О Логике смысла Языка

На фото, Близкие моему сердцу и разуму, (слева направо) апологет христианства Доктор Философских Наук Жора Панков и Доктор Философских Наук, профессор, Вадим Гусаченко, открывший философскому сообществу трансгрессии постмодерна… На ближней даче Сергия Козий на посиделках по поводу дня его рождения. Фото Сергея Гринева.

.................................... Сергей Петрович Козий, Максим Сергеевич Козий.
Парадоксы в дискурсе «Семантической теории соответствия в категорическом высказывании».

1. Бесконечная рекурсия парадокса лжеца.

Парадоксы дают нам представление о тех трудностях, с которыми сталкиваются логики и математики. Наряду с проблемами создания непротиворечивых логических построений, важное место занимают проблемы выявления противоречий в утверждениях и теориях.
«Наибольшей известностью из нематематических парадоксов пользуется, так называемый, парадокс лжеца. Его разбирали Аристотель и многие другие логики, жившие позднее. В классическом варианте парадокса лжеца речь идет о высказывании «Это утверждение ложно». Обозначим утверждение, стоящее в кавычках, через S. Если S истинно, то истинно то, что оно утверждает. Следовательно, S ложно. Если S ложно, то ложно то, что оно утверждает. Следовательно, S истинно.».[1] Таким образом, мы приходим к противоречию. В рамках некоторого логического вывода мы приходим к заключению, что утверждение S является одновременно истинным и ложным.
Рассмотрим аналогичное утверждение: «это предложение истинно». Обозначим это утверждение S1. Если S1 истинно, то истинно то, что оно утверждает. Следовательно, S1 истинно. Если S1 ложно, то ложно то, что оно утверждает. Следовательно, S1 ложно. Метод логических рассуждений не выявляет в утверждении S1 антиномии, поэтому в рамках этих рассуждений можно считать выражение S1 вполне допустимым для использования в логических построениях.
«Первые математические противоречия, чреватые серьезными неприятностями, обнаружил Бертран Рассел и сообщил о них Готлобу Фреге в 1902г.»[2] По его мнению, «все парадоксы возникают из-за одной логической ошибки, которую он назвал принципом порочного круга и описал следующим образом: «То, что содержит все множество, не должно быть элементом множества.»[3] Объяснения Рассела принял Пуанкаре, «предложивший специальный термин «непредикативное определение» (определение, в котором некий объект задается (или описывается) через класс объектов, содержащий определяемый объект). Такие определения незаконны.».[4] Запрет на непредикативные определения обусловил введение Расселом и Уайтхедом теории типов. «Рассмотрев на основе теории типов все известные парадоксы, Рассел и Уайтхед показали, что теория типов позволяет их избежать».[5]
Однако, теория типов не избавила математику и логику от непредикативных определений. «Хотя, непредикативные определения, встречающиеся в парадоксах, действительно приводят к противоречиям, чувство неудовлетворенности не оставляло математиков, так как, насколько они могли видеть, далеко не все непредикативные определения приводят к противоречиям. Такие высказывания, как «Джон – самый высокий игрок в своей команде» или «Это предложение - короткое», заведомо безобидны в этом отношении, хотя они и непридикативны. То же можно сказать и о предложении «Самое большое число во множестве чисел 1,2,3,4,5 равно 5»[6]
Наложенный Расселом запрет заведомо не давал ответа на вопрос, какие из непридикативных определений можно считать допустимыми.
По мнению М.Клайна, «к сожалению, мы не располагаем критерием, который позволил бы распознавать, приводит ли данное непридикативное определение к противоречию или не приводит.»[7]
Проанализируем, позволяет ли «семантическая теория соответствия в категорическом высказывании»[8] продвинуться в выявлении причин возникновения противоречий в непредикативных определениях.
В основание данной теории положено аксиоматическое утверждение: значение а - это результат категорического высказывания о соответствии R некоторых x и y. Таким образом, каждое утверждение аналитически может быть выражено функционалом a =Fi(x,y), где, для i=2, принимает два значения, например, истина или ложь. Исходное аксиоматическое утверждение является гипотезой, однако, ввиду того, что из этого основания, в рамках некоторых ограничений, выводится классическое аристотелево определение истины, исходя из известного принципа соответствия: «любая теория должна удовлетворять принципу соответствия, переходить в предыдущую, менее общую теорию в тех условиях, в которых предыдущая теория была установлена» [9], семантическую теорию соответствия в категорическом высказывании можно считать применимой к утверждениям в равной мере, в которой применимо к ним классическое аристотелево определение истины.
Рассмотрим утверждение: «Это утверждение - ложно». Этому утверждению соответствует функционал:
a = F21(F2(x,y), ложно), (1)
в котором F2(x,y) – некоторый функционал, соответствующий ссылке «это утверждение».
Так как ссылка «это утверждение» есть ссылка на предложение «это утверждение -ложно», справедливо равенство:
F2(x,y) = F21(F2(x,y), ложно). (2)
Сделаем подстановку выражения (2) в (1):
a = F21(F21 (F2(x,y), ложно), ложно). (3)
Выражение (3) является неисчисляемым в отношении рекурсивным выражением: каждая подстановка на место F2(x,y) его значения приводит к необходимости новой подстановки. Таким образом, неисчисляемость «истинности» утверждения приводит к его противоречивости. Мы в равной мере можем допускать и что оно истинно и что оно ложно.
Рассмотрим утверждение: «Это утверждение - истинно». Проанализируем его функционал:
a = F22 (F2(x,y),истинно). (4)
Так как ссылка «это утверждение» - ссылка на предложение «это утверждение - истинно» справедливо равенство:
F2(x,y) = F22(F2(x,y),истинно). (5)
Сделаем подстановку выражения (5) в (4):
a = F22(F22 (F2(x,y),истинно), истинно). (6)
Выражение (6) является неисчисляемым в отношении рекурсивным выражением. Поэтому мы ничего не можем утверждать в отношении его истинности или ложности. Утверждение «это утверждение - истинно» является противоречивым. Однако, приведенные выше логические рассуждения в отношении данного утверждения обозначенного S1 не выявили его противоречивости.
Проанализируем «истинность» непредикативного определения «это предложение - короткое». Данное предложение является утверждением. Рассмотрим его функционал.
Утверждение устанавливает соответствие между некоторым предложением на которое указывает ссылка «это предложение» ( обозначим его S (это предложение)) и признаком «короткое». Таким образом, функционал исходного предложения будет иметь вид:
a = F23 (S(это предложение), короткое). (7)
Предложение на которое указывает ссылка S(это предложение) является физическим объектом с доступной анализу структурой: «это предложение - короткое», поэтому справедлива подстановка в (7):
a = F23(«это предложение - короткое»,короткое). (8)
Можно определить количество слов в исходном предложении: n=3. Если известен критерий количества слов в предложении, разделяющий их все на короткие и длинные, например, nk = 5, то можно проанализировать соответствие и определить для данного утверждения. Для рассматриваемого случая ( nk = 5) соответствие существует, поэтому = истинно. В противном случае = ложно.
Таким образом, утверждение «это предложение - короткое», являясь непредикативным определением, не является противоречивым утверждением, так как оно исчислимо в отношении a.
Рассмотрим непредикативное определение «Самое большое число в множестве чисел 1,2,3,4,5 равно 5». Функционал этого утверждения фиксирует соответствие
a = F24(наибольшее(1,2,3,4,5),5). (9)
В случае, если существует процедура вычисления значения оператора «наибольшее», можно исчислять данный функционал в отношении a.
Поэтому рассматриваемое непредикативное определение является непротиворечивым.
«Наибольшие треволнения вызвало понятие наименьшей верхней границы. Рассмотрим множество всех чисел х, заключенных между 3 и 5, но не достигающих этих границ: 3 < х < 5. Верхними границами, т.е. числами, превосходящими все принадлежащие множеству числа, являются числа 5, 5.5, 6, 7, 8 и т.д. Среди них существует наименьшая верхняя граница – число 5. Следовательно, наименьшая верхняя граница определена через класс верхних границ, содержащий самую границу, которая подлежит определению.» [10]
Непредикативное определение наименьшей верхней границы определяет соответствие, которое может быть выражено функционалом
a = F25(наименьшее(5,5.5,6,7,8…),5). (10)
Существует процедура вычисления значения оператора «наименьшее», поэтому рассматриваемое определение является исчислимым в отношении значения категории и определение наименьшей верхней границы является непротиворечивым.
Строгий запрет на непредикативные определения в теории типов привел к осложнениям в «Основаниях математики» Рассела и Уайтхеда. «Наименьшая верхняя граница, по определению, есть минимальная из всех верхних границ. Мы видим, что в определении наименьшей верхней границы фигурирует множество вещественных чисел, и поэтому наименьшая верхняя граница должна принадлежать к более высокому типу, чем вещественные числа, а значит, сама она вещественным числом не является.
Чтобы избежать подобных осложнений, Рассел и Уайтхед ввели весьма тонкую аксиому сводимости (или аксиому редукции).[11] Аксиома сводимости для высказываний гласит: любое высказывание более высокого типа эквивалентно одному из высказываний первого типа.» Эта аксиома вызвала возражения. «Фрэнк Пламптон Рамсэй, сочувственно относившийся к логицизму, так охарактеризовал аксиому сводимости: «Такой аксиоме не место в математике, и все, что не может быть доказано без нее, вообще не может считаться доказанным.». Другие ученые назвали аксиому сводимости «жертвоприношением, в котором роль жертвы отведена разуму. Безоговорочно отвергал аксиому сводимости Герман Вейль. Иные критики утверждали, что она снова вводит в обращение непредикативные определения.».[12] Во введении в «Математическую философию»(1919) Рассел был вынужден признать: «С чисто логической точки зрения я не вижу оснований считать аксиому сводимости необходимой, т.е. тем, о чем принято говорить, что оно истинно во всех возможных мирах.».[13]
Таким образом, оказалось, что теория типов является слишком жестким запретом для логики и математики, и сам запрет не давал ответа на вопрос какие из непредикативных определений являются непротиворечивыми.
Проведенный нами анализ показал, что исчислимые в отношении категории непредикативные определения являются непротиворечивыми, в том числе и определение наименьшей верхней границы.
Можно выделить два непересекающихся класса определений: аналитические и синтетические. Аналитические определения выделяют объект как часть (части) некоторого объекта, рассматриваемого как целое. Синтетические определения образуют некоторый объект как композицию некоторых исходных объектов. Рассмотренные нами непредикативные утверждения являлись аналитическими, поэтому целесообразно рассмотреть на предмет непротиворечивости и синтетические определения.
Синтетические определения порождают многоуровневые абстракции, связанные с определяемыми или понятиями. Так, например, определение множества ставит некоторому понятию множества в соответствие некоторую группу элементов. Таким образом, «множество» как единичное целое на некотором уровне абстракции 2 рассматривается как собрание единичного (элементов) на некотором исходном уровне абстракции 1. Это дает нам возможность определять следующее соответствие: А = {а1,а2,…,аn}. При этом А, на некотором уровне обобщения 2, рассматривается как единичное целое, а его содержание (смысл) раскрывается, на некотором исходном уровне обобщения 1, как определенное собрание элементов. В основе такого двухуровневого определения лежит отношение эквивалентности.
Такое представление дает нам возможность на некотором уровне абстракции 2 манипулировать множеством как единичным целым и на некотором уровне 3 определять собрание множеств как «множество множеств»: N = {A1, A2,…, Am}, в котором Ai рассматривается как элемент.
Такая многоуровневая структура позволяет выделить горизонтальные отношения между элементами некоторого уровня (например, отношение следования), образующие горизонтальный слой [14] и вертикальные отношения (композиции, декомпозиции) между элементами горизонтальных слоев. Элементы, связанные с многоуровневой абстракцией вертикальными отношениями, образуют вертикальный слой.[15] Анализ рассматриваемой структуры показывает, что «множество множеств» является множеством только в отношении уровней 3 и 2. Аналогичным образом множеством являются элементы уровня 2 в отношении к элементам уровня 1. Но элементы уровня 3, в отношении к элементам уровня 1, не являются «множеством», а являются «множеством множеств». Вертикальный слой, связывающий элемент уровня 3 отношением декомпозиции с элементами уровня 1, не тождественен вертикальному слою элемента уровня 2, связывающему его отношением декомпозиции с элементами уровня 1. Эти вертикальные слои определяют суть различия процедур смыслообразования понятий «множество множеств» и «множество».
Рассел, занимаясь изучением парадокса Кантора о множестве всех множеств, предложил свой вариант этого парадокса. «Парадокс Рассела относится к классам. Класс книг не является книгой и поэтому не содержит самого себя, но класс идей есть идея и содержит сам себя. Каталог каталогов – каталог. Следовательно, одни классы содержат (или включают) самих себя, другие не содержат».[16] Утверждение «каталог каталогов - каталог» аналогично утверждению «множество множеств - множество». Вышеприведенный нами анализ показал, что понятия «множество множеств» и «множество» имеют различные процедуры смыслообразования – различные вертикальные слои. Такие же различия можно продемонстрировать в процедурах смыслообразования понятий «каталог» и «каталог каталогов». Утверждения «каталог каталогов - каталог» или «множество множеств - множество», устанавливающие отношения эквивалентности между понятиями, по сути являются подменой понятий. Подмена понятий закономерным образом приводит к парадоксу выявленному Бертраном Расселом: «Пусть N – класс классов, не содержащих самих себя. К какой разновидности классов принадлежит N? Если N принадлежит N, то, по определению, N не должен принадлежать N. Если же N не принадлежит N, то, по определению, N должен принадлежать N. Когда Рассел впервые открыл это противоречие, он решил, что трудность здесь кроется в логике, а не в самой математике. Но обнаруженное противоречие ставит под удар само понятие множества, как класса объектов, широко используемое во всей математике. По словам Гильберта, парадокс Рассела был воспринят математическим миром как катастрофа». [17]
Рассмотрим функционал утверждения «множество множеств - множество».
a = F26(«множество множеств», «множество»). (11)
Этот функционал устанавливает отношение эквивалентности между понятиями «множество множеств» и «множество». В случае если понятия находятся в отношении эквивалентности данное утверждение является истинным (a = истина), в противном случае – ложным (a = ложь). Различия процедур смыслообразования понятий «множество множеств» и «множество» не позволяет установить отношение эквивалентности между этими понятиями, поэтому для функционала (11) = ложь. Однако, необходимо отметить, что понятие «множество множеств» частично (в отношениях уровня абстракции 3 к уровню 2) тождественно понятию «множество», но правомерно ли считать, что 5 3 на том основании, что 5=3+2 (3 частично тождественно 5-ти)?

[1] Клайн М. Математика. Утрата определенности.-М.:Мир,1984.-с.237.
[2] Там же с.238.
[3] Там же с.240.
[4] Там же с.240.
[5] Там же с.257.
[6] Там же с.242.
[7] Там же с.242.
[8] М.С.Козий, С.П.Козий, С.А.Гринев. Смысл как отождествленное разнообразие в логике невербальных представлений.// Искусственный интеллект: Науч. теор. жур2002, Т4, с.193-199.
[9] Купченко Л.Ф. Основы научных исследований и научно-технического творчества. Часть 1. Учебное пособие. ХВВКИУРВ.-1987.-150с.
[10] Клайн М. Математика. Утрата определенности.-М.:Мир,1984.-с.242.
[11] Там же с.259.
[12] Там же с.260.
[13] Там же с.261.
[14] Козий С.П., Ярмонов В.И. Технология программирования. Ч.1.Основы проектирования и оценки качества программ. - МО СССР.1986.- c.49-50.
[15] Там же с.48-49.
[16] Клайн М. Математика. Утрата определенности.-М.:Мир,1984.-с.238.
[17] Там же с.238-239.

      
2. Кошки-мышки семантического анализа.

Прежде чем подвергать семантическому анализу парадокс Рассела, рассмотрим некоторые утверждения и попытаемся ответить на ряд вопросов. Например: этот объект является кошкой. К какому классу принадлежит «этот объект»? Приведенное предложение утверждает, что рассматриваемый объект принадлежит классу кошек. Понятие «кошка» определяет отождествленное разнообразие определенных объектов. Утверждение фиксирует отношение принадлежности некоторого объекта некоторому собранию объектов, которое может рассматриваться как класс. «Этот объект» рассматривается как экземпляр класса.
Рассмотрим утверждение «N - кошка». К какому классу принадлежит N? N принадлежит классу кошек, при этом N является экземпляром класса. Утверждение «N - кошка» является аналитическим определением. N определена как часть некоторого целого – класса.
Проанализируем утверждение «N – кошка, не содержащая в себе кошку». К какому классу принадлежит N? N принадлежит классу кошек. Но может возникнуть возражение – ответ не учитывает определение «не содержащая в себе кошку». Такое возражение правомерно, однако необходимо отметить, что фрагмент утверждения «N - кошка» соотносится с «архитектурным описанием»[1] N. N принадлежит классу кошек если N соответствует пропозициональной функции «х - кошка», в которой под словом «кошка» понимается некоторый интенсионал – логически объединенная система признаков. Фрагмент «не содержащая в себе кошку» определяет «морфологическую компоненту описания»[1] N и поэтому не оказывает никакого влияния на принадлежность N классу кошек. В класс «кощка» входят кошки не содержащие в себе кошек и содержащие.
Наши ответы на поставленные вопросы определялись некоторыми семантическими представлениями. Однако, без формализации такие представления являются интуитивными – смутными представлениями.
Рассмотрим формализацию семантических представлений предметной области парадокса Рассела. В своем парадоксе Рассел использует три базовых понятия: экземпляр (элемент), класс, класс классов. Понятия класс и класс классов являются структурами, образующими некоторые отношения между определенными элементами в иерархии этих отношений.
Понятие «экземпляр» отождествляет разнообразие объектов, рассматриваемых как неделимое единичное целое – атомарные элементы.
Понятие «класс» отождествляет разнообразие объектов, рассматриваемых на некотором уровне обобщения как неделимое единичное целое и как набор экземпляров на некотором исходном уровне экземпляров.
Понятие «класс классов» отождествляет разнообразие объектов, рассматриваемых на некотором уровне обобщения как неделимое единичное целое и как набор объектов на уровне классов, в котором каждый класс рассматривается как набор экземпляров на исходном уровне.
Таким образом, понятия класс классов, класс, экземпляр своими элементами (денотатами) образуют три горизонтальных слоя обобщений (абстракций) различного уровня, между элементами которых некоторыми определениями устанавливаются вертикальные отношения композиции (декомпозиции), выражающие суть процедур смыслообразования соответствующих экземпляров (денотатов) понятий «класс» и «класс классов»:
Уровень 3: {Q,P,R,N…} «класс классов»
Уровень 2: {A,B,C,D,F,E,H,K,M…} «класс»
Уровень 1: {a1,m1,b2,k1,c1,m2, f1,k2,d1,a3,…} «экземпляр».
Данное представление является потенциально сущим представлением. Чтобы его актуализировать необходимо принять уровень 1 как некоторое актуально сущее и в рамках данного актуально сущего актуализировать уровень 2 и уровень 3.
Теория типов обусловлена принципами смыслообразования. Среди семантических представлений только к актуально сущим представлениям применим анализ на истинность и ложность. «Итак, относительно того, что есть и что стало, утверждение или отрицание необходимо должно быть истинным или ложным…»[2].
Принять уровень 1 как некоторое актуально сущее это значит принять экземпляры этого уровня некоторыми фактами. Это дает нам возможность выделить среди экземпляров собрание имеющее определенные общие признаки, например, собрание кошек {m1, m2, m3,…}. Любое собрание определенным образом выделенных экземпляров на уровне 1 влечет за собой появление экземпляра на уровне 2: K= {k1, k2, k3,…}, M= {m1, m2, m3,…}. Таким образом, проведенный анализ показывает, что появление экземпляра на вышестоящем уровне является следствием выделения группы экземпляров на нижестоящем уровне. Таким образом осуществляется актуализация экземпляров (элементов) многоуровневой абстракции и выделение в ней «вертикальных слоев»[3].
Объединение экземпляров K и M в группу на уровне 2 приводит к появлению экземпляра Q на уровне 3. При этом K и M мы называем классами, а Q – классом классов, тем самым определяя, что K и M являются экземплярами понятия «класс», а Q – экземпляром понятия «класс классов».
В основание подхода к формированию вертикального слоения многоуровневой абстракции положен принцип «полной смысловой эквивалентности»[3] : Q = {K, M};
K = {k1, k2, k3,…}, M = {m1, m2, m3,…}, Q = {{k1, k2, k3,…}, {m1, m2, m3,…}}.
В основание же подхода к формированию горизонтального слоя и отбора экземпляров в группы положен принцип «частичной смысловой эквивалентности»[4], поэтому элементы выделенных групп горизонтального слоя находятся в отношении частичной смысловой эквивалентности. Частичная смысловая эквивалентность определяет эквивалентность экземпляров только в рамках некоторого идентификатора, которым является пропозициональная функция или интенсионал понятия. Эти два принципа лежат в основе процедур смыслообразования, и семантическое представление является корректным если оно построено в соответствии с данными принципами.
Класс классов Q, включающий в себя классы K (кошек) и M (мышек), может быть назван классом классов «кошки мышки». Используя пропозициональную функцию «х – кошка или мышка» и отобрав на уровне 1 группу элементов мы на уровне 2 можем образовать класс E «кошек-мышек». Однако, класс классов «кошки мышки» не тождественен классу «кошки-мышки». В классе классов «кошки мышки» кошки – отдельно, мышки – отдельно, а в классе «кошки-мышки» - вместе: Q = {{k1, k2, k3,…},{m1, m2, m3,…}}, E = {k1, m3,k4,m1,…}. Класс классов «кошки мышки» и класс «кошки-мышки», образованные одними и теми же элементами, имеют различные структуры. Без фиксации структуры не существуют понятия «класс» и «класс классов».
Мы можем, используя пропозициональную функцию «x – кошка и содержит в себе кошку» образовать класс В беременных кошек. Класс B на уровне 1 будет включать в себя часть экземпляров класса K.Такое соответствие образует на уровне 2 горизонтальное отношение между B и K, которое мы называем «подкласс»: B подкласс K. Однако, на уровне 2 классы B и K существуют как равноправные экземпляры в рамках их вертикальных отношений.
На уровнях обобщения 1,2,3 каждый экземпляр рассматривается как единичное целое. Возникает вопрос: «Возможен ли перенос экземпляра с уровня на уровень? ». Возможен ли перенос экземпляра с нижестоящего уровня на вышестоящий уровень или перенос экземпляра с вышестоящего на нижестоящий уровень?
Экземпляры уровней 2 и 3 обладают как целое некоторыми свойствами обусловленными их структурой. Так, например, мы можем осуществить отбор экземпляров в группу на уровне 2 в соответствии с пропозициональной функцией «x – количество экземпляров в классе меньше n», или на уровне 3 в соответствии с пропозициональной функцией «x – количество экземпляров в классе классов меньше s и количество экземпляров в каждом классе меньше h». Экземпляры уровня 1 по определению не обладают структурными свойствами и поэтому не могут быть перенесены на уровень 2 или уровень 3. Аналогично, структурные свойства экземпляров уровня 2 отличаются от структурных свойств экземпляров уровня 3, что делает невозможным перенос их с уровня 2 на уровень 3.
Мы можем, абстрагируясь от некоторых структурных свойств, осуществить перенос экземпляров с уровня 3 на уровень 2 или перенос экземпляров с уровня 3 и уровня 2 на уровень 1, но допустима ли такая возможность в рамках некоторого целостного представления? По всей видимости – нет. Присутствие одного и того же объекта на различных уровнях абстракции определяет двойственность этого объекта, что делает высказывания в рамках данного представления противоречивыми. Таким же образом мы можем некоторую беременную кошку k1, принадлежащую классу B беременных кошек, абстрагировавшись от ее беременности, включить в класс небеременных кошек A, что порождает двойственность k1. В дальнейшем, высказывания о кошке k1, использующие представления A и B, становятся противоречивыми.
Непротиворечивость высказываний может быть достигнута только в рамках концептуально целостных представлений. Принцип концептуальной целостности может быть сформулирован следующим образом : один и тот же объект в рамках концептуально целостных представлений должен обладать одними и теми же свойствами во всех представлениях, образующих концептуальную целостность( морфологическая гомогенность).
Построенное нами многоуровневое концептуально целостное представление позволяет нам формулировать верифицируемые утверждения: понятие «экземпляр» является экземпляром уровня 2 – является классом, понятие «класс» является экземпляром уровня 3 – является классом классов, понятие «класс классов» является экземпляром уровня 4 – является классом классов классов.
Может ли некоторый класс содержать себя в качестве своего элемента? Такое построение невозможно в рамках концептуально целостного представления. Во-первых, оно противоречит принципам смыслообразования. Как было показано нами ранее, вертикальные отношения являются отношениями полного смыслового соответствия, поэтому А = А, однако утверждение А = {А,b,c} является некорректным. Во-вторых, перенос экземпляра с вышестоящего уровня на нижестоящий нарушает концептуальную целостность представления, что неминуемо приводит к противоречивым высказываниям. Создать такое актуальное формализованнное представление также «трудно» как вытащить себя за волосы из болота. Представить себе можно – вытащить сложно.
Парадокс Рассела формулируется следующим образом: «Пусть N – класс классов, не содержащих самих себя. К какой разновидности классов принадлежит N?». В соответствии с построенным нами представлением N принадлежит классу классов, являясь его экземпляром (уровень 3). Так как N включает в себя классы, не содержащие самих себя, и наш анализ показал, что класс не может включать самого себя в качестве элемента в рамках концептуально целостного представления, то N будет включать в себя все классы уровня 2. Таким образом N тождественен «понятию класс». Как мы уже показали, «понятие класс» является экземпляром уровня 3, поэтому N и «понятие класс» являются экземплярами одного и того же уровня. При этом «понятие класс» является самым широким классом классов – любой другой экземпляр класса классов является подклассом «понятия класс». Утверждения «Если N принадлежит N, то, по определению N не принадлежит N. Если же N не принадлежит N, то по определению N должен принадлежать N» неправомерны в рамках концептуально целостного представления.
Представления первичны – высказывания о представлениях вторичны. Попытка построения текста без предварительно сформированного и соответствующего этому тексту семантического представления в большинстве случаев обречена на противоречивость как и любое мышление в смутных представлениях.
Кошку и мышку можно, абстрагируясь от присущих им свойств, превратить в единицы количества, после чего их можно складывать и умножать, но мы не имеем никакой возможности превратить кошку в мышку или мышку в кошку! Вне семантики – принципов (правил) смыслообразования текст Рассела: «Класс книг не является книгой и поэтому не содержит самого себя, но класс идей есть идея и содержит сам себя. Каталог каталогов - каталог»[5], не вызывает возражений. В рамках семантики – моделей смысла – удивление!
      
[1] М.С.Козий, С.П.Козий, С.А.Гринев. Смысл как отождествленное разнообразие в логике невербальных представлений.// Искусственный интеллект: Науч. теор. Жур. 2002, Т4, с.195.
[2] Аристотель. Сочинение в четырех томах. Том 2.-М: «Мысль»,1978.-с.99.
[3] Козий С.П., Ярмонов В.И. Технология программирования. 4.1.Основы проектирования и оценки качества программ. - МО СССР.1986.- c.63-68.
[4] М.С.Козий, С.П.Козий, С.А.Гринев, Ю.И. Вергелес.  Методы целевой идентификации лингвистических объектов.// Искусственный интеллект: Науч. теор. жур. 2002, Т4, с.184-192.
[5] Клайн М. Математика.Утрата определенности.-М.:Мир,1984.-с.238.


3.Потенциальное в актуальном – внесемантический «рай».

Первым, кто решился построить «рай» для математиков и логиков был Кантор. До него все жили на грешной логико-математической «земле». Эйлер в своей «Алгебре»(1770) «довольно легкомысленно» [1] разделив единицу на ноль, обозначил результат как бесконечность. Тем самым «отправил математиков и логиков в «ад». О бесконечности писал еще Аристотель в своей «Физике»: «Остается альтернатива, согласно которой бесконечное имеет потенциальное существование… Актуально бесконечное не существует»[ 2] Он благоразумно единицу на ноль не делил.
Можно ли найти конец Бесконечного? Можно ли потенциальное превратить в актуальное? Кантор превратил. Он «определил бесконечное множество как такое множество, которое можно поставить во взаимно-однозначное соответствие со своим собственным (т.е. отличным от всего множества) подмножеством»[ 3] Таким образом Кантор получил бесконечное множество содержащее самого себя как бесконечность в качестве подмножества – потенциальное в актуальном. Следовательно, если мы можем поставить в однозначное соответствие себя со своей частью, то что мешает нам думать, что мы можем содержать самих себя в качестве своей части. Не все с этим согасились. Леопольд Кронер назвал автора такого определения «шарлатаном»[236 3]. Анри Пуанкаре – такую теорию множеств – «тяжелой болезнью и считал ее своего рода математической патологией.»[236 4]
В защиту теории Кантора выступил в 1910г. Рассел: «Решение проблем, издавна окутывавших тайной математическую бесконечность, является, вероятно, величайшим достижением, которым должен гордиться наш век». «Расселу вторил Гильберт: «Никто не изгонит нас из рая, созданного Кантором»[4]
Человек потенциально может быть здоровым и больным. Актуально – здоровым или больным. Представление потенциального в качестве актуального, как следствие, приводит к мысли, что нечто содержит самого себя в качестве своей части: одной здоровой, другой больной.
Бесконечное не имеет границ. В актуальном мы можем устремиться к бесконечности, но она ускользает от нас. Если мы будем строить два бесконечных множества как независимые, то на каждом шаге добавления очередных элементов к множествам, мощность (количество элементов) каждого множества будет равна n. И в потенциальном развитии этого процесса она будет устремляться к бесконечности независимо от того, что мы будем в одно множество добавлять, например, целые числа, а, в другое, четные числа. Такая процедура выражает наше представление смысла понятия бесконечное множество.
Если же мы будем строить множество B как множество, зависимое от элементов построения некоторого множества A, то множество В, в своем построении, будет ожидать появления в множестве А элемента из которого мы можем получить очередной элемент для В. (Например, А – множество целых чисел, а В – множество нечетных чисел.) Именно по этой причине на некотором этапе n количество элементов в А становится равным n, а в В – m. При этом m<n. Таким образом различия могут возникнуть в актуальном процессе формирования множеств и они никакого отношения к потенциальной бесконечности множеств А и В не имеют. Мы не можем сделать вывод о том, что бесконечность А содержит в себе, в качестве своей части, бесконечность В, даже если каждому целому можем поставить в однозначное соответствие четное число, удвоив целые числа, и нам кажется, что мы множеству целых поставили в однозначное соответствие его часть – множество четных чисел. Когда мы удваиваем пять и ставим ему в соответствие 10, мы это 10 черпаем из бесконечности, и, поэтому любому n найдется число 2n. В потенциально бесконечном мы можем выделить актуальную часть – множество, но в актуальном мы не можем найти потенциального. Любая, даже развивающаяся часть бесконечного не является бесконечностью. Допустить над бесконечностью существование другой, еще большей бесконечности, тоже самое, что допустить существование над Богом «Бога-Богов».
Допустить такое представление – нарушить концептуальную целостность представления. То, что «над» должно иметь различия с тем, что «внутри».
Процедура формирования потенциально бесконечных множеств является правилом формирования смысла – семантикой понятия «бесконечное». Процедура построения зависимых множеств находится вне смысла понятия «бесконечное» - имеет другой смысл. Принятие этого другого смысла в качестве смысла понятия «бесконечность» является ничем иным как подменой понятий. Однако вне семантики – правил смыслообразования такая подмена выглядит правдоподобной и правомерной. Но, как было показано нами, нарушение концептуальной целостности приводит в конечном итоге к противоречиям. «В 1895г. у Кантора возникла идея рассмотреть множество всех множеств. Мощность такого «сверхмножества» должна была быть самой большой из возможных. Но еще ранее Кантор доказал, что множество всех подмножеств любого заданного множества должно обладать трансфитивным числом, которое превосходит трансфитивное число, отвечающее исходному множеству. Следовательно, заключил Кантор, должно существовать трансфитивное число, превосходящее наибольшее из трансфитивных чисел.»[6] Кантор пришел к противоречию. Бесконечность ускользнула. По этому поводу «в 1901г. Рассел написал в своей работе, что Кантор, должно быть, «совершил очень тонкую логическую ошибку, которую я [Рассел] надеюсь объяснить в одной из следующих работ.» Ясно, продолжал Рассел, что наибольшее трансфитивное число должно существовать, так как если взять все, то не останется ничего и, следовательно, ничего нельзя добавить. Рассел принялся размышлять над этой проблемой – и лишь пополнил арсенал проблем своим собственным «парадоксом»[7]. Этот парадокс нами рассматривался. «Когда шесть лет спустя статья Рассела была перепечатана в сборнике «Мистицизм и логика», он счел нужным добавить к ней подстрочное примечание, в котором извинялся за допущенную ранее ошибку, ибо объяснить парадокс Кантора ему так и не удалось»[8].
Логика фиксирует противоречия, но не позволяет прояснить причины их возникновения. Причины возникновения противоречий проясняют правила смыслообразования и, следовательно, недопускают их возникновения. Вслед за Кантором, Рассел допускал существование множества множеств, содержащего себя самого в качестве своего элемента, и, как следствие этого, существование классов, «содержащих самих себя», что делало возможным рассуждение: «Если N принадлежит N, то, по определению, N не должен принадлежать N. Если же N не принадлежит N, то, по определению, N должен принадлежать N». Подобное рассуждение, как мы уже показали, с семантической точки зрения является бессмыслицей, но внесемантический рай существует.
[1] Клайн М. Математика.Утрата определенности.-М.:Мир,1984.-с.231.
[2] Аристотель. Сочинения в 4-х томах. Т.3,-М.:Мысль,1981,с.59-221.
[3] Клайн М. Математика.Утрата определенности.с.236.
[4] Там же.с.236.
[5] Там же.с.237.
[6] Там же.с.234-235.
[7] Там же.с.235.
[8] Там же.с.235.


4.«Рогатый» софизм алхимии анализа.


«Современный анализ начинается с высказывания типа: (1) Высказывание (1) ложно», - пишет Хилари Патнэм в 1990 году [1]. После чего можно сделать подстановку в эквивалентность типа «Т» Тарского: «(i)«(1) ложно» является истинным, если и только если (1) является ложным»[2]. И, затем осуществить «нехитрую» подмену понятий и показать: « (ii) «(1) ложно» является истинным, если и только если «(1) ложно» является ложным – что является противоречием»[3]. Подмену понятий здесь найти также трудно как и в известном софизме «Рогатый»: «Все, что ты не потерял, ты имеешь. Ты не потерял рога. Следовательно, ты имеешь рога».[4] Но не в этом суть? Что же не показал Хилари Патнэм?
Говорят, что, когда пытались собирателей корней приучить к земледелию, самым непонятным для них было: «Зачем закапывать зерно в землю и долго ждать пока оно вырастет, когда его можно сразу съесть?» Так вот и нам непонятно – зачем делать подмену понятий потом, когда ее можно сделать сразу: «(1) Высказывание (1) ложно» есть «(1) Высказывание (Высказывание (1) ложно) ложно» и это же есть «(1) Высказывание (Высказывание(Высказывание (1) ложно) ложно) ложно» и так далее. Таким образом, исходным в логическом анализе является разновидность выражения «У попа была собака…». Высказывание типа: «(1) Высказывание (1) ложно» с семантической точки зрения является абракодаброй или, говоря проще, поименованной пустотой. Исходя из такой пустоты можно увидеть и «божественное видение».
Из глины, воды и огня можно получить горшок. Алхимики искали «философский» камень, с помощью которого можно было бы из неблагородных металлов получать золото. Но даже они знали, что из пустоты можно получить только пустоту, а из абракодабры – абракодабру. Ex nihilo nihil fit.
[1] Патнэм Х. Реализм с человеческим лицом. В кн. Аналитическая философия: становление и развитие (антология) – М: «Дом интеллектуальной книги», «Прогресс-Традиция»,1998.-с.475.
[2] Там же с.476.
[3] Там же с.476.
[4] Тягло А.В. Критическое мышление на основе элементарной логики. Учебное пособие. – Харьков,2001.-с.12.