Математические аспекты выборов и рейтингов

Каждый,  в повседневной жизни, сталкивался с «несправедливостью»  рейтингов,  хит-парадов, топ десяток и т. д.   Почему  же рейтинги,  составленные  на основе голосования  (т.е.  являющиеся  «общественным выбором»)  практически  никогда не называют «лучшего», в своей области. И что такое «лучший»  для большинства?  Может ли большинство сделать верный выбор, и что такое «верный выбор». И как  надо выбирать? 

Эти вопросы возникли  давно. Но уже в 18 веке стало ясно,  что проблема «общественного выбора» - будь то собственно выборы, распределение бюджета или определение стратегических задач, не имеет очевидного решения. Как увидим в дальнейшем, наиболее естественные и интуитивно справедливые процедуры голосования могут приводить к логическим парадоксам или быть манипулируемыми (зависеть от выборной системы).

ПАРАДОКС КОНДОРСЕ

В 1785 году М.-Ж.-А. Кондорсе опубликовал работу, посвященную теории принятия коллективных решений. Согласно Кондорсе для принятия наиболее справедливого решения необходимо, чтобы каждый из голосующих, высказал свои предпочтения для всех альтернатив, т.е. составил свой «рейтинг». Далее надо попарно сравнить все альтернативы (кандидатов), и та, что не проигрывает никакой другой, называется победителем.
ПРИМЕР:  Пусть было 60 голосующих  и три кандидата на некий пост – Ариновский, Вутин и Сюганов.  Избиратели  высказали следующие предпочтения:
23  человека:   А >С >В  (для них Ариновский лучше Сюганова, а Сюганов  лучше  Вутина)
19  человек:    В>С>А
16  человек:    С>В>А
2   человека:   С>А>В
При попарном сравнении получаем:
А>В  (товарищ  Ариновский  лучше товарища  Вутина) для 23+2=25 человек
В>А      для   19+16=35 человек
Таким образом, для большинства, Вутин лучше Ариновского.
Далее:
С>А    для  19+16+2=37 человек;
И наконец, что С лучше В считают 41 человек , (наоборот - 19)
Т.о,  на основе личных предпочтений избирателей создался «общественный рейтинг»
С>В>А . По Кондорсе победитель Сюганов. 
Заметим,  что простое большинство выбрало бы Ариновского  (23>19>16+2) -  который худший по Кондорсе (большинство, но уже другое  16+19=35, считает его самым плохим кандидатом).  При нашей  избирательной системе,  во второй тур голосования вышли бы Ариновский и Вутин, во втором туре победил бы Вутин  (В>А=35, А>В=25). Таким образом, все зависит от правил...

Если альтернатив больше двух, то бывают случаи,  что нельзя установить победителя по Кондорсе.  Рассмотрим модельный пример:
Для  25 человек А>В>С
Для  30 человек В>С>А
Для  45 человек С>А>В
А>В=25+45=70 (наоборот – 30) т.е   А>В
В>С   (55 чел)  и   С>А   (75чел). Таким образом, для любой альтернативы можно указать лучшую!  Здесь получается цикл (A>B>C>A) - нарушается транзитивность. Это и есть «парадокс Кондорсе».
 Ведущему собрание (или председателю избирательной комиссии)  для получения ЖЕЛАЕМОГО результата, надо «правильно» организовать сравнение альтернатив (кандидатов) – победителем всегда будет альтернатива, рассматриваемая в последнюю очередь. Если надо, чтобы победил В, действуем так: сравним А и С , С – лучше; теперь сравниваем С с В и получаем нужного победителя.  Если хочется, чтобы выиграл А, то сперва убеждаемся, что В лучше С, сравниваем его с А, и А побеждает.


РЕЙТИНГОВОЕ ГОЛОСОВАНИЕ

 Недостаток правила большинства, заключается в том, что никак не учитывается «степень предпочтения» для отдельных выборщиков. Ведь А>В если для кого-то  А занимает 1 место, а В – 15-е, и случай если А – 14-е, а В – 15-е  - это, согласитесь, «две большие разницы».....  Чтобы учесть значимость альтернативы, Ж.Ш.Борда предложил приписывать каждой кандидатуре некоторое количество баллов в зависимости от места в предпочтениях выборщиков. Например, за первое место – 5, за второе – 4   ....   за 5 –е  одно, остальным – ничего. Или так (неофициальный олимпийский зачет) за первые три места – по одному. Можно учитывать «достоинство медали» первое место – золото – 3 балла, серебро – 2, бронза – 1. И, наконец, наша система, когда проголосовать можно только за одного кандидата (первое место – одно очко, остальное не учитывается).
Самое забавное, что победитель зависит от выбранной системы подсчета очков, чтобы не загромождать текст, пример приводить не буду.  Более того, существуют ситуации,  для которых  победитель по Кондорсе не может стать победителем по очкам НИ ПРИ КАКОЙ системе подсчета  (теорема Фишберна).
Пример:
6  человек     А>В>С
3  человека    С>А>В
4  человека    В>А>С
4  человека    В>С>А
Легко можно убедиться, что А – победитель по Кондорсе (А>В для 9, А>С для 10). Пусть за первое место начисляется Х очков, за 2-е и 3-е Y и  Z соответственно, X>Y>Z. Сравним А и В по очкам):
N(A)=6X+ 7Y+4Z
N(B)=8X+6Y+3Z
N(B)-N(A)=2X-Y-Z=(X-Y)+(X-Z)>0
Следовательно N(B)>N(A) и альтернатива А не может быть победителем по сумме очков.


Итак, мы воочию убедились, что бывают случаи, когда победителем становится не лучший кандидат, и случаи, когда победителя установить невозможно. И порой, разные методы голосования приводят к разным результатам.
Со времени дебатов между Кондорсе и Борда было предпринято много попыток придумать разумную и функциональную систему принятия решений. Но все они имели различные недостатки. Переворот в понимании теории общественного выбора был сделан К.Эрроу в 1952 году. Выделив пять условий, которым должна удовлетворять избирательная система (аксиомы демократии) он  показал, что эти условия противоречивы – не могут выполняться одновременно (теорема невозможности). Как выяснил Эрроу, всем перечисленным условиям одновременно удовлетворяет  только диктаторский, но никак не демократический выбор. Иными словами, нужно выбрать какого-нибудь человека и осуществлять выбор в соответствии с предпочтениями этого эталона. Других рациональных, с точки зрения математики, правил  просто не существует.


P.S. Есть любопытная задачка:  во сколько этапов надо провести демократические выборы (без подтасовок и давления), чтобы победил кандидат, которого поддерживает 1% (один процент) избирателей. Решение -
http://wwintspace.net/eforum/topic.php?forum=17&topic=3

Иллюстрация: И.Босх Игра в наперстки


Рецензии
Константин, а почему бы не вспомнить график с так называемой "шляпой" - нормальное распределение Гаусса? Когда под шляпой оказываются более 90% всех изучаемых показателей.
Например, рост или успеваемость учеников в классе: в основном "середнячки", а "отклонений" маловато: как гениев, так и дураков. Всё подчиняется нормальному распределению.
Доверять выбор/рейтинг следует наиболее компетентным, а не среднему большинству, которое дружит с себе подобными и не способно разглядеть того, кто в чём-либо лучше их.

Ева Смородина   27.07.2014 04:05     Заявить о нарушении
Дельное замечание, Ева. Но кто будет выбирать компетентных?

Синферно   16.11.2014 20:49   Заявить о нарушении
А признанные уже люди. Вот сейчас смотрела по ТВ "Культура" серьёзную беседу о фантастике в цикле "Тем временем с Александром Архангельским", который вкупе с остальными создателями передачи выбрал и пригласил писателей,издателя, критика, переводчика. Ещё по ТВ постоянно всяческие диспуты (к сожалению, обычно о политике), туда тоже многих из нас не приглашают - как непризнанных. Ну, без так называемого человеческого фактора тут не обойтись, когда среди полезных участников приглашают скандалистов...

Ева Смородина   17.11.2014 22:57   Заявить о нарушении
На это произведение написаны 73 рецензии, здесь отображается последняя, остальные - в полном списке.