Аэробика Купера и физика бега

Аэробику американского врача Купера – систему аэробных тренировок для укрепления сердца и сосудистой системы – знают если не все, то очень и очень многие. Его книжка «Новая Аэробика» после перевода на русский была необычайно популярной в СССР в семидесятых-восьмидесятых годах. В 1989 году вышло новое, переписанное автором издание «Аэробика для хорошего самочувствия».

Особенностью Аэробики является введённая Купером система очков, в которых оценивается тренировочная нагрузка. Очки эти - некая энергетическая оценка проведенной тренировки: учёт потраченной энергии и потреблённого кислорода в условных единицах. Таблицы очков составлены Купером для различных, но именно аэробных видов спорта, связанных с повышенным потреблением кислорода, с тренировкой именно выносливости, а не силы и быстроты.

Основной целью аэробных тренировок является укрепление главной мышцы человека – сердца, а также сосудистой системы, ответственной за транспортировку крови. Рост их тренированности сопровождается увеличением максимального потребления кислорода (МПК), приходящегося на килограмм массы тела.

Доктор Купер, рассчитывая эффективность занятий в очках, основывался именно на МПК. Он проводил измерение МПК, собирая весь воздух, выдыхаемый человеком во время физической нагрузки,  и исследуя его в газоанализаторе. Разность содержания кислорода в обычном воздухе и в выдыхаемом давала величину кислорода, потреблённого лёгкими за определённое время. По количеству усвоенного кислорода Купер делал вывод о сжигаемых организмом калориях, то есть о затраченной им энергии.

Ясно, что система очков доктора Купера – система эмпирическая, составлявшаяся, конечно, с учётом измерения потребления кислорода, но в достаточной степени приблизительно.
Во-первых, организм потребляет кислород всегда, и в полном покое тоже, не производя никакой работы.
Во-вторых, тесты с измерением МПК Купер проводил на тредбане (беговой дорожке). Всякий, кто хоть немного занимался бегом, знает, что реальный бег и бег на тредбане существенно отличаются по энергетике, ведь на тредбане тело бегуна не перемещается в пространстве! Под ним просто течёт бесконечная лента, и ему нужно только переставлять ноги. При одном и том же пройденном расстоянии и скорости, реальный бег гораздо энергозатратнее.

*     *     *
Аэробикой по системе Купера я занимался не один год (бег, велосипед, лыжи), и на себе почувствовал благотворность этих тренировок. Это действительно оздоровило, изменило меня в лучшую сторону.
При этом меня всегда интересовала физика бега, загадка его энергетики.

Вот бежит человек по горизонтальной поверхности, с постоянной скоростью. Какую работу он при этом совершает? Какую затрачивает энергию?
Для определения её по известной формуле:
 
                А = FS,

где S – расстояние, а F – сила сопротивления, которую преодолевает бегун, не хватает как раз знания этой самой силы сопротивления.
В неё включается, конечно, преодоление встречного воздушного потока, но это пустяки...
Ноги двигаются в тазобедренных, коленных и голеностопных суставах, отталкиваясь от земли, мышцы торса и спины поддерживают корпус в вертикальном положении, руки раскачиваются, создавая противовес - работает всё тело. И работа, судя по пролитому на трассе поту, совершается не малая! Как же её измерить, как определить?
 
Вообще говоря, нет ничего проще, если в вашем распоряжении имеется качественный велоэргометр, современный вариант которого – это настоящий медицинский компьютер с датчиками для тела. Он выдаёт на экран всю мыслимую информацию: время, частоту пульса, проделанную работу, мощность, сожжённые калории.
На нём следует провести измерения собственной максимальной мощности W, т. е. предельной мощности, которую может развить и, главное, длительное время поддерживать ваш организм.
 
Однако для определения не кратковременной, а именно «аэробной мощности» педали придётся крутить без остановки, в предельном для вас темпе не менее 12 минут, или совершить непрерывную работу примерно в 100 - 150 тысяч джоулей.
Средняя мощность при этом и есть ваша личная аэробная мощность W. Подобный тест, однако, связан с большой нагрузкой на сердце, и возможен только для тренированных людей.

Найдя развиваемую вами предельную мощность и считая, что такую же вы развиваете при длительном беге (если, конечно, нагружаете себя как следует!), можно найти и такую интересную величину, как сила сопротивления F, которую вы преодолеваете:
               
                F = W/v,                (1)

где v – скорость бега.
Сила эта не есть величина постоянная и должна зависеть от скорости бегуна:
               
                F = kv,                (2)

где k – коэффициент. Тогда мощность, развиваемая человеком при беге, получается связанной со скоростью нелинейно:

                W = kv^2.                (3)


*     *     *

...Формула (2), однако, как и утверждение, что сила сопротивления непременно должна зависеть от скорости, чисто эмпирические и вызывают сомнения.

Зависимость силы сопротивления F от скорости v в первой степени (2) характерна для движения тела в жидкости при небольших скоростях, когда его обтекает ламинарный поток (закон Стокса). При больших скоростях, когда возникают турбулентные завихрения, сила сопротивления пропорциональна уже квадрату скорости. Такое имеет место для парашютиста в затяжном прыжке, скорость падения которого примерно 190 км/час (52 м/с).

Бег же - особый вид движения, который определяется не столько перемещением тела в воздушной среде, сколько его взаимодействием с землёй. И сила сопротивления, против которой бегун совершает работу, практически не связана с сопротивлением воздушного потока (за исключением случая встречного ветра).

Сила F, которую бегун преодолевает, перемещая своё тело в пространстве, связана скорее с движением ног, рук, туловища, и с взаимодействием подошв кроссовок с поверхностью дороги.
В беге выброшенная вперёд нога, пружиня и принимая на себя вес тела, одновременно и тормозит, стабилизирует вашу скорость, не давая ей нарастать при каждом новом толчке, и ничего с этим поделать, увы, нельзя...
 
Та же самая мускульная работа, но с использованием для перемещения не ног, а колёс (велосипед), даст гораздо большую скорость. Таким образом, сила сопротивления движению велосипеда будет меньше.

Зависит ли сила сопротивления F от скорости бега? Вопрос не простой. Если вы пройдёте, допустим, 2 км прогулочным шагом, любуясь окрестностями, то работа А, проделанная вами, будет такова, что вы её можете даже не заметить. Если же пробежите эти 2 км, то вам придётся напрягать всё тело и вы обольётесь потом. Казалось бы, работа, совершённая во втором случае,  должна быть больше. Значит, и сила сопротивления при переходе с шага на бег вроде бы должна возрастать.

Но так ли это? С точки зрения физики мы в обоих случаях проделали одно и то же: переместили своё тело в пространстве на одинаковое расстояние, 2 км. Значит, и проделанная нами работа в обоих случаях должна быть одна и та же.

А то, что мы по-разному воспринимаем эту работу, определяется величиной проделанной нами работы в единицу времени (т. е. развиваемой мощностью), которая и определяет степень усталости наших мышц. Ведь мышцам нужно время для восстановления!

Автору представляется, что сила сопротивления при «передвижении человека с помощью ног» остаётся практически постоянной, или зависящей от скорости очень слабо.   
Пусть сила сопротивления, которую преодолевает бегун, зависит от скорости в общем случае по закону:

                F = kv^x,                (4)

где х – неизвестный показатель степени, который может быть равен или близок к нулю; k – коэффициент.
Тогда мощность, развиваемая бегуном, определится так:

                W = Fv = kv^(x+1).                (5)

Если провести измерения мощности W и развиваемой скорости v для бегунов разной степени подготовки, то можно найти показатель степени х и коэффициент k, и определить, таким образом, закон бега (4)-(5). Хотя коэффициент k может носить индивидуальный характер и зависеть, например, от массы тела.

*     *     *

Вернёмся к системе очков доктора Купера. Его таблицы очков,  составленные для разных видов спорта, позволят вам поддерживать физическую форму на хорошем уровне, если вы будете, по утверждению Купера, набирать по 30 очков каждую неделю. Что собой представляют эти очки?
 
Понятно, что очков вы заработаете тем больше, чем большее расстояние S вы пробежите (или пройдёте). Кроме того, очков будет тем больше, чем с большей скоростью вы пройдёте это расстояние. По сути, очки Купера определяются как величиной проделанной вами работы, так и развиваемой при этом мощностью! Таким образом, считать их можно было бы не эмпирически, а по объективной формуле:

                P = AW = A^2/t = W^2*t,

и измерять в Дж*Вт = Вт^2*с.

Автор, "перешерстив" все таблицы аэробных очков из книжки Купера, построил множество графиков зависимости Р от пройденного расстояния S и средней скорости бегуна V, и получил оптимальную формулу для подсчёта очков:

                P = 0,348*(SV) – 1,954;
                ========================   
где S – расстояние в км, а V – скорость бега в км/час.

Таким образом, пробежав на тренировке 3 км за 20 минут, вы заработаете:

                Р = 0,348*3*9 – 1,954 = 7,44 очков.

Для поддержания хорошей физической формы (30 очков) следует делать четыре такие пробежки в неделю.
Если же вы пробежите те же 3 км, но за 15 минут, то заработаете поболее:
               
                Р = 0,348*3*12 - 1,954 = 10,57.

Таких, быстрых, пробежек будет достаточно трёх в неделю.

Аналогичная формула для велосипеда:
 
                P = 0,0389*(SV) – 1,456.
                =======================

 
*      *     *

 Таким образом, механическая работа, совершаемая спортсменом в аэробных, циклических видах спорта, может быть подсчитана вполне объективно, если измерена ваша индивидуальная аэробная мощность, которую вы сможете поддерживать во время тренировки в течении 15 – 30 минут.
Но многим ли доступен для измерения современный точный велоэргометр? Уверен, что почти никому... Очень уж дорогой прибор, стоит обычно в медицинских центрах, используется для исследования ЭКГ больных, страдающих ишемией, под нагрузкой.

Однако нам, друзья, всегда доступен такой «прибор», как стул или табурет! Тест «ступенька» известен давно: он позволяет подсчитать собственную мощность безо всякого компьютера, и по точности измерения работы ему не уступит. В самом деле, взойдя на табурет и подняв своё тело на высоту h, вы совершите работу:
 
                A = mgh,                (6)

где h – высота табурета в метрах; m – масса тела в кг; g = 9,8 м/с^2 – ускорение свободного падения. Средняя мощность определится так:

                W = mghN/t,                (7)   

где N – число подъёмов, t – полное время.

Учтём, что мощность есть произведение силы на скорость:
 
                W = Fv = mg*Nh/t,

где: F = mg – есть сила тяжести, действующая на ваше тело, а v = Nh/t  - ваша скорость движения по вертикали вверх, как если бы вы поднимались по лестнице.

[Интересно, что величина N/t есть частота процесса, v (греческое "ню"), и вертикальная скорость выражается как hv, напоминая что-то из квантовой физики:-] 

Отсюда получаем такую закономерность:
Сила сопротивления F, которую вы преодолеваете при беге, так относится к силе тяжести mg, как ваша скорость перемещения по вертикали Nh/t в тесте «ступенька» относится к вашей скорости при беге v.

*     *     *

 Ну, что же, друзья, оденьтесь полегче, откройте окно и впустите свежий воздух (он вам понадобится!), поставьте перед собой табурет, включайте секундомер – и вперёд! Только не забудьте перед выполнением теста хорошенько размяться.
 
Сделайте в доступном для вас высоком темпе 200 – 300 подъёмов на табурет (полностью выпрямляя корпус!) и засеките время. Потом подсчитаете свою максимальную мощность по формуле (7).
 
Но, повторяю, этот длительный тест доступен только для достаточно опытных и тренированных. Придётся поработать! Где-то тысяч на 100 джоулей...

*     *     *

Проделывал ли сам автор такие измерения? Чем поучать-то, взял бы лучше, да поделился результатами.

Проделывал, и поделюсь.
Два раза с интервалом в год проводил тест «ступенька». Мощность моя на второй год увеличилась, хотя и незначительно: со 130 до 144 Вт. Причём, в первый раз хватило выносливости только на 200 подъёмов на высоту 45 см, а во второй уже на 300.
 
Не бог весть что, конечно, если сравнить её с лошадиной силой: мощностью «усреднённой» лошади, принятой в физике, 735,5 Вт. Спортсмены, говорят, развивают мощность и в половину лошадиной силы, а то и более, но кратковременно.
Допустим, прыгун с шестом весит 70 кг и взлетает на высоту 6 м. Вместе с разбегом он затратит на это дело не более 10-12 с. Развиваемая им кратковременная мощность при этом порядка 350-400 Вт**. То же можно сказать о беге на стометровке, которую рекордсмены преодолевают где-то за 10 с.

Сила сопротивления, которую преодолевает тело бегуна при аэробном беге, по моим измерениям оказалась равной примерно 50 Н (порядка 5 кг).
 
Из измерений скорости бега и развиваемой мощности, эмпирически найденная зависимость силы сопротивления от скорости оказалась весьма слабой: показатель степени у скорости в формуле (4) х = 0,1-0,09.
Это означает, что развиваемая мощность при беге оказывается практически пропорциональной скорости бега.

*     *     *

Тут ещё нужно учесть разницу в подходе к энергетике бега (и вообще спорта) у доктора Купера и у меня.
Купера, как медика, интересует количество сжигаемых организмом калорий, энергорасход организма.

Допустим, калориметрические измерения, проводимые с телом человека, дают, что даже в самом спокойном и комфортном состоянии, лёжа, только для поддержания жизненных процессов в теле массой 70 кг постоянно работает химическая «печь» мощностью примерно 80 Вт (~1700 ккал/сутки).
 
Спортивно-физкультурные нагрузки у Купера оцениваются тоже по сжигаемым в организме калориям, что оценивается по количеству потребляемого легкими кислорода, идущего на химические реакции окисления.
Допустим, в таблице у Купера бег со скоростью 9 км/час (6 мин 40 с на один км, неспешный бег) сопровождается сжиганием в организме 650 ккал/час. Развиваемая организмом внутренняя тепловая мощность при таком беге получается равной 755 Вт, т. е. превышает лошадиную силу!
    
У меня же вычисляется внешняя механическая работа, выполняемая телом, и мощность, развиваемая им, как биомашиной.
 
Таким образом, внешняя механическая мощность, развиваемая движущимся телом при аэробном беге, по моим измерениям не более 140 - 150 Вт, т. е. не превышает 20% от полной развиваемой организмом тепловой мощности.
Это и есть механический КПД человека, как биомашины, что по порядку величины вполне соответствует любой тепловой машине вообще.
========================================================
**Пишут, что всё более набирает популярность новый вид спорта - бег по вертикали. Такие соревнования проводят на лестницах небоскрёбов, в том числе и в России (Екатеринбург). Рекорд: подъём на 91-й этаж = 2046 ступеней за 10 минут 29 секунд. Развиваемая спортсменом мощность тут примерно 350 - 380 Вт. И это не кратковременная, а длительная, аэробная мощность! Поразительно.