Дедукция

    Начало в http://proza.ru/2024/07/04/235

    Рассмотрим для примера доказательство теоремы из геометрии: «в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов*».

     Выделим сначала в этом утверждении посылку и заключение.
Посылка теоремы: U = «треугольник ABC – прямоугольный».
Заключение теоремы: W = «квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов ».

     При доказательстве используются аксиомы геометрии (и по умолчанию – законы логики).

     Таким образом, нам нужно доказать, что

         (1)  из аксиом геометрии выводится U –>W.

     Используя знак знак выводимости |–, утверждение (1) можно записать в виде:

            Аксиомы |– U –> W.

     Доказательство – это  цепочка предложений, состоящая из аксиом и предложений, полученных из этих аксиом, с помощью конечного применения правил вывода. В конце цепочки должно стоять доказываемое предложение: 

                U –> W.

     Но на самом деле никогда это предложение там не стоит.

     Доказательство этой (и любой другой теоремы) начинается вовсе не словами «возьмём аксиомы, применим к ним правила вывода и так далее...».

     Нет. Первые слова иные.

    «Нам дано, что треугольник ABC – прямоугольный. Следовательно, ...»

     Но утверждения U вовсе не было среди аксиом (да и быть не могло – не все треугольники прямоугольные, и вообще не каждое предложение U должно выполняться): теорема утверждает лишь, что «если U, то W».

     Другими словами, все доказательства теорем начинаются присоединением посылки теоремы к множеству аксиом теории.

     А как заканчивается доказательство?

     Последние слова в нашем примере: «таким образом, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, что и требовалось доказать».

     А требовалось доказать, не предложение W, а предложение:  «U влечёт W».

     В общем случае, для произвольной теоремы   окончание рассуждений примерно то же самое: «таким образом, мол, получаем W».

     Итак, учитель, рассказавший своим ученикам доказательство теоремы, беззастенчиво обманывает их.

     Сообщив, что будет доказано

       Аксиомы |– U –>W,

на самом деле доказывает другое:

          (2) из аксиом геометрии и U выводится W, т.е.

                Аксиомы, U |– W.

    И так происходит не с одной, отдельно взятой теоремой, а со всеми теоремами любой аксиоматической теории (и не только геометрии).

     Если бы, не дай Бог, оказалось, что утверждения (1) и (2) не равносильны, то, возможно, что все аксиоматические теории, начиная с геометрии, лежали бы в развалинах.

     Многие (если не все) «теоремы» могли оказаться ложными.

     К счастью, этого не случилось. В 1930 году молодой француз Жак Эрбран**  устранил этот пробел, доказав, что утверждения (1) и (2) на самом деле равносильны - они истинны или ложны одновременно:

              Аксиомы |– U –> W  <=>  Аксиомы, U |– W.

     Правда, эта равносильность была установлена после более чем двух тысяч лет использования аксиоматического метода, и поэтому прошедшие века действительно были веками величайшего обмана (и самообмана).

     Утверждение

              Аксиомы |– U –> W <=>  Аксиомы, U |– W.

называют ТЕОРЕМОЙ О ДЕДУКЦИИ.

     Благодаря теореме Эрбрана и становится позволительно при аксиоматическом построении теории формулировать одно утверждение, а доказывать другое.

  Часть 7 http://proza.ru/2024/09/24/78

______


                Примечания

       * Пифагор Самосский  (570–495 до н.э.).

       ** Жак Эрбран (Jacques Herbrand, 1908–1931) – французский математик.  Творческий и жизненный путь Эрбрана оборвался трагически: он увлекался альпинизмом и погиб в июле 1931 года во Французских Альпах.



Фото из Интернета. Жак Эрбран (1931 г.). Французские Альпы летом


Рецензии
Здравствуйте, уважаемый Пётр.
Признаюсь, я посрамлён. Чувствую научность Вашей публикации... но ничего не понял. Густо краснею.
Вот тем и отличаются в мышлении "расплывчатые" юристы в конкретных межличностных отношений людей от тех, кто погружён в абсолютную точность абстрактных математических категорий. Небо и земля. (где "земля", конечно же, юриспруденция).

Итак, что я в толк не смог взять, если позволите.
Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, значит эти треугольники равны.
Если.... значит.
Разве есть в этом утверждении какая-то логическая погрешность?


Евгений Попов-Рословец   26.03.2025 10:06     Заявить о нарушении
Здравствуйте, Евгений!

Спасибо за внимание к моим работам и проявленную любознательность.

Мне казалось, что теорема Пифагора более известна широкой публике, поэтому и выбрал её для примера теоремы Эрбрана.

Но и признак равенства треугольников (да и вообще любая теорема) для иллюстрации тоже годится.

Итак, требуется доказать, что:

(1) «Из аксиом геометрии выводится утверждение: "Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то эти треугольники равны"».

А в действительности, начиная с Евклида и по настоящее время, доказывается немного другое:

(2) «Из аксиом геометрии и утверждения "две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника" выводится утверждение: "эти треугольники равны"».

Но это действительно различные выводимости: среди аксиом геометрии нет утверждения «две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника».

Но эти два различных предложения о выводимостях равносильны, и доказано это совсем недавно.

Кстати, среди гуманитариев распространено: «дважды два равно четырём — это аксиома». На самом деле это вовсе не аксиома, а теорема. Среди аксиом арифметики такого утверждения нет.

А математика и юриспруденция — это вовсе не «небо и земля».

Они родственники. Доказательная математика — это дочь юриспруденции; именно в юриспруденции появилось понятие «доказательство» (виновности, невиновности; кстати, «алиби» — пример косвенного доказательства невиновности методом «от противного»).

С уважением,

Петр Савватеев   26.03.2025 11:10   Заявить о нарушении
На это произведение написано 15 рецензий, здесь отображается последняя, остальные - в полном списке.