Начала - наивные, но несомненные

Сначала моя квартира была чиста. Наверное потому, что просто не с чем было сравнить. Теперь же, неожиданно для себя, я обнаружил в ней много грязи, потому что сейчас я уже могу сравнить с тем, что было раньше и, к тому же, я успел побывать и в чужих квартирах. И вот, решил взять веник и навести чистоту. Однако чем дольше я махал им, тем больше пыли поднимал. Пока она вновь не осела, приглашаю вас, но пока только в переднюю. Обувь можно не снимать: если что, я потом приберусь.

 
Как-то я вышел на балкон и взглянул на сумеречное небо. В поле моего зрения попали только три объекта на почти однородном темном фоне: большое облако и движущиеся к нему параллельными курсами две необычайно яркие точки. Таково мое первое впечатление. Лишь спустя пару секунд я понял, что это, наоборот, облако перемещалось на фоне “неподвижных” звезд. Успокоившись тем, что у меня нет галлюцинаций, я вернулся в комнату. Почему исходная и конечная трактовки увиденного различаются и почему я отдал явное предпочтение последней? Вот моя версия.

Сначала я воспринял два светящихся объекта не как звезды, поскольку они казались для петербургского осеннего неба слишком яркими, а других звезд не было видно. Быть может, подумал я, это самолеты (их огни), которые “сами летают” и быстрее, чем большое облако. Так что, сначала я выбрал облако в качестве тела отсчета и стал отслеживать перемещение самолетов  относительно него. Но вскоре заметил, что облако перемещается относительно меня, в то время как “самолеты” — нет. Кроме того, меня насторожило, что “самолеты” летят уж очень точно параллельными курсами, не перемещаясь друг относительно друга. Да ведь это не самолеты, а неподвижные звезды, — осенило меня. Именно их следует взять в качестве тел отсчета, или же самого себя — в данной ситуации безразлично.
Таким образом, чтобы все встало на “свои места” пришлось разумом скорректировать первичные чувственные впечатления. Точная наука нередко начинается с анализа явлений, наблюдаемых более или менее непосредственно, а затем строит модели этих явлений, в которых выясняется, что первичные впечатления — просто галлюцинации или же продукт устаревшей традиции (схемы, теории) их рассмотрения. Механика является одним из старейших и наиболее тщательно разработанным разделом физики, изучающим движение. Однако оно все еще сохраняет свои тайны, вызывая любопытство и интерес. Вот и я, в числе многих дилетантов, решил еще раз пересмотреть для себя хотя бы некоторые из основополагающих аспектов движения. Я занимаюсь не построением механики, а восстановлением ее в своей памяти так, чтобы она оказалась в согласии с моими чувствами и разумом.

Движение это нечто противоположное покою, и наоборот, покой это отсутствие движения. Итак, у нас есть два противоположных и исключающих друг друга понятия, а точнее — разные названия для двух различимых состояний любого объекта. А как можно различить эти состояния? По крайней мере, есть два способа, которые назовем кинематическим и динамическим.
       
Кинематический подход (или метод, если угодно) исследования движения исторически предшествует другим, а потому и мы рассмотрим его первым. Он не использует никаких предположений о причинах движения (силах, его вызывающих и изменяющих) и основан на измерении во времени расстояний между объектами. Впрочем, на первых этапах применения кинематического метода умение точно измерять расстояния между объектами совсем не обязательно, достаточно чувствовать лишь отношение “ближе-дальше” между любыми двумя объектами. Чтобы чувствовать расстояние даже не обязательно иметь два глаза, поскольку пространство можно ощупывать. Правда, в последнем случае оно будет более ограниченным, распространяясь не слишком далеко от нашего тела.

        Как обнаружить движение?

Сначала уберем все лишнее и оставим только необходимое, как это принято в любой науке. Иначе говоря, построим модель изучаемого явления. Далее, возможно, нам придется что-то добавить, но в таких случаях нам будет понятно, зачем это следует сделать. Другими словами, постараемся, насколько это возможно, все держать под контролем.
Пусть в пространстве где-то около наблюдателя имеется лишь один-единственный  объект и ничего другого, кроме этих двоих, нет. Чтобы не отвлекаться на особенности этого объекта (форму, размеры, окраску и т.п.), возьмем в качестве объекта какую-нибудь точку, т.е. объект, у которого нет никаких характеристик, кроме места в пространстве.  Эту  точку назовем для краткости репером, хотя, если угодно, ее можно называть и точкой отсчета. Наблюдателя также лишим всех способностей, кроме одной — оценивать расстояния между объектами и их изменения.
 
Как наблюдатель может обнаружить движение — свое перемещение относительно репера или репера относительно себя, — пользуясь только кинематическим методом? Очевидно, только по факту изменения расстояния между собой и репером. Если расстояния, измеренные в различные моменты времени, отличаются друг от друга, то движение обнаружено. А в противном случае?

Ответ не однозначен, поскольку возможно, например,  движение по окружности, центр которой совпадает с репером. В этом случае, очевидно, методом измерений расстояния наблюдатель не заметит своего движения. Отсюда заключаем, что покой нам только снится, в то время как в действительности мы движемся. Однако мы не остановимся на этом, а попытаемся усовершенствовать нашу модель, чтобы в ней движение обнаруживалось, коль скоро оно есть.

Во-первых, замечая, что наш метод обнаружения не инвариантен относительно траекторий движения, можно отбраковать в нашей  теории “плохие” траектории. В самом деле, окружность слишком экзотическая и идеальная траектория движения, к тому же не встречающаяся на практике в чистом виде. Хотя, в поисках обобщений, мы и были готовы пожертвовать некоторыми исключениями, все же выбрасывать из рассмотрения окружности  не очень хочется. А что если в нашей модели использовать прямые линии? При перемещении по прямой наблюдатель всегда обнаружит движение, измеряя расстояние до репера (или только качественно оценивая, приближается ли он к реперу или же удаляется от него). Это, возможно, одна из причин, по которым прямые играют столь важную роль в науке.
Перемещаться по прямой наблюдатель может и в совершенно пустом пространстве (без внешних реперов). Чтобы выстроить прямую траекторию, он может воспользоваться своим телом — конечностями и глазами. Достаточно расположить, например, кончики двух пальцев на одном луче зрения,  затем переместиться вдоль этого луча, удерживая пальцы на месте, установить третий палец на луче ближе к себе, а самый дальний освободить. Данная процедура, повторенная сколько угодно раз, реализует перемещение вдоль прямой линии. Используя вместо пальцев три вешки, заблудившиеся путешественники выбирались по прямой из густых и сумрачных джунглей, скрывающих небо.

Очевидно, что движение можно обнаружить, перемещаясь не только по прямым, но и по кусочно-прямым траекториям, измеряя расстояния в любых их точках, за исключением, быть может, точек перелома. Например, можно представить движение по окружности с центром в репере как движение по сторонам правильного вписанного (или описанного) многоугольника. В данном случае измерения расстояний до репера дадут одинаковые результаты  лишь в конечном числе вершин многоугольника. Если сравнивать расстояния, измеренные в двух вершинах этого многоугольника, то движение не будет замечено, а в остальных случаях, число которых бесконечно, наблюдатель обнаружит перемещение.

Во-вторых, вместо только что рассмотренного подхода,  для обнаружения движения по любым траекториям почти всегда, можно ввести в модель дополнительные реперы в надежде, что если наблюдатель не заметит движения относительно одного репера, то обнаружит его относительно другого. Так например, если мы едем за впереди идущим автомобилем, сохраняя постоянной дистанцию (покоимся относительно него), то для обнаружения своего перемещения достаточно посмотреть в боковое окно и заметить проносящиеся мимо деревья или столбы. Однако нетрудно представить ситуацию, когда при движении по окружности и некотором особом  положении двух реперов перемещение все-таки не будет замечено, например, когда два репера находятся на перпендикуляре к плоскости окружности, проведенном через центр последней.  Тем не менее, еще рано отказываться от идеи использования нескольких реперов. Просто нужно попытаться исследовать, сколько реперов необходимо и насколько произвольным может быть их положение в пространстве. Рассмотрим этот подход более внимательно.

        Определение места положения

Сначала рассмотрим определение местоположения путем измерения расстояний до реперов. Если  расстояние до репера равно нулю, то, очевидно, мы находимся там же, где и репер, т.е. в однозначно определенной точке. Если расстояние до репера больше нуля, то свое положение мы можем определить не как единственную точку, а лишь как множество точек в пространстве, в зависимости от его размерности. Другими словами, в этом случае определение места неоднозначно.

Если пространство одномерно (объекты могут находиться только на некоторой линии, замкнутой или разомкнутой), то зная расстояние до одного репера, мы знаем лишь, что находимся  в одной из двух точек, расположенных на данном расстоянии по одну и по другую стороны от репера на линии, изображающей наше пространство. В двумерном пространстве наше местоположение будет представлено окружностью, а в трехмерном — сферой с центром в репере.

Пусть теперь имеются два репера и известны расстояния до них. Тогда в одномерном пространстве мы однозначно определим свое место как единственную точку, в двумерном пространстве  — как одну или две точки, а в трехмерном — как одну точку или окружность. Чуть подробнее рассмотрим двумерное пространство (плоскость). Зная расстояние до репера, мы знаем лишь, что находимся где-то на окружности с центром в этом репере. Если мы знаем расстояния до двух реперов, то мы знаем, что находимся в общих точках двух окружностей, соответствующих этим реперам. Но окружности могут касаться друг друга в одной точке или пересекаться в двух точках, что и требовалось. В случае одномерного пространства мы имеем дело не с окружностями, а с засечками на линии, изображающей пространство. В трехмерном пространстве вместо окружностей в ход идут сферы.
 
Итак, в двумерном и трехмерном пространствах, наиболее интересных с практической точки зрения, два репера иногда позволяют однозначно определить место наблюдателя, а иногда  — нет. Это зависит от относительного положения реперов и наблюдателя. Однако нас интересует гарантированно однозначное определение места.

В случае трех реперов в одномерном и двумерном пространстве место определяется однозначно, а в трехмерном — как одна или две точки, а вот четыре репера уже обеспечивают однозначность определения места и в трехмерном пространстве. При этом четыре репера не должны находиться в одной плоскости. Итак, для однозначного определения места в n-мерном (n=1,2,3) пространстве необходимо и достаточно (это можно доказать) n+1 реперов.
 
Допустим теперь, что каждый раз определение местоположения происходит в некоторой достаточно малой окрестности точки, определенной в предыдущий момент времени. Это соответствует идее о непрерывном движении. Тогда однажды определив место однозначно, затем можно измерять расстояния лишь до n, а не n+1 реперов, снимая неоднозначность только учетом того обстоятельства, что истинная точка нового местоположения находится не слишком далеко от предыдущего.  Например, определив в данный момент, что я нахожусь либо в Петербурге, либо в Сиднее, и вспомнив, что в предыдущий недавний момент я находился в северном полушарии, я тем самым снимаю неоднозначность текущего определения места в пользу Петербурга, если, конечно, за время между определениями я не мог прыгнуть слишком далеко. По сути это просто использование самого себя в качестве недостающего репера. Точнее, наблюдатель определяет свое место положения относительно n внешних реперов и одного предыдущего своего положения, которое он как бы вспоминает. Использование памяти здесь вполне законно, поскольку оно принципиально (а не просто практично или удобно) при обнаружении движения в нашей кинематической модели: чтобы обнаружить движение, необходимо сравнить текущее расстояние с предыдущим, которое на момент сравнения существует только в памяти.

Итак, в  n-мерном (n=1,2,3)  пространстве при некоторых допущениях о характере движения для определения местоположения необходимо и достаточно выполнить n измерений расстояний.  Поскольку практика показывает, что для определения места в нашем пространстве можно обойтись тремя измерениями (не обязательно только расстояний), то мы называем его трехмерным.

Если мы в состоянии определить свое место в любой момент времени, то по результату сравнения двух определений в различные моменты времени, мы обнаруживаем либо перемещение, либо его отсутствие; в первом случае мы считаем, что обнаружили движение, а во втором  — покой.   Однако при обнаружении перемещения мы не в состоянии сказать, что именно переместилось, реперы или мы сами. При любой гипотезе можно воспроизвести одну и ту же картину  относительного расположения реперов и наблюдателя. Вместе с тем, гипотеза о перемещении реперов, а не наблюдателя, предполагает  согласованное движение реперов с сохранением расстояний между ними, т.е. кажется более сложным (трудно осуществимым), чем при гипотезе о движении одного лишь наблюдателя.  Кажется, проще допустить, что реперы покоятся, а перемещается наблюдатель. Но это лишь допущение, пусть и удобное, но не принципиальное.

        Система координат

Обратим внимание, что никогда до сих пор мы явно не использовали понятие о системе координат. Теперь настало время ее построить. Ранее мы убедились, что в трехмерном пространстве для определения места положения достаточно четырех реперов. Возьмем их и расположим произвольным образом, но не в одной плоскости. Один из реперов назовем точкой отсчета или началом системы координат, и проведем из него три луча к остальным трем реперам; эти лучи назовем осями координат. Полученную конструкцию из одного репера и трех осей назовем системой отсчета или системой координат. Думаю, очевидно, каким образом получается привычная нам прямоугольная (декартова) система координат.
 
Теперь о реперах на осях координат можно забыть, если понятно, как вместо них пользоваться системой отсчета. Напомню, в нашей модели наблюдатель может измерять только расстояния между точками. Используя систему координат вместо системы реперов, наблюдатель может измерять расстояния между собой и осями. Что такое расстояние между точкой и осью (прямой)? Это, например, наименьшее из расстояний между данной точкой и всеми точками прямой — длина отрезка перпендикуляра из точки на прямую.  Перпендикуляр мы можем построить посредством  измерения нескольких расстояний и выбора наименьшего из них. Если оси координат заблаговременно размечены числами, т.е. установлено взаимно-однозначное соответствие между точками прямой и множеством чисел, то  результат определения местоположения можно представить как тройку чисел, называемых координатами положения. Наоборот, зная тройку координат и систему координат, мы можем однозначно указать место, в котором находится объект (в частности, наблюдатель). Вот как-то так мы переходим от системы точек отсчета (реперов) к системе координат.

       Скорость

Выбрав или построив систему координат, мы теперь можем рассматривать траектории движения следующим образом. Прежде всего отметим, что траектория это линия, проведенная через точки, посещенные движущимся объектом в последовательные моменты времени. Возьмем точку, занимаемую объектом в некоторый момент времени t1 и точку, занимаемую им в следующий момент времени t2. Измерим расстояние r  между этими двумя точками и отметим, что результат измерения относится (привязывается) к начальному моменту t1, хотя в действительности оно производилось не раньше, чем в момент t2. Кроме того, оформим результат измерения не просто как число r, а как вектор  — отрезок прямой длиной r, концы которого имеют те же координаты, что и точки в моменты t1 и t2, и у которого особо отмечен один из концов, например, второй; графически его обычно изображают в виде стрелки. Так что, данный вектор отображает величину (длину) и направление перемещения, предпринятого в момент времени t1. Модифицируем этот вектор следующим образом: сохраним его начало и направление, а длину определим как r/(t2-t1), где знаменатель дроби выражает длительность времени между двумя его моментами. Полученный таким образом вектор назовем скоростью или мгновенной скоростью объекта в точке пространства, занимаемой им в момент времени t1. При этом следует добавить, что данная скорость определена относительно той системы отсчета, относительно которой была построена траектория движения.

Заметим, что скорость в одной точке траектории определяется по измерениям расстояния между двумя точками. Поэтому необходим так называемый предельный переход, при котором берутся две точки, занимаемые движущимся объектом в бесконечно близкие друг другу моменты времени, т. е. такие, что интервал между ними стремится к нулю.
Обратим внимание, что скорость, как вектор, в любой точке непрерывной траектории направлена вдоль прямой, касательной к данной траектории, т.е. имеющей с ней единственную общую точку. Если траектория является прямой линией, то вектор скорости целиком лежит на ней.

Очевидно, при движении скорость может изменяться как по величине, так и по направлению. Если в некоторой точке скорость равна нулю, то объект покоится в данной точке. Если длина вектора скорости остается постоянной, то движение называют равномерным. Если направление вектора скорости неизменно, то движение называют прямолинейным.
Скорость, как существенная характеристика движения, довольно ясно теоретически определяется через расстояние и время. Но в жизни нам приходится ее измерять, т.е. выполнять некую процедуру, состоящую из нескольких этапов и которая лишь в некоторой степени соответствует определенной ранее теоретической величине. И речь здесь не только о неизбежных технических погрешностях измерений. Так, чтобы измерить скорость движущегося объекта, необходимо, прежде всего, измерить расстояние. Представьте, как вы будете измерять длину мчащегося мимо вас железнодорожного вагона.

Чтобы измерить расстояние до движущегося объекта в заданный момент времени, необходимо остановить его (оказаться относительно него в состоянии покоя) и, далее, применить измерительный прибор, например, линейку. Так называемый радиолокационный метод с бесконечной скоростью распространения сигнала по существу эквивалентен остановке объекта, движущегося с конечной скоростью.

Обратите также внимание, что, рассматривая относительное движение наблюдателя и объекта, мы делаем это извне, даже тогда, когда принимаем точку зрения того наблюдателя. Мы ведем себя по отношению к тем двоим так, будто обладаем чрезвычайными способностями останавливать время сразу везде  и собирать разновременные кадры в одном месте, т.е. создавать безвременье. Правда, иногда мы наделяем в какой-то мере такими же способностями и нашего наблюдателя, поскольку он создан нами по образу и подобию нашему, аналогично тому как мы сами.

        Ускорение и закон всемирного тяготения

Итак, при движении скорость может изменяться как по величине, так и по направлению. При этом каждая точка траектории характеризуется скоростью движения объекта в этой точке, хотя мы и помним, что определение скорости в одной точке обусловлено измерением разности положений объекта в двух точках. Коль скоро скорость может изменяться, мы можем поинтересоваться, как скоро она это делает (простите за каламбур). Очевидно, ответ можно получить по той же технологии, что и при определении скорости перемещения. А именно, возьмем два вектора скорости в двух точках, занимаемых объектом в соседних моментах времени t1 и t2, и вычислим их векторную разность. У полученного вектора длиной v и с началом в первой точке изменим только длину: v/(t2-t1). Конечный результат данных построений   назовем ускорением. Разумеется, как и в случае определения скорости, здесь необходим предельный переход, при котором t2->t1.

Очевидно, при движении ускорение может изменяться как по величине, так и по направлению. Если в любой точке траектории движения ускорение равно нулю, то движение называют равномерным или неускоренным. Если в любой точке траектории ускорение постоянно, то движение называют равноускоренным. Вместе с тем, уже сейчас можно заметить, что везде, где движение не прямолинейно, оно ускоренно. В частности движение по окружности везде ускоренно, более того, даже равномерное движение по окружности везде ускоренно.

При движении по окружности ускорение во всех точках направлено к ее центру. А при равномерном движении по окружности эти ускорения к тому же одинаковы по величине. Еще до Ньютона было известно, что при движении тела по траекториям конических сечений (окружности, эллипсы, параболы и гиперболы) ускорение везде направлено к одной и той же точке, а величина его обратно пропорциональна квадрату расстояния до этой точки. Отсюда рукой подать до закона всемирного тяготения. Чтобы вывести параметры движения (орбит) планет, нет необходимости знать их массы, достаточно лишь формулы: ускорение = k/квадрат расстояния, где k — постоянная величина, которую можно найти из наблюдений относительных движений планет; она зависит только от планеты — центра, к которому направлены векторы ускорения во всех точках траектории полета. Это уже в рамках классической динамики было усмотрено, что постоянная k пропорциональна массе притягивающего центра, однако такое уточнение не является необходимым для описания свободного движения тела относительно планеты.