Катастрофа замечательной точкиВо втором номере «Кванта» за 2012 год опубликована статья В.Протасова и В.Тихомирова «Пространство Lp и замечательные точки треугольника». В ней даны ответы на некоторые интересные вопросы, связанные с так называемой Lp-нормой. Естественно, в статье дается и определение этого понятия (ибо в учебниках для средней школы оно встречается, мягко говоря, не часто). Пусть дан некоторый треугольник АВС и любая точка М в плоскости этого треугольника. Тогда Lp-нормой расстояний от точки М до вершин треугольника называется величина (MA^p + MB^p + MC^p)^1/p. Авторы поставили задачу: для данного остроугольного треугольника АВС и произвольного p ; 1 найти точку М, для которой Lp-норма расстояний от точки М до вершин треугольника наименьшая. Они же дали ответ для трех наиболее интересных случаев, соответствующих р = 1, 2 и. Оказалось следующее. Как и полагается всякой хорошей статье, количество возникающих при ее прочтении вопросов заметно превосходит число полученных ответов, что стимулирует дальнейшие исследования в этой области. Поэтому при прочтении статьи моментально сами собой сформулировались два вопроса. Вопрос 1. Вопрос 2. А почему, собственно, должно быть p ; 1? Понятно, что всесторонне ответить на них неимоверно трудно. Но хотя бы слегка «пощупать» проблему, сделать нестрогие предварительные выводы и (куда денешься?) задать новые вопросы удалось. О том и пойдет речь. Итак, замечательная точка М с ростом р от 1 до перемещается от точки Торричелли через центр тяжести к центру описанной окружности. Нет сомнений, что при непрерывном возрастании значения р ее траекторией будет некая кривая. Какая это кривая? Первое, что приходит в голову, – отрезок прямой. И действительно, если треугольник равнобедренный, то этот отрезок лежит на высоте треугольника, являющейся осью его симметрии. Еще более прост ответ для правильного треугольника АВС: при любом p ; 1 наша замечательная точка есть центр треугольника – и ничего больше. Однако в общем случае (если треугольник АВС не равнобедренный) кривая никак не может быть отрезком прямой, поскольку для таких треугольников точка Торричелли, центр тяжести и центр описанной окружности не лежат на одной прямой. Убедиться в этом, в принципе, несложно, хотя возникают весьма громоздкие вычисления. Так как при расчетах использовалась прямоугольная система координат, то и вершины треугольника были заданы координатами, а именно: две вершины А и С лежат на оси Ох, причем абсциссы их имеют разные знаки (для А –отрицательный, для С – положительный), а вершина В лежит на положительной части оси ординат. В случае, когда xA = -3 , xC = -5, yB = -7. Траектория точки М довольно-таки коротка, поэтому дополнительно крупно выделена часть той же координатной плоскости – квадрат 0 ; x ; 1; 2 ; y ; 3. (самая правая точка линии – центр описанной окружности – как раз имеет абсциссу х = 1). Разумеется, вопрос «что это за кривая?» на данный момент оставлен без ответа. Не знаю! Кто сумеет узнать – поделитесь информацией. К сожалению (или к счастью – это как посмотреть), причастность великого числа ; к возникшей проблеме, видимо, ни при чем. Ларчик открывается несколько проще: при некотором «критическом» значении р одна из вершин треугольника также становится искомой замечательной точкой (и, скорее всего, как показывают наблюдения, это всегда вершина наибольшего угла треугольника). © Copyright: Сибирская Хиджра, 2019.
Другие статьи в литературном дневнике:
|
