Почему 1 плюс 1 равно 2?

Когда я была в первом классе, я задала отцу роковой вопрос: "Почему 1 + 1 = 2?". Отец стал мне показывать на пальцах: "Вот. Видишь: один палец плюс один палец получается два пальца." Нас обоих этот диалог не удовлетворил. Мы почувствовали, что мы друг друга не можем понять. 

Теперь я уже большая, закончила МатМех. Теперь я сама знаю, почему в математике 1 + 1 = 2.

Надо знать арифметику, но не ту, которую в школе проходят. То, что в школе называется математикой, не является математикой, как ее понимают математики.

 В арифметике есть число 1. Есть оператор "+1", который ставит в соответствие каждому натуральному числу А некоторое число  Б, которое называется "следующим". Число 1 + 1, следующее за числом 1, называется "два" и обозначается 2. Поэтому 1+1 = 2. Что и требовалось доказать.

Это мы доказали Теорему 1, что 1 + 1 = 2.

Теперь следующий вопрос: почему один палец плюс другой палец получается 2 пальца?

Пальцы - не арифметический объект. На них операция сложения не определена.  Поэтому арифметики недостаточно, чтобы посчитать пальцы. Надо еще знать теорию множеств.  В теории множеств есть кардинальные числа.  Грубо говоря, кардинальное число - это число элементов в множестве.

Итак,  у нас есть два множества пальцев, А и Б. Множество А содержит один палец. Его кардинальное число 1. Множество Б  содержит тоже один палец. Его кардинальное число тоже 1.  Эти кардинальные числа конечны.  Эти множества не пересекаются: они содержат разные пальцы. Поэтому, если мы объединим эти множества, то получим новое множество С, у которого кардинальность равна сумме кардинальностей множеств А и Б, или 1 + 1. Конечные кардинальные числа складываются по тем же правилам, что и ординальные числа в арифметике.  Здесь уже мы можем применить арифметику. По Теореме 1, 1+1 = 2.

Таким образом, мы доказали еще Теорему 2, что один палец плюс другой палец будет два пальца.

Это - просто пример математических рассуждений для людей, которые с ними не встречались. Мне хотелось, чтобы нематематики могли почувствовать вкус математики на эти простых примерах.

Вопросы имеют объяснение в  математике. Но значит ли это, что эти объяснения "правильные" и можно принять их как объективную истину?

Математика это - абстрактные конструкции, придуманные математиками. Как правило, конструкции придуманы так, чтобы выводы из них были похожи на то, что люди видят в реальности (то же самое можно сказать и о "законах природы" в естественных науках, кстати). Но могут быть и другие математические конструкции, которые имеют такие же выводы, или, в основном, такие же выводы. В частности возможна другая арифметика, где тоже 1 + 1 = 2, но объяснение этому - другое.

Итак, почему 1+1 = 2? Я подозреваю, что вопросы "почему" могут иметь ответ только тогда, когда мы имеем дело с придуманными объектами в определенной теории(как числа в существующей арифметике), а не с реальными.  Если же теорию игнорировать, мы можем только наблюдать и описывать конкретные объекты. Типа: "Вот один палец, вот другой палец, а вот вместе, смотрите  - два пальца." Нам нужна теория, чтобы предсказать, что будет, если посмотреть на другие пальцы, или какие-нибудь еще объекты.

Выводы
1. В арифметике можно доказать теорему что 1 + 1 = 2. Эта теорема объясняет, почему 1 + 1 = 2.
2. Скорее всего, возможна другая теория арифметики, где тоже 1 + 1 = 2, но объяснение этому другое.
3. Вопросы "почему" можно ответить только в контексте определенной теории.  Не исключено, что возможна другая теория, которая согласуется  с наблюдениями не хуже. В той другой теории ответ на тот же самый вопрос "почему" будет другим.
4. Наблюдения над конкретными пальцами не позволяют сделать общих выводов и предсказаний. Для этого нужна теория.
5. Счет чьих-то пальцев не объясняет, почему 1 + 1 = 2. Но и теоретическое объяснение нельзя принимать как истину в последней инстанции.