Родственные связи удачи

14.04.2012
                Родственные связи удачи

В минувший День Космонавтики вспомнил задачу, которую пытался решить, когда учился в девятом классе (всего-то 45 лет назад). Тогда не решил, исписав кучу бумаги. Год спустя ехал в троллейбусе, стоял на задней площадке, смотрел в окно – неожиданно понял, как задача решается. Так просто всё оказалось!

Троллейбусные билеты содержат шестизначный номер. Если сумма трёх первых цифр равна сумме трёх последних, номер считается счастливым. Кажется, такой билет рекомендовалось съесть. Никогда не пробовал, ничего не могу сказать по поводу последствий.

Так вот, требуется доказать, что сумма всех счастливых чисел делится на "чёртову дюжину", на 13. Как вам это нравится – удача состоит в родственных связях с плохими приметами!

Просьба к тому, кто знает ответ, не приводите его. Эту задачу может решить даже забывший всё, чему его учили в школе. Поиски решения доставляют удовольствие особого рода, особенно если решение найти возможно. Не будем лишать удовольствия тех немногих, которым нравится процесс нахождения ответа на поле чисел.

При чём здесь День Космонавтики? Во-первых, хорошо помню радость того дня, 12 апреля 1961-го года – что-то в этом роде испытывал решив задачу. Во-вторых, для меня лично есть связь с этим сайтом, но связь настолько близка к решению задачи, что не стоит её открывать. Если найдётся читатель, который даст себе труд решить эту простую задачу, тогда другое дело, можно будет сказать, почему 12-го апреля сего года я снова оказался в троллейбусе.

В "рецензиях" решение приводить не надо, напишите в "личку". Вдруг кому-то захочется найти решение самому.

                * * *

08.02.2025 (7)

Извлекаю из архивов свой вариант решения.

                За каждым воскресеньем наступает понедельник

Задача достаточно простая и провоцирует на забавные ассоциации. Для любителей занимательной математики может представлять интерес. Может быть, получили удовольствие, найдя решение, как получил его когда-то я, каких-нибудь полвека назад.

Выпишем все счастливые числа в столбик. Проведём вертикальную линию, отделяющую три левых разряда чисел от трёх правых, то есть посредине. Например:

                123006
превратиться в
123 | 006

В силу симметрии все трёхзначные числа слева от черты должны присутствовать справа, а те, что справа, должны найтись слева. Стало быть, сумма всех чисел выписанных в колонку слева должна совпадать с суммой чисел справа.

Сумма всех шестизначных чисел сверху вниз есть 1000*х + х, где х – сумма трёхзначных чисел в одной из колонок.

Вынесем "х" за скобку (1000+1)*х, или 1001*х.

1001 = 13*77 = 7*11*13. Интересное число, произведение трёх подряд идущих простых.

В День Космонавтики 2012 года, 12-го апреля, у меня был тысячный читатель, затем и 1001-й. На конец дня количество читателей увеличилось на 7.

1001 делится на чёртову дюжину и на 7. Если первая история "Тысяча и одна ночи" была рассказана в понедельник, то последняя – в воскресенье.

За каждым воскресеньем наступает понедельник, история продолжается.

                * * *

Один из читателей дал другое решение, найденное им в сети, достаточно отличающееся. Отличное решение.

Пусть номер счастливого билета а1а2а3а4а5а6.

Для него есть «пара» – счастливый билет с номером

(9-а1)(9-а2)(9-а3)(9-а4)(9-а5)(9-а6)

Значит, все счастливые билеты можно разбить на пары, суммы которых равны 999999.

999999 = 999*1000 + 999 = 999*1001

Отношения "тысячи и одной" и "чёртовой дюжины" уже прояснились.

                * * *

Чёртова дюжина о себе напомнила.

Пришло в голову не то, чтобы новое решение, а вариация на тему. Хочется сказать то же самое, но иначе.

Рассмотрим одно из счастливых чисел – 123123 – особенность которого в том, что не просто суммы цифр совпадают, но ещё и симметрия в наличии (три младших разряда те же, что и три старших). В числе этом очевидно умножение трёхзначного на 1000 и прибавление к исходному трёхзначному (123*1000+123). Такое "симметричное" число делится на 1001, стало быть и на 13.

Далее. Сумма всех (шестизначных) счастливых чисел тоже "симметрична", в том смысле, что одно и то же число – сумма всех трёхзначных, назовём её Кучей – берётся дважды: Куча+ 1000*Куча. Куча выносится за скобки, магическое число 1001 снова перед нами во всей красе.

Между прочим, в упомянутой сумме трёхзначных полно одинаковых чисел во множестве счастливых чисел полно одинаковых трёхзначных записей слева и справа, потому что стоящему в младших трёх разрядах соответствует несколько чисел со старшими тремя разрядами, сумма цифр которых та же. Например, для трёх разрядов 002 имеем числа: 011002, 101002, 110002, 200002, 020002, 002002. Это только для "двойки". Этот ряд можно повторить, имея справа 020. Потом 200, 110 и так далее. Любопытно было бы сосчитать число всех счастливых чисел. Но мы даже сумму их не сосчитали, просто догадались, что она неминуемо делится на 1001.

Так получается, что имея дело с большими числами (системами), можно не слишком напрягаясь, что-то понять обо всех (обо всём) сразу (например, о сумме числе или о поведении больших систем), приходя к некоторому простому заключению, совершенно неочевидному.

Почему я снова и снова возвращаюсь к записи решения не бог весть какой сложной задачи? – Потому что сплошь и рядом мы уверены – проблема решена. Между тем, стоит попытаться изложить решение так, чтобы для стороннего лица оно было очевидным, прозрачным, несомненным… тотчас обнаруживается, что лицо это въедливо, критически настроено, склонно к сомнениям в ясности выражения вашей глубокой мысли. В конце концов, оно – упомянутое лицо – не желает сосредотачиваться на том, что не принесёт ему ничего нового, как он полагает – ни выгоды, ни развлечения (удовольствия).

Где оно, то лицо? – Да вот же, сидит, колотит по клавишам, пытаясь объяснить себе, а через себя и всему миру, почему занято той ерундой, которой занято. Миру по барабану. Пишущему, в сущности, тоже.

Всё же есть что-то в чёртовой дюжине, что не даёт покоя.