О бесконечном, непрерывном и противоречивом

     Ребёнку трудно объяснить, что такое бесконечность.
- А какое число самое большое?
- Такого нет. К самому большому числу можно прибавить единицу, и оно будет ещё больше. И так до бесконечности.
- А что такое бесконечность?
     И что тут сказать? С одной стороны, бесконечность – это не число, ведь к нему нельзя применять арифметические операции. А с другой – она сравнима с числами, значит... всё-таки число?

*** Бесконечно большие и бесконечно малые  ***
     Математики привыкли к понятию бесконечности и легко им оперируют. Различают счётную бесконечность (когда элементы можно перенумеровать, сопоставив каждый одному из бесконечного ряда натуральных чисел) и континуум (бесконечное множество типа линии или пространства, точки которых перенумеровать нельзя). Вычисляют пределы функций, которые могут оказаться вполне конечными, даже если знаменатель стремится к нулю или числитель – к бесконечности. Вычисляют интегралы по бесконечному интервалу, поверхности, пространству любой размерности. Для математика бесконечность – не абстрактное понятие, а мощный инструмент, позволяющий просто и изящно доказывать сложнейшие теоремы, исследовать далеко не очевидные свойства объектов.
     С понятием бесконечности тесно связано и понятие непрерывности.  Математически непрерывность означает возможность вставить бесконечно много точек между любыми соседними – достаточно координаты одной умножить на положительное число t, меньшее 1, а координаты другой на 1 – t и сложить полученное.
     В отличие от бесконечности, непрерывность времени и пространства кажется совершенно очевидной. Апория Зенона со стрелой заставляет над этой очевидностью задуматься, но не даёт ключа для понимания сути движения. Для математики непрерывность, как инструмент доказательств, столь же важна, как и бесконечность. Однако внедрение цифровых машин показало, что дискретная математика, оперируя только числами с конечным числом знаков, позволяет проводить любые, самые тонкие и сложные расчёты со вполне удовлетворительной точностью. Аналоговые ("непрерывные") вычислители, разрабатывавшиеся в 60-70 годы прошлого века, быстро отстали от цифровых.

***  Вселенная и вселенная  ***
     Полвека назад в любом (по крайней мере, советском) учебнике по физике, астрономии или философии говорилось, что Вселенная вечна и бесконечна, а доступная наблюдению Метагалактика – её часть. Представление о конечности существования Вселенной связывалось исключительно с религией и актом сотворения мира. Но сегодня физики уверены, что она возникла примерно 13,8 миллиарда лет назад, и с тех пор расширяется вместе с самим пространством. И, как бы ни расширялось пространство, оно вполне конечно.
     Следует оговориться, что серьёзная наука различала и различает теоретическую вечно-бесконечную Вселенную и наблюдаемую вселенную  – Метагалактику. Но когда Большой взрыв из гипотезы превратился в общепринятую теорию, в обиходе Вселенной стали называть то, что раньше называли Метагалактикой. Неизвестно, есть ли что-то за её пределами, на сегодняшнем уровне развития науки, с почти равным основанием можно строить различные экстраполяции структуры мира на "большую Вселенную". Там, "снаружи", могут действовать совершенно другие законы, иной может быть даже топология, размерность и прочие свойства пространства и времени – где они вообще существуют. Но "внутри" математически стройная бесконечность уместиться не может. Далее не будем говорить о "большой Вселенной", термин "Вселенная" как теперь принято, будем относить к Метагалактике.
     Скорость света в вакууме является пределом, при достижении которого любое тело с ненулевой массой покоя должно стать бесконечно массивным. Но для этого требуется бесконечно много энергии. Количество энергии в конечной Вселенной конечно (Сет Ллойд [1, раздел Вычислительная мощь Вселенной], оценивает его колоссальным, но конечным числом 10 в 71 степени джоулей), а значит, скорости частиц с ненулевой массой покоя всегда меньше скорости света, их масса в движении всегда конечна.

***  Шаг по времени  ***
     Минимальные значения некоторых величин определяются так называемыми планковскими единицами. Планковская длина, величина которой на 15 порядков (в миллион миллиардов раз) меньше (весьма условного) размера электрона, связана несложным соотношением с планковским временем – исчезающе малой, но всё же конечной долей секунды. Эти две величины задают масштаб, мельче которого не имеет смысла сама геометрия пространства-времени, предсказанная Общей теорией относительности. На мой, признаюсь, дилетантский взгляд, этого достаточно, чтобы говорить о дискретности пространства и времени. Физики, давно зная о планковских величинах, делать этого не спешили. Однако в 80-е годы XX века Ли Сиолин, Абэй Аштекар, Тэд Джекобсон и Карло Ровелли разработали теорию петлевой квантовой гравитации, основанную на предположении, что мир состоит из квантовых яеек планковского размера, определённым способом соединенных друг с другом в пространстве и времени [2]. Если эта теория верна, непрерывность так же физически недостижима, как и бесконечность.
     Есть и ещё одно соображение [3,4,5], ограничивающее шаг времени снизу. На микроуровне существует, как известно, корпускулярно-волновой дуализм: частицы, которые должны бы находиться в определённых положениях, в то же время являются волнами, "размазанными" по пространству. Это означает, что во всех допустимых положениях они находятся одновременно (в "суперпозиции"). Измерения (наблюдения), как и некоторые другие события (излучения, поглощения и т.д.), фиксируя одно из этих положений, нарушают суперпозицию и изменяют траекторию частиц, вообще всё, что происходит в дальнейшем. Такие, поворотные события отличаются тем, что они НЕобратимы. В них нарушается симметрия времени, свойственная микромиру и отсутствующая в мире больших тел, не имеющих волновых свойств. Всё, что происходит между необратимыми событиями, обратимо, т.е. не имеет окончательного характера, является лишь наброском и многократно "перерисовывается". Необратимых событий происходит очень много, электроны и кварки постоянно излучают и поглощают фотоны и глюоны, что и составляет, вероятно, микроткань времени. Но всё же они не могут сливаться, и интервалы между ними – это ненулевой шаг времени.

***  Физическая бесконечность  ***
     Но математические модели порой требуют учёта величин, стремящихся к нулю или бесконечности. Как они соотносятся с действительностью? Эдвард Каснер ввёл понятие "гугол", которым обозначил число (порядка 10 в 100-ой степени), которое не может соответствовать никакой физической величине в нашей вселенной. Дмитрий Чернавский [6, раздел 2.1] говорит о фундаментальном значении этого понятия как синонима "бесконечно большого". На ряде примеров он показывает, что учёт величин, превышающих гугол, даже если того требуют строгие математические формулы, приводит лишь к расхождению с реальностью. Это верно в отношении как прямого, так и обратного (10 в минус 100-ой степени) гугола. Разумеется, столь точные вычисления возможны только в квантовой механике, в отсутствие воздействий случайных сил. Например, в метеорологии возмущающие систему, но недоступные для измерения параметры могут лишь на два-три порядка уступать известным. Поэтому расхождения погоды с прогнозом не зависят от точности расчётов после учёта величин, соразмерных неизвестным. На микроуровне ситуация иная: с увеличением числа учитываемых сил точность растёт, но лишь до приближения к величинам порядка гугола. Дальнейшие уточнения только увеличивают расхождение.
     То есть даже если модель требует учитывать сколь угодно большие или малые величины, наилучшая точность достигается при учёте лишь физически конечных. Что означает ограниченность действующих в реальности сил, даже если теоретически её не должно быть. Вывод Чернавского основан на практике вычислений, и здесь есть повод усомниться. Расчёты, в которых величины порядка гугола должны учитываться вместе с относительно небольшими на компьютере можно производить только с помощью особых алгоритмов, обычные вычислительные средства не оперируют со 100-значными  числами. Но такие алгоритмы сложны и, используя их, можно не заметить источник неточности, нелинейно нарастающей с ростом сложности. Поэтому принимать на веру утверждение Чернавского, при всём к нему уважении, несколько рискованно. Но само наличие предела точности следует из предыдущих соображений о дискретности пространства и времени.

*** Сложность  ***
     Есть ещё одна величина, претендующая, по мнению некоторых, на бесконечность: это сложность систем и Вселенной в целом. Когда в конце XIX – начале ХХ века было обнаружено сложное строение атомов и возможность их радиоактивного распада, некоторые философы, понимавшие материализм,  как атомизм, т.е. представлявшие атом вечным и неделимым, заговорили о крахе всего материалистического учения. В 1908 г. В. И. Ленин, критикуя такие взгляды и настаивая на бесконечной сложности мироздания, заявил, что «электрон также неисчерпаем, как и атом».
     За последующее столетие точных сведений о структуре электронов не появилось, есть только предположение, что они, как и другие лептоны, а также кварки, состоят из гипотетических преонов. Изучение свойств электронов, безусловно, далеко не закончено уже существование предела делимости пространства в виде планковской длины задаёт и предел структурной сложности элементарных частиц, а вместе с ним и предел структурной сложности материи. Ограничено и количество частиц во Вселенной. Сет Ллойд исходит из того, что «каждый кубический метр видимой Вселенной в среднем содержит массу примерно одного атома водорода» [1]. В  пересчёте на электроны и кварки это соответствует примерно 10 в 80-ой степени частиц. Число образующих поля бозонов (фотонов, глюонов и др.) много больше, но они излучаются (и вновь поглощаются) массивными фермионами (электронами, кварками и др.). Поскольку фермион отдаёт бозону некоторую часть своей ограниченной энергии, их число также конечно.
     Таким образом, сложность материи ограничена. Лишь из-за малости величин планковских единиц и колоссального количества структурных элементов Вселенной нам могут казаться наглядными и убедительными представления о непрерывности и бесконечности, включая и бесконечную сложность.
      Понятие сложности можно определять по-разному [7]. Но ни один подход  не позволяет говорить о бесконечной сложности. Автор Проза.ру Михаил Иванников напротив, исходит из бесконечности сложности. Раньше он ссылался при этом на теоремы Гёделя, но сейчас, окончательно запутавшись в солипсизме, убрал ссылки на них. Всё же проанализируем его подход.

*** Противоречивость  ***
    Гёдель показал, что непротиворечивая формальная система (например, формальная арифметика) неполна в том смысле, что её аксиом недостаточно для доказательства или опровержения, в том числе, утверждения о её непротиворечивости. Доказать непротиворечивость исходной системы можно, введя дополнительные аксиомы (т.е. расширив, обогатив её), но при этом будет недоказуема непротиворечивость расширенной системы. Следовательно, полнотой может обладать либо противоречивая система (в которой могут быть одновременно верны утверждения "А" и "не А"), либо бесконечная последовательность вложенных непротиворечивых систем, что свидетельствует о бесконечной сложности непротиворечивой реальности.
     Геометрическим аналогом теорем Гёделя является теорема о "волосатом шаре" (или о "причёсывании ежа"), согласно которой невозможно определить в каждой точке сферы касательное направление таким образом, чтобы оно непрерывно изменялось от точки к точке. Проще говоря, невозможно причесать волосатый шар (свернувшегося клубком ежа) так, чтобы у него не было макушки (не торчала ни одна иголка). Хотя бы в одной точке функция, определяющая направление касательной, будет иметь разрыв и в сколь угодно малой окрестности этой точки будут точки с разнонаправленными касательными. Теоремы Гёделя часто иллюстрируют парадоксом парикмахера (безусловно, мужчины), бреющего всех мужчин в городе, которые не бреются сами. Можно вспомнить и пушкинскую сказку о золотой рыбке, которая исполняла все прихоти старухи, пока они не коснулись её самой. Общим во всех этих случаях является коллизия, возникающая в "крайней точке", при попытке замыкания множества.
     Но давайте и на сложность посмотрим не с абстрактно-математической, а с реально-физической точки зрения. Проблема макушки на волосатом шаре снимается благодаря отсутствию физической непрерывности. Ведь расстояние между соседними волосками всегда больше 0, их направления  не зависят друг от друга. В реальности мы всегда имеем дело с ограниченным множеством дискретных точек, частиц, иных элементов, тогда как парадокс Гёделя связан с представлением о бесконечном множестве и непрерывности. Парикмахер и золотая рыбка, дойдя до крайней точки, вынуждены изменить свои правила. В физической реальности бесконечной последовательности систем построить невозможно, и любая достаточно сложная система внутренне противоречива.

*** Мир не статичен  ***
     Но мир динамичен, и противоречия в реальности нестабильны. Они постоянно возникают и разрешаются. Процесс развития включает две противоположные тенденции: роста энтропии. который идёт всегда, и (само)организации, возможной лишь в отдельные моменты. Рост энтропии приводит к сглаживанию неравномерностей, разрешению противоречий и разрушению отживших, нежизнеспособных подсистем. Процессы самоорганизации, лучшей иллюстрацией которых являются вихри, идут на разных уровнях строения материи. Илья Пригожин [8] называл их "новыми явлениями", и после полувека  бурного изучения они всё ещё ждут глубокого осмысления и классификации. Часто, хотя и не всегда, с ними связано совершенствование, усложнение, накопление информации [9,10]. При этом самоорганизация медленно и трудно пробивает дороги, а затем по ним быстро едет организация.
     На физическом уровне возникновение и разрешение противоречий началось в раскалённой  и сверхплотной плазме сразу после Большого взрыва. Различные системы из кварков создавались и разрушались, пока температура и плотность не снизились настолько, что перестали распадаться наиболее устойчивые – протоны и нейтроны,. Чуть позже из них и электронов таким же образом возникли и выпали из плазмы лёгкие атомы. В дальнейшем условия и действующие силы неоднократно кардинально менялись, но раз за разом возникали и развивались всё более сложные системы. Разрешение всех противоречий в системе означает прекращение развития, а, возможно, и смерть. В первом случае стабильные системы становятся кирпичиками для самоорганизации более высокого уровня. Второй неоднозначен: стабильное сохранение высокоэнтропийного  состояния наблюдается повсеместно в космическом пространстве и на безжизненных планетах. Но в "тепличных" земных условиях цепочка развития, начавшись с момента стабилизации геологического строения планеты, никогда не прерывалась. Каждый пройденный этап обеспечивал условия для следующего – возникла кислородная атмосфера, флора дала пищу для травоядных и т.д. При наличии стабильного потока солнечной энергии устойчивость развития можно объяснить избыточностью накапливавшейся на каждом этапе информации.
     Развитие на Земле биосферы, а затем и человечества шло с постепенным ускорением. Если простейшие развивались миллиарды лет, млекопитающие сотни миллионов, приматы – около 50, то человечеству хватило нескольких миллионов лет, потраченных на предысторию. Исторический период занял лишь тысячи лет, а современная цивилизация в основном построена за несколько сотен лет [11,12,13].

***  С точки зрения философии  ***
     Всё вышесказанное опирается, главным образом, на естественные науки. А что же говорит об этом философия?
     Онтология опирается на абсолютные, неделимые понятия мира, бытия, существования и т.п. По определению они предполагают бесконечность и непрерывность. Но, как и для математики, эти абстракции являются прежде всего инструментом. В зависимости от развиваемых взглядов, восхождение от абстрактного к конкретному приводит к построению различных философских систем. Избегая детального анализа, можно только предположить, что их соответствие наблюдаемому тем полнее, чем лучше они сочетаются с представлением о конечности и дискретности мира. Так, гегелевская триада позволяет раскрыть суть многих философских проблем. Но стремление абсолютизировать её значение, свести любое развитие к развитию идеального, а, значит, бесконечного и непрерывного духа, уводит Гегеля от реальности.
     Гносеологически любая философия, признающая верховенство практики, чувственного опыта, должна принять тезис о недоказуемости существования бесконечности, поскольку все мы живём на вполне конкретной и не очень большой планете Земля. Практически весь опыт, а, следовательно, и все теоретические представления накоплены человечеством за несколько десятков, пусть даже сотен тысяч лет наблюдений за крохотным уголком Солнечной системы. То, что человек мог сказать о звёздах всего тысячу лет назад, было скорее отражением его земного опыта, земных понятий и представлений. Лишь последние сотни лет развития астрономии, космологии, космонавтики и теоретической физики дали возможность сформировать научные представления об удалённых частях Вселенной, которые, как мы видели выше, также не свидетельствуют о наличии бесконечного и непрерывного.
     Религиозное знание основано на восприятии человеком Божественного Откровения. Как бы мы не относились к нему, невозможно переоценить влияние религии на развитие человечества. За два с половиной тысячелетия осмысления и распространения монотеистических представлений человечество сделало колоссальный шаг в своём развитии. Бог, как идея, вечен и бесконечен, но сознание миллиардов людей, принявших эту идею, вполне конечны. Конечна и возможность познания ими Откровения.
     Поэтому все накопленные человечеством знания вполне могут быть уложены в дискретную и конечную логику. Тот факт, что они содержат противоречия, не дискредитирует их (противоречия свойственны и самой изучаемой природе), а лишь обуславливает необходимость осторожности в их применении и стимулируют дальнейшие исследования. Абстрактные представления, проецируя сущность знаний на бесконечную сферу, помогают соотносить между собой части известного и искать причину противоречий.
     Можно разделить процесс познания на три этапа. На первом накапливается  множество мелких, неупорядоченных расхождений, неосознанных противоречий в системе знаний. На втором их масса сливается в единое, выявленное противоречие и ищется его решение. Третий этап – это актуализация полученной информации, непротиворечивое встраивание её в тезаурус (систему знаний), создающее стабильную основу для дальнейшего движения. (О законах эволюции систем я рассуждаю в [14,15]).

    Литература
(заметки на моей странице сайта Proza.ru даны без указания автора)

1.Ллойд С.  Программируя Вселенную. Квантовый компьютер и будущее науки, М.: Альпина нонфикшн, 2013. 256 с.
2. Смолин Л. Атомы пространства и времени // "В мире науки", апрель 2004
3. Квантовый мир без парадоксов и математики. 2025, http://proza.ru/2025/06/26/1694.
4. Квантовое время обратимо! Что с причинностью? 2025, http://proza.ru/2025/07/13/1664.
5. Механизм времени, 2025, http://proza.ru/2025/09/28/887.
6. Чернавский Д.С. Синергетика и информация: Динамическая теория информации, М.:, ООО "Леннанд". 2016.
7. О понятии -сложность- и не только.2020-2024, http://proza.ru/2020/06/17/47
8. Пригожин И.Р. Конец определенности. Время, хаос и новые законы Природы. Москва, Ижевск:2000, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 208 с.
9.Самоорганизация усиливает рост энтропии? 2018-2025, http://www.proza.ru/2018/09/30/1984
10. Материя, идея и информация. 2019-2025, http://proza.ru/2019/04/13/1993 .
11. Как росло население Земли? 2022,  http://proza.ru/2022/01/26/1835.
12. Как изучали темпы роста мирового населения . 2022, http://proza.ru/2022/01/26/1865.
13. Так что же ждёт человечество?  2022, http://proza.ru/2022/01/26/1894.
14. Законы эволюции. Концентрация. 2024, http://proza.ru/2024/11/19/1399.
15. Законы эволюции. Цельность vs пестрота. 2025, http://proza.ru/2025/02/16/1445.
Ред.  04.11.2025