Парадокс Эренфеста

Ввиду невозможности употребления в тексте греческих букв, я вынужден заменять их названиями на латинице в апострофах. Именно: 'pi'=3.14, длина окружности 2'pi'R, приращение к радиусу 'delta'R, 'omega', угол 'fi' и sin'fi'.

Парадокс состоит в том, что у плоского вращающегося диска длина окружности должна подвергаться лоренцеву сокращению по мере роста числа оборотов и окружной скорости. В то же время у радиуса диска нет никаких релятивистских причин к сокращению, поскольку он поперечен вектору скорости. То есть геометрия, когда длина окружности равна 2'pi'R, здесь уже не работает.

Конечно в общей теории относительности (ОТО) проблема должна решаться соответствующим изменением геометрии мнимого пространства-времени, ибо центробежные силы эквивалентны гравитационному искривлению, но может быть даже ещё и не решена. Сам Эренфест считал, что из-за релятивистского сокращения в диске возникнут трещины вдоль радиуса, и диск разрушится. И похоже, что за 100 лет учёные не пришли к единому мнению. См. внешнюю ссылку "Парадокс Эренфеста".

И кстати, как диск узнаёт, что он вращается и у него должны быть "проблемы"? Ведь согласно современной научной концепции, физические тела находятся в пустом пространстве, в котором все точки и направления равноправны. Конечно может наблюдаться относительное движение тел. Но у твердотельного диска не наблюдается взаимного смещения и движения частей. Тем не менее "проблемы" выражаются в появлении центробежных сил, которые не устраняются выбором системы отсчёта, подобно иным проявлениям релятивизма – разве что заменяются на "гравитацию". Что уже вне рамок СТО, ибо единство массы в СТО и ОТО официальной наукой концептуально не доказано.

Иногда говорят, что вращение наблюдается относительно общей совокупности звёзд во вселенной и пр. Оказывается звёзды или возможное присутствие "наблюдателя" влияют на "самоощущение" физических тел? Можно ещё сослаться на "физический вакуум", но не принято рассматривать движение относительно него – иначе это будет тот же "эфир". Таким образом "физический вакуум" существует только виртуально – в формулах, а не физически, как, впрочем, и все "сущности" современной науки.

Кстати, Эйнштейн в работе «Ather und Relativitatstheorie» <Эфир и теория относительности> пишет:
«Общая теория относительности наделяет пространство физическими свойствами; таким образом, в этом смысле эфир существует. Согласно общей теории относительности, пространство немыслимо без эфира; действительно, в таком пространстве не только было бы невозможно распространение света, но не могли бы существовать масштабы и часы и не было бы никаких пространственно-временных расстояний в физическом смысле слова».

Да уж, лучше поздно, чем никогда. Но его запоздалое признание эфира было дружно проигнорировано научным обществом: "мавр сделал своё дело …". Но если предположить физическое существование в пространстве абсолютной выделенной системы отсчёта, то никаких проблем и вопросов с вращением не возникает.

Так как же вращающийся диск будет выглядеть "на самом деле" в нашем физическом 3-х мерном пространстве? При передаче взаимодействий в пространстве посредством физических полей, все межмолекулярные расстояния материала диска должны изменится так, чтобы никаких напряжений вследствие релятивизма между элементами диска не возникало.

Пусть имеем неподвижное колесо с тонким ободом и спицами, см. рис.1, (фиг.А). Если его привести во вращение, то длина окружности обода сократится согласно СТО. Несомненно, что спицы при этом несколько согнутся (фиг.Б). И те их участки, которые имеют проекцию на вектор окружной скорости (т.е. не перпендикуляры ей), тоже сократятся по Лоренцу вдоль этой составляющей пропорционально проекции.

Если представить диск как совокупность кольцевых слоёв (фиг.В), то окружность каждого из них должна удовлетворять лоренцеву сокращению соответственно окружной скорости и смещение участков между слоями должно соответствовать искривлению спиц, как если бы слои ими соединялись. А каждый слой будет повёрнут на некоторый угол 'fi' относительно его неподвижного состояния.

Введём обозначения:
R - радиус неподвижного слоя (обруча) диска (до вращения).
r - радиус того же слоя при вращении диска.
'omega' - угловая скорость диска.
V - окружная скорость слоя.
'fi' - угол сдвига (поворота) вращающегося слоя.

При вращении, релятивистское уменьшение окружности уменьшает и радиус r, что и отражено в формуле (2), см. рисунок. Из неё получаем зависимость r от соотношения R, 'omega' и скорости света в (3).

Таким образом, при конкретной скорости вращения, все окружности, сколь угодно большого исходного радиуса асимптотически стягиваются к окружности конечного радиуса, как показано в (4).

При этом элемент слоя окружности (обруча) в исходном диске, примерно соответствующий параллелепипеду, во вращающемся диске превратится в косой параллелепипед с меньшей не только длиной, но и высотой (толщиной обруча) – что должно привести к дополнительному сжатию эфира и, тем самым, в большей степени увеличению его массы, чем следовало бы из СТО.

Заменим переменные r и R на безразмерные переменные x и S, как показано в (5). Тогда выражение в (2) запишется как (6), откуда найдём соотношение (7).

Переменные x и S выражают отношение окружной скорости к скорости света для одного и того же слоя (обруча) диска. Причём x – относится к сжатому диску во вращающемся состоянии, а S – к исходному, не сжатому диску, но как бы при тех же оборотах. Поэтому S может быть больше 1.

Когда на неподвижном диске радиус слоя увеличивается на 'delta'S, радиус вращающегося слоя увеличивается на 'delta'x, и тогда отрезок 'delta'S располагавшийся вдоль радиуса неподвижного диска, на вращающемся вынужден размещаться в плоскости диска с наклоном к радиусу, как показано пунктирной линией на схеме рис.2. Но поскольку он сам движется с окружной скоростью перпендикулярно оси X, он подвергнется лоренцеву сокращению и перейдёт в отрезок 'delta'S' <S-штрих>.

Может существовать ещё одна математическая модель, когда отрезок 'delta'S укладывается не в плоскости диска, а вдоль оси вращения, приводя к чашеобразному изгибу диска. При этом длина исходного радиуса не изменялась бы вовсе, но теоретические основания для такого предположения мне неизвестны.

Хотя … Если допустить, что элементарная частица (или что-то в них) вращается с околосветовой скоростью, то, если принять эту гипотезу, из-за эффекта Эренфеста в них должны бы возникнуть смещения вдоль оси вращения. А это – как показано в статьях о формах элементарных частиц, см. http://proza.ru/2024/11/15/1287, и о природе эл. и магнитного полей, см. http://proza.ru/2024/10/29/872 – привело бы к появлению магнитного момента. Но непонятно, как при своём рождении пары частиц обретают вращение и от чего зависит выбор направления прогиба диска.

Поэтому продолжу для случая смещения в плоскости диска. Не ожидается, что дифференциальные уравнения окажутся простыми, поэтому я не стану искать аналитическое решение, а построю численную модель.

Однако в реале этот парадокс не наблюдаем, поскольку значительно бОльших деформаций диска следует ожидать от растягивающих его вдоль радиуса центробежных сил, действием которых он и будет разрушен задолго до достижения обнаруживаемого влияния релятивизма. А в качестве иллюстрации численная модель вполне приемлема.

Для каждого очередного приращения 'delta'S радиуса неподвижного слоя будем вычислять очередное значение радиуса вращающегося слоя по формуле (8), используя для этого формулу (7). Затем по формуле (9) определим приращение 'delta'x, а по формуле (10), смысл которой ясен из рис.2, вычислим значение 'delta'y. Применяя к нему лоренцевский коэффициент сокращения по формуле (11) и учитывая, что в безразмерных координатах x='beta', получим приращение 'delta''fi' смещения (угла поворота) очередного вращающегося слоя. И, наконец, по формуле (12) вычислим угол поворота 'fi' очередного вращающегося слоя.

На графике, см. рис.3, показано, как исходный радиус размещается в плоскости вращающегося диска в зависимости от достигнутой окружной скорости.

На графике на рис.4 показаны, в безразмерных величинах, зависимости радиуса вращающегося диска "x" и других величин – от величины исходного диаметра S у не вращающегося диска. Величина S показывает, во сколько раз окружная скорость диска превышала бы скорость света, если бы диск не сокращался по Лоренцу.

"S'/S" - сокращение радиуса диска из-за вращения (здесь до величины 0,4).
" 'delta' m' / 'delta' m СТО" - увеличение массы из-за вращения на ободе диска в рамках СТО.
"M'/M СТО" – увеличение массы всего диска в рамках СТО.
" 'delta' m' / 'delta' m Эфир" - увеличение массы на ободе диска в эфирной теории.
"M'/M Эфир" – увеличение массы всего диска в эфирной теории.

Отношения масс отложены по вспомогательной шкале (справа) в логарифмических координатах. По эфирной теории они здесь оказываются более чем в 100 раз больше, чем следует из СТО. Какие выводы следовали бы из ОТО мне, увы, неизвестно.