Дедукция
Рассмотрим для примера доказательство теоремы из геометрии: «в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов*».
Выделим сначала в этом утверждении посылку и заключение.
Посылка теоремы: U = «треугольник ABC – прямоугольный».
Заключение теоремы: W = «квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов ».
При доказательстве используются аксиомы геометрии (и по умолчанию – законы логики).
Таким образом, нам нужно доказать, что
(1) из аксиом геометрии выводится U –>W.
Используя знак знак выводимости |–, утверждение (1) можно записать в виде:
Аксиомы |– U –> W.
Доказательство – это цепочка предложений, состоящая из аксиом и предложений, полученных из этих аксиом, с помощью конечного применения правил вывода. В конце цепочки должно стоять доказываемое предложение:
U –> W.
Но на самом деле никогда это предложение там не стоит.
Доказательство этой (и любой другой теоремы) начинается вовсе не словами «возьмём аксиомы, применим к ним правила вывода и так далее...».
Нет. Первые слова иные.
«Нам дано, что треугольник ABC – прямоугольный. Следовательно, ...»
Но утверждения U вовсе не было среди аксиом (да и быть не могло – не все треугольники прямоугольные, и вообще не каждое предложение U должно выполняться): теорема утверждает лишь, что «если U, то W».
Другими словами, все доказательства теорем начинаются присоединением посылки теоремы к множеству аксиом теории.
А как заканчивается доказательство?
Последние слова в нашем примере: «таким образом, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, что и требовалось доказать».
А требовалось доказать, не предложение W, а предложение: «U влечёт W».
В общем случае, для произвольной теоремы окончание рассуждений примерно то же самое: «таким образом, мол, получаем W».
Итак, учитель, рассказавший своим ученикам доказательство теоремы, беззастенчиво обманывает их.
Сообщив, что будет доказано
Аксиомы |– U –>W,
на самом деле доказывает другое:
(2) из аксиом геометрии и U выводится W, т.е.
Аксиомы, U |– W.
И так происходит не с одной, отдельно взятой теоремой, а со всеми теоремами любой аксиоматической теории (и не только геометрии).
Если бы, не дай Бог, оказалось, что утверждения (1) и (2) не равносильны, то, возможно, что все аксиоматические теории, начиная с геометрии, лежали бы в развалинах.
Многие (если не все) «теоремы» могли оказаться ложными.
К счастью, этого не случилось. В 1930 году молодой француз Жак Эрбран** устранил этот пробел, доказав, что утверждения (1) и (2) на самом деле равносильны - они истинны или ложны одновременно:
Аксиомы |– U –> W <=> Аксиомы, U |– W.
Правда, эта равносильность была установлена после более чем двух тысяч лет использования аксиоматического метода, и поэтому прошедшие века действительно были веками величайшего обмана (и самообмана).
Утверждение
Аксиомы |– U –> W <=> Аксиомы, U |– W.
называют ТЕОРЕМОЙ О ДЕДУКЦИИ.
Благодаря теореме Эрбрана и становится позволительно при аксиоматическом построении теории формулировать одно утверждение, а доказывать другое.
Часть 7 http://proza.ru/2024/09/24/78
______
Примечания
* Пифагор Самосский (570–495 до н.э.).
** Жак Эрбран (Jacques Herbrand, 1908–1931) – французский математик. Творческий и жизненный путь Эрбрана оборвался трагически: он увлекался альпинизмом и погиб в июле 1931 года во Французских Альпах.
Фото из Интернета. Жак Эрбран (1931 г.). Французские Альпы летом
Свидетельство о публикации №224071700507
Признаюсь, я посрамлён. Чувствую научность Вашей публикации... но ничего не понял. Густо краснею.
Вот тем и отличаются в мышлении "расплывчатые" юристы в конкретных межличностных отношений людей от тех, кто погружён в абсолютную точность абстрактных математических категорий. Небо и земля. (где "земля", конечно же, юриспруденция).
Итак, что я в толк не смог взять, если позволите.
Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, значит эти треугольники равны.
Если.... значит.
Разве есть в этом утверждении какая-то логическая погрешность?
Евгений Попов-Рословец 26.03.2025 10:06 Заявить о нарушении
Спасибо за внимание к моим работам и проявленную любознательность.
Мне казалось, что теорема Пифагора более известна широкой публике, поэтому и выбрал её для примера теоремы Эрбрана.
Но и признак равенства треугольников (да и вообще любая теорема) для иллюстрации тоже годится.
Итак, требуется доказать, что:
(1) «Из аксиом геометрии выводится утверждение: "Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то эти треугольники равны"».
А в действительности, начиная с Евклида и по настоящее время, доказывается немного другое:
(2) «Из аксиом геометрии и утверждения "две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника" выводится утверждение: "эти треугольники равны"».
Но это действительно различные выводимости: среди аксиом геометрии нет утверждения «две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника».
Но эти два различных предложения о выводимостях равносильны, и доказано это совсем недавно.
Кстати, среди гуманитариев распространено: «дважды два равно четырём — это аксиома». На самом деле это вовсе не аксиома, а теорема. Среди аксиом арифметики такого утверждения нет.
А математика и юриспруденция — это вовсе не «небо и земля».
Они родственники. Доказательная математика — это дочь юриспруденции; именно в юриспруденции появилось понятие «доказательство» (виновности, невиновности; кстати, «алиби» — пример косвенного доказательства невиновности методом «от противного»).
С уважением,
Петр Савватеев 26.03.2025 11:10 Заявить о нарушении