Часть 3 Уравнения математической физики

Где лучшее из времён,
Кажется, что оно
Только не здесь, не рядом.
Мне лучшее из имён
Трудно произнести,
Трудно, но очень надо.
И я не могу принять
Эту свою судьбу,
Если она с твоей не схожа.
И я не хочу отнять
Сердце твоё у тех,
Кто без тебя уже не сможет.
Я знаю только лучшее в тебе,
Мне от любви не страшно задохнуться,
Мы наяву живём, а не во сне,
А я всё не могу никак проснуться.
Скажу люблю, и это навсегда,
Пускай смешно пусть надо мной смеются.
Рассыпаны созвездья-города,
И наши самолёты в небе разминутся.
Ева Польна


Глава 1

22.01.2015г. –

Первый брак Афродиты продлился пять лет, со вторым она расправилась быстрее, за полгода. Она поняла, что ей не суждено быть счастливой и с головой окунулась в свою стихию - уравнения математической физики.
- Уравнения математической физики - это дифференциальные уравнения с частными производными, а также некоторые родственные уравнения иных типов (интегральные, интегро-дифференциальные и т.д.), к которым приводит математический анализ физических явлений. Для теории У. м. ф. характерна постановка задач в таком виде, как это необходимо при исследовании физического явления. Круг У. м. ф. с расширением области применения математического анализа также неуклонно расширяется. При систематизации полученных результатов появляется необходимость включить в теорию У. м. ф. уравнения и задачи более общего вида, чем те, которые появляются при анализе конкретных явлений; однако и для таких уравнений и задач характерно то, что их свойства допускают более или менее наглядное физическое истолкование (см. Математическая физика).
Классификация уравнений математической физики. Значительная часть У. м. ф. составляют линейные уравнения с частными производными 2-го порядка общего вида:
                , (1)
где все коэффициенты aij (aij = aij), bi, с и правая часть f представляют собой заданные функции независимых переменных x1, x2,..., хп (n ; 2), а u – искомая функция тех же аргументов. Свойства решений уравнения (1) существенно зависят от знаков корней (алгебраического относительно ;) уравнения
         
         = 0, (2)
 и поэтому классификация уравнений (1) проводится в соответствии с этими знаками. Если все n корней уравнения (2) имеют одинаковый знак, то говорят, что уравнение (1) принадлежит к эллиптическому типу; если один из корней имеет знак, противоположный знаку остальных n – 1 корней, – к гиперболическому типу; наконец, если уравнение (2) имеет один нулевой корень, а прочие корни одинакового знака, - к параболическому типу. Если коэффициенты aij постоянны, то уравнение (1) принадлежит к определенному типу независимо от значений аргументов; если же эти коэффициенты зависят от x1,..., хп, то и корни уравнения (2) зависят от x1,..., хп, а потому уравнение (1) может принадлежать к разным типам при различных значениях аргументов. В последнем случае (уравнение смешанного типа) изучаемая область изменения аргументов состоит из зон, в которых тип уравнения (1) сохраняется. Если корень уравнения (2), переходя от положительных значений к отрицательным, обращается в нуль, то между зонами эллиптичности и гиперболичности расположены зоны параболичности (надо отметить, что и в ряде др. отношений параболического уравнения занимают промежуточное положение между эллиптическими и гиперболическими).
Для линейных уравнений с частными производными выше 2-го порядка и для систем уравнений с несколькими искомыми функциями классификация более сложна
 Основные примеры уравнений математической физики.
         Волновое уравнение:
         
 – простейшее уравнение гиперболического типа, а также соответствующие неоднородные уравнения (в правой части которых добавлены известные функции) – Телеграфное уравнение и т.д. Уравнения и системы этого типа появляются при анализе различных колебаний и волновых процессов. Свойства уравнений и систем гиперболического типа во многом аналогичны свойствам приведённых простейших таких уравнений.
         Лапласа уравнение:
         
  – простейшее уравнение эллиптического типа и соответствующее неоднородное уравнение – Пуассона уравнение. Уравнения и системы эллиптического типа появляются обычно при анализе стационарных состояний. Теплопроводности уравнение:
         
    – простейший пример уравнения параболического типа. Уравнения и системы параболического типа появляются обычно при анализе процессов выравнивания.
   Первым примером уравнений смешанного типа явилось т. н. уравнение Трикоми:
         
   Для этого уравнения полуплоскость  у < 0 – зоной гиперболичности, а прямая у = 0 – зоной параболичности.
  Ряд задач математической физики приводит к интегральным уравнениям (См. Интегральные уравнения) различных типов. Так, например, интегральные уравнения Вольтерра возникают в тех задачах физики, в которых существует предпочтительное направление изменения независимого переменного (например, времени, энергии и т.д.). В задаче о крутильных колебаниях возникает некоторое интегро-дифференциальное уравнение (См. Интегро-дифференциальные уравнения).
   Постановка задач и методы решения уравнений математической физики. На первом этапе развития теории У. м. ф. много усилий было затрачено на отыскание их общего решения. Уже Ж. Д'Аламбер (1747) получил общее решение волнового уравнения. Основываясь на подстановках, применявшихся Л. Эйлером (1770), П. Лаплас предложил (1773) «каскадный метод», дающий общее решение некоторых др. линейных однородных гиперболических уравнений 2-го порядка с двумя аргументами. Однако такое общее решение удалось найти в весьма редких случаях; в отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений, для уравнений с частными производными не выделено ни одного сколько-нибудь значительного класса уравнений, для которых общее решение может быть получено в виде достаточно простой формулы. Кроме того, оказалось что при анализе физических процессов У. м. ф. обычно появляются вместе с дополнительными условиями, характер которых коренным образом влияет на направление исследования решения (см. Краевые задачи, Коши задача).
   Широкое распространение получили методы приближённого решения краевых задач, в которых задача сводится к решению системы алгебраических (обычно линейных) уравнений (см. Ритца и Галёркина методы. Сеток метод). При этом за счёт увеличения числа неизвестных в системе можно достичь любой степени точности приближения.
   Запишите литературу для самостоятельного ознакомления - она продиктовала список из десяти авторов.
 
• Уравнение состояния
• Уравнения химические

• УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ - дифференциальные уравнения с частными производными, интегральные уравнения, к которым приводит математический анализ физических явлений. См., напр., Волновое уравнение, Лапласа уравнение, Теплопроводности уравнение …   
• УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ - дифференциальные уравнения с частными производными, интегральные уравнения, к которым приводит матем. анализ физ. явлений. См., напр., Волновое уравнение, Лапласа уравнение, Теплопроводности уравнение …   
• НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ - уравнения, не обладающие свойством линейности; применяются в физике как матем. модели нелинейных явлений в разл. сплошных средах. Н. у. м. ф. важная часть матем. аппарата, используемого в фундам. физ. теориях: теории тяготения и квантовой теории…   
• МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ УРАВНЕНИЯ - уравнения, описывающие математические модели физических явлений. М. ф. у. часть предмета математической физики. Многие явления физики и механики (гидро- и газодинамики, упругости, электродинамики, оптики, теории переноса, физики плазмы, квантовой…
• МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ УРАВНЕНИЯ - уравнения, описывающие матем. модели физ. явлений. Теория этих моделей (математическая физика) занимает промежуточное положение между физикой и математикой. При построении моделей используют физ. законы, однако методы исследования полученных уравнений…
• МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ УРАВНЕНИЯ - дифференциальные уравнения с частными производными, интегральные и некоторые др. типы уравнений, к которым приводит матем. анализ физ. явлений. М. ф. у. есть матем. выражение физ. законов, а входящие в них величины имеют непосредственный физ. смысл.
Работа позволяла Афродите отвлекаться от грустных мыслей и идеализировала ее внутренний мир, облагораживая и жизненные коллизии, и неприятности. Студенты, замечая, как она изменилась: стала молчаливой и серьезной,  старались учиться лучше, а она делала вид, что верит в их внезапную тягу к знаниям.