Рассуждения о бесконечности

 
                ТАКИМ ОБРАЗОМ Я ИЗОБРАЗИЛ СИМВОЛ БЕСКОНЕЧНОСТИ.

                ***

В статье «АКТУАЛЬНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ НЕ АКТУАЛЬНА» её автор Александр Котлин пытается показать необоснованность использования понятия БЕСКОНЕЧНОСТИ, как в реальности, так и в математических абстракциях.

«Со времён Аристотеля, - пишет автор, - различают два вида бесконечности: актуальную и потенциальную. Считается, что актуальная бесконечность якобы существует в настоящем времени, потенциальная бесконечность – в будущем, как (потенциальная) возможность наращивания какого-либо количества, величины, числа; возможность продолжения какого-либо процесса в будущем».    

Разделение бесконечных объектов, на актуально и потенциально существующие, не имеет под собой ни каких логических обоснований, поскольку, бесконечные объекты не могут зависеть от времени, в противном случае они просто перестали бы быть бесконечностями.
Ни актуальная, ни потенциальная бесконечность не предполагают своей завершённости ни в настоящий момент, ни в отдалённом будущем, и если БЕСКОНЕЧНОСТЬ существует, то она будет существовать всегда.

Реально существующая в данный момент, т.е. «актуальная» БЕСКОНЕЧНОСТЬ, с которой постоянно взаимодействует Познающий Субъект (ПС) и которую пытается осознать его любознательный рациональный разум, это беспредельная пространственная протяжённость нашей ВСЕЛЕННОЙ.

Рациональный человеческий разум всегда неудержимо стремился достичь воображаемого предела космической бездны, но рациональный разум нигде не находит ограничений необъятной ВСЕЛЕННОЙ и это вызывает у человека трепетный восторг, когда он, стоя на краю, перед разверзнутой тёмной бездной, с леденящим ужасом созерцает БЕСЧИСЛЕННЫЕ МНОЖЕСТВА ЗВЁЗДНЫХ МИРОВ.

Среди интеллектуальных математических абстракций, появившихся в процессе исследования пространственной протяжённости и количественной меры физической реальности, были созданы такие фундаментальные абстрактные понятия - объекты, как ТОЧКА, не имеющая меры и  ЧИСЛО, как количественная мера физической величины.

*** В реальном мире, на разных уровнях иерархической сложности, (микро-, макро-, мега- МИР), существуют материальные физические  ОБЪЕКТЫ, отличающиеся друг от друга своей пространственной протяжённостью. Объекты меньшей протяжённости входят в качестве составных элементов в объекты большей протяжённости как часть целого. Есть основания предполагать, что иерархическая пирамида взаимной вложенности объектов не имеет завершения и простирается как в сторону увеличения пространственной протяжённости объектов, так и в сторону их уменьшения. Таким образом, иерархическая структура реального МИРА, представляет собой БЕСКОНЕЧНУЮ пространственную протяжённость ДИСКРЕТНЫХ ОБЪЕКТОВ. Надо полагать, что протяжённость объектов и их взаимодействия на каждом иерархическом уровне специфичны и отличны друг от друга.

Совершенно иначе строится в сознании Познающего Субъекта ВИРТУАЛЬНЫЙ МИР ИДЕАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ, (безмерных точек, линей и поверхностей), представляющих собой КОНТИНУАЛЬНУЮ БЕСКОНЕЧНОСТЬ, КОТОРАЯ ВКЛЮЧАЕТ В СЕБЯ ДИСКРЕТНУЮ БЕСКОНЕЧНОСТЬ РЕАЛЬНОГО МИРА КАК СОСТАВНУЮ ЧАСТЬ.***   

 Признание Точки, как абстрактного математического объекта, не имеющего меры, с неизбежностью привело к образованию нового математического понятия - объекта - КОНТИНУАЛЬНОМУ ТОЧЕЧНОМУ МНОЖЕСТВУ, а понятие Числа с неизбежностью привело к открытию БЕСКОНЕЧНЫХ ЧИСЛОВЫХ МНОЖЕСТВ.

Однако исторически сложилось так, что сейчас мы имеем дело с двумя разновидностями бесконечностей.

Принято считать, что «потенциально бесконечное не подразумевает целостных бесконечных предметов и явлений», а представляет собой не прекращающийся процесс увеличения протяжённости или численности нескончаемой последовательности. То есть, потенциально бесконечное это не объект, а мыслимый процесс постижения беспредельного без какой – либо надежды на его завершение. В качестве примера такого рода бесконечности, как МЫСЛИМОГО ПРОЦЕССА, может служить пространственная протяжённость ВСЕЛЕННОЙ.

Альтернативой потенциальной бесконечности является понятие актуальной бесконечности, которая рассматривает бесконечные ОБЪЕКТЫ как данность, как реально существующие и мыслимые бесконечные математические МНОЖЕСТВА, которые являются фундаментальной основой всей современной математики. При этом множества могут быть замкнутыми и незамкнутыми, полными и пустыми, упорядоченными и неупорядоченными, счётными и несчётными, и в том числе, конечными и бесконечными. То есть, актуальная бесконечность это уже не процесс, а реальный или мыслимый объект внимания и исследования Познающего Субъекта (ПС). Но это объект, который в данный момент существует для ПС реально или виртуально, как не имеющий своего  завершения.

 Г. Кантор признавал, что наряду с «потенциальной бесконечностью» существует и должна исследоваться в математике также и «актуальная» бесконечность.

 Автор пишет: «Аристотель, как известно, категорически возражал против использования актуальной бесконечности в науке, однако современная математика, построенная на ошибочных доказательствах Кантора [1], по-прежнему настойчиво эксплуатирует это понятие. Даже, несмотря на отрицательное мнение по этому вопросу корифеев математики».

Автор слишком категорично пытается отрицать заслуги Георга Кантора, как математика. Однако нельзя отрицать, что Кантор был первым среди математиков конца 19 века, (главным образом в 1872—1884 гг.), кто систематически изложил основные разделы теории множеств, включая теорию точечных множеств.
Он не только ввёл основные понятия теории множеств, но и обогатил математику рассуждениями нового типа, которые применил для доказательства теорем теории множеств, в том числе впервые и к бесконечным множествам.

Давид Гильберт, признавая заслуги Кантора как основоположника теории множеств, патетически заявлял: «Никто не изгонит нас из рая, который основал Кантор».
В заслугу Кантору справедливо ставится его научная смелость, когда он стал рассматривать бесконечные множества как сущности, доступные человеческому  разуму.
 
В настоящее время, теорию множеств Кантора принято называть наивной теорией множеств, в отличие от той, которая была вновь построена в 1908 г., независимо друг от друга Бертраном Расселем и Эрнстом Цермело, которую принято называть аксиоматической теорией множеств.

Отрицая заслуги Кантора, автор негодует по поводу того, что «современная математика, построенная на ошибочных доказательствах Кантора, по-прежнему настойчиво эксплуатирует это понятие,  (((имея в виду «актуальную бесконечность))) . Даже, несмотря на отрицательное мнение по этому вопросу корифеев математики».

Действительно, в начале 1880-х годов, теоретико-множественный подход Георга Кантора  встретил острое неприятие со стороны многих крупных математиков того времени, но основными его оппонентами в то время были Герман Шварц и Леопольд Кронекер.
Но в тоже время были и другие не менее знаменитые математики такие как К Дедекинд и Д. Гильберт, которые признавали выдающееся значение теории множеств Кантора.
Однако, широкое признание учение Кантора получило только на первом  Международном конгрессе математиков в Цюрихе, в 1897году.

Возвращаясь к бесконечности, автор спрашивает читателя:
«Встречал ли кто-нибудь бесконечность в реальной жизни? - и сам отвечает, -  Разумеется, нет! Всё, что математика может предъявить в подтверждение её существования, это – лишь способность человека силой воображения строить умозаключения о будущем. Поскольку будущее не принадлежит настоящему, бесконечность всегда «существует» лишь потенциально, то есть в виде наших предположений о возможной реализации каких-либо процессов в будущем:

       •  например, мысленное (абстрактное) продолжение числовой прямой... в будущее;
       •  мысленное продолжение числового ряда (например, ряда натуральных чисел)».

Действительно, в суете реальной повседневности мы не встречаемся с бесконечными объектами. Однако, когда мы, не обременённые заботами о хлебе насущном, затаив дыхание, обращаем свой взор к небесам, вглядываясь в бездонные глубины звёздного космоса, мы с содроганием осознаём, что пространственная протяжённость МИРОЗДАНИЯ БЕСПРЕДЕЛЬНА!

И это не просто «умозаключения о будущем» это восприятие АКТУАЛЬНОЙ  реальности.
Не меньшее впечатление производит и осознание бесконечных континуальных точечных и числовых множеств. Поскольку математические точки не имеют размера, а действительные числа заполняют всю числовую ось, то их последовательности представляют собой КОНТИНУУМЫ, т.е. сплошные последовательности не имеющие разрывов.

Из непрерывности последовательностей следует, что как бы близко друг к другу не стояли две точки или два действительных числа, между ними всегда найдётся бесчисленное множество точек или действительных чисел.
То есть, нет на точечной последовательности двух рядом стоящих точек, а на числовой оси нет двух рядом стоящих действительных чисел. И это, безусловно, потрясает рациональное сознание!


Автор почему то считает, что «мысленное (абстрактное) продолжение числовой прямой» или «числового ряда» невозможно в настоящее время, а возможно только «... в будущее». Для ПС интервал НАСТОЯЩЕГО времени включает в себя всё то, что находится в поле его  произвольного внимания и продолжается до тех пор, пока ПС в состоянии его поддерживать, не переключаясь на другие объекты.   
Таким образом, «актуальная бесконечность» для ПС существует абсолютно АКТУАЛЬНО, т.е. в момент её осмысления. 

Автор пишет: «созданные силой мысли объекты является не более чем игрой воображения. В реальном же мире любая прямая, фактически, представляет собой дугу, а натуральный ряд чисел на самом деле оказывается всего лишь принципом получения очередного члена ряда, причём (что очень важно!) не в настоящем времени (где якобы обитает актуальная бесконечность), а в будущем».

Разумеется, что понятие точки, числа и множества являются изобретениями рационального разума и существуют в его сознании как виртуальные объекты. Но перенесённые на материальную основу в виде символов, они обретают статус осязаемых объектов и воспринимаются как объективная реальность. 

Тот факт, что «любая прямая, фактически, представляет собой дугу, а натуральный ряд чисел на самом деле оказывается всего лишь принципом получения очередного члена ряда» не имеет ничего общего с «актуальной бесконечностью». Бесконечная последовательность точек, а также бесконечная последовательность натуральных чисел вовсе не обязательно должны располагаться на прямой линии. А «получения очередного члена ряда», что не менее важно, мы получаем именно в НАСТОЯЩИЙ момент, т.е. там, где, по мнению автора, «обитает актуальная бесконечность»!    

 ***
После эмоциональных «общих рассуждений», автор предлагает читателям перейти «к строгому обоснованию принципиальной нереализуемости актуальной бесконечности в реальном мире».


Воспользовавшись предложением автора, последуем за ним, чтобы убедиться в «строгости» и убедительности его аргументации.
«АРГУМЕНТ 1

Прежде всего, - пишет автор, - актуальная бесконечность не может существовать по определению, так как в самом этом понятии заложено неразрешимое логическое противоречие. Термин «актуальная бесконечность» состоит из двух слов, первое из которых означает «реально существующая в текущий момент времени», что, в свою очередь, предполагает
обязательное (((?!))) завершение числового ряда к текущему моменту времени.

Однако первая часть термина вступает в противоречие со второй его частью, поскольку слово «бесконечность» однозначно свидетельствует о принципиальной незавершённости числового ряда или процесса (об отсутствии конца)».


Согласно рассуждениям автора, «актуальную бесконечность» числового ряда нельзя считать бесконечной на «текущий момент времени», поскольку, по мнению автора, то, что существует в настоящий момент «предполагает обязательное завершение». Следовательно, в соответствие с аргументом (1), числовой ряд «на текущий момент времени» не является бесконечным.

Но это противоречит общепризнанному факту!
Однако автор продолжает отстаивать своё мнение. Он считает, что «если бы бесконечный ряд или процесс существовал реально, то он был бы полностью завершён, то есть приобрёл бы конец и перестал быть БЕСконечностью».

Проблема состоит в том, что автор, почему то предположил, что должно быть «обязательное завершение числового ряда к текущему моменту времени», чем собственно и создал для себя неразрешимое искусственное противоречие.

Автор, по всей видимости, предполагает, что «актуальная бесконечность» числового ряда должна быть представлена в записи всего бесконечного числового ряда, что конечно не может быть реализовано. Однако, это вовсе не исключает существования на данный момент самого бесконечного числового ряда, как абстрактного математического объекта. 

В принципе, это даже не предмет для доказательств и «строгих обоснований», а предмет договорённости и соглашения, когда «актуальной бесконечностью» мы согласны считать существующую на данный момент незавершаемую числовую последовательность натурального ряда чисел.


Таким образом, термин  «актуальная бесконечность», по отношению к числовому ряду, вполне  правомерен и ничему не противоречит. Бесконечный числовой ряд существует на «текущий момент времени», но как не завершённый, т.е. как «актуальная бесконечность». 

Однако, автору видимо не хватило «строгих обоснований принципиальной нереализуемости актуальной бесконечности в реальном мире» и он снова решил вернуться к эмоциональной выразительности.

Он пишет: «нельзя достичь того, чего нет. Поэтому нельзя достичь конца у бесконечности, и, следовательно, бесконечный ряд всегда останется незавершённым, а актуальная бесконечность – беспочвенной фантазией».

Казалось бы логичней было сделать другой вывод - «бесконечный ряд всегда останется незавершённым» в виде «актуальной бесконечности» и на этом месте поставить точку. Но, как видно, автор с этим выводом не согласен...
 
 «АРГУМЕНТ 2

Пусть актуальная бесконечность представляет собой полностью завершённый числовой ряд. Очевидно, что завершить числовой ряд можно двумя способами:

       1) последовательно, то есть шаг за шагом;
       2) параллельно, или одномоментно – за один шаг».

Сама формулировка аргумента явно не корректна и не соответствует заявленной «строгости» обоснований. Нельзя даже предполагать завершение не завершаемого за какое то конечное число шагов. 

Бесконечный числовой ряд не может быть «полностью завершённым» поскольку у него просто нет КОНЦА и бессмысленно искать «доказательства» невозможности завершения заведомо НЕ ЗАВЕРШАЕМОГО.
Но автор продолжает искать новые доказательства...

«АРГУМЕНТ 3

Рассмотрим бесконечное множество, введённое в математику Кантором. Кантор наделил такое множество следующим свойством: «Любая часть (подмножество) бесконечного множества равна (равномощна) всему множеству». Данное свойство будет иметь место только при одном условии – если Канторово множество является актуально бесконечным множеством».

Но Канторово множество как раз и есть «актуальное бесконечное множество»!

Однако автор считает, что Канторово множество принадлежит к «классу потенциально бесконечных объектов», и это, по мнению автора, является достаточным основанием чтобы «заключить, что все выводы Кантора, построенные на этой явной исходной ошибке, также являются ошибочными».

«Следствие 3.1. Вывод теории бесконечных множеств Кантора о том, что часть может быть равна целому, ошибочен, а аксиома Евклида (часть меньше целого) справедлива. В частности, неправомерно утверждение о том, что количество точек в линии совпадает с количеством точек в плоскости или в объёме».

Во – первых, нельзя сравнивать бесконечные множества с конечными геометрическими фигурами и телами. Во – вторых, сравнение мощности бесконечного континуального множества с мощностью его подмножества - это уже не предмет соглашения, а предмет доказательства.


Показательным примером в этом отношении может служить история чешского математика Б.Больцано, который не смог принять исключительных особенностей бесконечных множеств.
Б.Больцано, ещё до создания теории множеств Кантором, ввёл понятие взаимно однозначного соответствия как способа сравнения мощностей множеств.

 Когда каждому элементу множества А поставлен в соответствие в силу какого бы то ни было правила или закона некоторый определённый элемент множества В; если при этом каждый элемент множества оказывается поставленным в соответствие одному и только одному элементу множества А, то это означает, что между множествами А и В установлено взаимно однозначное  соответствие.

Больцано предположил, что если каждому натуральному числу n поставить в соответствие натуральное число 2n, то получим взаимно однозначное  соответствие между множеством всех натуральных и множеством всех чётных чисел. Таким образом, несмотря на то, что бесконечное множество натуральных чисел N, включает в себя подмножество чётных чисел, как правильную часть, но при этом мощность подмножества равна мощности всего множества N!

Больцано смутило то, что в бесконечных множествах, введённый им принцип взаимно однозначного соответствия, приводил к выводу о том, что часть целого не меньше всего целого. Но вместо того чтобы, в применении к бесконечным множествам, отказаться от аксиомы: ЧАСТЬ МЕНЬШЕ ЦЕЛОГО, Больцано отказался от взаимной однозначности, как критерия равномощности и, таким образом, остался вне основной линии развития теории множеств.

***

«Следствие 3.2. Рекурсии, фракталы и голограммы также как и Канторово множество, - считает автор, - основаны на понятии потенциальной бесконечности, поэтому для них любая часть всегда будет меньше целого. Наделение этих объектов свойствами актуальной бесконечности ошибочно».

Дело в том, что фигуры с рекурсивным подобием, представляющие собой фракталы, а также участки голограмм, это двух мерные или трёх мерные геометрические фигуры и тела, которые являются реальными материальными объектами и поэтому бесконечными быть не могут, а следовательно к   бесконечным Канторовским множествам ни какого отношения не имеют.

Исчерпав все рациональные аргументы, «строгого обоснования» «принципиальной нереализуемости актуальной бесконечности в реальном мире», автор вновь возвращается к иррациональной «аргументации».

Он считает, что «ЕСЛИ БЫ АКТУАЛЬНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ СУЩЕСТВОВАЛА», то «наступил бы «конец света», причём именно в прямом смысле, поскольку при наличии актуальной бесконечности ни один квант света не смог бы даже начать своё движение», а «во Вселенной прекратилось бы всякое вращение: от мельчайших частиц до скоплений Галактик, а вместе с этим исчезло бы и понятие времени».

Невозможность начать «движение» автор объясняет следующим образом: «для того, чтобы совершить хотя бы один оборот, надо вначале совершить 1/2 оборота. Но для этого надо первоначально совершить хотя бы 1/4-ю часть оборота. Значит, чтобы начать вращение, потребуется ещё раньше совершить оборот на 1/8-ю, 1/16-ю, 1/32-ю его часть и так далее до бесконечности. Ну, а поскольку выполнить всё это бесконечное число шагов возможно только за бесконечно большой промежуток времени, то никакое движение в актуально бесконечной Вселенной никогда не начнётся».

Автор слишком упрощённо представляет себе «кванты света», «мельчайшие частицы» и «скопления Галактик», выдавая их не за ОБЪЕКТЫ действия естественных физических законов, а за СУБЪЕКТЫ, которые способны оценивать сложившуюся ситуацию, прежде чем начать активные действия. Получается, что СУБЪЕКТЫ, оценив обстановку и осознав, что для начала движения им предстоит сделать «бесконечное число шагов» за «бесконечно большой промежуток времени» (((?))) они отказываются начинать свои телодвижения и, таким образом, провоцируют апокалипсический «КОНЕЦ СВЕТА».

Автор почему то считает, что причина движения определяется не физическими законами взаимодействий объектов, а каким то странным образом зависит от расстояния, которое им только предстоит пройти. Автор явно переоценил роль «актуальной бесконечности», и окончательно запутавшись, поменял местами ПРИЧИНУ   движения, (физические взаимодействия), и его СЛЕДСТВИЕ – перемещение в пространстве.

Автор пытается обосновать невозможность движения, воспользовавшись дихотомическим приёмом, используемым в апориях Зенона.
 Однако, «Дихотомия», может быть разрешена представлением о пределе сходящейся последовательности. Поскольку интервалы времени стремительно уменьшаются, то несмотря на то, что число их бесконечно большое, они уже ничего не могут добавить к сумме.
 
Немецкий математик Герман Вейль  считает, что если бы вычислительная машина была  сконструирована таким образом, чтобы могла выполнять первую операцию (1/2) - за 0,5 мин, вторую (1/4) — за 0,25 мин, третью (1/8)  — за 0,125 мин и так далее, то за минуту она могла бы пересчитать весь натуральный ряд!

Необходимо признать, что КОНТИНУАЛЬНАЯ «Актуальная бесконечность», представляет собой интеллектуальную математическую абстракцию, которая к РЕАЛЬНЫМ, ДИСКРЕТНЫМ ВЕЩЕСТВЕННЫМ ОБЪЕКТАМ никакого отношения не имеет. Фундаментальной основой вещественных объектов нашей  ВСЕЛЕННОЙ являются ДИСКРЕТНЫЕ частицы: лептоны, кварки и носители взаимодействий (глюоны, фотоны, промежуточные бозоны и гравитоны), которые подвержены действию дискретных квантовых закономерностей.
 
 Однако, Актуальная бесконечность протяжённости пространства Вселенной является АКТУАЛЬНОЙ РЕАЛЬНОСТЬЮ.

В заключении автор делает слишком далеко идущие выводы, потрясающие все основы нашего МИРОЗДАНИЯ: «ВЫВОДЫ

1. Мысль об актуальной бесконечности абсурдна! Она не только порождает множество неразрешимых парадоксов, но и отрицает саму возможность существования мира, в котором мы сейчас обсуждаем допустимость использования данного понятия.

2. Поскольку понятие «бесконечности» является краеугольным камнем в основании всего здания математики, требуется ревизия основ этой науки».


Однако, успокоим наших читателей – ПОСПЕШНО НАЗНАЧЕННЫЙ АВТОРОМ «КОНЕЦ СВЕТА», ОТМЕНЯЕТСЯ! ПРОБЛЕМА СОХРАНЕНИЯ ЖИЗНИ НА ЗЕМЛЕ ВНОВЬ СТАНОВИТСЯ АКТУАЛЬНОЙ. 


Рецензии
Интересная статья. Тема актуальная и бесконечная,как сама бесконечность. У меня есть некое произведение "Небо", когда я будучи подростком утопала в этой бесконечности и судорожно искала за чтобы ухватиться. И знаете, ум подкидывал варианты.
Я достаточно далека от математики, что не даёт мне в полной мере насладится вашей статьёй, но и в то же самое время даёт мне возможность иметь свою личную бесконечность. По моему, в этом понятии всегда фигурирует точка, отрезок, расстояние и время. Думаю, что человек состоит из тех элементов, которые имеет вселенная. Он может постичь только то из чего состоит и что его окружает. Это его бесконечность, которая, конечна так как конечна материя и её проявления. Человек является производным вселенной, как галактики, звёзды и другие объекты вселенной. Раз он является её производным и способен её постигать, то в случае выживания он постигнет её рано или поздно. Но он не сможет постичь то, производным чего он не является. далее мои рассуждение о бесконечности следовали по этой логической цепочке...
Спасибо за прочтение если вы дочитали)

Наталья Умкина   23.09.2014 10:37     Заявить о нарушении
Ваши рассуждения о бесконечности неба очень лиричны и поэтичны...

Любомир Павлов   23.09.2014 15:24   Заявить о нарушении
На это произведение написаны 2 рецензии, здесь отображается последняя, остальные - в полном списке.