О бесконечном, непрерывном и противоречивом ред. 2

Ред.  12.02.2022
     Ребёнку трудно объяснить, что такое бесконечность.
- А какое число самое большое?
- Такого нет. К самому большому числу можно прибавить единицу, и оно будет ещё больше. И так до бесконечности.
- А что такое бесконечность?
     И что тут сказать? С одной стороны, бесконечность – это не число, ведь к нему нельзя применять арифметические операции. А с другой – она сравнима с числами, значит... всё-таки число?
     Математики привыкли к понятию бесконечности и легко им оперируют. Различают счётную бесконечность (когда элементы можно перенумеровать, сопоставив каждый одному из бесконечного ряда натуральных чисел) и континуум (бесконечное множество типа линии или пространства, точки которых перенумеровать нельзя). Вычисляют пределы функций, которые могут оказаться вполне конечными, даже если знаменатель стремится к нулю или числитель – к бесконечности. Вычисляют интегралы по бесконечному интервалу, поверхности, пространству любой размерности. Для математика бесконечность – не абстрактное понятие, а мощный инструмент, позволяющий просто и изящно доказывать сложнейшие теоремы, исследовать свойства объектов, не лежащие на поверхности.
     С понятием бесконечности тесно связано и понятие непрерывности.  Математически непрерывность означает возможность вставить бесконечно много точек между любыми соседними – достаточно координаты одной умножить на положительное число t, меньшее 1, а координаты другой на 1 – t и сложить полученное.
     В отличие от бесконечности, непрерывность времени и пространства кажется совершенно очевидной. Апория Зенона со стрелой заставляет над этой очевидностью задуматься, но не даёт ключа для понимания сути движения. Для математики непрерывность, как инструмент доказательств, столь же важна, как и бесконечность. Однако внедрение цифровых машин показало, что дискретная математика, оперируя только числами с конечным числом знаков, позволяет проводить любые, самые тонкие и сложные расчёты со вполне удовлетворительной точностью. Аналоговые («непрерывные») вычислители, разрабатывавшиеся в 60-70 годы прошлого века, быстро отстали от цифровых.
     Полвека назад в любом (по крайней мере, советском) учебнике по физике, астрономии или философии говорилось, что Вселенная вечна и бесконечна. Представление о конечности её существования связывалось исключительно с религией, актом сотворения мира. Но сегодня физики уверены, что она возникла примерно 13,8 миллиарда лет назад. Причём расширение Вселенной, продолжающееся всё это время, идёт не «в» пространстве, а вместе с пространством. Пространство растёт в три раза быстрее скорости света, но всё же вполне конечно.
     Следует оговориться, что изначально разделялись: вечно-бесконечная Вселенная и наблюдаемая Метагалактика. Приняв гипотезу Большого взрыва и отказавшись от попыток заглянуть за его горизонт, термин «Вселенная» перенесли, грубо говоря, на ту её часть, которую раньше называли Метагалактикой. Никто не знает, есть ли что-то за этим пределом и, на сегодняшнем уровне развития науки, с почти равным основанием можно строить самые различные экстраполяции Метагалактической структуры мира на «большую Вселенную». Там, «снаружи», могут действовать совершенно другие законы, иной может быть даже топология, размерность и прочие свойства пространства и времени – где они вообще существуют. А «внутри» математически стройная бесконечность уместиться не может.
     Скорость света в вакууме является пределом, при достижении которого любое тело с ненулевой массой покоя должно стать бесконечно массивным. Но для этого требуется бесконечно много энергии. Количество энергии в конечной Вселенной конечно (Сет Ллойд в книге «Программируя Вселенную», раздел «Вычислительная мощь Вселенной», оценивает его колоссальным, но конечным числом 10 в 71 степени джоулей), а значит, скорости частиц с ненулевой массой покоя всегда меньше скорости света, а их масса в движение всегда конечна.
     Граничные значения некоторых величин определяются так называемыми планковскими единицами. Планковская длина, величина которой на 15 порядков (в миллион миллиардов раз) меньше предполагаемого размера электрона, связана несложным соотношением с планковским временем – исчезающе малой, но всё же конечной долей секунды. Эти две величины задают масштаб, мельче которого не имеет смысла сама геометрия пространства-времени, предсказанная Общей теорией относительности.
     Все вещества состоят из молекул, атомов, элементарных частиц, а они, в свою очередь, существуют в пространстве-времени, заданном планковскими величинами. Поэтому непрерывность также физически недостижима, как и бесконечность.
     Но порой математические модели требуют учёта величин, стремящихся к нулю или бесконечности. Как они соотносятся с действительностью? Эдвард Каснер ввёл понятие "гугол", которым обозначил число (порядка 10 в 100-ой степени), которое не может соответствовать никакой физической величине в нашей Вселенной. Дмитрий Чернавский («Синергетика и информация», раздел 2.1) говорит о фундаментальном значении этого понятия как синонима "бесконечно большого". На ряде примеров он показывает, что учёт величин, превышающих гугол, даже если того требуют строгие математические теоремы, приводит лишь к расхождению с реальностью. Это верно в отношении как прямого, так и обратного (10 в минус 100-ой степени) гугола. Разумеется, столь точные вычисления возможны только в квантовой механике, в отсутствие воздействий случайных сил. Например, в метеорологии возмущающие систему, но недоступные для измерения параметры могут лишь на два-три порядка уступать известным. Поэтому расхождения погоды с прогнозом не зависят от точности расчётов после учёта величин, соразмерных неизвестным. На микроуровне ситуация иная: с увеличением числа учитываемых сил точность растёт, но лишь до приближения к величинам порядка гугола. Дальнейшие уточнения только увеличивают расхождение.
     То есть даже те модели, в которых с математической точки зрения должны учитываться сколь угодно большие величины, наилучшую точность дают при учёте лишь физически конечных сил. Что означает ограниченность действующих в реальности сил, даже если теоретически её не должно быть.
     Есть и ещё одна величина, претендующая, по мнению некоторых учёных, на бесконечность: это сложность систем и Вселенной в целом. Когда в конце XIX – начале ХХ века было обнаружено сложное строение атомов и возможность их радиоактивного распада, некоторые философы, понимавшие материализм,  как атомизм, т.е. представлявшие атом вечным и неделимым, заговорили о крахе всего материалистического учения. В 1908 г. В. И. Ленин, критикуя такие взгляды и настаивая на бесконечной сложности мироздания, заявил, что «электрон также неисчерпаем, как и атом».
     За последующее столетие точных сведений о структуре электронов не появилось, есть только предположение, что они, как и другие лептоны, а также кварки, состоят из гипотетических преонов. Изучение свойств электронов, безусловно, далеко не закончено уже существование предела делимости пространства в виде планковской длины задаёт и предел структурной сложности элементарных частиц, а вместе с ним и предел структурной сложности материи. Ограничено и количество частиц во Вселенной. Сет Ллойд исходит из того, что «каждый кубический метр видимой Вселенной в среднем содержит массу примерно одного атома водорода» (там же, в книге «Программируя Вселенную»). В  пересчёте на электроны и кварки это соответствует примерно 10 в 80-ой степени частиц. Число образующих поля бозонов (фотонов, глюонов и др.) много больше, но они излучаются (и вновь поглощаются) массивными фермионами (электронами, кварками и др.). Поскольку фермион отдаёт бозону некоторую часть своей ограниченной энергии, их число также вполне конечно.
     Таким образом, сложность материи и Вселенной в целом ограничена. Лишь из-за малости величин планковских единиц и колоссального количества структурных элементов Вселенной нам кажутся наглядными и убедительными представления о непрерывности и бесконечности, включая и бесконечную сложность.
      К вопросу о сложности можно подходить по-разному. Я пишу о ней в заметке «Что такое сложность? Взгляд эволюциониста» (http://proza.ru/2020/06/17/47) . Иной взгляд у Михаила Иванникова («Пределы сложности искусственного интеллекта» http://www.proza.ru/2019/02/04/158) . Он утверждает, что бесконечная сложность не только Вселенной, но и способной её описать математики, и создавшего математику человеческого разума следует из теорем Гёделя, показавших, что любая достаточно богатая формальная система внутренне противоречива.
     Согласно теоремам Гёделя любая непротиворечивая формальная система (например, формальная арифметика) неполна в том смысле, что её аксиом недостаточно для доказательства или опровержения некоторых утверждений, в том числе утверждения о её непротиворечивости. Доказать непротиворечивость исходной системы можно, введя дополнительные аксиомы (т.е. расширив, обогатив её), но при этом будет недоказуема непротиворечивость расширенной системы. Следовательно, полнотой может обладать либо противоречивая система (в которой могут быть одновременно верны утверждения «А» и «не А»), либо бесконечная последовательность вложенных непротиворечивых систем, что свидетельствует о бесконечной сложности непротиворечивой реальности.
     Геометрическим аналогом теорем Гёделя является теорема о «волосатом шаре» (или о «причёсывании ежа»), которая показывает, что на сфере невозможно выбрать касательное направление в каждой точке таким образом, чтобы оно было определено во всех точках сферы и непрерывно зависело от точки. Проще говоря, невозможно причесать волосатый шар (свернувшегося клубком ежа) так, чтобы у него не было макушки (не торчала ни одна иголка). Хотя бы в одной точке функция, определяющая направление касательной, будет иметь разрыв и в сколь угодно малой окрестности этой точки будут точки с разнонаправленными касательными. Обычно теоремы Гёделя иллюстрируют парадоксом парикмахера (безусловно, мужчины), бреющего всех мужчин в городе, которые не бреются сами. Можно вспомнить и пушкинскую сказку о золотой рыбке, которая исполняла все прихоти старухи, пока они не коснулись её самой. Общим во всех этих случаях является коллизия, возникающая в «последней точке», при попытке замыкания множества.
     Но давайте и на сложность посмотрим не с абстрактно-математической, а с реально-физической точки зрения. Проблема макушки на волосатом шаре снимается благодаря отсутствию физической непрерывности. Ведь расстояние между соседними волосками всегда больше 0, их направления  не зависят друг от друга. В реальности мы всегда имеем дело с ограниченным множеством дискретных точек, частиц, иных элементов, тогда как парадокс Гёделя связан с представлением о бесконечном множестве. Вышеприведённое утверждение, что полнотой может обладать лишь бесконечная последовательность вложенных непротиворечивых систем, и это «свидетельствует о бесконечной сложности непротиворечивой реальности» верно абстрактно-математически. Но в физической реальности бесконечной последовательности систем построить невозможно, то есть любая достаточно сложная система внутренне противоречива.
     Если перейти от статики к динамике, нужно заметить, что противоречия нестабильны. Они возникают и разрешаются постоянно. Процесс развития включает две противоположные тенденции: роста энтропии, который идёт всегда, и (само)организации, возможной только в достаточно сложных системах. Рост энтропии приводит к сглаживанию неравномерностей, разрешению противоречий и разрушению отживших, нежизнеспособных подсистем. Но, если в систему вносится организованная энергия, сохранившаяся структура системы (накопленная в ней информация) может позволить начать или продолжить процесс развития, сутью которого является дальнейшее накопление информации. (Мои мысли об этом здесь : http://proza.ru/2019/04/13/1993 ). На примере развития на Земле биосферы, а затем и человечества, хорошо видно, что накопление информации (усложнение систем) облегчает и ускоряет последующие организационные процессы. Если простейшие развивались миллиарды лет, млекопитающие сотни миллионов, приматы – около 50, то человечеству хватило нескольких миллионов, и практически всё это время потребовалось на предысторию, тогда как исторический период занял лишь тысячи лет, а современная цивилизация в основном построена за несколько сотен лет. (О развитии человечества можно почитать в моих заметках http://proza.ru/2022/01/26/1835 и последующих).
     Разрешение , с возникновением стабильных атомов, противоречий на физическом уровне обеспечило возможность образования различной сложности молекул; взаимодействия сложных молекул достигли уровня РНК-мира, а затем и привели к возникновению ДНК. Каждая следующая, более сложная система внутренне противоречива и именно это приводит к её развитию. Разрешение всех противоречий в системе означает прекращение развития, а, возможно, и смерть. Это мы наблюдаем в космическом пространстве и на безжизненных планетах. Но в «тепличных» земных условиях цепочка развития, начавшись с момента стабилизации геологического строения планеты, никогда не прерывалась. Каждый пройденный этап обеспечивал условия для следующего – возникла кислородная атмосфера, флора дала пищу для травоядных и т.д. При наличии стабильного потока солнечной энергии устойчивость развития можно объяснить избыточностью накапливавшейся на каждом этапе информации.

PS. Всё вышесказанное опирается, главным образом, на физику и математику. А что же говорит об этом философия?
     Онтология опирается на абсолютные, неделимые понятия мира, бытия, существования и т.п. По определению они предполагают бесконечность и непрерывность. Но, как и для математики, эти абстракции являются прежде всего инструментом. В зависимости от развиваемых взглядов, восхождение от абстрактного к конкретному приводит к построению различных философских систем. Избегая подробного и детального анализа, можно только предположить, что их соответствие наблюдаемому тем полнее, чем лучше они сочетаются с представлением о конечности и дискретности мира. Так, гегелевская триада позволяет раскрыть суть многих философских проблем. Но стремление абсолютизировать её значение, свести любое развитие к развитию идеального, а, значит, бесконечного и непрерывного духа, уводит Гегеля от реальности.
     Гносеологически любая философия, признающая верховенство практики, чувственного опыта, должна принять тезис о недоказуемости существования бесконечности, поскольку все мы живём на вполне конкретной и не очень большой планете Земля. Практически весь опыт, а, следовательно, и все теоретические представления накоплены человечеством за несколько десятков, пусть даже сотен тысяч лет наблюдений за крохотным уголком Солнечной системы. То, что человек мог сказать о звёздах всего тысячу лет назад, было скорее отражением его земного опыта, земных понятий и представлений. Лишь последние сотни лет развития астрономии, космологии и теоретической физики дали возможность сформировать научные представления об удалённых частях Вселенной, которые, как мы видели выше, также не свидетельствуют о наличии бесконечного и непрерывного.
     Религиозное знание основано на восприятии человеком Божественного Откровения. Как бы мы не относились к нему, невозможно переоценить влияние религии на развитие человечества. За два с половиной тысячелетия осмысления и распространения монотеистических представлений человечество сделало колоссальный шаг в своём развитии. Бог, как идея, вечен и бесконечен, но сознание миллиардов людей, принявших эту идею, и возможности познания ими Откровения вполне конечны.
     Поэтому все накопленные человечеством знания вполне могут быть уложены в дискретную и конечную логику. Тот факт, что они содержат противоречия, не дискредитирует их (противоречия свойственны и самой изучаемой природе), а лишь обуславливает необходимость осторожности в их применении и стимулируют дальнейшие исследования. Абстрактные представления, проецируя сущность знаний на бесконечную сферу, помогают соотносить между собой части известного и искать причину противоречий.
     Можно разделить процесс познания на три этапа. На первом накапливается  множество мелких, неупорядоченных расхождений, неосознанных противоречий в системе знаний. На втором их масса сливается в единое, выявленное противоречие и ищется его решение. Третий этап – это актуализация полученной информации, непротиворечивое встраивание её в тезаурус (систему знаний), создающее стабильную основу для дальнейшего движения. (О закономерностях развития я рассуждаю в заметках об общей теории эволюции систем http://proza.ru/2020/06/16/1776 и следующих).


Рецензии
Прочёл... детский сад)))
нет, хуже даже

Олег Алексеевич Шарышев   01.05.2019 01:32     Заявить о нарушении
Спасибо. Хуже - это куда?

Валентин Кононов   01.05.2019 17:24   Заявить о нарушении
Женская консультация

Олег Алексеевич Шарышев   01.05.2019 17:28   Заявить о нарушении
Наконец добрались руки. Дополнил аргументацию, уточнил терминологию, побрил, постриг, причесал.
Выводы, в принципе, те же.

Валентин Кононов   12.02.2022 23:33   Заявить о нарушении