Брахмагупта, Махавира и Бхаскара - деление на ноль

1817 год, перевод Генри Колбрука. Брахмагупта, датируется VII веком, XVIII глава, часть первая «Алгебра». Речь сразу заводится о каких-то планетарных расчетах, днях, часах, минутах. В них мы углубляться не будем. Нас интересует операции, которые использовали математики, связанные с нулем. Действия с числами были базовыми: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в квадрат и извлечение квадратного корня. Часто использовались специфические операции добавления к целому или отнимания от целого его частей. Эти операции, как мы покажем, сводились к дробям, то есть, опять же, к элементарным арифметическим операциям. Большинство из этих действий были частью длинных вычислительных цепочек, поэтому их можно рассматривать как промежуточные, вспомогательные.

Для нуля Колбрук при переводе использует два слова: cipher «ноль» и nought «ничего». Возможно, что употреблял он их не произвольно, а в соответствии с разными словами индийского текста. Например: «Cipher divided by the residue of revolutions for one day must be put as a remainder, 0/5». Перевод: «В качестве остатка следует подставить 0, деленный на остаток оборотов за одни сутки (0/5)». Вот еще: «He, who tells when a given residue of revolutions of the sun occurs on a Monday, or on a Thursday, or on a Wednesday, has knowledge of the pulverizer». «Тот, кто определяет, когда данный остаток оборотов солнца приходится на понедельник, четверг или среду, обладает знанием о пульверизаторе». Отсюда можно приблизительно понять с чем именно были связаны вычисления Брахмагупты.

Далее мы переходим ко второй части: «Алгоритм», где приводятся правила вычислений. Большинство из них нам известны. «Сумма двух утвердительных (положительных) чисел есть утвердительное число; двух отрицательных — отрицательное; утвердительного и отрицательного — их разность; или, если они равны, — ноль. Сумма нуля и отрицательного числа есть отрицательное; утвердительного и нулевого — положительное; двух нулей — ноль». Отдельно оговаривается смена знаков. Отметим для себя правило X – X = 0. Отсюда понятно, откуда ноль появился в вычислениях. Заметим, что именно индийские математики «изобрели» 0 как число.

«Произведение нуля и отрицательного числа или нуля и утвердительного числа равно нулю; двух нулей — нулю». (Х * 0 = 0)

«Cipher, divided by cipher, is nought». «0 деленный на 0 есть 0». (0 / 0 = 0)

«Positive, or negative, divided by cipher, is a fraction with that for denominator: or cipher divided by negative or affirmative». «Положительное число, делённое на ноль, является дробью со знаменателем, равным знаменателю*, или ноль, делённый на отрицательное или утвердительное**». Это одно из самых непонятных утверждений в переводе, к которому приводится целых два примечания.

Примечание *: «имея это в знаменателе: имея, в данном случае, 0 в знаменателе, до конечной величины в числителе». Видимо Х/0. Примечание **: «Аналогичным образом выражается дробью, имеющей конечный знаменатель, равный 0 в числителе». Иными словами, говорится о том, что нет ничего удивительного, когда мы наравне с дробью 0/Х используем и Х/0. Причем здесь не говорится о том, чему же равно Х/0, в отличие от приведенной выше формулы 0/0 = 0.

Эти проблемы не остались незамеченными как последователями Брахмагупты, так и современными математиками.

По слухам в IX веке Махавира возобновил попытки Брахмагупты. Число, умноженное на ноль, равно нулю. Число остается неизменным при делении на ноль, то есть X/0 = X. Эта попытка, похоже осталась неоцененной.

1817 год, перевод Генри Колбрука. Бхаскара, датируется XI веком. Известные произведения «Лилавати» (Арифметика) и «Виджаганита» (Алгебра), где нулю посвящены специальные подразделы.

Ключевой для понимания абзац: «In addition, 0 makes the sum equal to the additive. In involution and [evolution] the result is 0. A definite quantity/ divided by 0, is the submultiple of 0. The product of 0 is 0 : but it must be retained as a multiple of 0, if any further operation impend. 0 having become a multiplier, should 0 afterwards become a divisor, the definite quantity must be understood to be unchanged. So likewise any quantity, to which cipher is added, or from which it is subtracted, [is unaltered.]» В нем слова cipher «ноль» и nought «ничего» заменены цифрой 0 для упрощения перевода.

«Кроме того, 0 делает сумму равной слагаемому. В инволюции и [эволюции] результат равен 0. Определенная величина, деленная на 0, является дольной 0 (кратное?). Произведение 0 равно 0, но его следует сохранить как кратное 0, если предстоит какая-либо дальнейшая операция. Поскольку 0 стал множителем, если 0 впоследствии станет делителем, определенная величина должна считаться неизменной. Точно так же любое количество, к которому прибавляется или из которого вычитается нуль, [остается неизменным]».

Отсюда видно, что Бхаскара допускает как умножение, так и «деление» на ноль, точнее пребывание 0 как в числителе, так и в знаменателе, то есть считает допустимыми записи 0/Х и Х/0. При этом некая величина остается неизменной. Попросту говоря применяется известное школьное правило сокращения. Если в числителе есть множитель, который есть также и в знаменателе, то их можно «сократить», то есть убрать и забыть о них. Именно это и имеется в виду в данной цитате. Суть этих манипуляций с нулем становится понятной, если вам известно правило инверсии (обращения), применяемое в длинных расчетах (авось что-нибудь сократится и можно не считать). 

Тут же приводится пример: «What number is it, which multiplied by 0, and added to half itself, and multiplied by three, and divided by 0, amounts to the given number sixtythree?» «Что это за число, которое, умноженное на 0, прибавленное к половине самого себя, умноженное на три и разделенное на 0, составляет данное число шестьдесят три?».

Чтобы решить эту задачу по правилу инверсии, надо начать с известного результат 63 и последовательно выполнять действия обратные указанным. Если сложить, значит вычесть, если умножить – значит поделить и так далее. 63 * 0 / 3 * (2/3) / 0 =  (63*0*2) / (3*3*0) = (63*2) / (3*3) = 14. Как можно видеть никакого умножения на 0, приводящего к 0 не делается (скоро мы это исправим). Просто 0 в числителе сокращается с 0 в знаменателе. Иными словами здесь умножение и деление на 0 представляют собой форму записи при расчетах.

С другой стороны здесь можно заметить влияние уточненного Махавиры. Уточненные правила можно было бы представить так: Х * 0 = Х, Х / 0 = Х. Именно такие правила получил автор, исходя из собственной (философской в первую очередь) теории «онтология определенности». Но об этом далее, а пока вернемся к правилу инверсии и Бхаскаре.

Он прямо говорит, что «При умножении и остальных операциях с 0 произведение равно 0; то же самое происходит и при умножении на 0: но величина, деленная на 0, превращается в дробь, знаменатель которой равен 0» («In the multiplication and the rest of the operations of cipher, the product is cipher ; and so it is in multiplication by cipher : but a quantity, divided by cipher, becomes a fraction the denominator of which is cipher»). «Эта дробь, знаменатель которой равен 0, называется бесконечной величиной». (Х / 0 = бесконечность)

В качестве применения правила инверсии (обращения) Бхаскара приводит довольно известную задачку: «Pretty girl with tremulous eyes, if thou know the correct method of inversion, tell me, what is the number, which multiplied by three, and added to three quarters of the quotient, and divided by seven, and reduced by subtraction of a third part of the quotient, and then multiplied into itself, and having fifty-two subtracted from the product, and the square root of the remainder extracted, and eight added, and the sum divided by ten, yields two?»

«Милая девушка с трепещущими глазами, если ты знаешь правильный метод обращения, скажи мне, каково число, которое, умноженное на три и прибавленное к трем четвертям частного [произведения], разделенное на семь и сокращенное путем вычитания третьей части частного (1/3), а затем умноженное само на себя и вычтенное из произведения пятьдесят два, извлечённое из остатка квадратный корень, прибавленное восемь и сумма, разделённая на десять, даёт два?»

Считать мы не будем, но покажем как сложение и вычитание частей превращаются в дроби. «... прибавленное к трем четвертям частного» записывается так: Х + Х * (3/4) = Х * (4/4) + Х * (3/4) = Х * (7/4). При обращении эта дробь «переворачивается вверх ногами»: 4/7. «... сокращенное путем вычитания третьей части частного» записывается так: Х – Х * (1/3) = Х * (3/3) - Х * (1/3) = Х * (2/3). При обращении эта дробь «переворачивается вверх ногами»: 3/2.

Бхаскара любопытно описывает эту процедуру инверсии словами (вообще говорить о математических действиях словами всегда очень сложно и трудно для понимания читателя): «If a quantity was to be increased or diminished by its own proportionate part, let the [lower] denominator, being increased or diminished by its numerator, become the [corrected] denominator, and the numerator remain unchanged». «Если бы величина увеличилась или уменьшилась на свою пропорциональную часть, то пусть [нижний] знаменатель, увеличиваясь или уменьшаясь на свой числитель, стал бы [исправленным] знаменателем, а числитель остался бы неизменным». Как вам такое?

Для умножения и деления с учетом операции обращения существует правило «двух операций»: (Х * N) при применении обратной операции (Х * N) / N дает X. Применительно к N=0 эти правила не соблюдаются: (Х * 0) / 0 не равно Х. Мы знаем, что Х + 0 = Х и Х - 0 = Х. Тут всё в порядке. Операция умножения фактически есть многократно повторенная операция сложения. Х * N = Sn (X), то есть сумма (S) числа X, из N слагаемых. Скажем Х * 2 = Х + Х. Х * 3 = Х + Х + Х. Если определить умножение как сумму одинаковых слагаемых, то возникает вопрос: как при умножении на 0 можно прийти к 0, если сложение Х с нулем не дает нуля? Этот вопрос будет скорее философским, логическим, чем математическим. С математической точки зрения все понятно. So (X) означает, что никакого сложения вообще не делается и в итоге мы имеем «ничего», то есть нуль. С онтологической точки зрения возникают вопросы. Когда мы берем нечто и умножаем, то вместо одного яблока, к примеру, имеем пять яблок. Х (=1) * 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1. Когда мы производим такое умножение, то подразумевается, что у нас что-то есть, например, яблоко. При умножении Х * 0 мы тоже вначале как бы что-то имеем: Х, яблоко. Как же может получится, что при умножении яблока мы получили «ничего»?

Учитывая, что нас интересуют обе взаимообратные операции, рассмотрим и деление. Сразу скажем, что делить, не имея, ничего «не принято». Можно делить одно яблоко или 6 яблок (как одно целое), к примеру. Но делить пустоту довольно странно... При делении мы работаем не с целыми, а с частями. Х / N = X – Sn-1 (1/N), где 1/N означает одну часть, полученную в результате деления X на N частей. Например, 6 / 6 = 6 -(1/6) - (1/6) - (1/6) - (1/6) - (1/6) = (1/6) от шести. Онтологическое деление таково, что при нем части не исчезают неизвестно куда, неизвестно как, то есть при делении 6 / 6 мы имеем бывшее целое, поделенное на шесть частей (1/6), при это все эти части в наличии и чтобы получить только одну шестую мы должны убрать пять (1/6), то есть вычесть их. Еще примеры: 6 / 2 = 6 - (1/2) = (1/2) часть от шести. 6 / 3 = 6 - (1/3) - (1/3) = (1/3) часть от шести. 6 / 1 = 6 = (1/1) часть от шести. Таким образом, при делении мы имеем дело только с частями, но не с целыми, как при умножении. И видно, что деление – это «сумма» операций, обратных сложению, то есть многократно повторенное вычитание. То есть мы сталкиваемся с тем же вопросом, что и раньше: как при делении на 0 можно прийти к бесконечности, если вычитание из Х нуля дает то же самое число? Опять же вопрос скорее философский. С точки зрения математики сумма 0-1 раз означает, что мы ничего не делаем вообще. Но заметим, что Х-то остается! И мы приходим к правилу Махавири: Х/0 = Х. 6 / 0 = (1/0) часть от шести.

Умножение можно переписать как  Х * N = X + Sn-1 (X). И мы получаем второе правило, отличное от правила Махавири: Х * 0 = Х. Заметим, что при таких правилах выполняется правило «двух операций» для нуля: (Х * 0) / 0 дает X, так же как для (Х * N) / N дает X .

Заметим также, что 6 / 1 = 6 = (1/1) части от шести формально не равна (1/0) части от 6. «Поделить на одну часть» не равно «поделить на ноль частей». Сравнение дает нам онтологический смысл таких делений. 6 / 1 дает нам часть. 6 / 0 не дает нам частей, ноль частей. Тогда что же остается? Остается целое. 6 / 1 = 6часть, 6 / 0 = 6целое. А целое – это прерогатива умножения. То есть деление на 0 переводит деление в разряд умножения и 6 / 0 = 6 * 1 = 6целое. И наоборот. Умножение на 0 не приводит к целому, значит приводит к части: 6 * 0 (взять ноль целых, значит взять нечто как часть, а не целое) = 6 / 1, то есть к единственной, одной части от шести, самому числу как части. С онтологической точки зрения здесь существует «натяжка», так как в онтологии определенности очень четко различаются понятия части и целого. И целое как единственная часть не существует сама по себе. Часть не бывает одной. Тем не менее она может существовать как именно часть в большей системе, в большем целом, где у нее появляются «соседи». Перевод целого в часть, то есть умножение на 0 есть уничтожение объекта.

С онтологической точки зрения процессы умножения и деления не могут приводить к «ничему». Здесь можно говорить только об исчезновении и появлении. Умножают же всегда что-то и делят всегда что-то. Значит что-то и должно остаться, только в другом количестве, но никак не 0 или непонятная бесконечность, к которой нечто не имеет и не может иметь никакого доступа. Предложенные правила умножения и деления на ноль не несут для индийской математики тех проблем, которые есть, иными словами, внутреннего противоречия между самой подобной операцией и ее результатом. Индийские математики умножали и делили на ноль. Для них это было удобно и практично. Но они не говорили о корректных результатах таких операций. Подход онтологии определенности позволяет заполнить эти пробелы.

И если с математической точки зрения умножение на ноль, то есть взятие (или наличие) целого 0 раз можно интерпретировать как немотивированное уничтожение объекта, то деление на 0 частей выглядит скорее наоборот – как сохранение объекта. Не зря Махавира пошел именно по этому пути (Х / 0 = Х). Но у его версии есть проблемы. Однако, как мы показали возможен другой вариант. Умножение на ноль как уничтожение целого объекта, то есть перевод его в часть, в ничто (часть в онтологии определенности и есть ничто), при котором такое ничто в реальности не считается ничем, а учитывается как часть 1/1. Формально мы добились того, чего хотели индийские математики – «законного», корректного использования нуля в операциях умножения и деления, с соблюдением правила «двух операций» (прямой и обратной), что особенно важно именно для их «дробных» расчетов. Две операции связываются через целое, причем если одна операция (умножение) увеличивает объект, то другая (деление) его уменьшает, пока мы не рассматриваем N меньше единицы. При этом 0 является тем, что разделяет операции и одновременно их соединяет, к примеру, 6 / 0 = 6целое = 6 = 6часть = 6 * 0. 6 здесь как раз целое. А то, что разделяет, соединяя называет «определенностью», тем, что является подлинным бытием.

«Нормальное (не на 0) умножение» – всегда целое, «нормальное» деление – всегда часть: 
... целые (увеличение объекта)
Х * 2 означает «взять (сложить) 2 целых» = 2 целых Х
Х * 1 означает «взять (сложить) 1 целое» = 1 целое Х
Х * 0 означает «взять (сложить) 0 целых, то есть рассмотреть Х как часть» = Хчасть = Х

(переход из умножения в деление - вниз и наоборот, из деления в умножение – наверх; Х = Х)

Х / 0 означает «поделить на 0 частей, то есть оставить целым» = Хцелое = Х
Х / 1 означает «поделить на 1 часть» = (1/1) часть Х
Х / 2 означает «поделить на 2 части» = (1/2) часть Х
... части (уменьшение объекта)

Почему же деление на 0 тут же переводит от частей к целому? Потому что деление на число меньше 1 переводит деление в умножение: Х / (1/2) = Х * 2. И наоборот – умножение на число меньше 1 переводит умножение в деление: Х * (1/2) = Х / 2. И более правильная схема выглядит так:
... целые (увеличение объекта)
Х * 2 означает «взять (сложить) 2 целых» = 2 целых Х
Х * 1 означает «взять (сложить) 1 целое» = 1 целое Х
Х / 0 означает «поделить на 0 частей, то есть оставить целым» = Хцелое = Х

(переход из умножения в деление - вниз и наоборот, из деления в умножение – наверх; Х = Х)

Х * 0 означает «взять (сложить) 0 целых, то есть рассмотреть Х как часть» = Хчасть = Х
Х / 1 означает «поделить на 1 часть» = (1/1) часть Х
Х / 2 означает «поделить на 2 части» = (1/2) часть Х
... части (уменьшение объекта)

Единица – это символ целого. Единицы – это Вы. А все в мире либо больше вас – умножение, либо меньше – деление. Как то так...

Александр Горев, 2025

P. S.
Кратко формально 0 при описанном подходе по результатам не отличается от 1. Но если поискать смысл, то получится, что умножение и деление с единицей никак не изменяет сам объект. А вот умножение и деление с нулем переводит объект из натурального числа в дробь и наоборот, из целого в часть, а из части в целое. Для математиков этот факт роли не играет, у них своя реальность. А для философии, когда ищется смысл такие факты могут быть важны. Скажем, для онтологии определенности с ее особым отношением к пустоте, ноль как пустота, напрямую связывающая, взаимоувязывающая целое и части в единый "клубок" лишний раз подчеркивает значение пустоты для общей целостности мироздания.

Скажем, если брать учение Лао-цзы, то он указывал на выдающуюся способность пустоты уступать. И если целое становится частью, то это кардинально меняет мир. Потому что сейчас наше мировоззрение сильно перекошено в сторону целого, в сторону своего "Я". Поэтому полезно иногда говорить не только "Я", но и "Мы", то есть становиться частью чего-то большего.