Чуть-чуть о логике, часть 6. Дедукция

    Начало в http://proza.ru/2024/07/04/235

    Рассмотрим для примера доказательство теоремы из геометрии: «в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов*».

     Выделим сначала в этом утверждении посылку и заключение.
Посылка теоремы: U = «треугольник ABC – прямоугольный».
Заключение теоремы: W = «квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов ».

     При доказательстве используются аксиомы геометрии (и по умолчанию – законы логики).

     Таким образом, нам нужно доказать, что

         (1)  из аксиом геометрии выводится U ->W.

     На иллюстрации это изображено со знаком выводимости (знак напоминает букву Н – «инвалида без руки и без ноги», в прозе.ру изобразить этот знак не получилось)

     По определению доказательства должна существовать цепочка предложений, состоящая из аксиом и предложений, полученных из этих аксиом, с помощью конечного применения правил вывода. В конце цепочки должно стоять доказываемое предложение: 
                U ->W.

     Но на самом деле никогда это предложение там не стоит.

     Доказательство этой (и любой другой теоремы) начинается вовсе не словами «возьмём аксиомы, применим к ним правила вывода и так далее...».

     Нет. Первые слова иные.

    «Нам дано, что треугольник ABC – прямоугольный. Следовательно, ...»

     Но утверждения U вовсе не было среди аксиом (да и быть не могло – не все треугольники прямоугольные, и вообще не каждое предложение U должно выполняться): теорема утверждает лишь, что «если U, то W».

     Другими словами, все доказательства теорем начинаются присоединением посылки теоремы к множеству аксиом теории.

     А как заканчивается доказательство?

     Последние слова в нашем примере: «таким образом, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, что и требовалось доказать».

     А требовалось доказать, не предложение W, а предложение:  «U влечёт W».

     В общем случае, для произвольной теоремы   окончание рассуждений примерно то же самое: «таким образом, мол, получаем W».

     Итак, учитель, рассказавший своим ученикам доказательство теоремы, беззастенчиво обманывает их.

     Сообщив, что будет доказано (1), на самом деле доказывает другое:

           (2)  из аксиом геометрии и U выводится W.

     На иллюстрации это изображено с использованием знака выводимости.
И так происходит не с одной, отдельно взятой теоремой, а со всеми теоремами любой аксиоматической теории (и не только геометрии).

     Если бы, не дай Бог, оказалось, что утверждения (1) и (2) об  этих двух выводимостях не равносильны, то, возможно, что все аксиоматические теории, начиная с геометрии, лежали бы в развалинах.

     Многие (если не все) «теоремы» могли оказаться ложными.
К счастью, этого не случилось. В 1930 году молодой француз Жак Эрбран**  устранил этот пробел, доказав, что выводимости (1) и (2) на самом деле равносильны.

     Правда, эта равносильность была установлена после более чем двух тысяч лет использования аксиоматического метода, и поэтому прошедшие века действительно были веками величайшего обмана (и самообмана).

     Утверждение о равносильности (1) и (2) называют ТЕОРЕМОЙ О ДЕДУКЦИИ.

     Благодаря теореме Эрбрана и становится позволительно при аксиоматическом построении теории формулировать одно утверждение, а доказывать другое.



______


                Примечания

       * Пифагор Самосский  (570–495 до н.э.).

       ** Жак Эрбран (Herbrand, 1908–1931) – французский математик.  Творческий и жизненный путь Эрбрана оборвался трагически: он увлекался альпинизмом и погиб в июле 1931 года во французских Альпах.



Фото из Интернета. Жак Эрбран (1931 г.). Теорема о дедукции. Французские Альпы