3. Что результативнее - логика или интуиция?

           В одной из своих работ Г.А. Балл пишет: «есть все основания твердить, что мы живем в мире задач. И потому вполне естественно понятие задачи, достаточно широко истолковано, выступает в роли одной из центральных. Для целого ряда наук, в том числе социологии, психологии, педагогики. Объекты, которые в практике учебы, в частности школьной, в сфере научных исследований, в инженерном деле называют задачами, - лишь отдельные (хоть и достаточно важные) разновидности задач в широком понимании. На базе обобщения достижений, полученных путем изучения их в пределах разных наук, создается, начиная с 70-х годов, так называемая общая теория задач.»
          Среди наук, достижение которых положено в основу названной теории, - логика, кибернетика, педагогика и другие. Но, по-видимому, важнейшее место занимает психология. Понятию задачи, анализу задач уделяется все большее внимание в исследованиях, особенно в трудах отечественных психологов.
          О наличии задачи можно говорить всегда, когда известна цель, которой хочет достичь человек, и условия, при которых должен ее достичь. Рассматриваются, в частности, и такие случаи, когда цель, хотя не осознается ясно, но фактически направляет человеческие действия.
          В зависимости от того, какие психические процессы играют основную роль в достижении цели, психология выделяет соответствующие типы задач. Мыслительные задачи выставляют наибольшие требования к мышлению, перцептивные активизируют процесс восприятия, мнемические больше всего нагружают память. Также двигательные, языковые и другие.
          К сожалению, в школе и других учебных заведениях часто вместо мыслительных задач, решаются мнемические. Без последних, конечно, тоже не обойтись в учебном процессе, но здесь, как и везде, нужно придерживаться меры, чтобы обеспечить соответствие учебы целям, которые выдвигает общество.
          Вывод из сказанного выше такой: ученики решают задачи, не только выполняя задания, которые принято называть задачами в практике учебы. Ведь, с психологической точки зрения, любая целеустремленная деятельность (или деятельность целеустремленной системы) -  это система из процессов решения задач.
          Ясно также, что задача в понимании психолога и задача в толковании учителя математики — разные вещи, но названные одинаковым словом через существенные общие свойства. Но как только мы начнем выделять таковые, это будет означать, что мы занимаемся не только психологией или лишь методикой математики: хотим того или нет, мы войдем в область общей теории задач.
    Следовательно, потребность в ней сказывается при анализе взаимосвязи таких достаточно близких отраслей знания, как психология и методика преподавания. Однако не только психологи и методисты исследуют задачи и процессы их решения. Здесь кстати будет вспомнить и этологов, которые изучают поведение животных, и нейрофизиологов, которые исследуют их мозговые механизмы, и кибернетиков, которые строят так называемые системы искусственного интеллекта, и тех ученых, которые прослеживают развитие научных проблем и закономерности их проработки...
          Естественно, задачи в пределах каждой научной дисциплины и процессы их решения описываются и исследуются по-разному. Но в наше время, когда непрестанно усиливается взаимосвязь наук, когда это становится необходимым и для их развития, и для реализации комплексных программ, несогласованность научных языков, разнобой, в толковании ключевых понятий — серьезное препятствование.
          Опираясь на выводы исследований разных наук, можно сделать вывод, что общая теория задач позволяет поднять на высшую ступень уровень их анализа в границах каждой из наук и, особенно — при разработке «стыковых» проблем (как, например, компьютеризация образования).
          Разнообразие видов задач чрезвычайно велико. Анализируя содержание доступных нам учебников по элементарной математике и другим отраслям знания, мы с легкостью набрали их несколько десятков. Не занимаясь их классификацией, в этом списке могут быть приведены задачи математические, арифметические, алгебраические, тригонометрические, геометрические, логические, физические, химические, шуточные, на нахождение, на вычисления, на доказательство, на построение, «разные» задачи, занимательные, шахматные, комбинаторные, олимпиадные, измерительные, устные, на преобразование, элементарные, качественные, на соображение, экспериментальные, курьезные, затейные, математические и не математические фокусы и игры, задачи с алгеброй и без, «древние, но вечно юные», элементарные задачи П.Л. Капицы, предельно сложные задачи теорминимума Л.Д. Ландау, конструкторские задачи, задачи для обучения программистов и т.д., и т.п.
          Этот список, наверное, можно продолжать бесконечно, т.к. любые ситуации, требующие творческого подхода, в любой области нашей жизни, в любой, изучаемой нами науке, представляют собой задачи даже в строгом следовании содержанию этого термина принятого в математике.
          Правильно классифицировать задачу, значит точно определить объем знаний системы: 1)живой, 2)автоматизированной (т.е.  человеко – машинной),  или 3)автоматической (т.е. чисто технической), для которой данная задача разрешима. Причем, сложность задачи зависит, не только от субъективной оценки (в случаях 2 и 3, но и от объективной оценки необходимого количества шагов в цепочке логических рассуждений, приводящих к ее правильному решению. Сравним по этому критерию задачу: «Реши: 1 + 1 = …» и «Докажи, что 1 + 1 = 2».
          Следует учитывать и то, что мало кто рискнет сказать, что даже элементарная с первого взгляда задача «1 + 1 = …» это задача, в которой вся необходимая информация для ее правильного решения заложена в самой задаче, т.е. ее записи. Запись задачи не более чем пусковой механизм для работы мышления и памяти. Ведь что может сказать о «1» (единице) учащийся первого класса средней школы? Думаю не много – несколько слов. А в одной из книг группы  французских математиков под общим псевдонимом Бурбаки – «Элементы математики», это, в действительности, совсем не простое понятие – «1», описывается на более чем двухстах страницах математического текста!
          В записи задачи «1 + 1 = …» содержится необходимость знать, что такое «число», что такое математическая операция сложения,  выраженная в знаке «+», какой смысл имеет знак «=», что такое «позиционная система счисления» и т.д. А так как чаще всего мы определяем новое понятие не строго, а через другие, уже известные интеллектуальной системе понятия, то количество знаний, необходимых для решения данной, конкретной, с виду простой задачи, растет как снежный ком.
          Правда и торопиться с переносом всего объема знаний математики в массовое образование не стоит, помня давнее противостояние чистой математики и прикладной математики отголосками доносящееся к нам в высказывании Дж.У. Гоббса (1839-1903): «Математик может говорить, что ему хочется, но физик должен, хотя бы в какой-то мере, быть в здравом рассудке». И совсем уж конкретное, относящееся непосредственно к работе Бурбаки, высказывание известного современного математика С.В. Успенского: «В последнее время многие математики уделяют серьезное внимание точному определению понятия целого числа. Но, я думаю, не стоит тратить столько времени на рассмотрение вопроса, ясного всякой рыночной торговке? И при этом без каких-либо шансов добавить что-либо существенное к тому, что она уже отлично знает!» 
          Часто главным для обычного человека является не решить задачу правильно, но согласовать свое сознание с этим, по всем параметрам «правильным» решением. Иначе состояние фрустрации будет сопровождать вас долго, если вы, готовя домашнее задание в школе, подсмотрели ответ задачи в конце учебника и подогнали под него ваше решение, не понимая как его получить логическим путем. Или очень долго, если задача, с которой вы столкнулись в детстве, и которую с легкостью решили, используя элементарные знания геометрии, не поддается осознанию и плохо согласовывается с вашей картиной мира.
Автор называет такие задачи «Детскими задачами для взрослых». Ярким примером такой задачи является знаменитая задача об апельсине и Земле, которая приводится почти во всех сборниках по занимательной математике.
           Вот формулировка этой задачи, приведенная в книге Е.И. Игнатьева «В царстве смекалки»:
           «Вообразим, что земной шар обтянут по экватору обручем и что подобным же образом обтянут и апельсин по его большому кругу. Далее, вообразим, что окружность каждого обруча удлинилась на 1м. Тогда, разумеется, обручи отстанут от поверхности тел, которые они раньше стягивали, и образуется некоторый зазор. Спрашивается, в каком случае этот зазор будет больше – у апельсина или земного шара, и каков он будет по величине?»
Эту задачу, в качестве интеллектуальной шутки автор предлагал в течение долгого времен многим людям разного возраста и с разным уровнем образования – от студентов до докторов физико-математических наук. За редким исключением с одним и тем же результатом – ошибочным.
          Стандартно-правильное решение из книги Е.И. Игнатьева приведено ниже:
«Здравый смысл» подсказывает такой ответ: «Конечно, у апельсина образуется больший зазор, чем у Земли! Ведь в сравнении с окружностью земного шара — 40 000 км — какой-нибудь один метр есть столь ничтожная величина, что прибавка ее останется совершенно незаметной. Другое дело апельсин: по сравнению с его окружностью один метр — огромная величина, и прибавка ее к длине окружности должна быть весьма ощутима».
          Однако давайте проверим наше заключение с по¬мощью вычислений и с удивлением обнаружим, что и  у Земли, и у апельсина получится один и тот же зазор - примерно 16 см. Столь «поразительный» результат  есть  следствие  постоянства  отношения длины любой окружности к ее радиусу».
          Объяснения неудачи или редкой удачи при решении этой задачи, не используя элементарную математику, а оценивая качественно возможное соотношение величин, бывали самые разные. От строго научного доктора физ.-мат. наук, профессора Е.В.Кузьмина:
«Некто NN предложил мне решить следующую задачу в двух действиях (понятно, что величина, прибавляемая к исходной длине обруча, в этой задаче принципиального значения не имеет):
          1.Имеем апельсин (считаем, что он имеет форму шара), и по максимальному диаметру оборачиваем его ниткой или ленточкой. К полученной длине (окружности) прибавляем 3 см. Новую длину сворачиваем в окружность (очевидно, что радиус новой окружности больше радиуса апельсина). Спрашивается, какова разность этих радиусов или, другими словами, каков зазор между поверхностью апельсина и новой окружностью?
Я начинаю считать: пусть радиус апельсина равен приблизительно 3 см, тогда его длина окружности равна 18 см.; новая длина окружности равна 18+3=21см и, следовательно, новый радиус равен 3,5см. Т.о. разность (или зазор) составляет приблизительно 1/2 см. NN поздравляет меня с успешным решением первой части задачи.
           2. А теперь, говорит он, имеем аналогичную задачу, но нужно ее решить очень быстро. Вместо апельсина имеем Землю (опять-таки считаем ее шаром) и мысленно проводим в точности такую же операцию: оборачиваем ее по экватору лентой и прибавляем к полученной длине окружности те же 3 см. Каков будет зазор? Отвечайте быстро, оцените его хотя бы по порядку величины!
           И тут я, как говорится, «покупаюсь». Мучительно вспоминаю, каков радиус Земли - что-то вроде 6 тысяч км, т.е. приблизительно на восемь порядков больше радиуса апельсина. И отвечаю: этот зазор будет крайне мал, меньше предыдущего минимум на восемь порядков.
          Ха-ха-ха (это реплика NN)!!! Вы совершенно неправильно ответили на вопрос второго действия: зазор будет тем же самым в 0.5см!! Парадоксально, но - факт!
Как так? - изумляюсь я. Но, составив элементарное уравнение, получаем, что зазор не зависит от радиуса, и определятся только удлинением окружности      L  (в данном случае  L    равно трем).
          В чем же причина моего ошибочного (быстрого и интуитивного) ответа?
По- видимому, здесь «роковую» роль сыграла привычка оперировать с эффектами, пропорциональными размеру объекта (например, энергия системы невзаимодействующих частиц приближенно равна средней энергии частицы, умноженной на число частиц в системе N; N, в свою очередь, пропорционально размеру системы). В этих задачах эффект тем меньше, чем меньше размер. Отношение эффектов (энергий) в приведенном примере фактически есть отношение размеров. Таким образом, в своем неправильном ответе я оперировал относительной величиной  R/R, a требовалась абсолютная величина  R.
          Однако предложенная задача относится совершенно к «другой опере». Хотя формально она ставится для 3-х мерных объектов, фактически мы имеем дело сначала с двумерной задачей (подразумевается сечение шара по его экватору плоскостью, в которой находятся и исходная, и новая центрированные окружности) и далее - с одномерной задачей о длине (периметре) замкнутой кривой. Поскольку периметр окружности и ее радиус связаны линейно (Р = 2 R), то приращение радиуса (зазор) не зависит от величины самого радиуса и определяется только приращением периметра. Это тот случай функциональной зависимости, когда изменение функции не зависит от аргумента, т.е. случай постоянной производной. Действительно, приведенное выше уравнение можно рассмотреть как дифференциал функции
где  1/2  = const является производной.
           По-видимому, можно указать класс замкнутых плоских кривых (например, прямоугольник), для которых  R = const • L по крайней мере в среднем.
Итак, причиной ошибочного решения явилось психологическое заблуждение, движение по скользкой стезе аналогий».
          Куда чаще можно услышать эмоционально-недоумевающие объяснения полученного правильного результата :
          «Я, Костина Ксения Владимировна, студентка 21-ПП КГУ вошла в группу людей, правильно решивших задачу «Апельсин и земля».
          Как я ее решила, для меня до сих пор остается загадкой. Ну, а то, что я дала предельно точный ответ, стало для меня сюрпризом.
          Я и раньше доверяла своей интуиции, и она меня не подводила. Но до Вас на это просто никто не обращал внимание. Именно Вы  заставили меня задуматься над тем, что же произошло.
          Сразу после прочтения условия задачи я знала, что расстояние будет одинаковым. И не просто знала, я была полностью уверена в этом. Не сбили с толку даже различные мнения в группе, высказанные студентами, авторитет которых не вызывает у меня ни малейшего сомнения. Я была совершенно уверена в своей правоте. Возможно, это была даже не интуиция, а пульсирующее в мозгу чувство уверенности в своей правоте. Объяснить его я вряд ли смогу. Оно стало неотъемлемой частью меня, я слишком привыкла к нему так, как привыкла дышать и думать.
          А вот как быть с результатом 16 см (в описанном случае к длине окружности добавили 1 м.), не знаю, откуда его взяла. Но и в нем я была уверена полностью с самого начала.
          Р.S. Если Вы все же поймете, как у меня это получилось, то не забудьте сообщить об этом мне».
          Для того чтобы объяснить КАК эта студентка получила правильный результат придется, видно, работать еще очень долго.

См. продолжение в других частях монографии "Микроструктурирование мышления ..." в этом же разделе моей страницы.