Что такое Проблема иррациональности?
Что такое “Проблема иррациональности”?
Формулы не отпечатались....... Печаль?!....... нет, включайте мозги!!!, а не думайте куда эти циферы девались!!!!!!!!!
О “проблеме иррациональности” в математике стараются не говорить.
И это несмотря на то, что эта проблема занимает центральное место во всей системе математических знаний. Разумеется, об этой проблеме математики знают. Но ее стараются “не замечать”, И это несмотря на то, что говорить серьезно о системе математических знаний, без решения этой проблемы, вряд ли вообще имеет смысл.
После разгрома пифагорейских школ на территории Италии в 469 году до н.э., римским императором был наложен запрет на применение и использование математики в логических рассуждениях. Геометрия была отделена от системы математических знаний, а справедливость математики была ограничена лишь рамками арифметики. Другими словами, математике разрешалось лишь считать мешки с зерном, поголовье скота, и выполнять прочие простейшие действия. Именно тогда под математикой было разрешено понимать лишь науку “о количественных отношениях” – именно ту науку, о которой сказал в своем определении Андрей Николаевич Колмогоров.
Как видим, прошло 2500 лет, а запрет римского императора пережил и самого императора, и Римскую Империю, и продолжает жить и действовать во всех современных определениях математики.
Короче говоря, математика в преставлении Пифагора значительно отличается от математики в определении А. Н. Колмогорова. И прежде, чем рассматривать саму “проблему иррациональности”, следует несколько слов сказать о математике Пифагора.
1.2.1. Математика Пифагора.
Математика Пифагора – это попытка конкретизации в абстрактных математических символах религии “трех сфер” Фалеса.
В возрасте 19 лет отец отправил Пифагора в Милет на учебу к Фалесу. Фалес тогда был уже в преклонном возрасте, и все свои знания религии Фалеса Пифагор почерпнул у Анаксимандра (ученика Фалеса).
Я не буду здесь рассказывать о самой религии Фалеса. Важно для нас здесь лишь то, что религия Фалеса была абстрактной философской наукой, очень сложной для понимания. И знаменитое высказывание Пифагора: “Все есть чиcло” – это попытка конкретной реализации законов этой религии посредством чисел.
Все мы привыкли считать, что математика развивалась последовательно.
Сначала люди учились считать – и появились натуральные числа.
Потом процедура счета совершенствовалась, и появились целые отрицательные числа, потом появились дробные числа и так далее.
Сейчас мы уже к этому привыкли, и даже не замечаем того, что все это сухой и “черствый” остаток от того отношения к числам, которое мы наблюдаем в математике Пифагора.
Пифагор вдохнул в числа душу, сделал их одухотворенными, и всеобъемлющими.
Другими словами, (подобно тому, как теорию электричества Фарадея Максвелл записал в четырех уравнениях) религию Фалеса Пифагор записал в числах, а сами числа считал “божественным даром”, отражающим в себе всю гармонию “божественного мироздания”. Именно поэтому центральное место в религии Пифагора занимали “пифагоровы тройки чисел”.
Сама религия Пифагора для нас сейчас не представляет большого интереса, но понятие “числа” по Пифагору заслуживает внимательного рассмотрения и анализа.
Именно это понятие “числа” и будет целью нашего изучения и пристального внимания.
Что такое “число” по Пифагору?
Чтобы ответить на этот вопрос, прежде всего, следует заметить, что все понятия можно разделить (по предположению Фалеса) на “определяемые понятия” и “неопределяемые понятия”.
Обычно под “определяемыми понятиями” понимают реально существующие предметы и объекты – стол, стул, вода, звезды и т.д. То есть, эти понятия “наблюдаемы”. Гораздо позже этот подход лег в основу понятия “материи” и физической системы знаний, с определением “материальности объектов” в смысле возможности их физического наблюдения с помощью приборов.
Наряду с “определяемыми понятиями”, в природе существуют и “неопределяемые понятия”. Например, человеческий сон, разум, эфир, галактика, множество и другие.
Структура деления на “определяемые” и “неопределяемые” понятия присутствует еще у Фалеса. Но Пифагор предположил, что все “определяемые” понятия и объекты можно “посчитать”, то есть поставить в соответствие любому “определяемому понятию” некоторое число. Другими словами, если мы в состоянии определить некоторый объект, то мы оказываемся в состоянии определить и два аналогичных объекта, три объекта, пять, тысячу, миллион и т.д. То есть – “Все есть число”, если действительно есть хоть что-нибудь.
Далее, если возможность первоначального деления объектов на “определяемые” и “неопределяемые” является верной, то вполне необходимым является требование того, что никакие действия с “определяемыми объектами” не могут привести к возможности получения “неопределяемых объектов”.
Как я уже говорил ранее, первоначально у Пифагора все складывалось замечательно. Но лишь до тех пор, пока не было доказано существование иррациональных чисел. Это доказательство противоречивости неизбежно приводило к выводу, что, либо числовая система Пифагора для религии Фалеса ошибочна, либо ошибочна сама религия Фалеса (и ошибочно само предположение о возможности разделения объектов на “определяемые” и “неопределяемые”).
Требовалось сделать выбор, и выбор сделали.
Ошибочной была признана математика - “числовая система Пифагора религии Фалеса”. Школы пифагорейцев были разрушены. Многих пифагорейцев убили, имущество разграбили. Математику запретили.
Что же касается самой возможности деления понятий на “определяемые” и “неопределяемые” – то эта возможность сомнению не подверглась. Не подвергается сомнению эта возможность и сейчас.
Здесь следует заметить, что отказ от возможности деления на “определяемые” и “неопределяемые” понятия и объекты приводит нас к стиранию границ реального и мистического (“потустороннего”). Позволить себе такое не могли и раньше, не могут позволить и сейчас.
Так в кратком изложении выглядит история “проблемы иррациональности” у своих истоков.
Здесь я не призываю всех поверить в “мистическую математику”, а лишь очертил необходимость внимательного анализа результатов развития “пифагорейской математики”.
1.2.2. Анализ математики Пифагора.
Забегая немного вперед, сразу хочу сказать, что доказательство существования иррациональных чисел действительно вскрывает ошибку в системе предположений и религиозных знаний Пифагора и Фалеса. Но ошибка эта находится не в математике Пифагора, а в исходном предположении Фалеса о возможности деления всех понятий на “определяемые” и “неопределяемые”. И можно лишь удивляться тому, что все развитие математики (и физики) на протяжении 2500 лет было подчинено и находилось в зависимости от слепого и губительного решения римского императора.
Сейчас уже вполне очевидно, что деление понятий на “определяемые” и “неопределяемые” невозможно. Например, вся квантовая механика строится на предположении “определяемости“ лишь квадрата волновой функции, оставляя “неопределяемой” саму волновую функцию. К аналогичному выводу, в свое время, пришел и Гаусс.
Но вернемся к математике Пифагора.
Разумеется, пифагорейцы достигли значительных успехов в области математики. Но я не буду здесь рассказывать ни о “пифагоровых тройках чисел”, ни о “совершенных” числах, ни о “магических квадратах”. Обо всем этом написано и опубликовано уже вполне достаточно.
Здесь мы сконцентрируем свое внимание на доказательстве существования иррациональных чисел.
Вот это доказательство.
Влияние этого доказательства на дальнейшее развитие философии, религии и науки можно лишь недооценить. Переоценить просто невозможно. Поэтому остановимся подробнее на его логической сути.
Следует заметить, что это доказательство не нарушает “божественную гармонию трех сфер” Фалеса. Изначально оно предполагает ее существование и справедливость. Да, существуют натуральные числа. Да, существуют квадраты этих чисел. Да, существуют “почти божественные тройки” – жрецы. Да, существует бог, как первоначальный творец и создатель этой гармонии. Другими словами,
Двойка олицетворяла собой Адама и Еву, которые были созданы самим творцом из кирпичиков p и q мироздания. Поскольку они были созданы самим “творцом”, то не отнести их к категории жрецов (p/q) 2 нет никакой возможности (в противном случае, откуда взялись жрецы?).
Тогда, в результате наших рассуждений, приходим к выводу, что творец всего не в состоянии осуществить задуманное. Тогда то, что есть, создано не им, и может благополучно существовать без него, а ему мы лишь приписываем создание всего, поскольку создать всего он не мог. Отсюда следует вывод о существовании “объективной реальности, независимой от нашего сознания”.
Другими словами, гармония существует, но бога нет.
То, что последовало за этим, не поддается никакому описанию. Все стали философами, и все что-нибудь доказывали. А, после доказательства этого, принимались доказывать обратное первоначальному.
Так начала создаваться “теория доказательств” - аналитика и логика.
Логическое направление, которое появилось в результате этого принято называть “софистическим”. Наиболее яркими представителями этого направления были Сократ и Зенон.
Найденные числа Пифагор назвал “алогичными” или “иррациональными”.
Разумеется, доказательство существования иррациональных чисел было тяжелым ударом, как для самого Пифагора, так и для всей его религии. Числа, которые олицетворяли собой всю “божественную гармонию мироздания” стали не только “нелогичными”. Они стали “противологичными” – иррациональными, действующими вопреки всякой логике.
Именно с этого момента проблема иррациональности в математике встала в полный рост.
1.2.3. “Понятие иррациональности” по Пифагору.
Если мы возьмем в руки любой учебник по математике то, к удивлению многих, не обнаружим в нем определения иррационального числа. Более того, понятие иррационального числа в современной математике ничего общего не имеет с тем определением, которое дал “понятию иррационального” сам Пифагор. Поэтому рассмотрим “понятие иррационального числа” достаточно внимательно и подробно.
В современной математике под иррациональным числом понимается число, которое можно записать в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.
Разумеется, это нельзя считать определением, поскольку непериодической десятичной дробью записываются и трансцендентные числа (которые в современной математике тоже считаются иррациональными). Кроме этого, непериодические десятичные дроби могут участвовать и в записи комплексного числа (которое не считается иррациональным).
Существует в современной математике и несколько иной логический подход к определению иррационального числа.
А именно.
Иррациональными считаются все действительные числа, не являющиеся рациональными.
Но и это высказывание нельзя считать определением иррационального числа, поскольку оно имеет отрицательный логический смысл.
Здесь я хочу обратить Ваше внимание, что я не пытаюсь критиковать современные определения иррационального числа. Вообще говоря, любое определение иррационального числа можно считать удовлетворительным, но лишь в том случае, если это определение имеет четко выраженный логический смысл, и не приводит к дальнейшим ошибочным действиям и противоречивым результатам. Но все дело в том, что именно эти недостатки определяемого понятия и присутствуют в современном определении иррационального числа.
В этом смысле определение иррациональности по Пифагору кардинально отличается от современного определения иррационального числа.
А именно.
По Пифагору - иррациональным называется такое число, квадрат которого есть число рациональное.
В этом смысле, например, число “корень кубический из трех” иррациональным не является, не говоря уж о трансцендентных числах.
Несложно заметить, что комплексные числа, в свою очередь, тоже удовлетворяют определению “иррациональности” по Пифагору. Но во времена Пифагора о комплексных числах ничего не знали. Поэтому в современной интерпретации “иррациональными по Пифагору” следует считать числа, которые не являются комплексными, и квадрат которых есть число рациональное.
В результате мы оказываемся вынужденными сделать выбор: Какое из определений иррационального числа считать правильным?
Я не буду утомлять читателей металогическим анализом всех этих определений. Скажу лишь, что внимательный анализ всего этого заставляет сделать вывод, что правильным следует считать “определение иррациональности по Пифагору”. И это не только по той причине, что Пифагор дал определение иррациональности первым, но и потому, что это определение имеет четко выраженный логический смысл, и не содержит внутреннего противоречия (в отличие от современных определений иррационального числа).
Здесь я ограничусь сделанным замечанием, и вернусь к рассмотрению этого вопроса несколько позже, поскольку рассмотрение этого вопроса уводит слишком далеко нас от “проблемы иррациональности”.
1.2.4. Карнавал “иррациональности”.
То, что произошло после доказательства существования иррациональных чисел, не поддается никакому описанию.
Все дело в том, что мы привыкли считать математику пифагорейцев сухой и “черствой” наукой.
В действительности это была религия.
Причем религия Пифагора была достаточно плотно заполнена разного рода знаменательными событиями и праздниками. И если Вы желаете получить некоторое представление об этом, то загляните в современный церковный календарь. Там праздники и знаменательные события случаются почти каждую неделю, не считая рождественских праздников и пасхи, которые сами по себе могут продолжаться несколько недель.
Аналогичную картину можно было наблюдать и в религии Пифагора.
Несмотря на то, что пифагорейцы были вегетарианцами – это не мешало праздникам, и не запрещало пить вино. Праздновали пифагорейцы все и по всякому поводу. Когда не хватало государственных праздников, пифагорейцы выдумывали свои собственные. Поэтому праздники у пифагорейцев продолжались непрерывной чередой.
Разумеется, такой образ жизни привлекал и устраивал очень многих. Поэтому в желающих стать пифагорейцами большого недостатка не ощущалось.
Кроме этого, пифагорейцы выступали против службы в армии.
Поэтому не следует удивляться тому, что конец религии пифагорейцев был таким трагичным.
Римской империи нужны были солдаты, а не развлекающиеся математики.
Первоначально для пифагорейцев все складывалось достаточно хорошо и удачно. Религия пифагорейцев была математически точна, гармонична и непротиворечива. Поэтому пифагорейцы не уставали повторять, что их религия единственно правильная и верная, а “божественная гармония мира” воплощена в “гармонии чисел” математики и религии Пифагора . Эта религия действительно получила широкое распространение по всей территории Италии и даже за ее пределами. Но это продолжалось сравнительно недолго, а именно, до той поры, пока кто-то из пифагорейцев не доказал существование иррациональных чисел.
Доказательство это очень быстро стало достоянием общественности и, после доказательства существования иррациональных чисел, по всей Италии были образованы кружки и школы софистов, которые переняли у пифагорейцев все самое лучшее (а именно, праздный и аскетический образ жизни и полное нежелание служить в армии). Но, в отличие от пифагорейцев, которые строили свои храмы (здания), софисты не имели религиозного имущества, а выступали в трактирах, на улицах и площадях. У некоторых софистов действительно были свои школы. В основной своей массе выступления софистов были свободным выступлением перед народом. И если учесть, что выступления эти были почти бесплатными (или за мизерную плату), то можно себе представить, какой популярностью они пользовались.
Достаточно часто, издеваясь над математикой Пифагора (и понятием иррациональности), софисты брались доказать любое утверждение, каким бы абсурдным оно не было. Тут же, следом, они брались опровергнуть только что доказанное. Одним из примеров подобного рода доказательств может служить следующий софизм.
- У Адама есть коза.
- У козы есть рога.
- Следовательно, у Адама есть рога.
-
В дальнейшем выступления софистов явились причиной известной полемики следующего содержания:
- Предположим, что у меня есть вассал.
- Пусть у моего вассала есть свой вассал.
- Является ли вассал моего вассала моим вассалом?
Гораздо позже, в государственном управлении, этот софизм получил свое развитие в идее конфедерации.
Разумеется, большинство софистов были просто “актерами”, выступающими на улицах и площадях. Но среди этих “актеров” были действительно выдающиеся личности. Кроме этого, многие софисты сами в свое время были пифагорейцами, которые по тем или иным причинам отошли от этой религии. Поэтому софистов нельзя упрекнуть в отсутствии знаний математики. Некоторые софисты организовали свои собственные школы, по образцу и подобию пифагорейских, но в этих школах отсутствовала религиозная составляющая пифагорейской религии.
Если сравнивать пифагорейцев и софистов в системе общественных знаний, то отношение между ними было примерно такое же, как и отношение между академической (пифагорейцы) и альтернативной (софисты) наукой в современное время. Ведь не следует забывать, что пифагорейцы активно участвовали в системе государственного и общественного управления, занимали многие государственные посты и должности.
Софисты, в свою очередь, находились в стороне от системы государственных органов, и вели самостоятельную деятельность, и пропагандировали свои собственные идеи и знания.
Справедливости ради следует заметить, что многие софисты были по знаниям “на голову выше” любого из пифагорейцев, и именно софисты заложили основу, и разработали основополагающие принципы физической системы знаний, которые впоследствии получили свое развитие в геометрии Евклида и механике Ньютона (понятия расстояния, прямой, окружности, притяжения и многие другие).
Спектр софистических направлений был очень широким. Но все софисты говорили, что гармонию следует не доказывать, а наблюдать в природе, и у самой природы учиться этой гармонии. То есть, примерно тоже, что мы наблюдаем сейчас в физике.
Вообще говоря, никакого антагонизма между математикой Пифагора и физикой софистов не было, и нет. И одно другому не мешает. Тем не менее, некоторое противостояние этих двух систем знаний ощущается и в настоящее время.
Я буду придерживаться здесь определения “иррациональности по Пифагору”, так как именно это определение как нельзя лучше отвечает не только определению математики по А.Н.Колмогорову, но и современным физическим представлениям, и современному состоянию математических знаний.
Не вдаваясь в подробности построения металогической структуры, отвечающей понятию иррациональности, я постараюсь показать некоторые характерные особенности формирования понятия иррационального на простых и наглядных примерах.
В первую очередь, хочу обратить Ваше внимание, что “понятие иррациональности” не имеет никакого отношения к вопросу “десятичного приближения иррациональных чисел”. “Проблема иррациональности” – это общая логическая проблема, которая проявляет себя в любых логических (физических и математических) объектах. Это могут быть функции, матрицы, вектора, измеряемые величины, описание физических процессов, решения уравнений и систем и т.д.
Например, пусть у нас есть некоторое множество функций, участвующих в решении некоторой задачи. Тогда попытка определения на этом множестве операции деления и возведения в квадрат неизбежно приводит нас к существованию “иррациональных по Пифагору” функций и, как следствие этого, необходимости разрешения проблемы иррациональности на заданном множестве.
Далее нам достаточно вспомнить, что понятие “расстояния между физическими объектами” определяется в физике как “корень квадратный из суммы квадратов координат рассматриваемых точек” (одну из точек располагаем в начале координат). То есть, понятие расстояние в физике определяется “иррационально по Пифагору”. Следовательно, любая физическая задача, в которой участвует понятие “расстояния” требует решения проблемы иррациональности.
Например, если мы хотим определить понятие вектора, то все будет гладко и красиво, но лишь до той поры, пока мы не захотим определить понятие “длины вектора”. Как только мы пожелаем это сделать, то тут же возникает “проблема иррациональности”, которую мы оказываемся вынуждены решать..
Этот факт достаточно наглядно иллюстрирует апория Зенона из Элеи “Летящая стрела”. Согласно формулировке Зенона летящая из точки А в точку В стрела не может находится ни в одной точке траектории движения, поскольку если она находится в какой-либо точке, то она не летит, а стоит на месте, а если она летит, то мы не можем указать точку, в которой она находится.
Апория Зенона указывает на то, что в самом начале решения задачи о летящей стреле мы вынуждены “силовым способом” решить для себя проблему – покоится стрела (находится в данной точке), или движется, и в зависимости от этого строить свой дальнейший ряд логических рассуждений.
Присутствие проблемы иррациональности в физике достаточно наглядно показывает метафизическое решение задачи Бернулли и задачи Кеплера в механике, с которыми Вы можете ознакомиться, и принять участие в обсуждении на форуме “Новых физических теорий”.
Вообще говоря, все наши рассуждения по поводу “проблемы иррациональности” не стоят и “ломаного гроша”, если они не дают возможности и способов практической реализации и математического решения этой проблемы. Большинство физиков и математиков интересуют не столько мои рассуждения по поводу проблемы иррациональности, а ответ на вопрос: Как эту проблему решать?
Но, с другой стороны, прежде чем решать эту проблему, необходимо понять, что же это за проблема, и что мы хотим решить?
Если говорить об общих очертаниях “проблемы иррациональности” в современной математике, то она распространяется на три обширные математические области:
- теорию доказательств;
- собственно сама по себе “проблема иррациональности”, и ее формулировка в теории чисел;
- проблема определений.
Чтобы сформировать четкое и ясное представление о структуре “проблемы иррациональности”, я коротко опишу каждую из областей этой проблемы. Начну, как и положено, с конца - с “проблемы определений”, хотя исторически все развивалось в том порядке, который указан. Я думаю, обратный порядок рассмотрения будет сейчас более понятным, и лучше обнажит суть проблемы.
1.2.5. Проблема определений.
Проблемы определений в математике Пифагора не было. Понятие “определения” в математике Пифагора совпадало с понятием число, и всякие рассуждения и модели (религиозного, политического, математического и любого другого содержания) строились по числовой системе, то есть, аналогично тому, как строилась система чисел.
Как уже было сказано, по предположению Фалеса (и Пифагора) все понятия можно разделить на “определяемые” и “неопределяемые”. Тогда, по предположению Пифагора, математика, посредством чисел, должна рассматривать только определяемые понятия, которые удовлетворяют “гармонии чисел”.
Все просто ясно и понятно.
Но после доказательства существования иррациональных чисел встал вопрос о том, к каким понятиям следует отнести иррациональные числа.
С одной стороны вполне очевидно, что иррациональные числа являются ничем иным, как числами. То есть, их следует отнести “к определяемым понятиям”, и рассматривать их в математике.
С другой стороны определить иррациональные числа не представляется возможным, поскольку построить его конструктивно (по аналогии с натуральными числами) мы не можем.
Как я уже сказал, найденные числа, квадрат которых есть число рациональное, Пифагор назвал иррациональными.
Но как в таком случае быть с другими “определяемыми” и “неопределяемыми” реальными нематематическими объектами?
Ведь если следовать логике и аналогии с числами, то должны существовать “иррациональные реальные объекты”. Тогда что это такое, и как эти объекты отличить от “рациональных”?
Поскольку мы находимся на математическом форуме, то, вероятно, язык формул будет для большинства более понятным. Поэтому выполним предварительную формализацию “проблемы определений”.
Прежде всего, убедимся в том, что проблемы определений действительно не существует в случае одного единственного определения.
В самом деле, пусть – некоторое определение некоторых однотипных объектов. Тогда, определив однотипные объекты , мы, тем самым, определяем и объекты – логические отрицания объектов .
Например, в случае числового множества натуральных чисел мы определяем числа 1, 2, 3,…, далее строим целые отрицательные числа – -1, -2, -3, … . В результате получаем почти полную логическую структуру , в которой недостает лишь понятия “ноля”.
Несложно заметить, что построенная структура полностью симметрична, и удовлетворяет логике Аристотеля. То есть с одинаковым успехом мы можем определять объекты , и далее строить объекты . А можно поступить и наоборот – определить объекты , построить их логическое отрицание – объекты . Результат от этого не изменится. Здесь не лишним будет заметить, что именно так предложил поступить и сделать такую замену понятий в логике Кант, а в математике – Кантор. Но в случае одного единственного определения, как мы убедились, это не приводит к каким либо последствиям, а в случае двух определений, как мы сейчас убедимся, такая замена оказывается невозможной.
Ситуация резко изменяется, если нам заданы два определения (или две аксиомы).
Предположим , что нам задана некоторая совместимая совокупность из двух определений (например, рациональные числа - это числа, которые можно сравнить, и которые можно представить в виде ).
Тогда, имея определения , мы в состоянии построить и логические отрицания этих определений .
Но теперь мы видим, что вынуждены определить и понятия и . И если задачу определения совокупности понятий современная математика и физика решает достаточно легко (даже слишком легко, и порой небрежно), а задачу определения совокупности понятий современная математика игнорирует (по логике Аристотеля это делать не обязательно), то как определять совокупность понятий и ???
На этот вопрос современная математика ответить не в состоянии.
С другой стороны, без определения понятий и мы не в состоянии построить полную логическую структуру, и неизбежно либо обнаружим недостаток этих определений или придем к противоречивым результатам.
В результате, как мы убедились, построить полную логическую структуру, отвечающую совокупности двух (и более) определений оказывается не так просто, как это нам кажется первоначально. И сама по себе аксиоматическая система построения математики не обеспечивает не только решения “проблемы иррациональности”, но не обеспечивает она и возможности решения “проблемы непротиворечивости” математики.
Другими словами, какую бы систему двух и более аксиом мы ни взяли, и как бы эту систему аксиом мы ни строили, но получить такими действиями непротиворечивую систему аксиом просто невозможно. Тем более, как следует из вышесказанного, никакая элементарная система аксиом и определений не может быть логически полной.
Но здесь следует обратить внимание, что отсюда не следует, что “непротиворечивую” и “логически полную” систему вообще нельзя построить.
Отсюда следует лишь то, что такая система не может быть аксиоматической.
Построить логически полную и непротиворечивую систему можно, но логические принципы ее построения должны быть несколько иными (металогическими, а не аксиоматическими). То есть, логика, идеология и методы построения таких систем будут достаточно сильно отличатся от традиционных.
Заканчивая предварительное рассмотрение “проблемы определений”, хочу заметить, что структуры и являются:
первая структура – иррациональной;
вторая структура - комплексной,
а структура – трансцендентной.
1.2.6. Проблема иррациональности в теории чисел.
Как я уже говорил, проблема иррациональности проявляет себя практически во всех областях математики и физики. Но, говоря о проблеме иррациональности, обычно подразумевают именно теорию чисел.
С чем связана такая несправедливость по отношению к теории чисел?
Ведь так можно подумать (а многие, вероятно, так и думают), что ко всем остальным разделам математики и к физике проблема иррациональности отношения не имеет.
Все дело в том, что существование “проблемы иррациональности” было впервые доказано в теории чисел.
Как я уже сказал, в математике эта проблема до сих пор не решена, и решить эту проблему можно только методами метаматематики. И это не потому, что метаматематика - это другая математика.
Вовсе нет.
Просто метаматематика заставляет посмотреть на многие математические вопросы и проблемы под новым углом зрения, совсем с другой стороны. Другими словами, с решением этой проблемы математика становится метаматематикой, физика – метафизикой, а логика – металогикой. То есть, проблема иррациональности – этот тот рубеж, который отделяет естественнонаучные дисциплины от метанаучных. На этот рубеж знаний указывали еще и Пифагор, и Сократ, и Аристотель, и Гаусс, и Ньютон, и Эйнштейн.
Да, все они об этом рубеже знаний неоднократно говорили, но преодолеть его они так и не смогли.
И действительно, преодолеть этот рубеж очень непросто.
Не говорят об этой проблеме во всех разделах математики и физики лишь по той простой причине, что не в состоянии эту проблему решить. Например, рассмотрение понятие функционального метаприближения функций – это отдельная тема, и если математика не умеет этого делать, то какой смысл эту тему рассматривать в рамках самой математики?
С другой стороны, решение “проблемы иррациональности” наиболее вероятно именно в теории чисел. А, решив эту проблему в теории чисел, мы можем воспользоваться этим, и по аналогии построить решения во всех остальных разделах математики, физике и логике.
В общем и целом, “проблему иррациональности” в теории чисел мы рассмотрели уже достаточно подробно, и в предыдущем разделе я уже рассмотрел общие принципы и подходы ее решения. Поскольку я здесь рассказываю лишь о самой проблеме иррациональности, а не ее решении, то здесь я могу ограничиться уже сказанным.
1.2.7. Проблема иррациональности в теории доказательств.
Проблема иррациональности в теории доказательств – это, пожалуй, самая веселая и забавная область математики. Парадоксы иррациональности очень любили в своих выступлениях рассматривать софисты. А впоследствии это направление стало основой построения сюжетной линии большинства художественных произведений. Ведь не случайно словосочетание “художественная литература” переводится как “фикция или вымысел”, то есть то, чего нет, и не было на самом деле, но что в действительности могло происходить, и происходило. Другими словами, каждый художник имеет право на преувеличение, и преувеличение это строится, как правило, на обострении иррациональных проблем.
Наиболее просто и до очевидности ярко абстрактную проблему иррациональности обозначили софисты в своих апориях. Зенон, Хрисипп, Диодор, Стилпон, Евбулид, Филон т другие древнегреческие философы применили логику доказательств к высказываниям, и построили целый ряд весьма забавных парадоксов.
Например, Евбулид (Eubulides) из Милета, учитель Демокрита, который, в свою очередь был учителем Аристотеля, известен своими парадоксами “Лжец”, “Куча” и другими.
Апория “Лжец”.
Пусть человек А – лжец, то есть, всегда говорит неправду.
Предположим, что человек А говорит, что он лжет. Тогда этот человек и лжет, и говорит правду одновременно.
Апория “Куча”.
Одно зерно – не куча, два зерна – не куча, три зерна – не куча зерен.
Тогда какое число зерен следует считать кучей?
Стилпон из Мегары (ок. 370-290 гг. до н.э.) известен своим “парадоксом крокодилов”.
“Парадокс крокодилов”.
Крокодил похитил у матери ее ребенка, и та стала просить, чтобы он его отдал.
Крокодил пообещал исполнить просьбу, если она скажет правду.
- Ты не возвратишь мне дитя, - ответила мать.
- Значит я и не должен его возвращать, так как если ты сказала правду, то я не возвращу тебе ребенка, а если солгала, то не выполнила моего условия.
Наиболее примечательна в этом плане школа логики Стои, которая разрабатывалась Зеноном Элейским (ок. 336-264 гг. до н.э.), Хриссипом (ок. 281-208 гг. до н.э.), Посидонием (ок. 135-50 гг. до н.э.) и другими философами. Следует заметить, что именно они ввели в обиход слово “логика” для обозначения науки о мышлении (хотя само слово “логика” для обозначения этой науки было определено Зеноном с острова Крит).
Особенно красивы апории Зенона Элейского.
Апория “Крокодил и черепаха”.
Согласно этой апории быстроногий Ахилл никогда не сможет догнать черепаху, находящуюся в 100 ярдах от него, и двигающуюся в 10 раз медленнее Ахилла. В самом деле, пока Ахилл пробежит первоначальное расстояние в 100 ярдов, черепаха отползет от него на расстояние 10 ярдов. Пока Ахилл пробежит эти 10 ярдов, черепаха отползет от Ахилла на 1 ярд. Пока Ахилл пробежит 1 ярд, черепаха отползет на 1/10 ярда и так далее, до бесконечности.
В современной математике эта апория Зенона присутствует в виде противостояния понятий конструктивной и потенциальной бесконечности.
Легенда рассказывает, что Архимед соорудил систему блоков, с помощью которой один человек смог спустить на воду огромный корабль “Сиракосия”. Тогда Архимед произнес: “ Дайте мне точку опоры, и я подвину Землю”.
В ответ на это Зенон сформулировал следующую апорию: “Что будет, если к незыблемому предмету приложить непреодолимую силу”.
Апории софистов, безусловно, математически точны, красивы и вскрывают целый ряд проблем математики и логики. Но софистов всегда почему-то критиковали. Критиковали до Аристотеля, критиковал Аристотель, критиковали после Аристотеля, пытаются критиковать и сейчас. Хотя было бы лучше, если бы у софистов учились точности, красоте и наглядности изложения логических проблем.
В заключение этого раздела я хочу рассказать еще об одной поучительной истории, связанной с апориями. Эта история произошла уже сравнительно недавно, и результатом ее был логический крах теории множеств Кантора.
В конце ХIХ – начале ХХ вв. канторовская теория множеств оказалась не в состоянии решить ряд логических противоречий и парадоксов.
Б. Рассел обратил внимание на тот факт, что можно говорить о множестве объектов (множестве галактик), но можно говорить и о множестве множеств (множество чисел, множество понятий, множестве абстракций - здесь мы сталкиваемся с логической неопределенностью понятия единственности).
Тогда, если множество объектов (или множество галактик) не является подмножеством самого себя, (множество галактик не есть галактика), то множество абстракций само является абстрактным множеством.
Назовем множество объектов – собственным множеством, подобно тому, как числовое множество объектов мы называем рациональными числами, а абстрактное множество множеств – несобственным множеством (по аналогии с нерациональными числами).
Предположим теперь, что требуется составить множество собственных множеств S.
Тогда возникает вопрос: Будет ли множество S собственным или несобственным?
Предположим, что S – собственное множество.
Тогда мы должны включить его в множество S. Но, если мы это сделаем, то тут же множество S становится несобственным, и мы должна исключить его из S .
Предположим теперь, что S – несобственное множество.
Тогда S должно принадлежать к числу множеств, содержащих самого себя. Но тогда S не будет множеством собственных множеств.
В результате, в обоих случаях мы приходим к противоречию.
Как известно, Г.Фреге был глубоко убежденным сторонником теории множеств Кантора, и написал книгу с изложением этой теории. Но после того, как в 1895 году Фреге получил письмо от Рассела о найденном им противоречии, то, подобно Пифагору, узнавшему о существовании нерациональных чисел, был настолько потрясен, что в последующие десятилетия не смог написать ни одной серьезной работы.
В момент получения письма в печати находился уже второй том книги Фреге по канторовской теории множеств.
Так, подобно пифагоровской вере в понятие числа, погибла канторовская теория множеств под убедительным давлением доводов Рассела.
Теперь сравните доказательство Рассела с доказательством существования нерациональным чисел и далее с “парадоксом крокодила” Стилпона, и убедитесь в их логической аналогичности. Фактически логика множеств в лице Г.Фреге столкнулась с той же проблемой, с которой столкнулась математика 2500 лет назад в лице Пифагора.
Аналогичная участь ждала и теорию доказательств Давида Гильберта.
В 1899 году Гильберт предложил решить проблему иррациональности методами математического формализма. А в 1931 году Гёдель доказал невозможность осуществления этой идеи Гильберта.
Как я уже говорил, аксиоматическая математика так и не смогла решить “проблему иррациональности”, и сейчас в математике вполне актуальны слова, который произнес Демокрит (ок. 460-370 гг. до н.э.) около 2500 лет назад: “Я предпочел бы найти хотя бы одно причинное объяснение (непротиворечивое доказательство), нежели обрести персидский престол”.
Моя точка зрения.
Как я уже сказал, “проблема иррациональности” проявляет себя в самых разных областях математики, физики и логики. Здесь я рассмотрел лишь ту небольшую часть этой проблемы. Например, я не рассматривал проблему иррациональности в теории функций и функционального приближения, в понятиях векторного и тензорного анализа, абсолютно не касался этой проблемы в физике и многих других.
Здесь я постарался дать лишь общее обзорное представление об этой проблеме. Но и из этого обзора достаточно хорошо видно, что “проблема иррациональности” за 2500 лет не потеряла своей актуальности, а напротив, обнажила и обострила недостатки современной аксиоматической математики и физики.
Можно ли решить эту проблему?
По моему мнению - да!
Но тема возможностей решения этой проблемы требует отдельного внимательного рассмотрения и изучения. Поэтому здесь я этого делать сейчас не буду, а попытаюсь ответить на вопрос: Почему проблема иррациональности присутствует в математике и физике, и каковы ее корни?
Как я уже говорил, в результате доказательства существования нерациональных чисел был сделан вывод об ошибочности математики Пифагора. В действительности ошибочным является предположение Фалеса о возможности деления понятий на “определяемые” и “неопределяемые”. Согласно этой философии и религии все понятия строятся по системе вложенных сфер. Например, натуральные числа входят в понятие целого числа, целые числа являются подмножеством рациональных чисел, действительные числа полностью включают в себя рациональные числа, а комплексные числа включают в себя и все действительные числа.
Пифагор, определив понятие иррационального числа как числа, квадрат которого есть число рациональное, впервые сделал попытку разорвать эту логику вложенных множеств. Но этого практически никто не заметил, и математика вновь вернулась “на круги свои”. Определение иррациональности Пифагора проигнорировали и забыли.
Реанимировать определение Пифагора попытался Гаусс, но и эта попытка осталась безрезультатной.
Последнюю попытку предпринял Вейерштрасс, но и его обвинили в “непонимании математики”.
В свою очередь, определение иррациональности по Пифагору приводит к совершенно иной структуре построения математики. Вместо структуры вложенных сфер Фалеса мы получаем древовидную ветвящуюся структуру математических знаний. Именно эта структура и обеспечивает решение “проблемы иррациональности” в математике, физике и логике. Но это уже совсем другая тема.
Что же касается обзорного рассмотрения “проблемы иррациональности”, то я полагаю на этом можно закончить?
Озолин Э.Э. (Ozes)
Взято где-то из интернета.................
Другие статьи в литературном дневнике:
