Задача по геометрии. Продолжение

  Задача по геометрии, обсуждавшаяся тут - http://www.proza.ru/2016/09/14/1630 получила интересное продолжение.
  Во-первых, оказалось, что не только я её долго и безуспешно решал - такие попытки можно найти в интернете, во-вторых, у меня появились новые идеи.

  Напомню условие задачи.
  В равнобедренном треугольнике ABC с углом при вершине B=20 градусов, из углов основания C и A проведены наклонные под углом к основанию в 50 и 60 градусов. Наклонные пересекают боковые стороны треугольника в точках D и E. Найти угол CDE.

  В принципе, все решавшие задачу догадались, что искомый угол равен 30 градусам. Но ведь это надо доказать!
  И вот тут-то загвоздка и заключается. Многие даже как бы решили эту задачу.
  Внимательно рассматривая правильно построенный чертёж, и обнаружив в нём очевидные для себя вещи, они восклицали - Эврика! Да это же просто!
  Но дело всё в том, что даже очевидные вещи в математике приходится доказывать.

  Повёлся на такую очевидность и я. Взгляните на иллюстрацию - очевидно, что на чертеже имеются подобные треугольники. Вон они, сверху слева - зачерчены голубым и тёмным цветом. Правда, подобие их нужно доказать, что несколько затруднительно, поскольку маленький треугольник является не просто меньшей копией большого, а является его инвертированной копией. Маленький треугольник, перемещая и поворачивая его на плоскости, никак не поставишь в такое положение, в котором его стороны будут параллельны соответствующим сторонам большого треугольника.
  В маленьком треугольнике малая и средняя стороны как бы перепутаны местами.

  Это ничего, сказал я, дело можно поправить - давайте воспользуемся тем, что треугольник CDB оказался равнобедренным, а это действительно так - (180-20)/2-60=20, давайте воспользуемся этим, расположим исходный треугольник ABC, слегка наклонив его, так, как это показано на чертеже, чтобы боковая сторона его шла вертикально, и отразим маленький треугольник относительно высоты треугольника CDB, обозначенной как ось X.

  И мы получили очень хороший маленький треугольничек DE'B со сторонами параллельными сторонам треугольника AEB. Наверное так доказательство подобия треугольников пойдёт легче?
  Нам фактически надо доказать лишь то, что красная прямая AE параллельна зелёной прямой  DE' в том случае, когда угол, обозначенный на чертеже знаком вопросика, равен 30 градусам.

  Тут можно призвать на помощь аналитическую геометрию.
  Пересечение вертикальной стороны исходного треугольника с осью X примем за начало координат, и приступим к вычислениям.
  Вы видите, я обозначил на чертеже координаты некоторых точек.
  Через точку A проходит красная прямая, составляя
 с осью X угол (50-10) градусов.
  Под этим же углом к оси X через точку D проходит зелёная прямая.
  Напишем уравнения этих прямых:
 
Y1(X) = tg(50-10)(X+tg20)

Y2(X) = -1+4sin10sin10 +tg(50-10)(X+4sin10cos10)

  Вы понимаете, как написаны эти уравнения?
  Y линейно зависит от X с коэффициентом tg(50-10), а если в правую часть уравнения на место X мы поставим X-координату точки, через которую прямая проходит, то скобка обратится в ноль, а всё выражение окажется равным Y-координате этой точки.

  При пересечении с вертикальной координатной осью, при X=0, получаем вот что:

Y1(0) = tg(50-10)tg20

Y2(0) = -1+4sin10sin10 +tg(50-10)4sin10cos10

  Теперь выразим математически тот предположительный факт, что точка E' получена отражением точки E:

Y1(0) = -Y2(0)

tg(50-10)tg20 = 1-4sin10sin10 -tg(50-10)4sin10cos10

  Последнее тождество неплохо бы проверить на калькуляторе.
проверяем:
tg(50-10)tg20= .30540728933227860459
1-4sin10sin10 -tg(50-10)4sin10cos10= .30540728933227860459
________________

  Несмотря на такое замечательное совпадение цифр, проверка на калькуляторе доказательством не является, Хотя и наводит на мысль что мы на правильном пути.
   Требуется доказать тождество -

tg(50-10)tg20 = 1-4sin10sin10 -tg(50-10)4sin10cos10

tg(50-10)(tg20+4sin10cos10) = 1-4sin10sin10  используем: sin2A=2sinAcosA

tg(50-10)(tg20+2sin20) = 1-4sin10sin10  используем: cos2A=1-2(sinA)^2

tg(50-10)(tg20+2sin20) = 2cos20-1 (*)
________________

  Далее я, проделав ряд тригонометрических преобразований, пришёл к следующему тождеству:

sin20sin20 = (2cos20-cos20cos20)/(1+8cos20)

  Доказать это тождество я не смог, и вернулся к предыдущему пункту.
_________________

  Выражение (*) позволяет отойти от частных значений углов и провести некое более общее исследование. Давайте забудем, что угол при вершине исходного треугольника задан равным 20 градусов. Пусть он будет каким-то другим. Но потребуем, чтобы и при этом, другом значении угла, наклонная из угла C была проведена под таким углом, чтобы треугольник CDB был равнобедренным. Сможем ли мы провести наклонную из угла A так, чтобы на чертеже появились подобные треугольники? И под каким углом следует провести эту наклонную?
  Обозначим этот угол через Ф.

  Вопрос стоит так - всегда ли сможем мы найти такой угол Ф, при котором красная и зелёная прямые будут параллельными? Очевидно, что мы сможем это сделать - подвигайте мысленно красную точку E по вертикали вверх и вниз. Тогда её отражение, точка E' станет двигаться в противоположную сторону. Красная и зелёная прямые, при продолжении их вправо, будут сходится или расходиться. Ясно, что в такой ситуации существует такое положение точки E, при котором прямые станут параллельными, а на чертеже возникнут упомянутые подобные треугольники.

  Заменим в выражении (*) число 50 на угол Ф, а число 20 на угол B, и формула для нахождения Ф будет готова:

     tg(Ф-B/2)(tgB+2sinB) = 2cosB-1  (**)

  График зависимости Ф(B) представлен на рисунке. Темными точками отмечены целочисленные значения углов Ф, получающиеся при целочисленных B. Видно, что данные задачи - B=20, Ф=50 вписываются в общий график. Другие тёмные точки графика соответствуют тривиальным случаям. Интерес представляет графическая интерпретация диапазона тупых углов B.
  Диапазоны 90<B<120, 120<B<180 и даже 180<B:

B= 90 Ф= 45
  100    70    
  108   108
  120   150

  120   -30
  140   -10
  180     0

  180   180 
  190   181.704953270583
  200   183.657088693352
  240   210
     и т.д.

Если математика работает, значит есть какая-то интерпретация получаемым значениям?
И на чертеже, который мы построим, появятся подобные треугольники?

  Заметьте, это часто наблюдаемая вещь - решая какую-нибудь конкретную задачу, математик натыкается на некие обобщения.
  Особенно это касается контакта математики с физикой. Сначала кажется, что математические формулы предсказывают чушь полную. Ан, оказывается, что нет!
))
________________

правильное решение задачи здесь - http://www.proza.ru/2019/02/28/517