Что вокруг чего вертится

Рассмотрим один любопытный, на мой взгляд, случай круговых движений в одной плоскости двух точечных тел. Вот его описание. Первое тело движется по окружности с центром, совпадающим со вторым телом, а второе тело — с той же по величине скоростью по окружности такого же радиуса, но с центром в первом теле.

Можете ли вы наглядно представить себе общую картину указанного движения двух тел? Если да, то уверены ли вы, что ваше представление включает все возможные варианты? Движутся ли тела по двум различным окружностям, или по одной и той же, а может быть по каким-либо иным траекториям? Я перебираю варианты, не смотря на то, что в приведённом описании движения речь идёт о двух различных окружностях — у них различные центры. Казалось бы, всё ясно, но это только на первый, легкомысленный взгляд.

Взглянем на плоскость, в которой будут лежать орбиты двух тел. Расстояние между телами равно радиусу тех окружностей, о которых говорится в исходном определении движений. Чтобы начать строить (рисовать) траектории тел, необходимо знать как направлены мгновенные вектора их скоростей. Они параллельны. В самом деле, представим одно тело как центр окружности, по которой, согласно определению, движется второе тело. Вектор скорости последнего располагается по касательной к окружности в точке его положения и, значит, перпендикулярно прямой, проходящей через тела. В аналогичной ситуации находится и первое тело относительно второго. Мгновенные вектора скоростей тел перпендикулярны прямой, проходящей через них, а следовательно параллельны. А вот теперь возможны два варианта движения в зависимости от направлений параллельных векторов скоростей — в разные стороны, или в одну сторону.

Первый вариант: скорости направлены в разные стороны. В данном случае тела будут двигаться по одной окружности с центром, расположенным посередине между ними. Обратим внимание, что если в исходном описании движения речь шла о двух окружностях некоторого радиуса R, то в рассматриваемом случае мы получили одну окружность радиуса R/2, при этом её центр не совпадает ни с одним из тел.Данная конфигурация реализуется кинематически в так называемой системе двойных звёзд. Сказать, что две звезды обращаются вокруг общего центра по одной окружности друг за другом, — то же самое, что декларировать приведённое в самом начале данной статьи определение движений двух точек — каждой по своей окружности.Дальнейшее будет ещё более удивительным.

Второй вариант: скорости направлены в одну сторону. В этом случае построение траекторий встречает некоторое затруднение, обусловленное нашим последовательным (поочерёдным) рассмотрением принципиально одновременных движений двух тел. Согласно исходному описанию первое тело движется по окружности вокруг второго, и наоборот. Начнем движения обоих тел одновременно, но обратим свой взор сначала на одно из них. Тогда ожидается, что на сколь угодно малом отрезке времени оно пройдет по малой дуге окружности с центром во втором теле. Но последнее не ждёт, а движется симметричным образом. Но этого быть не может, ибо в противном случае расстояние между телами уменьшилось бы и следующий этап движения перестал бы соответствовать исходному определению. Таким образом, остаётся одна возможность движения тел в одну сторону параллельными курсами, то есть вдоль параллельных прямых.

Если приведённые рассуждения не кажутся вам достаточно убедительными, то вот вполне практичный способ построения траекторий. Возьмем циркуль с фиксированным раствором (начальным расстоянием между телами R), у которого вместо иглы обычный грифель. Посредством этого циркуля рисуем маленькую дугу окружности с центром в текущем положении одного тела, проходящую через текущее положение другого. Затем повторяем эту процедуру с точностью до наоборот, то есть симметрично. А именно, в конце только что начерченной дуги, соответствующем новому положению второго тела,  устанавливаем опору циркуля (там у нас тоже грифель) и через текущее положение первого тела проводим маленькую дугу окружности. Указанную процедуру повторяем до тех пор, пока общая картина взаимного относительного движения не станет очевидной. Мы должны увидеть параллельность движения тел в одном направлении по почти прямым линиям, а все неровности увиденного следует списать на дискретный характер построения траекторий. Вспомним, что я говорил о малой дуге. В идеале она должна быть бесконечно малой, а стало быть, такими же должны быть и неровности прямых траекторий. Кроме того, мы рисовали сначала одну, а потом другую малую дугу, не имея физической возможности нарисовать их одновременно. Этот паразитный, с точки зрения общей идеи, технический дефект можно отчасти компенсировать тем, что если в первый такт времени у нас первое тело опережает второе, то во второй —  наоборот (выбираем углы перемещения тел). Разумеется, данный технический приём рисования траекторий циркулем я привел лишь после того как написал соответствующую компьютерную программу. Однако она, как вы можете догадаться, работает также последовательно, как последовательно (поочерёдно) мы переставляем ножки циркуля. Итак, если тела в исходной формулировке нашей задачи движутся в одну и ту же сторону, то они туда движутся по параллельным прямым, а не по окружностям, как это задано в исходном определении (инструкции). С точки зрения динамики можно сказать, что в данном случае два тела, пытаясь двигаться друг вокруг друга, в действительности лишь тянут друг друга в некотором прямом направлении.

Если считать прямую окружностью бесконечно большого радиуса, то в данном варианте получаем две окружности с бесконечно удалёнными центрами. Мы традиционно считаем, что есть два типа опорных движений, через которые мы понимаем всякие другие — эллиптические, гиперболические, или произвольные, наконец. Эти опорные движения — прямолинейные и круговые. Прямолинейные движения, самые понятные для нашей интуиции, практически не существуют, а круговые (включая их модификации — эллиптические, овальные, спиральные) — просто мозолят глаза. Быть может, в основу нашего ментального изображения реального мира мы положили не те модели? Мы видим, что прямолинейные движения можно моделировать посредством круговых 

Несколько замечаний напоследок.

   Бывает, мы конструируем какой-нибудь объект в полном соответствии с данным его описанием, но в результате получаем нечто такое, что другие люди (возможно, и мы сами) описывают уже иным образом. Возьмём это новое описание и сконструируем соответствующий ему объект. Будет ли он таким же, как первый?

   А.Пуанкаре в начале 20-го века на одном из научных симпозиумов высказал своё мнение, что выбор решения о том, что вокруг чего вертится в солнечной системе — дело удобства и простоты. Об этом своём публичном откровении он позднее пожалел из-за репутационных потерь. А ведь он знал, о чём говорил.

   Повертим объект в руках перед глазами, и быть может нам откроется скрытая доселе истина. Если мы испытаем восторг открытия, то хорошо бы ещё проверить, а не эквивалентна ли она прежней, хотя и выражена в других терминах и отношениях. Поступать так учит нас математический опыт, а вести себя противоположно — обыденный креативизм, к которому тяготеет физика, не говоря уж о других науках.

  В данной статье мы рассмотрели лишь кинематическую сторону дела. А отражением какой динамики (силы, моменты, энергии) она является?