Шестая псионическая олимпиада

[В скобочках указано количество баллов за разрешение всех заданных в задаче вопросов]

Данная олимпиада уникальна… разнообразием своих задач и теорем галактического масштаба…

*** Задача 1 ***

(4 балла)

Тёмный маг и светлый маг встретились во время своего вечернего досуга на крыше случайного мотеля. “И да случится великая битва!” – гласило древнее пророчество, и битва началась! Масса светлого мага m1 = 75 кг, масса тёмного m2 = 66 кг. Рост тёмного мага h2о = 2 м, как дал этому оценку светлый маг своим зорким взглядом. Тёмный маг подпрыгнул на высоту h с начальной скоростью прыжка Vо, при этом сделав полуприседание в воздухе, что уменьшило его рост на h2’ = 0,5 м. Сделав этот коварный прыжок, маг сил Тьмы застыл в воздухе. Если позицию ног тёмного мага принять за точку M, позицию ног светлого мага за точку P, а проекцию точки M на плоскость поверхности крыши обозвать точкой G, то угол MPG есть угол a, гипотенуза MP = l, MG = h. Тёмный маг напряг все мышцы рук и выставил их вперёд – сверкнул разряд молнии. Маг силы Тьмы создал магнитное поле с зарядом q, на который действовала сила Лоренца Fл = 1 Н, с индукцией B = 10 Тл и скоростью V. Светлый маг силой мысли создал в поле напряжение U = 10 В и сопротивление Rс = 1000000000 Ом. Все эти действия происходили в течение t3 = 5 с. Выдавив из себя “лёгкую разрядку”, тёмный маг взмахнул посохом, прочёл заклинание и направил появившуюся из ядра посоха струю дьявольской жидкости массой m3 = 10 кг в светлого. Волшебное ядро посоха тёмного мага состоит из тория. Струя моментально кристаллизировалась и ударила в мага сил Света твёрдостью алюминия, на что светлый маг незамедлительно ответил, взмахнув правой рукой и выпустив струю яркого горячего луча массой m4 = 1 кг в сторону тёмного мага. Тёмный маг нагрелся на T = 200 К. Затем маг сил Тьмы снял свои солнечные очки от производителя “Maison Martin Margiela” и выпустил в мага сил Света красный лазерный луч из глаз. В ответ на это светлый маг скинул плащ и выставил напоказ свои германские готические доспехи второй половины XV века, на которых в области грудной клетки стразами “Сваровски” было выгравировано “make love not war”. И отразил луч под углом c прямо в землю! “Чёртова поляризация” – хмыкнул тёмный маг. После этого битва замерла и начались долгие философские рассуждения о смысле существования Света и Тьмы. “Ты жалкий пройдоха! Ты всего лишь пешка и находишься под давлением жалких сил Света!” – заорал в ярости тёмный маг. “А насчёт давления ты прав!” – сказал светлый маг, ведь на него действовало постоянное давление света p. “Но я его выдерживаю! Я тренирую и чувствую Силу! А мой великий коэффициент отражения позволит понять тебе глубину моей мудрости” – добавил маг Света, а потом шёпотом: “99”… И битва, после первой её минуты, снова продолжилась.

Вопрос: кто круче?

Дополнительно: гравитационная постоянная, G = 6,67 x 10^-11 м^3 / (кг • с^2); радиус Земли, R = 6400000 м; питч-угол, b = 45 градусов; удельная теплота плавления серебра, Y = 105 х 103 Дж / кг; удельная теплоёмкость гелия, che = 5190 Дж / (кг • К); показатель преломления страза “Сваровски”, n2 = 2,25; освещённость поверхности, E = 2000 люкс; скорость света на крыше мотеля, c = 3 х 10^8 м / с; период полураспада тория, TTh = 220903200000 c.

Решение:
Чтобы понять, кто круче, прежде всего надо начинать с силы, с которой действуют два мага друг на друга. Не забываем, что тёмный маг застыл в воздухе на высоте h. Светлый же просто стоял на земле, значит, 0:1 в пользу Тьмы.
F = Fо - F2 = G m1 m2 ((1 / (R + h)^2) - (1 / R^2)).
Чтобы найти высоту h, необходимо произвести следующие вычисления.
sin a = h / l.
sin^2 a = h^2 / l^2.
h2о = (Vо^2 • sin^2 a) / 2g = 2g • l^2 / Vo^2.
Распишем относительное удлинение роста тёмного мага для взгляда светлого.
h2о = (h • корень из (1 - V^2 / c^2)) - h2’.
h = (h2о + h2’) / корень из (1 - V^2 / c^2).
Временно забудем о поиске недостающей величины V и рассчитаем всё, что неизвестно из ударов молнии тёмным магом. Самая большая величина, созданная в этот момент тёмный магом, была численно равна 10, в то время как светлый маг силой мысли создал сопротивление аж в 1000000000 Ом. Счёт 1:1.
Fл = qVBsinb.
sinb = sin 45 градусов = 0,5.
q = Ut3 / Rс = 2000 х 5 / 1000000000 = 10^-5 (Кл).
Найдём скорость V частицы q в магнитном поле с индукцией B и питч-углом b.
V = Fл / qBsinb = 1 / (10^-5 х 20 х 0,5) = 20000 (м / с).
Т.к. V в условии задачи обозначена точно так же, как неизвестная нам скорость V при расчёте относительного удлинения роста тёмного мага, то пусть это и будет наша искомая V. Подставляем и находим F.
h = (h2о + h2’) / корень из (1 - V2 / c2) = 2,5 / корень из (1 - 20000 / 300000000) = 2,50008.
F = Fо - F2 = G m1 m2 ((1 / (R + h)^2) - (1 / R^2)) = 6,67 х 10^-11 х 75 х 66 ((1 / (6400000 + 2,50008)^2) - (1 / 6400000)^2) = 627313,5 х 10^-32 (Н).
Теперь выясним, сколько же теплоты было потрачено обоими магами, когда тёмный маг применил посох, а светлый направил контратаку взмахом правой руки. Также узнаем, на сколько процентов больше один из магов потратил теплоты, чем второй. Кристаллизацию берём по модулю.
Q1 = Y m3 = 105000 х 10 = 1050000 (Дж).
Q2 = che m4 T = 5190 х 1 х 200 = 1038000 (Дж).
ню = 100 ((Q1 - Q2) / Q1) = 1,14 %.
Тёмный маг произвёл на 1,14% больше энергии. Счёт 1:2, и снова в пользу Тьмы. Выясним, под каким же углом стрелял тёмный маг, когда направлял лазерный луч из своих глаз. Т.к. в амуниции светлого мага не зря упоминаются стразы “Сваровски”, несложно догадаться, что взгляд мага сил Тьмы был устремлён во время атаки именно в них, почему луч и поляризовался. Пользуемся законом Брюстера.
tgc = n2 / n1 = 2,25.
с = arctgс = 66 градусов.
Тёмный маг был в очках от производителя “Maison Martin Margiela”, светлый был в германских готических доспехах второй половины XV века со стразами от “Сваровски”. Каждый по-своему крут, и счёт 2:3. Узнаем, какое же постоянное давление света испытывает светлый маг. Маг силы Света делает счёт 3:3, т.к. в отличие от тёмного в течение всей битвы испытывал постоянное давление света p.
p = E (1 + Rотр) / c = 2000 х (1 + 99) / (3 х 108) = 666 х 10^-6 (Н / м^2).
И, наконец, задумаемся: если ядро посоха тёмного мага состоит из радиоактивного тория, то за минуту битвы оно наверняка потеряло какую-то свою часть!
mn = YTh • tм = ln2 х 60 / TTh = 0,693 х 60 / 220903200000 = 1884 x 10^-12 (кг).
Посох как неотъемлемая часть амуниции мага сил Тьмы, не имел права терять ни капли своей силы, а он уменьшился в силу распада тория! 4:3 в пользу Света. Но не забудем, что в течение всей битвы атаковал тёмный маг, светлый же только защищался. Счёт 4:4. Как только светлый маг заикнулся про красоту численного значения давления света, постоянно испытуемого им, и счёт стал 5:4, тёмный маг выпалил про свой мастерский выстрел лазером из глаз в 66 градусов. Счёт 5:5.

Ответ: ничья.

*** Задача 2 ***

(2 балла)

Парень очень хочет понравиться девушке. Девушка живёт на втором этаже дома и любуется ночным небом, Луной… Сейчас 1:00 ночи, у девушки бессонница, а парень наматывает круги радиусом R = 1500 м вокруг её района на своей крутой машине со скоростью V = 100 км/ч.

Вопрос: учитывая то, что закат был в 21:20, а рассвет наступает в 5:50, рассчитайте, на каком кругу парень должен сбросить скорость и до какой именно, чтобы девушка вдоволь налюбовалась его машиной, а парень проехал мимо девушки с этой новой скоростью ровно трижды, если учесть то, что в самой середине этой прекрасной ночи, на целых 10 минут её пика, вдруг появились облака, затмившие девушке Луну и наконец позволившие ей заметить парня?

Примечание: парень стартует от места, над которым расположено окно девушки; также парень замечает, что невыгодно с его-то потрясающей машиной тормозить вне видимости окна девушки.

Решение: сначала найдём пик ночи: он приходится на среднее время между закатом и рассветом.
(5:50 - (24:00 - 21:20)) / 2 = 1:35.
100 км / ч = 27,8 м / с (V).
Т.к. 10 минут пика ночи приходится на облака, то это время – с 1:30 до 1:40 ночи. Узнаем, какой круг навёрстывал парень в 1:30 ночи, переводя время сразу в секунды.
(24:00 - 21:20 + 1:30) / (2 пи R / V) = 15000 / 338,8 = 44,3.
Сделав 44 полных круга, на 45-м парень проезжает заветное время в 1:30 ночи. Т.к. парню невыгодно тормозить вне окна девушки, он сделает это ровно после того, как пройдёт 45-й круг и девушка оценит искусство вождения парня, коему он учился годами у брата за приставкой (впрочем, это уже совсем другая история…). Найдём, сколько было времени по прошествии парнем 45-го круга, сразу переводя время в часы / минуты / секунды.
(338,8 х 45 - (24:00 - 21:20)) = 1:34:06.
Парню необходимо миновать окно девушки ровно в 1:40 ночи, что и будет для парня точкой проезда 47-и кругов. Найдём скорость парня, с которой он должен ехать весь 46-й и 47-й круг, переводя сразу в км/ч.
2 х 2 пи R / (1:40:00 - 1:34:06) = 191,6 км/ч.
А, значит, скорость, с которой парень должен тормозить на 46-м и 47-м кругу, это -91,6 км/ч.

Ответ: на 46-м кругу парень должен сбросить скорость на -91,6 км/ч.

*** Задача 3 ***

(3 балла)

Пипл Вейдэр и пипл Поттер а плэинг ин чесс. Идёт зэ фирст минит от зис гейм. Вейдэр из со злой, со нэвэ! Хи плэйин онли зэ Конём. Поттер вонна со мач дэстэни!!!

Вопрос: на каком ходу партии Вэйдэру будет поставлен первый шах?

Дополнительно: влажность воздуха 68%, длина зала 50x43x8 м, здание некрытое, температура +21;C, вес фигурок колеблется от 150 до 280 г (в зависимости от того, сколько на фигурку наклеек наклеил Вейдэр), идёт 2-й ход игры, Поттер ждал реванша 2 года.

*** Задача 4 ***

(10 баллов)

LIGHT + VADER = DEVIL.

Вопрос: вместо букв подставьте верные цифры (каждая буква скрывает свою цифру) и получите наибольшее значение числа DEVIL.

Решение: мы – люди современного мира, не любящие тратить ненужного времени, а значит, будем решать самым быстрым способом – методом подбора. Угадал – молодец.

*** Задача 5 ***

(8 баллов)

Вопрос: какова вероятность вероятности вероятности вероятности вероятности вероятности … вероятности существования бесконечности?

*** Задача 6 ***

(6 баллов)

Теорема-6 говорит об обратимости натуральных целых чисел первого десятка в величайшее из чисел – число 6.

Вопрос: докажите теорему-6.

Решение: начинаем с числа 0, заканчиваем числом 9.
0 – есть ни что иное как вторая (2) цифра числа 10, 10 в свою очередь – это 6 + 4, 4 – это 6 - 2, 2 – это 6 - 4: замкнутый круг приводит нас к числу 6, главенствующему в трёх разностях вычитаемому – 3 раза, а 3 – это наибольший из делителей 6.
1 – есть ни что иное как 6 - 5, 5 – это половина от 10, а 10 – число, описанное выше.
2 – это 6 / 3, 3 – это 2 + 1, 1 – это первая цифра числа 10, а 10 – описано выше.
3 – наибольший делитель числа 6, 3 – это 6 / 2, 2 – это дважды (2) 1, 1 – это первая цифра числа 10, а 10 – описано выше.
4 – это 6 - 2, 2 – это наибольший и единственный чётный делитель числа 6; также 4 – это дважды (2) 2.
5 – это 6 - 1, 1 – первая цифра числа 10, а 10 – описано выше; также 5 – это половина числа 10.
6 – это 6!
7 – это 6 + 1, 1 – первая цифра числа 10, а 10 – описано выше; также 7 – это число, в которое округляется число 6,(6) – бесконечный ряд великих шестёрок.
8 – это половина от числа 16, 16 в свою очередь состоит из чисел 1 и 6, где 1 – это 6 - 5, а 5 – половина от числа 10, которое описано выше.
9 – это трижды (3) 3, 3 – это наибольший делитель числа 6.

Ответ: теорема доказана.

*** Задача 7 ***

(4 балла)

Имеем достаточно большой лист в клеточку. В нём, соблюдая масштаб 1 = 1 клетка, рисуем прямоугольный треугольник ABC с катетами BC = 1 и AB = 2. Также имеем единичный отрезок, равный 1, который всегда можно измерить и которым всегда можно продлить любой, полученный методом черчения отрезок. В треугольнике ABC найдём гипотенузу AC – корень из 5. Теперь дорисуем новый треугольник, у которого катетом будет AC, а второй нарисуем, проведя из вершины C перпендикуляр к AC, равный 1 (имеющегося у нас отрезка). В новом треугольнике ACD гипотенуза AD будет равна корень из 6. Затем рисуем таким же образом третий треугольник с катетами AD и DE, прочерчиваем гипотенузу AE – корень из 7. И т.д.

Вопрос: на корне какого числа остановится злобный и вечно недовольный Денис?

Примечание: температура тела Дениса - +35,9 C; температура воздуха – +18 C; влажность воздуха – 80%; давление карандаша на бумагу, производимое Денисом, – 50 Н; средняя скорость черчения Дениса – 60 клеток в минуту; завтрак у Дениса в 19:30, а сейчас 19:30.

*** Задача 8 ***

(5 баллов)

Вопрос: сколько мне лет?

Ответ: мне 15 лет.

*** Задача 9 ***

(9 баллов)

Вопрос: докажите тождества…
1) пупенция возврастается;
2) хлебобулочный - булочный = (хлебо - 1) булочный;
3) дихлордифенилтрихлорметилметан = 62447862961519244794811448025.

Решение:
1) аксиома;
2) очевидно, что аксиома;
3) каждой букве подбираем её число – место в русском алфавите, а затем накладываем соседние числа одно на другое методом сложения.

* Посвящаю каждое слово вопроса, решения, примечания и даже ответа олимпиады своему уходящему 15-летию! А также всем, набравшим максимальные 51 балл… *

//9 – 14.09.2008//
//Гомель, Беларусь//