Парадокс лотереи и закона больших чисел Бернулли

                Посвящается РЕАЛЬНОМУ ЗАКРЫТИЮ
                игорных заведений с 1-го июля 2009 года вне игровых зон

         в связи с вступлением вчера, 30.06.2009,  в силу Пункта 1 статьи 17, пункта  1 статьи 18 и статьи 19
       ФЕДЕРАЛЬНОГО ЗАКОНА от 29.12.2006 N 244-ФЗ «О ГОСУДАРСТВЕННОМ   РЕГУЛИРОВАНИИ  ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПО ОРГАНИЗАЦИИ И ПРОВЕДЕНИЮ АЗАРТНЫХ ИГР И О ВНЕСЕНИИ ИЗМЕНЕНИЙ В НЕКОТОРЫЕ ЗАКОНОДАТЕЛЬНЫЕ АКТЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (принятого ГД ФС РФ 20.12.2006), http://nalog.consultant.ru/doc64924.html


                ПАРАДОКС ЛОТЕРЕИ И ЗАКОНА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ БЕРНУЛЛИ

                Возможность – благоприятный случай получить разочарование

                А. Бирс

                («Афоризмы, цитаты, и крылатые слова»,
                http://aphorism-list.com/t.php?page=vozmojnost)


                Твои шансы выиграть в лотерею возрастут,
                если ты купишь билет

                Уинстон Грум (из «Правил Форреста Гампа»)
                («Афоризмы об играх»,
                http://letter.com.ua/aphorism/game1.php)



   «Парадокс лотереи

Вполне ожидаемо (и философски проверяемо [англ.]), что данный конкретный билет не выиграет, но нельзя ожидать, что никакой билет не выиграет» («Академика», Список парадоксов,  http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/165304).

   «Парадокс лотереи (типа спортлото)

   Большинство участников лотерей (в которых выигрыш распределяется между всеми победителями, как в спортлото) обычно не ставят на "слишком симметричные" комбинации, хотя все комбинации равновозможны. Причина этого проста. Игроки по опыту знают, что, как правило, выигрывают не симметричные комбинации. В действительности выгоднее ставить на наиболее симметричные комбинации именно потому, что…. Почему?» (выдержки из книги: Г. Секей. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. М.: Мир. – 1990, http://arbuz.uz/t_paradox.html).


                РЕШЕНИЕ


   Все в жизни играли в какие-либо игры, необязательно в азартные, которые, так или иначе, связаны с вероятностью. А если кто-то и не играл, то наверняка подбрасывал пару раз в жизни монетку. Просто так, для развлечения или решая какой-либо вопрос, на который самому делать выбор оказывалось непосильным или невозможным. И я проделывал в детстве то же самое. Но уже тогда в голове закрадывалось какое-то сомнение в правильности обоснования своего выбора решений даже пустяковых вопросов подбрасыванием монетки. Видимо, уже тогда не хотелось передоверять собственное право выбора слепому случаю. Но не столько из-за того, что я и сам могу выбрать лучший вариант именно сейчас и именно для себя, а больше из-за того, что такой выбор не будет справедливым. Справедливым настолько, что я без всяких дальнейших раздумий и внутренних колебаний смог бы его принять и действовать сообразно этому выбору. А затем я и вовсе прекратил дальнейшие попытки принятия решений таким нехитрым способом, когда мои опасения подтвердились во время просмотра одного из популярных индийских фильмов, проходивших у нас в 80-х годах. Если не ошибаюсь, это был фильм «Месть и закон». В нём один из главных героев, делая выбор чего-либо, с серьёзным видом подбрасывал монетку. И всё было бы ничего, да только когда его подстрелили всё-таки, и он подарил свою «счастливую монетку», то оказалось, что она была с двумя одинаковыми сторонами. Видимо, этот герой хорошо усвоил первое правило успеха: если хочешь выиграть в казино, стань его владельцем.


   На вопрос задачи, приведённой Секеем в своей книге, о том, почему ВЫГОДНЕЕ выбирать именно симметричные варианты геометрического расположения номеров на поле карточки, ответ не так уж и сложен. Вывод следует, исходя из трёх условий:

1) все варианты: и симметричные, и несимметричные – равновероятны;

2) большинство игроков выбирают несимметричные варианты;

3) получаемая сумма выигрыша зависит от количества: а) участников, б) выигравших (по категориям выигрыша, конечно);

следовательно, с точки зрения выгоды, то есть увеличения возможной прибыли при угадывании, симметричные варианты угадает намного меньшее количество игроков при том же самом количестве участвующих в лотерее, и сумма выигрыша будет делиться между намного меньшим количеством победителей.

   Но с другой стороны, если бы всё так было просто, то и не возникало бы никаких сложностей с определением вероятности тех или иных событий. А парадоксов и разнообразных парадоксальных задач по теории вероятности существует не меньше, а то и гораздо больше, чем в других отраслях науки (в тех же математике, логике, физике). Например, такая задача.

                «Парадокс игры в кости

   Правильная игральная кость при бросании с равными шансами падает на любую из граней 1,2,3,4,5 или 6. (Сумма очков на противоположных гранях равна 7, т.е. падение на 1 означает выпадение 6 и т.д.).

   В случае бросания 2-х костей сума выпавших чисел заключена между 2 и 12. Как 9, так и 10 можно получить двумя разными способами: 9 = 3 + 6 = 4 + 5 и 10= 4 + 6 = 5 + 5. В задаче с тремя костями и 9 и 10 получаются шестью способами. Почему тогда 9 появляется чаще, когда бросают две кости, а 10, когда бросают три?» (выдержки из книги: Г. Секей. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. М.: Мир. – 1990, http://arbuz.uz/t_paradox.html)».

                ОТВЕТ


   В этой задаче нет никакого парадокса. Парадоксальность, а точнее уловка, скрыта в неполной информации: количество вариантов возможных комбинаций больше указанного. Потому что указаны лишь типы вариантов, способы составления, которые нужно распределить на количество костей.

   Ответ прост: 9 появляется чаще, когда бросают две кости, а 10, когда бросают три, потому что вероятность выпадения суммы, равной 9, при двух костях больше, чем вероятность выпадения суммы, равной 10, при трёх костях, что отражает соотношение количества вариантов составления этих сумм.

                Количество вариантов составления сумм:

А.  9 на двух кубиках:  3+6 (2 возможных варианта, то есть на первом 3 на втором 6 и наоборот) и 4+5 (2 вар.).                Итого: 4 варианта

      10 на двух кубиках: 4+6 (2 вар.) и 5+5 (1 вар.).                Итого: 3 варианта

Соотношение вероятности в пользу суммы 9.

Б. 9 на трёх кубиках: 1+2+6 (6 вар.), 1+3+5 (6 вар.), 1+4+4 (3 вар.), 2+2+5 (3 вар.), 2+3+4 (6 вар.), 3+3+3 (1 вар.).                Итого: 25 вариантов

     10 на трёх кубиках: 1+3+6 (6 вар.), 1+4+5 (6 вар.), 2+2+6 (3 вар.), 2+3+5 (6 вар.), 2+4+4 (3 вар.), 3+3+4 (3 вар.), 4+4+2 (3 вар.)                Итого: 30 вариантов

Соотношение вероятности в пользу суммы 10.




Почему же вероятность событий порождает столько противоречий?

   Возможно, я ошибаюсь, но, по моему мнению, даже математики, не говоря уж о тех, кто вовсе не знаком с теорией вероятности, находятся в плену одной ложной исходной посылки о распределении вероятности. Это представление о том, что события происходят только в зависимости от их вероятности, без учёта распределения вероятности во времени. Жизнь не всегда идёт по рассчитанным схемам и именно так, как её описывают математически. Отражение этой двуликости: математического расчёта и в то же самое время не совпадение с ним – приводится в следующем  парадоксе.


                ПАРАДОКС ЗАКОНА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ БЕРНУЛЛИ

   «Отношение выпадений герба или решки к общему числу попыток при большом числе бросаний стремится к 1/2. Некоторые игроки уверены, что при серии выпадений орлов увеличивается вероятность выпадения решки. И в то же время у монет нет памяти, они не знают предыдущие броски и каждый раз вероятность выпадения орла или решки равна 1/2. Даже если перед этим выпадали 1000 гербов подряд. Не противоречит ли это закону Бернулли?» (выдержки из книги: Г. Секей. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. М.: Мир. – 1990, http://arbuz.uz/t_paradox.html).

   Закон больших чисел Бернулли

   «Пусть производится последовательность независимых испытаний, в результате каждого из которых может наступить или не наступить событие А, причём вероятность наступления этого события одна и та же при каждом испытании и равна р. Если событие А фактически произошло m раз в n испытаниях, то отношение m/n называют, как мы знаем, частотой появления события А. Частота есть случайная величина, причем вероятность того, что частота принимает значение m/n, выражается по формуле Бернулли …

   Закон больших чисел в форме Бернулли состоит в следующем: с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что при достаточно большом числе опытов частота появления события А как угодно мало отличается от его вероятности, т. е…

…иными словами, при неограниченном увеличении числа n опытов частота m/n события А сходится по вероятности к Р(А)» (Теория вероятности, §5. 3. Закон больших чисел Бернулли. , http://www.toehelp.ru/theory/ter_ver/5_3)


   Таким образом, из противоречий, заключённых в этих парадоксах, можно сформулировать общую проблему.

   Противоречия:

1. Парадокса лотереи – вероятность выигрыша конкретного билета ничтожна, но вероятность выигрыша какого-либо билета равна 1, то есть 100 процентам;

2. Парадокса закона больших чисел Бернулли – вероятность выпадения любого варианта равнозначна, но в действительности она должна меняться при большем выпадении одних вариантов для приведения вероятности к балансу.

   Проблема, на мой взгляд, содержится в непонимании неравномерного распределения вероятности на количество вариантов или, другими словами, в зависимости вероятности одного варианта события от другого во временном контексте.

   Никто не будет спорить, что сумма вероятностей вариантов события равна единице. Но почему все считают, что распределение по вариантам равномерно? Такой подход полностью игнорирует изменчивость мира в течение времени. И те же выпадения  сторон монетки должны тогда строго чередоваться по очереди: орёл, решка, орёл, решка. Тогда распределение вероятности, рассчитанное по формуле, будет полностью совпадать с действительным ЗА ЛЮБОЙ КОНКРЕТНЫЙ ПЕРИОД ВРЕМЕНИ. Потому что в пределах этого временного периода, количество выпадающих разных вариантов будет одинаковым. Но в действительности это не так. Внутри отдельных периодов вероятность каждого варианта события меняется от 0 до 1 (от нуля до ста процентов). Например, когда из десяти раз все десять раз выпадет орёл (или красное, если это рулетка в казино). Мне известен случай, когда в рулетку выпало 15 раз подряд чёрное. Это с точки расчета вероятности вообще невозможно, если брать за единицу, то есть сумму всех возможных вариантов, к примеру, 20 выпадений, в которые входят эти пятнадцать. И это, кстати, продолжая мысль, почему-то не привело к следующим пятнадцати выпадениям красного цвета. Такие выпадения подряд игроки называют сериями. Серии наблюдаются и в спорте, да вообще везде.

   Вы скажете, что закон Бернулли описывает периоды с большими, «неограниченными количествами опытов» и в этих пределах он верен? Тогда почему бы той же монетке не выпасть сначала 1000 раз одной стороной подряд, а затем тысячу раз другой? Ведь закон в этом случае не нарушается ни на каплю? В действительности этого не происходит. В действительности любые длинные ряды выпадений двух возможных вариантов событий (А и Б, что можно заменить, например, на «орёл» и «решка») будут близко соответствовать схеме выпадений:

А,  Б,  А,  Б,  ААА,   Б,  АА,  ББ,  АА,  ББББББ,  АА,  БББ,  А,  ББББББ,  ААА,  Б,  АА,  ББ,  А,  Б,  АААА,  Б,  АА,  БББ,  АААА,  Б,  А,  Б,  А… (по 30 А и Б, всего 60).

   Как видно, в рамках каждого конкретного отрезка (периоды выпадений или периоды времени) наблюдаются неравномерности. И длительность «серий» выпадений одного варианта а) подряд и б) в рамках периода (например, 10 выпадений) может колебаться. Теоретически амплитуда таких колебаний ничем не ограничена, но практически не ограниченных по длительности серий не существует. То есть существует некий предел, до которого возрастает длительность «серий», её «длина». Этими двумя ограничениями и регулируется баланс вероятности вариантов события: во-первых, переменчивостью вариантов в рамках произвольного периода (времени), другими словами, переменой «длины» серий от 1 до нескольких повторов подряд, а во-вторых, ограничением длины и частоты серий в рамках произвольного периода (времени). Этим достигается разнообразие событий, вариативность.

   Такое распределение вероятности и отмечают игроки, которые выбирают несимметричные варианты расположения номеров на лотерейной карточке. Они исходят не из равного распределения вероятности  на количество номеров, то есть их равновозможного выпадения, а, как раз, из неравномерного распределения вероятности по номерам. Почему-то ещё до сих пор не выпадало тех же самых номеров не то, что два тиража подряд, но и в массе всех тиражей. Это я могу говорить с уверенностью на основе изучения лотереи «Спортлото 5 из 36», проводимой в течение десятков лет. Подряд два тиража выпадет максимум 1 номер предыдущего тиража (достаточно часто – около четверти тиражей), 2 (в единичных случаях), 3 (в более редких случаях). Согласно теории вероятности когда-нибудь и все пять номеров выпали бы одинаковыми два тиража подряд. Но на это ушли бы тысячи лет, даже если бы тиражи проводились каждый день, а не раз в неделю. Это следует, если исходить из того, что общее количество возможных вариантов в лотерее «Спортлото 5 из 36» (36 * 35 * 34 * 33 * 32 / 1 * 2 * 3 * 4 * 5) = 376. 992, а повтор пяти номеров предыдущего тиража произойдёт не раньше, чем выпадут все возможные варианты хотя бы раз, что произойдёт при проведении 1 тиража в день, с учётом високосных годов за: 376. 992 / (365 * 4 + 1) * 4 = 1032,1478 ~ 1032 года. Но даже и после полного перебора всех возможных вариантов подряд два одинаковых тиража могут не выпасть ещё несколько тысяч лет, а возможно, и никогда.

   Поэтому я абсолютно согласен с игроками, выбирающими наиболее часто выпадающие, несимметричные варианты. Потому что дождаться выпадения варианта, например, из фильма «Спортлото - 82» с М. Пуговкиным и М. Кокшеновым – 1,2,3,4,5,6 просто не-ре-аль-но. С таким же успехом можно дожидаться дождя на Марсе.
   Добавлю, что, зафиксировав распределение вероятности определённым способом, я увидел, что типы вариантов, подобные приведённому из фильма, составляют ничтожные доли процента от всех выпадающих других типов, классов вариантов, а по теории вероятности они равновозможны.

   Парадокс лотереи возникает из-за того, что вероятность выигрыша каждого конкретного билета в отдельности, то есть любого, ничтожна мала, стремиться к нулю, но вероятность выигрыша какого-то одного конкретного билета равна ста процентам. Потому что вероятность выпадения конкретных номеров в конкретном тираже распределена между всеми вариантами  не-рав-но-мер-но. Грубо говоря, сто процентов вероятности делится не на всю массу билетов, а на две части – все выигравшие (то есть один, для упрощения) и все проигравшие (все остальные). Таким образом, шанс выиграть есть и у каждого, и ни у кого. Потому что невозможно узнать, КАКОЙ ИМЕННО билет выиграет, но что КАКОЙ-ТО ОДИН билет выиграет, мы знаем заранее (не вдаваясь в детали количества выигравших и условий выигрыша).
   В этом месте, как это ни смешно, становится очевидной правота «женской логики», которая утверждает, что вероятность падения метеорита на Красную площадь равна не один к нескольким миллионам, а пятьдесят на пятьдесят – или упадёт или нет.
   Видимо, подобного моему мнения придерживался и такой известный математик, как Пуанкаре. «Пуанкаре как-то заметил с сарказмом, что все верят в универсальность нормального распределения: физики верят, потому что думают, что математики доказали его логическую необходимость, а математики верят, так как считают, что физики проверили это лабораторными экспериментами» (Парадокс де Муавра, выдержки из книги: Г. Секей. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. М.: Мир. – 1990, http://arbuz.uz/t_paradox.html).


   То есть парадокс лотереи возникает из-за неправильной исходной посылки – распределение вероятности не равномерно в рамках отдельного периода, а изменчиво. И если принять за отдельный период один тираж, то в нём НЕ МОГУТ выпасть ВСЕ возможные варианты, а выпадет только ОДИН. Поэтому противоречивое понимание вероятности исчезает: вероятность выпадения абсолютного большинства вариантов будет равна нулю, и лишь вероятность одного варианта будет равна единице.


   В парадоксе лотереи нет противоречивых условий:

 1) только один вариант выпадает в конкретном тираже из всех возможных (выигрывает один билет);

 2) возможных вариантов намного больше одного.

Следовательно, вероятность ожидания выигрыша только ОДНОГО из всех возможных вариантов (билетов) стремиться к единице, а вероятность ожидания выигрыша ВСЕХ ОСТАВШИХСЯ ОТ ОДНОГО вариантов (билетов) стремиться к нулю.

В парадоксе больших чисел Бернулли тоже нет противоречия:

1) вероятность выпадения одного из возможных вариантов равна половине – 0,5;

2) ожидание изменения вероятности выпадения второго из возможных вариантов после серии выпадений первого меняется.

Следовательно, вероятность события в целом не меняется, то есть сумма вероятностей вариантов остаётся прежней, но в рамках отдельного периода, тем более, если он несравнимо мал по отношению к сумме всех возможных периодов выпадений, вероятность меняется, что и отражается в ожиданиях игроков.

   Попробуйте доказать выигравшему крупную сумму, что вероятность этого была бесконечно мала. Тем более, попробуйте это доказать нескольким или тысячам таких людей. Вероятность даже родиться для некоторых была абсолютно мизерной, но, тем не менее, это произошло.
   Невозможность выигрыша многие сравнивают с возможностью падения на голову метеорита или удара молнии. Попробуйте доказать, что это невозможно, потому что вероятность этого бесконечна мала, пострадавшим от них. Как, например, женщине, исцелившейся от удара молнии: «Уникальный случай был зафиксирован в сербском городе Сливовица, сообщает портал DELFI. Молния попала в 51-летннюю Наду Акимович, ранее страдавшую аритмией. Однако в результате воздействия мощного разряда электрического тока болезнь прошла» (Удар молнии исцелил женщину/Дни.ру, 23:23 / 10.07.2009, http://www.dni.ru/incidents/2009/7/10/170321.html) – или мальчику из Германии: «…Шанс получить удар метеоритом составляет 1 к ста миллионам… "Сначала я увидел большой огненный шар, а потом неожиданно почувствовал боль в руке".» (В немецкого мальчика попал метеорит/MIGnews.com,  14.06.2009, 02:42, 
   

   Таким образом, В ПАРАДОКСЕ ЛОТЕРЕИ НЕТ ПРОТИВОРЕЧИЯ, КАК И В ПАРАДОКСЕ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ БЕРНУЛЛИ.
 

                01.07.2009 03:00 – 6.30

фото - Гослото, http://www.gosloto.ru/index.php?id=93

PS: вероятность появления другой статьи вместо этой была близка к 100 процентам, именно сегодня или в ближайшие дни. Однако этого не произошло. А появление этой статьи в ближайшие недели было вообще близко к нулю. Однако это произошло.