Обособленность или многое, множество, пространство

Начнем мы с общих соображений. Пространство является упорядоченным множеством. То есть таким, где объекты связаны друг с другом взаимоотношением положения или места. В пространстве за каждый объектом закреплено свое «место» и его нельзя рассматривать, абстрагируясь от этого места. Иначе пространство перестает быть пространством, а становится просто множеством. Числа обладают «естественным» порядком счета (места), поэтому они являются образом пространства (одно-мерного пространства) и используются как метрическая система. Физическое или материальное пространство реализует в себе оба абстрактных принципа одновременно: и количества (обособленности) и качества (уникальности). Именно уникальность делает из множества пространство. Любое место пространства «уникально», если оно занято! Его нельзя занять чем-то еще, или куда-нибудь подвинуть. И если нечто располагается в месте «А» и другое нечто в том же месте «А», то это означает, что первое нечто и второе нечто являются одним и тем же. Понятно, что здесь речь идет о параметризованных пространствах (параметризованных размером объекта), которые только и возможны в материальном мире. Таким образом мы имеем не только обособленное место, но и уникальное, «единственное в мире». Именно таково физическое, материальное пространство, вероятностное пространство, которое заключено в объятиях настоящего момента.

Абстрактный принцип «обособленности» (множества) предполагает некоторые усилия для своего представления. Более полно он формулируется как «обособленность без уникальности». Нам это сложно представить, так как мы привыкли к уникальности в нашем физическом пространстве. Обособленность без уникальности означает то, что имеется много обособленных объектов, явно отделенных друг от друга, но при этом не обладающие уникальностью. То есть полный набор предикатов одного объекта полностью совпадает с полным набором любого другого объекта из данного множества. На примере это выглядит так – у вас есть непрозрачный мешок с пятью яблоками. На ощупь вы хорошо различаете эти пять яблок. Теперь вы начинаете многократно вытаскивать одно яблоко из мешка (а затем класть его обратно) и задаетесь вопросом: какое это яблоко? Я уже вытаскивал его или еще нет? Оно то же самое или другое яблоко? И вы понимаете, что не можете отличить одно яблоко от другого. И всё это потому, что яблоки в таком эксперименте неуникальны. Они все одинаковы. Это и есть множество яблок. А теперь давайте обозначим каждое яблоко цифрой, приклеим ему ярлычок. Теперь мы уже точно знаем, какое именно яблоко мы вытаскиваем. Их набор предикатов стал разным. Яблоки стали уникальными. То есть мы получили «пространство яблок». Еще один наглядный пример может быть такой. Вы насаживаете одинаковые яблоки на шампур и держите его так, чтобы видеть все пять яблок. Вы видите, что они обособленны друг от друга. Потом вы поворачиваете шампур так, чтобы все яблоки слились в одно, то есть, чтобы они располагались друг за другом. В результате, мы имеем пять обособленных яблок, которые тем не менее мы не можем различить. А теперь представьте, что проблема с различением яблок вовсе не является проблемой угла зрения, а является исходной характеристикой множества и вы получите принцип «обособленности без уникальности» или принцип многого.

До сих пор мы излагали философскую точку зрения, но оказывается, что математики в начале двадцатого века рассматривали подобные же вещи в аксиоматической теории множеств. При этом они и не задумывались о философии. В данном случае это пример того, что философия не возникает на пустом месте. Их задачи были достаточно схожи с философскими – разобраться со множеством. И помогала им в этом аксиома выбора, которая эквивалентна теореме о вполне упорядочении бесконечного множества. Звучит она приблизительно так:  «бесконечное множество может быть вполне упорядочено». Начнем мы с более простого, понятного и более реального для нас. С пространства, точнее с пространства натуральных чисел, которые естественным образом упорядочены и поэтому им не требуется никакая аксиома выбора. Но мы покажем аксиому выбора, точнее ее механизм, на примере натуральных чисел.

У нас есть «расчлененное» множество (элементы которого не пересекаются) М = {{1,2,3}, {4,5,6}, {7,8,9}...}. Мы можем выбрать наименьшее число в каждом элементе и составить из них множество представителей Мп = {1, 4, 7...}. При этом мы можем быть уверены, что элементы Мп (в теории множеств они называется единичным множеством, мы будем называть их «единицами») различны или уникальны в пределах своего множества. Такой пример кажется немного бессмысленным, но если в качестве элементов рассматривать более сложные множества, то аксиома выбора является «спасательным кругом» для математиков. Здесь мы смогли указать правило отбора и поэтому аксиома выбора не нужна, но следующий пример будет юмористический и ему не обойтись без такой аксиомы. Бертран Рассел рассматривал ботинки и носки. Если наше М представляет собой всевозможные пары ботинок, то мы можем указать правило для того, чтобы иметь по одному представителю из такого множества, например, мы будем брать только левые ботинки. А вот для одинаковых носков такое правило придумать нельзя в принципе, потому что левый носок не отличается от правого и в таком случае помогает только аксиома выбора. Она утверждает, что множество Мп и в случае носков также существует.

Аксиома выбора: если есть расчлененное множество непустых множеств, то прямое произведение такого расчлененного множества непусто. Иначе говоря, среди подмножеств произведения имеется по крайнем мере одно, пересечение которого с каждым элементов расчлененного множества есть единичное множество.

Иными словами из множества обособленных (расчлененных) непустых элементов действительно можно «выделить» единицы (единичные множества). Здесь для нас важно то, что такие «единицы» существуют. А теперь мы переходим к цели нашего изложения. Среди моделей множеств Френкеля и Мостовского есть теории множеств с атомами. Атомы не содержат никаких элементов, однако отличаются друг от друга и от пустого множества. Теории множеств с атомами первоначально предназначались для построения моделей, в которых не выполняется аксиома выбора. И не потому, что нельзя придумать, скажем, правило отбора, а гораздо по более жесткой причине. Потому что нельзя получить единичное множество в принципе, так как из некоторых элементов такого М просто нечего выбирать! И вот такое множество является иллюстрацией принципа многого или принципа обособленности без уникальности. Теперь мы можем указать три последовательных варианта «развития» принципа многого, от самого абстрактного до наиболее «материального»:

1. Многое – множество c атомами: {{ }, { }, { }...}.
2. Множество – обычное множество: {{x}, {x}, {x}...}.
3. Пространство – упорядоченное множество: {{x1}, {x2}, {x3}...}.

Как видно из варианта 1 «многое» – это множество, в котором есть обособление элементов в виде фигурных скобок, но нет единиц, которые можно было бы выбирать. То есть это обособленность без уникальности – один из базовых абстрактных принципов нашего мироздания. Второй базовый принцип, естественно, «уникальность без обособленности», то есть принцип «одного», который мы не будем рассматривать здесь подробно.