18. Преобразование алгебраических выражений

             Система символьных преобразований алгебраических выражений, является, по замыслу автора, постоянно расширяющейся базой для экспериментирования в области микроструктурирования интеллектуальных действий и общения обучаемого с ЭВМ. Именно в этом плане следует рассматривать пути ее дальнейшего развития.
             В системе предусмотрена возможность прокрутки процесса преобразования назад на необходимое число шагов. Возможно также запоминание хода решения, т.е. глобального алгоритма аналитического преобразованию, с целью его применения к другим задачам данного типа. Реализация этих сложных интеллектуальных действий происходит в виде комплекса простых интеллектуальных действий (содержание и микроструктура которых будет описано ниже).
            «Упрощения» являются наиболее спорными преобразованиями. Большинство споров обусловлено разницей между желаниями разработчиков и пользователями системы. Пользователи хотят иметь набор преобразований, который зависит от контекста. Разработчики считают, что необходим единый набор преобразований, имеющий силу в любом контексте.
            Моделирование процесса преобразования было проведено автором в виде программных модулей, подключаемых к процессу символьного преобразования алгебраических уравнений по команде экспериментатора или обучаемого, например, с целью проверки правильности схемы решения, или по требованию управляющей программы, в случае автоматического решения задачи.
            Процесс построения алгоритма преобразования исключает появление сложного выражения слева от знака «=», т.е. вид выражения всегда: А = (/ … ) … ( … ). Попытка преобразовать выражение такого вида приведет к его усложнению, т.е. вся проделанная работа по преобразованию данного выражения не будет иметь смысла.
Алгоритм преобразования уравнения должен предусматривать работу со сколь угодно сложными уровнями вложенности скобок. Впрочем, применение нашей системы преобразований алгебраических уравнений, приводит любое выражение к виду А = ( … ) / ( … ) без вложенных скобок.
            Алгоритмы преобразования имеет смысл применять не на каждом шаге реализации графа решения, а к конечной его форме. Процесс преобразования возможен и в случае выражения, члены которого могут иметь, а могут и не иметь численных значений, т.е. когда применение обычных способов преобразования выражений невозможно.
            Необходимо высказать несколько общих замечаний, касающихся важности деятельности наших учеников, к анализу которой мы относимся столь скрупулезно и тщательно. Следует учитывать, что курс элементарной алгебры должен способствовать выработке твердых навыков в выполнении тождественных преобразований.
            Пренебрежительное отношение к тождественным преобразованиям алгебраических уравнений первого порядка, как к чему-то «безыдейному», заслуживает решительного осуждения. Тем более, что знания и навыки, приобретенные или не приобретенные при изучении одного школьного предмета, могут определить успешность, да и саму возможность изучения основных тем других школьных предметов. Бесполезно учить решению химических уравнений, ученика, не понимающего принципов решения алгебраических уравнений. Практически невозможно справиться с задачами по элементарной физике тому, кто плохо владеет навыками устного счета. Нельзя написать хорошее сочинение при отсутствии привычки к чтению и т.д. и т.п.
            Еще более определенно и ярко об этих, простых с первого взгляда, но на самом деле очень важных, фундаментальных вещах – алгебре и алгебраических уравнениях, высказывался блестящий математик и педагог И.М. Яглом:
            «…Ясно, что в сравнении с теорией функций комплексного переменного или дифференциальными уравнениями математической физики (уравнениями в частных производных) алгебраические конструкции выглядят более «обнаженными», с раскрытой (обычно достаточно несложной) аксиоматической базой и четкими алгоритмами использования зтой базы для дальнейших выводов. Что может быть проще доказательства формулы (а+Ь)2=а2+2аЬ+Ь2? Сколь отчетливо работают здесь коммутативный (аЬ=Ьа), ассоциативный (а+Ь)+с=а+(Ь+с), дистрибутивний (а+Ь)с=ас+Ьс законы:
(а+Ь)2= (а+Ь) (а+Ь) =а(а+Ь)+Ь(а+Ь) = (а+Ь)а+(а+Ь)Ь=
= (а2+Ьа) + (аЬ+Ь2) = (а2+аЬ) +
+ (аЬ+Ь2) = ((а2+аЬ) +аЬ) +Ь2= (а2+
+ (аЬ + аЬ))+Ь2=(а2 + 2аЬ)+Ь2 =
=а2+2аЬ+Ь2.
            Разве где-нибудь в геометрии или в анализе мы имеем такую прозрачность и точность сведения вычислений к аксиомам? Такую ясную структуру вывода? И в искусстве XX в. в разных его проявленниях у людей, полностью от математики далеких, зрело стремление «раскрыть все скобки», «обнажить прием», как любили говорить теоретики ОПОЯЗа, можно даже сказать — «алгебраизировать» искусство. Этих целей добивались супрематисты в живописи или представители ленинградского «Обьединения реального искусства» — Хармс, Введенский, Заболоцкий…».
            Выработка твердых математических навыков есть одна из задач обучения математике в школе. В самом деле, по меньшей мере, легкомысленно считать, что достаточно одного «понимания идей», а навыки в их реализации есть дело несущественное. Из сказанного ясно, что наши ученики должны обладать определенным «мастерством» в выполнении тождественных преобразований. И времени, на получение этого самого «мастерства» учащимися, жалеть не приходится.
            Этим объясняется и то значение, которое придают выработке навыков тождественных преобразований алгебраических выражений авторы любых описаний стандартизированных требований к математической подготовке учащихся средней школы. 
Если в начале обучения математике, учащиеся должны получить только представления об использовании буквенных выражений для записи свойств чисел и выполнять простейшие преобразования алгебраических выражений. То к старшим классам школы учащиеся должны уверенно владеть навыками тождественных преобразований основных типов алгебраических выражений: многочлены, алгебраические дроби, степени, корни и т.д.
А основные алгоритмы: раскрытие скобок, заключение в скобки, приведение подобных членов, сложение, вычитание и умножение многочленов, использование формул сокращенного умножения, арифметических действий над алгебраическими дробями, преобразование степеней и корней, должны быть усвоены прочно. Главное в том, что учащиеся не должны затрудняться в выполнении соответствующих преобразований, требующих применения указанных алгоритмов в ходе решения задачи.
            Навык тождественных преобразований с полным правом относится к интеллектуальным навыкам. Его формирование проходит необходимый этап осознания компонентов действия и такое овладение операцией, которое позволяет достигать цели наиболее эффективным путем на основе его совершенствования и закрепление связей между компонентами, их автоматизации и высокого уровня готовности действия к воспроизведению и использованию.
            Выполнение некоторых аналитических преобразований, таких как раскрытие лишних (синтаксических) скобок или приведение подобных членов в выражениях, может быть с легкостью автоматизировано, но кроме них существует группа слабо алгоритмизируемых, эвристических преобразований, к которым можно отнести, например, раскрытие скобок, приведение к общему знаменателю и т.п., для которых преобразования первой группы служат только необходимой основой.
            Кроме того, выполнение отдельных сложных интеллектуальных операций, определяется локальными целями, например, уменьшению длины выражения, и носит подчиненный характер. Главная цель преобразования, выраженная обычно в условии задачи (например, привести выражение к виду удобному для логарифмирования), достигается путем применения целого ряда преобразований всего выражения или его частей. Причем указание последовательности преобразований, ведущей к достижению главной цели, часто заранее невозможно, т.к. она определяется в процессе или в результате самих преобразований.

См. продолжение в других частях монографии "Микроструктурирование мышления ..." в этом же разделе моей страницы.