Доказать Великую теорему Ферма

        Мужской голос из телефонной трубки:

        – Здравствуйте. Я – заместитель Главного редактора литературного журнала.

        И называет известный журнал и свою фамилию.

        – А ещё, – продолжает он, - я увлекаюсь поиском доказательства Великой теоремы Ферма. Это – моё хобби. Не могли бы Вы дать отзыв на моё доказательство?

       –  А почему я? – интересуюсь я.

        – Вас мне рекомендовали как человека логичного, ответственного и объективного.

        Ну вот очередной назойливый ферматист! И этот тоже уверен в том, что он – хотя и дилетант в математике – но, наконец-то, доказал ту великую теорему, которая занимает умы людей в течение вот уже трёхсот с лишним лет. Но ведь заранее известно, что и в его "доказательстве" – в кавычках – тоже есть ошибка, как и в тысячах предыдущих таких же "доказательствах". И надо её только найти. Вот только зачем мне эта морока? Ни уму, ни сердцу.

        – Но я Вам заплачу, – вдруг сам предлагает ферматист. – Двадцать пять рублей.

        О, это резко меняет дело. При моей зарплате в сто пятьдесят рублей эти двадцать пять будут заметным дополнением. И я сразу же соглашаюсь.

        Встречаемся мы у станции метро. От мужчины среднего возраста получаю несколько листков с машинописным текстом. На первом листе замечаю надпись: "Посвящается моей любимой жене".

        – Ну как же можно, – думаю я, – посвятить любимому человеку то, что наверняка неверно?

        А, впрочем, все ферматисты – странные люди, "не от мира сего". Договариваемся встретиться с ним ровно через неделю здесь же, "на том же месте, в тот же час".

                *     *     *

        Что за теорема? Почему она – великая? Почему за триста лет её так никто и не доказал?

        Юрист Пьер де Ферма (Pierre de Fermat, 1601 – 1665) имел обыкновение, читая математические трактаты,  делать на их полях свои пометки и даже формулировать новые, пришедшие ему на ум, задачи и теоремы. Вот и ту теорему, о которой идёт речь, он в 1637 году записал на полях "Арифметики" Диофанта. Современная формулировка этой теоремы такова: "Уравнение хn (то есть x в степени n) плюс yn равно zn  не имеет решений в целых ненулевых числах x, y и z для любого натурального числа n, большего, чем 2". При этом Ферма сделал приписку: "Я нашёл этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него".

        Но вероятнее всего, что доказательство Ферма не было верным, так как позднее он опубликовал статью с доказательством только для одного частного случая, когда уравнение имеет четвёртую степень. А если бы у Ферма  действительно было доказательство для общего случая, то есть для любой степени, то он обязательно упомянул бы о нём в той статье.

        Над полным доказательством Великой теоремы работало немало выдающихся математиков, в том числе, Эйлер, Дирихле, Лежандр, Гаусс, Ламе, Куммер, Гильберт, но  эта теорема продолжала оставаться не доказанной. В чём тут дело? Ведь на первый взгляд всё очень просто, а  формулировка теоремы Ферма доступна для понимании даже школьником. Более того, ещё восьмиклассник знает теорему Пифагора: "в любом прямоугольном треугольнике квадрат, построенный на гипотенузе, равен сумме квадратов, построенных на катетах"  (или то же самое в виде шутки: "пифагоровы штаны на все стороны равны").

        Проблема выглядит столь простой ещё и потому, что все знают, что легко подобрать множество чисел х, y, z, которые прекрасно удовлетворяют равенству х2 + y2 = z2. Например, этими числами могут быть 3, 4 и 5. И в самом деле, и школьнику младших классов понятно, что 9 + 16 = 25. А ещё этими числами могут быть 5, 12 и 13, потому что 25 + 144 = 169. И вообще, таких троек чисел можно подобрать очень много – все они называются пифагоровыми числами.

        А тогда появляется естественное желание вместо равенства х2 + y2 = z2 взять очень похожее уравнение х3+ y3 = z3 и задать вопрос:

        – А, может быть, и для этого уравнения тоже есть такие числа? А почему бы и нет?

        И так далее можно увеличивать степень уравнения и искать такие числа. В этом и состоит проблема Ферма.

        Но, как это ни странно, оказалось, что подобрать такие числа можно только при степени, равной единице или двум, а при большем значении степени сделать это невозможно. Это, собственно, и утверждает теорема Ферма.
 
                *     *     *

        Но я, кажется, отвлёкся от рассказа о заместителе Главного редактора литературного журнала, "доказавшем" – конечно, в кавычках –  Великую теорему Ферма. Задача найти ошибку в его "доказательстве" оказалась нетрудной. Куда труднее было найти такое деликатное указание на неё, чтобы не обидеть ферматиста. Но и это удалось сделать. В своём отзыве я после уважительных реверансов в адрес автора по поводу его усилий, достойных похвалы, сослался на "Справочник по элементарной математике" М.Я.  Выгодского. На страницах 143 и 144 этого справочника как раз и говорится о делимости разности и суммы одинаковых степеней двух чисел на разность и сумму этих же чисел. В неверном использовании этих свойств и была ошибка автора.

        Мне говорили раньше, что истинного ферматиста переубедить невозможно, и поэтому я приготовился к бурным дебатам с автором несостоявшегося доказательства Великой теоремы Ферма. Но, к моему удивлению, он при встрече вовсе не стал спорить со мной и с Выгодским, а, получив моё заключение, развернулся и, даже не поблагодарив меня, направился в метро. А я и не стал его догонять, чтобы потребовать с него свои честно заработанные двадцать пять рублей.

        Странные это люди – ферматисты… Но мне предстояла встреча и ещё с одним ферматистом – куда более интересным.

                *     *     *

        1975-ый год. Кабинет Кучерова, заведующего кафедрой "Высшая математика". Замечаю на его столе толстую брошюру с интригующим названием "Методика познания „истины“. Доказательство Великой теоремы Ферма" и знакомой фамилией её автора на цветной обложке – В.И. Будкин.

        – Борис Кондратьевич, – обращаюсь я к завкафедрой, – мне кажется, я знаю автора этой работы. Его имя – Виктолий Иванович?

        Заведующий раскрывает брошюру и говорит:

        – Да, Виктолий Иванович. А Вы что? Вы его знаете?

        – Да кто ж его не знает? Он, помнится мне, одно время в Университете, на мехмате, цеплял всех, кого только мог остановить, и приставал к ним. "Я, – говорил он, – доказал Великую теорему Ферма. В моём доказательстве – двадцать восемь лемм, то есть маленьких теоремок. Но Вам не обязательно читать их все. Выберите себе, пожалуйста, какую-нибудь одну – любую – и распишитесь вот здесь, вот на этом листе, в том, что она – правильная. И мне ничего больше от Вас не нужно".

        – И что? Эти люди подписывали?

        – Ну да.

        – И Вы, наверное, тоже подписывали?

        – Да, кажется, подписывал.

        – Ну а тогда, – говорит Борис Кондратьевич, – Вам и карты в руки: Вам не трудно будет просмотреть эту работу и подготовить на неё отзыв нашей кафедры. Дело в том, что эту брошюру распечатали большим тиражом – пять тысяч экземпляров, разослали по всем научным и учебным заведениям страны, и мы просто обязаны дать на неё официальное заключение. Я думаю, что Вы справитесь с этим к следующему заседанию кафедры.

        Опа! Как же я влип! И дёрнул же меня чёрт за язык! Похвастался – называется – своей осведомлённостью, полез наперёд батьки в пекло – и вот теперь за это придётся мне возиться с этой теоремой Ферма. А это мне надо? Нет. Ни уму, ни сердцу.

                *     *     *

        Заседание кафедры "Высшая математика". Скукотища смертная! Кто-то что-то докладывает, но выступающих не слушают. Одни делают вид, что слушают внимательно, но отсутствующий взгляд выдаёт их с головой. Заниматься своими делами во время выступлений не принято, поэтому на столах перед участниками заседания ничего нет: ни книг, ни тетрадей, ни авторучек. Зато можно просто закрыть глаза и опять же делать вид, что слушаешь. Тягомотина… И вдруг:

        – Следующий вопрос. Для сообщения о доказательстве теоремы  Ферма слово предоставляется Кузнецову.

        Вот тебе раз! Как же так? Я же не готов. И что теперь делать? Значит, как-то надо выкручиваться. Но разве приятно что-то рассказывать, когда тебя не слушают? А как мне разбудить это "сонное царство"? Как привлечь их внимание к себе? Наверное, надо начать как-то нестандартно, необычно, оригинально. И я начинаю, пытаясь повторить интонации Высоцкого:

                – Товарищи учёные! Доценты с кандидатами!
                Замучились вы с иксами, запутались в нулях!

        Вижу, что многие подняли головы, заинтересовались. А я продолжаю себе в том же духе:

                – Сидите, разлагаете молекулы на атомы,
                И корни извлекаете по десять раз на дню.
                Ох, вы тут добалуетесь!
                Ох, вы доизвлекаетесь …

        Вот и всё! Первая поставленная задача успешно решена: все "товарищи учёные,  доценты с кандидатами" откинулись на спинки стульев, все улыбаются и ждут, что же будет в следующем действии этого спектакля. А мне нужно переходить к сути своего сообщения. И я перехожу:

        – Вот вы здесь все шибко учёные и отлично знаете, что Великую теорему Ферма не могут никак доказать в течение вот уже трёхсот с лишним лет. И знаете, что величайшие математики всех времён и всех народов не смогли справиться с этой проблемой, а  современная наука и вовсе приходит к убеждению, что доказать её не удастся в ближайшие десятилетия. Но вы не знаете того, что доказать её можно! И очень просто!

        И после многозначительной паузы я продолжаю интриговать:

        – Вы не верите? А это всё только потому, что вы ещё не овладели замечательным методом познания истины… Вот он!

        И с этими словами я театральным жестом водружаю над головой брошюру.

                – Товарищи учёные, Эйнштейны драгоценные,
                Ньютоны ненаглядные, любимые до слёз!
                Позвольте вы мне, милые, вас просветить всерьёз.

        Чувствую, что я вошёл в роль и даже заговорил стихами:

                – Вам зачитаю, граждане, я откровенья важные,
                страницу сорок пятую, где сказано вот что:

"Итак, сменилось тринадцать поколений людей, а Великая теорема Ферма осталась ещё не доказанной. Только в настоящей работе впервые приводится полное доказательство теоремы в общем виде".

        – Неужли и впрямь доказал? Каким методом?

        – Оригинальным методом, разработанным автором, замечательным "методом познания истины". Вот он: вначале – гипотеза, затем – её анализ, а за ними – синтез. И если понадобится, то ещё один круг: гипотеза – анализ – синтез. Вот и всё. Всё так просто – а вы даже не догадывались? Вот именно поэтому "замучились вы с иксами, запутались в нулях"!

        Голос с места:

        – Неужели прям так и написано? Чушь какая-то.

        – А вот и не чушь какая-то, господа хорошие, а новое слово в стратегии познания любой истины. Понимая всю значимость своего открытия, автор даже название предлагаемой методики познания истины включает в название работы. Книга так и называется: "Методика познания „истины“. Доказательство Великой теоремы Ферма". Автор утверждает, что любой из нас, овладев его методикой познания истины, может не только доказать теорему Ферма, но и  решить любую задачу.

        – И даже доказать, что дважды два – это пять?

        – Да, – отвечаю я, – именно так. Просто надо, овладев идеологией марксизма-ленинизма, твёрдо верить в свои силы и освоить предлагаемую Методику Познания Истины – с большой буквы, конечно.

        Дружный хохот.

        – Браво! Это кто же такую муру написал?

        – Вот вы всё смеётесь, а ведь над собою смеётесь. Потому что скромный труженик Виктолий Иванович Будкин из Ярославля применил стратегию "гипотеза – анализ – синтез" и доказал-таки Великую теорему Ферма, чем и посрамил вас – доцентов с кандидатами.

        – Он – математик, этот Ваш Виктолий?

        – Вовсе нет. Виктолий Иванович – не какой-нибудь там математик, а инженер Ярославского шинного завода.

        – Но ведь известно, что методами школьной математики доказать теорему Ферма невозможно. А редакция журнала "Квант" года три тому назад и вообще сообщила, что письма с доказательствами теоремы Ферма она больше даже принимать не будет.

        – А Виктолий Иванович не знал, что эту теорему доказать нельзя и поэтому её доказал.

        Слушатели со смехом завалились на столы, и только видно, как от хохота содрогаются их плечи. А я продолжаю:

                – Товарищи учёные! Не сумневайтесь, милые:
                Коль что у вас не ладится – ну, там, не тот аффект, –
                Мы мигом к вам заявимся с лопатами и с вилами,
                Денёчек покумекаем – и выправим дефект.

Вот не ладится у вас с доказательством теоремы, а скромный труженик шинного завода покумекал да и выправил дефект и издал вот эту книгу в Верхне-Волжском книжном издательстве, причём большим тиражом – пять тысяч экземпляров. В ней сорок семь страниц. А положительные рецензии на неё написали два доктора наук и один кандидат технических наук. Так что не сумневайтесь, милые.

        Голос с места:

        – Ну и тем хуже для этих двух докторов наук!

        Бесплатное весёлое представление продолжается. Вот я зачитываю формулировку очередной леммы из книги ярославского ферматиста, а учёные мужи заливаются смехом, будто бы я читаю им из Зощенко или Козьмы Пруткова:

        – Нет. Что? Прямо так и написано, или Вы это придумываете?

        Приходится отвечать:

        – Да зачем мне выдумывать, когда именно так и сказано? Или вот ещё такой перл…

        Понимаю, что определённо вхожу в роль. Мне начинает нравиться чувствовать себя Жванецким: как и он, я читаю очередную фразу из брошюры Будкина, а слушатели ну просто покатываются со смеху…

        Но вдруг – грубый окрик. Это заведующий кафедрой:

        – Валентин Васильевич, перестаньте паясничать! У нас всё-таки – заседание кафедры, а не балаган. Вы лучше скажите: Вы нашли ошибку в доказательстве?

        – Нашёл. И даже две.

        – Ну вот и подготовьте отзыв от имени нашей кафедры. Отметьте в нём важность проблемы для современной математической науки и сложность её решения. Корректно укажите в отзыве одну – и только одну – ошибку, по Вашему выбору. А я его подпишу… Всё. Следующий вопрос повестки дня…

        Финита ля комедиа – а жаль: ведь я не успел зачитать все перлы ферматиста Виктолия Ивановича Будкина. Зато в коридоре я получил от одного из преподавателей комплимент:

        – Спасибо. Я никогда ещё так не смеялся при обсуждении математической проблемы.

                *     *     *

        А теорема Ферма? А она так и остаётся недоказанной. Почему? Вроде бы всё очень просто – взять и доказать, что решения у уравнения Ферма нет. Но вся загвоздка и подвох заключены как раз в этом простом слове "НЕТ".  Потому что трудно доказать не наличие чего-то, а наоборот, его отсутствие.

        Вот если бы надо было доказать, что решение есть, то можно и нужно было бы просто показать это решение – и всё. А вот доказать отсутствие чего-то – куда сложнее! Ну, например, кто-то Вам говорит:

        – Это уравнение не имеет решения.
 
        Тогда посадить его в лужу Вам не так уж и трудно: надо просто привести решение и сказать:

        – А вот оно, это решение!

         И всё: Вы доказали.

         А как – скажите – доказать отсутствие решений? Конечно, Вы можете сказать:

        – Я не нашёл таких решений.

        А Вам на это скажут:
 
        – А может, Вы плохо искали? А вдруг они есть, но только очень большие? Ну, настолько большие, что даже у сверхмощного компьютера пока не хватает силёнок, чтобы их найти?

        И Вам на это возразить уже нечем. Вот она в чём проблема – доказать теорему Ферма! А это означает, что на практике мы не можем проверить, верна или не верна теорема Ферма, как бы мы ни старались. А тогда получается, что известное  утверждение Карла Маркса о том, что практика есть критерий истины, в этом случае не работает. А тогда единственная надежда на то, чтобы доказать или опровергнуть утверждение Пьера Ферма, остаётся только на старания математиков-теоретиков, на их умственные способности. Объективная истина может открыться нам только правильным мышлением и развитым интеллектом.

        Но беда, однако, в том, что современная математика не имеет развитого фундамента и знаний, на основе которых можно было бы  доказать теорему Ферма. Вначале должны появиться и развиться какие-то новые разделы математической науки. А на это может уйти и пятьдесят лет и сто лет.

                *     *     *

        И вот прошло не пятьдесят лет и не сто лет, а только двадцать, и в сентябре 1994 года эту теорему доказал-таки профессор Принстонского университета Эндрю Уайлс (Andrew Wiles). Причём этот сорокалетний, по математическим меркам  уже немолодой, учёный до этого момента в математическом сообществе ничем особо не отличался. Его строгое доказательство  опубликовано в главном математическом журнале "Annals of Mathematics" – сто тридцать страниц.

        Собственно Эндрю Уайлс доказал не саму теорему Ферма, а гипотезу Таниямы-Шимуры. Всё дело в том, что в 1986 году Уайлс узнал о том, что Кену Рибету удалось доказать, что  теорема Ферма является прямым следствием гипотезы Таниямы-Шимуры. И тогда он понял, что эту теорему, возможно, удастся доказать, если будет доказана справедливость этой самой гипотезы.

        И теперь от доказательства Великой теоремы Ферма человечество  отделяло только одно препятствие: доказательство гипотезы Таниямы-Шимуры. "Значит, моя детская мечта, – написал позже Уайлс, – не пустой звук, а вполне реальное дело, которым стоит заниматься. Не медля ни минуты, я отправился домой и принялся за работу"… Но захватывающая и драматичная семилетняя история напряжённой работы Уайлса, направленной на  решение самой трудной математической проблемы в мире, заслуживает отдельного описания.

                *     *     *

        Итак, Великая теорема Ферма, будоражившая в течение трёх с половиной столетий умы математиков и любителей, наконец-то, доказана. Что дало это человечеству, науке? Отвечая на этот вопрос, академик С.П. КапИца в своей телевизионной программе "Очевидное – невероятное" сказал, что доказательство теоремы Ферма – это одна из главных задач двадцать первого века, и если решение её будет найдено, оно встанет в один ряд с созданием атомной бомбы и освоением человечеством космоса.

        Но неужели это так? Ведь миллиарды людей на Земле даже не узнали об этом эпохальном событии, и даже среди математиков очень немногие обратили своё внимание на сей факт. А тогда вопрос: стоила ли игра свеч, и стоило ли копья ломать?

                *     *     *

        А ферматисты? Казалось бы, доказательство Уайлса закрыло сразу две страницы истории: трёхсотпятидесятилетний поиск доказательств Великой теоремы и бесконечные нашествия ферматистов на все математические кафедры всех университетов и институтов в мире. Но это совсем не так. Удивительно, но бурный поток новых "доказательств" – в кавычках – теоремы Ферма не иссякает, не прекращается. Почему? Ведь, казалось бы, теперь всё доказано и расставлены все точки над "i". Ан нет. Простота формулировки теоремы Ферма, доступная в понимании даже школьнику, а также сложность единственного известного доказательства, продолжают вдохновлять многих на попытки найти другое доказательство – более простое.

        – Раз эта теорема формулируется так просто, – рассуждают они, – то и доказательство её должно быть элементарным.

        И их можно понять: вот, например, у известной теоремы Пифагора есть десятки различных доказательств, а среди них – и очень сложные, и очень простые. Так, может быть, и для теоремы Ферма тоже удастся найти очень простое доказательство – без сложных эллиптических кривых и всяких там модулярных форм? А вдруг? А почему бы и нет?

        Вот потому-то свой поиск доказательства, понятного всем, а не только некоторым математикам, ферматисты и продолжают. Как в той истории, когда "Король умер. Да здравствует король!": Доказательство Великой теоремы Ферма завершено. Доказательство Великой теоремы Ферма продолжается!