Чуть-чуть о логике, часть 6. Дедукция
Рассмотрим для примера доказательство теоремы из геометрии: «в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов*».
Выделим сначала в этом утверждении посылку и заключение.
Посылка теоремы: U = «треугольник ABC – прямоугольный».
Заключение теоремы: W = «квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов ».
При доказательстве используются аксиомы геометрии (и по умолчанию – законы логики).
Таким образом, нам нужно доказать, что
(1) из аксиом геометрии выводится U ->W.
На иллюстрации это изображено со знаком выводимости (знак напоминает букву Н – «инвалида без руки и без ноги», в прозе.ру изобразить этот знак не получилось)
По определению доказательства должна существовать цепочка предложений, состоящая из аксиом и предложений, полученных из этих аксиом, с помощью конечного применения правил вывода. В конце цепочки должно стоять доказываемое предложение:
U ->W.
Но на самом деле никогда это предложение там не стоит.
Доказательство этой (и любой другой теоремы) начинается вовсе не словами «возьмём аксиомы, применим к ним правила вывода и так далее...».
Нет. Первые слова иные.
«Нам дано, что треугольник ABC – прямоугольный. Следовательно, ...»
Но утверждения U вовсе не было среди аксиом (да и быть не могло – не все треугольники прямоугольные, и вообще не каждое предложение U должно выполняться): теорема утверждает лишь, что «если U, то W».
Другими словами, все доказательства теорем начинаются присоединением посылки теоремы к множеству аксиом теории.
А как заканчивается доказательство?
Последние слова в нашем примере: «таким образом, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, что и требовалось доказать».
А требовалось доказать, не предложение W, а предложение: «U влечёт W».
В общем случае, для произвольной теоремы окончание рассуждений примерно то же самое: «таким образом, мол, получаем W».
Итак, учитель, рассказавший своим ученикам доказательство теоремы, беззастенчиво обманывает их.
Сообщив, что будет доказано (1), на самом деле доказывает другое:
(2) из аксиом геометрии и U выводится W.
На иллюстрации это изображено с использованием знака выводимости.
И так происходит не с одной, отдельно взятой теоремой, а со всеми теоремами любой аксиоматической теории (и не только геометрии).
Если бы, не дай Бог, оказалось, что утверждения (1) и (2) об этих двух выводимостях не равносильны, то, возможно, что все аксиоматические теории, начиная с геометрии, лежали бы в развалинах.
Многие (если не все) «теоремы» могли оказаться ложными.
К счастью, этого не случилось. В 1930 году молодой француз Жак Эрбран** устранил этот пробел, доказав, что выводимости (1) и (2) на самом деле равносильны.
Правда, эта равносильность была установлена после более чем двух тысяч лет использования аксиоматического метода, и поэтому прошедшие века действительно были веками величайшего обмана (и самообмана).
Утверждение о равносильности (1) и (2) называют ТЕОРЕМОЙ О ДЕДУКЦИИ.
Благодаря теореме Эрбрана и становится позволительно при аксиоматическом построении теории формулировать одно утверждение, а доказывать другое.
______
Примечания
* Пифагор Самосский (570–495 до н.э.).
** Жак Эрбран (Herbrand, 1908–1931) – французский математик. Творческий и жизненный путь Эрбрана оборвался трагически: он увлекался альпинизмом и погиб в июле 1931 года во французских Альпах.
Фото из Интернета. Жак Эрбран (1931 г.). Теорема о дедукции. Французские Альпы
Свидетельство о публикации №224071700507
У меня подобное состояние после "Чуть-чуть о логике". Прочла все части с рецензиями. Заворожило. Даже закружило. Спасибо.
Дарья Панкова 23.08.2024 09:50 Заявить о нарушении
Спасибо за внимание к моим работам!
С уважением,
Петр Савватеев 23.08.2024 10:47 Заявить о нарушении
Олег Данкир 07.09.2024 14:15 Заявить о нарушении
Может быть, у Вас какая-то болезнь, страх перед самолётами, АД повышенное, инсульт недавно перенесли. Да мало ли что бывает. Трудно поставить диагноз дистанционно.
Я знал человека, который из-за страха перед самолётом, в Петропавловск-Камчатский из Душанбе ехал поездом и пароходом.
А почему "Чем быстрее, тем лучше". У Вас уже билет на самолёт, и Вы хотите сдать его без потерь?
Сочувствую, но это вряд ли получится.
С уважением,
Петр Савватеев 08.09.2024 00:08 Заявить о нарушении