Теорема погибшего альпиниста

    Начало в http://proza.ru/2024/07/04/235

    Рассмотрим для примера схему доказательства теоремы из геометрии: «в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов*».

     Выделим сначала в этом утверждении посылку и заключение.
Посылка теоремы: U = «треугольник ABC – прямоугольный».
Заключение теоремы: W = «AB^2 = AC^2 + BC^2».

     При доказательстве используются аксиомы геометрии (и по умолчанию – законы логики).

     Таким образом, нам нужно доказать, что

         (1)  из аксиом геометрии выводится U –>W.

     Используя знак знак выводимости |–, утверждение (1) можно записать в виде:

            Аксиомы |– U –> W.

     Доказательство – это  цепочка предложений, состоящая из аксиом и предложений, полученных из этих аксиом, с помощью конечного применения правил вывода. В конце цепочки должно стоять доказываемое предложение: 

                U –> W.

     Но на самом деле никогда это предложение там не стоит.

     Доказательство этой (и любой другой теоремы) начинается вовсе не словами «возьмём аксиомы, применим к ним правила вывода и так далее...».

     Нет. Первые слова иные.

    «Нам дано, что треугольник ABC – прямоугольный. Следовательно, ...»

     Но утверждения U вовсе не было среди аксиом (да и быть не могло – не все треугольники прямоугольные, и вообще не каждое предложение U должно выполняться): теорема утверждает лишь, что «если U, то W», т. е. если U истинно, то и W истинно.

     Другими словами, все доказательства теорем начинаются присоединением посылки теоремы к множеству аксиом теории.

     А как заканчивается доказательство?

     Последние слова в нашем примере: «таким образом, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, что и требовалось доказать».

     А требовалось доказать, не предложение W, а предложение:  «U влечёт W».

     В общем случае, для произвольной теоремы   окончание рассуждений примерно то же самое: «таким образом, мол, получаем W».

     Итак, учитель, рассказавший своим ученикам доказательство теоремы, беззастенчиво обманывает их.

     Сообщив, что будет доказано

       Аксиомы |– U –>W,

на самом деле доказывает другое:

          (2) из аксиом геометрии и U выводится W, т.е.

                Аксиомы, U |– W.

    И так происходит не с одной, отдельно взятой теоремой, а со всеми теоремами любой аксиоматической теории (и не только геометрии).

     Если бы, не дай Бог, оказалось, что утверждения (1) и (2) не равносильны, то, возможно, что все аксиоматические теории, начиная с геометрии, лежали бы в развалинах.

     Многие (если не все) «теоремы» могли оказаться ложными.

     К счастью, этого не случилось. В 1930 году молодой француз Жак Эрбран**  устранил этот пробел, доказав, что утверждения (1) и (2) на самом деле равносильны - они истинны или ложны одновременно:

              Аксиомы |– U –> W  <=>  Аксиомы, U |– W.

     Правда, эта равносильность была установлена после более чем двух тысяч лет использования аксиоматического метода, и поэтому прошедшие века действительно были веками величайшего обмана (и самообмана).

     Утверждение

              Аксиомы |– U –> W <=>  Аксиомы, U |– W.

называют ТЕОРЕМОЙ О ДЕДУКЦИИ.

     Благодаря теореме Эрбрана и становится позволительно при аксиоматическом построении теории формулировать одно утверждение, а доказывать другое.

 

______


                Примечания

       * Пифагор Самосский  (570–495 до н.э.).

       ** Жак Эрбран (Jacques Herbrand, 1908–1931) – французский математик.  Творческий и жизненный путь Эрбрана оборвался трагически: он увлекался альпинизмом и погиб в июле 1931 года во Французских Альпах.



Фото из Интернета. Жак Эрбран (1931 г.). Французские Альпы летом