Отражение света от наклонного движущегося зеркала

Маловероятно, что кто-нибудь ещё рассматривал отражение света от наклонного зеркала при субсветовых скоростях его движения.

Ввиду невозможности отказаться от принятых обозначений параметров греческими буквами и в то же время необходимости упоминания их в тексте статьи, в ней они будут заменены их сокращёнными названиями латинскими буквами в апострофах.

Именно:
V/c=бета – 'be', длина волны=лямбда – 'la' и углы: альфа – 'al', гамма – 'ga', дельта – 'de', фи – 'fi', пи – 'pi', пси – 'ps', тэта – 'tt'.

Угол падения луча в случае движущегося зеркала уже не будет равен углу отражения. Отражённый луч будет увлекаться зеркалом в направлении своего движения. В случае приближающегося зеркала, независимо от начальных значений его наклона и угла падения луча света, отражённый луч будет приближаться к вектору скорости зеркала по мере её возрастания. При удаляющемся зеркале отражённый луч также будет стремиться к направлению по вектору скорости зеркала по мере её роста, так что отражённый луч будет почти параллелен падающему. Также будет наблюдаться доплеровский сдвиг длины волны отражённого света, максимальный в том случае, когда отражённый луч направлен обратно в сторону источника света.

Конечно выяснение этих зависимостей заинтересовало учёных. В частности проблему решали в 1923г А.М.Титов, см. ссылку "Отражение (1923)", а в 1989г Б.М.Болотовский и С.Н.Столяров, см. ссылку "Отражение (1989)" – ну и наверное более или менее успешно многие другие. К сожалению, практически все ограничиваются рассмотрением случая движения зеркала перпендикулярно его поверхности. И это можно понять, поскольку даже и в этом случае сопутствующие математические выкладки оказываются весьма сложными.

Однако, если понимать суть процессов обуславливающих проявление феноменов СТО, что объясняется в http://proza.ru/2024/09/22/1093 и далее, а не формальное их описание в 4-х мерном пространстве, то процесс отражения может быть описан на доступном старшеклассникам уровне. Начну с объяснения, как именно угол отражения получается равным углу падения. Фронт волны по определению перпендикулярен её направлению, т.е. углы O'OA и ODE прямые. См. схему на рис.1.

Когда фронт OA падающей волны своим краем O достигает отражающей поверхности зеркала, то от этой точки начинает распространяться сферическая волна. Когда тот же фронт достигает зеркала краем A, то радиус этой волны становится равным OD и её фронт будет синфазным фронту волны, начинающей формироваться в точке E.

По мере того, как фронт OA падающей воны точка за точкой касался зеркала, все порождаемые сферические волны оказывались синфазными на линии DE, образуя тем самым фронт отражённой волны. На схеме фронт OA показан, когда он только подошёл к зеркалу, а фронт DE – спустя некое время t, когда фронт OA уже весь полностью отразился

Направление распространения OD отражённой волны перпендикулярно фронту DE, т.е. угол ODE прямой. Поскольку свет от O до D двигался то же самое время t, что и от A до E , то отрезки AE и DO равны. Прямоугольные треугольники ODE и OAE имеют общую гипотенузу и по равному катету, а значит они равны. Следовательно их углы AEO и DOE одинаковы, а значит и углы падения и отражения света одинаковы.

Схема движения световых фронтов и движущегося зеркала показана на рис.2. Все углы на схеме показаны при их положительных численных значениях, а направление их увеличения показано стрелками. Падающий свет отображён фиолетовыми стрелками, а его фронт штрихованной линией примерно такого же цвета. Отражённый луч показан красной стрелкой, а его фронт штрихованной красно-жёлтой линией. Когда фронт волны 1 (в кружочке) луча света падает на зеркало в точке O, начинает отражаться луч в направлении OD, а зеркало продолжает двигаться в направлении вектора скорости V (направо вдоль оси X – т.е. зеркало удаляется от источника света).

Когда другая точка того же фронта 1' падающей волны достигнет точки E зеркала с координатами x и y, фронт отражённой волны 2 займёт положение DE перпендикулярно лучу OD. Из-за того, что поверхность зеркала имеет наклон (на схеме против часовой стрелки) под углом 'al', расстояние (Ox) окажется короче, чем путь V·t пройденный зеркалом. Пока фронт падающей волны проходит расстояние AE, фронт отражённой волны проходит такое же расстояние (OD)=c·t (ибо оба движутся со скоростью света). См. схему на рис.2.

В силу принципов формирования фронта отражённой волны, которые обсуждались выше, треугольники OAE и ODE будут прямоугольными и равными. В таком случае треугольник OBE равносторонний. Из этого следует, что углы EBC и OBC одинаковы и равны 'de', т.к. BC перпендикуляр к основанию OE по построению. То есть и при движении зеркала "угол падения равен углу отражения", но не от поверхности зеркала, а от некоей динамической плоскости OE зависимой от скорости. Когда скорость зеркала равна нулю, эта плоскость совпадает с самим зеркалом.

Разделим все расстояния на схеме на c·t. Тогда отрезки (AE и OF)=1, а V·t='be'. Все соотношения схемы описываются формулами 1–4. А СОБСТВЕННО РЕЛЯТИВИЗМ ЗАКЛЮЧАЕТСЯ В ТОМ, что вдоль траектории движущееся зеркало сжимается по Лоренцу и значит его наклон уменьшается приближаясь к более перпендикулярному положению. Это и выражено формулой (1), где 'al'0 угол наклона зеркала в собственной системе отсчёта (или в неподвижности).

Из системы уравнений (2) получаем (3) и (4).
Угол 'tt' показывает отклонение от вертикали этой самой динамической плоскости и вычисляется по формуле (5). Формулы (6) следуют непосредственно из чертежа на рис.2, откуда и получаем формулу (7), определяющую угол отражения 'ps'.  См. формулы 5–7.

Для нулевого угла наклона зеркала результаты полностью совпадают с вычисляемыми в статье Болотовского и Столярова. Их формула приведена на рисунке правее формулы 7.

Графики углов отражения света 'ps' от угла падения 'fi' для приближающегося ('be'= -0,8) и удаляющегося ('be'=0,8) показаны для зеркала повёрнутого на положительные углы 'al', т.е. против хода часовой стрелки на схеме.
См. график на рис.3.
Для покоящегося зеркала 'tt'= -'al', и углы отражения 'ps'='fi'-2'al' (здесь не показаны на графиках).

При увеличении угла падения 'fi' отражённый и падающий лучи могут стать параллельными плоскости OE на схеме, а затем начать как бы проходить сквозь неё. Эта ситуация соответствует отражению от задней стороны зеркала, если бы оно было двухсторонним.

Для одностороннего зеркала максимум значения 'ps' ограничен условием -'pi'<'ps'+'fi'<+'pi'. Запредельные углы отражения отмечены фиолетовыми прямыми линиями "гр.отр.".

Кроме того, чтобы падающий луч попадал на зеркальную, а не обратную сторону зеркала, должно выполняться условие -'pi'/2<'fi'-'al'<+'pi'/2. Эти граничные условия, названные "гр.пад", на каждой кривой отмечены крестиком. Как видим, для удаляющегося зеркала первыми (по мере роста численных значений углов падения) наступают ограничения по углам отражения, а для приближающегося - по углам падения. Для покоящегося зеркала граничные условия по углам падения совпадают с граничными условиями по углам отражения, т.е с линиями "гр.отр.".

Зависимость угла отражения от скорости для некоторых наклонов зеркала приведена на графиках на рис.4.

Чтобы определить доплеровский сдвиг частоты отражённого света, рассмотрим схему на рис.5. На ней падающий луч изображён зелёной стрелкой, а его фронт зелёной штрихованной линией. Отражённый луч отображён красной стрелкой, а его фронт штрихованной красно-жёлтой линией.

Когда первый фронт падающей под углом 'fi' волны достигает зеркала в точке O, второй её фронт, отстоящий от первого на расстояние длины волны, находится пока ещё в точке A. В этот момент формируется первый фронт отражённой волны, движущийся под углом 'ps'.

Второй фронт падающей волны достигнет зеркало в точке C с координатами {x,y} через время t. Зеркало за это время сдвинется на расстояние V·t, но из-за наклона зеркала на угол 'al' расстояние (Ox) окажется несколько короче. В этот момент начнёт формироваться второй фронт отражённой волны, а её первый фронт будет уже в точке B.
Расстояние между этими фронтами и определяет длину отражённой волны.

Здесь также все расстояния поделим на c·t и тогда V·t='be'. Система уравнений (8) описывает все, очевидные из чертежа, взаимосвязи. См. формулы 8–12.

4-е уравнение в (8) отмечает тот факт, что пока 2-й фронт падающей волны перемещался из точки A в точку C, созданный в точке O фронт отражённой волны за это же время достиг точки B – причём двигались они с одной и той же скоростью света. tg 'al' связан с исходным углом наклона зеркала 'al'0 формулой (1). Символом 'la'1 обозначена длина волны падающего света, а символом 'la'2 – отражённого. Их отношение выражено формулой (12).

Для нулевого угла наклона зеркала результаты полностью совпадают с вычисляемыми в статье Болотовского и Столярова по формуле для частот. Приведена на рисунке под формулой (12).

Если в (3) и (4) знаменатель =0, то рассмотрим группу уравнений. См. формулы 13–15.

Из (13) имеем, что tg 'al' =tg 'fi'. Подставим это в (5). Умножим выражение на (Cos'fi'/Sin'fi')·tg'fi'=1 и получим (14). Тогда 'tt'= -'fi', и значит из (6) получим, что 'ps'=2'tt' +'fi'= -'fi'. Из чертежа следует, что в таком случае луч отражается точно в направлении источника. Кроме того, имеем cos('ps'+'fi')=1. Подставив это и tg 'al'=tg 'fi' в (12) получим (15). Формула даёт экстремальное значение сдвига частот, которое можно было бы наблюдать при заданном угле падения луча относительно вектора скорости зеркала.

Поскольку локатор принимает отражённый сигнал по тому же направлению, по которому посылался радиоимпульс, то формула (15) показывает отношение длин облучающей и отражённой радиоволн в зависимости от угла наблюдения, направления и скорости движения объекта. Но при радиолокации даже орбитальных спутников оно всего лишь в пределах от 0,99995 до 1,00005. Однако, при лазерно-доплеровском способе локации разностная частота составит мегагерцы, что позволяет очень точно измерить скорости.

Графики отношений длин волн для различных скоростей и углов наклона зеркала приведены на рис.6.

Нулевые значения логарифма означают, что длина волны света при отражении не изменяется.

Сплошные кривые пересекают нулевую линию при тех же углах 'fi', при которых соответственные кривые пересекают линии "гр.отр." на приведенных графиках "Углы отражения".

Поэтому участки кривых ниже этой линии и до соединения с соответственными пунктирными линиями относятся к отражениям от задней поверхности зеркала, если бы оно было двухсторонним. На графиках "Углы отражения" им соответствуют участки сплошных кривых от линий "гр.отр." до крестиков "гр.пад.".

Точки соединения сплошных и пунктирных линий соответствуют граничным условиям для луча попадать на лицевую зеркальную поверхность. На графиках "Углы отражения" они обозначены крестиками и названы "гр.пад.". За этими пределами кривые на графиках "Доплеровский сдвиг" не отображены.