать посредством первоначальной трисекции и последующей тетрасекции каждой полученной трети.
Таким образом, арифметическая структура количества частей может влиять на выбор конструктивной организации, но не препятствует применению общего алгоритма.
28. Полисекция на двенадцать равных частей
Рассмотрим непосредственное деление отрезка на двенадцать равных частей.
На вспомогательном луче откладываются двенадцать одинаковых последовательных шагов.
Последняя вспомогательная точка соединяется с точкой Б.
Через остальные одиннадцать точек проводятся параллельные прямые.
Получается система из двенадцати равных суботрезков.
Однако можно использовать и последовательную технологию.
Сначала разделить исходный отрезок на три части.
Затем каждую треть разделить на четыре равные части.
В результате получится то же количество равных суботрезков.
Этот пример показывает, что одна геометрическая задача может допускать несколько математически эквивалентных конструктивных реализаций.
Именно поэтому в дальнейшем представляет интерес отдельное исследование различных технологий полисекции на основе подобия треугольников.
29. Универсальная полисекция на произвольное число частей
Теперь перейдём к наиболее общей постановке задачи.
Пусть задан произвольный прямолинейный отрезок.
Требуется разделить его на некоторое заранее установленное натуральное число равных частей.
При этом конкретное значение количества частей не является принципиальным условием выбора математической схемы.
На вспомогательном луче откладывается соответствующее количество одинаковых шагов.
Конечная точка последнего шага соединяется с противоположным концом исходного отрезка.
Через все остальные вспомогательные точки проводятся параллельные прямые.
Полученная система пересечений определяет искомое деление.
Таким образом, универсальная технология задаётся конечной последовательностью конструктивных операций, количество повторений которых определяется исходной задачей.
Субрисунок 6. Общая схема полисекции на произвольное натуральное число равных частей.
30. Математическое доказательство универсальности
Правильность общего построения можно доказать без последовательного рассмотрения всех возможных количеств частей.
Для этого достаточно установить свойство, сохраняющееся при любом заранее заданном натуральном количестве вспомогательных шагов.
Каждая внутренняя вспомогательная точка определяет треугольник с общей вершиной.
Соединительная сторона этого треугольника параллельна соответствующей стороне большого треугольника.
Следовательно, все такие треугольники подобны.
При этом отношение длины вспомогательной стороны очередного треугольника к полной вспомогательной длине определяется количеством равных шагов от общей вершины.
То же отношение воспроизводится на исходном отрезке.
Поэтому последовательные одинаковые вспомогательные шаги определяют последовательные одинаковые части исходного отрезка.
Доказательство не зависит от конкретного количества шагов.
Следовательно, математическая правильность алгоритма установлена для любого заранее заданного натурального числа частей.
31. Конечность универсального построения
Особое значение имеет конечность соответствующей конструктивной процедуры.
Для каждого заранее установленного количества частей требуется конечное число геометрических действий.
Если необходимо получить пять равных частей, выполняется построение пяти вспомогательных шагов.
Если десять — десяти.
Если сто — ста.
Количество операций может увеличиваться вместе с количеством частей.
Но для каждой конкретной задачи оно остаётся конечным.
Таким образом, универсальная полисекция представляет собой семейство конечных построений, объединённых общим алгоритмом.
В этом смысле она непосредственно согласуется с рассмотренным во втором томе принципом различия между конечностью конкретной операции и потенциальной неограниченностью дальнейшего развития конструктивной процедуры.
32. Особый случай деления на одну часть
Для полноты общей постановки необходимо рассмотреть минимальное натуральное количество частей.
Если исходный отрезок требуется разделить на одну часть, дополнительное построение не требуется.
Единственной частью является сам первоначальный отрезок.
Таким образом, такой случай представляет тривиальную разновидность полисекции.
Все основные конструктивные операции, исследуемые в настоящей главе, относятся к делению на два и более равных суботрезка.
Именно при этих значениях возникает задача построения новых внутренних точек.
33. Количество вспомогательных построений
Рассмотрим конструктивную сложность непосредственной универсальной полисекции.
Для деления исходного отрезка на установленное количество частей необходимо получить такое же количество вспомогательных равных шагов.
Затем построить одну заключительную соединительную сторону основного треугольника.
И провести столько внутренних параллельных прямых, сколько внутренних точек деления требуется получить.
Например, при пентасекции строятся пять вспомогательных шагов и четыре внутренние параллельные прямые.
При гексасекции — шесть шагов и пять параллельных.
При декасекции — десять шагов и девять параллельных.
Следовательно, конструктивная сложность непосредственного алгоритма закономерно увеличивается вместе с количеством частей.
Однако эта зависимость не означает необходимости изменения самой технологии.
34. Выбор направления вспомогательного луча
В рассматриваемой конструкции вспомогательный луч может иметь различные направления.
Главное условие заключается в том, чтобы он не лежал на одной прямой с исходным отрезком.
При соблюдении этого условия образуется невырожденный треугольник.
Положение вспомогательного луча может выбираться с учётом удобства чертежа.
Его можно направить вверх.
Или вниз.
Под более острым или более широким углом относительно исходного отрезка.
Соответствующая система параллельных прямых в каждом случае воспроизводит необходимые пропорциональные отношения.
Следовательно, положение вспомогательного луча представляет собой изменяемый параметр конструктивной организации.
35. Возможность построения от противоположного конца
До сих пор общей вершиной рассматривалась точка А.
Однако можно использовать и противоположную конечную точку исходного отрезка — точку Б.
В таком случае вспомогательный луч проводится из точки Б.
На нём откладываются равные шаги.
Последняя вспомогательная точка соединяется с точкой А.
А соответствующие параллельные прямые определяют внутренние точки первоначального отрезка.
Таким образом, полисекция может осуществляться от любого его конца.
Результирующая система равных частей при этом остаётся той же.
Изменяется только направление организации вспомогательного построения.
36. Симметричная двухлучевая полисекция
Особый интерес представляет симметричная организация универсальной полисекции.
Вместо одного вспомогательного луча можно использовать два.
Они исходят из общей вершины А и располагаются по разные стороны исходного отрезка.
При симметричном построении оба луча могут образовывать равные углы с исходной прямой.
На каждом из них строится соответствующая шкала равных шагов.
Затем организуются две согласованные системы подобных треугольников.
Одна располагается выше исходного отрезка.
Другая — ниже.
В результате возникает двухсторонняя геометрическая конструкция, способная воспроизводить одну и ту же систему деления первоначального отрезка.
Субрисунок 8. Симметричная двухлучевая схема универсальной полисекции.
37. Математическое согласование двухлучевой конструкции
Рассмотрим условия правильности симметричного построения.
Пусть на верхнем вспомогательном луче отложено необходимое количество равных шагов.
На нижнем луче также построена шкала с тем же количеством равных шагов.
Для каждой шкалы строится собственный основной треугольник.
Затем выполняется соответствующая система параллельных построений.
В обоих случаях каждая очередная точка исходного отрезка определяется одной и той же долей его полной длины.
Следовательно, соответствующие точки верхней и нижней конструкций совпадают.
При зеркально-симметричном расположении лучей и одинаковой длине вспомогательных шагов вся система приобретает также зеркальную симметрию относительно исходной прямой.
Таким образом, возможно согласованное использование двух семейств подобных треугольников для получения одной системы равных частей.
38. Повторное использование вспомогательной шкалы
Рассмотрим возможность повторного применения уже построенной геометрической конструкции.
Предположим, что на вспомогательном луче из точки А имеется шкала из десяти равных шагов.
С её помощью можно разделить один исходный отрезок на десять частей.
Но затем возможно выбрать другой целевой отрезок, имеющий ту же начальную точку А и не лежащий на вспомогательной прямой.
Его противоположный конец соединяется с последней точкой вспомогательной шкалы.
После этого строится новая система параллельных прямых.
В результате второй целевой отрезок также разделяется на десять равных частей.
Таким образом, одна вспомогательная шкала может использоваться для последовательной полисекции нескольких различных отрезков.
Это обстоятельство создаёт возможность повторного использования уже подготовленных геометрических элементов.
39. Полисекция нескольких отрезков в одной системе
Возможность повторного использования вспомогательной шкалы позволяет рассмотреть более общую конструкцию.
Из одной общей вершины могут исходить несколько целевых лучей.
На каждом задаётся определённый отрезок.
При этом сохраняется одна вспомогательная шкала равных шагов.
Для каждого целевого отрезка строится собственная заключительная соединительная сторона.
Затем выполняются соответствующие параллельные построения.
В результате несколько различных отрезков могут быть разделены на одинаковое количество равных частей.
Такая система представляет интерес для геометрического масштабирования.
А также для организации сложных чертежей, содержащих многочисленные пропорциональные отношения.
40. Последовательная полисекция и произведение количеств частей
Рассмотрим последовательное применение универсальной технологии.
Пусть первоначальный отрезок разделён на три равные части.
Затем каждая из полученных частей разделена на четыре равные части.
В результате первоначальный отрезок окажется разделённым на двенадцать равных суботрезков.
Аналогичным образом можно сначала выполнить пентасекцию.
Затем каждую пятую часть разделить на две равные части.
Получится десять равных суботрезков.
Таким образом, последовательная полисекция позволяет воспроизводить арифметическую операцию умножения натуральных количеств частей.
Это представляет интерес не только для организации геометрических построений, но и для исследования их связи с числовыми отношениями.
41. Многоступенчатые системы полисекции
Последовательная полисекция может включать не только два этапа.
Например, первоначальный отрезок можно разделить на пять равных частей.
Затем каждую часть — на две.
После этого каждый полученный суботрезок — ещё на пять равных частей.
В результате возникает многоуровневая система деления.
Каждый новый этап использует уже построенные объекты.
При этом необходимо сохранять правильность положения всех точек и равенство соответствующих частей.
Многоступенчатая полисекция представляет самостоятельный класс конструктивных алгоритмов.
Особое значение она приобретает при воспроизведении десятичных и других рациональных числовых отношений.
42. Геометрическое выделение произвольной рациональной доли
После выполнения полисекции появляется возможность выделять различные доли первоначальной длины.
Предположим, что исходный отрезок разделён на семь равных частей.
Можно выбрать один суботрезок.
Два последовательных суботрезка.
Три.
Или любое другое допустимое количество таких частей.
Например, четыре последовательных суботрезка будут составлять четыре седьмых первоначальной длины.
Таким образом, полисекция позволяет получать геометрические представления рациональных числовых отношений.
А при использовании последующего переноса и сложения отрезков эти отношения могут становиться исходными величинами для других построений.
Следовательно, универсальная полисекция представляет одно из непосредственных оснований геометрической арифметики.
43. Полисекция без предварительного числового измерения
Одной из важных особенностей рассматриваемой технологии является возможность выполнения построения без предварительного определения числовой длины исходного отрезка.
Если отрезок задан своими конечными точками, геометрическая задача полисекции уже имеет определённый смысл.
Для её решения не обязательно измерять исходную длину в сантиметрах, миллиметрах или других единицах.
Необходимо лишь построить вспомогательную шкалу равных шагов.
И выполнить соответствующие пропорциональные преобразования.
В результате получаются равные части исходного отрезка.
Это обстоятельство подчёркивает различие между геометрическим построением и числовым измерением.
Полисекция может осуществляться непосредственно посредством геометрических отношений.
44. Математическая точность универсальной полисекции
В идеальной евклидовой модели рассмотренная технология обеспечивает точное равенство полученных частей.
Это относится к бисекции.
Трисекции.
Пентасекции.
Гексасекции.
И делению на любое другое заранее установленное натуральное количество равных частей.
Математическая точность результата определяется соблюдением исходных условий построения.
Равенством вспомогательных шагов.
Параллельностью соответствующих прямых.
И подобием образуемых треугольников.
Следовательно, для прямолинейных отрезков универсальная полисекция представляет собой точную математическую операцию.
45. Технологическая точность физического построения
При переходе от математической модели к материальному чертежу необходимо учитывать особенности используемых инструментов.
Каждый вспомогательный шаг должен быть воспроизведён с установленной точностью.
Положение каждой параллельной прямой также должно определяться достаточно точно.
Особенно существенным это обстоятельство становится при выполнении большого количества последовательных делений.
Небольшие отклонения в положении отдельных точек могут влиять на фактические длины получаемых суботрезков.
Поэтому физическое воспроизведение универсальной полисекции требует соответствующего контроля.
Именно здесь получает непосредственное применение принцип необходимой и достаточной точности.
Требуемая степень соответствия результата должна определяться исходными условиями конкретной задачи.
46. Контроль правильности полученных частей
После завершения физического построения может быть полезно выполнить дополнительную проверку.
Например, сравнить длины соседних суботрезков с помощью циркуля-измерителя.
Проверить расположение точек деления на исходной прямой.
И установить, насколько полученные размеры соответствуют заданному допуску.
Для математического доказательства правильности универсального алгоритма такая экспериментальная проверка не требуется.
Однако при материальном выполнении чертежа она приобретает самостоятельное практическое значение.
Особенно это важно при построениях, предназначенных для дальнейшего инженерного или технологического использования.
Таким образом, математическое обоснование и физический контроль результата представляют различные, но взаимосвязанные этапы конструктивной деятельности.
47. Конструктивная эффективность различных вариантов полисекции
Мы рассмотрели несколько способов организации одинаковых математических результатов.
Например, гексасекция может осуществляться непосредственно.
Или посредством последовательной трисекции и бисекции.
Декасекция может выполняться посредством десяти вспомогательных шагов.
Или посредством пентасекции с последующим делением каждой пятой части пополам.
Такие варианты позволяют поставить вопрос об их сравнительной эффективности.
При исследовании необходимо учитывать количество вспомогательных линий.
Сложность построения параллельных прямых.
Возможность повторного использования уже созданных элементов.
Особенности масштаба.
И устойчивость физического воспроизведения.
Таким образом, универсальная полисекция создаёт основу для дальнейшего исследования рациональной организации геометрических технологий.
48. Царский путь в универсальной полисекции
Проблема конструктивной эффективности непосредственно связана с авторской концепцией Царского пути.
В рамках настоящего исследования она предполагает поиск наиболее рациональной технологии достижения установленной геометрической цели.
При этом оптимальность не должна определяться исключительно количеством построенных линий.
Необходимо учитывать правильность результата.
Точность.
Технологическую воспроизводимость.
Сложность используемых операций.
И возможность дальнейшего применения созданной конструкции.
Например, если требуется единственная бисекция, наиболее рациональной может оказаться сравнительно простая специализированная процедура.
Но если необходимо последовательно делить большое количество различных отрезков на одинаковое число частей, более эффективной может оказаться система с многократно используемой вспомогательной шкалой.
Следовательно, рациональность конкретного способа должна определяться условиями поставленной задачи.
49. Интегральный геометрический атлас универсальной полисекции
Для наглядного представления основных результатов настоящей главы подготовлена интегральная система из восьми субрисунков.
Первый показывает бисекцию исходного отрезка.
Второй — трисекцию.
Третий — пентасекцию.
Четвёртый — гексасекцию.
Пятый — декасекцию.
Шестой представляет обобщённую схему деления на произвольное натуральное количество равных частей.
Седьмой позволяет сопоставить построения для трёх, пяти и шести частей.
Восьмой иллюстрирует симметричную двухлучевую организацию универсальной полисекции.
Все субрисунки объединены одним математическим принципом.
Вспомогательная шкала равных шагов.
Система подобных треугольников с общей вершиной.
И перенос соответствующих пропорций на исходный отрезок.
Таким образом, интегральный геометрический атлас представляет основные разновидности универсальной полисекции в единой визуальной форме.
Рисунок 2.1. Универсальная полисекция прямолинейного отрезка: восемь конструктивных схем деления на заданное количество равных частей.
50. От универсальной полисекции — к геометрической арифметике
Полученные результаты имеют значение, выходящее за пределы непосредственного деления отрезков.
Универсальная полисекция позволяет строить определённые рациональные части исходной длины.
Воспроизводить их на других лучах.
Объединять последовательные суботрезки.
Получать новые линейные отношения.
И использовать построенные величины как исходные элементы последующих геометрических операций.
Таким образом, полисекция становится одним из основных инструментов геометрической арифметики.
Особый интерес представляет возможность сочетания прямого деления, последовательной полисекции и повторного использования вспомогательных геометрических систем.
Эти направления будут подробно исследованы в последующих главах третьего тома.
51. Значение универсальной полисекции для гармонической геометрии
В контексте предлагаемой гармонической геометрии универсальная полисекция имеет несколько принципиальных особенностей.
Прежде всего она представляет собой математически определённую операцию.
Её исходный объект — прямолинейный отрезок.
Её результат — система равных по длине суботрезков.
Её основная конструктивная технология — использование подобных треугольников и пропорционального переноса.
Её универсальность проявляется в возможности изменять количество частей без изменения фундаментального математического принципа.
Её воспроизводимость определяется наличием определённого конечного алгоритма.
А её технологическая эффективность может исследоваться посредством сопоставления различных способов организации построений.
Таким образом, универсальная полисекция представляет собой удобную исходную модель для дальнейшего развития общей системы геометрических операций.
52. Заключение. Универсальная полисекция как фундамент геометрической арифметики
Итак, во второй главе третьего тома мы рассмотрели основные разновидности универсальной полисекции прямолинейных отрезков.
Бисекцию.
Трисекцию.
Пентасекцию.
Гексасекцию.
Декасекцию.
А также деление на произвольное заранее установленное натуральное количество равных частей.
Было показано, что все эти построения могут осуществляться посредством единой системы подобных треугольников с общей вершиной.
Математическая правильность соответствующей технологии определяется пропорциональностью сторон подобных треугольников.
При этом количество вспомогательных шагов непосредственно связано с количеством получаемых равных частей.
Таким образом, универсальность проявляется в единстве конструктивного принципа при изменении количественных параметров задачи.
Особое внимание было уделено возможности последовательной полисекции.
Прямому и составному делению.
Повторному использованию вспомогательных шкал.
Симметричной двухлучевой организации построений.
И воспроизведению заданных рациональных долей исходной длины.
Были также рассмотрены математическая и технологическая точность соответствующих операций.
Установлено, что идеальная геометрическая конструкция обеспечивает точное равенство получаемых суботрезков.
А её физическое воспроизведение требует контроля соответствующих технологических характеристик.
Таким образом, универсальная полисекция представляет собой математически обоснованную и конструктивно воспроизводимую систему деления линейных величин.
Но её значение не ограничивается получением равных частей.
Полученные суботрезки могут использоваться для последующего построения рациональных отношений.
Для переноса величин.
Для геометрического сложения и вычитания.
Для масштабирования.
И для разработки более сложных конструктивных алгоритмов.
Следовательно, универсальная полисекция становится одним из фундаментальных элементов геометрической арифметики.
Вместе с тем разнообразие возможных способов организации подобных треугольников открывает перспективу самостоятельного сравнительного исследования технологий полисекции.
Именно здесь возникает возможность применения принципа Царского пути для поиска наиболее рациональных геометрических конструкций.
Таким образом, в первых двух главах третьего тома сформирована исходная конструктивная основа дальнейшего исследования.
Первая глава была посвящена базовой технологии.
Вторая — её универсальному применению к различным количествам равных частей.
Теперь необходимо обратиться к историческому наследию.
Исследовать методы Евклида, ан-Найризи и других геометров.
Сопоставить известные конструктивные технологии.
И определить их математические принципы, особенности организации и возможности дальнейшего использования.
Этому будет посвящена третья глава настоящего тома.
От отдельных разновидностей деления — к универсальной полисекции.
От универсальной полисекции — к воспроизведению заданных числовых отношений.
От равных частей — к геометрической арифметике.
От разнообразия конструктивных технологий — к исследованию Царского пути в геометрии.

+++++++
 

ГЛАВА 3. ЕВКЛИД, АН-НАЙРИЗИ И ДРУГИЕ ИСТОРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПОЛИСЕКЦИИ. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ КОНСТРУКТИВНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
1. От универсального алгоритма — к истории конструктивных технологий
В первых двух главах третьего тома мы рассмотрели базовую технологию полисекции прямолинейного отрезка посредством системы подобных треугольников с общей вершиной.
Были исследованы бисекция, трисекция, пентасекция, гексасекция и деление на произвольное заранее установленное натуральное количество равных частей.
Математическая правильность соответствующих построений определяется свойствами подобных треугольников и пропорциональностью их сторон.
Теперь необходимо обратиться к истории геометрического конструирования.
Ведь сама задача деления прямолинейного отрезка на заданное количество равных частей имеет чрезвычайно продолжительную историю.
Её решение было известно ещё античным геометрам.
Более того, уже в классической математике были сформулированы общие принципы, позволяющие переносить пропорциональные отношения между различными отрезками.
Однако с историко-технологической точки зрения представляет особый интерес не только математическая возможность получения заданного результата.
Не менее важным является способ организации соответствующих операций.
Какие вспомогательные фигуры использовались?
Как определялись равные части?
Каким образом строились необходимые прямые?
Сколько последовательных действий требовалось выполнить?
Можно ли было использовать уже созданную геометрическую конструкцию для решения других задач?
И наконец, какие из исторических принципов могут использоваться при разработке универсальной системы геометрической арифметики?
Именно эти вопросы составляют основное содержание третьей главы.
2. Математический результат и конструктивная технология
Прежде всего необходимо различать два уровня геометрической задачи.
Первый уровень — математический результат.
Например, разделение заданного отрезка на пять равных частей.
При этом требуется получить четыре внутренние точки, определяющие пять последовательно расположенных суботрезков одинаковой длины.
Второй уровень — конструктивная технология.
Она определяет, каким образом соответствующие точки получаются.
Один способ может использовать вспомогательный луч и параллельные прямые.
Другой — систему противоположно направленных перпендикуляров.
Третий — последовательное применение бисекции.
Четвёртый — заранее подготовленную пропорциональную шкалу.
Пятый — симметричную систему подобных треугольников.
Математический результат может быть одинаковым.
Но последовательности действий, пространственные конфигурации и возможности дальнейшего использования построенных элементов различаются.
Именно поэтому история геометрической полисекции представляет интерес не только как история математических открытий, но и как история конструктивных технологий.
3. Античные основания геометрического деления
Практические задачи разделения длин существовали задолго до появления систематических математических трактатов.
Землемерие, строительство, архитектура, ремесленное производство и организация пространственных измерений требовали воспроизведения определённых расстояний и пропорций.
Необходимо было делить строительные элементы.
Размечать основания сооружений.
Переносить размеры.
Воспроизводить заданные отношения между отдельными частями конструкций.
Однако для исторически строгого исследования важно различать наличие подобных практических задач и документальное подтверждение конкретного математического алгоритма.
Не всякая древняя разметка позволяет восстановить точную последовательность действий, посредством которой она создавалась.
Поэтому наиболее надёжной исходной основой нашего сравнительного исследования становятся сохранившиеся математические тексты, содержащие не только постановку задачи, но и конструктивную процедуру её решения.
Особое место среди таких источников занимают «Начала» Евклида.
4. Евклид и систематизация геометрического конструирования
Евклид, деятельность которого традиционно относят к рубежу IV–III веков до нашей эры, занимает исключительное место в истории математической науки.
Его главное достижение связано с систематической организацией геометрического знания.
В «Началах» отдельные определения, построения и доказательства объединены в последовательную математическую структуру.
Геометрическое действие рассматривается не как изолированный практический приём, а как операция, правильность которой обосновывается установленными математическими отношениями.
Для нашей темы особенно важны первая и шестая книги «Начал».
В первой книге рассматриваются основные элементарные построения.
В шестой — пропорции, подобие и конструктивные задачи, непосредственно связанные с преобразованием линейных величин.
Именно здесь находятся фундаментальные математические основания универсальной полисекции.
5. Евклидова бисекция: предложение I.10
В десятом предложении первой книги «Начал» Евклид рассматривает задачу деления заданного конечного прямолинейного отрезка пополам.
Пусть имеется отрезок АБ.
На нём строится равносторонний треугольник АБВ.
Затем угол при вершине В делится пополам.
Биссектриса этого угла пересекает основание АБ в некоторой точке.
Именно она становится серединой первоначального отрезка.
Математическое доказательство основано на равенстве двух образовавшихся треугольников.
Они имеют равные соответствующие стороны и равные углы между ними.
Следовательно, соответствующие части основания также равны.
Таким образом, первоначальный отрезок разделён на две равные части.
Это построение представляет важный исторический пример решения задачи полисекции посредством свойств равных треугольников.
Субрисунок 1. Евклидова бисекция отрезка по предложению I.10.
6. Конструктивное содержание евклидовой бисекции
Рассмотрим этот способ с технологической точки зрения.
Исходная задача требует получения одной внутренней точки.
Для её определения строится вспомогательная геометрическая фигура — равносторонний треугольник.
После этого выполняется деление определённого угла пополам.
Искомая точка возникает как пересечение биссектрисы с исходным отрезком.
Таким образом, одна задача геометрического деления решается посредством объединения нескольких ранее установленных операций.
Именно такой способ организации построений характерен для аксиоматико-дедуктивной системы Евклида.
Отдельные конструктивные результаты становятся средствами получения последующих результатов.
С точки зрения нашего исследования важно, что уже на этом уровне геометрия представляет собой систему взаимосвязанных алгоритмов.
7. От равенства треугольников — к их подобию
Для деления отрезка пополам достаточно использовать определённые свойства равных треугольников.
Однако задача деления на произвольное количество частей требует более общей математической организации.
Именно здесь особое значение приобретает теория пропорций.
В шестой книге «Начал» рассматриваются отношения соответствующих сторон треугольников и других геометрических фигур.
Одним из фундаментальных положений является второе предложение этой книги.
Оно устанавливает пропорциональность частей сторон треугольника при проведении прямой, параллельной третьей стороне.
Обратное утверждение позволяет устанавливать параллельность при соблюдении соответствующих пропорций.
Для универсальной полисекции это положение имеет непосредственное конструктивное значение.
Оно позволяет переносить отношения между отрезками с одного направления на другое.
Следовательно, подобие становится математическим основанием целого семейства технологий деления и масштабирования.
8. Предложение VI.9: получение заданной части отрезка
Девятое предложение шестой книги «Начал» непосредственно связано с нашей исследовательской программой.
Его задача заключается в построении заданной доли прямолинейного отрезка.
В сохранившемся изложении рассматривается конкретный пример получения одной трети.
Пусть задан отрезок АБ.
Из точки А проводится вспомогательный луч, образующий с исходным отрезком произвольный невырожденный угол.
На вспомогательном луче откладываются три равных последовательных шага.
Конечная точка третьего шага соединяется с точкой Б.
Затем через первую вспомогательную точку проводится прямая, параллельная полученной соединительной стороне.
Она пересекает исходный отрезок в определённой внутренней точке.
В силу подобия соответствующих треугольников полученный отрезок от точки А до точки пересечения составляет одну треть первоначальной длины.
Таким образом, задача решается посредством переноса пропорционального отношения.
Субрисунок 2. Построение одной трети отрезка по предложению VI.9 «Начал».
9. Математическое доказательство предложения VI.9
Рассмотрим основной треугольник.
Одна его сторона совпадает с исходным отрезком АБ.
Другая представляет вспомогательную сторону, разделённую на три равных шага.
Третья соединяет конечные точки этих сторон.
Через первую внутреннюю вспомогательную точку проводится прямая, параллельная заключительной стороне большого треугольника.
Возникает меньший треугольник с той же общей вершиной.
Соответствующие углы обоих треугольников равны.
Следовательно, треугольники подобны.
При этом вспомогательная сторона меньшего треугольника составляет треть соответствующей стороны большого.
Поэтому основание меньшего треугольника также составляет треть исходного отрезка.
Таким образом, требуемая доля получена без предварительного измерения длины АБ.
Результат обеспечивается самой геометрической конструкцией.
10. От получения одной доли — к полной полисекции
Предложение VI.9 особенно интересно с точки зрения его возможного конструктивного обобщения.
В описанном примере проводится одна внутренняя параллельная прямая.
Она определяет первую треть первоначального отрезка.
Но можно провести аналогичную параллель и через вторую вспомогательную точку.
В результате будет определена вторая точка деления.
Теперь первоначальный отрезок окажется разделённым на три равные части.
Аналогичным образом можно использовать вспомогательную шкалу, содержащую любое заранее установленное натуральное количество равных шагов.
Таким образом, математическая основа предложения VI.9 непосредственно допускает организацию общей полисекции.
Здесь необходимо различать изложенное Евклидом построение заданной части и его естественное конструктивное распространение на получение всей системы равных частей.
Оба случая опираются на одну математическую закономерность.
11. Предложение VI.10: перенос уже существующего деления
Следующее исключительно важное положение содержится в десятом предложении шестой книги «Начал».
Здесь ставится более общая задача.
Необходимо разделить заданный отрезок подобно тому, как уже разделён другой.
Причём части второго отрезка могут быть неравными.
Пусть имеется исходный отрезок АБ.
И другой, вспомогательный отрезок, уже разделённый на определённые части.
Эти два отрезка располагаются на лучах, исходящих из одной общей вершины.
Конечные точки соединяются.
Через внутренние точки вспомогательного деления проводятся прямые, параллельные заключительной соединительной стороне.
Они пересекают целевой отрезок.
В результате на нём возникает система частей, находящихся в тех же отношениях, что и соответствующие части вспомогательного образца.
Субрисунок 3. Перенос заданного деления по предложению VI.10.
12. Универсальность предложения VI.10
Предложение VI.10 представляет особый интерес, поскольку его конструктивное содержание шире простого деления на равные части.
Оно позволяет переносить произвольную заранее заданную систему пропорциональных отношений.
Например, вспомогательный отрезок может состоять из трёх последовательных частей различной длины.
Первая соответствует одной условной единице.
Вторая — двум.
Третья — трём.
При переносе такого деления на другой отрезок полученные части сохранят те же отношения.
Таким образом, евклидова конструкция позволяет работать с более общим семейством линейных пропорций.
Именно это свойство представляет непосредственную ценность для геометрической арифметики.
13. Математическое обоснование переноса произвольного деления
В основе предложения VI.10 лежит та же геометрическая закономерность.
Соответствующие соединительные прямые параллельны.
Поэтому образуемые треугольники с общей вершиной подобны.
Следовательно, расстояния от общей вершины до соответствующих точек двух лучей находятся в одном и том же отношении.
Если на вспомогательном отрезке определена некоторая последовательность внутренних точек, то аналогичная последовательность возникает на целевом отрезке.
При этом сохраняются отношения соответствующих последовательных частей.
Следовательно, построение обеспечивает не только передачу одной числовой доли.
Оно позволяет воспроизводить целую систему заданных пропорций.
Таким образом, уже в классической геометрии было сформировано математическое основание универсального пропорционального масштабирования.
14. Предложения VI.11 и VI.12: продолжение геометрической арифметики
Для понимания общей технологической программы полезно обратиться также к следующим предложениям шестой книги.
В предложении VI.11 рассматривается построение третьей пропорциональной величины.
В предложении VI.12 — четвёртой пропорциональной.
Эти задачи непосредственно связаны с воспроизведением заданных отношений между линейными величинами.
Их решение также опирается на геометрические отношения, устанавливаемые посредством соответствующих вспомогательных построений.
Таким образом, предложения VI.9–VI.12 образуют важную последовательность конструктивных задач.
От получения заданной части длины.
К переносу деления.
От переноса деления — к построению новых пропорциональных величин.
Именно эта последовательность представляет особый интерес при исследовании исторических оснований универсальной геометрической арифметики.
15. Евклидова технология как система взаимосвязанных построений
Подведём промежуточный итог.
В первой и шестой книгах «Начал» мы обнаруживаем несколько взаимосвязанных направлений геометрического конструирования.
Первое — построение середины прямолинейного отрезка.
Второе — получение заданной части его длины.
Третье — перенос уже существующего деления.
Четвёртое — построение пропорциональных величин.
Эти задачи объединяются общими математическими основаниями.
Равенством геометрических фигур.
Подобием.
Параллельностью.
И теорией пропорций.
Таким образом, евклидово наследие представляет фундаментальную основу для дальнейшего развития конструктивной геометрии.
Но история геометрических технологий этим не завершается.
16. Ан-Найризи и средневековая математическая традиция
Особое место в истории рассматриваемой проблемы занимает Абу-ль-Аббас аль-Фадль ибн Хатим ан-Найризи.
Его научную деятельность относят к концу IX — началу X века.
Ан-Найризи известен прежде всего как математик, астроном и комментатор античного геометрического наследия.
В частности, он подготовил комментарии к «Началам» Евклида.
Его деятельность представляет важный пример продолжения греческой математической традиции в средневековой арабоязычной науке.
Однако интерес ан-Найризи для настоящей главы определяется не только сохранением и изложением классической геометрии.
В историко-математических комментариях зафиксирована альтернативная конструкция деления прямолинейного отрезка на заданное количество равных частей.
Её пространственная организация существенно отличается от рассмотренного евклидова построения с одним вспомогательным лучом.
17. Основной принцип конструкции ан-Найризи
Рассмотрим построение, известное по комментариям ан-Найризи.
Пусть задан произвольный прямолинейный отрезок АБ.
Требуется разделить его на определённое натуральное количество равных частей.
Из конечной точки А проводится перпендикуляр к исходной прямой.
Из противоположной конечной точки Б проводится другой перпендикуляр.
При этом вспомогательные перпендикуляры направляются в противоположные стороны относительно исходного отрезка.
Например, первый — вверх.
Второй — вниз.
На обоих перпендикулярах откладываются равные последовательные шаги.
После этого соответствующие вспомогательные точки соединяются прямыми.
Полученная система соединительных линий пересекает исходный отрезок, образуя необходимые точки деления.
Субрисунок 4. Построение ан-Найризи для деления отрезка на пять равных частей.
18. Пентасекция по схеме ан-Найризи
Рассмотрим конкретный пример.
Необходимо разделить отрезок АБ на пять равных частей.
Из точки А построим перпендикуляр вверх.
Из точки Б — перпендикуляр вниз.
На каждом перпендикуляре отметим по четыре последовательных одинаковых шага.
При этом шаги на обоих перпендикулярах имеют одну и ту же длину.
Теперь соединим первую верхнюю вспомогательную точку с четвёртой нижней.
Вторую верхнюю — с третьей нижней.
Третью верхнюю — со второй нижней.
Четвёртую верхнюю — с первой нижней.
В результате будут построены четыре наклонные соединительные прямые.
Все они пересекут исходный отрезок АБ.
Полученные пересечения определят четыре внутренние точки полисекции.
Следовательно, первоначальный отрезок окажется разделённым на пять равных частей.
19. Почему соединительные прямые параллельны
Рассмотрим геометрическую структуру полученного построения.
Оба вспомогательных перпендикуляра параллельны друг другу.
Они расположены по разные стороны исходной прямой.
Каждая соединительная линия связывает определённую верхнюю точку с соответствующей нижней.
При этом суммарное количество вертикальных шагов между соединяемыми точками остаётся одинаковым.
Для первой линии это один шаг над исходным отрезком и четыре под ним.
Для второй — два над ним и три под ним.
Для третьей — три над ним и два под ним.
Для четвёртой — четыре над ним и один под ним.
Во всех случаях полный вертикальный перепад одинаков.
Горизонтальное расстояние между вспомогательными перпендикулярами также постоянно и равно длине исходного отрезка.
Следовательно, все соединительные прямые имеют одинаковое направление.
Они параллельны.
Таким образом, схема ан-Найризи представляет собой согласованную систему параллельных соединительных линий, организованную посредством двух противоположно направленных вспомогательных шкал.
20. Доказательство равенства полученных частей
Теперь необходимо установить, почему построенные прямые делят исходный отрезок на равные части.
Рассмотрим первую соединительную линию.
Она связывает точку, расположенную на один вспомогательный шаг выше точки А, с точкой, расположенной на четыре шага ниже точки Б.
Следовательно, точка пересечения этой линии с исходным отрезком разделяет соответствующую наклонную линию на части, вертикальные составляющие которых относятся как один шаг к четырём.
По подобию образуемых прямоугольных треугольников то же отношение выполняется для соответствующих горизонтальных расстояний.
Следовательно, первая точка пересечения находится на расстоянии одной пятой полной длины исходного отрезка от точки А.
Аналогично вторая соединительная линия определяет положение двух пятых.
Третья — трёх пятых.
Четвёртая — четырёх пятых.
Таким образом, расстояния между соседними точками полисекции равны.
Следовательно, конструкция обеспечивает математически точное деление исходного отрезка на пять равных частей.
21. Универсальное обобщение конструкции ан-Найризи
Рассмотренный способ естественным образом распространяется на произвольное заранее установленное количество частей.
Для этого необходимо построить два параллельных вспомогательных перпендикуляра из противоположных концов исходного отрезка.
На каждом из них откладывается одинаковая шкала, содержащая на один шаг меньше, чем требуется получить частей исходного отрезка.
Затем соединяются соответствующие вспомогательные точки.
Причём порядок соединения выбирается таким образом, чтобы суммарное число вертикальных шагов между соединяемыми точками было равно полному заданному количеству частей.
Получаемые соединительные прямые параллельны.
А их пересечения с первоначальным отрезком располагаются через одинаковые расстояния.
Следовательно, построение допускает применение к произвольному конечному количеству равных частей.
Субрисунок 5. Обобщённая схема ан-Найризи: деление на семь равных частей.
22. Особенности пространственной организации конструкции ан-Найризи
Важнейшая особенность рассмотренного метода заключается в использовании двух вспомогательных направлений, расположенных по разные стороны исходной прямой.
При этом сами вспомогательные линии параллельны.
И проходят через противоположные концы первоначального отрезка.
Следовательно, основная конструкция приобретает двусторонний характер.
В отличие от схемы с единой начальной вершиной здесь используются две пространственно разделённые вспомогательные шкалы.
Однако математическая основа остаётся связанной с пропорциональностью и подобием соответствующих треугольников.
Таким образом, мы получаем важный исторический пример изменения пространственной организации геометрической задачи при сохранении её математического содержания.
23. Евклид и ан-Найризи: два способа организации полисекции
Теперь можно непосредственно сопоставить рассмотренные построения.
В евклидовой технологии вспомогательная шкала располагается на луче, исходящем из одного конца первоначального отрезка.
Для переноса деления используется заключительная сторона большого треугольника и система параллельных прямых.
В конструкции ан-Найризи создаются две противоположно направленные вспомогательные шкалы.
Они располагаются на перпендикулярах, проходящих через оба конца исходного отрезка.
Соответствующие вспомогательные точки соединяются наклонными прямыми.
В результате обе конструкции обеспечивают деление первоначального отрезка на заданное количество равных частей.
Но пространственная организация вспомогательных объектов различается.
Это обстоятельство представляет самостоятельный интерес для истории конструктивной геометрии.
24. Сравнение необходимых геометрических операций
Для более содержательного сопоставления рассмотрим количество основных конструктивных действий.
При непосредственной евклидовой полисекции на пять равных частей создаётся вспомогательная шкала из пяти шагов.
Затем строится заключительная соединительная сторона.
И четыре внутренние параллельные прямые.
В конструкции ан-Найризи строятся два вспомогательных перпендикуляра.
На каждом откладываются четыре равных шага.
После этого проводятся четыре соединительные прямые.
Таким образом, способы различаются количеством и характером предварительных построений.
В одном случае главную роль играет построение параллельных прямых к определённой стороне треугольника.
В другом — создание двух согласованных перпендикулярных шкал и соединение соответствующих точек.
Поэтому сравнительную трудоёмкость необходимо исследовать с учётом конкретного инструментария.
25. Что означает конструктивная эффективность
Для настоящего исследования особенно важно уточнить понятие конструктивной эффективности.
Оно не сводится исключительно к числу линий, видимых на окончательном чертеже.
Необходимо учитывать также операции, посредством которых эти линии были построены.
Например, построение перпендикуляра циркулем и немаркированной линейкой представляет определённую последовательность геометрических действий.
Аналогичным образом построение параллельной прямой может требовать дополнительных вспомогательных операций.
Кроме того, последовательное откладывание равных отрезков предполагает определённую организацию работы с циркулем.
Следовательно, сравнение методов должно учитывать реальные элементарные действия в рамках заранее установленного набора инструментов.
Особенно интересным становится исследование эффективности при повторном использовании уже подготовленных конструкций.
26. Абу-ль-Вафа и практическая геометрия Средневековья
Следующий важный этап истории конструктивной геометрии связан с деятельностью Абу-ль-Вафа аль-Бузджани, жившего в X веке.
Он известен своими математическими, астрономическими и геометрическими исследованиями.
Особое значение для нашей темы имеет его трактат о геометрических построениях, необходимых ремесленнику.
В этом произведении рассматривается широкий круг практических задач.
Построение прямых и перпендикуляров.
Работа с окружностями.
Деление отрезков.
Построение правильных многоугольников.
Преобразование и разделение плоских фигур.
Особое внимание уделяется непосредственной воспроизводимости геометрических конструкций.
Таким образом, труды Абу-ль-Вафа представляют важное звено между теоретической геометрией и практической деятельностью мастеров.
27. Геометрическое построение как инструмент ремесленника
Практическое значение средневековых конструктивных трактатов трудно переоценить.
Геометрические отношения использовались при изготовлении архитектурных элементов, орнаментов, строительных деталей и различных предметов материальной культуры.
При этом ремесленник нуждался не только в математическом утверждении.
Ему требовалась последовательность действий, позволяющая непосредственно воспроизвести необходимую форму или размер.
Именно поэтому практические геометрические трактаты уделяли большое внимание чертежам и конструктивным инструкциям.
Для нашей исследовательской программы это обстоятельство имеет особое значение.
Оно показывает историческую взаимосвязь математической теории, геометрического алгоритма и технологического применения.
28. Построения с фиксированным раствором циркуля
Особый интерес представляют исследовавшиеся Абу-ль-Вафа построения с циркулем фиксированного раствора.
Такой инструмент позволяет многократно воспроизводить один и тот же радиус.
Это имеет непосредственное отношение к операциям последовательного откладывания равных отрезков.
Если вспомогательная шкала полисекции строится посредством одинаковых шагов, сохранение неизменного раствора циркуля позволяет организовать соответствующую операцию без постоянной перенастройки инструмента.
Разумеется, полная конструктивная процедура может включать и другие действия.
Однако само использование фиксированного шага представляет важный пример согласования математического принципа равенства с особенностями практического инструментария.
Таким образом, историческая геометрия ремесленников позволяет по-новому рассмотреть технологическую сторону универсальной полисекции.
29. От геометрических отрезков — к архитектурным построениям
Дальнейшее развитие конструктивной геометрии связано с архитектурной практикой Средневековья и Возрождения.
Одним из интересных исторических примеров является трактат мастера Маттиаса Рорицера, опубликованный в 1486 году.
Он посвящён геометрическим правилам построения архитектурных элементов, в частности каменных наверший и соответствующих конструктивных деталей.
В сохранившемся изложении рассматриваются деление отрезков пополам, на три и на шесть частей, а также перенос соответствующих размеров между планом и вертикальной конструкцией.
Этот пример особенно показателен.
Здесь деление отрезка выступает не отвлечённым математическим упражнением.
Оно становится необходимым элементом более сложной архитектурной технологии.
Следовательно, полисекция рассматривается как исходная операция, включаемая в последовательность проектных действий.
30. Полисекция как средство архитектурного масштабирования
Рассмотрим общий конструктивный смысл подобных архитектурных построений.
Предположим, что определённая ширина архитектурного элемента выбрана в качестве исходного размера.
На её основе необходимо получить другие размеры.
Например, половину первоначальной ширины.
Треть.
Или несколько последовательных равных частей.
После этого полученные величины используются для определения положения других конструктивных элементов.
Таким образом, один исходный размер становится геометрической основой целой системы пропорциональных отношений.
Этот принцип имеет непосредственную связь с универсальной геометрической арифметикой.
Важнейшее значение приобретает возможность многократного применения уже установленной системы пропорций.
31. Альбрехт Дюрер и геометрия измерения
Особое место в истории геометрии эпохи Возрождения занимает Альбрехт Дюрер.
В 1525 году был опубликован его трактат «Руководство к измерению циркулем и линейкой».
Это произведение было ориентировано на художников, архитекторов, скульпторов и представителей различных ремесленных специальностей.
В нём геометрия выступает как важнейшее средство рациональной организации изображения, измерения и построения.
Особое внимание уделяется конструктивному воспроизведению форм и размеров.
Для настоящего исследования принципиально важно именно это направление.
Геометрическое знание рассматривается не только как совокупность теорем.
Оно становится системой действий, посредством которых создаются определённые пространственные объекты.
Таким образом, развитие конструктивной геометрии эпохи Возрождения продолжает линию объединения математической теории и практической технологии.
32. От исторических построений — к единой технологической системе
Рассмотренные исторические примеры позволяют выделить несколько взаимосвязанных направлений.
Евклид формирует строгие математические основания пропорциональных построений.
Ан-Найризи демонстрирует возможность иной пространственной организации полисекции.
Абу-ль-Вафа представляет важную традицию практической геометрии, ориентированной на инструментарий и потребности ремесленников.
Рорицер показывает использование геометрического деления в архитектурных конструкциях.
Дюрер развивает систематическое изложение геометрических операций, необходимых для измерения и воспроизведения форм.
В совокупности эти направления позволяют рассматривать историю полисекции как часть более общей истории рационального геометрического действия.
33. Несколько семейств конструктивных методов
На основании проведённого исследования можно выделить несколько общих семейств геометрических технологий.
Первое семейство — построения посредством равенства треугольников.
К нему относятся, в частности, классические способы бисекции.
Второе семейство — пропорциональные построения с одним вспомогательным лучом.
Их математическая основа непосредственно связана с подобием и параллельностью.
Третье семейство — перенос деления с одного отрезка на другой.
Это направление позволяет воспроизводить как равные, так и неравные пропорциональные части.
Четвёртое семейство — двухсторонние построения с противоположно направленными вспомогательными линиями.
Характерным историческим примером выступает метод ан-Найризи.
Пятое семейство — последовательные многоступенчатые построения.
Они объединяют несколько элементарных операций деления.
Шестое семейство — построения с многократно используемыми вспомогательными шкалами.
Они представляют особый интерес для организации целой последовательности геометрических задач.
Эта классификация основана на конструктивных принципах, а не только на исторической последовательности появления методов.
34. Сравнительная характеристика исторических методов
Сведём основные результаты в компактную таблицу.
Метод Главный конструктивный принцип
Евклид, I.10 Деление пополам посредством равенства треугольников
Евклид, VI.9 Получение заданной доли посредством вспомогательного луча и параллельной прямой
Евклид, VI.10 Перенос уже существующего деления на другой отрезок
Ан-Найризи Два противоположных перпендикуляра и система соединительных прямых
Последовательная полисекция Повторное деление ранее полученных частей
Симметричная двухлучевая система Согласованные семейства подобных треугольников относительно общей вершины
Эта таблица показывает, что один математический результат может быть получен посредством различных пространственных конфигураций.
Однако для содержательного исследования конструктивной эффективности необходим более подробный анализ.
35. Критерии сравнения конструктивных технологий
Для последующего исследования целесообразно использовать систему общих критериев.
Первый критерий — математическая правильность.
Необходимо установить, обеспечивает ли алгоритм требуемое геометрическое отношение.
Второй — количество элементарных операций.
Здесь учитываются необходимые построения, а не только линии окончательного изображения.
Третий — характер используемого инструментария.
Например, требуется ли циркуль переменного раствора, фиксированного раствора или дополнительные чертёжные приспособления.
Четвёртый — удобство организации вспомогательных элементов.
Особое значение имеет доступность всех необходимых точек и прямых.
Пятый — возможность повторного использования уже построенных элементов.
Этот критерий становится особенно важным при выполнении нескольких последовательных задач.
Шестой — технологическая точность.
Она определяется условиями физического воспроизведения математической конструкции.
Седьмой — масштабируемость.
Необходимо исследовать применимость метода к различным размерам исходных объектов.
Восьмой — универсальность последующих преобразований.
Здесь рассматривается возможность использовать одну геометрическую конфигурацию не только для полисекции, но и для других арифметических операций.
36. Сравнение одноразового и многократного использования
Особый интерес представляет различие между отдельным геометрическим построением и последовательным использованием общей вспомогательной системы.
Предположим, что требуется один раз разделить заданный отрезок на пять равных частей.
В таком случае можно выбрать любой математически корректный способ, соответствующий условиям задачи.
Но рассмотрим другую ситуацию.
Необходимо разделить на пять частей десять различных отрезков.
Причём все они имеют общую начальную точку.
Здесь возникает возможность предварительно построить одну вспомогательную шкалу.
После этого использовать её для последовательного переноса пропорций на различные целевые отрезки.
Таким образом, первоначальные затраты на создание вспомогательной системы распределяются между несколькими построениями.
Именно при исследовании таких последовательностей операций может проявляться особая ценность универсальных конструктивных платформ.
Субрисунок 7. Использование одной вспомогательной шкалы для двух целевых отрезков.
37. Проблема подсчёта геометрических операций
Рассмотрим важный методологический вопрос.
Можно ли оценивать эффективность геометрического построения простым подсчётом линий?
Такой подход даёт лишь предварительное представление.
Ведь разные линии могут требовать различного количества действий.
Например, провести прямую через две уже определённые точки — одна операция в принятой идеальной модели.
Но построить прямую, параллельную заданной, через определённую точку может потребовать нескольких вспомогательных действий циркулем и линейкой.
Аналогично построение перпендикуляра представляет самостоятельную конструктивную процедуру.
Поэтому для точного сравнения необходимо предварительно определить единицу учёта.
Можно отдельно подсчитывать:
• перенос равной длины;
• проведение прямой через определённые точки;
• построение перпендикуляра;
• построение параллельной;
• построение точки пересечения;
• повторное использование ранее полученного элемента.
Только после установления такой системы становится возможным строгое сравнение конструктивной трудоёмкости.
38. Сопоставление методов при пентасекции
Рассмотрим в качестве примера деление исходного отрезка на пять равных частей.
Для метода с одним вспомогательным лучом необходимо построить пять равных вспомогательных шагов.
Затем одну заключительную соединительную сторону.
И четыре внутренние параллельные прямые.
Для схемы ан-Найризи необходимо построить два противоположных перпендикуляра.
Затем по четыре равных шага на каждом.
После этого провести четыре соединительные прямые.
Таким образом, уже на уровне основных элементов обнаруживаются различия в организации операций.
В первом случае используется одна вспомогательная шкала.
Во втором — две.
Однако во втором случае соответствующие соединительные линии непосредственно задаются парами заранее определённых точек.
Поэтому сравнительная трудоёмкость зависит от того, какие именно операции и инструменты включены в принятую технологическую модель.
В историко-математической литературе отмечалось удобство и экономичность конструкции ан-Найризи.
Для дальнейшего исследования особенно интересна возможность установить количественные критерии подобного сравнения.
39. Точность и накопление технологических отклонений
Ещё один важный критерий связан с физическим воспроизведением построений.
В идеальной математической модели все рассмотренные корректные алгоритмы обеспечивают строго определённые геометрические отношения.
Однако материальный чертёж имеет собственные технологические характеристики.
Толщину линий.
Конечную точность определения точек.
Отклонения при откладывании последовательных шагов.
Погрешности проведения параллельных и перпендикулярных прямых.
При большом количестве последовательных операций эти особенности приобретают существенное значение.
Поэтому сравнительный анализ должен включать не только математическую правильность результата.
Необходимо также исследовать характер накопления и распространения технологических погрешностей.
Это позволит связать историческую проблематику полисекции с принципом необходимой и достаточной точности гармонической геометрии.
40. От исторических способов — к авторской системе подобных треугольников
Теперь обратимся к конструктивной программе настоящего исследования.
В первых двух главах третьего тома была рассмотрена система подобных треугольников с общей вершиной.
Её основной принцип связан с передачей пропорций посредством согласованной организации вспомогательных лучей и соответствующих соединительных прямых.
Особое значение имеет возможность использовать одну исходную геометрическую конфигурацию для нескольких последовательных операций.
В частности, исследуются симметричные системы вспомогательных лучей.
Они позволяют организовать соответствующие семейства подобных треугольников относительно общей вершины.
Математическое содержание соответствующих построений непосредственно связано с классической теорией подобия.
Но предметом настоящего авторского исследования становится прежде всего организация целостной конструктивной технологии.
Именно в этом направлении предполагается развивать универсальную геометрическую арифметику.
41. Различие двух симметричных конструктивных организаций
Здесь необходимо специально разграничить два рассмотренных типа геометрических построений.
Первый связан с методом ан-Найризи.
В нём два вспомогательных перпендикуляра проводятся из противоположных концов исходного отрезка.
И направляются в разные стороны.
Второй представляет симметричную систему лучей с общей вершиной.
В этом случае вспомогательные направления исходят из одной точки и могут располагаться по разные стороны первоначального отрезка.
Внешне обе конструкции обладают определённой симметрией.
Но их исходная пространственная организация различается.
Поэтому они представляют разные варианты использования геометрических отношений.
Субрисунок 6. Симметричная двухлучевая система подобных треугольников с общей вершиной.
42. Одна вспомогательная система — несколько геометрических операций
Особый интерес для гармонической геометрии представляет возможность использовать одну и ту же конструктивную основу при выполнении нескольких действий.
Например, первоначально система применяется для деления отрезка на равные части.
После этого полученные точки используются для выделения определённых рациональных долей.
Затем соответствующие величины переносятся на другие направления.
После этого они могут становиться исходными элементами геометрического сложения, вычитания, умножения и деления.
Таким образом, одна вспомогательная конфигурация может рассматриваться как часть более общей технологической системы.
Именно возможность последовательного объединения нескольких операций представляет самостоятельный предмет дальнейшего исследования.
43. Геометрическая арифметика как историческое обобщение
Уже в античной математике существовали конструктивные задачи, связанные с получением заданных частей и пропорциональных величин.
Средневековые геометры развивали различные способы организации этих построений.
В практической геометрии соответствующие операции использовались при измерении, разметке и воспроизведении определённых размеров.
В настоящее время возникает возможность исследовать их в рамках общей системы.
При таком подходе геометрическое сложение, вычитание, умножение и деление рассматриваются не только как отдельные операции.
Они объединяются посредством согласованных алгоритмов работы с линейными величинами.
Следовательно, историческая проблема полисекции становится одним из оснований универсальной геометрической арифметики.
44. Проблема оптимальности геометрической конструкции
Одним из важнейших направлений сравнительного исследования является проблема оптимальности.
Предположим, что имеются несколько математически корректных способов достижения одного геометрического результата.
Какой из них следует выбрать?
Ответ зависит от исходной цели.
Если необходимо выполнить единственное простое построение, решающее значение может иметь минимальное количество действий.
Если же предполагается последовательное выполнение многочисленных операций, более важной становится возможность повторного использования уже созданных элементов.
При построении большого геометрического объекта существенное значение приобретают масштаб и доступность инструментов.
Для высокоточной технической конструкции особую роль играет устойчивость алгоритма к технологическим отклонениям.
Таким образом, понятие конструктивной оптимальности имеет многокритериальный характер.
Именно поэтому сравнительное исследование геометрических методов должно учитывать реальные условия их применения.
45. Царский путь как принцип рациональной геометрической технологии
Рассмотренная проблема непосредственно связана с авторской концепцией Царского пути.
В рамках настоящего исследования Царский путь предполагает поиск наиболее рационального способа достижения правильно установленной геометрической цели.
При этом необходимо учитывать не только математическую возможность построения.
Но и организацию действий.
Количество вспомогательных операций.
Возможность повторного применения результатов.
Технологическую точность.
И конструктивную универсальность.
Исторический материал показывает, насколько разнообразными могут быть способы получения одних и тех же геометрических величин.
Поэтому поиск Царского пути представляет самостоятельную исследовательскую задачу.
Её содержание заключается в определении наиболее рациональной организации геометрического конструирования для соответствующего класса задач.
46. Перспектива специального исследования методов полисекции
Уже рассмотренные исторические и конструктивные примеры позволяют поставить более широкую исследовательскую задачу.
Сколько различных геометрических технологий полисекции можно построить на основе принципа подобия?
Какие пространственные конфигурации обладают наибольшей конструктивной простотой?
Можно ли использовать несколько вспомогательных лучей?
Несколько параллельных шкал?
Системы с различным положением общей вершины?
Комбинированные и многоступенчатые построения?
И каким образом сравнивать их эффективность?
Ответы на подобные вопросы могут стать предметом самостоятельного специального исследования.
Перспективным направлением представляется подготовка отдельной иллюстрированной брошюры, посвящённой различным способам универсальной полисекции прямолинейных отрезков.
Её содержание может включать систематический атлас построений, алгоритмы, доказательства и сравнительные характеристики.
47. Иллюстративный атлас исторических построений
Для настоящей главы подготовлен интегральный геометрический рисунок, объединяющий восемь субрисунков.
Первый представляет евклидову бисекцию по предложению I.10.
Второй — получение заданной трети отрезка по предложению VI.9.
Третий — перенос существующего деления по предложению VI.10.
Четвёртый — пентасекцию по схеме ан-Найризи.
Пятый — применение той же схемы к делению на семь равных частей.
Шестой — симметричную систему подобных треугольников с общей вершиной.
Седьмой — использование одной вспомогательной шкалы для двух целевых отрезков.
Восьмой — сопоставление результатов деления одной длины на три, пять и семь равных частей.
Первые пять субрисунков связаны с документированными историческими методами и их непосредственными обобщениями.
Шестой и седьмой представляют конструктивные схемы, рассматриваемые в рамках настоящего исследования.
Восьмой имеет сравнительно-иллюстративное назначение.
Таким образом, интегральный рисунок позволяет одновременно представить историческую преемственность и разнообразие конструктивных организаций полисекции.
Рисунок 3.1. Исторические и универсальные технологии полисекции прямолинейных отрезков: Евклид, ан-Найризи и системы подобных треугольников. Восемь геометрических субрисунков.
48. Основные результаты сравнительного исследования
Подведём основные итоги проведённого анализа.
Первый результат.
Классическая геометрия Евклида содержит математические основания получения заданных частей отрезков и переноса пропорциональных отношений.
Второй результат.
Принцип подобия треугольников допускает различные конструктивные организации, обеспечивающие одинаковые линейные отношения.
Третий результат.
Метод ан-Найризи представляет документированный исторический пример альтернативной технологии полисекции, использующей два противоположных вспомогательных перпендикуляра.
Четвёртый результат.
Средневековая практическая геометрия, в частности исследования Абу-ль-Вафа, показывает значение геометрических построений для ремесленных и технологических задач.
Пятый результат.
Архитектурные трактаты позднего Средневековья и Возрождения демонстрируют применение деления отрезков в сложных системах пространственного проектирования.
Шестой результат.
Сравнительная эффективность геометрических технологий должна исследоваться по нескольким критериям, включая число операций, инструментарий, масштабируемость и возможность повторного использования вспомогательных построений.
Седьмой результат.
Универсальная организация полисекции представляет важную конструктивную основу дальнейшего исследования геометрической арифметики.
49. Историческая преемственность и универсальность
История геометрических построений показывает непрерывное развитие способов решения конструктивных задач.
Одни методы возникали в рамках теоретического исследования.
Другие формировались под влиянием практических потребностей.
Третьи представляли новые способы организации уже известных математических принципов.
Однако все они становились частью общего интеллектуального наследия.
Для гармонической геометрии особенно важно исследование возможности согласованного использования этого наследия.
Ведь отдельные конструктивные принципы могут объединяться в более общие системы.
А математические отношения, первоначально применявшиеся к определённому классу задач, могут становиться основой новых технологических построений.
Именно такая перспектива определяет дальнейшее направление настоящего исследования.
50. Заключение. От исторического разнообразия — к универсальным геометрическим технологиям
Итак, в третьей главе настоящего тома мы рассмотрели важнейшие исторические основания полисекции прямолинейных отрезков.
Особое внимание было уделено геометрическим построениям Евклида.
В частности, предложениям I.10, VI.9 и VI.10 «Начал».
Были исследованы основные принципы построения середины отрезка, получения заданной доли и переноса пропорционального деления.
Затем мы обратились к средневековой математической традиции.
И рассмотрели конструкцию ан-Найризи, основанную на двух противоположно направленных вспомогательных перпендикулярах.
Было показано, каким образом соответствующая система соединительных прямых позволяет делить исходный отрезок на равные части.
После этого были рассмотрены практические направления геометрического конструирования, представленные трудами Абу-ль-Вафа, архитектурной традицией Рорицера и геометрическими исследованиями Дюрера.
В результате выявилось важнейшее обстоятельство.
Геометрическое конструирование допускает разнообразные способы организации одних и тех же математических отношений.
Следовательно, задача исследователя заключается не только в нахождении корректного построения.
Необходимо также исследовать его конструктивную организацию.
Возможность повторного применения.
Технологическую эффективность.
И перспективы включения в более общую систему операций.
Именно с этой точки зрения особое значение приобретает авторская программа универсальной геометрической арифметики.
Система подобных треугольников с общей вершиной рассматривается как одна из возможных конструктивных основ последовательного воспроизведения заданных линейных отношений.
Её дальнейшее развитие предполагает исследование не только полисекции.
Но и геометрического сложения.
Вычитания.
Умножения.
Деления.
Масштабирования.
И последовательного получения необходимых числовых величин.
Таким образом, исторический анализ непосредственно подготавливает следующий этап нашего исследования.
От древних геометрических построений — к современному сравнительному анализу конструктивных технологий.
От разнообразия методов полисекции — к исследованию их универсальных принципов.
От отдельных пропорциональных построений — к согласованной системе геометрической арифметики.
От математической возможности решения — к поиску наиболее рационального конструктивного алгоритма.
Следующая, четвёртая глава будет посвящена геометрическому сложению и вычитанию отрезков.
В ней предстоит перейти от деления линейных величин к непосредственному построению их сумм и разностей.
А затем исследовать возможность включения этих операций в единую систему универсальных геометрических преобразований.
От полисекции — к геометрической арифметике.
От исторических конструкций — к Царскому пути в геометрии.
Основные исторические источники к главе
1. Евклид. «Начала». Книга I, предложение 10; книга VI, предложения 2, 9–12. Основные положения о делении отрезков, подобии и пропорциональных построениях.
2. Euclid's Elements. David E. Joyce, Clark University. Комментированное изложение предложения VI.9, включая историческую схему ан-Найризи. 3. Al-Nayrizi's Construction. Cut-the-Knot. Современное геометрическое изложение алгоритма полисекции, представленного в комментариях ан-Найризи. 4. Jan P. Hogendijk. Mathematics and Geometric Ornamentation in the Medieval Islamic World. Исследование средневековых математических источников и геометрической практики ремесленников.
5. Alpay ;zdural. Mathematics and Arts: Connections between Theory and Practice in the Medieval Islamic World. Historia Mathematica, 2000, том 27, выпуск 2, с. 171–201. Исследование взаимосвязи математической и ремесленной традиций.
6. Matthias Roriczer. B;chlein von der Fialen Gerechtigkeit, 1486. Исторический источник по геометрическим построениям архитектурных элементов.
7. Albrecht D;rer. Underweysung der Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt, 1525. Трактат о геометрическом измерении и конструктивном воспроизведении форм.
8. В. К. Петросян. «Ультраноочеллендж трёх тысячелетий». Том 1 и том 2. Историко-математические и понятийно-методологические основания настоящего исследования.

+++++++++

 

ГЛАВА 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ОТРЕЗКОВ. ПОЛУЧЕНИЕ НЕОБХОДИМЫХ ЛИНЕЙНЫХ СООТНОШЕНИЙ
1. От полисекции отрезков — к универсальной геометрической арифметике
В первых трёх главах настоящего тома мы исследовали фундаментальную операцию полисекции прямолинейных отрезков.
Была рассмотрена базовая конструктивная технология, основанная на системе подобных треугольников с общей вершиной.
Затем мы перешли к универсальной полисекции, позволяющей разделять произвольный прямолинейный отрезок на любое заранее установленное натуральное количество равных частей.
Наконец, были исследованы исторические методы Евклида, ан-Найризи и других геометров, а также различные способы организации соответствующих конструктивных операций.
Теперь наступает следующий этап.
Необходимо перейти от деления отрезков к их арифметическим преобразованиям.
Ведь получение равных частей представляет собой только одну из возможных геометрических операций.
Не менее важно уметь объединять определённые длины, получать их разности, последовательно воспроизводить кратные величины и строить необходимые линейные соотношения.
Именно эти операции образуют следующий уровень предлагаемой универсальной геометрической арифметики.
Начнём с двух фундаментальных действий — сложения и вычитания прямолинейных отрезков.
2. Геометрический смысл арифметических операций над длинами
В обычной арифметике сложение и вычитание выполняются над числами.
В геометрической арифметике предметом соответствующих действий становятся определённые геометрические величины.
В настоящей главе такими величинами являются длины прямолинейных отрезков.
Предположим, что имеются два отрезка.
Первый обладает некоторой положительной длиной.
Второй — другой положительной длиной.
Задача геометрического сложения заключается в построении третьего отрезка, длина которого равна сумме исходных длин.
Задача геометрического вычитания — в построении отрезка, соответствующего положительной разности заданных длин, если такая разность существует.
Таким образом, геометрическая арифметика связывает числовые отношения с конкретными пространственными построениями.
Но при этом необходимо учитывать принципиально важное обстоятельство.
Геометрическая операция выполняется над длинами отрезков, а не обязательно над их первоначальным пространственным расположением.
Именно это разграничение определяет математическую корректность всей дальнейшей технологии.
3. Геометрическая определённость исходных величин
Прежде чем выполнять сложение или вычитание, необходимо установить исходные условия.
Пусть заданы два прямолинейных отрезка.
Обозначим первый отрезок буквами АБ.
Второй — буквами ВГ.
Оба имеют определённые конечные точки и положительные длины.
При этом они могут располагаться в различных частях плоскости.
Могут иметь одинаковые направления.
Могут быть взаимно перпендикулярными.
Или образовывать произвольный угол.
Но если предметом операции выступают именно длины, первоначальное расположение отрезков не определяет результат арифметического действия.
Для получения необходимой суммы или разности достаточно геометрически воспроизвести соответствующие длины в согласованной конструктивной системе.
Поэтому первой технологической операцией становится перенос длины.
Субрисунок 1. Два исходных прямолинейных отрезка с различными длинами.
4. Перенос длины как фундаментальная операция
Под переносом длины будем понимать построение нового отрезка, равного по длине заданному, при заранее установленном положении одной конечной точки и направлении.
Рассмотрим исходный отрезок.
Его длина определяется расстоянием между конечными точками.
Теперь выберем на плоскости новую точку и проведём из неё произвольный луч.
Требуется построить на этом луче отрезок, равный исходному.
Для выполнения соответствующего действия можно использовать циркуль и линейку.
Циркулем фиксируется расстояние между конечными точками первоначального отрезка.
Затем, не изменяя раствора циркуля, его острие устанавливается в выбранной начальной точке нового луча.
Проводится дуга окружности, пересекающая этот луч.
Полученная точка пересечения становится второй конечной точкой нового отрезка.
Таким образом, построен отрезок, равный исходному по длине.
Субрисунок 2. Геометрический перенос заданной длины на новый луч.
5. Математическое обоснование переноса
Правильность рассмотренной операции определяется свойствами окружности.
Все точки окружности располагаются на одинаковом расстоянии от её центра.
Если раствор циркуля установлен равным длине первоначального отрезка, то построенная окружность обладает соответствующим радиусом.
Следовательно, расстояние от выбранного центра до точки пересечения окружности с новым лучом равно длине исходного отрезка.
Таким образом, перенос осуществляется с сохранением соответствующей линейной величины.
При этом первоначальный отрезок остаётся неизменным.
Не требуется его перемещать или изменять.
Создаётся новый геометрический объект с той же длиной.
Именно это свойство позволяет организовывать арифметические действия над отрезками, расположенными в различных частях плоскости.
6. Геометрическое равенство длин и пространственное совпадение
Здесь полезно уточнить два различных понятия.
Первое — равенство длин.
Два отрезка могут иметь одинаковую длину, но располагаться в совершенно разных местах.
Второе — пространственное совпадение.
В этом случае оба отрезка занимают одно и то же положение на плоскости и обладают одинаковыми конечными точками.
Для выполнения геометрического сложения и вычитания достаточно равенства соответствующих длин.
Совпадение исходных объектов не требуется.
Благодаря этому геометрическая арифметика получает значительно более широкую область применения.
В частности, исходные величины могут принадлежать разным частям чертежа.
А результирующее построение может выполняться в специально выбранной рабочей области.
7. Базовая технология геометрического сложения
Перейдём непосредственно к сложению.
Пусть заданы два отрезка положительной длины.
Необходимо построить третий отрезок, длина которого равна сумме исходных длин.
Выберем на плоскости начальную точку О.
Проведём из неё луч.
На этом луче отложим длину первого исходного отрезка.
Получим промежуточную точку П.
Затем из точки П в том же направлении отложим длину второго исходного отрезка.
Получим новую точку Р.
В результате возникает отрезок ОР.
Он состоит из двух последовательно расположенных суботрезков.
Первый воспроизводит длину первоначального первого отрезка.
Второй — длину второго.
Таким образом, длина отрезка ОР равна сумме двух заданных длин.
Субрисунок 3. Геометрическое сложение двух прямолинейных отрезков.
8. Почему полученный отрезок представляет точную сумму
Правильность построения определяется свойством сложения длин последовательных частей одного прямолинейного отрезка.
Рассмотрим три точки, расположенные на одной прямой.
Пусть промежуточная точка находится строго между двумя крайними.
Тогда длина полного отрезка равна сумме длин двух составляющих суботрезков.
Именно эта геометрическая закономерность используется в нашем построении.
Первоначально воспроизводится первая длина.
Затем непосредственно к её конечной точке присоединяется вторая.
Обе части располагаются на одной прямой.
И имеют только одну общую конечную точку.
Следовательно, их внутренние части не перекрываются.
Поэтому расстояние между крайними точками результирующей конструкции равно сумме исходных длин.
Таким образом, геометрическое сложение представляет собой математически точную конструктивную операцию.
9. Значение общего направления при сложении
В рассмотренном построении второй отрезок откладывается в том же направлении, что и первый.
Это обстоятельство имеет принципиальное значение.
Если второй отрезок откладывать в противоположном направлении, полученная конструкция будет обладать другим геометрическим содержанием.
В частности, возникнет возможность получения разности длин.
Поэтому при сложении положительных неориентированных длин необходимо сохранять определённый порядок построения.
Первый отрезок откладывается от выбранной начальной точки.
Второй продолжает его в том же направлении.
Результирующая длина определяется расстоянием от первоначальной точки до последней.
Таким образом, геометрическое сложение предполагает согласованную организацию направления и последовательности построений.
10. Перестановка слагаемых в геометрической конструкции
Рассмотрим теперь важнейшее свойство сложения.
Пусть имеются две заданные положительные длины.
В первом построении первоначально откладывается первая длина.
Затем к ней присоединяется вторая.
Во втором построении порядок меняется.
Сначала откладывается вторая длина.
Затем первая.
Если оба построения начинаются из одной точки и выполняются на одном луче, их конечные точки совпадают.
Следовательно, результирующие отрезки имеют одинаковую длину.
Так геометрически воспроизводится свойство перестановочности сложения.
Порядок присоединения двух положительных длин не изменяет их суммарной величины.
Субрисунок 4. Геометрическая перестановка слагаемых с сохранением общей длины.
11. Геометрическое доказательство перестановочности
Рассмотрим две конструкции.
В первой результат образуется последовательным присоединением первого и второго отрезков.
Во второй — второго и первого.
В обоих случаях получаемая величина представляет собой сумму одних и тех же двух длин.
При этом соответствующие части располагаются последовательно и не перекрываются своими внутренними точками.
Следовательно, полная длина определяется совокупностью тех же составляющих величин.
Изменяется только положение промежуточной точки.
Но конечный результат остаётся равным по длине.
Таким образом, перестановочность сложения получает непосредственное геометрическое представление.
Важно, что при этом перестановка слагаемых не требует изменения самих исходных длин.
Меняется лишь последовательность их воспроизведения.
12. Сложение трёх отрезков
Теперь расширим рассмотренную технологию.
Пусть заданы три положительные длины.
Необходимо построить один прямолинейный отрезок, равный их сумме.
Выберем исходную точку и рабочий луч.
Сначала отложим первую длину.
Затем непосредственно за ней вторую.
После этого третью.
В результате получим последовательность из трёх суботрезков, располагающихся на одной прямой.
Их крайние точки определяют результирующий отрезок.
Его длина равна сумме трёх исходных величин.
При этом каждая составляющая остаётся геометрически определённой частью общей конструкции.
Субрисунок 8. Последовательное геометрическое сложение трёх длин.
13. Сочетательность геометрического сложения
При сложении трёх и более длин возникает вопрос о группировке последовательных операций.
Предположим, что сначала объединяются первая и вторая длины.
Затем к полученному результату присоединяется третья.
Но можно поступить иначе.
Первоначально объединить вторую и третью длины.
А затем присоединить к полученному результату первую.
В обоих случаях используются одни и те же положительные линейные величины.
Поэтому полная длина результирующего отрезка остаётся одинаковой.
Таким образом, геометрическое сложение обладает свойством сочетательности.
Это обстоятельство имеет большое значение для построения сложных линейных соотношений.
Оно позволяет организовывать последовательность действий различными способами, сохраняя математическую определённость результата.
14. Сложение произвольного конечного количества отрезков
Теперь можно сформулировать более общий конструктивный принцип.
Пусть имеется произвольное заранее установленное конечное количество положительных длин.
Для получения их суммы необходимо выбрать общий рабочий луч.
Затем последовательно отложить все заданные длины в одном направлении.
Каждый новый суботрезок начинается в конечной точке предыдущего.
В результате возникает единый прямолинейный отрезок, длина которого равна сумме всех исходных величин.
Количество необходимых операций определяется количеством слагаемых.
При этом сам математический принцип остаётся неизменным.
Следовательно, геометрическое сложение является универсальной конечной конструктивной операцией для произвольного заданного количества положительных линейных величин.
15. Геометрическое многократное воспроизведение одинакового отрезка
Особую разновидность сложения представляет многократное откладывание одной и той же длины.
Пусть задан некоторый отрезок.
Необходимо построить другой, длина которого в три раза превышает первоначальную.
Для этого достаточно последовательно отложить исходную длину три раза на одном луче.
Полученная конструкция состоит из трёх равных суботрезков.
А расстояние между её крайними точками втрое превышает длину исходного объекта.
Аналогичным образом можно воспроизводить четырёхкратные, пятикратные, десятикратные и другие целочисленные линейные величины.
Таким образом, многократное геометрическое сложение непосредственно подготавливает технологию умножения длины на натуральное число.
Субрисунок 9. Троекратное последовательное откладывание одного отрезка.
16. Различие сложения и масштабирования
На данном этапе важно уточнить конструктивное содержание выполняемых действий.
При многократном сложении одинаковая длина последовательно воспроизводится на выбранном луче.
Например, три равных отрезка образуют один результирующий отрезок утроенной длины.
При масштабировании исходного объекта также может получаться длина, увеличенная в определённое количество раз.
Однако организация соответствующего построения может быть иной.
В частности, масштабирование может осуществляться посредством подобия треугольников.
Таким образом, одинаковое числовое отношение допускает разные конструктивные реализации.
В настоящей главе мы исследуем прежде всего непосредственное сложение и вычитание.
А геометрическое умножение и пропорциональное масштабирование будут подробно рассмотрены в следующей главе.
17. Переход от сложения к вычитанию
Теперь обратимся ко второй фундаментальной операции геометрической арифметики.
Пусть заданы два положительных отрезка.
Длина первого больше длины второго.
Необходимо построить третий отрезок, соответствующий их разности.
Для этого можно использовать уже рассмотренную технологию переноса длин.
Первоначально воспроизводится больший отрезок.
Затем от его начальной точки в направлении конечной откладывается длина меньшего.
В результате внутри большего отрезка определяется промежуточная точка.
Расстояние от этой точки до конечной точки большего отрезка представляет искомую положительную разность.
Таким образом, вычитание осуществляется посредством геометрического выделения остатка исходной линейной величины.
18. Базовый алгоритм геометрического вычитания
Рассмотрим построение подробнее.
Пусть задан отрезок АБ.
Его длина больше длины другого заданного отрезка ВГ.
Требуется построить разность этих длин.
Для этого циркулем установим длину ВГ.
Затем поместим острие циркуля в точку А.
На луче АБ отметим точку Д, находящуюся от точки А на расстоянии, равном длине ВГ.
Поскольку исходная длина АБ больше вычитаемой величины, точка Д располагается внутри отрезка АБ.
Теперь рассмотрим оставшийся суботрезок ДБ.
Его длина представляет искомую разность.
Субрисунок 5. Геометрическое вычитание посредством выделения остатка большего отрезка.
19. Математическое доказательство правильности вычитания
Полученное построение можно обосновать непосредственно.
Точка Д расположена между точками А и Б.
Поэтому первоначальный отрезок АБ состоит из двух последовательных частей.
Первая — от А до Д.
Вторая — от Д до Б.
Длина первой части по построению равна длине вычитаемого отрезка.
Следовательно, оставшаяся часть представляет разность первоначальной длины и вычитаемой величины.
Таким образом, правильность операции определяется тем же свойством сложения длин последовательных суботрезков, которое использовалось ранее.
Но теперь оно применяется в обратном направлении.
Если известна полная длина и одна из составляющих частей, можно определить другую.
Следовательно, геометрическое вычитание непосредственно связано с геометрическим сложением.
20. Случай равенства исходных длин
Рассмотрим теперь специальную ситуацию.
Пусть два заданных отрезка имеют одинаковую длину.
Если воспроизвести длину второго отрезка на первом, начиная от общей начальной точки, конечные точки обеих длин совпадут.
Следовательно, никакого положительного остаточного отрезка не возникнет.
Результатом вычитания будет нулевая длина.
Геометрически она представляется совпадением начальной и конечной точек результата.
Этот случай имеет самостоятельное значение.
Он показывает, что нулевая арифметическая величина может получать определённую геометрическую интерпретацию.
Но при этом необходимо отличать нулевую длину от обычного невырожденного отрезка положительной длины.
Субрисунок 7. Равные исходные длины и совпадение соответствующих конечных точек.
21. Случай, когда вычитаемая длина больше исходной
Теперь рассмотрим другую ситуацию.
Пусть второй отрезок длиннее первого.
В обычной арифметике вычитание большей положительной величины из меньшей приводит к отрицательному результату.
Однако длина неориентированного геометрического отрезка не является отрицательной величиной.
Поэтому для такого случая необходимо заранее определить математический смысл результата.
Можно построить положительную разность большей и меньшей длин.
А можно перейти к ориентированным геометрическим величинам.
Во втором случае направление результата учитывается отдельно от его абсолютной протяжённости.
Таким образом, универсальная геометрическая арифметика требует согласованного определения не только числовых величин, но и геометрических соглашений, определяющих соответствующие операции.
22. Геометрическое сравнение двух длин
Рассмотрим операцию, позволяющую непосредственно определить различие между двумя неориентированными длинами.
Пусть заданы два отрезка.
Перенесём оба на одну прямую так, чтобы их начальные точки совпали, а направления были одинаковыми.
Теперь сравним положения их конечных точек.
Если конечные точки совпадают, исходные длины равны.
Если одна конечная точка располагается дальше другой, соответствующий отрезок длиннее.
При этом расстояние между конечными точками представляет положительную разность большей и меньшей длин.
Таким образом, сравнение и вычитание могут выполняться в рамках одной геометрической конструкции.
Субрисунок 6. Совмещение начал двух отрезков и геометрическое выделение разности длин.
23. Ориентированные линейные величины
Для дальнейшего развития геометрической арифметики полезно ввести понятие ориентированной линейной величины.
Выберем на некоторой прямой положительное направление.
Противоположное направление будем считать отрицательным.
Теперь каждому направленному отрезку можно сопоставить определённую ориентированную величину.
Её знак зависит от направления.
А абсолютная длина — от расстояния между конечными точками.
При таком подходе вычитание можно рассматривать как прибавление соответствующей величины в противоположном направлении.
Это позволяет геометрически представлять как положительные, так и отрицательные арифметические результаты.
Однако следует сохранять принципиальное различие между знаком ориентированной величины и собственной длиной геометрического отрезка.
Отрицательное направление не означает отрицательной физической протяжённости.
24. Сложение и вычитание как взаимосвязанные операции
Рассмотрим фундаментальную связь между двумя изучаемыми действиями.
Пусть сначала построена сумма двух заданных положительных длин.
Получен результирующий отрезок.
Теперь от его длины вычтем одну из первоначальных составляющих.
В результате будет получена другая составляющая.
Таким образом, сложение и вычитание образуют взаимосвязанную пару арифметических операций.
Эта связь может использоваться для проверки правильности построений.
Если сначала выполняется сложение, а затем соответствующее обратное вычитание, должен воспроизводиться исходный отрезок необходимой длины.
При математически точных построениях это свойство выполняется строго.
При физическом черчении оно также может использоваться для контроля технологической точности.
25. Геометрическое воспроизведение составных сумм
Перейдём к более сложным линейным отношениям.
Пусть заданы два положительных отрезка.
Необходимо построить результирующий отрезок, включающий два последовательных воспроизведения первой длины и три воспроизведения второй.
Для этого выберем общий луч.
Сначала дважды отложим первую длину.
Затем трижды вторую.
В результате получится последовательность из пяти суботрезков.
Первые два будут равны друг другу.
Последние три также будут равны между собой.
Полная длина полученной конструкции представляет заданную составную сумму.
Таким образом, простейшее последовательное сложение позволяет воспроизводить более сложные линейные соотношения с натуральными коэффициентами.
Субрисунок 10. Составная сумма из двух повторений одной длины и трёх повторений другой.
26. Составная разность линейных величин
Аналогичным образом можно организовать сложные операции вычитания.
Предположим, что задана первая длина.
Построим её трёхкратное последовательное воспроизведение.
Теперь зададим вторую длину.
Отложим её дважды от начала полученного результирующего отрезка.
Если полная длина первоначальной составной конструкции больше удвоенной второй длины, между соответствующими конечными точками останется положительный суботрезок.
Он представляет искомую составную разность.
Таким образом, геометрическое вычитание может использоваться не только для двух исходных отрезков.
Оно позволяет получать результаты более сложных комбинаций положительных линейных величин.
Субрисунок 11. Составная разность: последовательное построение трёх равных отрезков и вычитание двух других.
27. Универсальные линейные комбинации
Теперь можно сформулировать более общий принцип.
Пусть имеется конечное количество заданных положительных длин.
Для каждой из них установлено определённое натуральное количество повторений.
Некоторые из этих величин должны включаться в результирующую сумму.
Другие — вычитаться.
Если соответствующая результирующая неориентированная длина положительна, её можно воспроизвести посредством последовательного сложения и вычитания.
Для этого первоначально строится необходимая совокупность положительных слагаемых.
Затем определяются вычитаемые величины.
После чего посредством соответствующего переноса длины выделяется результирующий суботрезок.
В случае ориентированных величин можно использовать также противоположные направления.
Таким образом, геометрическое сложение и вычитание образуют конструктивную основу воспроизведения широкого семейства линейных комбинаций.
28. Связь с универсальной полисекцией
До сих пор мы преимущественно рассматривали исходные длины, которые воспроизводились целиком.
Однако результаты предыдущих глав позволяют существенно расширить возможности геометрической арифметики.
Предположим, что требуется использовать не полную исходную длину, а некоторую её рациональную долю.
Например, одну пятую.
Или три пятых.
Или семь десятых.
Такие величины можно предварительно получить посредством универсальной полисекции.
После этого соответствующие суботрезки включаются в операции сложения и вычитания.
Таким образом, полисекция и геометрическая арифметика становятся взаимосвязанными конструктивными технологиями.
Одна обеспечивает получение необходимых частей.
Другая — их последующее объединение и преобразование.
29. Построение суммы рациональных долей
Рассмотрим конкретную задачу.
Пусть задан некоторый прямолинейный отрезок.
Требуется построить другой отрезок, представляющий сумму двух пятых и трёх десятых его длины.
Сначала разделим исходный отрезок на десять равных частей.
Это можно выполнить посредством универсальной полисекции, рассмотренной во второй главе.
Две пятых исходной длины соответствуют четырём полученным десятым частям.
Три десятых — ещё трём.
Следовательно, искомый результат можно построить посредством последовательного объединения семи одинаковых десятых долей.
В результате получится отрезок, представляющий семь десятых первоначальной длины.
Этот пример демонстрирует непосредственное взаимодействие полисекции и геометрического сложения.
30. Построение разности рациональных долей
Теперь рассмотрим аналогичную задачу вычитания.
Предположим, что требуется получить разность четырёх пятых и трёх десятых исходной длины.
Прежде всего необходимо привести соответствующие доли к общей системе деления.
Разделим первоначальный отрезок на десять равных частей.
Четыре пятых соответствуют восьми десятым.
После выделения восьми таких частей отложим от их начала три десятых.
Оставшаяся длина будет составлять пять десятых первоначального отрезка.
Таким образом, операция вычитания рациональных долей может быть выполнена посредством одной согласованной системы полисекции.
Особенно важно, что оба исходных числовых отношения представлены в одной геометрической шкале.
31. Общая вспомогательная шкала как средство унификации
Рассмотренные примеры позволяют поставить более широкую конструктивную задачу.
Можно ли использовать одну заранее построенную геометрическую шкалу для последовательного выполнения различных арифметических действий?
Например, если первоначальный отрезок разделён на десять равных частей, полученная система может использоваться для построения различных десятичных долей.
Одни из них могут складываться.
Другие — вычитаться.
Третьи — повторно переноситься на новые лучи.
При этом необходимость каждый раз создавать новую систему равных частей может уменьшаться.
Таким образом, универсальная полисекция начинает выполнять функцию подготовительной геометрической инфраструктуры.
А сложение и вычитание становятся операциями, использующими результаты уже выполненных построений.
32. Общая вершина как организующий центр геометрической арифметики
Особый интерес представляет система, в которой несколько вспомогательных лучей исходят из одной общей точки.
На каждом из них могут быть заданы определённые линейные величины.
Например, первый луч содержит исходный отрезок одной длины.
Второй — другой.
Третий служит рабочей осью для получения арифметического результата.
Для согласованного построения необходимо перенести исходные длины на рабочий луч.
Это можно выполнить посредством циркуля.
В результате на одной прямой возникают отрезки, равные соответствующим исходным величинам.
После этого становятся возможными последовательные операции сложения, вычитания и сравнения.
Таким образом, общая вершина служит удобным организующим центром геометрической арифметики.
33. Симметричная система двух вспомогательных лучей
Рассмотрим более конкретную конструктивную организацию.
Пусть из общей вершины проведены два луча, расположенные симметрично относительно выбранной прямой.
На верхнем вспомогательном луче отложена первая длина.
На нижнем — вторая.
Теперь выберем центральную прямую в качестве рабочей оси.
С помощью окружностей с центром в общей вершине перенесём обе исходные длины на эту ось.
В результате на ней возникнут два отрезка, равных исходным по длине.
Если необходимо получить сумму, соответствующие длины откладываются последовательно в одном направлении.
Если требуется определить их положительную разность, они откладываются от общей начальной точки и сравниваются положения их конечных точек.
Таким образом, симметричная система вспомогательных лучей позволяет организовать обе фундаментальные арифметические операции в одной геометрической конфигурации.
Субрисунок 12. Симметричные вспомогательные лучи с общей вершиной и перенос исходных длин на центральную ось.
34. Математическое обоснование двухлучевой организации
В рассмотренном варианте обе исходные длины первоначально принадлежат разным лучам.
При этом каждый луч образует определённый угол с центральной осью.
Поэтому для построения арифметических отношений необходимо обеспечить сохранение самих длин при их переносе.
Такое сохранение достигается посредством построения соответствующих окружностей.
Радиус первой окружности равен первой исходной длине.
Радиус второй — второй.
Обе окружности имеют общий центр в исходной вершине.
И каждая пересекает рабочий луч в точке, находящейся от общей вершины на расстоянии соответствующего радиуса.
Следовательно, обе исходные длины точно воспроизводятся на центральной оси.
После этого применяются уже доказанные операции сложения и вычитания.
Таким образом, математическая правильность всей процедуры обеспечивается последовательным сохранением длин при переносе и корректным объединением или выделением соответствующих линейных частей.
35. Система подобных треугольников и арифметика длин
Теперь можно связать рассмотренные операции с основной конструктивной темой третьего тома.
Система подобных треугольников с общей вершиной позволяет воспроизводить заданные пропорциональные отношения.
Если необходимая доля исходной длины предварительно построена посредством полисекции, её можно переносить и использовать при сложении или вычитании.
А если требуется многократно воспроизвести определённую величину, можно организовать соответствующую последовательность одинаковых отрезков.
Таким образом, несколько геометрических технологий начинают взаимодействовать в рамках одной системы.
Подобие обеспечивает пропорциональные отношения.
Полисекция — получение необходимых долей.
Перенос длины — их воспроизведение в выбранной рабочей области.
Сложение — объединение положительных линейных величин.
Вычитание — определение необходимого остатка или ориентированной разности.
В результате возникает согласованная конструктивная основа универсальной геометрической арифметики.
36. Повторное использование построенных величин
Одним из важных достоинств системной организации геометрической арифметики является возможность повторного использования результатов.
Предположим, что в некоторой последовательности задач многократно встречается одна и та же исходная длина.
Её можно заранее воспроизвести на специально выбранной вспомогательной прямой.
А затем использовать при построении различных сумм и разностей.
Аналогичным образом можно сохранять систему деления первоначального отрезка на десять или другое количество равных частей.
После этого соответствующие доли становятся доступными для последующих построений.
Таким образом, геометрическая конструкция может рассматриваться не только как результат отдельного действия, но и как подготовленный элемент более общей технологической системы.
Это обстоятельство имеет непосредственное отношение к рациональной организации геометрических операций.
37. Математическая точность сложения и вычитания
В идеальной евклидовой геометрии рассмотренные операции выполняются математически точно.
При переносе длины посредством окружности соответствующее расстояние сохраняется.
При последовательном откладывании положительных длин на одном луче полная длина результирующего отрезка равна сумме его составляющих.
При выделении остатка большего отрезка получается точная положительная разность соответствующих длин.
Следовательно, математическая корректность операций определяется известными геометрическими свойствами.
При этом результат не зависит от конкретного физического масштаба чертежа.
Если все исходные условия соблюдены, полученная геометрическая величина имеет строго определённое математическое значение.
38. Технологическая точность физического воспроизведения
При выполнении построений на материальном носителе необходимо учитывать дополнительные обстоятельства.
Циркуль обладает определёнными техническими характеристиками.
Линии имеют конечную толщину.
Положение их пересечений определяется с некоторой погрешностью.
Последовательное откладывание одинаковых отрезков также может сопровождаться небольшими отклонениями.
При многократном сложении такие отклонения способны накапливаться.
А при вычитании близких по длине величин относительное влияние погрешностей может становиться особенно заметным.
Поэтому физическая реализация геометрической арифметики требует соблюдения заранее установленных технологических условий.
Здесь вновь приобретает фундаментальное значение принцип необходимой и достаточной точности.
39. Принцип необходимой и достаточной точности
Во втором томе было показано, что точность геометрического конструирования необходимо связывать с конкретной задачей.
Этот принцип получает непосредственное применение при сложении и вычитании отрезков.
Например, если результирующий отрезок предназначен для учебного чертежа, могут быть достаточны одни характеристики физического воспроизведения.
Если же он используется при изготовлении технической детали, требования могут оказаться значительно более строгими.
При этом математический алгоритм остаётся одним и тем же.
Изменяются условия его материальной реализации.
Следовательно, универсальность геометрической технологии должна сочетаться с возможностью выбора необходимой точности конкретного результата.
40. Конструктивная эффективность арифметических операций
Рассмотрим вопрос о рациональности построений.
Для получения суммы двух положительных длин достаточно перенести их на один луч и последовательно отложить.
Для определения положительной разности можно совместить их начала и выделить оставшийся участок большей длины.
Но при выполнении сложных последовательностей действий возникает возможность различных конструктивных организаций.
Например, можно каждый раз заново переносить исходные величины.
Или использовать заранее подготовленные вспомогательные шкалы.
Можно строить каждую составную сумму отдельно.
Или сохранять промежуточные результаты для последующих операций.
Таким образом, конструктивная эффективность зависит не только от правильности отдельного алгоритма, но и от организации всей последовательности геометрической деятельности.
41. Царский путь в геометрической арифметике
Проблема конструктивной эффективности непосредственно связана с авторской концепцией Царского пути.
В рамках настоящего исследования она предполагает поиск наиболее рационального способа достижения установленного геометрического результата.
При этом необходимо учитывать математическую правильность построения.
Количество необходимых действий.
Возможность повторного использования вспомогательных элементов.
Технологическую точность.
И удобство последовательного выполнения операций.
Особое значение приобретает возможность объединения нескольких арифметических действий в одной заранее организованной геометрической системе.
Именно такие системы могут стать предметом дальнейшего специального исследования.
Таким образом, геометрическое сложение и вычитание рассматриваются не только как отдельные известные построения.
Они становятся составными элементами более широкой программы рационального геометрического конструирования.
42. Основные результаты четвёртой главы
Подведём основные итоги проведённого исследования.
Во-первых, установлена конструктивная основа геометрического сложения положительных длин.
Во-вторых, рассмотрена технология переноса отрезков на заранее выбранный луч с сохранением соответствующих длин.
В-третьих, показано геометрическое воспроизведение перестановочности и сочетательности сложения.
В-четвёртых, исследовано многократное сложение одинаковых отрезков.
В-пятых, рассмотрена технология геометрического вычитания посредством выделения остатка большего отрезка.
В-шестых, установлены особенности нулевой разности и использования ориентированных линейных величин.
В-седьмых, показана возможность построения составных сумм и разностей.
В-восьмых, исследовано сочетание универсальной полисекции с арифметическими операциями над рациональными долями.
В-девятых, рассмотрена организация сложения и вычитания посредством вспомогательных лучей с общей вершиной.
В-десятых, сформулированы основные направления дальнейшего исследования конструктивной эффективности геометрической арифметики.
Таким образом, в настоящей главе сформирована следующая часть конструктивного аппарата гармонической геометрии.
43. От линейных операций — к построению произвольных пропорций
Полученные результаты непосредственно подготавливают следующий этап исследования.
Мы научились переносить заданные длины.
Складывать их.
Вычитать.
Воспроизводить многократно.
Использовать результаты полисекции.
И объединять различные линейные величины в составные конструктивные схемы.
Однако геометрическая арифметика не ограничивается этими операциями.
Следующий фундаментальный класс задач связан с построением пропорциональных величин.
Как получить отрезок, длина которого превышает исходную в заданное число раз?
Как построить определённую дробную долю при помощи масштабирования?
Каким образом использовать подобные треугольники для геометрического умножения и деления?
И как объединить такие операции в универсальную конструктивную систему?
Ответам на эти вопросы будет посвящена следующая глава.
44. Заключение. От сложения и вычитания — к универсальной системе линейных преобразований
Итак, в четвёртой главе третьего тома мы рассмотрели геометрическое сложение и вычитание прямолинейных отрезков.
Исходным предметом исследования стали положительные линейные величины.
Основной конструктивной операцией — перенос соответствующих длин с сохранением их математической определённости.
На этой основе были исследованы технологии последовательного сложения.
Получения сумм произвольного конечного количества отрезков.
Многократного воспроизведения одинаковых длин.
Построения положительных разностей.
И определения составных линейных соотношений.
Особое внимание было уделено связи этих операций с универсальной полисекцией.
Ведь получение необходимых равных частей и их последующее арифметическое преобразование представляют взаимосвязанные элементы одной конструктивной системы.
Мы также рассмотрели возможности организации геометрических действий посредством вспомогательных лучей с общей вершиной.
И показали, каким образом одна геометрическая конфигурация может служить основой нескольких последовательных арифметических операций.
Таким образом, сложение и вычитание приобретают значение универсальных конструктивных инструментов.
Они позволяют переходить от исходных геометрических величин к новым необходимым длинам.
А также создавать составные линейные отношения, которые могут использоваться в более сложных построениях.
Именно здесь начинает формироваться система универсальной геометрической арифметики.
Её математическая основа заключается в сохранении определённых линейных отношений.
Её конструктивная основа — в последовательном выполнении воспроизводимых геометрических операций.
Её технологическая основа — в организации построений с необходимой и достаточной точностью.
А её рациональная организация непосредственно связана с поиском Царского пути в геометрии.
От переноса длины — к её геометрическому сложению.
От сложения — к вычитанию и определению линейных разностей.
От отдельных операций — к составным геометрическим отношениям.
От полисекции и арифметики длин — к универсальному масштабированию.
Следующая, пятая глава будет посвящена геометрическому умножению и делению, масштабированию отрезков и построению заданных пропорций.
Именно там предстоит соединить рассмотренные технологии с общей системой подобных треугольников и исследовать способы воспроизведения более широкого класса числовых отношений.
От геометрического сложения и вычитания — к универсальной арифметике пропорций.
От арифметики линейных величин — к конструктивным технологиям преобразования геометрических объектов.
++++++++

 

ГЛАВА 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ. МАСШТАБИРОВАНИЕ ОТРЕЗКОВ И ПОСТРОЕНИЕ ЗАДАННЫХ ПРОПОРЦИЙ
1. От сложения и вычитания — к геометрическому умножению и делению
В предыдущей главе настоящего тома мы исследовали геометрическое сложение и вычитание прямолинейных отрезков.
Было показано, что посредством последовательного переноса длин, их объединения и выделения соответствующих разностей можно воспроизводить разнообразные линейные отношения.
Однако сложение и вычитание представляют только начальный уровень геометрической арифметики.
Для дальнейшего развития универсальных конструктивных технологий необходимо перейти к более общим операциям.
Прежде всего — к геометрическому умножению и делению.
Именно эти операции позволяют осуществлять масштабирование отрезков, строить заданные пропорции и получать новые линейные величины посредством систем подобных треугольников.
Особый интерес представляет возможность организовать такие построения в рамках единой геометрической конфигурации.
Ведь если одна вспомогательная система позволяет выполнять не только полисекцию, но также умножение, деление и последовательное масштабирование, её конструктивное значение существенно возрастает.
Таким образом, настоящая глава посвящена переходу от элементарных арифметических действий над отрезками к универсальной технологии пропорционального преобразования линейных величин.
2. Что означает умножение геометрических величин
В обычной арифметике операция умножения выполняется над числами.
В геометрической арифметике необходимо предварительно определить, каким образом соответствующие числовые отношения представляются посредством геометрических объектов.
Предположим, что задан прямолинейный отрезок определённой длины.
Требуется построить другой отрезок, длина которого в два раза превышает первоначальную.
Или в три.
Или в полтора.
Или составляет семь пятых исходной длины.
Такие задачи непосредственно связаны с геометрическим масштабированием.
При этом исходный объект характеризуется определённой положительной длиной.
А результирующий объект должен обладать длиной, находящейся в заданном числовом отношении к первоначальной.
Таким образом, основная задача заключается в геометрическом воспроизведении определённого масштабного коэффициента.
Для натуральных коэффициентов можно использовать многократное откладывание одинаковых отрезков.
Но для универсальной технологии необходим более общий конструктивный принцип.
Именно таким принципом становится подобие треугольников.
3. Единичный отрезок как необходимая основа геометрической арифметики
Прежде чем рассматривать умножение и деление длин, необходимо установить исходную единицу.
Пусть на плоскости задан положительный прямолинейный отрезок.
Примем его длину за единичную величину.
Все остальные рассматриваемые длины можно выражать в отношении к этой единице.
Например, некоторый отрезок может быть в два раза длиннее единичного.
Другой — в три раза.
Третий — составлять половину единицы.
Таким образом, выбранная единица позволяет сопоставить каждой положительной длине определённое положительное числовое значение.
И наоборот.
Заданному числовому отношению можно сопоставить соответствующую длину.
Именно эта связь создаёт математическую основу геометрического умножения и деления.
Субрисунок 1. Единичный отрезок и две исходные линейные величины.
4. Различие между произведением длин и произведением их числовых значений
Здесь необходимо сделать принципиально важное математическое уточнение.
Когда рассматривается произведение двух физических длин, естественным результатом является величина размерности площади.
Например, произведение длины и ширины прямоугольника определяет его площадь.
Но в геометрической арифметике отрезков мы ставим другую задачу.
Необходимо получить новый отрезок, соответствующий произведению числовых значений двух исходных длин относительно заранее выбранной единицы.
Для этого результат снова выражается в единицах длины.
Таким образом, построение нового отрезка осуществляется посредством согласованного использования трёх положительных линейных величин.
Первой исходной длины.
Второй исходной длины.
И единичного отрезка.
Именно такой подход позволяет сохранять математическую определённость геометрического умножения.
5. Общая конструктивная основа умножения и деления
В предыдущих главах мы неоднократно использовали систему подобных треугольников с общей вершиной.
Теперь обратимся к её новым возможностям.
Пусть из некоторой точки проведены два различных луча.
На первом располагаются две заданные длины.
На втором — третья.
Если соответствующие точки соединить прямыми, а затем провести параллельное построение, можно получить четвёртую длину, находящуюся в установленной пропорции к исходным.
Таким образом, одна геометрическая конфигурация позволяет связывать несколько линейных величин.
При этом конкретный смысл результата зависит от того, какие исходные длины располагаются на соответствующих лучах.
И какой отрезок принимается за единицу.
Именно эта универсальность делает подобные треугольники особенно удобным инструментом геометрической арифметики.
6. Два луча с общей вершиной
Рассмотрим основную геометрическую конструкцию.
Выберем на плоскости точку О.
Из неё проведём два луча, образующих определённый ненулевой угол, не являющийся развёрнутым.
Для удобства дальнейшего изложения первый луч будем изображать горизонтально.
Второй — направленным вверх под некоторым углом.
На первом луче отметим точку Е.
Расстояние от О до Е примем равным выбранной единичной длине.
Далее на том же луче отметим точку К, соответствующую другой заданной положительной длине.
На втором луче отметим точку А, соответствующую ещё одной заданной длине.
Таким образом, возникнет исходная система из двух лучей и трёх определённых линейных величин.
Субрисунок 2. Два вспомогательных луча с общей вершиной и размещение исходных длин.
7. Постановка задачи геометрического умножения
Пусть единичный отрезок уже выбран.
И имеются две положительные длины, числовые значения которых относительно этой единицы необходимо перемножить.
Требуется построить третий отрезок, представляющий соответствующий результат в той же единице длины.
Для этого используем систему двух лучей.
На первом луче отложим единичную длину.
Затем отметим точку, соответствующую второму множителю.
На втором луче отложим длину, соответствующую первому множителю.
Теперь необходимо построить такую четвёртую точку на втором луче, чтобы соответствующие отрезки образовали установленную пропорцию.
Именно эту задачу позволяет решить система подобных треугольников.
8. Базовый алгоритм геометрического умножения
Рассмотрим последовательность действий.
Первое.
Из общей вершины О проводим два различных луча.
Второе.
На первом луче откладываем единичный отрезок ОЕ.
Третье.
На том же луче отмечаем точку К, расстояние до которой от общей вершины соответствует второму множителю.
Четвёртое.
На втором луче откладываем отрезок ОА, соответствующий первому множителю.
Пятое.
Соединяем точки Е и А.
Шестое.
Через точку К проводим прямую, параллельную соединительному отрезку ЕА.
Седьмое.
Определяем точку Х пересечения построенной параллельной прямой со вторым лучом.
В результате возникает искомый отрезок ОХ.
Его длина соответствует произведению числовых значений двух исходных величин относительно выбранной единицы.
Субрисунок 3. Геометрическое умножение посредством двух подобных треугольников.
9. Математическое доказательство правильности умножения
Рассмотрим образовавшиеся треугольники.
Первый имеет вершины О, Е и А.
Второй — О, К и Х.
Оба треугольника обладают общей вершиной О.
Их соответствующие стороны располагаются на одних и тех же лучах.
А соединительные стороны ЕА и КХ параллельны по построению.
Следовательно, соответствующие углы обоих треугольников равны.
Таким образом, треугольники подобны.
Поэтому отношение длины ОХ к длине ОА равно отношению длины ОК к единичному отрезку ОЕ.
Но отношение ОК к ОЕ представляет числовое значение второго множителя.
Следовательно, длина ОХ представляет результат умножения первого множителя на второй в принятой единице длины.
Таким образом, математическая правильность геометрического умножения непосредственно следует из подобия соответствующих треугольников.
10. Пример геометрического умножения
Рассмотрим конкретный пример.
Пусть единичный отрезок имеет длину два сантиметра.
Первая исходная длина составляет пять сантиметров.
Вторая — три сантиметра.
Относительно выбранной единицы числовое значение первой величины равно двум с половиной.
Второй — полутора.
Их произведение равно трём целым семидесяти пяти сотым.
Следовательно, результирующий отрезок должен содержать три целых семьдесят пять сотых выбранной единицы.
Поскольку единичная длина составляет два сантиметра, результирующий отрезок будет иметь длину семь с половиной сантиметров.
Именно этот результат обеспечивает рассмотренная система подобных треугольников.
Важно, что для выполнения геометрической операции не требуется предварительно вычислять соответствующее произведение.
Необходимая длина может быть получена непосредственно посредством пропорционального построения.
11. Умножение на единицу
Рассмотрим специальный случай.
Пусть второй множитель равен выбранной единице.
Тогда точки Е и К на первом луче совпадут.
Следовательно, построение параллельной прямой через К приведёт к совпадению искомой точки Х с исходной точкой А.
Таким образом, результирующий отрезок будет равен первоначальному.
Это геометрически воспроизводит фундаментальное свойство единицы как нейтрального множителя.
Умножение числового значения длины на единицу не изменяет эту величину.
При этом соответствующий результат следует непосредственно из конфигурации построения.
12. Умножение на коэффициент, превышающий единицу
Теперь предположим, что второй множитель превышает единицу.
В таком случае точка К располагается на первом луче дальше точки Е.
Прямая, проведённая через К параллельно ЕА, пересекает второй луч в точке, расположенной дальше от общей вершины, чем точка А.
Следовательно, результирующий отрезок ОХ длиннее исходного ОА.
Таким образом, выполняется геометрическое увеличение линейного масштаба.
При этом коэффициент увеличения определяется отношением двух соответствующих отрезков на первом луче.
Следовательно, геометрическое умножение становится универсальным способом построения увеличенных линейных величин.
13. Умножение на положительный коэффициент меньше единицы
Рассмотрим обратную ситуацию.
Пусть второй множитель положителен, но меньше единицы.
Теперь точка К располагается между точками О и Е.
Через неё вновь проводится прямая, параллельная ЕА.
Полученная точка Х оказывается между точками О и А.
Таким образом, результирующий отрезок короче первоначального.
Величина уменьшения определяется тем же пропорциональным отношением.
Следовательно, одна и та же система подобных треугольников обеспечивает как увеличение, так и уменьшение линейных размеров.
Это обстоятельство представляет одно из важнейших свойств универсальной технологии геометрического масштабирования.
14. Геометрическая перестановочность множителей
В обычной арифметике произведение двух чисел не зависит от порядка сомножителей.
Аналогичное свойство имеет место при геометрическом умножении положительных длин, определённом относительно выбранной единицы.
Предположим, что первоначально на втором луче откладывается первая длина, а на первом — вторая.
Получается определённый результирующий отрезок.
Теперь поменяем роли исходных величин.
На втором луче расположим вторую длину.
А на первом — первую.
В результате получится другой геометрический чертёж.
Но числовое значение построенной длины относительно той же единицы останется неизменным.
Таким образом, перестановочность множителей сохраняется.
Это позволяет выбирать пространственную организацию построения с учётом удобства выполнения конкретной геометрической задачи.
15. Связь умножения с многократным сложением
В предыдущей главе было рассмотрено многократное последовательное откладывание одинакового отрезка.
Например, если исходная длина воспроизводится трижды, получается результирующий отрезок утроенной длины.
Теперь мы можем выполнить аналогичную операцию посредством подобных треугольников.
Для этого на первом луче откладывается величина, втрое превышающая единичную длину.
На втором — первоначальный отрезок.
После выполнения параллельного построения результирующая длина также будет втрое превышать исходную.
Таким образом, целочисленное геометрическое умножение допускает как минимум два математически согласованных способа реализации.
Посредством многократного сложения.
И посредством пропорционального масштабирования.
Сравнение их конструктивных особенностей представляет самостоятельный интерес.
16. Геометрическое умножение на дробный коэффициент
Особенно важные возможности возникают при использовании дробных коэффициентов.
Предположим, что требуется увеличить первоначальную длину в полтора раза.
Для этого на первом луче можно построить единичный отрезок.
Затем посредством бисекции получить половину единицы.
После этого построить величину, составляющую полторы единицы.
Именно она будет определять необходимый масштабный коэффициент.
На втором луче откладывается исходная длина.
Дальнейшее пропорциональное построение выполняется по уже установленному алгоритму.
В результате получается отрезок, в полтора раза превышающий первоначальный.
Следовательно, универсальная полисекция непосредственно расширяет возможности геометрического умножения.
17. Геометрическое воспроизведение произвольного рационального коэффициента
Рассмотрим более общую постановку.
Пусть требуется построить отрезок, длина которого превышает первоначальную в семь пятых раза.
Сначала необходимо воспроизвести соответствующее числовое отношение посредством геометрической конструкции.
Для этого можно разделить единичный отрезок на пять равных частей.
Затем последовательно отложить семь таких суботрезков.
В результате получится длина, составляющая семь пятых единицы.
Теперь эта величина используется на первом вспомогательном луче как масштабный коэффициент.
На втором располагается исходная длина.
После построения соответствующей параллельной прямой возникает требуемый результат.
Субрисунок 9. Построение масштабного коэффициента семь пятых посредством полисекции и подобия треугольников.
18. Единство полисекции и геометрического умножения
Рассмотренный пример показывает непосредственную связь между двумя основными конструктивными технологиями третьего тома.
Первая — универсальная полисекция.
Она обеспечивает получение необходимых рациональных долей.
Вторая — геометрическое умножение посредством подобия треугольников.
Она позволяет использовать полученную долю в качестве масштабного коэффициента.
Таким образом, результат первой операции становится исходной величиной для второй.
Именно такая организация представляет особый интерес для разработки универсальной геометрической арифметики.
Вместо изолированных построений возникает система последовательных действий.
Каждое из них имеет самостоятельное математическое обоснование.
А их композиция обеспечивает получение более сложного результата.
19. Переход к геометрическому делению
Теперь рассмотрим вторую основную операцию настоящей главы.
Пусть имеются две положительные линейные величины.
Необходимо определить их частное относительно заранее установленной единицы.
В обычной арифметике деление представляет операцию, обратную умножению.
В геометрической арифметике можно использовать аналогичную организацию.
Если известны исходная величина и коэффициент, посредством которого она была получена, возникает задача восстановления соответствующей первоначальной длины.
Для этого можно вновь использовать систему подобных треугольников.
Однако порядок размещения исходных величин и проведения вспомогательных прямых будет другим.
20. Общая постановка задачи геометрического деления
Пусть задан положительный отрезок, представляющий делимое.
Также задан положительный отрезок, числовое значение которого относительно выбранной единицы представляет делитель.
Необходимо построить новый отрезок, числовое значение которого относительно той же единицы равно частному этих числовых значений.
Таким образом, исходная единица вновь приобретает принципиальное значение.
Если делимое и делитель представлены как обычные физические длины, их отношение является безразмерным числом.
Для воспроизведения результата посредством нового отрезка необходимо умножить это числовое отношение на выбранную единичную длину.
Именно такую операцию обеспечивает соответствующее геометрическое построение.
21. Базовый алгоритм геометрического деления
Рассмотрим последовательность действий.
Первое.
Из общей вершины О проводим два различных луча.
Второе.
На первом луче откладываем отрезок ОК, длина которого соответствует делителю.
Третье.
На том же луче отмечаем единичный отрезок ОЕ.
Четвёртое.
На втором луче откладываем отрезок ОА, соответствующий делимому.
Пятое.
Соединяем точки К и А.
Шестое.
Через точку Е проводим прямую, параллельную КА.
Седьмое.
Определяем точку Х пересечения построенной прямой со вторым лучом.
Полученный отрезок ОХ представляет искомую величину.
Его числовое значение относительно выбранной единицы равно частному делимого и делителя.
Субрисунок 4. Геометрическое деление посредством подобия треугольников.
22. Доказательство правильности геометрического деления
Рассмотрим два треугольника.
Первый имеет вершины О, К и А.
Второй — О, Е и Х.
Они обладают общей вершиной О.
Соответствующие стороны лежат на одних и тех же лучах.
А соединительные стороны КА и ЕХ параллельны.
Следовательно, оба треугольника подобны.
Поэтому отношение длины ОХ к длине ОА равно отношению единичной длины ОЕ к длине делителя ОК.
Но именно такое отношение необходимо для геометрического воспроизведения частного относительно выбранной единицы.
Следовательно, длина ОХ является искомым результатом.
Таким образом, геометрическое деление имеет строгое математическое обоснование.
Оно использует тот же фундаментальный принцип подобия, что и умножение.
23. Пример геометрического деления
Рассмотрим конкретный числовой пример.
Пусть за единицу принята длина два сантиметра.
Делимое представлено отрезком длиной девять сантиметров.
А делитель — отрезком длиной три сантиметра.
Относительно выбранной единицы числовое значение делимого составляет четыре с половиной.
Числовое значение делителя — полтора.
Частное этих значений равно трём.
Следовательно, результирующий отрезок должен содержать три выбранные единицы.
Его длина будет составлять шесть сантиметров.
Такой результат непосредственно воспроизводится посредством рассмотренного пропорционального построения.
При этом необходимо правильно размещать единичный отрезок, делитель и делимое на соответствующих лучах.
24. Деление на единицу
Рассмотрим специальный случай.
Пусть делитель равен выбранной единичной длине.
Тогда точки К и Е на первом луче совпадут.
Соответственно совпадут и соединительные прямые, используемые в исходной и результирующей конструкциях.
Искомая точка Х будет совпадать с точкой А.
Следовательно, результирующая длина останется равной первоначальному делимому.
Таким образом, геометрически воспроизводится свойство деления на единицу.
Оно является непосредственным следствием подобия соответствующих треугольников.
25. Деление на положительную величину, превышающую единицу
Теперь предположим, что делитель больше единицы.
В таком случае точка К располагается дальше от общей вершины, чем точка Е.
Через Е проводится прямая, параллельная соединительной стороне КА.
Точка её пересечения со вторым лучом оказывается ближе к общей вершине, чем исходная точка А.
Следовательно, результирующий отрезок короче делимого.
Таким образом, деление на числовое значение, превышающее единицу, обеспечивает уменьшение соответствующей линейной величины.
Это свойство непосредственно связано с геометрическим масштабированием.
26. Деление на положительную величину меньше единицы
Рассмотрим обратную ситуацию.
Пусть положительный делитель меньше выбранной единицы.
Тогда точка К располагается между точками О и Е.
После соответствующего параллельного построения искомая точка Х окажется дальше от общей вершины, чем точка А.
Следовательно, результирующий отрезок будет длиннее первоначального.
Таким образом, деление на положительное число меньше единицы приводит к увеличению результирующей линейной величины.
И здесь математическая правильность определяется свойствами подобных треугольников.
27. Нулевая величина и геометрическое деление
Для полноты математической постановки необходимо рассмотреть особенности нулевых значений.
Если делимое равно нулю, а делитель положителен, результирующая величина также равна нулю.
Геометрически она представляется совпадением соответствующих начальной и конечной точек.
Если же делитель равен нулю, обычная операция деления не определяется.
Поэтому базовая конструкция геометрического деления предполагает положительную длину делителя.
Таким образом, математическая определённость операции обеспечивается ясным установлением исходных условий.
Это положение имеет значение для последующего объединения геометрической арифметики с более сложными алгоритмами.
28. Умножение и деление как взаимно обратные операции
Рассмотрим теперь связь двух основных технологий.
Пусть первоначально задан некоторый отрезок.
Посредством геометрического умножения его длина увеличивается в определённое количество раз.
Получается новый результирующий отрезок.
Теперь выполним деление полученной величины на тот же числовой коэффициент.
Если используется та же единица длины, результатом будет отрезок, равный первоначальному.
Таким образом, геометрическое умножение и деление образуют взаимно обратную пару операций.
Это свойство можно использовать для проверки правильности построений.
Субрисунок 10. Умножение и обратное деление: восстановление первоначальной линейной величины.
29. Геометрическое построение четвёртой пропорциональной
Одной из фундаментальных задач геометрической арифметики является построение четвёртой пропорциональной величины.
Пусть заданы три положительных отрезка.
Необходимо построить четвёртый, который находится с ними в заранее установленном пропорциональном отношении.
Для решения этой задачи можно вновь использовать два луча с общей вершиной.
На первом луче откладываются две исходные величины.
На втором — третья.
Затем выполняется соответствующее соединительное и параллельное построение.
В результате возникает четвёртый отрезок.
Он занимает строго определённое положение в системе подобных треугольников.
Таким образом, задача четвёртой пропорциональной объединяет многие рассмотренные ранее операции.
30. Алгоритм построения четвёртой пропорциональной
Рассмотрим подробную последовательность построения.
Из общей вершины О проведём два различных луча.
На первом отметим точку П, соответствующую первой заданной длине.
Затем на том же луче отметим точку К, соответствующую второй заданной длине.
На втором луче отметим точку Р, соответствующую третьей длине.
Соединим точки П и Р.
Через точку К проведём прямую, параллельную ПР.
Её пересечение со вторым лучом обозначим точкой Х.
Полученный отрезок ОХ представляет четвёртую пропорциональную величину.
При этом отношение первой исходной длины ко второй равно отношению третьей исходной длины к искомой.
Субрисунок 5. Построение четвёртой пропорциональной посредством параллельных прямых.
31. Доказательство правильности четвёртой пропорциональной
Рассмотрим треугольники с общей вершиной О.
Первый имеет вершины О, П и Р.
Второй — О, К и Х.
Их соответствующие стороны располагаются на одних и тех же лучах.
Соединительные стороны ПР и КХ параллельны.
Следовательно, оба треугольника подобны.
Из подобия непосредственно следует установленная пропорциональность соответствующих сторон.
Поэтому построенный отрезок ОХ находится в необходимом отношении к трём заданным исходным величинам.
Таким образом, задача четвёртой пропорциональной имеет точное конструктивное решение.
Её математическая основа является общей для геометрического умножения, деления и масштабирования.
32. Четвёртая пропорциональная как универсальный арифметический механизм
Здесь возникает принципиально важное обобщение.
Геометрическое умножение можно рассматривать как специальный случай построения четвёртой пропорциональной.
Для этого одна из исходных величин принимается равной выбранной единице длины.
Геометрическое деление также может быть организовано посредством соответствующего размещения единицы, делителя и делимого.
Таким образом, две основные арифметические операции получают единое математическое основание.
Именно это обстоятельство представляет особый интерес для универсальной геометрической арифметики.
Разные арифметические задачи могут решаться посредством одной конструктивной технологии.
Изменяются исходные данные и их расположение.
Но сохраняются общая вершина, два луча, соединительная сторона и параллельное построение.
33. Геометрическое масштабирование отрезков
Теперь рассмотрим масштабирование как самостоятельную технологическую операцию.
Пусть задан прямолинейный отрезок.
Необходимо построить другой отрезок, длина которого находится в установленном отношении к первоначальной.
Это отношение называется масштабным коэффициентом.
Если коэффициент превышает единицу, выполняется увеличение.
Если он положителен и меньше единицы — уменьшение.
Если коэффициент равен единице, длина сохраняется.
Таким образом, геометрическое масштабирование представляет собой общий класс преобразований линейных величин.
А система подобных треугольников обеспечивает универсальный способ его осуществления.
34. Удвоение линейного масштаба
Рассмотрим простейший пример увеличения.
Пусть исходный отрезок обладает определённой положительной длиной.
Требуется построить новый отрезок, вдвое превышающий её.
Для этого на первом вспомогательном луче откладывается единичная длина.
Затем на том же луче отмечается точка, находящаяся от общей вершины на расстоянии двух единиц.
На втором луче воспроизводится первоначальная длина.
После выполнения пропорционального построения получается искомый отрезок удвоенной длины.
Субрисунок 6. Удвоение линейного масштаба посредством системы подобных треугольников.
Таким образом, целочисленное увеличение может осуществляться как посредством многократного сложения, так и посредством геометрического масштабирования.
35. Масштабирование в отношении трёх к двум
Рассмотрим более сложный пример.
Требуется увеличить исходную длину в полтора раза.
Для этого можно выбрать две положительные вспомогательные длины, находящиеся в отношении двух к трём.
Например, первая содержит два одинаковых шага.
Вторая — три.
На первом луче отметим обе величины.
На втором отложим первоначальную длину.
Выполним соответствующее построение подобных треугольников.
В результате получим отрезок, длина которого составляет три вторых первоначальной.
Субрисунок 7. Масштабирование отрезка в отношении трёх к двум.
Этот пример показывает, что для выполнения геометрического масштабирования не обязательно использовать только целочисленные коэффициенты.
36. Уменьшение масштаба в отношении двух к трём
Теперь рассмотрим обратную задачу.
Требуется получить отрезок, составляющий две трети первоначальной длины.
На первом луче откладываются две соответствующие вспомогательные величины.
Первая содержит три одинаковых шага.
Вторая — два.
На втором луче откладывается первоначальный отрезок.
После выполнения параллельного построения возникает искомая длина.
Она составляет две трети исходной.
Субрисунок 8. Уменьшение линейного масштаба в отношении двух к трём.
Таким образом, один конструктивный принцип позволяет воспроизводить взаимно обратные масштабные отношения.
37. Произвольные рациональные масштабные коэффициенты
Рассмотрим общую постановку задачи.
Пусть требуется масштабировать некоторый отрезок посредством заранее установленного положительного рационального коэффициента.
В таком случае соответствующий коэффициент можно представить как отношение двух натуральных количеств равных частей.
Для этого используется универсальная полисекция.
Сначала создаётся вспомогательная единица необходимой длины.
Затем она разделяется на заданное количество равных частей.
После этого строится отрезок, содержащий соответствующее количество полученных долей.
Таким образом, необходимый коэффициент получает непосредственное геометрическое представление.
В дальнейшем он используется в системе подобных треугольников для масштабирования исходной длины.
Следовательно, полисекция и пропорциональное построение образуют единую конструктивную технологию воспроизведения рациональных масштабных коэффициентов.
38. Последовательное масштабирование
Теперь рассмотрим возможность последовательного выполнения нескольких масштабных преобразований.
Предположим, что некоторый отрезок сначала увеличивается в полтора раза.
Затем полученный результат дополнительно увеличивается в отношении четырёх к трём.
В итоге новая длина будет вдвое превышать первоначальную.
Этот результат можно получить посредством двух последовательных пропорциональных построений.
На первом этапе создаётся промежуточная величина.
На втором — она используется как исходная длина следующего преобразования.
Таким образом, последовательное масштабирование позволяет организовывать составные геометрические алгоритмы.
При этом каждое отдельное построение сохраняет собственное математическое обоснование.
39. Сочетательность масштабных преобразований
Предположим, что к некоторой исходной длине необходимо применить несколько положительных масштабных коэффициентов.
Можно выполнять соответствующие преобразования последовательно.
Сначала первый.
Затем второй.
После этого третий.
Но при необходимости можно предварительно построить один результирующий коэффициент, соответствующий произведению всех заданных коэффициентов.
И затем выполнить одно масштабирование.
В математически точной модели оба подхода обеспечивают одинаковый результат.
Таким образом, геометрическое масштабирование обладает свойством сочетательности.
Это обстоятельство позволяет исследовать разные способы организации сложных последовательностей построений.
40. Масштабирование нескольких отрезков посредством одной системы
Особое значение имеет возможность использовать общую вспомогательную конструкцию для нескольких исходных длин.
Предположим, что задано три различных отрезка.
Все они должны быть увеличены в одном и том же отношении.
Для этого можно предварительно построить на первом луче две вспомогательные величины, определяющие необходимый масштаб.
На втором луче последовательно размещаются три исходные длины.
Для каждой из них выполняется соответствующее параллельное построение.
В результате возникают три новых отрезка.
Каждый масштабирован посредством одного и того же коэффициента.
При этом общие опорные точки на первом луче используются повторно.
Субрисунок 12. Единая пропорциональная шкала для масштабирования трёх различных длин.
41. Симметричная организация вспомогательных лучей
Теперь обратимся к конструктивной организации, представляющей особый интерес для гармонической геометрии.
Пусть из общей вершины проведены три луча.
Один располагается горизонтально.
Два других — симметрично относительно него.
На центральном луче откладываются две величины, определяющие масштабное отношение.
На верхнем вспомогательном луче располагается первая исходная длина.
На нижнем — вторая.
Используя соответствующие соединительные и параллельные прямые, можно построить масштабированные изображения обеих длин.
Таким образом, возникает симметричная двухсторонняя система пропорциональных преобразований.
Субрисунок 11. Симметричная система вспомогательных лучей для выполнения двух масштабных преобразований.
42. Математическое обоснование симметричной системы
Рассмотрим верхнее семейство треугольников.
Оно использует одну общую вершину и две опорные точки центрального луча.
Соответствующие соединительные стороны строятся параллельными.
Следовательно, возникающие треугольники подобны.
Аналогичный принцип используется для нижнего семейства.
Таким образом, обе системы воспроизводят один и тот же масштабный коэффициент.
При этом верхняя и нижняя исходные длины могут различаться.
Следовательно, симметричная конструкция позволяет масштабировать несколько различных величин посредством одной центральной опорной системы.
Её математическое содержание определяется двумя самостоятельными применениями теоремы о подобии треугольников.
43. Повторное использование пропорциональных построений
Одна из важнейших перспектив универсальной геометрической арифметики заключается в многократном использовании уже созданных вспомогательных систем.
Предположим, что на определённой прямой построены единичная длина и несколько рациональных масштабных коэффициентов.
Например, половина единицы.
Три вторых.
Пять четвёртых.
Семь пятых.
Две единицы.
Если соответствующие величины сохраняются как элементы общей геометрической конструкции, они могут использоваться при выполнении различных операций.
Таким образом, возникает возможность организации своеобразной геометрической библиотеки масштабов.
Каждый её элемент представляет не просто числовое значение.
Он воспроизводится посредством определённого отрезка.
И может непосредственно использоваться в дальнейших построениях.
44. Геометрическая арифметика как система генеративных операций
Здесь становится особенно заметным более общее значение разработанной технологии.
Полисекция позволяет получать заданные доли первоначальных длин.
Сложение объединяет эти доли.
Вычитание позволяет выделять необходимые разности.
Умножение обеспечивает масштабирование.
Деление — получение соответствующих частных.
А построение четвёртой пропорциональной объединяет различные операции в одной системе подобных треугольников.
Следовательно, речь идёт уже не только о последовательности отдельных геометрических задач.
Возникает согласованная система, в которой результат одного построения может становиться исходной величиной другого.
Именно это свойство придаёт универсальной геометрической арифметике особое когнитивное и генеративное значение.
Она позволяет переходить от заданных линейных величин к новым посредством конечных последовательностей математически определённых операций.
45. Геометрическая арифметика и воспроизведение числовых отношений
Рассмотрим ещё одно важное следствие.
Если определённое числовое отношение может быть представлено посредством доступных геометрических величин, возникает возможность его конструктивного воспроизведения.
Для рациональных отношений такую основу предоставляет универсальная полисекция.
Для более сложных пропорциональных преобразований — система подобных треугольников.
При этом числовое описание коэффициента и его геометрическое построение становятся двумя взаимосвязанными этапами одной технологии.
Сначала определяется требуемое отношение.
Затем оно представляется посредством соответствующих отрезков.
После этого выполняется необходимое масштабирование.
Таким образом, геометрическая арифметика образует мост между числовым определением величины и её непосредственным геометрическим воспроизведением.
46. Математическая точность геометрического умножения и деления
В идеальной евклидовой модели рассмотренные конструкции обеспечивают математически точные результаты.
Это следует из подобия соответствующих треугольников.
Если исходные длины заданы точно, а необходимые параллельные прямые построены точно, получаемые пропорциональные отношения также выполняются точно.
Следовательно, геометрическое умножение и деление положительных линейных величин относительно выбранной единицы имеют строгое математическое обоснование.
При этом необходимо различать точность построения заданного отношения и способ определения самого исходного коэффициента.
Если коэффициент представлен точной геометрической величиной, соответствующее масштабирование также определяется точно.
Если он представлен заранее установленным приближением, результирующая длина воспроизводит это приближение.
Такое разграничение подготавливает дальнейшее исследование необходимой и достаточной точности.
47. Технологическая точность физического воспроизведения
При материальном выполнении геометрического умножения и деления необходимо учитывать особенности используемого инструментария.
Особенно важна точность построения параллельных прямых.
Ведь именно параллельность определяет соответствующее пропорциональное отношение.
Кроме того, необходимо правильно воспроизводить единичную длину.
И точно определять положение исходных точек на вспомогательных лучах.
Возможные технологические отклонения влияют на фактические длины получаемых отрезков.
Поэтому физическое воспроизведение геометрической арифметики требует соответствующего контроля.
Именно здесь вновь приобретает значение принцип необходимой и достаточной точности, разработанный во втором томе.
48. Особенности точности последовательных операций
При последовательном геометрическом масштабировании возникает дополнительная проблема.
Результат первого построения становится исходной величиной второго.
Полученная на втором этапе длина используется в третьем.
Таким образом, технологические отклонения отдельных операций могут передаваться последующим этапам.
Поэтому рациональная организация сложных геометрических алгоритмов должна учитывать не только количество действий.
Необходимо также исследовать их последовательность и чувствительность результата к точности исходных величин.
Например, при делении на очень малую положительную величину небольшое абсолютное отклонение делителя может существенно повлиять на результат.
Следовательно, предварительный выбор масштаба построения и необходимой точности представляет важную часть технологической организации геометрической арифметики.
49. Конструктивная эффективность различных способов масштабирования
Мы рассмотрели несколько способов получения увеличенных и уменьшенных линейных величин.
Посредством повторного откладывания одинаковых отрезков.
Посредством полисекции.
Посредством прямого пропорционального масштабирования.
Посредством последовательного применения нескольких коэффициентов.
А также посредством общей системы вспомогательных лучей.
Все эти технологии могут обеспечивать математически определённые результаты.
Однако их конструктивная организация различается.
Поэтому возникает возможность сравнительного исследования.
Для этого необходимо учитывать количество вспомогательных операций.
Сложность построения параллельных прямых.
Возможность повторного использования опорных точек.
Масштаб чертежа.
И технологическую точность.
Именно такой анализ позволяет перейти от математической правильности к исследованию конструктивной эффективности.
50. Историческая преемственность геометрической арифметики
Рассмотренные технологии имеют глубокие исторические основания.
Теория пропорций и подобных фигур занимает важнейшее место в геометрии Евклида.
В шестой книге «Начал» рассматриваются задачи построения заданных частей отрезков и пропорциональных величин.
В частности, построение четвёртой пропорциональной составляет содержание двенадцатого предложения шестой книги.
В дальнейшем геометрическая арифметика получила развитие в математике Средневековья и Нового времени.
Особое значение имеет геометрическая программа Рене Декарта, в которой арифметические операции над величинами получили систематическое геометрическое представление.
Таким образом, математическая основа исследуемых построений принадлежит богатому историческому наследию.
В настоящем исследовании центральный интерес представляет возможность объединения этих принципов в универсальную систему конструктивных технологий, ориентированную на последовательное получение заданных результатов.
51. Царский путь в геометрическом умножении и делении
Проблема конструктивной эффективности непосредственно связана с авторской концепцией Царского пути.
В рамках настоящей главы она получает особенно ясное технологическое содержание.
Если необходимо построить один отрезок удвоенной длины, можно использовать последовательное откладывание исходной величины.
Если требуется выполнить большое количество различных масштабных преобразований, более интересной может оказаться общая система подобных треугольников.
Если необходимо многократно воспроизводить один и тот же коэффициент, целесообразно исследовать возможность сохранения соответствующих вспомогательных построений.
Таким образом, выбор рационального способа зависит от конкретной задачи.
При этом необходимо учитывать математическую правильность результата.
Количество операций.
Требуемую точность.
Возможность повторного применения.
И общую технологическую сложность.
Именно в таком сочетании принцип Царского пути становится инструментом исследования универсальной геометрической арифметики.
52. От арифметики длин — к преобразованию площадей и объёмов
Особое значение рассмотренных построений проявляется при переходе от линейных величин к более сложным геометрическим объектам.
Например, если необходимо построить квадрат заданной площади, требуется определить соответствующую длину его стороны.
А если необходимо построить куб заданного объёма, необходимо определить длину соответствующего ребра.
Таким образом, задачи преобразования площадей и объёмов непосредственно связаны с построением определённых линейных размеров.
Однако для каждого класса объектов необходимо учитывать соответствующие зависимости.
При изменении линейного масштаба подобной плоской фигуры её площадь изменяется в квадрате этого коэффициента.
Для подобных пространственных тел объём изменяется в кубе линейного масштабного коэффициента.
Следовательно, получение заданного отношения площадей или объёмов требует построения соответствующего линейного коэффициента.
Именно здесь геометрическая арифметика отрезков становится важнейшим инструментом дальнейших исследований.
53. Геометрическое умножение и задача квадратуры круга
Рассмотрим перспективу применения разработанной технологии к квадратуре круга.
Если задан круг, необходимо определить сторону квадрата, площадь которого соответствует площади исходного круга.
При постановке задачи с необходимой и достаточной точностью возникает возможность использовать определённое приближение соответствующего масштабного коэффициента.
После получения такого коэффициента его можно воспроизвести посредством геометрической арифметики.
Затем использовать для построения стороны искомого квадрата.
Таким образом, сложная геометрическая задача разделяется на несколько взаимосвязанных этапов.
Определение необходимого числового отношения.
Его геометрическое воспроизведение.
Построение искомого отрезка.
И получение соответствующей плоской фигуры.
Подробное исследование этой технологии будет выполнено в седьмой главе настоящего тома.
54. Масштабирование и задача удвоения куба
Аналогичная связь возникает при рассмотрении удвоения куба.
Пусть задан исходный куб.
Необходимо построить другой куб, объём которого вдвое превышает первоначальный.
Для этого требуется определить соответствующий линейный масштабный коэффициент.
После его геометрического воспроизведения можно построить ребро нового куба.
А затем исследовать соответствие полученного объёма заданному.
Таким образом, геометрическое умножение и деление отрезков становятся составными элементами более общей технологии преобразования пространственных величин.
Особое значение здесь приобретает возможность последовательного уточнения необходимого коэффициента.
Эта задача будет подробно рассмотрена в девятой главе настоящего тома.
55. Интегральный геометрический атлас пятой главы
Для наглядного представления основных конструктивных технологий настоящей главы подготовлен интегральный геометрический рисунок, включающий двенадцать субрисунков.
Первый показывает единичный отрезок и исходные линейные величины.
Второй — организацию двух лучей с общей вершиной.
Третий — геометрическое умножение посредством подобия треугольников.
Четвёртый — геометрическое деление.
Пятый — построение четвёртой пропорциональной.
Шестой — удвоение линейного масштаба.
Седьмой — масштабирование в отношении трёх к двум.
Восьмой — уменьшение масштаба в отношении двух к трём.
Девятый — использование коэффициента семь пятых.
Десятый — взаимную обратимость умножения и деления.
Одиннадцатый — симметричную систему вспомогательных лучей.
Двенадцатый — масштабирование нескольких исходных длин посредством одной опорной системы.
Таким образом, интегральный атлас представляет основные разновидности геометрической арифметики пропорций в единой визуальной форме.
Рисунок 5.1. Геометрическое умножение, деление и масштабирование отрезков посредством систем подобных треугольников. Двенадцать конструктивных схем.
56. Основные результаты пятой главы
Подведём итоги проведённого исследования.
Первое. Установлена конструктивная основа геометрического умножения положительных линейных величин относительно выбранной единицы.
Второе. Разработана последовательность построения соответствующего произведения посредством системы подобных треугольников.
Третье. Рассмотрена математически обоснованная технология геометрического деления.
Четвёртое. Показана взаимная обратимость умножения и деления.
Пятое. Исследована технология построения четвёртой пропорциональной величины.
Шестое. Рассмотрены различные случаи увеличения и уменьшения линейного масштаба.
Седьмое. Показано использование универсальной полисекции для воспроизведения рациональных масштабных коэффициентов.
Восьмое. Исследована возможность последовательного применения нескольких масштабных преобразований.
Девятое. Рассмотрены возможности совместного масштабирования нескольких исходных отрезков посредством одной пропорциональной системы.
Десятое. Исследована симметричная организация вспомогательных лучей с общей вершиной.
Одиннадцатое. Установлена связь геометрической арифметики длин с последующими задачами преобразования площадей и объёмов.
Двенадцатое. Сформулированы основные направления дальнейшего исследования конструктивной эффективности соответствующих технологий.
Таким образом, пятая глава завершает формирование исходного аппарата основных арифметических операций над положительными линейными величинами.
57. Заключение. От арифметики отрезков — к универсальной системе геометрических преобразований
Итак, в пятой главе третьего тома мы рассмотрели геометрическое умножение и деление, масштабирование отрезков и построение заданных пропорций.
В качестве фундаментальной математической основы была использована система подобных треугольников с общей вершиной.
На её основе исследованы технологии воспроизведения произведений и частных числовых значений линейных величин относительно выбранной единицы.
Особое внимание было уделено построению четвёртой пропорциональной.
Именно эта операция позволяет объединить несколько разновидностей геометрического умножения, деления и масштабирования в рамках одной математически определённой конструкции.
Мы также рассмотрели возможность использования универсальной полисекции для получения дробных масштабных коэффициентов.
Исследовали последовательное масштабирование.
Повторное использование вспомогательных геометрических элементов.
И симметричную организацию нескольких пропорциональных построений относительно общей вершины.
Таким образом, сформировалась система взаимосвязанных конструктивных операций.
Полисекция обеспечивает получение необходимых долей.
Сложение и вычитание позволяют объединять и преобразовывать линейные величины.
Умножение и деление обеспечивают их пропорциональное масштабирование.
Построение четвёртой пропорциональной объединяет эти действия в единую геометрическую технологию.
В результате становится возможным переход от сравнительно простых исходных отрезков к широкому семейству новых линейных величин.
При этом каждое построение имеет определённую последовательность действий.
И математическое обоснование.
А результат может использоваться в дальнейших конструктивных операциях.
Именно эта способность к последовательному порождению новых геометрических величин представляет одно из наиболее важных свойств универсальной геометрической арифметики.
Она превращает отдельные построения в согласованную систему.
А систему — в основу дальнейших геометрических преобразований.
Следующая, шестая глава будет посвящена последовательной полисекции и геометрическому воспроизведению числовых величин с заданной точностью.
В ней предстоит объединить рассмотренные арифметические операции с алгоритмами последовательного уточнения.
Особое значение приобретёт возможность воспроизведения необходимых числовых коэффициентов посредством конечных геометрических построений.
Именно это направление станет непосредственной конструктивной основой последующего исследования квадратуры круга, политуры и мультипликации объёмов.
От полисекции — к сложению и вычитанию.
От сложения и вычитания — к умножению и делению.
От геометрической арифметики — к универсальному масштабированию.
От масштабирования — к воспроизведению заданных числовых величин.
От отдельных геометрических построений — к универсальной системе конструктивных преобразований.
Так завершается пятая глава третьего тома «Ультраноочелленджа трёх тысячелетий».
И открывается следующий этап исследования — последовательное геометрическое воспроизведение числовых отношений с необходимой и достаточной точностью.
+++++++


 

ГЛАВА 6. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНАЯ ПОЛИСЕКЦИЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ВОСПРОИЗВЕДЕНИЕ ЧИСЛОВЫХ ВЕЛИЧИН С ЗАДАННОЙ ТОЧНОСТЬЮ
1. От геометрической арифметики — к управляемому воспроизведению числовых величин
В предыдущих главах настоящего тома мы последовательно исследовали основные конструктивные операции над прямолинейными отрезками.
Сначала была рассмотрена универсальная полисекция — разделение произвольного отрезка на заданное количество равных частей посредством системы подобных треугольников с общей вершиной.
Затем мы обратились к геометрическому сложению и вычитанию.
После этого исследовали умножение, деление, масштабирование и построение заданных пропорций.
Таким образом, сформировалась система взаимосвязанных геометрических операций.
Однако теперь необходимо сделать следующий принципиальный шаг.
До сих пор основное внимание уделялось построению определённых рациональных отношений.
Но многие геометрические задачи предполагают воспроизведение более сложных числовых величин.
Например, некоторых квадратных и кубических корней.
Или коэффициентов, связанных с площадями кругов.
Или других числовых отношений, которые в практических вычислениях представляются последовательными приближениями.
Поэтому возникает фундаментальный вопрос.
Каким образом организовать универсальную систему геометрических построений, позволяющую воспроизводить заданные числовые величины с необходимой и достаточной точностью?
Именно эта задача составляет основное содержание шестой главы.
2. Число и длина: установление исходного соответствия
Прежде чем переходить к последовательным приближениям, необходимо уточнить связь между числовой величиной и геометрическим отрезком.
Пусть на плоскости задан определённый положительный прямолинейный отрезок.
Примем его длину за единицу.
Теперь любой другой положительный отрезок можно характеризовать посредством отношения его длины к выбранной единице.
Например, если второй отрезок вдвое длиннее единичного, его числовое значение в данной системе составляет две единицы.
Если он имеет половину единичной длины, соответствующее числовое значение составляет одну вторую.
Таким образом, числовая величина получает геометрическое представление посредством отношения двух длин.
И наоборот.
Если задано определённое положительное число, возникает задача построения отрезка, длина которого находится в соответствующем отношении к единичному.
Именно эта взаимосвязь становится исходной основой дальнейшего исследования.
Субрисунок 1. Единичный отрезок и целевая линейная величина.
3. Три уровня геометрического воспроизведения числа
В рамках настоящего исследования целесообразно различать три уровня постановки задачи.
Первый уровень — математическое определение числовой величины.
Необходимо установить, какое именно число требуется воспроизвести.
Оно может быть задано рациональной дробью, условием геометрической задачи или вычислительным алгоритмом.
Второй уровень — конструктивное получение соответствующего отрезка.
Здесь используются полисекция, перенос длин, сложение, вычитание, умножение и деление.
Третий уровень — оценка точности результата.
Необходимо установить, насколько полученная длина соответствует заданной величине и удовлетворяет ли она требованиям исходной задачи.
Именно согласованное объединение этих трёх уровней позволяет перейти от обычного геометрического построения к управляемой технологии воспроизведения числовых величин.
4. Конструктивное задание целевой числовой величины
Для организации последовательного геометрического воспроизведения необходимо располагать определённым описанием требуемого числа.
Например, оно может быть задано точной рациональной дробью.
Или последовательностью десятичных знаков, для которых предусмотрен способ вычисления.
Или известными нижними и верхними рациональными оценками.
Особый интерес представляет последний случай.
Предположим, что известны две рациональные величины.
Первая меньше или равна требуемому числу.
Вторая больше или равна ему.
Следовательно, искомая величина находится между ними.
Если имеется алгоритм последовательного уточнения этих границ, возникает возможность геометрически воспроизводить соответствующие приближения.
Таким образом, исходное числовое описание превращается в последовательность конкретных конструктивных заданий.
5. Точное и приближённое геометрическое построение
В предыдущих томах мы неоднократно подчёркивали необходимость различать математически точные и приближённые построения.
Это различие приобретает особое значение в настоящей главе.
Если необходимо воспроизвести рациональную долю единичного отрезка, соответствующее отношение может быть получено точно посредством универсальной полисекции.
Например, три седьмых первоначальной длины.
Или одиннадцать двадцатых.
Но если требуется воспроизвести величину, заданную последовательностью всё более точных рациональных приближений, возникает другая конструктивная организация.
На каждом определённом этапе строится соответствующий рациональный отрезок.
Его длина может быть математически точной относительно выбранной рациональной величины.
Но по отношению к окончательной целевой величине она представляет приближение.
Таким образом, точность отдельного построения и точность воспроизведения целевого числа являются различными характеристиками.
6. Погрешность как определённая математическая величина
Для исследования последовательных приближений необходимо установить критерий их правильности.
Пусть имеется целевая длина.
И построен некоторый приближающий отрезок.
Разность их длин по абсолютной величине характеризует ошибку приближения.
Именно эту величину будем рассматривать как абсолютную погрешность.
Если необходимо сравнивать построения различных масштабов, можно дополнительно использовать относительную погрешность.
Она характеризует отклонение результата по отношению к определённой положительной исходной или целевой величине.
Однако для каждой конкретной задачи необходимо заранее установить, какой именно критерий используется.
Таким образом, точность становится не неопределённой оценкой качества чертежа, а математически установленной характеристикой результата.
7. Универсальная полисекция единичного отрезка
Теперь обратимся к основной конструктивной технологии.
Пусть задан единичный прямолинейный отрезок.
Требуется разделить его на определённое натуральное количество равных частей.
Для этого можно использовать систему подобных треугольников с общей вершиной, подробно исследованную в первых двух главах.
На вспомогательном луче откладывается необходимое количество равных шагов.
Затем проводится заключительная соединительная сторона.
Через внутренние вспомогательные точки строятся соответствующие параллельные прямые.
Их пересечения с единичным отрезком определяют искомые равные части.
Таким образом, единичная длина превращается в геометрическую шкалу.
Каждому её суботрезку соответствует определённая рациональная доля единицы.
8. Десятичная полисекция единичной длины
Рассмотрим особенно важный пример.
Разделим единичный отрезок на десять равных частей.
В результате получим десять последовательных суботрезков одинаковой длины.
Каждая часть составляет одну десятую первоначальной единицы.
Теперь можно выделять различные количества таких частей.
Например, три последовательные части соответствуют трём десятым единицы.
Шесть — шести десятым.
Девять — девяти десятым.
Таким образом, десятичная система числового представления получает непосредственную геометрическую интерпретацию.
При этом все соответствующие деления могут быть выполнены математически точно.
Субрисунок 3. Десятичная полисекция единичного отрезка.
9. Первый этап последовательного уточнения
Предположим, что необходимо геометрически воспроизвести положительную числовую величину, расположенную между нулём и единицей.
Причём известно, что она больше шести десятых и меньше семи десятых.
Разделим единичный отрезок на десять равных частей.
Теперь выделим интервал между точками, соответствующими шести и семи десятым единицы.
Таким образом, первоначальная область возможного расположения целевой величины существенно сократится.
Вместо всего единичного отрезка мы будем рассматривать только одну его десятую часть.
Именно этот интервал становится исходным объектом следующего этапа.
10. Второй этап: получение сотых долей
Теперь разделим выбранный интервал между шестью и семью десятыми на десять равных частей.
Каждая новая часть будет составлять одну сотую первоначальной единицы.
Предположим, что известное числовое описание целевой величины позволяет установить её расположение между шестьюдесятью тремя и шестьюдесятью четырьмя сотыми.
Выделим соответствующий суботрезок.
В результате область возможного расположения целевой величины вновь уменьшится в десять раз.
Таким образом, посредством двух последовательных полисекций мы перешли от единичного интервала к интервалу длиной одну сотую первоначальной единицы.
Субрисунок 4. Последовательное уточнение десятичного интервала до сотых долей.
11. Третий этап: получение тысячных долей
Продолжим построение.
Теперь исходным объектом становится интервал между шестьюдесятью тремя и шестьюдесятью четырьмя сотыми единицы.
Разделим его на десять равных частей.
Каждая новая часть составит одну тысячную первоначальной единицы.
Предположим, что целевая величина находится между шестьюстами тридцатью семью и шестьюстами тридцатью восемью тысячными.
Тогда выбирается соответствующий суботрезок.
Таким образом, после третьего уточнения длина содержащего целевую величину интервала составляет одну тысячную первоначальной единицы.
Субрисунок 5. Геометрическое получение тысячных долей посредством последовательной полисекции.
12. Общий алгоритм десятичного уточнения
Рассмотренные три этапа позволяют сформулировать универсальный принцип.
Сначала выбирается исходный интервал, содержащий целевую величину.
Затем этот интервал делится на десять равных частей.
После этого определяется, какая именно часть содержит требуемое число.
Выбранная часть становится новым рабочим интервалом.
Затем выполняется очередная полисекция на десять равных частей.
И процедура повторяется.
При этом каждый новый рабочий интервал в десять раз короче предыдущего.
Таким образом, возникает последовательность вложенных прямолинейных отрезков.
Все они содержат целевую величину.
Но их длины последовательно уменьшаются.
Именно это обстоятельство составляет математическую основу десятичного алгоритма геометрического уточнения.
13. Числовой разряд как инструкция для геометрического построения
Особый интерес представляет связь между десятичной записью числа и выбором соответствующих геометрических частей.
Предположим, что числовое значение целевой величины известно с определённым количеством десятичных знаков.
Каждый следующий знак позволяет указать один из десяти суботрезков очередного рабочего интервала.
Следовательно, последовательность десятичных цифр может рассматриваться как система инструкций для геометрического конструирования.
Сначала определяется соответствующая десятая часть.
Затем сотая.
После этого тысячная.
И так далее.
Таким образом, числовое описание приобретает непосредственный алгоритмический смысл.
Оно определяет последовательность выбираемых геометрических интервалов.
14. Воспроизведение чисел, превышающих единицу
До сих пор мы рассматривали величины между нулём и единицей.
Но универсальная геометрическая арифметика должна охватывать значительно более широкий класс положительных чисел.
Предположим, что требуется воспроизвести величину, превышающую три единицы, но меньшую четырёх.
Сначала посредством последовательного откладывания единичного отрезка строится длина, содержащая три полные единицы.
Затем воспроизводится необходимая дробная часть.
Она может быть получена посредством уже рассмотренной десятичной полисекции.
После этого дробная часть присоединяется к целой.
В результате возникает требуемая линейная величина.
Следовательно, общий алгоритм можно рассматривать как сочетание двух операций.
Построения целой части.
И последовательного воспроизведения дробной.
15. Геометрическая организация десятичных разрядов
Рассмотрим построение числа, содержащего целую часть и несколько десятичных разрядов.
Прежде всего необходимо выбрать единичный отрезок.
Затем воспроизвести необходимое количество полных единиц.
После этого построить десятые доли.
Затем сотые.
При необходимости — тысячные и последующие разряды.
Каждая очередная доля может получаться посредством новой полисекции ранее построенного суботрезка.
Таким образом, вся числовая величина представляется последовательностью геометрических элементов.
При этом каждый элемент обладает определённой длиной.
А их согласованное объединение образует результирующий отрезок.
Так возникает непосредственная связь между позиционной записью числа и конструктивной геометрической арифметикой.
16. Точное воспроизведение рациональных чисел
Особого внимания заслуживают рациональные числовые величины.
Пусть требуется построить отрезок, составляющий три седьмых выбранной единицы.
Для этого единичный отрезок разделяется на семь равных частей.
Затем выделяются три последовательных суботрезка.
Полученная длина точно соответствует заданному рациональному отношению.
Следовательно, для такого числа не требуется организовывать бесконечную последовательность десятичных уточнений.
Достаточно одной конечной полисекции и выделения необходимого количества частей.
Субрисунок 7. Точное геометрическое воспроизведение трёх седьмых единичной длины.
17. Рациональные отношения с различными знаменателями
Рассмотрим более общую задачу.
Пусть необходимо воспроизвести некоторую положительную рациональную величину, представленную отношением двух натуральных чисел.
Для этого можно разделить единичный отрезок на количество равных частей, соответствующее знаменателю.
Затем последовательно воспроизвести количество таких частей, соответствующее числителю.
Если числитель превышает знаменатель, результирующий отрезок будет длиннее единицы.
Если меньше — короче.
Если равен знаменателю — совпадёт с единичной длиной.
Таким образом, универсальная полисекция непосредственно обеспечивает воспроизведение произвольных положительных рациональных отношений.
При этом все необходимые построения остаются конечными.
18. Двухэтапная полисекция как самостоятельная технология
Рассмотрим ещё один интересный вариант.
Пусть первоначально единичный отрезок разделён на пять равных частей.
Выберем первую полученную часть.
Теперь разделим её на четыре равных суботрезка.
Каждый из них будет составлять одну двадцатую первоначальной единицы.
Если выделить три таких суботрезка, получится длина, соответствующая трём двадцатым единицы.
Таким образом, одна рациональная величина может получаться посредством последовательности двух полисекций.
Субрисунок 8. Двухэтапная полисекция: деление единицы на пять частей и последующее деление выбранной части на четыре.
Этот способ представляет особый интерес для исследования составных конструктивных алгоритмов.
19. Прямая и последовательная рациональная полисекция
Рассмотренный пример позволяет сопоставить два варианта геометрического построения.
Первый вариант заключается в непосредственном делении единичного отрезка на двадцать равных частей.
Второй — в первоначальном делении на пять частей и последующем делении выбранной пятой части на четыре.
Оба варианта позволяют построить одну двадцатую единицы.
И затем получить соответствующее рациональное кратное.
Однако их конструктивная организация различается.
Поэтому возникает возможность исследования сравнительной эффективности.
Например, можно учитывать количество вспомогательных шагов.
Количество параллельных построений.
Возможность повторного использования уже созданной шкалы.
И технологическую точность.
Таким образом, последовательная полисекция становится самостоятельным предметом конструктивного анализа.
20. Последовательная бисекция как альтернативный способ уточнения
Десятичное деление представляет только один из возможных способов организации последовательных приближений.
Другой важнейший вариант основан на бисекции.
Пусть имеется отрезок, содержащий целевую числовую величину.
Разделим его пополам.
Теперь определим, в какой половине находится искомая величина.
Выберем соответствующий суботрезок.
Затем вновь разделим его пополам.
Повторим процедуру.
После каждого этапа длина рабочего интервала будет уменьшаться в два раза.
Таким образом, возникает последовательность вложенных отрезков, аналогичная десятичной полисекции, но основанная на повторной бисекции.
Субрисунок 6. Последовательная бисекция интервала, содержащего целевую величину.
21. Геометрическое построение середины рабочего интервала
Для выполнения последовательной бисекции необходимо уметь находить середину текущего рабочего отрезка.
Это можно сделать посредством классического геометрического построения.
Или посредством уже рассмотренной технологии полисекции с использованием подобных треугольников.
В любом случае результатом становится точка, разделяющая рабочий отрезок на две равные части.
Если целевая величина расположена между начальной точкой и серединой, выбирается левая половина.
Если между серединой и конечной точкой — правая.
Если целевая величина совпадает с серединой, соответствующий результат уже получен точно.
Таким образом, на каждом этапе производится одно деление и один выбор следующего рабочего интервала.
22. Математическое обоснование последовательной бисекции
Рассмотрим свойства этой процедуры.
Первоначально задан определённый положительный интервал.
После первой бисекции выбирается одна его половина.
Следовательно, длина рабочего интервала уменьшается вдвое.
После второй бисекции — ещё вдвое.
И так далее.
В результате возникает последовательность положительных длин, каждая из которых составляет половину предыдущей.
Для любого заранее установленного положительного допуска можно выбрать достаточно большое конечное количество бисекций, чтобы длина рабочего интервала стала меньше требуемой величины.
Следовательно, последовательная бисекция обеспечивает математически определённый механизм уточнения.
При этом важно, чтобы на каждом этапе было известно, какая половина действительно содержит целевое число.
Такое знание может обеспечиваться исходным числовым заданием и соответствующими рациональными оценками.
23. Вложенные интервалы как основа гарантированной точности
Теперь можно сформулировать общий принцип.
Пусть имеется последовательность вложенных интервалов.
Каждый следующий содержится в предыдущем.
Каждый содержит целевую величину.
А их длины последовательно уменьшаются по заранее установленному правилу.
Тогда соответствующая система позволяет строить всё более точные геометрические приближения.
Особенно важно, что для каждого конкретного интервала известны обе его границы.
Следовательно, можно определить максимальное возможное отклонение выбранного приближения от целевого значения.
Таким образом, геометрическое уточнение превращается в процесс с контролируемой погрешностью.
Это обстоятельство имеет фундаментальное значение для всей конструктивной программы настоящего тома.
24. Нижняя и верхняя границы числовой величины
Рассмотрим подробнее интервальное представление.
Пусть известно, что целевая величина находится между двумя определёнными рациональными числами.
Первое будем считать нижней границей.
Второе — верхней.
Каждую границу можно воспроизвести геометрически посредством соответствующего рационального отрезка.
Таким образом, возникает пара построенных длин.
Целевая величина располагается между ними.
При этом не требуется заранее знать её точное положение внутри интервала.
Достаточно математически обоснованного утверждения о том, что она принадлежит соответствующей области.
Субрисунок 9. Геометрическое воспроизведение нижней и верхней рациональных границ целевой величины.
25. Приближение посредством середины интервала
Если известны нижняя и верхняя границы целевой величины, возникает особенно удобный способ построения приближения.
Можно определить середину соответствующего интервала.
Она находится на одинаковом расстоянии от обеих границ.
Поскольку целевая величина располагается внутри интервала, расстояние от неё до середины не может превышать половину полной длины интервала.
Следовательно, середина представляет приближение с заранее установленной гарантированной оценкой ошибки.
Субрисунок 10. Приближение целевой величины серединой известного интервала.
Таким образом, для получения определённой точности достаточно построить содержащий целевое число интервал установленной ширины.
А затем выполнить его бисекцию.
26. От приближения к принципу необходимой и достаточной точности
Теперь возникает возможность непосредственного применения одного из центральных положений второго тома.
Речь идёт о принципе необходимой и достаточной точности.
Его основная идея заключается в согласовании требований задачи и сложности необходимых геометрических действий.
Предположим, что требуется построить отрезок с определённой максимальной допустимой погрешностью.
Если текущий рабочий интервал обеспечивает такую погрешность, дальнейшее уточнение может быть прекращено.
Если не обеспечивает — выполняется следующий этап полисекции.
Таким образом, количество операций определяется не произвольным стремлением к бесконечному уточнению, а заранее установленным математическим критерием.
Именно в этом заключается конструктивный смысл необходимой и достаточной точности.
27. Критерий завершения последовательного построения
Для полноценной организации алгоритма необходимо определить условие его завершения.
Предположим, что результатом выбирается середина текущего рабочего интервала.
Тогда достаточно обеспечить такую ширину интервала, чтобы её половина не превышала установленного допустимого отклонения.
После выполнения этого условия построенная середина может использоваться в качестве требуемого геометрического приближения.
Таким образом, критерий завершения имеет ясный математический смысл.
Он определяется положительным допуском и длиной текущего рабочего интервала.
Следовательно, алгоритм может включать проверку после каждого этапа уточнения.
Если установленное требование выполнено, построение завершается.
В противном случае процедура продолжается.
28. Предварительное определение количества этапов
Особенно интересной становится возможность заранее оценить необходимое количество уточнений.
При десятичной полисекции длина рабочего интервала после каждого этапа уменьшается в десять раз.
При последовательной бисекции — в два раза.
Следовательно, для обоих способов известен характер уменьшения интервала.
Если задана первоначальная длина и необходимый допуск, можно определить конечное количество этапов, достаточное для достижения установленной математической точности.
Таким образом, процедура становится не только сходящейся, но и эффективно управляемой.
Это положение непосредственно продолжает исследование эффективной сходимости, выполненное в шестой главе второго тома.
29. Конкретный пример последовательного десятичного уточнения
Рассмотрим числовой пример, соответствующий подготовленному интегральному атласу.
Пусть целевая величина в выбранных единицах составляет 0,63745.
Первоначально она находится между нулём и единицей.
После первой десятичной полисекции можно выделить интервал от 0,6 до 0,7.
После второй — от 0,63 до 0,64.
После третьей — от 0,637 до 0,638.
Таким образом, каждый следующий интервал содержит целевое значение и оказывается в десять раз короче предыдущего.
Этап Нижняя граница Верхняя граница Ширина
Исходный 0 1 1
Первый 0,6 0,7 0,1
Второй 0,63 0,64 0,01
Третий 0,637 0,638 0,001
Таким образом, уже после трёх последовательных десятичных уточнений получен интервал длиной одну тысячную единицы.
30. Оценка точности полученного приближения
Продолжим рассмотренный пример.
После третьего уточнения целевая величина находится между 0,637 и 0,638.
Выберем середину соответствующего интервала.
Её числовое значение составляет 0,6375.
Следовательно, гарантированное максимальное отклонение такой середины от любого значения внутри указанного интервала не превышает 0,0005 единицы.
Но поскольку в нашем конкретном примере целевое число известно, можно определить и фактическую разность.
Между 0,6375 и 0,63745 она составляет 0,00005 единицы.
Таким образом, необходимо различать два результата.
Первый — гарантированную верхнюю оценку погрешности, следующую только из известных границ.
Второй — фактическую ошибку конкретного приближения, если целевое значение известно точнее.
Оба результата имеют самостоятельное математическое значение.
31. Переход от числовой точности к физической длине
Теперь рассмотрим геометрический масштаб.
Пусть единичный отрезок соответствует одному метру.
Тогда целевая величина 0,63745 единицы соответствует длине 637,45 миллиметра.
А построенное приближение 0,6375 единицы — длине 637,5 миллиметра.
Фактическая разность составляет 0,05 миллиметра.
Однако если известно только, что целевая величина находится между 0,637 и 0,638, то гарантированная оценка погрешности середины составляет 0,5 миллиметра.
Следовательно, для строгого подтверждения допуска в одну десятую миллиметра необходимо дальнейшее уточнение числовых границ.
Если получить интервал шириной не более одной десятитысячной единицы, то середина такого интервала будет иметь гарантированную математическую ошибку не более 0,05 миллиметра при выбранном метровом масштабе.
Таким образом, необходимое количество этапов связано не только с числовой точностью, но и с физическим масштабом результирующего объекта.
32. Абсолютная точность геометрического воспроизведения
Абсолютная погрешность представляет расстояние между полученной длиной и целевой величиной.
Она может выражаться в выбранных единицах длины.
Например, в миллиметрах.
Сантиметрах.
Или метрах.
Особенно удобно использовать абсолютную погрешность в задачах, где установлен определённый физический допуск.
Например, если требуется изготовить деталь с отклонением не более одной десятой миллиметра.
Или построить архитектурный элемент с допуском в несколько миллиметров.
Таким образом, абсолютная точность непосредственно связывает математическое построение с конкретными технологическими требованиями.
33. Относительная точность геометрического воспроизведения
Однако абсолютная погрешность не всегда позволяет полноценно сравнивать результаты разных масштабов.
Предположим, что два построения обладают одинаковой абсолютной ошибкой.
Но один результирующий отрезок имеет длину несколько миллиметров.
А другой — несколько метров.
Очевидно, значение одной и той же абсолютной погрешности для этих объектов различается.
Поэтому возникает необходимость использовать относительную оценку.
Она характеризует отклонение по отношению к определённой положительной целевой или опорной длине.
Таким образом, абсолютная и относительная точность дополняют друг друга.
При этом критерий должен выбираться заранее в соответствии с содержанием геометрической задачи.
34. Точность исходных числовых данных
Особое внимание необходимо уделять правильности исходного числового задания.
Предположим, что некоторое число представлено большим количеством десятичных знаков.
Это ещё не означает, что все приведённые цифры являются математически обоснованными.
Для геометрического воспроизведения особенно важно понимать, каким образом получены исходные значения.
Если имеется доказанная последовательность рациональных границ, её можно использовать для контролируемого построения.
Если исходная величина получена посредством измерения, следует учитывать соответствующую неопределённость.
Таким образом, точность результирующего отрезка должна рассматриваться совместно с точностью исходной информации.
Именно это положение обеспечивает согласованность числового и геометрического уровней всей технологии.
35. Математическая и технологическая погрешности
В настоящей главе необходимо последовательно разграничивать две составляющие точности.
Первая — математическая погрешность приближения.
Она определяется расхождением между целевым числом и выбранной рациональной величиной.
Вторая — технологическая погрешность построения.
Она связана с физическим воспроизведением соответствующего рационального отрезка.
Например, математически может быть выбран коэффициент с чрезвычайно малой ошибкой.
Но при черчении на бумаге положение соответствующей точки определяется с конечной инструментальной точностью.
Таким образом, увеличение точности числового приближения не всегда автоматически означает аналогичное увеличение точности материального результата.
Поэтому универсальная технология должна предусматривать согласованный контроль обоих источников погрешности.
36. Суммарная оценка ошибки
Рассмотрим конструктивное построение, включающее два последовательных этапа.
Сначала выбирается рациональное приближение необходимой числовой величины.
Затем выполняется его физическое геометрическое воспроизведение.
В результате фактическое отклонение может складываться из числовой ошибки и технологического отклонения.
Если для обеих составляющих известны обоснованные верхние оценки, их сумма даёт безопасную верхнюю оценку полной абсолютной погрешности.
При этом можно учитывать также дополнительные источники отклонений.
Например, неточность исходной единицы длины.
Или погрешность последующего переноса результата на другой луч.
Таким образом, принцип необходимой и достаточной точности приобретает форму общей процедуры распределения и контроля допустимых ошибок.
37. Масштабирование приближённой числовой величины
Теперь объединим последовательную полисекцию с технологиями пятой главы.
Предположим, что посредством десятичного уточнения получено рациональное приближение некоторого масштабного коэффициента.
Необходимо использовать его для построения нового отрезка.
Для этого применяется система подобных треугольников с общей вершиной.
На одном вспомогательном луче располагаются единичная длина и построенный приближённый коэффициент.
На другом — исходная длина.
После соответствующего параллельного построения возникает масштабированный отрезок.
Субрисунок 11. Геометрическое воспроизведение масштабного коэффициента посредством подобия треугольников.
Таким образом, последовательная полисекция предоставляет числовую основу, а система подобия обеспечивает получение необходимой линейной величины.
38. Как изменяется погрешность при масштабировании
Рассмотрим важное математическое обстоятельство.
Пусть определённый масштабный коэффициент воспроизведён с известной абсолютной числовой погрешностью.
Теперь этот коэффициент применяется к исходному отрезку.
Если исходная длина задана точно, то абсолютная математическая ошибка масштабированного результата не превышает произведения исходной длины на верхнюю оценку ошибки коэффициента.
Следовательно, одна и та же числовая погрешность при различных исходных длинах может соответствовать различным абсолютным отклонениям.
Например, при масштабировании небольшого отрезка она может давать весьма малую абсолютную ошибку.
А при масштабировании крупного объекта соответствующее отклонение увеличивается пропорционально исходной длине.
Поэтому необходимая числовая точность коэффициента должна определяться с учётом масштаба всей геометрической задачи.
39. Последовательные арифметические операции и накопление ошибок
В более сложных алгоритмах может использоваться несколько последовательных преобразований.
Например, первоначально выполняется полисекция.
Затем сложение полученных долей.
После этого масштабирование.
И наконец, вычитание определённой величины.
Если исходные числовые данные представлены приближённо, необходимо учитывать распространение соответствующих погрешностей.
Особое значение имеют операции, способные усиливать влияние малых отклонений.
Например, деление на очень малую положительную величину.
Или вычитание двух близких по длине больших отрезков, когда требуется определить сравнительно небольшой остаток.
Поэтому рациональная организация геометрической арифметики должна предусматривать оценку точности не только отдельных операций, но и всей последовательности построений.
40. Алгоритм контроля достигнутой точности
Для универсального применения предлагается организовывать процедуру следующим образом.
Первый этап.
Определяется целевая геометрическая величина.
Второй этап.
Устанавливается необходимая абсолютная или относительная точность.
Третий этап.
Выбирается соответствующая система геометрических операций.
Четвёртый этап.
Определяется рациональное приближение целевой числовой величины.
Пятый этап.
Строится соответствующий отрезок посредством полисекции и геометрической арифметики.
Шестой этап.
Оценивается математическая погрешность.
Седьмой этап.
При необходимости учитываются технологические отклонения.
Восьмой этап.
Проверяется выполнение установленного допуска.
Если требование достигнуто, построение завершается.
Если нет, выполняется предусмотренное алгоритмом уточнение.
Таким образом, формируется полный цикл управляемого геометрического воспроизведения числовой величины.
41. Конечность отдельного построения
Теперь обратимся к фундаментальному философско-математическому вопросу, исследованному во втором томе.
Любое конкретное геометрическое построение должно состоять из конечного количества действий.
Например, разделить отрезок на десять равных частей.
Затем выбрать одну из них.
После этого разделить выбранный суботрезок ещё на десять.
И выполнить соответствующее количество дополнительных уточнений.
Каждый такой этап является конечным.
Если установленная точность достигнута после определённого количества этапов, дальнейшее продолжение не требуется.
Таким образом, результатом конструктивной технологии становится конечный геометрический объект.
Он обладает определённой длиной.
И определённой математически обоснованной точностью относительно целевой величины.
42. Потенциальная неограниченность уточнения
Вместе с тем рассмотренные технологии допускают дальнейшее развитие.
После достижения определённой точности можно выполнить дополнительную полисекцию.
Затем ещё одну.
И так далее.
При этом математические размеры рабочих интервалов будут последовательно уменьшаться.
Таким образом, возникает возможность потенциально неограниченного уточнения.
Однако для каждой заранее установленной положительной точности соответствующий результат может достигаться на определённом конечном этапе, если исходная числовая величина задана алгоритмом с проверяемыми уменьшающимися границами.
Это обстоятельство представляет непосредственное конструктивное выражение принципа потенциальной бесконечности.
Не требуется выполнять бесконечное количество действий.
Необходимо обеспечить возможность выбора достаточного конечного этапа.
43. Эффективная сходимость как свойство геометрического алгоритма
Особый интерес представляет возможность заранее определять объём необходимых построений.
Если при каждом этапе длина рабочего интервала уменьшается в десять раз, скорость уточнения известна.
Если выполняется последовательная бисекция, уменьшение происходит вдвое.
Следовательно, можно оценить количество необходимых действий.
Именно это отличает эффективно управляемый алгоритм от простого утверждения о возможности дальнейшего уточнения.
Для гармонической геометрии такое свойство имеет принципиальное значение.
Ведь Царский путь предполагает не только достижение правильно установленной цели.
Но и рациональную организацию необходимых интеллектуальных и конструктивных ресурсов.
Таким образом, эффективная сходимость становится одним из критериев конструктивной рациональности.
44. Общая вспомогательная шкала и повторное использование построений
Рассмотрим теперь возможности оптимизации.
Предположим, что необходимо воспроизвести несколько числовых величин с одинаковой десятичной точностью.
В таком случае можно предварительно построить общую геометрическую шкалу.
Например, систему десятых, сотых и тысячных долей единичного отрезка.
После этого соответствующие части могут использоваться в разных задачах.
Одни величины получаются посредством выделения определённого количества долей.
Другие — посредством их сложения.
Третьи — через пропорциональное масштабирование.
Таким образом, повторное использование подготовленной шкалы позволяет объединить несколько задач в одной геометрической системе.
Это направление представляет самостоятельный интерес для исследования конструктивной эффективности.
45. Система подобных треугольников как универсальная инфраструктура
В первых главах настоящего тома мы рассмотрели системы подобных треугольников с общей вершиной.
Теперь становится особенно заметной возможность их многократного использования.
Например, первоначально создаётся определённая система пропорциональных отношений.
Затем посредством неё строится рациональная шкала.
После этого полученные величины используются для последовательного уточнения числового коэффициента.
А затем — для масштабирования исходного отрезка.
Таким образом, одна геометрическая конфигурация может служить основой целой последовательности арифметических преобразований.
Особый интерес представляют также симметрично расположенные вспомогательные лучи, позволяющие организовывать несколько согласованных пропорциональных построений относительно общей вершины.
Именно подобные системы могут стать основой дальнейшего развития универсальной конструктивной геометрической арифметики.
46. Цифровое геометрическое конструирование
Современные компьютерные технологии открывают дополнительные возможности реализации рассматриваемых алгоритмов.
Например, цифровая геометрическая среда позволяет задавать исходные отрезки посредством координат.
Выполнять полисекцию.
Строить вспомогательные лучи.
Определять параллельные прямые.
И вычислять необходимые точки пересечения.
Особый интерес представляет возможность автоматического формирования последовательности чертежей.
Каждому этапу полисекции соответствует отдельная геометрическая конфигурация.
А изменение необходимой точности приводит к созданию следующего уровня детализации.
Таким образом, универсальная геометрическая арифметика может рассматриваться не только как система ручных построений.
Она также представляет математическую основу для разработки специализированных цифровых конструктивных инструментов.
47. Чертёж как проверяемый протокол геометрического построения
Важнейшим требованием настоящего исследования остаётся воспроизводимость.
Поэтому каждый сложный алгоритм целесообразно сопровождать не только окончательным изображением.
Но и последовательностью промежуточных чертежей.
При этом необходимо указывать исходные геометрические величины.
Выбранную единицу длины.
Используемую систему полисекции.
Последовательность вспомогательных операций.
Полученные рациональные границы.
И достигнутую математическую точность.
Для физического построения дополнительно фиксируются необходимые технологические условия.
Таким образом, чертёж становится частью проверяемого протокола исследования.
А последовательность рисунков позволяет не только демонстрировать результат, но и воспроизводить сам способ его получения.
48. Когнитивные и генеративные возможности универсальной геометрической арифметики
Теперь мы можем сформулировать более общее значение разработанной системы.
Её когнитивная функция заключается в установлении непосредственной связи между числовыми отношениями и геометрическими построениями.
Число получает наглядное представление.
Арифметическая операция — пространственную интерпретацию.
Математическая точность — конкретный геометрический критерий.
А алгоритм — последовательность воспроизводимых действий.
Однако не менее существенна генеративная функция.
Результат одной операции может становиться исходной величиной другой.
Полисекция создаёт доли.
Сложение объединяет их.
Вычитание выделяет необходимые разности.
Умножение и деление обеспечивают масштабирование.
А последовательное уточнение позволяет получать необходимые числовые коэффициенты с заранее установленной точностью.
Таким образом, сравнительно небольшой набор элементарных конструктивных операций становится основой широкого семейства более сложных геометрических преобразований.
49. Последовательная полисекция и числовые константы
Особое значение рассмотренные технологии приобретают при работе с числовыми величинами, которые задаются не конечной рациональной дробью, а математическим законом.
Например, некоторыми квадратными корнями.
Или числом, определяющим отношение длины окружности к её диаметру.
В таких случаях исходная математическая задача может предоставлять последовательности рациональных приближений.
Если для них установлены проверяемые оценки погрешности, возникает возможность геометрически воспроизводить соответствующие конечные приближения.
Таким образом, сложная числовая величина представляется последовательностью рациональных конструктивных заданий.
Каждое из них может быть реализовано посредством уже рассмотренной геометрической арифметики.
Особенно важным становится объединение математического алгоритма вычисления коэффициента и геометрического алгоритма его воспроизведения.
50. От линейной точности — к точности площади
Следующий принципиальный этап связан с преобразованием плоских геометрических фигур.
Предположим, что необходимо построить квадрат определённой площади.
Для этого требуется установить соответствующую длину его стороны.
Если необходимая сторона представлена приближённой линейной величиной, площадь полученного квадрата также будет обладать определённым отклонением.
Однако точность длины и точность площади представляют разные характеристики.
Поэтому при построении равновеликого квадрата необходимо оценивать не только ошибку его стороны.
Нужно также определить соответствующее отклонение площади.
Именно это требование становится особенно важным для последующего исследования квадратуры круга.
Таким образом, последовательная полисекция и геометрическое воспроизведение числовых коэффициентов подготавливают переход к управляемым преобразованиям площадей.
51. От линейной точности — к точности объёма
Аналогичная проблема возникает при построении пространственных тел.
Предположим, что требуется получить куб заданного объёма.
Для этого необходимо определить длину соответствующего ребра.
Если ребро построено с некоторым линейным отклонением, возникает отклонение объёма.
При этом объём куба зависит от третьей степени длины его ребра.
Следовательно, для достижения установленной объёмной точности необходимо правильно определить допустимую погрешность линейного масштаба.
Таким образом, геометрическая арифметика отрезков становится составной частью более общей технологии преобразования пространственных величин.
В дальнейшем эти принципы будут использованы при исследовании удвоения куба и произвольной мультипликации объёмов.
52. Конструктивная эффективность последовательного уточнения
Теперь необходимо вновь обратиться к проблеме рациональности геометрических операций.
Предположим, что заданную точность можно получить посредством нескольких различных алгоритмов.
Например, последовательной бисекции.
Или десятичной полисекции.
Или непосредственного построения определённого рационального приближения.
Все эти варианты могут обеспечивать необходимый математический результат.
Однако их конструктивная трудоёмкость различается.
При последовательной бисекции каждый этап требует сравнительно простой операции деления пополам.
При десятичной полисекции за один этап уточняется целый десятичный разряд.
А непосредственное построение рациональной дроби может оказаться удобным, если соответствующий числитель и знаменатель известны заранее.
Поэтому рациональный выбор метода зависит от условий конкретной задачи.
53. Царский путь в последовательной полисекции
Проблема выбора наиболее рационального алгоритма непосредственно связана с авторской концепцией Царского пути.
В рамках настоящего исследования она предполагает согласованную оценку нескольких характеристик.
Математической правильности.
Необходимой точности.
Количества построений.
Возможности повторного использования вспомогательных элементов.
Технологической устойчивости.
И простоты воспроизведения результата.
Особенно важным становится выбор момента завершения последовательной процедуры.
Если установленный допуск достигнут, дальнейшее уточнение не представляет обязательного условия выполнения задачи.
Таким образом, Царский путь в геометрическом воспроизведении числовых величин предполагает достижение правильно определённого результата посредством рационально организованной конечной последовательности построений.
54. Интегральный атлас последовательной полисекции
Для полноценного понимания рассмотренной технологии подготовлен интегральный геометрический атлас из двенадцати субрисунков.
Первый демонстрирует связь единичного отрезка с целевой числовой величиной.
Второй — точную полисекцию на пять равных частей.
Третий — десятичную полисекцию единицы.
Четвёртый — последовательное уточнение до сотых долей.
Пятый — получение тысячных долей.
Шестой — последовательную бисекцию рабочего интервала.
Седьмой — точное воспроизведение рациональной доли.
Восьмой — двухэтапную полисекцию.
Девятый — нижнюю и верхнюю границы целевой величины.
Десятый — приближение посредством середины интервала.
Одиннадцатый — перенос масштабного коэффициента через систему подобных треугольников.
Двенадцатый — конечную последовательность уточнений с контролем достигнутой точности.
Таким образом, весь основной конструктивный механизм настоящей главы представлен в одной визуальной системе.
Рисунок 6.1. Последовательная полисекция и геометрическое воспроизведение числовых величин с заданной точностью. Двенадцать конструктивных схем.
55. Основные результаты шестой главы
Подведём основные итоги проведённого исследования.
Первое. Установлена конструктивная связь между числовой величиной и соответствующей длиной относительно выбранной единицы.
Второе. Рассмотрено точное воспроизведение рациональных величин посредством универсальной полисекции.
Третье. Разработана общая схема последовательного десятичного уточнения.
Четвёртое. Исследована последовательная бисекция как самостоятельная технология приближения.
Пятое. Показано использование вложенных геометрических интервалов для определения гарантированных границ ошибки.
Шестое. Обосновано применение середины интервала в качестве приближения с контролируемой максимальной погрешностью.
Седьмое. Установлена связь между необходимой точностью и конечным количеством этапов полисекции.
Восьмое. Рассмотрены различия математической и технологической точности.
Девятое. Исследовано распространение погрешностей при масштабировании и последовательных арифметических преобразованиях.
Десятое. Показана возможность многократного использования общих вспомогательных геометрических шкал.
Одиннадцатое. Рассмотрено применение принципа Царского пути для выбора рационального алгоритма.
Двенадцатое. Установлена конструктивная связь между воспроизведением числовых коэффициентов и дальнейшими задачами преобразования площадей и объёмов.
Таким образом, шестая глава завершает формирование исходной системы геометрической арифметики с управляемой точностью.
56. Заключение. От последовательной полисекции — к универсальной геометрии необходимой и достаточной точности
Итак, в шестой главе третьего тома мы исследовали последовательную полисекцию как универсальную технологию геометрического воспроизведения числовых величин с заранее установленной точностью.
Было показано, что исходный единичный отрезок может использоваться как конструктивная основа последовательных рациональных делений.
На этой основе возникают геометрические аналоги десятичных разрядов.
Последовательные вложенные интервалы.
Нижние и верхние границы.
И приближения с математически контролируемой погрешностью.
Особое значение приобрела возможность заранее устанавливать необходимое количество этапов.
И завершать построение после достижения определённого допуска.
Таким образом, потенциальная неограниченность дальнейшего уточнения согласуется с конечностью конкретного результата.
Именно это обстоятельство представляет непосредственное конструктивное воплощение принципа необходимой и достаточной точности, разработанного во втором томе настоящего исследования.
Но значение полученных результатов значительно шире одной технологии последовательного деления.
В настоящей главе было показано, каким образом полисекция может взаимодействовать с другими операциями геометрической арифметики.
Сложением.
Вычитанием.
Умножением.
Делением.
И пропорциональным масштабированием.
Таким образом, возникает система, в которой числовые отношения могут преобразовываться в геометрические построения.
А результаты одних построений становятся исходными элементами других.
От единичного отрезка — к рациональным долям.
От рациональных долей — к последовательному уточнению.
От последовательного уточнения — к контролируемой погрешности.
От контролируемой погрешности — к необходимой и достаточной точности.
От отдельных геометрических операций — к универсальной конструктивной арифметике.
Именно здесь особенно отчётливо проявляется когнитивное и генеративное значение предлагаемой системы.
Она позволяет организовать переход от математически определённого числового задания к конечному геометрическому результату.
Причём соответствующий процесс может быть представлен как последовательность ясных, воспроизводимых и проверяемых действий.
В результате геометрическое конструирование становится не только способом построения отдельных фигур.
Оно приобретает значение универсального инструмента исследования и преобразования определённых пространственных величин.
Теперь перед нами открывается следующий этап.
Если необходимые числовые коэффициенты могут воспроизводиться с заранее установленной точностью, возникает возможность использовать их при построении более сложных геометрических объектов.
Прежде всего — при преобразовании площадей.
Именно поэтому следующая, седьмая глава будет посвящена квадратуре круга.
Здесь предстоит перейти от геометрической арифметики линейных величин к технологии построения квадрата, площадь которого воспроизводит площадь заданного круга с необходимой и достаточной точностью.
Особое значение приобретёт определение необходимого масштабного коэффициента, его последовательное геометрическое воспроизведение и проверка точности полученного результата.
От полисекции отрезков — к универсальной геометрической арифметике.
От геометрической арифметики — к управляемому воспроизведению числовых величин.
От воспроизведения числовых величин — к преобразованию площадей и объёмов.
От геометрии отдельных построений — к гармонической геометрии универсальных конструктивных технологий.
Так завершается шестая глава третьего тома «Ультраноочелленджа трёх тысячелетий».
И начинается переход к одной из величайших геометрических задач античности — квадратуре круга.

+++++++++

 

ГЛАВА 7. КВАДРАТУРА КРУГА: УНИВЕРСАЛЬНАЯ ТЕХНОЛОГИЯ ПРИБЛИЖЁННОГО ПОСТРОЕНИЯ РАВНОВЕЛИКОГО КВАДРАТА
1. От универсальной геометрической арифметики — к великим задачам античности
В первых шести главах третьего тома мы последовательно исследовали основные конструктивные технологии преобразования прямолинейных отрезков.
Начальным этапом стала универсальная полисекция — деление произвольного отрезка на заранее установленное натуральное количество равных частей.
Затем были рассмотрены геометрическое сложение и вычитание.
После этого мы перешли к умножению, делению, масштабированию и построению заданных пропорций.
Наконец, шестая глава была посвящена последовательной полисекции и геометрическому воспроизведению числовых величин с необходимой и достаточной точностью.
Таким образом, сформировался согласованный комплекс геометрических операций.
Теперь необходимо исследовать его применение к более сложным объектам.
Ведь до сих пор главным предметом преобразований выступала длина прямолинейного отрезка.
Но геометрия изучает также площади плоских фигур и объёмы пространственных тел.
Особое место среди задач преобразования площадей занимает знаменитая квадратура круга.
Её история охватывает тысячелетия.
А сама задача стала одним из наиболее известных символов геометрического конструирования.
Именно поэтому переход к квадратуре круга представляет важнейший этап настоящего исследования.
Теперь предстоит показать, каким образом разработанные технологии геометрической арифметики могут быть объединены в воспроизводимый алгоритм построения квадрата, площадь которого соответствует площади заданного круга с заранее установленной точностью.
2. Квадратура круга как задача преобразования площади
Рассмотрим исходную геометрическую постановку.
Пусть на евклидовой плоскости задан круг определённого положительного радиуса.
Необходимо построить квадрат, площадь которого находится в заданном отношении к площади этого круга.
В частности, нас интересует получение квадрата, площадь которого отличается от площади исходного круга не более чем на заранее установленный положительный допуск.
Таким образом, предметом исследования становится не только форма результирующей фигуры.
Главное значение приобретает её площадь.
Исходный объект представляет собой круг.
Результирующий — квадрат.
Они обладают различными геометрическими границами.
Однако их метрические характеристики могут сопоставляться посредством определённого числового отношения.
Именно это отношение должно быть воспроизведено посредством геометрической арифметики.
3. Математическая определённость исходного круга
Для правильной организации технологии необходимо прежде всего установить исходные геометрические данные.
Круг определяется своим центром и радиусом.
Пусть задана точка О, являющаяся центром круга.
Пусть также задан положительный прямолинейный отрезок, длина которого соответствует его радиусу.
Этот отрезок будем рассматривать как основную исходную линейную величину.
При выполнении построения центр и радиус предполагаются математически определёнными.
Радиус можно переносить на другие прямые.
Использовать в пропорциональных построениях.
Делить на равные части.
И воспроизводить в заданных числовых отношениях.
Таким образом, исходный круг предоставляет необходимую линейную величину, посредством которой может быть организована вся дальнейшая геометрическая арифметика.
Субрисунок 1. Исходный круг с определёнными центром и радиусом.
4. Что именно необходимо получить
Результатом построения должен стать квадрат.
Следовательно, необходимо обеспечить два самостоятельных условия.
Первое — правильность геометрической формы.
Все четыре стороны должны быть равны.
А все четыре внутренних угла — прямыми.
Второе — необходимое соответствие площадей.
Площадь построенного квадрата должна отличаться от площади исходного круга не более чем на установленную положительную величину.
Эти условия следует контролировать раздельно.
Правильный квадрат может обладать площадью, не соответствующей поставленной задаче.
А фигура необходимой площади не обязательно является квадратом.
Поэтому универсальная технология должна обеспечивать одновременно правильную форму и требуемую площадь.
Именно это различие было предусмотрено в понятийно-методологической программе второго тома.
5. Площадь круга и её определяющая числовая характеристика
Площадь круга определяется его радиусом и фундаментальной математической константой ;.
Если радиус принят за единицу длины, числовое значение площади соответствующего круга равно ; квадратных единиц.
Таким образом, для единичного круга задача приобретает особенно простое числовое содержание.
Необходимо построить квадрат, площадь которого воспроизводит величину ; с установленной точностью.
Но площадь квадрата определяется квадратом длины его стороны.
Следовательно, возникает задача определения соответствующей стороны.
Именно здесь обнаруживается непосредственная связь квадратуры круга с геометрической арифметикой линейных величин.
Вместо непосредственного преобразования криволинейной границы круга в прямолинейную границу квадрата можно исследовать получение необходимой длины стороны.
Таким образом, задача преобразования площади сводится к задаче построения определённого отрезка.
6. Искомая сторона квадрата
Рассмотрим единичный круг.
Для получения квадрата той же площади его сторона должна представлять положительный квадратный корень из числа ;.
Соответствующее числовое значение приблизительно равно 1,7724538509.
Следовательно, если радиус исходного круга принимается за единицу, необходимая сторона равновеликого квадрата приблизительно в 1,7724538509 раза превышает этот радиус.
Для круга другого размера используется то же масштабное отношение.
Именно здесь возникает центральная конструктивная задача настоящей главы.
Необходимо геометрически воспроизвести определённый масштабный коэффициент.
А затем использовать его для построения стороны квадрата.
Субрисунок 2. Исходный круг и квадрат с искомой стороной.
7. Универсальность масштабного коэффициента
Особенно важно, что отношение необходимой стороны квадрата к радиусу исходного круга не зависит от абсолютного размера этого круга.
Например, исходный радиус может составлять один сантиметр.
Или десять сантиметров.
Или один метр.
При этом необходимое числовое отношение сохраняется.
Следовательно, достаточно разработать общую технологию воспроизведения соответствующего масштабного коэффициента.
После этого она может применяться к кругам различного размера.
Таким образом, универсальность предлагаемого подхода заключается в разделении двух самостоятельных конструктивных задач.
Первая — получение необходимого коэффициента.
Вторая — его применение к конкретному радиусу.
Именно такое разделение позволяет использовать результаты предыдущих глав настоящего тома.
8. Два основных способа организации приближённой квадратуры
На основе уже разработанной геометрической арифметики можно рассмотреть два взаимодополняющих способа построения.
Первый способ — непосредственное воспроизведение приближённой стороны квадрата.
Для этого определяется рациональное приближение положительного квадратного корня из ;.
Затем соответствующий коэффициент строится посредством полисекции и геометрического масштабирования.
Второй способ — воспроизведение приближённой площади с последующим построением стороны через геометрическое среднее.
Для этого сначала выбирается рациональное приближение самого числа ;.
Затем оно воспроизводится в виде определённого отрезка.
После этого посредством геометрического построения получается необходимая сторона квадрата.
Оба способа имеют строго определённую математическую основу.
Однако их конструктивные последовательности различаются.
Особенно интересен второй вариант, поскольку он позволяет непосредственно связать погрешность выбранного числового коэффициента с погрешностью площади результирующего квадрата.
9. Первый способ: рациональное приближение стороны квадрата
Начнём с непосредственного построения стороны.
Пусть исходный радиус принимается за единицу.
Известно, что необходимая сторона равновеликого квадрата приблизительно составляет 1,7724538509 единицы.
Выберем рациональное приближение 1,77245.
Это число обладает конечной десятичной записью.
Следовательно, соответствующая длина может быть получена посредством уже разработанных геометрических операций.
Необходимо построить отрезок, в 1,77245 раза превышающий выбранную единицу.
После этого он может использоваться как сторона искомого квадрата.
Таким образом, первая технология непосредственно соединяет числовое приближение и геометрическую арифметику.
10. Геометрическое воспроизведение коэффициента 1,77245
Рассмотрим последовательность построения.
Прежде всего воспроизводится один полный единичный отрезок.
Затем необходимо получить дробную часть коэффициента.
Она может быть представлена через десятичные доли единицы.
Для этого используются последовательная полисекция и сложение полученных суботрезков.
Можно первоначально выделить семь десятых.
Затем семь сотых.
После этого две тысячных.
Затем четыре десятитысячных.
И наконец, пять стотысячных.
Все эти величины можно получить посредством конечных последовательностей полисекции.
После их соответствующего объединения возникает отрезок, имеющий длину 1,77245 выбранной единицы.
Таким образом, рациональный масштабный коэффициент получает непосредственное геометрическое представление.
Субрисунок 7. Геометрическое воспроизведение рационального коэффициента стороны квадрата.
11. Перенос коэффициента на произвольный радиус
Теперь предположим, что исходный круг обладает радиусом произвольной положительной длины.
Необходимо построить соответствующую сторону квадрата.
Для этого можно использовать систему подобных треугольников с общей вершиной.
На одном луче откладываются единичная длина и построенный масштабный коэффициент.
На втором — радиус исходного круга.
Затем выполняется соответствующее соединительное и параллельное построение.
В результате возникает новый отрезок.
Его длина находится к радиусу исходного круга в отношении 1,77245 к единице.
Таким образом, приближённая сторона квадрата получена посредством универсальной технологии геометрического масштабирования.
12. Построение квадрата по полученной стороне
После получения необходимого отрезка можно перейти непосредственно к построению квадрата.
Пусть построенная сторона имеет конечные точки А и Б.
В точках А и Б проводятся перпендикуляры к прямой АБ.
На каждом из них в одну сторону откладывается длина, равная АБ.
Полученные конечные точки обозначим соответственно Г и В.
Соединим точки Г и В.
В результате возникает четырёхугольник АБВГ.
Все его стороны равны.
А все углы являются прямыми.
Следовательно, построенная фигура представляет квадрат.
Субрисунок 10. Построение квадрата по геометрически воспроизведённой стороне.
13. Математическое обоснование правильности формы
Правильность полученного квадрата определяется свойствами построенных перпендикуляров и равных отрезков.
Боковые стороны проводятся перпендикулярно исходной стороне.
И имеют ту же длину.
Противоположные стороны оказываются параллельными.
Соединительная верхняя сторона равна нижней.
Следовательно, все четыре стороны равны.
И все четыре угла являются прямыми.
Таким образом, правильность формы устанавливается независимо от точности числового коэффициента стороны.
Это обстоятельство имеет самостоятельное значение.
Даже если масштабный коэффициент воспроизводит необходимую длину приближённо, сам квадрат может быть построен математически точно относительно выбранной стороны.
14. Почему необходимо контролировать площадь
Теперь рассмотрим главный метрический критерий.
Пусть сторона квадрата построена посредством коэффициента 1,77245.
Его площадь определяется квадратом соответствующей длины.
При радиусе, равном единице, площадь такого квадрата составляет 3,1415790025 квадратной единицы.
Площадь исходного единичного круга определяется числом ;.
Следовательно, для оценки результата необходимо сравнить именно эти две величины.
Здесь возникает важнейшее требование.
Малая погрешность стороны сама по себе ещё не является количественной оценкой погрешности площади.
Для строгого обоснования необходимо установить, насколько площадь полученного квадрата отличается от площади круга.
Именно поэтому контроль площади становится обязательным элементом технологии.
15. Рациональные границы числа ;
Для получения гарантированной оценки погрешности можно использовать известные рациональные границы числа ;.
Например, математически установлено, что число ; больше 3,14159 и меньше 3,14160.
Эти границы образуют рациональный интервал шириной одну стотысячную.
Следовательно, площадь единичного круга также находится между указанными значениями квадратных единиц.
Субрисунок 3. Рациональный интервал, содержащий число ;.
В дальнейшем границы могут уточняться.
Однако уже такой сравнительно небольшой интервал позволяет получить строгую оценку точности рассматриваемого построения.
16. Проверка первого способа квадратуры
Вернёмся к коэффициенту стороны 1,77245.
Площадь построенного на его основе единичного квадрата составляет 3,1415790025.
Поскольку число ; находится между 3,14159 и 3,14160, площадь построенного квадрата несколько меньше площади исходного круга.
При этом максимальное возможное отклонение площади гарантированно меньше 0,0000209975 квадратной единицы.
Следовательно, построенный квадрат удовлетворяет любому заранее установленному допуску, превышающему указанное значение.
Например, можно использовать допуск 0,000021 квадратной единицы.
Таким образом, рассматриваемое рациональное приближение обеспечивает строго контролируемую математическую точность.
17. Верхняя и нижняя оценки искомой стороны
Рассмотрим теперь возможность непосредственного ограничения длины искомой стороны.
Известно, что её числовое значение относительно радиуса приблизительно равно 1,7724538509.
При этом можно установить две рациональные границы.
Нижняя составляет 1,77245.
Верхняя — 1,77246.
Квадрат нижней величины составляет 3,1415790025.
Квадрат верхней — 3,1416144516.
Поскольку площадь единичного круга находится между этими двумя значениями, искомая сторона располагается между указанными длинами.
Таким образом, возникает геометрический интервал, содержащий требуемую сторону квадрата.
Субрисунок 5. Нижняя и верхняя рациональные границы искомой стороны.
18. Последовательное уточнение стороны квадрата
Рассмотренный интервал допускает дальнейшее уточнение.
Для этого можно использовать последовательную десятичную полисекцию.
Или повторную бисекцию.
На каждом этапе выбирается более короткий интервал, содержащий требуемую сторону.
При этом необходимо иметь математически обоснованный способ определения соответствующих границ.
Например, можно сравнивать квадраты рациональных кандидатов с установленными верхними и нижними оценками числа ;.
Если квадрат некоторой рациональной длины меньше нижней границы ;, соответствующий кандидат находится ниже искомой стороны.
Если его квадрат превышает верхнюю границу ;, кандидат находится выше.
Таким образом, возникает алгоритм последовательного сужения интервала.
При необходимости границы самого числа ; также уточняются.
19. Геометрическая полисекция как механизм уточнения
Важнейшим конструктивным элементом такого алгоритма остаётся универсальная полисекция.
Предположим, что уже известен интервал, содержащий искомую сторону.
Разделим его на десять равных частей.
Теперь выберем соответствующий суботрезок, содержащий целевую величину.
После этого вновь разделим выбранную часть на десять.
Таким образом, каждый следующий рабочий интервал становится в десять раз короче предыдущего.
Субрисунок 6. Последовательная полисекция рабочих интервалов.
В результате возникает система конечных геометрических уточнений.
Каждое из них может быть выполнено посредством уже рассмотренных построений.
А их последовательность позволяет получать всё более точные рациональные приближения необходимой стороны квадрата.
20. Второй способ: приближение самой площади круга
Теперь перейдём ко второму конструктивному варианту.
Вместо непосредственного приближения квадратного корня из ; будем первоначально воспроизводить рациональное приближение самого числа ;.
Этот способ особенно интересен потому, что основной предмет поставленной задачи — площадь.
Следовательно, целесообразно непосредственно контролировать числовую характеристику площади.
Предположим, что выбрано рациональное число, достаточно близкое к ;.
Обозначим соответствующий коэффициент буквой p.
Теперь необходимо построить квадрат, площадь которого при единичном радиусе точно соответствует выбранному рациональному коэффициенту p.
Для этого потребуется построить сторону квадрата, представляющую положительный квадратный корень из p.
Именно такая задача допускает классическое геометрическое решение.
21. Преимущество рационального коэффициента площади
Рассмотрим важное математическое свойство второго способа.
Если площадь результирующего квадрата точно соответствует выбранному рациональному коэффициенту, её отклонение от площади исходного круга определяется непосредственно отклонением этого коэффициента от ;.
Следовательно, задача оценки точности становится особенно простой.
Не требуется отдельно вычислять квадрат приближённой стороны.
Достаточно знать, насколько рациональный коэффициент площади отличается от ;.
Таким образом, выбор рационального приближения непосредственно определяет математическую точность результата.
Это обстоятельство позволяет разработать универсальный критерий завершения построения.
22. Выбор рационального коэффициента площади
Рассмотрим конкретный пример.
Пусть для приближения числа ; используется рациональная величина 3,14159.
Она меньше ;.
Но разность между ; и этим числом составляет менее одной стотысячной.
Следовательно, при единичном радиусе можно построить квадрат площадью ровно 3,14159 квадратной единицы.
Его площадь будет отличаться от площади исходного круга менее чем на 0,00001 квадратной единицы.
Таким образом, необходимая математическая точность установлена уже на этапе выбора рационального коэффициента.
Теперь остаётся построить соответствующий квадрат.
23. Геометрическое воспроизведение рационального коэффициента
Для выполнения следующего этапа необходимо построить отрезок, длина которого в 3,14159 раза превышает радиус исходного круга.
Такой отрезок можно получить посредством универсальной геометрической арифметики.
Прежде всего трижды воспроизводится исходный радиус.
Затем посредством полисекции строится дробная часть.
Она может быть получена посредством последовательного воспроизведения десятых, сотых, тысячных, десятитысячных и стотысячных долей.
После соответствующего сложения возникает отрезок, длина которого составляет 3,14159 первоначального радиуса.
Субрисунок 8. Геометрическое построение рационального коэффициента площади.
Таким образом, исходный числовой коэффициент превращается в математически определённую линейную величину.
24. Переход от рациональной площади к стороне квадрата
Теперь возникает следующая задача.
Задан радиус исходного круга.
Также построен отрезок, длина которого равна произведению этого радиуса на рациональный коэффициент площади.
Необходимо построить третий отрезок, квадрат длины которого соответствует произведению двух заданных длин.
Именно здесь используется операция построения среднего геометрического.
Она имеет глубокие основания в классической евклидовой геометрии.
В частности, соответствующая конструкция непосредственно связана с построением средней пропорциональной величины.
Особенно удобным является способ, использующий полуокружность и перпендикуляр к её диаметру.
25. Основная идея геометрического среднего
Пусть заданы два положительных отрезка.
Требуется построить третий, длина которого является их средним геометрическим.
Для этого оба исходных отрезка последовательно откладываются на одной прямой.
В результате возникает один суммарный отрезок.
На нём определяется точка соединения первоначальных составляющих.
Затем строится полуокружность, диаметр которой совпадает с полной полученной длиной.
Через точку разделения проводится перпендикуляр к диаметру.
Он пересекает полуокружность в определённой точке.
Длина соответствующего перпендикуляра представляет искомое среднее геометрическое.
Этот результат строго следует из свойств подобных прямоугольных треугольников.
Субрисунок 9. Построение среднего геометрического посредством полуокружности.
26. Подробный алгоритм построения среднего геометрического
Рассмотрим конструкцию последовательно.
Первый этап.
Выберем на плоскости прямую и определим на ней начальную точку А.
Второй этап.
От точки А отложим отрезок АД, равный радиусу исходного круга.
Третий этап.
От точки Д в том же направлении отложим второй отрезок ДБ, длина которого составляет 3,14159 радиуса.
В результате получим полный отрезок АБ.
Четвёртый этап.
Построим середину отрезка АБ.
Пятый этап.
С центром в этой середине построим полуокружность, расположенную по одну сторону прямой АБ.
Её диаметр совпадает с отрезком АБ.
Шестой этап.
Через точку Д проведём перпендикуляр к прямой АБ.
Седьмой этап.
Обозначим точку пересечения этого перпендикуляра с полуокружностью буквой Н.
В результате возникнет отрезок ДН.
Именно его длина используется для построения искомого квадрата.
27. Математическое доказательство построения среднего геометрического
Рассмотрим полученную фигуру.
Точки А и Б являются концами диаметра полуокружности.
Точка Н расположена на полуокружности.
Следовательно, угол АНБ является прямым.
Таким образом, треугольник АНБ — прямоугольный.
При этом отрезок ДН проведён перпендикулярно гипотенузе АБ.
Следовательно, он представляет высоту прямоугольного треугольника, опущенную из вершины прямого угла.
Эта высота разделяет исходный треугольник на два меньших прямоугольных треугольника.
Оба меньших треугольника подобны друг другу.
И подобны исходному треугольнику.
Из соответствующих пропорций следует, что квадрат длины высоты ДН равен произведению длин двух частей гипотенузы — АД и ДБ.
Но первая часть по построению равна радиусу исходного круга.
А вторая составляет 3,14159 этого радиуса.
Следовательно, квадрат длины ДН соответствует площади квадрата, необходимой для выбранного рационального приближения круга.
Таким образом, построение математически обосновано.
28. Получение стороны квадрата
Теперь перенесём длину ДН на новую рабочую прямую.
Обозначим полученный отрезок А;Б;.
Построим на нём квадрат.
Для этого через обе конечные точки проведём перпендикуляры к первоначальной прямой.
Затем отложим на них длины, равные А;Б;.
Соединим полученные конечные точки.
В результате возникнет квадрат, все стороны которого равны ДН.
Следовательно, его площадь в идеальной геометрической модели точно соответствует выбранному рациональному коэффициенту 3,14159 при единичном радиусе.
Таким образом, построение второй технологии завершено.
29. Непосредственная оценка погрешности площади
Теперь рассмотрим полученный результат.
Площадь построенного квадрата соответствует рациональному коэффициенту 3,14159.
Площадь исходного круга определяется числом ;.
Из известного числового интервала следует, что ; больше 3,14159, но меньше 3,14160.
Следовательно, разность между площадями при единичном радиусе положительна и меньше 0,00001 квадратной единицы.
Таким образом, математическая точность результата строго установлена.
Именно этот способ позволяет особенно наглядно соединить рациональное приближение числовой величины с геометрическим извлечением квадратного корня.
30. Числовой пример для единичного круга
Рассмотрим исходный круг радиуса одна единица.
Его площадь приблизительно составляет 3,14159265358979 квадратной единицы.
Выберем рациональный коэффициент 3,14159.
Построим отрезок такой длины.
Затем посредством полуокружности получим среднее геометрическое выбранной единицы и построенного коэффициента.
Длина соответствующей стороны квадрата приблизительно составляет 1,77245310234 единицы.
После построения квадрата его площадь будет равна 3,14159 квадратной единицы.
Фактическое математическое отклонение площади составляет приблизительно 0,00000265359 квадратной единицы.
А гарантированная оценка, основанная на выбранном интервале для ;, составляет менее 0,00001 квадратной единицы.
Таким образом, конкретный пример подтверждает возможность построения квадрата с заранее установленной и математически обоснованной точностью.
31. Дополнительное повышение точности
Предположим, что первоначально выбранное рациональное приближение не обеспечивает необходимого допуска.
В таком случае можно использовать более точные рациональные границы числа ;.
Например, увеличить количество подтверждённых десятичных разрядов.
После этого выбрать новый коэффициент площади.
Воспроизвести его геометрически.
И вновь выполнить построение среднего геометрического.
В результате получится новый квадрат.
Его площадь будет соответствовать уточнённому рациональному коэффициенту.
Таким образом, процедура допускает последовательное повышение точности.
При этом каждый отдельный этап представляет конечное математически определённое построение.
32. Использование середины рационального интервала
Для повышения эффективности можно выбирать рациональный коэффициент не только в качестве нижней или верхней границы ;.
Если известны две достоверные рациональные границы, можно построить их среднее арифметическое.
Такой коэффициент располагается посередине числового интервала.
Следовательно, его максимальное возможное отклонение от целевой величины не превышает половины ширины интервала.
Рассмотрим ранее использованные границы 3,14159 и 3,14160.
Их середина составляет 3,141595.
Если выбрать именно этот коэффициент, площадь построенного квадрата будет равна 3,141595 квадратной единицы при единичном радиусе.
При этом её отклонение от площади круга гарантированно меньше 0,000005 квадратной единицы.
Таким образом, рациональный выбор коэффициента позволяет повышать гарантированную точность даже без дополнительного изменения первоначальных границ ;.
33. Универсальный алгоритм приближённой квадратуры
Теперь можно объединить рассмотренные действия в единую конструктивную последовательность.
Этап 1. Определение исходного объекта.
Задаётся круг положительного радиуса.
Этап 2. Установление необходимой точности.
Определяется максимально допустимое отклонение площади результирующего квадрата от площади круга.
Этап 3. Получение числовых границ.
Выбираются математически обоснованные рациональные границы числа ;.
Этап 4. Выбор рационального коэффициента площади.
Определяется коэффициент, обеспечивающий необходимую точность.
Этап 5. Геометрическое воспроизведение коэффициента.
Посредством полисекции, сложения и масштабирования строится соответствующий отрезок.
Этап 6. Построение среднего геометрического.
Из исходного радиуса и построенного пропорционального отрезка получается необходимая сторона квадрата.
Этап 7. Построение квадрата.
Выполняется геометрическая конструкция с четырьмя равными сторонами и прямыми углами.
Этап 8. Математическая проверка.
Подтверждается выполнение установленного допуска по площади.
Этап 9. Технологический контроль.
При физическом выполнении построения дополнительно учитываются погрешности инструментов и исходных размеров.
Этап 10. Завершение.
Если установленная точность достигнута, построение признаётся завершённым.
Таким образом, возникает универсальная технология приближённой квадратуры с определённой последовательностью операций и контролем конечного результата.
34. Гарантия конечности построения
Особенно важно установить принципиальное свойство предложенного алгоритма.
Для любого заранее заданного положительного допуска площади можно выбрать достаточно точное рациональное приближение числа ;.
При этом необходимо использовать вычислительную процедуру, обеспечивающую подтверждённые верхние и нижние границы.
После получения такого коэффициента его геометрическое воспроизведение выполняется конечным количеством операций.
А построение среднего геометрического также представляет конечную последовательность классических геометрических действий.
Следовательно, для каждого заранее установленного положительного допуска существует соответствующая конечная конструктивная процедура.
При этом увеличение требуемой точности может потребовать большего количества операций.
Но математический принцип остаётся неизменным.
35. Потенциально неограниченное уточнение квадратуры
Рассмотренный алгоритм можно применять последовательно.
На первом этапе выбирается сравнительно простое рациональное приближение ;.
На втором — более точное.
На третьем — ещё более точное.
И так далее.
Каждому рациональному коэффициенту соответствует определённая сторона квадрата.
А каждой стороне — определённая площадь.
Таким образом, возникает последовательность квадратов, площади которых всё точнее воспроизводят площадь исходного круга.
При этом каждый отдельный квадрат представляет конечный геометрический объект.
И его построение осуществляется посредством конечной последовательности действий.
Именно здесь получает непосредственное применение принцип потенциальной неограниченности уточнения, разработанный во втором томе.
36. Необходимая и достаточная точность квадратуры
Теперь сформулируем главный технологический принцип настоящей главы.
Для каждой конкретной задачи должна быть установлена необходимая степень соответствия площадей.
Если полученный квадрат удовлетворяет этому требованию, дальнейшее увеличение точности не является обязательным условием решения.
Например, при определённой инженерной задаче может оказаться достаточным отклонение площади менее одного квадратного миллиметра.
Для другой задачи допустимое отклонение может быть значительно больше.
Для третьей — существенно меньше.
Следовательно, необходимо прежде всего определить цель.
А затем выбрать рациональный коэффициент и соответствующий алгоритм, обеспечивающие её достижение.
Именно такое согласование требований и конструктивной сложности составляет основу принципа необходимой и достаточной точности.
37. Абсолютная и относительная погрешности площади
Для полноценного исследования необходимо различать два критерия.
Первый — абсолютная погрешность.
Она характеризует разность площадей в выбранных квадратных единицах.
Второй — относительная погрешность.
Она характеризует соответствующее отклонение по отношению к площади исходного круга.
Особенно важно, что один и тот же рациональный коэффициент может использоваться для кругов различных радиусов.
При этом относительное расхождение площадей, связанное исключительно с выбранным коэффициентом, сохраняется.
А абсолютное отклонение увеличивается пропорционально квадрату радиуса.
Таким образом, масштаб исходного круга непосредственно влияет на выбор необходимой числовой точности при заданном абсолютном допуске.
38. Числовая точность и масштаб исходного круга
Рассмотрим конкретный пример.
Пусть исходный круг имеет радиус один метр.
Выбран рациональный коэффициент площади 3,14159.
В идеальной математической модели площадь построенного квадрата будет составлять 3,14159 квадратного метра.
Поскольку число ; находится между 3,14159 и 3,14160, абсолютное отклонение площади будет меньше одной стотысячной квадратного метра.
В пересчёте на квадратные миллиметры это составляет менее десяти квадратных миллиметров.
Таким образом, при радиусе один метр выбранный коэффициент обеспечивает математически гарантированное отклонение площади менее десяти квадратных миллиметров.
Однако этот вывод относится к точности математической конструкции при точно заданном радиусе.
Технологические погрешности физического построения необходимо учитывать отдельно.
39. Математическая и технологическая точность квадратуры
Теперь рассмотрим различие двух важнейших характеристик.
Первая — математическая точность алгоритма.
Она определяется отношением выбранного рационального коэффициента к действительному числу ;.
Вторая — технологическая точность результата.
Она определяется тем, насколько точно соответствующая геометрическая конструкция воспроизводится физически.
Например, можно математически выбрать коэффициент, обеспечивающий чрезвычайно малую погрешность площади.
Но при черчении на бумаге положение точек, толщина линий и точность переноса длин ограничивают фактическое соответствие результата.
Следовательно, высокая точность числового коэффициента не автоматически обеспечивает такую же точность материального квадрата.
Поэтому универсальная технология должна предусматривать согласованный контроль обоих уровней.
40. Погрешность исходного радиуса
Особое внимание необходимо уделять точности исходных данных.
Предположим, что радиус круга определён посредством физического измерения.
Такое измерение может обладать определённой погрешностью.
Поскольку площадь круга зависит от квадрата радиуса, соответствующее отклонение радиуса влияет на итоговую площадь.
Следовательно, даже очень точное воспроизведение коэффициента ; не устраняет неопределённость исходного радиуса.
Поэтому при практическом применении квадратуры необходимо учитывать точность исходного круга.
Математически точный радиус и радиус, полученный экспериментальным измерением, представляют различные исходные условия.
Именно это разграничение составляет важную часть общей методологии гармонической геометрии.
41. Точность стороны и точность площади
Вернёмся к взаимосвязи двух характеристик результирующего квадрата.
С одной стороны, его площадь определяется длиной стороны.
С другой — небольшое отклонение стороны приводит к соответствующему изменению площади.
При этом зависимость является квадратичной.
Следовательно, для достижения установленной точности площади необходимо правильно определить допустимую погрешность стороны.
В частности, для очень крупного квадрата даже небольшое отклонение стороны может приводить к заметному абсолютному изменению площади.
Поэтому при практическом построении необходимо контролировать не только сам масштабный коэффициент.
Но и фактическую длину каждой стороны.
А также правильность углов.
Таким образом, технологическая точность квадратуры представляет комплексную характеристику результирующей фигуры.
42. Проверка площади посредством рациональных границ
Рассмотрим возможность построения двух вспомогательных квадратов.
Первый имеет сторону 1,77245 радиуса.
Второй — 1,77246 радиуса.
Площадь первого квадрата меньше площади исходного круга.
Площадь второго — больше.
Следовательно, площадь круга располагается между площадями этих двух квадратов.
Субрисунок 11. Два квадрата, задающие нижнюю и верхнюю оценки площади исходного круга.
Таким образом, можно использовать не только один приближённый результат.
Но и пару геометрических объектов, обеспечивающих двустороннее ограничение.
Такая конструкция позволяет наглядно представить математическую неопределённость между двумя рациональными границами.
И служит дополнительным способом контроля приближённой квадратуры.
43. Многоугольные приближения круга
Ещё одно направление связано с классической геометрией многоугольников.
В круг можно вписать правильный многоугольник.
А вокруг круга — описать другой правильный многоугольник.
Площадь вписанного многоугольника меньше площади круга.
Площадь описанного — больше.
Следовательно, эти две величины образуют нижнюю и верхнюю оценки площади исходного объекта.
При увеличении количества сторон соответствующие оценки могут последовательно уточняться.
Субрисунок 4. Вписанный и описанный многоугольники как средства оценки площади круга.
Таким образом, геометрическая арифметика может использовать не только заранее вычисленные числовые приближения ;.
Она может также взаимодействовать с конструктивными способами получения границ площади посредством многоугольных фигур.
44. Связь с античной традицией геометрических приближений
Именно это направление имеет глубокие исторические основания.
Методы вписанных и описанных многоугольников играли важнейшую роль в математических исследованиях античности.
Особенно значительный вклад в развитие таких подходов принадлежит Архимеду.
Использование геометрических оценок и последовательного уточнения представляло один из наиболее содержательных способов исследования криволинейных величин.
Для настоящей программы особый интерес представляет возможность объединения соответствующих принципов с универсальной полисекцией отрезков.
Ведь числовые оценки, полученные посредством анализа многоугольников, могут затем воспроизводиться как линейные величины.
А на их основе — строиться соответствующие квадраты.
Таким образом, исторические методы оценки площади получают непосредственное применение в согласованной системе геометрической арифметики.
45. Сравнение двух технологий приближённой квадратуры
Теперь можно сопоставить рассмотренные конструктивные варианты.
Первый способ — непосредственное приближение стороны.
Первоначально определяется рациональный коэффициент, приближающий положительный квадратный корень из ;.
Затем соответствующая сторона строится посредством полисекции и масштабирования.
После этого создаётся квадрат.
Его площадь проверяется относительно известных границ ;.
Второй способ — рациональное приближение площади.
Первоначально выбирается рациональный коэффициент, приближающий ;.
Затем он воспроизводится посредством геометрической арифметики.
После этого строится среднее геометрическое двух определённых отрезков.
И полученная длина используется как сторона квадрата.
При этом математическая погрешность площади непосредственно связана с точностью выбранного коэффициента.
Таким образом, оба способа относятся к одной универсальной программе.
Но различаются внутренней организацией построений.
46. Конструктивная эффективность двух способов
Для дальнейшего исследования особенно важно сопоставить количество и характер необходимых операций.
При непосредственном построении приближённой стороны основную роль играет геометрическое воспроизведение рационального коэффициента.
При использовании рационального коэффициента площади дополнительно требуется построение среднего геометрического.
Однако во втором случае оценка погрешности площади становится особенно непосредственной.
Следовательно, рациональность выбора зависит от конкретных условий.
Например, если искомая сторона уже задана достаточным рациональным приближением, первый способ может быть удобен.
Если же имеется подтверждённый рациональный интервал для ; и требуется строгая гарантия площади, второй способ представляет особенно наглядную конструктивную организацию.
Таким образом, сравнительная эффективность определяется не только количеством линий.
Но и характером необходимых вычислений, построений и проверок.
47. Царский путь в приближённой квадратуре круга
Рассмотренная проблема непосредственно связана с авторской концепцией Царского пути.
Прежде всего необходимо правильно установить цель.
В данном случае она состоит в построении квадрата заданной формы, площадь которого воспроизводит площадь исходного круга с необходимой и достаточной точностью.
После этого требуется выбрать рациональный коэффициент.
Определить соответствующую последовательность геометрических операций.
Оценить математическую погрешность.
И установить условия технологического воспроизведения.
Если необходимая точность может быть получена посредством сравнительно простой конечной конструкции, именно такой вариант представляет особый интерес.
Но если требования задачи более строгие, может потребоваться дополнительное уточнение.
Таким образом, Царский путь в квадратуре круга предполагает согласование математической правильности, точности, конструктивной сложности и практической воспроизводимости.
48. Геометрическая квадратура как воспроизводимый технологический процесс
Особенно важно, что рассмотренная программа может быть представлена в виде определённого технологического протокола.
На входе задаются круг, его радиус и необходимая точность площади.
Затем выбирается алгоритм получения рационального коэффициента.
После этого выполняется его геометрическое воспроизведение.
Строится сторона квадрата.
Затем сам квадрат.
И наконец, проводится контроль соответствия результата установленным требованиям.
При необходимости алгоритм повторяется с более точным коэффициентом.
Таким образом, квадратура приобретает форму последовательной воспроизводимой процедуры.
Субрисунок 12. Общий алгоритм приближённой квадратуры с контролем необходимого допуска.
Именно такая технологическая организация имеет особое значение для дальнейшего развития универсальной конструктивной геометрии.
49. Интегральный геометрический атлас квадратуры круга
Для полноценного понимания рассмотренных методов подготовлен интегральный технический атлас из двенадцати субрисунков.
Первый показывает исходный круг и радиус.
Второй — исходный круг и математически определённый искомый квадрат.
Третий — рациональный интервал, содержащий число ;.
Четвёртый — вписанные и описанные многоугольные оценки площади.
Пятый — рациональные границы необходимой стороны квадрата.
Шестой — последовательную десятичную полисекцию.
Седьмой — воспроизведение приближённого коэффициента стороны.
Восьмой — воспроизведение рационального коэффициента площади.
Девятый — построение среднего геометрического посредством полуокружности.
Десятый — построение квадрата по полученной стороне.
Одиннадцатый — два квадрата, площади которых ограничивают площадь круга.
Двенадцатый — последовательность действий универсального алгоритма с контролем допуска.
Таким образом, весь основной конструктивный процесс представлен в одной согласованной системе технических чертежей.
Рисунок 7.1. Универсальная технология приближённой квадратуры круга. Двенадцать геометрических субрисунков: от исходного радиуса и рациональных коэффициентов до построения квадрата и оценки точности его площади.
50. Квадратура круга как переход от линейной арифметики к арифметике площадей
Теперь можно сформулировать один из наиболее важных результатов настоящей главы.
В первых шести главах третьего тома предметом геометрической арифметики преимущественно выступали линейные величины.
Но квадратура круга показывает, каким образом эти технологии могут использоваться для управления площадями.
Прежде всего определяется необходимое числовое отношение.
Затем оно воспроизводится посредством определённых линейных построений.
После этого полученная длина становится стороной плоской фигуры.
И наконец, проверяется соответствие её площади установленной цели.
Таким образом, линейная геометрическая арифметика приобретает более широкое применение.
Она становится инструментом преобразования метрических характеристик плоских фигур.
Это обстоятельство открывает путь к дальнейшему исследованию не только квадратов, но и других многоугольников.
51. От квадратуры круга — к политуре
Следующий этап настоящего исследования связан с существенным расширением постановки задачи.
До сих пор результирующей фигурой являлся квадрат.
Однако можно поставить задачу построения правильного пятиугольника, площадь которого соответствует площади исходного круга с необходимой точностью.
Или правильного шестиугольника.
Семиугольника.
Девятиугольника.
Десятиугольника.
А также других многоугольных форм.
Для каждой такой задачи необходимо определить соответствующий масштабный коэффициент.
И геометрически воспроизвести необходимые линейные размеры.
Следовательно, технология приближённой квадратуры представляет конструктивную основу более общего семейства преобразований площадей.
В авторской концепции это направление обозначается термином «политура круга».
Его подробному исследованию будет посвящена следующая глава настоящего тома.
52. Основные результаты седьмой главы
Подведём итоги проведённого исследования.
Первое. Установлена конструктивная постановка задачи приближённой квадратуры круга с заранее определённым положительным допуском площади.
Второе. Показана возможность сведения соответствующей задачи к построению необходимой стороны квадрата.
Третье. Рассмотрена технология непосредственного воспроизведения приближённой стороны посредством рационального масштабного коэффициента.
Четвёртое. Исследовано применение универсальной полисекции для построения соответствующих рациональных длин.
Пятое. Установлен способ оценки погрешности площади на основе достоверных рациональных границ числа ;.
Шестое. Разработана вторая конструктивная технология, использующая рациональное приближение площади с последующим построением среднего геометрического.
Седьмое. Подробно рассмотрено построение среднего геометрического посредством полуокружности и перпендикуляра.
Восьмое. Математически обоснована правильность соответствующей конструкции посредством подобия прямоугольных треугольников.
Девятое. Показано, каким образом точность рационального коэффициента площади непосредственно определяет точность площади результирующего квадрата.
Десятое. Рассмотрена возможность последовательного уточнения построения до произвольного заранее установленного положительного допуска.
Одиннадцатое. Установлено различие математической и технологической точности.
Двенадцатое. Рассмотрены критерии конструктивной эффективности двух основных вариантов приближённой квадратуры.
Тринадцатое. Сформулирована общая последовательность универсальной технологии приближённого построения квадрата.
Четырнадцатое. Установлена связь полученных результатов с дальнейшим исследованием политуры круга.
Таким образом, квадратура круга получила в настоящей главе конкретное конструктивно-арифметическое представление с математически контролируемой точностью.
53. Заключение. От полисекции отрезков — к управляемой квадратуре круга
Итак, в седьмой главе третьего тома мы перешли от универсальной геометрической арифметики прямолинейных отрезков к одной из величайших задач античной геометрии — квадратуре круга.
Главным предметом исследования стала технология приближённого построения квадрата, площадь которого соответствует площади заданного круга с необходимой и достаточной точностью.
Было показано, что поставленная задача может быть организована посредством последовательного выполнения нескольких фундаментальных геометрических операций.
Полисекции.
Переноса отрезков.
Сложения.
Пропорционального масштабирования.
Построения среднего геометрического.
И последующего построения квадрата.
Особое значение приобрело разграничение двух возможных конструктивных подходов.
Первый основан на рациональном приближении необходимой стороны.
Второй — на рациональном приближении площади с последующим геометрическим извлечением квадратного корня.
При этом оба способа могут использовать универсальную геометрическую арифметику, разработанную в предыдущих главах.
И оба допускают математический контроль точности полученного результата.
Но особенно интересной представляется возможность объединения рационального приближения площади с построением среднего геометрического посредством полуокружности.
В этом случае задача получает исключительно наглядную конструктивную организацию.
От исходного круга — к определённому числовому коэффициенту.
От коэффициента — к прямолинейному отрезку.
От двух заданных отрезков — к их среднему геометрическому.
От среднего геометрического — к стороне квадрата.
От стороны — к площади.
И наконец, от площади — к математически обоснованной оценке точности результата.
Таким образом, сложная геометрическая задача представляется последовательностью простых воспроизводимых действий.
Особое значение приобретает возможность заранее определить необходимую степень точности.
Если установленный допуск достигнут, процедура завершается.
Если требуется более высокая точность, выполняется дополнительное числовое и геометрическое уточнение.
Таким образом, потенциальная возможность неограниченного продолжения алгоритма согласуется с конечностью каждого конкретного построения.
Именно здесь получает непосредственное применение один из центральных принципов гармонической геометрии — принцип необходимой и достаточной точности.
Вместе с тем рассмотренная технология имеет значение, выходящее за пределы одной задачи квадратуры круга.
Она показывает, каким образом универсальная арифметика линейных величин может использоваться для построения плоских фигур с заранее установленными метрическими характеристиками.
Именно это обстоятельство открывает путь к более общей программе преобразования площадей.
От полисекции отрезков — к воспроизведению числовых величин.
От числовых величин — к геометрическим масштабным коэффициентам.
От масштабных коэффициентов — к построению необходимой стороны квадрата.
От стороны квадрата — к математически контролируемой площади.
От отдельной задачи квадратуры — к универсальным технологиям преобразования плоских фигур.
Таким образом, седьмая глава представляет важный этап развития конструктивной программы третьего тома.
В ней геометрическая арифметика впервые получает систематическое применение к одной из великих задач античности.
А принцип необходимой и достаточной точности становится основой конкретного алгоритма получения и проверки результата.
Теперь перед нами открывается следующий этап.
Если возможно построить квадрат, площадь которого воспроизводит площадь заданного круга с установленной точностью, возникает естественная задача исследования других многоугольных форм.
Как построить соответствующий пятиугольник?
Шестиугольник?
Семиугольник?
Девятиугольник?
Десятиугольник?
Каким образом определяются необходимые масштабные коэффициенты?
И можно ли организовать такие преобразования в рамках единой конструктивной системы?
Ответам на эти вопросы будет посвящена восьмая глава настоящего тома.
От квадратуры круга — к политуре.
От одного правильного многоугольника — к универсальному семейству многоугольных преобразований.
От геометрической арифметики длин — к гармонической геометрии площадей.
Так завершается седьмая глава третьего тома «Ультраноочелленджа трёх тысячелетий».
Основные математические и исторические источники
1. Евклид. «Начала», книга VI. Теория подобия и построение средней пропорциональной величины, в частности предложение VI.13.
2. Архимед. «Измерение круга». Геометрические основания исследования площади круга и её многоугольных оценок.
3. В. К. Петросян. «Ультраноочеллендж трёх тысячелетий», том 1. Историческая проблематика квадратуры круга и программа универсальных конструктивных технологий.
4. В. К. Петросян. «Ультраноочеллендж трёх тысячелетий», том 2. Принцип необходимой и достаточной точности; потенциальная бесконечность и конечные геометрические приближения.
5. Wolfram MathWorld. Pi; Circle. Числовые характеристики ;, площадь круга и геометрические приближения.
6. John Stillwell. Geometry. Классические построения квадратных корней посредством полуокружности и подобия прямоугольных треугольников.
++++

 

ГЛАВА 8. ПОЛИТУРА КРУГА: КВАДРАТУРА, ПЕНТАТУРА, ГЕКСАТУРА, ГЕПТАТУРА, НОНАТУРА, ДЕКАТУРА И ДРУГИЕ ОБОБЩЁННЫЕ ЗАДАЧИ
1. От квадратуры круга — к универсальной политуре
В предыдущей, седьмой главе настоящего тома мы исследовали универсальную технологию приближённой квадратуры круга.
Было показано, что задача построения квадрата, площадь которого воспроизводит площадь заданного круга с заранее установленной точностью, может быть организована посредством последовательного применения геометрической арифметики, полисекции, масштабирования и построения среднего геометрического.
Особое значение приобрела возможность перехода от числового приближения площади к геометрическому построению соответствующей стороны квадрата.
Однако теперь возникает значительно более широкий вопрос.
Почему результирующей фигурой обязательно должен быть квадрат?
Ведь можно рассматривать не только четырёхугольник, но также правильные пятиугольники, шестиугольники, семиугольники, девятиугольники, десятиугольники и другие многоугольные формы.
Если для каждой такой фигуры удаётся определить необходимый линейный масштаб, а затем воспроизвести соответствующий размер посредством геометрической арифметики, возникает целое семейство конструктивных задач.
Именно это семейство предлагается исследовать в рамках авторской концепции политуры круга.
Таким образом, традиционная квадратура становится частным случаем более общей программы преобразования геометрических площадей.
2. Политура как авторская исследовательская категория
Под политурой круга в настоящем исследовании будем понимать систему геометрических задач и конструктивных технологий, направленных на построение многоугольных фигур, площадь которых воспроизводит площадь заданного круга по заранее установленному критерию.
Основной объект преобразования — круг определённого положительного радиуса.
Результирующий объект — многоугольник заданного типа.
Важнейший критерий соответствия — площадь.
При этом форма результирующей фигуры также должна удовлетворять установленным условиям.
Например, если поставлена задача пентатуры, требуется правильный пятиугольник либо его конструктивное приближение с определённым допуском правильности.
Если рассматривается гексатура, объектом становится правильный шестиугольник.
При гептатуре — семиугольник.
При нонатуре — девятиугольник.
А при декатуре — десятиугольник.
Таким образом, политура объединяет несколько классов геометрических преобразований, различающихся формой результирующего объекта при общей постановке задачи соответствия площадей.
3. Два независимых требования к результату
Важнейшим условием математической определённости политуры является разграничение формы и площади.
Предположим, что необходимо построить правильный семиугольник определённой площади.
Первая задача заключается в обеспечении правильности его формы.
Все стороны должны иметь одинаковую длину.
Все внутренние углы — одинаковую величину.
Вторая задача состоит в достижении необходимой площади.
Эти условия не являются тождественными.
Можно построить правильный многоугольник, площадь которого существенно отличается от заданной.
И наоборот, можно получить фигуру необходимой площади, но с неодинаковыми сторонами и углами.
Следовательно, универсальная технология политуры должна предусматривать самостоятельный контроль обоих требований.
Именно это разграничение позволяет организовать математически корректную программу преобразований.
4. Исходный круг и его геометрические характеристики
Пусть на евклидовой плоскости задан круг положительного радиуса.
Его центр обозначим точкой О.
Радиус будем рассматривать как исходную линейную величину.
Он может воспроизводиться посредством переноса отрезков, использоваться в пропорциональных построениях и подвергаться необходимому масштабированию.
Площадь исходного круга определяется квадратом радиуса и числом ;.
Следовательно, при переходе к любой многоугольной форме необходимо обеспечить соответствие этой площади площади результирующего многоугольника.
Для удобства первоначального исследования радиус круга можно принять за единицу.
В дальнейшем все полученные коэффициенты могут переноситься на круги произвольного положительного радиуса.
Субрисунок 1. Исходный круг и его радиус.
5. Правильный многоугольник как целевой объект
Рассмотрим правильный многоугольник, содержащий заданное натуральное количество сторон, не меньше трёх.
Все его стороны равны.
Все внутренние углы также равны.
Следовательно, его вершины располагаются на одной окружности.
Центр этой окружности совпадает с центром правильного многоугольника.
Расстояние от центра до любой вершины называется радиусом описанной окружности.
Кроме того, можно определить расстояние от центра до каждой стороны.
Это расстояние называется апофемой и представляет радиус вписанной в многоугольник окружности.
Таким образом, правильный многоугольник обладает несколькими взаимосвязанными линейными характеристиками.
Их отношения определяются количеством сторон.
6. Разделение правильного многоугольника на центральные треугольники
Особенно важным свойством правильного многоугольника является возможность разделения его площади на равные треугольники.
Для этого достаточно соединить центр многоугольника со всеми его вершинами.
В результате образуется столько треугольников, сколько сторон содержит исходный многоугольник.
Все они равны.
Их боковые стороны соответствуют радиусам описанной окружности.
Основаниями служат стороны многоугольника.
А углы при общей вершине равны между собой.
Таким образом, площадь правильного многоугольника представляется суммой площадей определённого количества равных центральных треугольников.
Именно это свойство составляет математическую основу универсальной политуры.
Субрисунок 3. Разделение правильного пятиугольника на пять равных центральных треугольников.
7. Площадь центрального треугольника
Рассмотрим один из полученных треугольников.
Две его стороны равны радиусу описанной окружности многоугольника.
Угол между ними определяется количеством сторон.
Если многоугольник имеет пять сторон, полный угол вокруг центра разделяется на пять одинаковых центральных углов.
Для шестиугольника — на шесть.
Для семиугольника — на семь.
И так далее.
Площадь такого треугольника определяется половиной произведения квадратной величины радиуса описанной окружности и синуса соответствующего центрального угла.
Следовательно, площадь всего правильного многоугольника определяется количеством его сторон, радиусом описанной окружности и величиной соответствующего центрального угла.
Эта закономерность применима к правильному многоугольнику с любым допустимым натуральным количеством сторон.
8. Альтернативное определение площади через апофему
Существует и другой удобный способ определения площади правильного многоугольника.
Разделим каждый центральный треугольник пополам посредством перпендикуляра, проведённого из центра к соответствующей стороне.
Получатся два равных прямоугольных треугольника.
Их основания вместе образуют сторону многоугольника.
А высота совпадает с апофемой.
Следовательно, площадь всего правильного многоугольника равна половине произведения его периметра на апофему.
Таким образом, одна и та же площадь может определяться двумя способами.
Посредством радиуса описанной окружности и центрального угла.
Или посредством периметра и апофемы.
Оба способа имеют самостоятельное конструктивное значение.
Субрисунок 10. Радиус описанной окружности, сторона многоугольника и апофема.
9. Универсальная задача определения необходимого масштаба
Теперь рассмотрим центральную задачу политуры.
Пусть задан круг известного радиуса.
И выбран правильный многоугольник с определённым количеством сторон.
Необходимо установить такой радиус описанной окружности многоугольника, при котором его площадь будет соответствовать площади исходного круга.
Поскольку площадь правильного многоугольника при неизменном количестве сторон пропорциональна квадрату радиуса описанной окружности, задача сводится к определению соответствующего положительного масштабного коэффициента.
При этом коэффициент зависит от количества сторон.
Но не зависит от абсолютного размера исходного круга.
Таким образом, возникает универсальная технология.
Для каждого количества сторон определяется соответствующий коэффициент.
После этого он воспроизводится посредством геометрической арифметики.
А полученная длина используется для построения результирующего многоугольника.
10. Единая математическая основа всех разновидностей политуры
Теперь можно сформулировать главное обобщение.
Для любого заранее выбранного количества сторон правильного многоугольника существует единственное положительное значение радиуса описанной окружности, при котором площадь этого многоугольника математически равна площади заданного круга.
Это утверждение следует из того, что площадь подобного многоугольника изменяется пропорционально квадрату линейного масштаба.
Следовательно, уменьшение радиуса уменьшает площадь.
Увеличение радиуса — увеличивает.
А требуемому положительному значению площади соответствует определённый положительный радиус.
Таким образом, на математическом уровне задача получения равновеликого правильного многоугольника сводится к определению одного линейного масштабного коэффициента.
Именно этот коэффициент становится основным предметом конструктивного исследования.
11. Числовые коэффициенты для основных разновидностей политуры
Рассмотрим значения необходимых коэффициентов при радиусе исходного круга, принятом за единицу.
В следующей таблице приведены приближённые значения радиуса описанной окружности результирующего правильного многоугольника и длины его стороны.
Фигура Коэффициент радиуса Коэффициент стороны
Квадрат, 4 стороны 1,253314 1,772454
Пятиугольник, 5 сторон 1,149481 1,351296
Шестиугольник, 6 сторон 1,099636 1,099636
Семиугольник, 7 сторон 1,071481 0,929796
Девятиугольник, 9 сторон 1,042161 0,712880
Десятиугольник, 10 сторон 1,033905 0,638988
Все приведённые значения являются округлёнными числовыми характеристиками математически определённых целевых фигур.
При выборе конкретного допуска они могут уточняться.
Особенно важно, что каждая разновидность политуры имеет собственный масштабный коэффициент.
Поэтому универсальность технологии заключается не в использовании одного числового коэффициента для всех многоугольников, а в единстве способа его определения и геометрического воспроизведения.
12. Два этапа универсальной технологии политуры
Для дальнейшего исследования целесообразно разделить построение на два основных этапа.
Первый этап — получение необходимой геометрической формы.
Строится правильный многоугольник заданного типа либо его приближение с установленной точностью формы.
Второй этап — масштабирование до необходимой площади.
Определяется масштабный коэффициент, обеспечивающий соответствие площади многоугольника площади исходного круга.
Затем выполняется пропорциональное изменение его линейных размеров.
Таким образом, задача формы и задача площади получают самостоятельные конструктивные решения.
И после этого объединяются в общую технологию.
Такой подход особенно удобен при рассмотрении многоугольников с различным количеством сторон.
13. Масштабирование правильного многоугольника
Предположим, что правильный многоугольник уже построен.
Он обладает определённым радиусом описанной окружности.
И определённой площадью.
Теперь необходимо изменить его линейный масштаб так, чтобы площадь соответствовала заданному значению.
Для этого может использоваться система подобных треугольников с общей вершиной, рассмотренная в пятой главе настоящего тома.
Первоначально строится необходимый масштабный коэффициент.
Затем каждый радиус, соединяющий центр многоугольника с вершиной, изменяется в одинаковом отношении.
В результате возникает подобный многоугольник.
Его углы сохраняются.
Отношения сторон также сохраняются.
А площадь изменяется пропорционально квадрату выбранного коэффициента.
Таким образом, геометрическое масштабирование позволяет осуществлять управляемое преобразование площади при сохранении правильной формы многоугольника.
14. Геометрическое воспроизведение масштабного коэффициента
Для выполнения масштабирования необходимо построить соответствующую линейную величину.
Если коэффициент задан рациональным числом, можно использовать универсальную полисекцию.
Например, разделить единичный отрезок на необходимое количество равных частей.
Затем выделить соответствующее количество таких долей.
После этого построенная длина используется в системе подобных треугольников.
Если коэффициент представлен более сложной числовой величиной, можно предварительно определить его рациональное приближение с необходимой точностью.
Таким образом, последовательная полисекция становится непосредственной конструктивной основой универсальной политуры.
Субрисунок 11. Пропорциональный перенос масштабного коэффициента посредством подобных треугольников.
15. Математическая точность масштаба и площади
Рассмотрим важное соотношение.
Пусть правильный многоугольник масштабируется посредством некоторого положительного коэффициента.
Каждая его сторона увеличивается или уменьшается в этом отношении.
Но площадь изменяется пропорционально квадрату коэффициента.
Следовательно, при выборе необходимого масштаба нельзя непосредственно отождествлять коэффициент линейного изменения с коэффициентом изменения площади.
Именно поэтому соответствующие числовые отношения должны определяться математически.
Если требуемая площадь отличается от первоначальной в определённое количество раз, линейный масштаб определяется положительным квадратным корнем из этого отношения.
Так возникает непосредственная связь универсальной политуры с операцией построения среднего геометрического, подробно рассмотренной в предыдущей главе.
16. Квадратура как первая разновидность политуры
Начнём с уже исследованного случая.
При квадратуре результирующей фигурой является квадрат.
Его площадь определяется квадратом длины стороны.
Следовательно, для получения квадрата, равновеликого исходному кругу, требуется построить соответствующую сторону.
При единичном радиусе её числовое значение приблизительно составляет 1,7724538509.
Эта величина может воспроизводиться посредством рациональных приближений и последовательной полисекции.
Или посредством построения среднего геометрического из единичного отрезка и рационального приближения числа ;.
Таким образом, квадратура полностью включается в общую программу политуры.
Субрисунок 4. Квадратура: круг и математически равновеликий квадрат.
17. Конструктивная последовательность квадратуры
Напомним основную технологию.
Сначала задаётся круг положительного радиуса.
Затем выбирается рациональное приближение числа ;, обеспечивающее необходимую точность площади.
После этого соответствующая числовая величина воспроизводится посредством геометрической арифметики.
Далее строится среднее геометрическое двух положительных отрезков.
Один соответствует радиусу исходного круга.
Другой — произведению радиуса на выбранное рациональное приближение ;.
Полученная длина становится стороной квадрата.
После его построения оценивается отклонение площади от площади исходного круга.
Таким образом, квадратура представляет первую конкретную реализацию универсальной технологии политуры.
18. Пентатура: постановка задачи
Перейдём к построению правильного пятиугольника, площадь которого соответствует площади заданного круга.
Эту операцию в рамках авторской терминологии будем называть пентатурой.
Пусть исходный круг имеет положительный радиус.
Необходимо построить правильный пятиугольник с заранее установленным допуском площади.
Особое значение имеет возможность точного построения правильной пятиугольной формы классическими средствами.
Следовательно, в данном случае можно первоначально получить геометрически правильный пятиугольник произвольного удобного размера.
А затем масштабировать его до необходимой площади.
Таким образом, основная конструктивная задача пентатуры заключается в воспроизведении соответствующего масштабного коэффициента.
19. Геометрическая организация правильного пятиугольника
Правильный пятиугольник обладает пятью равными сторонами.
Его вершины располагаются на одной окружности.
Соединение центра со всеми вершинами образует пять равных равнобедренных треугольников.
При этом каждый центральный угол составляет одну пятую полного угла вокруг точки.
Таким образом, площадь правильного пятиугольника может быть определена посредством суммы площадей пяти равных треугольников.
Величина соответствующего радиуса описанной окружности устанавливает линейный масштаб всей фигуры.
Следовательно, при изменении этого радиуса изменяются все стороны и апофема.
А площадь масштабируется по установленному квадратному закону.
20. Необходимый масштаб при пентатуре
Если радиус исходного круга принять за единицу, радиус описанной окружности математически равновеликого правильного пятиугольника приблизительно составляет 1,149480926 единицы.
Следовательно, его вершины располагаются несколько дальше от общего центра, чем точки исходной окружности.
Но стороны пятиугольника представляют хорды его собственной описанной окружности.
Поэтому область внутри многоугольника может иметь площадь, соответствующую площади меньшего по радиусу исходного круга.
Это обстоятельство наглядно демонстрирует различие формы и площади.
Фигуры могут иметь одинаковую площадь, несмотря на существенно различные границы.
Субрисунок 5. Пентатура: правильный пятиугольник, равновеликий исходному кругу в идеальной математической модели.
21. Алгоритм пентатуры
Рассмотрим последовательность построения.
Первоначально создаётся правильный пятиугольник удобного размера.
Определяется радиус его описанной окружности.
Затем устанавливается необходимый масштабный коэффициент относительно радиуса исходного круга.
Выбирается рациональное приближение этого коэффициента, удовлетворяющее установленному допуску площади.
После этого посредством геометрической арифметики строится необходимый отрезок.
Он используется как новый радиус описанной окружности результирующего пятиугольника.
На соответствующей окружности воспроизводится правильная пятиугольная форма.
И наконец, проверяется площадь полученной фигуры.
Таким образом, пентатура представляет математически определённую последовательность конечных построений.
22. Гексатура: переход к правильному шестиугольнику
Следующий случай — гексатура.
Требуется построить правильный шестиугольник, площадь которого соответствует площади заданного круга с установленной точностью.
Правильный шестиугольник обладает особенно удобной геометрической структурой.
Его можно разделить на шесть равносторонних треугольников.
При этом длина стороны правильного шестиугольника равна радиусу его описанной окружности.
Таким образом, в данном случае необходимый радиус и необходимая сторона совпадают.
Это обстоятельство существенно упрощает конструктивную организацию.
Субрисунок 6. Гексатура: круг и математически равновеликий правильный шестиугольник.
23. Математическая основа гексатуры
Рассмотрим шесть равносторонних треугольников, образующих правильный шестиугольник.
Все их стороны равны.
И все центральные углы также равны.
Следовательно, площадь шестиугольника определяется шестикратной площадью одного равностороннего треугольника.
При изменении общей длины его сторон площадь изменяется пропорционально квадрату этой длины.
Поэтому для получения необходимой площади достаточно определить соответствующий линейный масштаб.
Если радиус исходного круга принят за единицу, сторона математически равновеликого шестиугольника приблизительно составляет 1,099636111 единицы.
Эта величина одновременно представляет радиус его описанной окружности.
Таким образом, числовая задача гексатуры оказывается особенно компактной.
24. Непосредственный алгоритм гексатуры
Сначала задаётся исходный круг.
Затем выбирается необходимое приближение масштабного коэффициента.
Посредством полисекции и геометрической арифметики строится соответствующий отрезок.
Теперь с его помощью создаётся окружность нужного радиуса.
На окружности последовательно откладываются шесть равных хорд, каждая из которых равна радиусу этой окружности.
Полученные шесть точек соединяются последовательно.
В результате образуется правильный шестиугольник.
После этого вычисляется или геометрически контролируется соответствующая площадь.
Таким образом, гексатура представляет одну из наиболее наглядных разновидностей универсальной политуры.
25. Сравнение пентатуры и гексатуры
Оба рассмотренных построения имеют общую математическую основу.
В каждом случае задаётся правильный многоугольник.
Определяется необходимый масштаб.
После этого создаётся результирующая фигура.
Однако их внутренняя геометрическая структура различается.
Правильный пятиугольник содержит пять равных центральных треугольников.
Правильный шестиугольник — шесть.
Для шестиугольника характерно совпадение стороны с радиусом описанной окружности.
Для пятиугольника такое совпадение отсутствует.
Следовательно, способы построения исходной формы и проверки её характеристик могут различаться.
Но общая технология определения и воспроизведения необходимого масштабного коэффициента остаётся той же.
26. Гептатура: постановка задачи
Теперь перейдём к семиугольной форме.
Под гептатурой в рамках настоящего исследования будем понимать построение правильного семиугольника либо его геометрического приближения с установленной точностью формы, площадь которого соответствует площади заданного круга с необходимой точностью.
Особый интерес представляет необходимость согласованного решения двух задач.
Первой — определения положения семи вершин.
Второй — воспроизведения соответствующего масштаба площади.
При использовании классического инструментария циркуля и немаркированной линейки для этой разновидности целесообразно применять алгоритм приближённого построения правильной формы.
Таким образом, гептатура представляет важный пример двухуровневого геометрического приближения.
27. Идеальная геометрическая модель правильного семиугольника
Рассмотрим математически правильный семиугольник.
Все его вершины располагаются на одной окружности.
Полный угол вокруг центра разделяется на семь равных центральных углов.
Соединение центра с вершинами образует семь равных равнобедренных треугольников.
Следовательно, площадь такого семиугольника определяется суммой площадей семи одинаковых центральных треугольников.
При единичном радиусе исходного круга радиус описанной окружности математически равновеликого правильного семиугольника приблизительно составляет 1,071480661 единицы.
Таким образом, соответствующий линейный масштаб математически определён.
Субрисунок 7. Гептатура: математически правильный семиугольник как целевая форма.
28. Координатная технология приближения семиугольника
Для воспроизведения семиугольной формы можно использовать координатную конструктивную систему.
Выберем две взаимно перпендикулярные оси с общей начальной точкой.
Определим координаты вершин математически правильного семиугольника.
Затем выберем рациональные приближения соответствующих координат с заранее установленной точностью.
Каждое рациональное значение может быть представлено посредством конечных операций геометрической арифметики.
Для построения соответствующей точки необходимо отложить горизонтальную и вертикальную координаты.
После чего провести через полученные вспомогательные точки перпендикулярные прямые.
Их пересечение определит соответствующую вершину.
Таким образом, каждая вершина воспроизводится посредством конечной последовательности геометрических операций.
После построения всех семи вершин они соединяются последовательно.
В результате получается многоугольник, близкий к математически правильному семиугольнику.
29. Конкретный числовой пример гептатуры
Рассмотрим единичный круг.
Выберем математически равновеликий правильный семиугольник с центром в начале координат.
Теперь приблизим координаты его вершин рациональными десятичными значениями с шестью знаками после запятой.
Получается следующая система:
Вершина Горизонтальная координата Вертикальная координата
1 1,071481 0
2 0,668057 0,837717
3 ;0,238427 1,044616
4 ;0,965371 0,464898
5 ;0,965371 ;0,464898
6 ;0,238427 ;1,044616
7 0,668057 ;0,837717
Все координаты являются рациональными числами.
Следовательно, в идеальной модели они допускают конечное геометрическое воспроизведение относительно заданной единицы.
Соединение соответствующих точек создаёт определённый семиугольник.
30. Проверка площади рационального семиугольника
Рассмотрим многоугольник, построенный по приведённым координатам.
Его площадь можно точно определить по координатам вершин посредством стандартного алгоритма суммирования ориентированных площадей треугольников.
Поскольку все исходные координаты рациональны, полученная площадь также является рациональной величиной.
Для приведённого семиугольника она составляет 3,141592035396 квадратной единицы.
Площадь исходного единичного круга приблизительно равна 3,141592653590 квадратной единицы.
Следовательно, абсолютное отклонение площади рассматриваемого рационального семиугольника составляет менее 0,000000619 квадратной единицы.
Таким образом, даже сравнительно простая координатная аппроксимация позволяет получить многоугольник с весьма малым отклонением площади.
При этом правильность формы должна оцениваться отдельно.
31. Контроль равенства сторон семиугольника
Теперь необходимо проверить второе основное требование.
Рассмотрим длины всех семи сторон полученного многоугольника.
Каждая определяется расстоянием между двумя соседними вершинами.
Поскольку координаты заданы рационально, соответствующие квадраты длин также определяются точно.
В рассмотренном числовом примере максимальное различие между длинами самой длинной и самой короткой стороны составляет менее двух десятимиллионных выбранной единицы.
Следовательно, построенный многоугольник обладает высокой степенью приближения к равносторонней форме.
Однако для полного контроля правильности необходимо также оценить соответствующие внутренние углы.
Таким образом, гептатура предусматривает согласованную проверку равенства сторон, углов и площади.
32. Последовательное уточнение формы семиугольника
Если первоначальная точность формы недостаточна, координатная конструкция может уточняться.
Для этого используются более точные рациональные значения координат.
Например, вместо шести десятичных знаков можно применять семь.
Или восемь.
Или больше, если этого требует задача.
При этом каждая новая вершина определяется посредством конечной геометрической процедуры.
Различия между полученными координатами и координатами идеальной правильной фигуры уменьшаются.
Соответственно могут уменьшаться отклонения длин сторон и внутренних углов.
Таким образом, координатное приближение обеспечивает конструктивный механизм последовательного уточнения правильной многоугольной формы.
33. Восстановление необходимой площади посредством масштабирования
Рассмотрим ещё одну важную возможность.
Предположим, что приближённый семиугольник уже построен.
Его фактическая математическая площадь определена по координатам.
Однако она не обязательно точно совпадает с выбранным рациональным приближением площади исходного круга.
В таком случае можно выполнить дополнительное масштабирование.
Для этого необходимо определить отношение желаемой рациональной площади к фактической площади построенного многоугольника.
Затем построить положительный квадратный корень из полученного отношения.
Соответствующий коэффициент применяется ко всем вершинам относительно выбранного центра.
В результате образуется подобный многоугольник.
Его площадь становится равной выбранному рациональному значению.
Таким образом, возникает возможность самостоятельной коррекции площади после формирования приближённой геометрической формы.
34. Почему масштабирование сохраняет характер приближённой формы
Рассмотрим математические свойства дополнительного масштабирования.
Все расстояния между соответствующими точками многоугольника изменяются в одном отношении.
Следовательно, отношения длин сторон сохраняются.
Внутренние углы также остаются неизменными.
Таким образом, если исходный многоугольник представлял определённое приближение правильной формы, масштабирование сохраняет относительные характеристики этого приближения.
При этом площадь изменяется по квадратному закону.
Следовательно, можно независимо корректировать масштаб площади, не изменяя угловую структуру построенной фигуры.
Это обстоятельство составляет одно из наиболее важных свойств предлагаемой конструктивной организации гептатуры.
35. Универсальная координатно-пропорциональная технология
Рассмотренные построения позволяют выделить более общий алгоритм.
Сначала математически определяется целевая правильная многоугольная форма.
Затем выбираются рациональные приближения координат её вершин.
После этого точки воспроизводятся посредством геометрической арифметики.
Полученный многоугольник проверяется по требованиям формы.
Затем определяется его фактическая площадь.
Если необходимо, выполняется дополнительное масштабирование до выбранного рационального приближения площади исходного круга.
Наконец, производится общий контроль результата.
Таким образом, координатная технология объединяется с универсальным масштабированием и принципом необходимой и достаточной точности.
Особый интерес представляет возможность применения такого алгоритма к многоугольникам с различным количеством сторон.
36. Нонатура: постановка задачи
Перейдём к девятиугольной форме.
Под нонатурой в рамках настоящей авторской терминологии будем понимать построение правильного девятиугольника либо его приближения с установленной точностью формы, площадь которого соответствует площади заданного круга с необходимой точностью.
Исходная геометрическая организация аналогична рассмотренной гептатуре.
Математически правильный девятиугольник содержит девять равных сторон.
Его центр соединяется со всеми вершинами.
В результате образуются девять равных равнобедренных треугольников.
Следовательно, площадь определяется суммой площадей девяти центральных треугольников.
При единичном радиусе исходного круга необходимый радиус описанной окружности математически равновеликого девятиугольника приблизительно составляет 1,042161274 единицы.
Субрисунок 8. Нонатура: математически правильный девятиугольник как целевая форма.
37. Конструктивная технология нонатуры
Для нонатуры можно использовать общий координатный алгоритм.
Прежде всего определяются координаты девяти вершин математически правильного многоугольника.
Затем выбираются рациональные приближения с необходимой точностью.
После этого соответствующие вершины воспроизводятся посредством прямолинейных геометрических построений.
Все девять точек соединяются последовательно.
Полученный многоугольник проверяется по установленным критериям правильности формы.
Затем определяется его площадь.
При необходимости выполняется дополнительное масштабирование.
Таким образом, нонатура представляет конкретную реализацию универсальной координатно-пропорциональной технологии политуры.
38. Числовая проверка девятиугольной конструкции
Рассмотрим математически равновеликий правильный девятиугольник при единичном радиусе исходного круга.
Если рационально приблизить координаты его вершин с шестью десятичными знаками, можно получить конкретную девятиугольную конструкцию.
Для одного такого расчётного варианта площадь полученного многоугольника составляет 3,141592566503 квадратной единицы.
Следовательно, её отклонение от площади исходного единичного круга составляет менее 0,000000088 квадратной единицы.
При этом различие между самой длинной и самой короткой сторонами составляет менее двух миллионных единицы длины.
Таким образом, выбранное рациональное приближение обеспечивает одновременно малую погрешность площади и высокую степень приближения формы.
При необходимости оба результата могут дополнительно уточняться.
39. Сравнение гептатуры и нонатуры
Гептатура и нонатура представляют особенно интересную пару задач.
Обе требуют построения многоугольных форм с определённой точностью.
Обе могут использовать рациональные координаты вершин.
Обе допускают независимый контроль площади и правильности формы.
И в обоих случаях возможно дополнительное пропорциональное масштабирование.
Однако количество вершин различается.
Для гептатуры требуется семь.
Для нонатуры — девять.
Соответственно изменяются центральные углы, длины сторон и необходимые масштабные коэффициенты.
Таким образом, общая конструктивная технология сохраняется, но количественные параметры построения изменяются.
Именно это представляет характерный пример универсальности геометрического алгоритма.
40. Декатура: построение правильного десятиугольника
Теперь рассмотрим декатуру.
Под этим термином будем понимать построение правильного десятиугольника, площадь которого воспроизводит площадь исходного круга с заранее установленной точностью.
Правильный десятиугольник обладает десятью равными сторонами.
Соединение центра со всеми вершинами образует десять равных центральных треугольников.
При этом десятиугольная форма имеет известные классические способы точного геометрического построения.
Например, её можно связать с построением правильного пятиугольника и делением соответствующих центральных дуг пополам.
Таким образом, задача правильной формы здесь допускает непосредственную классическую конструктивную организацию.
Субрисунок 9. Декатура: правильный десятиугольник, математически равновеликий исходному кругу.
41. Масштабный коэффициент декатуры
При единичном радиусе исходного круга радиус описанной окружности математически равновеликого правильного десятиугольника приблизительно составляет 1,033904895 единицы.
Следовательно, его вершины располагаются сравнительно недалеко от исходной окружности.
При этом каждая сторона представляет хорду описанной окружности.
Её длина составляет приблизительно 0,638988366 единицы радиуса исходного круга.
Таким образом, площадь результирующего десятиугольника может соответствовать площади исходного круга, несмотря на различие их границ.
После выбора необходимого рационального приближения масштабного коэффициента соответствующая длина воспроизводится посредством геометрической арифметики.
А затем используется для построения правильной десятиугольной формы.
42. Декатура и последовательная полисекция
Особый интерес представляет связь десятиугольника с десятичной системой геометрической арифметики.
В предыдущих главах мы подробно исследовали деление прямолинейного отрезка на десять равных частей.
Эта операция позволяет воспроизводить десятичные доли линейных величин.
При декатуре десятичная структура проявляется в другом геометрическом объекте — правильном десятиугольнике.
Здесь речь идёт уже не о делении прямолинейной длины на десять частей.
А о построении десяти равных центральных углов и соответствующих сторон многоугольника.
Таким образом, необходимо различать линейную декасекцию и десятиугольную конструкцию.
Обе могут входить в общую систему, но представляют разные геометрические операции.
43. Другие разновидности политуры
Рассмотренная программа не ограничивается квадратом, пятиугольником, шестиугольником, семиугольником, девятиугольником и десятиугольником.
Можно поставить задачу построения равновеликого треугольника.
Правильного восьмиугольника.
Двенадцатиугольника.
Шестнадцатиугольника.
И других правильных многоугольников.
Для каждого количества сторон определяется соответствующая идеальная форма.
И необходимый масштабный коэффициент.
После этого выбирается подходящая конструктивная технология.
Таким образом, политура представляет потенциально неограниченное семейство геометрических задач.
Но каждое конкретное построение относится к заранее установленному конечному количеству сторон и определённому допуску.
44. Произвольное натуральное количество сторон
Теперь сформулируем максимально общую постановку.
Пусть задан круг положительного радиуса.
И установлено произвольное натуральное количество сторон результирующего правильного многоугольника, не меньше трёх.
Необходимо построить многоугольную фигуру, форма которой соответствует заданному количеству сторон с установленной точностью.
А площадь — площади исходного круга с необходимой точностью.
На математическом уровне правильный многоугольник с таким количеством сторон определён.
Его площадь может быть выражена через радиус описанной окружности и соответствующий центральный угол.
Следовательно, можно определить необходимый масштабный коэффициент.
После этого возникает задача его геометрического воспроизведения.
Таким образом, общий принцип политуры распространяется на произвольное заранее установленное допустимое количество сторон.
45. Классы конструктивных технологий политуры
На основании рассмотренных примеров можно выделить несколько конструктивных классов.
Первый класс — многоугольники, правильная форма которых непосредственно строится классическими средствами.
К нему относятся квадрат, правильные пятиугольник, шестиугольник, десятиугольник и некоторые другие фигуры.
Для таких объектов главным дополнительным этапом становится масштабирование до необходимой площади.
Второй класс — многоугольники, правильная форма которых воспроизводится посредством последовательных приближений в установленном инструментарии.
Здесь особое значение приобретают координатные технологии и контроль формы.
Третий класс — многоугольники, построенные по рациональным координатам, с последующей коррекцией площади.
Такой подход позволяет использовать единый алгоритм для широкого семейства форм.
Четвёртый класс — составные технологии, объединяющие несколько промежуточных построений, полисекцию и масштабирование.
Таким образом, универсальность политуры проявляется не только в общей математической постановке, но и в возможности комбинирования различных конструктивных способов.
46. Вписанные и описанные многоугольники как средства контроля площади
Рассмотрим ещё один важный принцип, непосредственно связанный с геометрией круга.
Пусть в исходный круг вписан правильный многоугольник.
Его площадь меньше площади круга.
Теперь вокруг того же круга опишем правильный многоугольник с тем же количеством сторон.
Его площадь больше площади круга.
Следовательно, площадь исходного круга располагается между площадями этих двух многоугольников.
Субрисунок 2. Вписанный и описанный правильные шестиугольники относительно одного круга.
Таким образом, возникает возможность геометрического контроля нижней и верхней оценок площади.
Этот принцип имеет глубокие исторические основания и непосредственно связан с классическими методами исследования криволинейных фигур.
47. Почему вписанный многоугольник не является автоматически равновеликим
Рассмотрим обычный правильный шестиугольник, вписанный в исходный круг.
Все его вершины лежат на окружности круга.
Но его стороны представляют хорды.
Следовательно, между соответствующими сторонами и дугами окружности остаются определённые круговые сегменты.
Их площади положительны.
Поэтому площадь вписанного шестиугольника меньше площади исходного круга.
Аналогичное положение относится к любому конечному правильному многоугольнику, вписанному в круг.
Следовательно, для получения равновеликой многоугольной фигуры необходимо выполнить дополнительное масштабирование.
Именно эта операция является одним из центральных элементов политуры.
48. Увеличение количества сторон и приближение к кругу
Рассмотрим последовательность правильных многоугольников, вписанных в один и тот же круг.
При увеличении количества сторон соответствующие многоугольники могут всё точнее приближать круг по площади и форме.
При этом длины отдельных сторон уменьшаются.
А границы многоугольников всё подробнее воспроизводят окружность.
Однако такое приближение не является единственной возможной задачей политуры.
В настоящем исследовании мы ставим более общее требование.
Необходимо строить многоугольник заранее заданного типа, площадь которого соответствует площади исходного круга.
Следовательно, можно использовать не только увеличение количества сторон.
Но и пропорциональное масштабирование фиксированной многоугольной формы.
49. Политура и геометрическое преобразование формы
Особый интерес представляет различие между изменением формы и изменением площади.
Предположим, что круг преобразуется в правильный пятиугольник.
Форма геометрического объекта существенно меняется.
Криволинейная граница заменяется совокупностью прямолинейных сторон.
Однако площадь может оставаться неизменной в идеальной математической модели или воспроизводиться с установленной точностью.
Аналогичным образом можно переходить к шестиугольной, семиугольной и другим формам.
Таким образом, политура представляет собой программу преобразования одной геометрической характеристики при изменении другой.
В данном случае сохраняемым критерием становится площадь.
А изменяемой характеристикой — форма границы.
Именно такое разграничение делает политуру самостоятельной исследовательской категорией.
50. Геометрическая арифметика площадей
Рассмотренные преобразования непосредственно подготавливают дальнейшее развитие геометрической арифметики.
До сих пор основным предметом арифметических операций выступали длины.
Теперь возникает возможность исследовать арифметические отношения между площадями.
Например, построить многоугольник, площадь которого вдвое превышает площадь исходного круга.
Или составляет её половину.
Или три четверти.
Или другое положительное рациональное отношение.
Для этого необходимо определить соответствующий коэффициент площади.
Затем получить связанный с ним линейный масштаб.
И построить необходимую многоугольную форму.
Таким образом, политура допускает естественное расширение от задач приближённой равновеликости к задачам произвольного масштабного преобразования площадей.
51. Независимая коррекция площади многоугольника
Вернёмся к универсальной координатной технологии.
Предположим, что построен определённый многоугольник.
Его форма достаточно близка к выбранному правильному многоугольнику.
Но площадь несколько отличается от установленной цели.
В таком случае нет необходимости полностью перестраивать его геометрическую структуру.
Можно определить фактическую площадь.
Затем вычислить необходимый положительный коэффициент масштабирования.
И пропорционально изменить положение всех вершин относительно общего центра.
Таким образом, возникает исправленная по площади фигура.
При этом все углы и отношения сторон исходного многоугольника сохраняются.
Следовательно, коррекция площади может выполняться как самостоятельная операция.
Такое разделение представляет важное достоинство универсальной конструктивной организации.
52. Контроль геометрической формы
Однако масштабирование площади не заменяет контроля правильности формы.
Поэтому необходимо отдельно определить соответствующие критерии.
Например, можно установить максимально допустимое различие длин сторон.
Допустимое отклонение внутренних углов.
Или максимальное расстояние каждой построенной вершины от её математически определённого положения в выбранной координатной системе.
При необходимости эти критерии могут использоваться совместно.
Таким образом, правильность многоугольной формы становится количественно проверяемой характеристикой.
Это особенно важно для гептатуры, нонатуры и других построений, в которых используется последовательная аппроксимация вершин.
53. Оценка площади по координатам вершин
Для универсального контроля площади удобно использовать координатную форму представления многоугольника.
Если все вершины заданы в определённой последовательности, площадь может быть установлена посредством суммирования соответствующих ориентированных треугольных площадей.
Такой алгоритм применим не только к правильным многоугольникам.
Он позволяет исследовать и произвольные простые многоугольные фигуры.
Особенно удобно, если координаты всех вершин рациональны.
В таком случае площадь многоугольника также является рациональным числом.
Следовательно, её можно точно сравнивать с выбранными рациональными границами площади исходного круга.
Таким образом, координатная геометрия предоставляет ещё один универсальный инструмент контроля результата политуры.
54. Совместный контроль формы и площади
Теперь можно предложить общую систему проверки.
Первоначально определяется тип требуемого многоугольника.
Затем устанавливается допустимая погрешность его формы.
После этого задаётся допустимое отклонение площади.
Далее выполняется соответствующее построение.
Полученные вершины проверяются по установленным условиям формы.
Затем определяется площадь.
При необходимости выполняется дополнительное масштабирование.
После этого обе группы требований проверяются повторно.
Таким образом, итоговая конструкция признаётся соответствующей поставленной задаче только при выполнении всех заранее установленных критериев.
Именно такой подход позволяет обеспечить математическую определённость универсальной политуры.
55. Математическая и технологическая точность политуры
В настоящей главе необходимо последовательно различать два уровня точности.
Первый — математический.
Он определяется правильностью числовых коэффициентов, координатных приближений и геометрических соотношений.
Второй — технологический.
Он связан с физическим воспроизведением построений.
Например, математически можно определить вершины многоугольника с чрезвычайно высокой точностью.
Но на бумажном чертеже их положение ограничивается характеристиками используемых инструментов.
Аналогичным образом цифровая модель может содержать большое количество десятичных знаков, но это не устраняет производственных допусков при изготовлении физического объекта.
Следовательно, универсальная политура должна включать согласованный контроль математической и технологической точности.
56. Принцип необходимой и достаточной точности в политуре
Теперь рассмотрим главное методологическое положение.
Для каждой конкретной задачи необходимо установить требования к результирующему объекту.
Например, допустимую погрешность площади.
Допустимое отклонение длин сторон.
И допустимое отклонение углов.
После этого выбирается конструктивный алгоритм, обеспечивающий выполнение этих требований.
Если необходимая точность достигнута, дополнительное уточнение может быть прекращено.
Если же требования не выполнены, выполняется следующий этап.
Таким образом, принцип необходимой и достаточной точности приобретает непосредственное применение к широкому семейству многоугольных преобразований.
57. Царский путь в универсальной политуре
Рассмотренная программа непосредственно связана с авторской концепцией Царского пути.
В рамках настоящего исследования она предполагает поиск наиболее рациональной конструктивной технологии получения заданной многоугольной формы с необходимой точностью площади.
При этом необходимо учитывать несколько характеристик.
Количество геометрических операций.
Сложность построения правильной формы.
Необходимость вычисления масштабных коэффициентов.
Возможность повторного использования вспомогательных элементов.
Технологическую точность.
И удобство контроля результата.
Таким образом, оптимальный способ политуры может различаться в зависимости от количества сторон и условий конкретной задачи.
Именно поэтому универсальность математического принципа следует сочетать с исследованием эффективности его различных конструктивных реализаций.
58. Политура как генеративная геометрическая технология
Теперь можно сформулировать более общее значение разработанной программы.
Политура объединяет несколько фундаментальных конструктивных операций.
Определение площади исходного круга.
Выбор многоугольной формы.
Построение необходимого масштабного коэффициента.
Геометрическое воспроизведение линейных величин.
Построение многоугольника.
И математический контроль результата.
Таким образом, одна исходная геометрическая фигура становится основой целого семейства других фигур.
При этом их формы различаются.
Но установленное отношение площадей сохраняется с необходимой точностью.
Именно это свойство придаёт политуре генеративный характер.
Вместо решения одной изолированной задачи возникает система взаимосвязанных преобразований.
59. Интегральный геометрический атлас политуры
Для настоящей главы подготовлен интегральный технический рисунок, включающий двенадцать субрисунков.
Первый показывает исходный круг и его радиус.
Второй — вписанный и описанный правильные шестиугольники.
Третий — разделение правильного многоугольника на равные центральные треугольники.
Четвёртый — квадратуру.
Пятый — пентатуру.
Шестой — гексатуру.
Седьмой — математическую целевую форму гептатуры.
Восьмой — математическую целевую форму нонатуры.
Девятый — декатуру.
Десятый — взаимосвязь стороны, апофемы и радиуса описанной окружности.
Одиннадцатый — пропорциональное масштабирование посредством системы подобных треугольников.
Двенадцатый — приближённое координатное воспроизведение вершин семиугольника.
Все субрисунки имеют технический характер.
Они показывают геометрические объекты и соответствующие конструктивные отношения.
При этом изображения идеальных целевых фигур следует отличать от окончательных физических чертежей, точность которых определяется конкретным способом воспроизведения.
Рисунок 8.1. Универсальная политура круга: квадратура, пентатура, гексатура, гептатура, нонатура, декатура и обобщённые технологии геометрического масштабирования. Интегральный атлас из двенадцати технических субрисунков.
60. Основные результаты восьмой главы
Подведём итоги проведённого исследования.
Первое. Сформулирована общая конструктивная постановка задачи политуры круга.
Второе. Установлено различие между правильностью многоугольной формы и соответствием площади.
Третье. Показана возможность определения необходимого масштабного коэффициента для правильного многоугольника с произвольным заранее установленным допустимым количеством сторон.
Четвёртое. Исследована общая математическая основа площади правильного многоугольника посредством равных центральных треугольников.
Пятое. Рассмотрены квадратура, пентатура, гексатура, гептатура, нонатура и декатура.
Шестое. Установлена роль универсальной полисекции в воспроизведении необходимых рациональных масштабных коэффициентов.
Седьмое. Рассмотрена возможность точного построения правильной многоугольной формы для отдельных классов многоугольников.
Восьмое. Разработана координатно-пропорциональная схема приближённого построения других многоугольных форм.
Девятое. На конкретных числовых примерах семиугольника и девятиугольника показана возможность получения малых отклонений площади.
Десятое. Рассмотрена независимая коррекция площади посредством пропорционального масштабирования.
Одиннадцатое. Предложена общая организация контроля формы и площади.
Двенадцатое. Установлена связь политуры с принципом необходимой и достаточной точности.
Тринадцатое. Рассмотрены основные критерии конструктивной эффективности различных технологий.
Четырнадцатое. Показана возможность дальнейшего расширения политуры на произвольные заданные отношения площадей.
Таким образом, традиционная квадратура включена в более широкую систему конструктивных геометрических преобразований.
61. Заключение. От квадратуры круга — к универсальной геометрии преобразования площадей
Итак, в восьмой главе третьего тома мы рассмотрели одну из центральных авторских идей настоящего исследования — политуру круга.
Её исходное содержание заключается в систематическом исследовании преобразований круга в различные многоугольные формы при заранее установленном критерии соответствия площадей.
Было показано, что традиционная квадратура представляет лишь один из возможных случаев такого преобразования.
Наряду с ней можно рассматривать пентатуру.
Гексатуру.
Гептатуру.
Нонатуру.
Декатуру.
И другие разновидности политуры.
При этом все соответствующие задачи объединяются общим математическим принципом.
Для каждого правильного многоугольника существует определённое отношение между его площадью и квадратом радиуса описанной окружности.
Следовательно, для воспроизведения площади заданного круга необходимо определить соответствующий линейный масштаб.
Именно здесь получают непосредственное применение технологии геометрической арифметики, разработанные в предыдущих главах.
Полисекция обеспечивает получение рациональных долей.
Сложение и вычитание — построение необходимых линейных комбинаций.
Умножение и деление — пропорциональное масштабирование.
Последовательное уточнение — воспроизведение числовых коэффициентов с заранее установленной точностью.
А координатные построения позволяют расширить область применения универсальной технологии на многоугольные формы, требующие приближённого воспроизведения в выбранном инструментарии.
Особое значение приобретает возможность независимого контроля двух характеристик результата.
Правильности формы.
И площади.
Именно такое разграничение позволяет избежать смешения различных геометрических условий.
В результате политура приобретает определённое конструктивное содержание.
Она представляет собой не одну отдельную геометрическую процедуру.
А целое семейство алгоритмов.
Каждый из которых направлен на получение установленной многоугольной формы с необходимой точностью площади.
При этом для каждой конкретной задачи можно выбрать соответствующую конструктивную организацию.
И определить конечное количество операций, достаточное для достижения установленной цели.
Таким образом, политура непосредственно воплощает важнейшие принципы гармонической геометрии.
Геометрическую определённость объекта.
Универсальность конструктивной технологии.
Необходимую и достаточную точность.
Возможность последовательного уточнения.
И рациональную организацию геометрических действий.
Но значение рассмотренных результатов выходит за пределы преобразования площадей круга.
Ведь аналогичные принципы можно применять к другим плоским фигурам.
А также использовать при исследовании преобразований пространственных тел.
Таким образом, политура открывает путь к дальнейшему развитию универсальной геометрической арифметики площадей и объёмов.
От квадратуры круга — к политуре.
От одного правильного многоугольника — к универсальному семейству многоугольных форм.
От геометрической арифметики длин — к управляемому преобразованию площадей.
От математически определённого масштаба — к воспроизводимому геометрическому объекту.
От отдельных конструктивных задач — к универсальной технологии преобразования геометрических величин.
Следующий этап настоящего исследования связан с переходом от двумерных объектов к пространственным телам.
Если для многоугольника необходимая площадь определяется соответствующим линейным масштабом, то для куба и других подобных пространственных тел объём зависит от третьей степени линейного масштаба.
Следовательно, возникает новая конструктивная задача.
Каким образом определить и геометрически воспроизвести необходимый коэффициент изменения объёма?
Можно ли организовать соответствующую технологию на основе уже разработанной системы геометрической арифметики?
И каким образом обеспечить установленную точность результирующего объёма?
Этим вопросам будет посвящена девятая глава третьего тома.
«Удвоение куба и произвольная мультипликация объёмов. Геометрические технологии построения необходимых масштабных коэффициентов».
Так завершается восьмая глава третьего тома «Ультраноочелленджа трёх тысячелетий».
И открывается следующий этап — переход от универсальной геометрии преобразования площадей к универсальной геометрии преобразования объёмов.
Основные математические и исторические источники
1. Евклид. «Начала». Книга IV — построения правильных многоугольников. Книга VI — подобие, пропорциональные величины и масштабные отношения.
2. Архимед. «Измерение круга». Геометрическое исследование площади круга посредством многоугольных оценок.
3. Wolfram MathWorld. Regular Polygon. Математические характеристики правильных многоугольников, их площади, стороны, апофемы и радиусы описанных окружностей.
4. Wolfram MathWorld. Constructible Polygon. Классическая теория геометрической построимости правильных многоугольников.
5. В. К. Петросян. «Ультраноочеллендж трёх тысячелетий». Том 1. Историко-математические основания программы универсальных геометрических преобразований.
6. В. К. Петросян. «Ультраноочеллендж трёх тысячелетий». Том 2. Геометрическая определённость, преобразование форм, принцип необходимой и достаточной точности и авторская концепция политуры круга.

++++

 

ГЛАВА 9. УДВОЕНИЕ КУБА И ПРОИЗВОЛЬНАЯ МУЛЬТИПЛИКАЦИЯ ОБЪЁМОВ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕХНОЛОГИИ ПОСТРОЕНИЯ НЕОБХОДИМЫХ МАСШТАБНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ
1. От преобразования площадей — к геометрической арифметике объёмов
В предыдущих восьми главах третьего тома мы последовательно исследовали основные конструктивные технологии геометрической арифметики.
Первоначально рассматривалась универсальная полисекция прямолинейных отрезков.
Затем были исследованы сложение и вычитание линейных величин.
После этого мы перешли к геометрическому умножению, делению, масштабированию и построению заданных пропорций.
Особое место заняла последовательная полисекция, позволяющая воспроизводить необходимые числовые величины с заранее установленной точностью.
На этой основе были рассмотрены приближённая квадратура круга и более общее семейство преобразований площадей — политура круга.
Теперь наступает заключительный этап конструктивной программы третьего тома.
Необходимо перейти от плоских геометрических объектов к пространственным телам.
И исследовать возможность управляемого изменения их объёмов.
Особое место среди таких задач занимает знаменитое удвоение куба.
Именно эта проблема на протяжении многих столетий оставалась одним из важнейших предметов математических исследований.
Однако в настоящей главе она будет рассмотрена не только как отдельная историческая задача.
Мы исследуем её как частный случай более общей системы — универсальной мультипликации геометрических объёмов.
2. Удвоение куба как фундаментальная геометрическая задача
Рассмотрим исходную постановку.
Пусть задан куб определённого положительного размера.
Необходимо построить другой куб, объём которого вдвое превышает объём первоначального.
При этом новый геометрический объект должен сохранять правильную кубическую форму.
Все его рёбра должны иметь одинаковую длину.
Все грани должны представлять равные квадраты.
А смежные грани должны располагаться под прямыми двугранными углами.
Таким образом, результатом должно стать одно новое пространственное тело.
Его объём должен соответствовать удвоенному объёму первоначального куба.
Именно это требование определяет математическое содержание задачи.
Субрисунок 1. Исходный куб с заданной длиной ребра и определённым объёмом.
3. Три измерения геометрического тела
Прежде чем рассматривать непосредственное построение, необходимо установить фундаментальное различие между линейными, плоскостными и пространственными величинами.
Длина характеризует одномерную протяжённость.
Площадь — двумерную.
Объём — трёхмерную.
При этом изменение линейного масштаба пространственного тела влияет на его объём по определённому математическому закону.
Если все линейные размеры подобного пространственного тела увеличиваются в два раза, объём увеличивается не в два, а в восемь раз.
Аналогичным образом трёхкратное увеличение всех линейных размеров приводит к увеличению объёма в двадцать семь раз.
Таким образом, непосредственное отождествление линейного и объёмного масштабирования недопустимо.
Для каждой геометрической задачи необходимо учитывать размерность преобразуемой величины.
4. Различие между двумя кубами и одним удвоенным кубом
Рассмотрим две различные конструктивные ситуации.
В первой имеются два одинаковых исходных куба.
Их суммарный объём вдвое превышает объём одного куба.
Во второй ситуации необходимо построить один новый куб, объём которого вдвое больше объёма исходного.
Суммарная величина объёма может быть одинаковой.
Однако геометрическая организация объектов принципиально различается.
Два самостоятельных куба не являются одним кубом удвоенного объёма.
Следовательно, количественное размножение исходных объектов необходимо отличать от пропорционального преобразования одного объекта.
Это разграничение имеет фундаментальное значение для всей программы универсальной мультипликации.
Субрисунок 2. Два одинаковых куба и задача построения одного куба удвоенного объёма.
5. Линейный масштаб и объём куба
Пусть исходный куб имеет определённую положительную длину ребра.
Его объём определяется третьей степенью этой длины.
Следовательно, если необходимо построить куб, объём которого в определённое количество раз превышает первоначальный, требуется установить соответствующее изменение ребра.
Причём отношение длин рёбер определяется положительным кубическим корнем из необходимого коэффициента изменения объёма.
Таким образом, задача пространственного преобразования сводится к построению определённой линейной величины.
Именно здесь возникает непосредственная связь между удвоением куба и универсальной геометрической арифметикой отрезков.
Субрисунок 3. Исходный куб и подобный куб с увеличенным линейным масштабом.
6. Центральный принцип геометрической мультипликации объёмов
Теперь можно сформулировать основную конструктивную идею настоящей главы.
Для пропорционального изменения объёма куба необходимо определить соответствующий коэффициент изменения длины его ребра, геометрически воспроизвести этот коэффициент и построить новый куб.
Таким образом, общая процедура разделяется на несколько последовательных задач.
Сначала определяется необходимое отношение объёмов.
Затем устанавливается соответствующий линейный масштаб.
После этого он воспроизводится посредством геометрической арифметики.
Далее строится ребро нового куба.
И наконец, проверяется соответствие полученного объёма установленной цели.
Именно такая организация превращает отдельную задачу удвоения куба в частный случай универсального пространственного масштабирования.
7. Почему удвоению объёма не соответствует удвоение ребра
Рассмотрим наиболее очевидную попытку пространственного увеличения.
Предположим, что исходный куб имеет ребро длиной десять сантиметров.
Если увеличить каждое ребро до двадцати сантиметров, все линейные размеры удвоятся.
Но объём нового куба составит восемь тысяч кубических сантиметров.
Первоначальный объём равнялся одной тысяче.
Следовательно, объём увеличится в восемь раз.
Между тем поставленная задача требует получения двух тысяч кубических сантиметров.
Таким образом, необходимый масштабный коэффициент должен быть существенно меньше двух.
Именно его определение составляет центральную математическую задачу удвоения куба.
8. Точный математический коэффициент удвоения куба
Если радиус или сторона исходной фигуры при преобразовании площади связаны с квадратным корнем определённого числового отношения, то для преобразования объёма куба необходим кубический корень.
При удвоении объёма соответствующий масштабный коэффициент определяется положительным кубическим корнем из двух.
Его числовое значение приблизительно составляет 1,259921049894873.
Следовательно, новое ребро должно быть примерно в 1,259921 раза длиннее первоначального.
Именно этот коэффициент представляет математическую основу рассматриваемой задачи.
Однако для разработки конструктивной технологии необходимо не только знать его числовое значение.
Требуется установить способ геометрического воспроизведения с необходимой и достаточной точностью.
9. Исторические основания задачи удвоения куба
Удвоение куба известно также как делосская задача.
В античной математике оно стало предметом многочисленных исследований.
Особое значение имело сведение задачи к построению двух средних пропорциональных величин.
Это направление традиционно связывается с Гиппократом Хиосским.
В дальнейшем к проблеме обращались другие античные геометры, включая Менехма и Эратосфена.
Разрабатывались различные конструктивные способы, использовавшие геометрические отношения, специальные кривые и механические приспособления.
Таким образом, задача удвоения куба стала одним из важнейших источников развития теории геометрических построений.
Для настоящего исследования особенно важно, что уже в античности была установлена непосредственная связь между объёмом куба и необходимыми пропорциональными отрезками.
10. Классическая точная построимость и приближённая технология
В XIX веке развитие алгебраической теории геометрических построений позволило строго установить ограничения классического инструментария.
В частности, Пьер Ванцель в 1837 году доказал невозможность точного удвоения произвольного куба посредством одной лишь немаркированной линейки и циркуля.
Однако задача построения нового куба с заранее установленной положительной погрешностью объёма имеет другую математическую постановку.
Для неё можно использовать рациональные приближения необходимого масштабного коэффициента.
Каждое такое приближение может быть воспроизведено конечной последовательностью допустимых операций над отрезками.
Таким образом, возникает математически определённая технология приближённого удвоения объёма.
Именно она составляет один из основных предметов настоящей главы.
11. От кубического корня — к рациональному масштабному коэффициенту
Рассмотрим необходимый коэффициент удвоения куба.
Его десятичная запись начинается с 1,2599210498.
Теперь выберем конечное рациональное приближение.
Например, 1,26.
Или 1,2599.
Или 1,259921.
Каждое из этих чисел может быть представлено посредством определённого отношения натуральных чисел.
Следовательно, каждое допускает точное геометрическое воспроизведение относительно выбранной единицы длины.
Но соответствующие кубы будут обладать различной точностью объёма.
Таким образом, возникает возможность последовательного выбора рационального коэффициента в зависимости от требований поставленной задачи.
12. Рациональные границы искомого коэффициента
Для строгого контроля точности особенно удобно использовать две рациональные границы.
Первая располагается ниже необходимого кубического корня.
Вторая — выше.
Например, можно установить, что искомый коэффициент находится между 1,259921 и 1,259922.
Для этого достаточно сравнить кубы соответствующих рациональных чисел с числом два.
Куб нижней границы составляет 1,999999762390486961.
Куб верхней — 2,000004524597045448.
Следовательно, необходимая величина действительно располагается внутри установленного интервала.
Субрисунок 5. Рациональные границы положительного кубического корня из двух.
Таким образом, числовое приближение сопровождается строгим математическим обоснованием.
13. Почему рациональные границы особенно важны
В обычных вычислениях часто используется округлённое значение искомого числа.
Однако для научно обоснованного геометрического построения важно знать не только само приближение.
Необходимо также иметь оценку его ошибки.
Именно эту возможность предоставляют рациональные границы.
Если необходимый коэффициент заключён между двумя известными рациональными числами, можно построить оба соответствующих отрезка.
После этого возникает интервал, содержащий математически точную искомую длину.
Следовательно, отклонение выбранного приближения можно оценивать независимо от непосредственного знания полного десятичного представления кубического корня.
Так числовое приближение превращается в проверяемое геометрическое построение.
14. Последовательное сужение числового интервала
Рассмотрим общую технологию уточнения.
Предположим, что первоначально известно только расположение необходимого коэффициента между единицей и двумя.
Теперь разделим этот интервал на десять равных частей.
Сравнение кубов соответствующих рациональных границ позволяет установить, что искомая величина находится между 1,2 и 1,3.
После нового деления выбранного интервала определим более узкие границы.
Они составят 1,25 и 1,26.
Следующий этап позволит получить интервал от 1,259 до 1,260.
Затем — от 1,2599 до 1,2600.
Таким образом, последовательная полисекция обеспечивает управляемое уменьшение рабочего интервала.
Субрисунок 6. Последовательное сужение рационального интервала, содержащего масштабный коэффициент.
15. Десятичная полисекция как геометрический алгоритм уточнения
Теперь рассмотрим непосредственную конструктивную сторону.
Пусть на некоторой прямой построен рабочий отрезок, соответствующий известному числовому интервалу.
Разделим его на десять равных частей.
Для этого можно использовать универсальную технологию полисекции, исследованную в первых двух главах.
После получения десяти суботрезков необходимо выбрать тот, который содержит искомый коэффициент.
Затем этот суботрезок вновь разделяется на десять.
И процедура повторяется.
Таким образом, числовое уточнение получает непосредственную геометрическую форму.
Каждый этап представляет конечное построение.
А каждый новый рабочий отрезок оказывается в десять раз короче предыдущего.
Субрисунок 7. Десятичная полисекция вспомогательного отрезка при уточнении масштабного коэффициента.
16. Бисекция как альтернативный алгоритм
Последовательное десятичное деление представляет не единственную возможность.
Можно использовать также повторную бисекцию.
Первоначально задаётся рациональный интервал, содержащий искомую величину.
Затем строится его середина.
Куб соответствующего рационального значения сравнивается с необходимым коэффициентом изменения объёма.
В зависимости от результата сохраняется левая или правая половина интервала.
После этого процедура повторяется.
При каждом новом этапе ширина рабочего интервала уменьшается вдвое.
Следовательно, возникает математически определённая последовательность вложенных интервалов.
Такой алгоритм может применяться к широкому классу задач построения кубических корней положительных рациональных чисел.
17. Общее доказательство сходимости уточнений
Рассмотрим математические свойства последовательного деления.
Пусть первоначально имеется положительный интервал, содержащий необходимый коэффициент.
Если каждый следующий интервал получается посредством бисекции и сохраняет искомую величину, его длина составляет половину предыдущей.
Следовательно, после достаточно большого конечного количества этапов ширина интервала станет меньше любого заранее установленного положительного допуска.
Аналогичное положение выполняется при последовательной десятичной полисекции.
В этом случае уменьшение происходит в десять раз после каждого этапа.
Таким образом, оба алгоритма допускают эффективное управление точностью.
При этом необходимо сохранять математически обоснованный выбор интервала, содержащего целевую величину.
18. Проверка границ посредством кубирования
Особое значение имеет возможность точного сравнения рациональных кандидатов.
Если задано рациональное отношение объёмов, достаточно рассмотреть куб рационального масштабного коэффициента.
Полученная величина также будет рациональной.
Следовательно, её можно сравнить с заданным рациональным коэффициентом объёма посредством конечных арифметических операций.
Если куб выбранного коэффициента меньше необходимого отношения, соответствующая длина является нижним приближением.
Если больше — верхним.
Если совпадает, задача решена точно для данного коэффициента.
Таким образом, последовательное уточнение опирается не на визуальную оценку расстояний.
А на строгую арифметическую проверку рациональных величин.
19. Выбор конечного рационального приближения
Теперь предположим, что необходимая точность уже установлена.
Возникает задача выбора конкретного коэффициента.
Можно использовать нижнюю границу.
Верхнюю.
Или определённое рациональное значение между ними.
Особенно удобно выбирать середину интервала, если это согласуется с установленным критерием погрешности.
Однако для контроля объёма необходимо учитывать третью степень получаемого ребра.
Поэтому после выбора рационального коэффициента следует оценить объём соответствующего куба.
Именно эта проверка определяет, достаточно ли полученное приближение для конкретной задачи.
20. Конечность воспроизведения рационального коэффициента
Предположим, что выбран коэффициент 1,25992105.
Он имеет конечную десятичную запись.
Следовательно, его можно представить как определённое отношение двух натуральных чисел.
Это означает, что соответствующую длину можно построить посредством конечной последовательности операций.
Например, используя последовательные десятичные полисекции единичного отрезка.
После этого необходимые доли объединяются посредством геометрического сложения.
В результате возникает отрезок, длина которого составляет 1,25992105 выбранной единицы.
Таким образом, рациональное приближение математически точно воспроизводится в системе геометрической арифметики.
21. Преимущество последовательной организации полисекции
Для получения очень точного рационального коэффициента можно было бы попытаться непосредственно разделить единичный отрезок на огромное количество равных частей.
Однако такая организация не всегда рациональна.
Существует другая возможность.
Первоначально получить десятые доли.
Затем сотые.
После этого тысячные.
И последовательно переходить к необходимым десятичным разрядам.
Таким образом, требуемая величина воспроизводится посредством нескольких согласованных этапов полисекции.
Особенно важно, что соответствующие вспомогательные шкалы могут использоваться повторно.
Это позволяет исследовать способы уменьшения конструктивной трудоёмкости.
22. Перенос масштабного коэффициента посредством подобных треугольников
Теперь необходимо перейти от построенного рационального коэффициента к реальному ребру нового куба.
Для этого используется система подобных треугольников с общей вершиной.
Выберем на плоскости точку О.
Из неё проведём два различных луча.
На первом отложим единичную длину и выбранный масштабный коэффициент.
На втором — длину ребра исходного куба.
Затем выполним соответствующее соединительное и параллельное построение.
В результате получим новый отрезок.
Его длина находится к исходному ребру в отношении построенного рационального коэффициента к единице.
Субрисунок 8. Геометрический перенос масштабного коэффициента посредством подобных треугольников.
23. Подробный алгоритм пропорционального масштабирования ребра
Рассмотрим последовательность действий.
Первое.
Зададим исходное ребро куба как определённый положительный отрезок.
Второе.
Выберем единичную длину.
Третье.
Посредством полисекции и сложения построим рациональный масштабный коэффициент.
Четвёртое.
Из общей вершины проведём два вспомогательных луча.
Пятое.
На первом расположим единичную длину и коэффициент.
Шестое.
На втором воспроизведём исходное ребро.
Седьмое.
Соединим конечную точку единичного отрезка с конечной точкой исходного ребра.
Восьмое.
Через точку масштабного коэффициента проведём прямую, параллельную полученной соединительной стороне.
Девятое.
Определим точку пересечения этой прямой со вторым лучом.
Полученный отрезок представляет искомое новое ребро куба.
24. Математическое доказательство правильности масштабирования
Рассмотрим образовавшиеся треугольники.
Они имеют общую вершину.
Соответствующие стороны располагаются на одних и тех же лучах.
А соединительные стороны параллельны.
Следовательно, треугольники подобны.
Поэтому отношение соответствующих сторон одинаково.
В частности, отношение нового ребра к первоначальному совпадает с отношением построенного рационального коэффициента к выбранной единице.
Таким образом, геометрическая правильность масштабирования непосредственно следует из подобия треугольников.
Если рациональный коэффициент построен математически точно, результирующее ребро также имеет точно определённую длину относительно исходного отрезка.
25. Симметричная система вспомогательных лучей
Особый интерес представляет возможность использования двух согласованных семейств подобных треугольников.
Из общей вершины можно провести центральный опорный луч.
А также два дополнительных луча, расположенных по разные стороны центральной оси.
На центральном луче располагаются единица и выбранный масштабный коэффициент.
На верхнем вспомогательном луче можно воспроизводить первую исходную длину.
На нижнем — другую.
После выполнения соответствующих параллельных построений возникают два масштабированных отрезка.
Таким образом, одна опорная система может использоваться для нескольких последовательных операций.
Субрисунок 9. Симметричная двухлучевая организация пропорционального масштабирования.
26. Значение симметричной организации для пространственных задач
При построении пространственных тел нередко требуется воспроизводить несколько взаимосвязанных линейных размеров.
Например, длину.
Ширину.
И высоту.
Если эти величины должны изменяться в одном и том же отношении, возникает возможность использовать общую вспомогательную систему масштабирования.
Сначала строится необходимый коэффициент.
После этого он применяется к каждой исходной длине.
В результате возникает согласованная система линейных размеров.
Таким образом, геометрическая арифметика позволяет подготовить необходимые пространственные характеристики ещё на этапе плоского чертежа.
27. От построенного ребра — к новому кубу
Теперь рассмотрим следующий конструктивный этап.
Пусть необходимое ребро нового куба уже построено.
Для получения соответствующего пространственного тела необходимо обеспечить правильную кубическую форму.
Прежде всего строится квадрат, сторона которого равна полученному ребру.
Затем соответствующий размер воспроизводится в третьем взаимно перпендикулярном направлении.
Таким образом, возникают три равные попарно перпендикулярные пространственные измерения.
После завершения конструкции образуется куб.
При этом его геометрическая форма определяется соответствующими условиями равенства рёбер и прямоугольности граней.
А объём — третьей степенью построенного ребра.
28. Различие плоского чертежа и пространственного построения
На данном этапе необходимо уточнить технологическую организацию.
Плоский чертёж куба представляет его геометрическое изображение.
Но само пространственное тело существует в трёхмерном евклидовом пространстве.
Поэтому воспроизведение длины ребра циркулем и линейкой ещё не означает физического изготовления нового куба.
Для такого изготовления требуется соответствующая пространственная технология.
Однако математическая задача определения необходимого ребра имеет самостоятельное значение.
И именно эта линейная величина может быть построена посредством разработанной геометрической арифметики.
Таким образом, плоское построение необходимого ребра служит исходным этапом более общей пространственной конструктивной процедуры.
29. Основной числовой пример удвоения куба
Рассмотрим уже использованный во втором томе пример.
Пусть исходный куб имеет ребро длиной десять сантиметров.
Его объём составляет одну тысячу кубических сантиметров.
Необходимо построить другой куб объёмом две тысячи кубических сантиметров.
Искомое ребро должно быть приблизительно равно 12,5992104989 сантиметра.
Теперь выберем сравнительно простое рациональное приближение — 12,6 сантиметра.
Такую длину легко воспроизвести посредством геометрической арифметики.
Следовательно, возникает конкретный новый куб.
Его объём можно определить арифметически.
30. Проверка объёма куба с ребром 12,6 сантиметра
Если ребро нового куба составляет 12,6 сантиметра, его объём равен 2000,376 кубического сантиметра.
Необходимая величина составляет ровно 2000 кубических сантиметров.
Следовательно, абсолютное отклонение составляет 0,376 кубического сантиметра.
Относительное отклонение от требуемого объёма равно 0,0188 процента.
Таким образом, сравнительно простое рациональное приближение обеспечивает вполне определённую математическую точность.
Оно может быть достаточным для одних задач.
Но для других может потребоваться дополнительное уточнение.
Именно поэтому необходимо заранее устанавливать допустимую погрешность объёма.
31. Первое существенное повышение точности
Теперь рассмотрим более точное приближение.
Пусть новое ребро составляет 12,5992 сантиметра.
Его объём будет равен 1999,995000191488 кубического сантиметра.
Следовательно, абсолютное отклонение от необходимого объёма составляет приблизительно 0,004999809 кубического сантиметра.
Таким образом, уточнение длины ребра позволяет уменьшить объёмную погрешность.
Особенно важно, что соответствующая новая длина также имеет конечную десятичную запись.
Следовательно, она может быть воспроизведена посредством конечной последовательности полисекции и геометрического сложения.
32. Следующий этап уточнения
Теперь выберем ребро длиной 12,59921 сантиметра.
Соответствующий объём составляет 1999,999762390486961 кубического сантиметра.
Абсолютное отклонение от двух тысяч составляет приблизительно 0,000237609513 кубического сантиметра.
Таким образом, точность объёма существенно повышается.
При этом необходимое ребро всё ещё представляет рациональную десятичную величину.
Следовательно, его геометрическое воспроизведение остаётся конечным построением.
Так возникает возможность последовательного управления точностью результата.
33. Особо точное рациональное приближение
Рассмотрим ещё более точный вариант.
Выберем ребро длиной 12,5992105 сантиметра.
Соответствующий объём составляет приблизительно 2000,000000500635347 кубического сантиметра.
Следовательно, отклонение от требуемых двух тысяч составляет приблизительно 0,000000500635347 кубического сантиметра.
Таким образом, выбранное рациональное ребро обеспечивает чрезвычайно малую математическую погрешность объёма.
При этом важно помнить, что речь идёт о точности идеального геометрического построения.
Фактическое изготовление куба такого размера требует самостоятельного технологического контроля.
34. Сравнительная таблица последовательных приближений
Сопоставим рассмотренные варианты.
Ребро нового куба, см Полученный объём, см; Абсолютное отклонение, см;
12,6 2000,376000 0,376000
12,5992 1999,995000 0,005000
12,59921 1999,999762 0,000238
12,5992105 2000,0000005 0,0000005
Значения в таблице округлены для удобства чтения.
Точные десятичные вычисления использованы при оценке соответствующих ошибок.
Таким образом, последовательное уточнение ребра обеспечивает возможность выбора необходимой математической точности результирующего объёма.
35. Двустороннее ограничение искомого ребра
Особенно удобным является использование двух рациональных границ.
Рассмотрим нижнюю длину 12,599210 сантиметра.
И верхнюю — 12,599211 сантиметра.
Объём куба с нижним ребром составляет 1999,999762390486961 кубического сантиметра.
Объём куба с верхним ребром составляет 2000,000238610802631 кубического сантиметра.
Следовательно, необходимый объём двух тысяч располагается строго между этими значениями.
Таким образом, искомое математически точное ребро находится внутри установленного рационального интервала.
Субрисунок 11. Нижняя и верхняя рациональные границы ребра нового куба с контролем объёма.
36. Гарантированная оценка ошибки посредством границ
Рассмотренный интервал позволяет организовать строгий контроль точности.
Пусть построена любая рациональная длина, находящаяся между установленными нижней и верхней границами.
Поскольку объём куба монотонно увеличивается вместе с положительной длиной ребра, полученный объём также будет находиться между соответствующими нижним и верхним значениями.
Следовательно, можно установить максимальное возможное отклонение результата от целевого объёма.
Для более точной оценки достаточно вычислить объём конкретного выбранного ребра.
Таким образом, математическая точность перестаёт быть исключительно предположительной характеристикой.
Она становится следствием определённых числовых границ.
37. Критерий завершения алгоритма удвоения куба
Теперь сформулируем основное правило.
Пусть заранее установлен допустимый абсолютный объёмный допуск.
После каждого уточнения рационального масштабного коэффициента необходимо определить объём соответствующего куба.
Затем сравнить его с целевым значением.
Если абсолютное отклонение не превышает установленный допуск, математическая часть алгоритма может быть завершена.
Если требование не выполнено, выполняется очередной этап уточнения.
Таким образом, процедура приобретает определённое условие остановки.
Именно это обстоятельство связывает удвоение куба с принципом необходимой и достаточной точности.
38. Абсолютная погрешность объёма
Рассмотрим понятие абсолютной погрешности подробнее.
Она представляет разность между фактически полученным и необходимым объёмами, взятую по абсолютной величине.
Для рассматриваемой задачи соответствующая величина выражается в кубических сантиметрах.
Или в других кубических единицах, согласованных с исходными данными.
Например, если установлен допуск в одну сотую кубического сантиметра, приближение с ребром 12,5992 сантиметра математически удовлетворяет соответствующему требованию.
Если же допуск составляет одну тысячную кубического сантиметра, потребуется более точный вариант.
Таким образом, абсолютная погрешность непосредственно определяет допустимый результат.
39. Относительная погрешность объёма
Однако для сравнения задач различных масштабов может оказаться удобнее относительная погрешность.
Она характеризует отклонение результата по отношению к необходимому объёму.
Например, при использовании ребра 12,6 сантиметра относительное превышение целевого объёма составляет 0,0188 процента.
Такая характеристика позволяет оценивать результат независимо от выбранной системы единиц.
Особенно важным это становится при переходе от небольших лабораторных объектов к крупным пространственным конструкциям.
Таким образом, абсолютная и относительная погрешности представляют взаимодополняющие критерии точности геометрической мультипликации.
40. Почему точность ребра не равна точности объёма
Рассмотрим принципиальную математическую закономерность.
Объём куба зависит от третьей степени ребра.
Следовательно, погрешность ребра влияет на объём нелинейно.
При небольших относительных отклонениях линейного размера относительное изменение объёма приблизительно втрое больше соответствующего относительного изменения ребра.
Однако для строгих оценок необходимо использовать точную кубическую зависимость.
Именно поэтому нельзя ограничиваться исключительно проверкой длины результирующего ребра.
Если цель задачи заключается в достижении заданного объёма, основным критерием становится отклонение объёма.
Это обстоятельство имеет фундаментальное значение для всей программы пространственной мультипликации.
41. Математическая и технологическая точность
Теперь необходимо разграничить два уровня.
Первый — математическая точность.
Она определяется отклонением построенного рационального коэффициента от необходимой величины.
Второй — технологическая точность.
Она связана с физическим изготовлением результирующего куба.
Например, математически можно выбрать ребро 12,5992105 сантиметра.
Но его фактическое воспроизведение в материальном объекте требует соответствующей измерительной и производственной точности.
Если технологические отклонения превышают математическую погрешность приближения, дальнейшее увеличение количества десятичных знаков может не приводить к улучшению реального результата.
Таким образом, общая точность должна определяться совместно с характеристиками инструментария.
42. Распределение допустимой погрешности
Для практического применения целесообразно разделять допустимую суммарную погрешность на несколько составляющих.
Первая — погрешность числового приближения масштабного коэффициента.
Вторая — погрешность воспроизведения необходимого ребра.
Третья — отклонения остальных рёбер от установленной длины.
Четвёртая — отклонения углов и граней от правильной кубической формы.
И наконец, возможные особенности материала и технологии изготовления.
Таким образом, контроль результирующего объёма представляет комплексную задачу.
При этом принцип необходимой и достаточной точности требует учитывать именно те отклонения, которые существенно влияют на выполнение установленной цели.
43. Произвольная положительная мультипликация объёма
Теперь перейдём от удвоения куба к более общей постановке.
Пусть задан исходный куб.
Необходимо построить новый куб, объём которого в заранее установленное положительное количество раз отличается от первоначального.
Например, требуется увеличить объём втрое.
В пять раз.
В десять.
Или уменьшить его вдвое.
Для каждого такого отношения существует определённый положительный линейный масштаб.
Он представляет кубический корень из соответствующего коэффициента изменения объёма.
Таким образом, задача произвольной положительной мультипликации кубических объёмов сводится к тому же классу конструктивных операций, что и удвоение куба.
44. Общий алгоритм произвольной мультипликации
Сформулируем последовательность.
Первоначально определяется исходный объём.
Затем устанавливается положительный коэффициент требуемого изменения.
После этого определяется соответствующий линейный масштаб.
Если он допускает точное построение в выбранном инструментарии, можно использовать соответствующую конечную конструкцию.
Если же рассматривается приближённая постановка, выбирается рациональное приближение масштабного коэффициента.
Затем он воспроизводится посредством полисекции и пропорциональных построений.
Полученная длина используется как ребро нового куба.
После чего контролируется соответствие объёма поставленной задаче.
Таким образом, возникает универсальный алгоритм мультипликации кубических объёмов.
45. Уменьшение объёма вдвое
Рассмотрим первый обобщённый пример.
Пусть необходимо построить куб, объём которого составляет половину исходного.
Для этого требуется определить положительный кубический корень из одной второй.
Его числовое значение приблизительно составляет 0,793700525984.
Следовательно, новое ребро должно быть короче первоначального.
Но не вдвое.
Именно этот масштабный коэффициент необходимо воспроизвести посредством геометрической арифметики.
После этого полученное ребро используется для построения нового куба.
Таким образом, универсальная мультипликация включает не только увеличение, но и уменьшение положительных объёмов.
46. Утроение объёма куба
Следующий пример — утроение.
Пусть необходимо получить один новый куб, объём которого втрое превышает первоначальный.
Соответствующий линейный коэффициент приблизительно составляет 1,442249570307.
Следовательно, новое ребро должно быть примерно в 1,44225 раза длиннее исходного.
Выбрав необходимую точность, можно определить соответствующее рациональное приближение.
Затем воспроизвести его посредством полисекции.
После этого выполнить пропорциональное масштабирование исходного ребра.
И построить результирующий куб.
Таким образом, утроение объёма представляет ту же универсальную конструктивную задачу, но с другим числовым коэффициентом.
47. Пятикратное увеличение объёма
Рассмотрим увеличение объёма в пять раз.
Необходимый линейный масштаб приблизительно составляет 1,709975946677.
Следовательно, результирующее ребро должно превышать первоначальное примерно в 1,70998 раза.
Для воспроизведения такого коэффициента может использоваться последовательная десятичная полисекция.
Или иной алгоритм рационального приближения кубического корня.
После этого выполняется уже известное пропорциональное построение.
Таким образом, изменение объёмного коэффициента не требует разработки нового фундаментального геометрического принципа.
Изменяется числовое задание.
Но сохраняется основная конструктивная технология.
48. Десятикратное увеличение объёма
Теперь рассмотрим более крупное преобразование.
Пусть новый куб должен иметь объём, в десять раз превышающий первоначальный.
Необходимый коэффициент изменения ребра приблизительно составляет 2,154434690032.
Следовательно, каждое ребро нового куба будет немного более чем вдвое длиннее исходного.
Однако объём увеличится в десять раз.
Таким образом, десятикратная мультипликация объёма вновь демонстрирует необходимость правильного учёта кубической зависимости.
Соответствующий масштабный коэффициент может воспроизводиться посредством той же системы геометрической арифметики.
49. Особые случаи точного масштабирования
Теперь рассмотрим некоторые случаи, обладающие особенно простой конструктивной организацией.
Предположим, что необходимо увеличить объём куба в восемь раз.
Для этого достаточно удвоить длину его ребра.
Следовательно, соответствующий масштабный коэффициент равен двум.
А такое увеличение легко выполняется посредством обычного геометрического сложения.
Аналогичным образом увеличение объёма в двадцать семь раз достигается трёхкратным увеличением ребра.
Таким образом, существуют объёмные коэффициенты, для которых необходимый линейный масштаб представляет простое рациональное число.
В таких случаях соответствующее геометрическое построение может быть точным в классическом инструментарии.
50. Произвольные рациональные объёмные отношения
Рассмотрим общий случай.
Пусть требуется получить куб, объём которого отличается от исходного в определённое положительное рациональное число раз.
Для построения необходимого линейного коэффициента можно использовать последовательное уточнение кубического корня.
Если искомый коэффициент имеет рациональное значение, соответствующая длина может быть построена точно посредством геометрической арифметики.
Если же такой коэффициент не допускает точного построения выбранным инструментарием, возможно использовать последовательность рациональных приближений.
В обоих случаях необходимо правильно установить исходное объёмное отношение.
И определить математический критерий результата.
Таким образом, универсальная технология охватывает широкий класс положительных рациональных объёмных преобразований.
51. Последовательная мультипликация объёмов
Теперь рассмотрим комбинацию нескольких преобразований.
Предположим, что исходный куб первоначально увеличивается по объёму в два раза.
После этого полученный результат должен быть увеличен ещё втрое.
В итоге объём нового куба будет в шесть раз превышать первоначальный.
Такую задачу можно решать последовательно.
Сначала определить коэффициент для удвоения объёма.
Затем коэффициент для утроения.
И применить их один за другим.
Но существует и другая возможность.
Предварительно определить общий объёмный коэффициент шесть.
Затем построить соответствующий кубический корень.
И выполнить одно итоговое масштабирование.
Таким образом, одна задача может допускать несколько конструктивных организаций.
52. Сочетательность пространственного масштабирования
Рассмотренный пример показывает важное математическое свойство.
Если пространственное тело последовательно масштабируется посредством нескольких положительных линейных коэффициентов, результирующий линейный масштаб определяется их произведением.
А результирующий объёмный коэффициент равен произведению соответствующих объёмных коэффициентов.
Следовательно, последовательность пространственных преобразований может рассматриваться как единая составная операция.
Это обстоятельство особенно интересно для дальнейшего развития универсальной геометрической арифметики.
Оно позволяет объединять отдельные масштабирования в более общие конструктивные алгоритмы.
53. Геометрическое деление объёмов
Наряду с мультипликацией можно рассмотреть обратную операцию.
Пусть известны исходный и результирующий объёмы.
Необходимо определить, во сколько раз они различаются.
После этого возникает возможность восстановления соответствующего линейного масштабного коэффициента.
Например, если объём некоторого куба в восемь раз превышает объём другого подобного куба, отношение их рёбер равно двум.
В более общем случае соответствующее отношение определяется положительным кубическим корнем из объёмного коэффициента.
Таким образом, геометрическое деление объёмов непосредственно связано с обратными пространственными масштабными преобразованиями.
54. Переход от кубов к произвольным подобным телам
До сих пор основным объектом исследования являлся куб.
Но полученные математические закономерности применимы к значительно более широкому классу пространственных тел.
Предположим, что имеется некоторое тело определённого положительного объёма.
Теперь все его линейные размеры изменяются в одном и том же положительном отношении.
В результате получается подобное пространственное тело.
Его объём изменяется пропорционально кубу линейного масштабного коэффициента.
Таким образом, общий принцип мультипликации объёмов применим не только к кубам.
Но и к другим пространственным телам, если преобразование сохраняет подобие.
Субрисунок 10. Несколько подобных кубов с различными объёмами.
55. Масштабирование прямоугольного параллелепипеда
Рассмотрим прямоугольный параллелепипед.
Он обладает тремя взаимно перпендикулярными измерениями.
Длиной.
Шириной.
И высотой.
Если все три размера увеличиваются в одинаковое количество раз, образуется подобный параллелепипед.
Его объём изменяется по кубическому закону.
Но если изменяется только один размер, математическая зависимость становится другой.
Например, при неизменных длине и ширине удвоение высоты приводит к удвоению объёма.
Таким образом, универсальная мультипликация должна различать подобное масштабирование тела и изменение отдельных его размеров.
56. Прямоугольные параллелепипеды и независимые масштабные коэффициенты
Теперь рассмотрим ещё более общую ситуацию.
Пусть длина параллелепипеда изменяется в одном отношении.
Ширина — в другом.
А высота — в третьем.
Тогда результирующий объём определяется произведением трёх соответствующих линейных коэффициентов.
Таким образом, пространственное преобразование может быть организовано не только посредством единого масштаба.
Но и посредством нескольких независимых линейных операций.
Это обстоятельство расширяет возможности геометрической арифметики.
Ведь соответствующие коэффициенты могут воспроизводиться посредством уже разработанных технологий полисекции, умножения и деления отрезков.
57. Мультипликация объёмов цилиндров, конусов и шаров
Аналогичные закономерности могут рассматриваться и для других пространственных тел.
Например, для цилиндра объём зависит от площади основания и высоты.
При одновременном пропорциональном масштабировании радиуса основания и высоты объём изменяется по кубическому закону.
Для конуса соответствующее положение также сохраняется при подобном масштабировании.
Для шара объём определяется третьей степенью его радиуса.
Следовательно, при увеличении радиуса в определённое количество раз объём шара увеличивается в кубе этого коэффициента.
Таким образом, общая технология пространственной мультипликации может быть распространена на различные классы геометрических тел.
58. Универсальная геометрическая арифметика пространственных величин
Рассмотренные результаты позволяют представить более общую систему.
Первоначально задаётся пространственный объект.
Затем определяются его основные линейные характеристики.
После этого устанавливается необходимое изменение площади, объёма или других метрических величин.
Далее вычисляются соответствующие линейные масштабные коэффициенты.
И воспроизводятся посредством геометрической арифметики.
Таким образом, объект определённой пространственной формы становится исходной основой нового конструктивного преобразования.
При этом каждая операция сопровождается математическим обоснованием.
И контролем необходимой точности.
59. Повторное использование масштабных коэффициентов
Особое значение для конструктивной эффективности имеет возможность повторного использования уже построенных геометрических величин.
Например, предположим, что необходимо изготовить несколько различных кубов, каждый из которых должен обладать вдвое большим объёмом по отношению к своему исходному образцу.
Для всех таких задач используется один и тот же линейный масштабный коэффициент.
Следовательно, соответствующая вспомогательная система может быть подготовлена заранее.
После этого она применяется к различным исходным рёбрам.
Таким образом, одна система подобных треугольников становится средством выполнения нескольких последовательных пространственных преобразований.
60. Конструктивная эффективность мультипликации объёмов
Теперь необходимо рассмотреть вопрос о рациональности различных алгоритмов.
Например, можно непосредственно использовать одно достаточно точное рациональное приближение кубического корня.
А можно организовать последовательное уточнение посредством полисекции.
Можно использовать отдельные вспомогательные построения для каждого пространственного объекта.
Или создать общую масштабную систему.
Можно выполнять последовательные преобразования.
Или предварительно объединять необходимые коэффициенты.
Таким образом, возникает возможность сравнительного исследования.
При этом учитываются количество операций, точность, удобство воспроизведения и возможность многократного применения результатов.
Именно такой анализ позволяет перейти от математической правильности к технологической эффективности.
61. Принцип необходимой и достаточной точности для пространственных тел
Рассмотрим главный методологический вывод настоящей главы.
Если целью является получение заданного объёма, необходимо прежде всего установить допустимое отклонение именно объёма.
Затем выбрать соответствующий масштабный коэффициент.
После этого построить результирующую фигуру.
И проверить выполнение установленного критерия.
Если необходимая точность достигнута, дальнейшее уточнение не представляет обязательного условия завершения задачи.
Если же заданный допуск не соблюдён, выполняется следующий этап.
Таким образом, принцип необходимой и достаточной точности приобретает непосредственное применение к пространственной геометрии.
И становится основой управляемой мультипликации объёмов.
62. Царский путь в геометрической мультипликации
Проблема выбора наиболее рационального алгоритма непосредственно связана с авторской концепцией Царского пути.
В рамках настоящей главы она предполагает поиск конструктивной технологии, обеспечивающей установленный объём с необходимой точностью и рациональными затратами.
Особенно важно правильно определять критерий оптимальности.
Он может включать математическую точность.
Количество геометрических операций.
Необходимую степень числового уточнения.
Возможность повторного использования построенных коэффициентов.
Технологическую устойчивость.
И сложность физического изготовления результата.
Таким образом, Царский путь представляет общий принцип организации не только линейных и плоскостных, но также пространственных геометрических преобразований.
63. Когнитивный и генеративный потенциал универсальной мультипликации
Теперь становится особенно отчётливым более общее значение разработанной системы.
В первых главах мы научились получать равные части отрезков.
Затем объединять и вычитать линейные величины.
После этого выполнять масштабирование.
Далее воспроизводить необходимые числовые коэффициенты с заранее установленной точностью.
На этой основе стали возможны конструктивные преобразования площадей.
И наконец — объёмов.
Таким образом, одна система геометрической арифметики начинает охватывать несколько уровней размерности.
Её когнитивное значение заключается в возможности связывать числовые отношения с непосредственными геометрическими построениями.
А генеративное — в возможности создавать новые объекты посредством последовательного применения ограниченного набора фундаментальных операций.
Именно это обстоятельство представляет одну из центральных особенностей всей конструктивной программы третьего тома.
64. Интегральный атлас пространственной мультипликации
Для настоящей главы подготовлен интегральный геометрический атлас, включающий двенадцать технических субрисунков.
Первый представляет исходный куб.
Второй показывает различие между двумя самостоятельными кубами и одним кубом удвоенного объёма.
Третий иллюстрирует изменение пространственного объекта при линейном масштабировании.
Четвёртый показывает исходное ребро и приблизительное новое ребро.
Пятый — рациональные границы необходимого кубического корня.
Шестой — последовательное сужение числового интервала.
Седьмой — десятичную полисекцию, позволяющую уточнять масштабный коэффициент.
Восьмой — перенос соответствующего масштаба посредством подобных треугольников.
Девятый — симметричную организацию двух вспомогательных семейств подобных треугольников.
Десятый — кубы, объёмы которых относятся как один, два и три.
Одиннадцатый — верхнюю и нижнюю границы нового ребра, обеспечивающие контроль целевого объёма.
Двенадцатый — последовательное повышение точности результирующего объёма.
Таким образом, интегральный рисунок объединяет основные конструктивные этапы удвоения куба и универсальной мультипликации пространственных величин.
Рисунок 9.1. Удвоение куба и произвольная мультипликация объёмов. Двенадцать конструктивных схем: от исходного куба и масштабного коэффициента до последовательного уточнения ребра и контроля объёмной погрешности.
65. Основные результаты девятой главы
Подведём итоги проведённого исследования.
Первое. Установлено различие между размножением отдельных кубов и построением одного куба заданного объёма.
Второе. Показана математическая связь между линейным масштабом и объёмом пространственного тела.
Третье. Сформулирована конструктивная задача удвоения куба посредством воспроизведения необходимого масштабного коэффициента.
Четвёртое. Рассмотрена технология последовательного рационального приближения положительного кубического корня.
Пятое. Разработан способ определения нижних и верхних рациональных границ необходимого коэффициента.
Шестое. Исследовано применение последовательной полисекции и бисекции для уточнения этих границ.
Седьмое. Показано геометрическое воспроизведение рационального коэффициента посредством системы подобных треугольников.
Восьмое. На конкретном числовом примере исследовано удвоение объёма куба с исходным ребром десять сантиметров.
Девятое. Установлены числовые значения погрешности для нескольких последовательных рациональных приближений нового ребра.
Десятое. Сформулирован критерий завершения построения по заранее установленному объёмному допуску.
Одиннадцатое. Рассмотрена универсальная мультипликация кубических объёмов на произвольный положительный коэффициент.
Двенадцатое. Исследовано последовательное объединение нескольких объёмных преобразований.
Тринадцатое. Показано распространение общего принципа на другие подобные пространственные тела.
Четырнадцатое. Установлено различие подобного масштабирования и независимого изменения отдельных линейных размеров.
Пятнадцатое. Рассмотрена возможность повторного использования общих вспомогательных масштабных систем.
Шестнадцатое. Сформулированы основные критерии конструктивной эффективности пространственной мультипликации.
Таким образом, в настоящей главе завершено исследование основных арифметических операций и масштабных преобразований третьего тома.
66. Заключение главы. От удвоения куба — к универсальной геометрии пространственных преобразований
Итак, в девятой главе третьего тома мы рассмотрели удвоение куба как фундаментальную задачу преобразования пространственных геометрических величин.
Было показано, что необходимое изменение объёма непосредственно связано с построением определённого линейного масштабного коэффициента.
При удвоении куба таким коэффициентом становится положительный кубический корень из двух.
На этой основе исследована возможность его последовательного рационального приближения.
И геометрического воспроизведения посредством универсальной полисекции и систем подобных треугольников с общей вершиной.
Особое внимание было уделено контролю точности результата.
Ведь при пространственном масштабировании объём изменяется пропорционально третьей степени линейного коэффициента.
Следовательно, математическая погрешность ребра и объёмная погрешность представляют различные величины.
Поэтому главным критерием соответствия поставленной задаче должен становиться именно объём.
Мы рассмотрели конкретный пример куба с исходным ребром десять сантиметров.
Показали, каким образом последовательное уточнение нового ребра позволяет уменьшать отклонение объёма.
И установили возможность использования рациональных границ для строгого контроля результата.
Таким образом, задача приближённого удвоения куба получила определённое конструктивно-арифметическое представление.
Но главное значение рассмотренного исследования не ограничивается одним случаем удвоения.
Было показано, что аналогичная технология может использоваться для произвольной положительной мультипликации кубических объёмов.
И для других пространственных тел при сохранении необходимого геометрического подобия.
Таким образом, отдельная историческая задача включается в более широкую систему универсальных пространственных преобразований.
Особое значение приобретает взаимодействие нескольких конструктивных технологий.
Полисекция позволяет воспроизводить необходимые рациональные доли.
Сложение и вычитание обеспечивают построение составных линейных величин.
Умножение и деление — пропорциональное масштабирование.
Последовательное уточнение — получение числовых коэффициентов с заранее установленной точностью.
А пространственное построение позволяет использовать эти коэффициенты для преобразования объёмов.
От полисекции отрезков — к геометрической арифметике длин.
От арифметики длин — к преобразованию площадей.
От преобразования площадей — к универсальной мультипликации объёмов.
От отдельных пространственных задач — к общей технологии геометрических преобразований.
Именно такая последовательность составляет один из центральных результатов третьего тома «Ультраноочелленджа трёх тысячелетий».
В результате сформирована система взаимосвязанных конструктивных операций.
Её математическая основа определяется свойствами евклидовой геометрии.
Её алгоритмическая основа — конечными воспроизводимыми построениями.
Её метрологическая основа — принципом необходимой и достаточной точности.
А её рациональная организация непосредственно связана с авторской концепцией Царского пути.
Таким образом, третья часть исследования завершает переход от понятийно-методологических оснований гармонической геометрии к конкретным конструктивным технологиям.
Теперь становится возможным сформулировать общие результаты всего третьего тома.
И определить направления дальнейшего развития универсальной геометрической арифметики.
Особое место среди них займёт исследование угловых величин.
Ведь полисекция прямолинейных отрезков и полисекция углов представляют различные классы геометрических задач.
Именно поэтому дальнейшее исследование должно учитывать специфику угловых отношений, дуг, хорд и соответствующих конструктивных алгоритмов.
Так завершается девятая глава третьего тома.
И подготавливается его общее заключение.
От универсальной полисекции — к универсальной геометрической арифметике.
От геометрической арифметики — к преобразованию линейных, плоскостных и пространственных величин.
От отдельных конструктивных методов — к поиску единой рациональной системы геометрических технологий.
От математически определённой цели — к её достижению с необходимой и достаточной точностью.
Основные математические и исторические источники
1. Евклид. «Начала». Книги VI и XI. Геометрические пропорции, подобие фигур и пространственные величины.
2. Античная традиция исследования удвоения куба. Гиппократ Хиосский, Менехм, Эратосфен; построение средних пропорциональных величин и специальные конструктивные методы.
3. Пьер Ванцель. Исследования 1837 года. Алгебраические основания ограничений классической построимости циркулем и немаркированной линейкой.
4. MacTutor History of Mathematics. Doubling the Cube. Историческое исследование развития задачи удвоения куба и известных геометрических методов.
5. В. К. Петросян. «Ультраноочеллендж трёх тысячелетий». Том 1. Историко-математические основания задачи удвоения куба и программа универсальных конструктивных технологий.
6. В. К. Петросян. «Ультраноочеллендж трёх тысячелетий». Том 2. Геометрическая арифметика, мультипликация, потенциальная бесконечность и принцип необходимой и достаточной точности.
++++++++
 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ К ТРЕТЬЕМУ ТОМУ
ОТ УНИВЕРСАЛЬНОЙ ПОЛИСЕКЦИИ ОТРЕЗКОВ — К ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ АРИФМЕТИКЕ, ПРЕОБРАЗОВАНИЮ ПЛОЩАДЕЙ И МУЛЬТИПЛИКАЦИИ ОБЪЁМОВ
1. Завершение третьего тома. От исходного отрезка — к пространственным преобразованиям
Итак, завершён третий том «Ультраноочелленджа трёх тысячелетий».
Позади девять глав, объединённых общей конструктивной программой.
Мы начали с простейшего геометрического объекта — прямолинейного отрезка.
Исследовали его деление на равные части.
Перешли к переносу длин и построению необходимых линейных отношений.
Затем рассмотрели геометрическое сложение, вычитание, умножение и деление.
После этого исследовали последовательное воспроизведение числовых величин с заранее установленной точностью.
И наконец, использовали разработанные технологии для преобразования площадей и объёмов.
Таким образом, предмет исследования последовательно расширялся.
От одномерной геометрической величины — к двумерной.
От двумерной — к трёхмерной.
Но при этом сохранялся общий математический принцип.
Для получения новой геометрической величины необходимо определить требуемое отношение, воспроизвести соответствующие линейные размеры и обеспечить установленный критерий результата.
Именно эта последовательность стала одной из основных конструктивных линий третьего тома.
2. Место третьего тома в восьмитомном исследовании
Для правильного понимания полученных результатов необходимо определить место третьего тома в общей архитектуре произведения.
Первый том был посвящён историко-математическим основаниям великих геометрических задач.
Мы рассмотрели проблему разрешимости и неразрешимости.
Обратились к античным геометрическим вызовам.
Исследовали историческое развитие соответствующих математических представлений.
И поставили вопрос о возможности систематического объединения различных конструктивных технологий.
Второй том был посвящён понятийным и методологическим основаниям гармонической геометрии.
В нём рассматривались геометрическая определённость, ширина, масштаб, математическая и технологическая точность, потенциальная бесконечность, полисекция, мультипликация и другие фундаментальные понятия.
Третий том представлял следующий необходимый этап.
Здесь общая исследовательская программа получила конкретное конструктивное содержание.
От понятий мы перешли к алгоритмам.
От алгоритмов — к доказательствам.
От доказательств — к системам последовательных операций.
И от этих операций — к преобразованию геометрических величин различных размерностей.
Таким образом, третий том занимает связующее место между философско-математическими основаниями исследования и дальнейшей разработкой специализированных геометрических технологий.
3. Девять глав как единая конструктивная последовательность
На первый взгляд отдельные главы третьего тома могут восприниматься как исследования разных геометрических задач.
Однако между ними существует последовательная математическая связь.
Глава Основной конструктивный результат
1 Базовая полисекция посредством подобных треугольников
2 Деление отрезков на произвольное число равных частей
3 Исторические методы и сравнение конструкций
4 Сложение и вычитание длин
5 Умножение, деление и построение пропорций
6 Последовательное уточнение с контролем точности
7 Приближённая квадратура круга
8 Политура и преобразование площадей
9 Удвоение куба и мультипликация объёмов
Каждая последующая группа задач использует математические результаты предыдущих.
Полисекция предоставляет равные части.
Геометрическая арифметика позволяет преобразовывать их.
Последовательное уточнение обеспечивает необходимые рациональные коэффициенты.
Масштабирование переносит соответствующие отношения на новые объекты.
А построение плоских и пространственных фигур позволяет получать заданные площади и объёмы.
Следовательно, перед нами не случайная совокупность геометрических приёмов.
Возникает система взаимосвязанных операций.
4. Геометрическая определённость как исходное условие
Одним из важнейших методологических результатов второго тома стало установление принципа геометрической определённости.
В третьем томе этот принцип получил непосредственное конструктивное применение.
Прежде чем выполнять какую-либо операцию, необходимо определить исходный объект.
Установить его существенные свойства.
Выбрать допустимый инструментарий.
Указать необходимый результат.
И определить критерии его проверки.
Например, при полисекции отрезка требуется равенство длин полученных частей.
При геометрическом сложении — воспроизведение суммы исходных длин.
При квадратуре круга — соответствие площадей.
При мультипликации объёмов — получение установленного отношения объёмов.
Следовательно, разные задачи могут использовать общие конструктивные принципы, но требовать контроля разных геометрических характеристик.
Именно ясное определение сохраняемой или изменяемой величины обеспечивает математическую корректность преобразования.
5. Отрезок как фундаментальный элемент геометрической арифметики
Почему исходным объектом третьего тома стал именно прямолинейный отрезок?
Прежде всего потому, что длина представляет одну из наиболее определённых и доступных геометрических величин.
Отрезок можно переносить.
Делить.
Сравнивать.
Последовательно воспроизводить.
Использовать в пропорциональных построениях.
А также включать в более сложные конструкции.
Но важнее другое.
Длины отрезков позволяют геометрически представлять числовые отношения.
Если выбрана единичная длина, любому положительному отрезку соответствует определённое положительное числовое значение.
И наоборот.
Многие числовые значения могут воспроизводиться посредством доступных геометрических операций.
Таким образом, отрезок выступает своеобразным посредником между арифметическим отношением и пространственным построением.
Именно это свойство делает его фундаментальным элементом рассматриваемой системы.
6. Главный результат первой главы: базовая полисекция
В первой главе была исследована базовая технология полисекции прямолинейного отрезка посредством системы подобных треугольников с общей вершиной.
Её конструктивное содержание определяется несколькими взаимосвязанными действиями.
Первоначально задаётся исходный отрезок.
Из одного его конца проводится вспомогательный луч, не совпадающий с исходной прямой.
На нём последовательно откладываются равные шаги.
Последняя вспомогательная точка соединяется с противоположным концом исходного отрезка.
После этого через остальные вспомогательные точки проводятся соответствующие параллельные прямые.
Их пересечения с исходным отрезком определяют искомые точки деления.
Правильность результата устанавливается посредством подобия треугольников.
Таким образом, в основе базовой технологии лежит строгое классическое геометрическое положение.
Её значение для настоящего исследования заключается в возможности использовать один математический принцип для организации широкого семейства последующих операций.
7. Почему подобие треугольников стало центральным конструктивным принципом
Особое место в третьем томе занимает система подобных треугольников.
Причина заключается в её универсальном математическом содержании.
Подобие позволяет сохранять отношения соответствующих сторон при изменении абсолютных размеров фигур.
Следовательно, оно предоставляет средство воспроизведения заданных пропорций.
В одной задаче этот принцип используется для деления отрезка.
В другой — для переноса определённого отношения.
В третьей — для масштабирования.
В четвёртой — для построения четвёртой пропорциональной величины.
Таким образом, геометрическое подобие выступает общей математической основой нескольких различных конструктивных операций.
При этом особенно удобной оказывается организация построений относительно общей вершины.
Она позволяет объединять соответствующие стороны и направления в согласованную систему.
8. Главный результат второй главы: универсальная полисекция
Во второй главе был осуществлён переход от базовой конструкции к универсальному делению отрезков.
Были рассмотрены бисекция, трисекция, пентасекция, гексасекция и другие разновидности полисекции.
Основной результат заключается в следующем.
Для любого заранее установленного натурального количества частей можно выполнить конечное точное деление произвольного невырожденного прямолинейного отрезка на соответствующее количество равных суботрезков.
При этом фундаментальный принцип построения остаётся неизменным.
Изменяется только количество равных вспомогательных шагов и соответствующих параллельных прямых.
Таким образом, универсальность проявляется в возможности применения одного общего алгоритма к произвольному заданному натуральному количеству частей.
Это обстоятельство представляет важнейшую основу дальнейшей геометрической арифметики.
9. От непосредственной полисекции — к последовательной
Особое значение приобрело исследование двух способов организации полисекции.
Первый — непосредственный.
В нём исходный отрезок делится сразу на установленное количество частей.
Второй — последовательный.
Он предполагает повторное деление ранее полученных суботрезков.
Например, деление на двенадцать равных частей может выполняться непосредственно.
Или посредством первоначальной трисекции с последующим делением каждой трети на четыре части.
В обоих случаях математический результат одинаков.
Однако конструктивная организация различается.
Следовательно, возникает возможность исследования эффективности различных алгоритмов.
Именно здесь полисекция перестаёт быть только задачей построения точек.
Она становится предметом исследования организации геометрической деятельности.
10. Симметричные системы вспомогательных лучей
Одним из перспективных направлений третьего тома стала организация пропорциональных построений посредством нескольких вспомогательных лучей.
Особое внимание было уделено симметричным системам с общей вершиной.
Такая организация позволяет размещать исходные величины на разных направлениях.
Воспроизводить соответствующие пропорции.
И использовать отдельные элементы конструкции при выполнении нескольких операций.
При этом математическая правильность каждой конкретной операции должна устанавливаться самостоятельно.
А действительные преимущества определённого расположения лучей — исследоваться посредством сравнения конструктивных затрат и точности.
Таким образом, симметричные системы представляют интерес прежде всего как возможные организационные платформы для геометрической арифметики.
11. Историческая преемственность конструктивных технологий
В третьей главе мы обратились к историческому наследию.
Особое место заняли построения Евклида и ан-Найризи.
Было рассмотрено деление отрезков посредством равенства и подобия треугольников.
Перенос пропорциональных отношений.
А также двухсторонние построения с противоположно направленными вспомогательными перпендикулярами.
Исторический материал продемонстрировал важное обстоятельство.
Один и тот же математический результат может быть получен посредством различных конструктивных конфигураций.
При этом их пространственная организация, количество действий и возможности повторного использования могут различаться.
Таким образом, история геометрического конструирования становится источником сравнительного технологического исследования.
12. Новизна исследовательской программы и классическое математическое наследие
Для научной определённости необходимо специально подчеркнуть следующее.
Сами свойства подобных треугольников, пропорциональные построения и классическая полисекция отрезков не являются новыми математическими открытиями.
Они принадлежат фундаментальному наследию геометрии.
Но из этого не следует, что все способы организации соответствующих операций уже исчерпаны.
Возможны различные конструктивные конфигурации.
Различные последовательности действий.
Разные способы повторного использования вспомогательных элементов.
И различные технологии объединения нескольких операций в одной системе.
Следовательно, предметом дальнейшего исследования может становиться конструктивная эффективность конкретной организации.
Именно такое разграничение позволяет сохранять математическую строгость и одновременно развивать исследовательскую программу гармонической геометрии.
13. От геометрического деления — к переносу длины
Следующим важным этапом стал переход от полисекции к непосредственным арифметическим операциям.
Прежде всего была рассмотрена технология переноса длины.
Её содержание заключается в построении нового отрезка, равного исходному по длине, но расположенного в заранее выбранной области плоскости.
Такое построение может выполняться посредством циркуля.
И определяется свойством равенства радиусов одной окружности.
Таким образом, становится возможным воспроизводить исходные линейные величины на общей рабочей прямой.
Именно это создаёт основу дальнейшего сложения и вычитания.
14. Геометрическое сложение как объединение длин
В четвёртой главе было показано, что геометрическое сложение положительных длин может выполняться посредством последовательного откладывания соответствующих отрезков на одном луче.
При этом каждый новый суботрезок продолжает предыдущий.
А результирующая длина определяется расстоянием между крайними точками полученной конструкции.
Таким образом, арифметическая операция приобретает непосредственное пространственное представление.
Особенно важно, что соответствующий алгоритм применим к произвольному заранее установленному конечному количеству слагаемых.
Он позволяет воспроизводить как простые суммы, так и более сложные составные линейные величины.
15. Геометрическое вычитание и определение остатка
Аналогичным образом была рассмотрена операция вычитания.
Если одна положительная длина больше другой, меньшая может быть отложена внутри большей.
Оставшийся суботрезок представляет соответствующую положительную разность.
При равенстве длин результатом становится нулевая величина.
А для более общего исследования разностей могут использоваться ориентированные линейные величины.
Однако при этом необходимо различать математический знак и собственно геометрическую длину.
Таким образом, сложение и вычитание образуют взаимосвязанную систему операций над линейными величинами.
16. Геометрическое умножение и необходимость единицы длины
Пятая глава была посвящена умножению и делению.
Здесь потребовалось сделать важное математическое уточнение.
Произведение двух длин естественным образом связано с площадью.
Поэтому для представления произведения их числовых значений новым отрезком необходимо заранее выбрать единичную длину.
После этого возникает возможность геометрически воспроизводить соответствующие арифметические отношения.
В частности, система подобных треугольников позволяет построить отрезок, числовое значение которого представляет произведение двух заданных величин относительно принятой единицы.
Таким образом, операция умножения получает математически определённую конструктивную форму.
17. Геометрическое деление и построение пропорций
Аналогичным образом было исследовано геометрическое деление.
Оно позволяет воспроизводить определённые числовые отношения посредством соответствующего размещения исходных длин и выбранной единицы.
Особое значение приобрело построение четвёртой пропорциональной величины.
Эта классическая геометрическая операция фактически объединяет несколько разновидностей умножения, деления и масштабирования.
Таким образом, одна система подобных треугольников может использоваться при решении широкого семейства арифметических задач.
Именно это составляет одно из главных конструктивных достоинств разработанной системы.
18. Геометрическая арифметика как согласованная система операций
После рассмотрения полисекции, переноса длин, сложения, вычитания, умножения и деления стало возможным сформулировать более общий результат.
Отдельные операции могут объединяться в конечные последовательности.
При этом результат одного построения становится исходной величиной следующего.
Например, первоначально строится определённая рациональная доля.
Затем она складывается с другой.
После этого полученная длина используется в пропорциональном масштабировании.
И наконец, результирующий отрезок становится стороной новой геометрической фигуры.
Таким образом, возникает система геометрической арифметики, обладающая свойством композиционности.
Именно это свойство делает возможным переход от сравнительно простых исходных величин к сложным конструктивным результатам.
19. Рациональные величины как основа конечных построений
Особое место в рассматриваемой системе занимают положительные рациональные числа.
Каждое такое число может быть представлено отношением натуральных чисел.
Следовательно, при заранее выбранной единице длины соответствующая величина допускает точное геометрическое воспроизведение посредством полисекции и переноса отрезков.
Это положение имеет большое конструктивное значение.
Оно позволяет представлять разнообразные числовые отношения без обязательного использования предварительного физического измерения.
А затем включать полученные величины в дальнейшие геометрические операции.
Таким образом, рациональные числа образуют важнейшую исходную область универсальной геометрической арифметики.
20. От рациональных чисел — к более общим числовым величинам
Однако многие геометрические задачи требуют использования чисел, не являющихся рациональными.
К ним относятся определённые квадратные и кубические корни.
А также числовые константы, связанные с площадями и другими метрическими характеристиками.
Поэтому в шестой главе был рассмотрен переход от точного построения рациональных величин к последовательному приближению более общих чисел.
Основной принцип заключается в следующем.
Если целевая числовая величина задана алгоритмом, позволяющим получать проверяемые рациональные границы, эти границы могут воспроизводиться посредством геометрической арифметики.
Следовательно, возникает возможность построения всё более точных приближений соответствующей длины.
Именно такое обобщение позволило перейти к следующим великим геометрическим задачам.
21. Последовательная полисекция и вложенные интервалы
Шестая глава стала одним из важнейших звеньев всей конструктивной программы.
В ней была исследована последовательная полисекция.
Её основное содержание заключается в многократном делении рабочего отрезка и выборе соответствующего суботрезка, содержащего целевую величину.
При десятичной полисекции каждый новый интервал может становиться в десять раз короче предыдущего.
При последовательной бисекции — в два раза.
Таким образом, возникает система вложенных интервалов.
Их размеры последовательно уменьшаются.
А положение целевой величины контролируется посредством проверяемых числовых границ.
Следовательно, последовательная полисекция предоставляет конструктивный механизм управляемого приближения.
22. Математический смысл гарантированной погрешности
Особое значение приобрело использование нижней и верхней границ.
Если целевая величина заключена внутри определённого интервала, его длина позволяет установить верхнюю оценку возможной ошибки выбранного приближения.
Например, середина интервала имеет гарантированное максимальное отклонение, не превышающее половины его длины.
Таким образом, точность становится математически определённой характеристикой построения.
При этом не требуется заранее знать бесконечное десятичное представление целевой величины.
Достаточно иметь проверяемый способ получения рациональных границ необходимой ширины.
Именно этот принцип позволяет организовать эффективные конечные алгоритмы приближения.
23. Необходимая и достаточная точность как конструктивный критерий
Второй том был посвящён, в частности, разработке принципа необходимой и достаточной точности.
В третьем томе этот принцип получил непосредственное операционное применение.
Для каждой конкретной задачи устанавливается определённый допуск.
После этого выбирается конструктивная процедура, обеспечивающая соответствующий результат.
Если требуемая точность достигнута, дальнейшее уточнение не является обязательным условием выполнения задачи.
Если не достигнута — процедура продолжается.
Таким образом, процесс построения приобретает определённый критерий завершения.
Именно это обстоятельство позволяет рационально согласовывать математические требования и количество необходимых действий.
24. Потенциальная бесконечность и конечность результата
Особое философско-математическое значение имеет разграничение двух понятий.
Первое — потенциальная возможность неограниченного продолжения алгоритма.
Второе — конечность конкретного построения.
Например, десятичное уточнение определённого числового коэффициента может продолжаться сколь угодно долго.
Но для каждого заранее установленного положительного допуска может быть достаточно определённого конечного количества этапов.
При этом необходимо, чтобы алгоритм обеспечивал соответствующее уменьшение проверяемой погрешности.
Таким образом, потенциальная неограниченность дальнейшего уточнения не требует фактического осуществления бесконечной последовательности действий.
Именно это положение стало одним из фундаментальных методологических оснований рассматриваемой системы.
25. Эффективная сходимость как свойство алгоритма
В настоящем исследовании особое значение имеет не только существование математического предела.
Важно также располагать способом определения конечного этапа, достаточного для установленной точности.
Именно это позволяет говорить об эффективной организации приближённого построения.
Если известна закономерность уменьшения рабочего интервала, можно определить количество необходимых уточнений.
Например, при последовательной бисекции ширина интервала уменьшается вдвое на каждом этапе.
Следовательно, соответствующий алгоритм допускает предварительную оценку конструктивной сложности.
Таким образом, эффективная сходимость связывает математическую теорию приближений с рациональной организацией геометрических действий.
26. Математическая и технологическая точность
Третий том неоднократно возвращался к разграничению двух уровней точности.
Первый — математический.
Он определяется правильностью исходных отношений, доказательств и числовых приближений.
Второй — технологический.
Он связан с материальным воспроизведением геометрических объектов.
Например, можно математически построить рациональную величину с большим количеством десятичных разрядов.
Но её физическое воспроизведение ограничивается точностью используемых инструментов.
Поэтому высокая математическая точность сама по себе не гарантирует соответствующей точности изготовленного объекта.
Таким образом, конструктивная геометрия должна учитывать обе характеристики.
И согласовывать их с конкретными требованиями задачи.
27. От геометрической арифметики длин — к преобразованию площадей
После исследования последовательной полисекции возникла возможность перехода к задачам преобразования площадей.
Именно этому были посвящены седьмая и восьмая главы.
Основная идея заключается в определении необходимого линейного масштаба.
Если требуется построить фигуру заданной площади, необходимо установить соответствующий размер.
Затем воспроизвести его посредством геометрической арифметики.
После этого построить фигуру необходимой формы.
И наконец, проверить её площадь.
Таким образом, задача преобразования двумерной геометрической величины получает конструктивное решение посредством операций над одномерными величинами.
28. Квадратура круга как частный случай масштабного преобразования
В седьмой главе была рассмотрена знаменитая квадратура круга.
Особое внимание уделялось построению квадрата, площадь которого отличается от площади заданного круга не более чем на заранее установленный положительный допуск.
Были исследованы два конструктивных подхода.
Первый — непосредственное приближение необходимой стороны квадрата.
Второй — рациональное приближение площади круга с последующим построением стороны посредством среднего геометрического.
Оба способа используют результаты предшествующих глав.
При этом второй вариант позволяет особенно непосредственно связывать точность рационального коэффициента с точностью площади результирующего квадрата.
Таким образом, квадратура круга стала первой крупной задачей применения универсальной геометрической арифметики к преобразованию площадей.
29. Строгая математическая постановка приближённой квадратуры
Для правильного понимания результатов необходимо подчеркнуть принципиальное различие.
Классическая точная квадратура круга циркулем и немаркированной линейкой невозможна.
Но приближённое построение квадрата, площадь которого отличается от площади заданного круга менее чем на любой заранее установленный положительный допуск, представляет другую математическую задачу.
Такая задача допускает решение посредством рациональных приближений и конечных построений.
При этом каждый конкретный результат должен сопровождаться соответствующей оценкой погрешности.
Таким образом, в настоящем исследовании речь идёт не об устранении классического математического ограничения.
А о систематической разработке конечных технологий приближённого построения с контролируемой точностью.
30. Политура круга как обобщение квадратуры
Восьмая глава была посвящена авторской программе политуры круга.
Под этим термином рассматривалось семейство задач построения многоугольников, площади которых воспроизводят площадь заданного круга по установленному критерию.
Были исследованы квадратура, пентатура, гексатура, гептатура, нонатура и декатура.
А также более общая постановка построения правильного многоугольника с заранее установленным количеством сторон.
Таким образом, традиционная квадратура была включена в более широкое семейство геометрических преобразований.
Именно здесь особое значение приобрело разграничение двух требований.
Правильности многоугольной формы.
И соответствия площади.
31. Правильность формы и равновеликость как различные условия
Один из наиболее важных результатов восьмой главы заключается в следующем.
Построение правильного многоугольника и получение его необходимой площади представляют разные геометрические задачи.
Можно иметь математически правильный многоугольник, площадь которого не соответствует заданной.
И наоборот.
Можно построить фигуру необходимой площади, но с отклонениями от правильной формы.
Поэтому универсальная политура требует самостоятельного контроля обоих условий.
В некоторых случаях правильная многоугольная форма может быть построена точно классическими средствами.
В других используется приближённая конструкция с установленными допусками.
Но соответствие площади должно оцениваться независимо.
Таким образом, политура приобретает математически определённое содержание.
32. Геометрическое масштабирование площадей
Особое значение получила взаимосвязь линейного масштаба и площади.
При подобном изменении плоской фигуры все линейные размеры изменяются в одном отношении.
А площадь — пропорционально квадрату соответствующего коэффициента.
Следовательно, задача получения определённого отношения площадей сводится к построению необходимого линейного масштаба.
Именно здесь универсальная геометрическая арифметика становится непосредственным инструментом преобразования двумерных величин.
Это положение связывает задачи полисекции, умножения, деления и масштабирования в одну конструктивную цепочку.
33. От преобразования площадей — к преобразованию объёмов
В девятой главе был осуществлён переход к пространственным геометрическим объектам.
Основной задачей стало удвоение куба.
Однако исследование не ограничилось одним объёмным коэффициентом.
Мы рассмотрели более общую проблему произвольной положительной мультипликации объёмов.
При этом было установлено принципиальное различие между изменением линейного масштаба, площади и объёма.
Если подобное пространственное тело масштабируется в определённом линейном отношении, его объём изменяется пропорционально третьей степени соответствующего коэффициента.
Таким образом, задача изменения объёма вновь сводится к построению необходимой линейной величины.
Но теперь соответствующий масштаб определяется кубической зависимостью.
34. Удвоение куба и построение необходимого ребра
Особенно подробно была рассмотрена задача удвоения куба.
Пусть исходный куб имеет определённое положительное ребро.
Требуется построить новый куб, объём которого вдвое больше.
Необходимый линейный масштаб определяется положительным кубическим корнем из двух.
Это значение можно приближать рациональными числами.
Для каждого выбранного рационального коэффициента существует конечная геометрическая технология воспроизведения соответствующего ребра.
При этом точность объёма определяется кубом полученного линейного масштаба.
Таким образом, задача приближённого удвоения куба становится конкретной задачей управляемого геометрического масштабирования.
35. Числовой пример как проверка конструктивного принципа
В третьем томе был использован конкретный пример, впервые подробно рассмотренный во втором томе.
Исходный куб имеет ребро десять сантиметров.
Его объём составляет одну тысячу кубических сантиметров.
Необходимо получить новый куб объёмом две тысячи кубических сантиметров.
Если выбрать ребро 12,6 сантиметра, объём нового куба составит 2000,376 кубического сантиметра.
Абсолютное отклонение будет равно 0,376 кубического сантиметра.
А относительное отклонение — 0,0188 процента.
Таким образом, сравнительно простое рациональное приближение позволяет получить математически определённый результат с небольшой объёмной погрешностью.
При необходимости точность может повышаться посредством последовательного уточнения ребра.
36. От удвоения куба — к произвольной мультипликации
Главный результат девятой главы заключается не только в рассмотрении удвоения.
Было показано, что соответствующий математический принцип распространяется на произвольное положительное изменение объёма подобных пространственных тел.
Например, можно поставить задачу увеличения объёма в три раза.
В пять.
В десять.
Или уменьшения до половины первоначального.
Для каждого такого отношения определяется соответствующий линейный масштаб.
Затем он воспроизводится с необходимой точностью.
И используется для построения результирующего тела.
Таким образом, удвоение куба становится частным случаем более общей системы пространственных преобразований.
37. Сохранение подобия и изменение отдельных размеров
При исследовании пространственной мультипликации было установлено ещё одно принципиальное различие.
Первый класс преобразований связан с подобным масштабированием.
Все линейные размеры изменяются в одинаковом отношении.
Второй — с независимым изменением отдельных размеров.
Например, у прямоугольного параллелепипеда можно независимо изменять длину, ширину и высоту.
В таком случае объём определяется произведением соответствующих линейных изменений.
Таким образом, одна и та же конечная объёмная характеристика может достигаться посредством разных пространственных преобразований.
Это открывает дополнительные возможности для исследования конструктивной эффективности.
38. Единая логика преобразования длин, площадей и объёмов
Теперь можно сформулировать один из главных обобщающих результатов третьего тома.
Длины, площади и объёмы представляют геометрические величины различных размерностей.
Однако при подобных преобразованиях они связаны с одним общим параметром — линейным масштабом.
Для длин соответствующее изменение непосредственно определяется этим масштабом.
Для площадей — его квадратом.
Для объёмов — третьей степенью.
Следовательно, значительная часть задач преобразования геометрических величин может быть сведена к правильному определению и воспроизведению соответствующего линейного коэффициента.
Именно это обстоятельство представляет фундаментальное объединяющее основание всей конструктивной программы третьего тома.
39. Универсальный алгоритм геометрического преобразования
На основании проведённого исследования можно предложить общую последовательность действий.
Первый этап — определение исходного геометрического объекта.
Необходимо установить его форму, размеры и существенные характеристики.
Второй этап — постановка цели.
Определяется, какая геометрическая величина должна измениться или сохраниться.
Третий этап — установление математического отношения.
Выводится необходимая связь между исходными и результирующими характеристиками.
Четвёртый этап — определение масштабного коэффициента.
Устанавливается необходимая линейная величина.
Пятый этап — выбор конструктивной технологии.
Определяются допустимые инструменты и последовательность операций.
Шестой этап — геометрическое воспроизведение коэффициента.
Используются полисекция, перенос отрезков, сложение, вычитание, подобие и другие доступные построения.
Седьмой этап — создание результирующего объекта.
Выполняется соответствующая геометрическая конструкция.
Восьмой этап — математическая проверка.
Устанавливается соответствие результата заданным требованиям.
Девятый этап — технологический контроль.
При материальном выполнении учитываются погрешности инструментов и исходных размеров.
Десятый этап — завершение.
Построение прекращается после достижения необходимой и достаточной точности.
Таким образом, отдельные геометрические задачи получают общую алгоритмическую организацию.
40. Когнитивное значение разработанной системы
Теперь необходимо обратиться к более широкому значению полученных результатов.
Геометрическая арифметика представляет собой не только совокупность чертёжных операций.
Она позволяет устанавливать непосредственную связь между абстрактным числовым отношением и определённой пространственной конструкцией.
Число получает геометрическую интерпретацию.
Пропорция становится системой соответствующих отрезков.
Арифметическая операция — последовательностью геометрических действий.
Математическая точность — определённым критерием проверки.
Таким образом, геометрическая арифметика может служить особым средством математического мышления.
Она позволяет исследовать числовые отношения через их пространственные представления.
Именно в этом заключается её когнитивное значение.
41. Генеративное значение геометрической арифметики
Не менее важно другое свойство.
Одна геометрическая операция способна создавать исходные данные для следующей.
Полисекция порождает определённые рациональные доли.
Сложение позволяет объединять их.
Вычитание — выделять необходимые разности.
Умножение и деление — создавать новые масштабные отношения.
Последовательное уточнение — воспроизводить более сложные числовые коэффициенты.
А применение этих коэффициентов позволяет строить новые плоские и пространственные объекты.
Таким образом, ограниченный набор исходных операций способен порождать широкий класс геометрических конструкций.
Именно эта композиционность придаёт системе генеративный характер.
При этом сложность конечного результата определяется не только количеством используемых элементарных операций, но и способом их организации.
42. От отдельных построений — к конструктивной платформе
В настоящем исследовании постепенно сформировалось представление о геометрической конструкции как о возможной многофункциональной системе.
Например, одна вспомогательная шкала может использоваться для полисекции нескольких отрезков.
Одна система пропорциональных отношений — для масштабирования нескольких величин.
Один набор рациональных коэффициентов — для последовательного построения различных объектов.
Таким образом, отдельные вспомогательные элементы могут приобретать значение повторно используемых компонентов.
Вместо создания нового чертежа для каждой операции возникает возможность организации общей конструктивной платформы.
Её эффективность должна определяться конкретными условиями.
Однако сама возможность повторного применения математически установленных отношений представляет важное направление дальнейшего исследования.
43. Конструктивная эффективность как самостоятельный предмет исследования
Особое внимание в третьем томе уделялось различию между правильностью результата и эффективностью его получения.
Математически корректных алгоритмов решения одной задачи может быть несколько.
Один использует минимальное количество вспомогательных отрезков.
Другой требует меньше построений параллельных прямых.
Третий удобнее для повторного применения.
Четвёртый может обладать лучшей технологической устойчивостью.
Следовательно, конструктивная эффективность представляет самостоятельную характеристику алгоритма.
Для её исследования необходимо заранее установить систему сравнения.
Учитывать количество элементарных операций.
Сложность используемого инструментария.
Точность.
Масштабируемость.
И возможность многократного использования результатов.
Таким образом, исследование Царского пути получает конкретное технологическое содержание.
44. Царский путь как принцип рациональной организации построений
Авторская концепция Царского пути занимает особое место во всей программе «Ультраноочелленджа трёх тысячелетий».
В третьем томе она проявилась через поиск наиболее рациональной организации конкретных геометрических операций.
При этом наиболее рациональный способ не обязательно является самым коротким в смысле количества видимых линий.
Необходимо учитывать математическую правильность.
Точность.
Технологическую воспроизводимость.
Количество элементарных действий.
Удобство дальнейшего использования построенной конструкции.
И соответствие результата первоначально установленной цели.
Таким образом, Царский путь предполагает не произвольное упрощение алгоритма.
А рациональное согласование всех существенных характеристик геометрической задачи.
Именно эта программа представляет один из основных предметов дальнейшего исследования гармонической геометрии.
45. Научное значение проверяемых геометрических алгоритмов
Особую роль в настоящем исследовании играет возможность независимой проверки полученных результатов.
Каждый геометрический алгоритм должен сопровождаться ясным определением исходных условий.
Последовательностью действий.
Математическим доказательством правильности.
И указанием области применимости.
Если речь идёт о приближённом построении, необходимо также установить критерий точности.
Если рассматривается физическая технология, требуется учёт технологических погрешностей.
Таким образом, научное значение геометрического метода определяется не только его наглядностью.
Решающую роль играет воспроизводимость и проверяемость.
Именно поэтому технические чертежи, алгоритмы и доказательства должны рассматриваться как взаимодополняющие части единого исследования.
46. Технические атласы как средство геометрического доказательства и контроля
Во всех девяти главах третьего тома особое внимание уделялось техническим иллюстрациям.
Их назначение заключается не в художественном украшении текста.
А в наглядном представлении математически определённых конструкций.
На соответствующих чертежах показываются исходные объекты.
Вспомогательные точки.
Прямые.
Окружности.
Параллельные построения.
И результирующие геометрические величины.
При этом важно различать иллюстрацию математического принципа и непосредственное доказательство.
Сам чертёж не заменяет логического обоснования.
Но он позволяет ясно представить конструктивную процедуру.
И проверить взаимное расположение соответствующих элементов.
Таким образом, интегральные геометрические атласы становятся важным инструментом научной коммуникации и контроля геометрических построений.
47. Возможности цифровой геометрической среды
Современные вычислительные технологии предоставляют дополнительные средства исследования рассматриваемых конструкций.
Например, можно программно задавать координаты исходных объектов.
Строить системы подобных треугольников.
Выполнять полисекцию.
Определять необходимые точки пересечения.
Рассчитывать площади и объёмы.
И проверять соответствующие числовые отношения.
Таким образом, цифровая геометрическая среда позволяет соединять математическое доказательство с вычислительным контролем отдельных примеров.
Особенно важно, что подобные инструменты могут использоваться для автоматического формирования последовательностей технических чертежей.
В результате становится возможной разработка специализированной системы геометрического конструирования.
Но её математическая надёжность должна определяться правильностью реализованных алгоритмов и соответствующих проверок.
48. Необходимость систематической классификации операций
Рассмотренные результаты показывают перспективность создания общей классификации геометрических преобразований.
В частности, можно выделить операции над длинами.
Над углами.
Над площадями.
Над объёмами.
А также над более сложными пространственными характеристиками.
Для каждой операции необходимо определить допустимые исходные величины.
Инварианты преобразования.
Тип результата.
Необходимый инструментарий.
И условия математической правильности.
Таким образом, геометрическая арифметика может развиваться не только как совокупность отдельных приёмов.
Но и как согласованная система правил преобразования различных геометрических величин.
49. Границы достигнутого результата
Завершая третий том, необходимо ясно определить содержание полученных результатов.
Универсальная полисекция прямолинейных отрезков представляет точную классическую геометрическую операцию.
Геометрическое сложение, вычитание и построение пропорциональных длин также обладают строгими математическими основаниями.
Приближённые технологии квадратуры круга, политуры и удвоения куба имеют самостоятельную математическую постановку.
Они позволяют получать результаты с заранее установленной положительной точностью при наличии необходимых алгоритмов вычисления коэффициентов.
Однако такие результаты не следует отождествлять с точными решениями классических задач, ограниченных исключительно циркулем и немаркированной линейкой.
Вместе с тем именно разграничение точной построимости и управляемого приближения позволяет исследовать более широкие конструктивные возможности геометрии.
Таким образом, научная определённость требует ясного указания того, что именно доказано, каким инструментарием и по какому критерию.
50. Основные математические результаты третьего тома
Теперь можно объединить важнейшие результаты в общую систему.
Первый результат.
Исследован универсальный алгоритм точной полисекции произвольного невырожденного прямолинейного отрезка на заранее установленное натуральное количество равных частей.
Второй результат.
Рассмотрены различные конструктивные организации соответствующего деления, включая исторические методы и системы подобных треугольников с общей вершиной.
Третий результат.
Систематизированы основные операции геометрической арифметики положительных линейных величин.
Четвёртый результат.
Показана возможность воспроизведения рациональных числовых отношений посредством конечных геометрических построений.
Пятый результат.
Исследованы последовательная полисекция, вложенные интервалы и алгоритмы получения рациональных приближений с контролируемой точностью.
Шестой результат.
Сформулированы конструктивные технологии приближённой квадратуры круга с математически обоснованной оценкой погрешности площади.
Седьмой результат.
Развита авторская программа политуры круга как семейства преобразований в многоугольные формы с контролем площади и правильности формы.
Восьмой результат.
Рассмотрено приближённое удвоение куба посредством последовательного воспроизведения необходимого масштабного коэффициента.
Девятый результат.
Показано распространение соответствующего принципа на произвольную положительную мультипликацию объёмов подобных пространственных тел.
Десятый результат.
Сформулирована общая организация геометрического преобразования от исходного объекта и математического отношения до конечного результата с установленной точностью.
Таким образом, отдельные достижения объединяются в одну конструктивную систему.
51. Направления дальнейшего исследования
Несмотря на завершение третьего тома, рассматриваемая программа остаётся открытой для дальнейшего развития.
Особый интерес представляет систематическое сравнение различных технологий полисекции.
Необходимо исследовать возможные конфигурации вспомогательных лучей.
Определить конструктивную сложность различных алгоритмов.
Сопоставить одноэтапные и многоступенчатые построения.
Оценить устойчивость к технологическим погрешностям.
И установить условия наиболее рационального использования подготовленных вспомогательных систем.
Кроме того, представляет интерес разработка формальных алгоритмов автоматического воспроизведения соответствующих чертежей.
Таким образом, третий том предоставляет математическую основу для последующих специальных исследований.
52. Полисекция на основе подобия как самостоятельная исследовательская программа
Особое место среди дальнейших направлений занимает систематическое исследование различных способов полисекции посредством подобных треугольников.
В настоящем томе были рассмотрены базовая схема с одним вспомогательным лучом, двухлучевые организации и некоторые варианты последовательного деления.
Однако принцип подобия допускает значительно более широкое разнообразие пространственных конфигураций.
Следовательно, возникает возможность отдельного исследования.
С классификацией методов.
Пошаговыми алгоритмами.
Математическими доказательствами.
Сравнением конструктивной сложности.
И техническим атласом различных построений.
Такое исследование может стать самостоятельным продолжением третьего тома в форме специальной научной брошюры.
53. От полисекции отрезков — к полисекции углов
Теперь необходимо обратиться к следующему крупному направлению восьмитомника.
До сих пор основным предметом геометрических операций выступали прямолинейные длины.
Однако угловые величины обладают собственной математической спецификой.
Деление отрезка на равные части не тождественно делению угла на равные угловые величины.
Также необходимо различать равенство хорд и равенство соответствующих дуг в зависимости от условий постановки задачи.
Поэтому прямое перенесение алгоритмов линейной полисекции на произвольные углы требует самостоятельного исследования.
Именно это обстоятельство определяет содержание следующего тома.
54. Геометрическая определённость угловой задачи
При переходе к полисекции углов особенно важно правильно определить исходные условия.
Необходимо установить угол как определённую геометрическую величину.
Выбрать соответствующую область плоскости.
Указать используемые лучи.
Определить способы построения вспомогательных дуг и хорд.
И установить критерий равенства получаемых угловых частей.
При этом математическая точность соответствующего построения должна оцениваться по угловой величине.
А не только по длинам отдельных вспомогательных отрезков.
Таким образом, четвёртый том потребует расширения и уточнения конструктивного аппарата гармонической геометрии.
55. Каскады хорд как новое направление исследования
Особое место в дальнейшем исследовании займут каскады хорд.
Они предполагают использование последовательностей прямолинейных элементов, связанных с определённой криволинейной или угловой конфигурацией.
Такие конструкции могут использоваться для последовательного уточнения положения необходимых геометрических точек.
Или воспроизведения заданных угловых отношений с установленной точностью.
Однако соответствующие технологии требуют самостоятельных доказательств.
Необходимо установить связь между длинами хорд, дугами и угловыми величинами.
Определить закономерность уточнения.
И получить обоснованную оценку погрешности.
Таким образом, каскады хорд представляют перспективное направление дальнейшей разработки универсальной геометрической арифметики углов.
56. От линейной арифметики — к угловой
В третьем томе были систематизированы основные операции над линейными величинами.
Теперь возникает естественная задача исследования аналогичных операций над углами.
Например, сложения и вычитания углов.
Их умножения на определённые числовые коэффициенты.
Деления в заданных отношениях.
А также последовательного воспроизведения сложных угловых конструкций.
Однако эти задачи требуют собственного математического обоснования.
В частности, необходимо учитывать ограничения точной классической построимости некоторых угловых величин.
И различать точные построения и алгоритмы приближения с заранее установленной погрешностью.
Таким образом, четвёртый том станет новым этапом развития общей конструктивной программы.
57. Универсальность как исследуемое, а не предполагаемое свойство
Завершая третий том, особенно важно подчеркнуть одно методологическое положение.
Универсальность геометрической технологии должна подтверждаться конкретной областью её применимости.
Недостаточно установить, что один алгоритм работает в нескольких примерах.
Необходимо определить общий класс задач.
Доказать правильность соответствующей процедуры.
Установить необходимые ограничения.
И исследовать её конструктивную эффективность.
Именно такой подход позволяет отличать содержательную универсальность от простого внешнего сходства различных построений.
Следовательно, дальнейшее развитие гармонической геометрии должно сопровождаться систематической математической проверкой каждого нового обобщения.
58. Гармоническая геометрия как программа согласованного конструирования
Теперь можно обратиться к наиболее общему содержанию третьего тома.
Предлагаемая гармоническая геометрия рассматривается как исследовательская программа, направленная на согласование различных геометрических операций.
Её основу составляют геометрическая определённость.
Математическая правильность.
Конечная воспроизводимость.
Управляемая точность.
Конструктивная универсальность.
И рациональная организация действий.
Эти положения не заменяют классическую геометрию.
Напротив.
Они предполагают последовательное использование её математических оснований.
Но при этом особое внимание уделяется организации операций в целостные технологические системы.
Именно это направление составляет одну из центральных перспектив дальнейшего исследования.
59. От трёх великих задач — к общей системе геометрических преобразований
В начале восьмитомника были поставлены три великие геометрические задачи.
Трисекция произвольного угла.
Квадратура круга.
И удвоение куба.
Каждая из них обладает собственной математической историей.
И собственными ограничениями точной классической построимости.
Но в рамках настоящей программы они рассматриваются также как исходные случаи более широких семейств задач.
Трисекция становится частью универсальной полисекции углов.
Квадратура — частью политуры круга.
Удвоение куба — частью произвольной мультипликации объёмов.
Таким образом, исторически отдельные геометрические вызовы включаются в общую систему исследования конструктивных возможностей.
Именно в этом заключается одно из важнейших направлений авторского замысла.
60. От античной геометрии — к современному конструктивному мышлению
Историческое развитие геометрии показывает, насколько плодотворными могут быть попытки решения сложных задач.
Поиски квадратуры круга способствовали исследованию площадей и числовых приближений.
Удвоение куба стимулировало развитие пространственной геометрии и теории пропорций.
Трисекция углов привела к исследованию специальных кривых и новых способов построения.
Но современное исследование может поставить дополнительный вопрос.
Как организовать уже известные математические принципы в единую рациональную систему действий?
Именно этот вопрос стал центральным для третьего тома.
Таким образом, исследование древних геометрических задач приобретает современное конструктивное содержание.
Не как попытка отказаться от установленных математических результатов.
А как поиск новых способов организации, сопоставления и применения геометрических операций.
61. Научная перспектива универсальных геометрических технологий
Полученные результаты позволяют обозначить несколько перспектив дальнейшего развития.
Прежде всего представляет интерес формальное описание базовых конструктивных операций.
Затем — создание системы их композиции.
После этого — разработка методов автоматического выбора рациональной последовательности построений.
Особое значение может иметь исследование конструктивной сложности.
И устойчивости к погрешностям.
А также создание специализированных цифровых инструментов для автоматического формирования технических чертежей.
Таким образом, универсальная геометрическая арифметика может рассматриваться как основа дальнейших математических, вычислительных и технологических исследований.
При этом каждое новое направление требует самостоятельной проверки.
62. Главный итог третьего тома
Теперь можно сформулировать центральный результат всей проведённой работы.
В третьем томе показано, каким образом классические геометрические операции над отрезками могут быть объединены в последовательную систему построения линейных величин и использованы для приближённых преобразований площадей и объёмов с заранее установленной математической точностью.
Исходным конструктивным элементом стала универсальная полисекция.
Следующим — геометрическая арифметика.
Затем — последовательное уточнение.
После этого — воспроизведение необходимых масштабных коэффициентов.
И наконец — построение плоских и пространственных объектов.
Таким образом, возникла единая цепочка геометрических преобразований.
Именно она составляет главный конструктивный итог третьего тома.
63. Последнее слово третьего тома. От отрезка — к геометрическому пространству
Итак, завершён третий том.
Мы начали его с отрезка.
С простейшей геометрической величины, обладающей двумя конечными точками и определённой длиной.
Первоначально задача казалась сравнительно простой.
Разделить отрезок на равные части.
Но именно это построение стало началом значительно более широкой конструктивной программы.
От равных частей мы перешли к пропорциональным отношениям.
От пропорций — к арифметическим операциям.
От арифметических операций — к последовательному воспроизведению числовых величин.
От числовых величин — к управляемому масштабированию.
От масштабирования — к преобразованию площадей.
И наконец — к мультипликации объёмов.
Таким образом, одна исходная геометрическая операция оказалась связанной с целым семейством математических преобразований.
При этом каждая последующая задача потребовала собственной конструктивной организации.
И собственного математического обоснования.
Но общая логика исследования сохранялась.
Определить геометрический объект.
Установить необходимую величину.
Найти соответствующее математическое отношение.
Воспроизвести его посредством доступных операций.
Построить требуемый результат.
И проверить его точность.
Именно эта последовательность позволяет рассматривать геометрическое конструирование как систему рационально организованных действий.
Особое значение приобретает принцип необходимой и достаточной точности.
Он позволяет согласовывать конструктивные возможности с реальными требованиями задачи.
И определять конечный этап, на котором необходимый результат уже достигнут.
Но ещё более существенно другое.
Геометрическая арифметика предоставляет возможность связывать отдельные построения в целые последовательности преобразований.
Результат одной операции становится исходным объектом другой.
А конечный результат может превращаться в элемент следующей конструктивной системы.
Именно здесь проявляется генеративная мощь математически организованной геометрии.
Она позволяет переходить от ограниченного набора исходных операций к широкому семейству новых геометрических объектов.
Однако главная ценность такой системы определяется не количеством возможных построений.
А их математической правильностью.
Воспроизводимостью.
Точностью.
И рациональной организацией.
Именно поэтому гармоническая геометрия рассматривается в настоящем исследовании как программа систематического изучения конструктивных возможностей.
Её дальнейшее развитие должно определяться не только общими философскими предположениями.
Но и конкретными геометрическими доказательствами.
Сравнительными исследованиями.
Техническими чертежами.
И проверяемыми алгоритмами.
Таким образом, третий том не завершает общий замысел «Ультраноочелленджа трёх тысячелетий».
Он формирует одну из его важнейших конструктивных основ.
На этой основе теперь возможно перейти к более сложным геометрическим задачам.
Прежде всего — к полисекции углов.
Затем — к универсальной арифметике угловых величин.
К каскадам хорд.
К сложным многоступенчатым построениям.
И дальнейшим обобщениям геометрических преобразований.
От геометрической определённости — к конструктивному алгоритму.
От алгоритма — к математическому доказательству.
От доказательства — к воспроизводимой технологии.
От технологии — к управляемой точности.
От отдельных операций — к универсальной геометрической арифметике.
От геометрической арифметики — к преобразованию длин, площадей и объёмов.
От многообразия конструктивных методов — к исследованию Царского пути.
Так завершается третий том «Ультраноочелленджа трёх тысячелетий».
И начинается следующий этап восьмитомного исследования.
Том четвёртый.
Полисекция углов и универсальная геометрическая арифметика углов.
От простейшей линейной величины — к угловой.
От равных суботрезков — к равным угловым частям.
От подобных треугольников — к исследованию дуг, хорд и угловых отношений.
От уже разработанных технологий — к новым геометрическим вызовам.
От геометрии отрезков — к геометрии углов.
От геометрии установленных возможностей — к исследованию следующих конструктивных рубежей.
От третьего тома — к четвёртому.
Исследование продолжается.
+++++++