Избыточные числа

Признаюсь, меня всегда смущали авторы-математики, которые рассказывая о числах, действуя в теории чисел, тут же избавлялись от них, таких конкретных и разных, применяя в своем повествовании абстрактные буквы a, b, c, d. Рисуя формулы с иксами, да игреками они напрочь уходили от того славного восприятия числа, которое весело смотрится только при своем естественном начертании. Каждое число это особый мир, своя индивидуальность и, говоря о числах многих, обозначая их таких разных обобщенно латинскими буквами b или d, разве не теряем мы враз это великолепие? Здесь этого не будет. Я люблю числа в их цифровом обличье, мне нравится обозревать их славную сущность и оперировать далее, рассказывая о них родимых, будем не теряя их внешнего облика.

Делимость – важный показатель числа. Любое число делиться на единицу и само себя. Складывая суммы делителей, традиционно не считают таковым само число. При таком подходе все числа разделились на три группы: сумма собственных делителей у них меньше искомого числа (среди них щеголяют единицей простые числа), - это недостаточные числа; редкий случай совпадения суммы делителей с самим числом – совершенные числа; наконец, когда сумма делителей больше исходного числа, и вот такие числа называют избыточными. Примеры: 10; его делители в сумме дают: 1+2+5=8, суть число недостаточное; 12 – 1+2+3+4+6=16 сумма делителей превышает 12 на 4, есть число избыточное.

Числа и их делители
1-1
2-1 простое
3-1 простое
4-1+2=3 -  (-1)
5-1 простое
6-1+2+3=6 - (0)      совершенное
7-1 простое
8-1+2+4=7 - (-1)
9-1+3=4 -  (-5)
10-1+2+5=8 - (-2)
11-1 простое
12-1+2+3+4+6=16 - (+4) избыточное
13-1 простое
14-1+2+7=10 - (-4)
15-1+3+5=9  - (-6)
16-1+2+4+8=15 - (-1)
17-1 простое
18-1+2+3+6+9=21 - (+3)
19-1 простое
20-1+2+4+5+10=22 - (+2)
21-1+3+7=11 -  (-10)
22-1+2+11=14 - (-8)
23-1 простое
24-1+2+3+4+6+8+12=36 - (+12)
25-1+5=6 -  (-19)
26-1+2+13=16 - (-10)
27-1+3+9=13 - (-14)
28-1+2+4+7+14=28 - (0) совершенное
29-1 простое
30-1+2+3+5+6+10+15=42 - (+12)
31-1 простое
32-1+2+4+8+16=31 - (-1)
...
Среди избыточных чисел чаще всего встречаются избыточные на величину 12. Начиная с числа 30, сумма делителей которого 42, то есть больше самого числа на 12, образуется ряд – назовем его «плюс 12 или с шагом 12», когда каждое следующее число больше предыдущего на 12 и является избыточным именно на 12. В этом ряду находятся почти все избыточные числа +12. У них сумма делителей числа указывает на следующее порядковое число ряда «плюс 12». Таковые собраны в приведенной ниже таблице в первый сектор слева. Во втором секторе собраны числа ряда «плюс 12», которые сами избыточны более чем +12, но сумма их делителей все равно попадает на ряд «плюс 12», пусть и много дальше. Важно подчеркнуть, что эти числа укладываются в шаг +12. В третьем секторе присутствуют числа ряда «плюс 12», сумма делителей которых и больше 12 и не попадает на искомый ряд, но само число должно принадлежать ряду, (по шагу +12) однако не отвечает его требованиям. Строго говоря, оно только число избыточное и вроде бы по порядку должно быть в ряду.

Числовой ряд с шагом 12

Сумма делителей  Сумма делителей    Сумма делителей
превышает само    превышает число    превышает число
число точно           намного, но             намного и не
на 12                попадает на             попадает на
                числовой ряд          числовой ряд
                с шагом 12              с шагом 12

30=42-(+12)
42=54-(+12)
54=66-(+12)
66=780(+12)
78=90-(+12)
                90=144-(+54)
102=114-(+12)
114=126-(+12)
                126=186-(+60)
138=150-(+12)
                150=222-(+72)
                162=201-(+39)
174=186-(+12)
186=198-(+12)
                198=270-(+72)
                210=364-(+154)
222=234-(+12)
                234=312-(+78)
246=258-(+12)
258=270-(+12)
                270=450-(+180)
282=294-(+12)
                294=390-(+96)
                306=396-(+90)
318=330-(+12)
                330=534-(+204)
                342=438-(+96)
354=366-(+12)
366=378-(+12)
                378=582-(+204)
                390=618-(+228)
                402=412-(+10)
                414=522-(+108)
426=438-(+12)
438=450-(+12)
                450=700-(+250)
                462=690-(+228)
474=486-(+12)
                486=606-(+120)
498=510-(+12)
                510=786-(+276)
                522=648-(+126)
534=546-(+12)
                546=798-(+252)
                558=690-(+132)
                570=870-(+300)
582=594-(+12)
                594=846-(+292)
606=618-(+12)
618=630-(+12)
                630=1242-(+612)
642=654-(+12)
654=666-(+12)
                666=816-(+150)
678=690-(+12)
                690=1038-(+348)
                702=978-(+276)
                714=1014-(+300)
                726=870-(+144)
                738=900-(+162)
                750=1122-(+272)
762=774-(+12)
                774=942-(+168)
786=798-(+12)
                798=1122-(+324)
                810=1368-(+558)
822=834-(+12)
834=846-(+12)
                846=1026-(+180)
                858=1219-(+361)
                870=1290-(+420)
                882=1341-(+459)
894=906-(+12)
906=918-(+12)
                918=1242-(+324)
                930=1183-(+253)
942=954-(+12)
                954=1152-(+198)
                966=1338-(+372)
978=990-(+12)
                990=1818-(+828)
1002=1014-(+12)
...                ...                ....

На промежутке от 1 до 1000 есть лишь два числа – 24 и 304, которые не принадлежат ряду «плюс 12», но имеют сумму делителей, превосходящую само число на 12 единиц: 24=36+12 и 304=316+12. Здесь не только само число не в ряду, но и сумма делителей на приведенный ряд не попадает.
Если искать исток ряда, то начальное его число, конечно же, не 30. Идя от него нашим шагом 12 назад, получим сначала 18, затем 6. Шестерку и нужно считать началом ряда. Это совершенное число. Его удвоение дает шаг нашему ряду. Пока это только гипотеза.
Проверим эту гипотезу уже известным методом на следующем совершенном числе – 28. Считаем его началом ряда, шагом которого будет удвоение начального числа – 56. Интересно, что избыточные числа +56 находятся в хорошем количестве и сразу выстраиваются в ряд.

Числовой ряд с шагом 56

Сумма делителей   Сумма делителей     Требованиям ряда
превышает само     превышает число     не отвечает,
число ровно                намного, но         обозначая собой
на 56                попадает на         порядковый номер
                числовой ряд          в ряду
                с шагом 56               
28=28
84=140-(+56)
140=196-(+56)
                196=203-(+7)
                252=470-(+224)
308=364-(+56)
364=420-(+56)
                420=924-(+504)
476=532-(+56)
532=588-(+56)
                588=1008-(+420)
644=700-(+56)
                700=1036-(+336)
                756=1484-(+728)
812=868-(+56)
868=924-(+56)
...                924=1764-(+840)
                980=1374-(+394)
                ...                ...

Опыт подтвердился. На числовом пространстве от 1 до 1000 искомый ряд вбирает практически все избыточные числа +56. Есть одно исключение – 224=280+56 ряду не принадлежит.
Формулируем. Совершенные числа дают старт числовому ряду избыточных чисел с шагом удвоения стартового совершенного числа и избыточными на величину этого удвоения.

06.04.2016