Сократ 2. Теорема Гёделя о неполноте

Почти все диалоги Сократа с оппонентами касаются попыток определить понятия. Сократ просил  собеседников  дать общее определение какого-то понятия, и когда они пытались это сделать, он легко показывал им несостоятельность  определения. Обычно, он спрашивал о каких-то свойствах: что значит, быть добродетельным, прекрасным, законным и.д. При этом Сократ явно знал заранее, что они не смогут это сделать, а его собеседники не знали. Для доказательства несостоятельности определения он показывал, что оно приводит к противоречиям.

Учеником Сократа был Платон, а учеником Платона был Аристотель. Аристотель был высокого мнения о способностях  разума человека. Поэтому он сделал вывод, что надо разработать определения понятий. Видимо, он имел в  виду что-то  вроде словаря, где каждое слово будет точно определено.

Эта идея жила в умах человечества тысячелетия. Гильберт в 20м веке выступил с гораздо более скромной программой: аксиоматизировать математику. Математический язык — формальный, потому что математики имеют дело  с выдуманными ими объектами. Объект именно таков, как он определен. Свойства объектов выводятся из определений и аксиом.  Гильберт сказал: давайте приведем в порядок математику, точно определим аксиомы, что бы все свойства объектов можно было логически вывести.

Если бы эта программа была выполнена, то про каждый математический объект и каждое свойство можно было бы точно сказать, обладает ли объект этом свойством. Например, если бы было такое математическое свойство как «быть прекрасным», то про любой математический объект можно было бы точно сказать, является ли он прекрасным. Это было бы эквивалентно полному и точному определению понятия «быть прекрасным» по отношению к математическим объектам.

Гёдель в 1931 году доказал, что невозможно осуществить эту программу не то что для всей математики, но даже для арифметики. Арифметика имеет дело с натуральными числами как своими объектами. Именно, он доказал, что, каковы бы ни были аксиомы арифметики, всегда найдется такое утверждение о свойствах натуральных чисел, которое невозможно ни доказать, ни опровергнуть.

Это значит, что нельзя исчерпывающе определить понятия даже формального языка, не говоря уже о естественном языке.

Сократ был прав.  Потребовалось примерно 2500 лет, чтобы это точно установить.