Задача о смешивании кофе и молока в Интернете

"Деньги не создаются и не исчезают. Они просто перетекают с одного счёта на другой."
(х / ф "Уолл - Стрит", США, 1988)


На эту задачу я наткнулся, читая в 2018 "Воспоминания об академике А. Б. Мигдале"
(физик-теорнтик, разработавший строгие методы расчёта магнитных моментов ядер атомов разных химических элементов). Согласно "Воспоминаниям ... ", на банкете какой-то научной конференции, А. Б. прямо за столом предложил присутствующим разобраться в такой ситуации: имеются два стакана, 1-й заполнен молоком, 2-й - равным объёмом кофе. Некто зачерпывает ложку молока, переливает в стакан N2, затем, размешав, зачерпывает снова и переливает содержимое ложки в стакан N1. Сравнить концентрации кофе в молоке (стакан N1) и - молока в кофе (стакан N2). По утверждению автора биогр. очерка, все сидевшие за столом с задачей справились, кроме некоего посланца одной из союзных республик (не суть важно, какой), которого оказалось невозможно убедить в его неправоте.
Первое впечатление от этого фрагмента книги у меня было - досада. Досада, как же я не знал такой замечательной задачи раньше! Я решил её алгебраически, умышленно не вводя конкретных численных данных, а потом задумался, сколько ей лет и был ли у ней конкретный автор?
Знакомый химик-профессионал ничего об этом сказать не смог и я обратился к поисковым системам Интернета. Выяснилось, что на некоторых сайтах задачу приписывают математику И. М. Гельфанду, на остальных же об её авторстве не говорится ничего. Я думаю, что она - с большой "бородой", фамилия же И. М. Гельфанда упоминается просто потому, что до своего отъезда в США, он много лет занимался организацией математических олимпиад школьников и просто не мог пройти мимо этой алгебраической "жемчужины". Дискуссия же по задаче на разных сайтах оказалась долгой, временами бурной и, на мой взгляд, достойной того, чтобы выборочно процитировать её с собственными комментариями. Это и сделано ниже.
Я представлю и прокомментирую в основном верные утверждения, т. к. ломать голову над тем, что именно имели в виду авторы неверных текстов, у меня нет ни времени, ни желания.
Зависимостью молярного объёма смеси от концентрации компонентов пренебрегаем.

1. Chaos  04.03.2007 13:33   
Так как размер ложки не играет роли в эксперименте, мы абстрагируемся и представляем, что он равен размеру стакана. Разумеется при смешивании количество молока в кофе и кофе в молоке будет одинаковым. Можно сделать вывод что и при переливании ложки туда-сюда, эффект будет тот же самый.

Карпов    03.09.2010 23:01    
Решение очевидно! Если принять ложку равную по объему стакану, то ответ очевиден - 50/50! А потом уже не важно сколько частей умещается в ложке - ответ всегда 50/50 ... нарежьте бумагу и экспериментально убедитесь в правильности ... сам не верил, пока не попробовал!

lionbeast  09.09.2010 17:30   
ни фига се ложечка в стакан!!
примите ложку в пол объема жидкости, тогда во втором стакане будет 2/3 кофе и треть молока, и переливать вы будете смесь кофе и молока.

Кузнецов Сергей Германович 14.09.2013 01:27    
Предположение, что "размер ложки не играет роли в эксперименте" — некорректно.
Об этом в задаче не сказано и предполагать оное нет никаких оснований.

Мой комментарий: В ДЕСЯТКУ! То есть, Сергей Германович совершенно прав - Chaos и Карпов берут предельный случай и обобщают его ... на произвольный случай. Считаю, что этого недостаточно. Нужен хотя бы ещё один пример, где объём ложки V и объём стакана N связаны строгим неравенством V < N, а не V = N, как у вышецитированных авторов. Такие примеры находим в других местах дискуссии:

2. kritik  11.04.2007 16:07   
Мое решение: Допустим в ложке помещается 1/10 объема.
Тогда после первого переливания получим
10К / 10 + 1М / 10 и 9М / 10. После второго:
(91М + 10К)/ 100 и (90К + 9М)/ 100.
То есть 10К против 91М в стакане молока и 9М против 90К в стакане кофе.
Или же 10/91 > 10/100. Соответственно кофе в молоке больше, разве не так?!

Мой комментарий: Не так. Вообще, всё переусложнено.

Женечка   24.04.2007 06:18
все гениальное просто
А) 100 молока и 100 кофе
Б) 95м и 100к + 5м
100/5=20/1, а 5/20=0,25 и 5 - 0,25 = 4,75
В) 95м + 4,75к + 0,25м и во втором (100 - 4,75)к + (5 - 0,25)м
в итоге получаем 95,25м + 4,75к и 95,25к + 4,75м.
 
Мой комментарий: совершенно верно, НО! Зачем же брать дроби! Вот, посмотрите, какая арифметическая красота получается, если мы возьмём V = 50, N = 450:

Начало

N1  молоко       N1  кофе         N2  молоко      N2  кофе

     450               0               0             450

После того, как ложка переместилась туда (слева направо от N1 к N2)

     400               0               50            450

После того, как ложка переместилась туда и обратно:

     405               45              45            405

А теперь сделаем то, чего не стал проделывать ни один из многих десятков читателей - ещё раз переместим ложку туда:
    
     360               40              90            410

И - перемещаем её обратно:

     369               81              81            369

Мы видим, что равенство объёмов кофе в N1 и молока в N2 не нарушается и в дальнейшем!
Методом математической индукции легко доказать, что объёмы компонент равны на любом шаге числа переливаний n. Более того, если предположить, что ложка перемешивает жидкости всё время до равномерной консистенции, можно просчитать, как при этом будет меняться объём компонента в смеси при увеличении  n. Я уверен, что при V << N (символ "<<" означает "на несколько порядков меньше". Например, 1 << 100, но нельзя сказать то же о 5 и 7)
мы получим для объёма кофе в N1: (N / 2)·(1 - exp(- 2·n·V / (N + V))).    
(Экспонента в скобке - по основанию "е" = 2.718 ... ). Вот если перемешивание плохое, мы можем получить для объёма кофе в N1 почти всё, что угодно, но это "почти всё, что угодно" будет равно объёму молока в N2! Но вернёмся к исходному - решение должно быть алгебраическим, а не арифметическим. И вот тут меня начал преследовать глюк: я хотел, чтобы при перемешивании объёмы всё время оставались целыми. Это значит, что целые числа V и N должны удовлетворять уравнению
                V**2 = (N + V)·k                (1)
где k - какое-то целое число ("**" означает возведение в степень; в уравнении (1) - во 2-ю степень, т.е. в квадрат). Легко видеть, что одним из типов решений (1) является множество чисел V = k·a и
                N = k·a·(a - 1)                (2)
где 'a' - ПРОИЗВОЛЬНОЕ натуральное число. Результаты равномерного перемешивания будут такими:
Начало

N1  молоко       N1  кофе         N2  молоко      N2  кофе

  k·a·(a - 1)         0               0           k·a·(a - 1)

После того, как ложка переместилась "туда"

  k·a·(a - 2)         0               k·a         k·a·(a - 1)

После того, как ложка переместилась туда и обратно:

  k·[(a - 1)**2]      k·(a - 1)       k·(a - 1)   k·[(a - 1)**2]

На рисунке показана ситуация k = 1, V = 8, N = 1·8·7 = 56. Кажется, механика перемешивания вполне наглядна. Итак, концентрации кофе в N1 и молока в N2 в конце процедуры равны между собой и равны 1 / a. Можно проверить, что численные значения объёмов остаются целыми и после второго перемешивания и равны
2·k·(a - 2) и N - 2·k·(a - 2) соответственно.
Если не ставить вопрос о ВЫЧИСЛЕНИИ концентрации, а только о проверке равенства концентраций, то всё очень просто. Не нужно требовать равномерности перемешивания, не нужно, вообще, мыслить в категориях "стакан-ложка". Пусть у нас имеется супружеская парочка Виктор + Моника. У Виктора N рублей металлом, у Моники - бумажками. Моника берёт взаймы у Виктора V рублей, но покупок сделать не смогла и вечером она возвращает деньги - уже не следя, сколько отдаёт металла, а сколько бумажек. При этом количество и металлических и бумажных денег у четы сохранится. Обе суммы равны. Другими словами эту же мысль выразили авторы комментариев -

3. Chaos   13.03.2007 10:46   
объем обоих сосудов остается одинаков, значит если из молока убыло, то в кофе прибыло ...
а все что убыло было заменено кофе, следовательно в любом случае одинаково

САН  02.04.2007 09:39
по Ломоносову Объём не изменился, значит: сколько из одного стакана убыло, столько в другой прибыло. Если не принимать во внимание изменение плотности, то, очевидно: сколько не переливай туда-сюда, отношение будет одинаковым.

zidan_gomel  27.01.2012 16:27   
если после смешивания в первом стакане больше кофе, чем молока во втором, значит в первом стакане молока меньше, чем кофе во втором, и в сумме кофе в обоих стаканах больше, чем молока в обоих стаканах. противоречие.
P.S.: чтобы было более наглядно нарисуйте на бумаге два стакана и кофе с молоком в них, но чтобы кофе и молоко выглядели не растворенным друг в друге, например молоко снизу, кофе сверху в первом стакане, во втором - наоборот.
 
Дмитрий    21.11.2013 17:42   
если пойти от противного, то отношение молока к кофе больше (или меньше) в первом стакане, чем отношение кофе к молоку во втором. Но ведь общее количество молока и кофе одинаковое, как и количество смеси в обоих стаканах-приходим к противоречию. ...


Рецензии
Сложная задача

Григорий Аванесов   21.02.2019 16:40     Заявить о нарушении
Но, главное, интересная! (Моя супруга поначалу не соглашалась с моим решением - и именно тогда я придумал модель с Виктором, Моникой и их деньгами. После этого дело объяснения пошло на лад.) Некоторые авторы Интернета использовали модель с футболистами 2 команд в футболках разного цвета - но это уже дело вкуса.

Сазонов Сергей   21.02.2019 17:23   Заявить о нарушении
Сергей, для первой пары переноса я быстро нашел алгебраическое решение (при произвольных объемах стаканов, ложки и произвольных же концентрациях компонентов). Это не потому, что шибко умный, а потому, что для химика такого рода вычисления достаточно рутинны. Но вот получить простую формулу для произвольного числа переносов с ходу не сумел.
Забавно, что такая штука легко решается численно с применением циклов и рекурсии: имея решение для первого цикла, исходные данные заменяем на результат после первого прогона и продолжаем "крутить". Со скуки проверил: да, после множества циклов концентрации уравниваются при любых исходных данных. Вот так компьютер отучает от навыка шевелить мозгами - по крайней мере, меня.
Задачка, при всей ее кажущейся развлекательности, вовсе не пустопорожняя. Похожие задачи возникают при описании практически важных процессов ступенчатой экстракции, смешения в различных химических реакторах, ректификации... Сильно подозреваю, что в случае маленького объема ложки задача станет сходна с описанием теплопроводности и диффузии при определенных начальных и граничных.
В общем, те школьники (или студенты), которые с ней справятся, потом лучше и легче поймут и выполнят тьму родственных решений. И еще: математика одна, а сколько же однотипных решений для непохожих с виду явлений! Увы, как и большинство химиков, в математике я дуб - говорю без кокетства.
Спасибо, развлекли.

Алексей Степанов 5   31.05.2019 10:50   Заявить о нарушении
Пожалуйста!

P.S. Формулу "концентрация как функция n" =(N / 2)·(1 - exp(- 2·n·V / (N + V))) я позже проверил. Чем меньше (V / N), тем она точнее при любом n.
P.P.S. Я не стал брать в качестве примера смешивание этилового спирта с водой, т.к. там молярный объёма смеси зависит от концентрации, что очень всё усложняет.

Сазонов Сергей   31.05.2019 11:57   Заявить о нарушении
И тем не менее... Ваша формула приближенна, она становится точной только когда V/N стремится к нулю. А вот можно ли найти точное и более-менее простое выражение для относительно больших V/N? Я не знаю. А вы?

Алексей Степанов 5   31.05.2019 14:43   Заявить о нарушении
Уверен! Но она будет громоздкой.

Сазонов Сергей   31.05.2019 15:27   Заявить о нарушении
На это произведение написаны 4 рецензии, здесь отображается последняя, остальные - в полном списке.